1846

POGLAVLJE 3

PRINOS I CENA FINANSIJSKIH INSTRUMENATA

Uvod

Poslovanje na finansijskim tržištima sa pojedinim finansijskim instrumentima naj-

češće podrazumeva postojanje vremenske dimenzije. Najznačajnije dileme sa kojima se

investitor suočava su: investitor ulaže novac u sadašnjosti kako bi ostvario odreñene pri-

hode u budućnosti, ali ne zna sa sigurnošću koliko će oni da iznose ili investitor zna koli-

ko će dobiti u budućnosti, ali ga interesuje koliko to vredi danas, investitor bi možda ku-

pio neku hartiju od vrednosti ali nije siguran da li je cena realna – možda je precenjena

ili potcenjena. Navedene situacije zahtevaju da usvojimo odreñena analitička oruña – ka-

pitalisanje i diskontovanje.

Različiti dužnički instrumenti imaju različite novčane tokove s različitim dospeći-

ma. Zbog toga se neophodnim čini razumevanje načina na koji se vrednost jedne vrste

dužničkog instrumenta može uporediti sa vrednošću druge vrste dužničkih instrumenata.

Da bismo to uradili, razmotrićemo koncept sadašnje vrednosti (Time value of money) koji

se zasniva na pretpostavci da je dinar koji biste dobili za godinu dana manje vredan od

dinara koji dobijate danas. Naime, dinar možete da deponujete na štedni račun i ostvarite

kamatu, pa za godinu dana dobijete više od jednog dinara.

3.1. Koncept buduće i sadašnje vrednosti

1. Pojam buduće vrednosti. Različiti dužnički instrumenti imaju različite novčane tokove s različitim dospećima. Zbog toga se neophodnim čini razumevanje načina na koji se vrednost jedne vrste dužničkog instrumenta može uporediti sa vrednošću druge vrste dužničkih instrumenata. Da bismo to uradili, razmotrićemo koncept sadašnje vrednosti koji se zasniva na pretpostavci da isti iznos novca nema jednaku vrednost u sadašnjosti i budućnosti. Naime, vremenska vrednost novca proizilazi iz vremenske preference koje novac ima. Više vredi novac danas od istog iznosa novca kasnije. Dinar koji imate danas možete da deponujete na štedni račun, ostvarite kamatu i naredne godine dobijete više od jednog dinara. Za odreñivanje buduće vrednosti primenjuje se matematička operacija – kapitalisanja. Ona se koristi kada znamo sadašnju vrednost, a želimo da odredimo budu-ću. Kada je reč o prostom zajmu, zajmodavac daje zajmoprimcu odreñen iznos sredstava (glavnicu, sadašnju vrednost) koji mu mora biti vraćen do roka dospeća, uz dodatno pla-ćanje kamate. Ako investiramo u finansijski instrument (na primer, štedni depozit kod banke) i uložimo 100 dinara, a banka nam obeća isplatu kamate 10 dinara godišnje, ka-matna stopa je 10 % p.a.

58 Finansijska tržišta - I DEO

.a.p % 101,0din. 001

din. 10i === (3.1.)

Kamatna stopa je diskonta stopa kojom se buduća vrednost izjednačava sa sadašnjom vrednošću. Ako bi banka zaračunavala kamatu samo na početno ulaganje, reč je o tako-zvanoj jednostavnoj, odnosno prostoj kamatnoj stopi. Ako je FV – buduća vrednost (Future value), PV – sadašnja vrednost (Present value), n – broj obračunskih perioda, i – kamatna stopa (Interest), opšta formula izračunavanja prostog zajma glasi:

)in1( PVVF ×+×= (3.2.)

Slika 3.1. Razlika u obračunu kamate metodom prostog i složenog računa

Složen kamatni račun predstavlja kamate izračunate na glavnicu i na kamate izračunate u prethodnim vremenskim periodima. Slika 3.1. prikazuje razliku izmeñu jednostavnog i složenog ukamaćivanja. Pretpostavimo da položimo 100 din. na račun kod banke koja plaća kamatnu stopu na depozite 10 % p.a. Nakon godinu dana račun će zaraditi 10 din. od kamate, pa će vrednost investicije do kraja godine narasti na 110 din. Uočavamo da uloženih 100 dinara raste po faktoru (1 + 0,10) = 1,10. Uopšteno, za bilo koju kamatnu stopu, vrednost investicije na kraju prve godine je (1 + i) pomnoženo sa početnim ula-ganjem: ( ) 11010,01 100 =+× . Šta ako ovaj novac ostavimo u banci i drugu godinu? Račun od 110 din. nastavlja da zarañuje godišnju kamatu od 10 %. Kamata u drugoj go-dini će iznositi: 11,100 110 =× .

Prinos i cena finansijskih instrumenata 59

Drugu godinu započinjemo sa 110 din. na kojih zarañujemo 11 din. kamate. Do kraja godine vrednost na računu će narasti na: 12111 110 =+ din. U prvoj godini ulaga-nje od 100 din. raste po faktoru 1,10 na 110 din; u drugoj godini 110 din. ponovo raste po faktoru 1,10 na 121 din. Dakle, početnih 100 din. raste dva puta po faktoru 1,10, te

vrednost na računu nakon dve godine iznosi: ( ) .12110,01 100 2 =+× Ako novac ne di-ramo i treću godinu, investicija se multiplicira po faktoru 1,10 tokom sve tri godine. Do

kraja treće godine ukupno će iznositi: ( ) 10,13310,01 100 3 =+× din. Drugim rečima, jed-nako smo srećni sa 100 din. danas, kao i sa 121 din. za dve godine ili 133,10 din. za tri godine, odnosno sa: n)10,01(100 +× za n godina. Uočavamo da je prihod od kamata u prvoj godini 10 din, u drugoj 11 din, u trećoj 12,10 din. Prihod je veći jer zarañujemo kamatu na kamatu. Slika 3.1, panel b, ilustruje mehanizam složenog ukamaćivanja. Svaku godinu započinjemo s većim iznosom na svom računu – ušteñevina je porasla za kamatu ostvarenu u protekloj godini. Kao rezultat toga, prihod od kamata se takoñe po-većava. Uz kamatnu stopu i, investiciono razdoblje n godina, buduća vrednost ulaganja izračunava se prema opštoj formuli složenog kamatnog računa:1

n)i1(PVVF +×= (3.3.)

Nov

čana

vre

dnos

t

Slika 3.2. Buduća vrednost 1 dinara povećava se sa rastom kamatne stope

i produženjem vremenskog perioda

1 Izračunavanje broja perioda kod jednokratnih plaćanja: ( )i1ln

PV

FVln

n+

=


Izračunavanje buduće vrednosti olakšano je upotrebom finansijskih tablica bu-dućih vrednosti 1 din. na kraju perioda n. Izraz n)i1( + je kamatni faktor za i-tu kamatnu stopu i n – perioda (FVIFi,n). Jednačina za izračunavanje pomoću tablica u tom slučaju glasi: ( )n,iFVIFPVVF ×= . Očito, što je veća kamatna stopa to će ušteñevina brže rasti.

Slika 3.2. prikazuje da nekoliko procenata dodatih složenoj kamatnoj stopi ima veliki uti-caj na buduće stanje našeg štednog računa. Na primer, ako početni ulog od 1 din. uloži-mo na period od 10 godina, pri kamatnoj stopi od 5 % investicija će narasti na 1,6289 din, a pri kamatnoj stopi od 10 % na 2,5937 din. Isto tako, što je period ulaganja duži buduća vrednost ušteñevine je veća. Na primer, ako početni ulog od 1 din. investiramo po kamat-noj stopi od 10 % na kraju 10 godine ušteñevina će iznositi 2,5937 din, a na kraju 20 go-dine 6,7275 din. Osim toga, što je veća frekvencija obračuna kamate, veća je i buduća vrednost. U slučaju kontinuiranog obračuna: inePVVF ×= , ...71828813,2e = Ako je m – broj godišnjeg ukamaćivanja, buduća vrednost se obračunava prema formuli:

nm)m

i1(PVVF ×+×= (3.4.)

Primer 3.1. Izračunavanje buduće vrednosti pri različitim frekvencijama obračuna kamate

Ako je 100 din. uloženo na 2 godine po kamatnoj stopi od 10 %, na kraju druge godine ako je

obračun kamate godišnji dobijamo: .din 121)1,01(100VF 2 =+×=

polugodišnji: .din 55,121)2

0,11(100VF 22 =+×= ×

dnevni: .din 13,122)365

0,11(100VF 3652 =+×= ×

i kontinuelni: .din 14,122e100VF 21,0 =×= ×

Različita ukamaćivanja onemogućavaju uporeñivanje investicionih alternativa različitih nominalnih kamata, te se u tu svrhu koristi efektivna kamatna stopa:

1)m

i1( i m

ef −+= (3.5)

Primer 3.2. Izračunavanje buduće vrednosti pri različitim frekvencijama obračuna kamate

Kolika je efektivna kamatna stopa za godišnje kamatne stope (Annual percentage rate – APR) pri različitim periodima obračuna kamate?

