VERSLO IR TECHNOLOGIJŲ FAKULTETAS

Parengė E. GRIGALEVIČIENĖ

MMAATTEEMMAATTIIKKAA

PASKAITŲ KONSPEKTAS

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=+++

=+++=+++

mnmnmm

nn

nn

bxaxaxa

bxaxaxabxaxaxa

..................................................

,...,...

2211

22222121

11212111

2007

MARIJAMPOLĖS KOLEGIJA VERSLO IR TECHNOLOGIJŲ FAKULTETAS

MMAATTEEMMAATTIIKKAA

PASKAITŲ KONSPEKTAS

Parengė E. GRIGALEVIČIENĖ

Marijampolė, 2007

2

Apsvarstyta Bendrojo lavinimo dalykų katedros posėdyje 2009-03-03, prot. Nr. 3 Recenzavo: Alytaus kolegijos docentė - Daugų technologijos ir verslo mokyklos dėstytoja ekspertė M. Zenkevičienė

3

PRATARMĖ

Konspektas parengtas pagal neuniversitetinių studijų programą ir skirtas techninių disciplinų

studentams.

Konspektą sudaro šie skyriai:

1. Matricos ir determinantai. Tiesinių lygčių sistemų sprendimas.

2. Vektorinė algebra.

3. Analizinė geometrija.

4. Funkcijos. Ribos. Tolydumas.

5. Funkcijos išvestinė ir diferencialas. Išvestinės taikymas.

6. Neapibrėžtinis integralas.

7. Apibrėžtinis integralas.

Konspekte pateikta teorinė medžiaga, apibrėžimai, formulės, teoremos bei uždarinių sprendimo

pavyzdžiai. Pagrindinės sąvokos ir kai kurios formulės, teoremos pateiktos be įrodymų. Studentas,

norėdamas išsamiau išstudijuoti šia temas, galės papildomai paskaityti nurodytus literatūros šaltinius.

Konspektu gali naudotis studentai, kurie dėl tam tikrų priežasčių yra praleidę kai kurias

matematikos dalyko paskaitas ir turi savarankiškai išmokti paskaitose išdėstytą medžiagą.

Šiuo konspektu gali naudotis ir kitų specialybių studentai, besimokantys šias temas.

4

TURINYS 1. MATRICOS. DETERMINANTAI. TIESINIŲ LYGČIŲ SISTEMOS.................................................. 7

1.1. Matricos, jų rūšys ........................................................................................... .....................7 1.2. Veiksmai su matricomis ................................................................................. .....................9 1.3. Determinanto sąvoka ..................................................................................... ....................13 1.4. Matricos rangas ............................................................................................. .................... 19 1.5. Atvirkštinė matrica ........................................................................................ ....................21 1.6. Tiesinių lygčių sistemos ................................................................................ ................... 24

2. VEKTORINĖ ALGEBRA ....................................................................................................................40 2.1. Pagrindinės vektorių sąvokos ir veiksmai.........................................................................40 2.2. Atkarpos dalijimas duotu santykiu ...................................................................................44 2.3. Vektorių skaliarinė sandauga ....................................................................... ................... 45 2.4. Vektorinė sandauga ..........................................................................................................48 2.5. Mišrioji trijų vektorių sandauga .......................................................................................50

3. ANALIZINĖ GEOMETRIJA .......................................................................................... ....................54 3.1. Bendroji plokštumos lygtis...................................................................................................54 3.2. Kampas tarp dviejų plokštumų ............................................................................................ 58 3.3. Tiesės erdvėje R3 lygtys .................................................................................. ................... 59 3.4. Kampas tarp tiesių ................................................................................................................63 3.5. Kampas tarp tiesės ir plokštumos ...................................................................... ...................63 3.6. Tiesė plokštumoje (erdvėje R2) ............................................................................................64 3.7. Antros eilės kreivės ..............................................................................................................68

3.7.1. Apskritimas.........................................................................................................68 3.7.2. Elipsė..................................................................................................................70 3.7.3. Hiperbolė ...........................................................................................................72 3.7.3. Hiperbolė ...........................................................................................................75

4. FUNKCIJOS. RIBOS. TOLYDUMAS ..................................................................................................79 4.1. Pagrindinės elementariosios funkcijos ir jų grafikai ...............................................................79

4.1.1. Pagrindinės sąvokos .........................................................................................79 4.1.2. Atvirkštinės funkcijos .......................................................................................83 4.1.3. Išreikštinės ir neišreikštinės funkcijos...............................................................85 4.1.4. Parametrinės funkcijos lygtys ...........................................................................85

4.2. Funkcijos riba .........................................................................................................................86 4.3. Funkcijos tolydumas ...............................................................................................................90

5. FUNKCIJOS IŠVESTINĖ IR DIFERENCIALAS. IŠVESTINĖS TAIKYMAS.....................92 5.1. Funkcijos išvestinė .....................................................................................................92

5.1.1. Išvestinės sąvoka .....................................................................................92 5.1.2. Išvestinės geometrinė prasmė. Kreivės liestinė ir normalė.....................94 5.1.3. Išvestinės fizikinė prasmė ........................................................................95 5.1.4. Sudėtinės funkcijos išvestinė ...................................................................95 5.1.5. Atvirkštinės funkcijos išvestinė................................................................96 5.1.6. Funkcijų diferencijavimo taisyklės ir išvestinių lentelė ..........................96 5.1.7. Neišreikštinės funkcijos išvestinė ............................................................97 5.1.8. Funkcijų, apibrėžtų parametrinėmis lygtimis, diferencijavimas.............98 5.1.9. Aukštesniųjų eilių išvestinės ....................................................................98 5.1.10. Funkcijų diferencialas...........................................................................98

5.2. Išvestinių taikymas ..............................................................................................99 5.2.1. Funkcijos didėjimas ir mažėjimas ...........................................................99 5.2.2. Funkcijos ekstremumai..........................................................................101 5.2.3. Kreivės iškilumas, perlinkio taškai .......................................................103 5.2.4. Kreivės asimptotės ................................................................................105 5.2.5. Bendroji funkcijos tyrimo ir jos grafiko braižymo schema ...................107

5

6. NEAPIBRĖŽTINIS INTEGRALAS.......................................................................................111 6.1. Pirmykštė funkcija ir neapibrėžtinis integralas .................................................111 6.2. Neapibrėžtinio integralo savybės.......................................................................113 6.3. Kintamojo keitimas............................................................................................114 6.4. Dalinis integravimas ..........................................................................................115 6.5. Racionaliųjų funkcijų integravimas...................................................................117 6.6. Iracionaliųjų funkcijų integravimas...................................................................120 6.7. Trigonometrinių reikšmių integravimas ............................................................122

7. APIBRĖŽTINIS INTEGRALAS ............................................................................................124 7.1. Apibrėžtinio integralo sąvoka............................................................................124 7.2. Apibrėžtinio integralo savybės ir skaičiavimas .................................................125 7.3. Apibrėžtinio integralo taikymas ........................................................................126

7.3.1. Kreivinės trapecijos ploto skaičiavimas................................................126 7.3.2. Kreivės ilgio skaičiavimas.....................................................................127 7.3.3. Sukinio tūrio skaičiavimas ....................................................................128

NAUDOTA LITERATŪRA .......................................................................................................131

6

1. MATRICOS. DETERMINANTAI. TIESINIŲ

LYGČIŲ SISTEMOS

1.1. Matricos, jų rūšys

Stačiakampė lentelė iš skaičių, surašytų į m eilučių ir n stulpelių, yra vadinama

matrica.

nm ⋅

Matrica užrašoma:

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

mnmm

n

n

aaa

aaaaaa

A

...........................

