1787 Anderso Marcolino

ANDERSON MARCOLINO DE SANTANA

APLICAO DAS DERIVADAS

JI-PARAN, 2010

UNIVERSIDADE FEDERAL DE RONDNIA

CAMPUS DE JI-PARAN



Trabalho de Concluso de Curso apresentado banca examinadora do Curso de Matemtica da Universidade Federal de Rondnia- UNIR, Campus de Ji-Paran, como exigncia parcial para obteno do ttulo de Licenciado em Matemtica.

Orientador:

Prof. Ms. Reginaldo Tudeia dos Santos.

JI-PARAN, 2010



Trabalho de Concluso de Curso apresentado banca examinadora do Curso de Matemtica da Universidade Federal de Rondnia- UNIR, Campus de Ji-Paran, como exigncia parcial para obteno do ttulo de Licenciado em Matemtica.

Aprovado em _____ de _________________ de______

_______________________________________

Msc. Reginaldo Tudeia dos Santos Orientador - Universidade Federal de Rondnia Campus de

Ji-Paran.

_______________________________________

Msc. Marcos Leandro Ohse - Universidade Federal de Rondnia Campus de Ji-Paran.

______________________________________

Msc. Marlos Gomes de Albuquerque - Universidade Federal de Rondnia Campus de

Ji-Paran.

Ji-Paran, ____ de __________________ de 2010.

DEDICATRIA

A minha Famlia que muito tem ajudado para que a graduao acontecesse,

principalmente minha me, Maria das Dores Marcolino de Santana, meu pai, Ivanildo, meus

irmos, Alberson Marcolino e Ana Kelly Marcolino, minha sobrinha Ana Karine, Vov

Lourdes e Vov Marcolino, Tias e Tios, e Tio Alexandre Negreiros Marcolino. Amo muito

vocs!

AGRADECIMENTOS

A Deus que at aqui tem me ajudado a superar as dificuldades na trajetria rdua de minha

vida.

A minha me, Maria das Dores Marcolino de Santana que muito contribuiu para minha

formao em quem me espelho.

Aos meus irmos que sempre pensaram que eu faria medicina, pois acreditaram em minha

capacidade, Ana Kelly e Alberson Marcolino de Santana.

Aos meus Tios e Tias, que cuidaram muito de mim enquanto minha me trabalhava, Tia Ana

Nery, Tia Marta, Tio Samuel, Tio Xandy, Tia Noemia Tavares, Tio Marinaldo.

A todos os meus professores da pr-escola a universidade, pois fizeram parte da minha vida,

no podendo esquecer daqueles que foram alm de suas obrigaes com a nossa turma, como:

Ana Fanny Benzi, Marlos Albuquerque, Marcos L. Ohse, Aparecida Augusta, Mrcia Uliana

e ao meu orientador Reginaldo Tudeia dos Santos.

Amigos e colegas de trabalho, principalmente minha patroa Dona Lourdes Gonalves Amaral.

Muito Obrigado!

O que sabemos uma gota, o que no sabemos um oceano.

Se enxerguei mais longe, foi porque me apoiei sobre ombros de gigantes.

Isaac Newton

SANTANA, Anderson Marcolino de. Aplicao das Derivadas. 2010. Trabalho de concluso

de Curso (Graduao em Matemtica) Departamento de Matemtica e Estatstica da

Universidade Federal de Rondnia Campus de Ji-Paran. Ji-Paran- Rondnia, 2010.

RESUMO

O presente trabalho faz inicialmente uma abordagem histrica das

derivadas, buscando conhecer onde a mesma surgiu, os principais matemticos que

desenvolveram o clculo diferencial, e em seguida mostra a definio, os processos de

derivao, bem como aplicaes. Nestas foram demonstradas algumas aplicaes em diversos

ramos da cincia, tais como; no prprio ensino da matemtica, da fsica, na economia, com a

maximizao de lucros e minimizao de custos de empresas, nas cincias biologias e at

mesmo em situaes problema do cotidiano.

PALAVRAS-CHAVE: Aplicao; Derivadas; Cotidiano.

SANTANA, Anderson Marcolino de. Application of Derived. 2010. Completion of Course

Work (Graduated in Mathematics) Department of Mathematics and Statistics from the

Universidade Federal de Rondnia Campus de Ji-Paran. Ji-Paran- Rondnia, 2010.

ABSTRACT

This work is initially a historical approach of derived, seeking to know where the same

arose, leading mathematicians who have developed the differential calculus, and then shows

the definition, derivation, processes and applications. These were demonstrated some

applications in various branches of science, such as; on own teaching of mathematics,

physics, economy, with the maximization of profits and minimizing costs of enterprises,

Sciences biological and even in everyday problem situations.

KEY-WORDS: Application; Derived; Daily.

LISTA DE FIGURAS

Figura 1 Ilustrao para definio de derivada.. ................................................................. 18

Figura 2 Esboo do limite da reta tangente ........................................................................ 19

Figura 3 Representao de uma piscina quadrangular ........................................................ 29

Figura 4 Representao inicial da rea do cercado ............................................................. 30

Figura 5 Representao inicial da rea da horta ................................................................. 31

Figura 6 Representao do reservatrio de gua ................................................................ 32

Figura 7 Representao do recipiente cilndrico ................................................................ 34

Figura 8 Ilustrao de um galinheiro ................................................................................. 35

Figura 9 Lanamento Vertical ............................................................................................ 40

Figura 10 Traquia ............................................................................................................ 43

SUMRIO

1. INTRODUO .............................................................................................................. 11 2. FUNDAMENTAO TERICA ............................................................................. 12 2.1 - IMPORTNCIA DA HISTRIA DA MATEMTICA ............................................... 12 2.2 - ASPECTO HISTRICO DAS DERIVADAS .............................................................. 13 3. - PROCESSO DE DERIVAO................................................................................... 17 3.1 - DEFINIO DE DERIVADA .................................................................................... 17 3.2 - INTERPRETAO GEOMTRICA DA DERIVADA.. ............................................. 18 3.3 - DERIVADA DAS FUNES ELEMENTARES ........................................................ 19 3.3.1- Derivada da funo constante ..................................................................................... 20 3.3.2- Derivada da funo potncia ...................................................................................... 20 3.3.3- Derivada da funo seno ............................................................................................ 20 3.3.4- Derivada da funo cosseno ....................................................................................... 21 3.3.5- Derivada da funo exponencial ....................................................................................22 3.4 REGRAS DE DERIVAO ....................................................................................... 23 3.4.1- Derivada da Soma ou da Diferena ............................................................................ 23 3.4.2- Derivada do Produto .................................................................................................. 23 3.4.3- Derivada do Quociente ............................................................................................... 24 3.4.4- Derivada de uma Funo Composta ou Regra da Cadeia ............................................ 26 3.5 MXIMOS E MNIMOS DE UMA FUNO..............................................................27

4. - APLICAES DE DERIVADAS ............................................................................... 29 4.1 - MXIMOS E MNIMOS ............................................................................................ 29 4.2 - APLICAES NA ECONOMIA ................................................................................ 36 4.3 - APLICAES NA FSICA ......................................................................................... 38 4.3.1 - Interpretao Cinemtica da Derivada ....................................................................... 38 4.4 - APLICAES NAS CINCIAS BIOLGICAS ......................................................... 42 5. CONSIDERAES FINAIS ......................................................................................... 47 6. REFERENCIAS ............................................................................................................. 48

1. INTRODUO

O conhecimento do processo de derivao importante em virtude das

inmeras reas de aplicaes em diferentes ramos da cincia. Para tanto seu estudo foi

desenvolvido ao longo de 2500 anos, com o auxlio de diversos matemticos. As idias foram

se aperfeioando e o que era apenas o estudo da reta tangente, se transformou em uma

magnfica e poderosa ferramenta para resoluo de problemas. A definio de derivada como

conhecida hoje, deve-se a Cauchy que a apresentou por volta de 1823, como razo de

variao infinitesimal, embora Newton e Leibniz, j no sculo XVII tenham utilizado os

fundamentos desse conceito como mtodo para relacionar problemas de quadraturas e

tangentes.

