Embed Size (px)
Citation preview
18. Kombinatorika a binomická veta
18.1 Faktoriál čísla - !n
1. Vypočítajte:
a) !0!2 b) 22 !2!2!22 c) !!3!3
a) 3112!0!2
b) 3242442123412212!4122!2!2!22 2222
c) 72672061234566!66!123123!!3!3
2. Vypočítajte:
a) !4
!8 b)
!4!4
!8
c)
!4!4
!8
d)
!44
!8
a) 168056781234
12345678
!4
!8
b) 3512341234
12345678
!4!4
!8
c) 705271234
5678
12341234
12345678
!4!4
!8
d) 42056724
5678
12344
12345678
!44
!8
3. Zjednodušte:
a) !3!4!7
!6!5!2
b)
!30
!29!28 c)
!67!76
!66!77
a) 21
5
37
5
!23!4!67
!6!45!2
!3!4!7
!6!5!2
b)
29
1
!282930
291!28
!30
!29!28
c) 7
11
35
55
776!6
677!6
!67!76
!66!77
4. Upravte na spoločného menovateľa:
a) !13
7
!12
1 b)
!16
15
!15
1 c)
!6
2
!7
20
!5
3
a) !13
20
!13
713
!13
7
!12
1
b) !16
1
!16
1516
!16
15
!15
1
c) 42
1
!7
7220673
!6
2
!7
20
!5
3
5. Kráťte a určte podmienky pre n:
a)
!
!1
n
n c)
!1
!1
n
n e)
!2
!4
n
n g)
!12
!2
n
n
b) !2
!
n
n d)
!99
!100
n
n f)
!2
!4
n
n h)
!33
!23
n
n
a)
1!
!1
!
!1
n
n
nn
n
n, kde 0n
b)
1!2
!21
!2
!
nn
n
nnn
n
n, kde 2n
c)
nnn
nnn
n
n
1
!1
!11
!1
!1, kde 1n
d)
99
1
!10099
!100
!99
!100
nnn
n
n
n, kde 100n
e)
34!2
!234
!2
!4
nn
n
nnn
n
n, kde 2n
f)
32
1
!432
!4
!2
!4
nnnnn
n
n
n, kde 4n
g)
n
n
nn
n
n2
!12
!122
!12
!2
, kde 1n
h)
23!33
!3323
!33
!23
n
n
nn
n
n, kde 1n
6. Upravte, určte podmienky pre n:
a) !1!
1
n
n
n c)
!2
3
!3
5
!4
162
22
nn
n
n
n
b) !4
1
!3
nn
n d)
!2
42
!1
2
!
2
n
n
n
n
n
a) !1
1
!1
1
!1!
1
nn
nn
n
n
n, kde 0n
b)
!3
3
!3
3
!4
1
!3
nn
nn
nn
n, kde 4n
c)
!34
335424
!2
3
!3
5
!4
162
222
nn
nnnn
nn
n
n
n
!3
6
!3
33542 22
n
nn
n
nnn, kde 2n
d)
0!2
4222122
!2
42
!1
2
!
2
n
nnnnn
n
n
n
n
n
7. Upravte, určte podmienky pre n:
a)
!14
!
!3
!1
n
n
n
n c)
!1
!3
!2
!42
!3
!5
n
n
n
n
n
n
b)
!14
!
!3
!1
n
n
n
n d)
!1
!9
!1
!14
!
!1
n
n
n
n
n
n
a)
14
1
3
1
!14
!
!13
!1
!14
!
!3
!1
nnnn
n
nn
n
n
n
n
n
b)
14
1
3
1
!14
!
!13
!1
!14
!
!3
!1
nnnn
n
nn
n
n
n
n
n
c)
!1
!3
!2
!42
!3
!5
n
n
n
n
n
n
!1
!123
!2
!2342
!3
!345
n
nnn
n
nnn
n
nnn
223342!45 nnnnnn
d)
!1
!19
!1
!114
!
!1
!1
!9
!1
!14
!
!1
n
nn
n
nnn
n
nn
n
n
n
n
n
n
8. Rozhodnite, ktoré z čísiel A a B je väčšie:
a) !73!70A b) !3! nnA
!72!71B !2!1 nnB
a) 7172731!70!73!70 A
BAB 7371!7072171!70!72!71
b) 1231!!3! nnnnnnA
BAnnnnnnnnB 31!211!!2!1
9. Dokážte, že platí:
a) 1!1002!1001
!1003!1000
b) 1
!1003!1005
!1002!1004
a) 1!1002!1001
!1003!1000
110031001
1001100210031
100211001!1000
1001100210031!1000
!1002!1001
!1003!1000
b) 1!1003!1005
!1002!1004
11100410051003
110031004
1100410051003!1002
110031004!1002
!1003!1005
!1002!1004
10. a) Koľkými nulami končí číslo 50! ?
b) Koľkými nulami končí číslo 100! ?
c) Koľkými nulami končí číslo 500! ?
11. Dokážte, že platí:
a) !!!1:0 , nnnnnn Z
b) 24!2!4!3!2:2 , nnnnnnn Z
c) 22!4!4!3!2:4 , nnnnnnn N
d) !!1!11!: 2 nnnnnnnnn N
e) 0!1!1:0 , 222 nnnnn Z
a) !!!1:0 , nnnnnn Z
11
!!
!11!
!!!1
nnnn
nnnn
nnnnn
b) 24!2!4!3!2:2 , nnnnnnn Z
11
44
4168
412731
4!23431!2
4!2!234!23!2
22
22
22
2
2
nn
nnn
nnnn
nnnnnn
nnnnnnnn
c) 22!4!4!3!2:4 , nnnnnnn N
11
22
244
21365
21332
2!41332!4
2!4!4!43!432
22
22
22
2
2
2
nn
nnn
nnnn
nnnn
nnnnnn
nnnnnnnn
d) !!1!11!: 2 nnnnnnnnn N
11
!111!
!1!1!1!
nnnn
nnnnnnn
e) 0!1!1:0 , 222 nnnnn Z
00
0!1!1
0!1!1
2222
222
nnnn
nnnn
12. Riešte rovnice s neznámou n Z:
a) !2!15 nn
b) !1!124!!2 nnnn
c) !!116!1 nnn
d) !89!914!90 nnn
a) !2!15 nn
3
25
!12!15
n
n
nnn
b) !1!124!!2 nnnn
4
6
4
12
241422
0242
242
!1!124!1!12
2
2,1
2
n
n
nn
nn
nnnnnn
c) !!116!1 nnn
4
16
016
161
!1!116!11
!!116!1
2
2
n
n
nnn
nnn
nnnnnn
nnn
d) !89!914!90 nnn
92
88
92290
2
3238432400180
08096180
8010179490
9089490
!919089!914!9190
2,1
2
2
n
n
nn
nnn
nnn
nnnnnn
13. Riešte rovnice s neznámou n Z:
a)
nn
n4
!2
!
b)
0!1
4
!1
1710
nn
n
c)
805!5
!4
!4
!6
n
n
nn
n
n
d)
50
!2
!1
!13
!3
!2
!12
n
n
n
n
n
n
a)
nn
n4
!2
!