21

22221

11211

arba arba ⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

mnmm

n

n

aaa

aaaaaa

A

...........................

21

22221

11211

mnmm

n

n

aaa

aaaaaa

A

..........................

21

22221

11211

= .

Skaičiai aij – matricos elementai, i nurodo eilutės numerį, j – stulpelio numerį. Pvz. a32 yra

matricos trečios eilutės antro stulpelio elementas. Sutrumpintai matrica gali būti žymima

A = (a ij), i = 1, 2, …m; j = 1, 2 …n.

nm× yra matricos formatas – žymimas τ (A).

Pavyzdžiui, matricos formatas yra ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

120123

A ( )23× ( ) 23×=Aτ . Užrašoma . 23×A

Matrica, kurioje eilučių skaičius lygus stulpelių skaičiui (m=n) vadiname kvadratine

matrica.

Žymima An = .

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

nnnn

n

n

aaa

aaaaaa

A

...

..................

......

21

22221

11211

Kvadratinės matricos elementai a11, a22, … ann sudaro pagrindinę įstrižainę, o elementai

an1, an-12, … a1n – šalutinę įstrižainę.

Kvadratinė matrica, kurios pagrindinės įstrižainės elementai lygūs vienetui, o visi kiti –

nuliai, vadiname vienetine.

Žymima .

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

1...000...............0...1000...0100...001

E

7

Dvi matricos A ir B, turinčios vienodą eilučių ir vienodą stulpelių skaičių, vadinamos to

paties formato matricomis.

Matricos yra lygios, jei jos yra vienodo formato ir jų atitinkami elementai yra lygūs:

A = B, jei τ(A) = τ(B) ir aij = bij (i = 1, 2, … m; j = 1, 2, … n).

Matrica – eilute vadinama matrica

A = (a11 a12 a13 … a1n).

Matrica – stulpeliu vadinama matrica

.

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

1

31

21

11

...

ma

aaa

A

Bet kokio formato matrica, kurios visi elementai lygūs nuliui, vadinama nuline.

Žymima

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

0...00............0...000...00

0 .

Jei matricos eilutes ir stulpelius atitinkamai sukeisime vietomis, gausime matricą, kuri

vadinama transponuota matrica.

Žymima AT.

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

mnmm

n

n

aaa

aaaaaa

A

...........................

21

22221

11211

;

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

mnnn

m

m

T

aaa

aaaaaa

A

...

........................

21

22212

12111

1 pavyzdys.

Jei , tai . ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=

302113

A⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−=

310123

TA

2 pavyzdys.

( )0112 −=B ; .

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−=

01

12

TB

8

3 pavyzdys.

; . ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−=

230112351

C⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−=

213315021

TC

Transponuojant kvadratinę matricą, jos pagrindinės įstrižainės elementų padėtis

nepakinta.

1.2. Veiksmai su matricomis

Matricų sudėtis. Dviejų vienodo formato matricų A = (aij) ir B = (bij) suma vadinama

matrica C = (cij), kurios kiekvienas elementas lygus matricų A ir B atitinkamų elementų sumai.

C = A + B, kai Cij = aij + bij, (I = 1, 2, …m; j = 1, 2, …n).

4 pavyzdys.

Raskime matricų A ir B sumą, kai

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=

301213

A , . ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

−=

112321

B

Kadangi matricos yra vienodo formato, τ(A) = τ(B) = 32× , jas galima sudėti.

( )( ) ( ) ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−++−+

++−−+=+

211512

131021322113

BA .

Matricos daugyba iš skaičiaus. Skaičiaus k ir matricos A = (aij) sandauga vadinama

matrica B = (bij), kurios kiekvienas elementas lygus skaičiaus k ir atitinkamo matricos A

elemento sandaugai.

B = kA, kai bij = kaij (i = 1, 2, … m; j = 1, 2, … n).

5 pavyzdys.

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−=

421362

A , k = 2,

9

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

⋅⋅−⋅⋅⋅⋅

=8426

124

242221232622

2A .

Matrica, kurios elementai skiriasi nuo matricos A elementų tiktai ženklu, vadinama

matricai A priešinga matrica. Žymima – A. Ją gauname matricą A padauginę iš (-1).

Matricų A ir B skirtumu vadinama matricų A ir –B suma.

A – B = A + (-B) = (aij + (-bij)) = (aij – bij) (i = 1, 2, … m; j = 1, 2, … n).

Matricų sudėtis, atimtis bei daugyba iš skaičiaus vadinami tiesiniais matricų veiksmais.

Tiesiniams matricų veiksniams galioja skaičių veiksmų savybės:

1) komutatyvumo: A + B = B + A; kA = Ak;

2) asociatyvumo: A + (B + C) = (A + B) + C; k(lA) = (kl)A;

3) distributyvumo: k(A + B) = kA + kB; (k + l)A = kA + lA.

Sumavimo simbolis ∑ . Jis naudojamas, kai norima užrašyti vienodo tipo dėmenų sumą.

a1 + a2 + a3 + … + an = ∑=

n

iia

1

ai – bendrasis sumos narys; i – sumavimo indeksas.

Skaičiai, parašyti po sumavimo ženklu ir virš jo, parodo sumavimo indekso pradinę ir

galutinę reikšmes.

Matricų daugyba

APIBRĖŽIMAS. Matrica A vadinama suderinta su matrica B, jei matricos A stulpelių

skaičius yra lygus matricos B eilučių skaičiui.

pmA × = (aik) ir = (bkj). npB ×

Jei A = (aik) yra formato matrica, o B = (bkj) yra pm × np × formato matrica, tai matricų

A ir B sandauga vadinama formato matrica C = (cij), kurios kiekvienas elementas

apskaičiuojamas pagal formuę:

nm×

cij = ai1b1j + ai2b2j + ai3b3j + … + aipbpj = ∑=

p

kkjik ba

1

PASTABA. Galima sudauginti tik suderintas matricas.

10

6 pavyzdys.

Raskite matricų A ir B sandaugą, jei

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=401231

A , . ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

652431

B

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅+⋅+⋅−⋅+⋅+⋅−

⋅+⋅+⋅⋅+⋅+⋅=

642031544011622331524311

AB = . ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛21192123

Ats.: ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛21192123

Matricų sandaugos savybės

1. Jei mmmmnnm CCBA ==⋅ ××× , ir nnnnmmn CCAB ==⋅ ××× , tai matricos Cm ir

Cn yra kvadratinės matricos, bet nm CC ≠ .

2. Jei A ir B yra kvadratinės to paties formato matricos, tai jų

τ(AB) = τ(BA), tačiau AB ≠ BA.

3. Jei kvadratinės matricos A ir B yra tokios, kad AB = BA, jos vadinamos

komutuojančiomis.

4. Bet kokia kvadratinė matrica ir tos pačios eilės vienetinė matrica tenkina

lygybę EA = AE = A.

5. Jei dviejų komutuojančių matricų A ir B sandauga yra vienetinė matrica,

tos matricos vadinamos atvirkštinėmis.

Matricai A atvirkštinė matrica žymima A-1.

.11 EAAAA =⋅=⋅ −−

7 pavyzdys.

Duota , . ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

=513021

A⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−=

9310687

B

Apskaičiuokime A⋅B ir B⋅A.

Sprendimas.

11

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅+⋅−+⋅−+⋅−+⋅⋅+⋅−+⋅−⋅+−+⋅

=⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

=⋅590125

95101833561739010281306271

9310687

513021

BA

.

