18/09/07

MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES I

Cinquième cours

18/09/07

Rappel du dernier cours

• Taux instantané de l’intérêt ou force de l’intérêt

18/09/07

Rappel du dernier cours

• Taux instantané de l’intérêt ou force de l’intérêt

• Taux instantané de l’intérêt constant

18/09/07

Rappel du dernier cours

• Taux instantané de l’intérêt ou force de l’intérêt

• Taux instantané de l’intérêt constant

• Date de comparaison

18/09/07

Rappel du dernier cours

• Taux instantané de l’intérêt ou force de l’intérêt

• Taux instantané de l’intérêt constant

• Date de comparaison

• Diagramme d’entrées et sorties

18/09/07

Rappel du dernier cours

• Taux instantané de l’intérêt ou force de l’intérêt

• Taux instantané de l’intérêt constant

• Date de comparaison

• Diagramme d’entrées et sorties

• Équation de valeur

18/09/07

Rappel du dernier cours

Si nous connaissons la fonction d’accumulation

alors le taux instantané de l’intérêt est

18/09/07

Rappel du dernier cours

Si nous connaissons le taux instantané de l’intérêt

et le principal, alors nous pouvons déterminer la fonction d’accumulation

18/09/07

Rappel du dernier cours

Le montant d’intérêt gagné pendant la période allant de 0 jusqu’au temps t

Le montant d’intérêt gagné pendant la période allant du temps t = a jusqu’au temps t = b est

18/09/07

Nous allons maintenant considérer des questions relatives au temps, à la durée

d’un prêt: échéance moyenne, duplication du capital

18/09/07

Échéance moyenne:

L’échéance moyenne est le moment

pour lequel un versement de

respectivement payables aux moments

est équivalent à n versements de

18/09/07

Échéance moyenne: (suite)

Nous avons le diagramme d’entrées et sorties

suivant:

18/09/07

Échéance moyenne: (suite)

L’équation de valeur avec comme date de comparaison t= 0:

Rappelons que

18/09/07

Échéance moyenne: (suite)

De ceci, nous obtenons que

18/09/07

Échéance moyenne: (suite)

De ceci, nous obtenons que

Donc

18/09/07

Échéance moyenne: (suite)

Finalement

18/09/07

Échéance moyenne: (suite)

Finalement

Autre forme équivalente:

18/09/07

Dans cette dernière équation,

désigne le taux instantané de l’intérêt constant équivalent au taux d’intérêt composé

c’est-à-dire

18/09/07

Échéance moyenne approché:

Il est possible d’approximer la valeur de

par l’échéance moyenne approchée

En effet,

18/09/07

Échéance moyenne approché: (suite)

Pour démontrer cette formule, il faut utiliserla série binomiale

si

et développer en série

18/09/07

Exemple 1: Anastasia doit rembourser un prêt en faisant 4 versements : 1500$, 3500$, 3000$, 2500$ payable respectivement à la fin de la 5e, 7e, 8e et 12e année. Le taux d’intérêt composé de ce prêt est 6% par année. Le total des versements de ce prêt est 10500$. Supposons qu’elle préfèrerait faire un seul versement de 10500$ pour rembourser ce prêt.

Quand doit-elle faire ce remboursement?

18/09/07

Exemple 1: (suite) Nous devons calculer l’échéance moyenne. Par ce qui précède, nous obtenons le diagramme suivant du flux financier

18/09/07

Exemple 1: (suite) Le taux d’intérêt est

18/09/07

Exemple 1: (suite) Le taux d’intérêt est

L’équation de valeur avec comme date de comparaison t = 0 est

18/09/07

Exemple 1: (suite) Nous obtenons que l’échéance moyenne est alors

soit environ après 8 ans, 13 jours, 21heures et 8 minutes.

18/09/07

Exemple 1: (suite) Par contre, nous obtenons que l’échéance moyenne approchée est

soit environ après 8 ans, 69 jours, 12heures et 34 minutes.

18/09/07

Remarque 1:

Il est possible de montrer que nous avons toujours

18/09/07

Remarque 1: (suite)L’inégalité

est une conséquence de l’inégalité entre la moyenne

géométrique et la moyenne arithmétique:

18/09/07

Duplication du capital:

Combien faut-il de temps pour qu’un capital investi double?

