1Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs Sprungantwort

1 Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs

Sprungantwort

)(th )(* tU out


„Common-Source“ Verstärker

Eingang

Ausgang

Rg

Rd



+

gm UIN

Cg Summe aller Kapazitäten zwischen Gate und Source

Cf

Cd Rd||Rds

Rg -

Eingang Ausgang

Cg

Cf Summe aller Kapazitäten zwischen Gate und Drain

Cd Summe aller Kapazitäten zwischen Drain und Masse

Eingang

Ausgang

Rg

Rd

Cg

Cf

Cd Rds



Eingang

Ausgang

Rg

Rd

Cg

Cf

Cd Rds



Eingang

Ausgang

Rg

Rd||Rds

Cg

Cf

Cd


Millereffekt

testtest ICD

U1

Uin Uout

)( outintest UUCDI

)( inintest AUUCDI

outin AUU

testintest IDAC

UU)1(

1

C

LCMeter

LCMeter

-A

C

(1+A)C

C



Eingang

Ausgang

Rg

Rd||Rds

dmRgA

)1( dmfgIN RgCCC

fdOUT CCC

Cg

Cf

Cd



indmout URgU '

UIN

UOUT

)()1( ''1 fdddmfgg CCRRgCCRa

DC Verstärkung

Dominante Zeitkonstante

Wichtige Kapazitäten: Cd – Lastkapazität (groß), Cf – verstärkt durch Millereffekt

Diese Kapazität wird durch Miller-Effekt verstärkt

Rg

Rd

Cd

Cf

Nachteil: Verstärkung hängt vom Lastwiderstand ab

Cg

dsdd RRR ||'


Sourcefolger

UIN

UOUT

Eingang

Ausgang

+

gm UGSCgd

Cgs

Cs Rs‘ = Rs||Rds

Rg

-Eingang Ausgang

Cgs Kapazität zwischen Gate und Source

Cgd Kapazität zwischen Gate und Drain

Cs Summe aller Kapazitäten zwischen Source und Masse

RsRg


Sourcefolger - Zeitkonstanten

''

'1

11 sm

gsgdg

sm

gsss

Rg

CCR

Rg

CCR

UIN

UOUT

Eingang

Ausgang

Rs

Cgd

Cgs

Cs

ININ

ms

msOUT UU

gR

gRU

'

'

1DC Verstärkung


Diese Kapazitäten werden durchdie Wirkung des Transistors stark gedämpft

Rg

Der Generator Ig „sieht“ die große Lastkapazität Cs nicht

dssS RRR ||'


Kaskade von 2 „common–sorce“ Verstärkern

UIN

UOUT

AusgangEingang

Rg1

Rd1

Rd2


Kaskade von 2 CS

indmdmout URgRgU 2211DC Verstärkung


)()1(

)()1(

22222221

11111111

fdddmfgd

fdddmfgg

CCRRgCCR

CCRRgCCR

UIN

UOUT

Cf1

Cf2

Cd2DC Verstärkung ist Produkt von Verstärkungen einzelner Stufen

Die Zeitkonstante ist Summe von der Zeitkonstanten einzelner Stufen

Rg1

Rd1 Rd2

Wichtige Kapazitäten: Cf1, Cf2 – Millereffekt, Cd2 - Lastkapazität

)()1(

)()1(

22222221

11111111

fdddmfgd

fdddmfgg

CCRRgCCR

CCRRgCCR

indmdmout URgRgU 2211


Kaskade von CS und Source-Folger

UIN

UOUT

Ausgang

Eingang

Rg1

Rd1

Rs2


Kaskade von CS und Source-Folger

112'

2

2'

211 1 dmin

sm

smdmout RgU

Rg

RgRgU

UIN

UOUT

Ausgang

Eingang

DC Verstärkung

2'

2

222'

2'

2

22111

11111

1

)1

(

)1(

sm

sgss

sm

gsgdfdd

dmfgg

Rg

CCR

Rg

CCCCR

RgCCR


Die Lastkapazität wird gedämpft, der Generator „sieht“ die Kapazität nicht

Rg1

Rd1

Rs‘2 DC Verstärkung wie beim common-source Verstärker – aber sie hängt vom Lastwiderstand Rs2 nicht ab. Gut für die Ausgangsverstärker