5
05
04
41
4!2
!21
2
2
n
nn
nnn
nnn
nn
nnn
b)
0!1
4
!1
1710
nn
n
2
45
2
42
10441313
010134
0141710
041
1710
0!1
4
!11
1710
2
2,1
2
n
n
nn
nnn
nn
n
nnnn
n
c)
805!5
!4
!4
!6
n
n
nn
n
n
5
80543011
805456
22
n
nnnnn
nnnnn
d)
50
!2
!1
!13
!3
!2
!12
n
n
n
n
n
n
11
999
1001210
502
1312
n
n
nn
nnn
14. Riešte nerovnice s neznámou n Z:
a) !2!72 nn
b) !4624!2 nnn
c) !3!2!1 nnn
d) !4!45!2 nnnn
a) !2!72 nn
,9,8,7
10
7
2
28093
7030
1272
!12!72
2,1
2
n
n
nn
nn
nnnn
b) !4624!2 nnn
,5,4,3
4
3
2
4811
120
127624
34624
!234624!2
2,1
2
2
n
n
nn
nnn
nnn
nnnnn
c) !3!2!1 nnn
,3,2,1,0,1
2
20
233
!12321!1
n
n
n
nnn
nnnnn
d) !4!45!2 nnnn
,4,3,2,1,0,1,2,3,4
02
44366
0116
532
!4!45!432
2,1
2
n
Dn
nn
nnn
nnnnnn
15. Riešte nerovnice s neznámou n Z:
a)
nn
n1024
!2
!
c)
4622!2
!43
n
n
n
b)
1!4
!2
n
nn d)
2!3
!43
!2
!
n
nn
n
n
a)
nn
n1024
!2
!
,6,5,4,3,2
02
5611
014
10241
1024!2
!21
2,1
2
n
Dn
nn
nnn
nn
nnn
b)
1!4
!2
n
nn
,8,7,6,5,4
1
423
2
28366
076
132
1!4
!432
2,1
2
n
n
nn
nnn
n
nnnn
c)
4622!2
!43
n
n
n
2,1,0,1
35
2
6
12011
0103
4622343
4622!2
!2343
2,1
2
n
n
nn
nnn
nn
nnn
d)
2!3
!43
!2
!
n
nn
n
n
6,5,4,3,2
1
6
2
24255
065
2431
2,1
2
n
n
nn
nnnn
18.2 Kombinačné číslo, vlastnosti kombinačného čísla:
16. Nasledujúce kombinačné čísla
5
7 ,
2
7 ,
3
3 ,
2
5 vypočítajte troma
spôsobmi:
a) Vypočítajte ich podľa definície.
b) Výsledok vyhľadajte v Pascalovom trojuholníku.
c) Vypočítajte ich na kalkulačke.
a) Vypočítajte ich podľa definície.
1025!32
!345
3!2!
5!
2
5
11
1
!0!3
!3
3
3
2137!52
!567
5!2!
7!
2
7
21372!5
!567
2!5!
7!
5
7
b) Výsledok vyhľadajte v Pascalovom trojuholníku.
7
7
6
7
5
7
4
7
3
7
2
7
1
7
0
7
6
6
5
6
4
6
3
6
2
6
1
6
0
6
5
5
4
5
3
5
2
5
1
5
0
5
4
4
3
4
2
4
1
4
0
4
3
3
2
3
1
3
0
3
2
2
1
2
0
2
1
1
0
1
0
0
172135352171
1615201561
15101051
14641
1331
121
11
1
pre
2
5
172135352171
1615201561
15101051
14641
1331
121
11
1
pre
3
3
172135352171
1615201561
15101051
14641
1331
121
11
1
pre
2
7
172135352171
1615201561
15101051
14641
1331
121
11
1
pre
5
7
172135352171
1615201561
15101051
14641
1331
121
11
1
17. Výpočtom overte, že platí:
a)
2
9
3
93
4
93
5
9
3
10
4
102
5
10
5
12
b)
3
10
5
6
3
1
6
10
4
10
7
10
7
1122
c)
2
5105
2
10
3
5
3
10
3
15
a)
2
9
3
93
4
93
5
9
3
10
4
102
5
10
5
12
792792792
49789835731026738911
12
89
1234
67894
123
8910
1234
789102
12345
678910
12345
89101112
!7!2
!9
!6!3
!93
!5!4
!93
!4!5
!9
!7!3
!10
!6!4
!102
!5!5
!10
!7!5
!12
b)
3
10
5
6
3
1
6
10
4
10
7
10
7
1122
9450094500
240210210120330
831073107310431031011
23
89106
3
1
234
78910
234
78910
23
8910
234
891011
!3!7
!10
!1!5
!6
3
1
!4!6
!10
!4!6
!10
!3!7
!10
!4!7
!11
22
22
22
22
c)
2
5105
2
10
3
5
3
10
3
15
325325
25105952543101375
2
45105
2
910
2
45
23
8910
23
131415
!2!3
!5105
!2!8
!10
!2!3
!5
!3!7
!10
!3!12
!15
18. Koľkokrát je číslo
10
100M väčšie než číslo
90
99N ?
1010
100
!10!99
!9!100
!9!90
!99!10!90
!100
90
99
10
100
N
Mn
19. Ktoré z čísel K, L je väčšie?
a)
51
501 ,
50
500LK b)
61
120 ,
60
120LK
a)
51
501 ,
50
500LK
LK
51
5011
!5051
!500501
!50
!500
!450!51
!501
!450!50
!500
51
501
50
500
b)
61
120 ,
60
120LK
LK
61
1
60
1
!59!60
!120
61
1
!59!60
!120
60
1
!59!6061
!120
!5960!60
!120
!59!61
!120
!60!60
!120
61
120
60
120
20. Ktoré z čísel
k
100, kde 100,,3,2,1,0 k je najväčšie?
Najväčšie je vždy číslo v strede daného riadku Pascalovho trojuholníka.
V našom prípade je to 101. riadok (pre 100n ).Tento riadok obsahuje 101
členov a prostredný je teda 51. člen, t.j. číslo
50
100.
!50!50
!100
50
100
21. Dokážte a rozhodnite, pre ktoré Nn platí:
a)
1222
nnn c)
n
n
n
n 2122
b)
126
363
nnnn d)
n
n
n
n 313
2
3
a)
1222
nnn , podmienka: 2n
2; pre 00
1
!1!1
!1
!2!2
!212
!1!1
!
!2!2
!2
2
2
2
nZn
nnnn
n
nn
n
nnnn
n
n
n
nn
b)
126
363
nnnn , podmienka: 3n
3; pre 00
3323
1321
2
16
6
216
!1!1
!
!2!2
!6
!3!3
!6
2233
3
3
3
nZn
nnnnnnn
nnnnnnn
nnnnnn
n
n
n
n
n
n
nn
c)
n
n
n
n 2122 , podmienka: 0n
Zn
nn
n
n
n
nn
n
n
nn
n
nn
n
pre 22
1
2
1
12
!1
2
!1
12
!
!122
!1
!122
!!
!2
!1!
!122
d)
n
n
n
n 313
2
3
Zn
nnn
nn
nn
n
nn
n
nn
n
pre 2
3
2
3
!122!
!133
!12!
!13
2
3
!2!
!3
!12!
!13
2
3
22. Vyjadrite jedným kombinačným číslom:
a)
9
17
8
17 d)
9
12
3
4
3
12
b)
5
11
7
11 e)
3
6
3
5
3
4
3
3
c)
9
11
0
10
1
10 f)
20
23
20
22
20
21
20
20
a)
9
18
9
17
8
17
b)
5
12
7
12
6
11
7
11
5
11
7
11
c)
10
12
2
12
2
11
1
11
9
11
1
11
9
11
0
10
1
10
d)
1
4
3
4
3
12
3
4
3
12
9
12
3
4
3
12
e)
4
4
3
3
3
6
3
5
3
4
3
3
3
7
4
7
3
6
4
6
4
6
4
5
3
5
3
6
3
5
4
5
4
5
4
4
3
4
3
6
3
5
3
4
4
4
f)
21
21
20
20
20
23
20
22
20
21
20
20
3
24
21
24
20
23
21
23
21
23
20
22
21
22
20
23
20
22
21
22
21
22
21
21
20
21
20
23
20
22
20
21
21
21
23. Ak viete, že 20025
14
, určte:
a)
9
14 b)
6
14 c)
4
14 d)
8
14
a) 20025
14
914
14
9
14
b) ?6
14
30032
32002
6
142002
5
14
3
2
6
14
3
2
9
1
6
1
!89!5
!14
!8!56
!14
!9!5
!14
!8!6
!14
5
14
6
14
xxxxx
c) ?4
14
10012
12002
6
142002
5
142
4
14
25
1
10
1
!9!45
!14
!910!4
!14
!9!5
!14
!10!4
!14
5
14
4
14
xxxxx
d) 30036
14
8
14
24. Jednotlivé zlomky najprv zapíšte pomocou kombinačných čísel a potom
použitím vlastnosti kombinačných čísel upravte (určte podmienky pre n, k, r):
a) !1!1
!
