중앙대학교 건설환경플랜트공학과 교수

김 진 홍

- 1주차 강의 내용 -

공업수학 미적분 기초문제 풀이 결과

1. 성적 분포

20점 만점 ; 5명 19, 18, 17점 ; 각2명 16점 ; 5명, 15점 ; 5명

14점 ; 7명 13~10점 ; 12명 9점 이하 ; 4명 (0점 1명) 총 44명 응답.

0

2

4

6

8

10

12

14

16

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44

미분

적분

공업수학 미적분 기초문제 풀이 결과

2. 미분은 그런대로 풀었으나, 적분 풀이가 약했음.

- 미분 14문제의 평균 득점은 11.84, 백분위로 84.58 %

- 적분 6문제의 평균 득점은 2.28, 백분위로 38.07 %

- 미분은 개인차가 있지만, 대부분 어느 정도 풀었음

- 적분은 몇 명만 제외하면 반도 못 푼 사람들이 대부분.

* 적분을 미분 문제인 줄 알고 푼 학생들도 있음

- 미분 중에서도 삼각함수와 대수함수를 연계한 경우 (chain rule) 풀지 못하는

학생이 더러 있었음.

- 적분은 hyperbolic 함수의 풀이에서 매우 약했음.

- 적분에 대해 좀더 기초적인 공부가 필요함.

3. 전반적으로 삼각함수와 대수함수에 관한 미분과 적분 연습이 필요함.

수학의 중요성

미국 오바마 대통령은 기회가 있을 때마다 수학의 중요성을 역설하고 있다.

http://www.whitehouse.gov

수학의 중요성

- 미국은 세계 최고의 과학대국이지만 수학교육에 대해서는 논란이 끊이질

않고 있다. 실제로 지난 2009년 경제협력개발기구(OECD)가 실시한 학업성

취도 평가에서 미국 학생들의 수학 실력이 전체 회원국 중 31위를 기록해

큰 충격을 준 적이 있다.

- 학술원은 '2025년의 수리과학(Mathematical Science in 2025)'이란 제하의

건의서를 통해 수학의 중요성을 강조했다. 인터넷·의학·일기예보·커뮤니케

이션 등 우리 실생활과 밀접한 관계가 있는 많은 분야에서 수학이 핵심역할

을 하고 있다는 분석이다.

"수학을 잘 해야 나라가 산다"

- 최근 수학교육은 지구촌 주요 국가들의 주요 정책과제가 되고 있다. 미 정

부가 대표적인 사례다. 부시 전 대통령의 경우 수학교육을 강조하면서 교육

시스템 개선에 엄청난 예산을 투입한 바 있다.

- 오바마 대통령 역시 기회가 있을 때마다. 수학의 중요성을 역설하고 있다.

1.1 Derivatives of polynomials and exponential function

1. Differentiation

1)( nn

nxdx

xd

2

1)(

xxf

dx

xdxf

)()('

2

122 x 32 x3

2

x

3 2xy dx

dx

dx

xd

dx

dy 3/23 2 )( 3

11

3

2

3

2

3

2

xx

Ex)

dx

xxxxxd )5610412( 3458 0)1(6)3(10)4(4)5(128 2347 xxxx

63016608 2347 xxxx

xx

edx

ed

)(

xexf x )(Ex) 1)()()(

)('

xxx

edx

xd

dx

ed

dx

xedxf

xexf )(''

1)'( nn nxxcf)

(a)

(b)

(c)

1.2 The product and quotient rules

1. Differentiation

The Product rules :

dx

xfdxg

dx

xgdxf

dx

xgxfd )]([)(

)]([)(

)]()([

xxexf )(dx

xde

dx

edx

dx

xedxf x

xx )()()()(' 1 xx exe

xex )1( Ex)

The Quotient rules :

2)]([

)]([)(

)]([)(

)(

)(

xg

dx

xgdxf

dx

xfdxg

dx

xg

xfd

21 x

ey

x

22

22

)1(

)1()()1(

x

dx

xde

dx

edx

dx

dyx

x

22

2

)1(

)2()1(

x

xeex xx

22

2

)1(

)1(

x

ex x

Ex)

gfgffg )'(

2

'

''

g

fggf

g

f

1.3 Derivative of trigonometric functions

1. Differentiation

xdx

xdcos

)(sin

xxdx

xdcotcsc

)(csc

xdx

xdsin

)(cos

xxdx

xdtansec

)(sec

xdx

xd 2sec)(tan

xdx

xd 2csc)(cot

xxxf sin)( 2Ex) xxxxxxxxxf cossin2)(sinsin)()( 222

x

xxf

tan1

sec)(

2

2

)tan1(

secsec)tan1(tansec

x

xxxxx

2

22

)tan1(

)sectan(tansec

x

xxxx

2)tan1(

)1(tansec

x

xx

xx 22 sectan1

2)tan1(

)tan1(sec)tan1()(sec)(

x

xxxxxf

1. Differentiation

1.4 Chain rules

)sin( 2xy

xy 2sin

dx

xd

dx

xd

dx

dy )())(sin( 22

xx 2)cos( 2

xx cos)(sin2 dx

xd

dx

xd

dx

dy )(sin)(sin2

Ex) (a)

