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1980, - Takeuchi - Sucesiones Y Series II
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':,,
Todos Jos derechos reservados:
1980, EDITORIAL LIMUSA, S.A. Balderas 95 , Primer piso, Mxico 1, D.F. Miembro de Ja Cmara Nacional de Ja Industria Editorial. Registro Nm. 121
Primera edicin: 1976 Primera reirn presin: 1980
Impreso en Mxico (334 7)
ISBN 968 - 18 - 0681 - 6
.1u--~
5,f\ .. . . "Ir:", . ,. . ~ .. :4_ t s '
~ lf: t8 iJ,L/il/q9 4!11- 1NJ
SERIES TOMO 11
YU TAKEUCHI
Profesor Titular de la Universidad Nacional de
Colombia
'l' t ~ EDITORIAL LIMUSA
MEXICO
PROLOGO
Este libro no es un cexto de estudio . Est dirigido a
personas interesadas en aprender a manejar y dominar sucesiones y s.rties .
Un buen conocimiento y mane ;o de las sucesiones y 1 as senes es indispensable para quu:n aspire a escudiar y pro fu!}
C O \:TE\JIDO
To m o 1 1
Capitu10 l\' Pl\.OOL'CTO IN FlNITO
2'i ProJucco 111fi111co 2(> C\lndic1ri11 de C,iuchv
Ej erci c1us .1diuo11alcs c,1ptulo \ ' Sl 'CESIO:'>i DE Fl''.'JCIONFS
, _ Limite de un,1 ..;uccs1(,n Je unc1011es -, 2!~ ( on,-crgc11ua u111 forme
~) \lgu11,1s prop1cd,1de" de l.1 converge11C1,1 ulllformc ::,o CundCI
E] EMPL O 56
p n
00 1 lll+--y!. n = 1 n +
( 1 + i )( 1 + f > ( 1 + ~ )( 1 )" '4-.. 5 2/~
n _._ 2 yl = n ~2.
1 + n:;:-T)
Como ? lP 1 = l n .~ - ! -. + oo ( n-oo ) , entonces el producto diverge a
n -
+ 00 "" 1 l (1 + --)
n=l n + 1 + 00
E] EM PL O 57
p n
n n=l
l 1-_J_I n + 1
( 1. i)(l ..l..; ( 1 __ 1_) :: 3
J_ ,Z ,% / ,J /
n .~ 1
. .L.. ~ _1_ O ( n ~ > , n + 1 n + 1
en ton ces el producto diverge a cero (no se puede decir /el produc-to converge a cero ! )
[J ( J _J__) .e O , n = l n -1 ll
NOTA En el caso del producto :
(J.-1- ), n '" 1 n
el primer factor es O. luego P n ~ O p ara todo n. Para evitar el re-sultado trivial lP n ! = l O, O, O, , O, 1 consideramos el prQ dueto a partir del segundo factor eliminando el factor nulo , as se obtiene el producto infinito del ejemplo '17 EfEMPLO 58
Sea
p n
(1
222
"" 11 1 n = 1
..l. )( 1 -S-> 2- 3
. . ') ' (n .._ 1 r
( 1 --'--- ) ( 11 - 1 r
u --4-;u - J....J 2 3
1 ,z' ,}'~
n+2 n .._ 1 2
1 1 ( I 1 ( 1 ~) ( 1 + ~) l +-3 ) ( 1 +---.. ) n+1 n+i
,Ji J.. ~ -;;;J 2 "'.
n+2
0 2 ( n - "")
entonces, el producto ininito 1 converge T o se a
n 1. 1 2 1 n=I (n + l)
Observacin
1 2
El producto 00 1 00 1 l (1 +--) diverge a + oo y e{ produc to n ( 1 -- ) 1 n +l 1 n+ l
diverge a O , y el p roducto de los dos p roductos divergentes :
00 1 00 _l_ 00 1 n r1 +--.J x n u . 1J = n r 1- 2 J 1 n+l 1 n+ 1 (n+l)
converge en el ejemplo 58, caso similar a l a serie infinita l a suma de dos series divergentes puede converger, por ejemplo
00 1 =l+-1-+J_+ ~
1 2 n I 3 5
00 1 = .l.. .J..._1 __
' .... --1 2n 2 4 6
y ~ 00 _I_. _1_ ] 1 2n 1 2 n
1 1 1 1 --+-:.-+ 2 3 4
EJEMPLO 59
Sea 00 l ((. I) n + -L] n= 1 n + 1
p n "" r .J...r....J(. !...J(i.. Jr. l. J 2 3 4 5 6 (n + 2 ) n + 1
{ (-1 )~.l.. si n es im p ar
= + OQ '
00
log 2
( . n ) n+I
t ( -1 ) n/2 : .._ 2 2(n + 1) si n es p ar.
223
entonces
lim P ll
-1... 2
y el producto in finito diverge,
F.fER C ICIO 159
L 2 lim P -- ll
Investigar l a convergencia o d i vergencia del p roducto infinito
,,.,~3-11 11 , 3 n=- n + 1
Sol uciu
ll 3 1 ( n 1)( 11 2 + n + 1)
(n+l)J +l 2 2 ( n + 2) ! ( n + 1 ) - ( n + 1) + 1 ! = ( n + 2) ( n + n + 1 ) ,
s ea p n n+l k 3 -l --;-
k = 2 k ) -e n tone e s
p _7 2 ') ( 3 ( 2-1)(- c 2~ 1) (3 . 1)(3 d+l) (n-l!(n---n+l) X n+l) " J
X ~ )( ,. X 2 ) 9 ( 2 +2!( ~-.- 2+2) (n+li[(n-li +(rz- 1)+1 (n+2i(11---n+li ll
l 2 3 !(n- 1J 3 1 ! 9 n ( n - 1)( n - 2)
1J se a,
2 3
(n ~oo)
3 l J ,, fl 3 1 1 el producto converge a 11=2 n
E] ER CJCIO 160
2 3
Hallar el p roducto p arcial e in vestigar l a convergencia o diverg encia
del producto infinito :
"" I1 11 =o
\'1Jl u ci11 Sea p 11
zn X x i
. 1 (1 -
11. 1 2k l ( l + x) k=o
en tonces , por inducci n se tiene :
224
< 1
'iiii.......__
p 2 + X-'- X +. + p n.1) ' (3) = 1 n
En realidad:
(A) P= l+ x.
(B) Suponemos v lida la reiacin (3), entonces
pn+ l p X ( J + Xzll ) ll
J ( 1 + X+ X- +- + x2 n. 1 )(1 - x 2" )
2n. 1 211 r:zn+lj l+X+- .L-X .._ X +:( -+-
De ( 3) se tiene
7 n+ l + X: - 1)
lim p n-+00 n
"'00 x1l ()
----.
J X l 1 el pro ducto converge a --
J X
2 6 Condicin de Cauchy
Dado un producto infinito l a , aplicando la condicin de Cauchy a 1 n n
!a sucesin 1 l k ! , junto con la exigencia de que el lmite sea di/e -k=l
rente de cero en caso de convergencia , obtenemos el s iguiente teorema :
1 TEOREMA 21
. El producto infinito .,,,
f1 aTI converge si y slo SI , n=l
dado f > O existe ,\/ tal que n );. .\/ implica
! n+ 1 x n+2 x ' ' ' x n+q 1 ' < ( para todo p = 1, 2, 3, (4)
La condicin ( 4) se llama Condicin de Cauchy para el producto infinito.
Demos traci n ( i) Suponganw s que
00
11 a n = I n
p ( P -i O ) , o se a
225
lim n__,
p n
lim n-.oo
n
n k k=l p
Como P f. O , dado e > O existe N tal que
n > N implica n
\ ~ k - P \ < mnimo de 1~ .El 1 k-1 4 2
' .
Entonces si n ;;:. N tenemos para todo q:
1 n+q r= 1 k n 1 n+q 1 1 n 1 n J?. < 1 n k - P + n k - P O , k= 1 ' 2 2 n
dividiendo la desigualdad (5) por \ Il k \ ( f. O ) se tiene k= 1
n+q n k 1 k= 1 --n
.:;: ( IPL / nn k 1 < .!.EL/IPI 27 ' 1 ' 2-2 o sea
n k k=l
1 n+q 1 Il_ k - 1 < ( k-n+l (i) Ahora, supongamos la condicin (4), entonces :
laN+lxN+2 x x aN+q \ < l+f para todo q,
( .
(5)
esto es, la sucesin 1 ln k 1 es acotada #JisJ1.a.. , o sea que existe k= 1
una constante M ( > O) tal que n
1 Il k 1 ,.::; M k=1 para todo n.
n En la desigualdad (4), multiplicando por \ Il k ! se tiene:
1 . . . . . . .
#Nota Basta escoger una cota M como sigue:
n ~ M =Mximo l ! l 1 ak '. ,n=1,2, N, :n 1 ak '. (l_._fl l.
226
1 [ 1{ ak] x and " k" 1
n n x a q- l ak\
sn = log pn = (log 1> + (/og 2) +. + (log n)
es la suma parcial de la serie
" (/og a ) n= 1 n
Se ve irunediacamente que P _. P "' O si y slo si n lo g P n = S n -+ lo g P (n .... "" ) ,
(6)
o sea que la serie ( 6) converge si y slo si el producto infinico l ~ n con verge . Se puede ver porqu hemos excluido el lmite O en caso de la CO.!!. vergencia del producto , ya que si P n .... O entonces la serie ( 6) di-verge ( log O NO EXISTE. ) Aplicando la condicin de Cau_ '.'v a la serie (A) se ciene :
n+q i r log k ! < ( k=n+l
(para n ;;;. N , para todo q > O )
o ! log l an+l x x n+q l 1 < f,
Enconces
ef < n+I X X n+ q < e(
Para 1 pequeo , tenemos la siguience frmula de aproximacin
e( =. 1 + f , e"( = 1 f ,
por lo canco se tiene :
1 f < n+ l x x n+q < l ... f ,
o sea
1n+1 x x n-..q - 1 \ < f (Condicin (4 ) ) .
EJEMPLO 60
En el eiemplo 57 , hemos visto que el producto
ge a cero. Observemos la serie:
228
""
""' -1 log ( 1 ..J..- n .._ 1
n 1
1 . -1.., ) d " 11 - 1 1ver
De> la desigualdad conocida :!:!.2.l!!. : fog(lx ) ' X (O < x < l )
se tieue :
' 1 - log ( I -- ) 11 = 1 11 ... 1
< ~"" _ _L. 11 =1 11 ... 1
-r"" __l_ n= J 11+ 1
U JROI . AR/O
"" Si el producto n n 1 converge cnconces
lim n --+OU
a,, = 1
Demostracin
En l a condicin (4), tomemo s q = 1
n+l - 1 < f
= 00
(7)
Fvidencemente , lim n = 1 es la condicin necesaria para la conver /1-+0C
gencia del producco ( Ejemplos 56, 57 ) . F:n el caso de la serie ~00 a11 la n = I
condicin correspondience fue
lim n = O, /l->00 ( Condicin necesaria para}_ a conv er )
gencia de l a serie ~ a n= l n
De la condicin (7) , es conveniente escribir los factores del producto n ( n = l , 2, 3. ) en la forma
n = 1 +un ( n=l,2,3, ),
as , nuestro producto infinito se expresa como : 00
11 ( 1 + un ) n=l
(8)
. . . . . . . . . . . . . . .
11 Nota
log ( 1 x) = x .2 . x3 2 3. < X, 229
y la condicin necesaria para la convergencia del producto infinito (8) es ,
~~un =O, (9)
C-Onvergencia absoluta
Dado un producto infinito (8) , si el producto
l00 ( 1 + \un l J n = 1
converge entonces se dice que el producto (8) converge absolutamente , y tenemos el siguiente teorema :
TEOREMA 22 La convergencia absoluta implica la convergencia del producto infinito
Demostracin
De la s iguiente desigualdad :~ 1 ( 1 + u 1)(1 + u 2) ( 1 't' u ) - 1 1
n+ n+ n+q
..S: (1 + jun+l \ )(1 + \un+2i> '' (1 + lnn+q\> - 1' ( 11)
l a condicin de Cauchy para el producto ( 10), implica la condicin de Ca!!. ch y p ara el producto (8)
Nota \U + A 1)( 1 + A2 ) ... (1 + Aq) - 1
= \(A 1 + A 2 + ... + Ac( .,_rA 1 A2 +A1 A 3 + l + .. + (A1 A2 ... Aq)\
~[\ A 1 + \A 2\ + .. + JAq\ l +l! A \\A 2\ + ... l + .. +[\A 1A 2\ ... \Aq\ ]
= ( 1 +JA1J>U + IA,2\ > ... (1 +\ Aq\> - l. Observacin
La serie 2. n converge si converge la serie 2. 1 n \ , mientras que el producto TI ( 1 + un 1 converge si converge el producto l ( l + \un\) 230
C-Orrespondiente a la serie de trminos positivos , 2 a , a ~ O , con-n n
sideremos el producto de la forma rr ( 1 + un) , un ~ o ' sea p n el produf_ co parcial :
n pn fl (1 +uk) = (J +uJ) X .. x (l +u) k= 1 n
entonces n+ 1 p n+ 1 = ~ = 1 ( 1 + u k) '"' (1 + u 1) .. (1 + un)( 1 + un+ 1)
= p n' ( 1 + un+l) Como un ') O para todo n , entonces l + un+ 1 ). 1 , o sea
P n+l ) P n ( para todo n ) ,
esco es , la sucesin !P n ! es creciente , entonces C '~ 0 ,emos el siguiente r~ sultado:
El producto infinito l 00 U+u) n=1 n
(un .O) COn ';erge1 diverge a +oo.