!!
!
kkn
n
kkn
n
b) !2!2
!
!1!1
!2
!!
!
rrn
n
rrn
n
rrn
n
a)
k
n
k
n
k
n
kkn
n
kkn
n 1
1!1!1
!
!!
!
b)
212
!2!2
!
!1!1
!2
!!
!
r
n
r
n
r
n
rrn
n
rrn
n
rrn
n
r
n
r
n
r
n
r
n
r
n
r
n
r
n 2
1
11
211
18.3 Rovnice a nerovnice s kombinačnými číslami.
25. Riešte rovnice s neznámou Rx :
a)
6
12
4
10x
b)
3
4
2
1
1
52
3
6x
c)
3
3
2
3
1
3
0
3
2
2
1
1xx
d) 03
7:
4
8
2
2
0
52
xx
e) 03
5
3
7
25
62
2
2
xx
a)
6
12
4
10x
5
22
56
1112
!6!456
!101112
!6!4
!10
!6!6
!12
!6!4
!10
x
x
x
x
b)
3
4
2
1
1
52
3
6x
4
28
12220
210223
456
42
152
!3!3
!6
x
x
x
x
x
c)
3
3
2
3
1
3
0
3
2
2
1
1xx
3
81
133111
2
x
x
xx
d) 03
7:
4
8
2
2
0
52
xx
02
02
0!7
!3!4
!34!4
!78
0!4!3
!7:
!4!4
!8
2
2
2
2
xx
xx
xx
xx
212
31
2
811212,1
xxx
e) 03
5
3
7
25
62
2
2
xx, zavedieme substitúciu: a
x
2 za
podmienky, že 2x .
315962
1801441204512
0!2!3
!5
!3!4
!762
212,1
2
2
aaaaa
aa
zo substitúcie:
4,34,3
2
212,1
2
2
2411
06613!22
!3
2
562
111
2
12011
03030115!22
!15
2
xx
xxxxx
xx
xxx
xxxxx
xx
Vzhľadom na počiatočnú podmienku: 6x
26. Riešte rovnice s neznámou Nx :
a)
5
88
x b)
4
7
1
66
xx c) 45
10
x
a)
5
88
x, nakoľko
3
8
5
8, má rovnica dve riešenia: 53 21 xx .
b)
4
7
1
66
xx, využijeme vlastnosť kombinačných čísel:
1
7
1
66
1
1
1 xxxk
n
k
n
k
n a
3
7
4
7, potom naša
rovnica dostáva tvar:
2331
41
3
7
4
7
1
721
2
1
xx
x
x
x.
c) 4510
x. Číslo 45 je kombinačné číslo 28
8
10
2
1021
xx .
27. Riešte rovnice s neznámou Rx :
a) 252
1
2
xx
b) 324
3
1
x
x
xx
c) 04
22
3
1
x
x
x
x
d) xx
x
x
x
2
5!4
2
4
4
62
e) 11
1
3
41
3
5
1
1
x
x
x
x
x
x
f)
1
1
02
17
85
x
x
x
xxx
x
x
g)
0
3
2
2
1
1211
1
2
xxxx
h)
4
7
3
1
2
1
3
3xx
x
x
x
a) 252
1
2
xx, podmienka: 1x
5502
50
5011
25!1!2
!1
!2!2
!
2
22
xx
xxxx
xxxx
x
x
x
x
b) 324
3
1
x
x
xx, podmienka: 4x
4;3232
323
xxxx
xxx
Z
c) 04
22
3
1
x
x
x
x, podmienka: 4x
52052
03212
032221
0!2!4
!22
!2!3
!1
xxxx
xxx
xxxx
x
x
x
x
Vzhľadom na počiatočnú podmienku je riešením len číslo 5x .
d) xx
x
x
x
2
5!4
2
4
4
62 , podmienka: 2x
5005
05
204812760222
10241272
13011
1024342
156
!3!2
!5234
!2!2
!4
!2!4
!62
2
22
22
xxxx
xx
xxxxx
xxxxx
xxxxx
xx
x
x
x
e) 11
1
3
41
3
5
1
1
x
x
x
x
x
x, podmienka: 1x
152
64
2
20164054
01082
012210101
112
141101
2,1
2
2
2
xxxxx
xx
xxx
xxx
Vzhľadom na počiatočnú podmienku je riešením len číslo 5x .
f)
1
1
02
17
85
x
x
x
xxx
x
x, podmienka: 1x
452
91
2
8011020
04022
22405
11285
2,1
2
2
2
xxxxx
xx
xxxx
xxxx
Vzhľadom na počiatočnú podmienku je riešením len číslo 5x .
g)
0
3
2
2
1
1211
1
2
xxxx, podmienka: 3x
5153
652211
1322
11211
22
2
xx
xxxx
xxxx
h)
4
7
3
1
2
1
3
3xx
x
x
x, podmienka: 3x
56
291
32
280110703
70212702121
3521121
!3!4
!7
3
1
!3!2
!1
!3!3
!
2,1
2
323
3
3
xxxx
xxxxxxxxx
xxxxxxx
xx
x
x
x
28. Riešte nerovnice s neznámou Rx :
a) xx
x43
4
2
b) 5021
x
x
x
c)
2
4
2
4 xx
d) 445
8
1
1
x
x
x
x
e) 1002
4
2
2
2
xxx
f)
2
26
2
23
3
36
3 xxx
x
a) xx
x43
4
2
, podmienka: 4x
12
1 12 4;
1 12 1 12
01012010120112
1122
1113
2
481691301213
08665
8632
43!2!4
!2
212,1
2
2
x
xxxZx
xxxx
xxxxxx
xxxxx
xxx
xxx
xx
x
b) 5021
x
x
x, podmienka: 0x
16,,1,03,16
3
49
5021
xx
xx
c)
2
4
2
4 xx, podmienka: 6x
,7,62
1
816
209127
542
134
2
1
22
xx
x
xxxx
xxxx
d) 445
8
1
1
x
x
x
x, podmienka: 1x
13,,2,165,132
800110200
088112
44!3!5
!81
2
1
2,1
2
2
xxxx
xx
xx
e) 1002
4
2
2
2
xxx, podmienka: 0x
5,95,62
248930623
018693
20012723
100342
112
2
11
2
1
2,1
2
2
222
xxxxx
xx
xxxxxx
xxxxxx
Vzhľadom na počiatočnú podmienku je riešením 6,5,4,3,2x .
f)
2
26
2
23
3
36
3 xxx
x, podmienka: 2x
,4,3,22
3216
23014
2
2157
692
22116
6932
221163
6932
2733
2332
296233
1232
23123
!!2
!26
2
23
!!3
!36
22
2
222
3
3
xx
x
xx
xx
xx
x
xxx
xx
xxx
xx
xxx
xxxxx
xxx
xxxx
x
xxx
x
x
29. Riešte rovnice a nerovnice s neznámou Rx :
a)
x
xx
x
x
x
x
x
x
5
5
1
55
2
12
23
3
4
24
b) 2
33
2
33
1
33
xxx
a)
x
xx
x
x
x
x
x
x
5
5
1
55
2
12
23
3
4
24, podmienka:
3
2x
5
12
10
119
10
408190295
0104525
1050243921216
15101221331424
15512!2!23
!3
!2!4
!24
2,1
2
2
22
xxxxx
xx
xxxxxx
xxxxxx
xxx
x
x
x
Vzhľadom na počiatočnú podmienku je riešením len číslo 2x .
b) 2
33
2
33
1
33
xxx, podmienka: 1x
,4,3,21
123
33
13343233
334333332
22
33
!53!2
!3333
xx
x
xxxx
xxxx
x
x
xx
30. Riešte nerovnice a rovnice s neznámou Rx :
a)
1
82
8
xx c) 06
25
2
2
xx
b)
xx
72
1
7 d) 06!
