1Pendahuluan Logika SPL

PENDAHULUANPENDAHULUAN

Jurusan Matematika FMIPA UGM

MATA KULIAH BERSAMAFMIPA UGMFMIPA UGM

MATEMATIKA KONTEKSTUAL

Judul, Kode, dan kredit

• Matematika Kontekstual • MMB-1000

• 2 SKS

04/27/23 JURUSAN MATEMATIKA FMIPA UGM 2

3

Solusi interdidiplin

Solusi Matematika

terapan

Solusi Analisi

sSolusi

Aljabar

Solusi Statistika

Masalah nyata

Matematika Kontekstual

Deskripsi Mata kuliah :Kuliah ini mempertajam dan memperluas wawasan matematika serta

membangun • pola pikir yang logis• Kritis dan • analitis • melalui contoh-contoh masalah nyata.

Silabus:•logika matematika•sistem persamaan linear•transformasi linear dan matriks •limit, derivatif, dan integral•Pemodelan dasar terkait eksponensial, logaritma, irisan kerucut dan trigonometri•analisis statistik deskriptif.

Memberikan gambaran pemahaman dan pemakaian lebih luas pada pengertian dasar matematika: limit, derivatif, integral, sistem persamaan linear, transformasi linear, matriks, trigonometri, dan irisan kerucut.

4

Tujuan:

MatematikaKontekstual

Mahasiswa memahami eksponensial dan logaritma serta irisan kerucut dan pemakaiannya pada masalah sehari-hari.

5

Keluaran Pembelajaran:

MatematikaKontekstual

Jadual Mingguan (1)

1. Pendahuluan dan Logika2. Masalah sehari hari yang dapat dimodelkan dalam Sistem ‐

Persamaan Linear3. Penggunaan Matriks dan Transformasi Linear dalam Masalah

Geometri dan Komputasi4. Penerapanan fungsi eksponensial dan logaritma5. Irisan kerucut6. Limit7. Derivatif8. UTS


Jadual Mingguan (2)

9. Latar belakang dan penggunaan integral10. Latar belakang dan penggunaan integral11. Penjelasan fungsi-fungsi trigonometri 12. Penjelasan fungsi-fungsi parameter seperti sikloida dengan

alat peraga atau simulasi13. Konsep berpikir statistika14. Implementasi: analisis statistik deskriptif15. Implementasi: aplikasi di biostatistika16. UAS


Penilaian

No

Komponen Prosentase

1. Tugas 20%2. Ujian Tengah Semester 40 %3. Ujian Akhir Semester 40 %

TOTAL 100 %


Referensi

• Brendenberger, B.M.Jr., Mathematics, Vol. 1 Ab-Cy, Macmillan reference USA, Thomson Gale, 2002.

• C.H Edwards, The historical development of the calculus, Springer-Verlag, 1979• F.E. Burk, A garden of integrals, The Mathematical Association of America,

2007• C.B Boyer, the history of the calculus and its conceptual development, Dover

Publications, 1949• J.V Grabiner, The origins of Cauchy’s rigorous calculus, dover Publications,

1981 • J.S Bardi, The calculus wars:Newton, Leibniz and the greatest mathematical

clash of all time, Thunder’s mouth press, New York, 2006 • J. Stewart, Calculus, Brooks/Cole Publishing Company, 1999• http://www.intmath.com• http://www.math.wpi.edu/IQP/BVCalcHist/calctoc.html, The History of the

Calculus and the Development of Computer Algebra Systems, download 20 Mei 2011.


LOGIKALOGIKA




Saat Musim Hujan

A

A menyimpulkan hujan terjadi di jalan menuju tujuan (arah berlawanan) karena:

1. Melihat fenomena jalan basah pada sisi dari arah berlawanan, sedangkan jalan yang ditempuhnya tidak basah hingga di km 4

2. Kejadian itu disebabkan oleh hujan, karena sedang musim hujan.

3. Hujan tidak terjadi sebelum dan pada km 4.

4. Air di jalan arah berlawanan terbawa oleh roda kendaraan dari kilometer setelah ke-4

Apakah A menarik kesimpulan secara logis ?

