+...- •• ~' -

MINISTÈRE DE L'AMÉNAGEMENT ,DU TERRITOIRE ' DE L'ÉOUIPEMENT, DU LQGEMENT ET DU TOURISME

t.ABORATOIRES DES PONTS ET CHAUSSÉES

Décembre 1973

RaplPort de recherche 1N0 30

Etude des murs en terre armée

sur modèles réduits biClimensionnels

NGUYEN THANH LONG

F. SCHLOSSER

Y.GUÉGAN

G. LEGEAY

Etude des murs en terre armée sur modèles réduits bidimensionnels

NGUYEN THANH LONG

Ingénieur civil des Ponts et Chaussées

F. SCHLOSSER

Ingénieur des Ponts et Chaussées Chef du département

Y. GUÉGAN

DEST CNAM

G. LEGEAY

Technicien supérieur

Département des sols et fondations Laboratoire central

Sommaire _____________ _

Résumé en français 4

1 ntroduction 5

A - Le modèle et ses possibilités 7

1 - Les modèles réduits - Similitude 7

Il - Réalisation d'un modèle réduit de mur en terre armée 9

III - Détermination théorique ' de la pression maximale à la base d'un mur en terre armée 12

1 2 -

Répartition de pression trapézo j'da le Répartition de type Meyerhof

14 15

B - Etude expérimentale et résultats des essais 16

1 - Etude de la hauteur libre critique en fonction

Il -

de la iongueur des armatures 17

1 Valeur de la pression moyenne sous le remblai 17 2 Détermination du sens de l'inclinaison de la poussée

derrière le mur . 20 3 Résultats des mesures 20 4 Contrainte verticale maximum 22 5 Hauteur critique en fonction de la longueur

des armatures 24 6 Variation de la contrainte maximum en fonction

de la longueur. 32 7 Etude de la longueur limite d'adhérence 35 8 Conclusions 37

Etude de la hauteur libre critique en fonction de la résistance des armatures

1 Essais avec des éléments de peau rigide 2 Essais avec des éléments de peau souple 3 Comparaison des résultats expérimentaux

39 39 43 43

III - Etude de la hauteur libre critique en fonction de la hauteur de l'élément de peau 47

1 V -.. Etude de la hauteur critique en fonction du poids spécifique du milieu

1 Essà is de cisa illemè..rït:,> à la bo Îte 2 - Résultats des essais

V - Conclusions

Bibliographie

Résumé en anglais, allemand, espagnol, russe

50

50 57

60

61

62

MINIST~RE DE L'AMËNAGEMENT DU TERRITOIRE, DE L'ËOUIPEMENT, DU LOG EMENT ET DU TOURISM E

LABORATOIRE CENTRAL DES PONTS ET CHAUSSËES ' - 58, boulevard Lefebvre - 75732 PARIS CEDEX 15

DËCEMBRE 1973

Résumé

,"il.\' le(/eurs tl/ral/gers /roUUe/'Ul/t Cf rfsumé traduit fil al/glais, allemaJ/d, espagnol et rll.I'se ell ,fin de rapport. Our readers willfind thi.l ahJtrart al the eJ/d of the report. [7l/,rere I-eser finden diese ZUJammf/?/àsJUJ/g am Hnde de.\' Ber/chIes. ,.vueJt1'O.\' lectores hallaràll este re,wmm alfillal dei ù?/àl'me. !).1I('omil 1II('J.'('f1l IlIlIWIIIIlllll1l 1II!,\((,Il/1'1I li ,,'11//1/1' 1!III'/('IHII.

Étude des murs en terre armée sur modèles réduits bidimensionnels

La terre armée, inventée par H. Vidal, est maintenant un matériau connu etlargement utilisé dans le domaine du génie civil.

Dès 1967, le Laboratoire Central des Ponts et Chaussées entreprit les premières recherches sur le dimensionnement à partir de modèles réduits bidimensionnels de murs où la terre est représentée par des cylindres d'acier empilés parallèlement les uns aux autres, où les armatures sont constituées de bandes découpées dans des feuilles d'aluminium et où la peau est formée d'éléments souples en matière plastique.

Les essais effectués ont permis de visualiser les différents types de rupture des murs en terre armée et d'étudier systématiquement l'influence de la plupart des paramètres intervenant dans le calcul de la hauteur de rupture, à savoir la longueur et la résistance des armatures, la hauteur des éléments de peau et le poids spécifique du I}lmblai.

Les résultats des essais ont mis en lumière une certaine discordance entre les résultats expérimentaux de la hauteur de rupture et les résultats théoriques découlant des formules de dimensionnement.

Ils montrent en outre que la rigidité des éléments de peau, rigidité qui influe sur l'état du milieu, joue un rôle important et ajoute un terme supplémentaire à la formule de la hauteur critique.

MOTS CLÉS: 42. Mur de soutènement - Terre armée - Dimensionnement - Essai - Modèle -Rupture - Résistance (matériaux) - Armature - Bidimensionnel- Rigidité - Hauteur - /Peau (mur en terre armée).

4

I N T R 0 DUC T ION

=====.==================

La terre armée est née de l'association .d ',.lU matériau naturel pulvérulent ne supportant que des efforts de compression et de cisaillement, et d'armatures capables de travai11e~ en traction. Le transfert des efforts entre' ces deux constituants s'effectue par le biais du frottement à leur contact.

L'utilisation d'un tel matériau présentant un mode de travail aussi nou­veau, ne pouvait manquer de soulever de nombreux problèmes.

Les recherches sur la terre armée se sont avérées nécessaires pour véri­fier ia validité des premières hypothèses émises pour le calcul des ouvrages et comparer, tout particulièrement dans le cas des murs, là théorie et l'expé­rience.

Un programme de recherches a été ent'repris depuis plusieurs années par le Département des Sols et Fondations du Laboratoire Central des.Ponts et Chaussées. Il comportait les phases suivantes:

- réaliser un mur en terre armée expérimental, dans lequel les mesures porte­raient sur les valeurs des contraintes dans la terre et des tractions dans les armatures, ces dernières valeurs conditionnant le co~fficient de sécurité de l'ouvrage. Ce mur expérimental a été réalisé à Incarville dans l'Eure .. . Les premiers résultats du dép'ouillement ont été publiés dans le Bulletin de liaison des Laboratoiies des Ponts et Chaussées; [IJ

- placer dans un certain nombre .d' ouvrages en terre at;'tUée quelques al'pareils de me'sure afin de compléter sur des points particuliers et précis le~ résultats théoriques et expérimentaux

- effectuer des études et des essais en laboratoire sur des modèles réduits à deux dimensions d'ouvrages en terre armée.

Répondant à cette dernière phase, nous avons donc entrepris l'étude com­plète et systématique du comportement des murs rectangulaires. L '.obj et de cette étude. est dJexploiter toutes ' les mesures de contraintes à la base du modèle, d'expliquer ses multiples variations et dispersions, d'étudier qualitativement et quantitativement les différents paramètres intervenant dans le calcul de la hauteur libre critique (hauteur à partir de laq~.lellë le mur se rompt sous

5

l'action de son poids propre) à savoir: la longueur des armatures, leur résis ­tance à la traction, la hauteur de l'élément de peau et sa rigidité, enfin d'essayer de comprendre le comportement réel d'un mur en terre armée .

~, -'-----

6

A. LE MODÈLE ET SES POSSIBILITÉS

1. - LES MODELES REDUITS - SIMILITUDE [1] (2]

La complexité des phénomènes qui interviennent en mécanique des sols est telle, qu'il n'est pas possible de prévoir le comportement global et complet des ouvrages (fondations, soutènements, etc.) , à partir de la seule connaissance ' de quelques caractéristiques du sol. Cette difficulté qui a surgi au tout début de cette science n'a pas encore été surmontée, malgré les efforts importants et les recherches nombreuses effectués dans le -but d'appréhender les lois de comportement des sols. Au fur et à mesure qu'ont augmenté les possibilités technologiques d'investigation et d'expérimentation, les phénomènes mis en évidence dans les propriétés mécaniques des sols se sont révélés de plus en plus variés et de nature fort complexe. Les études microscopiques -des contact·s entre grains ou particules permettent de mesurer l'étendue et la difficulté du problème.

Aussi, les ingénieurs ont-ils été amenés, pour résoudre leurs problÈ~mes .. pratiques, à mettre en oeuvred 'autres méthodes .et parmi elles, celle des, essais en vraie grandeur et des essais en modèle réduit. Dans tous les .cas, il s'agit d'effectuer un essai dans les conditions de géométrie, de chargement et de sollicitations des sols tel les que les résultats puissent être directement extrapolés au cas de l'ouvrage réel. Depuis touj ours et de plus en plus, on cherche à tirer de tels essais des lois générales~ tant avant que pendant la rupture, en mettant en corrélation les résultats et certaines caractéristiques des sols . ; mais de telles extrapolations nécessitent une coimaissance de plus en plus précise des lois de comportement des sols, ce qui représente l'une des difficultés majeures de la méthode. C'est notamment le cas des modèles réduits ôÙ, pour avoir des résultats d'une portée générale, tant qualitatifs que quan­titatifs, un essai doit respecter le~ conditions de similitude résultant direc­tement des lois de comportement des matériaux utilisés.

Un essai en vraie grandeur nécessite des investissements très importants sa mise au point est longue car les appareils de mesure à mettre en place sont délicats, et son interprétation est souvent difficile.

L'avantage des essais sur mJdèles réduits, par rapport aux expériences en vraie grandeur sur ouvrages réels, est double :

1 - d'une part, les essais sur modèles réduits permettent d'étudier le comportement des ouvrages à la rupture, ce qu'en général ne permettent pas les ouvrages réels ;

:? - d'autre part, les essais sur moq,èles réduits sont rapides et peu coûteux, comparqs aux essais en vraie grandeur, ce qui pe.rmet d'étudier f acile­ment l'influence des diverspE.ramètres en jeu.

7

Par contre, et c'est un inconvénient de ces essais, on ne connaît pas les lois de similitude dans les sols, et par suite il est difficile d'extrapoler les résultats quantitatifs des essais sur modèles réduits aux ouvrages réels.

La similitude du modèle réduit doit en effet satisfaire d'une part, aux équations générales de l'équilibre des milieux continus et, d'autre part, aux relations contraintes - déformations du matériau.

Les équations générales de l'équilibre s'écrivent

") ~(fiJ +fQ Sli. =0 "j ~xj (J

p densité du milieu x. J

coordonnées du point considéré

g accélération de la pesanteur composantes du tenseur des contraintes

1 longueur symbole de Konec~er

Elles conduisent à l'équation aux dimensions

dans laquelle les notations sont

cr*- <Jmodèl" - (f reél

les suivantes

r4f.- P modële. - fréel

( 1)

les lettres munies d'un astérisque représentent les rapports des valeurs des différentes grandeurs respectivement dans le modèle et dans l'ouvrage réel.

En pour les élargie"

règle générale, on adopte pour les déplacements 1 la même échelle longueurs. Dans le cas contraire, qui correspond à la "similitude (3) , il faut introduire l'équation supplémentaire aux dimensions

(2)

Cette équation donne alors l'échelle des déformations.

que

Les équations déduites des relations contraintes - déformations dépendent de la forme et de la nature de la loi de comportement du matériau.