O presente trabalho tem como objetivo mostrar algumas das aplicaes das

derivadas em diversos ramos das cincias exatas, bem como seu surgimento atravs da

histria da matemtica. Nele ser feita abordagem de conceitos, definies e tcnicas de

derivao importantes para a aplicao deste contedo.

O trabalho est organizado da seguinte forma:

Na Fundamentao Terica apresenta a importncia da Histria da

Matemtica para o ensino e identifica os Aspectos Histricos e conceitos da Diferenciao.

No Processo de Derivao destacado a Derivada, bem como suas

definies e sua interpretao geomtrica, as derivadas das funes elementares, regras de

derivao e a definio de mximo e mnimo de uma funo.

As Aplicaes das Derivadas so apresentadas atravs de problemas do

cotidiano, nas seguintes reas: Matemtica com os problemas de otimizao, Economia,

Fsica e Cincias Biolgicas.

2. FUNDAMENTAO TERICA

Inicialmente nesta pesquisa ser abordado um pouco da histria da

matemtica e em especial sobre a criao das derivadas, suas tcnicas e regras at chegar s

suas aplicaes.

2.1 IMPORTNCIA DA HISTRIA DA MATEMTICA

Com base nos Parmetros Curriculares Nacionais (PCN), a utilizao da

Histria da Matemtica em sala de aula tambm pode ser vista como um elemento importante

no processo de atribuio de significados aos conceitos matemticos, visto que a recuperao

do processo histrico de construo do conhecimento matemtico pode se tornar um

importante elemento de contextualizao dos objetos de conhecimento.

A Matemtica faz parte da histria do ser humano, ela foi construda ao

longo dos sculos e est viva e em constante transformao. Com a abordagem da Histria da

Matemtica, h melhora significativa no aprendizado, pois a histria possibilita a viso sobre

a natureza do conhecimento matemtico e de sua atividade, o que certamente contribui para

elaborao de atividades significativas em seu processo de ensino aprendizagem.

No Brasil, uma das sugestes encontradas nos PCN sobre a forma de

abordar os contedos de matemtica, em sala de aula. Recomenda-se a utilizao da histria

da matemtica como recurso pedaggico. Segundo os PCN, este recurso permite que:

Ao revelar a Matemtica como uma criao humana, ao mostrar necessidades e preocupaes de diferentes culturas, em diferentes momentos histricos, ao estabelecer comparaes entre os conceitos e processos matemticos do passado e do presente, o professor tem a possibilidade de desenvolver atitudes e valores mais favorveis do aluno diante do conhecimento matemtico. (BRASIL, 1997, p. 45)

Segundo Zuffi (2001, p.10), o conhecimento da gnese histrica dos

conceitos matemticos pode ser uma ferramenta de grande valia para elaborao da

linguagem matemtica e para compreenso mais profunda desses conceitos. A anlise

histrica poder auxiliar na compreenso e na criao Matemtica de forma que haja a

compreenso de que ela no se d em um nico momento, ela sofre forte influncia de fatores

socioculturais em sua criao, todos dependendo dos problemas em que as sociedades e a

13

comunidade cientfica de cada poca propem como relevantes. No obstante, o surgimento

da derivada percorreu sculos desde suas primeiras noes intuitivas, o qual mostra grande

riqueza histrica.

De acordo com Parra e Saiz (2001, p.37) Um dos objetivos essenciais (e ao

mesmo tempo uma das dificuldades principais) do ensino da matemtica precisamente que o

que se ensine esteja carregado de significado, e que tenha sentido para o aluno. Portanto

quando o objeto ensinado tem significado para o aluno certamente facilitar a aprendizagem.

Contudo importante dar significado ao que ensinado, no apenas em matemtica, mas em

todas as cincias.

2.2 ASPECTO HISTRICO DAS DERIVADAS

De acordo com Eves (2002), o sculo XVII foi extremamente produtivo

para o desenvolvimento da matemtica, graas, em grande parte, s novas e vastas reas de

pesquisas que nela se abriram. Indubitavelmente, porm, a realizao matemtica mais

notvel do perodo foi inveno do clculo, perto do final do sculo, por Sir Isaac Newton

(1642-1727) que desenvolveu mtodos analticos unindo tcnicas matemticas j conhecidas,

o que tornou possvel a resoluo de problemas de vrios tipos, como o de encontrar reas,

tangentes e comprimentos de curvas assim como mximos e mnimos de funes, e por

Gottfried Wilhelm Von Leibniz (1646-1716) o qual o destino tinha reservado a tarefa de

elaborar uma notao apropriada assim como a de nomear o Clculo Diferencial e Integral. O

curioso que o desenvolvimento histrico do clculo seguiu na ordem contrria a apresentada

em textos e cursos bsicos atuais sobre o assunto, ou seja, primeiro surgiu o clculo integral e

muito depois o clculo diferencial. A idia de integrao teve origem em processos

somatrios ligado ao clculo de rea e de certos volumes. A diferenciao, criada bem mais

tarde, resultou de problemas sobre tangentes e de questes sobre mximos e mnimos. Sendo

a diferenciao a operao inversa da integrao.

Conforme algumas informaes contidas no site Histria das Derivadas1

(apud PARANHOS, 2009, p. 1), alguns matemticos j utilizavam conceitos de clculo para

1Histria das Derivadas. Disponvel em: http://ecalculo.if.usp.br/historia/historia_derivadas.html

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resolver problemas, porm de forma imprecisa e no rigorosa. Cavalieri, Isaac Barrow, Pierre

de Fermat e Johann Kepler so alguns deles. Porm a sistematizao, estruturao e

aperfeioamento do clculo s viria mais tarde com Newton e Leibniz que deram origem aos

fundamentos mais importantes do Clculo: o Diferencial e o Integral. A questo da derivada

est intimamente ligada s retas tangentes a curva nos pontos tomados e suas implicaes com

mximos e mnimos. Os Gregos da Antiguidade j tinham o conceito de reta tangente a uma

curva em um ponto. O interesse por tangentes a curvas reapareceu no sculo XVII, como

parte do desenvolvimento da geometria analtica. Como equaes eram ento utilizadas para

descrever curvas, a quantidade e variedade de curvas estudadas aumentaram bastante em

comparao quelas conhecidas na poca clssica.

