175915625 Macs 10º Caderno Professor

N D I C E

INTRODUO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

APOIO AO PROFESSOR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

Programa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

Propostas de Planificaes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

Tema 1 Mtodos de Apoio Deciso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

Tema 2 Estatstica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

Tema 3 Modelos Matemticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

Sugestes de Resoluo de Algumas Actividades do Tema 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

Captulo 1 Teoria Matemtica das Eleies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

Captulo 2 Teoria da Partilha Equilibrada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

GUIO DE UTILIZAO DE BASES DE TRANSPARNCIAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

Bases de Transparncias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

Sugestes de Utilizao de Bases de Transparncias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

FICHAS DE TRABALHO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

SOLUES DAS FICHAS DE TRABALHO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

2 2 0 1 0 MATEMTICA APLICADA S CINCIAS SOCIAIS, 10.o ANO

O presente Caderno de Apoio do Professor que ir acompanhar o Manual da disciplina de Matemtica Aplicadas Cincias Sociais, para o Cientfico-Humanstico de Lnguas e Humanidades, pretende ser mais um auxiliar ao dis-por do professor que lhe facultar algumas propostas quer a nvel de organizao das aulas, quer a nvel de sugestesde actividades.

Assim, para um maior apoio ao professor apresentamos juntamente com o Manual, que j contm muitos evariados exemplos e actividades, na sua maioria relativos a situaes concretas da vida quotidiana, os seguintesmateriais:

Um conjunto de 13 bases de transparncias que os professores podem utilizar nas aulas. Apresentamos, nesteCaderno de Apoio, um guio com algumas sugestes de utilizao.

Um conjunto de fichas de trabalho/avaliao que podero ser policopiadas e trabalhadas individualmente, ouem grupo, na sala de aula, como actividade extra para consolidao dos contedos (por exemplo, como trabalhode casa) ou at mesmo como elemento de avaliao. A razo pela qual decidimos no incluir fichas globais pren-de-se com o facto de que cada grupo ou turma em geral, e cada aluno em particular, serem casos distintos e oritmo de trabalho e de aprendizagem ser muito varivel. Assim, o professor poder, com a variedade de exerc-cios e actividades propostas, criar as suas prprias fichas globais ou incluir apenas alguns exerccios dos dife-rentes temas.

Um Caderno de Exerccios com muitos e variados exerccios e actividades para consolidar conceitos e tcnicasde clculo.

Por se tratar de um programa bastante inovador e porque muitas das justificaes das actividades tm por baseraciocnios e no clculos, decidimos incluir neste Caderno de Apoio ao Professor algumas solues possveis relati-vamente ao Tema 1 Mtodos de Apoio Deciso, bem como sugestes de actividades que nos pareceram opor-tunas. Deste modo, o professor poder obter neste Caderno mais um apoio, que esperamos que seja importante, nasdiversas sugestes de resoluo apresentadas.

O Tema 1 Mtodos de Apoio Deciso e o Tema 3 Modelos Matemticos so tratados com assuntosmuito actuais e que fornecem inmeras opes de trabalho de campo, que incentivam investigao e ao espritode iniciativa dos estudantes.

O Tema 2 Estatstica tem contedos que podero ser facilmente aplicados em conjunto com os outros doistemas.

I N T R O D U O


Programa

O Programa da disciplina de Matemtica Aplicada s Cincias Sociais composto por trs temas que esto orga-nizados no manual da seguinte forma:

Tema 1: Mtodos de Apoio DecisoCaptulo 1 Teoria Matemtica das EleiesCaptulo 2 Teoria da Partilha Equilibrada

Tema 2: EstatsticaCaptulo 1 Estatstica

Tema 3: Modelos MatemticosCaptulo 1 Modelos Financeiros

excepo do Captulo 1 Teoria Matemtica das Eleies, que funciona como mdulo inicial, devendo, por isso,ser o primeiro assunto a abordar, todos os outros podem ser reordenados pelo Professor de acordo com as condiesem que trabalha, por forma a proporcionar um maior proveito aos seus alunos.

Propostas de Planificaes

Fazemos de seguida uma referncia aos objectivos da disciplina para cada tema bem como uma proposta de pla-nificao. Relembramos que 1 aula corresponde a 90 minutos.

Tema 1: Mtodos de Apoio Deciso

Captulo 1 Teoria Matemtica das Eleies (11 aulas)

Objectivos

Perceber como se contabilizam os mandatos em algumas eleies.

Perceber que os resultados podem ser diferentes se forem diferentes os mtodos de contabilizao.

Estudar situaes paradoxais.

Analisar algumas condies para se ter um sistema adequado.

Perceber que h limitaes melhoria dos sistemas.

A P O I O A O P R O F E S S O R


1. Apresentao dos objectivos do captulo, bem como da necessidade de uma Teoriadas Eleies

Discusso, com a turma, sobre a necessidade de uma Teoria dasEleies. Os alunos podero, discutir em grupo a actividade dapg. 8 e passar, posteriormente, as suas ideias turma.Dever ser feita uma pequena reviso de propores e percen-tagens visto ser um pr-requisito para este tema. Para isso,podem resolver-se os exerccios de aplicao 1 a 16 na pg. 30.

2

2. Sistema de votao maioritrio.Paradoxo de Condorcet

Aps a resoluo dos exemplos apresentados no manual (pgs.10 e 11), os alunos podero resolver (em grupo) as actividadespropostas (pgs. 10 e 11) e os exerccios de aplicao indicadosnas margens.

1

3. Sistema de votao preferencial

3.1 Mtodo da pluralidade Este mtodo muito simples pelo que pode dar-se algum

tempo para os alunos resolverem o exemplo da pg. 12 e che-garem eles prprios a essa concluso. Inicialmente, poderexistir alguma dificuldade na forma como apresentada ainformao (esquemas preferenciais) pelo que se pode sugerira passagem para uma tabela. Em seguida, podem resolver aactividade da pg. 13.

1

3.2 Mtodo run-off (simples e sequencial)

Os dois exemplos resolvidos so bastante clarificadores daaplicao e diferena entre estes dois mtodos. Em seguida, osalunos podem resolver a actividade da pg. 16; a ltima alneadesta actividade elucidativa da possibilidade de, com peque-nas alteraes, obter vencedores diferentes.

1

3.3 Mtodo de Borda

1

O Manual apresenta, nas pgs. 17 e 18 dois exemplos bastan-te elucidativos da aplicao deste sistema. Resoluo (emgrupo, por exemplo) da actividade proposta na pg. 18? e dis-cusso das concluses na aula. Podero ainda resolver-se osexerccios sugeridos nas margens.

3.4 Mtodo de Condorcet

1

O Manual apresenta na pg. 19 um exemplo bastante elucida-tivo da aplicao deste mtodo. A actividade da pg. 20 poderser uma proposta para um trabalho de grupo a apresentar emsala de aula.

4. Sistema de votao de aprovao

2

A discusso dos dois exemplos apresentados no Manual, napg. 14, evidenciam as vantagens deste sistema, conduzindo observao de uma propriedade. Podem resolver-se, em seguida,a actividade da pg. 25 do Manual e os exerccios de aplicaoindicados nas margens.

5. Actividades

2(*)

Podem discutir-se as actividades propostas pelo Professor oupelos alunos, ou ento consolidar os conceitos do captuloatravs da resoluo de exerccios, quer os propostos noManual, quer nas fichas fotocopiveis (Fichas 1 e 2), quer noCaderno de Exerccios.

Planificao

Contedos Sugestes N.o de aulas

(*) Estas aulas podero ser repartidas ao longo do captulo, sempre que o Professor considere oportuno uma aula, total ou parcialmente, dedi-cada resoluo de actividades/exerccios.


1. O que uma diviso equilibrada?

Podem discutir-se as actividades 1 a 5 propostas nas pgs. 34a 36 do Manual, que so sugestivas e que se prestam a dife-rentes interpretaes e resultados finais.

2

2. Os diferentes casos de partilhas Distino entre os tipos de partilha a estudar, com exemplossugeridos pelo Professor e pelos alunos: pode construir-se umesquema com exemplos de partilhas no caso discreto (divisojusta e proporcional) e partilhas no caso contnuo. Para isso, naaula anterior, o professor pode sugerir aos alunos que pesqui-sem na Internet e levem para a aula exemplos de testa men -tos/partilhas.

1

3. Partilhas no caso discreto Diviso justa

Aps uma breve referncia histrica, sugere-se a utilizao dabase de transparncia n.o 1, com a aplicao do algoritmo auma situao simples.

O Manual apresenta na pg. 38 um exemplo muito elucidativoe com explicao bastante pormenorizada da aplicao destemtodo. Os alunos podero, aps a resoluo deste exemplo,tentar resolver os exemplos seguintes. A actividade da pg. 42 uma oportunidade para desenvolver a comunicao matem-tica, pois o Professor pode pedir aos alunos que apresentem aresoluo sob a forma de composio, na qual expliquem todoo processo de partilha.

3.1 Mtodo do ajuste na partilha

1

3.2 Mtodo das licitaes secretas

Aps uma breve referncia histrica, sugere-se a utilizao dabase de transparncia n.o 2, com a aplicao do algoritmo auma situao simples.

O Manual apresenta na pg. 43 um exemplo muito elucidativoe com explicao bastante pormenorizada da aplicao destemtodo. Os alunos podero, aps a resoluo deste exemplo,tentar resolver os exemplos seguintes. A actividade da pg. 48 uma oportunidade para desenvolver a comunicao matem-tica, pois o Professor pode pedir aos alunos que apresentem aresoluo sob a forma de composio, na qual expliquem todoo processo de partilha. Podero tambm enriquecer o trabalhocom a utilizao de uma folha de clculo.

2


Captulo 2 Teoria da Partilha Equilibrada (32 aulas)

Objectivos

Familiarizar os estudantes com as dificuldades de uma partilha equilibrada.

Experimentar pelo menos um algoritmo numa situao real.

Comparar a aplicao de dois algoritmos que produzam resultados diferentes numa mesma situao.

Planificao

Continua


3.3 Mtodo dos marcadores O Professor pode comear por explicar brevemente as situa-es de aplicao deste mtodo, aproveitando o exemplo dabase de transparncia n.o 3.

O Manual apresenta na pg. 49 um exemplo muito elucidativoe com explicao bastante pormenorizada da aplicao destemtodo. Os alunos podero, aps a resoluo deste exemplo,tentar resolver os exemplos seguintes. A actividade da pg. 52 uma oportunidade para desenvolver a comunicao matem-tica, pois o Professor pode pedir aos alunos que apresentem aresoluo sob a forma de composio, na qual expliquem todoo processo de partilha.

1

4. Partilhas no caso discreto Diviso proporcional

Mtodo de Hondt

Acompanhar a aplicao dos passos do Mtodo de Hondt aoexemplo do Manual (pg. 54), passando depois ao exemplo,mais real, proposto na pg. 55 e resoluo, em grupo, da acti-vidade da pg. 57.