TEOREMA 23
El producto infinito n: ( 1 + un>, un ~ O para todo n, converge n-1
si y slo si la serie 2 00 u converge . n= 1 n
Demostracin
Sean sn = UJ +uz+ ... +un. pn = (l+u1>U+u2J ... (l+un)
de ta desigualdad:
sn = u 1+u 2 + ... +un~ (l+u 1J(l+u 2 J U+un) = Pn
se tiene que la convergencia del producto infinito implica la convergenda de ta serie. Por otra parte , tenemos la desigualdad : 11l:iJllp.
entonces
p n
( 1 + uk) ~ euk
(l+u 1 JU+u2) ... (l+un) ~
(uk ~ O )
u1 e
u2 un e , , , e
UJ + u2+,. +U,, e
s en
231
por lo tanto, la convergencia de la serie implica la acotacin de !P nl, o sea que el producto infinito converge'
:t ,'iota Si x ;:. O se tiene:
2 3 ex =l+x+....!...+.2'..... +
J 1 ' I - ) .
EJEMPLO 61
00 1 w n r 1 + -;;::rJ n = 1 n +
diverge ya que
j- 1 + X'
..,.oo_L -1 n + 1 + OQ.
( ) n e 1 - 1 Jl n = 1 ( n + 1)-
converge absolutamente ya que
ge 3
00 1 l con ver 1 (n+l) -
(i ii) 11 ~ n =2 n3 +l
""' 2 n ! 1 -~ ! converge absolutamente ya que n=2 n + 1
la serie 00 ?
..,. _...::--
2 nJ + 1 converge
i v) n "' ( 1 + ~) ' \x\ converge absolutamente ya que la serie n = I
~:'IO ' xn 1 = -
""
'l. X ! < 1 x in con ver ge si
EJEMPLO 62 Sean !an! Y lhnl dos sucesiones tales que
n b
= 1 + _!!_ '
lim bn = b > o ' n+l n n->oo
demostrar que lim a n =o. n->""
Solucin
Como lim bn = b > o' existe m tal que n->00
bk > o para todo k ~ m
Tenemos
232
........___
11 k
11 h il-~I h 1 h J b 11-~\ll - ~1 ... !1+~1 1 111. k
/ '
0 111- 1 a ,
m . ....:
111 1 111 - 2
a 111 '-JI
111-11. I
111+1
m"-11+1
m --i-11
a serie ,- Jl/f< -. \' O ' /LH' la serie dir '
entonces
u11 = (1, i ex/11 ll 1
pero , de la desigualdad ,.~.!::i..JiJ.JI L o t 2 1-(l + t!e 't
se lene que 2 X
( si / 1 )
u . --n , . 2 (para 11 mayor que xi ) . 11
Enm11ces l a serie s: 1 11 11 converge.
;f l:!!J.I..J. J_ \'ea j (t) ' 1-(l./)et e11/onces / (0) = O , j' ( ) = t eI
,, 10 r 111 11imo de /( ti es igual a c ero, o sea que f ( t! } O 1ara todo
) t \ ea g(t) - ,- I 1 ( 1 ti e i e11to11ces g(O) O,g(IJ ~ O,
g'(t) ' 2t te" 1 ~ t(2. e" 1 ),
por lo tanto, se tiene que g(t) /' O ;,i 1 / -1
'~ SOT.\ 2 ; 1ili=a11do el smbolo O te11emos
_\',}} 1 X ()( i.:,,2) (' 1/
- 2:. ) e Yi ;J ( 1 .!.Jil-~ 01..J, ( 1 11 11 IJ 11
_()(~) 11
? O) ( s-
Sea P n
entonces
el producto parcial :
Pn ~ U- u 1Hl - u 2 ; 11 - u ) 11
P,,_.. l ~ ( 1- 11 1! . ( J-1111 )( 1 -un+ l ) = Pn (l -11n+ li -:c pn
o sea que la sucesin ' P ! 1 11 es J ecrecience, e inferiormc>nce acocada por
O , luego cx1sce el 1 mice:
l im P 11 ~ p . ]J-.. cx.
FI l mitc P puede ser cero , enconccs cenemos el s iguience resulcado :
\ El producto J I r 1 - /1 ) 1
11 1 11
vergc , ) Ji n:r gc .i e ero L . --
T l'
ii! a < 1
lim n->OO
n n (J.a+l) k= 1 k
0"(1.a+I) k= 1 k
entonces la serie diverge.
ii i) a = 1
n (. 1 11 la serie ~ n ~(-i!fl
f:] E RC/ CIO 166 Veriicar la sigui ente identidad:
(1-...:;_)(l-.L) 1 2
( 1 ...LJ n
+oo'
diverge.
1 x . ~- xPara todo k natural ( k -:;:, n) se tiene :
_(.l)n ~x-1),.(xn-li JJ !
j(k) = . k - k(k-1! 2 !
k(k 1Hk 2) - ... - ( . l)k k(k 1) 1 3 ! k !
1 ---(~) (.1) +eJ (.1)2 -e) (.1)3 -(;') (.l)k = ( 1 1 k = o (desarrollo binomial) ,
entonces S! ti en e
f ( x! = O ( 1 -:!..) ( 1 : ..:;_ ) . . ( 1 . I 2
X \ -1
11
donde O es una constante. Reemplazando x = O tenemos :
~38
f (0) I = O ,
por lo tanto , obtenemos la identidad deseada
Evidentemente el producto
n"" ( 1 ~) (X ) 0) k= 1 k
dfoerge a cero ya que ' X -; +oo,
Por otra parte tenemos:
( l)k . x( X 1) , , . (X k + 1) k !
( 1) k (X 1) (X 2) . , . ( X k - 1) (k. 1) '
(.1;k+ 1(x li(x- 2) .. (xk. :Jl x-k) k !
2)
entonces :
1 ~ " (. l)k X (X 1) ., , (X k + 1) k= 1 k !
1 x- ~"" (-l)k(x- li ... xk-1) _ (.l)k+l(x J) (xk) k = 2' ( k. 1) .' k !
1 . 1. rk-l(.J) x- lxn- l1 m x .. . ( x-k) o ( X ' 0 ) ,
k~oc k .'
'J sea que la serie converge a cero.
Si x < O , el producto ininito diverge a - oo, y la serie tambin diver
ge a - oo .
Dei teorema 2'.!, y 24, es fcil ver la convergencia o divergencia de un
producto iofinico de la forma :
"" n U-uJ n=l n
comparndolo con la serie ser generalizado .
' "n
"" n u. u ; n = 1 11
( con u ' O n ,..
( u 11 ,;: O) , pero este mtodo NO puede
239
E] F..\IPLO 64 Sea
P2,, ln
11 .k ~ 1
ll ( I _ ( 1111 1 n= I -,-1-- )
u r. vk 1 . ;;:- )
1 1 1 1 ( 1 .'- 1)( J t--;- ) 11 - -') -1)(1 - ){ 1 ---;- ) ' -n 2 ..;.
(J .-1- ) 211
2 .. (>
.'n ton ces
Tambi:n
l im '1"""
, _ -_n_
-- .. ..
ln 1 ) ..
! im p 2n J " ........
p.... 1 -1.' l
l im 11 ,:"lt,,;
p ( 1 11
] ll -
211
1 ~,--! -11 - 1
por lo tanto, C! producto infinito CONVERGE a 1.
F]E.\11'1.0 6 5
Sea 11"' 11 1.111 1 11=1 - .. ..;:;- ).
11. ~(J _ _ ;_ ) 12i, ..;-:-
__ / _ ) _j__ J( 1 -.2k"' l ( 1 -{ 2k - 1
ento11ces tenemos
. 211 .. 1 1. l)k 1 11 1 11 11 . - 1 = n r 1. - Jr 1 _--1- 1 k= 2 -{k f= l -{2j -/2 .. 1
J . 2k - 1 '
.,
TI J n r 1 - - > - o r 11-"J =I 2 ... 1
. 1 y a tue ~-,-.- - - - ~.por /o tanto e l productn i 11i11.ito DIVERGE acero. -! . 1
En los ejemplos 64 y 65 , las dos series 240
"i_" (.Jnl n= 1 n
"i_" .J=J!nl n = 1 ..
convergen condicionalmenre, sin embargo el producco del ejemJio 64 conve1 ge y el producco del ejemplo 65 diverge . (Ver los ejercicios adicionales 171 , 172 y 17~)
EJ ER CIC/O 167
:n vestigar l a convergen cia o divergencia d e
n 00 l 1 (. 1) n 1 n= 2 n 1.
Sugerencia
I', =_!_ -n 2
_1_ 2
p 2n+l
2n -+ -p x ---- 2 2n 2n 1-l
EJERCICIO 168
Investigar la convergencia o divergencia de
Sugerencia
_l_ )( 1 r I . {2k":J
n 00 l 1 (. vn 1 n=2 -i/ n 1.
1- .Y2k ... 2
(1 ._~ )(1 -~ ) 12k .._1 y2k +l
1 2k + 1
241
EJERCICIOS ADICIONALES (Producto infinito)
EJERCICIO 169
"" Sea ~ _ 1 n n-
n
una serie convergente a S ( S f O), si la s-t1P
cial s = ~ k n k=l
e s diferente de cero para todo n, demostrar que
"" [ n ] l 1 _._ _ a 1 S n = 2 n-1
converge a S
Solucin n k n sk-1 + k Pn=a 1 n [1 +-] = 1 n
.k=2 sk.J k=2 sk-1
s s n sk 1 l -- = 1 _!!.. = 1_!!_ = s
k=2 sk-l S1 n 1
entonces se It.TJe :
Pn ~ S (n-+oo),
EJERCICIO ro
H al/ ar ei producto total de
"" CiJ n 2 [1 + 7' 1. 2 J ( ii)
00 1 n [1+--r-:L
2 " 1
Solucin (Aplicar ei e;ercicio 169 .)
(i) Sea n = z-n entonces
n l k s = ~ Z" =
n- l k= 1
luego :
2
242
1 . "? 2". 2 2"
-- rr 11+--! 2 2 2"-2
"" ( 1/2") 1 1 '
o sea
(ii) Sea
entonces
5n-1
lue go
o sea:
00 1 n 11+--! 2 2". 2 2
1 n = n(n+ 1)
n-1 2. k=l k(k+l)
n l 1 1 !--! k=l k k+l
1 n
1 "" J/n(n+l) . 1 oo 1 - n 11 + = - n 1 1+~1 2 2 ( n 1) / n 2 2 n 1
"" 1 - - l 1 n (n + 1 -
l 00 1 +~ ! = 2 2 n 1
EJERCICIO 17 1
=.!!...:....!__ n
Sea 2.00 (a J2 una serie convergente, demostrar que el producw in n= 1 n
finito : 00
rr ll+a! n= 1 n
00 converge si "" a
n= 1 n converge, diverge a + oo . " a
si ;= 1 n diverge a+"" y 00
diverge a cero si ~ a diverge a oo n=l n
Solucin
Para mayor senci//ez suponemos que lan l < 1 para todo n. E l ,,_ . id d . . Nota n a ueszgua a sigui ente: -
O < u lo g ( 1 + u ) < -t u 2 ( si u > O )
reemplazando u
< ...:.. __ u_ ( si 1 < u < O ) , 2 1 +u
m+l' m+2 ' sucesivamente se obtiene:
243
O < (a 1 +a 2 + ... +a q)-log )(1 ... a 1 )(1.._a _i (l+a JI m+ m+ m+ m+ m+Z m+q
1 2 2 2v < ? [ (am+1 1 + (am+2) + + (am+q) ] ,\
donde ,\ ln/I I, L . k, k = 1,2, 3, l .
O sea
o < 2. q a k - log llq ( 1 + a +k J k=I m+ k=I m
1 n..
,q 7 - (a J-k = 1 m+k
Como la serie ~ ( n J2 co 11 erg e, dado -.., O existe m tal que
de (13):
o <
00
~ k=I
( a . ;2 m~.;;:
2 ,\(
q q l a +k lag l ( I ~ a k ) ,-k = I m k=l m+
(para todo q)
( 13)
De acuerdo con l a condicin de Cauchv, el producto infinito converge si y slo si la serie ~ n converge. El producto diverge a l a s erie diverge a+"" ( """ resp r> ctivamente. i
Nota
) u > O. Sea - 1 2 j {u) - 2u u ~log(l+u)
entonces j(O) = O , f' (u) = u 2 / (1 + u) > O ,
por lo tanto, se tiene que /(u) > O.
ii) u < O. Sea 2 g (u) = -t -u- u + log ( 1 + u) ,
1 + u
entonces 2 2
u / 2( 1 + u) < O g (0) = o g (u)
porlotanto setieneque g (uJ > O si u < O. 244
+oo f O) si
De este ejercicio se ve inmediatamente que los productos
rr00 ri r-1>n-1 n= 1 + -n- )
rr ( 1 (. 1 )n 1 n=2 -n-- )
"" [ (. I)n 1]2 1 . ( l)n l ( I)n-1 convergen ya que .:.. n converge y as senes 2. :. _. __ n , n
convergen condicionalmente .
EJE RCICIO 172
'>e a :S n convergente condicionalmente, si ~ (an) 2 diverge a +oo, 00
demostrar que e/producto l (1 + a) diverge a CERO. n=l n
So/ucin Utilicemos la desigualdad :
2 1 u u lag ( I +u) > 21-;-;;- ( si u > o )
> J.. 2 2 u ( si O > u ', 1 )
entonces tenemos:
(am+i+ +m+q) - log[(l+am+li ( l+am+q )]
1 2 '> 7 l(am+l) + ( a )2 i / m+q l L 4-
ao nde L Sup 1 l , 1 + n , n 1, 2. 3 .. l .
o sea :
"'q nq 1 "'q 2 - a k-log (1 +a +k) > - _ (a ) .... oo (q-.oo). k=l m+ k=l m 2L k=l m-"-q
Entonces : q
log l ( 1 + a +k ) ... oo k=l m
( q ... 00) '
o sea que el producto infinito diverge a cero.