(b)

))(()( xgfxF )())(()( xgxgfxF

(c)

12 xy1

212

1

22

x

xx

xdx

dy

xey sin

(d)

xedx

dy x cossin

3secey

(e)

3tan3sec3 3sec ed

dy

1.5 Derivative of inverse trigonometric functions

1. Differentiation

2

1

1

1)(sin

xdx

xd

2

1

1

1)(cos

xdx

xd

2

1

1

1)(tan

xdx

xd

1

1)(csc

2

1

xxdx

xd

1

1)(sec

2

1

xxdx

xd2

1

1

1)(cot

xdx

xd

Ex) x

y1sin

1

)(sin)(sin)(sin 12111 xdx

dxx

dx

d

dx

dy 1)

221 1)(sin

1

xx

xxy arctan2) xxx

xdx

dyarctan)

2

1(

)(1

1 2/1

2

x

x

xarctan

)1(2

1. Differentiation

1.6 Derivative of logarithmic functions

)ln(

1)(log

axdx

xd a

xdx

xd 1)(lnaa

dx

ad xx

ln)(

Ex) ),1ln( 3 xy1

3'

3

2

x

xy ),ln(sin xy x

x

xy cot

sin

cos1) 2)

,ln xy xx

xxyln2

1)(ln)(ln

2

1 2/1 3)

),sin2(log10 xy 4) 10ln)sin2(

cos)sin2(

10ln)sin2(

1

x

xx

xy

5) ,2

1ln

x

xy

2

1

1

2'

x

x

x

xy

2

)2)(2/1)(1(12

1

2 2/1

x

xxx

x

x

)2)(1(2

5

xx

x

* Definition of hyperbolic functions

2sinh

xx eex

2cosh

xx eex

x

xx

cosh

sinhtanh

xxh

sinh

1csc

xhx

cosh

1sec

x

xx

sinh

coshcoth

* Hyperbolic identities

xx sinh)sinh(

1sinhcosh 22 xx

xx cosh)cosh(

yxyxyx sinhcoshcoshsinh)sinh(

xhx 22 sectanh1

yxyxyx sinhsinhcoshcosh)cosh(

1. Differentiation

Verify ;

2222 )2

()2

(sinhcoshxxxx eeee

xx

,cosh

1

cosh

sinh1

22

2

xx

x

4

2

4

2 2222 xxxx eeee

1

1sinhcosh 22 xx xhx 22 sectanh1 (a) (b)

1. Differentiation

xyxy sinhsinh 1 xyxy coshcosh 1

xyxy tanhtanh 1

)1ln(sinh 21 xxx )1ln(cosh 21 xxx

)1

1ln(

2

1tanh 1

x

xx

* Inverse hyperbolic functions

(a)

(b) ,1sinhcosh 22 xx xhx 22 sectanh1

Verify ;

1. Differentiation

)1ln(sinh 21 xxx

Let .sinh 1 xy Then2

sinhyy ee

yx

02 yy exe 01)(2)(012 22 yyyy exexee

Quadratic eq. in ye1

2

442 22

xxxx

e y

12 xxe y

)1(ln 2 xxy

)1ln(sinh 21 xxx

1. Differentiation

1.7 Derivative of hyperbolic functions

xdx

xdcosh

)(sinh x

dx

xdsinh

)(cosh xh

dx

xd 2sec)(tanh

xhxdx

hxdcothcsc

)(csc xhx

dx

hxdtanhsec

)(sec

xhdx

xd 2csc)(coth

x

x

2

sinh

dx

xdx

dx

xd )(sinh

)(coshEx)

1.8 Derivative of inverse hyperbolic functions

2

1

1

1)(sinh

xdx

xd

2

1

1

1)(csc

xxdx

xhd

1

1)(cosh

2

1

xdx

xd

2

1

1

1)(sec

xxdx

xhd

2

1

1

1)(tanh

xdx

xd

2

1

1

1)(coth

xdx

xd

Verify ; (a) (b)

1. Differentiation

(a)

(b)

2

1

1

1)(sinh

xdx

xd

Find ;dx

xd )](sin[tanh 1

Let .sinh 1 xy .sinh yx dx

dyycosh1

,1sinhcosh 22 yySince yy 2sin1cosh )0cosh( y

22 1

1

sin1

1

cosh

1

xyydx

dy

dx

xd )](sin[tanh 1

xx

cossin1

12

xx

xsec

cos

cos2

Differentiating w.r.t ,x

)(sinsin1

12

xdx

d

x

감사합니다