1_Il MOSFET

5/13/2018 1_Il MOSFET - slidepdf.com

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Capitolo1 Il MOSFET

1 Il MOSFET

In questo capitolo verrà descritto sinteticamente, partendo dal diodo MOS che ne

costituisce la base, il funzionamento del MOSFET (Metal Oxide Semiconductor Field

Effect Transistor ), le condizioni di lavoro, le caratteristiche di corrente e gli effetti di

canale corto.

1.1 Il diodo MOS ideale

Il MOS è una struttura a due terminali costituita da un sottile strato di materialedielettrico, biossido di silicio, SiO2, di spessore d posto tra un substrato (detto anche bulk

o body) di silicio, di tipo n oppure p, e un sottile strato metallico (nel nostro caso

polisilicio fortemente drogato) che forma il terminale di gate. Sul substrato di silicio

viene depositata una metallizzazione che forma il contatto di back-gate come mostrato in

figura 2.1:

Figura 1.1: Struttura del diodo MOS

Per il MOS ideale, la cui teoria è di fondamento per la comprensione del diodo MOSreale, si suppone che [1]:

• la resistività dell’ ossido sia infinita, e quindi non vi siano correnti che fluiscono

attraverso il gate;

• in assenza di polarizzazione, V GB = V G−V B=0, la differenza di energia tra il lavoro

di estrazione del metallo-polisilicio mqφ e il lavoro di estrazione del

semiconduttore sqφ è nulla, cioè

(1.1) 0=−= smms qqq φ φ φ

1



Capitolo1 Il MOSFET

Le bande di energia sono piatte: questa condizione si chiama flatband ed è

illustrata in figura 1.2;

• il semiconduttore sia drogato uniformemente;

• non ci siano cariche nell’ossido;

• non ci siano trappole all’interfaccia SiO2 /Si;

Figura 1.2: Diagramma a bande in condizione di flatband

1.1.1 Accumulo, svuotamento e inversione in un diodo MOS

Se si polarizza un diodo MOS ideale con il terminale di substrato riferito a massa,

imponendo tensioni V G positive o negative, alla superficie ossido-semiconduttore possono

verificarsi i tre casi seguenti.

Quando si applica una tensione V G negativa le bande di energia del semiconduttore

risultano piegate verso l’alto in prossimità dell’ossido (figura 1.3).

Figura 1.3: Diagramma a bande: accumulazione.

Poiché la densità dei portatori nel semiconduttore dipende esponenzialmente dalladifferenza tra il livello di Fermi intrinseco, E i, e il livello di Fermi del semiconduttore

stesso, E F , cioè:

(1.2) kT E E

i p F ien p

/)( −=

La curvatura verso l’alto delle bande di energia in prossimità della superficie del

semiconduttore produce un incremento della differenza E i − E F e quindi un aumento della

concentrazione p p, cioè un accumulo di lacune all'interfaccia SiO2 /Si.

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Capitolo1 Il MOSFET

Quando si applica al diodo MOS una piccola tensione V G positiva, le bande di energia

si incurvano verso il basso (figura 1.4) e si verifica uno svuotamento di portatori

maggioritari (lacune); tale situazione è detta di svuotamento (depletion).

Figura 1.4: Diagramma a bande: svuotamento.

La carica spaziale per unità d’area Q sc nel semiconduttore è formata dalla carica nella

regione svuotata ed è espressa da:

(1.3) X qN Q A sc −=

dove N A è la densità di atomi droganti e X è lo spessore di svuotamento superficiale.

Se si applica una V G positiva più elevata le bande si incurvano ancora di più (figura

1.5) finché il livello intrinseco E i attraversa il livello di Fermi.

Figura 1.5: Diagramma a bande: inversione.

Elettroni della banda di conduzione vengono allora richiamati dal campo elettrico

presso la superficie ossido-semiconduttore. La concentrazione degli elettroni dipendeesponenzialmente dalla differenza di energia E i−E F ed è data da:

(1.4) kT E E

i pi F enn

/)( −=

Nella situazione riportata in figura 2.5, E F − E i > 0 (all'interfaccia SiO2 /Si ) e quindi la

concentrazione n p degli elettroni alla superficie è maggiore di ni mentre la concentrazione

di lacune, espressa dalla (1.2), diventa minore di ni. Quando il numero di elettroni

(portatori minoritari) supera il numero di lacune (portatori maggioritari) alla superficie dicontatto silicio ossido si verifica una inversione di popolazione. Con l’ulteriore incurvarsi

delle bande, all’ aumentare della tensione V G, il limite della banda di conduzione si

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Capitolo1 Il MOSFET

avvicina sempre più al livello di Fermi e la concentrazione di elettroni alla superficie

aumenta rapidamente. Da questo momento in poi la maggior parte della carica

addizionale nel semiconduttore è costituita dalla carica negativa Qn degli elettroni che si

trovano nel sottile strato di inversione di tipo n a ridosso dell’interfaccia SiO2 /Si. Questo

strato ha uno spessore che può variare da 10Ǻ a 100Ǻ ed è sempre molto più sottile dellostrato di svuotamento di lacune.

Una volta che si è formato lo strato di inversione, lo spessore della zona di

svuotamento raggiunge un massimo. Infatti, poiché la densità di elettroni dipende

esponenzialmente da E F − E i, quando le bande sono piegate tanto da produrre una forte

inversione, ogni incremento di curvatura, anche se molto piccolo, produce un grande

aumento della carica Qn nello strato di inversione. In condizioni di forte inversione la

carica per unità d’area nel semiconduttore è data dalle:

(1.5)m A sc

scn s

X qN Q

QQQ

−=

+=

dove X m è lo spessore massimo della regione di svuotamento superficiale.

Figura 1.6: Andamento delle bande di energia di un semiconduttore di tipo p.