De acordo com Diniz (2006), no sculo XVII Pierre Fermat (1601 1665),

foi o primeiro a considerar vrias curvas inteiras de uma s vez, as quais foram chamadas

parbolas superiores, denominadas curvas da forma y = kxn, onde k constante e n = 2, 3, 4,...

Dessa forma a introduo da lgebra no estudo da geometria de curvas, teve grande

contribuio para o desenvolvimento da derivada. Fermat desenvolveu um processo algbrico

que determinou os pontos mximos e mnimos sobre uma curva, que na viso geomtrica

significa encontrar os pontos onde a tangente curva tem inclinao zero. J Ren Descartes

(1596-1650) estabeleceu a relao entre a Geometria e a lgebra, denominada de Geometria

Analtica, onde criou um processo para encontrar a tangente a uma curva partindo de dupla

raiz, tcnica aperfeioada por Johan Hudde (1628-1704). No entanto, devido ao trabalho

intimamente relacionado com as derivadas, Joseph-Louis Lagrange (1736-1813), que

publicou inmeros trabalhos de alta qualidade em vrias reas da cincia matemtica, dentre

elas Teoria dos Nmeros, Teoria das Funes, Clculo das Probabilidades, Teoria dos

Grupos, Equaes Diferenciais, Mecnica dos fluidos, analtica e celeste, afirmou ser Fermat

o criador do clculo.

Segundo Paranhos (2009), a questo das tangentes a curvas foi de especial

importncia para Newton ao estudar os movimentos dos planetas. Em 1665 pesquisando o

traado das tangentes e tentando determinar volumes de barris de vinho, criou o mtodo de

fluxos ou fluxes atualmente denominado clculo diferencial. Em 1666 ao pesquisar

quadraturas, produziu um manuscrito que chamou de mtodo inverso das fluxes, o que

mostra que Newton enxergou o que seus precedentes Fermat, Cavalieri e Barrow no haviam

visto, que o traado das tangentes (derivao) e a quadratura das curvas (integrao), so

operaes inversas uma da outra. O que gerou sua celebre frase: Se enxerguei mais longe, foi

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porque me apoiei sobre ombros de gigantes. Todavia, Newton no se interessou em publicar

seus trabalhos e manuscritos, eles circulavam apenas entre um pequeno nmero de pessoas

em Cambridge, onde tinha sua ctedra. Ao esconder seus estudos do mundo, Newton corria o

risco de ver suas idias serem redescobertas por outros, o que de fato aconteceu.

Segundo Paranhos (2009), Leibniz, em 1676, durante uma viagem

diplomtica a Londres visitou a Royal Society2 e teve acesso aos manuscritos de Newton.

Escreveu a ele perguntado sobre sries infinitas e recebeu duas cartas, denominadas de

Epistola Prior e Posterior, onde Newton revela alguns de seus pensamentos sobre sries

infinitas e sobre o mtodo de fluxes. O clculo diferencial de Leibniz tinha uma

fundamentao bem diferente da expressa por Newton. Pois Leibniz no estudou o

movimento para chegar ao conceito de derivada e integral. Ele pensou nas variveis x e y

como sendo grandezas que variavam por sucesso de valores infinitamente pequenos.

Introduziu dx e dy como sendo a diferena entre esses valores sucessivos.

Diniz (2006) relata que Leibniz, em 1672, enquanto vivia em Paris,

encontrou-se com Christiaan Huygens (1629-1695) e com ele aprendeu o mtodo para

encontrar tangentes a curvas algbricas, e posteriormente aperfeioou frmulas e notaes

para a derivada, publicando ento seu famoso artigo New methods for maximums and

minimums, as well as tangents, which is neither impeded by fractional nor irrational

quantities, and a remarkable calculus for them (Novos mtodos para mximos e mnimos,

assim como tangentes, os quais no so impedidos por quantidades fracionrias e irracionais,

e um clculo notvel para eles) de 1684. Esse artigo trouxe o clculo para os termos

modernos, possibilitando uma pessoa no especialista no assunto, desenvolver problemas de

tangentes a partir das frmulas do clculo de Leibniz.

Paranhos (2009), revela que houve uma longa e acalorada disputa no meio

cientfico da poca sobre quem seria a mais importante autoridade do clculo. Essa situao

chegou a tal ponto que os matemticos que viviam no Reino Unido se distanciaram durante

um perodo longo dos matemticos do continente. Enquanto o Clculo Leibniziano ganhava

cada vez mais adeptos na Europa, entre esses a famlia Bernoulli, os matemticos da ilha,

ficaram isolados e, quando voltaram a estabelecer relaes com os europeus do continente,

havia no s perdido parte do avano do clculo como tambm no compreendiam muito bem 2 Sociedade Real de Londres para o Progresso do Conhecimento da Natureza uma instituio destinada promoo de conhecimento cientfico, fundada em 1660.

16

a notao Leibniziana, ento largamente utilizada. Apesar deste fato, o julgamento tranqilo

da Histria considera que ambos foram os criadores independentes do clculo. Newton

chegou a ele dez anos antes, Leibniz foi o primeiro a divulg-lo e sua melhor simbologia

perdura at hoje.

Segundo Iezzi (1993), o clculo da derivada surge no sculo XVII na

Europa, com Sir Isaac Newton e Gottfried Wilhelm Leibniz. Newton desenvolveu o clculo

com a idia voltada para taxa de variao (velocidade), e Leibniz com a idia central do

clculo ser uma diferencial, onde ela a diferena entre dois valores prximos de uma

varivel. Leibniz desenvolveu simbologias e frmulas, estabelecendo a notao , ,...,dx dy

para as diferenciais , , ...,x y posteriormente regras como: 0da , se a constante; ( ) ; ( ) .d u v du dv d uv udv vdu Pelo fato da suspeita de que Leibniz houvesse

copiado a idia de Newton, Leibniz teve um fim obscuro para sua vida, enquanto Newton, um

notvel professor de matemtica foi sepultado como um rei. Porm, hoje em dia sabe-se que

os mesmos seguiram linhas diferentes na criao do clculo, contribuindo extraordinariamente

para o desenvolvimento da matemtica.

Diniz (2006) elucida que no sculo XVIII, Joseph Louis Lagrange (1736-

1813) tentou tornar o clculo mais rigoroso, j que pretendia dar um formato puramente

algbrico a derivada, ele desenvolveu a notao usada hoje em dia no clculo diferencial.

Contudo sua base slida para o clculo falhou, pois certas propriedades de sries infinitas

utilizadas para embasar sua concepo de derivadas foram demonstradas falsas. Porm no

sculo XIX Augustin Louis Cauchy (1789-1857), estabeleceu que a definio de derivada :

O limite de [f(x + i) f(x)] / i quando i se aproxima de 0. A forma da funo que serve como o limite da razo [f(x + i) f(x)] / i depender da forma da funo proposta y = f(x). Para indicar sua dependncia, d-se nova funo o nome de funo derivada (DINIZ, 2006).