Si le matériau a un comportement élastique linéaire, les relations clas­siques conduisent aux deux équations :

~~= (f~ é"- 1. (3)

Si le matériau a un comportement plastique dépendant de la valeur de la contrainte moyenne comme dans le cas des sols, les conditions de similitude sont les suivantes :

1 - les courbes intrinsèques doivent être symétriques

par rapport à l'origine dans le rapport

8

2 - les déformations plastiques doivent être telles

que y = 1, en appelant Y le rapport des p p

déformations plastiques latérale et axiale dans un essai triaxial

(4)

En assimilant les sols à des matétiaux élasto-plastiques, il faudrait, pour respecter les conditions de similitude découlant des équations rhéologi­ques, satisfaire aux conditions (1), (2), (3) et (4).

Dans la pratique, on ne satisfait qu'à l'équation (1) et on adopte la même échelle pour les longueurs 1 et les déplacements ~ .

II. - REALISATION D'UN MODELE REDUIT DE MUR EN TERRE ARMEE

Le modèle est bidimensionnel et utilise la méthode des rouleaux de Schneebeli (Photo s 1 et 2)

Photo 1 - Le bâti du modèle

Photo 2 - La peau, les rouleaux et les armatures.

9

Le bâti rigide a 1,40 m de longueur et 0,55 m de hauteur.

La terre est représentée par des cylindrés d'acier empilés parallèlement les uns sur les autres, de 30 mm de longueur et ayant des diamètres de 0.5, 1, 2 mm dans les proportions numériques respectives de 1 pour 7, 2 pour 7 et 4 pour 7. Cette 'terre" a des caractéristiques mécaniques assez différentes de celles d'un sable réel puisque les poids spécifiques des grains et du milieu sont respectivement :

~ s = 78 kN/m3

o = 61 à 63 kN/m3

Par ailleurs, l'angle de frottement interne de ce milieu pulvérulent a pour valeur (mesurée à la boîte de cisaillement) f= 27°.

Les armatures sont constituées de bandes découpées dans des feuilles d'aluminium de 9j<-'d'épaisseur. Sur la longueur d'un rouleau sont placées deux bandes parallèles entre elles perpendiculaires aux rouleaux, de largeur variable.

Pour pouvoir se rompre lors de la sollicitation de l'ouvrage en modèle réduit, il est nécessaire que les armatures aient une résistance à la traction très faib le et très peu dispersée. Les a.rmatures de 3 mm de largeur ont une résistance de 160 g avec une dispersion de l'ordre de 6 g.

Tous les essais décrits dans ce rapport concernent des murs dans lesquels les lits d'armatures ont tous la même résistance

La "peau" est formée par des éléments en rhodoïd ayant une forme semi-elliptique tout à fait semblable de peau métalliques dans les ouvrages réels.

de hauteur variable à celle des éléments

Le montage des murs en terre armée se fait de manière à respecter le plus fidèlement possible ~es conditions d'exécution des ouvrages réels.

La pose des armatures se fait au fur et à mesure de la montée du mur. On commence par fixer le premier élément (inférieur) de la peau au · bâti, soit de façon rigide en collant cet élément au bâti, soit de façon souple en butant l'élément. Le remplissage de la première cciùche s'effectue par empilement manuel des rouleaux. Puis, on place la première rangée d'armatures que l'on colle sur le premier élément de peau. Pendant le remplissage de la deuxième couche de rouleaux, on maintient le deuxième élément de peau par un taquet pour éviter le déversement puis on place une deuxième rangée d'armatures et ainsi de suite.

La mesuré des contraintes à la base s'effectue par l'intermédiaire de capteurs à friction dont le principe est basé sur la résistance au glissement d'une lame entre deux surfaces de contact. Il y a 32 lames de .2 cm de largeur et de 10 cm de longueur . . Un étalonnage est fait pour déterminer le coefficient de frotLement f (graphique nO 1) à l'aide de dynanomètres CORREX. Ce frottement varie d'un capteur à l'autre et croît avec le nombre de mes'ures, ce qui nous oblige à le déterminer périodiquement.

Cette méthode présente cependant l'avantage de pouvoir mesurer les con­traintes sans qu 1 il y ait perturbation du mÜieu.

10

1/) lAI ~ ~ CI: a:: C)

400 z lAI

....

300

200

100 • VALEURS MOYENNES

N EN GRAMMES

o 200 400 600 800 1000 1200 Graphique 1 - Ëtalonnage des capteurs à friction

11

Les murs rectangulaires que nous étudions dans ce rapport sont construits sur un blti en acier. De ce fait leur fondation est rigide.

E u

30 QI :J

.2" :t:: .. u .. :J

10 QI ... :J fil l:

10

o ·

Fondation souple

Longueur des armatures

10 10 30 40 so 60 cm

Variation de la hauteur critique d'un mur en fonction de la longueur des armatures:

. Le graphique ci -contre [5] donnant les résultats des essal.S montre que la hauteur critique d'un mur dans lequel les lits d'armatures ont tous la même résistance, augmente avec la déformabilité de la fondation . L'examen des contraintes mesurées à la base des murs permet d'ailleurs de penSer que cette hauteur esi en relation directe avec la valeur maxi-male de la contrainte verticale sur la base, laquelle est bien sûr d'autant moins élevée que la déformabilité du sol de fondation est plus grande. Il y a donc une certaine interaction entre la stabilité interne du mur et les tassements de la fondation.

Les échelles des différentes grandeurs

~ "1 L'échelle des longueurs a été prise al/50 (1 = 50) ce qui permet avec

le blti utilisé de simuler des murs en terre armée de hauteur au plus égale à 20 m et d'épaisseur au plus égale à 30 m.

Les forces de pesanteur sont les mêmes dans le modèle et dans la réalité ~ . .. . 62

(g 1).;.. L'échelle des densités a pour valeurs f = 16 = 3.9

Il en résulte, que d'après la condition de similitude (1) l'échelle des

contra.intes a pour valeurs ()1It = f" gill {. "= 3 5~ = 0,08

Cette condition de similitude est la seule qui soit respectée; en effet , les autres conditions découlant des équations rhéologiques ne sont pas expli ­citées faute de connaître exactement la loi de comportement de la terre.

De ~e fait on ne pourra étudier que ce qui se passe à la rupture.

III. - DETERMINATION THEORIQUE DE LA PRESSION MAXIMALE A LA BASE D'UN MUR

EN TERRE ARMEE

La répartition des contraintes sous un mur en terre armée est en général un problème complexe de mécanique des sols. L'influence de la poussée à l'arrière du mur modifie l'état des contraintes dans la terre et par suite les efforts de traction dans les armatures. Nous avons vu aussi [ 5 ] que la déformabilité du sol de fon~ation joue un rôle très important dans la stabilité du mur.

Nous supposons le mur rigide et la base elle-même rigide et nous calculons la contrainte maximum àla base du mur près du parement. .

12

l

Le mur dont la longueur est L et la largeur b, est soumis à son poids propre W, à la poussée P d'inclinaison e et à

u ",c

t------- ;. .. p' ... : . . ;?1(.~

la butée p d'inclinaison b " ' . • •• • 1 • • '

a.

- La valeur de la poussée P peut être déterminée par la théorie de Coulomb à partir d'une surface potentielle de rupture plane. Elle résulte des conditions d'équilibre statique du prisme de Coulomb et dépend de l'angle de frottement ~ et de l'inclinaison e par rapport à la normale à la face arrière du mur. On obtient :

P = ! K '6 h 2 b 2 a t

~ poids spécifique du milieu

ht hauteur totale du massif

b largeur du massif

Ka coefficient de poussée du milieu. Il dépend de l'angle ~ et de e La composante horizontale de la poussée est maximale pour e = 0 et le

coefficient Ka est alors égal à tg2 (~ _ ~) coefficient de poussée de Rankine. 4 2

-La valeur de la butée p se détermine de la même façon que celle de la poussée P c'est- à-dire en écrivant l'équilibre du coin de terre . On obtient

P = ! K t h 2 b 2 p b

~: poids spécifique du milieu

hb: hauteur de la butée

b : largeur du massif

kp : coefficient de butée dép'endant des angles f et b Sa composante horizontale est maximum pour b = O. Le ' coefficient kp est

alors égal à tg2 (JI + j) coefficient de butée de Rankine 4 2

Dans l'étude de la stabilité du mur nous distinguons deux cas

- Mur sans butée

- Mur avec butée

et nous considérons deux hypothèses de répartition des pressions sur la base

1) répartition trapézoïdale

2) répartition de Meyerhof

13

1) Répartition de pression trapézoïdale

Nous écrirons l'équilibre du massif sous l'action de son poids propre W et de la poussée P inclinœ d'ùn angle e par rapport à la normale.

Composant vertical = poids du mur W + composante verticale de la poussée

- Moment dû à la composante horizontale de la poussée

M = 1. K bh3 cos e 6 a

Exentricité de la charge

1 2 hcos e e = TI Kah cosG+ 3sin e

)----------1': .. : ... :: .:.' ,: : . " . :', 1 • . ' • • • • ' ~ .. ' ' . . . " . . .

, . ' . ~----.~----I ·:·:.· ~: ......... :' .' ,' )------J.~w---, ~· .:" .: ':

. . ..... .. ~---__l~----I. . . ... " .. ~----'II'------I' " ... ' '," . >-- --------,.' , . . . ' . .

', ' . . . . .....

Si la résultante des forces passe dans le noyau central, la répartition des contrai~tes à la base est trapézoïdale

(1 + 6e) - 1

d'où en reportant

Si le milieu es t supppsé à l'état de rupture de Rankine on obtient alors la r e l ation suivante :

~'-(f-v-=-.~-~-.t-I -!:- Ka--~11 ( t)

Lorsque la résultante des forces passe en dehors du noyau central l'équation (1) conduit à une valeur négative de la contrainte verticale aï v ce qui implique une répartition triangulaire des cont~aintes à la base du mur.

e cr max

W = S 4 1

( - 3-:-l - -':"'-::6-e- )

w

cr. =· 0 à une distance de 3 (! - e) m1n 2

du bord du mur

Le calcul est absolument identique aU 'cas précédent. Il faudrait faire intervenir la butée tant dans la résultante des forces appliquées que dans le moment;

14

Si l 0- w ( 1

6e e~6" = + "1 ) v S

Si 1 Çf W 4 1 e)- = ( 6e) 6 max S 31 -

(J. = 0 à une distance mln

2) Répartition de type Meyerhof

Pour calculer l~s contraintes verticales Oiv on utilisera la méthode de répartition de Meyerhof, en écrivant l'équilibre du massif armé sous l'action de la poussée P, du poids W et de la réaction sur la base. On obt ient

cr: = --=-_W-::-­v 1 - 2e

h' P 1 h 2 avec e = 3 x W = 6" Ka y-

répartition ,trapézoïdale

répartition triangulaire

de 3 (f- - e) du bord du mur.

" : " 0' .. ' >-----------t , .. , , "

~---__tt__----l .. "."-: ~' ,:": ... : :-.-.. ,~: ::"::,

~ ___ -+-=W-'---___ I'" : ; ', :'

>-----....~--:--2::-:e::-iJ: ...... -:~~ ~--------fc--=-~ " ','

t .... .