%. 10,25 1)2

0,1 (1 )c

%. 8,21 1)3

0,08 (1 )b

%. 12,68 1)12

0,12 (1 )a

2

3

12

=−+

=−+

=−+


2. Pojam sadašnje diskontovane vrednosti. Kao što je uvek slučaj u matematici, svaka operacija ima svoju inverznu operaciju, tako i kapitalisanje ima inverznu operaci-ju – diskontovanje. Diskontovanje je matematička operacija koja se koristi za odreñiva-nje nepoznate sadašnje vrednosti iz poznatih budućih vrednosti. Novac se može uložiti kako bi ostvario kamatu. Ako nam se nudi 100 din. danas u odnosu na 100 dinara na kraju godine, prirodno je da uzmemo novac danas kako bismo na njemu zaradili kama-tu. Finansijski menadžeri se drže iste logike kad kažu da novac u ruci danas ima vre-mensku vrednost (Time value of money) ili kad citiraju osnovno finansijsko načelo: Dinar danas je vredniji od dinara sutra. Diskontovanje i ukamaćivanje su dve strane iste meda-lje, koje su matematički povezane kamatnim stopama i brojem perioda. Ovi procesi se grafički prikazuju vremenskom linijom na kojoj nula označava sadašnjost, a svi iznosi se odnose na kraj razdoblja.

Slika 3.3. Utvrñivanje buduće i sadašnje vrednosti

Videli smo da će 100 din. uloženih na godinu dana uz 10 % kamate narasti na 110 din, za dve godine na 121 din, a za tri na 133,10 dinara. Razmotrimo ovo s druge strane. Koliko bi trebalo da uložimo sada kako bismo dobili 110 din. na kraju prve godine? Fi-nansijski menadžeri to nazivaju sadašnjom vrednošću očekivanih 110 din. (Present va-

lue). Kako bismo izračunali sadašnju vrednost, jednostavno upotrebimo obrnutu procedu-

ru izračunavanja buduće vrednosti: ( )

.din 10010,01

110=

+

Na primer, ( )310,01100.din 133 +×= dobijenih tri godine od danas, jednako je kao i

100 dinara danas, tako da je: ( )310,01

133.din 100

+= . Drugim rečima, zamislite situaciju

da vam neko obeća 133 din. kojima ćete moći da raspolažete za tri godine. Ono što vas interesuje je koliko to vredi danas. Dakle, diskontovanje buduće vrednosti je postupak izračunavanja sadašnje vrednosti dinara dobijenih u budućnosti i vrši se prema obrascu:

)1PV

FVi stopa, (diskontna ,

i)(1

FVPV n

n−=

+= (3.6.)


Izraz ( )ni1

1

+ iz formule 3.6. naziva se diskontni faktor, i pokazuje sadašnju

vrednost 1 din. primljenog u godini n. Najjednostavniji način izračunavanja sadašnje vrednosti je korišćenjem tablica sadašnjih vrednosti iznosa od 1 din. na kraju perioda n. Finansijske tablice 2. predstavljaju diskontne faktore za i-tu kamatnu stopu i n – perio-da (PVIFi,n). Jednačina za izračunavanje sadašnje vrednosti pomoću tablica u tom sluča-ju glasi: ( )n,iPVIFFVVP ×= . Kako bismo dobili sadašnju vrednost, buduću vrednost di-

skontujemo kamatnom stopom i, koja se naziva diskontna stopa. Diskontna stopa je opšteprihvaćena kamatna stopa na uobičajeni nivo rizika koji je prisutan na finansij-skom tržištu. Viša je od kamatne stope na nerizične finansijske instrumente, jer uključu-je i premiju na rizike uobičajene na finansijskom tržištu. Pored realne kamatne stope kao cene odložene potrošnje, ona uključuje i inflacioni premiju kao kompenzaciju za očekivano smanjenje kupovne moći novca, premiju na kreditni rizik (posebno rizik gu-bitka glavnice), ročnu premiju kao kompenzaciju za kreditiranje, premiju na likvidnost kao nagradu za držanje finansijskog instrumenta koji se ne može pretvoriti u gotov no-vac bez transakcionih troškova, i premiju na devizni rizik kao promenu deviznog kursa kod finansijskog instrumenta ako je izražen u stranoj valuti. Budući da predstavlja oportunitetni trošak kapitala ili internu stopu povraćaja, ona se tumači i kao prihod koji tržište ili investitori zahtevaju kao prinos na aktivu (ulaganje).

Sadašnje vrednosti se računaju korišćenjem složenog ukamaćivanja. Opadajuće krive sadašnje vrednosti na slici 3.3. pokazuju da se sadašnje vrednosti smanjuju sa pro-duženjem investicionog perioda i rastom kamatne stope.

Slika 3.4. Sadašnja vrednost 1 dinara smanjuje se sa rastom kamatne stope

i produženjem vremenskog perioda


Što duže moramo da čekamo na novac, manja mu je sadašnja vrednost. Uz kamatnu stopu od 10 %, novčani tok od 1 din. u 10. godini danas vredi 0,3855 din, a u 20. godini samo 0,1486 din. Pored toga, uočavamo da male varijacije u kamatnoj stopi imaju veliki uticaj na vrednost dalekih novčanih tokova. Uz kamatnu stopu od 5 %, novčani tok od 1 din. dobijen u 10. godini danas vredi 0,6139 din, a pri većoj kamatnoj stopi od 10 %, vrednost budućeg novčanog toka 1 din. dobijenog u 10. godini pada na 0,3855 din.

Jednačina za izračunavanje sadašnje vrednosti kod ispodgodišnjeg diskontovanja glasi, gde je m – broj razdoblja ispodgodišnjeg diskontovanja:

)

m

i(1

FVPV

nm×+= (3.7.)

Upotreba „Pravila 72“ (Rule 72) predstavlja brz način rešavanja problema složenog ukamaćenja koji se odnose na udvostručenje novca. Pravilo kaže da ako broj 72 pode-limo brojem godina – n na koje je investicija uložena, dobijamo približnu vrednost ka-matne stope – i, potrebne da bi se udvostručila vrednost investicije.

n

72i = (3.8.)

Alternativno, ako je poznata kamatna stopa možemo izračunati broj godina potrebnih da se investicija udvostruči.

Primer 3.3. Udvostručite svoj novac („Pravilo 72“)

Koliko puta ste čuli obećanje investicionog savetnika da će udvostručiti novac? Pretpostavi-mo da je obećao da to može da uradi u roku od 8 godina. Koliku kamatnu stopu implicitno obećava? Savetnik obećava vrednost od 2 din. za svaki dinar uložen danas.

( ) ( )

%. 98

72 ili % 05,9i dakle ,0905,12i1

i1.din 1.din 2 ,i1PVFV

8/1

8n

====+

+×=+×=

Diskontovanje je značajna matematička operacija koja primenu pronalazi u ob-lasti analize hartija od vrednosti (posebno obveznica i akcija). Koncept sadašnje vred-nosti je koristan jer omogućava izračunavanje današnje vrednosti (cene) instrumenata s kreditnog tržišta i uporeñivanje vrednosti dva instrumenta različitih rokova dospeća, kao i uporeñivanje gotovinskih isplata prilikom kupovine realne aktive.

Primer 3.4. Izračunavanje vrednosti besplatnog kreditiranja

Kangaroo Autos nudi besplatno kreditiranje kupovine automobila u vrednosti od 10.000 $. Plaćanje 4.000 $ se vrši odmah, a preostalih 6.000 $ kupac plaća nakon 2 godine. Turtle Mo-tors ne nudi usluge kreditiranje, ali daje 500 $ popusta na cenu od 10.000 $. Ako je kamatna stopa 10 %, koja auto kuća nudi kupcima povoljnije uslove kupovine? Iako ukupno plaćamo više kupovinom kod Kangaroo-a, deo koji plaćamo je odgoñen i taj novac možemo da zadr-žimo u banci gde će nastaviti da zarañuje kamatu.


Kako bismo uporedili dve ponude moramo izračunati sadašnju vrednost isplata Kangaroo-u. Vremenska linija na slici 3.5. prikazuje gotovinske isplate. Prvo plaćanje se obavlja odmah, a drugo na kraju druge godine. Kako bismo našli sadašnju vrednost, moramo ih diskontovati.

Ukupna sadašnja vrednost isplata Kangaroo-u je: 68,958.8)10,0(1

1000.6000.4

2=

+×+ .

Pretpostavimo da startujemo sa 8.958,68 $, odakle platimo prvih 4.000 $ Kangaroo, a preos-talih 4.958,68 $ investiramo. Uz kamatnu stopu od 10 %, nakon dve godine ova svota će na-rasti na 4.958,68 x 1,102 = 6.000 $, što je dovoljno da se podmiri druga rata automobila. Ukupni trošak od 8.958,68 $ je bolja pogodba nego 9.500 $ koliko traži Turtle Motors.

Slika 3.5. Vremenska linija novčanih isplata

Primer 3.4. ilustruje važnost korišćenja sadašnje vrednosti prilikom uporeñiva-nja alternativnih novčanih tokova. Nikada ne uporeñujemo novčane tokove koji se po-javljuju u različitim razdobljima, a da ih prvo ne diskontujemo na zajednički datum. Novčani tok (Cash flow) predstavlja niz novčanih isplata ili primitaka tokom odreñenog vremenskog perioda. Novčani tokovi mogu biti jednaki ili nejednaki, neki od njih mogu biti beskonačni, pa isplate nikad ne prestaju (večni prinos).