Posteriormente Cauchy encontrou derivadas de todas as funes

elementares e a regra da cadeia. Ele utilizou o trabalho de Lagrange para provar vrios

teoremas bsicos do clculo, onde a partir desse momento a derivada e o clculo diferencial

passaram a fazer parte rigorosa e moderna do clculo.

3. PROCESSO DE DERIVAO

3.1 DEFINIO DE DERIVADA

Conforme Leithold (1994), a derivada pode ser interpretada

geometricamente como a inclinao de uma reta tangente a uma curva. Porm, quando

interpretada como taxa de variao ela mostra sua importncia em diversos ramos das cincias

tais como fsica, biologia, qumica, economia, entre outros.

Seja f uma funo definida em um intervalo I e um elemento de I.

Chama-se de derivada de f no ponto o limite lim ()() , se existir e for finito (IEZZI, MURAKAMI, & MACHADO, 1993).

A diferena = chamada de acrscimo ou incremento da varivel relativamente ao ponto . A diferena = () ( ) o acrscimo ou incremento da funo f relativamente ao ponto . O quociente

= ()()

recebe o nome de razo incremental de f relativamente ao ponto .

Para se chegar a uma boa definio de reta tangente ao grfico de uma

funo em um ponto do mesmo, deve-se pensar que essa reta tangente a reta que melhor

aproxima o grfico a vizinhana desse ponto. Assim, a reta tangente pode ser determinada por

seu coeficiente angular e pelo ponto de tangncia.

Considere a curva de uma funo contnua f, onde e () so as coordenadas do ponto A onde se deseja traar uma reta tangente. Seja agora outro ponto B do

grfico de , descrito por ( + ,( + )), onde o deslocamento no eixo das abscissas, ocorrido do ponto A ao ponto B. A reta que passa por A e B secante curva

= (). A inclinao (coeficiente angular) desta reta dada pelo quociente de Newton, definido como a razo incremental de com respeito varivel , no ponto :(Tangente em A).

Segundo Marques (2006), seja f uma funo = () definida no intervalo (a, b), sendo e + dois pontos de (a, b), onde denota a variao dos valores de .

18

O valor da funo passa de () para ( + ), ocorrendo uma variao, =( + ) (). Situao ilustrada na Figura 1.

Denomina-se taxa mdia de variao da funo o quociente entre y e x:

() =

= ()()

(1)

onde f uma funo definida no intervalo (a, b) e um ponto desse intervalo, a funo denominada de derivada da funo no ponto , se existir o limite da mesma. lim = lim ()() (2)

Este limite chamado tambm de taxa de variao instantnea (ou

simplesmente, taxa de variao) de com relao no ponto = .

3.2 INTERPRETAO GEOMETRICA DA DERIVADA

Conforme Leithold (1994), importantes problemas de clculo envolvem a

determinao da reta tangente a uma curva sobre um determinado ponto. Em Geometria Plana

19

a reta tangente a um ponto a reta que tem um nico ponto em comum com a circunferncia.

Sendo a tangente determinada por sua inclinao ao ponto de tangncia.

Para Marques (2006) a derivada pode ser compreendida geometricamente

como sendo um mtodo para calcular o coeficiente angular da reta tangente. Considerando

= () uma curva e P(x0, y0) um ponto sobre o grfico. Se a funo for derivvel, a mesma igual ao coeficiente angular da reta tangente ao grfico de no ponto P, atravs do limite:

() = lim

()()

(3)

quando este existir, ver Figura 2.

= () = ()

Segundo Iezzi (2004), a derivada de uma funo no ponto igual ao coeficiente da reta tangente ao grfico de no ponto de abscissa .

3.3 DERIVADAS DAS FUNES ELEMENTARES

Sero demonstradas as derivadas de algumas funes elementares que

ajudaro na resoluo dos problemas aplicados ao cotidiano.

20

3.3.1 Derivada da funo constante

Dada a funo () = , onde , temos:

= ( + ) ()

=

= 0

() = lim

= 0

Logo,

() = () = (4)

3.3.2 Derivada da funo potncia

Dada uma funo () = , onde , temos:

= ( + ) ()

= ( + )

=

= + . + . () + + ()

= = 1 + 2. + 3. () + + ()

() = lim

= 1 = .

Logo,

() = () = . (5)

3.3.3 Derivada da funo seno

Dada a funo () = (), temos:

21

= ( + ) ()

Aplicando a identidade trigonomtrica () () = 2 cos

, tem-se:

2 + 2 + 2

= 2. 2 . cos + 2

= = 2 2 . cos ( + 2 )

() = lim

= lim

2

2 . lim cos + 2 = cos () Logo,

() = () () = () (6)

3.3.4 Derivada da funo cosseno

Dada a funo () = cos (), temos:

= ( + ) ()

Aplicando a identidade trigonomtrica cos() cos() = 2

, tem-se:

2 + 2 + 2

= 2. + 2 . 2

= = + 2 . 2 2

22

() = lim

= lim

+ 2 . lim 2 2 = ()

Logo,

() = () () = () (7)

3.3.5 Derivada da funo exponencial

Dada a funo = , com e 0 < 1, por derivao implcita temos:

= ln = ln ln = ln 1 = ln

= ln

= ln

Logo,

() = () = . (8) No caso particular da funo exponencial de base , () = , temos o

resultado notvel:

() = . ln = Logo,

() = () = (9)

23

3.4 REGRAS DE DERIVAO

O processo de clculo da derivada denominado derivao. Assim, a derivao o processo de derivar uma funo de uma funo . Se uma funo possui uma derivada em , ela ser derivvel em . Isto , a funo ser derivvel em se () existir. Uma funo ser derivvel em um intervalo aberto se ela for derivvel em todo nmero no intervalo aberto.

3.4.1 Derivada da Soma ou da Diferena

Sejam duas funes () e () derivveis no intervalo aberto I = ]a; b[, e () uma funo definida pela soma ou pela diferena de () (), ento se () () existirem, ento () = () + (). PROVA:

() = lim

( + ) ()

() = lim

[( + ) + ( + )] [() + ()]

() = lim

[( + ) ()] + [( + ) ()]

() = lim

( + ) ()

+ lim

( + ) ()

() = () + () (10) Portanto, a derivada da soma de duas funes a soma de suas derivadas, se

elas existirem.

3.4.2 Derivada do Produto

Sejam duas funes () e () derivveis no intervalo aberto I =] a;b[, e () uma funo definida pelo produto de () (), ou seja, () = ().(),ento se () () existirem, ento () = ().() + ().()

24

PROVA:

() = lim

( + ) ()

() = lim

[( + ).( + )] [().()]

Se ( + ).() for somado e subtrado ao numerador, ento: () = = lim

[( + ).( + )] ( + ).() + ( + ).() [().()]

= lim

( + ).( + ) ()

+ ().( + ) ()

= lim

( + ).( + ) ()

+ lim

().( + ) ()

= lim

[( + )]. lim

( + ) ()

+ lim

[()]. lim

( + ) ()

Como derivvel e contnua em , logo:

lim

[( + )] = () , lim

[()] = (), lim ()() = () e lim

( + ) ()

= ()

Assim, () = ().() + ().() (11) Portanto, a derivada do produto de duas funes a primeira funo vezes a

derivada da segunda funo mais a segunda funo vezes a derivada de primeira funo, se

essas derivadas existirem.