Nella figura 1.6 è riportato con maggiore dettaglio il diagramma delle bande di energia

alla superficie di un semiconduttore di tipo p. Si suppone per definizione che il potenziale

elettrostatico ψ sia nullo all’interno del semiconduttore. Alla superficie delsemiconduttore è ψ = ψ s e ψ s prende il nome di potenziale superficiale. Le concentrazioni

degli elettroni e delle lacune (2.2) e (2.4) si possono esprimere in funzione di ψ :

(1.6)kT q

i p

kT q

p p

B

B

en p

enn

/)(

/)(

ψ ψ

ψ ψ

−

−

=

=

dove si intende ψ B= ( E i−E F )/q; ψ è positivo quando il diagramma delle bande presenta

una curvatura verso il basso come si verifica nella figura 1.6, in queste condizioni alla

superficie le concentrazioni valgono:

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Capitolo1 Il MOSFET

(1.7)kT q

i s

kT q

p s

s B

B s

en p

enn

/)(

/)(

ψ ψ

ψ ψ

−

−

=

=

In base alle considerazioni fatte e con l’aiuto delle (1.7) si possono distinguere diverse

situazioni a seconda del valore del potenziale superficiale ψ s:

• ψ s <0, accumulo delle lacune (bande incurvate verso l’alto);

• ψ s =0, flatband, condizione di banda piatta;

• ψ B > ψ s >0, svuotamento delle lacune (bande incurvate verso il basso);

• ψ s = ψ B, centro banda proibita con n s=n p=ni (concentrazione intrinseca);

• ψ s > ψ B, inversione della popolazione (bande incurvate verso il basso come nella

figura 2.6).

Si può determinare il valore del potenziale ψ in funzione della distanza dall'interfacciaSiO2 /Si usando l’equazione di Poisson unidimensionale:

(1.8) s

s x

dx

d

ε

ρ ψ )(2

2 −=

dove ρ s( x) è la densità di carica spaziale totale. Se il semiconduttore è svuotato e la carica

fissa entro il semiconduttore è data da ρ s=−qN A, l’integrazione dell’equazione di Poisson

fornisce la distribuzione del potenziale elettrostatico nella regione di svuotamento

superficiale:

(1.9)

−=

X

x s 1ψ ψ

Il potenziale superficiale ψ s è:

(1.10) s

A s

X qN

ε ψ

2

2

=

Come si vede la distribuzione del potenziale è quella di una giunzione brusca n+-p.

Se ψ s è superiore a ψ B si verifica l’inversione di popolazione superficiale. Tuttavia è

necessario stabilire un criterio per fissare il punto in cui si instaura l’ inversione forte

oltre il quale cioè la quantità di carica negativa in accumulo diventa significativa. Un

criterio semplice consiste nell’imporre che la concentrazione degli elettroni alla superficie

sia uguale alla concentrazione N A del drogante nel substrato:

(1.11) A s N n =

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Capitolo1 Il MOSFET

Poiché kT q

i A Ben N /ψ = dalle (1.7) e (1.11) si ottiene:

(1.12)

=≅

i

A Binv s

n

N

q

kT ln

22)( ψ ψ

La 1.12 stabilisce che è necessario un potenziale pari a ψ B per incurvare verso il basso

la bande di energia per raggiungere la condizione intrinseca E i=E F alla superficie e un

valore maggiore di ψ B per ottenere la condizione di forte inversione. In tal caso lo

spessore massimo della zona svuotata e la carica nel semiconduttore saranno:

(1.13) A

B s

A

inv s s

mqN qN

X )(22 )( ψ ε ψ ε

≅=

(1.14) )2(2 B A sm A sc N q X qN Q ψ ε −≅−=

1.1.2 La tensione di soglia

Nella figura 1.7 sono riportati il diagramma a bande, la distribuzione di carica e

l’andamento del campo elettrico e del potenziale di un diodo MOS ideale.

Figura 1.7: Diagramma a bande (a), distribuzione di carica (b), campo elettrico (c),

potenziale (d), di un diodo MOS ideale.

Supponendo che non vi siano differenze tra le funzioni lavoro dell’ossido e del

semiconduttore, la tensione applicata appare in parte ai capi dell’uno e in parte ai capi

dell’altro. Cioè:

(1.15) soxGB V V ψ +=

dove V ox è la ddp ai capi dell’ossido data da:

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Capitolo1 Il MOSFET

(1.16)ox

s

ox

s

oxoxC

Qd Qd E V ≡==

ε

con E ox intensità del campo elettrico nell’ossido, Q s quantità di carica per unità di area nel

semiconduttore e C ox (= εox/d ) capacità per unità d’area dell’ossido. La capacità totale deldiodo MOS è la serie della capacità C ox dell’ossido e della capacità C X dello strato di

svuotamento del semiconduttore:

(1.17) X ox

X ox

C C

C C C

+=

ma C X =ε s X e dalle relazioni (1.10), (1.14), (1.15) e (1.16) si ottiene la relazione per la

capacità, eliminando X :

(1.18)2

22

1

1

d qN

V C

C

s A

GBoxox

ε

ε +

=

Da questa relazione si vede che, quando la tensione V GB applicata è negativa, con

accumulo di lacune alla superficie del semiconduttore, la capacità totale tende ad un

valore prossimo a quello della capacità dell’ossido εox/d .

Quando invece la tensione di gate è positiva e si è raggiunta la condizione diinversione forte, lo spessore della regione di svuotamento rimane pressoché costante per

ulteriori incrementi della tensione applicata: il potenziale superficiale ψ s raggiunge il

valore ψ s(inv) espresso dalla (1.12). Per ottenere il valore della tensione di gate V GB

necessario perché si instauri la condizione di inversione si sostituisce ψ s(inv) nella

relazione (1.15) e considerando che in queste condizioni V ox = qN A X m/C ox la tensione V GB,

detta ora tensione di soglia V T , vale:

(1.19) B

ox

B A s

inv s

ox

m AT

C

N

C

X qN V ψ

ψ ε ψ 2

)2(2)( +≅+=

Benché si sia considerato il caso di substrati di tipo p, ogni considerazione resta valida

per il caso di substrati di tipo n, con un appropriato cambio dei segni e dei simboli.