De este e1erc1c10 , se ve que los productos
245
00
l (1 + (.l)nl oo ...;; ) y n ( 1 - (. 1) n 1 .. .;; )
divergen a cero.
~OTA Para obtener el resulcado del ejercicio 172 basca suponer que
- n lim ~ k .. +oo , k= 1
""(a )2 n= 1 n
... 00.
EJ ERCJCIO 17 3
Sea 2. n convergente condiciona/mente, demostrar que ei producl-0
l ( 1 + n) converge , o diverge a cero de acuerdo con i a convergencia o divergencia de la serie Sugerencia
(a )2 n
Ejercicio 17 1 y ejercicio 17 2.
EJERCICIO 174 In ves ligar /a convergencia o divergencia de Jos sigui entes produc ws:
(i) 1 1 1 I 1 1 (1 +-7!(1 +3)(1.-; )(1 +-y)(I +-;!U 7) X. ( ii) ( 1 ~ )( 1 -+ )( 1 + -+ )( 1 -+ )( 1 -t )( 1 + f ) x (i;i)
00
n k= 1
Soiucin
+ (.1J'l _I 2
Dei ejercicio 171, el producto en (i) diveYge a +oo, y el producto en (ii) diverge a cero. El producto en (iii) diverge a cero de acuerdo con el ejercicio 172
so 1 uci n di recta (i) (1 + __ 1 - )(1 + _1_ )( 1 _1_ )
3n-1 3n 3n+l 1 1 1 l
l 1 + 3 n "'9,;2':'l 3n(9n 2 1)
1 + n
246
t
donde a = I n -
3n
Evidentemente :
l n
9 n2
.._, / _I_ + - \ 3n
""
3n(9n2 - 1) > o para todo n
o(-1..,)) = + oo n-
71/onces el producto l ( 1 n ) diverge a +oo, o sea que el producto en ( i) diverge a + oo.
(ii) I r 1 _z_ J( 1 _1 !( z + _z - J 3n-1 3n 3n+l
+--3 n(9nz - 1) 3n 9 n2
h n
donde
bn 1 --"l __ 3-;; + 9 11 2 3 n(9n2 . > O para todo n
Como la serie l bn diverge a +oo, entonces el producto n"" ( 1 bn) di verge a cero , o sea que el producto en Ui) diverge a cero
Otra so lucin
( i) r1 +J.H1 .._J..u._1_1
E/ ERC/C/O 17 5
Investigar la co11vergencia o divergencia del producto:
oo X fl cos-n= l zn
y h allar su producto total en c aso de convergencia.
Solucin
i ) cos ( x / 2n ) - 1 2 s en 2 rx / 2'1...J J (n -= 1, 2, 3, ) .
" 1 X J "" 1 2 X
n=l sen 2'1+1 ' ,. -;x / 211+1 ;2 : :..: Jxj-:::: ~ ..... "'oO ,
n = l 11 =1 -+
entonces el producto infinito converge absolutamente para todo x. n
"' ttl 11 k=l
p n
X cos-~
X X COS] COS- ., ...
X "< cos ji
= )11" 1 [ co s ___ - 2n ...
X cos-- _,... ... ...
'}ti (211.J)x]
cos 211
2n I 1 ( 2k J ) X = - 1 1 2 sen x ' = zn 1 1=1 cos
s en x ( x i 2n) se11 x x s en (x i 2'1) X
:f .'lo ta 11 X -,n I
- -- ' l cos k=l ~ - 2n l k = 1 cos
Para n = 1 , ( 14) e s evidente
s en
In - "" )
( 2k 1) X zn
Suponemos vlida la frmula ( 14) , entonces
n+l X 1 2n-1
X
2'1
X
:; N ola
( 2k 1) X n cos-- = --' cos zn+l cos X k=l 2k zn-1 1= 1 :!'1
1 2n-l ( 4k - 1) X ( 4-k J) X ___ , ~ ( cos + cos 2n+l 1 - in l R.= 1 on+ 1 248
( 14)
A:,__
=-1-2'1
EJERCICIO 176
Sea 2n-1
""
2'1 (2h-l)x "' h~l
cos-----zn+ i
_-_1_ { 2n
_1 1 + -1 n'
Demostrar que 11 U+a n= 2 n
converge a pesar de que la serie a di n
uerge
Solucin
2n- l + 2n
entonces
," - (a n=l 2n-1 - a 7 ) -n
por lo tanto , la serie ' a ll
Ahora , 2N l / 1 "'" n ) n= -
.'I 11 (1 n= 2
,'I 11 ( 1 n= 2
1 1 l --+ - .... --y;; ..; . n n '
00
' n = l _1
n ..... 00 ,
diverge a - 00
N 11 - 2 ( 1 + a 2n. 1 )( 1 + a 2n ) n-
{ ) (1 + -1- ' 1 { - n- ) --~)
,, -11
"" 00 1
11tonces el producto infinito 11 ( 1 a ) n l 1 1 --;;--:;- ) 2 n '' - converge ya que la s erie
EJ ERCICIO
Sean
"'-1-;, - .1, -
n
177
2 converge
a1 = O 211 1 = 1 ' 1 l l r (n / 1). 2n = -=- + n +- (n ~ 1),
yn .Yn nf "" demostrar que el producto n ( 1
11 = 1 n) converge a pesar de que las S.!;.
r res ' - a n
y :::: l an! 2 divergen.
Solucin 2N .'I '
a = :::: ( a1 1 - a7 ) ;=3 n n = 2 -n -n 249
N 1 - 1-! ~=21 n + nf + oo (n-oo) , 2N )2 2. (an N 1 1 1 1 2 2: In- + r - + n _.. __ J
n= 2 .;; nYn (11-oc), n= 3 Por otra parte:
2N N n (1 +a ) n= 1 n
4 ~= 2 ( 1 + 2n-l )(I + 2n)
N 1 1 1 1 4 l (1--UI+-+-+--> n=2 ln f n nV
N 1 =4 n r1-~>
n=2 2 (N + 1)
N 2 (N-oo),
Tambin: 2N+l 2N (1 -- -- ) - -1 ., 11 ( 1 -'- n) ...;;-:-T
'! = 1 11 (l+a J n=l n
entonces el producto nnfinito CONVERGE a 2 .
EJERCICIO 178
Sean
(N-oo),
1 2n = ;; 2n+l v;:-f+ (n:,. 1) , a 1 = O.
Demostrar que el producto
las dos series 2:. (. l)k k n"" 1 + (.l)k k 1 converge a pesar de que k=l y -::: (akJ 2 divergen.
Solucin
i) ( 1 -'- 2n )(1. 2n+l) (1 + _1 )(1 { 1 ' yn + 2 +
1 +-- -
,r:;- ' 1 - ,--.., ,,. yn+2+l ....;'nlyn+2+ll
,--,- / \'TI_.. i - \(n
1 ... - ~ ynlyn++l
250
~":".::.. .~",
( 1 /2) 1 + ,---,- --- -
..;; 1 yn + 2 + 1 !! Vn + 2 + yn ! 1 + O( 1/n3/ 2 )
entonces el producto infinito
rr00 (1 + 2n )(l. 2n+l ) n=l
converge, como lim a = O n-oo n
se ti ene que el producto infinito
1100 11 + (.l)n ni n= 1
converge.
ii) La divergencia de la serie ::S ( anJ 2 es evidente. 1
iii) 2n 2n+l = _). - ---,-vn vn+2+
v ;;--:-f - /;; + 1 y';; 1 ....;';-:-f + 1 1
(1 / 2) yn 1 J n + + 11 + - -- .__,,..
....;'n!Jn++ l!ly1n+i+v'nl
V-;;! y'n + + 1 1 + 0( 1/n3/2)
' + 00 ' / 3/2 y ... 0(1 u i converge, la pero como - ~ vnlvn~2+11 "
_;erie ::S (a2n 2 -d) diverge a +oo , o sea que n= 1 n
'>00
(. l)n a diver - n n=1
ge a - oo.
EJERCICIO 179
Sea 1 anl un a su ces in tal que
n ~ O , 1 + 2n+2
Demostrar que el producto
< < 2n+l 2n
+ 2n
00 k l l 1 ,,,. (.1) k 1 k=l ~ (.] )k k converge, y que la serie converge
(n= 1,2, ( 15)
converge si la serie
diverge a +"" si el
251
'
producto infinito converge,
Soiucin (i) Tenemos:
1 2n+2 2n z.._a > la 2n+2 2n+1 > 1 + 2n
o sea
+ a,., > I a,., > -n+2 ~n+l
- 2n ( 16)
Entonces:
P 2n ~ k . l 111 .._ (.l) k = p2n2 x (1. 2nl}(l-'- 2n) ', p2n-2 k=
esto es , la sucesin IP-. 1 l es decreciente y positiva, entonces existe el lmite:
Por otra parte,
:m p ~ -n
n -x:i c.
2n 1 k P,., 1 = l l 1 .._ (. 1! k l = ( 1 + a,., 2 )( 1 2 1 ) P2 3 > P2 3
-n k = I -n n n n ,
en!Dnces la sucesin I P2n-II es creciente, sea
l im P2n -1 = c ( 1 o ) n-oo
Si la serie ~ (. l)k k converge, entonces lim a = o. n-oo
n
l im P., -n n...oo
lim p2n-1 ( 1 + 2n ) l im P2n-l
o sea que
n...oo n...oo
n 'X) 11 + ( . vk k l = c = c' .. o . k=l
luego:
Ui! Supongamos ahora que el producto n 00 l 1 .._ (. l)k k i converge, se k= 1
tiene que
Sea s
entonces
S 2n+ 1 S 2n l
252
lim a n
n""'"
o.
n ~n (. l)k k k=l
2n+1 + 2n > 2n 2n+l > O (de ( 16)),
.'uego, la sucesin l Slnl es creciente, entonces
lim S 2n+l = d ( d puede ser + oo ) n-.oo
Pero como lim a n-.oo
2QI.i. ) e coz
2n
entonces:
2n
l + 2n
n = o,
lim s n
n-oo
- _1 --- Yn
.. +
se
=
tiene :
d
2n+l
,----.,.
y n + 2 +
2n+2
1 -'- 2n+2
por fo tanto se cumple la desigualdad ( 15)
',
'/n .._ 1 _ --., < v n -'-2 -1 __ 1 -(n + 1
...n T + 1
D., e jercicio 178 ei producto infinito n""' 1 + (-1 k k l converge. k=2
Po r otra parte
_1_ 2n 2n+l -;; ,-----V n + 2 +
..--.,.. ,,..
- ~ [ y n + 2 - y n + v n l \n-1.._1
> ,---, ---r" r---
y n-"- z ! v n + z - v n+ zl
mtonces
1 1
> ,,... . ' v n lv n+z+1l
1 n + z
"" ) ' fa, 2n+l ~= I -n +oo
E[ F:"RC!CIO 180 Sean
1 o . __ 1_
2n+l = Yn - 1 'n res tigar la convergencia o divergencia de:
2n __1 y; ,
25.3
() n"" 11+(-l}kak k=l
(ii) "" k ~ (. 1) k UiiJ ' demostrar
254
Solucin
Sea
Como
enton ces
p m
"" J r~1 t 1 1 -s) "' ns = ~= I pk
p dl / l 9 = n s m k=l\1-p k . = I - p S s J (p'S I - rp r . ...
S k k k - pk
m -' 1 0-!l ( . s -k= I \ 1 - pk
m 11 ( J ._ p S (p'S )2 k = 1 k k
"00 N - ( s N N 1 1 .. .. N = p ) (p" s ) 2
( S N p ) m m o 2
""'
"" N - N - ( .\J l N' ,\J ' , ' ..... m- 0 P p7 - p m r '
- m
o sea
""
' n= I pm .:..
ns
Pero tenemos evidentemente que
"" p m
";
m
.,..,
"' n=l
m ~ ( ,'/ I .'11,. .. . Nm=o P
N 1s " p m n=I ns m
entonces m 1 ""
"' ,. p ~ "'
-;;= l ns ,, m ~1 = 1 7 por lo /~lo se tiene :
"" lim p = ' m -;;" 1 -;;s m . ....o..:
_ ! _ ,,s
.. J
255
CAPITULO V
SIJCESION DE FUNCIONES
2 n L mite de una sucesin de funciones
Una famila concable ordenada de funciones 1 / 1 , donde l. // 11
es una func in definida en un dominio comn f) para codo /1 s e llama su cesin de funciones . Para cada punco x del dominio comn O , f,,(.>:J 1 es una sucesin de nmeros , luego podemos pensar en la convergencia o di vergencia de la sucesin numrica lf,/ x! 1. Si para TODO ' E D la su cesin numrica IJ) xi 1 converge. se dice que la sucesin de funcin ~ 1 converge pu11tuaimrnte ( converge ) en D . F.! lmite de 1/11 (.r:J 1 depende ev1dememence de cada punco X e D ' o s ea que el Jmice de lf,/x) 1 es una l'L' 'IUON de x, digamos / . / se llama FUNCION Lli\llTF. de la suces11n l;n 1 y se noca
/ = l im In (1) 1/->00
esto es
(x) = lim /11 ( x) p ara todo x E D 11-+00
EfEMPL O 66 ( Figura .. )
Sea { x E LO , l.. ] n l - nx si f,/xi X E lf . l ] . o SI l /n 1 es una suc esin de /u11ciones deinida en (O, 1 ] Por definicin,
f n (O) = ( 11 -0C j ,
Si E- (0 11 . existe N tal que I entonc es para todo n ) N X X, ,'I
s e ti eue que 1 l l uego / 11 ( x) = O .;;;. l.. J ,esto , . X ' y a que X JI N . n e s :
256
-
lim fn(x) ~ O , 11-+00
O sea que l a funcin lmite / e s:
l ~ /( x) = si X= 0 S i X f 0 , En la figura .f. 1 () , s e muestra cmo s e comporta la sucesin de / unciones i/11 ~ y fa s uc esin num rica l / 11 ( xJI p ara un xi O .
