References 1

Materiały do cwiczen z Równan Rózniczkowych Zwyczajnych.

Opracowanie: Magdalena ChmaraLITERATURA: [Jan13], [WK15], [GS00], [Tre13], [NN01], [Kam99],

references[Tre13] William F. Trench. Elementary Differential Equations with Boundary Value Problems. Faculty Authored Books,

Book 9. 2013. url: http://digitalcommons.trinity.edu/mono/9.

[Kam99] Zdzisław Kamont. Równania Rózniczkowe Zwyczajne. Wydawnictwo Uniwersytetu Gdanskiego, Gdansk,1999.

[Jan13] Kazimiera i Tadeusz Jankowscy. Zadania z matematyki wyzszej. Wydawnictwo Politechniki Gdanskiej,Gdansk, 2013.

[NN01] J. Niedoba and W. Niedoba. RÓWNANIA RÓZNICZKOWE ZWYCZAJNE I CZASTKOWE. ZADANIA ZMATEMATYKI. UCZELNIANE WYDAWNICTWA NAUKOWO-DYDAKTYCZNE AGH, Kraków, 2001.

[WK15] L. Włodarski and W Krysicki. Analiza matematyczna w zadaniach czesc 2. Wydawnictwo Naukowe PWN,Warszawa, 2015.

[GS00] Marian Gewert and Zbigniew Skoczylas. Równania rózniczkowe zwyczajne. Teoria, przykłady, zadania. Ofi-cyna Wydawnicza GiS, Wrocław, 2000.

1 podstawowe pojęcia: równanie, rozwiązanie, zagadnienie cauchy’ego

Teoria: 1: [Tre13][Kam99]

Definicja 1. Równaniem rózniczkowym nazywamy równanie, które zawiera pochodna (lub pochodne)szukanej funkcji. Jesli funkcja ta jest funkcja jednej zmiennej, to równanie to nazywamy równaniemrózniczkowym zwyczajnym.

Zazwyczaj bedziemy zajmowac sie równaniami postaci

y(n)(t) = f(t,y(t),y ′(t), ...,yn−1(t)), (1)

gdzie t ∈ (a,b). Równanie (1) ma te własnosc, ze funkcja niewiadoma i jej pochodne wystepuja przy tychsamych wartosciach zmiennej niezaleznej t. Dlatego stosujemy skrócony zapis równania

y(n) = f(t,y,y ′, ...,yn−1) (2)

Definicja 2. Rzedem równania rózniczkowego nazywamy rzad najwyzszej pochodnej, która zawiera to rów-nanie.

Definicja 3. Rozwiazaniem (klasycznym) równania rózniczkowego n-go rzedu nazywamy funkcje n-krotnierózniczkowalna na pewnym otwartym przedziale (a,b), która spełnia to równanie na (a,b).

Definicja 4. Rozwiazaniem uogólnionym w sensie Caratheodory’ego (słabym) równania rózniczkowegon-go rzedu nazywamy funkcje prawie wszedzie n-krotnie rózniczkowalna na pewnym otwartym przedziale(a,b), która spełnia to równanie dla prawie wszystkich t ∈ (a,b).

Definicja 5. Wykres rozwiazania równania rózniczkowego nazywamy krzywa rozwiazania. Mówimy, zekrzywa C jest krzywa całkowa równania rózniczkowego jesli kazda funkcja y = y(t), której wykres jestfragmentem krzywej C jest rozwiazaniem tego równania.

Kazda krzywa rozwiazania równania rózniczkowego jest krzywa całkowa, ale krzywa całkowa nie musi byckrzywa rozwiazania.

Definicja 6. Równanie rózniczkowe (1) z warunkiem poczatkowym

y(t0) = y0 y ′(t0) = y1 ... yn−1(t0) = yn−1 (3)

nazywamy zagadnieniem poczatkowym lub zagadnieniem Cauchy’ego.

Definicja 7. Funkcje y : (a,b) → Rn nazywamy rozwiazaniem zagadnienia poczatkowego (1)-(3) jesli jestn razy rózniczkowalna na (a,b) oraz spełnia równanie (1) dla kazdego t nalezacego do (a,b) takiego, zet0 ∈ (a,b) oraz y spełnia watunki poczatkowe (3).