( ) ( )( ) ( )( ) ( )

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−−

=

=⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

⋅+⋅−−⋅+−−⋅+⋅−⋅+⋅−⋅+−⋅⋅+⋅⋅+⋅−+−⋅+⋅

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−=⋅

45324502236402231

590319233913510061102631016580718273817

513021

9310687

AB

Matome, kad ABBA ⋅≠⋅ .

8 pavyzdys.

Apskaičiuokime A3, kai . ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

=4321

A

Sprendimas.

AAA ⋅= 23

( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )( ) ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−+−⋅⋅−+⋅−−+−⋅⋅−+⋅

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

=⋅=10965

4423341342213211

4321

43212 AAA .

( ) (( ) ( ) ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+−−⋅+⋅−−⋅+−⋅−⋅+⋅−

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

=⋅=410293101946253615

4321

1096523 AAA

) = . ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

22211413

Ats.: ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

22211413

9 pavyzdys.

Apskaičiuokime daugianario f(X) = 3X2 – 2X + 5 reikšmę, kai . ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−−

=253142321

x

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

+−−+−+−+−−+−+−+−−+−+−

=⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−−

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−−

=⋅=45910206610324651643826231582941

253142321

253142321

2 XXX =

. ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−

−

841473796

12

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−

−=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−

−⋅=

2412312219212718

841473796

33 2X .

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−−−−−

=⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−−

⋅−=−4106284642

253142321

22X .

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛⋅==

500050005

100010001

555 E .

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛+

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−−−−−

+⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−

−=+−

500050005

4106284642

2412312219212718

523 2 XX = . ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−

−

25229103413152321

Ats.: ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−

−

25229103413152321

1.3. Determinanto sąvoka

Determinantas – matricos skaitinė charakteristika. Kiekvienai kvadratinei matricai A

priskiriamas skaičius, kuris vadinamas jos determinantu.

Determinantas apskaičiuojamas pagal tam tikrą taisyklę. Žymimas det A, A , arba D.

Determinanto eile vadinama matricos eilė.

Jei , tai

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

nnnn

n

n

aaa

aaaaaa

A

...............

...

...

21

22221

11211

nnnn

n

n

aaa

aaaaaa

A

...............

...

...

21

22221

11211

= .

Pirmos eilės determinantas yra lygus jį sudarančiam elementui:

kai n = 1,

1111 aaA ===Δ .

Antros eilės determinantas yra lygus pagrindinės įstrižainės elementų ir šalutinės

įstrižainės elementų sandaugų skirtumui:

kai n = 2,

211212112221

1211 aaaaaaaa

A −===Δ .

13

10 pavyzdys.

( ) ( ) 33631323312

−=+−=−⋅−⋅−=−−

=Δ .

Ats.: -3

Trečios eilės determinantas apskaičiuojamas pagal formulę:

211233332112312213322113312312332211

333231

232221

131211

aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa

−−−++==Δ .

Tai nesunku įsiminti pagal schemą:

+

000000000

−

000000000

.

Ši taisyklė vadinama trikampių taisykle.

11 pavyzdys.

182781666333222111132132213231312123

−=−−−++=⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅==Δ .

Trečios eilės determinantą galima apskaičiuoti taikant Sarriuso taisyklę.

Determinantui iš dešinės prirašomi pirmieji du stulpeliai ir surandama įstrižainių

elementų sandaugų suma.

3331

2221

1211

333231

232221

131211

aaaaaa

aaaaaaaaa

−−−+++

=Δ .

Norint apskaičiuoti aukštesnių eilių determinantus, reikia žinoti minoro ir adjunkto

sąvokas.

Matricos A elemento aij minoru vadiname determinantą tokios matricos, kuri gauta iš

matricos A išbraukus i-tąją eilutę ir j-ąjį stulpelį. Toks determinantas žymimas Mij.

Matricos A elemento aij adjunktu vadinamas skaičius, lygus to elemento minorui,

padaugintam iš (-1)i+j, t.y.

Aij = (-1)i+j ⋅Mij

14

12 pavyzdys.

Apskaičiuokime matricos elementų a12, a31 minorus ir adjunktus. ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

804721532

A

Sprendimas.

8471

12 =M , nes - matrica, o jos determinantas ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

8471

804721532

8471

yra minoras

M12. Adjunktas . ( ) 1221

12 1 MA ⋅−= +

( ) ( ) 2028818471

1 2112 =−⋅−=⋅−= +A .

7253

31 =M , nes 7253

804721532

= , ( ) 1110217253

1 313113

31 =−==+=⋅−= + MMA .

TEOREMA. n-tos eilės determinantas yra skaičius, lygus bet kurios determinanto eilutės

arba stulpelio elementų ir tų elementų adjunktų sandaugų sumai.

∑=

=+++==n

jijijininiiii AaAaAaAaAA

12211 ...det , i = 1, 2, … n

arba

∑=

=+++==n

iijijnjnjjjjj AaAaAaAaAA

12211 ...det , j = 1, 2, … n.

13 pavyzdys.

Apskaičiuokime determinantą 112530432

−−

skleisdami jį:

a) pirmo stulpelio elementais,

b) trečios eilės elementais,

c) pagal Sarriuso formulę.

Sprendimas.

15

a) ( ) ( ) ( ) =−−

−⋅+−

−⋅+−

−=⋅+⋅+⋅=−−

+++

5343

121143

101153

12202112530432

131211312111 AAA

= 2(3 + 5) – 0 + 2(-15 + 12) = 16 – 6 = 10.

b) ( ) ( ) ( ) =−⋅+−−

−⋅+−−

−=⋅+⋅+⋅=−−

+++

3032

115042

115343

12112112530432

332313333231 AAA

= 2(-15 + 12) – (-10 + 0) + (6 – 0) = -6 + 10 + 6 = 10.

c) ( ) ( ) ( ) ( ) 103152234104253132123032

112530432

⋅⋅−⋅−⋅−⋅⋅−−⋅⋅−+⋅−⋅+⋅⋅=−−

−−−+++

=

= 6 – 30 + 24 + 10 = 10.

Ats.: 10.

14 pavyzdys.

Apskaičiuokime ketvirtos eilės determinantą

1023322014120301

−−

−.

Sprendimas.

Išskleidžiame determinantą pirmos eilutės elementais.

= a11A11 + a12A12 + a13A13 + a14A14.

( ) ( ) ( ) ( ) =−−

−⋅+−

−−⋅+

−−−⋅+

−−

−−⋅=Δ ++++

023220

41210

123320112

13103

320142

10102

322141

11 41312111

=1 ⋅ (−2 + 24 + 0 + 4 + 0 + 8) + 3 (−4 − 9 + 0 − 6 − 12 − 0) = 34 + 3 ⋅ (-31) = -59.

Aukštesnių eilių determinantų skaičiavimą galima palengvinti susipažinus su

pagrindinėmis determinantų savybėmis.

Determinantų savybės

Determinantų savybes pateikiu be įrodymo. Jas nesunku tiesiogiai patikrinti antrosios ir

trečiosios eilės determinantų skaičiavimo pavyzdžiais. Siūlau tai atlikti savarankiškai.

16

1 savybė. Determinanto eilutes ir stulpelius sukeitus vietomis, determinantas nepakinta,

t.y. det A – det AT.

2 savybė. Determinantas, turintis nulinę eilutę (stulpelį), lygus nuliui.

3 savybė. Dvi determinanto eilutes (stulpelius) sukeitus vietomis, determinanto ženklas

nepasikeičia priešingu.