1 o X ---.l. 1 n ~
X ( i) 1 ii!
UG. .f. l
F. f f:l,f,P LO 67
Sea l . (0 = - X n 11 ' X R 1 = ( "" "") ffig .f.21.
i /11 j es una sucesin de U11cio11es dei11ida en R 1 ( ""' cxo ) , es e vidente :1ue
l im In( x! lim n -..... oc lJ .... C'
y
V
I
12 /3
..__f4
FIG. -12
/:'' 1:,11 /'[ _ () 68
Sea f,/ xi ~ x (I x n
/
X
ne. +J
X f: (0, 1 J l f"i g. .n). La grica de f11 se muestra Pn la f igura +3 " .'iota. De l a figura J.3 se ve que l /11 1 converge a O , en realidad:
fn(O! = O -+ O , si x-JO. fn(x) ~ x(l-xln O (11-oc) ya que O~ 1-x < 1, o
sea que para todo x ~ [O , 1 1 s e tiene
;; .'iota
de donde / 11( xi
lim f,/d = O n-oo
f~ ( x) ( 1 x n 1 l 1 ( n + 1 i x 1
tiene un mximo en x =--1-1 , y el v alor mximo es : n _._
! !- 1-! = - 1 - 1 n 11 ._ 1 n 1 _l_ n _ O (n_,,,,.,) -n+I
28 Convergencia uniforme Sea In una sucesin de flUlciones que converge a / en D , en
258
canees para cada x E D se ciene que fn(x) ~ j(x) , o sea, dado f > O exisce N cal que
n ;. N implica 1 fn(x) - /(x ) 1 < f . ( 2)
El nmero N depende evidencemence de y del punco dado x e D , por ejemplo () fn (x )
= r0 TI X en (0 .l ] ' n en [ J.. ' n
Si ! fn (x ) j < f entonces se tiene
-nx
.. o
1 - f X
( n -.oo ), ( Ejemplo 66)
esto es , el valor de n aumenta infinitamente cuando x se acerca al origen para que lfn (x )j setl menor que ! e
( ) fn(x) = ~ x X E R 1 = ( 00 00 ) . ( E j emplo 67 )
r ,, \ fn( x) I < f se tiene que 1 ' 1 n 1x < f .
n > ...l..!l f
es to e s , el v aio1 de n depende de x y de f .
( iii) / n ( x ) = x ( 1 x ) n O (n-+00 ) ( E;empfo 68 )
Sabemos que ei v alor mximo de \ fn(x) I en fO, ! ] es I l 1 n / (----,} =--ll --
n n_._; n+ l n+ < _]_
n + I
para f >. O dado si e scogemos n tal que --' -1 < ! entonces se tiene: n+
l n + l
I 1 _I_ n < ' jn(:d ! ~ n+1 l - n + 1 < f p ara todo x E [O, I]
O :;ea que existe n , independiente de x, para que \ fn( x) 1 sea menor que f , (Naturalmente, n depende de f , )
Como en el caso del e jemplo (iii) si exisce N, independience de
259
x ~ D ( que depende nicamente de f ) que sacisface la condicin (2) enton ces se dice que !fn ! converge uniformemence a f en D. La desigualdad-en (2) puede escribirse como:
j (x) - f < fn ( x) < j (x) ... f ,
esco es , la grfica de In (para rodo n ;, .\/ J debe escar en la franja compre!:! dida entre las gr ficas de / + ( y
/ - f En la figura -Vi se muescran los ejemplos ( i) , ( ii), v (iii) anceriormence cicados , en ( i) y l iii) una parce de
? r _,
FIG. 44
l-!-z"?~ Y//////
f{ () Q
!i) ( ii)
FIG. 45
(3)
i
/-f
o
(i ji)
la grafica de ln siempre sale uera de la franja subrayada aunque n sea
260
muv grande , en cambio en ( iii) la cocalidad de la grfica de f est con. , n
tenida en la franja subrayada si n es suficiencemence grande .
EJEMPLO 69 Sea fn(x) = nx(J. x)n en [O, l]. (Fig 46)
Si x = O , f n (O) = O - O ( n-oo) , si x ~ (0, l ] se tiene que
n ( 1 X J'I - O ! n..,oo)
ya que O ~ J X < Entonces:
fn(x) - O ( n-oo) para todo X E [O' 1 l. En la figura 46 e muestra l a grfica de fn , fn(x) ( :;; O) toma su ni
co mximo en x -- 1- , y ei valor mximo es '1 ! ~
! ( ___ 1 _ _ J = _ n_ 1 1 - _l _ n n n.,., n-1 n+I
f(x) =nx(lx)n, y n et
/~ (x) = n(l x)nl l-(n+ l)x~
f r_ l_) =...!!.- 11 - I n nri- l n+l ;-:1
- e (n-oo)
(
o X FIG. 46
/, (--11) n n +
! J __ 1_ n n ~ I ...... Como .., e (n-+oo). e cuando n-+oo entonces
Si f l siem pre existe l a p arte de la grfica de fn que est fuera de la franja subravada .''W ES U '.J/l'OR .\fE.
(l (: y < f Entonces la convergencia f n o
261
EJEMPLO 70 (FIG 47)
Sea fn(x) = e nx (0 , 00) en ,
evidentemente :
/ (x) = enx ~ o (n_,oo) para todo X > o. n
De la fi gura 47 s e v e inmediata-
mente que la con
ver genci a
In .... o .
no es unforme en (0, oo), en re a-lidad, si
' fn(x) i < , {l77X~77'V/HZ77759ZV/
se tiene o X X
enx < ' FIG. 47
o se a ,
- nx < log ,
entonc es:
n > fog E
X
Por lo tanto no e xiste n, independiente de x , tal que :fn(x) i s ea menor que para todo x > O, o sea que la convergencia fn _, O no es un /orm e en (0 , oo)
Si consideramos fn(x) = enx .... O en [ l, oo) , la convergencia es UN/ FORME ya que para < > O dado e scogemos .'J tal que
N > log < = log (1 / d ,
en/Onces para cualquier n ). N y para todo x ~ [l , oo) tenemos :
n :;:_ N > log f = -lag < X
< 1 ) ' ( ntese que X
262
~
o sea:
enx = fn(x) < (para tfJdfJ x E 1 t , "" ) J
Este ejempl.o nos ilustra sobre como la unifonniclacl ele la COflvcrgcn
Demostracin Dado ( > O existe N tai que
lfN( xJ /( x) 1 < d 3 para todo x ;;; D , (4)
Como N es continua en e , existe li t al que
:x - e 1 < n implica J, .. .( x) - f.v( c) 1 < d 3 . ( 5) P or lo t anto , s i x - e i> t en emos :
' j(x) - fd i = i j(x) - /N(x) + /N(x) - /N( c) + / N( c) - / (e) 1
~ :,KxJ- fN(x) \ -'- !f N(xJ-fN(c) 1 + "l cJ - j( cJ 1 ---,--- _________.. ---..-----
< ~ + ...!.. + ...!..= i
/\ /\ /\ d 3 (de ( 4)) d3( de 15)) t I 3 (de ( 4))
\lcese que el teorema 2 'i puede expresarse como
/im lim fn l x) x-c~
lim lim fn(x) n~oo~
3 3 3
j (x) f /cJ lcontinuidadde /n i rconvergencia J luniforme .d~ l a suceston
o sea que los dos i mites : l im y l im son intercambiables . n-oo x~c
7 1 EJEMPLO
1 il f,/ xi 1 nx en ro,J. 1 n
fn(x) = O en r.1., O] n
(Ejemplo 66 )
! ,, - / dr,,,d" f fx) e O si x -F O, /(0) = 1 ,\JO ES UNIFORME en [O,l]
ya '(Ue la /u11ci'" lmite f es discontinua en O a pesar de que In es CO.!!. tinua "'' () para ''"ifJ " . 11
\i
264
/ ( :x) = "
\xi >
2" X t x2n
''n/fJ1Jc e .\
X ~ R 1 = ( ."", ""). (FIG 48) 2n
X
1 ' x2n x 2n _ l
Si \xi < enbnces 2n X + ,/n ~ o .
Si x = l entonces f n( 1} = _I - = .J.. I + I 2
Por lo tanto, la funcin limite / es:
j( x)
I
J l
O si \xi < 1 /2 si X = :!;: J
si \xi > 1
o
FIG. 48
J.. 2
X
La co nvergencia fn f .\JO e s uni forme ya que l a funcin l imite / no es continua en .:;1 mientras qu e fn s e s continua en .=l.
EJ E RCICJO 185
fnves tigar si convergen uniformemente o no l as sucesiones lfn l
1 i) /( x) = ~ n "'{ . X R 1 = ( - "" "" ) ( FIG 49 i )
Uii f ( x ) = ..l. X n n '
X E f M , .\f) 1 M es una constante > O ) , (FIG 49 ii)
So/u ci n li) \ f(x) 1 = l sennx \ l
n ' .::; -'{ fo
( para todo X e R 1 ) .
Como _ 1_ - O I n~""), entonces -f
In - O uniformemente en R 1
265
(ii) I/ (x)J =J.:\~: -+ O (n-+00) , n n
enl-Onces fn -+ O uniformemente en [M ,M].
y
(ij FIG. 49
EJERCICIO 186
Investigar si convergen uniformemente o no las sucesiones lf n ! : (i) f (xJ = n 2 x (l x)n , x :; [O, l]. (FIG 50 i)
n
nx x e R 1 (FIG 50 i iJ Ui) fn(x) 2
+ n X
Soiucin (i) fn(O) = O ... O.
Si x E (O , 1] , n 2 ( l x )n ... O (n..-) ya que O ~ 1 x < l , entonces Ja funcin limil u f(x)-= O para todo x E [O, l].
Tenemos : /~ ( x) = n 2 (l x'Jn 1 p ( n + 1) x 1 ,
entonces f (x) toma 5" valor mximo en x = --1-1 n n+ , y ei valor mximo es: 2 f (__!_ = _n_ 11 __ l_n
nn+l n+l n+l
Como f (--1-1> -+ +oo (n.-o) , la convergencia no es unifonne en (O, l] n n+
266
...
(ve r Fig. 50 (i) ). X ---_, x_l + x2 (n-->7 - - si X / () (ii) fn( x)
.l. X n
f n(O) = O ... O
entonces la funcin lmite f es
1 l:x f (x) = s i X fe 0 si X= 0
La convergencia NO es uniforme ya que la funcin lmite no es crmlir1uu en O.
enemas
/~ (x) n ( 1 n x 2 .l
2 2 ( l + nx ) ,
/x1 suna /uncin impar, tiene un mximo 1
x=--.y 1n - { f ( l/ynJ=7 n , fn(_ J/\r,;)
o 1 X n ,,,_ 1 (i)
F/G, 50
1 , . en x = - y un mm1mo en
..
{ --y. (Fig. 50 fo').)
.l/tese que en ambos casos el vai-Or mximo de :Jn(x) I diverge a +""
267
E] E RCICIO 187 Investigar si convergen uniformemente o no las sucesiones l !n l:
( i) I (xJ = _,_ n x + n
en [O, oo) ( FIG 51 i)
2 ( ii) fn( x) e: nx en [O, oo) (FIG 51 ii) nxe
fol ucin r Evidentemente
=-=- o f,,(x) para todo x+n ( n...oo!
T~11emos 1
< -- --~ n (_!__.o, n \ /n( x) \ x+n
v rl/,nces la convergencia es uniforme en [O, oo).
!t i! n(O) = O _. O.
Si x 1- O se ti ene :
~ nloncf-'.5
Te nemo5
n 2 n e x
fn( x)
n ---y-
en x-- o (n-.oo) ,
o para todo x E [O,oo),
2 /~ ( x) = n -enx ! 1 - 2 n x 2 ! ,
X ~ 0,
o sea que I r xJ n ti ene un mximo en x = ~ , y el v aior mximo 12n
fn( 1/JT,z) =:;.. e" t. es :
Como fr/l l /2nJ. 1 00 ,laconvergencia NO es uniforme en [0,oo). rv .. , Piz. ll r;;1.
EfERCICJO 188
frwSltgar ~ con11~rgen uniformemente o no las sucesiones !/ni: 111
268
I r :x1 "
1 ---- '- u 1 =(-00,00),(FIG 52i) I , ,, x2
X
X (ii) fn(x) + n x.Z
X ~ R 1 (FIG 52 ii)
fn(x) =----(ji) nx+l
y
l. !l
o X ( i)
y
al /0
o (i)
Solucin () Evidentemente:
/ 11 (x)
X e (0 1 J) (F/G 53 i)
FIG. 5 1
X
FIG. 52
si
si / (x) = { ~
o
iv) fn(x)
.
~
I!{ln
X f. 0 X = 0,
X
nx +
( ii)
y
X E (0, 1) (FIG 53 ii)
----X
La convergencia .\JO es uniforme ya que la funcin lmite f no es continua en O ,
269
(ii) /~(x) f( x) = O para todo x E R 1 ,
Tenemos: 2 nx I -! ( x) = -- 2 2 n U + nx)
entonces fn(x) toma un mximo en / ( '- J/y";;) '-' _._ _L. ll - - ? .--
- vn l f,/ ;::-= ) 1 yn
Como
1 2 f
xo= -l'jn" un mnimo
o
en x
e 11 ton c es la con vergencia es uniforme en R 1 ( Fi g. 5 2 (ii) ) I
I -'( .
