17. Integral

17. INTEGRAL

A. Rumus-Rumus Integral Dasar Untuk u dan v adalah fungsi dari x, dan c konstanta, maka:

1. ∫ dx = x + c 2. ∫ a dx = a ∫ dx = ax + c

3. ∫ un du = 11

1 ++

nn u + c

4. ∫ [ f(u) ± g(u) ] du = ∫ f(u) du ± ∫ g(u) du

5. ∫ sin u du = - cos u + c 6. ∫ cos u du = sin u + c 7. ∫ sec2 u du = tan u + c

B. Teknik Integral Substitusi Trigonometri

a. jika integran berbentuk dxxa∫ − 22 , gunakan substitusi x = a sin θ

b. jika integran berbentuk dxxa∫ + 22 , gunakan substitusi x = a tan θ

c. jika integran berbentuk dxax∫ − 22 , gunakan substitusi x = a sec θ

C. Teknik Itegral Parsial Teknik integral parsial digunakan jika integran tidak dapat diselesaikan dengan metode substitusi

Misalkan u(x) dan v(x) masing-masing adalah fungsi dalam variabel x, maka pengintegralan ∫u dv ditentukan oleh: ∫u dv = uv - ∫v du c

D. Integral Tentu

Misalkan kurva y = f(x) kontinu pada interval tertutup [a, b], maka luas daerah L yang dibatasi oleh kurva y = f(x), sumbu X, garis x = a, dan garis x = b, ditentukan dengan rumus:

L = ∫ −==b

a

ba aFbFxFdxxf )()()]([)( , dengan F(x) adalah integral (antidiferensial) dari f(x)

E. Penggunan Integral Tentu 1) Untuk Menghitung Luas Daerah

a. Luas daerah L pada gb. 1

L = ∫b

a

dxxf )( ,

untuk f(x) ≥ 0

b. Luas daerah L pada gb. 2

L = –∫b

a

dxxf )( , atau L =

∫b

a

dxxf )(

untuk f(x) ≤ 0

c. Luas daerah L pada gb. 3

L = ∫ −b

a

dxxgxf )}()({ ,

dengan f(x) ≥ g(x)

Soal dan Pembahasan UN Matematika SMA Prog. IPA http://www.soalmatematik.com

Cermati secara seksama cara pengerjaannya lalu cobalah mengerjakan sendiri menggunakan e-book kumpulan soal UN

141

2) Untuk Menghitung Volume Benda Putar

V = ∫b

a

dxxf 2))((π atau V = ∫b

a

dxy 2π V = ∫d

c

dyyg 2))((π atau V = ∫d

c

dyx 2π

V = ∫ −b

a

dxxgxf )}()({( 22π atau V = ∫ −b

a

dxyy )( 22

21π V = ∫ −

d

c

dyygyf )}()({ 22π atau V

= ∫ −d

c

dyxx )( 22

21π

Catatan Beberapa identitas trigonometri yang biasa digunakan pada bab ini adalah;

1. 2sinA⋅⋅⋅⋅cosB = sin(A + B) + sin(A – B) digunakan pada soal No. 5, 17

2. –2sinA⋅⋅⋅⋅sinB = cos(A + B) – cos(A – B) digunakan pada soal No. 6, 16

3. sin2A = }2cos1{21 A−

digunakan pada soal no. 19

4. sin 2A =2sin A ⋅⋅⋅⋅ cos A digunakan pada soal no. 22



142

SOAL PENYELESAIAN 1. Gradien garis singgung kurva pada setiap titik

(x, y) dinyatakan oleh dxdy

= 6x2 – 2x + 6.

Kurva melalui titik (1, –2), maka persamaan kurva adalah … a. y = 2x3 – x2 + 6x – 5 b. y = 2x3 – x2 + 6x + 5 c. y = 2x3 – x2 + 6x + 4 d. y = 2x3 – x2 + 6x – 9 e. y = 2x3 – x2 + 6x + 9

• dxdy

= 6x2 – 2x + 6

dy = (6x2 – 2x + 6)dx y = f(x) = ∫ (6x2 – 2x + 6)dx

= cxxx ++− 62223

36

= cxxx ++− 62 23

• Menentuan nilai c karena kurva melalui titik (1,–2), maka f(1) = – 2

f(x) = cxxx ++− 62 23 f(1) = 2(1)3 – (1)2 + 6(1) + c – 2 = 2 – 1 + 6 + c – 2 = 7 + c c = 9

Jadi, y = f(x) = 962 23 ++− xxx …………(e)

2. Jika grafik y = f(x) melalui titik (1, 2) dan turunannya f’(x) = x2 + 1, maka grafiknya y = f(x) memotong sumbu Y di titik … a. (0, 0)

b. (0, 31 )

c. (0, 32 )

d. (0, 1) e. (0, 2)

