Figura 1

.::.~.".

Il COlIgreso de M~lodOl Nam6riwl en IngenieriaF. Navurina y M. Casle1eiro (Eda.), CSEMNI 1993

CALCULO NO LINEAL DE ESTRUCTURAS DESPLEGABLESCON BARRAS CURVAS

J. P. Valdrcel, J. EstéYez, E. Martín y J. AlvarezDpto. de Tecnolog(a de la ConstrucciónE.T.S. ArquitecturaLa CoruñaESPAÑA

F. EscrigDpto. de Estructuras. E.T.S. Arquitectura. Sevilla. ESPAÑA

RESUMEN

Con objeto de solucionar algunos problemas de incompatibilidades geométricasdurante las fases de despliegue de algunas de las estructuras desplegables de barras, puedeser conveniente el uso de barras con articulaci6n interna, pero cuya directriz DO sea· recta.En este artículo se estudian las formulaciones matriciales de barras de directriz parabólicay quebrada en los supuestos lineal y no lineal, incluyendo el cálculo de las correspondientesfunciones de estabilidad por el método de diferencias finitas.

1.- INTRODUCCIÓN.

La mayor parte de las soluciones que se han planteado para estructuras desplegablesde barras se basan en el uso de paquetes compactos de barras rectas que pueden desplegarsepara formar una estructura capaz de cubrir un recinto más o menos amplio. Nuestras propiasinvestigaciones se han' dirigido preferentemente a este tipo de mallas formadas por barrasrectas, con las que hemos podido resolver numerosos ejemplos de diversas tipologías, comocúpulas {3-5], bóvedas [3-6], sombrillas [3], etc. tanto en sus aspectos de diseño como ealos~ cálculo.

Sin embargo eaalgunas circunstanciaspuede ser adecuadoplantear estructurasdesplegílbles con barrascurvas. En algunos casospuede ser forzado por lasprop i as i ncompati­bilidades geométricas de lamalla, como en el caso delas bóvedas cilfndricastrianguladas. Asimismo lasmallas desplegablesbasadas en módulos dehaces presentan algunos

problemas al emplear barras rectas, puesto que para evitar que las barras tropiecen unas conotras al abrir el módulo, es preciso forzar una gran dimensi6n del nudo (fig. 1), lo que haceque la estructura plegada sea menos compacta de lo que sería deseable, al tiempo queproduce excentricidades en las acciones sobre los nudos, que pueden complejizar elcomportamiento resistente del conjunto.

J. P. Valcárcel et al. 401

l'or esta rIZÓn ya uoa 'de las primeras patentes dé EiDiIfo Per12l'lI1ero' planteaba lautilización de barras de directriz quebrada con el fin de conseguir qué las barras de losmódulos trian&U1ares de haces incidieran~ ele de los nudos extremos. permitiendo e1ju~o

en la articulación central (fig 2).

"'..

~n·.t=-?~~:---:;~:===+=~i!!=,*,,=§:!~:---<~7A :,28111111 "

... AL,'

--Figura 2

En un reciente artfculo se planteaba una estrategia similar [6] para poder resolveralgunos problemas interesantes que se plantean en las bóvedas cüíndricas triangularesdesplegables, utilizando barras de directriz parabólica. El uso de dichas barras permite, nosólo resolver los problemas de incompatibilidad geométrica, sino también conseguir bóvedasque se desplieguen por sf mismas, lo que puede ser de gran interés para determinadasaplicaciones.

Los dos tipos de barras son pues las de directriz quebrada y las de directrizparabólica. Su planteamiento de cálculo es muy similar en ambos casos por lo que vamosa agruparlos en un mismo desarrollo.

2.- CALCUW LINEAL DE BARRAS CURVAS.

Sobre una barras curva la ac~ión de los esfuerzos axiles modifica considerablementelos momentos flectores, por lo que es imprescindible considerarlos en la formulación de lamatriz de rigidez. Por otra parte las acciones perpendiculares al plano de la barraproducirfan momentos torsores que tendrfan que ser absorbidos por los nudos. En estructurasmóvües los nudos han de tener suficiente tolerancia como para permitir el normalmovimiento de las barras en torno a las articulaciones, por lo que es casi imposible quepuedan absorber dichos momentos torsores. La única conclusión posible es que las barrascurvas carecen de rigidez para estas acciones y por tanto dicha rigidez transversal no puedeser considerada en el cálculo.