3.4.3 Derivada do Quociente

Sejam duas funes () e () derivveis no intervalo aberto I =] a; b[, sendo () 0 em I. E seja () uma funo definida pelo quociente de () (),ou seja, () = ()

() , ento se () () existirem, temos que: () = ().() (). () [() ]

25

PROVA:

() = lim

( + ) ()

() = lim

( + )( + ) ()()

() = lim

( + ).() ().( + ).().( + )

Se ().() for somado e subtrado ao numerador, ento: () = lim

( + ).() ().() ().( + ) + ().().().( + )

() = lim

().( + ) () ().( + ) () ().( + )

() = lim(). lim ( + ) () lim (). lim( + ) ()lim

(). lim

( + ) Como derivvel em x, ento ser contnua em x; assim, temos que lim ( + ) = (). Alm disso, lim () = () e lim () = () . Com

esses resultados e as definies de () () obtem-se: () = ().() ().()

().() () = ().()().()[()] (12)

Portanto, a derivada do quociente de duas funes a frao tendo como

denominador o quadrado do denominador original e como numerador o denominador vezes a

derivada do numerador menos o numerador vezes a derivada do denominador, se essas

derivadas existirem.

26

3.4.4 Derivada de uma funo composta ou Regra da Cadeia

Segundo o Leithold (1994), a regra da cadeia considerada um dos

importantes teoremas do clculo, pois atravs dela que determinamos a derivada de uma

funo composta.

Seja : uma funo dada pela lei = (). Seja : uma funo dada pela lei = (). Existe a funo composta : dada pela lei = () = (()). Supondo que seja derivvel no ponto e seja derivvel no ponto tal que = (), provar que tambm derivvel em , e calcular sua derivada. Ento:

= ( + ) () (13) E, da, vem:

( + ) = () + = + (14) Tambm

= ( + ) () = ( + ) () = ( + ) () Ento,

z

= ( + ) ()

= ( + ) ()

= ( + ) ()

.

E da:

z

= ( + ) ()

. ( + ) ()

Observando a igualdade (I), quando 0, o mesmo o ocorre para ;

ento, fazendo tender a zero na ltima igualdade:

lim

z

= lim

( + ) ()

. ( + ) ()

=

= lim

( + ) ()

. lim

( + ) ()

= = lim

( + ) ()

. lim

( + ) ()

= ().()

27

Em suma,

() = () () = (). () (15)

3.5 MXIMOS E MNIMOS DE UMA FUNO

Fermat, em 1963, divulgou um novo mtodo para determinao de

tangentes, estudo que levaria aos mximos e mnimos. Em aplicaes simples, raramente

precisa-se provar que certo valor crtico um mximo ou um mnimo, porm para ter um

embasamento terico observe as seguintes definies:

Dada uma funo: , um ponto chamado de: Ponto de mximo relativo (ou local) da funo, quando () () para todo

.

Ponto de mnimo relativo (ou local) da funo, quando () () para todo . O valor () chamado de mximo ou mnimo relativo (ou local) de , e (,()) so as coordenadas dos pontos de mximo ou de mnimo relativo de . Diz-se que um ponto um ponto crtico para a funo quando

definida em mas no derivvel em , ou () = 0.

Segundo Flemming, Luz e Wagner (2006), o uso da derivada para

determinar os mximos e mnimos de uma funo pode-se utilizar dois critrios enunciados

por dois teoremas:

Teorema 1: Seja y = f(x) uma funo contnua em [a,b] e possui derivada

em todos os pontos do intervalo (a,b), exceto possivelmente num ponto c (a,b).

(a) Se f (x) > 0 para todo x < c e f (x) < 0 para todo x > c, ento y = f(x)

tem um mximo relativo em c.

(b) Se f (x) < 0 para todo x < c e f (x) > 0 para todo x > c, ento y = f(x)

tem um mnimo relativo em c.

Teorema 2: Seja y = f(x) uma funo derivvel num intervalo (a,b), e c

(a,b) um ponto crtico da funo. Se y = f(x) admite derivada de segunda ordem em (a,b),

assim:

28

(a) Se f (x) < 0, y = f(x) tem um valor mximo relativo em c.

(b) Se f (x) > 0, y = f(x) tem um valor mnimo relativo em c.

Conforme Leithold (1994), quo grande foi contribuio de Pierre de

Fermat, pois dentre as aplicaes mais notveis do clculo esto aquelas que buscam valores

de mximos ou mnimos de funes. Pois, dentre as importantes aplicaes de mximos e

mnimos destacamos os problemas que tm na sua estrutura o valor mximo ou mnimo de

algumas variveis tais como: rea, volume, fora, potncia, tempo, lucro ou custo, dentre

outros.

4. APLICAES DE DERIVADAS

Sabe-se que o mundo regido por leis naturais e relaes sociais que

possibilitam um amplo espao pedaggico para o desenvolvimento de grande parte dos

contedos de matemtica de forma contextualizada. Pode parecer que alguns contedos

matemticos no tm aplicao clara e imediata nos problemas cotidianos, o que talvez crie

certo desapontamento. Mas, na verdade, a aplicao ocorre como resultado da evoluo e

desenvolvimento desses conceitos. O mesmo acontece com o clculo de derivadas que tem

importncia especial em virtude das inmeras aplicaes em vrios campos das cincias, tais

como: problemas da fsica, biologia, qumica, modelagem matemtica, arquitetura, geologia,

engenharia e economia.

O estudo da derivada apresenta diversas aplicaes prticas, ela

constantemente aplicada em muitos problemas que envolvem o dia-a-dia do ser humano,

possibilitando at mesmo resolver situaes que envolvam taxas de variao .

4.1 MXIMOS E MNIMOS

No cotidiano, a derivada pode auxiliar na resoluo de inmeros problemas,

como pode ser visto no exemplo a seguir:

Problema da piscina

PROBLEMA1. Deseja-se construir uma piscina com formato quadrangular com capacidade

de 32 m3 de gua. Determinar as dimenses da piscina para que seja mnimo o consumo de

material utilizado no seu revestimento interno. Ver a ilustrao da Figura 3.

30

SOLUO: As dimenses so , e e seu volume de 32 m3, tem-se:

= = 32 (16) = 32

A rea total de revestimento da piscina de base quadrangular = 4 + , pois se sabe que a rea total de um prisma de base quadrangular fechado = 4 + 2 , todavia a piscina no fechada confirmando a primeira expresso. Substituindo o valor de .

= 4

+ (17) = 128 +

= 128 +

= 3 (128 + ). 1

= 2 128

= 0 2 128 = 0 = 4 e = 2

Logo, as dimenses para que se tenha mnimo gasto de material so

respectivamente, 4m, 4m e 2m.

Problema do cercado

PROBLEMA 2. Geraldo deseja construir um cercado retangular para por seus pequenos poodles franceses. Quais dimenses devem ter este cercado, sabendo-se que ele possui apenas 1500m de grade de modo que se tenha uma rea mxima? Ilustrao na Figura 4.

