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Todos conocemos los curiosos efectos interferométricos que se producen cuando superponemos dos familias de curvas paralelas y desplazamos una sobre la otra. Una serie de ondas que se mueven con aparente capricho se añaden a las líneas generadoras. El arte moderno ha explotado intensamente este fenómeno y el «Op art» tiene su base en la utilización de figuras interferométrica
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CALCULO DE PLACAS DEFORMA CUALQUIERA ,POR ELMETODO DE MOIRELlGTENBERG.
FELlX ESCRIG
Dr. ArquitectoETSA de Sevilla 1982
Todos conocemos los curiosos efectosinterferométricos que se producen cuandosuperponemos dos familias de curvas paralelas y desplazamos una sobre la otra. Unaserie de ondas que se mueven con aparentecapricho se añaden a las líneas generadoras.
El arte moderno ha explotado intensamente este fenómeno y el «Op art» tiene subase en la utilización de figuras interferométricas.
Realmente las líneas de interferencia quese producen no son tan arbitrarias comoparecen y obedecen a una ley, compleja en elcaso de curvas base complicadas y muy sencilla cuando las dos familias son rectas.
El método de Moiré es un ingenioso procedimiento que aprovecha estas propiedadesy busca una interpretación física de lasondas producidas.
Si sobre un modelo plano pegamos unatrama de rectas paralelas y lo fotografiamos,si posteriormente aplicamos las cargas (portanto deformamos el modelo y, conjuntamente, la trama adherida), y volvemos a fotografiar sobre la misma película, se habrá producido una superposición de dos familias delíneas distintas (aunque procedan de la misma red). Esta superposición, dentro de ciertos límites, producirá líneas de interferencia(líneas de Moiré) que, correctamente analizadas, nos aportarán información sobre ladeformada del modelo.
El método es muy elemental y sus inconven ientes son puramente mecánicos. Resulta
difícil el pegado de las delicadas y precisastramas en modelos grandes y efectos térmicos o higrométricos alteran su estabilidad.Además son caras y, como veremos, paracada ensayo necesitaremos al menos dosensayos con la trama pegada en distintaposición. Por lo demás funcionan bien.
El método de Moiré-Ligtenberg tiene elmismo principio pero evita la utilización delas tramas.
Para ello coloca el modelo, con su superficie pulimentada y reflectante, frente a unapantalla que contiene el rayado. El modelo,
31
descargado y plano, reflejará esta trama hasta el objetivo de la cámara fotográfica que seesconde tras un pequeño orificio en la pantalla.
La segunda exposición sobre la mismapelícula se hará con el reflejo producido porel modelo cargado y, por tanto, deformado.La superposición de estas dos familias refle-'jadas, por ser distintas, producirá líneas deinterferencia.
Veamos cómo éstas pueden interpretarsecomo líneas de igual pendiente de las flechas«w» del modelo, con respecto a la direcciónperpendicular al rayado de la malla.
En la fig. 2 vemos el principio geométricodel método para una pantalla plana y queremos averiguar cual es la deformación angular « tp »,
CARGA
MODELO PLANOREFLECTANTE
Fig 2.
En la fig. 3 vemos que una línea de Moirées aquella que une los puntos donde «s» tiene un valor constante. Si las líneas «k» sonlas del modelo descargado y las «1» cargado,las «m o» unen todos los puntos «Ii' k¡» enque «s» tiene un determinado valor constante, por ejemplo cero.
Las líneas «m+1» resultan de unir «k¡» y<<Ii+1». Entre «mo» y «rn.; 1», «s» se incrementa exactamente en «d». que es el intérvalo entre el rayado de la pantalla.
Para obtener el máximo de nitidez entrelas líneas de Moiré es conveniente elegir elrayado de modo que «d/2» sea blanco y«d/2» negro.
En las fotografias las líneas apareceránalternativamente blancas y negras.
32
/m,...FIG.3
Ahora que «s» es conocido de la fig. 1podemos obtener el valor de « tp » para cual quier forma de la pantalla. En el caso de queésta sea plana. .s = 2a tp ~lb/a)2 ~ . 1 r
I. ~ "
El pequeño término Ib/a)2 sugiere quepodriamos encontrar una forma de pantallade tal modo que s = 2a r.p. Mediante integración gráfica en la fig. 4 obtenemos las curvasteóricas que cumplen esta condición y, porsimplicidad, tomaremos la forma circularmás próxima. La fig. 5 nos da el error obtenido para distintos radios y relaciones «b/a».
