Embed Size (px)
DESCRIPTION
.
Citation preview
1
KRUG (KRUŽNICA) Kružnica je skup tačaka u ravni čija su rastojanja od jedne stalne tačke (centra) jednaka datoj veličini (poluprečniku). Centar kruga najčešće obeležavamo sa O Poluprečnik najčešće obeležavamo sa r ( pa je onda 2r – prečnik kruga) Pazite: kružnica je samo linija ( kružna) a krug čine ta kružna linija i sve tačke unutar nje
2
Obim kruga je 2
Površina kruga je
O r
P r
π
π
=
=
Kružni luk
0
0
0
2Dužina kružnog luka je: l=
360
odnosno, može i : l=360
ili l=180
r
O
r
πα
α
πα
⋅
⋅
O
r
.r
l
α
Kružni isečak
O
r
.r
l
α
2kruga
ki ki ki0 0
Površina kružnog isečka je
P = ili P = ili P360 2 360
Pr r l απα ⋅⋅=
Kružni odsečak
O
r
.r
l
A B
Površina kružnog odsečka se dobija kad od površine kružnog isečka oduzmemo površinu trougla ABO.
ods ise ABOP P P∆= −
2
Kružni prsten
O
r
. R
π)( 22 rRPkp −=
Površina kružnog prstena se računa kad od površine većeg kruga oduzmemo površinu manjeg kruga.
Polukrug
.2r
Površina polukruga se naravno dobija kad površinu kruga podelimo sa 2.
2
2polukruga
rP
π=
Pazite, obim polukruga je zbir polovine obima kruga i prečnika!2
2 2 ( 2)2polukruga
rO r r r r
ππ π= + = + = +
Nad istim lukom , svi periferijski uglovi su jednaki: l
β
β
β
Periferijski ugao nad prečnikom je prav:
.2r
O
r
.r
l
α
β
βα 2=
E sad može i zadaci sa prijemnih iz ranijih godina:
Nad istim lukom, centralni ugao( ) je dva puta veći od periferijskog ugla( )
To jest: =2
α βα β
3
2
2
2
7
3,14
?
?
2
2 7 3,14
43,96
7
49 3,14
153,86
r cm
O
P
O r
O
O cm
P r
P
P
P cm
π
π
π
π
=
≈
=
=
=
= ⋅ ⋅
=
=
=
= ⋅
=
212
?kv
kr
P cm
P
=
=
Nacrtajmo najpre sliku i uočimo vezu izmeñu podataka...
a
a
r=d/2
Poluprečnik kruga je polovina dijagonale kvadrata! Iz površine kvadrata ćemo naći dužinu stranice , a zatim i dijagonalu:
4
2
212
12 4 3 2 3
2
2 3 2
2 6
P a
a
a
d a
d
d cm
=
=
= = ⋅ =
=
=
=
Nadjimo poluprečnik:
2
2 6
2
6
dr
r
r cm
=
=
=
2
2
2
6
6
P r
P
P cm
π
π
π
=
=
=
31,4
3,14
2 ?
?
O cm
r
P
π=
≈
=
=
Iz formule za obim kruga ćemo naći dužinu poluprečnika ( prečnika).
2
2
2
2
31,4 2 3,14
31,42
3,14
2 10
5
5
25 3,14
78,5
O r
r
r
r cm
r cm
P r
P
P
P cm
π
π
π
=
= ⋅
=
=
=
=
=
= ⋅
=
5
Nacrtajmo sliku najpre:
1cm
2cm
r
A B
O
Polovina tetive AB je 2cm, i ona sa rastojanjem od centra kruga i poluprečnikom pravi pravougli trougao , na kome primenjujemo Pitagorinu teoremu. Dakle:
2 2 2
2
2
2 1
4 1
5
r
r
r
= +
= +
=
Namerno nismo tražili r, jer nam za površinu treba:
2
2
5
5
P r
P
P cm
π
π
π
=
=
=
6
I ovde je neophodna slika:
A
B C2r
6cm 8cm
Pošto u zadatku kaže da su tetive ortogonalne ( normalne) , one sa prečnikom grade pravougli trougao, pa ćemo tu činjenicu iskoristiti i uz pomoć Pitagorine teoreme naći poluprečnik:
2 2 2
2
2
2
2
(2 ) 6 8
4 36 63
4 100
100
4
25
25
5
r
r
r
r
r
r
r cm
= +
= +
=
=
=
=
=
Sada tražimo obim:
2
2 5
10
O r
O
O cm
πππ
=
= ⋅
=
7
015
?