SOLUO:

A varivel a ser maximizada a rea do cercado. Aqui, A= xy, onde x o

comprimento do cercado e y a largura. Mas existem 1500m de grade, e o permetro do

31

cercado dado por 2p= 2x + 2y, da, 2x + 2y = 1500. Resolvendo esta equao y = 750 - x ,

que ser substituda na equao A= x.y para obter:

A= x(750-x) = 750x - x2 (18)

Assim A= F(x), onde F(x) = 750x x2. Visto que as dimenses x e y do

cercado no podem ser negativas, pois x 0 e 750 x 0 , isto , 0 750. Na realidade,

procura-se o valor de x que o mximo de F(x) = 750x x2 no intervalo [0, 750]. Aqui, F(x)

= 750 2x, logo x = 375 d o nico ponto crtico no intervalo aberto (0, 750). Logo, F(x)

atinge um valor mximo quando x = 375m e y = 750 x = 750 375= 375m.

Logo, as dimenses so 375m por 375m e cuja rea mxima de 140625

m2.

Problema da horta

PROBLEMA 3.Uma dona de casa deseja construir, uma pequena horta de formato retangular

em seu quintal. Porm, ela possui apenas 20m de tela para cerc-la. Quais devero ser as

medidas dos lados do retngulo, para que o mximo de espao seja aproveitado?

SOLUO:

Como ainda no conhecida a largura da horta, foi adotado x para

representar essa largura, e para manter os 20m de tela, foi posto para o comprimento 10 x,

de tal forma que ao calcular o permetro do retngulo ser mantido os 20m de tela.

Circunstncia ilustrada pela Figura 5.

Como o permetro de 20m, as dimenses do retngulo so de 10 x e x.

Calculando a rea do retngulo, obtm-se:

32

A(x) = x(10 x) (19)

A(x) = 10x x2

A rea ser mxima, quando a tangente tiver inclinao zero.

A(x) = 10 2x (20)

Igualando- se a derivada a zero, 10 2x = 0, logo x = 5.

Para que seja possvel ter o maior aproveitamento da rea com os 20m de

tela, a dona de casa dever fazer sua horta com as dimenses de 5m x 5m, onde obter uma

rea til de 25m2.

Problema do reservatrio de gua

PROBLEMA 4. Carlos Antnio precisa fazer um reservatrio de gua (espcie de tanque)

feito com tijolo e cimento revestido de cermica, sem tampa, tendo na base um retngulo com

comprimento igual ao triplo da largura. Calcule as dimenses que permitem a mxima

economia de material para produzir o reservatrio de volume de 36 m3.

SOLUO:

Indicando-se a largura por x, o comprimento por 3.x e a altura por y, obter-

se- a Figura 6:

O volume desta caixa dado por = 3 = 3 e ento, = 3 , = 36 (21)

33

3 = 36 , =

, ou seja,

=

A rea total da caixa = ( 3 + 2 + 2 3 ), logo a rea dada por:

= 3 + 8 (22) Substituindo y na rea,

() = 3 + 8

= 3 +

(23)

() = 3 + 96

Para encontrar o valor mximo ou mnimo preciso derivar a rea e igualar

zero, assim:

() = ()

(24) () = 3 + 9 96

= 6 96

() = 0, () = 6 96 = 0 = 16 = 22 2,52 metros.

Para calcular a altura s substituir a medida x em =

, = , logo,

= 4,76 metros. Logo, as dimenses que permitem a mxima economia de material para um tanque de volume 36 m3, so aproximadamente: comprimento, largura e altura,

respectivamente, 7,56 m, 2,52 m e 4,76 m.

34

Problema do suco

PROBLEMA 5. O empresrio Augusto deseja lanar um novo suco em lata no mercado. Para

isso, foi feito um contrato com uma indstria de embalagens, que deve fabricar recipientes

cilndricos em alumnio com capacidade de 800 cm3. Qual deve ser a medida R do raio da

base e a medida H da altura de cada um desses recipientes cilndricos de modo que a

quantidade de alumnio utilizada para sua fabricao seja mnima?

SOLUO:

A rea total do cilindro = 2 + 2 e seu volume = , ilustrado na Figura 7.

= 800 = 800

=

(25)

Substituindo na frmula da rea a altura tem-se o seguinte:

= 2

+ 2 =

+ 2 (26) = 1600

+ 2

() = 1600 + 2

Derivando a rea em relao ao raio e depois igualando a zero,

() = ..

(27)

35

() = 4 1600

= 0 = 16004.

=

cm e para encontrar a altura s substituir em = . , assim:

= .

(28)

= 2

cm.

Logo, as medidas do raio e da altura sero, respectivamente,

cm e 2

cm, que equivalem a 5,03cm e 10,06cm , ou seja, = 2 .

Problema do galinheiro

PROBLEMA 6.Um agricultor precisa construir um galinheiro de forma retangular

utilizando-se de uma tela de 16m. Sabendo que ele vai usar um muro como fundo do

galinheiro, determine as dimenses do mesmo para que sua dimenso seja mxima. Ver

Figura 8.

36

SOLUO:

O comprimento de tela de 16m e como ele vai aproveitar o muro logo as

dimenses do galinheiro sero m, 16 2 m, m. A rea () = (16 2 ) a derivada da rea igualada zero

determinar qual o valor das dimenses para que seja mxima a rea do galinheiro.

() = 16 2 (29) () = 16 4 = 0

= 4 Logo as dimenses so 4m e 8m.

4.2 APLICAES NA ECONOMIA

MARQUES (2006) descreve que problemas em administrao e economia,

na maioria das vezes envolvem maximizao de lucro e receita, e minimizao de custos.

Podendo ento, com o auxilio da derivada, calcular o mximo de lucro que uma indstria

pode obter e o menor custo, na confeco do produto.

Segundo MUNEM & FOULIS (1982), em economia, o termo marginal

freqentemente usado como um sinnimo virtual para derivada de. Por exemplo, se C

uma funo custo tal que () o custo da produo de unidades de certa mercadoria, () chamado de custo marginal da produo de unidades e chamada de funo custo marginal. Desse modo, o custo marginal a taxa de variao do custo da produo por

variao da produo por unidade.

Problema do lucro

37

PROBLEMA 7. Sabendo-se que o custo total de produo de microondas por dia de

R$ + 70 + 50 e o preo unitrio de R$ (100 ). Qual deve ser a produo

diria para que o lucro seja mximo?

SOLUO:

O Lucro Total dado por L = Receita (R) Custo (C), onde a Receita = P(x).x.

C(x) = + 70 + 50, P(x) = (100 ) e R(x) = 100 (30)

L(x) = R(x) C(x) = [100 ] - + 70 + 50

L(x) = 100 - 70 50 L(x) =

+ 30 50

Calculando a derivada primeira da funo lucro, em relao x ,

() = 3 + 30 (31) Para calcular os pontos crticos de L s igualar L'(x) a zero, ou seja, L(x) = 0, e vm

3. + 30 = 0, que resultar em = 10, ponto critico da funo. Portanto, preciso fabricar 10 microondas por dia.

