1995 - Οικονόμου Α. - Η Εισαγωγή Κίνησης στο Γεωμετρικό Σχέδιο με τη Βοήθεια του ΗΥ

Η Εισαγωγή Κίνησης στο Γεωµετρικό Σχέδιο µε τη Βοήθεια

του Ηλεκτρονικού Υπολογιστή .

Οικονόµου Ανδρέας

Μαθηµατικός-Ψυχολόγος

Παιδαγωγική Σχολή Α .Π .Θ .-Τµήµα Νηπιαγωγών

54006 Θεσσαλονίκη .

Η όραση έρχεται πριν τις λέξεις . Το παιδί κοιτάζει και αναγνωρίζει πριν

µπορέσει να µιλήσει . ( . . .) Είναι η όραση που εγκαθιδρύει τη θέση µας

στον περιβάλλοντα κόσµο , εξηγούµε αυτό τον κόσµο µε λέξεις , αλλά οι

λέξεις δεν µπορούν ποτέ να ανατρέψουν το γεγονός ότι περιβαλλόµαστε

απ ' αυτόν . Η σχέση ανάµεσα σ 'αυτό που βλέπουµε και σ 'αυτό που

γνωρίζουµε δεν είναι ποτέ ξεκαθαρισµένη . Κάθε βράδυ βλέπουµε τον

ήλιο να δύει .

John Berger, Η εικόνα και το βλέµµa

1. Εισαγωγή .

Η εργασία αυτή εντάσσεται στις προσπάθειές µου να διερευνήσω τις

δυνατότητες χρησιµοποίησης των νέων τεχνολογικών µέσων στην

εκπαιδευτική διαδικασία µε τρόπο που να σέβεται τις δυνατότητες και

τις αναπτυξιακές ανάγκες των µαθητών αλλά και τους σκοπούς της

αγωγής . Ειδικότερα µε ενδιαφέρει η δυνατότητα χρησιµοποίησης του

ηλεκτρονικού υπολογιστή στη διδασκαλία των Μαθηµατικών και πιο

συγκεκριµένα της Γεωµετρίας . Η επιλογή του θέµατός µου στηρίζεται

στις παρακάτω υποθέσεις :

Η Εισαγωγή Κίνησης στο Γεωµετρικό Σχέδιο µε τη Βοήθεια του Ηλεκτρονικού Υπολογιστή.

Οικονόµου Ανδρέας, Καθηγητής ΠΑΤΕΣ / ΣΕΛΕΤΕ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ

2

Υπόθεση 1. Η Γεωµετρία στη δευτεροβάθµια εκπαίδευση έχασε την

παλιά αίγλη της και είναι σήµερα µάθηµα υποβαθµισµένο .

Πράγµατι , από βασικό µάθηµα των τριών τάξεων του Λυκείου και

µάθηµα των γενικών εξετάσεων για την είσοδο στα ΑΕΙ και ΤΕΙ που

ήταν στο παρελθόν , είναι σήµερα ξεχωριστό µάθηµα µόνο στις δύο

πρώτες τάξεις του Λυκείου και δεν είναι µάθηµα δέσµης . Η αλλαγή

αυτή δεν έγινε µε σύµφωνη γνώµη των δασκάλων των Μαθηµατικών ή

τουλάχιστον είναι πολλοί οι συνάδελφοι µαθηµατικοί που

διαπιστώνουν καθηµερινά την ανάγκη επανατοποθέτησης και

συζήτησης για τη θέση της Γεωµετρίας στο πρόγραµµα της

δευτεροβάθµ ιας εκπαίδευσης , χωρίς αυτό να σηµαίνει συντηρητισµό ή

οπισθοδρόµηση αφού η περίσκεψη αυτή είναι αποτέλεσµα

επαγγελµατικής εµπειρίας . ∆εν είναι τυχαίο το γεγονός ότι το

τελευταίο συνέδριο της Μαθηµατικής Εταιρείας είχε ως ένα θέµα του

την κριτική σκέψη . Ποιος αλήθεια φέρνει στο µυαλό του την κριτική

σκέψη , µε όποιο περιεχόµενο και αν της δίνει , χωρίς να τη συνδέει µε

τη γεωµετρική δραστηριότητα ;

Υπόθεση 2. Τα σχολικά εγχειρίδια της Γεωµετρίας παρουσιάζουν

την ύλη τους µε τον ίδιο περίπου τρόπο εδώ και πολλές δεκαετίες .

Ειδικότερα τα γεωµετρικά σχέδια παρουσιάζονται στατικά και

τετελεσµένα .