El esquema de fuerzas sobre la figura será el iDdicado en la figura 3. En ella sepuede observar que la barra es incapaz de absorber los esfuerzos que se producen el ladirección Z, debido a esa falta de rigidez. Por ello la barra sola sería un mecanismo, perocomo en el nudo central se articula al menos otra barra, el conjunto puede funcionar enforma adecuada.

(1]

Tramo 2

N= N.1'-]. (R -R)'f

M - -Noyo + -]-'''0 - 1 / -x,

FiguraS

Tramo 2

ESrRUCTURAS

!:i............ r1 1

XI

La energía de deformación de la barra será

W " ~, lb rM2

+ k' V2

+~ J' ds2 (E-I G' A E' A

Tramo 1

Tramo 1

N= N.P·l. (N.-N.) ·f._

M - -N1'Yl + -]-'X1 + 1 ~.

Considerando que los esfuerzos son

Figura 3

Suponiendo que la ecuación de la barra sin defonnar es

402

Supongamos una barra curvada en el plano x-y. Esta barra puede tener en principiouna directriz que siga la curva que deseemos, pero las que parecen más adecuadas por sufacilidad coDStructiva y de cálculo son las de directriz parabólica (fig 4) o quebrada (fig 5).En ambos casos los Ilnicos d.esplazamientos que tendrán sentido estructural serán losalargamientos de los dos tramos de la barra U1 Yti, Yla flecha en la articulación central v.

Si se desprecia, como es habitual, el efecto de la energía producida por el esfuerzocortante, los desplazamientos pueden obtenerse por diferenciación de la energía elástica conrespecto a las fuerzas adecuadas en la fonna

Figura 4

J. P. Valcárcel et al. 403

b

V I(M'; + N' ;)'dS = f 31 ·N. + fn'Nz + f 33 'P

Resolviendo estas integrales podemos obtener los siguientes coeficientes de la matrizde flexibilidad de la barra que serán válidos cualquiera que sea la forma de la curva. En lospárrafos siguientes se particularizarán para las barras de forma parabólica y quebrada.

/,f·x·y ~

f·xz· Yz d fZ. (l:+1~)f 1z = f 21 - E\' [

I I'dx-/I' [ 1 . x 2 -

1 • 3·g·I·12

/,

12'XI'YI'dX _ f'll'lz' (l:-l~)fu = f 31 - E\' 1 1 I 3'E'I'lZ

En ambos casos se considera el valor de f con su signo. Sustituyendo estos valoresen las fórmulas [3] se obtienen los siguientes coeficientes.

Para algunas de las aplicaciones que hemos señalado, concretamente las bóvedascilíndricas trianguladas, es ventajoso el uso de barras de directriz definida por una parábolade segundo grado. Las ecuaciones de ambos tramos serán.

2.1.- BARRAS DE DIRECTRIZ PARABóLICA.

[3)

k f_

2 1:-1'12

Tramo 2

y = ~'(X2 - l'x)k = __f_, 1:-1'1.

Tramo 1

y e k,'(x' - l'x)

1 /, r 2'f'X'Y] fZ'(l:+l~)f n = . [ ~ + 2 2. dx +E' I 1 z -3-'E-'I-'-l"""z

Calculando los esfuerzos en ambos tramos de la barra y sustltuyendo como antesestos valores en las ecuaciones [3] se obtendrran los siguientes coeficientes de la matriz deflexibilidad

+

.f" (l:+l~)

3'E'I'l'

f2. (l~+l~)

.J.·E· I'l'

Ecuación del tramo 2

y = f,x1;

f'l'l ( )- I 2. l' 11 + 1; - 1~

3'E'I'12

ESTRUcruRAS

En este caso las ecuaciones de los dos tramos de la barra serán.

Ecuación del tramo 1

y = .!..'X1 1

fu = f2 ,( 1 3 + 1 3 + 1 '1 2 + 2'1'1 2) + _1_'V1'+f'

3' E' I' 12 1 2 1 1 E' A 1

f2 , ( 1: + 1~ + l' 1; + l' l~ )3'E'I'12

2.2.- BARRAS DE DIRECTRIZ QUEBRADA.

405J. P. Valcárcel et al.

K = r lp = rl·z

'"Y,

(

"') [-coac, -co.', -cosy, COllel COllea1 COIYl o o O) Z,tia _ o o o -co•• ) -eos' l -coa" cosal cosll1 coay, . ;:

v _ l:aC~••.l _~ _ l.aC~31TJ co.aa

CO."1 COSTa _ lIC~S.l _ 11C~IIP:ll _ 11C~31Yz .e..

