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DOS MÉTODOS PARA EL CÁLCULO DE LA RETRACCIÓN EN ESTRUCTURAS PRISMÁTICAS CON ARMADURA, COMO APLICACIÓN DEL ESTADO DE COACCIÓN. RESUMEN DE OTRAS APLICACIONES EMPLEANDO LOS CONOCIMIENTOS VIGENTES Giovanni BIANCO ACCARDI Prof. Titular de las Cátedras de Concreto Armado y de Concreto Pretensado. Fac. de Ingeniería. Escuela Civil. U.C. 1.0 PREMISAS El tratamiento de los fenómenos de la retracción y fluencia en las estructuras (de concreto en masa, de concreto armado, de concreto pretensado, de material mixto concreto-acero), generalmente viene expuesto o de manera muy superficial e insuficiente para las aplicaciones prácticas o de manera muy compleja, haciendo uso de engorrosas relaciones matemáticas que no representan cabalmente los fenómenos. El conocimiento de los efectos de la retracción y de la fluencia es importante por sus incidencias en el régimen tensional y en el régimen de deformación bajo condiciones de cargas de servicio (estado límite de utilización). La retracción viene generalmente identificada como potencialmente responsable de la fisuración del concreto (en ausencia de acciones externas) sin profundizar su verdadero comportamiento e incidencia en los dos materiales (debido al entorpecimiento de las armaduras) ni en las reacciones de vínculos exteriores cuando la estructura es hiperestática. Lo mismo puede decirse de la fluencia: ella esencialmente es conocida por producir flechas diferidas considerables, que son medibles y atenuables empleando, respectivamente, procedimientos de cálculos conocidos y disposiciones constructivas de la armadura con cuantías generalmente establecidas en las diferentes normativas. E1 camino que se seguirá, el del estado de coacción, no es el habitual. El modesto aporte al entendimiento de lo esencial y a la solución de algunos problemas prácticos haciendo uso de métodos originales desarrollados por quien escribe, se espera que sean de interés para el lector. 1.1 COACCIÓN ELÁSTICA. GENERALIDADES. EXPRESIÓN DE LA TENSIÓN NORMAL Para fijar ideas, consideremos una viga pretensada plana con cargas exteriores contenidas en su plano (Fig. 1.1-1). Sea x el eje longitudinal de la viga y y, z los ejes principales de inercia de una sección transversal genérica. Supongamos que la única deformación impuesta no compatible sea la deformación longitudinal є * x independiente de x. Transversalmente se tiene: y en consecuencia: Indicaremos además con:

181785401 Coaccion Elastica Concreto Precomprimido

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DOS MÉTODOS PARA EL CÁLCULO DE LA RETRACCIÓN EN ESTRUCTURAS PRISMÁTICAS CON ARMADURA, COMO APLICACIÓN DEL ESTADO DE COACCIÓN. RESUMEN DE OTRAS

APLICACIONES EMPLEANDO LOS CONOCIMIENTOS VIGENTES

Giovanni BIANCO ACCARDI Prof. Titular de las Cátedras de Concreto Armado y de Concreto Pretensado.

Fac. de Ingeniería. Escuela Civil. U.C.

1.0 PREMISAS

El tratamiento de los fenómenos de la retracción y fluencia en las estructuras (de concreto en masa, de concreto armado, de concreto pretensado, de material mixto concreto-acero), generalmente viene expuesto o de manera muy superficial e insuficiente para las aplicaciones prácticas o de manera muy compleja, haciendo uso de engorrosas relaciones matemáticas que no representan cabalmente los fenómenos. El conocimiento de los efectos de la retracción y de la fluencia es importante por sus incidencias en el régimen tensional y en el régimen de deformación bajo condiciones de cargas de servicio (estado límite de utilización). La retracción viene generalmente identificada como potencialmente responsable de la fisuración del concreto (en ausencia de acciones externas) sin profundizar su verdadero comportamiento e incidencia en los dos materiales (debido al entorpecimiento de las armaduras) ni en las reacciones de vínculos exteriores cuando la estructura es hiperestática. Lo mismo puede decirse de la fluencia: ella esencialmente es conocida por producir flechas diferidas considerables, que son medibles y atenuables empleando, respectivamente, procedimientos de cálculos conocidos y disposiciones constructivas de la armadura con cuantías generalmente establecidas en las diferentes normativas. E1 camino que se seguirá, el del estado de coacción, no es el habitual. El modesto aporte al entendimiento de lo esencial y a la solución de algunos problemas prácticos haciendo uso de métodos originales desarrollados por quien escribe, se espera que sean de interés para el lector. 1.1 COACCIÓN ELÁSTICA. GENERALIDADES. EXPRESIÓN DE LA TENSIÓN NORMAL Para fijar ideas, consideremos una viga pretensada plana con cargas exteriores contenidas en su plano (Fig. 1.1-1). Sea x el eje longitudinal de la viga y y, z los ejes principales de inercia de una sección transversal genérica. Supongamos que la única deformación impuesta no compatible sea la deformación longitudinal є*

x independiente de x. Transversalmente se tiene:

y en consecuencia:

Indicaremos además con:

- єx1 a la deformación elástica longitudinal consecuente a la deformación impuesta no compatible. - єx2 a la deformación elástica longitudinal debido a las acciones exteriores.

Fig.1.1-1: Pieza pretensada sometida a acciones externas.

Para un estado plano de deformación, las tres deformaciones (є*

x, єx1, єx2) serán compatibles si las secciones se mantienen planas (hipótesis de NAVIER). Para secciones simétricas con respecto al eje vertical, la condición anterior se traduce en:

con λ, y µ dos parámetros que caracterizan la deformación axial y flexional, respectivamente. Esta última relación se escribe:

si

Así por ejemplo, la fibra CD del elemento de longitud inicial dx (Fig. 1.1-2b) se incrementa de DD' después de una deformación axial positiva (tracción) y se incrementa DD" después de una deformación flexional positiva (Fig. 1.1-2c). E1 primer incremento ∆(dx)1 es proporcional a la longitud inicial dx a través del parámetro λ, y el segundo es proporcional a la distancia y del eje del elemento a través del ángulo de . deformación angular d∅. Es decir:

y dividiendo miembro a miembro por dx:

siendo d∅/dx = 1/r =µ la curvatura medida en rad/mm y que representa el parámetro flexional.

Fig. 1.1-2: Deformación axial y deformación flexional de un elemento dx inicialmente rectilíneo. Superposición de deformación axial y flexional.

La Fig. 1.1-2b representa la deformación axial y la Fig. 1.1-2c representa la deformación flexional de una misma fibra CD paralela al eje del elemento dx colocada a la distancia y del eje. La Fig. 1.1-2c muestra de manera simplificada la deformación flexional anterior, mientras que la Fig.1.1-2e muestra la superposición de las deformaciones dimensionales de la fibra considerada y la Fig.1.1-2f la deformación adimensional consecuente. Expresión de la tensión normal. Las expresiones que se desean calcular son las producidas sobre el concreto y sobre la armadura. Las deformaciones que producen tensiones son las elásticas, y en un elemento cualquiera de la sección se cumple:

y sustituyendo la relación (1.1-1):

Si el elemento de área de la sección donde se desea determinar la tensión norma es concreto, será:

En cambio, si el elemento de área es acero, será:

y si es el concreto quien recibe la deformación no compatible, en las dos relaciones anteriores resultan є*

c≠ 0 y є*

s = 0; viceversa, si es el acero quien recibe la deformación no compatible: є*c = 0 y є*

s ≠ 0. En las expresiones anteriores el área donde actúa la tensión normal se ha de entender como área efectiva (transformada u homogeneizada) definida por la relación:

en donde ae es el coeficiente de transformación (o de homogeneización); el subíndice s es referido al acero y que se sustituirá por el subíndice p cuando ese acero es de pretensado. 1.2 PIEZAS CON ARMADURA PRETESA Se determinarán las relaciones que expresan las tensiones normales en el concreto y en el acero, en una sección genérica de la pieza. Dichas relaciones no toman en cuenta las pérdidas instantáneas y diferidas; veremos en su oportunidad como hacer uso de las expresiones cuando se toman en cuenta dichas pérdidas. Se supone que desde el inicio de la transferencia, existe perfecta adherencia entre armadura y concreto y que la sección genérica de la pieza (Fig.1.21) esté sometida a las acciones del pretensado y a las acciones externas (incluyendo en éstas la del peso propio de la pieza). El efecto de las acciones externas sobre la sección de estudio son las tres características de solicitación N (esfuerzo normal), M (momento flector) y V (esfuerzo de corte). El régimen de tensiones internas (σ y τ) son producidas por las acciones externas y por el estado de coacción representado por el pretensado. En la sección transversal de la pieza (Fig.1.2-1) se representa sobre un elemento diferencial de área dA las tensiones internas y sobre toda la sección las tres características de solicitación de las acciones externas.

Fig.1.2-1: Sección transversal de una pieza pretensada sometida a acciones externas que producen esfuerzo normal, esfuerzo cortante y momento flector.

Nos interesan las relaciones de equilibrio entre fuerzas externas y tensiones internas en donde intervengan las tensiones normales, entonces debe ser:

a) Determinación de la expresión de λ La relación (1.2-1) se expresa, teniendo presente que la sección está formada por dos tipos de materiales:

pero por la relación (1.1-5) se tiene:

y por la elección de los ejes:

por ser la integral igual al momento estático de la sección homogeneizada con respecto al eje baricéntrico horizontal de dicha sección. Por las igualdades anteriores, la relación (1.2-3) se transforma en

de donde:

Los términos que aparecen en la relación (12.2-4) los indicaremos también de la siguiente manera:

con el siguiente significado: • λ1 representa el parámetro de deformación axial debido a las acciones exteriores. • λ* representa el parámetro de deformación axial debido al estado de coacción. En el caso de sección homogénea de solo concreto, en el numerador del segundo término de la relación (1.2-6) la segunda integral es igual a cero y si existe deformación impuesta no compatible ésta es sobre el concreto (є*

c≠0). Viceversa, en el caso de sección homogénea de solo acero, la primera integral de la relación antes mencionada es igual a cero y si existe deformación impuesta no compatible será sobre el acero (є*

s≠0). En el caso de sección de concreto y de acero (concreto armado o pretensado), en la relación anterior será є*

s = 0 , є*

c≠0 si es e1 concreto quien recibe las deformaciones impuestas no compatibles; viceversa, será є*s≠0, є*

c= 0 si es el acero quien recibe dichas deformaciones. En el caso del concreto pretensado, la deformación impuesta no compatible se aplica al baricentro de la armadura activa y afecta a toda la sección homogeneizada, y la relación (1.2-6) se convierte en:

donde P representa el esfuerzo normal ficticio que habría que aplicar a los elementos de la pieza donde se manifiestan las deformaciones impuestas no compatibles (armadura activa), para que la pieza sufra una deformación axial λ* y F es la fuerza externa necesaria para estirar la armadura al valor de tracción deseada.

b) Determinación de la expresión de µ De manera análoga al caso de la determinación del parámetro λ, partiendo de la relación (1.2-2) y sustituyendo en ella la relación (1.1-2), resulta:

Resulta ser:

siendo Ie el momento de inercia de la sección efectiva (transformada u homogeneizada) con respecto al eje baricéntrico horizontal de la sección. Tomando en cuenta los resultados obtenidos en las dos últimas relaciones, la relación de partida se convierte:

de donde:

Indicaremos también los términos de la relación (1 .2-9) de la siguiente manera:

con el siguiente significado:

• µ1 curvatura producida por las acciones exteriores; • µ* curvatura producida por el estado de coacción.

En el numerador de la relación (1.2-11) resulta є*c = 0, є*

s≠0 si la sección homogénea es de solo acero; є*c≠0,

є*s = 0 si la sección homogénea es de solo concreto. Si la sección es de concreto y acero, será є*

s = 0, є*c≠0 si

es el concreto el que recibe las deformaciones impuestas no compatibles y será є*s≠0, є*

c = 0 si es el acero quien recibe dichas deformaciones. En el caso del concreto pretensado (є*

c≠0, є*p≠0), resulta:

en donde P, es la fuerza j-ésima de pretensado que presenta la excentricidad epj. Resulta entonces que Mp es el momento flector ficticio; es decir, el momento producido por la fuerza ficticia de pretensado con respecto al baricentro de la sección transformada.

c) Expresión de la tensión normal La más general de las expresiones de las tensiones normales se expresa por medio de la relación:

sustituyendo la expresión de λ = λ1 + λ*, por intermedio de las relaciones (1.2-5) y (1.2-6), y la expresión de µ = µ1 + µ* , por medio de las relaciones (1.2-10) y (1.2.11). En el caso del concreto pretensado, la más general de las expresiones de la tensión normal es entonces:

en donde N (esfuerzo normal) y M (momento flector) representan las dos características de solicitación debido a todas las fuerzas externas; P (fuerza de pretensado) y Mp (momento de pretensado) representan las características de solicitación debido al pretensado. La deformación impuesta no compatible está representada por el término є*

x. A partir de la relación (1.2-15) nos proponemos ahora determinar las tensiones normales sobre el concreto y sobre el acero. - Tensión normal sobre el concreto para la condición de carga debido a pretensado más las cargas exteriores. En la relación (1 .2-15) se sustituye el subíndice x por c y se hace є*

c = = 0 (por cuanto la deformación impuesta no compatible la recibe el acero), y se obtiene:

en donde y es la distancia de cuerda genérica de la sección, medida a partir del eje baricéntrico horizontal de la sección homogeneizada, sobre la cual se calcula la tensión normal sobre del concreto. Tensión normal sobre el acero para la condición de carga debido a pretensado más las cargas exteriores. En la relación (1.2-15) se sustituye el subíndice x por p y se hace є*

p ≠ ≠ 0 (por cuanto la deformación impuesta no compatible la recibe el acero), y se obtiene recordando que ae = EP/EC:

en donde yP es la distancia de la cuerda de la sección, medida a partir del eje baricéntrico horizontal de la sección homogeneizada, sobre la cual está ubicada la armadura activa. Las piezas con que usualmente se trabaja (vigas, losas, etc.), presentan esfuerzo normal debido a las cargas exteriores igual a cero. En esos casos las relaciones (1.2-16) y (1.2.17) se convierten, respectivamente:

Para concluir, se harán algunas observaciones sobre las dos últimas relaciones:

1.- Las expresiones son algebraicas. 2.- P, M, MP tienen los signos de las características de solicitación. 3.- El signo de є*

p es negativo (acortamiento) y coincide con aquel dado por la tendencia del material (armadura activa), que sufre la deformación impuesta no compatible, para regresar a su estado natural sin tensión. Entonces, esta deformación impuesta no compatible es igual y opuesta a la deformación de estiramiento (є*

p = єest). 4.- El término єp· є*

p que aparece en la relación (1.2-19) coincide entonces con el término - єp - єest y la relación (1.2-19) se puede también escribir:

5.- Las relaciones (1.2-18) y (1.2-19') son las mismas que se evidencian en el caso de una fuerza de pretensado horizontal considerando a P como una verdadera fuerza externa. La única diferencia es que ahora se englobó en el término M el M8 y el M9 y se prescinde de los tiempos y por ende de las pérdidas de la fuerza de pretensado. Si estas últimas son conocidas, en las relaciones anteriores se puede sustituir P por su valor correspondiente al tiempo establecido.