• f’(x) = x2 + 1 f(x) = ∫ (x2 + 1)dx

= cxx ++331

• Menentuan nilai c karena kurva melalui titik (1, 2), maka f(1) = 2

f(x) = cxx ++331

f(1) = c++ )1()1( 331

2 = 311

c = 32

Jadi, y = f(x) = 323

31 ++ xx

• Titik potong kurva dengan sumbu Y

Kurva akan memotong sumbu Y jika x = 0

y = 323

31 ++ xx

y = 323

31 )0()0( ++ =

32

jadi, titik potongnya di (0, 32 )…………….(c)



143

SOAL PENYELESAIAN 3. Gradien garis singgung suatu kurva adalah

m = dxdy

= 2x – 3. kurva itu melalui titik (3,2).

Persamaan kurva tersebut adalah … a. y = x2 – 3x – 2 b. y = x2 – 3x + 2 c. y = x2 + 3x – 2 d. y = x2 + 3x + 2 e. y = x2 + 3x – 1

• dxdy

= 2x – 3

dy = (2x – 3)dx y = ∫ (2x – 3)dx

= cxx +− 3222

= cxx +− 32

• Menentuan nilai c karena kurva melalui titik (3, 2), maka f(3) = 2

f(x) = cxx +− 32 f(3) = (3)2 – 3(3) + c 2 = 9 – 9 + c c = 2

Jadi, y = f(x) = 232 +− xx …………………(b)

4. Hasil dxx

x∫

+ 42

33

2

= …

a. 424 3 +x + C

b. 422 3 +x + C

c. 42 3 +x + C

d. 42 321 +x + C

e. 42 341 +x + C

Selesaikan dengan metode substitusi karena selisih pangkat antara f(x) dan g(x) satu

dxx

x∫

+ 42

33

2

= dxxx∫−+ 2

1

)42(3 32

= )6()42( 2321 2

1

dxxx∫ ⋅+ −

= duU∫−

21

)(21

= cU +×× 21

21

1

2

1

= cU +×× 21

1

2

2

1

= cx ++ 42 3 ……………(c) 5. Hasil ∫4sin 5x ⋅ cos 3x dx = …

a. –2 cos 8x – 2 cos 2x + C

b. xx 2cos8cos41 −− + C

c. xx 2cos8cos41 + + C

d. xx 2cos8cos21 −− + C

e. xx 2cos8cos21 + + C

∫4sin 5x ⋅ cos 3x dx

⇔ 2∫2sin 5x ⋅ cos 3x dx

⇔ 2∫(sin 8x + sin 2x)dx

⇔ 2{ )8cos(81 x− + )2cos(2

1 x− } + c

⇔ x8cos41− – cos 2x + c …………………(b)

6. Hasil dari ∫sin x sin 3x dx adalah …

a. cx4cosx2cos41

21 +−−

b. cx4sinx2sin41

21 +−

c. cx4sinx2sin81

41 +−

d. –2sin 2x – 4sin 4x + c e. 2sin 2x – 4sin 4x + c

∫sin x sin 3x dx

⇔ ∫sin 3x sin x dx

⇔ 21− ∫(cos 4x – cos 2x) dx

⇔ { } cxx +−− 2sin4sin 21

41

21

⇔ cxx ++− 2sin4sin41

81

⇔ cxx +− 4sin2sin81

41 …………………..(c)



144

SOAL PENYELESAIAN

7. Hasil dxx9x 2∫ − = …

a. cx9)x9( 2231 +−−−

b. cx9)x9( 2232 +−−−

c. cx9)x9( 2232 +−−

d. cx9)x9(x9)x9( 229222

32 +−−+−−

e. cx9x9)x9( 29122

31 +−+−−


dxx9x 2∫ −

⇔ dxxx∫ − 21

)9( 2

⇔ )2()9( 21

221 dxxx∫ ⋅−−−

⇔ duU∫− 21

21

⇔ cU +××− 211

23

1

2

1

⇔ cUU +×××− 21

3

2

2

1

⇔ cxx +−−×− 2231 9)9( …………….(a)

8. Hasil dx1xx∫ + = …

a. c1x)1x(1x)1x( 232

52 +++−++

b. c1x)2xx3( 2152 ++−+

c. c1x)4xx3( 2152 ++++

d. c1x)2xx3( 2152 ++−−

e. c1x)2xx( 252 ++−+

Selesaikan dengan metode parsial karena pangkat f(x) sama dengan g(x)

dx1xx∫ + = dxxx∫ + 21

)1(

U dv

x ( )21

1+x

1 211

)1(3

2 +x

0 212

)1(5

2

3

2 +× x

Jadi:

dx1xx∫ +

⇔ cxxxxx +++−++ 1)1(1)1( 2154

32

⇔ cxxxx +++−+ 1})1(2)1(5{1522

⇔ cxxxxx ++++−+ 1)}12(255{15222

⇔ cxxxxx ++−−−+ 1)24255(15222

⇔ cxxx ++−+ 1)23( 2152 ……………(b)