Πρέπει εδώ να διευκρινίσω τι εννοώ µε τον όρο γεωµετρικό σχέδιο . Το

γεωµετρικό σχέδιο είναι ό ,τι ιχνογραφούµε στον πίνακα , στο χαρτί ή

στην οθόνη του υπολογιστή για να αναπαραστήσουµε µια

γεωµετρική κατάσταση στην οποία εµπλέκονται γεωµετρικά

σχήµατα . Τα γεωµετρικά σχέδια λοιπόν είναι αναπαραστάσεις των

γεωµετρικών σχηµάτων που είναι θεωρητικά αντικείµενα (Τζεκάκη ,

in press).

Είναι αλήθεια ότι ένα διδακτικό βιβλίο που µοιράζεται µάλιστα δωρεάν

και επιβαρύνει τον κρατικό προϋπολογισµό πρέπει να γράφεται µε όλες



3

τις δυνατές οικονοµ ίες που µπορούν να γίνουν στην έκδοσή του

(λιγότερες σελίδες=λιγότερο χαρτί=µ ικρότερη δαπάνη , λιγότερα

σχέδια=µ ικρότερη δαπάνη). Ισως ο λόγος αυτός να εξηγεί γιατί η

παρουσίαση των γεωµετρικών σχεδίων στα διδακτικά βιβλία

Γεωµετρίας δεν είναι ισόµορφη µε το φυσικό τρόπο παρουσίασής τους

στο µαυροπίνακα . Έτσι , λοιπόν , ο µαθητής βλέπει το γεωµετρικό

σχέδιο του διδακτικού βιβλίου , που του παρουσιάζει συνήθως µ ια

δεδοµένη σύνθετη τελική κατάσταση και καλείται να κατανοήσει όλα

τα βήµατα που προηγήθηκαν και τη δηµ ιούργησαν . Η προσπάθεια αυτή

είναι επίπονη και καθιστά τη σύνθετη εκ των πραγµάτων γεωµετρική

δραστηριότητα ακόµα πιο δύσκολη .

Ένας άλλος πιθανός λόγος για τον οποίο τα γεωµετρικά σχέδια

παρουσιάζονται µε αυτόν τον τρόπο είναι η αδυναµ ία των συγγραφέων

να αντιληφθούν τη δυσκολία κατανόησης ενός γεωµετρικού σχεδίου .

(Σε καµ ιά περίπτωση δεν µπορώ να δεχτώ ότι είναι αποτέλεσµα της

επιθυµ ίας τους να υπάρχει αυτή η δυσκολία για να απευθύνεται το

µάθηµα της Γεωµετρίας µόνο στους λίγους , στα γεωµετρικά µυαλά

όπως έλεγαν οι παλιότεροι .) Ο λόγος αυτός εξηγεί γιατί και τα

βοηθητικά βιβλία Γεωµετρίας που κυκλοφορούν δεν αντιµετωπίζουν

διαφορετικά τα γεωµετρικά σχέδια .

Ενας ακόµα λόγος πρέπει να διερευνηθεί : η πιθανότητα οι συγγραφείς

και οι δάσκαλοι των Μαθηµατικών να πιστεύουν ότι το κείµενο που

συνοδεύει το γεωµετρικό σχέδιο είναι επαρκές να αποκαταστήσει-

αναπαραστήσει-συµπληρώσει-ολοκληρώσει τη γεωµετρική διήγηση .

Όµως στις µέρες µας τα παιδιά και οι έφηβοι έχουν τεράστιο πρόβληµα

µε το γραπτό λόγο , είτε πρόκειται να το διαβάσουν , πόσο µάλλον να το

µελετήσουν , είτε πρόκειται να εκφραστούν γραπτά .

Υπόθεση 3. Η οπτική µάθηση αποτελεί σηµαντικό εργαλείο στην

εκπαίδευση και ιδιαίτερα στο µάθηµα της Γεωµετρίας .



4

Υπόθεση 4. Η σηµασία της οπτικής εικόνας στο σηµερινό πολιτισµό

είναι τεράστια λόγω της µετάδοσης καθηµερινά τεράστιου όγκου

πληροφοριών µε τη βοήθεια µέσων που χρησιµοποιούν οπτικές

εικόνες .

Οι φωτογραφίες , το διασκόπιο (slides projector) και το γραφοσκόπιο

(overhead projector) µπορούν να θεωρηθούν πια κλασικά µέσα , χωρίς

όµως ποτέ να έχουν χρησιµοποιηθεί κατάλληλα από το ελληνικό

εκπαιδευτικό σύστηµα . Οι εκπαιδευτικοί της χώρας µας σχεδόν στο

σύνολό τους δε χρησιµοποιούν τα µέσα αυτά , είτε γιατί δεν είναι

σίγουροι για την αποτελεσµατικότητά τους , είτε γιατί δε γνωρίζουν τη

χρήση τους ή γιατί πιστεύουν ότι θα χρειάζονται περισσότερο χρόνο

για την προετοιµασία του µαθήµατος .