1 i i i jJj Il

(exentricité de la réaction)

...... ,. .. .' :'. : ... ~ . ' ..

La contrainte verticale à chaque niveau est donnée par la relation

lo-~ ~. 1 . h

1 1 h2 - 3 Ka 1

15

B. ÉTUDE EXPÉRIMENTALE ET RÉSULTATS DES ESSAIS

Les essais effectués sur les modèles réduits bidimensionnels ont eu pour but, en montant les murs jusqu'à la rupture, d'étudier la manière dont se produit la rupture en fonction de la géométrie des armatures, du mode de fixation de la base du mur sur le bâti et des différents paramètres intervenant dans le calcul de la hauteur critique - hauteur à partir de laquelle le mur se rompt sous son propre poids :

- la longueur des armatures

- la résistance des lits d'armatures

- la hauteur 6. h des éléments de peau

- le poids spécifique t du milieu

Dans une première étape, l'étude a été limitée à des murs ou les lits d'armatures avaient tous la même résistance.

Contrairement à un mur de soutènement classique, un mur de soutènement en terre armée présente trois types caractéristiques de rupture qui ont été remarquablement visualisés dans les essais :

)0) une rupture dans laquelle la masse armée ne se déforme pas. Il s'agit en quelque sorte d'un grand glissement englobant le mur ou d'un poinçonnement du sol de fondation. L'étude de ce type de stabilité fait appel au méthodes classiques · de calcul en mécanique des sols. (Photo nO 3)

•

Photo 3 - Rupture par grand glissement

16

2°) une rupture dans laquelle il y a décohésion de la masse armée par glissement des armatures. ( Photo nO 4)

Pour éviter ce genre de rupture, il est nécessaire que les longueurs d'armatures soient supérieures à une longueur minimale appelée "longueur d'adhérence". Cette longueur d'adhérence est fonction du niveau du lit d'armatures)de la géométrie du mur et de la sollicitation.

3°) une rupture dans laquelle il y a décohésion de la masse armée par rupture des armatures. (Photo nU 5)

Lorsque ces dernières ne sont pas toutes sollicitées de la même man~ere, il y a propagation de la rupture à partir du point où a lieu la première cassure d'armatures.

Photo 4 - Rupture par défaut d'adhérence

1 "1 ,1

l

Photo 5 - Rupture par cassure d'armatures

Dans les murs à géométrie rectangulaire ayant une densité d'armatures homogène, c'est généralement la couche des armatures inférieures qui casse la première. Le point de rupture se situe près du parement. Puis de proche . en proche, les armatures supérieures cassent mais en des points éloignés du parement, réalisant ainsi une surface de rupture à allure parabolique, mais proche du plan incliné à 1T 'f sur 1 'horizontale.

'4 + '2

1. - ETUDE DE LA HAUTEUR LIBRE CRITIQUE EN FONCTION DE LA LONGUEUR DES ARMATURES

Pour une hauteur de l'élément de peau donnée égale à 2,5 cm, pour une résistance des armatures égale à 2 x 3 mm (2 x 160 g) - 3 x 3 mm (3 x 160~) - 1 x 3 mm nous avons construit des murs avec différentes longueurs d'armatures

1 = 5 - 10 - 15 - 20 - 25 - 30 - 40 - 60 cm

Nous avons de plus mesuré les pressions exercées à la base des murs

1°) Valeur de la pression moyenne sous le remblai

Etudions la variation de la quantité ~ h et comparons la avec les valeurs

17

expérimentales données par les capteurs à friction

poids spécifique du matériau ". .. : .. ,:

~ ____ --;: ... .. ': ..... :.t:" . ,,,,.~ ... __ h = hauteur considérée r------;: '. ': . ,', " ~ " . " , .: . .. " ... ' : ";.'

,"' ~ • ". 1 ... .

Pour plus d'homogénéité raisonnons sur les valeurs moyennes. Soit :

p------..,..., ,' . . .&;. .... : . ' ~, .. ;, " . ,. . .... r-------j I" • • ••• ,. \.

r------~·'· " , , • l' .....

, '. ,'~ ..

6) la moyenne des capteurs sous le mur

~2 la moyenne des capteurs sous le remblai ButéE' Capteurs donnant Capteurs donnant ~~~---~--~.-~---

A, A2

Le tableau 1 indique la valeur' de D. 2 pour différentes hauteurs totales h t pour des murs de différentes épaisseurs c'est-à-dire pour des longueurs d'arma­tures variables

- TABLEAU ) -

r--'

~ l = long. 10 15 20 25 30 des armatures cm

15 lIO rob 153 2n - -20 II9 166 227 - -25 127 193 232 - -30 133 166 232 282 343

40 127 - 222 - 313

Ecart maximum 23 . - 40 21 - -

Pourcentage 17 % 21 % 9 % - -

Contrainte moyenne en mb h sous le remblai pour tales et pour des murs de aifférentes épaisseurs.

diff~rentes hauteurs to-

En principe, pour une hauteur totale donnée, la contrainte 62 devrait rester constante. En fait on cons~ate un écart entre les différentes mesures qui est loin d'être négligeable (17 % - 21 % - 9 %). Il est dû au manque de fidélité des capteurs à friction • .

si nous comparons les valeurs théoriques et expérimentales de  2 en fonction de la hauteur totale ht du massif, nous constatons que:

la droite théorique obtenue à partir du poids spécifique moyen mesuré '0= 6,2 g/cm3 a pour équation crv = 6,2 ht (graphique n° 2)

18

i

400

350

300

250

200

150 • L = 15 cm

20 cm

25 cm

30 cm

40 cm

50

TOTALE EN Cm

o 5 10 15 20 25 30 35

Graphique 2 - Détermination expérimentale de. la densité 'Y

19

les points expérimentaux sont situés sur une droite qui a pour équation

Cfv =IO,3ht + 18

On obtient donc un poids spécifique ~ de l'ordre de 10,4 g/cm3 (L'ordonnée à l'origine étant due à la dispersion des mesures) ce qui représente une différence sensible.

La granulométrie des rouleaux d'acier explique peut-être en partie cette anomalie . . En effet, en plus de l'évolution du coefficient de frottement des capteurs à friction, nous avons affaire à un empilement dont les dimensions des grains comparées à celles du capteur sont importantes (dimens·ions du capteur 2 x 3 cm). Or la précision d'un capteur dépend beaucoup du nomb.re de contacts des grains sur sa partie sensible. Plus ce nombre est grand et plus la mesure est valable.

2°) Détermination du sens de l'inclinaison de la poussée derrière le mur

La détermination du sens de l'inclinaison de la poussée s'effectue très simplement. En effet les mesures à la base du mur donnent la pression· verticale moyenne /j, 2 à la base du remblai et la pression verticale moyenne  1 à la base du mur. La composante verticale de la poussée résulte de la différence de ÂI - ~2

(Dans la détermination de la contrainte verticale.61 nous avons. pris soin d'éliminer les valeurs des capteurs se trouvant près de la paroi dont les ~~su~es sont faussées.)

3°) Résultats des mesures

Les mesures de pressions à la base des murs, de hauteur de peau Âh = 2,5 cm, armés avec trois armatures de 3 mm de largeur par lit (résistance à la traction de 480 g)' et de loagueur variable donnent les résultats suivants : (tableauJJ:)

. La pression bt 3 dans la zone de butée ne varie pratiquement pas au cours de la construction du mur. Cependant~ tout en gardant le même ordre de grandeur ( 40 m~ sa valeur semble dépendre de l'essai en cours, autrement dit de la façon dont s'effectue la mise en place des rouleaux .

. La différence entre la pression 'nÏ.oyenne bIsous le mur et celle b. 2 sous le remblai est relativement faible; L'écart maximum est de l'ordre de 10 % , ce qui prouve que la poussée est faiblement inclinée par rapport à la normale sur la surface arrière du mur. De plus elle change de signe; elle est négative pour des hauteurs totales ht inférieures ou égales à 15 cm et positive au-delà.

On peut donc en conclure que la poussée, au début de la construction du mur est dirigée vers le haut. Lorsque la hauteur totale ht atteint une certaine valeur ha comprise entre 15 et 20 cm la poussée ·devient horizontale et au-delà elle est dirigée vers la base dumur. · L'inclinai~on évolue en fonction de la hauteur atteinte. Ce phénomène a d'ailleurs été observé au cours de la construc­tion du mur expérimental d'Incarville, mais il faut remarquer qu'il doit être très lié aux tassements du sol de fondation qui sont nuls dans les modèles étudiés (base rigide). [6J

20

- TABLEAU 11-

Hauteur de la peau = 2,5 cm Hauteur de la butée hb = 2,5 cm

Résistance à la traction : 480g par lit (3 armatures de 3 mm de large)

-tot~ ]le .

---.,- -Longueur des Hauteur Butée Mur Massif Différence %

arma tures l h t j'j3 AI b.2 AI - A2 cm ____ ~5:El. mb . . mb rob mb

-.._ . ... . ... Jo' -- _:"-'--I------~_ .. ------_.' 10 10 37 91 88 3 3 %

--1---- -- ------- ~ .· A ______

~4.5 % 10 36 105 110 - 5 15 38 152 153 1

. 15 - 1-0,6 %

20 39 219 211 8 4 %

f-- -----... _-- - --_. f----

10 36 110 119 - 9 - 8 ï.

20 15 35 163 164 . - 1 -0,6 %

20 35 236 227 9 4. % t-- -~---- -- f------.. ----

10 34 108 121 - 19 - 15 %

25 15 40 177 193 - 16 _8,5 %

20 38 236 232 4 2 %

10 42 106 133 - 27 . - 20 %

15 3/~ 143 167 - 24 - 1/~ %

30 20 38 243 232 1 1 4,5 %

25 lf6 291 282 9 3 %

30 43 353 343 10 3 %

10 37 121 127 - 6 ""'5 %

40 20 37 248 222 26 Il %

30 37 349 312 :36 Il,5 %

21

Lorsque la hauteur du mur est faible « ha) le sol du remblai a tendance à tasser plus vite que le mur, l'inclinaison est alors positive. La peau constituée par un assemblage d'éléments en armodur, possède une certaine rigidité qui empêche la terre de se déformer latéralement. Cette. rigidité s'atténue avec la hauteur et au-delà de ha la déformation de la peau accélère le tassement du mur qui· devient plus important que celui du massif. L'inclinaison de la poussée est alors négative.

4°) Contrainte verticale marimum

La répartition des contraintes à la base du mur est difficile à connaître. Il serait en effet très difficile au vu des résultats donnés par les capteurs à friction(graph.3) de déterminer la courbe de répartition des contraintes à la

' base ,du mur. Seul le maximum est bien marqué , et situé juste après le parement.

Nous nous bornerons à comparer les résultats expérimentaux avec ceux d'un calcul théorique effectué dans l'hypothèse d'une répartition trapézoïdale. Nous laisserons de côté le cas d'une répartition de type Meyerhof car celui-ci donne des résultats beaucoup plus faibles.