25!
2
2
xx
a)
1
82
8
xx, podmienka: 8x
8,7,6,5,4339
29
!1
!2
!8
!9
!9!1
!82
!8!
!8
xxx
xx
x
x
x
x
xxxx
b)
xx
72
1
7, podmienka: 6x
6,5,4,3,23
535
127
!7!
!72
!6!1
!7
xxx
xx
xxxx
c) 062
52
2
xx, podmienka: 2x
Zavedieme substitúciu: ax
2
4,34,3
2
212,1
2
2,1
2
2
811
02211!2!2
!1
2
342
71
2
4811
0121216!2!2
!6
2
162
75
2
24255065
xx
xxxxx
xx
xxx
xxxxx
xx
aaaaa
Vzhľadom na počiatočnú podmienku je riešením len číslo 4x .
d) 06!2
5!2
2
xx, podmienka: 2x
Zavedieme substitúciu: ax
!
2
xx
xxxx
aaaaa
1!2
632
!3!2
6!2
162
75
2
24255065 2,1
2
31. Vypočítajte celé čísla x, y tak, aby boli riešením sústavy:
a)
1
12
y
x
y
x
0332 yx
b) 4:51
1:
2
2
y
x
y
x
3:4: yx
c) 5
31
1
1:
y
x
y
x
4
31
2
2:
1
1
y
x
y
x
d) 7:6:52
1:
1:
1
y
x
y
x
y
x
a)
yxy
x
yxy
x
yxy
x
y
x
y
x22
!!1
!12
!!
!
1
12
63
03322
0332
xy
yy
yx
b) 4:51
1:
2
2
y
x
y
x
86
30152416
1224
52
3
4
24
52
4
5
2
2
3
4
3
4
4
5
!1
!1
!12
!12
3
4
4
5
!1
!!1
!!2
!2
3
4
3:4:
xy
yy
yy
yxy
x
yxy
x
x
y
yy
xx
y
x
x
yxy
yxy
x
y
x
yx
c) 5
31
1
1:
y
x
y
x
85153
35352032
2014
71
5
8
14
71
5
8
4
7
1
1
5
8
4
7
!2
!2
!21
!21
5
8
!1
!1
!1
!1
4
7
!2
!!2
!!1
!1
5
8
!1
!!1
!!
!
4
31
2
2:
1
1
xyy
yy
yy
yx
yx
y
x
y
x
x
y
yy
xx
x
y
yy
xx
x
yxy
yxy
x
x
yxy
yxy
x
y
x
y
x
d) 7:6:52
1:
1:
1
y
x
y
x
y
x
46
35423636
426
5121
7
6
6
51
217
61
7
62
7
6
1
26
51
7
6
!1
!12
!1
!
6
5
!1
!1
!
!1
7
6
!1
!21!2
!1!1
!
6
5
!
!1!1
!1!
!1
7:62
1:
1
6:51
:1
yx
xx
xx
xy
xyxyx
yx
y
xx
yy
y
x
xx
yy
y
x
x
yxy
yxy
x
x
yxy
yxy
x
y
x
y
x
y
x
y
x
18.4 Pravidlo kombinatorického súčinu
32. Jana má päť rôznofarebných tričiek a tri rôzne sukne. Koľkými spôsobmi si
môže vziať tričko a sukňu, aby vždy vypadala inak?
1535
33. Do tanečnej prišlo 32 chlapcov a 34 dievčat. Koľko rôznych tanečných párov
môžu vytvoriť? Za predpokladu, že prvý pár je zadaný, každý pár spolu
tancuje 1 minútu a ďalšia výmena trvá 5 sekúnd, vypočítajte, ako dlho by
musel trvať tanečný večer, aby sa všetci v pároch vystriedali.
10883432 párov,
s35min38hod19
s35min1178s5435min1088s51087min1088
34. V reštaurácii majú na jedálnom lístku 3 druhy polievok, 7 možností výberu
hlavného jedla, 4 druhy múčnikov. Na pitie si možno objednať kávu,
malinovku alebo džús. Koľkými spôsobmi si hosť môže vybrať obed, za
predpokladu, že bude jesť
a) len polievku a hlavné jedlo,
b) polievku, hlavné jedlo a ďalej si objedná nápoj,
c) polievku, hlavné jedlo, múčnik a nápoj.
a) 2173
b) 63373
c) 2524733
35. V triede chodí 14 žiakov na nemčinu a 13 na francúzštinu. Každý žiak
navštevuje práve jeden z uvedených predmetov. Koľkými spôsobmi možno
vybrať dvojicu na týždennú službu tak, aby mal službu jeden žiak z oddelenia
nemčiny a jeden žiak z oddelenia francúzštiny? Koľko rokov by žiaci museli
chodiť do školy, aby sa všetky tieto dvojice vystriedali? (Počítajte, že školský
rok má 33 vyučovacích týždňov.)
dvojíc: 1821314
dĺžka školy v týždňoch: 182, v rokoch: 33:182 5 rokov a 17 týždňov
36. Maminka kúpila 10 rožkov a 8 žemlí. Martin si zoberie buď rožok, alebo
žemľu. Potom si Dávid zoberie 1 žemľu a 1 rožok. Kedy má Dávid viac
možností výberu, keď si Martin vzal rožok, alebo keď si Martin vzal žemľu?
- ak si Martin zoberie rožok: 7289
- ak si Martin zoberie žemľu: 70710
Z toho vyplýva, že Dávid má viac možností (o dve), ak si Martin zoberie rožok.
18.5 Variácie
37. Koľko rôznych prirodzených štvorčíselných čísel s rôznymi číslicami možno
zostaviť z číslic 1, 2, 3, 4, 5? Koľko z nich je deliteľných 5? Koľko z nich je
nepárnych?
- počet rôznych prirodzených štvorciferných čísel:
120!45
!554
V
- počet štvorciferných čísel deliteľných 5:
24!34
!443
V
- počet záporných čísel:
72243!34
!4343 3
V
38. Koľko rôznych prirodzených päťciferných čísiel s rôznymi ciframi môžeme
zostaviť z cifier 0, 2, 4, 6, 7, 8, 9? Koľko z nich je deliteľných 4? Koľko
z nich je deliteľných 10? Koľko z nich je párnych?
- počet rôznych prirodzených päťciferných čísel:
4320!2
!6
!2
!7
!46
!6
!57
!767 45
VV
- počet päťciferných čísel deliteľných 4:
Hľadáme čísla, ktoré končia ciframi: 04, 08, 20, 24, 28, 40, 48, 60, 64, 68, 72,
76, 80, 84, 92 a 96. Pre tieto koncové čísla platí:
xxx04 - 53V xxx08 - 53V
xxx20 - 53V xxx24 - 45 23 VV
xxx28 - 45 23 VV xxx40 - 53V
xxx48 - 45 23 VV xxx60 - 53V
xxx64 - 45 23 VV xxx68 - 45 23 VV
xxx82 - 45 23 VV xxx86 - 45 23 VV
xxx80 - 53V xxx84 - 45 23 VV
xxx82 - 45 23 VV xxx96 - 45 23 VV
spolu: 840451056 233 VVV
- počet päťciferných párnych:
Hľadáme čísla, ktoré končia ciframi: 0, 2, 4, 6 alebo 8. Pre tieto čísla platí:
xxxx0 - 64V
xxxx2 - 56 34 VV
xxxx4 - 56 34 VV
xxxx6 - 56 34 VV
xxxx8 - 56 34 VV
spolu: 15605646 344 VVV
39. Určte počet všetkých prirodzených čísiel väčších než 2000, v ktorých zápisoch
sa vyskytujú cifry 1, 2, 4, 6, 8, a to každá najviac jedenkrát?