Nejednaki novčani tok obuhvata niz plaćanja različitih novčanih iznosa (na pri-mer kod investicionih projekata). Izračunavanje sadašnje / buduće vrednosti svodi se na višestruke procese diskontovanja / ukamaćivanja jednokratnih novčanih iznosa. Sadaš-nja vrednost novčanog toka dobija se sabiranjem pojedinačnih diskontovanih iznosa. Jednačina za izračunavanje sadašnje vrednosti nejednakog novčanog toka, pri čemu je It

– novčana isplata u godini t, glasi:

nn

0tt

i 1

1IPV

+

×= ∑=

(3.9.)


Primer 3.6. Izračunavanje buduće vrednosti nejednakog novčanog toka

Štediša je danas uložio 500 €, za godinu dana 800 €, a za dve godine 1.000 €. Kolika je vred-nost višekratnih iznosa koje je štediša polagao na bankovni račun uz kamatnu stopu od 7 % na kraju treće godine?

( )

( ) ( ) ( ).40,705.2 177,00.1 15,929 50,612

,071 000.107,1 80007,1 500

i1IFV

123

tnn

0tt

=++=

×+×+×=

+×= −

=∑

0 1 2 3

500

i = 7 %

1.177,00

915,90

612,20

FV3 = 2.705,40

800 1.000

Slika 3.7. Ukamaćivanje na vremenskoj osi

3.2. Diskontovanje različitih vrsta kreditnih instrumenata

Prilikom izračunavanja kamatnih stopa različitih tipova finansijskih instrumenata koristimo prinos do dospeća (Yield to maturity), koji prema ekonomistima predstavlja najpreciznije merilo kamatnih stopa, a definišemo ga kao kamatnu stopu koja izjednačava sadašnju vrednost isplata dužničkog instrumenata s njegovom trenutnom vrednošću ili cenom. Ona se može interpretirati kao složena stopa prinosa u toku životnog veka obvez-nice pod pretpostavkom da svi kuponi mogu biti reinvestirani po kamatnoj stopi jednakoj prinosu do dospeća obveznice. Kod ulaganja u realnu aktivu i akcije ovu stopu nazivamo interna stopa prinosa.

Primer 3.5. Izračunavanje sadašnje vrednosti nejednakog novčanog toka

Štediša je odlučio da na štedni račun položi sledeće iznose: na kraju prve godine 700 €, na kraju druge 800 € i na kraju treće godine 1.000 €. Kolika je vrednost njegove uštede u današ-njim evrima ako je kamatna stopa koju banka nudi 7 %?

.20,169.2 30,816 75,698 21,654

07, 1

1 000.1

07, 1

1 800

07, 1

1 700

07,0 1

1IPV

321

n3

1n1

=++=

×+

×+

×=

+

×= ∑=

Slika 3.6. Diskontovanje novčanih tokova na vremenskoj osi


1. Prost zajam. Kad zajmodavac daje odreñen iznos sredstava zajmoprimcu, a taj iznos mu mora biti vraćen do roka dospeća zajedno sa dodatnom isplatom kamate reč je o prostom zajmu. Mnogi instrumenti tržišta novca pripadaju ovoj grupi (na primer, komer-cijalni zajmovi preduzećima). U primeru 3.7. vidimo da je kod prostih zajmova, prosta kamatna stopa jednaka prinosu do dospeća (zbog toga i označava prinos do dospeća, ali i prostu kamatu).

Primer 3.7. Prinos do dospeća prostog zajma

Za jednogodišnji zajam današnja vrednost iznosi 100 din, a isplata za godinu dana iznosila bi 110 din. (otplata 100 din. glavnice plus 10 din. kamate). Ovaj podatak koristimo prilikom iz-računavanja prinosa do dospeća, tako što sadašnja vrednost budućih isplata mora biti jednaka današnjoj vrednosti zajma. Današnja vrednost zajma (100 din) jednaka sadašnjoj vrednosti isplate u visini od 110 din. za godinu dana, na osnovu jednačine 3.4. iznosi:

( )i1

110.din 100

+= , pri čemu je %. 1010,0

.din 100

.din 100.din 110i ==

−=

Ovaj proračun prinosa do dospeća deluje poznato jer je jednak kamati od 10 din. po-deljenoj sa iznosom zajma, tj. 100 din, odnosno jednak je prostoj kamatnoj stopi zajma.

2. Zajam s fiksnom ratom (anuitetski, potpuno amortizovan zajam). Zajmoda-vac daje odreñen iznos sredstava zajmoprimcu koji mora biti otplaćen u vidu periodič-nih jednakih isplata, koje se sastoje od dela glavnice i kamate u odreñenom broju godina (anuiteta).2 Na primer, ako ste pozajmili 1.000 $, takva vrsta zajma podrazumeva da svake godine u narednih 25 godina otplaćujete po 126 $. Krediti na rate i hipotekarni krediti pripadaju ovoj kategoriji. Da bismo izračunali prinos do dospeća zajma s fik-snom ratom, koristimo isti princip kao i kod prostog zajma – izjednačavamo današnje vrednosti zajma i njegove sadašnje vrednosti. Budući da zajam s fiksnom ratom podra-zumeva više od jedne uplate, sadašnja vrednost se računa kao zbir sadašnjih vrednosti svih uplata. Ako je LV – vrednost zajma (Loan value), a FP – fiksna godišnja rata (Fixed yearly payment), jednačinu za sadašnju vrednost zajma s fiksnom ratom glasi:

( )

+−××=

+×−×=

+++

++

++

+=

nn

n32

i1

11

i

1FP

i)(1i

1

i

1FPLV

i)(1

FP ...

i)(1

FP

i)(1

FP

i1

FPLV

(3.10.)

Izraz u uglastoj zagradi predstavlja anuitetni faktor za kamatnu stopu – i, i broj godišnjih perioda obračuna do dospeća – n. Radi lakšeg računanja ovog faktora, koriste se finansijske tablice koje sadrže buduće i sadašnje vrednosti anuiteta.

2 Anuitetska obveznica se amortizuje jednakim periodičnim anuitetima, što drugim rečima znači da ove

obveznice ne isplaćuju nominalnu vrednost o dospeću obveznice, jer anuitet sadrži i kupon i adekvatni deo glavnice. Anuitetska obveznica ima iste obrasce otplate kao i klasičan bankarski kredit.


Primer 3.8. Prinos do dospeća zajma s fiksnom ratom

Sadašnja vrednost zajma od LV = 1.000 din, koji se otplaćuje u narednih n = 25 godina u godišnjim ratama od FP = 126 din. iznosi:

%. 12i

i)(1

din. 126 ...

i)(1

din. 126

i)(1

din. 126

i1

din. 126.din 000.1

2532

=

+++

++

++

+=

Primer 3.9. Rata hipotekarnog, potpuno amortizovanog kredita

Pretpostavimo da kupac kuće pozajmljuje 100.000 € hipotekarnog kredita. Zajmoprimac ot-plaćuje kredit u jednakim mesečnim ratama (anuitetima) tokom narednih 30 godina (360 me-sečnih obračuna). Kolika je mesečna rata hipotekarnog kredita (sadrži otplatu glavnice i ka-matu) ako je hipotekarna kamatna stopa 9 % p.a. (što mesečno iznosi: 9% / 12 = 0,75 %)? Banka mora da odredi visinu mesečne rate tako da je sadašnja vrednost zajma 100.000 €.

( )62,804FP

0075,1

11

0075,0

1FP000.100

360

=

−××=

Ako se glavnica finansijskog instrumenta uopšte ne otplaćuje, ali se isplaćuje redovni godišnji anuitet, reč je o perpetualnom anuitetnom finansijskom instrumentu – večnoj obveznici, renti ili konzoli (Console koja je dobila naziv po engleskom zajmu za konsolidaciju javnog duga nakon Napoleonovih ratova, a koje je britansko ministarstvo finansija emitovalo početkom 19-og veka, sa obavezom da vlada beskonačno isplaćuje fiksne kamate). Reč je o obveznici bez roka dospeća i bez otplate nominalne vrednosti, jer anuitet čini kupon uvećan za deo nominalne vrednosti. Fiksne kuponske isplate, od-nosno anuiteti – C su večni. Cena konzole izračunava se kao količnik kuponske isplate i diskontne stope:3

i

CP = (3.11.)

3 ( )

−+

=

−

+−

=

−−

=

<+

=++++

+=+++=

++

+++

++

=

i

i

i

i1 C1

i1

x11

C1x1

1 CP

1 x za i1

1...xxx1

i1

1 x,...xxx CP

...i)(1

C ...

i)(1

C

i1

CP

32

32

n2


Rastuća večna konzola predstavlja beskonačni novčani tok čije isplate rastu po konstan-tnoj stopi – g. Sadašnja vrednost celokupnog toka dobija se kao zbir pojedinačnih dis-

kontovanih iznosa: ( ) ( ) ( )

...i1

C...

i1

C

i1

CP

nn

22

11 +

+++

++

+= Budući da iznos godišnje is-

plate raste po stopi g jednačina se može napisati u obliku:

( )( )

( )( )

( )...

i1

g1C

i1

g1C

i1

CP

3

21

2

11

11 +

+

++

+

++

+=

Pojednostavljenjem izraza, korišćenjem pretpostavke da je i > g, dobija se matematička formulacija rastuće večne konzole (rente):

gi

CP 1

−= (3.12.)

