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7/25/2019 18-Problemi_non_lineari_V_1_3.pdf
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Analisi di Buckling
Come detto in precedenza esistono due procedure attivabili per il calcolo dei carichi di collasso
La prima si basa sulla ricerca del punto di biforcazione mediante lanalisi modale
La seconda utilizza il calcolo non lineare e determina il carico di collasso direttamente
valutando il valore massimo raggiungibile fino ad un cambio drastico di configurazione
deformata
Metodo non lineare: si opera in controllo di
carico (carico crescente) e il calcolo non
converge pi a Fc
Oppure in controllo di deformazione e si
esamina lintera curva di risposta
Fc
Calcolo autovalori determinando il punto di
biforcazione (come si vede il calcolo non in
sicurezza in quanto si linearizza il
comportamento fino al punto di collasso)
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Impostazione agli autovalori
0 *geomelast KK
Il problema si risolve mediante unanalisi agli autovalori delle matrici
quindi necessaria unanalisi preventiva statica non lineare che consente di calcolare laK*geom (opzione distress stiffening)
Viene di seguito presentato come si forma tale matrice in una trave in flessione
Per piccoli spostamenti, si pu scrivere lequazione di equilibrio dei momenti attorno al punto disinistra
P P
u
v
2
dxdM dT dvM M dx q T dx dx P dx 0
dx 2 dx dx
Eliminando i termini in dx2, e derivando rispetto ad x: 0
dx
vdP
dx
dT
dx
Md2
2
2
2
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Non considerando le deformazioni a
taglio si ha dalla teoria della trave 2
2
dx
vdIEM q
dx
dT
qdx
vdP
dx
vdIE
2
2
4
4
Si pu ora applicare la formulazione debole per la determinazione delle matrici di
rigidezza a partire dalla formulazione della deformazione troncata al II ordine
2 2 21
2xx
u u v w
x x x x
2
2
2
xxdx
dv
2
1
dx
vdy
dx
du
(termine flessionale) (grandi deformaz.)
eV2xx dVE
21UEnergia di deformazione: Sostituendo e svolgendo prodotti
22 4 2 22 2 22
2 2 2
1 1 2
2 4L A
du d v dv du d v d v dv du dvU A y y y E dA dx
dx dx dx dx dx dxdx dx dx
Che la classica equazione differenziale dalla quale si pu
dedurre linstabilit delle colonne, valida per ogni C.C.
1 2 3 4sin cosv x C kx C kx C x C + Condizioni al Contorno
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Il precedente integrale si pu ridurre ad un integrale
di linea ricordando le propriet delle sezioni:
22 4 22
2
1
2 4L
du d v A dv du dvU E A I A dx
dx dx dx dx dx
E ricordando che
dx
duAEP
20 ; 0 ;A A A
dA y dA y dA I
Trascurando il termine di potenza pi alta
41
02 4
L
A dvE dx
dx
22 22
2
1
2 x
L
du d v dvU EA EI P dx
dx dx dx
Si perviene alla seguenteespressione della energia elastica
Lenergia elastica suddivisibile in due componenti, il primo associato a deformazioni
assiali e il secondo a deformazioni flessionali
ax fl U U U
21
2ax
L
duU EA dx
dx
2 22
2
1
2fl x
L
d v dvU EI P dx
dx dx
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L
0
22
2
22
dxdx
dvP
dx
vdIE
dx
duAE
2
1U
WU 1 1
2 2
all all fl fl all
TT T
gf K f f K f f P
Nel problema discretizzato si pu esprimere lo spostamento mediante le funzioni di forma, per
cui lenergia totale diviene:
1
2
ax ax ax
Tf K f
1
2 fl fl fl
T
f K f 1
2
fl fl
T
gf K f
1 , flxdv
dx
N f 1 1, ,0 AL T
x x dx *gK N NP
*
g gK K
2 3 2 3 2 3 2 3
1 11 12 13 14 2 3 2 2 3 2, ,
,
N N N N 1 3 2 , 2 , 3 2 ,x x
x
x x x x x x x xx
L LL L L L L L
,xN
1 2 3 2 2 3 2,6 4 6 2
12 , 6 , 12 , 6x
x x x x
L LL L L L L L
N
Derivando le precedenti si ha:
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2 3
2
2 3 2 2 3 20
2 3
2
612
4 66 4 6 2
12 6 12 6 A6
12
26
L
x
L L
xx x x xL L
dxx L LL L L L L L
L L
x
L L
*gK
Per ricavare non resta che risolvere lintegrale
6 1 6 1
5 10 5 10
1 2 1
10 15 10 30 6 1 6 1
5 10 5 10
1 1 2
10 30 10 15
L L
LL
L L
LL
*
gK
1 1 2 2v v