145

SOAL PENYELESAIAN

9. Hasil dari dxx2sinx2∫ = …

a. –21 x2 cos 2x –

21 x sin 2x +

41 cos 2x + c

b. –21 x2 cos 2x +

21 x sin 2x –

41 cos 2x + c

c. –21 x2 cos 2x +

21 x sin 2x +

41 cos 2x + c

d. 21 x2 cos 2x –

21 x sin 2x –

41 cos 2x + c

e. 21 x2 cos 2x –

21 x sin 2x +

41 cos 2x + c

Selesaikan dengan metode parsial karena pangkat f(x) lebih tinggi dari g(x)

dxx2sinx2∫ =

U dv

x2 Sin 2x

2x 21− cos 2x

2 x2sin2

1

2

1 ×−

0 x2cos41

21 ⋅

Jadi: dxx2sinx2∫

⇔ xxxxx 2cos2sin2cos 41

212

21 ++−

…………………………………………….(c)

10. Hasil dari dxxcos)1x( 2∫ + = …

a. x2 sin x + 2x cos x + c b. (x2 – 1) sin x + 2x cos x + c c. (x2 + 3) sin x – 2x cos x + c d. 2x2 cos x + 2x2 sin x + c e. 2x sin x – (x2 – 1)cos x + c


dxxcos)1x( 2∫ + =

U dv

x2 + 1 cos x

2x Sin x

2 – cos x

0 – sin x

Jadi: dxxcos)1x( 2∫ +

⇔ (x2 + 1) sin x + 2x cos x – 2sin x + c ⇔ (x2 + 1) sin x – 2sin x + 2x cos x + c ⇔ (x2 + 1 – 2) sin x + 2x cos x + c ⇔ (x2 – 1) sin x + 2x cos x + c ………….(b)

11. Hasil dari ∫(x – 3)(x2 – 6x + 1)–3 dx = …

a. c)1x6x( 4281 ++−− −

b. c)1x6x( 4241 ++−− −

c. c)1x6x( 4221 ++−− −

d. c)1x6x( 2241 ++−− −

e. c)1x6x( 2221 ++−− −


∫(x – 3)(x2 – 6x + 1)–3 dx

⇔ 21 ∫ (x2 – 6x + 1)–3 2(x – 3)dx

⇔ 21 ∫ U–3 du

⇔ cU +−

⋅ −2

2

1

2

1

⇔ cxx ++−− −22 )16(4

1……………..(d)



146

SOAL PENYELESAIAN 12. Hasil dari ∫(x2 – 3x + 1)sin x dx = …

a. (–x2 + 3x + 1) cos x + (2x – 3) sin x + c b. (–x2 + 3x – 1) cos x + (2x – 3) sin x + c c. (x2 – 3x + 1) sin x + (2x – 3) cos x + c d. (x2 – 3x + 1) cos x + (2x – 3) sin x + c e. (x2 – 3x + 3) cos x + (2x – 3) sin x + c


∫(x2 – 3x + 1)sin x dx = U dv

(x2 – 3x + 1) sin x

2x – 3 – cos x

2 – sin x

0 cos x

Jadi: ∫(x2 – 3x + 1)sin x dx = ⇔ (–x2 + 3x – 1)cos x + (2x – 3) sin x + 2cos x + c ⇔ (–x2 + 3x – 1)cos x + 2cos x + (2x – 3) sin x + c ⇔ (–x2 + 3x – 1 + 2)cos x + (2x – 3) sin x + c ⇔ (–x2 + 3x + 1)cos x + (2x – 3) sin x + c ………………………………………………….(a)

13. Nilai a yang memenuhi persamaan

∫ +1

22 )1(12a

dxxx = 14 adalah …

a. –2 b. –1 c. 0

d. 21

e. 1


∫ +1

22 )1(12a

dxxx = 14

⇔ ∫ ⋅+1

22 2)1(6a

xdxx = 14

⇔ ∫1

23a

duU = 7

⇔ 13

33

aU = 7

⇔ 132 )1(a

x + = 7

⇔ 3232 )1()11( +−+ a = 7

⇔ 32 )1(8 +− a = 7

⇔ 32 )1( +a = 1

⇔ a2 + 1 = 1 ⇔ a = 0 ……………………(c)



147

SOAL PENYELESAIAN

14. Nilai ∫ +−

0

1

5dx)x1(x adalah …

a. 421−

b. 211−

c. 71−

d. 61

e. 81

Selesaikan dengan metode parsial karena pangkat f(x) sama dengan pangkat g(x)