· Dans l'hypothèse d'une répartition trapézoïdale des contraintes à la base du mur, la contrainte vertica1e maximum est donnée par la relation suivante

cr- W (1 6e) W poids du mur + avec propre

v S 1

S section

e 3xcentricité

1 longueur des armatures

Suivant que lion prend la valeur dt:; poids spécifique égale à 6,2 g/cm3

ou qu'on la détermine à l'aide des capteurs à friction placé:; dans le remb lai Cc' est-à-dire la moyenne /j, 2) la valeur de la contrainte maximum cr v varie considérablement. Le tableau Illet le graphique 4 nous permettent de comparer

. la contrainte verticale ~v e~rérimentale avec celle calculée à partir de 3 ll= 6,20 g/cm3 et de 'tdéduite des valeurs des capteurs (D.2) (i= 10,3 g/cm)

- TABLEAU III -

Hauteur 15 cm 20 cm 30 cm 25 cm

v c~ntrainte~ . verticale . ~

.----~_ ... __ .. ..-----_-=:::::::-.. ~:.

10 cm

~---- ---_._-----

145 mb 195 mb 257 mb calculée «= 6,2 g/cm 3

66 mb 102 mb avec

calculée avec '(h de l'essai 126 176 263 346 463

contrainte mesurée IO~} 189 315 442 473

------

22

o

" 100

200

300

400

'" '-'.' : . '. ' ., ':' __ -'---___ -1Lt '... .." 1 . ' 1: ' O.' ' .~' , .' .. 1

':: :::,':,': :;.~':~":~,'!:~ :-,:-~ ,~,:~-----:---~ ::, ",: :. : :,': ,",; :.,',\ ::: ~: _---'---_---,.-__ -I

t

" , :'REMBLAI:'"'' " "----=-M-:-:-:-':UR=------I.' .' ..... ' .. ;,;,: ............ ': ..... , .... ,------~ <~::;~:::{ ..... ·:::~~·::::':i::-------c:

.. .. . .. . ... ... 1

BUTEE 1

31 19 18 15 14 li 10 17 16 13 Il , 9 8 5 4 1 CAPTEURS

z w

--0-- ht = 10 cm

-.- ht = 15 cm ,

Graphique. 3 - Indication des capteurs à friction à la base du remblai, du mur, de la' butée,

23

Nous constaton~que suivant la valeur du poids sp~cifique adopt~e les r~sultats varient du simple au double. N~anmoins les calculs effectués à partir d 'un ~ h d~duit des capteurs sont assez proches des r~sultats exp~rimentaux. L'~cart reste cependant de l'ordre de 15. à 20 % et sera expliqu~ ult~rieurement.

A noter que la courbe exp~rimentale diffère de celle obtenue à partir des valeurs th~oriques par une plus grande pente à l'origine et par un l~ger fl~chis­sement vers la fin. Il est regrettable que nous ne puissions avoir d'autres points de mesure au-delà d'une hauteur de 30 cm. La hauteur à partir de laquelle le mur "flambe" se si tue aux anvirons de 40 cm, nous avons pr~f~r~ arrêter nos mesures à 30 cm de peur de perturber le comportement de l'ouvrage.

5°) Hauteur critique en fonction de la longueur des armatures

L'~tud~ de la rupture d'un mur en terre arm~e est relativement complexe car l'ouvrage est constitu~ de trois ~l~ments distincts (Peau - Armature - Terre) qui ont des propri~t~s m~caniq~es fort diff~rentes et dont l'association ne peut être assimil~e à un milieu homogène. N~anmoins nous avons à notre disposition plusieurs m~thodes pour calculer la hauteur libre critique :

La m~thode de Rankine

La m~thode de la r~partitiontrap~zoIdale

. La m~thode de la r~partition de Meyerhof

Nous les d~velopperons dans l'hypothèse d'un mur ayant des lits d'armatures de même r~sistance, cas des moaèles étudi~s

a) La m~thode de Rankine

Ce calcul repose sur les hypothèses simplificatrices suivantes

- la traction dans les armatures est maximum aux points d'attache avec la peau

les directions des contraintes principales sont en tout point du pare­ment . v~rticaleet horizontale

- 3.U parement la contrainte verticale a pour valeur cr v = ~. h

Il consiste à ~crire localement, c'est-à-dire sur la hauteur h d'un ~l~ment de peau, l'~quilibre de la peau sous l'action de la pouss~e du sol et des forces de traction dues aux armatures. Il vient alors

T = Ka 0-v 6h • b soit T .. Ka ~ h /),h b

Si l'on considère un mur dont les lits d'armatures ont tous même r~sistan­ce à la traction, soit RT par lit, la hauteur à la· rupture ou hauteur critique hIc a pour valeur:

R~ h'::: T c Ka'6.6h b

"" .. __ ..... "'" ""' .. __ ........... _---,

24

b étant la largeur du mur

500

400

300

200

100

50

o

J:I E

z ...., ...., .... ct o ï= 0:: ...., > ...., 1-Z ëi 0::

~ o o

5

• Valeurs théoriques (Y = 6,2)

• Valeurs semi_théoriques (Y :10,3)

o Valeurs expérimentales

10

o ~

/ /

/

15

/ /

/

/ /

/ 0/ /

/

/ .

20

1

/ /

/ /

,..,,1;) ,//

0/ /

ht HAUTEUR TOTALE EN cm

25 30 Graphique 4 - Etude de la contrai'nte maximum sous le mur.

25

On fait l'hypothèse que le mur en terre armée constitue un bloc rigide jouant le rôle d'un mur de soutènement. On a constaté par ailleurs que toutes les lignes de rupture par cassure des armatures passent pratiquement au pied du mur (sauf pour les grands glissements).Autrement dit la partie du mur e~ butée n'intervient pratiquement pas dans le calcul de la hauteur -critique et les formules que nous allons employer par la suite proviennent de calcul de stabilité d'un mur sans butée.

Nous avons vu que l'hyptohèse d'une répartition trapézoïdale descontrain­tes à la base amène une augmentation non négligeable de la contrainte verticale. On a alors en tête du mur :

o-v = '0 h 'c (1 + Ka

Le calcul de la hauteur critique hIc consiste dans ce cas à écrire locale­ment, c'est-à-dire sur la hauteur 14. h de l'élément de peau le plus bas, l'équilibre de la peau sous l'action de la poussée -du sol et des forces de traction dues aux armatures. Il vient alors

T = Ka () v Ah b soit T = K ~ h' [ - a c b

Soit RT la résistance admissible par lit. L'une des conditions pour que le mur soit en équilibr~ est que:

..... .. - ...... I----------'-~, ' : -' . -, - , ':" - :. : i .. ., . ~

)---,..--+-----1. , l' , "',', •

.', ' .. I-----+.-w;-;------i" p' ' -- ... .", )-----+--''-'-----:-- " . 1 .', :. < '

- "----- -1' .... • ' t.. •• ~ .. ' . ;. • • • .. .. , .. ~ .. .. 1

En géné r alisant la formule de la traction dans les armatures c'es~­à- dire en écrivant l'équilibre de la peau au niveau h considéré, on trouve

La répartition de M.eyerhof consiste ~._ pre,ndre une répartition uniforme sur une longueur 1 - 2e, e étant l'excentricité de la réaction sur le niveau considéré.

Le calcul de (f vs' effectue alors en considérant l'équilibre d'un massif de terre armée de hauteur h limité à sa base par le niveau auquel on veut calculer les efforts de traction. Il vient dans le cas d'un mur supportant un remblai à surface horizontale et de même nature que la terre utilisée dans le mur :

() v 1 - h

1 - - K (_ )2 3 a 1

26

et la force de traction par uni té de largeur dans le lit d'armatures à la profondeur h à partir du haut du mur a .alors pour valeur

T

Nous avons effectué plusieurs séries d'essais pour étudier la hauteur critique en fonction de la longueur des armatures ..

Le montage des murs en terre armée en modèle réduit se fait de manière à respecter le plus fidèlement possible les conditions d'exécution des ouvrages réels.

La pose des armatures se fait au fur et à mesure de la montée du mur. On commence par fixer le premier élément (inférieur) de la peau au bâti, soit de façon rigide en collant cet élément au bâti, soit de façon souple en butant l'élément. Le remplissage de la première couche (25 mm) s'effectue par empile­ment manuel des rouleaux. Puis, on place la première rangée d'armatures que l'on colle sur le premier élément de peau. Pendant le remplissage de la deuxième couche de rouleaux, on maintient le deuxième élément de peau par un taquet pour éviter le déversement puis on place une deuxième rangée d'armatures et ainsi .de suite.

Rappelons que pour effectuer ces essais, nouS avons maintenant tous les autres paramètres constants , àsav0ir :

- la hauteur de l'élément de peau Ah 2,5 cm

- le poids spécifique du milieu

- la hauteur de la butée égale à2,5 cm

la résistance des armatures par lit

• soit une armature de 3 mm par litRT = 160 g

· soit deux armatures de 3 mm par lit RT =. 320 g

· soit trois armatures de 3 mm par lit RT = 480 g

Les résultats expérimentaux sont les suivants

[ Pour une armature Rr ~ 160 g

Longueurs des 2,5 5 10 15 20 25 40 armatures (cm)

h'c : hauteur libre 5 8 8 10,2 8 10 9

critique (cm) -

Pour deux armatures RT = 320 g

Longueur des 5 10 15 20 21 25 40 80 armatures ( cm)

h' : hauteur libre 10_ 16] 19 ~ c 20,50 18 23,50 23,4 critique (cm)

r"

~L15 -120-=-~-~-r30 --l-60 Longueur des 5 40 armatures (cm)

1

h' . hauteur libre 117 ,50 1 30,51 c . 10 20,0 25 28 27,5 29 cri tique (cm)

Le graphique 5 permet de mieux constater que la hauteur libre critique augmente au fur et à mesure que la longueur 1 des armatures augmente mais qu'à partir d'une certaine longueur critique1min elle est pratiquement constante.

Les courbes expérimentales sont sensiblement tangentes à leur origine à la droite hIc = 2 1 qui semblent ainsi représenter un minimum en-deçà duquel on ne puisse pas descendre. Lorsque la hauteur libre critique hIc est comprise entre une fois et deux fois la longueur des armatures, les points expérimentaux se situent nettement en dessous de la droite théorique définie par

RT h' c = Ka '6 Ah b ce qui traduit sans doute l'influence de la poussée sur

le mur ainsi que le défaut d'adhérence des armatures.

Les résultats sont supérieurs à ce que laissait prévoir la théorie lorsque les lits d'armatures sont composés de plus de deuX ' armatures.

Le graphique 5 donne les valeurs de la hauteur libre critique en fonction de la longueur des armatures pour trois valeurs différentes de la résistance à la traction des lits d'armatures. Ces valeurs expérimentales sont ensuite compa­rées à celles données par l'hypothèse de la répartition trapézoïdale et celle de la répartition de type Meyerhof.