4 savybė. Jeigu kurios nors determinanto eilutės (stulpelio) elementai turi bendrą daugiklį,

tai jį galima iškelti prieš determinanto ženklą.

5 savybė. Determinantas, turintis dvi vienodas eilutes (stulpelius), lygus nuliui.

6 savybė. Prie vienos determinanto eilutės elementų pridėjus kitos eilutės atitinkamus

elementus, padaugintus iš bet kurio skaičiaus, determinantas nepakinta.

7 savybė. Determinanto vienos eilutės elementų ir kitos eilutės atitinkamų adjunktų

sandaugų suma lygi nuliui:

a21A11 + a22A12 + a23A13 = 0.

IŠVADOS:

1. Jei dvi determinanto eilutės (stulpeliai) yra proporcingos, tai toks determinantas lygus

nuliui.

2. Prie vienos determinanto eilutės pridėjus bet kurių kitų jo eilučių tiesinį derinį,

determinantas nepakinta.

3. Jei kuri nors determinanto eilutė (stulpelis) yra visų kitų eilučių (stulpelių) tiesinė

kombinacija, tai toks determinantas lygus nuliui.

15 pavyzdys.

Apskaičiuokime ketvirtosios eilės determinantą

111239874521

3642

−−−

−−−

=Δ .

Sprendimas.

Jei determinantą skleistume paskutinės (ketvirtosios) eilutės elementais, tai gautume

keturių trečiosios eilės determinantų sumą:

( ) ( ) +−

−−−

−+−−

−−

−⋅=⋅−⋅+⋅+⋅=Δ ++

397451

36211

398452

364121112 2414

44434241 AAAA

17

+ ( ) ( )987

521642

1387421

3421 4434

−−−

−−−

−−−− ++ .

Ją galima apskaičiuoti, bet tai truks ilgai. Skaičiavimą galima sutrumpinti taikant

pagrindines determinantų savybes: prie pirmojo stulpelio reikia pridėti ketvirtąjį, padaugintą iš 2,

po to prie antrojo ir trečiojo stulpelių – ketvirtąjį. Šiuos elementarius pertvarkymus pažymėkime

schematiškai rodyklėmis:

( )( )( )

( )

( )( )( )112

32

6513129378

11

1000365134129

3378

111239874521

3642

44 =↓

↑−

−−−−

−−−=

−−−

−−−−

=

−−−

−−−

=Δ +

= ( ) ( ) ( ) 364131919193119

1101931290119

1 32 =⋅+−⋅−=−−

−−⋅−=

−−−−

−− + .

Ats.: 364.

Įsitikinome, kad ketvirtosios eilės determinantą galima pakeisti vienu trečiosios eilės

determinantu, o trečiosios eilės determinantą vienu antrosios eilės determinantu.

16 pavyzdys.

Apskaičiuokime penktosios eilės determinantą

641313045323012

1232154021

−−

−−.

Sprendimas.

( ) ( ) ( ) ( )

10110121241012503066300540211321

641313045323012

1232154021

−−−−−−−=

−−−

−−

−−=Δ =

18

= ( ) ( ) ( )

( ) ( 131011121241125032210

113

1011121241125036630

11 11

−−↑

−⋅−⋅=−−−−−−−

−⋅ +

)

=

Iškėlėme prieš determinantą pirmos eilutės daugiklį 3, antros ir trečios eilutės (-1).

= ( )( )

( )2017015110221

313

11123953221

113

101111123095302210

3 14 −=↓

↓−−⋅⋅=−

⋅ + =

= ( ) ( ) ( ) ( ) 105353255220315172011320171511

113 11 =−⋅−=−−=⋅−⋅−=−⋅⋅− + .

Ats.: 105.

1.4. Matricos rangas

Matricos A rangu vadinama aukščiausios eilės minoro, nelygaus nuliui, eilė.

Žymimas rangA = r(A) = r.

Apskaičiuoti matricos rangą, naudojantis apibrėžimu, nelabai patogu, nes reikia

apskaičiuoti gana daug minorų. Apskaičiuojamų minorų skaičių galima sumažinti, jeigu įvesime

gaubiančiojo minoro sąvoką ir suformuluosime dar vieną teoremą.

Matricos k + j (j ≥ 1) eilės minoras vadinamas k eilės minorą gaubiančiuoju minoru, jei į

k + j eilės minorą įeina visi k eilės minoro elementai.

Pavyzdžiui, matricos trečiosios eilės minoras

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

434241

333231

232221

131211

aaaaaaaaaaaa

A

333231

232221

131211

aaaaaaaaa

gaubia antrosios eilės minorus 2221

1211

aaaa

, 2322

1311

aaaa

, 2321

1312

aaaa

ir kitus.

TEOREMA. Jei kuris nors matricos A r eilės minoras yra nelygus nuliui, o visi

gaubiantieji r + 1 eilės minorai lygūs nuliui, tai rangA = r(A) = r.

Šios teoremos taikymą pailiustruojame šiuo pavyzdžiu.

19

17 pavyzdys.

Apskaičiuokime matricos rangą.

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−

−=

610713433102742312101

A

Sprendimas.

Antrosios eilės minoras 0223

01≠−=

−.

Jį gaubiantis trečiosios eilės minoras

07040306310423101

≠−=−−+++−=− .

Šį minorą gaubia du ketvirtosios eilės minorai:

( )

( ).0

4310431024231101

1

6713431024231101

,0

3310331074232101

1

10713331074232101

=−

=

↓

−

−

−

=−

=

↓

−

−

−

Matricos rangas r = 3.

Ats.: r = 3.

Galima padaryti šią išvadą: n-tosios eilės kvadratinės matricos determinantas lygus nuliui

tada, kai matricos rangas mažesnis už n t.y. r < n.

18 pavyzdys.

Nustatome matricų ir rangus. ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−

−=

421114

532A

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−−−=

2021074412

B

Sprendimas.

09848454038211432

421114

532det ≠=++−++=

−−

−=A .

Taigi, r(A) = 3.

20

( ) 0214574101572

21122

2021074412

det =+−+=−−−−⋅⋅=

−−−−=B ,

r < 3. Apskaičiuojame 74

12−

= -14 – 4 = -18. Taigi, r(B) = 2.

Ats.: r(A) = 3, r(B) = 2.

1.5. Atvirkštinė matrica

Jei dviejų matricų sandauga yra vienetinė matrica, tai tos matricos vadinamos

atvirkštinėmis viena kitai:

AA-1 = A-1A = E.

Imkime trečiosios eilės kvadratinę matricą:

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

333231

232221

131211

aaaaaaaaa

A , kurios 0det ≠Δ=A , ir sudarykime tokią matricą:

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

332313

322212

312111

det1

AAAAAAAAA

AB ;

čia Aij (I, j = 1, 2, 3) yra det A elementų adjunktai.

TEOREMA. Matrica ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

332313

322212

312111

det1

AAAAAAAAA

AB yra matricos

atvirkštinė matrica.

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

333231

232221

131211

aaaaaaaaa

A

Įrodymas. Taikydami atvirkštinės matricos apibrėžimą, įrodysim, kad AB = E.

⋅⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

333231

232221

131211

aaaaaaaaa

AB⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

332313

322212

312111

det1

AAAAAAAAA

A=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

++++++++++++++++++

333332323131233322322131133312321131

332332223121232322222121132312221121

331332123111231322122111131312121111

det1

AaAaAaAaAaAaAaAaAaAaAaAaAaAaAaAaAaAaAaAaAaAaAaAaAaAaAa

A=

21

= E

AA

AA

AA

AA

A

A=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

100010001

detdet00

0detdet0

00detdet

det000det000det

det1 .

a11A11 + a12A12 + a13A13 = det A,

a21A21 + a22A22 + a23A23 = det A

a31A31 + a32A32 + a33A33 = det A (pagal formulę).

