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ESCOLA SECUNDÁRIA SÁ DE MIRANDA Ficha de trabalho nº 1 12º 5/9 Setembro 2008 Fernanda Carvalhal 1 1. Considere as funções reais de variável real f e g definidas por 1.1. fx () = 2 + log 3 2 x 1 e gx () = 2 1 3 x2 1.2. Determine o domínio de cada uma das funções. 1.3. Determine as coordenadas dos pontos de intersecção do gráfico de f com os eixos coordenados. 1.4. Indique, justificando, o valor lógico da proposição x 1 ,x 2 D g ,g x 1 ( ) < gx 2 ( ) x 1 < x 2 . 1.5. Caracterize a função inversa de f, indicando o contradomínio de f. 1.6. Indique o domínio de gof bem como a sua expressão analítica. 1.7. Quais os valores de x que verificam a condição gx () ≤−1 . 2. No inicio de 2004 foram lançadas num lago 1000 trutas com um ano de idade. O numero de trutas vivas, N, decorridos n t anos, é dado por Nt ( ) = a × 0,9 t ,t 0 2.1. Diga justificando, qual o valor de a. 2.2. Quando houver menos de 100 trutas no lago deverá proceder‐se ao repovoamento. Em que ano se prevê que tal aconteça? 2.3. Qual a percentagem de redução anual do numero de trutas? 3. O valor V de um computador, em milhares de euros, decorridos t anos após a sua aquisição é dado por Vt () = k × 3 0,7t + 0,2,t 0 . 3.1. Um computador custou 1200 euros. Prove que, neste caso, k=1. 3.2. Quantos anos serão necessários para que o valor de um computador fique reduzido a metade do preço de compra.

1ª ficha de trabalho

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2008/09

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ESCOLASECUNDÁRIASÁDEMIRANDAFichadetrabalhonº1 12º5/9Setembro2008

Fernanda Carvalhal 1

1. Considereasfunçõesreaisdevariávelrealfegdefinidaspor

1.1. f x( ) = 2+ log3 2

x−1

⎝⎜⎞

⎠⎟eg x( ) = 2

1−3x−2

1.2. Determineodomíniodecadaumadasfunções.

1.3. Determineascoordenadasdospontosdeintersecçãodográfico de f com os eixos coordenados.

1.4. Indique,justificando,ovalorlógicodaproposição

∀x1 ,x2∈Dg

,g x1( ) < g x2( )⇒ x1 < x2 .

1.5. Caracterizeafunçãoinversadef,indicandoocontradomíniodef.

1.6. Indiqueodomíniodegofbemcomoasuaexpressãoanalítica.

1.7. Quaisosvaloresdexqueverificamacondiçãog x( ) ≤ −1 .

2. Noiniciode2004foramlançadasnumlago1000trutascomumanode idade.Onumerodetrutas

vivas,N,decorridosntanos,édadopor

N t( ) = a × 0,9t ,t ≥ 0

2.1.Digajustificando,qualovalordea.

2.2.Quandohouvermenosde100trutasnolagodeveráproceder‐seaorepovoamento.Emqueano

seprevêquetalaconteça?

2.3.Qualapercentagemdereduçãoanualdonumerodetrutas?

3.OvalorVdeumcomputador,emmilharesdeeuros,decorridostanosapósasuaaquisiçãoédadopor

V t( ) = k ×3−0,7t +0,2,t ≥0 .

3.1. Umcomputadorcustou1200euros.Proveque,nestecaso,k=1.

3.2. Quantos anos serão necessários para que o valor de um computador fique reduzido a

metadedopreçodecompra.

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Fichadetrabalhonº1 2008/09

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3.3. CalculeV t +1( )− V t( ) einterpreteoresultadoobtido.3.4. ConstruaográficodeVediga, justificando,qualovalordocomputadoraofimdemuito

tempo.

4. Sabe‐sequeumadeterminadasubstânciasedesintegrasendoamassa,emgramas,aofimdetanos,

dadaporm t( ) = a × e−kt   , t ≥ 0 .4.1. Sabe‐se que amassa inicial de 2g está reduzida ametade ao fim de 6meses. Determine a e k e

verifiquequem t( ) = 2−2t+1 .

4.2.Verifiquequem t +1( ) −m t( ) édirectamenteproporcionalam(t)

5. AleidoequilíbriotérmicodeNewtondizqueatemperaturadeumcorponumdeterminadoinstante

dependeda temperaturaambienteeda temperatura inicialdeste.Observou‐sea temperaturaTde

umcorpo,decorridostminutosapóselesercolocadonumdeterminadoambienteeverificou‐seque

estasduasvariáveisestavamrelacionadaspelomodelo:

T t( ) =10+90×2−kt (T,temperaturaemoCe,t ,tempo,emminutos]

5.1. Qualeraatemperaturainicialdocorpo?

5.2. Sabe‐sequedecorridaumahoraatemperaturadocorposeráde

20oC.Provequeovalor

deké,nestasituação,aproximadamente0,05.

5.3. Com o auxilio da calculadora gráfica conjecture um valor para a temperatura ambiente.

Justifiquearespostaapresentandoosgráficosqueconsiderepertinentes.

6. Onumeromáximodehoras,N,queumoperáriopodetrabalhar,pordia,dependedonívelderuídono

localdetrabalho,d,emdecibéis.EstenumeroédadoporN d( ) = 13− 311d500 .