Problema de venda

PROBLEMA 8. No cinema, o preo de um pacote de pipoca de R$ 4,50. O pipoqueiro

pode vender 500 pacotes de pipocas com o custo de R$1,40 por pacote. Para cada centavo que

o pipoqueiro baixar no preo do pacote, a quantidade vendida pode aumentar de 50 unidades

(pacotes). Que preo de venda maximizar o lucro?

SOLUO:

Inicialmente, observe que o lucro de R$ 3,10 por pacote. Se x denotar o

nmero de centavos que o pipoqueiro baixa no preo de cada pacote; o lucro na venda de cada

pacote de pipoca ser ento de 310 centavos, e a quantidade vendida ser 500 + 50. O lucro total , portanto, o lucro por unidade (pacote) vezes a quantidade vendida, ou seja,

= () = (310 ) (500 + 50) = 155000 + 15500 500 50 (32) () = 155000 + 15000 50

38

Agora, deve-se maximizar a funo L(x) . Como L uma funo polinomial,

acontece quando iguala sua derivada zero (uma vez que a derivada sempre existe) e

resolvendo a equao resultante. Sendo: () = 15000 100 (33) 15000 100 = 0 = 150 Como a derivada segunda de igual a () = 100 , portanto

negativa para qualquer valor de , segue que = 150 um ponto de mximo. Assim, o preo de venda que dar o maior lucro de R$ 3,00.

Problema de produo

PROBLEMA 9. O preo da produo de unidades de carpetes para sala de estar dado

pela funo () = 30 + 20 . Se o preo de venda de cada bateria 60

, para

< 50.000, determine o nmero de baterias que devem ser fabricadas e vendidas para que o lucro seja mximo.

SOLUO:

A funo lucro ser denotada por:

() = . 60

() (34) () = 60 1000 [30 + 20 ] () = 60 1000 30 20

() = (40.000 30000) Derivando a funo Lucro e igualando a zero para determinar o ponto crtico:

() = 40.000 2 (35) () = 0 40.000 2 = 0 = 20.000

Sendo assim, o nmero de carpetes fabricados para que o lucro seja mximo de 20.000.

4.3 APLICAES NA FSICA

4.3.1 Interpretao Cinemtica da Derivada

39

De acordo com Iezzi, Murakami e Machado (1993), do estudo da

Cinemtica sabe-se que a posio de um ponto material em movimento, sobre uma curva

(trajetria) conhecida, pode ser determinada, em cada instante t, atravs de sua abscissa s,

medida sobre a curva . A funo que fornece s em funo de t: s= s(t), Chamada de equao

horria.

Sendo dado um instante t0 e sendo t um instante diferente de t0, chama-se

velocidade escalar mdia do ponto entre os instantes t0 e t o quociente:

= ()() = e chama-se velocidade escalar do ponto no instante t0 e t o limite: () = lim = lim ()() = lim = () (33)

Da, conclui-se que a derivada da funo = () no ponto = igual velocidade escalar do mvel no instante .

Ainda conforme os autores, sabendo que a velocidade v de um ponto

material em movimento pode variar de instante para instante, a equao que fornece a

velocidade em funo do tempo t : = (), chamada equao da velocidade do ponto. Sendo dado um instante t0 e um instante t, diferente de t0, chama-se

acelerao escalar mdia do ponto entre os instantes t0 e t o quociente: = ()() = e chama-se acelerao escalar do ponto no instante t0 o limite:

() = lim = lim ()() = lim = () (34) Conclui-se que a derivada da funo = () no ponto = igual

acelerao escalar do mvel no instante .

Problema de Lanamento Vertical

PROBLEMA 10. Uma bola de basquete lanada verticalmente para cima, por um menino, e

tem posies no decorrer do tempo dadas pela funo horria () = 60 5 ( em metros e em segundos). a) Calcule o tempo gasto para atingir a altura mxima. b) Determine

a altura mxima em relao ao solo. Ver na Figura 7.

40

SOLUO: Como a funo horria a funo que determina o espao em funo do

tempo, ao derivar a expresso () = 60 5 , tem-se a velocidade instantnea em funo do tempo, assim, () = () = 60 10 , igualando a zero a velocidade implica que:

() = 0 (36) 60 10 = 0 = 6

Para determinar a altura preciso substituir o tempo na expresso do espao, tem-se:

(6) = 60 6 5 6 (37) (6) = 180

Assim, conclui-se que o tempo gasto para atingir a altura mxima 6 segundos e a altura

mxima em relao ao solo de 180 metros.

Problema do Deslocamento

PROBLEMA 11. Um mvel desloca-se sobre um seguimento de reta obedecendo equao

horria = cos (Unidades do SI). Determine: a) Sua velocidade instante =

; b) Sua acelerao no instante =

.

SOLUO:

Derivando-se a funo () = cos , obtm-se como soluo da letra a: () = () = sen (38)

4 = sen 4

4 = 22 / Derivando a velocidade em funo do tempo tem-se:

() = () = cos (39)

41

6 = cos6

6 = 32 /

Logo sua velocidade e sua acelerao so, respectivamente,

/ e

/.

Problema de carga eltrica

PROBLEMA 12. Uma carga eltrica, em Coulombs, transmitida atravs de um circuito varia

de acordo com a funo () = 12 48 . Determinar o tempo quando a corrente = () atinge um valor mnimo. SOLUO:

Derivando-se a expresso () = 12 4 8 e em igualando a zero resultar em: () = 48 144 (40)

() = 0 48 144 = 0 = 0 ou = 3

Assim, para (0) = 0 e (3) = 324, logo a soluo = 3 .

Problema de temperatura

PROBLEMA 13. Flvia Freire, jornalista que apresenta a previso do tempo no Jornal Hoje,

alerta as pessoas que moram na regio sul que tirem seus agasalhos do guarda-roupa, pois

estava chegando uma frente fria. A temperatura em T graus e horas aps a meia-noite = 0,1. (400 40 + ) 0 12. (a) Ache a taxa de variao mdia de T em relao entre 5h e 6h; (b) Ache a taxa de variao de T em relao s 5h. SOLUO: Este problema envolve taxa de variao da Temperatura em graus em relao ao

tempo, logo ao derivar T em relao t:

= 0,1 (40 + 2 ) (41)

42

= 4 + 0,2

Como a na alternativa a pede na media de horas entre 5h e 6h, substituindo o =5,5 tem-se que:

= 4 + 0,2 5,5 (42)

= 4 + 1,1

= 2,9

J na alternativa b pede-se para calcular em = 5 , logo:

= 4 + 0,2 5 (43)

= 4 + 1

= 3 .

4.4 APLICAES NAS CINCIAS BIOLGICAS

As aplicaes das derivadas aparecem como taxas relacionadas onde de

acordo como Leithold (1994) sua interpretao mostra sua maior importncia.

Problema do crescimento do tumor

PROBLEMA 14. Dr. Cludia Eller diz ao seu paciente que tem um tumor no corpo e

suponha que seja de forma esfrica. Ela pergunta para ele: Se quando o raio do teu tumor for

0,5 cm, o raio estiver crescendo a uma taxa de 0,001 cm por dia, qual ser a taxa de aumento

do volume do tumor naquele instante?