1 podstawowe pojęcia: równanie, rozwiązanie, zagadnienie cauchy’ego 2

Zadanie 1.1. Prosze wykazac, ze funkcja x = x(t) jest rozwiazaniem danego równania rózniczkowego na zadanymprzedziale:

(a) x(t) = −ln(1− et), x ′ = et+x, t ∈ (−∞, 0),

(b) x(t) = −s0 + v0t+at2

2 x ′′ = a, t ∈ R, gdzie s0, v0,a - stałe,

(c) x(t) = C exp((a− b)t), x ′(t) = (a− b)x(t), gdzie a,b,C ∈ R

Uwaga: Jesli przez a oznaczymy liczbe urodzen, przez b liczbe zgonów, zas przez x(t) liczbe osobników wchwili t, to równanie x ′(t) = (a− b)x(t) opisuje (w pewnym uproszczeniu) rozwój duze izolowanej populacjiosobników jednego gatunku (tzw. prawo Malthusa).

Zadanie 1.2. Prosze sprawdzic, ze funkcja m(t) = Ce−kt jest rozwiazaniem równania rózniczkowego m ′(t) =

−km(t) (gdzie t ∈ [0,∞), C > 0 ) opisujacego rozkład substancji radioaktywnej. Nastepnie wyznaczyc stałe k i Coraz mase pewnej substancji w chwili poczatkowej jesli wiemy, ze po upływie 4 lat zostało 20g tej substancji, a podalszych 4 latach tylko 4g. Naszkicowac krzywa całkowa tego równania dla wyliczonych stałych.

Zadanie 1.3. [Kam99, Przykład 0.5 str.10] Prosze sprawdzic, ze krzywe postaci y = Ct dla C ∈ R,

(a) t ∈ (−∞, 0) (b) t ∈ (0,∞)

maja te własnosc, ze odcinek stycznej zawarty pomiedzy osiamu układu współrzednych jest podzielony napołowy przez punkt stycznosci.

Zadanie 1.4. 1 Prosze sprawdzic, ze podana funkcja jest rozwiazaniem podanego równania rózniczkowego, a nastep-nie znalezc rozwiazanie spełniajace zadane warunki poczatkowe. Okreslic przedział istnienia rozwiazania.

(a) x(t) = (t+C) sin t, x ′ − x ctg t = sin t, x(π/2) = π/2.

(b) x(t) = −√c− t2 xx ′ = −t x(0) = −1.

Zadanie 1.5. 2 Prosze znalezc równanie rózniczkowe, gdy dana jest jego całka ogólna

(a) y(x) = Cx5,

(b) y(x) = C1 sin x+C2 cos x,

(c) y(x) = C1x+C2x2 +C3ex.

Zadanie 1.6. 3 Prosze rozwiazac równanie

(a) x ′ = 1t2

sin 1t ,

(b) y ′ = xex,

(c) y ′′ = 6x+ sin x+ ex

Zadanie 1.7. 4 Prosze znalezc całke szczególna zagadnienia Cauchyego

(a) dxdt = cos t, x(π/2) = 2,

(b) y ′ = (sin2 x cos2 x)−1, y(π/4) = 0,

(c) y ′′′ = 2x+ 1, y(2) = 1, y ′(2) = −4, y ′′(2) = 7.

Zadanie 1.8. Prosze dopasowac równanie rózniczkowe do pola kierunkowego

1. x ′ = t+ x,

2. x ′ = − tx ,

3. x ′ = x+ 1,

4. x ′ = x2 − t2.

1 a) C = 0,t ∈ (−kπ, (−k+ 1)π) k ∈ Z b) C = 1, t ∈ (−1,1)2 a) xy ′ = 5y b) y ′′+y = 0 c) y ′′′( 32 −x)+y ′′(x− 1

2 )+y′ = y = 0

3 a) x(t) = cos 1t +C, b) y(x) = (x− 1)ex+C c) y(x) = x3− sinx+ ex+C1x+C24 a) x(t) = sin t+ 1, b) y(x) = tg x− ctg x, c) y(x) = x4/12+x3/6+x2/2−(32/3)x+ 53/3

2 równania różniczkowe liniowe 3

2 równania różniczkowe liniowe

Teoria: 2: Równania Rózniczkowe Liniowe

Definicja 8. Równania rózniczkowe pierwszego rzedu nazywamy liniowym jesli jest ono postaci

y ′(t) + p(t)y(t) = f(t),

gdzie f,p sa funkcjami ciagłymi na pewnym przedziale. Gdy f(t) ≡ 0, to równanie nazywamy równaniemliniowym jednorodnym, w przeciwnym wypadku równaniem liniowym niejednorodnym.