6.1. O nível de ruído produzido por um martelo pneumático em laboração é de

aproximadamente80dB.Qualonumeromáximodehorasqueumoperáriopoderátrabalharcom

ummartelopneumático,pordia.

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6.2. Uma empresa está impedida de trabalhar em turnos de 8 horas diárias pois o nível de

ruídoédemasiadoalto.Paraquevalordeverábaixaronívelderuídodemodoaquepossalaborar

8horaspordia.

6.3. Escrevaumaexpressãoquepermitadeterminaronívelderuídoconhecidoonumerode

horasqueépermitidotrabalhar.

7. Foramdepositados,noiniciode2002,1000eurosàtaxaanualde2%ecomcapitalizaçãoautomática

anual.

7.1. QualocapitalemJaneirode2003?

7.2. Qualseráocapitaldecorridosnanosaposodepósito?

7.3. Quantosanosserãonecessáriosparaocapitalduplicar?

8. A intensidade da luz, L, em cal.cm−2s−1 , varia com a profundidade de um determinado lugar, no

oceano. Suponha que num determinado local a intensidade luminosa está relacionada com a

profundidade,h,emmetros,pelaexpressãoL = 8 × 2,5−h ,h ≥ 0 .

8.1. Qualaintensidadedaluzàsuperfície?

8.2. Aqueprofundidadeaintensidadedaluzéinferiora3 cal.cm−2s−1 ?

8.3. Determine o valor de x que verifica a condição L x + h( ) = 12L h( ) e interprete o valor

obtidonocontextodoproblema.

8.4. Encontre uma expressão que lhe permita determinar a profundidade conhecida a

intensidadedaluz.

8.5. Utilizeaspotencialidadesdasuacalculadoraparaconjecturarovalordaintensidadedaluz

emlocaismuitoprofundos.Expliquecomoprocedeuapresentandoosgráficosqueutilizou.

9. Apopulaçãodeáguiasreaisdeumparquenaturalsegueummodelodecrescimentologístico.Assim,

onumerodeáguias,N,decorridostanosdesdeoiniciode2000édadoporN t( ) = 5501+ 4e−0,1t

, t ≥ 0 .

9.1. Quantaságuiasexistiamnoiniciode2000?

9.2. Qualaprevisãodonumerodeáguiasnofimde2009?

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9.3. Sabe‐sequeafaseestacionariadestecrescimentoéiniciadaquandodecorreram ln 40,1

anos.

Qualseráonumerodeáguiasnestaaltura?

9.4. Ao fim demuito tempo o crescimento destas populações émuito pequeno havendo um

supremoquenuncaéatingido.Diga,justificandoconvenientemente,qualéestevalor.

10. Paramediramagnitudedeumsismousa‐seaescalaabertadeRichterquearelacionacomaenergia

libertada. Sendo M a magnitude de um sismo e E a energia libertada, em Joules verifica‐se que

E = 105,2+1,4M .

10.1. OterramotodeDezembrode2004,emSamatrafoiumdosdemaiormagnitudedequehá

registo:teveumamagnitudede9,1.Qualaquantidadedeenergialibertada?

10.2. Escreva uma expressão que lhe permita determinar a magnitude conhecida a energia

libertada.

10.3. Qualarazãoentreasenergias libertadaspordoissismoscujasmagnitudesdiferemde3

décimas.

11. A relação de Ehrenberg, lnP = ln2,4 + 0,0184h relaciona o peso P, em kg, com a altura h, em

centímetros,derapazescomidadeentreos5eos13anos.

11.1. OJoãopesa35kg.Segundoestemodeloqualdeveráserasuaaltura?

11.2. OLuísmede1,5metrose,segundoestemodeloéconsideradomagro.Quevalorespoderá

teropesodoLuis’

11.3. Escrevaumaexpressãoquepermitadeterminaraalturaemfunçãodopeso.

11.4. Determine o valor de x que verifica a condição h P + x( ) − h P( ) = 30 e interprete oresultadoobtido.

11.5. Prove que P = 2,4 × e0,0184h e verifique que P h + 20( )P h( ) é constante. Que significa esta

constante?

12.Seja un( ) umaprogressãoaritméticaemqueoquintotermoé log4 24( ) eooitavotermoé log4 3( ) .

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12.1.Provequearazãodaprogressãoé −

12determineoprimeirotermo.

12.2.Verifiquequeotermogeraldasucessãoé un =

8 − n2

+ log4 3 .

13. Sabe‐seque vn( ) éumaprogressãoaritméticacujarazãoé −

12 .Sejaainda wn( ) umasucessão

definidapor w n = 2 × 9vn .Proveque wn( ) éumaprogressãogeométricaedetermineasuarazão.

14.Seja un( ) umaprogressãogeométricadetermospositivosederazão4e vn( ) asucessãodefinidaporvn = log8 un .

14.1.Proveque vn( ) éumaprogressãoaritméticaderazão

23.

14.2. Verifique que a soma dos n primeiros termos de vn( ) é dada, em função de u1 por

Sn = n × log8 u1 × 2n−1( ) .

15. Indiqueoconjuntodosnúmerosreaisquesãosoluçõesdacondição

x − 5( ) × log4 4 − x( ) ≥ 0 .

16. Caracterizeafunçãoinversadecadaumadasfunçõesdefinidaspor:

16.1. f x( ) = ex − 3

2 + ex+1

16.2. g x( ) = 2 − log4 x

2 − log2 x

16.3. h x( ) = ln 1− ex( )

16.4. p x( ) = 2

1ln x−3