28

E u Z w

30~ ~ 0 ~ a:: ()

a:: :,) w .... :,)

« :I:

~u •

10 t- 'fII~/ j. • --.--- . ......... -/''(1)

o 20

Graphique 5

Hauteur critique en fonction de la longueur des armatures

l o o 3 ARMATURES PAR LIT

--------------____ --...---- -;- (1) - --

2 ARMATURES PAR LIT

+ +

+

+

+

RT

[ 1 ]

1 ARMATURE PAR LIT (1 ) R~partition trapézoïdale h' e

• ka YAh b tli 1 + ka ~2

(2) Répartition de type Meyerhof RT [ 1 J h' e

ka YAhb 1 li: 1--ka -

3 2 1

LONGUEUR DES ARMATURES EN em

1 !

40 60 80

Nous constatons que les courbes théoriques ainsi obtenues ont pratique­ment la même forme que la courbe expérimentale avec cependant un coude beaucoup moins ma.rqué.

Pour des longueurs 1 relativement grandes les courbes théoriques tendent vers la droite :

h' = c

Malgré la prise en compte de la poussée sur le mur l'écart entre les résultats expérimentaux et théoriques reste non négligeable et montre que les formules théoriques ci-dessus sont pessimistes. Cela peut s'expliquer par le fait que les hypothèses des calculs précédents sont équivalentes à l'hypothèse d'une surface de rupture potentielle plane inclinée à1T ~ par rapport à

, -+-l 'h' 1 l' d C 1 b . . d~l' . ~4 2 ~. . or~zonta e et que e co~n e ou om a~ns~ e ~m~te est super~eur au co~n de poussée réel exis ,tant dans le mur.

En effet, deux expérimentations [6] [7] sur des ouvrages réels (murs de soutènement en terre armée de la et 15 m de hauteur) ont montré que les tractions T dans les armatures d'un ouvrage en terre armée ne sont pas maximales sur le parement, mais qu'elles se répartissent comme l'indique le graphique 6. La contrainte de cisaillement exercée par le sol sur la surface de l'armature, est égale à :

L = dT • ...L dl 20

T traction dans l'armature 1 abscisse sur l'armature a largeur de l'armature

Cela met en évidence deux zones dans le massif [31 : la première située près du parement dans laquelle la contrainte étant dirigée vers l'extérieur du, mur, la terre a tendance à entraîner les armatures; la seconde dans laquelle la contrainte étant dirigée vers l'intérieur, le sol a tendance à retenir les armatures. La frontière entre les zones (1) et (II) représente la ligne des tractions maximales ; elle est assez verticale dans le cas d'un mu:.: à surface de remblai horizoritaleet conduit pou,r la zone (1) à un volume plus petit que

le coin de Coulomb limité par la droite inclinée à (I ;: f) sur 1 'horizontale.

La partie . d'armature dans la zone (II) est appelée longueur d'adhérence.

Un des aspects caractéristiques des ouvrages en terr'e armée est que la frontière entre ces deux zones (1) et (II) est essentiellement variable en fonction de la géométrie, des sollicitations, des tassements du sol de fondation, du frottement entre le sol et les armatures, etc. Elle doit en particulier dépendre pour un ouvrage donné du coefficient de sécurité correspondant à la stabilité interne. Alors que dans un ouvrage de soutènement avec ancrages, la zone de poussée et la zone d'ancrâge sont très nettement séparées, dans un ouvrage en terre armée, ces deux zones sont jointives et essentiellement évolutives.

Cette frontière représente par ailleurs la surface potentielle de rupture puisqu'elle est le lieu géométrique des points de tractions maxima. Le graphique 7 montre les résultats obtenus' dans les deux murs expérimentaux de Dunkerque, d'Incarville et dans les voûtes [8J.

30

Remblai

Graphique 6 - Répartition schématique des tractions le long des armatures

1 \ 1 1 \ 1 1 \ 1. , 1

,,\ ....... -+,"" , "", ~"\ , 1 r ", tw' '...f . , .. . "

__ ___ ' . . '. L~;..._. __ Dunkerque Incarville

GraphiqUe 7- Répartition expérimentale des tractions dans les armatures

31

Ce phénomène permet de mieux comprendre le fonctionnement d'un ouvrage en terre armée et d'expliquer certaines divergences constatées entre les formules de dimensionnement théoriques et les résultats expérimentaux. Des expériences sont actuellement en cours sur un modèle tridimensionnel (échelle 1/4) de mur en terre armée. Les résultats, que l'on espère plus précis et plus nombreux, apporteront sans aucun doute des éléments importants à la connaissance du mécanisme de la terre armée et pour un meilleur dimensionnement des ouvrages.

6°) Variation de la contrainte maximum en fonction de la longueur

Etudions la variation de la contrainte verticale maximum près du parement en fonction de la longueur des armatures,autrement dit en fonction de l'épaisseur du mur. Les formules théoriques de crv trouvées à partir de l'hypothèse de la répartition trapézoïdale ou de la répartition de Meyerhof montrent qu'au fur et à mesure que la longueur 1 des armatures augmente la contrainte verticale cr v tend vers la valeur ~ h

() = 1 h v (répartition trapézoïdale)

(}v = 'Oh ( h 2 ) 1- -- 1/3 Ka 12"

(répartition de type Meyerhof)

Pour vérifier cette évolution nous avons relevé systématiquement toutes les valeurs de la contrainte maximum à la base du mur pour différentes longueurs 1 des armatures et à des hauteurs données (h = 10 - 15 - 20 - 25 - 30 cm)

~ cm 10 15 20 25 30 Longueur des armatures lc~ ___ cm

.,

10 383 mb

15 148 mb 23.4 mb 360 1

20 135 1 217 328

25 144 225 315 383

30 108 189 315 442 473

40 300 478

60 270 ,

i 1 _ ..... -----_.

32

Nous constatons que dans l'ensemble la contrainte()v diminue au fur et à mesure que la longueur des armatures augmente. Cette diminution est beaucoup plus marquée pour les faibles hauteurs h du ,mur.

Le graphique 8 montre la variation de h et de la contrainte maximumcrv en fonction de la longueur 1 des armatures pour un mur de 20 cm de haut.

La valeur de ~h est déterminée par la moyenne des capteurs à friction situés dans ' le remblai non armé. Il y a peu de dispersion. La contrainte maximum () v diminue en fonction de la longueur des armatures. Cette diminution est assez forte pour les faibles longueurs c'est- à-dire jusqu'à 1 = 25 cm et s'annule plus ou moins pour les fortes longueurs.

Une telle évolution doit être rapprochée de la variation de la hauteur libre critique en fonction de la longueur des armatures. En effet la hauteur critique augmente au fur et à mesure que la longueur des Axmatures augmente. Elle devient constante lorsque la longueur atteint une c.~rtair.p l, ... ngueur critique ou longueur d'adhérence. Autrement dit plus la contcaLlte verticale est grande,nlus la hauteur critique est faible et réciproqu(!ment.

Il Y a donc une relation directe entr~ la contrainte verticale maximum et la hauteur critique. ' Cette relation peut s'écrire de la ~açon suivante:

r:'~-:-~ C" :-;r v ~= 'c t'~=ï ""'''-.~' ," ... •• .;'P., ... . • . .. ·. . . ... " ..•. • '., . ~ .,, :~d

La constance dépend bien entendu de la géométrie, des sollicitations, du matériau de remblai, des tassements du sol de fondation, du frottement entre le sol et les armat4res,etc ... Nous ne pouvons pas la déterminer de façon précise parce qu'il nous est impossible d'effectuer des mesures à la rupture.

Nous avons constaté aussi cette interaction lors de notre étude concernant l'influence de la déformabilité du sol de fondation [5]

Notons que l'étude systématique des positions des contraintes maximum et m~n~mum sous le mur nous amène aux résultats suivants

Pour un mur de hauteur donnée lorsque la longueur des armatures varie de 5 cm à 80 cm, le maximum de la contrainte se déplace depuis -le pied du mur jusqu'à environ 14 cm en arrière du parement, le minimum se déplaçant de 7 à 23 cm à partir du parement. Leur position relative semble indépendante de la hauteur du mur. Tout se passe donc comme si seule une partie du mur était sollicitéepar la poussée ,autrement dit pour les murs épais, comme si le point d'application de la poussée semblait se déplacer à l'intérieur du mur.

33

Graphique 8 - Contrainte maximum en fonction de la longueur des armatures

400 - CONTRAINTE MAXIMUM MESUREE (ht = 20cm)

CONTRAINTE AJUSTEE

z w 350 Lw

-0-- CONTRAINTE SOUS LE REMBLAI (ht = 20 cm)

~ z oC( a:: ~ z 0 0

r 300

~.--------""", . . ' ...........

........................

Co) ~

. ............. -----...--..-- ------

• 250

~o -o--~ __

~ a = y h (ht = 20 cm) ---- ---------

200

LO,NGUEUR DES ARMATURES EN cm

10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60

70) Etude de la longueur limite d'adhérence

Pour qu'il y ait cassure des lits ,d'armatures, il est nécessaire que ces derniers aient une longueur suffisante afin d'éviter un glissement général des armatures ou un défaut local d'adhérence.

Le graphique 5 de la hauteur critique h'c en fonction de la longueur 1.

des armatures dans le cas de murs rectangulaires dont la résistance à la traction par lit est de 160 - 320 - 480g(soit 1 - 2 - 3 armatures par lit) peut se décom­poser en trois phases suivant leurs longueurs

a) très faibles: (5 cm) il y a défaut d'adhérence généralisé sans rupture d'armatures

Ce type de rupture se produit lorsque les armatures ne sont pas suffisam­ment longues, compte tenu de la valeur du coefficient de frottement terre­armaturE',S pour mobiliser les efforts de tractionnécessai res ' dans les armatures . Il Y a en quelque sorte décohésion du massif en tet're ' ar:l l~~ : le massif s'écroule, sans que led armatures se rompent, par glisscuent du ' sol entre les c',:-:-matures.

b) faibles: il y a rupture par défaut d'adhérence des lj~$ supérieurs entrafnant la démolition de tou~ l'ouvrage.

c) suffisantes : , la hauteur critique atteinte devient constante et elle est indépendante de la longueur des armatures. La longueur à partir de laquelle l'adhérence des armatures est suffisante est appelée longueur critique ou longueur limi te d'adhérence.

Dans ce cas, la rupture de l'ouvrage est progressive. Elle s'amorce en un point où casse une première armature, puis elle se propage rapidement par cassures s~ccessives des armatures suivant une ligne de rupture qu'il est possible de visualiser. L'expérience montre que pour les modèles étudiés, la rupture se propage de has en haut suivant' une ligne qui n'est pas ' très éloignée

de la droite inclinée à ~ + 1 sur l'horizontale. Il y a ainsi une assez grande

différence entre la surface de rupture potentielle représentée par le lieu des points de traction maxima dans les lits d'armatures et la surface de rupture réelle qui est engendrée par le point de traction m~x~ma au fu~ et à mesure que les lits d'armatures cassent.

En première approximation la droite hc = L est la ligne de séparation entre la rupture par défaut d'adhérence et celle par cassure de toutes les armatures (graphique 5), mais il faut se garder d'extrapoler ces résultats de modèles bidimensionnels aux ouvrages tridimensionnels (phénomène de dilatance).

Calcul des longueurs limites d'adhérence

Hypothèses

le frottement terre-armature est constant et égal à f .

. la contrainte 'sur le plan perpendiculaire au lit d'armature est principale.