2

5. Mtodo de Hamilton Aps uma breve referncia histrica, sugere-se a utilizao dabase de transparncia n.o 4, com a posterior resoluo dosexemplos/ actividades propostos no Manual nas pgs. 58 e 59e dos exerccios de aplicao indicados nas margens.

2

6. Mtodo de Jefferson Aps uma breve referncia histrica, sugere-se a utilizao da

base de transparncia n.o 5, com a posterior resoluo dosexemplos/actividades propostos no Manual nas pgs. 60 e 61.

2

7. Mtodo de Adams Aps uma breve referncia histrica, sugere-se a utilizao dabase de transparncia n.o 6, com a posterior resoluo dosexemplos/actividades propostos no Manual nas pgs. 62 e 63e dos exerccios de aplicao indicados nas margens.

2

8. Mtodo de Webster Aps uma breve referncia histrica, sugere-se a utilizao dabase de transparncia n.o 7, com a posterior resoluo dosexemplos/actividades propostos no Manual na pg. 64 e dosexerccios de aplicao indicados nas margens.

2


Continua

Continuao

9. Mtodo de Huntington-Hill Aps uma breve referncia histrica, sugere-se a utilizao dabase de transparncia n.o 8, com a posterior resoluo dosexemplos/actividades propostos no Manual nas pgs. 65 e 66e dos exerccios de aplicao indicados nas margens.

2


Continuao

10. Partilhas no caso contnuo Mtodo do divisor nico

Para confrontar os alunos com a necessidade da existncia demtodos de partilha no caso contnuo, pode colocar-se dis-cusso (em grupo), por exemplo, a diviso de um bolo por dois,trs ou quatro pessoas (relembrar a actividade da pg. 34).Sugere-se, em seguida, a utilizao da base de transparncian.o 9, com a posterior resoluo da actividade proposta noManual na pg. 68 e dos exerccios de aplicao indicados nasmargens.

2

11. Mtodo do seleccionadornico

Sugere-se a utilizao da base de transparncia n.o 10, com aposterior resoluo da actividade proposta no Manual na pg. 69e dos exerccios de aplicao indicados nas margens.

1

12. Mtodo do ltimo a diminuir Sugere-se a utilizao da base de transparncia n.o 11 com a pos-terior resoluo da actividade proposta no Manual na pg. 69 edos exerccios de aplicao indicados nas margens.

1

13. Mtodo livre de inveja Sugere-se a utilizao da base de transparncia n.o 12, com aposterior resoluo da actividade proposta no Manual na pg.70 e dos exerccios de aplicao indicados nas margens.

2

14. Actividades Podem discutir-se actividades propostas pelo Professor oupelos alunos, ou ento consolidar os conceitos do captuloatravs da resoluo de exerccios, quer os propostos no Manual (exerccios de aplicao e exerccios gobais), queras fichas fotocopiveis (Fichas 7 e 8), quer os do Caderno de Exer ccios.

8(*)




1. Interpretao de tabelas e grficos atravs de exemplos

Podem ser resolvidas as actividades das pgs. 90-96 do Manuale at solicitar aos alunos a procura de grficos e tabelas (em jor-nais, revistas, Internet, etc.) para serem analisados na aula, oucomo trabalho de casa, e para posterior apresentao/discus-so. Podero ser realizadas as fichas fotocopiveis 10 e 11.

5

2. Planeamento e aquisio de dados. Questes ticas relacionadas com as experimentaes

Os alunos podero efectuar, logo de incio, recolhas de dados,atravs de inquritos dentro da sala de aula, e organiz-los deforma a poderem ser utilizados posteriormente. Sugere-se aresoluo das actividades da pg. 98 do Manual.

2


Tema 2: Estatstica

Captulo 1 Estatstica (40 aulas)

Objectivos

Familiarizar os alunos com a leitura e interpretao da informao transmitida atravs de tabelas e grficos. Apresentar as ideias bsicas dos processos conducentes recolha de dados vlidos. Fazer sentir a necessidade de tornar aleatrios os processos de recolha de dados. Fazer sentir a necessidade de organizar os dados de forma a fazer sobressair a informao neles contida. Fazer sentir a necessidade de alguma metodologia na organizao dos dados. Habilitar os alunos na utilizao de ferramentas mais adequadas para o tratamento dos diferentes tipos de dados. Ensinar a fazer uma leitura adequada dos grficos. Apresentar medidas que, tal como as representaes grficas, permitem reduzir a informao contida nos dados. Apresentar um modo eficaz de visualizar a associao entre duas variveis. Saber interpretar o tipo e a fora com que duas variveis se associam. Ensinar a sumariar a relao linear existente entre duas variveis atravs de uma recta. Apresentar uma medida que, alm de indicar a fora com que duas variveis se associam linearmente, tam-

bm d indicao da correco do ajustamento linear. Apresentar um modo eficaz de organizar informao de tipo qualitativo. Chamar a ateno para a utilizao incorrecta que por vezes se faz da leitura de percentagens a partir de tabelas.

Planificao

Continua

3. Aplicao e concretizao dos processos anteriormentereferidos na elaborao de alguns pequenos projectoscom dados recolhidos na escola, com construo de tabelas e grficos simples

Os inquritos que os alunos aprenderam a elaborar e a aplicar dentroda sala de aula podero ser agora modificados de forma a serem uti-lizados fora da aula. A primeira destas trs aulas poder ser dedica-da diviso da turma em grupos de trabalho, escolha do estudoestatstico que cada grupo vai desenvolver e a delinear cada fase dotrabalho (nomeadamente a elaborao do inqurito a aplicar). Nasrestantes duas aulas, os alunos procedero ao tratamento dos dadosrecolhidos atravs dos inquritos.

3


Continuao

4. Classificao de dados. Construo de tabelas de frequncia

Sugere-se a observao atenta dos exemplos das pgs. 100-102do Manual com a posterior resoluo das actividades com elesrelacionadas e dos exerccios de aplicao indicados nas mar-gens. A calculadora poder ser uma ptima ferramenta nestasaulas.

3

5. Representaes grficas adequadas para cada um dos tipos considerados

Sugere-se a observao atenta dos exemplos das pgs. 104-113do Manual, com a posterior resoluo das actividades com elesrelacionadas e dos exerccios de aplicao indicados nas mar-gens. A calculadora poder ser uma ptima ferramenta nestasaulas.

5

6. Clculo de estatsticas: Medidas de localizao Medidas de disperso

Sugere-se a observao atenta dos exemplos das pgs. 115-137do Manual, com a posterior resoluo das actividades com elesrelacionadas e dos exerccios de aplicao indicados nas mar-gens. Sugere-se a utilizao da base de transparncia n.o 13para apoio na compreenso e resoluo de exerccios sobre adistribuio normal. A calculadora poder ser uma ptima ferra-menta nestas aulas.

8 (4 + 4)

7. Actividades Sugere-se uma pausa de trs aulas, nas quais se podero consoli-dar os conceitos, introduzidos at este ponto, atravs da resoluode exerccios, quer propostos no Manual (exerccios de aplicao eexerccios globais), quer nas fichas fotocopiveis (Ficha 12), quer noCaderno de Exerccios.

3

8. Introduo grfica anlise de dados bivariados quantitativos

Sugere-se a observao atenta dos exemplos das pgs. 138-142do Manual, com a posterior resoluo das actividades com elesrelacionados.

2

9. Modelos de regresso linear Sugere-se a observao atenta dos exemplos das pgs. 143-152 doManual, com a posterior resoluo das actividades relacionadas. A calculadora poder ser uma ptima ferramenta nestas aulas.

4

10. Tabelas de contingncia Sugere-se a observao atenta dos exemplos das pgs. 152-153 doManual, com a posterior resoluo das actividades relacionadas. A calculadora poder ser uma ptima ferramenta nestas aulas.

1

11. Actividades Podem discutir-se as actividades propostas pelo Professor ou pelosalunos, ou ento consolidar os conceitos do Tema atravs da resoluo de exerccios, quer os propostos no Manual (exercciosde aplicao e exerccios Globais), quer no Caderno de Exerc-cios.

4(*)




Antes da elaborao dos inquritos deve haver uma definio exacta da informao que necessrio obter.Na construo do inqurito devem ter-se em ateno os seguintes aspectos:

Recolha de toda a informao necessria ao estudo.

Formulao de questes claras e objectivas (cada questo deve possibilitar uma nica interpretao).

Questes de resposta fechada.

Poucas alternativas de resposta (cerca de quatro o ideal), mas que abranjam vrias escolhas (para garantir que, qual-quer que seja a situao do inquirido, exista uma alternativa em que este se enquadre).

Normas para a elaborao de um inqurito

Como j sugerimos na planificao, no incio do estudo da Estatstica os alunos deveriam elaborar um inquritoque contenha algumas variveis a serem estudadas como, por exemplo, a idade, o peso, a altura, o gnero sexual, acor dos olhos, idade dos pais, nmero de irmos, tempo gasto diariamente em transportes, distncia de casa escola,entre outras.

Assim, o Professor poder fornecer aos alunos algumas normas para a elaborao de inquritos.

Tema 3: Modelos Matemticos

Captulo 1 Modelos Financeiros (10 aulas)

Objectivos

Familiarizar os estudantes com alguns problemas do domnio financeiro.

Recordar tcnicas e conceitos matemticos j abordados no ensino bsico.

Identificar a matemtica utilizada em situaes realistas.

Desenvolver competncias sociais de interveno tomar conhecimento dos mtodos utilizados pelas institui-es (pblicas e privadas) que influenciam a vida dos cidados, ganhar capacidade para construir e criticaropes e utilizar o conhecimento para decidir sobre opes individuais.

Desenvolver competncias de clculo e de seleco de ferramentas adequadas a cada problema: calculadora,computador e folha de clculo.


1. Impostos Sugere-se a observao atenta dos exemplos das pgs. 176,179 e 183 do Manual, com a posterior resoluo das activida-des propostas e dos exerccios de aplicao indicados nasmargens. A calculadora e a folha de clculo so ferramentasimportantes nesta aula.

1

2. Inflao Sugere-se a observao atenta do exemplo da pg. 185 doManual, com a posterior resoluo das actividades e dos exer-ccios de aplicao indicados nas margens. A calculadora e afolha de clculo so ferramentas importantes nesta aula.

1

3. Actividade bancria Sugere-se a observao atenta dos exemplos das pgs. 187 -

-203 do Manual, com a posterior resoluo das actividades edos exerccios de aplicao indicados nas margens. A calcula-dora e a folha de clculo so ferramentas im por tantes nestasaulas.

3

4. Aluguer ou compra Sugere-se a resoluo das actividades das pgs. 204 e 205 doManual e de exerccios do Caderno de Exerccios. A calculado-ra e a folha de clculo so ferramentas importantes nesta aula.

