Θεμελειώδεις Χώροι

Γραμμική ΄Αλγεβρα

Διανυσματικοί χώροι και υπόχωροι

Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών

Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας

30 Οκτωβρίου 2014

Θεμελειώδεις Χώροι

Τέσσερα σημαντικά σύνολα

Ï Μηδενόχωρος N (A)

Ï Χώρος Στηλών R(A)

Ï Χώρος Γραμμών R(AT)

Ï Αριστερός Μηδενόχωρος N(AT)

Θεμελειώδεις Χώροι

Μηδενόχωρος N (A) ενός Πίνακα A ∈Rm×nείναι το

σύνολο όλων των διανυσμάτων x για τα οποία ισχύειότι Ax= 0.

N (A) = {x ∈Rn : Ax= 0

}

Θεμελειώδεις Χώροι

Μηδενόχωρος N (A) ενός Πίνακα A ∈Rm×nείναι το

σύνολο όλων των διανυσμάτων x για τα οποία ισχύειότι Ax= 0.

N (A) = {x ∈Rn : Ax= 0

}

Θεμελειώδεις Χώροι

Χώρος Στηλών R(A) ενός πίνακα A ∈Rm×nείναι το

σύνολο όλων των γραμμικών συνδυασμών των

στηλών του A.

R(A) ={

x ∈Rm : x=n∑

k=1ckA∗,k,∀ck ∈R

}

Θεμελειώδεις Χώροι

Χώρος Στηλών R(A) ενός πίνακα A ∈Rm×nείναι το

σύνολο όλων των γραμμικών συνδυασμών των

στηλών του A.

R(A) ={

x ∈Rm : x=n∑

k=1ckA∗,k,∀ck ∈R

}

Θεμελειώδεις Χώροι

Χώρος Γραμμών R(AT)ενός πίνακα A ∈Rm×n

είναι

το σύνολο όλων των γραμμικών συνδυασμών των

γραμμών του A.

R(AT)={

x ∈Rn : x=m∑

k=1ckAk,∗,∀ck ∈R

}

Θεμελειώδεις Χώροι

Χώρος Γραμμών R(AT)ενός πίνακα A ∈Rm×n

είναι

το σύνολο όλων των γραμμικών συνδυασμών των

γραμμών του A.

R(AT)={

x ∈Rn : x=m∑

k=1ckAk,∗,∀ck ∈R

}

Θεμελειώδεις Χώροι

Αριστερός Μηδενόχωρος N(AT)ενός πίνακα A

είναι το σύνολο όλων των διανυσμάτων x για ταοποία ισχύει ότι xTA= 0.

N (AT) = {x ∈Rm : xTA= 0

}N (AT) = {

x ∈Rm : ATx= 0}

Θεμελειώδεις Χώροι

Αριστερός Μηδενόχωρος N(AT)ενός πίνακα A

είναι το σύνολο όλων των διανυσμάτων x για ταοποία ισχύει ότι xTA= 0.

N (AT) = {x ∈Rm : xTA= 0

}

N (AT) = {x ∈Rm : ATx= 0

}

Θεμελειώδεις Χώροι

Αριστερός Μηδενόχωρος N(AT)ενός πίνακα A

είναι το σύνολο όλων των διανυσμάτων x για ταοποία ισχύει ότι xTA= 0.

N (AT) = {x ∈Rm : xTA= 0

}N (AT) = {

x ∈Rm : ATx= 0}

Θεμελειώδεις Χώροι

Θεωρήματα

΄Εστω ότι η απαλοιφή μετατρέπει το σύστημα Ax= bστο σύστημα Ux= c.

Ï N (A) =N (U).

Ï x λύση του Ax= b⇔ b ∈R(A).

Θεμελειώδεις Χώροι

Θεωρήματα

΄Εστω ότι η απαλοιφή μετατρέπει το σύστημα Ax= bστο σύστημα Ux= c.

Ï N (A) =N (U).

Ï x λύση του Ax= b⇔ b ∈R(A).