Primer 3.10. Rastuća konzola

Bogata naslednica želi da osigura sponzorstvo za devetoro dece zbrinutih u dečijoj bolnici, svakom po 1.000 € godišnje. Da bi se održala ista realna vrednost sponzorisanih iznosa pot-rebno ih je svake godine povećavati po stopi od 7 %. Koliko sredstava naslednica treba da uplati u fond ako je kamatna stopa 10 % p.a?

.000.300 07,010,0

000.9

gi

CP 1 =

−=

−=

3. Kuponska obveznica (Coupon bond) vlasniku obveznice donosi fiksnu ku-ponsku kamatu – c (Coupon rate) svake godine do roka dospeća - n, kad se isplaćuje odreñen krajnji iznos – F (glavnica ili nominalna vrednost, Face value). Kuponska ka-mata je dobila naziv po tome što je vlasnik isecao kupone sa obveznice i slao ih emiten-tu koji ga je potom isplaćivao. U eri dematerijalizacije finansijskih instrumenata nije po-trebno isecati kupone da bi se došlo do kamate. Instrumenti tržišta kapitala, kao što su dugoročne i srednjoročne državne obveznice i korporativne obveznice, primeri su ku-ponskih obveznica. Kuponsku obveznicu definišu tri elementa: a) emitent: korporacija ili vlada, b) rok dospeća i c) kuponska kamatna stopa obveznice, koja predstavlja iznos godišnje kuponske isplate izražene u dinarima i kao procenat nominalne vrednosti ob-veznice: cFC ×= . Matematička definicija cene kuponske obveznice je sledeća:

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )∑= +

++

=

++

+++

++

++

+=

n

1tnt

nn32

i1

F

i1

CP

i1

F

i1

C...

i1

C

i1

C

i1

CP

(3.13.)


0 874,5 1.000 1.152,5

8

10

12

Vrednost obveznice ($)

A

B

C

Većina kuponskih obveznica češće ima polugodišnje isplate.4 Na osnovu primera 3.11, 3.12. i 3.13. možemo izvesti nekoliko činjenica: • Kada je cena kuponske obveznice jednaka njenoj nominalnoj vrednosti, pri-

nos do dospeća je jednak kuponskoj stopi. • Cena kuponske obveznice i prinos do dospeća su u negativnoj korelaciji. Kad

kamatne stope rastu (prinos do dospeća), sadašnja vrednost koju vlasnici obveznica primaju se smanjuje, kao i cena obveznice. Suprotno tome, pad kamatnih stopa (prinos do dospeća) povećava sadašnju vrednost isplata i rezultira višim cenama obveznice.

4

∑=

+

+

+

=

+

+

+

++

+

+

+

+

+=

n2

1tn2t

n2n232

i2

11

F

i2

11

2

C

P

i2

11

F

i2

11

2

C

...

i2

11

2

C

i2

11

2

C

i2

11

2

C

P

Jednačina se može prilagoditi tako što se broj godina do dospeća – n zameni brojem kamatnih perioda, koji mogu biti predstavljeni promenljivom m pomoću sledeće jednačine:

mm

i2

11

F

i2

11

11

i

CP

+

+

+

−=

Slika 3.8. Prinos do dospeća i cena obveznice

Kompanija emituje obveznicu nominalne vre-dnosti 1.000 $, uz kuponsku stopu 10 % koja dospeva za 5 godina. Kad je tržišna cena ob-veznice 874,50 $ (tačka A) manja od nomi-nalne vrednosti 1.000 $, prinos do dospeća (12 %) je viši od kuponske stope (10 %). Kad je tržišna cena 1.152,50 $ (tačka C) veća od nominalne vrednosti 1.000 $, prinos do dos-peća (8 %) je manji od kuponske kamatne stope (10 %). Samo kad je tržišna cena obve-znice (1.000 $) jednaka njenoj nominalnoj vrednosti (1.000 $), (tačka B) prinos do dos-peća (10 %) je jednak kuponskoj kamatnoj stopi (10 %).


• Prinos do dospeća je veći od kuponske stope kad je cena obveznice ispod nominalne vrednosti (obveznice se prodaju uz diskont). Kad je prinos do dospeća manji od kuponske stope, cena obveznice je veća od nominalne vrednosti (obveznice se proda-ju uz premiju).

Primer 3.11. Cena kuponske obveznice – slučaj al pari obveznice

Izračunajte cenu kuponske obveznice kompanije GOOGLE, nominalne vrednosti 1.000 $, čija je kuponska stopa 10 %, rok dospeća četiri godine, a kamatna stopa (zahtevana stopa prinosa investitora) 10 %.

$ 00,000.1)100,(1

000.1001

)10,0(1

100

)10,0(1

100

10,01

100PV

i)(1

FC...

i)(1

C

i)(1

C

i1

CPV

432

n32

=+

++

++

++

+=

+

+++

++

++

+=

U primeru 3.11. prinos do dospeća (i = 10 %) je jednak kuponskoj stopi (c = 10 %). Ce-na obveznice (P = PV = 1.000,00 $) je jednaka njenoj nominalnoj vrednosti (F = 1.000 $). Takva obveznica se naziva al pari obveznica.

Primer 3.12. Cena kuponske obveznice – slučaj premijske obveznice

Izračunajte cenu kuponske obveznice kompanije YAHOO, nominalne vrednosti 1.000 $, čija je kuponska stopa 12 %, rok dospeća četiri godine, a kamatna stopa 10 %.

$ 54,065.1)100,(1

000.1201

)10,0(1

120

)10,0(1

120

10,01

120PV

i)(1

FC...

i)(1

C

i)(1

C

i1

CPV

432

n32

=+

++

++

++

+=

+

+++

++

++

+=

U primeru 3.12. prinos do dospeća (i = 10 %) je manji od kuponske stope (c = 12 %). Cena obveznice (P = PV = 1.065,54 $) je iznad njene nominalne vrednosti (F = 1.000 $). Takva obveznica se prodaje uz premiju.

Primer 3.13. Cena kuponske obveznice – slučaj diskontne obveznice

Izračunajte cenu kuponske obveznice kompanije MCSFT, nominalne vrednosti 1.000 $, čija je kuponska stopa 8 %, rok dospeća četiri godine, a kamatna stopa 12 %.

$ 52,878)120,(1

000.180

)12,0(1

80

)12,0(1

80

12,01

80PV

i)(1

FC...

i)(1

C

i)(1

C

i1

CPV

432

n32

=+

++

++

++

+=

+

+++

++

++

+=

U primeru 3.13. prinos do dospeća (i = 10 %) je veći od kuponske stope (c = 8 %). Cena obveznice (P = PV = 878,52 $) je ispod njene nominalne vrednosti (F = 1.000 $). Takva obveznica se kupuje uz diskont.


4. Obveznica sa diskontom (Zero coupon, obveznica bez kupona - STRIPS5) ku-

puje se po ceni koja je niža od njene nominalne vrednosti za iznos diskonta. Ova obvez-nica nema periodičnih isplata kamata, već se prodaju uz veliki diskont u odnosu na svo-ju nominalnu vrednost. Prinos se realizuje isplatom instrumenta po nominalnoj vrednos-ti na dan dospeća.6 Na primer, obveznica sa diskontom nominalne vrednosti 1.000 din. može se kupiti po ceni od 950 din, a za godinu dana vlasniku će biti isplaćena nominal-na vrednost 1.000 din. Kratkoročni zapisi trezora, obveznice sa malim denominacijama (štedne obveznice) i dugoročne obveznice bez kupona primeri su obveznica sa diskon-tom. Cena diskontne hartije od vrednosti koja se kupuje pre roka dospeća predstavlja razliku nominalne vrednosti i diskonta. Prinos do dospeća se računa kao povećanje cene tokom godine (F – P) podeljen sa početnom cenom:

P

PFi

−= (3.14.)

Primer 3.14. Prinos obveznice s diskontom

Jednogodišnji zapis trezora otplaćuje nominalnu vrednost u iznosu od 1.000 $ u periodu od jedne godine. Ukoliko je tekuća kupovna cena tog zapisa 900 $, koliko iznosi prinos do dos-peća? Jednakost izmeñu cene i sadašnje vrednosti 1.000 $ dobijenih za godinu dana:

( )

%. 1,11111,0900

900-1.000i

000.1009i1: odnosno ,i1

1.000009

===

=×++

=

Ako se cena obveznice s diskontom poveća sa 900 na 950 $, prinos do dospeća se smanjuje:

% 30,5053,0950

950-1.000i ===

I kod obveznica s diskontom prinos do dospeća je negativno korelisan sa trenut-nom cenom obveznice.

3.3. Ostali načini izračunavanja kamatnih stopa

1. Tekući prinos (Current yield) je približna vrednost prinosa do dospeća kupon-skih obveznica, često se objavljuje u specijalizovanoj finansijskoj štampi i lako se izraču-nava. Predstavlja odnos godišnje kuponske isplate – C (tj. godišnjeg prihoda) i cene obve-znice – P (čista cena obveznice koja ne uključuje akumuliranu kamatu).