1. Kalimat ke-1 sesuai fakta (kondisi di lapangan)2. Kalimat ke-2 masuk akal, meskipun mungkin bukan

satu-satunya penyebab (contohnya: Kegiatan yang dengan sengaja menyiram sisi jalan dari arah berlawanan)

3. Kalimat ke-3 sesuai fakta4. Jika kalimat ke-2 benar, maka kalimat ke-4 benar.

Pernyataan

Perhatikan Kalimat:1. Setelah kilometer ke-4, jalan yang dilalui A kering.2. Apa yang terjadi ?3. Anda dapat memperoleh informasi tentang UGM melalui

http://www.ugm.ac.id4. Sifat ujian: Buku Tertutup5. Dalam reaksi kimia antara hidrogen dan oksigen

berlaku: 6. Grafik fungsi f dengan persamaan

memotong sumbu X di empat titik yang berbeda

2 2 22 2H O H O

3 24 3 100f x x ax x

Kalimat Deklaratif

Definisi: Kalimat deklaratif adalah kalimat yang dapat ditentukan benar atau salah

Contoh:

1. Kampus UGM sebagian besar berada di Kabupaten Sleman2. Grafik fungsi f dengan persamaan

memotong sumbu X di empat titik yang berbeda

3. Dalam reaksi kimia antara hidrogen dan oksigen berlaku:

4. Becak merupakan kendaraan beroda tiga.

5. Setiap orang perlu makan nasi

4 2( ) 3 2 1f x x x

2 2 22 2H O H O

Contohnya: 1. Tidak benar kampus UGM sebagian besar berada di Kabupaten Sleman Kampus UGM sebagian besar tidak berada di Kabupaten Sleman.

2. Tidak benar grafik fungsi f dengan persamaan

memotong sumbu X di empat titik yang berbeda.

Grafik fungsi f dengan persamaan

tidak memotong sumbu X di empat titik yang berbeda.

3. Tidak benar dalam reaksi kimia antara hidrogen dan oksigen berlaku Dalam reaksi kimia antara hidrogen dan oksigen tidak berlaku

4 2( ) 3 2 1f x x x

4 2( ) 3 2 1f x x x

2 2 22 2H O H O

2 2 22 2H O H O

2. Doni memperoleh beasiswa; sedangkan Toni tidak.• P := Doni memperoleh beasiswa• Q := Toni tidak memperoleh beasiswa

3. Bilangan real x dan y memenuhi dan

• P := Bilangan real x dan y memenuhi

• Q := Bilangan real x dan y memenuhi

2 3 15x y 4 18x y

2 3 15x y

4 18x y

Tentukan Nilai Kebenaran Kalimat Berikut:

1. Gudeg merupakan makanan khas Yogyakarta dan salak pondoh merupakan buah hasil perkebunan di Sleman.

2. Proses fotosintesis memerlukan oksigen dan air. 3. Di Fakultas MIPA tersedia fasilitas Perpustakaan, tetapi tidak

semua mahasiswa mengetahuinya.4. Besarnya gaya yang bekerja pada benda jatuh bebas

ditentukan oleh besarnya gravitasi bumi dan volume benda.5. Jumlah besar sudut-sudut segitiga dan luas suatu

lingkaran sama dengan keliling lingkaran dibagi dua kali jari-jari lingkaran.

0180

Nilai Kebenaran Konjungsi

• Suatu Konjungsi dikatakan Benar jika setiap kalimat penyusunnya bernilai benar

P Q T T T

T F F

F T F

F F F

P Q

• Contoh:1. Mahasiswa bisa pergi ke kampus UGM dengan berjalan kaki

atau naik bis kota P := Mahasiswa bisa pergi ke kampus UGM dengan jalan kakiQ := Mahasiswa bisa pergi ke kampus UGM dengan naik bis kota

: = Mahasiswa bisa pergi ke kampus UGM dengan berjalan kaki atau mahasiswa bisa pergi ke

kampus UGM dengan naik bis kota

P Q

2. Sifat ujian akhir “Buku Tertutup” atau “Buku Terbuka”.

P := Sifat ujian akhir “Buku Tertutup”.Q := Sifat ujian akhir “Buku Terbuka”.

: = Sifat ujian akhir “Buku Tertutup” atau sifat ujian akhir “Buku Terbuka”.

3. Sumber karbohidrat utama bagi orang Indonesia diperoleh dari ketela atau nasi atau sagu :

P := Sumber karbohidrat utama bagi manusia Indonesia diperoleh dari ketela. Q := Sumber karbohidrat utama bagi manusia Indonesia diperoleh dari nasi.