Do równania tego mozemy dołaczyc warunek poczatkowy

Twierdzenie 1. [Kam99] Jesli p ∈ C((a,b), R) oraz (t0,y0) ∈ (a,b)×R, to zagadnienie

y ′(t) + p(t)y(t) = 0

y(t0) = y0

ma dokładnie jedno rozwiazanie, które jest okreslone na (a,b).

Twierdzenie 2. [Kam99] Jesli p, f ∈ C((a,b), R) oraz (t0,y0) ∈ (a,b)×R, to zagadnienie

y ′(t) + p(t)y(t) = f(t)

y(t0) = y0

ma dokładnie jedno rozwiazanie, które jest okreslone na (a,b) i jest dane wzorem

y(t) = y0 exp(−

∫tt0

p(s)ds

)+

∫tt0

f(τ) exp(∫τtp(s)ds

)dτ

Zadanie 2.1. Prosze okreslic, które z podanych równan sa liniowe, a jesli tak, to czy sa jednorodne czy niejed-norodne.

(a) xy ′ + 3y2 = 2x,

(b) yy ′ = 3,

(c) y ′ + xey = 12,

(d) dx+ (√t+ 1)dt = 0.

Zadanie 2.2. Prosze znalezc

(a) rozwiazanie ogólne równania y ′ − ay = 0,

(b) rozwiazanie szczególne zagadnienia y ′ − ay = 0, y(x0) = y0,

Zadanie 2.3 (T). Prosze uzasadnic, ze jezeli p(t) jest funkcja ciagła na pewnym przedziale, to rozwiazanie równaniarózniczkowego liniowego jednorodnego x ′(t) + p(t)x(t) = 0 jest okreslone wzorem x(t) = Ce−

∫p(t)dt, gdzie C jest

dowolna stała.

3 równania o zmiennych rozdzielonych

Teoria: 3: równania o zmiennych rozdzielonych

Definicja 9. Równaniey ′(t) = g(t)h(y(t))

gdzie g : (a,b) → R,h : (c,d) → R - dane fukcje, nazywamy równaniem rózniczkowym o zmiennychrozdzielonych

Twierdzenie 3. Niech

• g ∈ C((a,b); R), h ∈ C((c,d); R),

• t0 ∈ (a,b),y0 ∈ (c,d),

• h(s) 6= 0 dla s ∈ (c,d)

Wówczas istnieje dokładnie jedno rozwiazanie zagadnienia Cauchy’ego

y ′(t) = g(t)h(y(t))

y(t0) = y0,

które jest okreslone na pewnym przedziale otwartym I ⊂ (a,b) zawierajacym t0.

Zadanie 3.1. 5

Prosze znalezc rozwiazania ogólne ponizszych równan o zmiennych rozdzielonych

5 a)y = ±√a2−x2, b) y = (x2+C)−1 y ≡ 0c) y = 1+Ce

−x2

2

1−Ce−x2

2

y ≡ −1 d) e) y = ±√eC+e−x2

−1

4 twierdzenia o istnieniu i jednoznaczności dla równań nieliniowych 4

(a) yy ′ = −x,

(b) y ′ = 2xy2,

(c) y ′ = x(1− y2),

(d) (x+ xy2)dx+ ex2ydy = 0

(e) y ′ = t(1+ y2),

(f) x ′ = 2t+14y3+3

(g) y ′ = (x− 1)(y− 1)(y− 2)

(h) y ′ln(|y|) = −t2y

(i) t2xx ′ = (x2 − 1)3/2

Zadanie 3.2. 6 Prosze znalezc rozwiazani szczególne zagadnienia

(a) xy ′ + y ln x = 0, y(e) =√e,

(b) x ′ = 2t cos2 t, x(0) = π4 ,

(c) (3y2 + 4y)y ′ + 2x+ cos x = 0, y(0) = 1,

(d) t+ xx ′ = 0, x(3) = −4.