Η τηλεόραση , το βίντεο , ο κινηµατογράφος , τα ηλεκτρονικά παιχνίδια

(videogames), ο ηλεκτρονικός υπολογιστής και το CD-ROM είναι

τέτοια µέσα που κάνουν την είσοδό τους στα σπίτια του κόσµου αλλά

και στα σχολεία . Ηδη η εκπαιδευτική τηλεόραση είναι θεσµός σε

πολλές χώρες του κόσµου , και στη δική µας επίσης , και οι

ηλεκτρονικοί υπολογιστές µπήκαν µαζικά στα Γυµνάσια της χώρας µας

από αυτή τη χρονιά , µε µεγάλη καθυστέρηση σε σχέση µε τις

αναπτυγµένες χώρες και χωρίς να έχει προηγηθεί η κατάλληλη

προεργασία (η ανάπτυξη επαρκούς λογισµ ικού , η επιµόρφωση των

εκπαιδευτικών στη διδασκαλία µε Η/Υ και στη διδασκαλία από τους

εκπαιδευτικούς-πληροφορικούς στους µαθητές της χρήσης του Η/Υ ,

της λειτουργίας του και των γλωσσών προγραµµατισµού του). Όλα

αυτά σχετίζονται και µε τον οπτικό αλφαβητισµό που είναι βέβαια µ ια

γενικότερη προσπάθεια που σαφώς θα πρέπει να έχει προηγηθεί και να

έχει φέρει θετικά αποτελέσµατα .

Υπόθεση 5. Το σχολείο πρέπει να προσαρµόζεται και να

προσαρµόζει τους µαθητές του στις απαιτήσεις του µέλλοντος ,

βασιζόµενο στα δεδοµένα του παρόντος .



5

Το µάθηµα της Γεωµετρίας δεν είναι µόνο µάθηµα που µας δένει µε τις

ρίζες του πολιτισµού µας . Αποτελεί επίσης το υλικό πάνω στο οποίο

µπορεί να βασιστεί η οπτική µάθηση και να φανεί η ειδοποιός διαφορά

του µέσου που λέγεται ηλεκτρονικός υπολογιστής σε σχέση µε το

µαυροπίνακα και το βιβλίο . Είναι επίσης το µέσο που θα συµφιλιώσει

το σχολείο µε τις καθηµερινές συνήθειες των παιδιών που αποτελούν

πλέον πολιτισµ ικό χαρακτηριστικό της κοινωνίας που ζούµε . Πιο

συγκεκριµένα αναφέροµαι εδώ στα εικονογραφήµατα τόσο στην

τυπωµένη έκδοση (κόµ ικς) όσο και στην τηλεοπτική-κινηµατογραφική

(καρτούν ή κινούµενα σχέδια). Αφού πέρασαν από µ ια περίοδο

απαγόρευσης κατά την οποία η παιδαγωγική τους αξία θεωρούνταν

µηδαµ ινή σήµερα ούτε το σχολείο που είναι ακόµα διστακτικό , ούτε η

οικογένεια µπορούν να κλείσου τα µάτια µπροστά στη νέα αυτή

πραγµατικότητα . Οι νέοι εκπαιδευτικοί που µεγάλωσαν παρέα µε τους

ήρωες των κόµ ικς δεν έχουν αντίρρηση στη χρήση τους στην

εκπαιδευτική διαδικασία (Ασλανίδου 1992).

(Είχα την τύχη να συµµετέχω πριν λίγους µήνες , στα πλαίσια ενός

προγράµµατος ανταλλαγών µαθητών και εκπαιδευτικών από τη χώρα

µας , τη Γαλλία και την Πορτογαλία , στην πειραµατική συνδιδασκαλία

ενός µαθήµατος εικαστικών (ή καλύτερα οπτικού αλφαβητισµού) και

να κατανοήσω στην πράξη την αποτελεσµατική χρήση του κόµ ικς σε

ένα µάθηµα πολυδιάστατο , όπου η Ζωγραφική , η Σηµειολογία , η

Γεωµετρία και η Γλώσσα συνυπήρχαν στην εκπαιδευτική

δραστηριότητα και κινητοποιούσαν µε µεγάλη ευκολία το πολύ µεγάλο

δυναµ ικό , τη γνώση και τη φαντασία των µαθητών που δούλευαν

δηµ ιουργικά σε οµάδες . Η εµπειρία αυτή µε έπεισε ότι είναι δυνατή η

χρήση φαινοµενικά άσχετων κόµ ικς στο µάθηµα της Γεωµετρίας ή σε

µαθήµατα συνδιδασκαλίας .)