5 STRIPS (Separate Trading of Registered Interest and Principal of Securities), predstavlja odvojeno tr-

govanje ubeleženom kamatom i glavnicom HOV. Coupon strupping je odvajanje kupona obveznice i trgovanje glavnicom i iznosima kupona zasebno, stvarajući na taj način bezkuponske obveznice.

6 Prinos investitora se sastoji od postepenog povećanja (apresijacije) vrednosti HOV, u odnosu na početnu kupovnu cenu, koja je niža od nominalne sve dok se ne otkupi po nominalnoj vrednosti na dan dospeća.


P

Ci c = (3.15.)

Formula je identična formuli za izračunavanje prinosa do dospeća konzole. Kod konzole, tekući prinos u potpunosti odražava prinos do dospeća. Kad kuponska obveznica ima dug rok dospeća (na primer, 20 ili više godina), vrlo je slična konzoli sa neograniče-nim isplatama kupona, te se u preporučuje korišćenje tekućeg prinosa umesto izračunava-nja prinosa do dospeća. Meñutim, kad je rok dospeća kuponske obveznice kraći (na pri-mer, 5 godina), proračun na osnovu tekućeg prinosa u značajno odstupa od prinosa do do-speća. Videli smo da je prinos do dospeća jednak kuponskoj kamatnoj stopi kad je cena obveznice jednaka njenoj nominalnoj vrednosti. Implicitno, ako je cena obveznice jedna-ka njenoj nominalnoj vrednosti, tekući prinos je jednak prinosu do dospeća. Drugim reči-ma, ako je cena obveznice bliža njenoj nominalnoj vrednosti, tekući prinos je preciznija mera prinosa do dospeća. Tekući prinos je u negativnoj korelaciji sa cenom obveznice.

Primer 3.15. Tekući prinos

Kuponska obveznica nominalne vrednosti 1.000 $, kojoj je rok dospeća 10 godina, a kupon-

ska kamatna stopa 10 %, ostvaruje tekući prinos u iznosu od: %. 100001.

100i c == Ako cena

obveznice poraste na 1.100 tekući prinos se smanjuje: %. 09,90011.

100i c ==

Prinos do dospeća u tom slučaju takoñe opada sa 10 % na 8,48 %.

Tekući prinos i prinos do dospeća kreću se saglasno: povećanje tekućeg prinosa uvek je znak da se i prinos do dospeća povećao. Tekući prinos uvažava samo kuponsku stopu i ni jedan drugi izvor priliva koji će uticati na prinos investitora. Ne uzima u obzir kapitalnu dobit koju će investitor ostvariti ako kupi diskontnu obveznicu i zadrži je do roka dospeća, niti kapitalni gubitak ukoliko kupi premijsku obveznicu i zadrži je do da-tuma dospeća. Pored toga, tekući prinos ignoriše vremensku vrednost novca. Ukoliko je period dospeća obveznice dug, a varijabilnost cene neznatna, tekući prinos postaje rela-tivno pouzdana mera prinosa obveznice, jer su u tom slučaju efekti kapitalnih dobita-ka/gubitaka mali. Tekući prinos je bolja aproksimacija prinosa do dospeća: kada je cena obveznice bliža njenoj nominalnoj vrednosti i kad je njen rok dospeća duži.

2. Prinos na bazi diskonta ili diskontna stopa prinosa koristi dobit na nominal-

nu vrednost kratkoročne obveznice F

P-F izraženu u procentima, a ne dobit na kupovnu

cenu kratkoročne obveznice izraženu u procentima kakav je slučaj prilikom izračunava-

nja prinosa do dospeća P

P-F. Prinos se iskazuje na godišnjem nivou, a godina se računa

kao 360, a ne 365 dana.

n

360

F

PFi db ×

−= (3.16.)


Usled toga, diskontna stopa prinosa predstavlja kamatnu stopu kratkoročnih ob-veznica nižom nego što ona iznosi merena prinosom do dospeća.

Primer 3.15. Prinos na bazi diskonta

Jednogodišnji zapis trezora otplaćuje nominalnu vrednost u iznosu od 1.000 $ u periodu od jedne godine (n = 365). Ukoliko je tekuća kupovna cena tog zapisa 900 $, koliko iznosi pri-nos na bazi diskonta?

% 9,9099,0365

360

000.1

900-1.000idb ==×=

Prema proračunu prinosa do dospeća za istu obveznicu (11,1 %), vidimo da je diskontna sto-pa prinosa niža od prinosa do dospeća.

Ako se cena obveznice poveća na 950 $, prinos na bazi diskonta opada sa 9,9 % na 4,9 %. Istovremeno prinos do dospeća opada sa 11,1 % na 5,3 %.

% 9,4049,0365

360

000.1

950-1.000idb ==×=

Niža obračunata stopa prinosa na bazi diskonta posledica je netačnog navoñenja broja dana u godini i izračunavanja dobiti na nominalnu vrednost umesto na kupovnu cenu. Kupovna cena diskontne obveznice je, prema definiciji, uvek manja od nominalne vrednosti, pa je stopa dobiti na nominalnu vrednost neizostavno manja od stope dobiti na cenu. Što je veća razlika izmeñu cene i nominalne vrednosti obveznice s diskontom, to diskontna stopa u većoj meri pogrešno aproksimira prinosa do dospeća. Razlika iz-meñu kupovne cene i nominalne vrednosti postaje veća kako se rok produžava, sleds-tveno, razlika prinosa obračunatog na bazi diskonta i prinosa do dospeća postaje zna-čajnija. Diskontna stopa prinosa je u negativnoj korelaciji sa cenom obveznice. Prinos na bazi diskonta i prinos do dospeća se kreću saglasno: rast diskontne stope prinosa uvek znači i rast prinosa do dospeća, i obrnuto.

3.4. Razlika izmeñu kamatnih stopa i prinosa

Iako se kamatna stopa definiše kao obećan prinos vlasniku, ona ne izražava uvek prihod finansijskog instrumenta koji će biti realizovan, niti će investitor dobiti uvek na-zad sumu inicijalnog ulaganja – glavnicu u njenoj nominalnoj vrednosti. Kreditni rizik uzrokuje moguće gubitke glavnice i/ili kamate. Oscilacije tržišta menjaju cenu finansij-skog instrumenta, te se menja i parametar s kojim se poredi prihod, jer realizovana ka-matna stopa može biti različita od obećane. Pored toga, opšti nivo očekivane diskontne stope podložan je promenama, što cenu finansijskog instrumenta, a time i ukupnu oče-kivanu sumu koja se realizuje prodajom ili o roku dospeća finansijskog instrumenta, či-ni promenljivom. Na primer, ako investitor smatra da je za njega bolje da poseduje du-goročnu obveznicu koja donosi 10 % kamate, a ako kamatna stopa poraste na 20 %, uvideće da je doneo pogrešnu investicionu odluku. Ukoliko mora da proda obveznicu, u tom slučaju će investitor sve izgubiti.


Koliko će investitor zaraditi od vlasništva nad hartijom od vrednosti u jednom odreñenom periodu meri se stopom prinosa (Rate of return). Stopa prinosa – RET predstavlja isplatu vlasniku u obliku kupona – C plus promenu u vrednosti – Pt+1 - Pt, is-kazana kao deo njene kupovne cene – Pt.

t

t1t

P

PPCRET

−+= + (3.17.)

Formula prinosa 3.17. može se dekomponovati na sledeći način:

t

t1t

t P

PP

P

CRET

−+= + (3.18.)

Prvi izraz jednačine 3.18. predstavlja tekući prinos (ic, kuponska isplata prema kupovnoj ceni), a drugi izraz je stopa kapitalne dobiti ili promena u ceni obveznice u odnosi na njenu početnu kupovnu cenu (g – Paper gain).

giRET c += (3.19.)

Prinos obveznice je zbir tekućeg prinosa i kapitalne dobiti, a ovako predstavljena for-mula ilustruje sledeće: čak i kod obveznica čiji je tekući prinos približno jednak prinosu do dospeća, prinos se može znatno razlikovati od kamatne stope, posebno ako postoje značajne fluktuacije u ceni obveznice, koje dovode do kapitalne dobiti ili gubitka.

Primer 3.16. Prinos kuponske obveznice

Kuponska obveznica sa rokom dospeća 10 godina, nominalne vrednosti 1.000 $ i kuponskom kamatnom stopom od 10 %, koja je kupljena po par vrednosti 1.000 $ (tržišna kamatna stopa 10 %), držana godinu dana, a zatim prodata za 1.200 $, vlasniku donosi: godišnju kuponsku isplatu u iznosu od 100 $ i promenu u vrednosti obveznice od: 1.200 $ - 1.000 $ = 200 $.

% 3030,0000.1

200 100RET ==

+=

U ovom proračunu prinos iznosi 30 %. Ista obveznica ima prinos do dospeća svega 10 %. Dakle, prinos neke obveznice ne mora nužno da bude jednak kamatnoj stopi te obveznice.