1
1
2
2
v
v
*
gK
Si noti che sono presenti solo gdl flessionali
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Esistono due modalit di evoluzione non lineare, la prima facendo crescere il carico e la
seconda lo spostamento
Soluzione non lineare
In realt ne esiste anche una terza, combinazione delle due precedenti, che prende il
nome diArch-lengthod analisi di Riks
Il calcolo non lineare si
muove su questo arco
Il calcolo a collasso non lineare a tutti gli effetti unanalisi non lineare tout courtequindi si rimanda lapprofondimento a quello del calcolo non lineare in genere
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Risoluzione di problemi strutturali non lineari
Dal punto di vista strutturale, i problemi sono non lineari se, nota la risposta del sistema ad un
determinato livello di carico, incrementando tale livello i risultati non sono proporzionali
allincremento stesso
Se chiamiamo steplintera soluzione, dal momento in cui non applicato il carico al suo valorefinale, quasi sempre necessario suddividere lo step in un certo numero di substep, ove si
imponga la soddisfazione dellequilibrio (forze residue piccole)
Anche allinterno dei substepil calcolo non lineare, quindi sar necessario operare un certonumero di iterazioni allinterno (ciascuna costituita da un calcolo lineare) finch non si avr alcorrispondente substep una soluzione con forze residue minori del voluto
tempo
risposta
Substeps
STEP
iterazioni
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In ogni caso, il calcolo non lineare si sviluppa come unanalisi incrementale, del tipo:
1) I n controll o di cari coi carichi sono applicati con una legge preimpostata
2) I n controll o di spostamentospostamenti imposti indipendentemente dalla risposta sistema
3) Control lo indir etto sul la r ispostacontrollo basato su combinazioni della risposta, come ad
esempio spostamenti relativi tra gdl
3) Controllo di tipo Arc length si realizza mediante una combinazione di spostamento e carico
applicato la cui combinazione deve muoversi entro un raggio funzionale delle due grandezze
Il modello costitutivo del materiale fa ricorso alla matrice di rigidezza tangente del materiale
*
=
D
=
Attraverso la quale si calcola la matrice di rigidezza tangente di ogni elemento della struttura
*int T T T
T d d d
f
K B B B D Bu u u
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8) Fine del substep con soluzione
convergente e pronti ad un nuovo
incremento del carico
5) Si trova 2 1 1 n n n
u u u
6) Si determinano le forze interne, si
calcola il nuovo residuo associato allospostamento estrapolato
int
2
2
3 2 2
n
T
R
n 1 n n
f
K
u u u
7) . . . Si prosegue finch ilresiduo risulta essere pi grande
di un valore considerato
accettabile
Il metodo di Newton-Raphsono
della rigidezza tangenziale ricerca la
soluzione dallinizio di un substepalla sua fine calcolando ad ogni
iterazione la matrice tangente ed
estrapolando su di essa
Per semplificare la trattazione, si espone la procedura per un sistema a risposta non lineare
che per possiede un solo grado di libert
3) Si determina la nuova matrice
di rigidezza1
TK
2) dal substep precedente nota 1last
1
n nu u
1
1 1 1
nR
n TANu K
4) Si calcola per estrapolazionelineare lincremento spostamento
1
last
1
n nu u
1) lincremento di carico impostodefinisce il valore del residuo iniziale 1n nR P
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Il metodo di Newton-Raphsonmodificatodifferisce dal precedente in quanto non si ricalcola la
matrice tangente ad ogni iterazione ma si utilizza quella relativa alla fine del substep precedente
Il metodo di Newton Raphson pu
entrare in crisi se la struttura hardening
- la convergenza diviene lentissima
P
x0 x1x2x3x4
Se il sistema ha comportamento non monotono si
pu mancare totalmente la convergenza anche col
metodo non modificato
Miglior tendenza con N.R.