Cs2Cgs2

Cgd2

Cd1

Cf1

Kleine Kapazitäten

Millereffekt


Kaskade von CS und Source-Folger vs Kaskade von 2 CS

112'

2

2'

211 1 dmin

sm

smdmout RgU

Rg

RgRgU

2'

2

222'

2'

2

22111

11111

1

)1

(

)1(

sm

sgss

sm

gsgdfdd

dmfgg

Rg

CCR

Rg

CCCCR

RgCCR

indmdmout URgRgU 2211

)()1(

)()1(

22222221

11111111

fdddmfgd

fdddmfgg

CCRRgCCR

CCRRgCCR

indmout URgU 11

2

22221

11111111

)(2

)()1(

m

fdfgd

fdddmfgg

g

CCCCR

CCRRgCCR

22/1 dm Rg

2 cs

Cs+sf


Kaskode

UIN

UOUT

Ausgang

Eingang

Rg1

Rc1

UIN

UOUT

Rg1

Rc1

Cs2

Cd2

Cg1

Cf1

Cd1

Source und Bulk sind getrennt


Kaskode

incmout URgU 21

UIN

UOUT

Ausgang

DC Verstärkung

222111

*

1*

1111

)(

)1(

dcgsfdd

dmfgg

CRCCCR

RgCCR


Rg1

Rc2

Ab hier „sieht“ der common source Verstärker nur noch den kleinen Widerstand R*

d1 ≈ 1/gm2.Das mildert Millereffekt und macht die Kaskode schneller als „common cource“.

Cd2

Schwaches Millereffekt


Verstärker

„Common Source“ Kaskade CS mit Sourcefolger Kaskode

outmRg 2211 outmoutm RgRg 11 outm Rg outm Rg 1

foutmg CRgR 2221111 foutmoutfoutmg CRgRCRgR foutmg CRgR 11 outoutCR

fC

outR

gR

outC

1outR 2outR 1outR

2outR

outR

V

τ


Reziprozität

V0

I0

V0

I0

+

+

A A

V0

I0

V0

I0

+

+


Reziprozität

I0

V0

I0

V V

I0

V0

I0

+

+

+

V0

+

+

V0


Feedback (AC)


Sprungantwort

)(th )(* tU out


Schaltungen mit Kondensatoren

uC1

uC2

uGNur R



uC1

uC2

uG

+

+

C2

C‘2

uG

+

uG = uC2 + uC‘2

Abhängige Kondensatoren

Unabhängige Kondensatoren



uC1

uC2

uG

Ersetzen wir alle (unabhängige) Kondensatoren durch Spannungsquellen Lösen wir das Gleichungssystem nach unbekannten iCi

Nur R

GC

C

C

C ud

d

u

u

cc

cc

i

i

2

1

2

1

2221

1211

2

1

GCCC uducuci 12121111


+

+

Matrix Form

Übliche Form



uC1


Nur R

GC

C

C

C ud

d

u

u

cc

cc

i

i

2

1

2

1

2221

1211

2

1



+

+



uC2


Nur R

GC

C

C

C ud

d

u

u

cc

cc

i

i

2

1

2

1

2221

1211

2

1



+

+



uG


Nur R

GC

C

C

C ud

d

u

u

cc

cc

i

i

2

1

2

1

2221

1211

2

1



+

+



GC

C

C

C ud

d

u

u

cc

cc

DuC

DuC

2

1

2

1

2221

1211

22

11

GCCC uducucDuC 121211111

GCCC uducucDuC 222212122

Ersetzen wir die iCi durch Ci DuCi („D“ ist zeitliche Ableitung)System von zwei Differentialgleichungen erster Ordnung

uC1

uC2

uGNur R

dt

tduCti

)()(

+


GCCC uducuci 22221212 +

+

Ersetzen wir i durch CDu



GC

C

C

C ud

d

u

u

cc

cc

DuC

DuC

2

1

2

1

2221

1211

22

11

GC

C ud

d

u

u

cDCc

ccDC

2

1

2

1

22221

12111

)(

)(

GC

C ud

d

cDCc

ccDC

cDCc

ccDCu

u

2

1

11121

12222

22221

121112

1

)(

)(

)(

)(1

GC DUUC

GC DUCU 1

2

22

dt

dD

dt

dD

t

dD0

1

10

1

t

ddt

dDD

10

1 t

dd

dDD

Gruppieren wir alle Koeffizienten und Ableitung-Operatoren (D) in eine Matrix

Lösen wir die Matrixgleichung nach Uc auf

inverse Matrix



GC uDaDa

DbAu

1

1

12

2

11

GC

C ud

d

cDCc

ccDC

cDCc

ccDCu

u

2

1

11121

12222

22221

121112

1

)(

)(

)(

)(1

GC uDaDa

DbAu

1

1''

12

2

12

Matrixform

ausgeschrieben

Determinante Polynom 1. Ordnung!!!