R := Sumber karbohidrat utama bagi manusia Indonesia diperoleh dari sagu

P Q

P Q R

Tentukan kebenaran kalimat berikut ini:

1. Proses fotosintesis menghasilkan air atau oksigen.2. Biaya hidup saya berasal dari orang tua atau saya harus

bekerja untuk memperolehnya. 3. Selain diambil santannya, buah kelapa dapat dibuat minyak

kelapa atau virgin coconut oil (VCO). 4. (Diberi fakta: Pada rangkaian di samping

A sumber listrik, B dan C saklar, Lampu di titik D menyala) DSaklar B on atau saklar C off. A

B

C

Nilai Kebenaran Disjungsi

• Suatu Disjungsi dikatakan Benar jika ada pernyataan penyusunnya yang bernilai benar

P Q

T T T

T F T

F T T

F F F

P Q

ImplikasiPernyataan majemuk yang menggunakan katapenghubung: Jika ………, maka ………Bila ………., maka……..

Contoh:1. Jika skor akhirmu kurang dari 40, maka kamu mendapatkan

nilai E.2. Jika bilangan real dan , maka rasional.3. Sebuah balok 6 kg diam di puncak bidang miring kasar yang

memiliki sudut kemiringan terhadap arah horizontal. Jika balok dibiarkan bebas, maka balok akan meluncur menuruni bidang dan dalam waktu 2,5 detik menempuh jarak 4 m

2 3 2 0x x x x

30

4. Bila kalor pembakaran asetilena pada reaksi

adalah ; sedangkan kalor pembentukan

maka menurut Hukum Hess, kalor pembentukan asetilena adalah a – 2b – c

Di antara kalimat di atas manakah yang menurut andabenar dan mana yang salah ?

2 2 2 2 21(g) 2 (g) 2 (g) (l) 2

C H O CO H O

kkal/molH a

2 2(g) : kkal/mol dan (l) : c kkal/molCO b H O

Nilai Kebenaran Implikasi

• Suatu Implikasi dikatakan Benar jika antiseden bernilai Salah atau konsekuen bernilai Benar

P Q

T T T

T F F

F T T

F F T

P Q

Bi-implikasiKalimat majemuk yang dirangkai menggunakan kata penghubung: ……..jika dan hanya jika…….

Contoh: 1. Mahasiswa dinyatakan lulus Kalkulus jika dan hanya jika total skor akhir

yang terdiri dari komponen Tugas Rumah, Kuis, Ujian Sisipan, dan Ujian Akhir tidak kurang dari 60

2. jika dan hanya jika 3. Bibit pisang disebut bibit pisang kultur jaringan jika dan hanya jika bibit

pisang tersebut dihasilkan melalui biakan jaringan (sel meristem) pada media buatan dalam laboratorium (in vitro)

Pertanyaan: Manakah di antara ke 3 pernyataan tersebut yang benar ?

P Q

1 1x x 3 22 3 2 0x x x

Nilai Kebenaran Bi-Implikasi

• Suatu Bi-Implikasi dikatakan Benar jika antiseden dan konsekuen memiliki nilai kebenaran yang sama

P Q

T T T

T F F

F T F

F F T

P Q

MASALAHSeorang mahasiswa mempunyai 5 (lima) lembar kartu. Kartu tersebut akan

diberi satu nomor di

antara { 1, 2, 3, 4, 5 }, dengan ketentuan:1. Tidak boleh ada nomor yang sama untuk kartu yang berbeda2. Pemberian nomor mulai dilakukan pada kartu yang paling kiri3. Jika kartu paling kiri telah dinomori dengan nomor k, maka sebanyak 5 - k

kartu mulai dari paling kiri satu persatu dipindah ke sebelah kanan kartu paling kanan.

4. Jika setelah pemindahan, kartu paling kiri sudah memiliki nomor, sedangkan pada kartu yang lebih kanan masih ada yang belum

bernomor, maka penomoran dikatakan gagal 5. Jika kartu paling kiri belum bernomor, langkah ke-2 dilakukan lagi.