modificato
P
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Caso di sistema hardening
Non convergenza con Newton-
Raphson modificato
Convergenza lenta con Newton-
Raphson
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Nel metodo della secantesi effettua una prima iterazione secondo il metodo classico di Newton-
Raphson e poi si determina la matrice secante mediante
La determinazione della matrice secante immediata in un problema scalare, come
quello rappresentato in figura, ma molto meno banale per rigidezze matriciali
11 1 2 1 2
SEC n n
d R R
n
u K
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Esiste anche un metodo della secantemodificato (Iterazione diretta di Picard) secondo il quale la
secante computata sempre considerando la soluzione iniziale
Il miglior funzionamento delle varianti presentate dipende dal problema stesso, e quindi di difficile determinazione aprioristica
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Ladaptive descentpu fare uso di due matrici di rigidezza incrementali, una la matricetangente Kte laltra la matrice secante Ks
La matrice in uso definita dalla espressione ts KKK 1
Literazione ha inizio con = 0, se la convergenza difficile da raggiungere si fa crescerein modo da avvicinarsi alla matrice secante, pi rigida se il sistema hardening
Se nelliterazione il residuo cresce (tendenziale divergenza):
Si porta = 1 e si continua ad iterare cos
Se nelliterazione il residuo decresce (tendenziale convergenza):
Si riduce progressivamente da 1 fino a riportarlo a 0 (matrice tangente)
Se durante literazione si verifica un pivot negativo (matrice mal condizionata):
Si riduce riutilizza la matrice secante (= 1) ed eventualmente si riduce la
dimensione del substep di avanzamento
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Il line search un metodo che prova a determinare la soluzione della iterazione modificando
i salti calcolati da Newton Raphson con ladozione di un coefficiente skappropriato
1 i i in n k ns u u u con
01.0s
Noto il valore di sksi associa ad esso uno scalare che indica lenergia coinvolta nelliterazione
1,T
i i k
k n ng u R
Ove naturalmente il residuo calcolato dallequilibrio delle forze esterne ed interne
1, int 1,i k ext i k n n R f f u
A questo punto si determina la nuova approssimazione di
sk+1estrapolando verso g=0 la retta indicata nella figura 0g
ks
kg
1ks
s
g
0
10
k kk
gs s
g g
Il processo termina dopo un numero prefissato di
iterazioni (e.g. 5) oppure quando si verifica una delle due
0 0.5k
g
g 1k k
k
g gerr
g
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Larc length un metodo molto adatto quando i sistemi sono softening-hardening, per esempionelle condizioni di post-buckling
A seconda del metodo adottato, si realizzano perdite di convergenza diverse
La curva degli equilibri successivi in pratica si determina da una combinazione sia degli
spostamenti delle variabili incognite, sia del fattore scalare di carico che agisce su tutti i carichiapplicati
Il metodo non invece adatto nei sistemi ove discontinuit di carico si realizzano
frequentemente durante gli step di carico (analisi con contatti tra superfici, )
Dato per che spostamenti e forze applicate sono dimensionalmente differenti, occorre definire
una costante di comparazione c:
2Tl c u u
Per gli elementi in cui sono presenti sia gdl
traslazionali che rotazionali si introducono
anche altri fattori di comparazione
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In un substep, si parte da 1 1,n n u
0u
e si vuole determinare i nuovi ,n nu
In pratica si ha una nuovo parametro con la condizione vincolare sulla lunghezza din l
Riscriviamo la linearizzazione dellequilibrio della generica iterazione i:
1 1 10 int, 0i i i i in n n n nf f f f K u
1 1 1
0 int,
i i i i i
n n n n
nK u f f f f
INCOGNITE
Ora, pensando che una iterazione porta da una soluzione ad una possiamo
linearizzando imporre lequilibrio nella condizione iniziale (0) e finale (f)
1
0=i
n u u fu
1 1 1
0 0 int,
1
i i i
n n n
i
n f
K u f f f
K u f
Esprimendo la
variazione dispostamento come
Sia che sono note e quindi, sostituendo nella lunica incognita presente fu
0 i i
n n f u u u
i
n
1 1 2 1 2T
i i i i i i
n n n n n nc l u u u u
Il sistema, di II grado, fornisce due
soluzioni: una avanza nel percorso,
laltra retrocede
Si separa
lequazioneprecedente in due
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Per quanto riguarda i criteri di convergenza essi possono essere basati sia sulle forze
(e momenti) residui sia sullo spostamento della soluzione dalliterazione precedente
I primi sono senzaltro da preferire in quanto hanno un preciso significato fisico, i secondiinvece possono mascherare enormi errori nellequilibrio per strutture particolarmente rigide
Infine, in genere i codici controllano se da una iterazione alla successiva si ha una nuova
condizione di contatto ed in tale caso effettuano sempre una iterazione aggiuntiva,
fermandosi quando non si altera pi il quadro complessivo dei contatti
La ricerca della soluzione pu anche diventare estremamente difficile quando sono presenti
condizioni non continue, come contatto o bruschi cambi di pendenza curva plastica del
materiale, passaggi di stato, ...