Στη συνέχεια θα αναφερθώ στη δυνατότητα χρησιµοποίησης της

τεχνικής των εικονογραφηµάτων στη διδασκαλία της γεωµετρίας .

Ειδικότερα , θα παρουσιάσω την ιδέα αντικατάστασης των γεωµετρικών



6

σχεδίων που αναφέρονται στο πυθαγόρειο θεώρηµα και στις επεκτάσεις

του µε σχετικά γεωµετρικά εικονογραφήµατα .

2. Το γεωµετρικό εικονογράφηµα . Εφαρµογή στο πυθαγόρειο

θεώρηµα .

Το πυθαγόρειο θεώρηµα εξακολουθεί να γοητεύει τους µαθηµατικούς

και στον αιώνα µας . Το 1945 ο Hermann Baravalle δηµοσίευσε µ ια

οπτική δυναµ ική απόδειξη (dynamic proof) του πυθαγόρειου

θεωρήµατος . Είναι µ ια απόδειξη χωρίς λόγια! (Εικονογράφηµα 1), ή το

µόνο σχόλιο που θα µπορούσαµε να προσθέσουµε στο τέταρτο βήµα

είναι ότι εάν ένα παραλληλόγραµµο µεταβληθεί από µια κίνηση

"κουρέµατος" (shearing motion) που διατηρεί τη βάση του και το ύψος

του , το εµβαδόν του παραµένει σταθερό (Gardner 1971). Μια τέτοια

ακολουθία γεωµετρικών σχεδίων που , ενδεχοµένως , αλλά όχι

απαραίτητα , συνοδεύονται από µικρά κείµενα ή σύµβολα που

σχολιάζουν , διευκρινίζουν ή εξηγούν και σκοπό έχουν την απόδειξη

µιας πρότασης , την επίλυση µιας άσκησης και γενικότερα την

παρουσίαση µιας γεωµετρικής κατάστασης την ονοµάζω γεωµετρικό

εικονογράφηµα .

Την ιδέα της δυναµ ικής απόδειξης χρησιµοποιεί στη συνέχεια ο

Gardner (1971) για να αποδείξει τη γενίκευση του πυθαγόρειου

θεωρήµατος από τον Πάππο , και µε τη σειρά µου χρησιµοποιώ την ιδέα

του Gardner για την παραγωγή γεωµετρικού εικονογραφήµατος

δυναµ ικής απόδειξης του ίδιου θεωρήµατος (Εικονογράφηµα 2). Μια

παραλλαγή εικονογραφήµατος δυναµ ικής απόδειξης του πυθαγόρειου

θεωρήµατος βρίσκεται χωρίς καµ ιά αναφορά ή σχόλιο σε βιβλίο

οµάδας συγγραφέων , (Marie-Louise Hocquenghem et al. 1980), µε

τίτλο Histoire des Mathematique pour les Colleges της σειράς

Activites dans la Mathematique - La Mathematique dans la realite, και ,

σχολιασµένη και εµπλουτισµένη µε γενικεύσεις , στο βιβλίο της ίδιας

σειράς µε συγγραφείς την Emma Castelnuovo και το Mario Barra

(1980) µε τίτλο La Mathematique dans la Realite . Σ 'αυτή την



7

τελευταία περίπτωση βρίσκω για πρώτη φορά µ ια συστηµατική

διδακτική προσέγγιση της διδασκαλίας του πυθαγόρειου θεωρήµατος .

Οι µαθητές διδάσκονται στην πρώτη τάξη του Γυµνασίου µε τη βοήθεια

µοντέλων µ ια γεωµετρία της κίνησης που καλλιεργεί ταυτόχρονα τη

διαίσθηση και τους συλλογισµούς . Με κατασκευές , χειρισµούς και

συγκρίσεις αποδείχνουν το θεώρηµα αλλά και ένα ισοδύναµο θεώρηµα

του Ευκλείδη . Στη δεύτερη τάξη το πυθαγόρειο θεώρηµα επανέρχεται

και γενικεύεται για ορθογώνια και πλάγια παραλληλόγραµµα , και στην

τρίτη τάξη ασχολούνται απ ' ευθείας µε τη γενίκευσή του µε σχήµατα

καµπυλόγραµµα . Για την ανάπτυξη αυτού του θέµατος διδασκαλίας

εµπνεύστηκαν από την ταινία του Paul Libois Le triangle de

Pythagore που είναι παραγωγή του Βελγικού Υπουργείου Παιδείας .