F.n ( i) , ? 4 O un iformemence en cualquier intervalo cerrado I _._ n x-
que no contenga al origen , digamos en [ b , , h O , en realidad:
O , l - 1 1 1 '-- --;
l ~J X - 1 ( f n +nx < ,,
~ \ X! n n
para todo n ) .'I se ti ene :
< ( . N
O sea que para to/Jo n ;;: ,'I s e obtiene:
i fn(x) \ < para todo X E:' RI
270
y
(iii) fn( x) .. O para todo x E (0, 1 ) ,
La convergencia NO es uniforme ya que
Sup f ( x) = xE(0, 1) n
En realidad, si \ fn(x ) I
n >
para todo n.
< se tiene : nx + I
rJ..- 1) / x' as hay que tomar valores de n cada vez ms grandes cuando x se acer-
ca al origen ( Fig. 53 ( i )) .
(iv) f,/ x ) __, O para todo La convergencia es uniforme en dado > O si x E (0 , f
ifn (x) \ nx _..
X
Si x .;; [ f , 1) tenemos :
X
ifn (x) ! X < n x + I
por lo tanto , si es cog emo s n
1 fn( x ) l < n < y
' () X ( il
E ( 0, 1).
(0 , l ) gracias al f actor x, en realidad , tenemos
~ X < (
X
nx n ,
tal que 1 ( - < ( o n > .l. ) ( se tiene para todo x E (0, 1) ( Fig. 53 ( ii)).
y
CD
(ii) FI G. 53
271.
EJERCICIO 189
lnvestigaT si convergen uniformemente o no las sucesiones lfn l
(i) fn (x) = Vn X sen
(;;) fn( x) y'; sen...:!.. n Solucin
en R1 = ( oo, oo )
en [ M ,.'rf] ,
P ara todo x
y
2
( ) (ii) 1 G. 5 5
y
1// 4'V 1 ~ / p //?// ((
() X b o X ( ) (i)
flG. 56
gn ( xi = e X - ( 1 ~ n TI en ton ces
, ( ) = x ( 1 . .JE_ )n 1 ..._ x ( 1 . x ; n > 0 g n X e - "1'- 11 ~ .. e - ._ 1J ./ ' o sea que gn(x) es una juncin creciente, luego:
:274
O ~ gn( x) ,:C gn ( b) = eb - ( 1 + ..!?.. n ' n tslO nos indica que la convergencia es uniforme en [O, b l ( Fig. 56 (i) ) .
1;;J f n(O) = O - O Si x > O entonces n x - +"" , luego
I tan nx rr / 2
Esto ' S :
" { ~ si X= 0 f n( x) - j( x ) si X > 0 . La convergencia NO es uniforme y a que la funcin limite f no es continua en x = O ( Fi g. 56 (i) )
Dada una sucesin de funciones ! f n l definida en D , la serie
"'00 ;; = 1 n
es la sucesin de las sumas parciales { Sn l donde sn ~ I + 12 + + In .
Se puede hablar de convergencia puntual y convergencia uni forme de la se-rie de funciones .
EJEMPLO -2
Sea n( x) :x.fl
S ( x) = "\n b n - X'" k=l
en ( I, 1 )
x(l.:x.fl ) I X
Como _.z ~ O en ( I, 1) se ti ene :
o sea:
S ( x) n
X
J - X
~"" :x.fl =--x-n= I 1 - x
puntualmente en ( I , 1) ,
p un tu aim en te en ( 1 , I )
Pero, l a convergencia de la serie ,'/O es uni form e en ( . J, 1) como p uede
275
l'erse a continuacin
('" ~ 1
o sea
de donde
Sn( x) X :-:;
x n+I
< entonces n+ ,
1X < ( I J - X
d J X ) ,
( 11 - I) log x : log ( "- fo g ( J X ) ,
e sto ! S
11 . I lag' - lag (1 x! fog X i
Si x se acerca a 1 ri 1 , log x : tiende a cero, asi .'\/ + 1
en 1x 1 / 1 .
en x i ' 1
Se ~ uede demostrar que la convergencia no es uniforme en x < 1, ( en x ' 1) por un razonamiento s imilar ai utilizado en el ej emplo 7 2.
277
29 Algunas propiedades de la convergencia uniforme
En los siguientes ejerc1c1os se darn algunas propiedades de la coo'CJ gencia uniforme de sucesiones de funciones .
EJERCICIO I 92
Supongamos que In - / uniformemente en D. Si In es acotado en D (para cada n ) , demostrar que existe una constan te M tal que
:n(x! I .:_; M para todo n y para todo X e D , (61
y que / es una /uncin acotada en D,
Si existe M que satisfaga la condicin (6) , se dice que !in l es Wll formemence acocada en O
Demostracin
Dado > O existe N tal que para todo n ;;:, ,\J tenemos:
ifn(x) - f{x) ! < para todo x E D , o sea
l fn(x) l < !/( x) \ + para todo X ~ D (7)
Tambin:
~ /(x) 1 < l jN(x! \ + para todo x e;. D
Sea W0 una cota de IN en D entonces
' / ( x) 1 < -~ 0 + (para todo x E- D ) ,
o sea que / es acotada en D. De (7) tenemos :
l / n ( x) 1 < .W 0 + + f . wo + 2( (para todo x F- O )
Sea .W una cota de ji (i 1, 2, , N 1 ) t'n O , sea
M = Mximo \M 1, ,\12 ,MN-1' M0 +2 l
M es una COTi! UNIFORME de todas las /unciones / ( i = 1,2,J, .... } en D.
278
- -
EJEMPLO 74
fn( x)
Pa7a cada n , fn
1 fn( x) \
1 ,z 1 X
es acotada
I ,z =-- =
J X
en [O , 1 )
en [O , 1 ) , en realidad:
2 n 1 +x+x + ... . +x < n.
f/x! -+ - en (O, 1) , como la funcin lmite no es acotada J X [O, l) , l a convergencia no es uniforme
EJERCICIO 193
en
Si lfnl y \gnl convergen uniformemente en O, demostrar que lfn +gnl
converge uniformemente n D
Demostracin In ~ / , y gn - g uniformemente en O.
Dado ( > o existe N . independiente de X e D ) tal que para todo n ) N tenemos
: f n ( x) - / ( x) \
entonces :
< ....L 2
\gn(x)-g(x) 1 < ....L 2 (para todo x E O ) ,
iJ,/ :e! + g,,( x) 1 - 1 jx) -'- g( x) 1 ~ .;S fn(x!-/(x) 1 + !gn(x)-g(x) \
Como In -+ f y t al que si n ~ N
gn .- g uniformemente en D, dado E > O existe N
fn(x) - j(x) 1
Entonces :
tenemos
< _E_ 2M
< ( 2M
para todo x E D. gn (x) - g(x) J
f n( x) gn( x) - / ( x) g ( x) 1 = l f n( x) gn ( xi - f ( x) gn( xi-'-/( xi gn( x) - f (xi g (xi 1
~ gn( x) 1 !f n(xi- j ( xi -'- j(x) 'gn(x)-g(x) 1
.$-
o sea q11e In gn
.11-(-2M
.lf _ _ 2M
( .
/g uniformemente en D. La acotacin de las dos sucesiones l/n : y lgn : es condicin indispen
sable para demostrar que In g n tiende a j g uni forrnemente , corno puede v~ se en los siguientes ejemplos .
EJEMPLO 75
Sean
fn( x) X ;. Tl ' g (xi n !
X ~n X "'.' (0 , 1 ) ,
Evidentemente tenemos que:
n / ( x) gn( x) - g ( x) uniformemente en (0, !), = - X X
Tenemos
fn(x) gn(xi 1 ---r n-
1 +. -X
n j (x)g(x) I
nx
Pero,
' f ( x) g ( x) - j ( x} g ( x) ! = 1--1 n n n
X 1 ..,- - .J... -
n n x > nx ,
esto es , dado , O , aunque n sea muv grande existe x "'.' (0, 1) tal
(basta tomar x
(ii) Sea h 11 = In gn entonces
hn(x) fn(x)gn(x) = ~ x(I + .J... ;.J... si x = O irracional n n l x( 1 1 1 + )(b+-;-) a ( 1 +,} )(1 + n ~ ) si x = T
Si x = al b ( racion ai) tenemos :
I a 1 1 ) h (a b) - a = - ( 1 + - + - , n n b n b
pero en cuai quier in tervaio lim ! a 1 + 00. luego
hn(a/b) -. a NO es uniforme.
:]ERCJCJO 195
Supongamos qu i n
memente acotada por .W - / uniformemente en O y que Un! es unifor
Si g es continua en j x I ~ M , demostrar que
g ( f,,J g ( j) uniformemente en O fo/ ucin
Como ix / x i .( M ! es compacto , g es uniformemente continua , o sea que , dado r > O existe fi tai que
y - z :; Yt .;:,: .W , :Zi ..( .W implica ;g
Dado > O existe N o tai que
n '} No implica lfn(x)-/(x) 1 < ~ para todo x E (a, b). 4
Sean n y k mayores que N 0 , por I a continuidad de fn y / k en [a, b l exist X E ( a, b) tal que
1 fn( x) - f n ( a) 1 < _!_ 4
ifk(:x) - fk(a) 1 < ..
luego tenemos :
lfn( a) - /k( a) 1 = \In( a)- f n( x) + f n( x)- /( x) + /( x)- M x) + /k( x)- h( a) 1 .;,,: ;n(a)-fn( x) I + !fn (xl-fx) \ + l/(x)- /k(x) 1 + /k (x)- / k( a) I
< ...!.. +....!... + .!. + .!..= ( 4 4 4 4
Es to es . l a sucesin lfn( a>! satisface l a condicin de C auchy ,o sea qar l fn (a) 1 converge. De la misma manera, 1/,/bll converge.
EJEMPLO 78
S ( x) n
"5..n ~ k=1
es continua e n [ - l , 1 ] p ara todo n
Si l a serie ::S:"" xk convergiera uni form emente en 1- l , 1 i entonces las k = 1 "" "" k do s s eries "5.. 1 v "5.. (- 1) deberan co n v er ger ! Eier cicio 196) , esto
k = 1 - k = 1 e s imposible. Por lo t anto, la convergencia de l a s erie .\JO e s uniforme t1f (- 1 ,1)
E f EMPLO 79
< 2 ( 5
1 +- (
5 I I
+-( +- = ( !i Nota 5 5
Esto e s , fn _, / uniformemente en fa, b ].
;;Nota I por ( I O), Jf(xk )- f (xk JI < -
1l . 5
lf !xk . ) - f ( xk) 1 /' 1 por (9) ' - ( ' 5
\/( xk) - fn( xk) 1 I por (IO). < - ( 5
\ltese que en este e jercicio la sucesin l /,/ x) ! no s monrona sino qll( cada una de las funciones In es montona (algunas pu d en ser crecientes~ otras pueden ser decrecientes , ver Ejemplo 8 l ) . El res ult ado 110 es vlido para intervalos abiertos 1 ver el ejemplo 8 0 )
EJEMPLO 80
Sea I ( x) = n n x .._
f' ll ( 0 1 )
e 1;id entemente fn es una uncin mon tona 1 decr e ci ente) p ara c ada n y
f n( x) o puntualm ente en (0, 1),
p ero l a convergencia NO es uni forme en 10, J) ( Ejemplo 19,Ejercicio 1811 1 iii) )
EfEMPLO 81
Sea fn l x) = (.l)n-1 X +- l n
en
e videnlemer1Le (Uda fn es montona, en realidad,
In e s creciente si n es impar,
/" es de(reciente s i n es p ar.
A d~m s
(O' 1] .
/ n 1 x i (} /JUnlualm e11te en [O, 11 ,
286
Como lf:/x! 1 < ~ , se tiene que In o uniformemente en [O, l ]. EJEMPLO 82
Sea len l una sucesin que converge a e > O , demostrar que
Soluci n
( e x n
X e uniformemente en [ -M,M].
Como c > O , supongamos que en > O p ara todo n
( cn)x es una funcin montona ( si en > 1 creciente, si en < 1 de
creciente ) , adems ex es una funcin continua en [. M, M] ,por lo tanta ( cn)x
EJ ERCICIO 198
X e uni/ormem ente en [. M, M ] ,
Set: lfn l una sucesin de /unciones montonas memente en [a, b], demostrar que / es montona.
que tiende a / uni /O;!
Demostracin
Supongamos que / no es montona, entonces existen x, y, z G [a, b] ta les que
X < y < Z j (x) < j ( y) , f( y ) > / (z)
X < y z j ( x) > / ( y) j (y) < j (z)
Supongamos que se tiene ( 11). Sea
.'rf nimo l /( y) - f (x). / (y)- j (z) l
entonces existe N tal que
n ). N implica \ fn(t) - f(t) \ < d2 para todo E [a, b].
Por lo tanto tenemos
fn(y )-fn(x) l fn (y)-f(y) l + lf(y) -f(x.l \ + l/(x) - fn(x) l > O ~
\V (
(11)
287
I fy>-1 n n lln(y)-f(y)\+lj(y)-l(:rJI+ l/(z)-f(z)\ > O ~ n \V
(
esto es , In no es montona ( abS11rdo , ) ,
EJERCICIO 199 Sea ! fn 1 una sucesin de funciones continuas en D. Si fn _, f i
jormemente en D, demostrar que
lim f n( xn) /( x) n_,.,
donde xn _, x (n""'"') , xn , x E D.
Demostracin
Dado > O existe N 1 tal que para todo n _;. N l tniemos:
!ln( t) - f( t) I < d 2 Como In es continua y In D , o sea, existe h tal que
para todo t E D (i)
/ es uniforme entonces f es continua es
EJERCICIO 200 ;
Sea lfn 1 una sucesin de funciones continuas en un conjunto compacto D , supongamos que
fn(x) f( x) puntualmente en D
Demostrar que In -+ I uniformemente en D s i y so1o si se cumplen las dos condiciones siguientes :
(i ) j es continua en D
(ii) Dado l > O existe m > O y J > O tales que
\ fk(x)-f(x) \ < O implica !fk+n( x) - f ( x) \ < l para todo n ~ m.