Sú to všetky štvorciferné čísla vytvorené z daných cifier, ktoré nezačínajú
cifrou 1 44 3V a všetky päťciferné čísla 5P , t.j.:
216120244!5!44544 3 PV
40. Určte počet všetkých prirodzených čísiel väčších než 300 a menších než 5000,
v ktorých zápisoch sa vyskytujú cifry 2, 3, 4, 7, 8, a to každá najviac raz?
120!1
!43
!2
!444344 32 VV
41. V triede 1.A sa vyučuje 11 rôznych predmetov. Koľkými spôsobmi môžeme
zostaviť rozvrh na jeden deň, ak sa v tento deň vyučuje 6 rôznych predmetov?
3326407891011!6
!11116 V
42. V triede je 30 miest, ale v triede 3.B je len 28 žiakov. Koľkými spôsobmi
môžeme zostaviť zasadací poriadok? (V triede sú tri rady po 5 lavíc. Jedna
lavica je pre dvoch žiakov.)
2
!30
!2
!303028 V
43. Na bežeckej dráhe beží 8 súťažiacich. Za predpokladu, že každú z medailí
získa práve jeden súťažiaci, vypočítajte, koľko je možností na rozdelenie
zlatej, striebornej a bronzovej medailí medzi súťažiacich.
336678!5
!883 V
44. Z koľkých prvkov môžeme vytvoriť 992 variácií druhej triedy bez
opakovania?
322
631
2
396811
0992
9921
992!2
!
992
2,1
2
2
n
nn
nn
n
n
nV
Záporný koreň nás nezaujíma (počet prvkov nemôže byť záporné číslo).
45. Ak sa zväčší počet prvkov o 5, zväčší sa počet variácií druhej triedy bez
opakovania vytvorených z týchto prvkov o 1170. Určte pôvodný počet
prvkov.
115
115010
1170209
1170145
1170!2
!
!3
!5
11705
22
22
n
n
nnnn
nnnn
n
n
n
n
nVnV
46. Ak sa zmenší počet prvkov o 27, zmenší sa počet variácií druhej triedy bez
opakovania vytvorených z týchto prvkov desaťkrát. Určte pôvodný počet
prvkov.
9,183620
171549
102
756094549549
075605499
756055010
10
175655
110
12827
!2!2
!21
10
1
!2!29
!292827
!2!2
!
10
1
!2!29
!27
1027
21
2
2,1
2
22
22
22
nnn
nn
nnnn
nnnn
nnnn
n
nnn
n
nnn
n
n
n
n
nVnV
Riešeniu vyhovuje len celé číslo, preto sa 36n .
18.6 Permutácie
47. Koľkými spôsobmi môžeme postaviť 20 žiakov do radu pri nástupe na
telocvik?
!2020 P
48. Koľkými spôsobmi môžeme postaviť do rady vedľa seba na poličku 15
rôznych kníh?
!1515 P
49. Koľkými spôsobmi môžeme postaviť do rady na poličku 10 rôznych
slovenských kníh a 5 anglických tak, že najprv budú knihy slovenské a vedľa
nich knihy anglické?
435456000!5!10510 PP
50. Koľkými spôsobmi môžeme rozmiešať 32 kariet?
!3232 P
51. Koľko rôznych deväťciferných čísel s rôznymi ciframi môžeme zostaviť
z cifier 1 až 9?
362880!99 P
18.7 Kombinácie
52. Koľko priamok určuje desať rôznych bodov v rovine, z ktorých
a) žiadne tri neležia na jednej priamke,
b) práve 6 leží na jednej priamke?
a) 45!2!8
!10
2
10102
C
b) 31115451!2!4
!6
!2!8
!101
2
6
2
101610 22
CC
53. Koľko kružníc desať rôznych bodov v rovine, z ktorých
a) žiadne tri neležia na jednej priamke,
b) práve 6 leží na jednej priamke?
a) 120!3!7
!10
3
10103
C
b) 1011201201!3!3
!6
!3!7
!101
3
6
3
101610 33
CC
54. V priestore je daných 15 rôznych bodov. Koľko rovín tieto body určujú, ak
a) žiadne tri neležia v jednej rovine,
b) práve 8 leží v jednej rovine?
a) 45523
131415
!3!12
!15
3
15153
C ,
b) 4001564551!3!5
!8
!3!12
!15
3
8
3
151815 33
CC .
55. Je daný štvorec KLMN. Na každej strane štvorca zvolíme 8 vnútorných bodov.
a) Určte počet všetkých trojuholníkov, ktorých vrcholy ležia v daných
bodoch.
b) Určte počet všetkých trojuholníkov, ktorých vrcholy ležia v daných
bodoch a každé dva vrcholy jedného trojuholníka ležia na rôznych
stranách štvorca?
a) Ak dva vrcholy ležia na jednej strane a tretí vrchol na inej strane, máme na
výber takýchto dvoch strán 42C . Na dvoch stranách môžeme vytvoriť
88 2C trojuholníkov. Dokopy je takýchto trojuholníkov 488 22 CC .
Ak sa všetky tri vrcholy nachádzajú na rôznych stranách, máme na výber
troch strán 43C a na každých takýchto troch stranách môžeme vytvoriť 38
trojuholníkov.
Dokopy máme teda možností:
4736846288
8!1!3
!4
!2!2
!4
!2!6
!888
3
4
2
4
2
8884488
3
333
322
CCC
b) Ak sa všetky tri vrcholy nachádzajú na rôznych stranách, máme na výber
troch strán 43C a na každých takýchto troch stranách môžeme vytvoriť 38
trojuholníkov.
2048848!1!3
!48
3
484 3333
3
C
56. Je daná kocka KLMNOPQR. Na každej hrane kocky zvolíme 8 vnútorných
bodov.
a) Určte počet všetkých trojuholníkov, ktorých vrcholy ležia v daných
bodoch.
b) Určte počet všetkých trojuholníkov, ktorých vrcholy ležia v daných
bodoch a naviac trojuholníky ležia na povrchu kocky?
a) Ak dva vrcholy ležia na jednej hrane kocky, vyberáme z dvanástich hrán dve,
t.j. máme 122V . Na týchto dvoch hranách môžeme vytvoriť 88 2C
trojuholníkov. Spolu ich teda bude:
295687411128!6!2
!8
!10
!1288812 22
CV
Ak každý vrchol trojuholníka leží na inej hrane, máme na výber týchto troch
hrán 123C a na týchto troch hranách vytvoríme 38 trojuholníkov. Spolu ich
teda bude 112640512!3!9
!12812 3
3
C .
Dokopy bude trojuholníkov:
142208112640295688128812 3
322 CCV
b) Ak vrcholy ležia na dvoch hranách, máme k jednej hrane (aby trojuholníky
ležali na povrchu) šesť prislúchajúcich hrán, t.j. 1612888612 2 C .
Ak vrcholy ležia na troch hranách (všetky sa nachádzajú na jednej stene kocky
a stien je šesť): 12288846 3
3 C .
Spolu ich teda je: 28416122881612884688612 3
32 CC
57. Určte počet uhlopriečok v konvexnom n-uholníku.
Počet uhlopriečok vypočítame ako počet všetkých priamok (úsečiek),
určených danými n bodmi nC2 a odpočítame n úsečiek (priamok), čo je n
strán daného n – uholníka.
2
3
2
2
2
1
!2!2
! 22
2
nnnnnn
nnn
n
nnnC
58. V triede je 30 žiakov. Koľkými spôsobmi môžeme vybrať štyroch na
vyskúšanie?
Vyberáme štyroch žiakov z tridsiatich, na poradí výberu nezáleží, preto ide
o kombinácie štvrtej triedy z tridsať prvkovej množiny bez opakovania:
274052772951234
27282930
!26!4
!30304
C
59. Na bežeckej trati beží 8 súťažiacich. Do finále postupujú prví traja. Koľko
možností je na postupujúcu trojicu.