Pagal 7 determinantų savybę likusios sandaugos a11A21 + a12A22 + a13A23 = a11A31 +

a12A32 + a13A33 = … = a31A21 + +a32A22 + a33A23 = 0.

Įrodėme, kad AB = E. Taigi, B = A-1.

Matrica, kurios det A = , vadinama neišsigimusia, o kurios det A = 0 - išsigimusia.

Išsigimusi matrica neturi atvirkštinės matricos.

0≠Δ

19 pavyzdys.

Raskime matricos atvirkštinę matricą. ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=1312

A

Sprendimas.

Pirmiausia patikriname, ar duotoji matrica yra neišsigimusi:

05321312

det ≠=+=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=Δ=A .

Kadangi A – neišsigimusi, tai ieškome jos atvirkštinės matricos:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛ −=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛Δ

=−

4,06,02,02,0

52

53

51

51

2311

511

2212

21111

AAAA

A .

Patikriname, t.y. apskaičiuojame sandaugas AA-1 ir A-1A:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −⋅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=−

4,06,02,02,0

13121AA =

( )( ) E=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅+−⋅−⋅+⋅−

⋅+−⋅⋅+⋅1001

4,012,036,012,034,012,026,012,02

,

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=−

1312

4,06,02,02,01 AA =

( ) ( ) ( )( ) E=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅+⋅−⋅+⋅

⋅−+⋅−⋅−+⋅1001

14,016,034,026,012,012,032,022,0

.

Ats.: . ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=−

4,06,02,02,01A

22

20 pavyzdys.

Raskime matricos atvirkštinę matricą. ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛ −=

414113325

A

Sprendimas.

Randame determinantą

( ) ( ) 02432511413313412415414113325

≠=⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅−−−⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=−

=A

Apskaičiuojame adjunktus

( ) 34111

1 1111 =−= +A ( ) 11

4132

1 1221 −=

−−= +A ( ) 5

1132

1 1331 =

−−= +A

( ) 84413

1 2112 −=−= +A ( ) 32

4435

1 2222 =

−−= +A ( ) 4

1335

1 2332 −=

−−= +A

( ) 11413

1 3113 −=−= +A ( ) 3

1425

1 3223 =−= +A ( ) 1

1325

1 3333 −=−= +A

Pagal atvirkštinės matricos formulę

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=−

332313

322212

3121111 1

AAAAAAAAA

AA

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−−−

−=−

131143285113

211A .

Patikriname:

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−+−+−−+−−+−+−−+−+−−+−+−

=⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛ −

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−−−

−=⋅−

433132495563224143216569640201195116203315

21

414113325

131143285113

211 AA =

.100010001

200020002

21 E=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

Gavome vienetinę matricą. Lygybė EAA =⋅−1 yra teisinga.

Siūlau savarankiškai patikrinti sandaugą 1−⋅ AA .

23

1.6. Tiesinių lygčių sistemos

Tiesinių lygčių sistemų pagrindinės sąvokos ir sistemos užrašymas matricine lygtimi

APIBRĖŽIMAS. Tiesine lygtimi su n nežinomųjų vadinama lygtis

a1x1 + a2x2 + …+ anxn = b.

Skaičiai , , yra lygties koeficientai prie nežinomųjų, skaičius Rai ∈ ni ,...1= Rb ∈ -

laisvasis narys.

Tiesinės lygties kairioji pusė yra nežinomųjų x1, x2, …,xn tiesinis darinys.

APIBRĖŽIMAS. Skaičių visuma ( )nxxx ,..., 21 vadinama tiesinės lygties sprendiniu, kai

nn xaxaxa ...2211 ++ yra tapatybė. Sakoma, kad nežinomųjų reikšmės

tenkina lygtį.

APIBRĖŽIMAS. Tiesinių lygčių sistema su m lygčių ir n nežinomųjų vadinama sistema

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=+++

=+++=+++

...................................................

,...,...

2211

22222121

11212111

mnmnmm

nn

nn

bxaxaxa

bxaxaxabxaxaxa

(1)

Skaičiai , ,Raij ∈ mi ,...1= nj ,...1= yra koeficientai prie nežinomųjų, , Rb ∈1 mi ,...1= -

laisvieji nariai.

APIBRĖŽIMAS. Tiesinių lygčių sistema (1) vadinama homogenine, jeigu visi laisvieji

nariai b1, mi ,...1= lygūs nuliui; nehomogenine, jei bent vienas iš bi

nelygus nuliui.

APIBRĖŽIMAS. Matrica , sudaryta iš sistemos lygčių

koeficientų prie nežinomųjų, vadinama pagrindine sistemos matrica

arba tiesiog sistemos matrica.

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

mnmm

n

n

aaa

aaaaaa

A

...............

...

...

21

22221

11211

24

APIBRĖŽIMAS. Išplėstąja tiesinių lygčių sistemos matrica vadinama matrica, kuri

gaunama pagrindinę sistemos matricą papildžius laisvųjų narių stulpeliu:

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

mmnmm

n

n

b

bb

aaa

aaaaaa

BA

......

..................

2

1

21

22221

11211

.

Nežinomųjų matrica stulpelis žymimas X, o laisvųjų narių matrica stulpelis – raide B:

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

nx

xx

XM2

1

, .

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

mb

bb

BM2

1

Taigi, tiesinių lygčių sistemą pilnai nusako sistemos išplėstoji matrica.

Tiesinių lygčių sistemos užrašymas matricine lygtimi.

TEOREMA. Matricinė lygis AX = B yra ekvivalenti tiesinių lygčių sistemai (1).

Kadangi

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

+++

+++++

=

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⋅

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

nmnmm

nn

nn

nmnmm

n

n

xaxaxa

xaxaxaxaxaxa

x

xx

aaa

aaaaaa

AX

........................................

......

...............

...

...

2211

2222121

1212111

2

1

21

22221

11211

M,

tai iš lygties AX = B ir matricų lygybės gauname tiesinių lygčių sistemą (1).

APIBRĖŽIMAS. Tiesinių lygčių sistemos sprendiniu vadinama bet kuri skaičių

( )nxxx ,...,, 21 visuma, kurią įrašius į sistemą vietoj atitinkamų

nežinomųjų x1, x2, … xn, gaunama tapatybių sistema.

Sistemos sprendinį galima užrašyti matrica stulpeliu (arba eilute)

( )Tn

n

xxx

x

xx

X LM

212

1

=

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

= .

25

APIBRĖŽIMAS. Tiesinių lygčių sistema vadinama suderinta, jei egzistuoja bent vienas

šios sistemos sprendinys. Sistema neturinti nė vieno sprendinio

vadinama nesuderinta.

APIBRĖŽIMAS. Suderinta tiesinių lygčių sistema vadinama apibrėžta, jei ji turi

vienintelį sprendinį, ir neapibrėžta, jei turi be galo daug sprendinių.

Tiesinių lygčių sistema

Suderinta Nesuderinta

(turi bent vieną sprendinį) (neturi sprendinių)

Apibrėžta Neapibrėžta (turi vienintelį

sprendinį) (turi be galo

daug sprendimų)

APIBRĖŽIMAS. Dvi tiesinių lygčių sistemos su tais pačiais nežinomaisiais vadinamos

ekvivalenčiomis, jeigu jų sprendiniai vienodi.