JI.

y.

%,

y por inversión de esta matriz puede obtenerse la matriz de rigidez de la barra

2.3.- CALCUW DE LAS MATRICES DE RIGIDEZ Y COMPATIBILIDAD.

Una vez calculados los coeficientes anteriores puede formularse al problema enforma matricial

En cuanto a la matriz de compatibilidad es similar a la obtenida para barras rectas,eliminando la fila correspondiente al desplazamiento w, puesto que la rigidez debida a esegrado de libertad es nula

2.4.- MATRIZ DE RIGIDEZ EN COORDENADAS GWBALES.

Conocidas la matriz de rigidez en coordenadas locales y la matriz de compatibilidadpuede obtenerse la matriz de rigidez en coordenadas globales, con lo que la formulación delsistema de ecuaciones y el ~culo de esfuerzos son similares a cualquier ~culo matricialde estructuras de barras.

---

406 ESfRUcruRAS

L =A"K'A-X = A"F-1'A-X = S'X

3.- CALCULO NO LINEAL.

El cálculo lineal de este tipo de estructuras es bastante satisfactorio, puesto que laspropias condiciones de uso y la necesidad de permitir los procesos de plegado-<lespliegue,obligan a que las deformaciones no sean excesivas. Sin embargo, en la medida que sepretendan conseguir grandes luces, la Importancia de los efectos no lineales y en especialla modificación de la ley de momentos flectores sobre la barra producida por la deformaciónde la propia barra, empiezan a ser más importantes. Nuestra experiencia muestra que entodos los casos es plenamente satisfactorio un sencillo proceso iterativo con los siguientespasos.

a.- Se calcula la estructura suponiendo que su comportamiento es lineal y que portanto, con una función de estabilidad que inicialmente es igual a 1.

b.- Con los esfuerzos obtenidos se calada la función de estabilidad real. Al tiempose redimensionan las barras que superan las tensiones límite o bien aquellás que colapsan porpandeo.

c.- Se repite el cálculo con la función de estabilidad obtenida y se reitera el procesohasta que la diferencia de los valores de 4> en dos iteraciones sucesivas no supere un límiteprefijado, que en nuestro caso es el 0,1 %

d.- Una vez que el proceso ha converg.ido se calculan las fuerzas desequilibradas enla posición deformada. Con estas fuerzas desequilibradas y con la estructura deformada secalcula nuevamente la misma y los resultados se acumulan a los anteriormente obtenidos.En todos los ciIsos que hemos estudiado estos valores son pequelios, por lo que esinnecesario proceder por escalones sucesivos de carga, como es lo habitual en casossimilares.

e.- Se reitera el proceso basta que las fuerzas desequilibradas sean inferiores a unlímite prefijado.

3.1.- CALCULO DE LA FUNCIÓN DE ESTABILIDAD.

Supongamos una barra curva en posición deformada. Considerando el efecto de losuiles sobre la flexión de la barra, el equilibrio de la misma viene definida por los esfuerzosde la figura

p

~1

Figura 6

407

Tramo 2

J. P. Valcárcel et al.

,o

1\ 1-o"t=O H,2=O

l~"'=·S "l--'\ 3-> "t o-S "'=S

'2 \• -o "t =S "l=S

,,\r- :--..

•-:r -

Oo'

0.1

-0.1

P'l N-NMI = - NI' (f(x)+y) + T'X + T' (fe+y~ >-'K.

P'l N-NTramo 2 . M2 = - N2' (f(x) +y) + -r' (l-x) + --;-;. ( f..-+Ye ~' {ltx)

Tramo 1

Planteando las ecuaciones diferenciales en ambos tramos

Tramo 1

Los momentos flectores serán

tp=!..v

o••

Para ello calculamos la flecha de la barra en la articulación central sin considerarel efecto de la deformación de la barra y considerándolo. Definimos la función de estabilidadcomo la razón entre la flecha en la hipótesis no lineai y la flecha lineal obtenida como

As( como en el caso de las barras rectas es posible resolver analíticamente' estesistema de ecuaciones diferenciales con sus condiciones de contorno, en el caso de las barrascurvas el problema es excesivamente complejo para una solución analítica práctica. Elsistema empleado ha sido la formulación del problema en diferencia finitas, sumamentesimple y eficaz en este caso.