1.2 Il diodo MOS SiO2-Si

Nel diodo MOS reale la differenza in genere non nulla tra le funzioni lavoromsqφ e

la presenza di cariche dentro l’ossido o all'interfaccia SiO2 /Si ne modificano le

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Capitolo1 Il MOSFET

caratteristiche rispetto al caso ideale. Inoltre in presenza di ossidi molto sottili, ci può

essere conduzione attraverso l’ossido per effetto tunnel.

1.2.1 I lavori di estrazione

Si consideri un diodo MOS (reale) con substrato di tipo p: il lavoro di estrazione del

semiconduttore varia con il drogaggio, e quindi anche la differenza smms qqq φ φ φ −≡

tra i lavori di estrazione del silicio policristallino del gate e del semiconduttore. Poiché il

lavoro mqφ è inferiore a sqφ la loro differenza è negativa e ha un valore in tensione

pari a:

(1.20) sm

ms

FB q

q

V φ φ

φ

−==

dove V FB è detta tensione di banda piatta. All’equilibrio termodinamico il livello di Fermi

deve essere costante e così, per recuperare la differenza tra i lavori di estrazione, le bande

del semiconduttore si piegano verso il basso: ne consegue che il polisilicio è carico

positivamente e il semiconduttore carico negativamente. Per raggiungere le condizioni di

banda piatta ideali si deve applicare al gate una tensione negativa pari a V FB.

1.2.2 Trappole all’interfaccia e cariche nell’ossido

La situazione di equilibrio di un diodo MOS è influenzata non solo dalla differenza dei

lavori di estrazione ma anche dalla eventuale presenza di cariche all’interno dell’ossido e

di trappole all'interfaccia SiO2 /Si.

La presenza di una densità di carica Qox all’interno dell’ossido induce una carica

uguale e di segno opposto sul silicio e sul polisilicio del gate. Questa carica indotta

modifica le condizioni di banda piatta e quindi il valore V FB per il MOS ideale. In

generale la variazione della tensione di banda piatta dovuta ad un’arbitraria distribuzionedi carica ρ( x) è data da:

(1.21) dx x x

x

C V

ox x

oxox

FB )(1

0

ρ ∫ −=∆

dove xox è lo spessore dell’ossido e C ox la capacità dell’ossido per unità di area.

Di solito la carica nell’ossido consta di diversi contributi:

•

Qit : densità di carica all’interfaccia, che può essere positiva e localizzata in unsottile strato di ossido di silicio; essa deriva da legami insaturi silicio-silicio e da

fenomeni legati al processo di fabbricazione dei dispositivi; oppure intrappolata

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Capitolo1 Il MOSFET

all’interfaccia, localizzata in stati trappola all'interfaccia SiO2 /Si che introducono

livelli energetici all’interno della banda proibita;

• Qot : densità di carica intrappolata nell’ossido, sia positiva che negativa,

distribuita all’ interno dello strato di ossido;

• Qm : densità di carica mobile nell’ossido, originata da ioni di metalli alcalini,

come ad esempio Na e K, che vengono facilmente assorbiti nell’ SiO2; essi hanno

una buona mobilità nell’ossido, mobilità che aumenta con la temperatura, e

rendono instabili le caratteristiche di una struttura MOS.

Si può quindi separare il contributo della carica all’interfaccia:

(1.22)ox

it FB

C

QV −=∆ '

ottenendo una nuova espressione per la tensione di banda piatta:

(1.23) dx x x

x

C C

QV

ox x

oxoxox

it ms FB )(

1

0

ρ φ ∫ −−=

Alla variazione della tensione di banda piatta consegue la variazione di tensione di soglia

V T .

In genere ciascun tipo di carica influenza il termine di banda piatta (equazione 1.22) ela tensione di soglia V T : spetta al processo tecnologico di costruzione dei dispositivi il

mantenerle entro livelli accettabili per non compromettere il funzionamento e la stabilità

dei dispositivi stessi.

1.3 Il transistor MOS

La struttura del MOSFET (Metal Oxide Semiconductor Field Effect Transistor )[1] è

riportata nella figura 1.9:

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Capitolo1 Il MOSFET

Figura 1.8: Il transistor MOS (a canale n)

Nel seguito si indicheranno con G, S , B, D rispettivamente i terminali di gate, source,

substrato e drain. I transistor MOS a canale n sono costituiti da un substrato di tipo p edue zone fortemente drogate n+ che costituiscono drain e source mentre i dispositivi a

canale p hanno substrato di tipo n e drain e source di tipo p+. Drain e source sono separati

da un canale di lunghezza L e larghezza W sul quale è depositato un sottile strato di

materiale isolante, SiO2, coperto a sua volta da un contatto metallico o da uno strato di

polisilicio che forma il terminale di gate. Il terminale di substrato è ottenuto con un

contatto metallico e viene anche detto terminale di back-gate.

I dispositivi utilizzati in questo lavoro di tesi sono realizzati in tecnologia CMOS:

Complementary Metal Oxide Semiconductor. Un esempio dell’applicazione di questa

tecnologia è rappresentato in figura 1.9:

Figura 1.9: Principio costruttivo in tecnologia CMOS

Come si vede nella figura, da uno stesso substrato di tipo p si costruisce un transistor n-

MOS impiantando due zone n+ che costituiscono source e drain. Per ottenere un p-MOS

vengono impiantate due zone p+ (source e drain ) in una n-well precedentemente ricavata.

1.3.1 Condizioni di lavoro del transistor MOS

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Capitolo1 Il MOSFET

I meccanismi fisici che regolano il funzionamento del MOSFET sono gli stessi del

MOS, e anche in questo caso si distinguono tre zone di lavoro: svuotamento,

accumulazione ed inversione. L’inversione si distingue tra debole, moderata e forte.