∫ +−

0

1

5dx)x1(x =

U dv

x (1 + x)5

1 61 (1 + x)6

0 71

61 ⋅ (1 + x)7

Jadi: ∫ +−

0

1

5dx)x1(x

⇔ 0

1

74216

61 )1()1(

−+−+ xxx

⇔ 0})01(0{ 7421 −+− =

421− ………….(a)

15. Hasil dari ∫ −−

1

1

2 dx)6x(x = …

a. –4

b. 21−

c. 0

d. 21

e. 214

∫ −−

1

1

2 dx)6x(x

⇔ ∫−

−1

1

23 )6( dxxx

⇔ 1

1

3441 2

−− xx

⇔ })1(2)1({)1(2)1( 344134

41 −−−−−

⇔ 22 41

41 −−− = – 4 …………………….(a)

16. ∫

π4

0dxxsinx5sin = …

a. –21

b. –61

c. 121

d. 81

e. 125

∫

π4

0dxxsinx5sin

⇔ ∫ −−4

021 )4cos6(cos

π

dxxx

⇔ 404

161

21 )4sin6sin(

πxx −−

⇔

}0sin0sin{4sin6sin81

121

481

4121 −−−⋅−⋅− ππ

⇔ }0{0)1(81

121 −⋅−−⋅− =

121 ……………….(c)



148

SOAL PENYELESAIAN

17. ∫ ++π

ππ6

033

dx)xcos()xsin( = …

a. –41

b. –81

c. 81

d. 41

e. 83

∫ ++π

ππ6

033

dx)xcos()xsin(

⇔ ∫ ++6

0332

1 )cos()sin(2

π

ππ dxxx

⇔ ∫ +6

032

1 )(2sin

π

π dxx

⇔ ∫ +6

03

221 )2sin(

π

π dxx

⇔ ∫ ⋅+⋅6

03

221

21 2)2sin(

π

π dxx

⇔ 603

241 )2cos(

ππ+− x

⇔ { })02cos()cos(3

23

26

241 πππ +⋅−+−

⇔ { })cos(cos3

241 ππ −−

⇔ { })(1 21

41 −−−−

⇔ )( 23

41 −×− =

83 …………………………..(e)

18. ∫ +a

22

dx)1x

4( =

a

1. Nilai a2 = …

a. –5 b. –3 c. 1 d. 3 e. 5

∫ +a

22

dx)1x

4( =

a

1

⇔ ∫ +−a

dxx2

2 )14( = a

1

⇔ a

xx2

14 +− − = a

1

⇔ a

xx 2

4 +− =

a

1

⇔ }22

4{}

4{ +−−+−

aa

= a

1

⇔ }0{42

−−a

a =

a

1

⇔ a2 – 4 = 1 ⇔ a2 = 5 ……………………….(e)



149

SOAL PENYELESAIAN

19. ∫ ππ1

0

22 dxxcosxsin = …

a. 0

b. 81

c. 41

d. 81 π

e. 41 π

∫ ππ1

0

22 dxxcosxsin

⇔ ∫ ⋅1

0

2)cos(sin dxxx ππ

⇔ ∫ ⋅1

0

221 )}cossin2({ dxxx ππ

⇔ ∫1

0

241 )2(sin dxxπ

⇔ ∫ −1

021

41 )4cos1( dxxπ

⇔ ∫ −1

081 )4cos1( dxxπ

⇔ 1

041

81 )4sin( xx π−

⇔ }0sin0{)1(4sin)1(321

321

81 −−− π

⇔ 0081 −− =

81 ……………………………….(b)

20. ∫π

π2

dxxsinx = …

a. π + 1 b. π – 1 c. – 1 d. π e. π + 1


∫π

π2

dxxsinx

U dv

x Sin x

1 – cos x

0 – sin x

Jadi: ∫π

π2

dxxsinx

⇔ ππ2

sincos xxx +−

⇔ }sincos{}sincos{ 222ππππππ +−−+−

⇔ }10{}0)1({ 2 +⋅−−+−− ππ = π – 1………….(b)



150

SOAL PENYELESAIAN

21. ∫π

0dxxcosx = …

a. –2 b. –1 c. 0 d. 1 e. 2


∫π

0

cos dxxx

U dv

x cos x

1 sin x

0 – cos x

Jadi: ∫π

0

cos dxxx

⇔ π0

cossin xxx +

⇔ }0cos0sin0{}cossin{ +⋅−+ πππ

⇔ }10{}10{ +−−⋅π = – 2………………….….(a)

22. Nilai dari ∫ π−π−π

π

2

3

dx)x3sin()x3cos( =

a. –61

b. –121

c. 0

d. 121

e. 61

∫ π−π−π

π

2

3

dx)x3sin()x3cos(

⇔ ∫ −−2

3

)3sin()3cos(221

π

π

ππ dxxx

⇔ ∫ −2

3

)3(2sin21

π

π

π dxx

⇔ ∫ −2

3

)26sin(21

π

π

π dxx

⇔ 2

361

21 )26cos()(

π

ππ−− x

⇔ )}22cos({)}23cos({ 121

121 ππππ −−−−−

⇔ 0coscos 121

121 +− π

⇔ )1()1( 121

121 +−− = 12

2 = 61 …………………(e)



151

SOAL PENYELESAIAN

23. Diketahui ∫ +p

132 dx)x(x3 = 78.