In particolare i problemi di contatto, peggio se associati a plasticit che invece produce
softening sono spesso difficoltosi perch instaurano delle condizioni di hardening
allinsorgere della penetrazione sul target
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Comportamento plastico dei materiali (metallici)
La plasticit caratterizzata da una correlazione non
biunivoca tra il valore della deformazione accumulata e
quello della tensione, in pratica si pu vedere se in un ciclodi carico e scarico si ripercorre o no il medesimo percorso
Nei materiali elasto-plastici perfetti esiste un valore di
tensione di yield oltre il quale le deformazioni sono
indeterminate
carico
scarico
y
I materiali che incrudiscono sono invece caratterizzati
da un valore di yielding che dipende da qualche
parametro di controllo
Il pi accreditato la
deformazione plastica
Lequazione della superficie di Yield 0,F
Nei materiali che presentano incrudimento la superficie
tende ad espandersi mano a mano che si accumula
plasticit
1
2
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Analisi del flusso plastico
Nel caso di presenza di flusso plastico il materiale caratterizzato da un legame tensione deformazione che si modifica durante leventoplastico.
In una semplificazione comunemente adottata, il materiale allinterno di una superficie disnervamento si comporta elasticamente, al di fuori plasticizza
Se incrudente, si ha una estensione della superficie di snervamento stessa determinata dallentitdella deformazione plastica stessa.
Chiamando con F la superficie di snervamento, essa sar funzione dello stato di tensione e di un
parametro che tiene in conto dellincrudimento subito
, 0F
Il tensore delle tensioni naturalmente il seguente:
xx xy xz
xy yy yz
xz yz xx
Considerando la tensione media, si pu scrivere un tensore
deviatorico che si costruisce eliminando la componente idrostatica: 1 3m x y z
xx m xy xz
xy yy m yz
xz yz xx m
s
(1)
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Si rammentano anche i tre invarianti delle tensioni che sono cos definiti, una volta che stato
individuato il sistema di riferimento principale
1 1 2 3I 2 1 2 2 3 3 1I 3 1 2 3I
Nel caso si faccia uso del tensore deviatorico, i tre invarianti assumono i valori
1 0J 2 2 2
2 1 2 2 3 3 1
1
6J
3 1 2 3J s s s
Il criterio di snervamento di Von Mises imediatamente legato aJ2
2 2 2
1 2 2 3 3 1
1
2eq
23eq J
Qualora ci si trovasse in un sistema di riferimento non principale, il J2diverrebbe
2 2 2 2 2 2
2
16
6 x y y z z x xy yz zxJ
La deformazione plastica equivalente viene anche essa in
genere conteggiata mediante un criterio alla Von Mises 23
32
pl pl pl pl
eq ij ijJ
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Un metodo per determinare le direzioni principali deviatoriche, alternativo alla soluzione del
problema agli autovalori, dato dalle seguenti espressioni (Kachanov):
2 2
2 1cos
33s J
3 22
cos3
s J
3
32
2
3 3cos3
2
J
J
;
;
Avendo posto
A questo punto le tensioni principali altro non sono che
1 1 ms
2 2 ms
3 3 ms
;
;
Tornando alla superficie di yielding F, se si adotta la tensione equivalente di Von Mises, leq (1)
, 0eq yF
2 2 2
1 2 2 3 3 1
10
2 y
In questa ultima equazione leffetto dellincrudimento viene conteggiato mediante la variazionedella tensione di snervamento, che sar funzione di un parametroda definire ma che tiene in
considerazione il livello di plasticit raggiunto
Incrudimento isotropico
1 2
2 1cos
33s J
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Superf icie di snervamento
Mater iale Elasto-Plastico perfetto
La superficie di snervamento definisce linnesco della condizione di plasticitLestensione di tale superficie si attualizza con la deformazione plastica accumulata
, 0plF
I ncrudimento isotropico
I ncrudimento cinematico
In questo caso la condizione di plasticizzazione totalmente indipendente
dalla deformazione plastica
0F
La condizione di plasticizzazione rimane la stessa nel corso della deformazione plastica, sia nella
estensione che nella posizione originaria
La superficie di snervamento pu crescere ma non cambia posizione
La superficie di snervamento pu solo traslare ma non
cambiare di forma