Θεμελειώδεις Χώροι

Ορισμός

Διανυσματικός χώρος είναι ένα σύνολο αντικειμένων (που

συνήθως ονομάζουμε διανύσματα) για τα οποία έχουμε ορίσει

τις πράξεις

Ï άθροισμα δύο διανυσμάτων καιÏ πολλαπλασιασμός ενός διανύσματος με αριθμό.

Παραδείγματα: Το σύνολο των πραγματικών αριθμών, το

σύνολο των διανυσμάτων στο επίπεδο (στον τρισδιάστατο

χώρο), το σύνολο των πραγματικών συναρτήσεων, . . .

Θεμελειώδεις Χώροι

Ορισμός

Διανυσματικός χώρος είναι ένα σύνολο αντικειμένων (που

συνήθως ονομάζουμε διανύσματα) για τα οποία έχουμε ορίσει

τις πράξεις

Ï άθροισμα δύο διανυσμάτων καιÏ πολλαπλασιασμός ενός διανύσματος με αριθμό.

Παραδείγματα: Το σύνολο των πραγματικών αριθμών, το

σύνολο των διανυσμάτων στο επίπεδο (στον τρισδιάστατο

χώρο), το σύνολο των πραγματικών συναρτήσεων, . . .

Θεμελειώδεις Χώροι

Ορισμός

Διανυσματικός υποχώρος Y ενός διανυσματικού χώρου Vείναι ένα υποσύνολο του V τέτοιο ώστε

Ï το άθροισμα δύο οποιονδήποτε διανυσμάτων του Y ναανήκει και αυτό στο Y και

Ï ο πολλαπλασιασμός οποιουδήποτε διανύσματος Y με έναναριθμό να ανήκει και αυτό στο Y.

Παραδείγματα: Το σύνολο των διανυσμάτων του Rn, το

σύνολο των συμμετρικών n×n πινάκων, το σύνολο τωνσυνεχών πραγματικών συναρτήσεων, . . .

Θεμελειώδεις Χώροι

Ορισμός

Διανυσματικός υποχώρος Y ενός διανυσματικού χώρου Vείναι ένα υποσύνολο του V τέτοιο ώστε

Ï το άθροισμα δύο οποιονδήποτε διανυσμάτων του Y ναανήκει και αυτό στο Y και

Ï ο πολλαπλασιασμός οποιουδήποτε διανύσματος Y με έναναριθμό να ανήκει και αυτό στο Y.

Παραδείγματα: Το σύνολο των διανυσμάτων του Rn, το

σύνολο των συμμετρικών n×n πινάκων, το σύνολο τωνσυνεχών πραγματικών συναρτήσεων, . . .

Θεμελειώδεις Χώροι

Εναλακτικός Ορισμός

Διανυσματικός υποχώρος Y ενός διανυσματικού χώρου Vείναι ένα υποσύνολο του V τέτοιο ώστε κάθε γραμμικόςσυνδοιασμός των στοιχείων του Y ανήκει στο Y.

Διανυσματικός υποχώρος Y ενός διανυσματικού χώρου Vείναι ένα υποσύνολο του V τέτοιο ώστε ∀x,y ∈Y και∀α,β ∈R, αx+βy ∈Y.

Θεμελειώδεις Χώροι

΄Ασκηση

Ποιά απο τα παρακάτω σύνολα είναι διανυσματικοί υπόχωροι

1. Οι n×n άνω τριγωνικοί πίνακες.

2. Οι n×n αντιστρέψιμοι πίνακες.3. Οι λύσεις του συστήματος Ax= b.4. Οι λύσεις του ομογενούς συστήματος Ax= 0.5. Το σύνολο των διανυσμάτων (x,y,z) που ανήκουν στοεπίπεδο z= 2.

Θεμελειώδεις Χώροι

΄Ασκηση

Ποιά απο τα παρακάτω σύνολα είναι διανυσματικοί υπόχωροι

1. Οι n×n άνω τριγωνικοί πίνακες.2. Οι n×n αντιστρέψιμοι πίνακες.

