11/5/2014

1

TKS 4008 Analisis Struktur I

TM. XVIII : METODE SLOPE DEFLECTION

Dr.Eng. Achfas Zacoeb, ST., MT.

Jurusan Teknik Sipil

Fakultas Teknik

Universitas Brawijaya

Pendahuluan

Pada 2 metode sebelumnya, yaitu :

1. Metode “deformasi konsisten” yang menggunakan gaya luar

(reaksi perletakan) sebagai variabel, dan

2. Metode “persamaan tiga momen” yang menggunakan gaya

dalam (momen batang) sebagai variabel.

Kedua metode tersebut yang menggunakan gaya luar ataupun

gaya dalam sebagai variabel dikategorikan sebagai metode gaya

(force method).

Sedangkan metode “slope deflection” yang menggunakan rotasi

batang sebagai variabel dikategorikan sebagai metode

fleksibilitas (flexibility method).

11/5/2014

2

Pendahuluan (lanjutan)

Metode “slope deflection”, seperti kedua metode yang lain bisa

digunakan untuk analisis struktur balok statis tak tentu dan portal

dengan konsep sebagai berikut :

1. Geometri (compatibility) : titik-titik pertemuan antara balok dan

kolom pada suatu portal dianggap kaku, sehingga sudut-sudut

antara pertemuan elemen tersebut “tidak berubah” pada saat

strukur dibebani.

2. Keseimbangan (equilibrium) : jumlah momen-momen akhir

pada titik pertemuan tersebut sama dengan nol, M = 0.

Pendahuluan (lanjutan)

Sehingga dapat dikatakan jumlah variabel yang ada sama dengan

jumlah titik simpul (joint) struktur tersebut.

Nilai dari variabel-variabel tersebut akan dicari dengan

menyusun persamaan-persamaan sejumlah variabel yang ada

dengan ketentuan memenuhi kondisi “equilibrium”.

Pada tahapan ini diperlukan perumusan dari masing-masing

momen batang, karena rumus-rumus momen batang tersebut

mengandung variabel yang dicari, yaitu rotasi titik simpul.

Setelah nilai variabel yang dicari diperoleh, kemudian

disubstitusikan ke dalam persamaan yang telah disusun untuk

mendapatkan nilai dari momen batang-batang tersebut.

11/5/2014

3

Penurunan Rumus

Pada bentangan AB, MA dan MB dinyatakan dalam suku-suku

rotasi ujung θA dan θB dengan pembebanan yang diberikan W1

dan W2.

Dengan pembebanan yang diberikan pada batang tersebut,

diperlukan momen-momen ujung terjepit M0A dan M0B untuk

menahan garis-garis singgungnya tetap di ujung.

Penurunan Rumus (lanjutan)

Momen-momen ujung tambahan M’A dan M’B harus sedemikian

besarnya, sehingga menyebabkan rotasi θA dan θB.

Jika θA merupakan rotasi ujung yang disebabkan oleh MA dan θB

merupakan rotasi ujung yang disebabkan oleh MB, maka syarat-

syarat bentuk yang diperlukan adalah :

Pers. (1) :

𝜽𝑨 = +𝜽𝑨𝟏 − 𝜽𝑨𝟐

𝜽𝑩 = −𝜽𝑩𝟏 + 𝜽𝑩𝟐 (1)

11/5/2014

4

Penurunan Rumus (lanjutan)

Pers. (2) :

𝑴𝑨 = 𝑴𝟎𝑨 + 𝑴′𝑨

𝑴𝑩 = 𝑴𝟎𝑩 + 𝑴′𝑩 (2)

Pers. (3) :

𝜽𝑨𝟏 =𝑴′𝑨𝑳

𝟑𝑬𝑰 𝜽𝑨𝟐 =

𝑴′𝑩𝑳

𝟔𝑬𝑰

𝜽𝑩𝟏 =𝑴′𝑨𝑳

𝟔𝑬𝑰 𝜽𝑩𝟐 =

𝑴′𝑩𝑳

𝟑𝑬𝑰 (3)

Pers. (3) disubstitusikan ke (1), sehingga diperoleh :

𝜽𝑨 = +𝑴′𝑨𝑳

𝟑𝑬𝑰−

𝑴′𝑩𝑳

𝟔𝑬𝑰

𝜽𝑩 = −𝑴′

𝑨𝑳

𝟔𝑬𝑰+

𝑴′𝑩𝑳

𝟑𝑬𝑰 (4)

Penurunan Rumus (lanjutan)

Pers. (4) diselesaikan secara simultan, sehingga diperoleh :

𝑴′𝑨 = +𝟐𝑬𝑰

𝑳𝟐𝜽𝑨 + 𝜽𝑩

𝑴′𝑩 = +𝟐𝑬𝑰

𝑳𝟐𝜽𝑩 + 𝜽𝑨 (5)

Pers. (5) disubstitusikan ke (2), sehingga diperoleh :

𝑴𝑨 = 𝑴𝟎𝑨 +𝟐𝑬𝑰

𝑳𝟐𝜽𝑨 + 𝜽𝑩

𝑴𝑩 = 𝑴𝟎𝑩 +𝟐𝑬𝑰

𝑳𝟐𝜽𝑩 + 𝜽𝑨 (6)

Pers. (6) merupakan persamaan defleksi kemiringan (slope

deflection) untuk batang yang mengalami lentur.

11/5/2014

5

Prosedur

Penggunaan metode slope deflection pada balok statis tak tentu

dilakukan dengan tahapan sebagai berikut :

1. Tentukan momen-momen ujung terjepit (momen primer) di

ujung-ujung setiap bentangan untuk beban yang diberikan.