1

5. Tarifrios Sugere-se a resoluo dos exemplos/actividades das pgs. 206--209 do Manual e de exerccios do Caderno de Exerccios. 1

6. Apresentao de trabalhos de investigao de modelosenvolvendo juros elaboradospelos alunos

Os alunos procedem apresentao dos trabalhos de investiga-o por eles elaborados (em grupo ou individualmente). Sugere--se que, se for um trabalho de grupo, a apresentao dever serfeita por todos os elementos do grupo (isto , cada elementodever ter a responsabilidade da apresentao de uma parte dotrabalho).

1

7. Actividades Podem discutir-se as actividades propostas pelo professor oupelos alunos e/ou consolidar os conceitos do tema atravs daresoluo dos exerccios propostos no Manual (exerccios deaplicao e exerccios globais) e no Caderno de Exerccios.

2(*)



Planificao


Sugestes de Resoluo de Algumas Actividades do Tema 1

Tal como referido, apresentamos em seguida algumas sugestes de resoluo de actividades do Tema 1 Mtodos de Apoio Deciso, por ser aquele que envolve alguns raciocnios matemticos diferentes daqueles comque alunos e professores esto mais familiarizados.

Captulo 1 Teoria Matemtica das Eleies

Actividade 1 (pg. 8)

Os alunos devem trabalhar em grupo e justificar as suas decises.As respostas mais provveis so que se B e C se juntam, ganham por maioria absoluta. Caso contrrio, ganhar

a lista A por maioria relativa. E h sempre a hiptese de se repetir a eleio.


1.1 Votaram 150 + 120 = 270 pessoas .

1.2 A percentagem de votos obtida pelo Jorge foi 12

57

00 100 = 55,56% .

A percentagem de votos obtida pelo Carlos foi 122700 100 = 44,44% .

1.3 O vencedor o Jorge, por maioria absoluta.

1.4 Votos do Paulo: 270 (125 + 85) = 60 .

1.5 A percentagem de votos obtida pelo Jorge foi 12

27

50 100 = 46,3% .

A percentagem de votos obtida pelo Carlos foi 28750 100 = 31,48% .

A percentagem de votos obtida pelo Paulo foi 26700 100 = 22,22% .

1.6 O vencedor o Jorge.

1.7 No, porque nenhum dos candidatos obteve, pelo menos, metade de todos os votos, mais um.


Nesta actividade, pedido aos alunos que elaborem um relatrio.O Professor dever dar-lhes indicaes sobre o modo como se elabora um relatrio.


Poder ser dada uma ficha como a que se segue:

Sugere-se que o relatrio seja subdividido em partes que envolvam os seguintes tpicos:

1) Formulao do problema

2) Metodologia utilizada

Nesta parte do relatrio deve ser feita uma descrio do procedimento utilizado, ou seja, as tcnicas de reco-lha de dados adoptadas, o modo como foi seleccionada a amostra, qual a extenso da amostra, etc.

3) Resultados

Deve ser feita a descrio dos dados usando tabelas ou grficos, e a anlise e interpretao dos resultados.

4) Concluses e sugestes

O Professor, na avaliao do relatrio, dever observar os seguintes itens:

Organizao do trabalho Clareza de raciocnio

Descrio e justificao dos procedimentos utilizados Correco da linguagem utilizada

Correco dos conceitos matemticos envolvidos Criatividade

Na elaborao de um relatrio deve ter em conta os seguintes aspectos:

Identificao do aluno ou do grupo de trabalho. Resultados obtidos.

Ttulo. Concluses.

Formulao do problema. Sugestes.

Metodologia utilizada. Bibliografia consultada.

Guio para a elaborao de um relatrio

Poder utilizar uma grelha de avaliao como a que se segue:

Organizao 2

6

4

3

3

2

Descrio e justificaoda metodologia

Correco dos conceitosmatemticos

Clareza de raciocnio

Correco da linguagem

Criatividade

PontuaoEDCBA

ItensGrupos



3.1 Facilmente se faz a contagem de primeiros lugares de cada candidato:

A: 3 + 8 = 11 votos

B: 14 votos

C: 13 votos

D: 6 votos

3.2 o candidato B, pois aquele que tem maior percentagem de primeiros lugares, como podemos constatar:

A: 14

14 100 = 25%

B: 14

44 100 31,8%

C: 14

34 100 29,6%

D: 464 100 13,6%

B: 6 + 8 + 14 = 28 votos

C: 3 + 13 = 16 votos

Vence o candidato B.

14

Votos

13863Preferncias

1.a A D A C B

2.a D B B A C

3.a C A C D A

4.a B C D B D


4.14.1.1 Por run-off simples, procedemos, logo de incio, eliminao de todos os candidatos, excepto os dois

que obtiveram maior nmero de primeiros lugares; assim, eliminam-se os candidatos A e D. Faz-se novacontagem, agora apenas com os candidatos B e C:


4.1.2 Por run-off sequencial, eliminamos primeiro o candidato D, pois o que tem menor nmero de primeiroslugares:

14

Votos

13863Preferncias

1.a A D A C B

2.a D B B A C

3.a C A C D A

4.a B C D B D

Em seguida, reorganiza-se a tabela:

14

Votos

13863Preferncias

1.a A B A C B

2.a C A B A C

3.a B C C B A

14

Votos

13863Preferncias

1.a A B A C B

2.a C A B A C

3.a B C C B A

e procedemos a nova contagem:

A: 3 + 8 = 11 votos

B: 6 + 14 = 20 votos

C: 13 votos

O candidato A eliminado:


14

Votos

13863Preferncias

1.a C B B C B

2.a B C C B C

Agora, a tabela tem apenas dois candidatos:

sendo agora a contagem:

B: 6 + 8 + 14 = 28 votos e C: 3 + 13 = 16 votos


Verifiquemos:

Mtodo da pluralidade

Faamos a contagem de primeiras preferncias de cada candidato:

A: 3 + 8 = 11 votos B: 14 votos C: 13 votos D: 6 votos


Mtodo run-off simples

Eliminam-se os candidatos A e D:

4.2 Com duas pequenas alteraes nos esquemas de preferncia, podemos obter vencedores diferentes por apli-cao dos diferentes mtodos:

A

D

C

B

3 votos

D

A

B

C

6 votos

A

C

B

D

8 votos

C

A

D

B

13 votos

B

C

A

D

14 votos

14

Votos

13863Preferncias

1.a A D A C B

2.a D A C A C

3.a C B B D A

4.a B C D B D


14

Votos

13863Preferncias

1.a C B C C B

2.a B C B B C

Reorganiza-se a tabela:

Agora a contagem :

B: 6 + 14 = 20 votos e C: 3 + 8 + 13 = 24 votos

Vence o candidato C.

e procedemos a nova contagem:

A: 3 + 6 + 8 = 17 votos B:14 = 14 votos C:13 votos

Reorganiza-se a tabela:

Mtodo run-off sequencial

O candidato D eliminado:

14

Votos

13863Preferncias

1.a A A A C B

2.a C B C A C

3.a B C B B A

14

Votos

13863Preferncias

1.a A D A C B

2.a D A C A C

3.a C B B D A

4.a B C D B D


14

Votos

13863Preferncias

1.a A A A A B

2.a B B B B A

O candidato C eliminado:

Agora, a tabela tem apenas dois candidatos:

A contagem agora:

A: 3 + 6 + 8 + 13 = 30 votos e B: 14 votos

Vence o candidato A.

Obtemos, assim, vencedores diferentes (B, C e A) usando os diferentes mtodos. Os alunos podem verificar quepequenas alteraes nas preferncias dos eleitores podem provocar alteraes nos vencedores de uma eleio.


Esta actividade pode ser resolvida individualmente por cada aluno ou pode ser aproveitada para um trabalho degrupo que os alunos preparem e, eventualmente, apresentem aos colegas. Podero usar uma folha de clculo para acontagem das pontuaes com as diferentes escalas escolhidas.

14

Votos

13863Preferncias

1.a A A A C B

2.a C B C A C

3.a B C B B A



Vamos fazer a comparao das votaes dos candidatos dois a dois:

No h vencedor de Condorcet, pois, quando confrontados dois a dois, nenhum candidato vence todos os outros.

A e B: Vence B

A: 7 + 12 + 25 = 44 votos

B: 18 + 20 + 23 = 61 votos

A e C: Vence C

A: 7 + 12 + 25 = 44 votos

C: 18 + 20 + 23 = 61 votos

A e D: Vence D

A: 7 + 12 + 20 = 39 votos

D: 18 + 23 + 25 = 66 votos

A e E: Vence E

A: 7 + 12 + 18 = 37 votos

E: 20 + 23 + 25 = 68 votos

B e C: Vence C

B: 20 votos

C: 7 + 12 + 18 + 23 + 25 = 85 votos

B e D: Vence D

B: 12 + 18 + 20 = 50 votos

D: 7 + 23 + 25 = 55 votos

B e E: Vence B

B: 7 + 12 + 18 + 20 + 23 = 80 votos

E: 25 votos

C e D: Vence D

C: 12 + 18 + 20 = 50 votos

D: 7 + 23 + 25 = 55 votos

C e E: Vence C

C: 7 + 12 + 18 + 20 + 23 = 80 votos

E: 25 votos

D e E: Vence E

D: 7 + 18 + 23 = 48 votos

E: 12 + 20 + 25 = 57 votos



Apresentamos um exemplo, com seis candidatos e 80 eleitores, em que poderemos obter vencedores diferentesou, at, nenhum vencedor (como veremos no caso do mtodo de Condorcet).

8

Votos

14 10151617Preferncias

1.a B C E D F F

2.a C D D E D C

3.a F E A C E D

4.a D B B F B A

5.a A A F A C E

6.a E F C B A B

8

Votos


1.a B C E D F F

2.a C D D E D C

3.a F E B C E D

4.a D B F F B E

5.a E F C B C B

Mtodo da pluralidade

Faamos a contagem do nmero de primeiros lugares de cada candidato:

A: 0 votos C: 16 votos E: 15 votos

B: 17 votos D: 14 votos F: 10 + 8 = 18 votos

Vence o candidato F.

Mtodo run-off simples

Eliminam-se todos os candidatos, excepto os dois que tm maior nmero de primeiros lugares, isto , A, C, D e E.

Mtodo run-off sequencial

Elimina-se o candidato com menor nmero de primeiros lugares, o candidato A, e reorganiza-se a tabela:


Faz-se nova contagem:

B: 17 votos

C: 16 votos

D: 14 votos

E: 15 votos

F: 10 + 8 = 18 votos

Elimina-se, agora, o candidato D e reorganiza-se a tabela:

Mais uma vez, faz-se a contagem:

B: 17 votos

C: 16 votos

E: 15 + 14 = 29 votos

F: 10 + 8 = 18 votos

Sai, agora, o candidato C:

8

Votos


1.a B C E E F F

2.a C E B C E C

3.a F B F F B E

4.a E F C B C B

8

Votos


1.a B E E E F F

2.a F B B F E E

3.a E F F B B B


A contagem final :

E: 16 + 15 + 14 = 45 votos

F: 17 + 10 + 8 = 35 votos

O candidato E o vencedor.