Elegimos una pantalla con R = 3,5a quepara una relación b/a = 0,4 sólo tiene 0,3%de error máximo.
De la teoria de la Elasticidad sabemosque
Mx = -Dld2w/dx2 + v d2w/dy2)
My = -Dld2w/dy2 + v d2w/dx2)
M xy=-D(1 - v ) d2w/dxdy
donde D = Eh3/12 11 - 1) 2) en placas isótropas v « v »es el módulo de Poisson.
Con el rayado en la dirección del eje x lafotografia nos da las líneas de valor dw/dy =='iJ y constante y con «m» incremento deunas a otras de d/2a si sólo contamos las deuna tonalidad.
Para la obtención de los momentos necesitamos las derivadas segundas y, por procedimientos gráficos, de las líneas anteriorespodemos obtener d2w/dydx y d2w/dy2pero no d2w/dx2 para el que necesitaremos
FIG·4
15%
DEMASIADO GRA~
10 8 6 4 2 10 I 2 4 6 8 10
DEMASIADO PEQUEÑA
FIG.5
Hay que tener en cuenta que d/2a esmuy pequeño y normalmente habrá qued ibujarlo a una escala distinta de la util izada en las m edidas longitu dinales.Este gráfico nos da la situación relativa deunos valores con los sucesivos pero no suvalor absoluto. Esto no t iene importanciapara hallar las derivadas segundas pero esnecesario para hallar las flechas por integración. En este caso , por simetria, sabemos que el pun to medio de la secciónyy' es de pend iente cero y ello nos daráreferenc ia para todos los demás valores.En otros casos puede ser muy co mp licadoaveriguar los va lores abso lutos.
15%
o \ 1\~ ~ .1\ ,
.9 ~.~
F\, 1\.8
1\f\ 1\ \7
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.6\ 1\
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V -e-:1\ V. ~ '" V
\ ~17 V1/
2 \ ¿71
.1 1\ 'Jo
ción «d/ 2 a» que nos defin irá los valoresde la pendiente de líneas sucesivas.Uniendo los puntos int ersección de estamalla con las proyecc iones de las secciones establecidas en el modelo obtendremos el diagrama de dw/dy a lo largo deellas.
o
o
o
o
Q4
o
o
o
e) Para obtener la fle cha en el punto O bastacon integrar gráficamente dw/dy respectoa la dirección «y». El área sombreada enla fig. 8 será la flecha buscada siempre
Wt-Z<tt-UW--.JLLWo::o J--.JWoo~
--.JWo
oZ<t--.JCL
una fotog raf ía hec ha con el rayado en la direcc ión del eje y. Siempre necesitaremospara el análisis completo del modelo un parde fotografias con el rayado desfasado 90 0
•
Las líneas de Moiré nos servirán tambiénpara obtener las fle chas «w» sin más queintegrar adecuadamente
w = Js '-P ydY
A continuac ión vamos a exponer la me cánica práctica de uti lización del método paraun a placa triangula r apoyada en su contornoy cargada un iformemente.
Análisis con el rayado en la dirección deleje x
a) Tomamos la fotog raf ía en el aparato de laf ig. 1 mediante dos exposic iones sup erpuestas como hemos expl icado antes, ydibujamos en el patrón ob tenido las líneasde Moiré (fi g. 6 Y 7 ).Señalamos el punto (O) en que queremosobtener los momentos y la flecha .
b) Realizamos dos cortes paralelos a los ejescoordenados por el punto en estudio (f ig.8) Y establecemos un rayado de separa-
33
Fig.6que tengamos en cuenta el cambio deescala en ordenadas y, por supuesto, eldel conjunto del d ibujo con respecto a laestructura real.
d) Para obtener los momentos (fig. 8) bastará con medir las pendientes
d 'P y/ dy = d2w/dy2
d 'Py/dx = d2w/dydx
El valor d2w/dx2 habrá que obtenerlo deotra fotografia con el rayado perpendicular.
Nuevamente, a la hora de obtener laspendientes, habrá que tener en cuenta qu elas escala del conjunto no afecta a éstaspero sí la escala relativa entre ordenadas yabcisas.