5678!5!3
!883
C
60. Koľkými spôsobmi môžeme rozdeliť 12 hráčov na dve šesťčlenné družstvá.
9247111223456
789101112
!6!6
!12126
C
61. Koľkými spôsobmi môžeme 4 dievčatá a 8 chlapcov rozdeliť na dve
šesťčlenné volejbalové družstvá tak, aby v každom družstve boli dve dievčatá
a štyria chlapci.
42052732!4!4
!8
!2!2
!484 42
CC
62. Test prijímacej skúšky sa skladá z 10 otázok z chémie, z 10 otázok z biológie
a z 10 otázok z fyziky. V každom predmete je vyberané z 200 navrhnutých
otázok. Koľko je možností na zostavenie testu?
191419397652819722199
12345678910
191192193194195196197198199200
!10!190
!200200
33
3
10
C
63. Koľkými spôsobmi môžeme zo skupiny 10 dievčat a 5 chlapcov vybrať trojicu
v ktorej sú dve dievčatá a jeden chlapec?
225455105 2 C
64. V skupine je 20 detí, každé dve deti majú iné meno. Je medzi nimi Alena
a Jana. Koľkými spôsobmi môžeme vybrať 8 detí tak, aby medzi vybranými
a) bola Jana,
b) nebola Jana,
c) bola Jana aj Alena,
d) bolo aspoň jedno z dievčat Alena, Jana,
e) bolo najviac jedno z dievčat Alena, Jana,
f) nebola ani Jana, ani Alena.
a) 50388197 C
b) 75582198 C ,
c) 18564186 C
d) 8221218182 67 CC
e) 10740618182 87 CC
f) 43758188 C
65. V krabici je 10 výrobkov, z ktorých sú práve tri chybné. Koľkými spôsobmi
môžeme vybrať 5 výrobkov tak, aby
a) žiadny nebol chybný,
b) práve jeden bol chybný,
c) najviac jeden bol chybný,
d) práve dva boli chybné,
e) najviac dva boli chybné,
f) aspoň dva boli chybné.
a) 2175 C
b) 10573 4 C
c) 12610521737 45 CC
d) 10533537 23 CC
e) 2312110510577337 5423 CCCC
f) 1267337 2323 CCCC
66. Koľkými spôsobmi môžeme 20 detí rozdeliť do troch skupín tak, aby v prvej
skupine bolo 10 detí, v druhej skupine bolo 6 detí a v tretej zvyšné deti?
38798760121018475641020 4610 CCC
67. Z koľkých prvkov môžeme vytvoriť 990 kombinácií druhej triedy bez
opakovania?
452
891
2
198041101980
19801
990!2!2
!
990
2,1
2
2
nnnn
nn
n
n
nC
68. Ak sa zväčší počet prvkov o 4, zväčší sa počet kombinácií druhej triedy bez
opakovania vytvorených z týchto prvkov o 30. Určte pôvodný počet prvkov.
6
488
60127
60134
230!2!2
!
!2!2
!4
304
22
22
n
n
nnnn
nnnn
n
n
n
n
nCnC
69. Ak sa zväčší počet prvkov o 15, zväčší sa počet kombinácií druhej triedy bez
opakovania vytvorených z týchto prvkov trikrát. Určte pôvodný počet prvkov.
212
2616
2
42025616010516
3321029
131415
!2!2
!3
!13!2
!15
315
2,1
2
22
22
nnnn
nnnn
nnnn
n
n
n
n
nCnC
18.8 Variácie, kombinácie – rovnice.
70. Riešte rovnice a nerovnice s neznámou Nx :
a) 562 xV d) 35118 54 xCxC
b) 3024010 xV e) 21012 2 xxC
c)
13
5
57
xV
xVxV f)
3
2
14
65
xC
xCxC
a) 562 xV , podmienka: 2x
82
151
2
56411056
561
56!2
!
2,1
2
xxxx
xx
x
x
b) 3024010 xV
5
510
!5!10
!5120120!10
30240
!10!10
30240!10
!10
x
x
x
x
x
x
c)
13
5
57
xV
xVxV, podmienka: 5x
92
711
2
721211101811
0123011
1265
12!7
!5
131
!5
!
!7
!
13
!5
!
!5
!
!7
!
2,1
2
2
xxxx
xx
xx
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
d) 35118 54 xCxC , podmienka: 3x
672
113
2
424131304213
653618
23218
12345
11235
1234
21118
!2!5
!35
!3!4
!118
21
2
2,1
2
2
xxxxx
xxx
xxx
xxxxxxxxx
x
x
x
x
e) 21012 2 xxC , podmienka: 3x
112
913
2
224131302213
0201023
201021
2010!3!2
!12
2
2,1
2
2
xxxx
xxx
xxx
xx
x
f) 3
2
14
65
xC
xCxC, podmienka: 6x
82
97
2
32497087
020127
1205643
120543436
21120
5432143216
!3
!120
!6
!
!5
!6
30!3
!1
3
2
!630
!
!55
!
!4!3!4
!1
3
2
!6!6
!
!5!5
!
3
2
!3!4
!1
!6!6
!
!5!5
!
2,1
2
2
xxxx
xx
xxxx
xxxxxx
xxxx
xxxxxxxxxxx
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
18.8 Variácie, permutácie, kombinácie s opakovaním.
71. Koľko značiek Morseovej abecedy môžeme zostaviť z bodiek a čiarok, ak
vytvárame skupiny z jedného až štyroch prvkov?
- pre jeden prvok: 222 1
1 V
- pre dva prvky: 422 2
2 V
- pre tri prvky: 822 3
3 V
- pre štyri prvky: 1622 4
4 V
- spolu: 3016842
72. Koľko päťciferných čísel môžeme zostaviť z cifier 2, 3, 4, 6, 7, 9, ak sa cifry
môžu opakovať?
777666 5
5 V
73. V krabičke je 10 farbičiek, z toho 4 rovnaké červené, 3 rovnaké modré, 2
rovnaké žlté a 1 zelená. Koľkými spôsobmi môžeme farbičky v krabičke
usporiadať?
12600!1!2!3!4
!10101,2,3,4
P
74. Koľkými spôsobmi môžeme kúpiť v predajni 5 zošitov, ak majú tri druhy
zošitov v dostatočnom množstve?
215
7
5
15335
C
75. V cukrárni majú 5 druhov zákuskov v dostatočnom množstve, Koľkými
spôsobmi si môžeme kúpiť osem zákuskov?