35

Or, l'effort de traction Test :

1 = a Ka Ah

2 f n où

La longueur limite d'adhérence la est indépendante de la hauteur et est inversement proportionnelle à n largeur des armatures par unité de longueur (les autres coefficients Ka, h, f sont constants). Dans la réalité le nombre n par unité. de longueur dans un lit n'est pas constant, mais en première approximation,proportionnel à h, distance du lit considéré à la tête du mur

n = Ch (C = cte)

si les armatures sont supposées identiques. Il s ' ensuit donc que la longueur limite d'adhérence est inversement proportionnelle à h.

La géométrie minimum d'un ouvrage nécessite en fait de connaître avec précision le coin de poussée, la longueur minimum d'une armature était la somme de la longueur limite d'adhérence et de la longueur correspondante du coin de poussée.

COIN DE POUSSEE

1.

--==-- -:::::»' ~ ~-.-...,... ~

-. - - \2-----1 1 a

------1 n +-------1 ("+1

.s: Remblai

Dans un ouvrage la stabilité vis à vis d'une rupture par défaut d'adhérence ~onsiste à écrire que la longueur d'adhérence La est supérieure à la longueur limite d'adhérence la.

36

Un calcul plus précis de la nécessiterait de prenùre en compte la répartition réelle de la contrainte normale verticale cr v' En prenant la réparti tion de Meyerhof utilisée pour le calcul de Tm, il vient : (9J

soit

2e + Ka Ah 1 Ka h 2. 2b fn d - (-» ) 31

2 le = .h... Ka +

31 1-& 3

Ka Ah 2b f n

ce qui donne une longueur limite . d'adhérence la lég~rement croissante avec la 2

profondeur h . Le terme f1 Ka n'a pas de signification physiqu~ car il con"es-

pond à la zone d'armature sur laquelle ne s'exerce aucune c.ontr;:.inte normale.

Pour obtenir la longueur limite d'un lit d'armatures, il fa~ciraL: ajouter à la longueur limi te d'adhérence la, calculée précédemment, un'~ -ju:mti té corres­pondant à la largeur du coin de poussée au niveau considéré. Cê~te quantité est encore mal connue, les expérimentations en cours permettront de la préciser.

On prend souvent· conune longueur li.mite des lits d'armatun:s, la quantité Ka .1h - ,car les phénomènes de dilatance qui se produisent au voisisnage des

2b f n armatures au~entent localement la valeur de la contrainte normale cr par rapport à la valeur ~ h, ce qui établit une certaine compensation.

Comparaison des résultats théoriques et expérimentaux

Bien que les phénom~nes d'adhérence ne soient pas similaires dans les mod~les bidimensionnels et dans la réalité, le ':-.alcul théorique de la longueur limite d'adhérence donne un bon ordre de grandeur dans les essais réalisés. En effet :

la = Ka Ah Ka ::: 0,37 2 f n 0,3 Pour 1 armature n = -3- - 0,1 ~h 2,Y cm

f = 0,)f5

d'où la 10,5 cm

8°) Conclusions

L'étude de la hauteur critique en fonction de 1:.1 longueur des armatures ainsi que la mesure de,s contraintes à la base des mun~ ont montré, que le comportement d'un mur en terre armée est complexe et que les problèmes de métrologie sont primordiaux, la tupture de s mu rs par.' défaut d' adhérencE:!, ne pouvant pas être étudiée de façon c.orreClt' par suite du non respect des condi­tions de similitude, il s'en est suivi que le mod~ le n'a êtê utilisê que pour

37

étudier la rupture par cassure des armatures. Il a cependant permis de mettre en évidence une légère différence entre les résultats expérimentaux sur la hauteur critique et les calculs théoriques classiques suivant les hypothèses de la répartition de type trapézoïdal ou, de Meyerhof. Cette différence confirme les résultats des mesures effectuées sur des ouvrages réels (Incarville, Dunkerque). Le modèle a permis en outre de préciser la courbe de répartition des contraintes à la base d'un mur en terre armée (existence d'un maximum et d'un minimum situés à l'intérieur du mur). Dans les murs de grande épaisseur une partie seulement du mur est influencée par la force de poussée, poussée dont l'inclinaison évolue au cours de la construction par suite du tassement différentiel entre le mur e,t le massif. Le vérification du calcul théorique de la longueur d'adhérence ne peut être faiteque dans les ouvrages réels ou sur un modèle tridimensionnel.

38

II - ETUDE DE LA HAUTEUR LIBRE CRITIQUE EN fONCTION DE LA RESISTANCE DES ARMATURES

L'étude de la hauteur critique en fonction de la longueur des armatures a permis de constater qu'au-delà d'une certaine longueur appelée longueur critique, la hauteur critique reste constante. Dans la suite de notre étude et afin d'éliminer l'influence du paramètre "longueur des armatures" tous les murs seront construits avec des armatures de longueur supérieure à la longueur critique.

Dans ce chapitre, nous .nous proposons d'étudier l'influence de la résistance des armatures sur la hauteur critique.

A cet effet, nous avons construit des murs de hauteur de peau donnée Ah, de longueur d'armatures donnée, égale à 60 cm, de différentes résistances des armatures en faisant varier leur largeur de 3 .mm à 7 mm. Chaque lit comporte deux armatures. Deux types d'essais ont été effectués:

· Peau rigide (en armodur ) les hauteurs de peau utilisée sont Ah = 4 cm, 5 cm.

· Peau souple (en papier) : llh 4 cm.

1°) Essais avec des éléments de peau rigide

Les graphiques nO 9 et 10 montrent les ré~ultats des essais.

Si nous portons en ordonnées la hauteur libre critique obtenue et en abscisses la largeur des armatures,nous obtenons une droite ne passant pas par l'origine.

Pour Ah = 4 cm la droite regressée des différents points expérimentaux a pour équation

h'c = 3,23 a + 8,9 .'

Pour Ah 5 cm elle a pour équation:

h'é = 3,48 a + 5 a étant la largeur des . armature's .

Nous constatons tout d'abord que les denx droites ont une ordonnée à l'origine et que cette dernière diminue quand on aU5mente . la h~uteur de l'élément de peau. Elle passe de 8,94 pour Ah = 4 cm à 4,98 pour Ah = 5 cm

L'explication réside dans le fait que l'élément de peau est fabriqué à partir de l'armodur,matière possédant une certaine rigidité. Cette rigidité serait d'autant plus grande que la hauteur de l'élément de peau est plus faible. La peau seule ,serait donc capable de retenir une certaine hauteur de rouleaux.

· Justification expérimentale. Nous avons essayé de monter sans armature, les différents éléments de peau sont collés les uns et l'une des extrêmitésest fixée sur le bâti rigide du modèle.

39

un mur aux autres

Nous avons constaté qu'effectivement la peau seule retient une certaine hauteur de rouleaux mais que la déformation est très importante. Pour différentes hauteurs h atteintes, nous avons mesuré le déplacement $ de la tête du mur (voir dessin)

L'essai est en tout point analogue à celui d'une poutre verticale encastrée à sa base et soumise à une charge triangulaire. Le rapport F est appelé coefficient de rigidité de r l'élément 'de peau,F étant la résultante, de la force appliquée et ~ le déplacement de la tête du mur. ,

. Pour 6h = 4 cm

ho = 2 cm ~o = 0.7 cm Fo = }4 g ••

h} = 3 cm b} = },5 cm FI = 3} ,5 g .: 1

h2 = 4 cm ~2 = 2,3 cm F2 56 g 1

i !

Fo _ 20 ba-FI rI- = 21 Pz = 24

!o. ;0.1 F} rJ F2 rJ 20 - r; -~ &0

. Pour Ah = 5 cm

Le déplacement ~ est très important.

ho = 2 cm &0 = 2,8 cm Fo = }4 g

h} = 2,6 cm ~ = 5,5 cm 1

F} = 24,8 g

~= 5 !J. = 4,65 ~ } .

Nous pouvons conclure que le coefficient de rigiditéf est pratiquement

constant pour un élément donné et qu'il diminue en fonction de la hauteur de l'élément.

40

30

20 ~ -

10

o

E u Z lAI

"" :::1 o ~ CIl: U

et: :::1

"" .... :::1 CI: ~

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0 .. / //

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x/ 7~~ .. ~~/,

~/

... ' o.,fo / "" / " .... /

~~//

.2 Armatures par lit: longueur 60 cm

• o

Peau souple

Peau rigide

Ah = 4 cm

//

//

// Graphique 9 - Hauteur crit iql!e en fenc.t ion r a;' !a~geur des armatures. Influence de la rigidité de la peau

//

<a> LARGEUR DES ARMATURES EN mm

1 2 3 4 5 6 7 8

"" ....,

30

20

10

o

E .., z '" lU ::;) CI i= ΠU

Π::;) lU 1-::;)

"' :I:

:s::,U

//

//

-// /

1

//

//

Graph ique 10 - Hauteur critique en f onction de la largeur des armatures

(;) // )t 6'-

//

o // //

o

o //

/0

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/0

// 0

bl~$ // -'1 ;. ~'//

- \\'!, $

'1 ;. '!"

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//

2

X'c,~/ //

//0

//

3

"c, ....

4 5

PEAU - RIGIDE

2 Armatures par lit: longueur 60 cm

Ah = 5 cm

<a> LARGEUR DES ARMATURES EN mm

6 7 8

2°) Essais avec des éléments ' de peau souple

Les essais faits avec une peau souple en papier ont donné les résultats suivants :

. Les points expérimentaux sont pratiquement sur une droite d'équation

h'c = 4,96 a + 0,32

. L'ordonnée à l'origine de cette droite est pratiquement nulle (0,32)

3°) Comparaison des résultats expérimentaux

Nous avons vu dans le chapitre précédent qu'il existe plusieurs méthodes pour calculer la hauteur critique d'un mur en terre armée selon l'hypothèse prise pour la répartition des contraintes à la base

2 ) RT 1 · h' h' = : ~ - JKa~) répartition de Meyerhof ) c Ka ~ Ah b

) )

( 1)

h' = RI répartition trapézoïdale )

c Ka ~.dh . h h'c2 ) + Ka lT

Pour les murs de faibles épaisseurs les relations (1) sont bien adaptées car elles tiennent compte de l'influence non négligeable de la poussée. Par contre

lorsque la longueur des armatures est suffisante, c'est le cas de nos essais, la méthode de Rankine rend mieux compte du comportement du mur étudié :

h' - RT c - KajAh b

Le calcul théorique fait à partir de cette dernière donne les résultats suivants

Ah 4 cm h' = c 3.80 a

Ah = 5 cm h' c = 3.03 a

(graphique 9 - 10)

ave~ RT = 2 159 a g/cm a largeur des armatures 3

Ah = 4 cm et 5 cm

Ka = tg 2 (J! - .f) = 0,.37 4 2

b = 3 cm

'1 = 6,2 g/cm3

Les graphiques théorique. L'ordonnée comme nous l'avons vu

9 et 10 montrent la variation de h'c expérimentale et à l'origine de la droite expérimentale s'explique par la raideur de l'élément de peau. L'écart dans la

43

pente des droites expérimentales et théoriques provient soit du tassement propre du mur qui diminue la hauteur A h des éléments et par suite augmente la pente, soit de l'état des contraintes des rouleaux qui n'est pas un état limite de rupture.

