Magnetismo

1829- Oersted proprieta’ magnetiche delle correnti elettriche

1878 - Rowland equivalenza carica in moto con corrente elettrica

1897 - Thompson scoperta dell’ elettrone

la sintesi e’ che il campo magnetico non e’ originato da una nuova grandezza fisica

una carica elettrica ferma genera un campo elettrostatico,

se la carica e’ in moto genera anche campo magnetico

il flusso attraverso una superficie chiusa del campo magnetico e’ nullo

0B∇⋅ =

in termini locali:

in termini di teorema di Gauss

∫ =⋅=ΦS

SdBB 0)(

il campo magnetico e’ originato da correnti elettriche, ossia da cariche elettriche in moto

non esistono cariche magnetiche isolate, i cosiddetti “monopoli magnetici”

( anche se la ricerca dei monopoli magnetici continua ….)

non esistendo punti dello spazio da cui si originano infinite linee di forza se ne deduce che le linee di forza del campo magnetico devono essere linee chiuse

attenzione: se in natura non esistono i monopoli magnetici a maggior ragione non possono esistere i dipoli magnetici

Legge di Biot Savart

0 ˆ ˆ ( ) 2

iB l rr

µπ

= ×

riB

πµ2

0=

mOhm sec10

470 ⋅

= −

πµ

il campo magnetico prodotto in un punto P dello spazio da un

le linee di forza del campo magnetico sono

r e’ la distanza radiale dal filo nel piano perpendicolare al filo e passante per P

P .

i

rettileneo, infinitesimo, ed “infinitamente” esteso e’ di spessore

circonferenze concentriche al filo

percorso da una corrente elettrica continua i

l̂ r̂

filo

Calcolo del campo magnetico : analogia con il calcolo del campo elettrostatico di un filo rettilineo

0

12

E Erλ

πε= =

0 2

iB Br

µπ

= =

dl

dq

P dE

024

ˆ ˆ ( ) idldB P l rr

µπ

= ×

20

1

4ˆ( ) r

dldE P urλ

πε=

campo magnetico di un filo rettilineo percorso da corrente continua (legge di Biot Savart )

campo elettrostatico generato da un filo rettilineo caricato con densita’ di carica uniforme

nel caso elettrostatico si perveniva al risultato facendo uso della legge di Coulomb e del Principio di Sovrapposizione

i

come λdl era l’elemento infinitesimo di carica cosi’ idl

dunque

puo’ essere pensato come un “ elemento infinitesimo di corrente continua ”

per determinare il campo prodotto da un filo percorso da corrente continua

20

4 rsenidlBd θ

πµ

=

in modulo :

02

ˆ ˆ ( ) 4

i dldB l rr

µπ

= ×

03

ˆ ( ) 4

i dldB l rr

µπ

= ×

o equivalentemente

formula di Biot Savart generalizzata detta anche

di forma qualunque si suddivide il filo in tratti di lunghezza infinitesima

prima formula di Ampere-Laplace

una formula del tutto generale si ottiene facendo uso del

02

ˆ 4 Volume

i J rB dVr

µπ

×= ∫

∫ ×=filo

rlrdliB ˆ ˆ

4 20

πµ

usando il principio di sovrapposizione si puo’ottenere

Prima formula di Ampere-Laplace

punto dello spazio, ossia il campo magnetico generato da un filo in un qualunque

vettore densita’ di corrente:

024

ˆ ˆ ( ) idldB P l rr

µπ

= ×

024

( ) idldB P senr

µ ϑπ

=

contro verifica della validita’ della prima formula di Lapace

per il modulo di B dalla figura si ha

0 180 'ϑ β= −0 ' 90β α= −

0 90ϑ α= +

0(90 ) cos sen senϑ α α= + =

024

( ) idldB P cosr

µ απ

=

per cui cos dlsen dlϑ α=

e

quindi α dα

β

Z

Z’