Na osnovu analize prinosa možemo izvesti nekoliko činjenica: • Jedina obveznica kod koje je prinos jednak inicijalnom prinosu do dospeća je

ona kojoj je rok dospeća jednak periodu držanja obveznice. • Rast kamatnih stopa povezan je sa padom cene obveznica, što dovodi do ka-

pitalnih gubitaka na obveznicama (Paper loss) čiji su rokovi dospeća duži od perioda posedovanja. Da investitor nije kupio obveznicu, već položio novac u banku, sada bi mogao da kupi više obveznica po njihovoj, sada nižoj ceni u odnosu na onu čiji je inves-titor sada vlasnik.


• Što je duži rok dospeća obveznice, veća je procentualna promena cene koja je povezana sa promenom kamatne stope. Stoga, obveznice sa dužim rokom dospeća ima-ju nižu stopu prinosa koja se javlja kao posledica povećanja kamatne stope.

• Iako obveznica ima visoku početnu kamatnu stopu, njen prinos može postati negativan ukoliko se kamatne stope povećaju. Rast kamatne stope znači da je cena ob-veznice opala i da se investitor suočava sa kapitalnim gubitkom koji može biti toliko ve-liki da premaši tekući prinos, što dovodi do negativnog prinosa (tj. gubitka).

3.5. Osetljivost cena obveznica na promene tržišnih kamatnih stopa

1. Osnovni rizici vezani za obveznice mogu se klasifikovati na: kreditni rizik ili rizik neplaćanja obaveza (Default, credit risk), kamatni rizik, rizik reinvestiranja, rizik opoziva i rizik inflacije. Izvesni rizici su zajednički svim klasama obveznicama, npr. rizik inflacije dok su drugi svojstveni samo odreñenim vrstama obveznicama (na primer, kredi-tni rizik zavisi od privredne grane, kompanije i/ili države emitenta). Zahtevana stopa pri-nosa sadrži premiju na rizik koja zavisi od visine izloženosti obveznice različitim rizici-ma. Zahtevana stopa prinosa veća što je veća izloženost riziku te obveznice.

Kreditni rizik je rizik neizvršenja novčanih obaveza emitenta (na primer, kada ne uspe da izvrši deo svojih obaveza u vidu kašnjenje sa isplatom kupona, bankrota koji za posledicu ima neplaćanje kupona i neizvršavanje isplate na dan roka dospeća). Kreditni rizik se ne može kvantifikovati, ali klasifikacije emitenata, koje vrše rejting agencije čiji je cilj odreñivanje standarda i kvaliteta emitenta, procenjuju verovatnoću nastajanja ovog rizika. Za obveznice sa istim rokom plaćanja, kupon emitenta koji je klasifikovan kao AAA ima manji kreditni rizik, nego kupon emitenta klase B. Povećanje kreditnog rizika obveznice snižava njenu cenu.

Kamatni rizik je rizik imanentan svim vrstama obveznica sa fiksnom kamatnom stopom i ima presudan uticaj na vrednost obveznice. Definiše se kao verovatnoća prome-ne tržišne kamatne stope koja determiniše cenu obveznica u sekundarnom prometu. Pro-mena tržišnih kamatnih stopa utiče na promenu cene obveznica obrnuto proporcionalno: porast kamatnih stopa utiče na pad cene obveznice, dok pad kamatnih stopa dovodi do po-rasta cene obveznice. Postoji posebna vrsta obveznica (Call associated bonds) čiji emitent ima pravo da izvrši povrat pre roka dospeća. Ako je povrat izvršen neposredno nakon smanjenja kamatne stope, investitor neće biti u stanju da opet investira ukupnu sumu pov-rata uz istu kamatnu stopu, koja je važila za obveznicu, i stoga će investitor pretrpeti od-reñeni gubitak u prihodu.

Rizik reinvestiranja je povezan sa rizikom promene kamatne stope, karakteristi-čan je za dugoročne kuponske obveznice, a definiše se kao verovatnoća da će novčani tok realizovan po osnovu inicijalnog ulaganja, biti ponovo investiran po nižoj stopi prinosa od prinosa inicijalnog ulaganja. Rast kamatnih stopa smanjiće vrednost obveznica koje su kupljene inicijalnim ulaganjem. Prinos iz datog ulaganja, reinvestiran u uslovima poveća-nih kamatnih stopa, dovodi do povećanja očekivanog prinosa na to ulaganje i obrnuto, pad kamatnih stopa povećava prinosni potencijal inicijalnog ulaganja, ali i mogućnost da će prinos od reinvestiranja biti niži od prinosa inicijalnog ulaganja.


Rizik opoziva se javlja kod obveznica koje imaju klauzulu opoziva. Razlog za ovu operaciju emitenta javlja se kada su tržišne kamatne stope niže od kuponske kamat-ne stope date emisije, odnosno kada se nove obveznice mogu emitovati sa nižom ku-ponskom stopom.

Rizik inflacije predstavlja verovatnoću da će doći do neočekivanog povećanja stope inflacije. Investitori u obveznice tada gube kamatni prihod, a kada stopa inflacije prevaziñe kuponsku stopu ostvaruju i kapitalne gubitke.

2. Osetljivost cena obveznica na promene tržišnih kamatnih stopa i duracija. Slika 3.8. prikazuje procentualne promene cena kao posledicu promene prinosa do dos-peća za četiri obveznice različitih kuponskih stopa, početnih prinosa do dospeća i broja godina do dospeća. U sva četiri slučaja, cena obveznica pada kada prinosi rastu, a kriva cena je konveksna: rast prinosa izaziva manji pad cijene obveznice nego što je njen rast, kada prinos opadne za isti procenat. Ovim putem još jednom smo potvrdili inverzan od-nos cena obveznica i prinosa: ako prinos raste cena obveznice pada i obrnuto, kako pri-nos pada cena obveznice raste.

Slika 3.8. Osetljivost cena obveznica na promene tržišnih kamatnih stopa7

Rast prinosa do dospeća obveznica rezultira manjim opadanjem cene, nego rast cene koji je posledica smanjivanja prinosa za jednaku veličinu. Ako se uporedi osetlji-vost obveznica A i B na promene kamatne stope, sa slike 3.8, koje se razlikuju isključi-vo po broju godina do dospeća, može se zaključiti da je obveznica B, koja ima duži rok dospeća osetljivija na promene kamatne stope od obveznice A.

7 Izvor: Bodie, Z., Kane, A., Marcus, A. J., Essentials of Investments, McGraw-Hill, 2006, str. 338.


Cene dugoročnih obveznica osetljivije su na promene kamatne stope nego cene kratkoročnih obveznica. I pored toga što je rok dospeća obveznice B šest puta duži od obveznice A, njena osetljivost na promene kamatne stope manja je od šest puta. Osetlji-vost na promene kamatne stope se povećava dospećem, ali taj rast nije proporcionalan sa rastom dospeća obveznice. Osetljivost cena obveznica na promene prinosa povećava se po opadajućoj stopi kako se produžava dospeće.

Obveznice B i C, koje se razlikuju jedino po kuponskoj stopi, pokazuju da je obveznica s manjim kuponom osetljivija na promene kamatnih stopa, jer je rizik kamat-nih stopa inverzan kuponskoj stopi obveznice. Cene obveznica s većim kuponom manje su osetljive na promene kamatnih stopa nego cene obveznica s manjim kuponom.

Obveznice C i D razlikuju se samo po prinosu do dospeća. Obveznica C, koja ima veći prinos do dospeća, manje je osetljiva na promene prinosa. Zaključak je da je osetljivost cene obveznica na promene u njenim prinosima inverzno povezana sa prino-som do dospeća. Ove tvrdnje pokazuju da je dospeće glavni izvor kamatnog rizika, ali samo dospeće nije dovoljno za merenje osetljivosti na promene kamatnih stopa. Dospe-će obveznica nije dovoljan pokazatelj koliki će iznos ukupnog prinosa biti isplaćen u toku njihovog trajanja. Ako uporedimo dve obveznice koje imaju isti datum dospeća ali različite kupone, obveznica sa višom kuponskom stopom generiše veći prinos u obliku kuponskih plaćanja i na taj način se prinos na nju realizuje brže. Zbog toga je cena ob-veznice sa višom kuponskom stopom manje osetljiva na fluktuacije kamatnih stopa koje se dešavaju tokom njenog životnog veka.

Prosečno vreme za koje će se primiti novčani tokovi od obveznica može biti bo-lji pokazatelj karakteristika isplate obveznica i osetljivosti u pogledu kamatnih stopa u odnosu na meru dospeća. Novčani tokovi koji se stvore u toku života jedne obveznice razlikuju se po vrednosti, pa je prosečno vreme primanja novca preciznija mera, ako bi se merilo prema sadašnjim vrednostima novčanih tokova. Prosečno dospeće novčanih tokova od obveznica izračunato na taj način, daje meru brzine kojom obveznica isplaću-je svoj prinos, a samim tim i rizik njene cene u odnosu na ostale obveznice koje imaju isto dospeće.

Trajanje (Duration) je kvantitativna tehnika kojom se meri osetljivost cena ob-veznica na promene kamatne stope. 8 Reč je o prosečnom vremenu dospeća, jer se celo-kupan iznos duga ne naplaćuje u istom trenutku. Duracija pokazuje prosečni rok dospe-ća hartije, odnosno pokazuje investitoru koje je vreme potrebno da se u potpunosti pov-rati njegov uloženi kapital u odreñenu hartiju.9 Duracija je popularna mera senzibiliteta finansijskih instrumenata na promene kamatne stope. Svaki finansijski instrument, koji uključuje tokove buduće gotovine i koji se diskontuje sa odreñenom kamatnom stopom, ima svoju duraciju.