Ekvivalenčios tiesinių lyčių sistemos turi turėti vienodą nežinomųjų skaičių, bet nebūtinai

vienodą lygčių skaičių.

APIBRĖŽIMAS. Elementariais lygčių sistemos pertvarkiais vadinami tokie

pertvarkiai, kuriuos atlikus, gaunamos ekvivalenčios lygčių sistemos.

26

Tokie pertvarkiai yra:

1. Dviejų lygčių sukeitimas vietomis.

2. Lygties kairiosios ir dešiniosios pusės dauginimas iš nelygaus nuliui skaičiaus.

3. Vienos sistemos lygties, padaugintos iš skaičiaus, pridėjimas prie kitos tos pačios

sistemos lygties.

IŠVADA. Jeigu kuri nors sistemos lygtis yra kitų sistemos lygčių tiesinis darinys, tai ją

galima iš lygčių sistemos pašalinti.

Tiesinių lygčių sistemos sprendimas atvirkštinės matricos ir Kramerio metodais

Atvirkštinės matricos metodas.

Imkime n tiesinių lygčių su n nežinomaisiais sistemą

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=+++

=+++=+++

nnnnnn

nn

nn

bxaxaxa

bxaxaxabxaxaxa

..................................................

,...,...

2211

22222121

11212111

ir sudarykim tris matricas: pagrindinę sistemos matricą A, nežinomųjų matricą stulpelį X ir

laisvųjų narių matricą stulpelį B:

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

nnnn

n

n

aaa

aaaaaa

A

...............

...

...

21

22221

12111

, , .

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

nx

xx

XM2

1

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

nb

bb

BM2

1

Tada lygčių sistemą galima užrašyti viena matricine lygtimi

AX = B. (2)

Tarkime, kad matrica A yra neišsigimusi, ( )0≠A . Tada galime parašyti jai atvirkštinę

matricą

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=−

nnnn

n

n

AAA

AAAAAA

AA

...............

...

...1

21

22212

12111

1 ;

čia A yra matricos A determinantas (jį vadinsime sistemos determinantu žymėsime simboliu Δ )

o Aij - elementų aij adjunktai.

Norėdami išspręsti (2) matricinę lygtį, t.y. surasti nežinomąją matricą X, padauginame

tos lygties abi puses iš matricos A-1 iš kairės:

A-1 (AX) = A-1B.

27

Pasinaudodami matricų daugybos asociatyvumo savybe, gauname

(A-1A) X = A-1B,

EX = A-1B,

X = A-1B. (3)

Tai ir yra (2) matricinės lygties sprendinys, o kartu ir lygčių sistemos sprendinys, užrašytas

matricine išraiška.

Spręsdami matricinę lygtį, turėjome surasti atvirkštinę matricą ir ją padauginti iš matricos

B. Kadangi šie veiksmai yra vienareikšmiai, tai ir surasta matrica X = A-1B yra vienintelis (2)

lygties sprendinys.

Išnagrinėtos sistemos sprendimo būdas vadinamas atvirkštinės matricos metodu.

21 pavyzdys.

Išspręskime tiesinę lygčių sistemą atvirkštinės matricos metodu.

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=+−−=−+

=+−

112527627

2059

321

321

321

xxxxxx

xxx

Sistemą užrašome matricine lygtimi AX = B

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−=⋅

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=⋅

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−

−=

117

20

252627

591

3

2

1

Bxxx

XA .

Apskaičiuojame

1312630201081754252627

591=+−−+−=

−−

−=A .

Kadangi 013 ≠=A , tai matrica turi atvirkštinę matricą

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=−

332313

322212

3121111 1

AAAAAAAAA

AA .

Sistemos sprendinys BAX 1−= . Surandame atvirkštinę matricą.

( ) 263042562

1 1111 −=−=

−−

−= +A , ( ) ( ) 2612142267

1 2112 −=+−=

−−= +A ,

( ) 3943552

271 31

13 −=−−=−

−= +A , ( ) ( ) 725182559

1 1221 −=+−−=

−−

−= +A ,

( ) 81022251

1 2222 −=−=−= +A , ( ) ( ) 13185

5291

1 3223 −=+−−=

−−

−= +A ,

28

( ) 44105462

591 13

31 =−=−

−−= +A , ( ) ( ) 41356

6751

1 2332 =−−−=

−−= +A ,

( ) 656322791

1 3333 =+=

−−= +A .

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−−−−−

=−

6513394182644726

1311A .

Tada sistemos sprendinys

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−⋅

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−−−−−

=⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

117

20

6513394182644726

131

3

2

1

xxx

,

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

++−++−++−

=⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

21

1

2613

13

131

715917804515652048449520

131

3

2

1

xxx

arba x1 = 1, x2 = -1, x3 = 2.

Patikrinimas

( )( )( ) ⎪

⎩

⎪⎨

⎧

=−=−

=⇒

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=⋅+−⋅−⋅−=⋅−−⋅+⋅

=⋅+−⋅−

111177

2020

112215127261217

2025191.

Ats.: (1; -1; 2).

Kramerio formules gausime iš lygčių sistemos (arba (2) matricinės lygties) sprendinio,

užrašyto (3) matricine išraiška.

=⋅=

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

− BA

x

xx

n

12

1

M⋅

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

Δ

nnnn

n

n

AAA

AAAAAA

...............

...

...1

21

22212

12111

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

nb

bb

M2

1

=

=

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

ΔΔ

ΔΔΔΔ

=

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

Δ

ΔΔ

Δ=

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

+++

++++++

Δ

nnnnnnn

nn

nn

AbAbAb

AbAbAbAbAbAb

MM

2

1

2

1

2211

2222121

1212111

1

.........................................

...

...1 ; (4)

29

čia simboliais pažymėjome determinantus, kuriuos gauname iš sistemos

determinanto , pakeitę jo atitinkamo stulpelio elementus sistemos laisvaisiais.

nΔΔΔ ,...,, 21

Δ

Iš (4) matricų lygybės išplaukia jų atitinkamų elementų lygybės, todėl

ΔΔ

=ΔΔ

=ΔΔ

= nnxxx ,...,, 2

21

1 (5)

Šios lygybės vadinamos Kramerio formulėmis.

22 pavyzdys.

Išspręskime tiesinę lygčių sistemą Kramerio metodu.

68721618864412922

418−=+−−+−=

−−

−=Δ .

Kadangi 06 ≠−=Δ , tai sistema yra suderinta ir turi vienintelį sprendinį, kurį randame

pagal Kramerio formules:

ΔΔ

= 11x ,

ΔΔ 2

2x , ΔΔ3

3x .

Surandame determinantus , 1Δ 2Δ , 3Δ .

63645893640411929

415

1 =−+−++−=−

−−−−

=Δ ,

6407272908288412992

458

2 −=+++++−=−−−

=Δ ,

627220181016112922518

3 −=+−+++=−

−−−

=Δ .

Įrašome į Kramerio formules

16

61 −=

−=x , 1

66

2 =−−

=x , 166

3 =−−

=x .

30

Patikrinimas. ⎪⎨

( )( )( ) ⎪

⎩

⎪⎨

⎧

=−=−−=−

⇒⎪⎩

⎧

=⋅+−−⋅−=⋅−⋅+−⋅

−=⋅+−−⋅

119955

1141129191212

514118

Ats.: (-1; 1; 1).

Tiesinių nehomogeninių ir homogeninių lygčių sistemų tyrimas

Dažnai, neieškant lygčių sistemos sprendinio, reikia nustatyti, ar duotoji sistema suderinta

(turi sprendinių), ar nesuderinta (neturi sprendinių), o jei suderinta, tai ar ji apibrėžta (turi tik

vieną sprendinį), ar neapibrėžta (turi be galo daug sprendinių).