3. Οι λύσεις του συστήματος Ax= b.4. Οι λύσεις του ομογενούς συστήματος Ax= 0.5. Το σύνολο των διανυσμάτων (x,y,z) που ανήκουν στοεπίπεδο z= 2.

Θεμελειώδεις Χώροι

΄Ασκηση

Ποιά απο τα παρακάτω σύνολα είναι διανυσματικοί υπόχωροι

1. Οι n×n άνω τριγωνικοί πίνακες.2. Οι n×n αντιστρέψιμοι πίνακες.3. Οι λύσεις του συστήματος Ax= b.

4. Οι λύσεις του ομογενούς συστήματος Ax= 0.5. Το σύνολο των διανυσμάτων (x,y,z) που ανήκουν στοεπίπεδο z= 2.

Θεμελειώδεις Χώροι

΄Ασκηση

Ποιά απο τα παρακάτω σύνολα είναι διανυσματικοί υπόχωροι

1. Οι n×n άνω τριγωνικοί πίνακες.2. Οι n×n αντιστρέψιμοι πίνακες.3. Οι λύσεις του συστήματος Ax= b.4. Οι λύσεις του ομογενούς συστήματος Ax= 0.

5. Το σύνολο των διανυσμάτων (x,y,z) που ανήκουν στοεπίπεδο z= 2.

Θεμελειώδεις Χώροι

΄Ασκηση

Ποιά απο τα παρακάτω σύνολα είναι διανυσματικοί υπόχωροι

1. Οι n×n άνω τριγωνικοί πίνακες.2. Οι n×n αντιστρέψιμοι πίνακες.3. Οι λύσεις του συστήματος Ax= b.4. Οι λύσεις του ομογενούς συστήματος Ax= 0.5. Το σύνολο των διανυσμάτων (x,y,z) που ανήκουν στοεπίπεδο z= 2.

Θεμελειώδεις Χώροι

Θεώρημα

΄Εστω ο m×n πίνακας A. Τότε1. Ο μηδενόχωρός του A είναι διανυσματικός υπόχωρος τουRn.

2. Ο αριστερός μηδενόχωρός του A είναι διανυσματικόςυπόχωρος του Rm

.

3. Ο χώρος γραμμών του A είναι διανυσματικός υπόχωροςτου Rn

.

4. Ο χώρος στηλών του A είναι διανυσματικός υπόχωροςτου Rm

.

Θεμελειώδεις Χώροι

Θεώρημα

΄Εστω ο m×n πίνακας A. Τότε1. Ο μηδενόχωρός του A είναι διανυσματικός υπόχωρος τουRn.

2. Ο αριστερός μηδενόχωρός του A είναι διανυσματικόςυπόχωρος του Rm

.

3. Ο χώρος γραμμών του A είναι διανυσματικός υπόχωροςτου Rn

.

4. Ο χώρος στηλών του A είναι διανυσματικός υπόχωροςτου Rm

.

Θεμελειώδεις Χώροι

Θεώρημα

΄Εστω ο m×n πίνακας A. Τότε1. Ο μηδενόχωρός του A είναι διανυσματικός υπόχωρος τουRn.

2. Ο αριστερός μηδενόχωρός του A είναι διανυσματικόςυπόχωρος του Rm

.

3. Ο χώρος γραμμών του A είναι διανυσματικός υπόχωροςτου Rn

.

4. Ο χώρος στηλών του A είναι διανυσματικός υπόχωροςτου Rm

.

Θεμελειώδεις Χώροι

Θεώρημα

΄Εστω ο m×n πίνακας A. Τότε1. Ο μηδενόχωρός του A είναι διανυσματικός υπόχωρος τουRn.

2. Ο αριστερός μηδενόχωρός του A είναι διανυσματικόςυπόχωρος του Rm

.

3. Ο χώρος γραμμών του A είναι διανυσματικός υπόχωροςτου Rn

.

4. Ο χώρος στηλών του A είναι διανυσματικός υπόχωροςτου Rm

.