Στα ελληνικά εγχειρίδια Γεωµετρίας του αιώνα µας (αλλά και στα

εγχειρίδια γεωµετρίας άλλων χωρών , Gattegno (1963)), η απόδειξη του

πυθαγόρειου θεωρήµατος γίνεται είτε µε τη βοήθεια της οµοιότητας

τριγώνων είτε µε τον κλασικό τρόπο του Ευκλείδη προσαρµοσµένο στη

σύγχρονη γεωµετρική γλώσσα . Η ευκλείδεια απόδειξη είναι αρκετά

πολύπλοκη και απαιτεί την κατανόηση ενός σύνθετου γεωµετρικού

σχεδίου , πράγµα που δεν καταφέρνει µεγάλος αριθµός µαθητών .

Έχοντας υπόψιν τις δυσκολίες κατανόησης τέτοιων γεωµετρικών

σχεδίων προτείνω :

1. την εισαγωγή στα σχολικά βιβλία της Γεωµετρίας των γεωµετρικών

εικονογραφηµάτων (όπου φυσικά αυτό απλουστεύει την κατανόηση

µ ιας σύνθετης γεωµετρικής δραστηριότητας)

2. τη χρήση οπτικών δυναµ ικών αποδείξεων µε τη βοήθεια

γεωµετρικών εικονογραφηµάτων και

3. τη χρησιµοποίηση αυτών των εικονογραφηµάτων ως σεναρίων για

την παραγωγή λογισµ ικού µε έµφαση στην κίνηση και τους

µετασχηµατισµούς των γεωµετρικών σχεδίων .

Με την προσέγγιση αυτή επιτυγχάνονται :



8

1. Η απλοποίηση του τρόπου παρουσίασης των πληροφοριών στο

γεωµετρικό σχέδιο αφού περιορίζεται ο στατικός και ολιστικός του

χαρακτήρας . Γίνεται µερική τουλάχιστον γραµµ ικοποίηση του αφού

ένα γεωµετρικό εικονογράφηµα διαβάζεται όπως ένα κείµενο , από

αριστερά προς τα δεξιά και από πάνω προς τα κάτω .

2. Η πλήρης αντιστοίχιση σχεδίου και µαθηµατικού κειµένου , αφού

κάθε καρέ του γεωµετρικού εικονογραφήµατος συνοδεύεται από το

κείµενο που το σχολιάζει και µόνον .

3. Η εισαγωγή µε άµεσο τρόπο χρονικότητας- ιστορικότητας (πριν ,

τώρα , µετά) στη γεωµετρική δραστηριότητα του βιβλίου . Ο µαθητής

µπορεί να παρακολουθήσει τη γένεση του γεωµετρικού σχεδίου και

να ανατρέξει σ ' αυτήν ανά πάσα στιγµή .

4. Η εισαγωγή , κάθε φορά , συγκεκριµένων , "ορατών" νέων στοιχείων-

πληροφοριών , που µπορούν ευκολότερα να εντοπίσουν και στη

συνέχεια να διαπραγµατευτούν οι µαθητές .

5. Ο περιορισµός του κειµένου που συνοδεύει το γεωµετρικό σχέδιο .

6. Η άµεση , οπτική επανάληψη της ύλης στη διάρκεια της µελέτης του

µαθητή και η δηµ ιουργία πλούσιων και κινητικών

(κινηµατογραφικών) νοερών αναπαραστάσεων .

7. Η εισαγωγή έµµεσα της έννοιας του µετασχηµατισµού και της

αναλλοίωτης ενός µετασχηµατισµού που είναι βασικές τόσο για τη

σύγχρονη αντίληψη των Μαθηµατικών (Parert, 1981) όσο και για τη

γνωστική ανάπτυξη (Vergnaud, 1981).

Τέλος το γεωµετρικό εικονογράφηµα παρουσιάζει και ένα πλεονέκτηµα

σε σχέση µε το σχέδιο στον µαυροπίνακα : είναι εύκολο να πας "πίσω",

σε προηγούµενο στάδιο της απόδειξης , χωρίς να χρειαστεί να σβήσεις-

τροποποιήσεις µέρος του γεωµετρικού σχεδίου .

3. Η εισαγωγή κίνησης στα γεωµετρικά εικονογραφήµατα µέσω

Η /Υ . Το πρόγραµµα ΠΥΘΑΓΟΡΑΣ .



9

Η δυναµ ική απόδειξη του πυθαγόρειου θεωρήµατος αλλά και των

επεκτάσεών του µπορούν να αποτελέσουν τη βάση σεναρίων για τη

δηµ ιουργία λογισµ ικού στο οποίο κύριο χαρακτηριστικό να είναι η

κίνηση . Τα έξι στάδια "δένονται" µεταξύ τους , όχι πια µε νοερές

αναπαραστατικές διαδικασίες µετασχηµατισµού , αλλά µε συνεχείς

οπτικές εικόνες που αναπαριστούν µε υλικό , άµεσο και συνεχή τρόπο

τους σηµειούµενους µετασχηµατισµούς .