Demostracin (A] Supongamos que n / uni formemente en D.
Evidentemente I e~ continua en D.
Dado ( > O existe -n tal que para todo n :;:: m t enemos
!l n(x)- l(x) 1 < f para todo x E- D ,
\y - X i < h implica if(yJ-f(xJ I < d 2 (ii) 'I luego:
De X -+ n x , existe N2 tal que
n :;;. '"'2 implica 'Xn- X I < h (ii)
Sea N o
. 'rt ximo !N 1 , N 2 1 , si n '). :'1/0 tenemos de (ii) y (ii) :
\ fx11) -/(xJ \ < d 2 En ( i) tomando t = xn
if 11(xn) -f(xn) \ < d 2 .
De (iv) y (v) se tiene que
o sea que
288
lfn(xn) - f(x) \ < f
lim n->00
In( xn) / ( x)
(iv)
(v)
1 n+Ji.(x) - I ( x) \ < f para todo x E D, k = 1, 2 ,3, ...
'Jtese que 8 puede ser cualquiera .
[B] Supongamos que / sati sface las dos condiciones (i) y (ii )
Dado o > a . X ~ o existe h tal que
' lh( xJ - l< xoJ I < o/ l (ya que f n i x0 ) -+ / ( x0 ) l ( 12)
De l a continuidad de lb y / existe una vecindad de x0 , N(x0 ) , t al
que si x E N( x0 ) se tiene :
:fb(x) - lh(x0 J! < 813 , \f(x)- l(x0 ) \ < 0/3. ( 13)
De ( 12) y ( 13) se ti en e :
M xJ- f( x ) 1 < o si x E N( x0 ). ( 14)
289
Como 1 N( x 0 ) l x E D es un recubrimiento abierto del con; unto compacto o
D , existe un nmero finito de vecindades que forman nuevamente un '! cubrimiento abierto de D :
N(x) (j=I,2, ,p) p
U N(x.) j = I I ::" D
Sean k1 , k2 , , kp los subndices h en ( 12) correspondientes a 08 puntos xl , x2 , , xp , es decir :
llk/xJ - f{x) 1 < 8/3 ( j 1, 2, . p) sea
No Mximo 1 k , k2 , , k p ! + m
Si X .:. D entonces x pertenece a alguna vecindad, digamos x E- N(x;~
luego t enemos de ( 14) :
!/k_(x) - j(x) 1 < 8. '
Si n .). N0 enl!Onces n ~ N0 ~ k + m , aplicando la condicin (;;) tenemos :
i fn(x) - /( x) 1 < (.
EJERCICIO 2 01 (Teorema de Dini) e
Sea 1 In! una sucesin montona de /unciones continuas que tiende a una funcin continua en un conjunto compacto D, demostrrlT que
In I uniformemente en D. NOTA
i fn l es una SUCESION CRECIENTE si
fn(x) ~ ln+if xJ para todo n , y para todo x E D ,
1 fn l es una SUCES/ON DECRECIENTE si
fn(x) ~ ln+f x) prlTa todo n , y p'ara todo x E O.
290
Demostracin -
Supongamos que, para mayor sencillez, 1 fn ! es una sucesin creciente ,
Como / es uniformemente continua, dado < > O existe 8 taJ que
IY - x ! < l) implica \/(y)- j(:d 1 < d3 ( 15)
Para cada x fijo, fn(x) -.. j(x) , esto es, existe M x taJ que
l /M (x) - j (x) 1 < d3 X
(16)
Como ,lf es continua en D , existe 8 x (e scogemos 8 x menor que o) tai x
que
IY - X 1 < 8 X implica llM (y) - M (x) 1 < d3 . X X
( 17)
Por la compacidad del conjunto D existe un nm ero / ini to de puntos , di gam os x 1 , x 2 , , xp tales que
P. V N( X l) ) ) o . j = J J Xj i! Nota
Sea N
o Mximo IM 1, ,\f2 ,Mp! ( M . = .\f x.
Si X ~ D entonces X E .W xk , 8 ) para algn k xk
ton e es n ). .lt k , !u e go :
/ ( x) - j ( x) 1 = / ( x) - / ( xi .:,; / ( x) - /u ( x) n n "'k
,; j(x)- j (xk ) ' - j(xk) - f t--ik(xk) I + [/Mk(xk)-/Mk(x) \
_,,____.... ------A A A ( ( (
3 ( po T ( f 5 )) T
Observacin El teorema de Dini es un caso especial del ejercicio 198.
es una sucesin creciente , dado > O podemos escoger :
a = ( ' luego :
\ fk(x) - f(x) 1 = f(x) - fk(x) < implica
\/ k+_,/x) - f(x) \ f( x) - l k+n( x) .;:;_ f( x)-fk(x) < f.
EJEMPLO 83 Sea f n( x) en (0, 1) ,
n X+
l fn 1 es una sucesin dE - Pciente, en realidad:
fn(x) ln+if xl , "- > --..:..--nx+I (n-Ux---1
y o puntualmente en (0, 1) fn( x)
Si 1t.1 m = l
Adems , f n y /son continuas , sin embargo fn _. O NO es un forme en
(0, 1) (Ejemplo 79 , E;ercicio 188 Uii) ) ,
Este ejemplo nos muestra que el resultado del teorema de Oini no es v !ido si D no es compacto .
EJEMPLO 84
Sabemos que l( 1 + ~ )n 1 es una s11cesin creciente, y tiende a ex Adems , ( 1 + ..!.. )n y ex son continuas, e1t ton ces tenemos :
n
( 1 + ~ )n n
X e uniformemente en (O,B].
EJERCICIO 202 O tomemos o > O que satis faga l a condicin ( 18) .
Consideramos una parti cin del intervalo [a, b]
a = x0 , X, , xk ' xn = b
tal' que :r:k - xkl < 1i p ara todn k Como f n( xk) -> / ( xk) , existe Nk
tal que -
n .,.,,
.'ik im plica i fn(xk ) - /( xk ) ! < /
Sea .'i o .\f ximo \ N 0 , .'i 1 , , .'in l .
Si :~ .;;;. [a, b ] entonces :r: -:' fxkl'xk ] p ara algn k. Tenemos enlO!!. ces para n ). ,\J0 :
fn(x)- /( x) I ~ f n( x) - n( xk) ! _.. f n( xk) - '( xk) - j( xk) - /( x ) 1
30 Condicin de Cachy
Para una sucesin numrica se ha estudiado la condicin de Cauchy (Propiedad 20 ) , de manera similar tenemos el siguiente teorema :
TEOREMA 26 (Condicin de Cauchy)
Sea l /n ! una sucesin de funciones definidas en D. 1 In! converge uniformemente en D si y slo si , dado > O dienre de x E D , tal que
existe N , indepen-
n > N implica ! fn(x) - ln+/x) ! < (19)
para tod" x .;; D , para todo q = 1,2,3,
D emo straciCn
() Si In f ut:iformemente en D , dado > O existe :'V tal que
para todo n ;. .'V tenemos:
i fn(x)-f(x) ! < d2 para todo x ":- D
Como n + q ) .'IJ tenemos tambin
1/n+/x)-f(x) ! < d 2 para to do x ;:. O
De las dos desigualdades anteriores tenemos
'/ (x)- f (xJI ~ / (x) - f(x)I + /(x)-f (x)I
Solucin
fn( x) 1 + "in (n) xk k=1 k -;;J
1 + "\n ~ ( 1 _ J..)( 1 ; ) k=l k! n
(1-~-1)
. n ~ 1 2 k-1 xn+ 1 1< x) = 1 + 2:. -- ( 1 -- )( 1 - J ... ( 1 -- ) + --n+ k=l k! n+l n.._J n+1 (n+l)n+1
entonces :
O ( ln+I(x)-fn(x) ~+1 -- n (n + )n+l + 2:. k=l
.
~ (I __ I_) ... (J.(kll)) k .' n+l n+
_(J .l..) .. (1--i.:!.J ,, ,, hn+ 1 n bk k. 1 ] lcl
- 1+ :_ -[U--1) ... ( l--1)-(l--n) ... (J. n J] ' k=Ik! n + n+
/ 1( b) - / ( b) n+ "
Como n+q )
2:. ( fk+1 - fk k=n ln+q- /n
se tiene entonces :
O ..:;; ln+Jx) - fn(x)
~ aWfW ~v~e~i~rm~~N~D. n= 1 n n
Sugerencia
n~ ~p n~ l ak(x) Mx) \ ~ l \ak(x) \\ jk(x) 1 ~ M l \jk(x) 1 k=n+I k=n+l k=n+I '
/onde M es una cota uniforme de lan (x) . Aplicar Cauchy.
EJEMPLO R7
Sea f n(x) 1
( O si x < n ~ 1 2 TT 1
sen - si ---. ,:;;: X n +;
0 si + < X, X .(
la condicin d~
1 n
li) Demostrar que l !ni converge a una funcin continua /,pero que la coa v ergencia no es unifom1e.
(ji) Demostrar que la serie 2.00 f (x) converge absolutamente para too n= 1 n
x, ,fJero no uniformemente
Solucin (i) Para cada x jio , si n es su ficientemente grande tenemos que
x _j_ n
( en caso de x > O ) ,
lim fn(x) j ( x) o para todo x. n-.oo
Para todo n tenemos:
luego:
1 -,;- <
'(_!_; I n l n + 2
por lo tanto In ~ f
298
---, < n + 2:
1 n
2 1 sen rr ( n + 2) 1
no es uniforme (ver Fig. 57.).
/' ,
Si J
Si X ~ o.
. J l
X >
00
y
l fn (x) = n=l
fn( x)
7/
n
FlG. 5 7
luego f ( x) = O para todo n , entonces n
')' 00 o = o -:i=l
x :;. I , existen a lo m s dos nmeros naturales, n, tales que
-;;-:;: .( X ~ _I n
entonces l a serie 1 00 f ( x ) converge ahsolutamente. n= 1 n
Si
A.hora, consideremos l a suma :
,n+p k=n k (x )
1 X =---- '
n + 2
1 n+p ( ---r )
_, k n +2 k=n
p = I , 2,3 , ....
1
X
00 esto e s , ~ f (x ) NO satisface l a condici n de Cauchy p ara l a con
n= 1 n uergencia uniforme de l a serie de funciones.
EJER CICIO 204 00
Si 'l. f (x) con v erge uniform emente en D , demostrar que n = 1 n
299
:~:~-:;i~;c..1=
In O uniformemente en D.
!!!..gerencia
Aplicar la condicin de Cauchy (21) para el caso de q = 1.
TEOREMA 28 (Criterio .\1 de Weierstrass)
Sea lf n ( x) ! una sucesin de funciones acocadas en D , para cada 11 sea .\l n una constante tal que
!fn(x) \ .:$. Mn (para todo x ~ D ) , n = 1, 2, 3,
Si la serie numTica __. "" M -;; = 1 ' n
converge, entonces la serie de funcione
1" fn(x) n=I
converge uniformemente en D
Demostracin .._n+p -k - 1 fk( x) ' .
-n+ 1 -
~~ 1 ,.
Por el criterio M de Weierstrass se tiene que la serie converge uniformeiri~ te en [a, b]
Consideremos ahora un intervalo (O, b] ( [a, O) )
Tenemos : 2n 1 2n 2.. 2 ,> 2.. 22 k=n+l l + k x- k=n+I 1 + 4n x
Aun que n SPll muy grande , si escogemos x = __i_ E (0, b 1 2n
2n '
Si xE-[0,1-]
sn(x) - J...:._ 1 J + X
entonces
~+l(l. x) 11+1 < (1. dn+I ~~~~- ~ X ' I + X
luego existe N tal que ( 1 dNH < ( , por lo tanto :
n ):- N implica 1 s rxJ -~I < ( n I .._ x ( para todo x E [O, I] ) ,
o sea que Sn(x) (J. x) / {J +X) uniformemPn/e en ro, J].
Con este ejemplo vemos que la convergencia uniforme y absoluta de la serie .S: fn(x) no siempre garantiza ' 1 convergencia uniforme de la serie "> ' / ( x) i - n
E] EMPLO 9 I
Demostrar que la serie 00 2 ~ (- J)n x + n n= l n2
converge uniformemente en cualquier intervalo acotado, pero no converge aj soiutam ente para ningn vr:ior de x. Soiucin () Consideremos el intervalo f M ,.\1 l, dado t > O existe N tal f{llr s1 n ;:;.. N se ti en e :
n+q l f ~
..
~. _....___ .... ~
:t Nota - gn( x) ;. gn+l x) para todo x E D , todo n = 1,2,3, ...
gn _,. ti uniformemente en D
Demostracin n
Sea M rma cota uniforme de \A (x) 1 = ! 2. fk( x) 1 en O, n k=l
como
gn O uniformemente en O , dado f > O existe :V tai que para todo n ;;:. N tenemos:
lgn(x) 1 < f 2M
para todo X E- 0,
De (22) se tiene entonces
n+q 2. fk(x)gk(x) k=n+l
n+a ~ 2._ ' IAk(x) lgk(x) - gk+(x) l I + 1An+q
mente en [a, b J. (iiiJ 5i 1 . x = ln se tiene :
2n l fk{1 1 2n) / k=n+l
2n 1 k - sen k k =n+l k Tn
2n ?; l _l ( ...l .J,_ ) =o _!_
k=n+Ik 22n 4 11 Nota
en tonces la serie no satisface l a condicin de Cauchy p ara la convergencia uniforme en (0, :r l. ;t Nota:
1 sen x ; - x
Uv) f~ (x) = cos nx ,
si ;r 0 ~X ~ l
La se rie L j~ (x) = k cos nx .'10 converge ya que l eos nxl NO conver ge a cero.