Polynom 2. Ordnung!!!



GC uDaDa

DbAu

1

1

12

2

1

)(1

1)(

12

2

1 thDaDa

DbAtuC

)()1()()1( 112

2 thDbAtuDaDa C

)(th )(tuC

))()(()()()( 112 ththbAtutuatua CCC

h(t)

δ(t)

)(t

uG durch h(t) ersetzen

Ableitung von h(t) ist δ(t)

Differentialgleichung als Übertragungsfunktion

Differentialgleichung in üblicher Schreibweise

(1)



)()()( tututu CPCHC

))()(()()()( 112 thtbAtutuatua CCC

)()( tthuCP

)(th )(tuC

)(tuCP

)(t

)(th

)(tuCP)(tuCH

0

Die Lösung der DG hat die folgende Form:

Nur die partikulare Lösung ist interessant



))()()(()( 12 Attatath

))0()0(()( 112 baat

0)0()( 1 at

)0()()()()()()()())()(( ttthtthtthtthD

))()(()()()( 112 thtbAtutuatua CCC

)()( tthuC

)0()()0()()()())0()()()(())()((2 tttthttthDtthD

Attata )()()( 12

112 )0()0( baa

0)0(1 a

Setzen wir uc in die DG ein

Ableitungen von h(t)φ(t):

(1)

DG (1) wird: alle Koeffizienten müssen 0 sein

(2)

(3)

(4)



Aecect to

to 21

21)(

0112

2 aa 0)(

)(

22221

12111 cCc

ccC

Attata )()()( 12

112 )0()0( baa

0)0(1 a

Differentialgleichung (Gl. 2 von der letzten Seite)

Lösung ist Exponentialfunktion (homogen) + Konstante (partikular)

Konstanten λ sind die Lösungen der Quadratischen Gleichung

Anfangsbedingungen (Gl. 3 und 4 von der letzten Seite)



uC2

Koeffizienten a12 und a21 sind gleich

Nur R

GC

C

C

C ud

d

u

u

cc

cc

i

i

2

1

2

1

2221

1211

2

1



+

+



Nur R

GC

C

C

C ud

d

u

u

cc

cc

i

i

2

1

2

1

2221

1211

2

1



uC1+

+

Koeffizienten a12 und a21 sind gleich - deswegen…



Aecect to

to 21

21)(

Aecect to

to 21 /

2/

1)(

0112

2 aa

Aececthtu to

toC 21 /

2/

1)()(

Sind λ1 und λ2 real und kleiner als 0

Lösung

wird

)(1

1)(

12

2

1 thDaDa

DbAtuC

Gleichung (1) Seite 32:

Hat die Lösung:

21 /1,/1 sind die Wurzel des Polynoms:

0112

2 aa


Zeitkonstanten

C1

C2

Ci

Gnn

nn u

DaDa

DbDbiu

1...

1...,

1

1

nnRCRCa 010

11 ...

CN

Ω

Zur Messung von R01

Wir haben N unabhängige Kondensatoren. Jede Spannung oder Strom ist Lösung einer Differentialgleichung N-ter Ordnung

Der Koeffizient a1 kann wie folgend berechnet werden


Zeitkonstanten – die Formel für a2

C1

C2

Ci

Gnn

nn u

DaDaDa

DbDbiu

1...

1...,

12

2

1

nn

nnn RRCCRRCCa 11

012

110

212 ...