Apakah mahasiswa tersebut berhasil ?

a b c d e

Contoh Penyelesaian:

1. Kartu paling kiri tak mungkin dinomori 5. Sebab: Jika diberi nomor 5, maka sebanyak 5 – 5 = 0 kartu paling kiri dipindah ke sisi paling kanan. Akibatnya setelah “pemindahan” terjadi menyalahi syarat 4.

2. Jika kartu paling kiri dinomori 1, maka 4 kartu dari paling kiri dipindah ke sisi paling kanan. Diperoleh

3. Kartu paling kiri hanya mungkin dinomori 2 atau 3 atau 4. Jika dinomori 2, maka sebanyak 3 kartu dari paling kiri (1 per satu) dipindah ke paling kanan. Diperoleh

1

2 1

4. Kartu paling kiri hanya mungkin diberi nomor 3 atau 4. Jika dinomori 3, maka sebanyak 2 kartu dari paling kiri dipindah ke sisi paling kanan. Diperoleh

5. Kondisi ini bertentangan dengan syarat ke-4 . Dapat disimpulkan penomoran mengikuti pola 1, 2, 3 tidak memenuhi syarat.

4b. Kartu paling kiri hanya mungkin dinomori 3 atau 4 . Jika dinomori 4, maka sebanyak 1 kartu dari paling kiri dipindah ke paling kanan. Diperoleh

2 1 3

2 1 4

Coba anda jawab dan beri alasan!:

1. Jika penomoran gagal dilakukan, mengapa ? 2. Jika penomoran berhasil dilakukan tunjukan langkah-

langkah anda !

Metode Pembuktian1. Bukti Langsung (Modus Ponens):

Diketahui: (Benar)Jika (Berlaku/terjadi)maka (Dapat disimpulkan)

2. Bukti Tidak langsung (Reductio Ad absurdum) Tautologi:

Diketahui: (Benar)Jika (Berlaku/terjadi)maka (Dapat disimpulkan)

P QP

Q

P QQ

P

Contoh Modus ponens:Tentukan faktorisasi polinomial

Sifat : Jelas: Dapat disimpulkan: dan

2( ) 4 3p x x x

0p a x a p x

1 0p

21 4 3x x x

2 4 3 1 3x x x x

Contoh bukti tidak langsung

Kuantifikasi

Bandingkan kalimat berikut:1.Mahasiswa mengikuti kuliah tepat waktu2.Setiap mahasiswa mengikuti kuliah tepat waktu3.Semua mahasiswa mengikuti kuliah tepat waktu4.Sebagian mahasiswa mengikuti kuliah tepat waktu5.Terdapat mahasiswa yang mengikuti kuliah tepat waktu6.Ada mahasiswa yang mengikuti kuliah tepat waktu

Manakah yang benar ?

Contoh 2:1.Akar kuadrat dari bilangan real merupakan bilangan real. 2.Akar kuadrat dari setiap bilangan real merupakan bilangan real. 3.Akar kuadrat dari sebagian bilangan real merupakan bilangan real. 4.Ada bilangan real yang akar kuadratnya merupakan bilangan real5.Terdapat bilangan real yang akar kuadratnya merupakan bilangan real

Kesimpulan: Penambahan kuantor universal (setiap, semua) atau kuantor eksistensial (ada, terdapat) merubah kalimat terbuka menjadi kalimat yang bernilai benar atau salah

1. Terdapat pelepasan kalor sebesar J , pada reaksi antara 50 ml larutan KOH 1 M pada suhu dengan 50 ml asam asetat 1 M pada suhu , dengan suhu campuran hasil reaksi sebesar

2. Ada bilangan prima yang terletak antara 345 dan 567.

3. Pada masa embrio, terdapat pembesaran otak yang memiliki fungsi masing-masing.

4. Dalam ruangan ini ada mahasiswa dan ada mahasiswi yang berasal dari kota yang sama tetapi mengambil program studi yang berbeda.