8 Koncept efektivnog dospeća je termin koji se odnosi na ekonomistu Fredericka Macaulay-ja koji je ovaj

koncept uveo 1938. godine. On je uveo trajanje kao alternativu za dužinu vremena koje preostaje pre nego što obveznica bude dospela.

9 Treba razlikovati prosečan period dospeća (duraciju) od običnog roka dospeća hartije, koji pokazuje sa-mo vremenski period do poslednje isplate obaveze po osnovu HOV. Za razliku od dospeća, duracija pokazuje vrijeme za koje će se povratiti uloženi kapital.


Duracija se može definisati kao omer sadašnje vrednosti očekivanih novčanih priliva ponderisanih vremenom primanja i tržišne cene hartija od vrijednosti. Poznato nam je da obveznica odbacuje više novčanih isplata, te se „dospeće” odreñuje preko prosečnog (efektivnog) dospeća obećanih novčanih tokova obveznice. Osetljivost cena povećava se sa vremenom dospeća, te prosečno dospeće obveznice govori o osetljivosti obveznice na promene kamatne stope. Koncept efektivnog dospeća ili Mekulijevo traja-nje obveznice (Macaulay’s duration) izračunava kao ponderisani prosek perioda isplate svakog kupona ili glavnice. Ponder svake isplate se odreñuje na osnovu uticaja svake pojedinaćne isplate na vrednost obveznice. Shodno tome, ponderisani prosečni period do svake isplate – tW predstavlja učešće u ukupnoj vrednosti obveznice. Ponder se ra-

čuna kao sadašnja vrednost isplate ( nCF – očekivani novčani tok od glavnice – F i ku-pona – C u godini n), podeljena s cenom obveznice – P , što se matematički može predstaviti u vidu sledećeg obrasca:

( )

Pi1

CF

Wn

n

t

+= (3.20.)

Zbir svih pondera mora biti jednak jedinici, jer je zbir svih novčanih tokova diskonto-vanih prinosom do dospeća jednak ceni obveznice. Ako poñemo od cene standardne kuponske obveznice (Plain-vanilla),

( ) ( ) ( ) ( )nn32 i1

F

i1

C...

i1

C

i1

C

i1

CP

++

+++

++

++

+= (3.21.)

Vidimo da su cena i prinos obveznice dve strane istog odnosa: cena je funkcija prinosa. Ako se diferencira jednačina za cenu / prinos:

( ) ( ) ( ) ( )

++

+++

++

+×

+−=

nn2 i1

nF

i1

nC...

i1

2C

i1

1C

)i1(

1

di

dP (3.22.)

Izraz u zagradama predstavlja prosečno vreme dospeća novčanih priliva od obveznice ponderisano prema sadašnjoj vrednosti svakog pojedinačnog novčanog priliva. Jednači-na 3.22. predstavlja formulu za izračunavanje približne promene u ceni koja odgovara maloj promeni prinosa. Deljenjem obe strane jednačine sa cenom P, dobija se:

( ) ( ) ( ) ( ) P

1

i1

nF

i1

nC...

i1

2C

i1

1C

)i1(

1

P

1

di

dPnn2

×

++

+++

++

+×

+−=× (3.23.)


Ako se izraz u uglastoj zagradi podeli sa cenom, dobija se definicija Mekulijevog traja-nja merenog u godinama, pri čemu nCF predstavlja očekivani novčani tok od glavnice – F i kupona – C u godini n.

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Pi1

CF

Pi1

nF

i1

nC...

i1

2C

i1

1C

D

N

1nn

nnn2 ∑

= +=++

+++

++

+= (3.24.)

Iz obrasca 3.24. vidimo da duracija predstavlja ponderisanu vrednost svih plaćanja od roka izdavanja do roka dospeća hartije, tj. odnos izmeñu sume godišnjih sadašnjih vred-nosti novčanih tokova i ukupne sadašnje vrednosti gotovine.

Primer 3.17. Izračunavanje Mekulijevog trajanja obveznice

Obveznica nominalne vrednosti 1.000 $, s rokom dospeća od 5 godina i kuponom od 7%, se prodaje uz prinos do dospeća od 10%. Koliko iznosi trajanje navedene obveznice?

Slika 3.9. Prikaz izračunavanja duracije obveznice

Efektivno (ponderisano) dospeće obveznice (4,34 godine) je manje od stvarnog vremena do-speća (5 godina) zbog isplate kupona pre dospeća obveznice. Ponder, dodeljen svakom poje-dinačnom plaćanju u odreñenoj tački vremena, predstavlja proporciju tog plaćanja u ukupnoj vrednosti obveznice. Što je veća duracija potrebno je više vremena da se investitoru vrati uloženi novac. Ako posmatramo dve HOV istog roka dospeća ali različitih duracija, hartija sa manjom duracijom nosi veću nominalnu kamatnu stopu i obrnuto. Dugoročne obveznice su osetljivije na kretanje kamatnih stopa od kratkoročnih, a ta veza se može kvantifikovati po-moću duracije.


Ako se izraz za Mekulijevo trajanje 3.24. zameni u jednačinu 3.23, pomoću koje se iz-računava približna procentna promena cene, dobija se izraz za modifikovano trajanje 3.25. (Modified duration):10

)i1(

DMD

MD)i1(

DD

)i1(

1

P

1

di

dP

+=

−=+

=×+

−=×

(3.25.)

Modifikovano trajanje se može koristiti da se prikažu procentne promene u ceni obvez-nice za datu promenu u tržišnom prinosu. Ovaj odnos formalno je izražen u jednačini 3.25, a može da se napiše i kao:11

MDP

1

di

dP−=× (3.26.)

Procentualna promena cene obveznice predstavlja proizvod modifikovanog trajanja i promene u prinosu obveznice do dospeća. Modifikovano trajanje je prirodna mera izlože-nosti obveznice na promene kamatne stope jer je procentualna promena u ceni obveznice proporcionalna modifikovanom trajanju. Ono ukazuje na približnu procentualnu promenu cene za datu promenu prinosa. Kod svih obveznica bez opcija modifikovano trajanje je pozitivno, te je veza izmeñu modifikovanog trajanja i procentualne promene cene za datu promenu prinosa inverzna. Navedeno je u skladu sa osnovnim principom, da se cena ob-veznice kreće u suprotnom smeru od promena kamatnih stopa.

Primer 3.17. Izračunavanje modifikovanog Mekulijevog trajanja obveznice

Povezanost trajanja i osetljivosti cene obveznica na promene kamatnih stopa može se potvr-diti poreñenjem osetljivosti cene petogodišnje kuponske obveznice iz primera 3.16, koja ima trajanje 4,34 godine sa osetljivošću obveznice bez kupona s dospećem i trajanjem 4,34 godi-ne. Ako je trajanje mera osetljivosti cene, onda bi obe obveznice trebalo da imaju jednaku izloženost kamatnom riziku. Obveznica s dospećem 5 godina prodaje se za 886,28 $ po ka-matnoj stopi od 10 %. U slučaju da prinos poraste za 1 % na 10,01 %, onda će njena cena pa-

sti na: 97,3428,88601,010,1

34,4−=××

, 9303,8853497,028,886 =− ili 0,039457 %. Obvez-

nica bez kupona koja ima dospeće 4,34 godina i početnu kamatnu stopu 10 % prodaje se po

ceni .235,66110,1

000.134,4

= Njena cena će pasti na .974,6601001,1

000.134,4

= ukoliko kamatna stopa

poraste za identičnih 0,039457 %.

10 Izvor: Alexander, C., Sheedy, E., Mathemtical Foundations of Risk Measurement, Prmia, 2004, str. 76.

11 diMDP

dP×−=


Postupak izračunavanja Mekulijevog trajanja moguće je skratiti, ako se jednačina za iz-računavanje cena obveznica 3.21. preoblikuje u sledeći izraz:

( )( )n

n

i1

F

i

i1

1-1

CP+

+

+×= (3.27.)

Pomoću jednačine 3.27. izračunava se cena kao zbir sadašnjih vrednosti njenih kupona i njene vrednosti po dospeću. Ako se ona diferencira pomoću prvog izvoda i podeli sa trenutnom cenom obveznice, dobija se alternativna formula za modifikovano trajanje:

( ) ( )P

i1

i

CFn

i1

1-1

i

C

MD1nn2 ++

−+

+×

= (3.28.)

Kada se jednačina 3.28. pomnoži sa (1+i) dobija se jednačina za Makulijevo trajanje. Do sada su bile razmatrane samo standardne kuponske obveznice. No trajanje se odnosi na sve tipove, čak i na one koje nemaju konvencionalni datum dospeća, tzv. trajne ili večne neotkupive obveznice (anuitetske obveznice), koje isplaćuju kamatu na neodre-ñeni period. Budući da ne stvaraju isplatu nominalne vrednosti po dospeću, izraz na de-snoj strani jednačine za trajanje nestaje, i kako se kuponska plaćanja mogu produžiti na neodreñeno vreme, n se približava beskonačnosti, izraz za Makulijevo trajanje za obve-znice bez datuma dospeća, poprima sledeći oblik, pri čemu je ic tekući prinos:

ci

1D = (3.29.)