En effet, au fur et à mesure que la hauteur augmente le tassement des éléments de peau situés à la base du mur augmente, tout particulièrement le premier élément au-dessus de la butée. Ce tassement n'est pas négligeable .

Demarrage de la courbe de rupture

~-------- '" >-~------- ". )..--------- .\. . .

• " 1 1

• • - <,

~--------.:' .'. >--------- .- ... ' . \'

, . ~ . : . . . ----+--.:.-..---- ... ' .: ... "

Les essais ont .montré que toutes les courbes de rupture s'amorcent à la base du mur ,c'est-à-dire par la rupture du premier lit d'armatures situé au-dessus de la butée.

Soit é o le tassement de la prem~ere couche. Pour que la rupture ne puisse pas s'amorcer ailleurs qu'à partir du premier lit d'armatures (par exemple au 2éme lit) il est nécessaire que le tassement to

.1:.

0

"! 1 ~ .1:., <l'

.Ir

1 t

RT - ,

de la première couche au-dessus de ia butée vérifie approximativement la relation suivante

(h'c -Llh) ~h < hIc <Ah - ~

soit I~è~~c- l ,Llh ::: la hauteur de l'élément de peau

h'c= la hauteur libre critique

Cette relation est vérifiée pour l'ensemble de nos essais. Le tassement de la dernière couche avant la butée joue doric un rôle très important. Finalement la vraie formule devrait être :

h' ::: C

~EE!~~~!~~~~ : Peau rigide /j h ::: 5 cm : (graphique 10) Le tassement de la dernière couche-' est de 0,3 cm. La droite théorique corrigée sui~ant la formule précédente a donc pour équation :

hIc =: 3,25 a

44

La pente de la droite expérimentale est 3,49. La droite théorique et la droite expérimentale corrigée sont approximativement parallèles .

. Peau souple A h = 4 cm : (graphique 9) Le tassement de la dernière couche est de l'ordre de Of6 cm ,ce qui est très important. Il est 'principalement dû à la difficulté de réaliser exactement une hauteur de 4 cm, à la souplesse de la peau de papier qui se déforme très facilement. La droite théorique corrigée a alors pour équation

h' = 4 50 a c '

L'écart entre la pente théorique (4,50) et celle expérimentale (4,95) est faible •

• Peé1.u rigide  h = 4 cm : (graphique 9) Le tassemen:: d~ la darnièr<! couche est de 0~2 cm. Il est proportionnellement moins important ~a.l' l 'p.lérnent de peau est beaucoup plus rigide (le coefficient de rigidit~ = 20). La droite théorique corrigée a donc pour équation

h' :: 4 a c

La pente de la droite théorique corrigée est assez différente de la valeur de 3,23, valeur trouvée expérimentalement. Contrairement aux deux cas précédents la valeur ' théorique est supérieure à la valeur expérimentale.

Le calcul théorique a été fait en supposant que le milieu entre les armatures était en état de 'rupture ,c'est-à-dire que sa résistance était entière­ment mobilisée. Il s'agit là d'une hypothèse valable pour les éléments de faible coefficient de rigidité (exemple 6h = 5 cm) mais discutable pour les éléments de fort ,:oefficient de rigidité (6h = 4 cm).

En effet, au moment de la mise en place des rouleaux et des armatures, le tout couche par couche, les rouleaux retenus par la peau et les armatures ne peuvent pas se déformer latéralement. Il en résulte que si l'on néglige les efforts de cisaillement horizontaux créés par le frottement au contact des armatures, le milieu se trouve dans l'état de repos caractérisé par le coefficient Ko. Par contre lorsque les efforts de cisaillement deviennent importants, l'état des contraintes dans le sol évolue vers l'état de rupturp.. Cette évolution dépend de la rigidité de la peau. Plus elle est rigide et moins elle est apte à se déformer et plus le milieu reste -longtemps ~ l'état de repos ou dans un état proche.

A partir de la pente de la droite expérimentale nous allons essayer de déterminer l'état du milieu.

K rapport de deux contraintes principales, à déterminer

b 3 cm longueur des rouleaux

~h ~ cm (le tassement a été pris en compte)

~ 6,2 g/cm3

Rr 106 a (a : 'largeur des armatures)

45

h' c =

106 a ~--~~~~~~~-- = 3,23 K x 6,2 x 3,8 x 3 K 0,46

Le coefficient K obtenu (0,46 ) est super1eur au coefficient de poussEe de Rankine (0.37) ce qui confirme bien 1 'hypothèse selon laquelle le milieu est dans un état proche de llétat de repos. Malheureusement nous ne possEdons pas d'appareils permettant de mesurer le coefficient K caractérisant l'état du milieu et en particulier Ko, le coefficient des terres au repos. Bien que la loi de Jaky ne soit pas,su~tout pour un milieu bidimensionne1 exacte elle permet néanmoins d'avoir une valeur approchée du coefficient Ko.

Ko = 1 - sin'P= 0,54 . 'f= l'angle de frottement du milieu

Il semble donc que l'état du milieu évolue de Ko à Ka et est fonction de la rigidité de la pe3U.

En conclusion la hauteur critique hIc est,à une constante près, propor­tionnelle à la largeur des armatures utilisées c'est-à- dire à leur rEsistance. Cette constante évolue avec la hauteur des Eléments de peau c'est-à-dire qu'elle est fonction de la rigiditE de ces derniers. Plus la hauteur de peau est faible, plus elle est rigide et plus la constante est grande. C'est ainsi que la droite expérimentale obtenue à partir des murs à peau souple passe par lo:lorigine.

L'étude a permis aussi de constater que l'état du milieu évolue en fonction de la rigidité de l'élément de peau. Plus celui-ci est rigide et plus l'état du milieu est proche de l'état Ka.

46

III - ETUDE DE LA HAUTEUR LIBRE CRITIQUE EN FONCTION DE LA HAUTEUR DE L'ELEMENT DE PEAU

En vue de l'étude de l'influence du paramètre · Il h, hauteur de l'élément de peau, nous avons fabri4ué un certain nombre d'éléments de peau de hauteur variable h = 2 - 2~5 - 3 - 4 - 5cm .Puis nous avons construit des murs de hauteur de peau variable et nous avons gardé les autres paramè·tres constants, à savoir la longueur des armatures 1 = 60 cm, le poids spécifique des rouleaux

'6 = 6,2 g/cm3, la résistance des armatures par lit ou la largeur a de celles-ci (a = 3 mm et a = 4,2 mm). Chaque mur compte deux armatures par lit.

Le graphique nO Il montre la variation de la hauteur libre critique en fonction de Ah. Pour a = 3 mm les points expérimentaux sont très dispersés et l'équation de ln dr6ite rigressée est

h'c 1

Ah 45,75 + 6,80

La droite thé<;>ric;.ue a pour équation h 'e = A~ 45, 70

(en ~m)

Pour a = 4,2 mm, ·les points expérimentaux sont bien alignés et l'équation de la droite régressée est

h'c = A~ 54,10 + 9.00 (en cm)

La droite théorique correspondante a pour équation h'c = A~ 63,70

Nous constatons donc que les droites expérimentales obtenues ont une ordonnée à l'origine qui est due comme précédemment à la rigidité de la peau et qui semble de plus varier avec la résistance des armatures.

Pour a = 3 mm h 1 CÔ = 6. 80 cm

Pour a = 4,2 mm h'co = 9.00 cm h'co = l'ordonnée à l'origine de la droite expérimentale

1 Nous serions tentés de penser que lorsque Ah tend vers 0 c'est-à-dire

lorsque Ah augmente indéfiniment l'ordonnée à l'origine h'co est identique pour toutes les droites expérimentales. Elle ne dépend finalement que des

caractéristiques mécaniques du matériau constituant la peau.

En fait le problème de l'étude du paramètre"hauteur de l'élément de peau" est très complexe.

Suivant la rigidité de la peau, c'est-à-dire, pour une matière donnée, suivant sa hauteur le coefficient K caractérisant l'état du milieu évolue depuis la valeur Ko jusqu'à la valeur Ka et cette évolution est fonction de la hauteur du mur. Nous avons vu par exemple que dans le mur en terre armée d'Ireanville, la terre, dans la partie supérieure du mur, se trouve dans un état

47

40

30

20

10

°

E u Z 1.1.1

0,1 0,2

PEAU RIGIDE

2 Armatures par lit:

0,3

longueur 60 cm

largeur:

0,4

• a= lmm

o a= 4,2 mm

0,5

Graphique 11 - Hauteur critique en tonction de la hauteur de l'élément de peau

48

1/ah EN cm-1

0,6

. : ..

proche de l'état de repos (coèfficient Ko), tandis que dans la partie inférieure elle se .trouve dans un état proche de la poussée (coefficient Ka).

La courbe h' c (hauteur libre critique) en fonction de t:.~ n'est sans

doute pas une droite, mais par suite des hauteurs atteintes et des éléments de peau utilisés la droite se trouve être la meilleure courbe ajustée et la plus simple .

49

IV - ETUDE DE LA HAÙTEUR LIBRE, CRITIQUE EN FONCTION DU POIDS SPECIFIQUE DU MILIEU

1°) Essais de cisaillement à la boîte

Dans ce paragraphe, nous nous proposons d'étudier l'influence du paramètre "Poids spécifique du milieu '6" tout en gardant les autres paramètres inchangés.

Le problème le plus difficile à résoudre est de faire varier le poids spécifique du milieu tout en maintenant son angle de frottement à peu près constant.

Nous avons fait des essais de cisaillement à la boîte sur différents mélanges :

a) Rouleaux d'acier - Rouleaux de plomb

b) Rouleaux d'acier -Tubes de duralumin '/J8 et 6 mm

c) Rouleaux d'acier - Rouleaux d'afcodu~ ~ 3 mm

Le premier mélange donne un angle de ' frottement de 34° pour une densité de 7,6 g/ cm3 (graphique nO 12) le deuxième 25 ° pour un g de 5 g/ cm3 (graphique n° 13). Nous avons finalement opté pour un mélange de rouleaux d'acier avec des tiges d'Afcodur de 3 mm de diamètre qui donne des angles de frottement 'f> voisins de celui des rouleaux d'acier seuls. .

, Les différentes densités adoptés sont : ~ = 6,2 g/cm3 (rouleaux d'acier seuls) - 5,4 g/cm3 - 4.95 g/cm3 - 4.45 g/cm3 -3,90 g/cm3. Les photos 1 - 2 -3 - 4 montrent que le mélange 'âinsi obtenu est dans l'ensemble relativement homogène. En effet, les rouleaux d'afcodur sont disposés un peu partout dans le mélange.

tes résultats des essais de cisaillement à la boîte (graphique nO 14 - 15 -16 - 17 - 18) sont résumés dans le -tableau ci-desso'us :

! Poids spécifique du

milieu ~ g/cm3 3.90 4.50 5.00 5.40 6.20 :

,-Angle de frottement ,

'P en degré 31 °30 29°20 27° 27°30 27°

50

1

o a EN bar

1 2 Graphique 12 - Essais de cisaillement à la boite. Mélange: rouleaux d'acier - rouleaux de plomb

~

ni oC

Z Y.I

t-

.. ,

Y=5 g /cm3

a EN bar 0j-'·

1

1 Graphique 13 ~ Essais de ëisaillement à la borte. Mélange: rouleaux d'acier c tubes de duralumin

1

o

.. 10 .0

z w

Mélange : rouleaux d 'ac ier - rou leaux d'afcodur ('Y = 3,93 g/cm 3)

y = 3,93 g/cm3

a EN bar

1 2 Graphique 14 - Essais de cisai llement à la boîte.