Kuantor Jenis lain

Contoh:1.Ada tepat satu organ tubuh manusia yang merupakan kelenjar penghasil enzim arginase yang berfungsi untuk menguraikan asam amino arginin menjadi asam amino ornitin atau urea Hanya ada satu organ tubuh manusia yang merupakan kelenjar penghasil enzim arginase yang berfungsi untuk menguraikan asam amino arginin menjadi asam amino ornitin atau urea

Sistem Persamaan LinearSistem Persamaan Linear




Motivasi

Diagram Alur SPL

Masalah/Problem SPL Matriks Augmented

BentukEselonBaris

tereduksiSPL BaruSolusi/

Penyelesaian

Sistem Persamaan Linear (SPL)

Persamaan linear :Suatu persamaan dalam n variabel disebut persamaan linear jika persamaan tersebut dapat dinyatakan dalam bentuk

Dengan bilangan real

1 2, ,..., nx x x

1 1 2 2 ... n na x a x a x b 1 2, ,..., ,na a a b

Penyelesaian persamaan linear

Adalah barisan n bilangan Sehingga persamaan dipenuhi jika disubstitusikan

1 1 2 2 ... n na x a x a x b

1 2, ,..., ns s s

1 1 2 2, ,..., n nx s x s x s

Sistem Persamaan Linear (SPL)

04/27/23 48JURUSAN MATEMATIKA FMIPA UGM

MATRIKS

MATRIKS

• Mengapa matriks?• Operasi matriks : jumlahan dan perkalian• Invers • Determinan Matriks

Contoh-contoh Matriks

Komponen yang terdapat dalam sebuah matriks

1. Ukuran atau ordo matriks• Dinyatakan dalam m x n;• m menyatakan banyaknya baris dan n menyatakan banyaknya

kolom matriks tersebut.2. Elemen-elemen suatu matriks

Contoh ukuran matriks

adalah matriks berukuran 2x2

adalah matriks berukuran 3x2

Notasi suatu matriks

menyatakan elemen matriks A pada posisi baris ke-i dan kolom ke-j

Operasi Penjumlahan Matriks

Contoh penjumlahan matriks

• Catatan : ukuran matriks harus sama.

Operasi Perkalian Matriks (1)

• Diberikan matriks A (m x n) dan B (n x p)

Operasi perkalian matriks (2)

Hasil kali A dan B adalah matriks C yang berukuran m x p dengan elemen-elemennya

Contoh perkalian matriks

• Matriks 2x2

Determinan matriks 2x2

• Diberikan matriks A (2 x 2)

• Determinan A adalah

Invers matriks

• Matriks A (2 x 2) dikatakan mempunyai invers jika terdapat matriks B (2 x 2) sehingga AB = BA = I, dengan I matriks identitas.

• Matriks B disebut invers matriks A.• Tidak setiap matriks mempunyai invers. Matriks yang

mempunyai invers disebut matriks invertibel.

Menghitung invers matriks berukuran 2 x 2 (1)

• Diberikan matriks A dan misalkan matriks B merupakan invers matriks A. Akibatnya

Rumus Invers Matriks

Contoh Invers Matriks

• Diberikan matriks A berikut

• Invers A adalah

Ruang Berdimensi 2

• Ruang berdimensi 2 merupakan kumpulan titik-titik berikut

• Anggota / elemen pada ruang berdimensi 2 disebut vektor dengan dua komponen.

Ruang Berdimensi 3

• Ruang berdimensi 3 merupakan kumpulan titik-titik berikut

• Anggota / elemen pada ruang berdimensi 3 disebut vektor dengan tiga komponen.

Transformasi linear pada ruang dimensi 2 dan 3

Transformasi linear f adalah fungsi atau yang mempunyai sifat

Contoh transformasi linear pada ruang dimensi 2

• Pencerminan terhadap sumbu x• Proyeksi terhadap sumbu y• Rotasi sebesar 90 derajat berlawanan arah dengan jarum jam

Matriks representasi pencerminan terhadap sumbu x (1)

• Diberikan fungsi berikut

dengan definisi

Namakan

Matriks representasi pencerminan terhadap sumbu x (2)

• Pemetaan tersebut dapat dinyatakan sebagai

• Dapat dicari bayangan titik P (2,4) ketika dicerminkan terhadap sumbu x sbb :

Matriks representasi proyeksi terhadap sumbu x (1)

• Didefinisikan proyeksi terhadap sumbu x di ruang berdimensi 3 sebagai berikut

• Namakan

Matriks representasi proyeksi terhadap sumbu x (2)

• Jadi proyeksi terhadap sumbu x di ruang berdimensi 3 dapat dinyatakan dengan

• Bayangan titik P (1,2,3) adalah

Documents

1Pendahuluan Logika SPL