Kaip žinome, tiesinių lygčių sistemą (nehomogeninę ar homogeninę)

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=+++

=+++=+++

mnmnmm

nn

nn

bxaxaxa

bxaxaxabxaxaxa

..................................................

,...,...

2211

22222121

11212111

pilnai nusako sistemos matrica

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

mnmm

n

n

aaa

aaaaaa

A

...............

...

...

21

22221

12111

ir laisvųjų narių matrica stulpelis

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

mb

bb

BM2

1

arba išplėstoji sistemos matrica (A / B) (sistemos matrica papildyta laisvųjų narių stulpeliu).

1. Tiriant tiesinių lygčių sistemą, pradžioje turime atsakyti į klausimą ar sistema yra

suderinta ar nesuderinta. Būtinas ir pakankamas tiesinių lygčių sistemos

suderinamumo sąlygas nusako Kronekerio ir Kapelio teorema.

TEOREMA. Tiesinių lygčių sistema yra suderinta tada ir tik tada, kai sistemos

matricos rangas yra lygus sistemos išplėstosios matricos rangui, t.y.

r (A) = r (A/B) (6)

31

Homogeninių tiesinių lygčių sistemoje visada r (A) ir r (A/B), nes nulinis laisvųjų narių

stulpelis rango nepakeičia, todėl homogeninių tiesinių lygčių sistema visada yra suderinta

(visada turi nulinį sprendinį).

2. Nagrinėkime suderintą (r (A) = r (A/B)) tiesinių lygčių sistemą. Dabar atsakysime į

klausimą ar ji apibrėžta ar neapibrėžta. Galima įrodyti tokius tvirtinimus:

1. sistema yra apibrėžta tada ir tik tada, kai

r (A) = r (A/B) = r = n; (7)

2. sistema yra neapibrėžta tada ir tik tada, kai

r (A) = r (A/B) < n. (8)

Homogeninei tiesinių lygčių sistemai (7) sąlyga reiškia, kad ji turi tik nulinį sprendinį.

Visi šie teiginiai gali būti pateikti tokia schema.

Tiesinių lygčių sistema m × n

Nehomogeninė Homogeninė

Suderinta Nesuderinta Visada suderinta r (A) = r (A/B) r (A) ≠ r (A/B)

Apibrėžta Neapibrėžta Apibrėžta Neapibrėžta r (A) = r (A/B) = n r (A) = n r (A) < nr (A) = r (A/B) < n

32

Tiesinių nehomogeninių ir homogeninių lygčių sistemų sprendimas Gauso metodu

Nagrinėkime tiesinių lygčių sistemą (nehomogeninę arba homogeninę), kai lygčių skaičius

m ir nežinomųjų skaičius n

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=+++

=+++=+++

mnmnmm

nn

nn

bxaxaxa

bxaxaxabxaxaxa

..................................................

,...,...

2211

22222121

11212111

(9)

Gauso metodas – tai nežinomųjų nuoseklaus eliminavimo metodas. Nežinomuosius

eliminuojame keletą kartų elementariai pertvarkydami (9) lygčių sistemą. Pirmuoju pertvarkiu iš

visų lygčių, išskyrus pirmąją, eliminuojame narius su x1, antruoju pertvarkiu – iš visų lygčių,

išskyrus dvi pirmąsias, narius su x2, trečiuoju – iš visų lygčių, išskyrus tris pirmąsias, narius su

x3 ir t.t., kol dar yra lygčių, kuriose galėtume sumažinti nežinomųjų skaičių.

Minėtus eliminavimus galima atlikti įvairiais būdais. Tarus, kad (priešingu atveju

pakeistume lygčių tvarką), x1 galime eliminuoti, pavyzdžiui taip:

011 ≠a

1. padauginant pirmąją sistemos lygtį iš 11

1

aai− , mi ,2= ir gautąjį reiškinį pridedant

prie i-tosios lygties; arba

2. padauginant i-tąją sistemos lygtį iš 1

11

iaa

− ir prie gautojo reiškinio pridedant

pirmąją sistemos lygtį (jei ai1 = 0, tai i-tojoje lygtyje nario su x1 nėra) arba

3. padauginant pirmąją sistemos lygtį iš –ai1 ir gautąjį reiškinį pridedant prie i-tosios

lygties, padaugintos iš a11.

Panašiai eliminavę kitus nežinomuosius, gauname trapecinę arba trikampę (išdėstytą

trapecijos arba trikampio forma) tiesinių lygčių sistemą, kurią užrašome taip:

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=++

=++++=+++++

;....................................................................

,......,......

222222

111212111

rnrnrrr

nnrr

nnrr

dxcxc

dxcxcxcbxaxaxaxa

(10)

arba

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=

=++=+++

;.............................................

,...,...

22212

11212111

nnnn

nn

nn

dxc

dxcxcbxaxaxa

(11)

Pastaroji sistema (10 arba 11) yra ekvivalenti (9) lygčių sistemai.

33

Pertvarkydami lygčių sistemą, atmetame lygtis 00...00 21 =⋅++⋅+⋅ nxxx , (tokiu būdu

atmetame visas lygtis, kurios yra kitų lygčių tiesinis darinys), todėl sistemos lygčių skaičius gali

sumažėti (r ≤ m).

Gautosios sistemos lygtys yra tiesiškai nepriklausomos. Taigi (10) arba (11) sistema yra

bazinių lygčių sistema. Galimi tokie atvejai:

1. Nesuderinta sistema. Jei, pertvarkydami (9) sistemą, gauname lygtį

00...00 21 ≠=⋅++⋅+⋅ dxxx n , kuriai netinka jokios nežinomųjų reikšmės,

tai (9) lygčių sistema sprendinių neturi (yra nesuderinta). Aišku, tada

r (A) ≠ r (A/B).

PASTABA. Jeigu (9) sistema yra homogeninė, tai tokio tipo lygties gauti negalima, nes

visi laisvieji nariai lygūs nuliui (r (A) = r (A/B)). Taigi homogeninė tiesinių

lygčių sistema visada suderinta (turi sprendinį (0, 0, …, 0)).

2. Apibrėžta sistema. Kai r = n, tai (11) sistema turi tiek lygčių, kiek nežinomųjų.

Tada (11) sistemos paskutinėje lygtyje yra tik vienas nežinomasis xn, iš kurios jį

ir surandame. Įrašę surastą xn reikšmę į priešpaskutinę (11) sistemos lygtį,

apskaičiuojame xn-1 ir t.t., kol apskaičiuojame x1. Taigi sistema turi vienintelį

sprendinį (yra apibrėžta). Aišku, šiuo atveju r (A) = r (A/B) = n.

PASTABA. Homogeninių lygčių sistemos atveju šis vienintelis sprendinys yra

(0, 0, …, 0), kuris vadinamas nuliniu sprendiniu.

3. Neapibrėžta sistema. Kai r < n, tai (10) lygčių sistemoje yra n – r laisvųjų

nežinomųjų, o kiti r nežinomieji – baziniai (leiskime tai x1, x2, …xr). Išreiškę iš

(10) sistemos paskutiniosios lygties xr laisvaisiais nežinomaisiais xr+1, xr+2, …,

xn ir įrašę jo išraišką į priešpaskutinę (10) sistemos lygtį, rasime xr-1, išreikštą

laisvaisiais nežinomaisiais ir t.t., kol rasime x1 išraišką.