6.- Si no existen las acciones externas (M = 0), las relaciones se convierten respectivamente en:

y evidencian el régimen de tensiones sobre los dos materiales cuando la pieza está en estado de coacción puro. Las relaciones (1.2-20) y (1.2.21) muestran que el estado de coacción puro debido al pretensado, se puede tratar como equivalente al efecto de una fuerza externa P aplicada sobre la armadura (en isostaticidad) y que afecta a toda la sección, si se puede demostrar la validez de las relaciones (1.2-8) y (1.2.13), como en efecto se hará seguidamente. Teniendo presente la igualdad є*

p = - єest: - La integral que aparece en la relación (1.2.7) se convierte en:

- La integral que aparece en la relación (1.2-13) se convierte en:

Y se concluye también que el tratamiento de las pérdidas se puede hacer en términos de fuerza que disminuye en el tiempo y en donde la manera rigurosa o aproximada depende ya del procedimiento empleado.

2 APLICACIONES DEL ESTADO DE COACCIÓN: EFECTOS DE LA RETRACCIÓN, DE LA FLUENCIA Y DE LA VINCULACIÓN EXTER NA EN ELEMENTOS SIN Y CON ARMADURA

2.1 PANORÁMICA SOBRE LAS DEFORMACIONES DIFERIDAS. ASPECTOS ADICIONALES E INTERPRETACIONES CONVENCIONALES. a) Retracción

Fig. 2.1-1: Ley general de la retracción sobre una sección del material homogéneo.

Como es conocido, la retracción es un fenómeno independiente de las cargas exteriores y se manifiesta en el concreto durante el fraguado y el endurecimiento. Se traduce en una variación de volumen del elemento libre (sin vínculos exteriores), por la pérdida de humedad. La superficie exterior del elemento sufre una mayor contracción que la interior. Aceptar una variación constante o lineal de la retracción sobre una estructura prismática es una simplificación frecuente pero no siempre rigurosa, dada la complejidad del fenómeno. E1 proceso iniciado por el secado de la superficie, se extiende lentamente hacia el interior del elemento; en la hipótesis de que el material sea homogéneo y simplificando el fenómeno como una curva continua (Fig.2.1-1), con valores diferentes en las dos superficies exteriores del elemento, se puede suponer el fenómeno como formado por la suma de tres partes: un acortamiento uniforme (simbolizado por la deformación adimensional єcs,1), una deformación adimensional que produce curvatura (equivalente a la deformación que produce un momento flector y representada por єcs,2) y una parte no uniforme єcs,3. De estas deformaciones, la primera y segunda no producen régimen de tensiones (y en consecuencia tampoco de reacciones de vínculos exteriores), en las estructuras estáticamente determinadas (en ese caso єcs,1, o єcs,2 o ambos son deformaciones impuestas compatibles por vínculos internos y externos), pero sí en las estáticamente indeterminadas (en ese caso єcs,1 =

є*cs,1, єcs,2 = є*

cs,2 son deformaciones impuestas no compatibles por vínculos externos), mientras que la tercera siempre produce tensiones (y en consecuencia también reacciones de vínculo en estructuras estáticamente indeterminadas y solamente un régimen de tensiones en autoequilibrio en las estructuras estáticamente determinadas.

Por efecto de la retracción el concreto puede presentar tracciones superiores a su resistencia, sobretodo en concretos jóvenes. La presencia de la armadura, disminuye la deformación final de retracción pero aumenta la tracción sobre el concreto. Es frecuente que el efecto de la retracción se calcule sobre secciones no fisuradas, por cuanto se presume la presencia de fisuras aisladas después de la intervención del fenómeno. Entre los múltiples factores que influencian a la retracción aquí también evidenciaremos que la presencia de la armadura en la sección, reduce su efecto a expensas de una tracción sobre el concreto y de una compresión sobre la armadura. La presencia de vínculos superabundantes genera generalmente un régimen adicional de tensiones porque dichos vínculos se oponen a la deformación final por retracción. En el estudio que se hará seguidamente, casi siempre se supondrá, por simplicidad de cálculo, que la deformación por retracción (єcs) sea una función constante en la sección y en el miembro considerado, y frecuentemente también en toda la estructura. En lo que respecta a las estructuras, el mayor efecto es consecuencia de la variación de las longitudes de los sólidos prismáticos que las constituyen. b) Fluencia

La fluencia definida como disminución de longitud a tensión constante, es un caso particular que se evidencia en prismas de solo concreto sometidos a carga externa constante. En el caso general, la fluencia es debido a la retracción (las tracciones producidas por la retracción generan deformaciones de fluencia: al fenómeno se le pudiera llamar fluencia de retracción), al pretensado con armadura activa, al pretensado sin armadura, a las distorsiones constantes (por ejemplo, descenso convulsivo de un vínculo exterior), a las distorsiones variables en el tiempo (por ejemplo, descenso lento de un vínculo exterior) y a las acciones exteriores (acciones permanentes y acciones variables con cierta probabilidad de permanencia). La fluencia debido a la retracción produce un efecto tensional final menor que la suma de los dos efectos (fluencia y retracción) supuestos independientes. En toda estructura de concreto (en masa, armado, pretensado), al estar presente el material concreto cuyo comportamiento es elasto-plástico, estará también presente el fenómeno de la fluencia. En el concreto, el módulo de deformación longitudinal es medido bajo carga rápidamente variable, no existe definición del mismo módulo bajo carga prolongada (que produce fluencia). La necesidad de la ,definición del módulo de deformación longitudinal del concreto es evidente para establecer la relación lineal entre tensión y deformación. El módulo de deformación longitudinal para un mismo concreto, varía con el tiempo. Esto significa que si la determinación del valor de Ec, se efectúa cuando el concreto es joven, arrojará un valor menor de cuando sea viejo. Si un elemento de concreto cargado, se descarga y se deja sin carga por un largo período de tiempo (hasta suponer que se recupere la elasticidad diferida), para luego someterlo a ensayo para la determinación de Ec, se observa que ese valor obtenido de la manera descrita en su ensayo correspondiente, es mayor con el envejecimiento del concreto, sin embargo, por efecto de la fluencia, la estructura de donde se extrajo el elemento a ensayar presentó un incremento de deformación debido a las cargas externas de magnitud invariable. En estos casos hay que precisar (y no confundir) que aún pudiendo afirmar que el elemento cargado sufrió en el tiempo un incremento de Ec, sufrió también un incremento de deformación: este último hecho se pudiera interpretar como una reducción en su rigidez. El incremento de la deformación de la estructura de concreto en masa, armado o pretensado no solo se presenta bajo la acción de las cargas exteriores con permanencia prolongada, sino también por efecto del pretensado con armadura activa. Frente a esta evidencia experimental de estas estructuras, atribuida al fenómeno de fluencia, es intuitivo que se concluya que la fluencia reduce la rigidez de las estructuras en el tiempo. Por otro lado, conocido el fenómeno experimental de la fluencia,

conocido el hecho también experimental de que en igualdad de carga exterior y de forma de la estructura, la mayor deformación correspondería al sólido de menor Ec, entonces, aunque no sea cierto, puede convenir atribuir a la estructura una reducción en su módulo de deformación longitudinal en el tiempo y de esa manera dar una respuesta cualitativa que por otra vía sería compleja de interpretar. La supuesta reducción del valor de Ec, también es aplicable a los problemas de relajamiento (reducción de tensión sin cambio de forma). El problema de la determinación del valor reducido de Ec, excluyendo el caso de fluencia debido a las acciones exteriores, no es fácil, porque las estructuras en estado de coacción presentan un régimen de tensión que es reducido en el tiempo por la misma fluencia (es decir, la causa misma es reducida por el efecto que produce), razón por la que se utilizan soluciones matemáticas generalmente simplificadas. El estudio de las estructuras de concreto (armado, pretensado, sin armadura) sometidas a cargas y/o a un estado de coacción, tomando en cuenta el fenómeno de la fluencia, puede ser subdividido en los siguientes, casos: estructuras de concreto en masa, de concreto armado, de concreto pretensado con armadura activa (y eventualmente también pasiva) y de concreto pretensado sin armadura activa (y frecuentemente también con armadura pasiva). En el caso general, cada una de estas estructuras estarán sometidas a las acciones exteriores y a un estado de coacción por distorsión invariable (convulsiva y definitiva) o variable (lenta pero finita). Las estructuras de concreto en masa sometidas a cargas exteriores, presentarán un cambio de forma sin cambio tensional. El módulo de deformación longitudinal efectivo, que es uno reducido y que pudiera llamarse ficticio, resuelve el problema de la determinación del nuevo régimen de deformación. Las estructuras de concreto armado sometidas a cargas exteriores, presentarán un cambio de forma y de régimen tensional. La presencia de la armadura hace diferenciar su comportamiento con respecto al caso anterior; ellas entorpecen el libre fluir del concreto. La homogeneización de la sección conjuntamente con el valor del módulo de deformación lineal efectivo, resuelven parcial y satisfactoriamente el problema teórico; la solución rigurosa deberá tener presente que las deformaciones de fluencias no serán compatibles por vínculos internos (por el entorpecimiento causado por la armadura), por ende generarán un estado de coacción. Las estructuras de concreto en masa que sufren un estado de coacción invariable (distorsión invariable), como está arriba especificado, presentarán por efecto de la fluencia, una reducción del régimen tensional sin cambio de forma (con respecto a aquella inmediatamente después de la distorsión). Las estructuras de concreto armado que sufren un estado de coacción invariable, se homogeneiza y se tratan como las anteriores. En este caso la presencia de las armaduras no incide sensiblemente por cuanto la deformación impuesta la recibe toda la sección (y no la armadura como en el caso del pretensado con armadura activa). Las estructuras de concreto pretensado con armadura activa, sin la presencia de las acciones externas, presenta la peculiaridad ya mencionada de todas las estructuras de concreto en estado de coacción; es decir, que el pretensado produce fluencia y ésta reduce en el tiempo la magnitud de quien la genera (el mismo pretensado). Existe una reducción final del régimen de tensión y una variación de forma (generalmente incremento de flechas negativas o contra-flechas). El problema se puede interpretar de manera simple si se acepta el pretensado como fuerza externa equivalente (por ende generador de fluencia sobre el concreto) que es reducida en el tiempo por la fluencia (y por ende, además de una reducción del régimen de tensión, se presentará una variación de forma). No vale más el teorema del isomorfismo (problema de relajamiento) por cuanto ahora la deformación impuesta no es sobre toda la sección de concreto sino sobre la armadura.

En las estructuras de concreto pretensado con armadura activa que sufren una distorsión invariable, podrá aplicarse el principio de superposición y sumar los efectos debido al pretensado con armadura activa y a la distorsión invariable sobre la misma estructura de concreto armado. La estructura de concreto pretensado sin armadura activa, es un caso típico en donde vale el teorema del isomorfismo o problema de relajamiento. Existen casos de deformaciones impuestas que se manifiestan no repentinamente sino gradualmente (distorsiones variables en el tiempo), como por ejemplo descensos lentos de vínculos exteriores. En estos casos la reducción final del régimen de tensiones es menor que aquella que se presentaría cuando la distorsión es convulsiva y definitiva.

c) Aspectos adicionales sobre la fluencia

La manera simple de abordar el estudio de la fluencia es aceptar que dicha deformación sea expresada por la relación:

en donde: σc = tensión de compresión constante aplicada al concreto; Ec = módulo longitudinal de deformación secante, a los 28 días; Єc = σc / Ec = deformación elástica instantánea correspondiente a la tensión σc; φ = coeficiente de fluencia. Ahora ampliaremos ligeramente esas ideas. La deformación por fluencia, Єcc (t, to), al instante t, bajo la tensión constante σc, aplicada en el instante to, es una función esa misma tensión según la relación:

siendo el primer factor la deformación elástica por efecto de σo, convencionalmente medida a los 28 días, y el segundo factor el coeficiente de fluencia. La deformación total al instante t bajo la tensión constante σo es suma de la deformación al instante to más la deformación de fluencia expresada anteriormente, es decir:

Al término:

se le llama función fluencia. Obsérvese que entre las relaciones (2.1-2) y (a) la única y fundamental diferencia consiste en que en la segunda se hace depender toda la deformación total del módulo de deformación longitudinal Ec, supuesto calculado a los 28 días; mientras que en la primera, la deformación instantánea se hace depender del verdadero módulo de deformación longitudinal medible al tiempo to. El coeficiente de fluencia (φ(t, to) que aparece en la relación (2.1-3) es bien conocido y consta de tres términos:

El término φ1, representa la parte de deformación irreversible observable en los primeros días de carga. El módulo de deformación longitudinal que caracteriza esta deformación inicial deberá tomar en cuenta solamente las deformaciones desarrolladas en los primeros instantes después de la aplicación de la carga. E1 término φ2, representa la parte reversible de la deformación (elasticidad diferida). El término φ3, representa la deformación no reversible muy sensible con la edad de la puesta en carga. Una simplificación importante y práctica para la determinación del coeficiente de fluencia (φ(t, to) consiste en adoptar para el mismo la expresión:

válida con suficiente aproximación en aquellos casos en donde se busca la incidencia de la fluencia después de los tres meses. Esta relación desprecia la deformación plástica irreversible φ1 que se manifiesta en los primeros días de carga. En la formulación del problema físico-matemático es de extraordinario interés la supuesta validez del principio de superposición de las deformaciones por fluencia y de las deformaciones que no dependen de las tensiones (por retracción, por variación de temperatura, etc.). En virtud de este principio la deformación total sobre el concreto es: - En caso de variación discontinua de las tensiones actuantes:

- En el caso de variación continua de las tensiones actuantes:

con los siguientes significados: - єn

(t) deformación total no dependiente de las tensiones (retracción, variación de temperatura, etc.). - σo la tensión normal aplicada en el instante to. - Φ la función fluencia definida por la relación (12.5.1-3). - ∆σ(tj) la variación de tensión en el instante ti. - dσ (τ) la variación de tensión normal en el instante de tiempo dτ. La aplicación de las dos relaciones anteriores presupone el conocimiento del desarrollo de las tensiones normales: la solución F(t, tj es generalmente por intermedio de los métodos numéricos de integración o por intervalos discretos. Para obviar el inconveniente del conocimiento del desarrollo en el tiempo de estas tensiones, se emplean expresiones algebraicas para la definición de la relación є(t, to), que pueden ser ulteriormente simplificadas asumiendo leyes simples para la fluencia. Entre las ecuaciones algebraicas más sencillas que expresan la deformación є(t, to) se encuentran: - La que proviene del método de la tensión media, con Ec, constante.

Consiste en hacer lineal la ley de variación de la tensión normal σc, en un cierto intervalo de tiempo y se emplea cuando puede se despreciable la variación del módulo de deformación longitudinal, después de la puesta en carga. Haciendo referencia a la Fig.21-2 es suponer que entre el tiempo to y t la función σc(t) aumente de manera lineal y aceptar que para efectos de la fluencia sobre la sección actúe una tensión promedio:

Fig.2.1-2: Conversión lineal de la ley de variación de σc(t) en un reducido intervalo de tiempo y determinación del valor promedio σcm.