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La superficie di snervamento segue levoluzione dello stato tensionale in modo che la disequazionesia sempre rispettata
Condizione di consistenza
, 0plF
Un cambiamento dello stato tensionale si sviluppa elasticamente (scarico elastico) se , 0pldF
Si ha invece ulteriore plasticizzazione se si realizza una fase di carico
ulteriore con incremento della deformazione plastica , 0pl
dF
Mater iali incrudenti
La superficie cresce in estensione dal
primo snervamento fino alla superficiedi rottura (il cammino irreversibile)
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Principio di normalit
Esso asserisce che in condizioni di incipiente uscita dalla curva limite di snervamento, la
deformazione plastica fluisce secondo una direzione che risulta normale alla curva limite stessa
In termini di equazioni, si pu scrivere che, per ciascuna delle 6 componenti indipendenti
dellincremento di deformazione plastica, si ha la condizione di parallelismo tra lincremento plasticodi deformazione e la normale alla superficie di snervamento
pl
ij pl
ij
Fd
(2)
La costante per ora niente di pi che un fattore di proporzionalit che andr determinato.
Nella plasticit associativa, di cui qui si discute, si ha cheFrisulta essere proprio la superficie di
snervamento prima definita
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Se si considera plasticit non associativa (valida per esempio per materiali porosi che risentono della
tensione media) , allora occorre sostituire aFuna funzione che definisca pi appropriatamente il
potenziale plastico
tot el pl
ij ij ijd d d
Per ottenere un legame costitutivo coerente, nel caso elasto-plastico, si
suddivide la deformazione in una somma di contributo elastico e plastico
Ricordando il principio di normalit ed il legame tensioni-
deformazioni in campo elastico e plastico1 F
d d
D (3)
Dove D- legame elastico - vale, nel caso tridimensionale
1 - - 0 0 0
- 1 - 0 0 0
- - 1 0 0 01
0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 1 0
0 0 0 0 0 1
xx xx
yy yy
zz zz
xy xy
yz yz
xz xz
d d
d d
d dd d
d dE
d d
d d
D
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Come detto, quando si realizzano le condizioni di flusso plastico, la superficie limite si incrementa
(incrudimento) e fa si che essa continui ad inglobare lo stato tensionale raggiunto.
Questo vuol dire che il suo differenziale totale (incremento assoluto), composto da 7 termini, rimane
sempre nullo
0xx yy z xy yz zxxx yy zz xy yz zx
F F F F F F FdF d d d d d d d
(4)
Definendo ora con
1 F
A d
(5)
Utilizzando il vettore a 6 componenti di , lequazione scalare (4) assume una forma semplificata
0
TF
d A
(6)
Se ora si raggruppano le eqq. (3) e (6) si perviene ad un sistema composto di 7 eq. in 7 incognite:
1
0 T
Fd
d
Fd A
D
(7)
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Vediamo ora di discutere il significato del termineA. Chiaramente, se non si ha incrudimento,
esso si annulla in quantoFrimane lo stesso al crescere di
Il punto di partenza la determinazione del parametro che misura il lavoro
incrementale di hardening, per cui la sua crescita vale
T pld d
...pl pl plxx xx yy yy zx zxd d d d
Ricordando la legge di flusso plij
ij
Fd
(2) e sostituendola in questultima T
Fd
Che ci consente di eliminare il fattore d presente nella equazione (5)
TF FA
(8)
Von Mises presenta il notevole vantaggio di poter esprimere il gradiente diFin modo agevole
2 2 2 2 2 21 3 3 3 0
2 xx yy yy zz zz xx xy yz zx yF
33 3; ; ;
2 2 2
yx z
xx eq yy eq zz eq
ss sF F F
3 3 3; ; ;
xy yz zx
xy eq yz eq zx eq
F F F
Con semplici passaggi si scrivono le 6 derivate
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Se si dispone di una semplice prova di trazione (monodimensionale), si ha a
disposizione una curva del tipo m - m , spostandosi dalla condizione di
incipiente snervamento, il lavoro incrementale di deformazione plastica :y m
d d
Si esprime - in questo caso monodimensionale - il valore della prima derivata scalare presentenella eq. (8) avendo bene in mente che il differenziale totale (4) risulta nullo
0ss
F Fd d
1
y y
y m y
d dF H
d d
=1
y
m
dHd
Avendo definito H non altro che la pendenza istantaneadella curva di incrudimento monotona.