4 twierdzenia o istnieniu i jednoznaczności dla równań nieliniowych

Teoria: 4

Przez ‖ · ‖ oznaczac bedziemy norme w przestrzeni Rn. Rozwazamy problem poczatkowy:

y ′ = f(t,y), y(t0) = y0. (4)

Twierdzenie 4 (Picarda (lokalne), Tw.1.13 [Kam99]). Niech

D = (t,y) ∈ R×Rn : |t− t0| 6 a, ‖y− y0‖ 6 b.

Załózmy, ze

• f ∈ C(D, Rn),

• f spełnia lokalny warunek Lipschitza ze wzgledu na y w D, t.j. istnieje L > 0 takie, ze dla dowolnych(t,y1), (t,y2) ∈ D zachodzi

‖f(t,y1) − f(t,y2)‖ 6 L‖y1 − y2‖

Wówczas istnieje h > 0 takie, ze w przedziale [t0 − h, t0 + h] problem poczatkowy (4) posiada dokładnie jednorozwiazanie.

Uwaga 1. Zauwazmy, ze druga zmienna, tj. y nalezy do zbioru ograniczonego. W załozeniu mamy lokalnywarunek Lipschitz’a (dlatego nazywamy to twierdzenie lokalnym).

Uwaga 2. Jesli M = max‖f(t,y)‖ : (t,y) ∈ D > 0, to h = mina,b/M.

Uwaga 3. Warunek Lipschitza nie jest warunkiem koniecznym dla jednoznacznosci rozwiazania odpowied-niego zagadnienia Cauchy’ego.

Uwaga 4. Jesli odwzorowanie spełnia warunek Lipschitza, to jest ciagłe.

Uwaga 5. Jesli odwzorowanie jest klasy C1, to spełnia warunek Lipschitza.

Uwaga 6. Jesli f : [a,b] → R jest funkcja rózniczkowalna i spełnia warunek Lipschitza ze stała L > 0, to|f ′(x)| 6 L dla dowolnego x ∈ [a,b].

Twierdzenie 5 (Picarda-Lindelöfa , na zbiorze nieograniczonym, Tw. 1.22 [Kam99]). Załózmy, ze

• f ∈ C([a,b]×Rn; Rn)

• f spełnia globalny warunek Lipschitza ze wzgledu na y, t.j. istnieje L > 0 takie, ze

‖f(t,y1) − f(t,y2)‖ 6 L‖y1 − y2‖ na [a,b]×Rn

• (t0,y0) ∈ [a,b]×Rn

Wtedy istnieje dokładnie jedno rozwiazanie zagadnienia (4) okreslone na przedziale [a,b]

Uwaga 7. Zauwazmy, ze druga zmienna, tj. y nalezy do zbioru nieograniczonego, f spełnia globalnywarunek Lipschitza (dlatego nazywamy to twierdzenie globalnym).

Zadanie 4.1 (T). Korzystajac z twierdzenia o istnieniu i jednoznacznosci zagadnienia poczatkowego dla równaniarzedu pierwszego prosze uzasadnic, ze wskazane zagadnienia posiadaja jednoznaczne rozwiazania:

(a) x ′ = t− x2 x(0) = 0,

(b) dy =√y− tdt y(1) = 2.

Zadanie 4.2 (T). Prosze sprawdzic, czy prawe strony równan (5), (7), (9) z ponizszych zagadnien Cauchy’ego

6 a) y = e1−12 ln

2x b) x = arctg (t2+ 1)

5 równania sprowadzalne do równań o zmiennych rozdzielonych przez podstawienie 5

(a)

y ′ = sin xy+ 1 (5)

y(0) = 1 (6)

(b)

y ′ = 2√|y(t)| (7)

y(0) = 0 (8)

(c)

y ′ = 1+ 2√

|y(t)| (9)

y(0) = 0 (10)

spełniaja załozenia powyzszych twierdzen o istnieniu i jednoznacznosci. Czy zagadnienia te posiadaja jednoz-naczne rozwiazania (zobacz [Kam99, str. 27])?

Zadanie 4.3. [Kam99] Rozstrzygnac, dla jakich wartosci parametru k > 0 zagadnienie

y ′(t) = (y(t))k, y(0) = 0

ma wiecej niz jedno rozwiazanie na przedziale [0,b].