Sustituyendo la relación (2.1-8) en la (2.1-2), agregándole el término єn(t) ya definido y recordando que el módulo de deformación longitudinal es constante y omitiendo el subíndice en la tensión sobre el concreto, resulta de la relación aproximada:

la relación:

- La que proviene del módulo de deformación total. Cuando se presume que no existe variación de tensión o que esta variación sea despreciable, en el supuesto de Ec, constante, la relación (2.1-9) asume la forma:

En muchos casos prácticos es suficiente el conocimiento de la deformación total de fluencia sin especificar la porción reversible o irreversible. También es frecuente que se adopten expresiones simplificadas como la (2.1-5), en donde se desprecia la variabilidad en el tiempo del módulo de deformación longitudinal del concreto (Ec, = const = Ec,28). De esta manera la función fluencia, definida por la relación (2.1-3) asume la forma:

y haciendo: Ecf = Ec,28 /1,4 módulo ficticio de deformación longitudinal; (2.1-13a) φ3f= φ3 /1,4 coeficiente ficticio de fluencia diferida; (2.1-13b) se convierte en:

que es formalmente igual a la función fluencia que aparece en la relación (2.111) y que empleó DISCHINGER en su solución matemática. Por lo tanto, para actualizar sus soluciones habrá que tener presente las relaciones (2.1-13), que fue lo hecho por RÜSCH-JUNGWIRTH. Así por ejemplo, la relación que da la variación de tensión bajo deformación impuesta єn constante (también llamado relajamiento del concreto) obtenida por DISCHINGER como solución de su ecuación diferencial conduce a la expresión:

donde r(t, to) representa la función relajamiento del concreto representada por:

d) Coeficiente de homogeneización

En la definición de las características geométricas de la sección armada, habría que precisar si el concreto está en tracción o en compresión. Cuando la sección no es fisurada y todo el concreto está en tracción, el coeficiente de transformación para cargas instantáneas podría ser ae1 = Es/Ect en donde Ect, es el módulo de deformación longitudinal del concreto en tracción, bastante menor que el de compresión; en primera aproximación dicho coeficiente se puede asumir igual a 20, valor convencional que de alguna manera resuelve la dificultad existente para la definición de Ect, Muchas secciones presentan armadura en tracción y en compresión; si además el concreto en tracción no está fisurado, la transformación de la sección en homogénea de concreto en compresión comporta la presencia de los dos coeficientes de homogeneización ae = Es/Ec, y ae1 = Ect/Ec, En secciones de concreto armado el inconveniente mencionado no tiene peso por cuanto en condición de servicio ya se supone que el concreto en tracción no contribuye, por considerarse ya fisurado, y en consecuencia el coeficiente ae1 es igual a cero. En el concreto pretensado, puede suceder que en servicio la sección esté en tracción (pero no en fisuración) para ciertas condiciones de cargas y el problema sí asume un cierto interés conceptual, con peso no elevado debido a que la flexo-compresión, que caracteriza a la casi totalidad de las condiciones de carga en el concreto pretensado, conduce a una posición del eje neutro tal que la zona de tracción es siempre reducida, por lo que en esos casos se homogeneiza a la compresión toda la sección en concreto, como si no existiera zona en tracción. Por otro lado, evidencias experimentales demuestran que la presencia de armadura en la zona de tracción de la sección, retarda la fisuración de la misma y modifica su comportamiento a la tracción; razón por la que se pudiera aceptar, en primera aproximación y por simplicidad de cálculo, el postulado anterior y así concluir que la porción de la sección que trabaja en tracción se homogeneiza haciendo uso del mismo módulo de deformación longitudinal Ec, definido a la manera del CEB-FIP. En virtud de la presencia de armadura bien

distribuida en la zona de tracción (además de la transitoriedad del valor máximo de la fuerza de pretensado y de la suficiente precisión de los valores de las acciones que inciden conjuntamente al pretensado) es que la tensión de tracción admisibles inicial del concreto empleado en muchos reglamentos, supera la tensión de tracción. Las relaciones que determinan las tensiones sobre el concreto y sobre el acero son consecuencias de la homogeneización de la sección aplicando los conocimientos de la Resistencia de Materiales y son tratadas en todo texto de Concreto Armado. La relación Es/Ec, se sustituye por Ep /Ec, en el concreto pretensado. Cuando no se quiere evidenciar el efecto específico de la retracción y fluencia, para acciones de breve duración (del orden del mes) puede no considerarse el efecto de la fluencia. En ese caso, por simplicidad y de manera convencional, se puede asumir la relación Es/Ec, igual a 6; en cambio, para acciones de larga duración, se puede asumir el valor 18. Para el concreto armado, generalmente se admite el valor 15 independientemente al tipo de acción.

e) Evolución del conocimiento. Objetivos específicos

Seguidamente, se desarrollarán algunos de los fenómenos mencionados. Los ejercicios que acompañan el tema tratado, buscan el lógico complemento del tratamiento teórico y no la metodología para la solución estuctural, obtenible en cualquier texto de Análisis de Estructuras. Por otro lado, hay que enfatizar que los resultados obtenidos se han de considerar como valores estimados, porque muchas son las hipótesis simplificativas empleadas. Las soluciones más rigurosas son también aproximadas y la dificultad en su planteamiento fisicomatemático hace que a menudo se le incorporen ulteriores simplificaciones, razón por la que cuando sea posible ellas son sustituidas por otras más sencillas, aunque menos precisas, pero generalmente satisfactorias como valores estimados en las aplicaciones prácticas. Por último, se asimila en todo el análisis, el concreto como un material homogéneo, a sabiendas que no es tal. Históricamente, la fluencia del concreto fue señalada por primera vez en 1.905 por WOOLSON. A partir de 1.911, FREYSSINET comenzó a estudiar la fluencia hasta comprender su naturaleza a tal punto de señalarla como una de las grandes responsables de la pérdida del beneficio del pretensado en el tiempo y de alguna manera la cuantificó y la tomó en cuenta en sus cálculos de estructuras pretensadas. El comportamiento experimental sistemático del fenómeno es debido a DAVIS (1.928-1.934) y GRANVILLE (1.939). E1 primer tratamiento matemático de la fluencia y retracción, con especial referencia a las estructuras hiperestáticas es de DISCHINGER en 1.939, quien con la solución de su ecuación diferencial, todavía en muchos casos prácticos tomada como referencia, pudo definir la influencia de la fluencia sobre las solicitaciones sin tomar en cuenta el efecto de la elasticidad diferida, no conocida en la época. En el planteamiento de DISCHINGER no es tomado en cuenta también el hecho de que la presencia de la armadura (ordinaria y de pretensado) entorpece la retracción y fluencia ni el efecto del relajamiento de la armadura (en el caso de estructura pretensada). Las soluciones que posteriormente ha habido, son modificaciones y ampliaciones a la solución dada por DISCHINGER. La propuesta de TROST, al igual que las de RÜSCH-JUNGWIRTH tratan de tomar en cuenta la elasticidad diferida; en especial, estos dos últimos autores utilizan la solución de DISCHINGER y resuelven; con el empleo de un artificio, la limitación de no considerar el efecto de la elasticidad diferida. Otros estudiosos tratan de tomar en cuenta la presencia de la armadura (pasiva y activa), estableciendo un límite de cuantía a partir del cual la influencia de la misma asume importancia práctica. BUSEMANN emplea el artificio de las fibras conjugadas para resolver el efecto de la armadura sobre la variación de tensión debido a la retracción y a la fluencia en donde reconduce oportunamente el problema de flexo-compresión con sección no fisurada a uno de compresión axial; el procedimiento de la fibra conjugada falla en el caso de secciones simétricas con armaduras también simétricas.

Los estudios posteriores se han orientado a una más amplia información experimental, para así tener datos disponibles para la solución matemática a aplicar en el concreto en masa, armado o pretensado. Un amplio estudio de recopilación de los principales trabajos experimentales realizados, conjuntamente con aportes personales de gran significación es debido a RÜSCH y JUNGWIRTH [1]. El Código Modelo del CEB-FIB de 1.977 adopta los trabajos de M. A. CHIORINO [2]. En la búsqueda de la solución matemática del problema general, F. LEVI y G PIZZETTI [3], estudian la teoría de las deformaciones diferidas, el equilibrio elasto-plástico y las aplicaciones en las estructuras isostáticas e hiperestáticas; el enfoque es el del estado de coacción y la solución nos parece más coherente con lo que se ha venido planteando hasta ahora. Las soluciones generales del problema para cuerpos homogéneos serán resumidos en el aparte siguiente; estos resultados conjuntamente a los métodos desarrollados por quien escribe y que seguidamente expondremos, resuelven con aproximación suficiente algunos problemas prácticos (retracción, retracción más fluencia por retracción, fluencia debido a las cargas exteriores y retracción más fluencia por retracción más fluencia debido a las cargas exteriores) es decir, tomando siempre en cuenta el entorpecimiento de las armaduras. En el desarrollo, no se introducen nuevos conceptos de los que ya fueron expuestos en el estado de coacción, ni se reconduce a la solución de algún tipo de ecuación diferencial y no presenta complejidad alguna en el cálculo numérico. En resumen, con este nuevo desarrollo se pretende: 1) Obtener una relación, siempre valida, para determinar el régimen de tensiones normales sobre el concreto y sobre la armadura cuando la sección misma está sometida a retracción constante o linealmente variable. 2) Resolver el problema hiperestático debido a la retracción constante o linealmente variable tomando en cuenta el entorpecimiento ocasionado por la armadura, en la hipótesis de que cada miembro de la estructura esté sometido a retracción constante o variable y esté simplemente o doblemente armado. Cada miembro de la estructura puede poseer armadura diferente en cuantía y en disposición. 3) Extender las consideraciones anteriores, relacionadas al estudio de la sección, al caso de la fluencia debido a cargas exteriores, en la hipótesis de sección no fisurada. En lo concerniente al concreto pretensado, se justificará la manera aproximada de proceder para el cálculo de las pérdidas. En rigor, no existe una distinción entre fluencia (deformación deferida del concreto cargado) y retracción (deformación diferida del concreto no cargado) por cuanto son dos aspectos de un mismo fenómeno físico. En la proposición que estamos por hacer nos valdremos de esta constatación y también del hecho, ya demostrado por DISCHINGER en 1.937, que el desarrollo de las curvas que relacionan la retracción y la fluencia con el tiempo no son necesarios para la solución del problema: interesan solamente los valores finales de la retracción y de la fluencia. Para ajustarse mejor a la realidad física del problema, debemos de alguna manera considerar la pequeña variabilidad en el tiempo del módulo de deformación longitudinal de concreto y para las finalidades prácticas es suficiente considerar el valor promedio entre el que presenta al inicio y al final del intervalo de tiempo objeto de análisis. Por simplicidad y de manera global, se puede considerar en el cálculo un valor comprendido entre 1,05 y 1,07-Ec, cuando el intervalo de tiempo transcurrido no es menor de un año. 2.2 ELEMENTOS SIN ARMADURA

a) Retracción

Para finalidades del cálculo, el efecto de la retracción, єcs , se puede asimilar a una disminución de temperatura expresada en ° C por intermedio de la relación:

es decir:

siendo a = 10-5 °C-1 el coeficiente de dilatación térmica lineal. De esta manera se pueden estudiar retracciones uniformes y lineales: para este último caso es suficiente conocer el valor de єcs, correspondiente al intradós y al extradós del miembro. En consecuencia de la hipótesis arriba aceptada, una estructura hiperestática sometida a retracción sufrirá un cambio en el régimen de tensión y de reacciones de vínculos externos de la misma manera que la misma estructura sometida a una variación de temperatura expresada por la relación (2.2-1), con la diferencia que los efectos producidos en el primer caso (retracción) generalmente no son reversibles mientras que en el segundo caso (variación de temperatura) generalmente son reversibles en el supuesto de que no modifique el comportamiento característico de los materiales (como por ejemplo por haber conducido a la fisuración de la sección).

b) Retracción y fluencia debida a la retracción (retracción y fluencia por retracción)

Para estudiar el efecto de la retracción y fluencia producida por la misma retracción, primeramente se determina el efecto producido por la retracción como si actuara independientemente, luego se determina el efecto conjunto retracción-fluencia. Así por ejemplo, para determinar el efecto tensional total se emplea la relación:

Este es el caso de la aplicación del teorema del isomorfismo [3] a las distorsiones variables en el tiempo (distorsión variable: la retracción; segunda distorsión, proporcional a las deformaciones elásticas de la primera distorsión: la fluencia). Para tener un valor de referencia, interesante y nemotécnicamente sencillo, se tiene que aplicando la reacción (2.2-2) y en el supuesto de φ = 2, resulta: σcs + σcc = 0,43 · σcs .

c) Fluencia sobre un estado de coacción constante

Cuando en una estructura hiperestática, de solo concreto, interviene un movimiento intencionado o no de vínculo, o cuando en una estructura cualquiera (de solo concreto) es pretensada externamente (y no se considera el efecto de la retracción), la tensión, reacción de vínculo o esfuerzo en general, debido al efecto mencionado (movimiento de vínculo o pretensado externo) más al efecto de la fluencia, se obtiene empleando la relación:

donde se indicó con el subíndice dis const a la genérica distorsión que produce un estado de coacción invariable. La relación anterior evidencia, por ejemplo, que el efecto total reductor (tensional, reacción de vínculo, etc.) debido a la fluencia sobre un descenso intencionado o no de vínculo externo de una estructura hiperestática es menos acentuado en la medida en que más vieja sea la estructura en el momento de sufrir dicho descenso; al límite, cuando el descenso se presenta a t = ∞, la fluencia aporta poco beneficio. Además, en igualdad de descenso final, el efecto generalmente beneficioso y reductor debido ala fluencia es más acentuado cuando el descenso sucede instantáneamente que cuando sucede paulatinamente en el tiempo, tal como 1o expresan las relaciones (1.2-3) y (1.2-2) respectivamente. La relación (2.2-3) es consecuencia del teorema del isomorfismo (también conocido como relajamiento del concreto) aplicado a las distorsiones constantes en el tiempo (primera distorsión: distorsión constante debido, por ejemplo, al descenso de vínculo; segunda distorsión: proporcional a las deformaciones elásticas de la primera distorsión). Aquí también puede ser de utilidad un valor representativo del fenómeno; ese valor es:

en el supuesto de φ = 2. Un atento examen de la relación (2.2-3) obliga a modificar la predisposición mental en aquellos que suponen que pueden obtener beneficios en términos de esfuerzos (modificación y hasta inversión de momentos de apoyos), y por ende de tensiones, manipulando algunos vínculos externos en una estructura de concreto armado o en masa relativamente joven, por cuanto dicho beneficio es temporáneo y más duradero en la medida en que menos joven es el concreto.

d) Fluencia debida a la acción externa

Cuando sobre una estructura de solo concreto, isostática o hiperestática, está sometida a las acciones externas e interviene la fluencia, no existe variación alguna en el régimen de tensión y de esfuerzo en general, sino cambio de forma (similar a la preexistente). Para obtener la nueva forma es suficiente sustituir Ec, por Ec,ef según la relación (2.2-5), porque la ley de proporcionalidad entre tensión y deformación del concreto deberá ser escrita:

en donde:

por ser:

Esto significa que las deformaciones totales obtenidas a largo plazo resultan proporcionales a las instantáneas por un mero cambio del módulo de deformación longitudinal del material homogéneo sin cambio en su inercia, en todos los miembros de la estructura; razón por la que no puede existir variación en el valor de las hiperestáticas con respecto a las que se derivan por efecto de las cargas instantáneas, ni en el régimen tensional en una sección genérica de la estructura. Por otro lado, es sabido que en la solución del equilibrio externo de las estructuras hiperestáticas, en el supuesto de un material homogéneo (es decir un mismo módulo de elasticidad para todos los miembros de la estructura), no interviene el módulo elástico, por ende si no se cambia la inercia, ni el esquema estático, ni las acciones exteriores y cuando se pueda despreciar la influencia de las deformaciones elásticas producidas por las acciones externas sobre el régimen de las fuerzas internas (teoría del primer orden), no puede haber modificación alguna en las reacciones de vínculos exteriores aún cambiando a voluntad la resistencia y la elasticidad del material. Hay casos en donde lo expuesto no es posible, sobretodo en columnas cargadas excéntricamente porque conducen, por efecto de la fluencia, a un incremento acentuado de la flecha horizontal y, en consecuencia, a un momento de segundo orden debido a ese incremento de flecha.

e) Vínculo pospuesto a la carga externa actuante

Cuando sobre una estructura cualquiera de solo concreto, está sometida a un sistema de acciones directas (cargas exteriores) y se le añade posteriormente un nuevo vínculo externo, el régimen de tensiones y de esfuerzos, debidos a la fluencia, se mantiene casi igual al que se obtendría suponiendo que el vínculo añadido estuviera presente antes de la intervención de la fluencia. En términos de esfuerzos, si R0 es la reacción vincular antes de la intervención de la fluencia, resulta que esa misma reacción, después de la intervención del mencionado fenómeno se convierte en:

siendo φ el coeficiente de fluencia considerado. A manera nemotécnica, la relación anterior arroja el valor R = (7/8) · R0

en el supuesto que φ = 2. Como caso frecuente se menciona el de dos vigas prefabricadas, apuntaladas (de manera tal que no intervenga el peso propio) y apoyadas independientemente sobre tres apoyos continuos con la finalidad de unir los dos extremos contiguos sobre el apoyo intermedio. Después de la unión y de la eliminación de los puntales, el comportamiento estático de la estructura es el de una viga continua sobre tres apoyos a partir de la intervención del mismo peso propio de ella, y obviamente también para las futuras cargas exteriores. En el supuesto caso de aplicar el mismo procedimiento, pero sin previo apuntalamiento, resulta que con el pasar del tiempo el fenómeno de la fluencia conduce a que la reacción y el momento de apoyo intermedio asuman un valor muy cercano a aquel que se obtendría para una viga continua sobre tres apoyos construida de esa manera desde el comienzo. En este caso sucede que hay una modificación del vínculo externo y el efecto de la fluencia comienza a sentirse a partir de un nuevo comportamiento estático de la estructura. Otro ejemplo es el caso de una viga metálica donde se le vacía una placa de concreto, inicialmente soportada por la viga. Después del endurecimiento del concreto, la viga mixta se convierte en monolítica para las cargas que actúan posteriormente al endurecimiento de la placa, solamente en la hipótesis de que el concreto no

presente el fenómeno de la fluencia. En realidad, a largo plazo sucede que el concreto tiende a sufrir deflexiones debido a la fluencia, dicha tendencia es contrarrestada por la viga inicial de acero, que por ser de ese material no sufre fluencia; por compatibilidad de deformaciones, el mismo peso propio de la placa (obviamente además de las otras cargas exteriores que inciden sobre la viga) será soportado por la viga mixta. Hay una variación inercial de la sección y aunque no haya habido modificación en el comportamiento estático, la fluencia actúa sobre una sección con inercia diferente de la inicial.

f) Retracción y fluencia en estructuras con secciones compuestas

No es frecuente el caso de estructura de solo concreto que presente una sección compuesta. Es más frecuente la sección compuesta en estructuras de concreto armado (n. 2.6 ) o pretensado (n.2.7c).

g) Observaciones

Cuando se menciona el módulo de deformación longitudinal y el coeficiente de fluencia, en los casos en donde la solución del problema está vinculada a la función fluencia según la solución de DISCHINGER modificada por ROSCH-JUNGWIRTH, se ha de entender que se hace mención a los valores de los mismos obtenidos por las relaciones (2.1-13). Y en las relaciones anteriores el término e-φ se convierte en:

2.3 RETRACCIÓN EN SECCIONES Y EN MIEMBROS CON ARMADURA PASIVA

A) GENERALIDADES

a) La retracción induce un régimen de tensión en la estructura y conduce a reacciones de vínculos en estructura hiperestáticas. E1 efecto concomitante de la fluencia (fluencia por retracción) atenúa el resultado final. b) Muchos casos reales de estructuras con armaduras pasivas son asimilables a estructuras sin armaduras, bien sea por la poca incidencia de la misma en el régimen tensional o por la necesidad de simplificación en el trata-miento del problema. c) Para poder resolver cualquier tipo de estructura hiperestática, es necesario que se conozcan el esquema estático y las inercias de los miembros interconexos; además de las acciones directa, indirectas o ambas. La suposición que se hace es la homogeneidad y el comportamiento elástico lineal del material. Una vez resuelto el problema de equilibrio externo, el módulo elástico asumido del material es el responsable del mayor o menor régimen tensional sobre la sección genérica y de las deformaciones de los miembros. Aunque la estructura sea de concreto armado, generalmente para la primera solución del problema de equilibrio externo se supone una sección bruta homogénea; luego es cuando se arma la sección para ajustar cada miembro a las características de solicitación actuantes sobre el mismo. Una segunda solución, más precisa, puede ser la que contemple la sección homogeneizada en concreto y las reacciones de vínculos adicionales debido a la retracción y fluencia por retracción y a la fluencia debido a las acciones externas con actuación prolongada. La homogeneización de la sección con armadura en concreto es siempre aproximada por cuanto los miembros de las estructuras poseen una disposición de la misma ni continua ni uniforme, por otro lado hay miembros (generalmente las vigas) cuyas secciones están fisuradas bajo cargas de servicio y que en consecuencia requerirían ser tratadas con un valor de momento de inercia diferente y menor al supuesto: lo que evidencia una vez más lo aproximado de cualquier solución físico-matemático del problema.

d) El efecto de la retracción se estudia generalmente en la condición de sección no fisurada, en previsión de la aparición de sólo fisuras aisladas. En la condición de sección fisurada, el efecto es mucho más reducido: la fluencia y la fisuración lo atenúan. No se puede separar la retracción de la fluencia por retracción. e) La influencia de la retracción sobre la rotura, de igual manera que la influencia de la fluencia debido a las acciones externas sobre la rotura, es generalmente despreciable. En secciones que bajo las acciones externas trabajan a flexión, la sección es fisurada y el efecto, tal como se ha dicho poco antes, es muy atenuado. Si la sección trabaja en compresión, con el aumento de la carga exterior la armadura generalmente entra en cedencia antes de que el concreto se aplaste, y aunque la primera no incrementa su capacidad de soportar carga el segundo sí hasta su aplastamiento. Así que el efecto de la retracción en esos elementos conduce, en servicio, a una tracción sobre el concreto y a una compresión sobre el acero. El efecto de la fluencia debido a las cargas exteriores en su tendencia de comprimir al acero y traccionar al concreto conduce a un régimen de tensiones con mayor compresión en el acero y menor compresión en el concreto. Pero en el estado límite último de rotura, tal como se dijera anteriormente, el acero al entrar en cedencia permite que el concreto pueda deformarse con él y aumentar su tensión normal hasta la rotura, quedando invariable su capacidad de carga final. f) La influencia de la retracción (y de la fluencia debido a las acciones externas) no se puede despreciar en el estado límite de utilización. g) E1 lector apresurado, puede consultar directamente el contenido de los apartes E) y F). En ellos se resumen los procedimientos de cálculo que se emplearán para la determinación del régimen de tensiones en los dos materiales (acero y concreto) de la sección y las reacciones de vínculo cuando la retracción induce reacciones de vínculos exteriores en una estructura hiperestática.

B) RETRACCIÓN CONSTANTE

Armadura simétrica en cuerpos libres o isostáticos Una manera físicamente sencilla para visualizar el efecto de la retracción constante en secciones con armadura pertenecientes a cuerpos libres o isostáticos, se muestra en la Fig.2.3-1. Indicando con є*

c la deformación de retracción que sufre- el concreto libre de restricciones, la presencia de la armadura hace que la deformación visible del conjunto sea λ*, por lo que el concreto sufre una deformación elástica de tracción | | є*

c | - | λ*| | y la armadura una deformación elástica de compresión | λ*| : en este caso entonces la deformación visible del miembro pensado como un conjunto es aquella coincidente con la deformación de la armadura; es decir, coincide con la deformación elástica del material al que no se le impone la deformación no compatible.

Fig.2.3-1: una manera sencilla para evidenciar los efectos de la retracción sobre secciones simétricamente

armadas.

La sección sea, por simplicidad de exposición, rectangular de base b y altura h, armado con As,sup = As,inf , tal como se muestra en la Fig.2.3-1a. No considerando fuerzas externas sobre la sección, en estado de coacción las relaciones (1.1-3) y (1.1-4) se escriben respectivamente, tomando en cuenta que la única deformación impuesta no compatible є*

c , es debido a la retracción:

y por ser:

resulta:

El signo de є*c, es negativo (acortamiento) y al ser Ac/Ae, < 1, resulta que la σc, es positiva (tracción) y la σs es

negativa (compresión). Además, en la medida en que crezca Ae (es decir, a mayor armadura presente en la

sección), aumenta la tracción sobre el concreto (hasta el valor límite teórico є*c · Ec muy lejos de igualar por

cuanto se perdería la proporción eficiente y lógica entre los dos materiales) y disminuye la compresión en la armadura (hasta el límite teórico cero, que por la misma razón anterior, es muy lejos de igualar). En ausencia de armadura es σc = σ8 = 0. En términos de deformaciones, resulta:

y sustituyendo se tiene para el concreto:

y para la armadura:

lo que evidencia que la deformación adimensional total, además de ser igual para los dos materiales, por compatibilidad, disminuye al aumentar la armadura. En las relaciones (2.3-3) y (2.3-4), haciendo las siguientes igualdades:

y sustituyendo:

siendo Nes la fuerza de compresión equivalente a la retracción, aplicada en el baricentro de Ac .

Armadura asimétrica en cuerpos libres o isostáticos Con referencia a la Fig.2.3-2, en estado de coacción debido a la deformación є*

c , se expresa por intermedio de las relaciones:

Fig.2.3-2: secciones con armadura asimétricas. (a) As,suP ≠ As,inf, (b)

y por ser:

resulta:

siendo Sc,oe el momento estático del área de concreto con respecto al eje baricéntrico de la sección homogeneizada en concreto (Ae), loe el momento de inercia baricéntrico de la sección Ae , yc, y ys las coordenadas del concreto y del acero, respectivamente, medidas a partir del eje baricéntrico de Ae . En términos de deformación, resulta la siguiente relación general:

y para cada uno de los materiales tomando en cuenta las expresiones de λ* y de µ*:

es decir:

Para un elemento homogeneizado en concreto, libre de vínculos exteriores o isostático, de longitud inicial lo, la deformación real que sufre el eje del miembro (es decir, para y = 0) por efecto de esa retracción queda expresada por la relación:

mientras que la deformación en el borde superior e inferior de la sección se obtiene de la misma relación (2.3-16) sustituyendo respectivamente y por yc,sup y yc,inf. En las relaciones (2.3-14) y (2.3-15), haciendo las igualdades siguientes:

y sustituyendo, se tiene la otra manera de expresar el fenómeno:

siendo Ncs · ecs el momento de la fuerza de compresión equivalente a la retracción, y ecs la excentricidad de Ncs.

Los signos de los términos que aparecen en estas dos últimas relaciones se obtienen recordando que Ncs es negativo (porque depende del signo de є*

c), ecs y y son magnitudes algebraicas. Al estar en un estado de coacción, la fuerza resultante y el momento sobre el concreto deberá ser igual y opuesto ala fuerza resultante y al momento resultante producido por la armadura. Surge entonces la posibilidad de intercambiar procedimientos, por las ventajas consecuentes, y así obtener el régimen de tensiones suponiendo atribuir la misma deformación impuesta al acero, con la condición de cambiar el signo a las tensiones finales obtenidas por esa vía. Esta propiedad se demostrará seguidamente.

C) PROPIEDAD DEL ESTADO DE COACCIÓN CONSTANTE APLICADA AL CONCRETO

EN SECCIONES CON ARMADURA PERTENECIENTES A CUERPOS LIBRES O ISOSTÁTICOS

Cuando es constante o linealmente variable la deformación impuesta al concreto de una sección con armadura, el estado de coacción final es como si desde el inicio la deformación impuesta no compatible se le atribuyera al acero, con el mismo valor numérico pero cambiado de signo. Esta propiedad redunda en una mayor simplicidad en la obtención final del régimen de tensiones porque hace que dicho régimen se obtenga de la misma manera del que se obtuvo en el concreto pretensado: basta cambiar el signo final de las tensiones, o, que es lo mismo, el signo de la deformación impuesta inicial del acero. La demostración se hará para la deformación impuesta no compatible constante; para la linealmente variable, se extenderá el concepto empleando un razonamiento elemental. Si є*

c = const. es la deformación no compatible aplicada al concreto, resultan las relaciones (2.3-8) (2.3-15). Ahora bien, haciendo є*

c = є*s resultan:

y por ser:

al sustituir en la expresión de la tensión normal sobre el concreto:

pero al ser:

(G = baricentro, Gc = baricentro del concreto, Gs = baricentro del acero, oe = eje baricéntrico de la sección transformada. El subíndice o presente en la combinación de los subíndices, puede ser omitido, tal como se ha hecho con anterioridad.) resulta:

que es la misma relación (2.3-12). Por ser:

resulta:

que es la misma relación (2.3-13). Una vez demostrado lo que nos habíamos propuesto, es conveniente proceder como se hizo anteriormente en el concreto pretensado. Es decir, partiendo de las expresiones:

y al ser:

definiendo: - NS = ES - є*

s · AS el esfuerzo ficticio de tracción que se le aplica a la sección homogeneizada de concreto, resultante de las fuerzas parciales aplicadas en los baricentros de las armaduras presentes en la sección. Dicho esfuerzo ficticio se considera de tracción porque є*

s resulta ser igual y opuesto a la deformación de retracción (negativa) sobre el concreto.