l
O
π
α
=
=
=
π
15o
A B
Znamo da se dužina kružnog luka računa:
0
0
0
0
2 odnosno
360
zamenimo date podatke360
15
360
24
O=24 cm
rl
Ol
O
O
πα
α
π
π
π
=
⋅=
⋅=
=
8
Ako posmatramo trougao ABO, možemo zaključiti da je on jednakokraki , jer su mu dve stranice poluprečnici kruga ! Onda su uglovi OAB i OBA jednaki i iznose po 50 stepeni: 050OAB OBA= =∡ ∡
A B
C
O
r r
50o
50o
α
β
Traženi centralni ugao alfa ćemo naći:
0 0 0
0 0
0
180 (50 50 )
180 100
80
α
α
α
= − +
= −
=
Nad istim lukom centralni ugao je dva puta veći od periferijskog, dakle:
0
0
2
80
2
40
αβ
β
β
=
=
=
9
A
B C
O60o
120o
30o
30o
rr2
h h
60o
30o
Najpre uočimo da je ugao BAO od 60 stepeni periferijski nad lukom BC. Njemu odgovarajući centralni ugao BOC mora biti dva puta veći:
0
0
2
2 60
120
BOC BAC
BOC
BOC
= ⋅
= ⋅
=
∡ ∡
∡
∡
Kako je trougao BOC jednakokraki , možemo izračunati i njegova dva preostala ugla:
0 0 00180 120 60
302 2
OBC OCB−
= = = =∡ ∡
Dužina tetive BC je ustvari sastavljena od dve visine jednakostraničnog trougla stranice a = r = 6cm
3
2
32 2 3 6 3
2
ah
rBC h r cm
=
= = = =
△
△
10
62,8
12,56
3,14
?
O cm
l cm
πα
=
=
≈
=
0
0
0
0
0
0
0
2 odnosno
360
zamenimo date podatke360
62,812,56
360
62,8 12,56 360
12,56 360 skratimo
62,8
360
5
72
rl
Ol
πα
α
α
α
α
α
α
=
⋅=
⋅=
⋅ = ⋅
⋅=
=
=
Sa crteža možemo “ pročitati” da je :
0
5
144
3,14
r cm
απ
=
=
≈
11
0
0
0
2
180
5 3,14 144
18012,56
25 12,56
2
31,4
rl
l
l cm
r lP
P
P cm
πα=
⋅ ⋅=
=
⋅=
⋅=
=
A B
C
DE
F
a
aa
a
R=a
Iz površine kruga ćemo naći poluprečnik , a znamo da je on jednak stranici šestougla (vidi sliku)
2
2
2
64
64
64
8
P r
r
r
r
r cm
π
π π
=
=
=
=
=
Kako je r = a = 8cm, to je obim šestougla jednak:
2
6
6 8
48
š
š
š
O a
O
O cm
=
= ⋅
=
12
a
aa
ru
Znamo da je poluprečnik upisane kružnice jednak trećini visine!
1 16 2
3 3ur h cm= = ⋅ =
2
2 2
4
O r
O
O cm
ππ
π
=
= ⋅
=
2
2
2
2
4
P r
P
P cm
π
π
π
=
=
=
13
A B
C
ab
c=2r30
oo
60
Kako se centar opisane kružnice nalazi na sredini najduže stranice( hipotenuze) , zaključujemo da se radi o pravouglom trouglu!
Naravno, odmah možemo zaključiti da je ugao BAC jednak 060 . Iz površine kruga ćemo naći poluprečnik:
2
2
2
36
36
36
6
P r
r
r
r
r cm
π
π π
=
=
=
=
=
Kako je c = 2r , zaključujemo da je : c = 12cm
A B
C
ab
c=2r30
oo
60
30o
60o
14
Trougao ABC je sa ovim uglovima od 30, 60 i 90 stepeni ustvari polovina jednakostraničnog trougla , stranice c =12cm!
126
2 2
cb cm= = =
Stranica a je visina tog jednakostraničnog trougla stranice 12 cm, pa je :
3 12 36 3
2 2
ca cm= = =
I ovde je neophodna slika:
a
a d1=a
60o
60o
60o
h
120o
Kako je jedan ugao romba 0120 , znamo da će drugi ugao biti 0 0 0180 120 60− = Na taj način smo dobili jednakostanični trougao i zaključujemo da je 1d a= .