Zadanie 4.4. [Kam99] Wykazac, ze zagadnienie

y ′(t) = 3(y(t))2, y(0) = 1

nie ma rozwiazania okreslonego na półprostej [0,∞].

5 równania sprowadzalne do równań o zmiennych rozdzielonychprzez podstawienie

Teoria: 5: [WK15]

Równania

• typuy ′ = f(at+ by+ c),

gdzie a,b 6= 0, f jest funkcja ciagła, rozwiazujemy za pomoca podstawienia u = at+ by+ c.

• jednorodne tj. równanie y ′ = f(t,y) t.z.

∀A,t,y∈R f(At,Ay) = f(t,y),

gdzie obie strony sa okreslone. Zakładajac, ze t 6= 0 równanie to mozemy przekształcic do postaci

y ′ = f(yt

).

Tak przekształcone równanie rozwiazujemy za pomoca podstawienia u = yt .

• typu

y ′ = f

(a1t+ b1y+ c1a2t+ b2y+ c2

)Jesli

a1b2y− b1a2 6= 0, (11)

to stosujemy podstawienieu = t− t0, v = y− y0,

gdzie (t0,y0) jest rozwiazaniem układu

a1t+ b1y+ c1 = 0

a2t+ b2y+ c2 = 0

Z zalozenia (11) wiemy, ze układ ten ma dokładnie jedno rozwiazanie.Jesli a1b2 − b1a2 = 0, to zakładajac, ze b1 6= 0 lub b2 6= 0 mamy a2t+ b2y = k(a1t+ b1y), gdzie k jestwspółczynnikiem proporcjonalnosci. Wówczas podstawiamy u = a1t+ b1y.

Zadanie 5.1. 7 Prosze rozwiazac równania rózniczkowe

(a) y ′ = 4t+ 2y− 1

(b) x ′ = (t− x)2

(c) dydt = 9/(y+ t)2

(d) (x− y)2y ′ = 4

(e) y ′ = (3t+ y− 2)2 − 6t− 2y+ 2

(f) dxdt = 1

3x+2t − 3x− 2t+ 4

Zadanie 5.2. 8 Prosze rozwiazac równania rózniczkowe

(a) ty ′ = t− y

(b) (x+ t)x ′ + x = 0

(c) y ′ = yx + sin (yx )

(d) ty ′ = y(ln(y) − ln(t))

(e) z ′ = (x exp (−z/x) + z)/x

(f) x2y ′ = y2 + xy− x2

7 a) y(t) = −0.5− 2t+Ce2t b) x(t) = −1+ t+(0.5+Ce2t)−1 c) y(t)− 3arctg(1/3(y(t)+ t)) = C

8 a) y(t) = t/2+C/t) b) x(t) = −t±√e2C+ t2 c) y(x) = 2xarcctgxy(e−C/x) d) y(t) = teCt

6 równanie liniowe niejednorodne, metoda uzmienniania stałej, metoda przewidywań 6

Zadanie 5.3. 9 Prosze rozwiazac równania rózniczkowe

(a) 2(x− 2y+ 1) + (5x− y− 4)y ′ = 0,

(b) t− 2y+ 5+ (2t− y+ 4)y ′ = 0,

(c) x− 2y+ 9− (3x− 6y+ 19)dydx = 0

(d) 3xy(2dx+ dy) + x2(3dx+ 2dy) + 3y2dx

Zadanie 5.4. Prosze wyznaczyc całki szczególne nastepujacych zagadnien

(a) (x+ y)2y ′ = 4, y(0) = 2

(b) (ty ′ − y)ln(yx

)= x, y(1) = e

(c) xy ′ = y− x−1 cos yx , y(1) = π

Zadanie 5.5 (T). Niech f ∈ C(R, R). Rozpatrzmy równanie

y ′(t) = f(y(t)t

). (12)

Prosze wykazac, ze podstawienie z(t) = y(t)t sprowadza równanie (12) do równania o zmiennych rozdzielonych.