Το πρόγραµµα ΠΥΘΑΓΟΡΑΣ δίνει κίνηση στη δυναµ ική απόδειξη του

πυθαγόρειου θεωρήµατος που δόθηκε µε γεωµετρικά εικονογραφήµατα

προηγουµένως . Στην οθόνη του υπολογιστή εµφανίζονται όχι µόνο τα

έξι βήµατα αλλά και τα ενδιάµεσα . Η µετάβαση από το ένα στάδιο στο

άλλο γίνεται µε κίνηση που είναι φαινοµενικά συνεχής

(κινηµατογραφική) και δείχνει τους διαδοχικούς µετασχηµατισµούς

των τετραγώνων .

Το πρόγραµµα γράφτηκε σε µ ια πρώτη µορφή σε BASIC για Amstrad

6128 µε την προγραµµατιστική βοήθεια του φυσικού-προγραµµατιστή

Κ . Τζάρα . Οι δυνατότητες της γλώσσας αυτής είναι περιορισµένες µε

αποτέλεσµα να παρουσιάζει το πρόγραµµα αρκετές ατέλειες στα

γραφικά . Στη µορφή αυτή το παρουσίασα στην τάξη µου της δευτέρας

γυµνασίου στο Γυµνάσιο Κασσάνδρας στη διάρκεια της σχολικής

χρονιάς 1991-92. Παρά το γεγονός ότι τα περισσότερα παιδιά δεν είχαν

καµ ιά προηγούµενη επαφή µε τον ηλεκτρονικό υπολογιστή και η

παρατήρηση των συµπεριφορών των παιδιών δεν ήταν συστηµατική ,

µπορώ να υποστηρίξω , µε βάση τη γενική εικόνα της τάξης , ότι το

εγχείρηµα είχε επιτυχία . Πράγµατι , τα παιδιά , βλέποντας τη δυναµ ική

απόδειξη µερικές φορές , ήταν σε θέση να περιγράψουν τη µαθηµατική

του σηµασία µε τη χρήση των εµβαδών των τετραγώνων . Στη συνέχεια

ζήτησα από τα παιδιά να δώσουν την αλγεβρική σχέση που περιγράφει

αυτή η κατάσταση , πράγµα που πέτυχαν αρκετά εύκολα . Η εµπειρία

αυτή δεν µπορεί να αντικαταστήσει µ ια αυστηρή εµπειρική έρευνα τα

αποτελέσµατα της οποίας µπορούν αυτά και µόνο να µας πείσουν για



10

την καταλληλότητα ή µη τέτοιων δραστηριοτήτων . (Αυτό που είναι

σίγουρα βέβαιο είναι η θερµή υποδοχή που επεφύλαξαν τα παιδιά στον

ηλεκτρονικό υπολογιστή . Το µέσον είναι µήνυµα για τα παιδιά . Το

µέσον έχει ήδη αγαπηθεί από τα παιδιά . Αναµένεται η σωστή χρήση

του να δικαιώσει αυτή τη συναισθηµατική επένδυσή τους .)

Στη συνέχεια το πρόγραµµα γράφτηκε πάλι , για την ακρίβεια γράφεται

αφού αυτό που σας παρουσιάζω είναι σε µορφή δοκιµ ίου , µε τη

βοήθεια πάντοτε του Κ . Τζάρα , αυτή τη φορά σε γλώσσα Turbo Pascal

για Windows 3.1. Η γλώσσα Turbo Pascal αλλά και το περιβάλλον των

Windows δίνουν τεράστιες δυνατότητες . Έτσι , είναι δυνατή η ροή της

κίνησης προς τα πίσω , η ταυτόχρονη παρουσίαση στην οθόνη

περισσοτέρων βηµάτων σε ξεχωριστά παράθυρα , η παρουσία

παραθύρων βοήθειας , ιστορικών πληροφοριών , η παρουσίαση αν αυτό

κριθεί χρήσιµο του σχολικού εγχειριδίου στο σύνολό του ή µόνο των

συναφών κεφαλαίων , διδακτικών και άλλων πληροφοριών για τον

καθηγητή , υποδείξεων για προβληµατισµό και περαιτέρω µελέτη .