18/09/07

Duplication du capital:(suite)

Si nous investissons un capital de K dollars au taux d’intérêt composé i, nous voulons déterminer le temps t nécessaire pour que la valeur accumulée après cette période soit 2K. En équation, nous avons

18/09/07

Duplication du capital:(suite)

Après simplification, nous obtenons

18/09/07

Duplication du capital:(suite)

Après simplification, nous obtenons

En prenant le logarithme des deux côtés de l’égalité,nous obtenons

18/09/07

Duplication du capital:(suite)

Après simplification, nous obtenons

En prenant le logarithme des deux côtés de l’égalité,nous obtenons

Finalement

18/09/07

Duplication du capital:(suite)

Cette valeur

peut être approximée par la règle de 72.

18/09/07

Duplication du capital:(suite)

Cette valeur

peut être approximée par la règle de 72. Plus précisément,

18/09/07

Exemple 2: Si le taux d’intérêt composé est

alors il faudra pour que le capital double

Par la règle de 72, nous obtenons comme approximation

18/09/07

Triplication du capital:

Combien faut-il de temps pour qu’un capital investi triple?

18/09/07

Triplication du capital: (suite)

Nous pouvons procéder exactement comme pour la duplication du capital et obtenir que le temps nécessaire pour que le capital triple est

18/09/07

Duplication du capital:(suite)

Cette valeur

peut être approximée par la règle de 114.

18/09/07

Duplication du capital:(suite)

Cette valeur

peut être approximée par la règle de 114.

Plus précisément,

18/09/07

Exemple 3: Si le taux d’intérêt composé est

alors il faudra pour que le capital triple

Par la règle de 114, nous obtenons comme approximation

18/09/07

Nous allons maintenant considérer des questions relatives au taux d’intérêt.

18/09/07

Situation 1: Considérons une situation très simple. Le flux financier a une seule entrée P et une seule sortie A. Nous connaissons la durée de la transaction n.Dans une telle situation, le diagramme d’entrées et sorties est

18/09/07

Situation 1: (suite) L’équation de valeur avec comme date de comparaison t = n est

où

18/09/07

Situation 1: (suite) L’équation de valeur avec comme date de comparaison t = n est

où

Nous obtenons facilement que

18/09/07

Situation 2: Considérons une situation plus complexe. Le flux financier a plusieurs entrées et plusieurs sorties. Nous connaissons les moments où ces montants sont versés.

Dans une telle situation, l’équation de valeurs nous permet d’écrire une équation de la forme

après avoir transféré tous les termes d’un coté de l’équation de valeurs à l’autre.

18/09/07

Pour résoudre ce type de questions, nous verrons deux méthodes dans le cours:

• Méthode de bissection

• Méthode de Newton-Raphson

Nous allons maintenant expliquer la méthode de bissection. Nous verrons plus tard celle de Newton-Raphson.

18/09/07

Exemple 4: Déterminons le taux d’intérêt d’un prêt dont le flux financier est représenté par le diagramme d’entrées et sorties suivant:

18/09/07

Exemple 4: (suite) L’équation de valeur avec comme date de comparaison t = 9 est

18/09/07

Exemple 4: (suite) L’équation de valeur avec comme date de comparaison t = 9 est

En transférant tout vers la gauche, nous obtenons

18/09/07

Exemple 4: (suite) L’équation de valeur avec comme date de comparaison t = 9 est

En transférant tout vers la gauche, nous obtenons

Nous pouvons noter que

18/09/07

Exemple 4: (suite) Donc la fonction

au point milieu 5% pour savoir dans quel sous-intervalle se trouve le zéro. Nous répétons ensuite cet algorithme avec le sous-intervalle plus petit.

a un zéro entre 4% et 6%.

Nous subdivisons cet intervalle en deux, nous évaluons la fonction

18/09/07

Exemple 4: (suite)i f(i)

4% -833.0496513

6% 601.3797796

5% -148.4830568

5.5% 218.011650

5.25% 32.690028

5.125% -58.410764

5.1875% -12.989460

5.21875% 9.817942

5.203125% -1.593838

18/09/07

Exemple 4: (suite)

Donc nous pouvons conclure que le taux d’intérêt recherché est approximativement 5.2%. Si nous voulons plus de précision, il faut poursuivre nos calculs dans le tableau précédent.