Mtodo de Borda

Atribuindo 6 pontos primeira preferncia, 5 segunda, e 1 ponto ltima preferncia, vamos fazer a conta-gem dos pontos de cada um dos candidatos:

A: 47 2 + 15 4 + 10 + 8 3 = 188

B: 17 6 + 41 3 + 22 = 247

C: 25 5 + 16 6 + 15 + 14 4 + 10 2 = 312

D: 17 3 + 41 5 + 14 6 + 8 4 = 372

E: 17 + 26 4 + 15 6 + 14 5 + 8 2 = 297

F: 17 4 + 16 + 15 2 + 14 3 + 18 6 = 264

O vencedor o candidato D.

A contagem agora:

B: 17 votos

E: 16 + 15 + 14 = 45 votos

F: 10 + 8 = 18 votos

a vez de sair o candidato B e de os dois ltimos candidatos disputarem o primeiro lugar:

8

Votos


1.a F E E E F F

2.a E F F F E E


No existe vencedor de Condorcet porque nenhuma alternativa vence todas as outras em confronto directo (no entanto, para C vencer esta eleio, por este mtodo, bastava que vencesse B).

Mtodo de Condorcet

Vamos confrontar os candidatos dois a dois, verificando o nmero de votos obtido por cada um, em cada caso:

A e B: Vence B

A: 15 + 14 + 8 = 37 votos

B: 17 + 16 + 10 = 43 votos

A e C: Vence C

A: 15 votos

C: 17 + 16 + 14 + 10 + 8 = 65 votos

A e D: Vence D

A: 0 votos

D: 80 votos

A e E: Vence E

A: 17 + 8 = 25 votos

E: 16 + 15 + 14 + 10 = 55 votos

A e F: Vence F

A: 16 + 15 = 31 votos

F: 17 + 14 + 10 + 8 = 49 votos

B e C: Vence B

B: 17 + 15 + 10 = 42 votos

C: 16 + 14 + 8 = 38 votos

B e D: Vence D

B: 17 votos

D: 16 + 15 + 14 + 10 + 8 = 63 votos

B e E: Vence E

B: 17 votos

E: 16 + 15 + 14 + 10 + 8 = 63 votos

B e F: Vence B

B: 17 + 16 + 15 = 48 votos

F: 14 + 10 + 8 = 32 votos

C e D: Vence C

C: 17 + 16 + 8 = 41 votos

D: 15 + 14 + 10 = 39 votos

C e E: Vence C

C: 17 + 16 + 8 = 41 votos

E: 15 + 14 + 10 = 39 votos

C e F: Vence C

C: 17 + 16 + 14 = 47 votos

F: 15 + 10 + 8 = 33 votos

D e E: Vence D

D: 17 + 16 + 14 + 10 + 8 = 65 votos

E: 15 votos

D e F: Vence C

D: 16 + 15 + 14 = 45 votos

F: 17 + 10 + 8 = 35 votos

E e F: Vence E

E: 16 + 15 + 14 = 45 votos

F: 17 + 10 + 8 = 35 votos


Captulo 2 Teoria da Partilha Equilibrada


Um processo de resoluo poder ser:

1.1 A melhor soluo para a diviso do bolo entre dois amigos, sem discusses, a seguinte: um divide, o outro escolhe!Se assim for, nenhum se pode queixar: o que divide o bolo vai faz-lo da melhor maneira possvel, pois sabe queno ser ele o primeiro a escolher; o outro tambm no, pois ele quem escolhe.

1.2 No caso dos trs amigos, a soluo semelhante, mas mais elaborada.Consideremos trs amigos A, B e C:

A divide o bolo em trs partes que ele considera iguais (I, II e III).

B escolhe uma das partes. Suponhamos que I.

A no pode protestar pois, para ele, as partes eram iguais.

Se C no protestar, B tira a parte I e C escolhe entre II e III. A fica com a parte que sobra.

Se C protestar (por lhe parecer que I maior), escolhe entre II e III a parte com que A deve ficar. Depois Be C dividem novamente o conjunto das duas partes restantes com o mtodo anteriormente utilizado paradois amigos.

1.3 Vamos ver o caso de cinco amigos.Consideremos cinco amigos A, B, C, D e E:

A parte uma fatia do bolo que lhe parea ser a quinta parte.

Se B achar o bocado grande, tira-lhe um bocado para juntar ao resto do bolo. Seno passa a vez a C.

C pode passar a vez ou diminuir ainda mais a parte cortada por A.

D e E procedem da mesma forma.

No fim desta 1.a volta, o ltimo que retirou alguma coisa da parte inicialmente cortada por A. Se ningumreduzir o bocado cortado por A, A fica com ele.

Os quatro restantes tornam a proceder como no incio, comeando agora um deles por partir uma parte quelhe parea 1/4 do bolo.

No fim da 2.a volta restam trs amigos e o resto do bolo. Podem continuar seguindo o caso dos trs amigosque vimos em 1.2 ou seguir at atingir o caso de dois amigos e utilizar o processo descrito em 1.1.


Este exemplo importante porque o nmero de alunos de cada nvel considerado a integrar a comisso no umnmero natural, servindo para os alunos sentirem a necessidade da existncia de mtodos que lhes permitam ultra-passar esse problema.


O viajante que tinha contribudo com maior nmero de pes justificou-se dizendo que, durante a viagem, quandotinham fome, ele tirava um po que partia em trs pedaos, dando um a cada um.

Assim:

o viajante 1, que contribuiu com 5 pes, deu 15 pedaos;

o viajante 2, que contribuiu com 3 pes, deu 9 pedaos, num total de 24 pedaos de po, que a dividir pelos 3viajantes d 8 pedaos a cada um.

Ento:

o viajante 1 comeu 8 pedaos e deu 7 (pois a este pertenciam 15 dos 24 pedaos) deve receber 7 moedas;

o viajante 2 comeu 8 pedaos e deu 1 (pois a este pertenciam 9 dos 24 pedaos) deve receber 1 moeda;

o viajante 3, que se juntou aos dois anteriores na viagem, comeu 7 (dados pelo viajante 1) mais 1 (dado peloviajante 2) o que d tambm 8 pedaos de po.

3.o Ciclo

307 ------------- 1000x ------------- 20x = 6,14

10.o Ano

284 ------------- 1000x ------------- 20x = 5,68

11.o Ano

227 ------------- 1000x ------------- 20x = 4,54

12.o Ano

182 ------------- 1000x ------------- 20x = 3,64


Os alunos podero fazer a composio da comisso de vrios modos. Talvez o mais natural utilizarem uma pro-poro:


Justificao do dono da hospedaria para receber 28 dinares:

ou seja, 12000 = 14

x0 x = 28 dinares .

100 dinares 20 dinares


14 10 = 140 dinares 14 2 = 28 dinares

Valor da Venda Valor da Hospedagem


Justificao do vendedor de jias para pagar 24,5 dinares:

ou seja, 23050 = 14

x0 x = 24,5 dinares.

Justificao do calculista para o pagamento de 26 dinares:


20 dinares 3,5 dinares

7 20 = 140 dinares 7 3,5 = 24,5 dinares


35 dinares

20 dinares

15 dinares

Valor da Hospedagem

200 dinares

100 dinares

100 dinaresDiferena

Valor da Hospedagem

Ou seja, a um acrscimo de 100 dinares na venda das jias corresponde um acrscimo de 15 dinares na hospeda-gem. E se o acrscimo na venda for de 40 dinares?

Para um acrscimo na venda de 20 dinares = 1050 o acrscimo na hospedagem seria de 3 dinares = 15

5.

Ento, se o acrscimo na venda das jias for de 40 dinares, o acrscimo na hospedagem dever ser

de 6 dinares (2 3), isto , = x = 6 dinares (acrscimo). Portanto, o vendedor de jias deveria

pagar 20 + 6 = 26 dinares .

Claro que todos estes diferentes valores (24,5; 26 e 28 dinares) se devem falta de proporcionalidade entre os ele-mentos do problema, isto :

40

x10015


200 dinares 35 dinares (deveria ser 40 para haver proporcionalidade)



Os trs irmos ficaram satisfeitos por receberem mais do que o inicialmente previsto e como 18 + 12 + 4 = 34,sobram dois camelos: o do calculista e um outro que os irmos lhe oferecem em sinal de agradecimento.

Existe um problema idntico, mas em que o nmero de camelos 17. A diviso feita do mesmo modo, acres-centando um camelo aos 17 e no final sobrar apenas o camelo que foi acrescentado. Se o nmero de camelosaumentar para 53, o processo de diviso idntico, utilizando o mesmo artifcio, mas sobram 3 camelos.

Partilha no Caso Discreto Diviso Justa


Comecemos por atribuir (provisoriamente), a cada uma das partes, os itens que cada um mais valorizou:

H penso e casa: 75 pontos M custdia: 65 pontos

Como H tem mais pontos, temos de fazer transferncia de pontos de H para M. Vamos calcular as razes entre ospontos distribudos por H e M, relativamente aos itens que H detm, visto ser este quem tem maior nmero de pontos:

Penso: r1 = 62

05 = 2,4 Casa: r2 =

11

50 = 1,5


So 35 camelos a dividir por trs irmos da seguinte forma:

o irmo mais velho deveria receber 12 35 = 17,5 camelos

o irmo do meio deveria receber 13 35 = 11,6(6) camelos

o irmo mais novo deveria receber 19 35 = 3,(8) camelos

No entanto, 12 35 + 1

3 35 + 1

9 35 = 5

1985 = 33 +

118 35 camelos ou seja, sobram 1 + 1

178

camelos! Assim, cada irmo poder receber mais do que estava inicialmente previsto.

O que o calculista fez foi juntar o seu camelo aos 35 dos trs irmos fazendo a partilha dos 36 camelos assim obti-dos. Ento:

o irmo mais velho recebeu 12 36 = 18 camelos

o irmo do meio recebeu 13 36 = 12 camelos

o irmo mais novo recebeu 19 36 = 4 camelos


Uma vez que 1,5 < 2,4, vamos transferir pontos relativamente casa. Se transferssemos a totalidade dos pontosrelativos a este item, a situao invertia-se; ento, temos de calcular a percentagem de pontos a transferir. Seja p aproporo de pontos de H relativamente casa; para M ser 1 p.