Este cálculo de pendientes de curvas sepuede hacer por varías procedimientos aun que todos ellos impl ican un espec ial cuidadográfico.
Para el análisis con el rayado en la dirección del eje «y» efectuaremos las mismasoperaciones y obtendremos algunos valoresque ya conociamos en el proceso anterior.Estos nos servirán de comprobación y, entodo caso, podrá hallarse un promedio entreellos.
Nuestra idea es utilizar el método paraanalizar placas isótropas y anisótropas conformas y condiciones de carga complicadasmediante una sistemática que le dé utilidadcomercial.
Para hacer posible todos los cálculosanteriores habrá parámetros que determinar
34
Fig.7con ensayos previos, tales como «Dx»' «Dy»,«Dxy» y « v ».
Para eso existen procedimientos normalizados y técnicas especiales. También esposible complementar al modelo, simultáneamente al ensayo de Moiré-Ligtenberg,con dispositivos extensométricos o medidores de desplazamiento y ajustar los valoresdesconocidos para que co incidan los distintos procedimientos.
A continuación acompañamos una seriede ensayos sencillos que nos garantizan lautil idad y precisión del método.
dw11--- - - - - -,..'-,.-,--.-.--,-, d1
dz"c¡y;¡;
\-\,,--'I:"----+'-j-t-H~), I
dwdY
ENSAYO N.o 1
PLACA RECTANGULAR APOYADA ENTODO SU CONTORNO.ESQUINAS ANCLADAS.
1.1. ESQUEMA DE CARGA.
22 cargas puntuales de 500 g. con untotal de 11 kg. que simulan una carga uniformemente distribuida en toda la superficie.
1.2. CARACTERISTICAS DE LAESTRUCTURA.
q = 4,583 g/cm2
a =60 cm.h =0,60 cm.E=33.106 g/cm2
v =0,4D=Eh3/12(1- v 2 ) = 70 ,7 1 .104
EoOv
fL-- - - - - - - - - - - - 6Ocm- - - - - - - - - - - -
1.3. TABULACION DE LOS RESULTADOS.
COORDENADAS(d
2"' / dx2).10
4 o 4 o 4(d 2",/dy2).10
4Mx(g . en) MyCg.enJ MX).(g . en) ; W(en)DEL PUNTO (dw/dxdy) . 10 (d"w/dydxl.10
0.0 -2,23 O O -7,21 361,61 572,89 -0,139
10.0 -2,97 -6,4 S 392,4. 540,08 O -0,129
20.0 -2,97 O -3,79 317,21 351,99 O -O ,C/O
30.0 O O O O
0.10 -1,11 O -6,26 255,55 474,04 O -0,090
10.10 -2,2 1,11 1,52 -5,69 318,62 465,41 78,11 -0,080
.20.10 -2,60 2,44 2,84 -3,bO 285,67 ' 328,07 156,81 -0,050
30.10 O 2,60 5 ,31 O o O 234,91
0.20 O O O O O
10.20 2,97 1,90 O 144,63
20:20 7,79 3,97 O 343,91
30.20 O 8,91 6,Oi O O O 444,88 O
35
X=30X=20X=IOX=O
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I!IJ. . ,u , 'Ip-' p,¡1 -111/ !I
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PLACA RECTANGULARAPOYAr:A. EN TODO SUCONTORNO.CALCULO de: dw , d
2
w ,d~dx dxdy dx2
/' ENSAYO N~ I
~Yc: 20
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37
1.4. COMPARACION CON VALORESCONOCIDOS.
De las tablas de BAR ES p. 56 para v == 0,30 obtenemos en el punto medio (0.0)
w = 0,0166 qa4/Eh3 = 0,138 cm.
Mx = 0,0222 qa2 = 366 g.cm.
M y = 0,0812 qb 2 = 595,42 g.cm.
Si no consideramos la diferencia de « v »tenemos un error con respecto a nuestrosvalores de
w=6%
Mx = 1%
ENSAYO N.a 2
PLACA RECTANGULAR APOYADA ENCUATRO PUNTOS.
5.1. ESQUEMA DE CARGA.
24 cargas puntuales de 100 g. con untotal de 2,4 kg. que simulan una carga uni formemente distribuida en toda la superficie.