Figura 1.10: Formazione del canale in un n-MOS

Si consideri un dispositivo a canale n. Quando al gate viene applicata una tensione V GS

positiva le cariche minoritarie, in questo caso elettroni, vengono attirate dal campo

elettrico verso l'interfaccia Si/SiO2 e formano un canale conduttivo tra source e drain

(figura 1.10a). Al crescere della tensione V GS aumentano gli elettroni accumulati

all’interfaccia quindi il canale può condurre di più al crescere della tensione di gate.

Applicando una tensione V DS tra source e drain si innesca un moto di cariche, e quindi una

corrente, attraverso il canale conduttivo. Se la tensione V DS non è troppo elevata il canale

ha un comportamento resistivo e la corrente I DS è proporzionale alla tensione applicata. Intali condizioni il MOSFET lavora in zona lineare. Aumentando ulteriormente la tensione

tra drain e source la caduta di potenziale lungo il canale contrasta l’inversione dovuta alla

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Capitolo1 Il MOSFET

tensione di gate, la depletion layer vicino al drain si allarga e la densità degli elettroni

presenti nel canale diminuisce. Come si può vedere dalla figura 1.12 questo si riflette

sulla caratteristica I DS (V DS ) facendo diminuire la pendenza della curva. L’ulteriore

allargamento della depletion layer a ridosso del drain può portare alla scomparsa del

canale conduttivo: la tensione V DS alla quale questo avviene è detta tensione di pinch-off .La curva I DS (V DS ) raggiunge un plateau e non c’è quasi più incremento di corrente: in

questo caso il MOSFET si dice in zona di saturazione.

Figura 1.11: Caratteristica I DS (V DS )

Riassumendo, l’inversione debole, per un transistor MOS, corrisponde alla regione di

sottosoglia mentre l’inversione forte corrisponde alla regione di soprasoglia che

comprende a sua volta zona lineare e zona di saturazione, come si vede nella figura 2.13:

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Capitolo1 Il MOSFET

Ids - Vgs

1.E-14

1.E-12

1.E-10

1.E-08

1.E-06

1.E-04

-0.5 -0.3 -0.1 0.1 0.3 0.5 0.7 0.9 1.1

Vgs (V)

l o g I d s ( A )

Inversione

debole

Inversione

forte

Tensione

di soglia

Corrente

di leakage

Pendenza

di sottosoglia

Figura 1.12: Curva di sottosoglia I DS (V GS )

La tensione di gate in cui si ha il passaggio dalla regione di sottosoglia a quella di

soprasoglia è detta tensione di soglia V T , cioè si può definire V T come la tensione che si

deve applicare al gate per portare il MOSFET in conduzione.

1.3.2 Zona di inversione forte

Si vuole ora calcolare la corrente di drain in condizioni di forte inversione per la zona

lineare e quella di saturazione.

Per il MOSFET le condizioni ideali sono:

• la struttura del gate corrisponde a quella del diodo MOS ideale (paragrafo 1.1.1);

• si considerano solo le correnti di drift (e non di diffusione);

• la mobilità dei portatori è costante;

• il drogaggio del canale è uniforme;

• il campo elettrico trasversale E x nel canale lungo la direzione x nella figura 1.11

perpendicolare al flusso di corrente, è molto più intenso del campo longitudinale

E y nella direzione y, parallelo al flusso di corrente.

Nelle condizioni ideali appena descritte la carica totale indotta nel semiconduttore per

unità di area Q s, ad una distanza y dal source è illustrata nella figura 1.11(a). La carica Q s

è data dalla:

(1.24) [ ]ox sG s C yV yQ )()( ψ −−=

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Capitolo1 Il MOSFET

dove ψ s( y) è il potenziale superficiale in y e C ox=εox/d è la capacità dell’ossido per unità di

area. La carica nello strato di inversione è data dalle (1.5) e (1.24):

(1.25) [ ] )()()()( yQC yV yQ yQQ scox sG sc sn −⋅−−=−= ψ

Il potenziale superficiale ψ s( y) all’inversione può essere approssimato con 2ψ B + V ( y)

dove V ( y) è la tensione inversa tra il punto y e il source (che si suppone a massa). La

carica entro la regione svuotata superficiale Q sc( y) vale:

(1.26) ]2)([2)( B A sm A sc yV qN X qN yQ ψ ε +−≅−=

Sostituendo (2.26) in (2.25) si ottiene:

(1.27) ]2)([2]2)([ B A sox BGn

yV qN C yV V Q ψ ε ψ ++−−−≅

La conduttività σ ( x) del canale nella sezione y può essere approssimata con:

(1.28) )()()( x xqn x n µ σ =

Nel caso di mobilità costante la conduttanza del canale è allora data da:

(1.29) n

n

x

n

x

Q L

W

dx xqn L

W

dx x L

W

g

ii µ µ

σ === ∫ ∫ )()(00

e la resistenza di una sezione elementare dy del canale e la caduta di tensione localizzata

ai capi di tale sezione sono:

(1.30)

)(

)(

yQW

dy I dR I dV

yQW

dy

gL

dydR

nn

D D

nn

µ

µ

==

==

dove I D è la corrente di drain, che è indipendente da y. Sostituendo (1.27) in (1.30) e

integrando tra il source dove y=0, V =0, e il drain dove y= L, V =V D, si ottiene:

(1.31)

( )[ ]

−+−

−−= 2/32/3)2(2

2

3

2

22 B B D

ox

A s

D D

BGoxn D V C

qN V

V V C

L

W I ψ ψ

ε ψ µ

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Capitolo1 Il MOSFET

Zona lineare

Nel caso di piccoli valori di V D la formula si riduce a:

(1.32))(

)2(

T G D

D DT Goxn D

V V V

V V

V V C L

W I

−<<−−= µ

dove V T è la tensione di soglia data in precedenza mediante la:

(1.33) B

ox

B A s

T C

qN V ψ

ψ ε 2

)2(2+≅

Se si traccia I D(V G) per un valore basso di V D si può dedurre la tensione di soglia dal

valore ottenuto per l’estrapolazione lineare all’intersezione con l’asse V G. Nella regione

lineare (1.31) la transconduttanza g m è espressa da:

(1.34) Doxn

t V G

Dm V C

L

W

V

I g

D

µ =∂

∂≡

=cos

Zona di saturazione

Quando la corrente di drain viene aumentata oltre al valore per cui la carica nellostrato di inversione Qn( y) nella sezione y=L diventa nulla, il numero degli elettroni mobili

sul drain si riduce drasticamente. In questo punto la tensione di drain è detta V Dsat e la

corrente di drain I Dsat . Per V D> V Dsat si è in regione di saturazione e il valore di V Dsat è dato

dalla (1.27) con la condizione Qn( L)=0:

(1.35) 22 /2112 K V K V V G BG Dsat +−+−≅ ψ

doveox A s C qN K /ε

≡

. La corrente di saturazione si determina sostituendo la (1.35)nella (1.31):

(1.36) 2)(

2T G

oxn Dsat V V

dL

W I −≅

ε µ

Per un MOSFET ideale nella regione di saturazione la transconduttanza di può

determinare dalla:

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Capitolo1 Il MOSFET

(1.37) )(cos

T Goxn

t V G

Dm V V

dL

W

V

I g

D

−=∂

∂≡

=

ε µ

Regione di sottosoglia

Quando la tensione sul gate è inferiore alla tensione di soglia e alla superficie del

semiconduttore la zona di inversione è debole, la corrispondente corrente di drain è detta

corrente di sottosoglia [1]. La regione di sottosoglia è particolarmente importante quando

il MOSFET è usato come dispositivo a bassa tensione e bassa potenza. Ad esempio in

applicazioni digitali il comportamento nella regione di sottosoglia descrive il modo in cui

essi commutano dallo stato on-off e viceversa.

Nella regione sottosoglia la corrente di drain è dominata dal fenomeno della diffusione

invece che dal trasporto per drift. Se si considera il MOSFET come transistor bipolare n- p-n (S,B,D) si ha:

(1.38) L

LnnqAD

dy

dnqAD I nn D

)()0( −=−=

dove A è l’area della sezione trasversale del canale attraversato dal flusso della corrente,

n(0) e n(L) sono le concentrazioni degli elettroni nel canale in corrispondenza

rispettivamente a source e drain. Le concentrazioni degli elettroni sono espresse da:

(1.39)kT V q

i

kT q

i

D BS

BS

en Ln

enn

/)(

/)(

)(

)0(

−−

−

=

=ψ ψ

ψ ψ

dove ψ S è il potenziale superficiale del source. Sostituendo la (2.39) nella (2.38) si ha:

(1.40) ( ) kT qkT qV

kT q

in D

S D

B

ee LenqAD I //

/

1ψ

ψ

−

−

−=

Il potenziale superficiale ψ S vale circa V G−V T . Pertanto la corrente di drain decresce

esponenzialmente quando V G diventa minore di V T

(1.41) kT V V q

DT Ge I

/)( −≈

1.3.3 L’effetto body

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Capitolo1 Il MOSFET

Sino ad ora tutte le tensioni sono state riferite al terminale di source e si è inoltre

supposto che il terminale di bulk fosse al potenziale di source. Si prende ora in

considerazione l’effetto di una tensione V BS diversa da zero sul terminale di bulk.

Riferendo le tensioni al terminale di source, l’effetto di una tensione V BS non nulla (V BS

>0 per p-MOS e V BS <0 per n-MOS), è una diminuzione della densità di carica nelcanale. Questo porta ad una diminuzione della corrente I DS a parità di condizioni di

polarizzazione di drain, gate e source: ciò è detto effetto body. Se |V DS | aumenta mentre

V GS resta costante per ripristinare le condizioni originali di inversione e livello di corrente

è necessario aumentare anche V GS . L’effetto della tensione sul bulk è infatti quello di

allargare la zona svuotata sotto l’ossido attirando portatori maggioritari verso il bulk;

l’allargamento della zona svuotata comporta l’aumento della carica localizzata, che si

ricombina con i portatori minoritari responsabili della corrente di canale, con la

conseguente diminuzione della corrente I DS .

1.4 Effetti dovuti alla riduzione delle dimensioni

Lo sviluppo nei processi produttivi nei dispositivi MOSFET ha portato ad una loro

integrazione sempre maggiore. I vantaggi portati dall’integrazione dei dispositivi sono

principalmente le minori dimensioni e la minore corrente di canale che comporta

l’abbassamento della potenza dissipata. Inoltre gi ossidi di isolamento sono più sottili e

quindi, come si vedrà nei seguenti capitoli, più resistenti al danno da radiazione. Tuttavia

le piccole dimensioni del canale portano a delle variazioni consistenti nella

modellizzazione del comportamento del MOSFET.

Nei precedenti paragrafi si è supposto che il transistor avesse lunghezza e larghezza di

canale tali da trascurare eventuali effetti di bordo sui suoi quattro lati. Questa assunzione

porta a considerare un modello in cui le linee del campo elettrico nel canale siano

perpendicolari alla superficie, permettendo un’analisi mono-dimensionale.

Passando da una tecnologia deep-submicron (0.25 μm ) ad quella very deep-submicron

(0.13 μm ), a parità di concentrazione del drogaggio, la larghezza della zona svuotata delle

giunzioni di drain e source diventa paragonabile con la lunghezza di canale. Inoltre la

distribuzione del potenziale dipende sia dalla componente perpendicolare del campo

elettrico, che dalla componente longitudinale (componente lungo il canale): questo rende

la distribuzione del potenziale bi-dimensionale. Ancora, le intensità dei campi elettrici

applicati non sono scalate proporzionalmente con le dimensioni geometriche del

dispositivo. Un tipico effetto legato alla presenza di elevati campi elettrici longitudinali è

la generazione di portatori cosiddetti caldi, ossia portatori che grazie al campo elettricohanno acquistato un’energia tale da creare ionizzazione del silicio, o che possono entrare

17



Capitolo1 Il MOSFET

nell’ossido dando origine a una corrente di leakage. Una frazione di tali portatori caldi

può inoltre, aumentare la densità di stati all'interfaccia SiO2 /Si.