- Ms,sup = Es · є*

s · As,sup · ,ys,sup – Ns2 · es2, Ms,inf = E s· є*

s · As,inf · ys,inf = Ns1 · es1 , MS = Ms,sup - Ms,inf = N · es (con N = Ns1 + Ns2 y es la excentricidad de N) los momentos ficticios creados

por el esfuerzo ficticio en cada armadura. Y sustituyendo:

Esta manera de enfocar el problema es exactamente igual al del pretensado con la diferencia de que ahora la fuerza externa equivalente es de tracción y deriva de una compresión previa de la armadura (ver Aparte E). Este enfoque es muy expresivo para evidenciar el efecto conjunto de la retracción bien sea sobre el concreto que sobre la armadura. Sin embargo se requiere que se acepte que la longitud inicial ficticia del concreto sea igual a la longitud del acero bajo la acción de la compresión previa y que la deformación de alargamiento final del concreto (igual a la variación de deformación del acero con respecto a la que poseía en condición de compresión previa) es el verdadero acortamiento del mismo en el problema real. Esta manera de referirnos al artificio supuesto se indicará como artificio de la compresión previa de la armadura, será ampliado en el Aparte E. Dicho de otra manera, y si no se quiere perder el enfoque equivalente al pretensado, podemos resolver así el problema planteado: 1) se acepta la deformación impuesta al concreto como si fuese al acero; 2) se resuelve la estructura como si fuera una viga pretensada; 3) los resultados obtenidos (reacciones de vínculos, σc, y σs) se cambian de signo. La deformación real de acortamiento del concreto coincide con la deformación elástica del acero después de la transferencia. Este artificio se indicará como el artificio del sistema equivalente al pretensado.

D) RETRACCIÓN LINEAL APLICADA AL CONCRETO EN SECCIONES CON ARMADURA PERTENECIENTES A CUERPOS LIBRES O ISOSTÁTICOS

Una retracción lineal, como la que se representa en la Fig.2.3-3a, se puede descomponer en la suma de una retracción constante, con comportamiento ya conocido, más una del tipo lineal triangular (Fig.23-3b). Para finalidades prácticas puede ser suficiente la útil simplificación mostrada en la Fig.2.3-3c que consiste en

considerar la retracción lineal como una retracción constante e igual a la medible a nivel baricéntrico de la sección. La simplificación es más valedera en la medida en que los valores extremos del diagrama trapecial de deformaciones no sean muy diferentes. Cuando la aproximación. anterior no resulta satisfactoria (caso de la fluencia debida a la actuación prolongada de las cargas exteriores con resultante no centrada con respecto al baricentro de la sección o cargas exteriores que producen flexión) o cuando por otra razón se quiere determinar el régimen de tensión debido a la retracción lineal, es suficiente recordar que el fenómeno conduce a un estado de coacción por vínculos interiores y la condición de auto equilibrio que caracteriza ese estado (resultante de la fuerza de tracción sobre el concreto igual y opuesta a la resultante de la fuerza de compresión sobre el acero) nos autoriza a .concluir que el tratamiento que se le puede dar es el del artificio de la compresión previa de la armadura.

Fig.2.3-3: (a) Descomposición de la retracción lineal. (b) Manera aproximada de asimilar la retracción lineal, cuando no se quiere emplear el procedimiento mucho más preciso que emplea el denominado

artificio de la compresión previa de la armadura. La retracción lineal en piezas de concreto armado libres o isostáticas, conduce a tensiones internas sin reacciones de vínculos exteriores, por cuanto las deformaciones no son compatibles por vínculos interiores y son compatibles por vínculos exteriores.

E) RETRACCIÓN CONSTANTE O LINEAL: ARTIFICIO DE LA COMPRESIÓN PREVIA DE LA ARMADURA PARA EXPLICAR EL FENÓMENO. FÓRMULAS GENERALES PARA

DETERMINAR EL RÉGIMEN DE TENSIONES NORMALES EN SECCIONES DE FORMA CUALQUIERA DIVERSAMENTE ARMADAS

a) Artificio de la compresión previa de la armadura para interpretar la retracción constante o lineal en secciones de forma cualquiera, diversamente armadas Se considera la sección de forma cualquiera genéricamente armada representada en la Fig.2.3.4a, sometida a la retracción indicada en la Fig.2.3-4b. Por geometría, se determinan los valores de la retracción (є1 y є2) que le correspondería al concreto que idealmente ocupa las dos posiciones de la armadura. El artificio de la compresión previa de la armadura consiste en lo siguiente:

- Se considera inicialmente (Fig.2.3-4e) que el miembro armado presente la armadura independiente del

concreto que lo circunda (es decir, el acero puede deslizar libremente, o, que es lo mismo, que el concreto pueda contraerse independientemente del acero).

- Se acepta que el concreto se retraiga libremente del acero. Por efecto de esta retracción los bordes extremos de la sección se deformarán (Fig.2.3-4f) en la cantidad: 0l = єcs,1 y 02 = єcs,2 , mientras que el acero no sufre deformación alguna.

- Se aplica a cada una de las armaduras una fuerza axial externa capaz de conducirlas sobre la recta 1-2 de la Fig.2.3-4g. Estas fuerzas de compresión son respectivamente N1 = As,1 · є1 · ES y N2 = As,2 · є2 · ES con є1 y є2 leídos en el diagrama de la Fig.2.3-4b.

- Se establece el monolitismo entre armadura y concreto y se eliminan las fuerzas externas N1 y N2. - La armadura tiende a recuperar su forma inicial sin deformación ni tensión. En esta tendencia y por la

adherencia entre ella y el concreto, conduce la sección 1-2 a la sección 3-4 (Fig.2.3-4h). La configuración de equilibrio está representada por la sección 3-4 (por sencillez gráfica, no se evidencia la deformación flexional del miembro; además, las deformaciones sobre el mismo se consideran adimensionales). Del acortamiento sufrido por la armadura (segmento 5-5' para la armadura inferior y 7-7 para la superior) se puede remontar al verdadero acortamiento del miembro homogeneizado (cuyos valores extremos están representados por los segmentos 0-3 y 0-4). La deformación entre las secciones 1-2 y 3-4 representa la tracción que sufre el concreto en todo el proceso.

Como puede observarse, el artificio empleado representa completamente el fenómeno de la retracción en secciones con armadura, por cuanto, con referencia a la misma Fig.2.3-4h resulta:

- La deformación comprendida entre las secciones 0-0 y 1-2 es la impuestas al concreto y no compatible por vínculos internos, por la presencia de la armadura (por ende, dicha deformación generará un régimen de tensiones en autoequilibrio en la sección perteneciente a un cuerpo libre o isostáticamente vinculado).

- La configuración en autoequilibrio de la sección está representada por la sección 3-4. Ella limita la compresión sufrida por la armadura y la tracción sufrida por el concreto.

b) Fórmulas generales para la obtención del régimen de tensiones normales

Después de restablecer el monolitismo entre armadura y concreto e inmediatamente después de la eliminación de las fuerzas de compresión sobre la armadura (sección 1-2 de la Fig.2.3-4h) es como si sobre la misma sección homogeneizada se aplicaran las dos fuerzas mostradas en la Fig.2.3-4c. Luego, por comodidad, se determina la resultante N = Ns,1 + Ns,2 y la excentricidad e con respecto al baricentro de la sección homogeneizada y se aplican las clásicas fórmulas de la flexo-compresión. Se obtiene así que el régimen de tensiones normales sobre los dos materiales, aplicando las analogías de la compresión previa de la armadura, se obtiene por intermedio de las relaciones:

Fig.2.3-4: Obtención de la fuerza de tracción como fuerza externa ficticia equivalente a la retracción (en

consecuencia del empleo del artificio de la compresión previa de la armadura). Cuando la retracción es constante (n.2.3C), en estas dos ultimas relaciones resulta: є *

s,sup · Es = є *s,inf = є * · Es.

Obsérvese que є *s,sup · y є *

s,inf son positivos por ser las deformaciones impuestas a la armadura. Por є *s,sup = -

є *s,sup y є *

s,inf = - є *s,inf las relaciones (2.324) y (2.3-25) se pueden también escribir, respectivamente:

F) RETRACCIÓN CONSTANTE O LINEALMENTE VARIABLE APLICADA AL CONCRETO EN SECCIONES CON ARMADURA SIMÉTRICA Y CON ARMADURA ASIMÉTRICA

PERTENECIENTES A ESTRUCTURAS HIPERESTÁTICAS

La deformación impuesta no compatible al concreto (retracción) es por vínculos internos y externos. Cada uno de los dos procedimientos que siguen, resuelven completamente el problema planteado. Primer procedimiento: empleo del artificio del sistema equivalente al pretensado o el de la compresión previa de la armadura. Se examina un caso sencillo como es el de una viga continua sobre tres apoyos (un grado de hiperestaticidad) armada con armadura asimétrica (Fig. 2.3-5a y b). Empleando el análisis por analogía al pretensado, el sistema es equivalente a la misma viga sometida a dos fuerzas excéntricas aplicadas en las dos secciones extremas (Fig.2.3-5c) y que a su vez es equivalente al sistema indicado en la Fig.2.3-5d. En el caso de armadura simétrica y asimétrica el esquema equivalente referido a un miembro es el que se indica respectivamente en la primera y segunda figura de la Tabla 2.3-1

TABLA 2.3-1: DOS CASOS ELEMENTALES DE SISTEMA EQUIVALENTE TOTAL AL PRETENSADO

Después de pasar del esquema real (Fig.2.35a) al esquema equivalente (Fig.2.3-5d), el problema se transforma: primero, en resolver el equilibrio externo de la estructura indicada por la Fig.2.3-5d; segundo, en obtener el régimen tensional de la viga entera.

Para la solución del equilibrio externo es suficiente emplear uno de los tantos métodos disponibles. Sean VA, VB y VC, las reacciones incógnitas obtenidas empleando uno de esos métodos (Fig.2.3-5e). E1 sistema equivalente al pretensado es autoequilibrado, lo mismo sucede con las reacciones de los vínculos exteriores. Separando ambos efectos (Fig.23-5f y g) se puede afirmar que el primero de ellos es debido a la isostaticidad del sistema (en efecto, si la viga en vez de ser continua fuese simplemente apoyada tendría ese mismo sistema equivalente), mientras que el segundo es debido a la hiperestaticidad del sistema. Para determinar el régimen de tensiones, se sumarán efectos, teniendo presente que los resultados finales obtenidos (σc, y σs) sobre el sistema de la Fig.2.3-5f + Fig.2.3-5g se deberán cambiar de signo para que efectivamente corresponda a la realidad del problema (retracción en vez de pretensado). En el caso de que la sección transversal genérica de la estructura esté simétricamente armada, el problema se simplifica: desaparece el término P · ep en todo el análisis porque resulta ep = 0.

Fig.2.3-5: Esquema de resolución de una estructura hiperestática sometida a retracción constante: caso

de una vira sobre tres (a) (b) apoyos, de sección rectangular, armada asimétricamente.

Todo lo expuesto es válido para cualquier tipo y forma de estructura híperestática, con las siguientes y únicas limitaciones: 1) retracción constante o linealmente variable; 2) cada miembro de la estructura es armado de manera uniforme (con armadura simétrica o no simétrica) a lo largo del mismo; 3) la estructura cuando es del tipo viga de un solo tramo o continua, deberá poseer vínculos extremos que permitan que la misma sufra deformación axial debido a P, de lo contrario la fuerza P indicada en la Fig.2.3-5f es absorta por los vínculos sin deformar la estructura. A esa manera de proceder se indicará como solución empleando el artificio del sistema equivalente al pretensado. Se pueden invertir todos los signos del sistema equivalente al pretensado (esfuerzo axial de tracción en vez de compresión, momento flector en los extremos de barras con signo que deriva del momento producido por la fuerza excéntrica de tracción); es decir, se puede emplear el mismo sistema equivalente indicado en la Tabla 2.3-1 pero cambiado de signo. Se llega a la misma conclusión del caso anteriormente tratado sin la necesidad de cambiar los signos finales a las tensiones. E1 régimen de tensiones en el cuerpo libre se obtiene empleando las relaciones (2.3-22) (2.3.25) y el régimen de tensiones debido a la hiperestaticídad del sistema estructural derivan del momento y del eventual esfuerzo normal hiperestático sobre la sección homogeneizada. Esta manera de resolver el problema se indicará como solución empleando el artificio de la compresión previa de la armadura y es en muchos casos más directo. Segundo procedimiento: empleo del artificio del sistema equivalente al pretensado o del artificio de la compresión previa de la armadura, para el efecto de la isostáticidad de la estructura y empleo de las deformaciones congruentes para el efecto de la hiperestáticidad. Haciendo referencia a la estructura hiperestática de la Fig.2.3-6a, con armadura simétrica o asimétrica en cada uno de los miembros. Sean єcs,1, єcs,2 y єcs,3 la tres retracciones que, por simplicidad de exposición, se consideran constante en cada uno de los miembros que constituyen la estructura. El procedimiento consiste en:

1) Aislar cada una de los miembros y estudiarlo como cuerpos libres sometidos a la retracción correspondiente (Fig.2.3-6b). Para ello se emplean los procedimientos ya estudiados en el aparte E. Los resultados que interesan son el régimen de tensión en los dos materiales y el acortamiento constante o lineal obtenible por ejemplo empleando la relación (2.3-16). Sean por ejemplo Esup,1, Einf,1 ; Esup,2 , Einf,2 ; Esup,1 , Einf,3 las deformaciones reales elásticas de cada uno de los miembros en los bordes de cada uno de los mismos (Fig.2.3-6c).

2) Se asignan las deformaciones reales obtenidas en 1) a los miembros de la estructura inicial y se resuelve la estructura indicada en la Fig.2.3.6d supuesta homogeneizada en concreto. Para ello, como de costumbre, se puede asimilar la retracción a la variación de temperatura expresada por la relación (2.2-1). Luego se determina el régimen tensional en los dos materiales de cada uno de los miembros.

3) Las reacciones de vínculos externos son las obtenidas en 2). 4) Las tensiones en los dos materiales de cada miembro será la suma algebraica de las tensiones en los

miembros homólogos obtenidos en 1) y en 2). Este procedimiento no presenta la tercera limitación mencionada en el primer procedimiento.

Fig.23-6: Empleo del artificio de las deformaciones congruentes. El punto 2) anterior es consecuencia del hecho que por compatibilidad de las deformaciones, se debería aplicar en la sección de cada extremo de barra de la estructura hiperestática, un sistema de fuerzas (generalmente esfuerzo normal y momento flector) capaz de anular las deformaciones reales obtenidas en el esquema 1); vale decir, una deformación impuesta no compatible por vínculos exteriores que sea capaz de producir el mismo régimen tensional del sistema de fuerzas mencionado: entonces, dicha deformación no puede ser otra que la misma obtenida en 1) por cuanto la deformación impuesta más la deformación elástica deberán sumar cero.

G) LA FLUENCIA SOBRE LA RETRACCIÓN

Las tensiones obtenidas por retracción deberán ser multiplicadas por (1 - e-φ) · φ-1, tal como expresa la relación (2.2-2), para tomar en cuenta el efecto de la fluencia.