Nilai (–2p) = … a. 8 b. 4 c. 0 d. –4 e. –8

∫ +p

132 dx)x(x3 = 78

⇔ ∫ +p

dxxx1

2 )23( = 78

⇔ p

xx1

23 + = 78

⇔ }11{}{ 2323 +−+ pp = 78

⇔ 223 −+ pp = 78

⇔ 223 −+ pp = 78

⇔ 8023 −+ pp = 0

f(x) = 8023 −+ pp

untuk selanjutnya gunakan cek poin a. –2p = 8 ⇒ p = – 4 b. –2p = 4 ⇒ p = – 2 c. –2p = 0 ⇒ p = 0 d. –2p = –4 ⇒ p = 2 e. –2p = –8 ⇒ p = 4 nilai-nilai p yang dihasilkan kemudian substitusikan ke f(x), jika f(p) = 0, maka p merupakan penyelesaian dari f(x).

a. f(– 4) = 8023 −+ pp = –64 + 16 – 80 ≠ 0

b. f(– 2) = 8023 −+ pp = –8 + 4 – 80 ≠ 0

c. f(0) = 8023 −+ pp = 0 + 0 – 80 ≠ 0

d. f(2) = 8023 −+ pp = 8 + 4 – 80 ≠ 0

e. f(4) = 8023 −+ pp = 64 + 16 – 80 = 0 dengan demikian jawaban yang benar adalah …….(e)



152

SOAL PENYELESAIAN

24. Diketahui ∫ −+p

1

2 dt)2t6t3( = 14.

Nilai (–4p) = … a. –6 b. –8 c. –16 d. –24 e. –32

∫ −+p

1

2 dt)2t6t3( = 14

⇔ p

ttt1

23 23 −+ = 14

⇔ }12131{23 2323 ⋅−⋅+−−+ ppp = 14

⇔ 223 23 −−+ ppp = 14

⇔ 1623 23 −−+ ppp = 0

f(x) = 1623 23 −−+ ppp

untuk selanjutnya gunakan cek poin

a. –4p = –6 ⇒ p = 23

b. –4p = –8 ⇒ p = 2 c. –4p = –16 ⇒ p = 4 d. –4p = –24 ⇒ p = 6 e. –4p = –32 ⇒ p = 8 nilai-nilai p yang dihasilkan kemudian substitusikan ke f(x), jika f(p) = 0, maka p merupakan penyelesaian dari f(x).

a. f( 23 ) = 1623 23 −−+ ppp ≠ 0

b. f(2) = 1623 23 −−+ ppp = 8 + 12 – 4–16 = 0

c. f(4) = 1623 23 −−+ ppp ≠ 0

d. f(6) = 1623 23 −−+ ppp ≠ 0

e. f(8) = 1623 23 −−+ ppp ≠ 0 dengan demikian jawaban yang benar adalah …….(b)



153

SOAL PENYELESAIAN 25. Luas daerah yang dibatasi oleh parabola

y = x2 – 6x + 8, garis y = x – 2 dan sumbu X dapat dinyatakan dengan …

a. dxxx∫ +−−4

2

2 )86( +

∫ +−−−4

3

2 ))86()2(( xxx

b. dxxx∫ +−−4

2

2 )86(

c. ( )dxxxx∫ +−−−4

3

231 )86()3(

d. dxxx∫ +−−4

3

2 )86( +

( )dxxxx∫ +−−−5

4

2 )86()3(

e. dxx∫ −4

2

)2( +

( )dxxxx∫ +−−−5

4

2 )86()2(

L = L1 + L2

= ∫∫ +−−−+−5

4

24

2

)}86()2{()2( dxxxxdxx

…………………………………………….(e)



154

SOAL PENYELESAIAN 26. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva

y = 1 – x2, sumbu Y, sumbu X, dan garis x = 3 adalah … satuan luas

a. 2531

b. 24

c. 731

d. 6

e. 432

(i) Batas Integral • Titik potong kurva dengan sumbu X

Kurva akan memotong sumbu X jika y = 0 y = 1 – x2

0 = (1 + x)(1 – x) ⇒ x = – 1 atau x = 1

• Karena luas derah yang ditanyakan adalah mulai sumbu Y (x = 0) hingga garis x = 3