1.4.1 Modulazione della lunghezza del canale

In regione di saturazione la caratteristica I DS -V DS non è esattamente parallela all’asse

orizzontale, ma mostra una pendenza positiva. Nel caso di dispositivi a canale corto si

vede che tale pendenza è più accentuata ( vedi figura 1.13).

Questo fenomeno è dovuto alla presenza di un campo elettrico longitudinale che tende

a far diminuire la concentrazione di portatori nella vicinanze del drain variando il punto a

cui avviene il pinch-off. La lunghezza del canale è quindi modulata dall’intensità del

campo elettrico longitudinale dato dalla tensione V DS .

Ids vs Vds (W/L=1000/0.12um)

0.E+00

1.E-04

2.E-04

3.E-04

4.E-04

5.E-04

6.E-04

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

Vds (V)

I d s ( A )

Vd=100mV

Vd=125mV

Vd=150mV

Vd=175mV

Vd=200mV

Vd=225mV

Vd=250mV

Vd=275mV

Vd=300mV

Figura 1.13: Effetti di canale corto

1.4.2 “barrier lowering”

Altro importante effetto legato alla diminuzione delle dimensioni del canale è il

barrier lowering . La diminuzione di L porta ad uno svuotamento più pronunciato della

regione al di sotto della zone di inversione. La maggiore profondità della zona svuotata è

accompagnata ad un maggiore potenziale superficiale, che rende il canale più attrattivo

per i portatori: il MOSFET conduce più corrente rispetto a quella che ci si aspetterebbe da

un dispositivo a canale lungo a parità di V GS . La principale conseguenza è la diminuzione

della tensione di soglia V T .

18



Capitolo1 Il MOSFET

1.5 Il rumore in un MOSFET

Il rumore determina le prestazioni dei sistemi per l’elaborazione dei piccoli segnali e il

limite inferiore del segnale che può essere elaborato senza portare un deterioramento

significativo dell’informazione. Il rumore di un sistema è costituito dai contributi deisingoli componenti il circuito che vengono considerati come sorgenti di rumore non

correlate, cioè statisticamente indipendenti. I diversi contributi si sommano quindi in

quadratura. In particolare il rumore totale è dominato dal primo stadio di amplificazione e

non dipende dal fattore di guadagno e dall’impedenza d’ingresso. Queste

approssimazioni sono accettabili per un sistema reale e quindi ci si può concentrare solo

sul primo stadio e in particolare sul dispositivo d’ingresso. Uno degli obbiettivi di questa

tesi è appunto monitorare il rumore prodotto da strutture CMOS in tecnologia 0.13 μm che

possono costituire lo stadio d’ingresso di un preamplificatore ed in particolare transistor con W/L pari a 1000/0.12;0.24;0.48 μm.

Nell’analisi del rumore il dispositivo viene generalmente schematizzato in un

quadrupolo. Al quadrupolo reale corrisponde un quadripolo ideale, privo di sorgenti

interne di rumore ma con due generatori di rumore all’ingresso: un generatore di tensione

tipo serie e uno di corrente in parallelo, come si vede in figura 1.15.

Figura 1.14: Generatori equivalenti di rumore in un quadrupolo reale (a) e all’ingresso di

uno ideale (b)

In questo studio si considererà solo il generatore di tensione in ingresso cioè si

misurerà la densità spettrale di rumore della tensione di gate. Infatti a basse frequenze

(che è il nostro range di interesse) il contributo del generatore di corrente parallelo

consiste nel rumore shot associato alla corrente parassita di gate. Questa è dovuta

all’emissione casuale di elettroni dall’elettrodo di gate e presenta fluttuazioni intorno ad

un valore medio I G che producono un rumore pari a:

(1.42) G shot n qI i 2

2

,=

19



Capitolo1 Il MOSFET

dove q è la carica elementare [12]. Poiché I G assume valori tipici del pA, i2n,shot è

dell’ordine dei 10-30 A.

Si trascura quindi il contributo del generatore parallelo e si terrà conto solo del rumore

del generatore serie che consta principalmente di due contributi:

• rumore flicker : detto anche rumore 1/f perchè presenta uno spettro inversamente

proporzionale alla frequenza;

• rumore bianco (white noise): associato al rumore termico della resistenza di

canale, presenta uno spettro indipendente dalla frequenza; esso è dovuto al moto

casuale di portatori liberi nel canale resistivo che si forma quando il dispositivo è

in inversione.

Si considererà inoltre due contributi al rumore termico dati dal rumore associato alla

resistenza di gate e alla resistenza distribuita del bulk.

1.5.1 Il rumore flicker

Il rumore 1/f si osserva in tutti i dispositivi elettronici e questo fa pensare che a

indurlo ci siano meccanismi fisici generali che però non sono ancora stati ben definiti

[13]. Sono stati tuttavia proposti diversi modelli teorici per giustificare il rumore flicker:

• modello a fluttuazione della mobilità: il rumore 1/f si origina nel volume del

semiconduttore, in particolare nelle fluttuazioni della mobilità a cui sono soggetti

i portatori liberi quando collidono con il reticolo.

• modello della fluttuazione del numero dei portatori: il rumore è generato dallo

scambio di portatori tra il canale e le trappole all’interfaccia.