H) INFLUENCIA DE LA VARIACIÓN DE TEMPERATURA

La temperatura (deformación impuesta al sólido) se puede suponer que actúa de manera constante o lineal sobre la sección homogénea transformada (y sin sensibles errores, sobre la sección bruta). Esa es la razón por la que su estudio no representa dificultad. En términos de deformación, se puede decir que la deformación impuesta por la temperatura (en condiciones normales de uso) es sobre todo el sólido (y no más sobre el concreto, como en el caso de la retracción). Por compatibilidad, la respuesta elástica es igual y opuesta a la deformación impuesta. Los vínculos exteriores reaccionan cuando impiden las deformaciones exigidas por la temperatura y el régimen de tensiones sobre el sólido es debido únicamente a ese hecho Es decir, hay reacción de vínculos exteriores, y por ende régimen de tensión, cuando la deformación impuesta, supuesta constante o lineal sobre todo el cuerpo homogéneo u homogeneizado, son no compatibles por esos mismos vínculos. Los diagramas de las características de solicitación son siempre lineales. En el estudio de la variación de temperatura no se contempla la reducción de efecto debido a la fluencia, por cuanto la transitoriedad del primer fenómeno no induce la presencia del segundo. Los coeficientes de dilatación térmica de los dos materiales son aproximadamente iguales (a = 10-5 °C-1), mientras que el coeficiente de conductividad térmica del concreto (1,1 kcal/m2 · h · °C) es mucho menor que el del acero (45 kcal/m2 · h · °C), esta marcada diferencia hace que el acero tienda a alargarse más rápidamente

que el concreto y por ende tienda a separase de él. El problema subsiste cuando existen bruscos cambios de temperaturas, como por ejemplo ante un incendio, pero no en condiciones de servicios estudiados actualmente.

EJERCICIO 2.3-1: EFECTO DE LA SOLA RETRACCIÓN CONSTANTE EN LA SECCIÓN PERTENECIENTE A UN SÓLIDO LIBRE O ISOSTÁTICO: CASO DE ARMADURA SIMÉTRICA

Para una sección rectangular armada simétricamente (Fig.2.3-1 a) se tienen los siguientes datos: b = 200 mm, h = 300 mm, As,sup = As,inf = 300 mm2,Ac = 59.400 mm2, Ec = 33.500 MPa, Es = 200.000 MPa, ae1, = Es /Ec, = 6, Ae1 = Ag + As - (ae1 - 1) = 63.000 mm2, єc, = - 0,26-10-3 ,Ac, = 54.900 MPa , Ac /Ae1 = 0,94286

SOLUCIÓN

En este caso, la deformación por retracción es no compatible por vínculos internos (sección de dos materiales: concreto y armadura, en donde el concreto presenta la propiedad de la retracción). Aplicando las relaciones (2.3-3) y (2.3-4) resulta, respectivamente:

Deformación total (en estado de coacción) en la dirección del eje del miembro, según la relación (2.3.5):

Deformación visible elástica (o acortamiento por retracción):

Si se duplica el área de la armadura:

Se obtiene el mismo resultado empleando las relaciones (2.3-20) y (2.3-21): - Esfuerzo ficticio de tracción, aplicado sobre el baricentro de la armadura de la sección homogeneizada:

- Régimen tensional (Fig.2.31-1c):

Empleando el artificio del tratamiento como si fuera una viga pretensada para luego cambiarle el signo a las tensiones, resulta:

y entonces la tensión sobre el concreto y sobre el acero resultan ser: σc = + 0,495 MPa y σs = - 49,030 MPa, respectivamente. La deformación elástica visible es єs, = σs /Es = - 49,030/200000 = - 0,245-10-3. De los resultados obtenidos se infiere:

Figura 2.3.1-1

- Con el aumento de la armadura, aumenta porcentualmente más la tracción en el concreto que la compresión en el acero, mientras que la deformación total disminuye ligeramente. - Por estar en estado de coacción, se cumple que la fuerza resultante de tracción es igual y contraria a la fuerza resultante de compresión, según lo mostrado en la Fig.2.3.1-1b.

EJERCICIO 2.3-2: EFECTO DE LA RETRACCIÓN CONSTANTE Y DE LA FLUENCIA POR RETRACCIÓN EN UN SÓLIDO LIBRE O ISOSTÁTICO: CASO DE ARMA DURA SIMÉTRICA

Con los mismos datos del Ejercicio anterior, considérese también la fluencia por retracción, suponiendo que φ = 2,7.

SOLUCIÓN

Partiendo de los valores de tensión obtenidos en el Ejercicio anterior, se aplica la relación (2.2-3) y se obtiene: - Tensiones normales

- Deformación total en el estado de coacción:

- Deformación elástica visible por retracción:

Los resultados tensionales muestran el efecto favorable de la fluencia sobre la retracción en términos de tensiones sobre los dos materiales.

EJERCICIO 2.3-3: RETRACCIÓN MÁS FLUENCIA POR RETRACCIÓN EN VIGAS CONTINUAS CON ARMADURA SIMÉTRICA

La viga continua de dos vanos, cada uno de longitud | = 4 m (Fig.2.3-4a), presenta las mismas características de los Ejercicios anteriores (sección rectangular 200 · 300 mm doblemente y simétricamente armada, As,sup = As,inf = 300 mm2, єcs = 0,2610-3, φ = 2,7). Determinar el régimen tensional a . t = ∞.

SOLUCIÓN

Figura 2.3-3

a) Primer procedimiento El sistema equivalente se muestra en la Fig.2.3-3b y se transforma en el de la Fig.2.3-3c. No existen reacciones de vínculos exteriores. El régimen tensional es igual al que se obtuvo en el Ejercicio 2.3-2. b) Segundo procedimiento El sistema equivalente es suma de los que se indican en las Fig.2.3-3'a y b. El primero está sometido a una deformación є*

c = єcs = -0,26·10-3, conduce a un régimen de tensiones expresado en el Ejercicio 2.3-1 y a una deformación axial real expresada por λ* = єs = - 0,245·10-3 y obtenida en el mismo Ejercicio 2.3-1 . No existen reacciones de vínculos exteriores en este esquema. El sistema mostrado en la Fig.23-3'b no genera reacciones de vínculos exteriores por cuanto la deformación impuesta constante es compatible con ellos. A t = ∞, después de la actuación del efecto reductor debido ala fluencia por retracción, se obtienen los mismos valores finales del Ejercicio 2.3-2.

Figura 2.3-4

EJERCICIO 2.3-4: RETRACCIÓN MÁS FLUENCIA POR RETRACCIÓN CUANDO LA ARMADURA ES ASIMÉTRICA: CASO DE UN SÓLIDO LIBRE O ISOSTÁTICO Y DE UNA VIGA

CONTINUA

La viga continua de dos vanos, cada uno de longitud | = 4 m (Fig.2.3-4a), presenta las siguientes características: sección rectangular 200 · 300 mm doblemente y asimétricamente armada, As,sup = 300 mm2, As,inf = 500 mm2, єcs = - 0,2610-3, φ = 2,7, d1 = 50 mm , d2 = 50 mm. Determinar el régimen tensional a t = ∞ también en el caso de que la viga sea simplemente apoyada y de longitud | = 4 m. Hacer consideraciones críticas pertinentes.

SOLUCIÓN

a) Empleo del artificio del sistema equivalente al pretensado Con referencia a la Fig.2.3-4b y c resultan:

El sistema equivalente se muestra en la Fig.2.3-4d en donde las únicas incógnitas son las reacciones de vínculos exteriores. Resuelto el problema del equilibrio externo [VA = VC = 390 N (↑),VB = 780 N (↓)], el esquema de la Fig.2.3-4d se transforma en el de la Fig.2.3-4e y este a su vez en el de las Fig.2.3-4f y g. Los diagramas de aquellas características de solicitación que producen tensiones normales (diagrama de esfuerzo normal debido a P , de momento flector debido a P - e y de momento flector debido a las reacciones de hiperestáticidad) se indican respectivamente en las Fig.2.3-4h, i y j . Las tensiones normales sobre el concreto se obtienen de la relación:

El momento híperestátíco es obligatoriamente lineal y se expresa:

con el valor máximo Mhip = 1 .560.000 N · mm para x = 4.000 mm . La tensión en las armaduras se expresa a través de la relación:

(є*

s · Es = - 52 MPa) y se determina a nivel de acero superior (ys,sup = 101,6 mm) y a nivel de acero inferior (ys,inf = 98,4 mm). Finalmente hay que recordar que los valores de tensión y de reacción de vínculos exteriores son de signos opuestos a los que se obtienen con el procedimiento hasta ahora descrito. La Tabla siguiente muestra los valores más representativos. Ellos deberán ser multiplicados por el factor (1 – e-2,7) · 2,7-1 para que representen las tensiones a t = ∞. Lo mismo vale para las reacciones de vínculos exteriores anteriormente determinados.

Figura 2.3-4

b) Empleo del artificio de la compresión previa de la armadura Este procedimiento no requiere mayor comentario: se utiliza el sistema equivalente al pretensado pero cambiado de signo. La solución del problema consiste entonces en la determinación del equilibrio externo y del régimen tensional de la estructura indicada en la Fig.2.3-4'a, con la ventaja de que tanto las reacciones como las tensiones consecuentes son las reales (es decir, no se deberán cambiar de signo). Las solicitaciones exteriores equivalentes se indican en Fig.2.3-4'a y son:

Figura 2.3-4'

y conduce a las siguientes reacciones de vínculos:

El esquema de la Fig.2.3-4'b conduce alas ecuaciones:

y el esquema de la Fig.2.3-5'c alas ecuaciones:

c) Empleo del artificio de la compresión previa de la armadura y de las deformaciones congruentes

Primer paso.

Se aísla cada una de las barras que forman la estructura y se suponen que sean piezas de concreto armado sometidas a la retracción є*

c = 0,2610-3 (Fig.2.34"a). La solución tensional de estas piezas se obtiene, por ejemplo, empleando el sistema equivalente mostrado en la Fig.2.3-4"b y empleando las ecuaciones (c) y (d) anteriores. La Tabla siguiente muestra las tensiones así obtenidas:

Figura 2.3-4"

Segundo paso.

Ahora interesa conocer la deformación real de la sección genérica de las piezas de concreto estudiadas en el primer paso. Para ello se pueden emplear las tensiones del concreto calculadas sobre los bordes de la sección, pero cambiadas de signo: єs,sup = - 0,328/Ec = -0,97910-5, єc,inf = - 0,965/Ec = - 2,881·10-5; o también, empleando la relación λ* + µ* · y, pero cambiadas de signo: λ* = - [Ns /(Ec · As)] = - (є*

s · Es · As) / (Ec · Ae) = - 1,9410-5 ; µ* = - (Ms /Ec · |e) = - (Ns · e/Ec · |e) = - 6,33710-8, es decir:

λ* + µ* · y = - (1,9410-5 + 6,33710-8 · y)

en donde (Fig.2.3-4"c): - para y = 0 es λ* = - 1,9410-5 - para y = - 151,6 mm es λ* + µ* · y = - 0,97910-5 - para y = 148,4 mm es λ* + µ* · y = - 2,88010-5

El por qué del cambio de signo, se explicó en el n.2.3C cuando se expuso el artificio de la compresión previa de la armadura y se justificó el empleo de las relaciones (2.3-ZO) y (Z.3-21).

Tercer Paso.

Se asignan las deformaciones calculadas en el segundo paso ala estructura inicial (Fig.2.3-4"d) y se resuelve empleando uno de los métodos de los tantos disponibles para el cálculo de estructura hiperestática. Resolviendo la estructura por intermedio de la aplicación del principio de los trabajos virtuales, asimilando la deformación impuesta a una variación de temperatura, resulta (Fig.2.3-4"e):

Haciendo uso de los sistemas (0) y (1) indicados en las figuras y de la ecuación de compatibilidad D1 = d10 + d11 · X1 = 0, resultan:

Cuarto paso. Se determina el diagrama o la ecuación de momento debido a la hiperestáticidad y se calculan las tensiones normales sobre los dos materiales. La ecuación de momento en el intervalo entre 0 y 4 m es Mhip = VA · x = 390 · x y resulta: - para x=0, Mhip=0 - para x = 200 mm , Mhip = - 78.000 N mm - para x = 400 mm , Mhip = 1 56.000 N mm Las tensiones normales sobre el concreto y sobre la armadura se obtienen por intermedio de la primera y segunda de las relaciones (e), respectivamente. La Tabla siguiente muestra los valores de esas tensiones para tres secciones.

Quinto paso.

Se suman algebraicamente las tensiones en cada sección estudiada, para los bordes de las mismas y sobre las armaduras. Luego, para tomar en cuenta el efecto de la fluencia debido a la retracción, se procede a multiplicar los valores encontrados por el correspondiente factor de reducción.

En el caso de que la viga sea simplemente apoyada de longitud | = 4 m (Fig.23-4"'a), la solución al problema está representado en la primera Tabla del procedimiento (c). Este régimen de tensiones en autoequilibrio se interpretó como efecto de una fuerza externa de tracción excéntrica a la sección, aplicada en el baricentro de la armadura (Fig.2.3-4"'b, c y d), por intermedio del artificio de la compresión previa de la armadura.

Figura 2.3-4"'

d) Consideraciones- críticas

Si la viga continua sobre tres apoyos ya especificada, presenta armaduras no iguales en cada tramo, el esquema equivalente se indica en la Fig.2.3-5IV a y b (en el caso en que |M1 | > | M2 | y | N1 | > |N2|), siendo:

Figura 12.5.3.1-5IV

EJERCICIO 2.3-5: CASOS DE PÓRTICOS CON ARMADURA SIMÉTRICA O ASIMÉTRICA

Determinar el esquema equivalente, para efectos de la retracción constante sobre el concreto, del pórtico doblemente articulado indicado en la Fig.2.3-5a en donde la viga y !as columnas son de secciones simétricas y en el supuesto que resulten: a) viga con armadura asimétrica y columnas con armadura simétrica; b) viga y columnas con armadura asimétrica.

SOLUCIÓN

Empleando el artificio de la compresión previa de la armadura y para las disposiciones de armado que se indican en las diferentes secciones, se obtienen los esquemas mostrados en las Fig.2.3-5b y c, respectivamente. La extensión al caso de retracción linealmente variable, no presenta complejidad.

Figura 2.3-5

EJERCICIO 2.3-6: CASO DE RETRACCIÓN LINEAL SOBRE VIGA CONTINUA

Para la viga continua indicada en el Ejercicio 2.3-3, determinar de manera esquemática el régimen tensional y las reacciones de vínculos debido a la sola retracción al conocerse los valores extremos єcs = 0,193310-3 a nivel de la armadura superior y єcs = - 0,246710-3 a nivel de la armadura inferior.

SOLUCIÓN

Empleando el artificio de la compresión previa de la armadura, el sistema hiperestático se resuelve de la misma manera. Ns y Ns · e se definen seguidamente. Para el esquema isostático, por geometría se determinan las deformaciones (cambiadas de signos) atribuidas a las armaduras y luego la fuerza total de tracción y las tensiones en los dos materiales que se especifican:

2.4 LA FLUENCIA DEBIDA A LAS ACCIONES EXTERNAS EN SECCIONES Y MIEMBROS CON

ARMADURA PASIVA

a) Generalidades

La fluencia actúa sea sobre las tensiones de compresión como sobre las de tracción. Una manera sencilla de evidenciar el efecto de la fluencia se muestra en el cuerpo libre axialmente comprimido y simétricamente armado indicado en la Fig.2.4-1. Las deformaciones instantáneas 0-1, a largo plazo tenderían a incrementarse de 1-2 en el concreto, sin incremento de tensión de compresión, si no fuesen frenadas por la presencia de la armadura. Ésta, a largo plazo sufre una importante deformación de acortamiento adicional 1-3, mientras que el concreto es traccionado de 2-3 con respecto ala deformación adicional potencial 1-2. Como resultado final resulta que el concreto presentará una compresión menor de la instantánea y el acero una compresión apreciablemente mayor de la instantánea. Dicho de otra manera: por efecto de la aplicación de la carga, instantáneamente los dos materiales se deforman de 0-1. Posteriormente, el concreto tiende a deformarse sin tensión hasta alcanzar la ulterior deformación 1-2; pero dicha tendencia es frenada por la presencia de la armadura. Si a partir de la línea de deformación 1-1 los dos materiales pudieran suponerse libres, sucedería que el concreto continuaría deformándose hasta 2-2 y el acero permanecería en su posición 1-1; la compatibilidad de las deformaciones entre ambos materiales (que consiste en la igualdad de las deformaciones) obliga a que ambos lleguen finalmente a la línea de deformación 3-3 que define una tracción 2-3 del concreto con respecto a su posición final potencial 2-2 y una compresión 13 adicional de la armadura con respecto a su posición 1-1.