0 ≤ x ≤ 3

Maka batas daerah integralnya ada dua yaitu 0 ≤ x ≤ 1 dan 1 ≤ x ≤ 3

(ii) luas daerah

karena ada dua batas integral, maka ada dua luasan yang harus dicari, sehingga L = L1 + L2

L1 = dxx∫ −1

0

2)1( = 1

0

331 xx −

= )0()1(1 331 −−

= 311− =

32

L2 = dxx∫ −3

1

2)1( = 3

1

331 xx −

= ))1(1()3(3 3313

31 −−−

= 31193 +−−

= 10331 − =

326− =

326

Jadi, L = 32 +

326 = 7

31 ………………….(c)



155


y = – x2 + 2x dan sumbu X pada 0 ≤ x ≤ 3 adalah … satuan luas a. 1

b. 34

c. 38

d. 3 e. 4

Batas Integral • Titik potong kurva dengan sumbu X

Kurva akan memotong sumbu X jika y = 0 y = – x2 + 2x

0 = x(–x + 2) ⇒ x = 0 atau x = 2

• Karena luas derah yang ditanyakan adalah 0 ≤ x ≤ 3

Maka batas daerah integralnya ada dua yaitu 0 ≤ x ≤ 2 dan 2 ≤ x ≤ 3

(ii) luas daerah

karena ada dua batas integral, maka ada dua luasan yang harus dicari, sehingga L = L1 + L2

L1 = dxxx∫ +−2

0

2 )2( = 2

0

2331 xx +−

= 0)2)2(( 2331 −+−

= 438 +− =

34

L2 = dxxx∫ +−3

2

2 )2(

= 3

2

2331 xx +−

= )2)2((3)3( 233123

31 +−−+−

= 49938 −++− = 4

38 − =

34− =

34

Jadi, L = 34 +

34 =

38 ……………………….(c)



156

SOAL PENYELESAIAN 28. Luas daerah yang dibatasi parabola

y = 8 – x2 dan garis y = 2x adalah … satuan luas a. 36

b. 4131

c. 4132

d. 46

e. 4632

(i) Batas Integral (titik potong dua kurva) Pada saat kedua kurva berpotongan maka

y1 = y2 8 – x2 = 2x

x2 + 2x – 8 = 0 (x + 4)(x – 2) = 0 ⇒ x = {– 4 , 2}

Jadi, batas integralnya x = {– 4 , 2}

(ii) luas daerah

L = dxxx∫−

−+2

4

2 )82(

= 2

4

2331 8

−−+ xxx

= )}4(8)4()4({)2(82)2( 233123

31 −−−+−−−+

= 3216164364

38 −−+−+

= 60372 − = 6024− = 36 …………….(a)

29. Luas daerah pada kuadran I yang dibatasi oleh kurva y = x2, sumbu Y, dan garis x + y = 12 adalah … satuan luas a. 57,5 b. 51,5 c. 49,5 d. 25,5 e. 22,5

(i) Batas Integral • Titik potong dua kurva

Pada saat kedua kurva berpotongan maka y1 = y2 x2 = 12 – x

x2 + x – 12 = 0 (x + 4)(x – 3) = 0 ⇒ x = {– 4 , 3}

karena luas daerah yang ditanyakan ada di kuadran I, maka batas integralnya x ={0, 3}

(ii) luas daerah

L = dxxx∫ −+3

0

2 )12(

= 3

0

2213

31 12xxx −+

= }0{)3(12)3()3( 2213

31 −−+

= 9 + 4,5 – 36 = |– 22,5| = 22,5 ………….(e)



157


y = x2 – 9x + 15 dan y = –x2 + 7x – 15 adalah … satuan luas

a. 232

b. 252

c. 231

d. 332

e. 431


Pada saat kedua kurva berpotongan maka y1 = y2

x2 – 9x + 15 = –x2 + 7x – 15 x2 + x2 – 9x – 7x + 15 + 15 = 0 2x2 – 16x + 30 = 0 2(x2 – 8x + 15) = 0 2(x – 3)(x – 5) = 0 ⇒ x = {3 , 5}

Jadi, batas integralnya x = {3 , 5} (ii) luas daerah

L = dxxx∫ +−5

3

2 )30162(

= 5

3

2332 308 xxx +−

= −+− )5(30)5(8)5( 2332

))3(30)3(8)3(( 2332 +−

= )907218(1502003

250 +−−+−

= 36508331 −−

= 322− = 2

32 ………………….………(a)