Se ora si sostituisce nella (8) ricordando anche che nel caso monodimensionale la
seconda derivata ivi presente vale semplicemente 1, si perviene ad una definizione di
A H
TF F
A
Si pu ora tornare al sistema (7)
cercando di darne una soluzione il pi
possibile generale. In particolare
occorre approntare una opportuna strategia risolutiva che
rimanga valida anche quandoA= 0, ossia il materiale
presenti un comportamento elasto-plastico perfetto
Lo scopo sar quello di fare scomparire nel sistema (7) il termine .
T
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Si comincia col premoltiplicare il primo set di equazioni (7) per il termineT
F
D
1
T T TF F F F
d d
D D D D
Semplificando, e mettendo in evidenza il primo termine a destra dell'uguale, si ottiene il seguente
T T TF F F F
d d
D D
termine che pu essere poi sostituito nel II set di equazioni (7) - che poi
una semplice eq. Scalare - si elimina cos il d0
T
F d A
0
T TF F F
d A
D D
1 Fd d
D
Questultima permette di eliminare il fattore moltiplicativoT
T
Fd
F FA
D
D
(9)
(6)
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Che viene infine eliminato nella prima delle (7) 1 F
d d
D
1
T
T
Fd
Fd d
F F A
D
D
D
(10)
Ora si scrive la precedente equazione in termini espliciti, indicando cio la variazione dello
stato tensionale per effetto di un incremento di deformazione totale (si premoltiplica per D)
T
T
F F
d d dF F
A
D D
D
D
(11)
In pratica si trovato un legame incrementale tra il tensore di deformazione e quello della tensione
che si scrive noto che siano la matrice Ddel materiale elastico, lipotesi di rottura attraverso ladefinizione diFe quindi delle sue derivate, la pendenza incrementale di incrudimento plastico (A).
*d d D *
T
T
F F
F F
A
D D
D D
D
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Questo modo di procedere fin qui descritto ha lo svantaggio di considerare una D* indipendente
dallo stato di tensione che di fatto fuoriesce istantaneamente dalla curva di snervamento
Se gli incrementi di deformazione sono sufficientemente piccoli lerrore che si commette non grande, tuttavia se cos non lerrore accumulato pu diventare intollerabile.
Per il momento il sistema non viene descritto, si ritiene utile solo accennare al fatto che la
risoluzione comporta la ricerca di zeri della funzione attraverso lalgoritmo diNewton-Raphson.