Finalmente, dicho a la manera del estado de coacción, en el supuesto de que las deformaciones antes mencionadas sean adimensionales, se tiene que la deformación 1-2 coincide con la deformación no compatible impuesta al concreto (є*

c), la deformación 1-3 coincide con la total (єtot), las deformaciones 2-3 y 1-3 coinciden con la elástica del concreto (єc) y la elástica del acero (єs), respectivamente; la deformación real diferida (o visible diferida) es representada por T-3. Y el régimen de tensiones finales sería el producido por la acción instantánea de la carga aplicada más el debido a la deformación impuesta no compatible є*

c. Notase que el efecto de la deformación diferida por la fluencia debido a las acciones externas es similar al de la retracción y valen los mismos artificios allí adoptados. En el artificio de la compresión previa de la armadura: la posición 2-2 corresponde a la posición inicial de la armadura supuesta previamente comprimida de 1-2, hasta alcanzar la posición definitiva 3-3 (después de la creación del monolitismo entre ambos materiales, según lo establecido en el artificio), traccionando el concreto en 2-3 y disminuyendo 1a compresión previa del acero en 2-3. En el análisis anterior no se consideró el hecho de que la fluencia actúa lenta y continuamente en el tiempo y el concreto en el envejecimiento aumenta su resistencia ala compresión, si no está cargado; y viceversa, disminuye su resistencia a la compresión si está cargado (cansancio). Bajo carga de servicio y para efectos de la fluencia podría considerarse, de manera convencional, un incremento del módulo de deformación longitudinal del concreto y asumir un valor promedio entre el que presenta a los 28 días y el que presenta al tiempo t >> 28 días. Cuando el tiempo transcurrido bajo carga no es menor que un año, se puede asumir de manera aproximada el valor comprendido entre 7,05 y 7,07 Ec.

Fig.2.4- 1 : efecto de la fluencia sobre un elemento armado simétricamente.

Se puede demostrar que la compresión inicial sobre el concreto siempre disminuye a expensas de un incremento de la tensión de compresión de la armadura inicialmente comprimida y de un leve incremento de tracción de la armadura inicialmente traccionada; por ende, un aumento en la profundidad del eje neutro. El decremento de compresión sobre el concreto redunda en una menor deflexión en comparación con la que se obtendría si el elemento no presentara armadura en compresión. Todas estas consideraciones se derivan, de manera no rigurosa pero con suficiente aproximación, recordando que por efecto de las acciones instantáneas, el módulo de deformación longitudinal secante del concreto, E, se puede suponer igual al obtenido empleando la relación Ecm = 9.500 (fck + 8)1/3, con fck expresado en MPa, y el coeficiente de transformación del acero en concreto se puede asumir igual a ae = Es /Ec. Por efecto de la carga prolongada, el nuevo módulo secante se deberá asumir igual a Ec,ef = Ec/(l + (φ), por lo que el nuevo coeficiente de transformación se deberá asumir igual a:

Esta manera no rigurosa de resolver el problema presume que la sección es homogénea y por ende no toma en cuenta el entorpecimiento de la armadura al libre fluir del concreto. Para determinar la variación de tensión debido a la fluencia, habrá que resolver el régimen tensional de la sección primero para ae = Es/Ec; segundo, para ae,ef = ae · (1 + φ); finalmente restar el primer efecto del segundo. La fluencia debido a las cargas exteriores hacen variar el régimen tensional y las reacciones hiperestáticas son en general tan pequeñas que se desprecian. Las armaduras de las piezas sometidas a fluencia debido a las cargas exteriores pueden alcanzar compresiones elevadas (sobretodo en los soportes de pórticos), que, conjuntamente a las de retracción, pueden conducir a la superación del límite elástico de las barras. Hay que señalar, de igual manera a lo que ya se ha dicho a propósito de la retracción, que la capacidad resistente última del elemento no queda generalmente afectada por los mismos motivos allá precisados. La razón por la que la fluencia debido a las acciones externas haya sido tratada en el presente estudio de las aplicaciones del estado de coacción es debido a que al descargar la estructura, después de la acción prolongada de las acciones externas sobre ella, se presenta un régimen de tensiones sin presencia de fuerzas externas, que se reduce discretamente con el tiempo; entonces la estructura está en estado de coacción y se debe concluir que la acción prolongada de las cargas exteriores sobre una estructura de concreto con armadura, hace que el cuerpo esté en la condición de equilibrio que se puede llamar general (estado de coacción + fuerzas externas).

b) Sección no fisurada en sólido libre o isostáticamanente vinculado

No se generan reacciones de vínculos exteriores debido a la fluencia. El estudio de la sección se puede hacer empleando el procedimiento aproximado que emplea el módulo elástico efectivo. Cuando el diagrama de las deformaciones impuestas por fluencia es rectangular (caso de carga axial), trapecial (caso de flexión + compresión, equivalente a una fuerza excéntrica con pequeña excentricidad), o cruzado (caso de flexión + compresión, equivalente a una fuerza excéntrica con mayor excentricidad a tal punto de traccionar el borde más lejano) es más riguroso el empleo del mismo criterio utilizado para la retracción: se determina la deformación diferida (єcc) que sufriría el concreto si no fuese restringido por la armadura, luego se impone esta deformación al concreto de la sección con armadura, haciendo є*

c = єcc y determinando las tensiones en los dos materiales de la manera indirecta mediante el artificio equivalente a la compresión previa de la armadura. E1 empleo del artificio de la compresión previa de la armadura es también aquí exactamente igual al caso de la retracción. Se puede emplear el mismo artificio cuando la sección no fisurada está sometida a flexión: si la sección y la armadura son simétricas, desaparece el término del esfuerzo normal Ns y el término flexional NS · e se transforma en NS · ( | ys,sup | + | ys,inf |) . Cabe recordar que cuando el diagrama de deformaciones impuestas es del tipo flexional, muy probablemente la sección se encuentra fisurada y es preferible, por su simplicidad, el empleo de la solución del módulo elástico efectivo.

c) Sección fisurada en sólidos libres o isostáticamente vinculados

Al igual del caso anterior, no se generan reacciones de vínculos exteriores. El problema tensional se resuelve utilizando el procedimiento aproximado del módulo elástico efectivo.

d) Sección no fisurada en estructuras hiperestáticas.

El entorpecimiento de la armadura conduce a que la deformación impuesta al concreto además de ser por vínculos interiores sean también por vínculos exteriores, por ende, habrá reacciones en estos últimos vínculos debido a la fluencia y por su escasa incidencia son generalmente despreciadas. Con el procedimiento del módulo elástico efectivo no pueden ser determinadas las reacciones de vínculos exteriores debido a la fluencia, porque el mismo supone una transformación igual del módulo elástico para todos los miembros de la estructura. En el estudio de la fluencia habrá que diferenciar si se está tratando la sección o la pieza entera. Cuando se estudia la sección no fisurada, se puede emplear el procedimiento de la compresión previa de la armadura. Cuando se estudia toda la pieza o estructura, el procedimiento anteriormente descrito es generalmente imposible de aplicar, dada la variabilidad de tensión a la que están sometidas las diferentes secciones, y se prefiere el procedimiento del módulo efectivo.

e) Sección fisurada en estructuras hiperestáticas

En estructuras aporticadas es muy frecuente que en la condición de cargas de servicio los elementos horizontales (vigas) estén fisurados mientras que los elementos verticales (soportes) no. El cálculo de las reacciones de vínculos exteriores debido a la fluencia es muy complejo y generalmente innecesario debido a que con la fisuración se atenúan sustancialmente las deformaciones impuestas por vínculos exteriores, razón por la que se determinan únicamente las tensiones normales en las diferentes secciones de los miembros. Cuando todos los miembros trabajan en la condición de sección fisurada, con mayor razón se prescinde del cálculo de las reacciones exteriores debido a la fluencia.

f) Efectos sobresalientes debido a la fluencia por cargas exteriores

En estructuras de concreto armado fabricadas de un solo vaciado, y que bajo cargas de servicio trabajan fundamentalmente a flexión, se puede constatar un incremento de la flecha y de la fisuración que pueden comprometer la estética, la misma estructura o los diferentes elementos a ella vinculados (tabiquerías frágiles, fisuración de paredes de mampostería, etc.). Convenientemente hay que convertir la estructura en más rígida, para reducir la tendencia a flechar. E1 empleo de armadura en compresión atenúa el fenómeno de la deformación diferida. Los efectos de descensos obligados o de añadidura de vínculos, son enormemente atenuados en el tiempo (si las operaciones son compulsivas) y suficientemente atenuados en el tiempo (si las operaciones son lentas): la condición requerida en ambos casos es que el concreto sea relativamente joven; de lo contrario, la atenuación de los efectos es muy pequeña. En estructuras inicialmente independientes y que posteriormente se convierten en continuas, cuando son jóvenes, el efecto de la fluencia hace que ellas se comporten como si la continuidad hubiese estado presente desde el primer momento.

En estructuras de concreto armado cuyas secciones son realizadas por etapas (secciones compuestas de concreto), por efecto de la fluencia el elemento posvaciado colaborará también en la transferencia a los apoyos de la carga permanente inicialmente existente antes de su intervención. Esta carga permanente generalmente es la que corresponde al elemento prevaciado. En los casos de estructuras con diferentes módulos elásticos [vigas de concreto con tirante de acero empleados en los puentes atirantados, vigas metálicas con placas de concreto, arcos de concreto con tirante de acero, etc.], el efecto de la fluencia debido a las acciones exteriores puede conducir hasta la inversión del signo de los momentos, en los dos primeros casos, y a una gran variación tensional en el tirante en el tercer caso. En estos y otros casos análogos el efecto de la fluencia es de suma importancia.

g) La incidencia de la armadura ordinaria en la determinación del efecto de la fluencia por carga exterior, los otros fenómenos diferidos y el enfoque del cálculo

La presencia de la armadura ordinaria entorpece la libre tendencia del concreto a deformarse bajo la acción de una carga con actuación prolongada. Cuando el porcentaje de la armadura presente es despreciable el tratamiento del fenómeno puede hacerse de la misma manera que las estructuras sin armaduras. En estructuras mixtas de acero-concreto (por ejemplo viga de concreto armado con tirante de soporte en acero), la complejidad de la solución sugiere que se prescinda de la armadura presente en la viga y que se homogeneice en concreto el tirante exterior de soporte. Los fenómenos diferidos sobre una estructura de concreto armado son la retracción y fluencia por retracción y la fluencia debido a las acciones exteriores con carácter de permanencia prolongada. El primer par de fenómenos se estudia conjuntamente aunque por razones de simplicidad de cálculo primero se estudia la retracción y luego la fluencia por retracción es tomada en cuenta como un factor reductor de retracción. La fluencia debido a las acciones exteriores se puede estudiar independientemente del par de fenómenos anteriores, luego se sumarán los efectos parciales. Para el cálculo de estructuras convencionales de concreto armado, raras veces se requiere de un estudio detallado del todo el conjunto estructural para el efecto de los fenómenos que producen deformaciones diferidas; son muy frecuentes, en cambio, los estudios de algunos de los elementos del conjunto, como por- ejemplo las vigas.

2.5 MIEMBROS CON ARMADURA PASIVA: LA FLUENCIA DEBIDA A LAS DISTORSIONES

CONSTANTES O VARIABLES Y A NUEVOS VÍNCULOS.

Los vínculos de las estructuras de concreto armado pueden sufrir movimientos que generalmente son descensos convulsivos y definitivos (distorsiones constantes sobre las estructuras) o descensos lentos pero finitos (distorsiones variables sobre las estructuras), y durante su construcción pueden presentar añadiduras de nuevos vínculos exteriores que cambian el esquema estático inicial. Estas nuevas situaciones conducen a un estado de coacción por ser deformaciones impuestas con la característica de la no compatibilidad. Hay que precisar que la distorsión es sobre toda la sección; o si se prefiere, la deformación impuesta es sobre toda la estructura y no sobre uno de los materiales de ella (como por ejemplo el concreto en el caso de la retracción y en la armadura en el caso del pretensado con armadura activa), esto significa que si la sección no es fisurada y supuesta homogénea (por la homogeneización de la armadura) y si se desprecia el entorpecimiento de la armadura al libre fluir del concreto, la única diferencia con respecto al caso de las estructuras de solo concreto es que ahora ellas son más rígidas por la presencia de la armadura y la solución a emplear es la misma del caso de las estructuras sin armadura, homogeneizando previamente la sección. La cuantía creciente de armadura aleja la solución de la expuesta.

La condición de sección fisurada, realidad característica de casi todas las estructuras de concreto armado que trabajan a flexión, convierte la estructura en menos rígida y el estado de coacción consecuente a las distorsiones mencionadas presentan menos incidencia.

2.6 SECCIÓN COMPUESTA EN MIEMBROS CON ARMADURA PASIVA: RETRACCIÓN Y FLUENCIA DIFERENCIALES

El problema se puede enfocar de la misma manera que en el caso del pretensado (n.2.7c). Se deberá tener presente que la fluencia es debido solamente a la permanencia de las cargas exteriores.