Figura 7

Realizando estos cálculo enlos distintos supuestos de valores deNI y N2, se obtienen las funciones deestabilidad. Es de hacer notar que laflexión no puede producirse en ladirección normal al plano de labarra, por lo que en este caso habráuna sola función de estabilidad paracada barra. Los cálculos se harealizado en diferencias finitas

30 '0 50 tanteando diversos intervalos. En laN\JHERO oc INTERVALOS figura se muestra el error obtenido

referenciado a barras rectas en lasque es posible calcular analíticamente

esta funci6n. Es evidente que en el peor de los casos la utilización de intervalos de 1110 dela longitud de cada tramo son suficientes para garantizar una excelente precisión.

El cálculo de dichas funciones de estabilidad se ha realizado para valores de NI yN2 que varían en un intervalo compreÍtdido entre -2 y 2 veces la carga crítica de Euler parala ~a sin articulaci6n central. En las figuras pueden observarse distintos aspectos delcomportamiento de esta funci6n, tanto para barras de directriz parabólica como para barras

408 ESTRucruRAS

de directriz quebrada. Como se ve para un-valor de ta ftecblI iDicial de la bamrde-lO cmel esquema de comportamiento es totalmente regular para ambos tipos de barras. Para unaflecha inicial de 30 cm-aparecen unas irregularidades en el comportamiento de las barrasparabólicas, mientras que las barras quebradas siguen presentando un comportamientonormal.

l.,f"O" W •••

...,.,... ,.~.

FiguraS

De la observaci6n de dichas funciones puede deducirse que en general elcomportamiento no lineal de las barras quebradas es prácticamente idéntico al de las barrasrectas del mismo tamaño y sometidas a las mismas cargas. Naturalmente las deformacionesdifieren considerablemente de las de las barras rectas, pero la funci6n de estabilidad es casila misma.

-1

1-- .....· ....·_···1~.\

____ ~~. '·-'21---IouT-e"""~·'·-e.,-- ......-

\\~

\., I

'" I~-- I

~"=-/,

I"

-2

8

9

'" 6...'"g5~ 4

... 3...'" zz'"Ü Izi: O

10

Figura 9

En cambio las barrasparabólicas presentan situacioneslocales no definidas cuando laflecha inicial es superior al 10%de la luz total, correspondiendoa situaciones en las que secombinan el efecto del axil y elde la carga transversal y danvalores muy pequeños de lasflechas en todos los puntos de labarra. En este momento el

2 fenómeno esta aúo en fase deNI IN"" investigaci6n y en uo primer

estudio podría parecer que puedellevar a situaciones de colapsopara cargas bastante inferiores a

las de las barras rectas. Sin embargo hemos podido comprobar que el fuerte crecimiento de

;. _-·qs.1JIIIMr. :~...~-

REFERENCIAS.

409J. P. Valcárcel et al.

I.a función de estabilidad DO se corresponde COn un ere;c1mtellto slmltar de la deformada, nitampoco COn situaciones de colapso en la energfa elástica. El fenómeno parece responder aligeros errores en el cálculo inherentes al model!) elegido, que rooucen esta _si~acil1n aldividir dos términos de valor absoluto muy bajo. En. todo caso la investigación continua ylos resultados obtenidos no son concluyentes y desde luego rebasan ampliamente los límitesdel presente trabajo. Por otra parte la flecha inicial mIlIS baIc~CUMIS--de--utilidad-Imestructuras desplegables es muy inferior al límite en el que se ha observado el fen6meno,por lo que son previsibles comportamientos problemáticos en este intervalo. De -necboalgunas estructuras sencillas que se han calculado DO presentan problema alguno.

CONCLUSIONES

El planteamiento descrito permite resolver con eficacia de una forma relativamentesencilla el cálculo de estructuras desplegables de barras curvas considerando los efectos deno Iinearidad provocados por el efecto de los axiles sobre la deformación transversal y porlas flechas relativamente grandes que se producen. El empleo de la funci6n de estabilidadcalculada por diferencias finitas se ha revelado como eficaz incluso con un pequeño númerode intervalos. Por otra parte la función de estabilidad calculada varfa muy poco con laflecha inicial de la barra, por lo que su aproximaci6n con la función de estabilidad de la .barra recta, que se puede calcular analfticamente, es aceptable en casi todos los caSos. Porúltimo señalar lo pequeños problemas locales en el caso de las barras parabólicas, que babrlaque tener en consideraci6n si la flecha inicial es fuerte, lo que no sucede en los casos deimportancia práctica.

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