2. Semua ujung dinyatakan sebagai suatu fungsi dari momen-

momen ujung terjepit dan rotasi sambungannya dengan

menggunakan Pers. (6).

3. Tetapkan suatu sistem persamaan simultan dengan

menggunakan kondisi keseimbangan, jumlah momen disetiap

sambungan harus sama dengan nol.

Prosedur (lanjutan)

4. Selesaikan persamaan simultan untuk memperoleh rotasi-rotasi

sambungan yang tak diketahui.

5. Substitusikan nilai-nilai rotasi yang sudah diketahui ke dalam

persamaan slope deflection dan hitung momen ujungnya.

6. Tentukan semua reaksi dengan free body diagram, kemudian

gambarkan diagram gaya geser dan momen.

11/5/2014

6

Contoh

Analisis struktur balok menerus berikut :

Contoh (lanjutan)

a. Momen ujung (fixed end moment) :

Bentang AB :

𝑀0𝐴𝐵 = −24 6 2

12= −72 kNm

𝑀0𝐵𝐴 = +72 kNm

Bentang BC :

𝑀0𝐵𝐶 = −16 12 2

12−

80 12

8= −312 kNm

𝑀0𝐵𝐶 = +312 kNm

Bentang CD :

𝑀0𝐶𝐷 = −72 2 4 2

62 = −64 kNm

𝑀0𝐷𝐶 = +72 4 2 2

62 = +32 kNm

11/5/2014

7

Contoh (lanjutan)

b. Persamaan slope deflection :

𝑀𝐴𝐵 = 𝑀0𝐴𝐵 +2𝐸 3𝐼

62𝜃𝐴 + 𝜃𝐵 = −72 + 2𝐸𝐼𝜃𝐴 + 𝐸𝐼𝜃𝐵

𝑀𝐵𝐴 = 𝑀0𝐵𝐴 +2𝐸 3𝐼

62𝜃𝐵 + 𝜃𝐴 = +72 + 2𝐸𝐼𝜃𝐵 + 𝐸𝐼𝜃𝐴

𝑀𝐵𝐶 = 𝑀0𝐵𝐶 +2𝐸 10𝐼

122𝜃𝐵 + 𝜃𝐶 = −312 + 3,33𝐸𝐼𝜃𝐵 + 1,67𝐸𝐼𝜃𝐶

𝑀𝐶𝐵 = 𝑀0𝐶𝐵 +2𝐸 10𝐼

122𝜃𝐶 + 𝜃𝐵 = +312 + 3,33𝐸𝐼𝜃𝐶 + 1,67𝐸𝐼𝜃𝐵

𝑀𝐶𝐷 = 𝑀0𝐶𝐷 +2𝐸 2𝐼

62𝜃𝐶 + 𝜃𝐷 = −64 + 1,33𝐸𝐼𝜃𝐶 + 0,67𝐸𝐼𝜃𝐷

𝑀𝐷𝐶 = 𝑀0𝐷𝐶 +2𝐸 2𝐼

62𝜃𝐷 + 𝜃𝐶 = +32 + 1,33𝐸𝐼𝜃𝐷 + 0,67𝐸𝐼𝜃𝐶

Contoh (lanjutan)

c. Syarat batas :

Pertemuan di A : MAB = 0

Pertemuan di B : MBA + MBC = 0

Pertemuan di C : MCB + MCD = 0

Pertemuan di D : MDC – 36 = 0

d. Persamaan slope deflection dengan syarat batas :

+2𝐸𝐼𝜃𝐴 + 𝐸𝐼𝜃𝐵 = +72 +𝐸𝐼𝜃𝐴 + 5,33𝐸𝐼𝜃𝐵 + 1,67𝐸𝐼𝜃𝐶 = +240

+1,67𝐸𝐼𝜃𝐵 + 4,67𝐸𝐼𝜃𝐶 + 0,67𝐸𝐼𝜃𝐷 = −248

+0,67𝐸𝐼𝜃𝐶 + 1,33𝐸𝐼𝜃𝐷 = +4

11/5/2014

8

Contoh (lanjutan)

e. Penyelesaian simultan dengan eliminasi dan substitusi :

𝐸𝐼𝜃𝐴 = +0,20 𝐸𝐼𝜃𝐵 = +71,60 𝐸𝐼𝜃𝐶 = −85,23 𝐸𝐼𝜃𝐷 = +45,62

f. Momen ujung akhir :

𝑀𝐴𝐵 = −72 + 2 +0,20 + +71,60 = 0

𝑀𝐵𝐴 = +72 + 2 +71,60 + +0,20 = +215,4 kNm

𝑀𝐵𝐶 = −312 + 3,33 +71,60 + 1,67 −85,23 = −215,4 kNm

𝑀𝐶𝐵 = +312 + 3,33 −85,23 + 1,67 +71,60 = +147,3 kNm

𝑀𝐶𝐷 = −64 + 1,33 −85,23 + 0,67 +45,62 = −147,2 kNm

𝑀𝐷𝐶 = +32 + 1,33 +45,62 + 0,67 −85,23 = +36 kNm

Contoh (lanjutan)

g. Reaksi perletakan dengan free body diagram :

11/5/2014

9

Contoh (lanjutan)

h. Diagram momen lentur (BMD = bending moment diagram) :

Contoh (lanjutan)

i. Diagram gaya geser (SFD = shear force diagram) :

11/5/2014

10

Terima kasih atas Perhatiannya!