2.7 EL CONCRETO PRETENSADO Y LAS PÉRDIDAS DIFERIDAS

a) GENERALIDADES Y CONSIDERACIONES ADICIONALES

En el concreto pretensado, además de la armadura activa generalmente está también presente la armadura pasiva, bien sea como armadura de repartición por retracción y temperatura o por flexión (para retardar la fisuración y para incrementar la seguridad frente al estado límite último de rotura). La retracción del concreto es entorpecida por la presencia de estas dos armaduras y su tratamiento es exactamente igual al que ya se ha efectuado, considerando, para este efecto, la armadura activa como una simple armadura pasiva. Expuesto el fenómeno en esos términos, el efecto de la fluencia por retracción tampoco se diferencia de su estudio efectuado en su oportunidad. El inconveniente, aquí como allá señalado, es que la incidencia de este último fenómeno no se sabe cuantificar en un intervalo de tiempo relativamente corto. La fluencia debida a las cargas exteriores también aquí puede ser tratada como se hizo anteriormente, más aún si se considera el hecho de que en servicio se puede suponer que la sección pretensada no está fisurada. A pesar de que sabemos tratar la incidencia aislada de cada uno de los fenómenos diferidos antes mencionados, en el caso del concreto pretensado no se puede, en rigor, aplicar el mismo tratamiento de las otras estructuras, por cuanto existe la fuerza de pretensado (o estado de coacción impuesto sobre la armadura y que afecta a todo el miembro) que condiciona todo el análisis. En efecto: - La fuerza de pretensado produce fluencia y esta a su vez reduce la magnitud de la fuerza misma. Este concatenamiento no existe cuando la fluencia es debida a las cargas exteriores. - La retracción disminuye la fuerza de pretensado. - La fluencia producida por las cargas exteriores reduce la fuerza de pretensado. - E1 relajamiento de por si se traduce en una menor fuerza de pretensado. E1 relajamiento, a su vez, es reducido por las deformaciones instantáneas (elásticas) producidas por las cargas exteriores y por la fuerza de pretensado; por las deformaciones diferidas debida a la retracción, a la fluencia debida a las cargas exteriores y al pretensado. En conclusión, la fuerza de pretensado es disminuida por la retracción y fluencia de retracción, por la fluencia debida a la misma fuerza de pretensado, por la fluencia debida a las acciones externas con carácter de permanencia y por relajamiento de la armadura. E1 régimen de deformación y tensión en un cierto tiempo t deferente del inicial, dependerá del nuevo valor de la fuerza de pretensado y del efecto de las cargas exteriores. En el estudio de las pérdidas diferidas, lo que interesa es saber cuál es la fuerza de pretensado o el régimen de tensiones sobre los dos materiales en una sección genérica de la pieza (frecuentemente no en todas las secciones sino en aquella o en aquellas determinantes), en un cierto tiempo y bajo una determinada condición de carga.

La panorámica de los fenómenos y su interdependencia autorizan generalmente el empleo de procedimientos aproximados. En ellos, como también en las soluciones de DISCHINGER, no se consideran el entorpecimiento causado por la armadura ni la incidencia del relajamiento. No considerar ese entorpecimiento significa suponer, por ejemplo, que toda la variación de deformación debida a la retracción, a la fluencia y al relajamiento se convierta en reducción de la fuerza de pretensado por cuanto el planteamiento del problema consiste en determinar el acortamiento del concreto a nivel de la armadura activa y obtener de este acortamiento la correspondiente pérdida de tensión sobre dicha armadura. Evidentemente este procedimiento tiende a sobrevaluar las pérdidas. De esa manera se obtuvieron las relaciones (a) y (b).

con: a = Ep /Ec,28. Єcs(t,to) = deformación de retracción entre to y t, con signo negativo para el acortamiento. φ(t,to) = coeficiente de fluencia entre to y t. σpo = tensión de tracción de la armadura activa en la fase pre a t = 0, (es decir, debido al sólo pretensado). σcpo = tensión en el concreto al nivel de la armadura activa, en la fase pre a t = 0, (es decir, debido al solo pretensado). σ8 = tensión en el concreto al nivel de la armadura activa, debido al peso propio y a las otras acciones permanentes (con exclusión de la fuerza de pretensado). En la fórmula anterior, el numerador representa la suma de los efectos de la retracción y fluencia sin tomar en cuenta la interdependencia de los fenómenos. La influencia entre dicha interdependencia se toma en cuenta en el denominador, cuya expresión da una cantidad positiva mayor que la unidad. El valor de σpo , en el caso de armadura postesa, se refiere inmediatamente después de la transferencia y en el caso de armadura pretesa después del desbloqueo de los anclajes provisionales. La relación hay que entenderla de manera algebraica; es decir, cada término presenta su propio signo. Además, los valores de Єcs y σ deben ser los que aparecen únicamente en el Código Modelo CEB-FIP. Cuando intervengan variaciones de cargas con carácter de permanencia en tiempos ti; sucesivos, habrá que agregar en el numerador de la relación anterior el término a · ∑[∆σcg,i · σ (t,ti)]. Con la relación (b), se puede evaluar las pérdidas totales de tensión debido a la retracción, fluencia del concreto y al relajamiento del acero, tomando en cuenta la interdependencia entre ellos, empleando la relación (CEB-FIP):

con los mismos significados de la relación (a) y además:

∆σp,rel = variación de tensión (negativa) en la armadura activa debido al relajamiento de la armadura aislada, calculada entre to y t, suponiendo una tensión inicial de tracción igual a:

con ∆σp,cc+cs+rel fijada a priori y verificada (de manera iterativa), por intermedio de la relación (b) y σpgo la tensión inicial de la armadura debido al pretensado y a las acciones permanentes. Con respecto a la relación (a), obtenida por RÜSCH, ella determina la pérdida por retracción y fluencia en el intervalo de tiempo comprendido entre to y t en la hipótesis de hacer lineal la variación de tensión sobre el concreto en ese tiempo y bajo el efecto de la fluencia y retracción, y de tomar el valor promedio de tensión (Fig.2.1-2):

Luego, la variación de tensión ∆σc /2 produce una deformación elástica ∆σc /Ec . La deformación por fluencia es (σc + ∆σc /2) (φ/Ec y la deformación por retracción es єcs. Aceptando que la variación (decrecimiento) de las tensiones sobre el concreto debido al pretensado y a las acciones con carácter de permanencia sea proporcional a las tensiones iniciales sobre el acero (tensiones en la fase pre a t = 0), y con significados ya precisados para los símbolos:

sigue:

y la igualdad entre la deformación de la armadura y la sumatoria de las deformaciones del concreto (∆єp = ∑∆єc ) se escribe:

Sustituyendo la relación (e), haciendo Ep /Ec = a y separando la incógnita ∆σp:

que es la misma relación (b). Para la estimación de las pérdidas diferidas en aquellos casos donde se amerita una cierta precisión, pareciera muy razonable también el empleo del método de los intervalos, tomando en cuenta o no, según el caso y la precisión deseada, el entorpecimiento de las armaduras. La manera de como considerar el efecto del entorpecimiento de las armaduras ha sido ya expuesta. Sin embargo, cabe precisar que el refinamiento que se desea es frecuentemente ficticio, habida cuenta que los valores de partida disponibles (retracción, relajamiento, coeficiente de fluencia, etc.) son estimados bajo unas supuestas condiciones que raras veces son las reales.

b) EFECTO DE LA HIPERSTATICIDAD

Antes de las pérdidas (a t = 0, cuando el valor de la fuerza de pretensado es Pi), se sabe resolver una estructura hiperestática pretensada sometida a cargas exteriores y en consecuencia son conocidas las características de solicitación a lo largo de la estructura y las reacciones de los vínculos exteriores tanto por el efecto de la fuerza de pretensado como por el de las acciones exteriores. A1 tiempo t > 0 el problema de la resolución del equilibrio externo y de la determinación de las características de solicitación se complica enormemente debido a que el valor de la fuerza de pretensado es variable generalmente de sección a sección por el efecto del roce (en el caso de armadura postesa), de la retracción y fluencia del concreto y del relajamiento del acero. La solución frecuentemente adoptada consiste en calcular las pérdidas de tensión en las secciones determinantes de las estructura y así obtener en las mismas los nuevos valores de las características de solicitación que sirvan de partida para las verificaciones necesarias. Una manera simplificada y no rigurosa para la obtención de las reacciones de vínculos hiperestáticos exteriores, después de las pérdidas, consiste en suponer un valor de pérdida constante (convenientemente estimado) a lo largo del tendón. En régimen de prefisuración, en el caso de que la estructura pretensada con armadura activa sufra una distorsión constante o variable, o una añadidura de vínculo exterior, la manera aproximada de estudiar el nuevo régimen tensional después de las pérdidas podría ser aplicando superposición de efectos para la condición de estructura pretensada después de las pérdidas ya mencionadas (retracción, fluencia por pretensado y carga exterior, y relajamiento) y la condición debida a las distorsiones a considerar sobre una estructura igual de concreto armado. Hay dos aspectos de interés relacionados con las estructuras hiperestáticas. E1 primero es que la acción del pretensado sobre una porción de la estructura induce también la presencia de un régimen tensional sobre la otra porción; así por ejemplo, en un pórtico regular doblemente articulado en donde se aplica el pretensado a la sola viga, el efecto es sentido también en los elementos verticales y si el recorrido del tendón resultante del pretensado es bien concebido, puede neutralizar el efecto flexional debido a las acciones exteriores sobre estos elementos verticales. Otro ejemplo es cuando el elemento horizontal viene pretensado como cuerpo independiente al pórtico para luego unirlo a él; sucede entonces que con el tiempo es como si el pretensado se

hubiera realizado solamente sobre la viga ya perteneciente al resto de la estructura (y no independientemente de ella). E1 otro aspecto es el del roce cuando la longitud del tendón es considerable y/o cuando en su recorrido curvo existen cambios de concavidades. En estos casos la variación de la fuerza de pretensado a lo largo del tendón no puede ser despreciada ni las pérdidas de pretensado pueden ser consideradas constantes.

c) SECCIÓN COMPUESTA: RETRACCIÓN Y FLUENCIA DIFERENCIALES

Como es sabido, en el concreto pretensado es frecuente el empleo de la sección compuesta. Esta sección, por su modalidad constructiva, generalmente presenta un elemento prevaciado y otro posvaciado (que frecuentemente es vaciado en el sitio y con concreto de menor resistencia que el elemento prevaciado). Algunas veces sucede que el elemento colocado posteriormente (frecuentemente una losa) sea prefabricado y de mayor edad del elemento colocado inicialmente (frecuentemente una viga). Lo cierto es que ambos concretos muy pocas veces son de igual calidad y de igual edad y casi nunca de la misma forma. Nace entonces el problema de la homogeneización del elemento pos-colocado con respecto al elemento ya colocado y el de las deformaciones por fluencia y retracción diferenciales, y a las que de alguna manera hay que evaluar para evitar una desagradable sorpresa en los estados límites de utilización, por la posibilidad de fisuración en el borde más alejado de la sección compuesta. El primer problema es de homogeneización de lo porción pos-vaciada a concreto de la porción pre-vaciada; el segundo problema será tratado seguidamente. Dada la gran variedad de secciones compuestas, de concreto armado o de concreto pretensado con una o dos fases de pretensado, no se puede hacer siempre un planteamiento válido para todos los casos. Dada la complejidad del problema a resolver, una vez conocido el caso a estudiar se han de hacer algunas hipótesis razonables que conduzcan a soluciones sencillas y aceptables. En general sucede que la retracción y fluencia diferencial: - No incide en el valor de la resistencia última de la sección compuesta. - Puede incidir apreciablemente en la reducción del valor de las cargas de servicio que conducen a la fisuración de la sección. Haciendo referencia a la sección pretensada compuesta mostrada en la Fig.2.7-la, indicando el nervio como elemento prevaciado y el ala como elemento posvaciado, sucede generalmente que: - El elemento posvaciado está sometido a un régimen de tensión mucho menor que el prevaciado. El primero está generalmente sometido a la acción de pequeñas cargas permanentes y a la sobrecarga (ambas son soportadas por la sección compuesta). E1 segundo está sometido ala acción del pretensado, a la acción de las cargas permanentes debida a su peso propio, al peso propio del elemento posvaciado y a la sobrecarga; estas últimas, por definición no presentan acción prolongada y por ende no producen fluencia. En conclusión, el elemento posvaciado presentará en general un efecto de fluencia que en primera aproximación puede ser despreciable. - La deformación adimensional diferencial a nivel de la unión entre los dos elementos se puede estimar en primera aproximación igual a:

∆є = (єcs) posv - (єcs+cc) prev (2.7-1) en donde el subíndice posv es por el elemento posvaciado y el prev por el elemento prevaciado; siendo además: (єcs) posv = la deformación adimensional de retracción del elemento posvaciado (generalmente una losa),

(єcs+cc) prev = la deformación adimensional por retracción y fluencia del elemento prevaciado (generalmente una viga) sobre la fibra superior en contacto con el elemento posvaciado. Haciendo (єcs+cc) prev = (єcs) prev la relación (2.7-1) representará la retracción diferencial entre los dos elementos anteriormente señalados.

Fig.2.7-1: Obtención de las tensiones por retracción y fluencia diferenciales.

El régimen tensional producido en toda la sección se puede pensar generado de la siguiente manera: a) Se deja que libremente se manifieste la deformación ∆є del elemento posvaciado, en la hipótesis de que ambos elementos (prevaciado y posvaciado) sean independientes (Fig.2.7-1a) b) Luego se aplica una fuerza de tracción F = Ac,prov · Ec,prov · ∆є en el baricentro de la sección transversal del elemento posvaciado hasta reconducir el mismo elemento a la posición anterior a la intervención de la deformación ∆є (Fig.2.7-1b). E1 régimen de tensión de tracción es solamente sobre el elemento posvaciado y vale σ = F/Ac,prosv. c) Se crea la unión entre las dos partes en contacto y se suelta la fuerza externa de tracción aplicada en el elemento posvaciado. La creación del monolitismo entre las partes y la acción de soltar la fuerza de tracción equivalen al efecto de una fuerza de compresión aplicada en el mismo punto de la fuerza de tracción anterior pero que ahora afecta a toda la sección compuesta (Fig.2.7-1c). Se aplica la relación σ = F/Ac,tot + [(F · e)/Ic,tot] · y en donde F es negativa (compresión), e es la excentricidad de F con respecto al baricentro de la sección compuesta (sección total); el área y el momento de inercia se refieren a esa misma sección compuesta. d) Se suman la tensiones obtenidas en b) y c). e) Las tensiones obtenidas en d) deberán ser sumadas a las tensiones que se producen en servicio; en la condición de carga correspondiente a la fase pre + g + q a t = ∞.

2.8 BIBLIOGRAFÍA

1. Hormigón armado y Hormigón Pretensado. Tomo 2: Consideraciones de la Fluencia, de la Retracción Plástica y de la Retracción de Fraguado Sobre el Comportamiento de las Estructuras Sometidas a Esfuerzos. Hubert RÜSCH, Dieter JUNGWIRTH. Compañía Editorial Continental, S. A. (C.E.C.S.A), México. Primera edición en español de la primera edición en alemán.

2. Effets structuraux des déformations différées du betón. M.A.CHIORINO. CEB (Boletín 80, febrero 1.972).

3. Fluage, Plasticité, Précontrainte. F. LEVI, G. PIZZETTI. Dunod. París, 1.951. 4. Appunti sul Cemento Armato Precompresso e Calcolo agli Stati Limite. Appunti dai Corsi del

Politecnico di Torino. Cooperativa Libraria Univertaria Torinese-Editrice (1.972). 5. Hormigón Pretensado. Proyecto y Construcción. Fritz LEONHARDT. Instituto Eduardo Torroja de la

Construcción y del Cemento. Madrid 1.967. Traducción en español de la obra original en alemán.

6. Diseño y Cálculo de Estructuras Pretensadas. Johannes JOHANNSON. MARCOMBO, S.A., Barcelona. España, 1.975.

7. Coacción y Flexo-Compresión en Vigas de Concreto Pretensado. Giovanni BIANCO ACCARDI, 1980. Trabajo de Ascenso para optar a la categoría de Profesor Asociado (Universidad de Carabobo, Valencia, Venezuela).

8. Lecciones de Concreto Pretensado. Volumen 1: Análisis de las Tensiones en las Secciones. Giovanni BIANCO ACCARDI. Facultad de Ingeniería de la U.C., (Bibl. Escuela Ing. Civil). Valencia. Venezuela, 1.983.