6 równanie liniowe niejednorodne, metoda uzmienniania stałej, metodaprzewidywań

Teoria: 6

Rozpatrzmy równania liniowe niejednorodne

y ′(t) + p(t)y(t) = f(t). (RLN)

Rozwiazanie ogólne (RLN) bedzie postaci:

y(t) = y0(t) + Y(t),

gdziey0(t) = Ce

−∫p(t)dt. (CORLJ)

jest całka ogólna równania liniowego jednorodnego

y ′(t) + p(t)y(t) = 0, (RLJ)

zas Y(t) jest całka szczególna równania liniowego niejednorodnego (RLN).

METODA UZMIENNIANIA STAŁEJ¯polega na zastapieniu stałej C w równaniu (CORLJ) przez nieznana funkcje C(t), która wybieramy w taki

sposób zebyY(t) = C(t)e−

∫p(t)dt (13)

spełniało (RLN).

METODA PRZEWIDYWAN¯moze byc stosowana, gdy p jest funkcja stała a f jest

• wielomianem stopnia n lub

• suma postaci α sinkt+β coskt lub

• typu aebt lub

• suma lub iloczynem funkcji z poprzednich podpunktów

Na podstawie postaci funkcji f przewidujemy postac rozwiazania Y(t)

f(t) przewidywane Y(t)w-n stopnia n ogólna postac w-nu stopnia n

α sinkt+β coskt A sinkt+B cosktaebt dla b 6= −p Aebt

aebt dla b = −p Atebt

Zadanie 6.1. 10 Prosze wyznaczyc całki ogólne nastepujacych równan rózniczkowych korzystajac z metody uzmi-enniania stałej

9 a) (x+y− 2)2 = C(2x− 2) b)t+ 2y+ 3ln|t+y− 2| c)3y−x = 8ln|x− 2y+ 1|+C

10 a) y(x) = Ce−3x + x2/3− 2x/9− 7/27, b) y(x) = (C+ 0.25x4)e−2x c) y(x) = C/x+ sinx+ cosx/x d) y(x) = (sinx)−1(C+ln(|tg(x/2)|))

7 równanie bernoulliego 7

(a) y ′ + 3y = x2 − 1

(b) y ′ + 2y = x3e−2x

(c) y ′ + yx = cos x

(d) y ′ + yctg(x) = sin−2 x.

(e) y ′ − ty = t exp (t2)

(f) tx ′ − x = 2t3

(g) y ′ cos x+ 2y sin x = 2 sin x

(h) y2x ′ − 2xy = 3x

Zadanie 6.2. 11 Prosze wyznaczyc całki ogólne nastepujacych równan rózniczkowych korzystajac z metody przewidy-wan

(a) x ′ + 2x = t3 + 5,

(b) x ′ − x = cos 3t+ e2t,

(c) dxdy + 2x = siny− 2 cosy

(d) y ′ − 3y = 4 exp(3x)

(e) x ′ + x = x sin x

(f) y ′ + 2y = 5x2e3x

Zadanie 6.3. 12

Prosze wyznaczyc całki szczególne nastepujacych zagadnien

(a) y ′ + y = e−t, y(0) = 5,

(b) y ′ − 2y = t(e3t − e2t) y(0) = 2

(c) ty ′ − 2y = 2t4 y(2) = 8

(d) y ′ + y = (x+ 1) sin 3x+ 3 cos 3x+ x2 − 2+ 2xe−x, y(0) = 1

(e) y ′ + 4x−1y = 1

(x−1)5+ sinx

(x−1)4, y(2) = 0

(f) y ′ − 3y = cos2(t) − sin2(t), y(π) = 1/13

7 równanie bernoulliego

Teoria: 7

Równaniem rózniczkowym Bernoulliego nazywamy równanie postaci

y ′ + p(t)y = f(t)ys, gdzie s 6= 0 i s 6= 1, (RB)

a funkcje p i f sa ciagłe w pewnym przedziale. (RB) rozwiazujemy stosujac podstawienie

z = y1−s, (14)

które sprowadza (RB) do równania liniowego.

Zadanie 7.1. 13 Prosze rozwiazac równanie

(a) y ′ − 3y = ety2,

(b) y ′ = y(xy3 − 1)

(c) 3xdy = y(1+ x sin x− 3y3 sin x)dx

(d) x ′ + x+ t√x = 0

Zadanie 7.2. Prosze znalezc rozwiazania szczególne ponizszych zagadnien

(a) y ′ − 2yx = x√y, y(1) = 1

(b) y ′ − 9x2y = (x5 + x2)y2/3, y(0) = 0

(c) dtdx = x

t +tx , x(1) = 1

(d) x ′ − ax = bx , a,b 6= 0, x(0) = 1

11 a)x(t) = Ce−2t+t3/2−3t2/4+3t/4+17/8, b)x(t) = Cet+ e2t+ 0.3 sin3t− 0.1 cos3t, c) x(y) = Ce−2y− cosy.