31. Luas daerah tertutup yang dibatasi oleh kurva x = y2 dan garis y = x – 2 adalah … a. 0 satuan luas b. 1 satuan luas

c. 4 21 satuan luas

d. 6 satuan luas e. 16 satuan luas


Pada saat kedua kurva berpotongan maka x1 = x2

y2 = y + 2 y2 – y – 2 = 0 (y + 1)(y – 2) = 0 ⇒ y = {–1 , 2}

Jadi, batas integralnya y = {–1 , 2} (ii) luas daerah

L = dyyy∫−

−−2

1

2 )2(

= 2

1

2213

31 2

−−− yxy

= −−− )2(2)2()2( 2213

31

)}1(2)1()1({ 2213

31 −−−−−

= )2(4221

31

38 +−−−−−

= 21

31

38 16 −+− =

214− = 42

1 ………(c)



158

SOAL PENYELESAIAN 32. Perhatikan gambar di bawah ini:

Jika daerah yang diarsir pada gambar diputar mengelilingi sumbu X sejauh 360° maka volume benda putar yang terjadi adalah … satuan volume

a. π

15123

b. π1583

c. π1577

d. π1543

e. π1535

Kurva diputar mengelilingi sumbu X, maka:

(i) Batas Integral dari gambar diketahui jika batas integralnya adalah x = {– 1, 0}

(ii) Volume benda putar

Volume benda putar yang dibatasi oleh dua kurva

V = dxyyb

a∫ − )( 2

221π

= dxxx∫−

−−0

1

222 })()4{(π

= dxxx∫−

−0

1

42 )16(π

= 0

1

5513

316

−− xxπ

= π)})1()1((0{ 5513

316 −−−−

= π}{51

316 −

= π15

380− = π1577 ………………………..(c)

33. Volum benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh kurva y = 3x – 2, garis x = 1, dan garis x = 3 diputar mengelilingi sumbu X adalah … satuan volum. a. 34π b. 38π c. 46π d. 50π e. 52π


(i) Batas Integral Berdasarkan soal batas integralnya adalah x ={1, 3}


V = dxyb

a∫

2π

= dxx∫ −3

1

2)23(π

= dxxx∫ +−3

1

2 )4129(π

= 3

1

23 463 xxx +−π

= −+− )3(4)3(6)3(3{ 23

π))}1(4)1(6)1(3( 23 +−

= π}463125481{ −+−+−

= 8π ……………………………………...(b)



159

SOAL PENYELESAIAN 34. Volum benda putar yang terjadi jika

daerah yang dibatasi oleh kurva y = –x2 dan x + y + 2 = 0 diputar mengelilingi sumbu X sebesar 360º adalah … satuan volum.

a. 1332 π

b. 1452 π

c. 1532 π

d. 1752 π

e. 1832 π


Pada saat kedua kurva berpotongan maka y1 = y2 – x2 = –x – 2

x2 – y – 2 = 0 (x + 1)(x – 2) = 0 ⇒ x = {–1 , 2} Jadi, batas integralnya x = {–1 , 2}

(ii) volume benda putar

Kurva diputar mengelilingi sumbu X, maka Volume benda putar yang dibatasi oleh dua kurva tersebut adalah:

V = dxyyb

a∫ − )( 2

221π

= dxxx∫−

−−−−2

1

222 })2(){(π

= dxxxx∫−

++−2

1

24 )}44({(π

= dxxxx∫−

−−−2

1

24 }44{π

= 2

1

23315

51 42

−−−− xxxxπ

= −−−− )2(4)2(2)2()2({ 23315

51

π))}1(4)1(2)1()1(( 23315

51 −−−−−−−

= π}4288{31

51

38

532 −+−+−−−

= π}21{533 −

= π}216{53 −

= 5214− = 14

52 π…………………..…..(b)



160


daerah yang dibatasi oleh kurva y = x2–1 dan sumbu X dari x = 1, x = –1, diputar mengelilingi sumbu X sejauh 360º adalah … satuan volum.

a. 154 π

b. 158 π

c. 1516 π

d. 1524 π

e. 1532 π


(i) Batas Integral dari soal diketahui jika batas integralnya adalah x = {– 1, 1}


V = dxyb

a∫

2π

= dxx∫−

−1

1

22 )1(π

= dxxx∫−

+−1

1

24 )12(π

= 1

1

3325

51

−+− xxxπ

= −+− 1)1()1({ 3325

51

π))}1()1()1(( 3323

51 −+−−−

= π}11{32

51

32

51 +−++−

= π}2{34

52 +−

= π}{15

30206 +− = 1516 π…………………...(c)