CN

Ω

Zur Messung von RN1


Tiefpass 2. Ordnung (Beispiel)

)(1

)1()(

12

2

12 tAu

DaDa

Dbtu GC

+

C1

R1

uG

C2

R2

+ +

Aececthtu to

toC 21 /

2/

12 )()(

)()( thtuG

Es gibt 2 unabhängige Kondensatoren

DG hat die Form (Nenner - Polynom 2. Ordnung, Zähler - Polynom 1. Ordnung) wie auf Seite 31

Wir suchen die Antwort auf Sprungfunktion

Die Lösung hat die Form (Seite 38)


Tiefpass 2. Ordnung

+

C1

R1

uG

C2

R2

+ +

1A

)(1

)1()(

12

2

12 tAu

DaDa

Dbtu GC

1V

Finden wir A (DC Verstärkung)

Es fließen keine Ströme

durch C

VuC 1)(2 weil


Tiefpass 2. Ordnung

GC AuDaDa

Dbu

1

)1(

12

2

12

R1R2

Ω

20

210

11 RCRCa 11

0 RR

Messung von R01

Formel

Ergebnis

Finden wir Konstante a1


Tiefpass 2. Ordnung

GC AuDaDa

Dbu

1

)1(

12

2

12

R1R2

Ω

20

2111 RCRCa 212

0 RRR

Messung von R02

Formel

Ergebnis

)( 212111 RRCRCa



Tiefpass 2. Ordnung

GC AuDaDa

Dbu

1

)1(

12

2

12

R1R2

Ω

21

10

212 RRCCa 11

0 RR

Messung von R01

Formel

Ergebnis



Tiefpass 2. Ordnung

GC AuDaDa

Dbu

1

)1(

12

2

12

R1R2

Ω

21

1212 RRCCa 22

1 RR

Messung von R12

Formel

Ergebnis

21212 RRCCa



Tiefpass 2. Ordnung

GC uDD

DbAu

)1)(1(

)1(

21

12

121221 , aa

1121 a 122 / aa

)( 212111 RRCRCa

21212 RRCCa

GC AuDaDa

Dbu

1

)1(

12

2

12

1A

(1)

(2)

Durch Vergleich von Nenner in (1) und (2)

Wenn… (τ1 – dominante Zeitkonstante)


Tiefpass 2. Ordnung

1)()( 21 /2

/12 t

ot

oC ececthtu

+

C1

R1

uG

C2

R2

uC

t

11 a 212 / aa

Bis jetzt hatten wir

Co1 und Co2 = ?

)( 212111 RRCRCa

21212 RRCCa


Tiefpass 2. Ordnung

+

C1

R1

uG

C2

R2

uC

t

dt

tduCti

)()(

+

0)0(2 Cu

0i0u

0t

0u

1)()( 21 /2

/12 t

ot

oC ececthtu

10 21 oo cc

Erste Anfangsbedingung:


Tiefpass 2. Ordnung

C1

R1

C2

R2

uC

t

2211 //0 oo cc

dt

tduCti

)()(

+

0)0(1

)0( 22

2 CC i

Cu

+

uG

0t

0i

0u

1)()( 21 /2

/12 t

ot

oC ececthtu

Zweite Anfangsbedingung:


Tiefpass 2. Ordnung

+

C1

R1

uG

C2

R2

uC

t

0t

So würde sich ein System 1. Ordnung verhalten

So verhält sich unsere Schaltung


Beispiel (2)

R1

R2

C1

C2

U0h(t)

Nur ein unabhängiger Kondensator! – fügen wir zusätzlichen Widerstand Rx. Es gilt: Rx -> 0!!!


Beispiel (2)

R1

R2

C1

C2

U0h(t)

Jetzt ist die Schaltung in Ordnung (zwei unabhängige Kondensatoren)

Rx


Beispiel (2)

GC uDaDa

Dbu

1

1

12

2

12

220

110

1 CRCRa

2211211 )||()||( CRRCRRa

))(()( 2/

121 CoeCothtu at

C

Die Differentialgleichung hat die Form

Es gilt (nach der Formel von Folie 39 und 40):

R1

R2

C1

C2

U0h(t)Rx

wir benutzten Rx = 0!

02121

10

2 CCRRa

(1)

Lösung der Gleichung (1)

220

110

1 CRCRa

Finden wir Co1 und Co2…


Anfangsbedingung (1)

R1

R2

C1

C2

U0h(t)

t = 0+

∞

∞

021

10

12

22 /1/1

/1)0( U

CC

CU

DCDC

DCuC

Großer Strom


Endzustand

R1

R2

U0h(t)

t = ∞

021

22 )0( U

RR

RuC

uC

t

021

2 URR

R

021

1 UCC

C

))||)(/(( 2121 RRCCte

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