43

SOLUO: No tempo o tumor tem raio = 0,5 ,

= 0,001 e volume =

.. , ento:

= 4

(44)

= 4 (0,5) 0,001

= 4 0,25 0,001

= 0,001. /

Problema da velocidade

PROBLEMA 15. Durante a tosse h um decrscimo no raio da traquia de uma pessoa.

Suponha que o raio da traquia seja cm e que durante a tosse o raio seja de cm, onde

uma constante e uma varivel. Pode-se mostrar que a velocidade do ar atravs da traquia

uma funo de e se () cm/s for essa velocidade, ento() = ( ) onde uma constante positiva e esta em

,. Determine o raio da traquia durante a tosse, para a

velocidade do ar atravs da traquia seja mxima. Ver Figura 9.

SOLUO: Melhorando a expresso () = , derivando-a e igualando a zero tem-se:

() = 2 3 (45) () = 0

44

2 3 = 0 (2 3) = 0

= 0 ou 2 3 = 0 = 0 ou 3 = 2

= 23 A soluo do problema =

, pois

=

que a maior velocidade.

Problema da populao

PROBLEMA 16. Centenas de animais pertencendo a uma espcie em perigo esto colocadas

numa reserva de proteo. Depois de anos a populao desses animais na reserva dada

por = 100 . Aps quantos anos a populao mxima?

SOLUO: Derivando-se a expresso da populao dessa espcie em relao ao tempo em

anos e em seguida igualando a zero tem-se o tempo em que a populao mxima, assim:

= 100 (46)

= 100. (2 + 5) ( + 25) ( + 5 + 25) 2 [ + 25] = 100 5 + 125[ + 25] = 500 [25 ][ + 25]

= 0 500 [25 ][ + 25] = 0 [25 ] = 0

45

= 25 = 5 anos.

Logo, no perodo de 5 anos a populao dessa espcie em perigo ser mxima.

Problema de crescimento populacional

PROBLEMA 17. Certo lago pode suportar uma populao mxima de 20.000 peixes. Se h

poucos peixes no lago, a taxa de crescimento populacional ser proporcional ao produto da

populao existente pela diferena da populao existente a partir de 20.000. Para que

populao a taxa de crescimento ser mxima? [NOTA: Indique por () a taxa de crescimento para uma populao de dimenso , ento () = (20.000 ). SOLUO: Derivando a expresso, tem-se:

() = (20.000 ) (47) () = 20.000 2 2 = 20.000

= 10.000 peixes.

Problema de presso sangnea

PROBLEMA 18. Suponha que a diminuio na presso sangnea de uma pessoa dependa de

uma determinada droga que ela dever tomar. Assim, se mg da droga forem tomados, a

queda da presso sangnea ser uma funo de . Seja () esta funo e () = (

) onde est em [0,] e uma constante positiva. Determine o valor de que cause o maior decrscimo na presso sangnea.

SOLUO:

() =

(48)

46

() = 32

32 = 0 = 0 ou =

Logo o valor de para que se tenha o maior decrscimo da presso .

47

5. CONSIDERAES FINAIS

A Histria da Matemtica um recurso didtico no processo de atribuio

de significados aos conceitos matemticos. Visto que a recuperao do processo histrico de

construo do conhecimento matemtico facilita o ensino aprendizagem do aluno. A histria

da criao da Derivada mostra as dificuldades que os matemticos daquelas pocas passaram,

ao tentar resolver problemas de tangncias e quadratura do crculo. No obstante, seu estudo

foi desenvolvido ao longo de 2500 anos com o auxlio de diversos matemticos onde dois

matemticos foram os maiores influenciadores na criao da derivada, Newton e Leibniz.

A Diferenciao est presente no apenas no ensino da matemtica como no

estudo da inclinao de retas, mas no ensino da fsica, onde pode ser determinada a

velocidade e acelerao de um objeto, por exemplo, na economia empresarial, em atividades

como a maximizao da capacidade de embalagens e minimizao de custos. Como taxa de

variao ela mostra sua importncia em diversos ramos das cincias tais como fsica, biologia,

qumica, economia, entre outros.

A finalidade deste trabalho foi de mostrar e fazer uma sntese das derivadas

desde os aspectos histricos, das definies e das aplicaes desta no cotidiano. O material

resultante deste trabalho poder ser utilizado como fonte de consultas a alunos de diversos

cursos de graduao, ao apresentar problemas de diversas reas os quais antes estavam

dispersos.

Entretanto, deve-se ressaltar que as aplicaes de derivadas no se

delimitam apenas a essas que foram mostradas aqui. Na verdade, a derivada constitui uma

ferramenta poderosa para o estudo e anlise de funes.

6. REFERNCIAS

AYRES JR., Frank; MENDELSON, Elliott. Clculo Diferencial e Integral. (Coleo Schaum). 3 ed. So Paulo: Makron Books, 1994.

BRASIL, Ministrio de Educao e Cultura. Parmetros Curriculares Nacionais para o Ensino Fundamental Matemtica - 5 a 8 srie. Braslia, SEF, 1997.

DINIZ, Geraldo L. Histria da Derivada. Disponvel em: http://www.UFMT.br/icet/matematica/geraldo/histderivada.htm. Acesso em 12 de maro de 2010, 20:00h.

EVES, Howard. Introduo a Histria da Matemtica. 2 Ed. So Paulo: UNICAMP, 2002.

FLEMMING, Diva Marlia; LUZ, Elisa Flemming; WAGNER, Christian Clculo I, 4a ed. rev., Palhoa: Unisulvirtual, 2006.

IEZZI, Gelson; DOLCE, Osvaldo; DEGENSZAJN, David; PRIGO, Roberto; ALMEIDA, Nilze de. Matemtica: Cincia e Aplicaes. 2 ed. 3 Vol. So Paulo: Atual, 2004.

IEZZI, Gelson; MURAKAMI, Carlos; MACHADO, Nilson Jos. Fundamentos de Matemtica Elementar. 5 ed. 3 reimp. 8 Vol. So Paulo: Atual, 1993.

LEITHOLD, Louis. O Clculo com Geometria Analtica. 3 ed. 1 Vol. So Paulo: Harbra, 1994.

MARQUES, Jair Mendes. Matemtica Aplicada. 5. tir. Curitiba: Juru, 2006.

MUNEM, Mustafa A.; FOULIS, David J. Clculo. 1 Vol. Rio de Janeiro: LTC- Livros Tcnicos e Cientficos Editora S.A., 1982.

PARANHOS, Marcos de Miranda. Geometria Dinmica e o Clculo Diferencial e Integral. So Paulo: PUC-SP, 2009.

PARRA, Ceclia; SAIZ, Irma. Didtica da Matemtica: Reflexes Piscopedaggicas. Ed.: Artmed. Porto Alegre, 2001.

ZUFFI, Edna Maura. Alguns aspectos do desenvolvimento histrico do conceito de funo. Educao Matemtica em Revista (So Paulo), So Paulo, v. Ano 8, n.9, p. 10-16, 2001.

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1787 Anderso Marcolino