Assim:

160 + 15p = 65 + 10 (1 p)

15p + 10p = 75 60

25p = 15

p = 12

55

p = 0,6

Ento, no final:

M: custdia e 40% da casa

H: Penso e 60% da casa

e quanto ao nmero de pontos, este igual, como se pretendia:

M: 65 + 10 0,4 = 69 pontos

H: 60 + 15 0,6 = 69 pontos


Podemos organizar os dados numa tabela, calculando sucessivamente:

o valor total dos bens para cada interveniente;

o valor que cada um considera ser justo (J);

quais (ou qual) os bens atribudos a cada amigo;

o valor dos bens atribudos a cada um (B);

a diferena entre o valor justo e o valor dos bens atribudos (J B) vai ditar o que cada um dos amigos recebeou paga (em dinheiro);

calcula-se o montante disponvel (Md ) e divide-se igualmente pelos quatro;

acertam-se os valores em dinheiro a receber ou a pagar no final de todo o processo de partilha.


Vejamos:

Com toda a informao agora disponvel podemos concluir que:

Abel: Fica com o frigorfico e paga 54,06 euros; Jos: Fica com a mquina de lavar loia e recebe 25,94 euros;

Ivo: Fica com o LCD e paga 15,31 euros; Raul: Fica com a mquina de lavar roupa e recebe 43,44 euros.

Os Mdicos

Preferncias

170 210 200 180LCD

120 140 150 135Mquina loia

140 125 100 155Mquina roupa

250 200 150 220Frigorfico

680 675 600 690Total

170 168,75 150 172,5J

Frigorfico LCD Mquina loia Mquina roupaBens atribudos

250 210 150 155B

80 (paga)

41,25 (paga

0(no paga nem recebe)

17,5 (recebe)

J B

80 + 41,25 17,5 = 103,75 eurosMd

25,94 25,94 25,94 25,94Md /4

Paga54,06 euros

Paga15,31 euros

Recebe25,94 euros

Recebe43,44 euros

Final

Abel Ivo Jos Raul

Tambm podemos sugerir aos alunos a utilizao de uma folha de clculo na resoluo desta actividade; pode serum trabalho de grupo, com apresentao posterior em sala de aula para desenvolver tambm a capacidade de comu-nicao matemtica. Fica aqui uma sugesto de parmetros a avaliar no caso do trabalho de grupo:

P1 Envolvimento e participao dos elementos do grupo na apresentao.

P2 Apresentao esttica do trabalho.

P3 Clareza nos contedos abordados.

P4 Utilizao de uma linguagem matemtica correcta e adequada.

P4 Resoluo correcta do problema.

P5 Nvel de desenvolvimento do trabalho.

Segue-se uma possvel grelha de registo:

Na linha (1), o Professor poder avaliar cada um dos parmetros do Grupo I, do qual fazem parte os alunos cujosnomes podem ser registados em (2). No final das apresentaes, o Professor poder pedir a cada aluno a sua auto-- avaliao e regist-la na linha onde registou o nome do aluno.


3.1 Vamos organizar numa tabela os segmentos definidos por cada uma das sobrinhas da tia Gui:


ObservaesP5 P6 MdiaP3 P4P2P1

Grupo I (1)

(2)

(2)

(2)

5.o Segmento4.o Segmento3.o Segmento2.o Segmento1.o Segmento

Tnia 1 4 5 11 12 14 15 17 18 20

Sofia 1 5 6 9 10 12 13 16 17 29

Vanda 1 2 3 5 6 10 11 14 15 20

Xana 1 2 7 8 9 10 19 20

Zita 1 3 4 8 9 13 14 18 19 20

3.2 Observando a fila das casinhas, o primeiro marcador XX1; ento, a prima Xana fica com o segmento 1 e reti-ram-se os seus outros marcadores. Procuramos em seguida os segundos marcadores das restantes raparigas; o primeiro a surgir VV2. A primaVanda fica com o segmento entre VV1 e VV2 (3 5) e retiram-se os seus outros marcadores.Iniciamos a procura dos terceiros marcadores, sendo SS3 o primeiro a aparecer. A prima Sofia fica com as casi-nhas entre SS2 e SS3, a que corresponde o segmento 10 12 e retiram-se os seus outros marcadores.Dos quartos marcadores, TT4 o primeiro a surgir. A prima Tnia retira-se com o segmento entre TT3 e TT4(15 17).Por fim, a prima Zita fica com o segmento 19 20.

A distribuio das casinhas pelas quatro primas a seguinte: Sofia: casinhas nmeros 10, 11 e 12; Xana: casinha nmero 1; Tnia: casinhas nmeros 15, 16 e 17; Zita: casinhas nmeros 19 e 20. Vanda: casinhas nmeros 3, 4 e 5;

3.3 Sobram as casinhas nmeros 2, 6, 7, 8, 9, 13, 14 e 18. Como so mais casinhas do que primas, pode aplicar--se novamente o mtodo dos marcadores. Esta uma actividade que pode ser desenvolvida em grupo (ou indi-vidualmente, como trabalho de casa) e as vrias solues obtidas podem ser discutidas em sala de aula.


Os AsesAs ManilhasOs ValetesAs DamasOs ReisDivisores

Caso Discreto Diviso Proporcional


4.1 Nmero de votantes: 30 400

O nmero de votos obtidos por cada partido foram:Os Reis: 0,12 30 400 = 3648 votosAs Damas: 0,34 30 400 = 10 336 votosOs Valetes: 0,08 30 400 = 2432 votosAs Manilhas: 0,26 30 400 = 7904 votosOs Ases: 0,20 30 400 = 6080 votos

4.2 Nmero de mandatos a atribuir: 12

1 3648,0 10 336,0 2342,00 7904,00 6080,00

2 1824,0 5168,0 1216,00 3952,00 3040,00

3 1216,0 3445,3 810,7 2634,7 2026,7

4 912,0 2584,0 608,0 1976,00 1520,00

5 729,6 2067,2 486,20 1580,8,0 1216,00

Colocando 12 quocientes por ordem decrescente da sua grandeza obtemos:

10 336; 7904; 6080; 5168; 3952; 3648;3445,3; 3040; 2634,67; 2584; 2432; 2067,2

Assim, a distribuio dos mandatos a seguinte:

As Damas: 5 mandatos 1.o, 4.o, 7.o, 10.o e 12.o

As Manilhas: 3 mandatos 2.o, 5.o e 9.o

Os Ases: 2 mandatos 3.o e 8.o

Os Reis: 1 mandato 6.o

Os Valetes: 1 mandato 11.o

4.3 Com o auxlio da calculadora (ou de uma folha de clculo) podemos verificar que se os Ases tiverem mais 76votos (6080 + 76 = 6156) e as Damas tiverem menos 76 votos (10 336 76 = 10 260), a atribuio do ltimomandato ir beneficiar os Ases e no as Damas.


DistribuioLugares a AcrescentarOrdemQuota InferiorQuota PadroGrupos

A 7,675 7 1.o 1 8

B 7,1,00 7 4.o 0 7

C 5,675 5 1.o 1 6

D 4,55,0 4 3.o 0 4


Divisor Padro = 102

05

0 = 40

A partir do Divisor Padro, e com mais alguns clculos, podemos construir a seguinte tabela:

A nova comisso ser formada por:

8 alunos do 3.o Ciclo;

7 alunos do 10.o Ano;

6 alunos do 11.o Ano;

4 alunos do 12.o Ano.

23 lugares (sobram 2).

Obtm-se a tabela seguinte:

DistribuioLugares a AcrescentarOrdemQuota InferiorQuota PadroColgio

Nortenho 5,275 5 3.o 0 5

Central 9,325 9 2.o 0 9

Algarvio 0,475 0 1.o 1 1

14 lugares (sobra 1).


6.1 Nmero de alunos = 600

Divisor Padro = = 4060015


DistribuioLugares a AcrescentarOrdemQuota InferiorQuota PadroColgio

Nortenho 5,547 5 2.o 1 6

Central 9,947 9 1.o 1 10

Algarvio 0,507 0 3.o 0 0

A distribuio a seguinte:

5 professores para o Nortenho; 9 professores para o Central; 1 professor para o Algarvio.

6.2 Divisor Padro = = 37,5

A partir do clculo do novo Divisor Padro podemos construir a seguinte tabela:

60016

A nova distribuio a seguinte:

6 alunos para o Nortenho; 10 alunos para o Central; 0 alunos para o Algarvio.

Com o aumento de um professor a colocar, o Colgio Algarvio perde o lugar que lhe havia sido atribudo.

14 lugares (sobram 2).

Com alguns clculos podemos obter a tabela seguinte:


Total de candidatos = 23 750

Divisor Padro = 2357050 = 475

49 < 50

Quota Inferior Quota PadroZona

Norte 16,842 16

Centro 23,158 23

Sul 10,0 10


Quota Modificada InferiorQuota ModificadaZona

Norte 17,204 17

Centro 23,656 23

Sul 10,215 10

Como o nmero de lugares distribudos inferior a 50, temos que encontrar um Divisor Modificado (D.M.).

Consideremos o (D.M.) = 465 .

A comisso dever ter a seguinte distribuio:

17 representantes da zona Norte;

23 representantes da zona Centro;

10 representantes da zona Sul.

Quota SuperiorQuota PadroZona

Norte 16,842 17

Centro 23,158 24

Sul 10,000 10


8.1 Total de candidatos = 23 750 Divisor Padro = 2357050 = 475

Com alguns clculos, podemos obter a tabela seguinte:

Quota Modificada Superior Quota ModificadaZona

Norte 16,495 17

Centro 22,680 23

Sul 9,794 10

Como o nmero de lugares distribudos inferior a 50, temos de encontrar um Divisor Modificado (maior do queo Divisor Padro).

Consideremos o D.M. = 485 .


A comisso dever ter a seguinte distribuio:

17 representantes da zona Norte;

23 representantes da zona Centro;

10 representantes da zona Sul.

8.2 Embora se tenham utilizado mtodos diferentes, os resultados obtidos foram os mesmos.

Estado Populao Quota Padro Quota Arredondada

M 7000 0,780 1

N 59 000 6,578 7

P 90 000 10,034 10

Q 960 000 107,033 107

R 50 000 5,575 6

131 > 130

Quota Modificada ArredondadaQuota ModificadaEstado

Como o nmero de lugares distribudos superior a 130, temos de encontrar um Divisor Modificado.

Consideremos o D.M. = 9050 .

M 0,773 1

N 6,519 7

P 9,945 10

Q 106,077 106

R 5,525 6


Nmero de habitantes = 1 166 000

Divisor Padro = 1 161

630

000 = 8969,23



Como o nmero de lugares distribudos inferior a 200, necessrio um Divisor Modificado.

Consideremos o D.M. = 29 400 000 .

A comisso dever integrar:

93 representantes da Terra; 11 representantes de rano;

64 representantes de Marte; 3 representantes de Neptuno.