In questo caso si pu far ricorso allalgoritmo del return mapping, proposto nel 1964 daMaenchen e Sacks. La tecnica prevede unoscalingdella tensione in modo da permanere
sempre sulla superficie di incrudimento
Qualora la plasticit non fosse asssociativa, ugualmente la ricerca del punto finale sulla superficie
di snervamento va risolta in forma numerica
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Esempio su deformazione 3D
Si ipotizza la presenza di un determinato stato di tensione e di
deformazione, giacenti sulla superficie limite di snervamento:
275.04 59.01 -202.86
59.01 260.36 -27.52
-202.86 -27.52 -65.40
La quale presenta, come si pu risolvere, tre tensioni principali pari a:1 400 MPa
2 230 MPa
3160MPa
Secondo i criterio di Von Mises, essendo la tensione equivalente sulla curva di snervamento, si hauna tensione di snervamento
2 2 2400 230 160 400 230 230 160 160 400 497.29y
Si calcola il tensore di
deformazione elastico, ipotizzandodi essere in regime elastico e
quindi di non aver ancora compiuto
lavoro plastico (=0):
1 - - 0 0 0
- 1 - 0 0 0- - 1 0 0 01
0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 1 0
0 0 0 0 0 1
xx xx
yy yy
zz zz
xy xy
yz yz
xz xz
E
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Ponendo per il materiale le seguenti caratteristiche: E= 2.06e11 Pa, =0.3, sn=500 Mpa
H= 1/1000*E
1 - - 0 0 0 275.04 1.0512
- 1 - 0 0 0 260.36 0.9586
- - 1 0 0 0 -65.40 -1.09721
0 0 0 1 0 0 59.01 0.3724
0 0 0 0 1 0 -27.52 -0.1737
0 0 0 0 0 1 -202.86 -1
xx
yy
zz
xy
yz
xz
E
310
.2802
Da un calcolo complessivo, a partire da questo stato, si ha un incremento di deformazione totale
(di primo tentativo) ad esempio di semplice dilatazione unidirezionale inx, pari a 0.001:
3
1.0512 1.0000 2.0512
0.9586 0.0000 0.9586
-1.0972 0.0000 -1.097210
0.3724 0.0000 0.3724-0.1737 0.0000 -0.1737
-1.2802 0.0000 -1.2802
new old d
310
La prima verifica da fare che lincremento di deformazione totale faccia sforare la sollecitazioneequivalente oltre il limite di snervamento attuale:
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3
1- 0 0 0 2.0512 552.39
1- 0 0 0 0.9586
1- 0 0 0 -1.0972 10
0 0 0 1 2 2 0 0 0.37241 1 2
0 0 0 0 1 2 2 0 -0.1737
0 0 0 0 0 1 2 2 -1.2802
xx
yy
zz
xy
yz
xz
E
379.21
53,44
59.01
27.52
202.86
573.31 MPa 497.29 MPaeq La sollecitazione esce dalla zona elastica
Con il che si evince che si entrati in campo plastico e bisogna utilizzare la equazione (11)per il
calcolo del tensore delle tensioni.
Per poter applicare la (11) occorre calcolare le derivate del gradiente diFrispetto alle tensioninellultimo punto noto in elasticit:
+ 3=156.67m x y z MPa
=118.37x x ms MPa =103.70y y ms MPa
= -222.07z z ms MPa
= 59.01xy xys MPa= 27.52yz yzs MPa
= -202.86xz xzs MPa
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3 222.073 118.37 3 103.700.3571; 0.3128; 0.6698;
2 497.29 2 497.29 2 497.29xx yy zz
F F F
3 27.52 3 202.863 59.010.3560; 0.1660; 1.2238;
497.29 497.29 497.29xy yz zx
F F F
0.3571 0.3128 -0.6698 0.3560 0.1660 1.2238T
F
Calcolando ora la (12) si ottiene
* 5
2.6863 1.1124 1.3513 -0.0865 0.0404 0.2975
1.1358 2.7065 1.3311 -0.0758 0.0354 0.2606
1.4816 1.3063 2.4676 0.1624 -0.0757 -0.55821 10
-0.1559 -0.0627 0.3485 1.4983 0.0402 0
T
T
F F
F FA
D D
D D
D
.2966
-0.2739 -0.1101 0.6124 -0.3256 1.5659 -0.1383
0.0727 0.0292 -0.1625 0.0864 0.1518 0.5649
Per cui, osservando che *d d D
* 268.63 111.24 135.13 8.66 4.04 29.75T
Td d MPa D
Si d i h il di i
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Si determina anche il nuovo stato di tensione
543.67 371.61 69.73 50.36 23.11 173.11T
d MPa
Con una nuova tensione di snervamento 521.38y
MPa
Evidentemente pi bassa di quella estrapolata al primo tentativo elastico (573.31MPa)
Il parametropu essere ora calcolato dalla(9): 4
51.53 10
T
T
Fd
F FA
D
D
E il lavoro incrementale di hardening (per unit di volume) assume il valore
'4 = 51.53 10 543.67 371.61 69.73 50.36 23.11 173.11
0.3571 0.3128 -0.6698 0.3560 0.1660 1.2238 0.0763
T Fd
Nmm
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Il punto debole del calcolo precedente la determinazione del gradiente di tensione, preso nello stato
precedente alla deformazione aggiuntiva
Qualora tale gradiente dovesse modificarsi in modo significativo per effetto della deformazione
imposta dallo step, occorrer ridurre gli intervalli di crescita di deformazione, in modo da inseguirelevoluzione dellincrudimento restando sempre sulla superficie (aggiornata) di snervamento stessa
Questo modo di procedere risponde al nome diReturn Mapping ed esistono svariati modi di
procedere in funzione anche del metodo utilizzato per calcolare la tensione equivalente
Nel calcolo agli elementi finiti, il modo di precedere si inserisce negli step di calcolo non lineare,
come ad esempio nello svolgimento del metodo di Newton Raphson.