In generale i meccanismi fisici su cui si basano questi modelli agiscono

contemporaneamente. Oltre alle fluttuazioni della mobilità si osserva il contributo della

variazione del numero di portatori prodotta generalmente da cattura ed emissione dei

portatori stessi da parte delle trappole. Tra i dispositivi a semiconduttore il MOSFET è

quello che presenta il rumore 1/f più evidente: si può allora pensare che ciò sia dovutoalla modalità di conduzione che essendo superficiale coinvolge una zona ricca di difetti.

Modello a fluttuazione della mobilità

Il rumore 1/f in questo modello viene associato alle fluttuazioni della mobilità dei

portatori nelle collisioni di questi con il reticolo cristallino. Questo meccanismo, non

ancora ben compreso si basa sull’ equazione empirica di Hooge [12]:

(1.43) Nf I

i l f α =2

2

20



Capitolo1 Il MOSFET

dove N è il numero totale di portatori liberi nel dispositivo, I è la corrente che lo

attraversa e αl è il così detto parametro di Hooge che risulta quasi costante nei diversi

materiali studiati conferendo a questo fenomeno un carattere comune a tutti i dispositivi.

Si può derivare l’equazione (1.43) teoricamente considerando i contributi al rumore

flicker dovuti singolarmente ad N portatori liberi indipendenti in seguito alle fluttuazionidella loro mobilità. Se si considera un numero n di meccanismi di scattering, ciascuno

associato da una certa mobilità μi, si può definire una mobilità efficace μeff data dalla

regola di Mattiessen [13]:

(1.44) ∑+=n

i il eff µ µ µ

111

dove si è evidenziata la mobilità μl dovuta al solo processo di scattering dei portatori sul

reticolo.

L’ equazione di Hooge vale solo per dispositivi omogenei: per quelli non omogenei è

necessario utilizzare una formulazione differenziale. Se il MOSFET lavora in zona

lineare , V DS << (V GS −V T ), si considera il canale come una resistenza omogenea e si

applica la (1.43) che porta ad una densità spettrale di rumore descritta dalla:

(1.45)

=

f L

V I qi

DS DS f

l df 2

2µ

α

dove μ f rappresenta una mobilità efficace per il rumore 1/f diversa dalla μeff definita prima

e che dipende dalle condizioni di polarizzazione.

Se il dispositivo opera in zona di saturazione, il canale non può essere considerato

come uno strato di carica omogeneo e si deve applicare la (1.43) ad un tratto di lunghezzainfinitesimo. Integrando su tutta la lunghezza del canale si arriva alla seguente

espressione [13]:

(1.46)WLf C

V V qv

oxeff

T GS f

gf µ

µ α

2

)(2

−=

dove si considerano le mobilità efficaci indipendenti dalla polarizzazione del circuito.

Questa relazione rappresenta la densità spettrale di rumore riportato all’ingresso che tiene

conto della transconduttanza g m[21c]:

Nella pratica si modellizza il rumore 1/f , riportato all’ingresso, con la:

21



Capitolo1 Il MOSFET

(1.47)WLf C

K v

ox

f

gf =2

dove K f è un parametro costante, in prima approssimazione, per una data tecnologia.

Modello a fluttuazione del numero dei portatori

In questo caso si attribuisce l’origine fisica del rumore flicker alle fluttuazioni a cui è

soggetto il numero dei portatori di carica in seguito a processi casuali di cattura o

emissione dei portatori stessi da parte delle trappole all'interfaccia SiO2 /Si o all’ interno

dell’ ossido. La proporzionalità inversa con la frequenza è dovuta alla sovrapposizione

degli spettri dei vari eventi di cattura o emissione che hanno carattere lorentziano. Allora

in questo modello il rumore 1/f non dipende dalla tensione di gate applicata ed è

proporzionale alla densità di trappole in prossimità all'interfaccia SiO2 /Si. Analiticamente

si ricava [13] per il rumore riportato all’ingresso la seguente espressione:

(1.48)WLf C

K v

ox

f

gf 2

2'

=

dove K’ f è un parametro che dipende dalla tecnologia del dispositivo

Non è perfettamente corretto considerare la dipendenza del rumore flicker da 1/f

perché in realtà si osserva spesso una dipendenza esponenziale del tipo 1/f α , dove α puòassumere valori sia inferiori che superiori ad 1. Questo dipende, in base ai modelli

illustrati, dal fatto che le trappole non sono distribuite uniformemente nell’ ossido.

Un’alta densità di trappole vicino all'interfaccia, che vada diminuendo nell’ossido, causa

un rumore dominato da stati veloci con piccole costanti di tempo al quale corrisponde uno

spettro meno inclinato rispetto a 1/f, una densità di trappole che invece cresca

allontanandosi dall'interfaccia verso l’interno dell’ossido è responsabile di un rumore in

cui predominano stati lenti con spettro più inclinato [15],[16].

Volendo ora considerare quale dei due modelli proposti sia da preferire nel nostro

caso, osserviamo come essi abbiano dato risultati diversi per dispositivi a canale n e a

canale p. In letteratura si trova un ottimo riscontro sperimentale per il modello a

fluttuazione del numero dei portatori negli n-MOS, il che si può capire considerando che

gli elettroni del canale di conduzione vengono facilmente intrappolati all'interfaccia

SiO2 /Si per effetto tunnel, mentre nel caso dei p-MOS si sono trovati i risultati migliori

utilizzando il modello a fluttuazione della mobilità [14]: in effetti la conduzione nei p-

MOS avviene più lontano dall’interfaccia, e risente quindi meno dei processi di

intrappolamento.

22



Capitolo1 Il MOSFET

In base a quanto detto, si considererà anche l’ espressione che descrive il modello a

fluttuazione della mobilità:

(1.49) α

WLf C

K v

ox

f

gf =2

dove mediante l’esponente α si è tenuto conto del fatto che la dipendenza dalla frequenza

non è esattamente di tipo 1/f .

1.5.2 Il rumore termico

Il rumore termico della resistenza di canale

Il rumore termico della resistenza di canale è dovuto principalmente al moto casuale di

agitazione termica dei portatori liberi all’interno del canale resistivo, come avviene nei

resistori normali. Esso è, insieme al rumore flicker, il contributo più importante al rumore

totale di un MOSFET.