29 representantes de Saturno;

Quota Modificada ArredondadaQuota ModificadaPlaneta

Terra 93,197 93

Marte 63,605 64

Saturno 29,252 29

rano 11,224 11

Neptuno 3,061 3


Total da populao = 5 890 000 000 Divisor Padro = 5 890200000 000 = 29 450 000


Planeta Quota Padro Mdia Geomtrica Quota Arredondada

Terra 93,039 93,499 93

Marte 63,497 63,498 63

Saturno 29,202 29,496 29

rano 11,205 11,489 11

Neptuno 3,056 3,464 3

199 < 200

A comisso dever integrar: 1 representante de M; 106 representantes de Q; 7 representantes de N; 6 representantes de R. 10 representantes de P;


Partilhas no Caso Contnuo


Alex e T Z seleccionam ambos os mesmos quartos Q1 e Q2. Assim, podem juntar novamente essas duas partes,Alex (ou T Z) divide em dois e T Z (respectivamente Alex) escolhe uma delas, ficando Alex (respectivamente TZ) com a outra. Jorge escolhe um dos quartos Q3 e Q4 que seleccionou inicialmente, ficando o Divisor, Pedro, com o quarto que Jorge no escolher.


Aleatoriamente, os trs irmos devem decidir qual deles fica com o papel de Seleccionador. Suponhamos que aJoana o Seleccionador e Marco e Filipe so os Divisores. Estes decidem entre si quem vai dividir o pudim em doise quem vai escolher. Se for Marco a dividir, ento, Filipe escolhe uma das metades e o irmo fica com a outra. Se forFilipe, Marco escolhe uma das metades e o irmo fica com a outra.

Em seguida, Marco e Filipe dividem cada um a sua parte em trs pedaos que julguem serem iguais. Joana entraem jogo e escolhe um dos pedaos dividido por Marco e outro por Filipe.

Deste modo, cada um dos trs irmos fica com 16 + 1

6 = 1

3 do pudim, como seria de esperar.

O professor poder aqui sugerir, como actividade, que os alunos reflictam e descrevam como aplicar este mtodoao caso de quatro jogadores. Por exemplo:

Actividade: Antes de terem acabado a partilha do pudim, tocam campainha. a prima Susana. preciso voltarao incio e efectuar a diviso do pudim, desta vez por quatro pessoas. Aplicando o Mtodo do Seleccionador nico, des-creva a sua aplicao nesta situao.

necessrio comear pela escolha do Seleccionador, que feita aleatoriamente. Vamos continuar com a Joana aocupar essa posio. Os outros trs jogadores tm agora de proceder diviso do pudim em trs partes, o que podemfazer recorrendo ao mesmo mtodo para trs jogadores (que os alunos j utilizaram na actividade do Manual).

Agora que Susana, Marco e Filipe tm cada um a sua parte de pudim (todas supostamente iguais) vo, cada umdeles, dividir a sua parte em quatro pedaos que julguem serem iguais.

A Joana, que foi apenas espectadora at este ponto, comea a jogar escolhendo uma das quatro partes

de cada irmo e da prima, ficando com 112 +

112 +

112 = 1

4 do pudim. Os outros trs jogadores ficam, cada

um, com os seus trs pedaos, isto , cada um fica com 132 = 1

4 do pudim. Cada um dos quatro jogadores

fica com 14 do pudim, o que justo (desde que todos os pedaos sejam considerados iguais).

Bom apetite!



Para a aplicao deste mtodo de toda a convenincia fazer um esquema do que se passa em cada volta vaiauxiliar nas concluses a tirar. No caso concreto desta actividade, temos 6 estudantes que jogam pela seguinte ordem:E1 , E2 , E3 , E4 , E5 e E6 .

Como na 1.a volta ningum diminui, a fatia cortada por E1 no sofre alterao, pois todos os jogadores passam(P), isto :

E1 E2 E3 E4 E5 E6

P P P P P

Assim, E1 fica com a primeira fatia, sai do jogo e na 2.a volta E2 quem parte a fatia, pois est a seguir a E1 . Nesta segunda volta, E4 e E5 diminuem (D), isto :

E2 E3 E4 E5 E6

P D D P

ficando a segunda fatia para E5 porque foi o ltimo a diminuir a fatia de piza na 2.a volta, saindo do jogo.

Ficamos agora com quatro jogadores, E2 , E3 , E4 e E6 .Na 3.a volta, E2 corta uma fatia e sair um jogador, ficando ainda trs em jogo.Na 4.a volta, sair outro jogador, ficando dois em jogo. Estes ltimos pegam no pedao de piza que sobra, um divide

em dois e o outro escolhe.Assim, so necessrias quatro voltas para que cada um dos estudantes obtenha a sua fatia de piza.

O professor poder propor, ainda dentro desta actividade, mais duas condies que permitam determinar qual aordem de sada de cada jogador do jogo. Por exemplo:

na 3.a volta, apenas E 3 diminui;

na 4.a volta, ningum diminui.

Para estas duas novas condies, e supondo ser para a continuao da actividade do Manual, temos:

E2 E3 E4 E6

D P P

ficando E3 com a terceira fatia de piza e abandonando o jogo. Na 4.a volta, E2 parte a fatia e:

E2 E4 E6

P P

e acaba por ficar com ela, saindo do jogo. E4 e E6 so, neste caso, os jogadores que vo dividir entre si o ltimopedao de piza (um parte e o outro escolhe).



A descrio seguinte apenas uma das vrias hipteses de aplicao.Primeiro, os quatro intervenientes decidem, aleatoriamente, quem ser o Divisor e qual a ordem de jogada. Ser:

Isa, o Divisor.

Beta, Nando e T jogam, por esta ordem.

Isa comea por dividir a pgina em cinco partes, que julga serem iguais, J1, J2, J3, J4 e J6. Beta rectifica (ou apara)J2 e J3 e, em seguida, Nando rectifica J4. a vez de T, que escolhe J4. Nando joga depois e, como a parte de pgi-na que ele rectificou foi escolhida por T, ele pode escolher qualquer uma das restantes e decide-se por J1. Beta terobrigatoriamente de escolher J2 ou J3, porque foram por ela rectificadas, e opta por J3. Finalmente o Divisor, Isa, temao seu dispor J2 e J5 e escolhe J2. O pedao de pgina que sobrou pode ser novamente dividido, pelo mesmo mtodoou por outro, pelos quatro jogadores.

Esta apenas uma das hipteses de aplicao do mtodo a esta situao porque as opes dos jogadores podemser vrias. A(s) parte(s) extra com que se inicia este mtodo serve(m) para garantir que no final o ltimo a escolher, oDivisor, tenha ao seu dispor, pelo menos, uma parte que no foi rectificada e que se mantm exactamente como eleprprio a dividiu.

Como actividade extra, o professor poder propor a diviso de, por exemplo, um bolo por cinco jogadores. O nmero inicial de partes ter de ser 25 2 + 1 = 9 .

Os raciocnios que envolve so muito interessantes, as solues variadas e os alunos aprendem que h decisesque, para serem tomadas, tm de ser asseguradas algumas condies iniciais, s quais tm de estar atentos.

fascinante. Divirtam-se!

G U I O D E U T I L I Z A O D E B A S E S D E T R A N S P A R N C I A S

Tal como o Programa da disciplina refere, o maior ou menor aprofundamento dos contedos de cada temadepende da avaliao feita pelo professor, tendo em conta as caractersticas dos seus alunos e dos recursos dis-ponveis.

No entanto, parece-nos que o Tema 1 Mtodos de Apoio Deciso pode ser explorado em vrias verten-tes, com actividades que podem ser realizadas pelos alunos na sala de aula e utilizando situaes da vida real,algumas j propostas no Manual.

Assim, a maioria das bases de transparncias incide sobre este primeiro tema. Pretende-se que elas sejam ummaterial para auxiliar professores e alunos tanto nas actividades j propostas como em outras que possam surgir,quer por sugesto dos professores, quer por interesses demonstrados pelos alunos.

Bases de Transparncias

As 13 bases de transparncias elaboradas esto subordinadas aos seguintes assuntos:

As oito primeiras referem-se a oito mtodos de partilha no caso discreto:

Mtodo do Ajuste na Partilha

Mtodo das Licitaes Secretas

Mtodo dos Marcadores

Mtodo de Hamilton

Mtodo de Jefferson

Mtodo de Adams

Mtodo de Webster

Mtodo de Huntington-Hill

As quatro seguintes referem-se aos quatro mtodos de partilha no caso contnuo:

Mtodo do Divisor nico

Mtodo do Seleccionador nico

Mtodo do ltimo a Diminuir

Mtodo Livre de Inveja

A ltima base de transparncia refere-se distribuio normal e serve essencialmente de auxlio compreen-so e resoluo de exerccios subordinados a este assunto (a distribuio normal no faz parte do Programa dadisciplina e, portanto, deve ser considerada facultativa).


excepo da ltima, todas as bases de transparncias podem considerar-se divididas em duas partes:

numa primeira parte (zona superior) procede-se descrio do mtodo, quer com o algoritmo, quer com umapequena definio;

numa segunda parte (zona inferior) faz-se uma aplicao do mtodo descrito.

Deste modo, o Professor poder introduzir cada mtodo de partilha de uma forma simplificada e proceder suaaplicao numa situao concreta, no tendo a preocupao do clculo que , em alguns casos, demorado, ficando maisliberto para um maior apoio aos seus alunos.

As bases de transparncias 4 a 8, que se referem aos Mtodos de Partilha no Caso Discreto (diviso propor-cional) contm vrias abreviaturas a que j se fez referncia no Manual, mas que so de toda a convenincia relembrar.Em seguida, apresentamos uma relao de todas as abreviaturas utilizadas, acompanhadas de uma breve defini -o/sig ni ficado.

Caso o professor considere til, estas pequenas definies podero ser fornecidas aos alunos nesta forma com-pactada.

Mtodo de Partilha Caso Discreto

Definies

Divisor Padro = D.P. =

Quota Padro = Q.P. =

Quota Inferior = Q.I. = Q.P., arredondada por defeito

Quota Superior = Q.S. = Q.P., arredondada por excesso

Divisor Modificado = D.M.

Quota Modificada = Q.M. =

Quota Modificada Inferior = Q.M.I. = Q.M., arredondada por defeito

Quota Modificada Superior = Q.M.S. = Q.M., arredondada por excesso

Regra de Quota: Um mtodo de partilha deve atribuir sempre a cada Estado a sua Q.I. ou a sua Q.S., casocontrrio diz-se que o mtodo viola a regra da quota.

Populao total

Nmero de lugares

Populao do estado

D.M.

Populao do estado

D.P.


42

Sugestes de Utilizao de Bases de Transparncias

Partilha no Caso Discreto

Por uma questo de organizao, importante que o Professor oriente os seus alunos na elaborao das tabelasque contm os dados que vo sendo calculados por aplicao dos algoritmos dos diferentes mtodos. Como a aplica-o de qualquer um destes mtodos envolve vrios clculos, o Professor deve dar aos alunos o tempo necessro paraque todos consigam levar a resoluo a bom termo.