My=4%
Y de las tablas de BARES p.39 para v = °Mxy = 0,0613. q . b2 = 449,5Un error del 1%.
Los errores son debidos a:a) Consideración de distintos módulos de
Poisson.b) Aplicación de las cargas puntualmente.e) Errores «materiales» de ejecución del mo
delo y «gráficos» de interpretación deresu Itados.
5.2. CARACTERISTICAS DE LAESTRUCTURA.
q= 1 g/cm2
a = 60 g/cm2
h = 0,60 cm.E = 33 .10 6 g.cm2
=0,4D=Eh3/12(1- v 2 )= 70,7 1.104
L b.. y
o o o o o o
o o o o o o
r-,' . V
o o oX
o o o
o o o o o o
*-- - - - --6Oan - - - - - - - JL
38
X=60X=3Q X=40 X=50AREA ' FLECHA W EN(40,01
X=lO X=20
PLACA RECTANGULARAPOYADA EN CUATROPUNTOS.
d d2w d2
CALCULO de: d; 1dydx' d;2
X=O
1':" 1\ I 11 1\ 1\ l ~~ 1\
\ 1\ 11 \
1) 1/ 1\ 1\
1/ 1
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1/ 1/ 1/1/ 1/ 11 V 1/ Ij1/ I 1/
1/ 1/ 11 1/ Ij !l ' 1/1/ 1/' II
1/ 1/ ~ 1/ 1/ V~ yflo I..L I li lJ IL 1 ~ l 1,.. ~ I
V 2 h. llr/4 - t¡i...1b· - 7 1u~ l.. -4 1/ 9 1"" 1/ - l.. ~0 4 - 2 ,,-41" 1" 1/ , p ro 1/ ' ~ ' I ' 1/ Co" 11/ ' 1'"
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Y=20
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X=50X=40X=30X=20X=IO
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ENSAYO N~ 2t
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11/ 11
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X=O X=IO X=20 X=30 X=40 X=50 X=60
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PLACA RECTANGULARAPOYAlJA. EN CUATROPUNTOS.CALCLl.O de' dw, d
2
w ,d2
w"dx dxdy dx"
ENSAYO N~ 2
5.3, TABULACION DE LOS RESULTADOS.
CCOIUJlW¡\IJAS(d 2w/tlx2) ,1 0
4(<1 2101/<1;0;01) . 104
(d2w/ dyd;o; ) , 10
4 (d2w/tly2 ) . 104 Hx(r. ,C11l) Hy(g. cm) Hxy(v.·OII ) Wkm)DEL. rnmu0 .0 O o O -l .78 O 1%, 57 U · U,Ol 7
10 .0 -0 , 3 (1 O - l . 09 80 , 35 85, 5ti O ' O,OH
l O.n -O,35 O O • 1. 7<1 73 ,96 132 ,9 \ O - 0 ,037
.'0 .0 11 ,3 O O -l ,O!! .H ,90 139, 3U (l - O, IIJ8
'10 ,0 I , .U (1 O - 2 , 95 -9 , " 0 171, 26 O - O,1l2tl
50 .Ó I,IH U O - .' , 48 24, 89 21(. , (,(í O · O,U50
60.0 U O O -3 , 82 O 270 , 11 O · U,08·'
0 .10 O - 1, 74 ' 0 , 35 - 1, 39 O 98, 29 · 44 , 3·' . O,OU.
10 , 10 -0 , 7 ' 0 , 52 -0 , 28 . fl , 70 (.9 ,3 0 f'9, 30 - 1(' ,97 ' O,Ol 4
l U. IO ' 0 , 7 0, 52 0, 1 - 0 , 76 170 ,99 73 ,5 " 1.',1 5 · 0 . (1 29
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O.lO 2 ,44 5 ,9 1 16,(,8 ., , 52 - 300 , 38 - 31i8 ,(. l ,' ti<I , 211 n10. 20 ' 0 , 87 · " u.\ 0, 42 O 6 1, 52 U · n , l ~ . (1 . 0 10
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40 , 20 2 ,7 8 - 1, 74 1, li7 \ , .19 - 235 , 89 . 17(' ,92 - 1 ,48 O
SU,2 0 0, 52 0 , 87 ' 1, 14 O 5" ,77 O - IR,4 6 - 0 ,0 21
sn, 20 O O O O O O O - O,OS3
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