Με το πρόγραµµα ΠΥΘΑΓΟΡΑΣ παρουσιάζω µόνο τη δυνατότητα

παραγωγής ενός συγκεκριµένου λογισµ ικού "τοπικού" χαρακτήρα για

το µάθηµα της Γεωµετρίας . Η ολοκλήρωσή του σε πλήρες διδακτικό

"πακέτο" απαιτεί πολλές ακόµα εκατοντάδες ανθρωποώρες διδακτικής

ανάλυσης και συγγραφής νέων σεναρίων , προγραµµατιστικής ανάλυσης

και προγραµµατισµού και τέλος πειραµατισµού σε τάξεις και

αξιολόγησης . (Αυτό είναι εξάλλου και το πρόβληµα που προκύπτει µε

τη χρήση των ηλεκτρονικών υπολογιστών στη διδασκαλία όλων των

µαθηµάτων : η δηµ ιουργία επαρκούς και κατάλληλου λογισµ ικού .) Στην

τελική του µορφή θα περιλαµβάνει και τις γενικεύσεις του πυθαγόρειου

θεωρήµατος που παρουσίασα προηγουµένως σε εικονογραφήµατα , ώστε

το σύνολο να δηµ ιουργεί ένα περιβάλλον µάθησης (Τζεκάκη , in press),

που θα χαρακτηρίζεται από ενότητα στο µέσον και στη µέθοδο και

συνοχή ως προς το περιεχόµενο .

4. Συζήτηση .



11

Τα γεωµετρικά σχέδια και η οπτική και δυναµ ική λογική των

αποδείξεων που παρέθεσα δε µοιάζουν σε τίποτε στις ορθόδοξες

αποδείξεις και τα ολιστικά και στατικά γεωµετρικά σχέδια που

συνήθως χρησιµοποιούνται στα σχολικά εγχειρίδια και τα άλλα βιβλία

της Γεωµετρίας και για το λόγο αυτό ίσως ξενίσουν µερικούς

συναδέλφους . Η εξοικείωση µε τον καινούριο τρόπο είναι πάντοτε

δύσκολη , γιατί απαιτεί πρόσθετη προσπάθεια κατανόησης και

αφοµοίωσης και γιατί προϋποθέτει την υπέρβαση των αντιστάσεων που

θέτουν οι ριζωµένες βαθειά παραδοσιακές µορφές διδασκαλίας της

Γεωµετρίας .

Τα εικονογραφήµατα , όταν γίνονται µε βάση τους µετασχηµατισµούς

που υφίστανται τα µαθηµατικά αντικείµενα στα πλαίσια µ ιας θεωρίας ,

δηµ ιουργούν ισχυρό ευρετικό πλαίσιο , αφού επιτρέπουν στους

µαθητές χρησιµοποιώντας µ ια βασική µέθοδο να λύσουν πολλά

προβλήµατα αλλάζοντας απλώς τις τιµές των δοσµένων παραµέτρων ,

προβλήµατα που µέχρι τώρα λύνονται µε το δικό του , διαφορετικό

τρόπο το καθένα . Έτσι η µέθοδος αυτή έχει ενοποιητικό χαρακτήρα και

είναι χρήσιµο εργαλείο στην προσπάθεια κατανόησης της γενίκευσης .

Στις µέρες µας γίνεται ζωηρή συζήτηση για το αν µπορούν τέτοιοι

οπτικοί συλλογισµοί (visual reasoning) να θεωρούνται µαθηµατικά

έγκυροι και κατάλληλοι για παρουσίαση και χρησιµοποίηση στη

σχολική τάξη και είναι πολλές οι θετικές εισηγήσεις (Dreyfous 1990,

Καλδρυµ ίδου & Οικονόµου 1992, Kaldrimidou 1993). Όµως η

αναγκαία διδακτική µετάπλαση που υφίσταται η µαθηµατική θεωρία

για να γίνει διδακτέα ύλη µπορεί να επεκταθεί και σε ζητήµατα

µεθοδολογίας αλλά και µέσων παρουσίασής της . Αυτό εξάλλου γίνεται

κατ ' ανάγκη και κατά κόρον στις τάξεις του ∆ηµοτικού Σχολείου και

του Γυµνασίου .

Ο ηλεκτρονικός υπολογιστής είναι το δυναµ ικό µέσο που βοηθάει την

οπτικοποίηση , την παρουσίαση οπτικών συλλογισµών και κυρίως

γεωµετρικών µετασχηµατισµών µε την εισαγωγή κίνησης . Είναι το



12

µέσο που µπορεί να εκσυγχρονίσει τη διδασκαλία της Γεωµετρίας και

να τη συµφιλιώσει µε τις νέες τεχνολογίες και το φορτισµένο

τεχνολογικά περιβάλλον του µέλλοντος . Η παραγωγή λογισµ ικού προς

αυτή την κατεύθυνση απαιτεί χρόνο και χρήµα , αλλά , ταυτόχρονα , η

πολλαπλασιαστική και παιδαγωγική του δύναµη µπορεί να αποσβέσει

µ ια τέτοια επένδυση πολύ γρήγορα . Στη χώρα µας , η παραγωγή τέτοιου

λογισµ ικού είναι ανύπαρκτη , σε µ ια εποχή που το µέσο του Η/Υ είναι

στη διάθεση των δασκάλων των Μαθηµατικών .