BASE DE TRANSPARNCIA 1: MTODO DO AJUSTE NA PARTILHA

Sugere-se uma breve referncia a Steven Brams e Alan Taylor, que desenvolveram este mtodo, bem como ssituaes em que utilizado (diviso de um nmero finito de bens por dois intervenientes). Seguidamente, o profes-sor poder projectar a base de transparncia, procedendo a uma breve leitura do algoritmo e esclarecendo eventuaisdificuldades de interpretao dos alunos. De imediato, pode propor a resoluo do exemplo includo, a qual poder serfeita pelos alunos, em grupos. No final, o Professor disponibiliza a soluo do problema proposto e poder fazer-se umpequeno debate, com a exposio das principais dificuldades com que os alunos se depararam. Para consolidar a apli-cao deste mtodo sugerem-se as actividades/exerccios do Manual e Caderno de Exerccios.

BASE DE TRANSPARNCIA 2: MTODO DAS LICITAES SECRETAS

Sugere-se uma referncia a Bronislaw Knaster, que desenvolveu este mtodo, utilizado, por exemplo, em parti-lhas de patrimnios por vrios herdeiros (mais do que dois). Seguidamente, o Professor poder projectar a base detransparncia, procedendo a uma breve leitura do algoritmo e esclarecendo eventuais dificuldades de interpretaodos alunos. De imediato, pode propor a resoluo do exemplo includo, a qual poder ser feita pelos alunos, em gru-pos. No final, o Professor disponibiliza a soluo do problema proposto e poder fazer-se um pequeno debate, com aexposio das dificuldades com que os alunos se depararam, algumas das quais esto inerentes a este mtodo (anecessidade dos intervenientes terem dinheiro suficiente para compensar os outros, o facto de poderem no ficar ounenhum dos itens ou at com todos, ). Para consolidar a aplicao deste mtodo sugerem-se as actividades/exer-ccios do Manual e Caderno de Exerccios.

BASE DE TRANSPARNCIA 3: MTODO DOS MARCADORES

O Professor poder iniciar a aula com uma breve referncia ao tipo de situaes em que se pode aplicar este mtodo:diviso de itens de valores prximos e pouco elevados, que excedem substancialmente o nmero de intervenientes.Em seguida, o Professor poder projectar a base de transparncia, procedendo a uma breve leitura do algoritmo eesclarecendo eventuais dificuldades de interpretao dos alunos. A resoluo do exemplo includo poder ser feitapelos alunos, em grupos, e, aps a confirmao da soluo do problema proposto, poder fazer-se um pequeno debate,com a exposio das principais dificuldades com que os alunos se depararam. Para consolidar a aplicao deste mtodosugerem-se as actividades/exerccios do Manual e Caderno de Exerccios.

2 0 1 0 MATEMTICA APLICADA S CINCIAS SOCIAIS, 10.o ANO


BASE DE TRANSPARNCIA 4: MTODO DE HAMILTON

Antes da apresentao da base de transparncia, sugere-se uma breve referncia histrica a Alexander Hamilton,que dever ocupar os primeiros momentos da aula. Seguidamente o Professor dever projectar a base de transparn-cia. Ao faz-lo poder tapar a resoluo do problema nela proposta, bem como todos os passos do algoritmo excepo do primeiro. Os alunos devem aplicar este primeiro passo situao concreta da base de transparncia. Nohavendo dvidas, o Professor prossegue, destapando o segundo passo do algoritmo, que os alunos aplicam. impor-tante que os alunos percebam que, neste segundo passo, procedem ao clculo dos lugares que, proporcionalmente,cabem a cada Estado. A partir do terceiro passo do algoritmo, comeam a surgir as diferenas entre este e os outrosmtodos de partilha no caso discreto.

Depois da aplicao de todos os passos do algoritmo, o Professor pode mostrar a resoluo presente na base de trans-parncia para que os alunos confirmem os resultados.

Para a consolidao deste contedo aconselha-se a resoluo das actividades/exerccios do Manual e do Cadernode Exerccios.

BASE DE TRANSPARNCIA 5: MTODO DE JEFFERSON

Antes da apresentao da base de transparncia, sugere-se uma breve referncia histrica a Thomas Jefferson,que dever ocupar os primeiros momentos da aula. Em seguida, o Professor pode projectar a base de transparncia epoder proceder de forma idntica j utilizada na base de transparncia anterior, isto , destapando os passos doalgoritmo medida que os alunos os vo aplicando. No final, os alunos confirmam os resultados obtidos e consolidama aprendizagem com as actividades/exerccios do Manual e do Caderno de Exerccios.

BASE DE TRANSPARNCIA 6: MTODO DE ADAMS

Antes da apresentao da base de transparncia, sugere-se uma breve referncia histrica a John Quincy Adams,que dever ocupar os primeiros momentos da aula. Em seguida, o Professor pode projectar a base de transparncia epoder proceder de forma idntica j utilizada nas bases de transparncias anteriores, isto , destapando os passosdo algoritmo medida que os alunos os vo aplicando. No final, os alunos confirmam os resultados obtidos e conso-lidam a aprendizagem com as actividades/exerccios do Manual e do Caderno de Exerccios.

BASE DE TRANSPARNCIA 7: MTODO DE WEBSTER

Antes da apresentao da base de transparncia, sugere-se uma breve referncia histrica a Daniel Webster, quedever ocupar os primeiros momentos da aula. Em seguida, o Professor pode projectar a base de transparncia e poderproceder de forma idntica j utilizada nas bases de transparncias anteriores, isto , destapando os passos do algo-ritmo medida que os alunos os vo aplicando. No final, os alunos confirmam os resultados obtidos e consolidam aaprendizagem com as actividades/exerccios do Manual e do Caderno de Exerccios.

BASE DE TRANSPARNCIA 8: MTODO DE HUNTINGTON-HILL

Antes da apresentao da base de transparncia, sugere-se uma breve referncia histrica a Joseph A. Hill eEdward V. Huntington, que dever ocupar os primeiros momentos da aula. Em seguida, o Professor pode projectar abase de transparncia e poder proceder de forma idntica j utilizada nas bases de transparncias anteriores, isto, destapando os passos do algoritmo medida que os alunos os vo aplicando. No final, os alunos confirmam osresultados obtidos e consolidam a aprendizagem com as actividades/exerccios do Manual e do Caderno de Exerccios.

Partilha no Caso Contnuo

Os mtodos a aplicar neste tipo de partilha no envolvem clculos, mas sim raciocnios. importante que o Professororiente os seus alunos no sentido de os levar a exprimir correctamente, oralmente e por escrito, esses raciocnios.

BASE DE TRANSPARNCIA 9: MTODO DO DIVISOR NICO

O Professor poder apresentar a base de transparncia mostrando apenas a breve definio do mtodo e o enun-ciado do problema nele proposto. Os alunos devero discutir em grupo a forma de aplicar o mtodo situao apresen-tada. Devero explicar, por escrito, os raciocnios que foram seguidos, bem como as concluses a que chegaram.Sugere-se que, antes de verem a proposta de resoluo da base de transparncia, cada grupo de alunos apresente,perante a turma, o processo que seguiu e as concluses que tirou. Para a consolidao deste contedo aconselha-sea resoluo das actividades/exerccios do Manual e do Caderno de Exerccios.

BASE DE TRANSPARNCIA 10: MTODO DO SELECCIONADOR NICO

Sugere-se que a apresentao desta base de transparncia seja feita de forma anloga do mtodo anterior. Paraa consolidao deste contedo aconselha-se a resoluo das actividades/exerccios do Manual e do Caderno deExerccios.

BASE DE TRANSPARNCIA 11: MTODO DO LTIMO A DIMINUIR

Sugere-se que a apresentao desta base de transparncia seja feita de forma anloga dos dois mtodos ante-riores. Para a consolidao deste contedo aconselha-se a resoluo das actividades/exerccios do Manual e doCaderno de Exerccios.


BASE DE TRANSPARNCIA 12: MTODO LIVRE DE INVEJA

Sugere-se que a apresentao desta base de transparncia seja feita de forma anloga dos trs mtodos ante-riores. Para a consolidao deste contedo aconselha-se a resoluo das actividades/exerccios do Manual e doCaderno de Exerccios.

Estatstica Distribuio Normal

A distribuio normal no faz parte do Programa da disciplina, devendo ser considerada facultativa.

BASE DE TRANSPARNCIA 13: DISTRIBUIO NORMAL

Esta base de transparncia contm um resumo dos aspectos mais importantes desta distribuio. Deve ser acom-panhada pela resoluo das actividades/exerccios do Manual e do Caderno de Exerccios.



1. Numa eleio com 4 candidatos, A, B, C e D, obtiveram-se os seguintes resultados, segundo as preferncias dosvotantes:

1.1 Quantas pessoas expressaram a sua preferncia nesta votao?

1.2 Qual foi o candidato com maior nmero de primeiras preferncias? Com que percentagem? (2 c.d.)

1.3 Qual foi o candidato com maior nmero de ltimas preferncias? Com que percentagem? (2 c.d.)

1.4 Qual foi o vencedor pelo Sistema de Maioria Simples?

1.5 Algum candidato venceu por maioria absoluta? Justifique.

2. Numa eleio com 3 candidatos, A, B e C, obtiveram-se os seguintes resultados, resumidos nos esquemas prefe-renciais seguintes:

2.1 Usando o Sistema Maioritrio, quem vence a eleio? Com que tipo de maioria? Justifique.

2.2 Considere os candidatos dois a dois. Haver algum vencedor? Justifique.

2.3 Como se chama o fenmeno patente na alnea anterior?

22 votos 46 votos 31 votos

2

A

B

C

D

8

D

C

A

B

17

C

A

D

B

20

A

D

C

B

27

B

D

A

C

A

B

C

B

C

A

C

A

B

Nmero de votosPreferncias

1.a escolha

2.a escolha

3.a escolha

4.a escolha

F I C H A D E T R A B A L H O N .o 1

NOME: _______________________________________________________________ TURMA: ______ N.o: ______

ASSUNTO: Sistemas Maioritrio, Preferencial e de Aprovao

NMERO DE VOTOSPreferncias

1.a escolha

2.a escolha

3.a escolha

4.a escolha

5

A

D

C

B

10

A

B

D

C

20

A

C

B

D

25

C

D

B

A

30

B

D

C

A

JriCandidatos

3. Andr (A), Bernardo (B), Cndido (C) e Damio (D) concorrem aos lugares de Presidente e Vice-Presidente da Associao de Comerciantes de Bombim. Cada um dos votantes exprimiu a sua preferncia relativamente a cadaum dos candidatos:

O vencedor fica com o lugar de Presidente e quem ficar em segundo lugar ser o Vice-Presidente.