Kadangi bazinius nežinomuosius išreiškėme laisvaisiais nežinomaisiais, tai, suteikę jiems

bet kokias reikšmes, randame atitinkamas bazinių nežinomųjų reikšmes ir sistemos sprendinius,

kurių yra be galo daug (sistema neapibrėžta). Aišku, r (A) = r (A/B) < n. Suradę bazinių

34

nežinomųjų išraiškas per laisvuosius nežinomuosius, galime užrašyti sistemos bendrąjį

sprendimą.

23 pavyzdys.

Ištirkime tiesinių lygčių sistemos suderinamumą ir išspręskime sistemą Gauso metodu.

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=−+−=+−

−=+−+=++−

;112234,852

,105533,62332

4321

321

4321

4321

xxxxxxx

xxxxxxxx

Sudarome išplėstąją matricą

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛−

−−−

−−

118106

2234052155332332

∼

( ) ( ) ( )↓

−−−

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛−

−−−

−− 423

116108

2234233255330521

∼

∼

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−−

−−−−

−

2110348

218502710520900521

∼( ) (

↓−−

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−−

−−−−

−59

2134108

212505209027100521

) ∼

∼ ( )↓

−⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−

−

−−

229

2108

1217001190027100521

∼

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜ ∼ ⎜⎜

⎝

⎛

−−

−−

−−

332

108

341001190027100521

∼

↓⋅

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

∼

⎜

⎝

⎛

−

−−−

−−

92

33108

119003410027100521

( )295:29533108

2950003410027100521

−⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

∼

⎜

⎝

⎛−

−−−

−−

∼

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜ . ⎜⎜

⎝

⎛

−

−−−

−−

133

88

10003410027100521

Šią matricą atitinka keturių tiesinių lygčių su keturiais nežinomaisiais sistema.

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−==

−==

⇒

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−==−−

−=+−=+−

.1,1,1

,1

;1,3334

,1027,852

4

3

2

1

4

43

432

321

xx

xx

xxx

xxxxxx

35

Ats.: (1; -1; 1; -1).

24 pavyzdys.

Išspręskime Gauso metodu

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−=+++=++−

=−−−

61185265434

6324

4321

4321

4321

xxxxxxxx

xxxx

Sudarome išplėstinę matricą

( ) ( )↓

−−

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−−− 23

6104

105222333221

∼ (↓−

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−

−−−−

−1

22

4

749074903221

) ∼

∼⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−−−

−

02

4

000074903221

∼ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

24

74903221

Šią matricą atitinka dviejų tiesinių lygčių su keturiais nežinomaisiais sistema.

⇒⎩⎨⎧

=−+=−++

;2749,4322

432

4321

xxxxxxx

Du nežinomuosius (x2, x4) perkeliame į dešinę lygybės pusę ir laikome juos laisvaisiais

nežinomaisiais, o likusius du (x1, x3) – baziniais nežinomaisiais.

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

+−=

−+=

⇒⎪⎩

⎪⎨⎧

+−=

+−=+⇒

⎪⎩

⎪⎨⎧

+−=

+−=+⇒

⎩⎨⎧

+−=+−=+

.47

49

21

,21

253

;47

49

21

,3242

;47

49

21

,3242

;7924,3242

423

421

423

4231

423

4231

423

4231

xxx

xxx

xxx

xxxx

xxx

xxxx

xxxxxxx

Pažymėję x2 = t1, x4 =t2, bendrąjį sistemos sprendinį užrašome:

⎩⎨⎧

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−−+ 221121 ,

47

49

21,,

21

253 tttttt , }ztt ∈21,

Ats.: ⎩⎨⎧

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−−+ 221121 ,

47

49

21,,

21

253 tttttt , }ztt ∈21, .

36

25 pavyzdys.

Išspręskime tiesinių lygčių sistemą Gauso metodu

.

12332,1022

,5,5

4321

4321

432

321

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=+++=+++

=++=++

xxxxxxxx

xxxxxx

Sudarome išplėstinę matricą

( ) ( 21

121055

1332122111100111 −−

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛ )

∼ ( ) ( )

↓−−

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

∼

⎜

⎝

⎛

−

11

3055

1110111011100111

∼

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜ . ⎜⎜

⎝

⎛

− 3055

0000000011100111

Paskutinė lygtis 0x1 + 0x2 + 0x3 + 0x4 = -3 neturi sprendinių. Todėl ir lygčių sistema

sprendinių neturi.

Ats.: Sprendinių neturi.

37

Kontroliniai klausimai

1. Ką vadiname matrica ir kokios jų rūšys? 2. Kokius veiksmus galima atlikti su matricomis? 3. Kokios matricos yra lygios? 4. Kokias matricas galima sudauginti? 5. Nurodykite, kurių matricų sandaugos yra galimos:

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−=

202113

A , , , . ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=11

22B ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=

205314

C

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛−

−

=

120413112

011

D

6. Ką vadiname matricos determinantu? 7. Kada determinantas lygus nuliui? 8. Ką vadiname determinanto elemento minoru ar adjunktu? 9. Koks yra ryšys tarp to paties elemento minoro ir adjunkto? 10. Kuo skiriasi matrica nuo determinanto? 11. Ką vadiname matricos rangu? 12. Kokią matricą vadiname matricos A atvirkštine matrica? 13. Kokioms matricoms egzistuoja atvirkštinė matrica? 14. Kiek matrica turi atvirkštinių matricų? 15. Apskaičiuokite vienetinės matricos atvirkštinę matricą. 16. Kokią lygčių sistemą vadiname tiesinių lygčių sistema? Ką vadiname šios sistemos

sprendiniu? 17. Užrašykite r tiesinių lygčių sistemą su k nežinomųjų (bendru pavidalu). 18. Kokią tiesinių lygčių sistemą vadiname suderinta, nesuderinta? 19. Kokią tiesinių lygčių sistemą vadiname apibrėžta, neapibrėžta? 20. Kiek sprendinių turi apibrėžta lygčių sistema? 21. Kokią tiesinių lygčių sistemą vadiname homogenine? 22. Kokias tiesinių lygčių sistemas galima spręsti atvirkštinės matricos metodu? 23. Raskite matricinės lygties CX = D sprendinį. 24. Ar visas tiesinių lygčių sistemas galima spręsti pagal Kramerio formules? 25. Kokias lygčių sistemas vadiname ekvivalenčiomis? 26. Kokius elementarius lygčių sistemos pertvarkius galima atlikti? 27. Kokioms tiesinių lygčių sistemoms spręsti taikomas Gauso metodas? 28. Kokia Gauso metodo esmė? 29. Kokie galimi atvejai, sprendžiant lygčių sistemą Gauso metodu? 30. Kronekerio ir Kapelio teorema.

38

KRYŽIAŽODIS

1. Matricą A ir matricos B dauginsime tik tada, kai yra …

2. Matricos būna kvadratinės, vienetinės ir…

3. Sakoma A yra mxn matmenų matrica, jeigu ji turi m eilučių ir n stulpelių. O kokią

turėsime matricą, kai m = n ?

4. Skaičiai sudarantys matricą, vadinami jos…

5. Ką rodo pirmasis elemento indeksas?

6. A = (aij) yra mxn matmenų matrica, tai tada (aji) vadinama … matrica.

7. Matrica yra … skaičių lentelė.

8. Kokių matmenų matricas galima sudėti?

9. Ką rodo antrasis elemento indeksas?

10. Matricų A ir B skirtumas apibrėžiamas kaip matricų A ir (-1) B…

Pažymėtuose langeliuose perskaitysite dalyko, kurį šiuo metu mokotės, pavadinimą.

39