EJ ERC/CIO 207
Demostrar el siguiente teorema (C riterio de Abel) :
Sea lgn(x) 1 una sucesin decrecience de funciones definidas en D. Si "" lg ( x) 1 es acotada uniformemente v si ~ f ( x) converge unifonnemen
n , n=l n te en D entonces la sene
k 00 f ( x) g ( x) n= l n n
converge uniformemente en D
Demostradn
Sea ,\1 una cota uniforme de lgn(x) l, como uniformemente entonces :
n
) 00
/ ( x) converge - In n=l
A (x) = l /L(x) n k= 1 "'
A(x) uniformemente en D ,
o sea, dado l > O existe N tal qwe pt1ra todo n ). N tenemos :
308
-... -.-....,._.,.-r, ..... ~--- . , ~~-
De (22)
( /An( x) - A(x) 1 < 411
tenemos:
1 ,n+q k=n+l f;,,(x) gk(x) 1
n+q = i l Ak(x)jgk(x)-gL (xJI + An+q(x)gn q (x)-A (x)g 1(x) 1
k = n+ I 11:+ + + n n+ '
(23)
n+q n+q = / l [Ak(x)-A(x)]lgk(x)-gk+(x) l + A(x) l !gk(x)-gk (x) 1
k=n+l k=n+l +
+[A q(x)-A(x)lgn q (xJ-fA (x)-A(x:] g 1tx) n+ + + - n n+
+ Afx) g (x - A(x)g 1( x) n+q+ n+ n+q ~ . /AL(x)-A(xJ/lgL(xJ-gk (xJ!+ / A q(x)-A(x) l/ g (x) !
' k=n+l "' "' + n+ n+q+
+ /An(x)-A(x) // gn+(x) /
n+q f- !A(x)[l lgk(x)-gk+(x) 1 + gn+q+(x) - g (x) 11 tlNota
k=n+I n+
n+q ~ _
EJEMPLO 93
Sea 1 00 a una serie convergente, si ln !( n ;:;. I) es una suce. n = I n
sin creciente , la serie
00
~ n (1n rx n =I
converge uniformemente en x .:;;. O.
Solucin
Como n+ 1 ) 1n en ronces
I O existe -'I tal que para todo n ;::. .''/ tenemos
fn (x ) - f( x ) l < pata todo x "' [a, b ] ( 25)
Si , adems , f es integrable en [ a, b l , integrando la desigualdad ( 25) se u ene
o sea:
. b 1 fn(x) - j( x) \ dx < a
h b
b J dx a
d b a) ,
b ' J / n ( x) dx - J f (x) dx ' l/ (x ) - f (x) l dx
a n a a
"
b 1 a
fn( xi- f (x ) : dx < ( b a ) ,
esta desi gualdad nos indica que h h
1 i ( x ) dx -
r /(xi dx
n . o
h b l im ) / ,/ x) dx = j i im fn (x ) dx , n-oo a a 11--"IQ
( 26 )
Fn otra s palabras , 'el 1 mite de la integral e s igual a la integral del 1 mi te, o ' ' . ,z m
n- oc V ( .. dx son intercambiables'.
Hemos supuesto 1 a integrabilidad de la funcin 1 mHe para garanuzar el resultado (26 ) , sin embargo podemos suprimir esta condicin como pu.~ de verse en el siguiente teorema :
311
( ~--1 ..... . --....--------
TEOREMA 30
Sea Un l una sucesin de funciones integrabes en [ a, b]
In uniformemente en [a, b]
entonces
( i) es integrable en ! a, b 1
( ii) b J fn(x) dx
a
Demostracin
Dado f > o existe N
j/N(x) - /(x) ! <
o sea
jN( x) - . f . 4(b al
b J f ( x) dx a
tal que
' para 4(b a)
fn-+00)
cio X ~ [a,b l 1
f < /( x) < /,,/x) - +fb a l
:-:- 1 .. . u ;
; .,
Sl
(27)
Como fN(x) es integrable en [a, b]. existe una p articin del intervalo (a.bl:
a = x0 , x 1 , , , xk , . . xn b ( ~k x = xk - xk 1 )
tal que n b ~- /N(tk) ~k x - J /N(x) dx ' k-1 a
< d 4
donde tk es cualquier punto del k-simo subintervalo [xkI' xk].
De la desigualdad (27) tenemos :#Nota
n , n n L fN(tk)~kx -- < k f(tk)~kx < ~ fN( tk) ~kx k=I 4 k=I k=l
f +-4 ,
utilizando (28):
b n b J fN(x) dx - _f_ < l f(tk) 1~e < J fN(x) dx a 2 k= l a
( + - 2
Sean V(/) , L(j) las ~ superior e inferior respectivamente
312
(28)
(29)
-.....
u r ! J ,u - ~f ' k=J, k J.kX , Mk Sup if( t) / t E- [xk. J xk] !
L ( j) ..,n k=l mkoe mk In/ i /(t)/ t E [xk-1 xk l !
entonces , de ( 29) tenemos : b b j f,'i ( x) d x - ~ ~ L ( /) ~ U ( /) ~ 1
a , .:: a
o sea
U(/! -U /! ~ f
/ N( x) dx + ..!.. 2
esto e s , la funcin / satis/ac
- ~
f o
rr .l. se nnx e "
F.J ERCICIO 208
rr dx r
(n _.oo ) o 1 dx ;r,
Sea ! f n ! una suc esin de u11 ciones i ntegrables en [ a, b] ,
/ n / uniformemente , demostrar t{u e
si
X
J / n( t) dt X
r 1rt1 dt uni fo rmem ent e en x "'" [a, b\. a
Solucin
Sabemos cue (t) es integrable en [ a, b], c>ntonces
X X J r tJ dt - f r ti dt a n a
X .( r 1 / n ( t) - / (ti d t
a
F.J EROCIO 20 9
X J l fn (t)- f (t! !dt a
b f f,/ tJ - f r t! ! dt a
- o (n->001.
(i l /)emostrar 1ue '"" ( -1 n _.i converg e uniformemente en lr, r l, donde n =o
O < r '- l
(iil Demostrar 1ue :
Sol11eju (i) S ea
entonces
og ( 1 '- X)
5 ( x) n
'. 5 (xi - __ l_ ! ~ n x + I
e sto e s 5 ( x! n
"" n - 1 ,- (. 11 ;; = 1
,n ( I)k _i k=o
1 (.xn+ I ,
! 1 + X
, -
x!1 i X \ < si
--n
1 - (.x )n+I 1 '- X
: 1n+I ,n+l X I ~ 1 - r 1 - T
uniformemente en r ., , r l. f "- X
Ui) Si 'x\ existe un nmero positivo r tal que
314
I
_. o (n--) ,
x E [r,r], r < 1,
Entonces : X f Sn(t) dt
o
o sea :
oo X l J (. I)n /l dt n =o o
( n_,.,) ( __ I_dt I + t
oo n+l l (. l)n __ x_ n=o n + 1
/og ( 1 + X) ,
00 ~ (. J )n I L n= 1 n
log(l+x).
La convergencia uniforme de ! /ni no es condicin necesaria para obce -ner el resultad> (21\) como puede verse en los ejemplos siguientes :
EJEMPLO 96
Sea / ( x) = 2 2 , demostrar que l/n (x) 1 converge ,1i:ntuai n I + n x
mente en [O, 1] pero no uniformemente. ~, Es posible integrar trmi-no por trmino esta sucesin ? Solucin
f n(O) l _.
f n( x) I + n2 x2
o si X f 0
entonces la funcin lmite f (x) es:
j (x) = 1 O SI X = 0 si X f 0
la cual e s discontinua en x = O , pero fn es continua para todo n , por lo tanto la convergencia no es uniforme.
I I J f (x) dx = J o n o
I dx 1 dx = 2 J 2 2 =-tan nx]
+ n2 x2 n o x + ( 1 In) 11 o
= ....!.... -tan l n _. O (n_."") n
I I J / (x) dx J O dx = O , o o
Por lo tanto tenemos :
315
~,.,. .~.--~------- -.. .
~
.. ,. .... ':.
I J fn( x) dx -o
EJEMPLO 97
Sabemos que
I J j(:d dx o
fn(x) = nx(l-x)n o puntualmente en [O, J].
y que la convergencia rw e s uniforme ! Ejemplo 69),
1 J fn( x) dx o
1 J nxllx)ndx o
1 J n ( 1 t ) tn d t ( t ()
n O In-=! , !n+l!(n - :
esto es ,
1 r o dx o
o
1 1 lim J f/x! dx j lim fn(x) dx ,
o n-.oo n ..... oo o
Ef EMPLO 9R
Demostrar que:
( i) lim en sen!) = f(fJ) i ~ r) ~ o. 17 s i 1) o . 17. n_,., Sl !ii) La convergencia en !i) no es unt)orme en [O, 17].
(iii) lim /7 en sen 8 d8 17 Ll J lim ensen1 dfJ fl-x> () o fl->00
Solucin
(i) F! vi den te
o .
I X)
(ii) e" n sen 8 es coutinua en [O, 17] pero la funcin lmite / no es continua en O , 17 entonces la convergencia no es uniforme.
(iii) Dado , > O , la sucesin le" n sen 8 l converge a cero unifo~emen te en ( f/3, 17-l/3] ,luego existe .\/ tal que
316
n ~ N implica
Por lo tanto :
le" n sen 81
r ~ ri;- ~ , ~
v que l a convergencia no es unicrme (Ejercicio 1 9 o ( i i)) . 1 I ? J / (x) dx = J nx(l. x-) 11 dx = __ n _ _. _!...
o n o 2( n + 1) 2 (n -> OQ).
1 1 r /( xj dx J O dx o ' o o
entonces
1 1 lim J fn (x) dx 1
o J l im /11 ( xi dx. o n ~~ n-rx>
El siguiente teorema de Arzel nos da otra condicin suficien:e para!@
rant1zar la integracin trmino por trmino de una sucesin. su .. :mostra c in es sumamente difcil pero d teorema es muy til para varias ;.plicaci2 nes , aqu lo enunciamos sin d emostracin
T".OREi\IA 3 1 ( Teorema de Arzel )
Sea l f 11 ! una sucesin de funciones integrables que tiende a f pu_!! tualrnente en [a, b 1. Si l/n ! es unifonnemente acotada y f es integ@ ble en [ a, b l entonces tenemos :
l im .b J f ( x) dx a n
b r l im fn(x) dx a n-oo
b J /( x) dx. a ti -'"
Y.!2.Ll Si /11 _. / , y 1 /11 1 e s uniformemente acotada en [a, b], se dice
que fn _. / A COT ADAM. ENTE en [a, b]. Segn el teorema de Arzel , en caso de convergencia acotada se puede
incegrar trmino por tnnino la sucesin dada .
En el caso de los ejemplos 96, 97 y 98 las sucesiones convergen ac_2 tadamente , en cambio , la sucesin en el ejemplo 99 no converge acotada mente . :-.ltese que la convergencia uniforme no siempre implica la conv~ genc1a acotada , por ejemplo : 318
/
,,, ' r.
'
.- 1
I 1 x + n -+ x uniformemente en (0, I] fn( x} =
pero ! /ni no es unifonnememe acocada en (0, 1 ].
El teorema de Arzel da una condicin suficiente para garantizar la integrac1on de una sucesin de funciones trmino por trmino .
EfEMPLO 100
Se a fn (x) n 312 x(1- x ) 11 en [O 1] '
evidentemente :
f,/x) --> f(x) =O puntualmente en [O,I].
La funcin f aJ ' 1 n toma su v or maximo en x =;;-;-r , y
f (-z_1 ) = nl/~_!!_.(J __ l_)n _. "" (n .... "") nn + n +l n+l
Entonces, l a convergencia In _. / no es uniforme ni acotada en [O, 1],
pero : I 1 3 " ' 3/2 j /11(x) dx = f n" "x(l-x)ndx =
o (n+ l)(n +2)
I 1 J f (x) dx = f O dx = O o o
EJ E RCICIO 210
Sea fn( x) xnI(l. 2 xfl),
demostrar que
lii j( x) "' " f ( x) ; = 1 n I
7::1 en [0,1).