52

1

o

... tU J:I

z w

~.

•

•

•

Mélange ;' rouleaux d'acier" rouleaux d'afcodur (7 = 4,45 g/cm 3)

y = 4,45 g/cm3

a EN bar

1 2 Graphique 15 - Essais de cisaillement à la boîte.

53

1

o

Z lOI

Mélange: rouleaux d'acier - rouleaux d'afcodur ('Y = 4,95 g/cm 3)

4,95 9 1 cm 3

a EN bar

1 2 Graphique 16 - Essais de cisai llement à la boîte.

54

1

o

.. l'II

.Q

z ~

•

•

•

Mélange: rouleaux d'acier - rouleaux d'afcodur ('Y = 5,40 g/cm3

)

y = 5,40 g/cm3

o

o EN bar

1 2 Graphique 17 - Essais de cisa illement à la boîte.

55

1

o

Z 101

...

bar

1 2

Graphique 18 - Essais de cisaillement à la boîte. Rouleaux d'acier.

56

Lrangle de frottement ne reste pas constant; il diminue de 31°30 à 27° quand le poids spécifique passe de 3,93 à 6,2 g/~m3 et il diminue aussi lorsque la quantit~ d' afdodur diminue dans le mélange. De ;:i; ces essais de cisaillement nous pouvons en déduire que ce sont les é~éments les plus fins qui déterminent l'angle de frottement.

2°) Résultats des .essais

Nous avons construit une sene de murs réctangulaires à peau rigide, de hauteur d'élément de peau Ah = 2".5 cni~ de longueur d'armatures 1 = qO cm, de largeur e = 3 mm. Chaque mur c0rnporte deux armatures T)ai lit.

Les résultats des essais sont portés sur le graphique 19 où nous avons placé en ordonnées les hauteurs crit:ques et en abscisses les valeurs de 1

'6 Nous avons constaté que :

* les points expérimentaux Sont pratiquement sur une droite ayant pour équation

(en cm)

Tableau des ré3ultats

Poids spécifique 1

1 1

'0 g/cm3 1 6,20 5.40 5.00 4.50 3.90

!

I/~ 1 0.162 0.185 0.202 0.225 0.255

Hauteur libre dritique 2~8 26 20 32 36

hIc en cm

* En supposant que le milieu s.oit ·à l'ég:at de rupture (Ka::: 0,37) le calcul théorique donne :

H' c 1

- IJ0l"

57

40

30

20

E u

Longueur des armatures 60 cm

àh 2,5 ("m

10L-~--~~--~~--~~--~~--~~--~--~~

0,14 0,16 0,18 0,20 0,22 0,24 0,26

Graphique 19 - Hauteur critique en fonction de la densité

58

La pente de cette droite t lléorique n'est pas en concordance avec les résultats expérimentaux, elle est plus faible.

En fait l'angle de frottement des différents mélanges n'est pas constant mais varie suivant les proportions des différents constituants. Cette variation entraîne une variation des coefficients de pouss€e de 0,37 à 0,31.

Poids spécifique ~ 6,20 5,40 5,00 4,50 3,90

Coefficient de poussée 0,37 0,36 0,36 0,34 0,31 tg2 ~ ~) Ka = (- -4 2

Ainsi en faisant le calcul théorique avec un angle de frotte~ent de 27° c'est- à- dire avec un coefficient de poussée Ka de 0 ~ 37 nous ne pouvons qu'oqtenir une pente théorique plus faible que celle décrivant des essais.

- La droite expérimentale a une ordonnée à l'origine faible (1,40 cm) qu'on peut théoriquement considére r ._omme négligeable. En effet quand 1 tend vers zéro

c'est - à-dire que ~ est grand . la poussée exercée sur lestéléments de peau (murs sans armature) sera telle que la rigidité de la peau sera insuffisante pout retenir les rouleaux.

- L'interprétation de la droite expérimentale est un problème complexe car les autres paramètres sont plus ou moins liés entre eux. En particulier, le coefficient de poussée est lié à la rigidité de la peau et au poids spécifique.

Pour un poids spécifique donné, plus la peau est rigide et plus l'état du milieu est proche de l'état de repos.

Par contre, pour une peau donnée, plus le poids spécifique est grand plus la poussée est forte et plus la rigidité de la peau est négligeable.

59

v - CONCLUSIONS

L'étude du comportement d'un mur rectangulaire armé de façon uniforme et supportant un remblai à surface libre horizontale est complexe car il est difficile de connaître la répartition interne des efforts. Les modèles bidimerrs­sionneffi utilisés (méthode des rouleaux de Taylor - Schneebeli) n'ont permis qu'une étude globale avec une analyse de l'influence des paramètres principaux. A cause du non respect de la similitude et des conditions de frottement terre -armatures, seul le cas de la rupture avec cassure des armatures a été étudié.

Ils ont cependant mis en lumière la non concordance entre les résultats expérimentaux de la hauteur critique et les résultats théoriques classiques utilisant les hypohtèses de la répartition de type trapézoïdale ou de Meyerhof. Cette non concordance confirme ainsi les résultats des mesures effectuées sur des ouvrages reels (Incarville, Dunkerque). Ils ont permis en plus de prec~ser la courbe de la répartition des contraintes à la base d'un mur en terre armée.

L'étude de l'influence des différents paramètres intervenant dans la stabilité interne du mur montre que la hauteur critique est proportionnelle à RT, 1/ Ah et I/i et que la rigidité des éléments de peau, rigidité qui influe sur l'état du milieu, joue un rôle important et ajoute un terme supplé­mentaire à la formule de la hauteur critique.

60

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[9] SCHLOSSER, La terre armée : Recherches et réalisations, Techniques Routières, Bruxelles, Septembre 1972. Bulletin de Liaison des Laboratoires des Ponts et Chaussées nO 62 (nov. -déc. 1972)

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ABSTRACT

The study of reinfOrced earth walls using two·dimensional reduced-scale models

Reinforced earth, illvented by H. Vidal, is now a well-knowll material and is widely used in the civil engineering field.

In 1 D67 thc Laboratoire Central des Ponts et Chaussées undcl'took the Hrst rl'search on strucLl1I'al dcsign, using two=t'\imensional redltCed-scale models in which the eurlll is rcpresentcd by ste cl cylinclel's stackecl pnrallcl with one Hllother, the reinforCCllll'llts consist of aluminium strips, and thc skin is formcd of flcxible plastic clelllcnts.

Tests carricd out madc it possible to visualize the dilfercnt types of failure of rcinforced eartll walls and to make a systelllatic study of thc influcnce of most of thc paramcters involved in thc cnIctllation of failul'e llCight, namcly the length and strcngth of the rcinforcemcllts, thc hcight of the skin elcmcnts, and thc dcnsity of thc fill.

The rcsults of thesc tests l'c\'calcd a ccrtain disagrecl11ent betwcen the cxperimental rcsults of failure IlCight and the theol'etical results derived from structural design formulae.

They also showcd that the rigidity of thc skin clements, which influences the state of the medium; plays an important l'ole and adds an l'xtra te l'ln to thc formula of critical height.

ZUSAMMENFASSUNG

Untersuchungen an Mauern aus armierter Erde an Hand zweidimensionaler Modelle

Die von H. Vidal erfundene armierte Erde ist heute ein hekanntes Matcrial, das weitestens im Bauwesen Einsatz flndct.

Sdt dem Jahre 1907 führt das L.C. P.C. (Zentrallaboratorium fUr StrasScll- und Brückenbau) Bcmcssungs­vCl'suche an Hand zweidimensionaler l\Iauermodelle. Dabei winl die Erde dureh parallel zueinandcr übcrlagerte Stahlzylinder el'setzt. Aus Aluminiumfolic ausgestanzte Biindcr bilden die Bewehl'ungen, flexible Plastik-Elementc die Haut.

Die cinzelnen Versuehe erlaubell..schlüsse über die vcrschiedcnen, bei den Mauern aus armiertcl' El'de zu erwartendcn Bruchformen zu zichéii"ûrid 'dic mcistel1 Pommeter, die die Bruchhohe becinflussen, wie Lange und Festigkcit der Bewehl'tlllgen, I-Iohe der Hautclemente und spezifisches Gewicht der Auf­schüttmaterialiel1, systematisch zn untersllchen.

Die Versuchc zeigen, dass, bezüglich der Bruchhohe, eine gcwisse Diskordanz zwischel1 deu exp eri­mcntellen und den in Anlchnung an die Bemessungsformeln erhaltenen theoretischen Resultaten besteht.

Sic zeigen weiter, dass die Steifigkeit der Hautelemente - Parameter, der den Zustand des Komplexes bceinflusst - ein ausschlaggcbendcr Faktor ist und aIs solcher in der Beziehung der kritischen Hohe aIs zusatzliches Glied zu bcrüeksjchtigen ist.

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RESUMEN

Estudio de los muros de tierra armada en modelos reducidos bidimensionales

La ticrn~ armada, invcntada pOl' H. Vidal, actualmcntc cs un material cOllocido y mnpliamcnte utl\izado en el ambito dc las ohms dc ingcnieria civil.

Ya cn 1967, el Laboratorio Central de Caminos y Pucntes cmprcndi6 las primcras invcstigaciones sobre cl dimcnsionamiento basundosc en modclos rcducidos bidimensionales de muros {!Il los que la tierm cstâ reI?rcsentada. pOl' cilindros dc aeero apilados paralclamente unos con otros, las armaduras estun consti­tmdas pOl' Cll1tas recol-tadas dc hojas de aluminio y la picl esta formada por clementos flexiblcs dc matcria plustica.

l\:Iediantc los ensayos efectuados cupo visualizar los distintos tipos dc ruptllnt de los muros de tien'a arm,ada y. csludiul' sistcmâticamcnte la influencia de la mayoria dc los parumctros quc intcrvienen cn el calculo dc la altura de ruptura, csto es la longitud y la resistcncia de las armaduras, la altura de los e1emcntos de picl y el peso cspeciflco deI rc11cno. .

Los rcsultados de los ensayos pusieron dc maniflesto cicrta discordancia cntrc los rcsultados cxpcri­men~ales dc la altllra de rllptura y los rcsllltados tc6ricus correspondicntcs a formulas de dimensio" namlCnto.

Demuestran, ademâs, que la rigidez ' dc los clementos dc piel, rigidez que influye cn lc cstado deI media dcsempeiia un importante papcl y agrcga un ténnino adicional a la formula dc la altma critica. '

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Imprimé au LCPC, 58 bd Lefebvre · 75732 PARIS CEDEX 15, sous le numéro 502430

Dépôt légal: 4e trimestre 1973