Poluprečnik upisanog kruga kod romba jednak je polovini visine! A visina je visina jednakostraničnog trougla stranice
15
4 3
Dakle:
3 4 3 3 4 3
2 2 26
6
2 23
a cm
ah
h cm
hr
r cm
=
⋅= = =
=
= =
=
2
2
2
3
9
P r
P
P cm
π
π
π
=
=
=
AB
CD
O
2r
h
=10cm
8cm
Uočimo trougao ABC. On je svakako pravougli. Pitagorina teorema će nam dati krak BC
16
2 2 2
2
2
10 8
100 64
36
36
6
BC
BC
BC
BC
BC cm
= −
= −
=
=
=
Visina trapeza je i visina trougla ABC, preko formule je:
( za pravougli trougao)
6 8
1048
104,8
c
a bh
c
h
h
h cm
⋅=
⋅=
=
=
Dopunimo najpre datu sliku:
17
O S
B
A
p
R=9cm r=3cm
r
R
Prava p je tangenta oba kruga.Ako spojimo O i A, S i B, dobijamo pravougli trapez OABS. Što pravougli? Jer znamo da je tangenta normalna na poluprečnik (u tačkama A i B). Tražena dužina AB je ustvari visina tog pravouglog trapeza! Primenom Pitagorine teoreme na označeni trougao dobijamo:
2 2 2
2
2
12 6
144 36
108
108 36 3 6 3
AB
AB
AB
AB cm
= −
= −
=
= = ⋅ =
I ovde je slika vrlo bitna:
18
a
a1
2
dR =
2
2
dr =
Poluprečnici krugova su dakle polovine dijagonala (vidi sliku). Ako pokušamo da nañemo te poluprečnike , nećemo uspeti! Ovaj zadatak se radi drugačije. Nama se traži zbir površina ta dva kruga, pa je :
2 21 2
2 2 ( )
P P R r
R r
π π
π
+ = +
= +
Zastanimo ovde malo i primenimo Pitagorinu teoremu:
2 221 2
2 2 2
2 2 2
2 2
2 2
5
25
d da
R r a
R r
R r
+ =
+ =
+ =
+ =
Vratimo se u zadatak:
2 2
1 2
2 2 2 2
2
( ) zamenimo da je 25
25
P P R r
R r R r
cm
π π
π
π
+ = +
= + + =
=
19
A B
C
ab
P
P
a
b
a
a
b
b
r=c/2
Najpre ćemo iz površina trouglova naći dužine kateta a i b.
2
2
2
2
2
3
4
364 3
4
644
64 4
256
256
16
a
aP
a
a
a
a
a
a cm
=
=
=
= ⋅
=
=
=
2
2
2
2
2
3
4
336 3
4
364
36 4
144
144
12
b
bP
b
b
b
b
b
b cm
=
=
=
= ⋅
=
=
=
Primenom Pitagorine teoreme nalazimo dužinu hipotenuze c:
20
2 2 2
2 2 2
2
2
16 12
256 144
400
400
20
c a b
c
c
c
c
c cm
= +
= +
= +
=
=
=
Znamo da se centar opisane kružnice kod pravouglog trougla nalazi na sredini hipotenuze:
2 2 2
2010
2 2
10 100
cr cm
P r cmπ π π
= = =
= = =
Iz površine kvadrata ćemo naći dužinu stranice kvadrata:
2
236
36
6
P a
a
a
a cm
=
=
=
=
A B
CD
S
2cm2cm 2cm
3cm
1cmr
Pošto je cela stranica 6cm, svaki od malih delića biće po 2cm. Primenom Pitagorine teoreme na označeni trougao , nalazimo poluprečnik r.
21
2 2 2
2
2
3 1
9 1
10
10
r
r
r
r cm
= +
= +
=
=
Površina kruga je onda:
2
210
P r
P cm
π
π
=
=
A B
C
DE
F
a
a
a
R=a
a2
r =
Nañimo najpre dužine poluprečnika (R i r) . R = a = 6cm
63
2 2
ar cm= = =
Formula za površinu kružnog prstena je:
2 2
2 2
2
( )
(6 3 )
(36 9)
27
kp
kp
kp
kp
P R r
P
P
P cm
π
π
π
π
= −
= −
= −
=
22
Proučimo najpre datu sliku:
I
I
II
IIIII
III
IV
IV
# #
#
#
Krug unutar smo podelili na 4 dela. Svaki od tih delova odgovara po jednoj četvrtini krugova okolo. Delići obeleženi sa # su takoñe isti. Šta zaključujemo? POVRŠINA OSENČENE FIGURE JE JEDNAKA POLOVINI POVRŠINE KVADRATA! Dakle, da nañemo površinu kvadrata i to podelimo sa 2.
23
1cm
1cm
1cm
1cm
a
a
DIJAGONALA KVADRATA SE SASTOJI IZ 4 POLUPREČNIKA!
4
4 1
4
d r
d
d cm
=
= ⋅
=
Dalje ćemo naći površinu kvadrata:
2
2
2
2
4
216
2
8
kv
kv
kv
kv
dP
P
P
P cm
=
=
=
=
I konačno, površina osenčenog dela je:
284
2 2kv
od
PP cm= = =
24
25