In condizioni di funzionamento normale il MOSFET presenta un canale resistivo tra

drain e source formato da portatori minoritari il cui moto casuale lungo il canale genera

rumore termico ai terminali del dispositivo. In particolare in zona lineare, per V DS intorno

ai 0V , il canale può essere considerato come un resistore omogeneo a cui è associata unadensità spettrale di rumore espressa in corrente secondo il teorema di Nyquist:

(1.50)

0

0

0

2 4

=∂

∂=

=

DS V DS

DS d

d dn

V

I g

kTg i

dove k è la costante di Boltzmann, T la temperatura e g d0 la conduttanza del canale per

tensioni di drain nulle.In condizioni di saturazione, invece, il canale non può essere considerato come un

resistore omogeneo. Il generico elemento di canale di lunghezza dy presenta una

resistenza di canale dR data dalla (1.30) che genera una densità spettrale di rumore

esprimibile in tensione come :

(1.51)dR

kT v dRn

42, =

a cui è associata [13] la densità spettrale in corrente:

23



Capitolo1 Il MOSFET

(1.52) )(4)(2

2

,

2

2

, yQ L

W kT v yQ

L

W i nndRnnndRn µ µ =

=

La corrente di rumore complessiva si otterrà integrando questa espressione su tutto il

canale che in saturazione sarà:

(1.53) mnd g kT i3

242

, =

dove g m è la transconduttanza del dispositivo. La densità spettrale di rumore all’ingresso,

espressa in termini di tensione di gate si ottiene dalla (1.52) dividendo per gm2:

(1.54)m

n g

g

kT v1

3

242

, =

espressione comunemente usata per il rumore bianco, nel generatore equivalente di

rumore di tipo serie, all’ingresso del MOSFET [17].

Per quanto riguarda il regime di debole inversione si associa il rumore ad una corrente

di diffusione anziché di drift come nell’inversione forte. Lo spettro del rumore bianco

sarà dato, in corrente, dalla [18]:

(1.55) DS nqI i 22 =

Considerando la (1.41) si ottiene per la transconduttanza in debole inversione

l’espressione:

(1.56)nkT

qI g DS

m =

dove n è un parametro indipendente da V GS . Lo spettro di rumore in tensione all’ingresso

in regime di debole inversione sarà:

(1.57)m

n g g

kTnv2

14

2

, =

Le espressioni mostrate finora non tengono conto degli effetti di canale corto che

portano ad un incremento del rumore[17][19]. Nella pratica si utilizza un fattore di

rumore in eccesso, Г che ingloba tutti i contributi addizionali al rumore bianco calcolato

teoricamente.[20]

24



Capitolo1 Il MOSFET

Per comprendere in un'unica formula i due casi di inversione debole e forte si usa la

notazione:

(1.58)m

n g

g

kT v

γ 42

, =

dove γ = Г/2 in inversione debole e γ = (3/2)Г in inversione forte.

Rumore della resistenza del gate in polisilicio

Un altro contributo al rumore termico del dispositivo è dato dal rumore associato alla

resistenza del silicio policristallino che realizza il contatto di gate. Il calcolo di tale

contributo deve tener conto del tipo di dispositivo utilizzato: i MOSFET che si sono

studiati per il rumore sono realizzati con strutture interdigitate (figura 1.15). Esse sonoformate da una serie di gate collegati fra loro tra ciascuna coppia dei quali si trovano

alternativamente i drain e i source dei dispositivi.

Se n è il numero dei gate e ciascuno presenta una transconduttanza g m,i si può calcolare

il rumore totale come la somma dei singoli contributi di tutti gli n gate; si ottiene così:

(1.59) 2

2

2

,

2

,12

412

4 mimGn g n

RkT g

RkT i ==

dove RG=nRi è la resistenza totale di gate e g m = ng m,i è la transconduttanza totale del

dispositivo considerato. Il rumore all’ingresso sarà:

(1.60)2

2

,12

4n

RkT v G

Gn=

25



Capitolo1 Il MOSFET

Figura 1.15: Transistor interdigitato.

Rumore della resistenza di substrato

La resistenza del substrato è distribuita e questo rende complicato il calcolo del suo

contributo al rumore termico.

26



Capitolo1 Il MOSFET

Figura 1.16: Resistenza di substrato in un transistor a canale n.

Come si vede dalla figura 1.16 che illustra un dispositivo a canale n, si può distinguere

una resistenza equivalente Rbl distribuita tra la zona sottostante il canale e il contatto V B

che polarizza il bulk; Rbl risulta proporzionale a b/W i (dove W i è la larghezza del canale).

Inoltre si ha una resistenza distribuita Rbv tra la parte sottostante il canale e il back side

del bulk. Si ricava [13] che Rbv è molto più grande di Rbl così il contributo di quest’ultima

diventa importante essendo le resistenze in parallelo. La tensione di rumore termico

4kTRbl associata ad essa modulerà la corrente nel canale attraverso la transconduttanza di

bulk g mb definita dalla:

(1.61)t V V BS

DS mb

GS DS

V

I g

cos, =∂

∂=

Per un transistor a struttura interdigitata con n strisce di gate la densità di spettrale di

corrente del rumore dovuto alle resistenze di substrato sarà data da:

(1.62)22

,

2

, 44mbimb

i

Bng

W

bkTB g

W

bkTnBi ==

dove B è una costante di proporzionalità e g mb,i può essere pensata come la

transconduttanza di bulk di un singolo transistor. Lo spettro di rumore riportato all’

ingresso sarà dunque:

(1.63) 2

22

, 4 m

mb

Bn g

g

W

b

kTBv =

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Capitolo1 Il MOSFET

Si nota come questo contributo al rumore bianco non dipenda dal numero di strisce di

gate, e possa essere minimizzato mediante un’opportuna polarizzazione del substrato.

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