495!4!8
!12
8
12
8
18558
C
18.10 Binomická veta
76. Vypočítajte:
a) 521 c) 4xx e) 33 3aa
b) 63 321 d)
5
2
1
yy f)
5
m
n
n
m
a) 5
21
22941242022020251
5411415221102110215111
215
521
4
5
213
521
2
521
1
521
0
5
5041
32231405
b) 6
3 321
33
233
233
233
233
63
53
43
33
233
63
53
43
33
23
13
03
9516370897
576357637204803603121
964133326331615382034153121
3213263215322032153261
326
632
5
632
4
6
323
632
2
632
1
632
0
6
c) 4
xx
22334
2234
4031221304
464
1146411
4
4
3
4
2
4
1
4
0
4
xxxxxxx
xxxxxxxxx
xxxxxxxxxx
d)
5
2
1
yy
53
35
543
2
2
345
543
2
2
345
1
32
11
16
51
4
5
2
5
2
5
32
1
165
810
410
25
32
1
5
5
164
5
83
5
42
5
21
5
0
5
yyyyyy
yy
y
y
y
y
y
y
yy
yy
y
y
y
y
y
y
yy
e) 3
3 3aa
27279
273
39
2
33
1
3
0
3
33 224
33 224
aaaaa
aaaaa
f)
5
m
n
n
m
3
2
223
2
2
2
2
2
2
2
2
2
22
22
504132
231405
51
101
105
510105
11510
10511
5
5
4
5
3
5
2
5
1
5
0
5
m
n
m
n
mnn
m
n
mmn
m
n
m
n
m
n
n
m
m
n
n
m
m
n
n
m
n
m
n
m
m
n
m
n
m
n
m
n
m
n
m
n
n
m
m
n
n
m
n
m
m
n
n
m
n
m
n
m
m
n
n
m
m
n
n
m
m
n
n
m
m
n
n
m
m
n
n
m
m
n
n
m
77. Umocnite:
a)
44
2
12
2
12
b)
5
2
5
2
12
12
aa
aa
a)
44
2
12
2
12
2
113
4
112162
4
111
2
14611612
2
12
4
4
2
12
2
4
2
12
0
42
2
12
4
4
2
12
3
4
2
12
2
4
2
12
1
4
2
12
0
4
2
12
4
4
2
12
3
4
2
12
2
4
2
12
1
4
2
12
0
4
2
12
2
12
4
0
2
2
0
4
4
0
3
1
2
2
1
3
0
4
4
0
3
1
2
2
1
3
0
4
44
b)
5
2
5
2
12
12
aa
aa
104
2
106
2
2
4
5
2
0
4
2
1
3
2
2
2
2
3
1
2
4
0
2
5
5
2
0
4
2
1
3
2
2
2
2
3
1
2
4
0
2
5
1140902
111
1410
11652
12
5
512
4
512
3
5
12
2
512
1
512
0
5
12
5
512
4
512
3
5
12
2
512
1
512
0
5
aaa
aaa
aa
aa
aa
aa
aa
aa
aa
aa
aa
aa
aa
aa
aa
78. Umocnite podľa binomickej vety a aj podľa Moivrovej vety:
a) 71 i b) 622 i c) 5322 i
a) 71 i
Binomická veta:
iiiii
iiii
iii
iiiii
i
8872135352171
1172113535121711
7
7
6
7
5
7
4
7
3
7
2
7
1
7
0
7
1
765
43210
7
Moivrova veta:
ii
iii
882
2
2
228
4
7sin
4
7cos28
4sin
4cos21
777
b) 622 i
Binomická veta:
iiii
i
ii
iiii
iii
i
64848120160120488
824264215
222220241522468
226
622
5
622
4
62
23
622
2
622
1
622
0
6
22
6051423
3241506
6
Moivrova veta:
iiii
iii
6410642
sin2
cos642
21sin
2
21cos64
4
42sin
4
42cos64
4
7sin
4
7cos222
6
66
c) 5322 i
Binomická veta:
iiii
iii
iii
iii
i
3512512328814403960960316032
39321932533321033210332532
3225
5322
4
5322
3
5
3222
5322
1
5322
0
5
322
504132
231405
5
Moivrova veta:
ii
ii
ii
35125122
3
2
11024
3
4sin
3
4cos1024
3
10sin
3
10cos4
3
2sin
3
2cos322322
5
55225
79. Overte, že číslo 22 ix je koreňom rovnice 0162410 35 xxx .
00
016224224240240264216
0162224222232232210
24425222102221024524
01622242223223210
225
522
4
522
3
5
222
522
1
522
0
5
0162224221022
3223
504132
231405
35
iii
iii
iii
iiii
iii
iii
iii
80. Koľko členov obsahuje binomický rozvoj 2021 x ?
Od 0 do 20, tzn. 21 členov.
81. Vypočítajte piaty člen binomického rozvoja 101 y .
44446
5 210234
789101
!6!4
!101
4
10yyyyA
82. Vypočítajte desiaty člen binomického rozvoja 152 ba .
96969696
10 32032064500564!6!9
!152
9
15babababaA
83. Určte Rx tak, aby piaty člen binomického rozvoja
92
x
xbol rovný
2016.
3
3
3
2
5
45
2
2
20164032
201632
!5!4
!9
20162
4
9
x
x
x
xx
xx
84. Určte Rz tak, aby siedmy člen binomického rozvoja 963 11 zz bol
rovný 63.
2
1
4
1
4
3
84
631
63184
6311!3!6
!9
63116
9
2
2
2
66
33
z
z
z
z
zz
zz
85. Ktorý člen binomického rozvoja 725 m obsahuje 4m ?
4443
5 700001612535254
7mmmA
- piaty člen
86. Ktorý člen binomického rozvoja 912 yy obsahuje 3y ?
358
6 1265
9yyyA
- šiesty člen
87. Ktorý člen binomického rozvoja
12
2
2
c
c obsahuje výraz
3
1
c?
32
4
6
93
210
117601760
8220
2
9
12
cc
ccc
cc
cA
- desiaty člen
88. Vypočítajte taký člen binomického rozvoja, ktorý neobsahuje a:
a) 1023 aa b)
8
4 3 1
aaa
a) 29524565614532
1044228
3
aaaaA
b) člen bez a neexistuje
89. V binomickom rozvoji
14
5
22
x
y
y
x nájdite člen, ktorý
a) neobsahuje x, b) neobsahuje y.
a) 320
2
5
204
5
102
5
11025024
10241001
2
4
14
yx
y
y
x
x
y
y
xA
b) 2135
7
7
147
5
72
8
1439296
1283432
2
7
14
xx
y
y
x
x
y
y
xA
90. Nájdite všetky členy binomického rozvoja, ktoré sú racionálne čísla:
a) 615 b) 11
53 c)
14
3 1
xx
a) bude to každý nepárny člen, t.j. 1, 3, 5 a 7. člen:
125125156
6
375251554
6
7551552
6
11150
6
6
7
4
5
2
3
0
1
A
A
A
A
b) racionálne členy neexistujú
c) 34
212
33 91
191
1
2
14x
xx
xxA
91. Koľko racionálnych členov obsahuje binomický rozvoj?
a) 503 32 b) 686 1165
a) Racionálne členy sú členy pre 49 ,43 ,37 ,31 ,25 ,19 ,13 ,7 ,0n :
16483
2
49
144423
8
43
127363
14
37
1010303
20
31
813243
26
25
616183
32
19
419123
38
13
22263
44
7
252503
50
1
3248
5032
48
50
3242
5032
42
50
3230
5032
36
50
3230
5032
30
50
3224
5032
24
50
3218
5032
18
50
3212
5032
12
50
326
5032
6
50
2121320
50
A
A
A
A
A
A
A
A
A
b) racionálne členy sú členy pre 94 ,52 ,1n :
63488
186
49
37248
426
25
112508
666
1
11512
50115
48
66
1156
50115
24
66
51211150
66
A
A
A
92. Určte Nn tak, aby pre binomický rozvoj nx1 platilo:
a) koeficient u tretieho člena je rovnaký ako koeficient u ôsmeho člena,
b) koeficient u tretieho člena je 2,5 krát väčší než koeficient u šiesteho člena,
c) pomer koeficientov u štvrtého člena a tretieho člena je 3:8 ,
d) súčet koeficientov u druhého člena a tretieho člena je 55,
e) koeficient u 3x je 4 krát väčší než koeficient u 2x ,
f) koeficient u 2x je o 152 väčší, než absolútny člen,
g) koeficienty u druhého, tretieho a štvrtého člena tvoria aritmetickú
postupnosť.
a) koeficient u tretieho člena je rovnaký ako koeficient u ôsmeho člena,
97272
83
nnnn
AA
b) koeficient u tretieho člena je 2,5 krát väčší než koeficient u šiesteho člena,
6
24
432234
2
5
!2
!5
!2
!5
2
5
!5!5
!
!2!2
!
!5!5
!
2
5
!2!2
!
55,2
2
63
n
n
nnn
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
nn
AA
c) pomer koeficientov u štvrtého člena a tretieho člena je 3:8 ,
10
3
82
!3
!2
3
8
!2!2
!:
!3!3
!
3
8
2:
3
3
8
3
4
n
n
n
n
n
n
nn
A
A
d) súčet koeficientov u druhého člena a tretieho člena je 55,
102
211
2
440110110
11012
552
1
552!2
!
!1
!