Τέλος , αυτό που είναι σηµαντικό και πρέπει να λάβουµε σοβαρά

υπόψιν µας στην οργάνωση της διδασκαλίας του µαθήµατος της

Γεωµετρίας είναι ότι οι µαθητές είναι περισσότερο από µας , για λόγους

καθαρά πολιτισµ ικούς , εξοικειωµένοι µε τρόπους ανάγνωσης

οπτικοποιηµένων µηνυµάτων .

______________________________

Όσοι ενδιαφέρονται να γνωρίσουν ή και να χρησιµοποιήσουν το

πρόγραµµα ΠΥΘΑΓΟΡΑΣ στις τάξεις τους µπορούν να επικοινωνήσουν

µαζί µου στα τηλέφωνα (031) 843785 & 207379 ή να µου γράψουν στη

διεύθυνση : Οικονόµου Ανδρέας , Γαµβέττα 93α , 54644 Θεσσαλονίκη .

ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ

1. Arnheim Rudolf (1971). Visual Thinking. California, University of

California Press.

2. Ασλανίδου Σοφία (1992). Εκπαιδευτική Τεχνολογία και

Οπτικοακουστική Αγωγή . Θεσσαλονίκη , Εκδοτικός Οίκος Αδελφών

Κυριακίδη .

3. Berger John (1980). Η εικόνα και το βλέµµα . Αθήνα , Εκδόσεις

Οδυσσέας .

4. Brousseau Guy (1984). Etudes de Questions d' Enseignement, un

Exemple: la Geometrie. Κείµενο που παρουσιάστηκε στο συνέδριο

"The research in teaching of Mathematics, i ts objects and

consequences", Trento, Italie.

5. Castelnuovo Emma & Barra Mario (1980). La Mathematique dans la

Realite. Paris, CEDIC.

6. Dreyfus Tommy (1990). On the Status of Visual Reasoning in

Mathematics and Mathematical Education. In Furinghetti F. (Ed.),

Proceedings of the 15th International Conference on the Psychology

of Mathematics Education, Vol. II, (pp. 27-34), Mexico.

7. Euclid (1956). The Thirteen Books of Elements. New York, Dover

Publications.

8. Eves Howard (1989). Μεγάλες Στιγµές των Μαθηµατικών έως το

1650. Αθήνα , Εκδόσεις Τροχαλία .

9. Hershkowitz Rina (1990). Psychological Aspects of Learning

Geometry. In Nesher Pearla and Kilpatrick Jeremy (Eds)

Mathematics and Cognition. ICMI Study Series, Cambridge,

Cambridge University Press.

10. Hocquenghem Marie-Louise, Missenard Claudie, Missenard

Didier, Monnet Francoise, Serfati Anne-Marie & Tartary Gerard

(1980). Histoire des Mathematiques pour les Colleges. Paris,

CEDIC.



2

11. Gardner Martin (1971). Martin Gardner's Sixth Book of

Mathematical Games from Scintific American. New York, Freeman.

12. Gattegno Caleb. (1963). For the Teaching of Mathematics, vol.1.

London, Educational Explorers Company, Mathematical Teaching

Series.

13. Καλδρυµ ίδου Μαρία & Οικονόµου Ανδρέας (1992). ∆εξιότητα

χειρισµού γραφικών παραστάσεων αποφοίτων Λυκείου . Τετράδια

∆ιδακτικής Μαθηµατικών , τεύχος 10-11, pp. 21-44.

14. Kaldrimidou Maria (1993). Statut de la visualisation chez les

etudiants et les professeurs des Mathematiques. La Matematica e la

sua Didattica (in press).

15. Lautman Albert (1937). Essai sur l 'Unite des Mathematiques et

divers ecrits. Paris, Union General d'Editions, Inedit 10/18.

16. Papert S. (1981). Jaillessement de l 'esprit: ordinateurs et

apprentissage. Paris, Flammarion, 1981.

17. Τζεκάκη Μαριάννα (1993). Το γεωµετρικό σχήµα : αντικείµενο ή

µέσο ; (in press).

18. Τσιµπουράκης ∆ . (1988). Το Πυθαγόρειο Θεώρηµα και η

επέκτασή του . Ευκλείδης β ' , τεύχος 3, τόµος κα ' . Αθήνα , Ε .Μ .Ε .

19. Vergnaud G. (1981). L'enfant, la mathematique et la realite.

Berne, Peter Lang.

Documents

1995 - Οικονόμου Α. - Η Εισαγωγή Κίνησης στο Γεωμετρικό Σχέδιο με τη Βοήθεια του ΗΥ