161

SOAL PENYELESAIAN 36. Gambar berikut merupakan kurva dengan

persamaan y = x 2x3030− . Jika daerah yang diarsir diputar mengelilingi sumbu X, maka volum benda putar yang terjadi sama dengan … satuan volum

a. 6π b. 8π c. 9π d. 10π e. 12π


(i) Batas Integral Titik potong kurva dengan sumbu X diperoleh jika y = 0

y = x 2x3030−

0 = x 2x3030− 0 = x2(30 – 30x2) 0 = 30x2(1 – x2) 0 = 30x2(1 + x)(1 – x) ⇒ x = { – 1, 0, 1}

maka batas integralnya yaitu – 1 ≤ x ≤ 0 dan 0 ≤ x ≤ 1


Perhatikan gambar! karena V1 = V2, maka V = 2V1

V = dxyb

a∫

2π

= { } dxxx∫−

−0

1

2230302π

= dxxx∫−

−0

1

22 )}3030({2π

= dxxx∫−

−0

1

42 )3030(2π

= 0

1

53 6102−

− xxπ

= π2})1(6)1(10(0{ 53 −−−−

= π2)610( +−− = 8π……………...(c)



162


daerah yang dibatasi oleh kurva y = 2x dan parabola y = x2 diputar sejauh 360º mengelilingi sumbu X adalah … satuan volume

a. 532 π

b. 1564 π

c. 1552 π

d. 1548 π

e. 1532 π



Pada saat kedua kurva berpotongan maka y1 = y2 2x = x2

x2 – 2x = 0 x(x – 2) = 0 ⇒ x = {0 , 2}

Jadi, batas integralnya x = {0 , 2}


Kurva diputar mengelilingi sumbu X, maka Volume benda putar yang dibatasi oleh dua kurva tersebut adalah:

V = dxyyb

a∫ − )( 2

221π

= dxxx∫ −2

0

222 })()2{(π

= dxxx∫ −2

0

42 )4(π

= 2

0

5513

34 xx −π

= π)}0()2()2({ 5513

34 −−

= π}{532

332 −

= π15

96160− = 1564 ……………………..…..(b)



163

SOAL PENYELESAIAN 38. Volum benda putar yang terjadi karena

daerah yang dibatasi oleh sumbu X,

sumbu Y, dan kurva y = x4− diputar terhadap sumbu Y sejauh 360º, dapat dinyatakan dengan …

a. ∫ −π2

0

22)y4( dy satuan volume

b. ∫ −π2

0

2y4 dy satuan volume

c. ∫ −π2

0

2)y4( dy satuan volume

d. ∫ −π2

0

22)y4(2 dy satuan volume

e. ∫ −π2

0

2)y4(2 dy satuan volume

Kurva diputar mengelilingi sumbu Y, maka:

(i) Batas Integral • Titik potong kurva dengan sumbu Y

Kurva akan memotong sumbu Y jika x = 0

y = x4−

y = 04 − = 2 karena kurva dibatasi oleh sumbu X, maka batas integralnya 0 ≤ y ≤ 2


Kurva diputar mengelilingi sumbu Y, maka

y = x4− y2 = 4 – x x = 4 – y2

V = dyxb

a∫

2π

= dyy∫ −2

0

22)4(π ………………………(b)

39. Volum benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh kurva y = x2 + 1 dan y = 3 diputar mengelilingi sumbu Y sejauh 360º adalah … satuan volum. a. 2π

b. 2 21 π

c. 3π

d. 431 π

e. 5π


(i) Batas Integral • Titik potong kurva dengan sumbu Y

Kurva akan memotong sumbu Y jika x = 0 y = x2 + 1 y = 0 + 1 = 1 karena kurva dibatasi oleh garis y = 3, maka batas integralnya 1 ≤ y ≤ 3


Kurva diputar mengelilingi sumbu Y, maka y = x2 + 1 x2 = y – 1

V = dyxb

a∫

2π

= dyy∫ −3

1

)1(π

= 3

1

221 yy −π

= π)}1)1((3)3({ 2212

21 −−−

= π}13{ 21

29 +−− = 2π………………(b)



164

SOAL PENYELESAIAN 40. Volum benda putar yang terjadi karena

daerah yang dibatasi oleh parabola y = x2 dan y2 = 8x diputar 360º mengelilingi sumbu Y adalah … satuan volum.

a. 254 π

b. 354 π

c. 454 π

d. 554 π

e. 954 π



Pada saat kedua kurva berpotongan maka y1 = y2

x2 = x8 x4 = 8x x4 – 8x = 0 x(x3 – 8) = 0 ⇒ x = {0 , 2} karena

y = x2, maka y = {0, 4}

Jadi, batas integralnya y = {0 , 4} (ii) volume benda putar

y = x2 x2 = y

(y2 = 8x)2

x2 = 64

4y= 4

34

1y

Kurva diputar mengelilingi sumbu Y, maka Volume benda putar yang dibatasi oleh dua kurva tersebut adalah:

V = dyxxb

a∫ − )( 2

221π

= dyyy∫ −4

0

43

}4

1{π

= 4

0

53

221

54

1yy

⋅−π

= π)}0()4(54

1)4({ 5

32

21 −

⋅−

= π}8{5

16− = π}38{51−

= 454 π………………..…..(c)

Documents

17. Integral