5521
55
2,1
2
32
nnnn
nnn
nnn
n
n
n
n
nn
AA
e) koeficient u 3x je 4 krát väčší než koeficient u 2x ,
14
622
2
!34
!3
!2
2!2
!4
!3!3
!
24
3
4 34
n
n
n
n
n
n
n
n
nn
AA
f) koeficient u 2x je o 152 väčší, než absolútny člen,
182
351
2
1224110306
3061
1532!2
!
11522!2
!
0152
2
4
2,1
2
34
nnnn
nn
n
n
n
n
nn
AA
g) koeficienty u druhého, tretieho a štvrtého člena tvoria aritmetickú postupnosť.
7
61
2621
16
21
!1
!
2!2
!2
!3!3
!
!1
!
2!2
!
2!2
!
!3!3
!
2!2
!
!3!3
!
!1
!
2!2
!
1!1
!
2!2
!
23
12
3
2
1
3
2
1
n
n
nnnnn
nnnnnn
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
dn
n
n
n
n
n
n
ndd
n
n
n
n
dnn
dnn
na
na
na
93. Určte Nn tak, aby tretí člen binomického rozvoja nxx 13 neobsahoval
premennú x.
8
062
023
2
!2!2
!
!2!2
!
2
23
2
23
2212
33
n
n
n
xn
nxx
n
nxx
nA
nnn
94. Určte Nn tak, aby piaty člen binomického rozvoja
n
zz
2
1
neobsahoval premennú z.
95. Určte Nn tak, aby koeficient u 8y v binomickom rozvoji ny 221 bol
rovný 240.
6
3456360321
24016234
321
24016!4!4
!
24024
4
n
nnnn
nnnn
n
n
n
96. Určte Nn tak, aby päťnásobok tretieho člena binomického rozvoja
ni
42 bol číslo opačné k osemnásobku členu piateho.
182
315
2
234425502345
6512228
5
12
3222
8
5
12
32
2
22
8
5
!4!4
!2!2
2
1
2
1
28
5
!2!2
!
!4!4
!
4
4
2
2
8
5
42
48
42
25
85
2,1
2
24
4
4
82
8
442
4
2
4
2
44
22
53
nnnn
nn
nn
nn
n
n
n
n
n
n
i
i
inin
AA
nn
n
n
nn
97. Určte Nn tak, aby pomer koeficientov u ôsmeho člena a šiesteho člena v
binomickom rozvoji
n
xx
1 bol 21:1 .
72
311
2
2841211102811
23011
21
1
!5
!765
21
1
!7
!5
!7
!5
21
1
!5!5
!
!7!7
!
21
1
5
7
21
1
2,1
2
2
6
8
nnnn
nn
nn
n
n
n
n
n
n
n
n
A
A
98. Použitím binomickej vety a vety Moivrovej odvoďte vzorce pre:
a) ,3cos,3sin xx b) .5cos,5sin xx
a) ,3cos,3sin xx
xxx
xxx
xxxx
xxxx
xxxx
xxxx
xxxxxx
xxxxxx
xixxixxxixx
xixxixixxixx
xixxix
xixxixxix
xixxix
2
3
32
33
32
23
2232
2223
3223
332223
30
211203
3
sin4sin33sin
cos3cos43cos
sinsin3sin33sin
cos3cos3cos3cos
sinsinsin133sin
cos1cos3cos3cos
sin1cos sinsincos33sin
cos1sin sincos3cos3cos
3sin3cossinsincos3sincos3cos
3sin3cossinsincos3sincos3cos
3sin3cossincos3
3
sincos2
3sincos
1
3sincos
0
3
3sin3cossincos
b) .5cos,5sin xx
xxxx
xxxx
xxxxxxx
xxxxxxx
xxxxxx
xxxxxx
xxxxxx
xxxxxx
xixxixx
xixxxxixx
xix
xixxixxix
xixxixxix
xixxix
sin5sin20sin165sin
cos5cos20cos165cos
sinsin1sin10sinsin21sin55sin
coscos21cos5cos1cos10cos5cos
sinsinsin110sinsin155sin
cos1cos5cos1cos10cos5cos
sinsincos10sincos55sin
sincos5sincos10cos5cos
5sin5cossinsincos5
sincos10sincos10sincos5cos
5sin5cos
sincos5
5sincos
4
5sincos
3
5
sincos2
5sincos
1
5sincos
0
5
5sin5cossincos
35
35
52342
42235
53222
22235
5324
4235
54
322345
504132
231405
5
99. Pomocou binomickej vety dokážte, že Nn platí:
a) n
n
nnnn2
210
,
b) 01210
n
nnnn n ,
c) nn
n
nnnn12
22
12
0
2
,
d) nnnn
n
nnn54
24
14 21
,
e) nn
n
nnn544
24
11 2
,
a) n
n
nnnn2
210
,
n
nnnn
n
nnnn
n
nnnn n
210210
11210
b) 01210
n
nnnn n
n
nnnn
n
nnnn
n
nnnn
n
nnnn
n
nnnn
nn
n
n
nnn
1210
1210
112
11
10
1210
1101210
210
c) nn
n
nnnn12
22
12
0
2
,
n
nnnn
n
nnnn
n
nnnn
nn
nn
22
21
20
22
21
20
2122
21
20
22
2
d) nnnn
n
nnn54
24
14 21
,
n
nnn
n
nnn
n
nnn
nnnnnn
nnnn
2121
21
42
41
442
41
4
1442
41
4
e) nn
n
nnn544
24
11 2
,
nn
nn
n
nnn
n
nnn
n
nnn
442
41
1442
41
1
41442
41
1
22
2
100. Použitím binomickej vety dokážte, že platí:
a) Nn je číslo 15
142 n
celé číslo,
b) Nn je číslo 14 n deliteľné 3.
18.11 Dôkaz matematickou indukciou
101. Dokážte použitím matematickej indukcie: nnn 56: 3 N
a) nnn 56: 3 N c) nnnnn 61164: 234 N
b) nnn 45: 5 N d) nnn 87: 7 N
102. Dokážte použitím matematickej indukcie:
a) 543: nn N d) nnn 22 385: N
b) 98916: 1 nn nN e) 325: 34 nn N
c) 16736: nn nN f) 122 327: nnn N
103. Dokážte použitím matematickej indukcie:
a) 2
1321:
nnnn N ,
b) 2112531: nnn N ,
c) 11
1
43
1
32
1
21
1:
n
n
nnn N ,
d)
6
121321: 2222
nnn
nn N ,
e)
2
23333
2
1321321:
nnnnn N ,
f) 1222222: 13210 nnn N
104. Dokážte použitím matematickej indukcie:
a) 2
1
12: ninn
i
N ,
b) 121212
1:
1
n
n
iin
n
i
N ,
c)
3
1412:
2
1
2
nnin
n
i
N ,
d) 21
113:
nniinn
i
N ,
105. Dokážte použitím matematickej indukcie:
2
2
!2
2
!1
2
!54
2
!43
2
!32
2
!21:
432
nn
nnnn N
106. Dokážte použitím matematickej indukcie: 22:5 , nnn n N .
107. Postupnosť je daná rekurentne: naaa nn 23 11 . Dokážte, použitím
matematickej indukcie správnosť vzorca pre n-tý člen 12 nnan .
108. Dokážte použitím matematickej indukcie, že pre každé prirodzené číslo n
je tiež výraz 623
23 nnnnv prirodzeným číslom.
109. Použitím matematickej indukcie dokážte, že ľubovolnú čiastku peňazí
väčšiu než 4 koruny vyjadrenú v celých korunách môžeme zložiť len
použitím dvojkorún a päťkorún.
110. Použitím matematickej indukcie dokážte úlohy 99a) 99b) a 100a) z tejto
kapitoly.
Zoznam použitej literatúry
[1] Jindra Petáková - MATEMATIKA příprava k maturitě a k přijímacím
zkouškám na vysoké školy, Prometheus 1998