P A

ϑdl

r̂

Vista di lato i

'β

a AP = a ZP = r

'β β≈

r

B

P

dl

r̂

i

dB

ˆ dl dl l=

ϑ

0 90β α≈ −

'zz rdαma da ZZ’ P si ha anche che

'zz dlsenβ=

uguagliando: cosdl rdα α

0(90 )dlsen α−

'β β≈ quindi

'zz ≈

ma visto che dl e’ un infinitesimo

da ZBZ’

coszz' dl α≈dunque

α dα

β

Z

Z’

P A

ϑdl

r̂

Vista di lato i

'β

a AP = a ZP = r

'β β≈

B

quindi

024

( ) idldB P cosr

µ απ

= 024

irdr

µ απ

=

0

4

i dr

µ απ

=

ma dal triangolo APZ

a rcosα=1 cosr a

α=

sia r che α variano

0

4 ( ) idB P cos d

aµ α απ

=quindi

in α tra –π /2 e + π/2

al variare della posizione lungo il filo

per calcolare il campo totale occorre integrare tra piu’ e

meno infinito che in termini angolari si traduce ad integrare

α

dα

β

Z

Z’

P A

ϑ

dl

r̂

Vista di lato

a

α

dα

ϑ

dl

r̂

2

l πα⇔= +∞ = + 2

l πα⇔= −∞ = −

in conclusione

( )B P dB+∞

−∞= ∫2

2

0

4 i cos d

a

π

π

µ α απ

+

−

∫

0 ( )2

iB Pa

µπ

=

dunque utilizzando la prima formula di Laplace

e

in effetti si riottiene la formula di Biot Savart

2

2

0

4

i sina

π

π

µ απ

+

−= 0

42 i

aµπ

=

2

2

0

4 i cos d

a

π

π

µ α απ

+

−

= ∫

per il filo rettilineo indefinito percorso da corrente continua

la corrente elettrica fluisce sempre in un circuito chiuso

se isolo un tratto di filo dal resto del circuito non posso avere una corrente continua che circoli in quel singolo tratto di filo

se cosi’ fosse si violerebbe la legge di conservazione della carica elettrica,

differenza tra matematica e fisica l’elemento infinitesimo isolato di corrente continua,

( equazione di continuita’ )

ossia il termine idl nella, prima formula di Ampere-Laplace

non esiste in natura

la prima formula di Ampere-Laplace riproduce perfettamente i risultati sperimentali, ossia la legge di Biot Savart, ma attenzione alla

ϑ

02

ˆ ˆ

4μ idl l r dB

π r×

=

r̂ˆdl

r̂

ˆdl

cosdB dB ϑ=//

dalla figura : a = r cosθ cos ar

ϑ =

4

20

rdl

πiμBd =

02

4μ i dl a dBπ r r

=//

Campo al centro di una spira per punti sull’asse

a r x

ossia

integrando sulla spira per simmetria le componenti

si puo’ decomporre in una componente parallela all’asse, Bd

dB⊥ ed in una perpendicolare all’asse della spira

calcolare i soli contributi paralleli

i dB//

dB

⊥

trasverse all’asse si annulleranno a vicenda bastera’ dunque

e 034

μ ia dlπ r

=

dB//

Spira B dB = ∫// //

πa dlSpira

2 =∫ ossia la lunghezza della spira stessa

quindi : 03

2 4

μ ia πa B πr⋅

=/ /

202 2 32( )iaB

a xµ

=+

/ /

ma: quindi 22 xar +=

034 Spira

μ ia dl πr

= ∫034Spira

μ ia dl π r

= ∫

20

32 2 22 ( )

i a

a x

µ π

π=

+

20

3 2

μ ia r

=

la distanza r rimane costante quando ci si muove lungo la spira

0// 0( )

2x

iBa

µ= =

al centro della spira si ha x = 0 quindi

3

2

20

2 2

2 ( )

i aBa x

µ π

π=

+/ /

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