3.1 Quantas pessoas votaram?

3.2 Pelo Sistema Maioritrio, quem seria o Presidente? E o Vice-Presidente? Com que percentagem de votos? (2 c.d.)

3.3 Usando o Sistema Preferencial, atribua os cargos de Presidente e de Vice-Presidente (atribua 4 pontos pri-meira escolha, 3 pontos segunda, 2 pontos terceira e 1 ponto quarta escolha).

3.4 Considere agora apenas as duas primeiras preferncias de cada votante. Usando o Sistema de Aprovaoquem ser o Presidente? E o Vice-Presidente?

4. O que diz o Teorema de Arrow relativamente a sistemas de votao?

5. Quatro encarregados de educao, lvaro, Belmira, Carlota e Dinis candidatam-se presidncia da Associao dePais da Escola Arco-ris. Um jri constitudo por oito pessoas ( E, F, G, H, I, J, L e M) usou o Sistema de Aprovaopara decidir esta questo. O quadro seguinte resume a votao ( significa que aprova o candidato).

lvaro

Belmira

Carlota

Dinis

E F G H I J L M

5.1 Quem foi eleito Presidente?

5.2 As votaes de dois dos elementos do jri no tem influncia no resultado final. Indique quais e porqu.



1

C

O

H

N

R

2

C

H

R

N

O

3

N

H

R

O

C

3

R

H

C

O

N

3

C

H

N

R

O

6

R

O

N

C

H

8

N

O

R

C

H

20

O

N

R

C

H

32

H

C

R

N

O

Nmero de votosPreferncias

1.a escolha

2.a escolha

3.a escolha

4.a escolha

5.a escolha


NOME: _______________________________________________________________ TURMA: ______ N.o: ______

ASSUNTO: Sistemas Maioritrio, Preferencial e de Aprovao

1. Os 78 alunos finalistas do curso de Sociologia pretendem fazer uma viagem. Tm cinco opes: Cancn (C), Orlando (O), Havana (H), Nova Iorque (N) e Rio de Janeiro (R). Os resultados da votao que efectuaram esto resumidos na tabela seguinte:

Responda s seguintes perguntas com base na tabela dos resultados da votao.

1.1 Alguma das cidades obteve maioria de primeiras escolhas? Se sim, qual?

1.2 Alguma das cidades obteve maioria de ltimas escolhas? Se sim, qual?

1.3 Qual foi a cidade com maior nmero de primeiras escolhas? Que percentagem? (2 c.d.)

1.4 Qual foi a cidade com menor nmero de primeiras escolhas? Que percentagem? (2 c.d.)

1.5 Qual foi a cidade com maior nmero de ltimas escolhas? Que percentagem? (2 c.d.)

1.6 Qual foi a cidade com menor nmero de ltimas escolhas? Que percentagem? (2 c.d.)

1.7 Que cidade teve maior nmero de primeiras e segundas escolhas conjuntamente? A quantos votos corres-ponde?

1.8 Que cidade teve, em conjunto, menor nmero de primeiras e segundas escolhas? A quantos votos corres-ponde?

1.9 Que cidade teve, em conjunto, maior nmero de quartas e quintas escolhas? A quantos votos corresponde?

1.10 Qual seria a cidade escolhida se fosse usado o Sistema Maioritrio? Com que tipo de maioria? A que percen-tagem corresponde? (2 c.d.)

1.11 Qual seria a cidade escolhida se fosse usado o Mtodo de Borda?

1.12 Suponha que cada votante aprovava apenas as duas primeiras escolhas. Nesta situao, usando o Sistemade Aprovao, qual seria a cidade eleita para a viagem de finalistas?


2. Os esquemas preferenciais seguintes traduzem os resultados de uma eleio com 6 candidatos: A, B, C, D, E e F.


B

C

F

E

A

D

A

D

C

F

B

E

A

C

B

E

D

F

2.1 Quantos esquemas preferenciais diferentes possvel obter com seis candidatos?

2.2 Qual a percentagem de 1.as preferncias de cada candidato?

2.3 Qual o candidato eleito se usarmos o mtodo da pluralidade?

2.4 Determine o vencedor desta eleio usando:2.4.1 o mtodo run-off simples;2.4.2 o mtodo run-off sequencial;2.4.3 o mtodo de Borda;2.4.4 o mtodo de Condorcet.

2.5 Suponha que cada votante aprova os trs primeiros candidatos do seu esquema preferencial. Determine o ven-cedor pelo sistema de aprovao


C

B

D

A

F

E

D

C

B

E

F

A

E

D

A

C

F

B



NOME: _______________________________________________________________ TURMA: ______ N.o: ______

ASSUNTO: Mtodo Preferencial

VotosPreferncias

1.a

2.a

3.a

TOTAL

Rui

Lus

Joo

40

Joo

Lus

Rui

45

Lus

Rui

Joo

38

1. Realizou-se uma Assembleia Geral de uma associao cultural, com o objectivo de eleger uma pessoa para repre-sentar a associao em sesses oficiais. Apresentaram-se trs candidatos, o Rui, o Lus e o Joo. A Mesa daAssembleia props que cada associado votasse nos trs candidatos, por ordem de preferncia. O mtodo escolhidopara apurar o vencedor foi o preferencial, de acordo com os seguintes critrios e etapas:

por cada voto em primeira preferncia, o candidato votado recebe trs pontos, em segunda preferncia, doispontos e, em terceira preferncia, um ponto;

feito o apuramento da pontuao obtida por cada candidato, ser vencedor o que obtiver uma pontuao totalmais elevada.

A contagem dos votos vem descrita na tabela seguinte.

1.1 Complete a tabela abaixo apresentada, utilizando o mtodo preferencial.Qual foi o candidato vencedor, segundo este mtodo?

Mtodo Preferencial

Pontuao TotalContagem dos Pontos

Joo

Rui

Lus

40 1 + 45 3 + 38 1


1.2 Se fosse adoptado o sistema maioritrio, s a primeira preferncia seria tida em conta, ganhando o candidatocujas primeiras preferncias tivessem uma maioria relativa. Utilizando este mtodo, o candidato vencedorseria o Joo.

No entanto, este candidato perderia quando comparado com os outros candidatos, dois a dois. Uma forma decomparar os candidatos dois a dois utilizar o mtodo maioritrio, sem contar com os votos no terceiro can-didato. Por exemplo, no contando com os votos no Lus, as votaes no Joo e no Rui passam a ser asseguintes:

Comparao da votao no Joo com a votao no Rui

Utilizando o mtodo maioritrio relativamente primeira preferncia, o Rui seria o candidato vencedor, umavez que tinha 78 votos, enquanto o Joo teria apenas 45.

1.2.1 Construa duas tabelas semelhantes anterior, no contando, primeiro, com a votao no Joo e,depois, com a votao no Rui. Em cada uma das comparaes, quem o vencedor?

1.2.2 Terminadas as comparaes possveis, dois a dois, o Lus afirmou que ele prprio deveria ser conside-rado o vencedor global.

Numa pequena composio, justifique que este candidato est em condies de se considerar vence-dor global, tendo em conta os resultados obtidos.

Deve incluir, obrigatoriamente, na sua resposta a soma dos resultados referentes s contagens dosvotos na comparao dos candidatos dois a dois, com a consequente ordenao dos candidatos.

Adaptado de Exame Nacional de MACS (2007, 2. Fase)

VotosPreferncias

1.a

2.a

TOTAL

Rui

Joo

40

Joo

Rui

45

Rui

Joo

38



NOME: _______________________________________________________________ TURMA: ______ N.o: ______

ASSUNTO: Mtodo de Hondt

Concelho de Mealhada Cmara Municipal Freguesias apuradas 8 Por apurar 0

ListasPS

PPD/PSDInd.

PCP/PEV

Votos454431732077

399

% Mandatos

1.1

1.2

1.3

Concelho de Estremoz Cmara Municipal Freguesias apuradas 13 Por apurar 0

Concelho de Amadora Cmara Municipal Freguesias apuradas 11 Por apurar 0

ListasPS

PPD/PSD/CDS/PPPCP/PEV

BEPCTP/MRPP

MPT

Votos32 29817 50715 138113371116911 629

% Mandatos

ListasPCP/PEV

PSPPD/PSDCDS/PP

BE

Votos327622732167243238

% Mandatos

Inscritos Votantes Brancos Nulos

1. As tabelas que se seguem tm os resultados das Eleies Autrquicas de 2001 nos concelhos de Mealhada,Estremoz e Amadora. Sabendo que o mtodo utilizado para a contabilizao dos mandatos foi o Mtodo de Hondte que os mandatos a atribuir a cada concelho so 7, 7 e 11, respectivamente, complete as tabelas seguintes.

Nmero%

17 043 10 585 211 181


Nmero%

13 713 8548 216 135


Nmero%

148 771 70 972 1821 1073


2. No dia 9 de Outubro de 2005, realizaram-se eleies autrquicas em Portugal.Os dados apresentados no quadro seguinte dizem respeito s eleies para a Cmara Municipal de um certo concelho.

Os resultados provisrios das eleies para a Cmara Municipal desse concelho, divulgados pelo SecretariadoTcnico dos Assuntos para o Processo Eleitoral (STAPE), pouco tempo depois do encerramento das urnas, foram osseguintes:

Nmero de votos brancos: 2225 Nmero de votos nulos: 1550

2.1 Calcule a percentagem da absteno, nestas eleies, para a referida Cmara Municipal. Apresente o resultadoarredondado s unidades.

2.2 No dia 11 de Outubro, um jornal dirio, referindo-se s eleies para a mesma Cmara Municipal, publicouuma notcia, na qual se podia ler:

O partido D vai exigir a recontagem dos votos, por considerar que persistem dvidas quantoao resultado oficial divulgado na noite de domingo. Por apenas 15 votos (), o partido D noelegeu o seu cabea-de-lista como vereador. () A eleio de um vereador do partido D altera-ria a relao de foras no executivo dessa Cmara. () Era fundamental que o partido D esti-vesse representado, no s pela fora que j tem, mas tambm porque obrigaria o presidente adialogar com a oposio e a aprofundar a democracia e a pluralidade de ideias, frisou o cabea --de-lista do partido D.

Tendo em conta os resultados eleitorais, elabore uma composio na qual comente esta notcia. Na suacomposio, deve:

determinar o nmero de mandatos obtidos por cada fora poltica, aplicando o Mtodo de Hondt (apresenteos quocientes arredondados s dcimas);

explicar por que razo foi por 15 votos que o partido D no elegeu nenhum vereador e qual o partido que per-deria um mandato se o partido D tivesse tido mais 15 votos (admitindo que os restantes partidos mantinhama sua votao);

explicar o sentido da frase (acima sublinhada) do cabea-de-lista do partido D, relacionando-a com o tipo demaioria (simples ou absoluta) obtida pela fora vencedora e com o que teria acontecido, caso ele tivesse sidoeleito.

Adaptado de Exame Nacional de MACS (2006, 1.a Fase)

Total de eleitores inscritos: 141 360Nmero de ma

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175915625 Macs 10º Caderno Professor