Jednačina 3.29. predstavlja graničnu vrednost trajanja. Za trgovanje obveznicama po par vrednosti ili iznad nje, trajanje se povećava s dospećem, približavajući se vrednosti datoj jednačinom 3.29, koja funkcioniše kao gornja granica. Za trgovanje obveznicama po diskontnoj vrednosti pa sve do par vrednosti, trajanje se povećava na maksimum od skoro 20 godina, a zatim opada prema minimumu (najnižoj dozvoljenoj granici) datoj u jedna-čini 3.29.

Trajanje se menja s dospećem, kuponom i prinosom. Ono se manje ili više pove-ćava sa dospećem. Obično je trajanje obveznice kraće od njenog dospeća. Razlog tome je što prilivi gotovine u prvim godinama života obveznice imaju najveće sadašnje vrednosti, pa im se dodeljuju i najveći ponderi. To skraćuje prosečno vreme u toku kojeg se primaju prilivi gotovine.


Trajanje obveznica bez kupona jednako je broju godina do dospeća, jer ne posto-je drugi novčani tokovi od ove vrste obveznica osim nominalne vrednosti o dospeću, te nema sadašnje vrednosti kupona koja bi trajanje skraćivala u odnosu na dospeće.

Sledeći faktori impliciraju viša trajanja: • Trajanje se povećava sa smanjenjem kupona i prinosa. Što je niži kupon to je

veći ponder novčanog toka primljenog na dan dospeća, što posledično povećava traja-nje. S obzirom da je u načelu, kupon na indeksne obveznice niži u odnosu na standardne kuponske obveznice (Plain-vanilla bond), trajanje indeksnih obveznica je duže od traja-nja standardne obveznice istog dospeća.

• Kako prinos raste tako se smanjuje sadašnja vrednost svih očekivanih novča-nih tokova, s tim da sadašnja vrednost udaljenih novčanih tokova pada nešto više od sa-dašnje vrednosti bližih novčanih tokova. Rezultat je efekat rasta pondera bližih novča-nih tokova i skraćenje duracije.

3.6. Cene obveznica i kamatne stope u specijalizovanoj

finansijskoj štampi

1. Dugoročne i srednjoročne obveznice državne blagajne predstavljaju kupon-ske obveznice, a razlikuju se samo prema roku dospeća od dana kada su emitovane (Maturity). Srednjoročnim obveznicama (T-notes, označavaju se skraćenicom n, a slovo s označava množinu, postoji više od jedne serije ove obveznice) je rok dospeća kraći od deset godina, a dugoročnim obveznicama (T-bonds) je rok dospeća duži od deset godi-na. T-note 1 dospeva u januaru 2013. godina i ima kuponsku kamatnu stopu (Rate) 4,75 %, što znači da je godišnja isplata na nominalnu vrednost (koja iznosi 1.000 $) 47,50 $. Prema terminologiji sa tržišta obveznica, ona se navodi kao 4 ¾s 2013. U sledeće tri ko-lone nalaze se podaci o ceni obveznice. Prema konvenciji, sve cene na tržištu obveznica navode se u 100 $ od nominalne vrednosti (cena se navodi kao procentni izraz u odnosu na nominalu od 1.000). Brojevi iza dve tačke označavaju trideset drugi deo. Za T-note 1, bid cena (cena ponude, tj. kupovna cena dilera, govori koju ćete cenu dobiti ako ob-veznicu prodate, a koju cenu diler traži da bi je kupio od vas) navedena je kao 100:02 i

predstavlja 100 + 2/32 = 100,0625 ili stvarnu cenu od: $ 62,000.1100

1.000 100,0625=

× za

obveznicu sa nominalnom vrednošću od 1.000 $. Asked cena (prodajna cena dilera, go-vori za koliko možete da kupite obveznicu, odnosno koliko morate da platite dileru da bi vam je prodao). Razlika izmeñu više prodajne i niže kupovne cene predstavlja kota-cioni raspon koji donosi profit dileru (diler kupi obveznicu po ceni od 100 2/32, a proda je po ceni 100 3/32, ostvaruje profit od 1/32). Kolona Chg. pokazuje koliko se kupovna cena promenila u odnosu na prethodni dan. Kupovna cena T-note 1 se smanjila u odno-su na prethodni dan za 0,08, ili 8/32 od 1.000 = 2,50 $. U koloni Ask. Yld. navodi se prinos do dospeća, koji za T-note 1 iznosi 0,43 % (koristi prodajnu cenu kao cenu obve-znice, jer je prinos do dospeća relevantan za lica koja žele da kupe i zadrže obveznicu, pa samim tim i ostvare prinos).


Tekući prinos HOV državne blagajne obično se ne navodi u finansijskoj štampi. U slučaju T-note 1 iznosi 4,75 %. Cena T-note 1 razlikuje se za manje od 1 % od nomi-nalne vrednosti, pa se tekući prinos (4,75 %) bitno razlikuje (razlika više od 4 procentna poena) od prinosa do dospeća (Ask. Yld. 0,13 %). Za T-bond 2, razlike su još drastični-je, pri čemu je tekući prinos (10,55 %) veći za čak 9 procentnih poena od prinosa do do-speća (Ask. Yld. T-bond 2 je 1,22 %). S druge strane, T-bond 3 i T-bond 4 imaju dug rok dospeća oko 30 godina, te su prema karakteristikama nalik konzolama. Tekući pri-nos T-bond 3 iznosi 5,07 %, a tekući prinos T-bond 4 iznosi 4,98 %, i približno su jed-naki prinosima do dospeća (Ask. Yld. T-bond 3 je 5 %, Ask. Yld. T-bond 4 je 4,86 %).

Dugoročne i srednjoročne obveznice državne državne blagajne

RateMaturity

Mo / YrBid Asked Chg. Ask. Yld.

4,750s jan 13n 100:02 100:03 -0,8 0,13T-note 1

11,125 avg 13 105:16 105:17 -1 1,22T-bond 2

5,250 feb 43 103:17 103:18 23 5,00T-bond 3

5,375 feb 45 107:27 107:28 24 4,86T-bond 4

WSJ

Slika 3.10. Prikaz cena dugoročne i srednjoročne obveznice državne blagajne

Ovim primerom smo potvrdili ranije iznete zaključke o tekućem prinosu: on može na-vesti na pogrešne zaključke o vrednosti prinosa do dospeća kad su u pitanju kratkoročne obveznice, posebno ako cena nije veoma blizu nominalne vrednosti.

2. Kratkoročni zapisi trezora (T-bill) predstavljaju obveznice s diskontom. Bu-dući da nemaju kupona, navodi se samo rok dospeća (Maturity) i broj dana do roka dos-peća. Dileri na tržištima navode cene navodeći prinos na bazi diskonta. U koloni kupo-vna cena (Bid) data je diskontna stopa prinosa za lica koja dilerima prodaju T-bill, a u koloni prodajna cena (Asked) data je diskontna stopa prinosa za lica koja kratkoročnu obveznicu kupuju od dilera. Promena od -0,01 predstavlja pad od 1 baznog poena. Pri-nos na bazi diskonta (Asked) je manji od prinosa do dospeća (Ask. Yld), a odstupanja su veća što je rok dospeća duži.

Kratkoročni zapis trezora

MaturityDays to

Mat.Bid Asked Chg. Ask. Yld.

feb 13 03 21 1,14 1,13 -0,01 1,15

WSJ

Slika 3.11. Primer cene kratkoročnog zapisa državne blagajne


3. Korporativne obveznice (Bond) predstavljaju obveznice sa kuponom. U prvoj koloni predstavljena je oznaka emitenta – korporacija. Za Bond 1 kuponska kamatna sto-pa iznosi 5 5/8 koja se računa na glavnicu od 1.000 $, a obveznica dospeva 2014. U kolo-ni tekući prinos (Cur. Yld.) vidimo da je odnos godišnje kuponske isplate i tekuće cene obveznice (iz kolone Close) 5,5 %. Kolona obim trgovanja (Vol.) pokazuje da se navede-nog dana trgovalo 238 obveznica nominalne vrednosti 1.000 $. Cena na zatvaranju (Clo-

se) daje podatke o poslednjoj ceni po kojoj se trgovalo tog dana iskazanoj u stotinama do-lara (procentima), a prema nominalnoj vrednosti: cena od 101,63 predstavlja 101,63 % od 1.000 = 1.016,30 $ (cena se navodi kao procentni izraz u odnosu na nominalu od 1.000). U koloni neto promena cene (Net Chg.) data je promene zaključne cene u odnosu na pret-hodni dan. U slučaju Bond 1 nije bilo promene u ceni, dok se cena Bond 2 povećala 0,88 % od 1.000 = 8,8 $ po svakoj obveznici u odnosu na prethodni dan.

Slika 3.11. Primer kotacije korporativnih obveznica sa NYSE

Kod kratkoročne obveznice Bond 1, tekući prinos iznosi 5,5 % i nepouzdana je mera kamatne stope jer je prinos do dospeća 3,68 %. Nasuprot tome, kod obveznica Bond 2 sa rokom dospeća 30 godina, tekući prinos i prinos do dospeća su potpuno isti (8,40 %).

Documents

1846