Tale metodo prevede lo svolgimento di iterazioni, e quindi lassunzione di un campo di spostamenti
di tentativo, che viene via via affinato finch non si raggiunge un equilibrio soddisfacente tra leforze esterne applicate e le forze interne che si sviluppano
Il problema del calcolo elasto-plastico del materiale nasce proprio per la valutazione delle forze
interne, la cui definizione richiede la soluzione del legame non lineare tra deformazioni e tensioni
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Pertanto, ad ogni iterazione si considera un sottoincremento dello spostamento
In modo da ottenere
i iu u
ii e quindi ricercare le conseguenti variazione di tensione
Questa operazione ripetuta per ogni elemento, in corrispondenza ad ognuno dei suoi puntidi Gauss, utilizzati per lintegrazione numerica
In pratica, la tensione, dipendente dal valore assunto al passo precedente, si risolver da una
sommatoria che contiene integrali del tipo
*
1
0
i
n n n n iid
D
Il modo esplicito pi semplice di affrontare questo problema di approssimare lintegraleconsiderando un valore costante nellarco di integrazione. Questo metodo molto rapido, ma
decisamente poco preciso a meno che non si suddivida in intervalli molto piccoli e di dimensionedifficilmente prevedibile
In alternativa, si pu determinare ciascun integrale con un approccio alla Runge-Kutta del II
ordine, che conduce ad una doppia stima della matrice tangente*
iD
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Si impone una deformazione pari alla met di quella effettiva e si
calcola la tensione relativa*
1 2 0
1
2 D
Con questo incremento di tensione si ridetermina la matrice tangente
che viene utilizzata per il calcolo dellintero stato tensionale*
1 0 1 2 D
Questo metodo risolutivo consente anche di avere una stima
dellerrore mediante lespressione 1 1 22 err
Il metodo pu comportare il continuo scostamento del tensore della tensione dalla curva di Yielding
In alternativa stato sviluppato il metodo del Return-Mapping (1964), del quale si pu dare una
semplice interpretazione geometrica dalla figura sottostante
In pratica si impone di riportare lo stato di tensione s lla c r a di sner amento mediante tratti di
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In pratica si impone di riportare lo stato di tensione sulla curva di snervamento, mediante tratti di
ritorno tutti ortogonali e di livelli di incrudimento decrescente. Lalgoritmo impone che lo stato ditensionale finale corrisponda ad una tensione equivalente pari a quella di snervamento attualizzata
I dettagli operativi dipendono dal modello costitutivo utilizzato per la valutazione della plasticit
Dal punto di vista del codice di calcolo agli elementi finiti, si possono comunque prevedere i
seguenti passaggi
Assunzione della deformazione totale: allo step nsecondo uniterazione delprocedimento non lineare di calcolo
n1)
Calcolo della deformazione di trialeliminando la parte gi
plastica al passo precedente
2)1
tr plast
n n n
3) Determinazione della tensione di trialche si avrebbe se il
materiale reagisse linearmente 1tr plast n n n D
4) Calcolo della tensione equivalente per valutare se si rimane in regime elastico o sesi rientra in un tratto di plasticit
Risoluzione, mediante la formulazione esplicita (oppure il return mapping) del
moltiplicatore plasticone quindi della parte plastica dellincremento di deformazione5)
plast
n n
F
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Determinazione della componente elastica e plastica della deformazione totale6)
elast tr plast
n n n 1plast plast plast
n n n
Calcolo dello stato tensionale presente (dovuto solo alle deformazioni elastiche)7)
elast
n n D
Aggiornamento dellincremento del lavoro plastico di incrudimento e dellincremento plasticoequivalente della deformazione (per utilizzare la curva monotona)
8)
T
n n n
Fd
1n n nd 2
3
pl plT pl
eq