( ii) e Es acotada l a convergencia en (i)? "" I l J f ( x) dx = O
n = 1 o n liii)
1 (iv) J /( x) dx log 2.
o
--> o ,
319
Solucin n () Sea S/xl = I jk(xl entonces
n S ( x) = l
n k=l b.J 7 ,n 2(n-ll X" - - X ,:,, X
k= I
_ 0 2n J _X ----)~ 2 X ---;----,- ( n-+00 1 - x- J X
2x ~ 1-x
Uil 1 x2n ~
1 xn ----
(1-x)-~(l~x"-S (xi 2x n X
;-; - 0 I _._ X+ 2 ~+l
_ x2
1 _ x2
-J +X
2_.z+l 1
Si X -+ - S (x) n , luego Sn(x) no es ,; cotada en [0, J)ypor -+ -oo
lo tanto la convergencia no es acotada,
Uiil 1 In ( x) dx o
en ton ces
00
~ f n= 1 o
fiv) 1 f j( x) dx = o
F.JERCICIO 211
Demostrar que
? () lim nen-sen8
ll41X>
I
f o
1 1 1 ? 1 J ~- dx - 2 J x-n dx o o
00 fn(x) dx = ' o = o n =I
1 --
1- dx
1 = log(l-xl ] J -'- X
o
o en (0, TT 1 ,
2 ---?-n -n
= log 2
(iil La convergencia en (i) no es acotada ni uniforme en (0, ;r).
iiil TT 2
'im I n e. se e de o . n-+oo o
320
o
So/u cin .:;.;;---
(j} E vidente
(ii! Para cada n Jiio , lim 8-.o
? (iii! o ~ " n e 11- sen e d8 o
< 7 rrr/2 - )
o
n 2 _l e rr n e
2 n e n sen e n ....,. oo
rr/2 n 2 sen O d8 2 J n e o
2 dFJ = ;~ ( 1 - e" n ) - O
~ 3 Convergencia unifonne y derivacin
(n-+oo) ,
Dada una sucesin de funciones !In! , derivables en (a, b 1 , la con ve!. gencia uniforme de In - / en (a, b) no garantiza !a derivacin tr-mino por trmino :
/~(x) - j'(x)
como puede observarse en los siguientes ejemplos
EJEMPLO 101
Sea fn( x) I b (E' . . n sen nx sa emos erczczo converge uniformemente en (a, b] (O < a < b punto x la serie
EJE,\fPLO 102
Sea
";""' (xi converge e - n n = 1
f n( x) X ? + TI x-
en/Dnces
206) que ~oo fn(x) n=I
rr ) , pero en ningn
In /( x) o uni/ormem ente en R 1 {F.jercicio 188 (ii) 1,
Tenemos : 1 - nx 2 {~ si X f o /~(x) =U+ nx2 12 ( n...oo) si X = o. como f' ( x) = O se tiene
321
lim /~ (x) j'( x) n-"""
EJEMPLO 103
Sea f n( x)
2""' fn(x) n=l
Si X f. 0 , lim n->00
/~ (0) .. j'(O) ,
2 4 2 , enwnces la serie n + n x
00
l n=I 2 4 2 n + n x
converge uni /orm em ente en ( oo, oo) ya que
L 00 lfn(x) 1 ~ n=I
"" 1 2 --;r < +"" n= 1 n
(Criterio M de Weierstrass
Sea
/(x)
entonces
luego :
/(x) - /(0)
entonces
""""' / ( x) ,,_. n n=I
" n=I
/(0) " __ n= I n2
2 4 2 n + n x
1 L__l2 42-~I= n-In +nx n
00
-2 n=l
00
2 X
1 + n 2x 2
/( x) f (0) = X
n=I 2 2 + n X (para x f. O }
X
Pero, 1 para X= m tenemos :
"" n= 1
en ronces
2 1 1 + n (-2) m
m > 2
n=I > 1 + -2 m
/( 1/m) - /(O) < _ ...:_ ....!!!_ ( I/m) m 2
1 2
/( 1/m) - /(0) > _:_ ~ (. 1/m} m 2
322
-~ ..,...,.---.,..~.-J:U::_:::zJiZAS( A
=-1-2
,m - m-
n= I l+---r _,_
m-
fl
AA
esto es ,
lim . f(x) - /(0) NO existe , X--0 X
0 sea que j'(O) no existe. Sin embargo:
entonces
Lx ''(x) = 2 ..,)2 In ( I + n x-
I /~(O) n=l
""' o n = 1
En el ejemplo l 1 , la serte
o .
00
I f' ( x) no converge , en el n=l n ejemplo
102 ! /~ 1 converg-:.: v j es derivable pero Iim /~ f /' , y en el eie!!! n4oo
"" plo 101 I /~ n=l
converge pero / no es derivable .
Sea 1 In 1 una sucesin de funciones derivables con su derivada continua en [ a, b l , si la sucesin de las derivadas , !/~ ! converge unifonnemente en [a, b] :
/~ - g uniformemente en [a, b] ,
se tiene (Teorema 30, Ejercicio 208 ) X X J ~ r 1> dt 4 J gr 1J dt
e e uni formem en te en [a, b l
donde e es cualquier punco fijo del incervalo [a, b] , esco es :
fn(x) - fn(c) X J g ( t) dt uni f>rm emente en
e [a, b l .
Si , suponemos que 1 fn( e) 1 converge , entonces se tiene :
X fn(x) 4 lim fn(c) + J g(t)dt
n-oo e uniformemente en [a, b 1.
C,omo /~ es continua, su lmite uniforme g es tambiri continua ,entonces
323
...
~ (
X J g(t) dt es e
uniformemente
derivable y su derivada es g(x) , esto es, lfn(x) 1 converp a una funcin derivable cuya derivada es el lmite de /~(:d:
...:!... lim f (x) = ' n ax n-oo
lim ~/ (x). n-oo dx n (.3 '
Para obtener la relacin ( 30) hemos supuesto las tres condiciones
(i) fn es derivable y ~ es conunua (ii) 1 /~ 1 converge w1formemente . (iii) Para algn punto e , lfn( cJ 1 es una sucesin convergente.
Para obtener el mismo resultado , se puede suprimir la continuidad de!' n
como puede verse en el siguiente teorema 32 , pero al suprim~r la hip/itesis de la continuidad de /,; la demostracin va a ser muy artificiosa.
TF.ORI':JIA 32
Sea l /n 1 una sucesin de funciones derivables en (a, b) , s1:
(i) I /~ l converge uniformemente en (a, b) , ( ii) Exisce un c "' ( a, b) tal que ! f n( c) 1 converge ,
entonces 1 /n i converge .:i una funcin derivable uniformemente en (a,b)
IV _E_ l im i f x) d n X n...,,,, l im ~ ( x)
n...oo
Demostracin
Dado un punto t '' (a, b) definimos la nueva sucesin lgn\ como si gu e:
''xi < i fn ( x) - fn( t) X - t !~ ( t)
si X f t ( 31)
Si X = t
De l a hiptesis (i), lgn(t)I converge. Aplicando la condicin de CaJchy a la sucesin lgn l vamos a demostrar que lgnl converge uniformemente en la, b). Tenemos: 324
g-Hl(x) - g,,(x) lfn+/x)-fn(x) l- l!n+/t)-fn(t) l
X - t (xl-t).
~ictallo el tf!OraitJ df!i valor eio a Ja funcin [fn+q - In] entre t y x Slt 1f!11e :
t.+Jx> - gn(x) l~+q(xo) - /~ ( xo) (32)
i/otle x0 estti e11tre t y x. Como !/~ l converge uniformemente en 11 , b), JIUio t: > O existe N tai qMe para todo n ) N tenemos
!1~+4?(x) - f~ (x) 1 < ( para todo x y todo q , tJlk)CeS ( J2) :
lt.+t/ x) - gn( x) 1 < f pare. todo x y todo q
o sea qiie lr.1 converge -ifon11eaente en ( a, b)
De ( J l J lolllldo t = e tenernos para todo X e (a, b)
f, (x)= f.(c) +g(xJ
intervalo (a, b), y la derivada es el lmit.e de la sucesin lf~ ! .
.:...~ Si fn(c) -+ A , gix) -+ G(x) entonces
lfn(x) - !A+ G(x)(x e) !I.,:;:: l fn(c) - Al + lx cJlgn(x)-G(x)I
.::;, lfn(c) - Al+ (b a) lgn(x) - G(x)I -+ O.
EJEMPLO 104
Sea Q = lxn ! el con;unto de todos los racionaies en [O, l ], sea
fn(x) = 1-1 2"
o
(x xn)2 1 sen x _ xn si x 1- xn
si x = xn,
Como I/ ( x) \ ~ 1 / :!' en [O, 1] , la serie 2. 00 f ( x) converge unifonnt. n n=I n
mente en fO, 1] (Criterio M de Weierstrass ) Sea
entonces
luego:
00
f(x) = fn(x) n=l
= 001(x -xn) 2 sen[x!xJ n= 1 2"
f es continua en [O, 1]. Tambin :
1; (:d l O si x = xn X X J i ~ 7'1" 1)senfx-+xn}- ;!' co.LL l si x =/; xn ~rx:-xnJ ,
i/~(x) 1 ~ lx-xn \ 2" .1 + <
1 ;ti. 1
+-3 2" . ;!' ;!'
00
Por el criterio \f de Weierstrass, la serie 2. _ 1 /~ (x) converge uniformeme!J. n-
te, del teorema 32 se tiene que f es derivable y
""'f x-x ~ r. 00, 1 r 1 j'( x) = 2. 1_ ~1 sen ]- ~ ;!' cos X-:-X J n=l :!' xxn n-1 L n
' donde en la suma l omitimos n = k si x = xk E- Q. 326
\~~~-~.}:';~".'> :~?
.'./OTA
Si x = xk E Q entonces
, ck -Xn \ [ J ] J [ 1 f (xk) = l nfJ sen 7-=x - l--, cos -1 nl-k 2 k n nlk 2 xk-xn
Como l _I_ cos---2k X - Xk
no tiende a cero cuando x ~ xk , /' no es con ti
11ua en xk ~ Q
E/F:RCIC/O 212 00
Sea f n( x) 3 4 2 demostrar que n + n X
k f (x) converge uni n = I n
formemente a una funcin f(x) en (.oo, oo) donde f es derivable y que
/' ( x) = ..,..oo f' (x) - n n=I
para todo X e ( "" , oo) , Soiucin
De la desigualdad:
- / 1 :r 2 ~ --"T
+ rl X n 1/ ( x) \ = 3
n n (paratodo xi
00
se tiene que la serie ~ f (x) converge uniformemente en n = 1 n
(oo,oo) ya
que " "" I / n ;.= converge 2x f~ ( x) = - 2 l 2
n ( 1 -,- nx )
como i f~(x) \ ~ lln 2 para todo x #~,la serie l /~ (x) converge uniformemente en ( oo , "") Aplicar ahora el teorema 32
:: .~ota
Si \ x i ~ 1 se tiene : 2x 2 2
2(1 22 1 -.:s 2(1 2)2 .:$.-Y n + nx n + n x n
Si [x \ > 1 se tiene
327
2x 2\x\ n2rnx2 )2 ~ ~ n 1 1 ,:_ 1 2(1 2)2 "" n + nx
EJEMPLO 105
Sea
Tambin:
Esto es
2 2 1 n X n e entonces fn( x)
In /( x) = O . . Rl uniormemente en
? ') /~ ( x) 2nx e n-x- _, O en R 1
1- lim f n( x) dx n....oo
lim 11....00
/~ (x)
sin embargo , /~ O no es un forme en cual quier intervalo que contq ga ai origen como se ve a continuacin :
Si 2 2 y 1 /~(xJ 2n \xi en x < f
entonces :
n jx \ < f n 2x 2 -e 2
( 33)
Sea x 0 la mayor raz de l a ecua
cin 2 -x
2 ex
l
si n = x0 /! xi se tiene r -L n 2 2 n 1x 0 1 - 2 e ~
o XO
PIG. 59
X
Para obtener la desigu aidad ( 33) se tiene
n > x0 / \x\ como x0 /i x\ oo cuando x ... O , /~ _, O no es uniforme en un inter-vaio que contenga ai origen
328
3 4 Convergencia en media
Sea l!nl una sucesin de funciones integrables en [a, bl, si para una funcin integrable f se tiene :
lim n->oo
b , ? f Jn(x) - f(x) [- dx = O a
se dice que 1 /nl converge a f en media y se nota:
l.i.m. In = f n ... oo
( 34-)
(35)
Si In _, f uniformemente en [a, b] , icotadamente en [ a, b ] , eviden cemente tenemos ( 34) , pero la convergen ci .i puntual no siempre implica la convergencia en media .
EJEMPLO 106
{ n0
xn Sea fn(x) S X 7'= 1 si X = J X ~ [O, l] ,
entonces
fn( x) / ( x) = O en [O, 1]
Pero, 1 2 1 2 ? 2 f !fn(x) - f(x) 1 dx = J n x-n dx = _n __
o o 2n + 00
esto es, fn no converge a cero en el sentido de la convergencia en media.
EJEMPLO 107
Sea f n( x) = [cos n"x ]n en [O 1] , entonces :
I f l fn(:x) - O 12 dx o
I 2 J (cos n"x) n dx o
n11 2n d 2 "/2 2 f cos t-!fr = * f .::os n t dt o o
329
2 1 1 l =-(l-2)(1--4) (l._
17 2n )..!!.. _. O ( n _. oo)
2
ya que el producto infinito TT00 (1 -1-) 2n
diverge a cero , esto es
l. i.m. (ros nTTx)n =O. n-+
Si x es un nmero racional, digamos pi q (p, q son naturales), ento11 ces para n = qm (m =natural) se tiene:
feos nTTx)n = ( cos rrqmJ!.. ]qm = ( cos mpTT)'fm q
2 (. l)m pq
esto es , 1 ( cos nTTx)n l no tiende a cero para x racional.
E] i"' PLO 108
\ ean 11 = f O, l] , 12 = (O, l l , 13 1 2
15 = f7--l. 16 (.i ..1..1, l 4 , 4 en general, si ../?, < n < zk+l ,
l n
4 n "- ..,k ?' , ~ l 2k .. Sea lfn una sucesin de /unciones tales que
In( x) ~ l 1 si X ;;;; l n o si X ,l fn en tone es :
1
( ; , l l , 14 = (O , ; J.
lf. l ],.
X ~ (o l] ,
f :ln(x) - O t 2 dx o
1 2 J lln(x) ! dx o
Longitud de In_. O (n..-),
o sea:
l.i.m. In = O. n-+oo
Pero, si x ".:; [O, 1] evidentemente se tiene
;;; 1 / x) = 1 lim In( x) = O ,
330
~
esto es, lln(x) l NO converge.
______ _[__ l o[ --1.. 1
2
r 12 T 13 1 ~-+-~~~~~~+-~~-'-~~~4 - 1 - 3
! T I r 4 T 5 HI_ 16 T 7 1
--r-- J.. J
r 18 1 ~ T'10 J 111 T 1IL1 113 T 114, 115 1 L 1 :I: 1 x--T l 1 J FIG. 60
Obsrvese que ef lmite en media de una sucesin de funciones , si ex~ te, no es 11ico ya que puede modificarse el valor de la funcin en un nm~ ro finito de puntos sin alterar el valor .de la integral , sin embargo , si e-xisten dos lmites en media
l.i.m. / 71 = I n-+oo
/.i.m. In n-+oo
g
tenemos:
:(x) - g(xJ! 2 = !/(x) - ln(x) + 171(x) - g(x) !2
..::;: 2 !l(x) - ln(xJ! 2 + 2 !f71 (x) - g(xJ 2
lo c:ial im