12 a) y(t) = e−t(t+ 5) b)y(t) = 0.5e2t(2et(t− 1)− t2+ 6) c) y(t) = −2t2+ t4

13 a) y(t) = 0, y(t) = −4e3t/(C+ e4t) b) y(x) = 0, y−3(x) = Ce3x+x+ 1/3 c) y(x) = 0, y( − 1) = (Cecosx− 3)/x

8 równanie riccattiego 8

8 równanie riccattiego

Teoria: 8

Definicja 10. Równaniem rózniczkowym Riccattiego nazywamy równanie postaci

y ′ + p(t)y+ q(t)y2 + r(t) = 0 (RRI)

Nie istnieje ogólny sposób rozwiazywania (RRI), ale jesli znamy jedno rozwiazanie szczególne y1(t) równa-nia (RRI), to przez podstawienie

y = y1 + u

mozna je sprowadzic do równania Bernoulliego, a przez podstawienie

y = y1 +1

u

mozna je sprowadzic bezposrednio do równania liniowego.

Zadanie 8.1. Znalezc rozwiazanie ogólne równania Riccattiego, jesli wiemy, ze y1 jest jego rozwiazaniem szczegól-nym.

(a) y ′ + y2 = 2t−2, y1(t) =at (najpierw wyznaczyc a),

(b) y ′ = 1+ x− (1+ 2x)y+ xy2, y1(x) = 1,

(c) y ′ = e2t + (1− 2et)y+ y2, y1 = et,

(d) ty ′ = t3 + (1− 2t3)y+ ty2, y1 = t.

9 równanie zupełne. czynnik całkujący. 9

9 równanie zupełne. czynnik całkujący.

Teoria: 9

Definition 1. Niech M,N ∈ C1(D), gdzie D - płaski obszar jednospójny. Równanie

M(x,y)dx+N(x,y)dy = 0 (RZ)

nazywamy równaniem rózniczkowym zupełnym, gdy istnieje funkcja U = U(x,y) ∈ C2(D), taka, ze

∂U

∂x=M(x,y),

∂U

∂y= N(x,y).

Mozna sprawdzic, ze takie U istnieje, gdy∂M

∂y=∂N

∂x.

Wówczas równanie (RZ) mozna zapisac w postaci dU(x,y) = 0, a stad U(x,y) = C jest rozwiazaniem (RZ).

Uwaga 8. Równanie (RZ) moze byc interpretowane jako równanie M(x,y) +N(x,y)dydx = 0, gdzie y = y(x)

albo jako równanie M(x,y)dxdy +N(x,y) = 0, gdzie x = x(y).

Zdarza sie, ze równanie nie jest zupełne, ale mozna je sprowadzic do zupełnego wymnazajac je przez tzw."czynnik całkujacy", czyli pewna funkcje µ(x,y) ∈ C1(D) i otrzymujac równanie

µ(x,y)M(x,y)dx+ µ(x,y)N(x,y)dy = 0.

Oczywiscie powyzsze równanie jest zupełne, gdy zachodzi

∂(µM)

∂y=∂(µN)

∂x.

W ogólnosci znalezienie czynnika całkujacego nie jest proste. Stosunkowo łatwo jest, gdy

(I) µ(x,y) = µ(x)Mozemy wyznaczyc, gdy 1

N

(∂M∂y − ∂N

∂x

)jest niezalezne od y. Wówczas

µ(x) = ±e∫p(x)dx,

gdzie p(x) = 1N

(∂M∂y − ∂N

∂x

)(II) µ(x,y) = µ(y)

Mozemy wyznaczyc, gdy 1M

(∂N∂x − ∂M

∂y

)jest niezalezne od x. Wówczas

µ(y) = ±e∫q(y)dy,

gdzie q(y) = 1M

(∂N∂x − ∂M

∂y

)(III) µ(x,y) = P(x)Q(y)

Szukamy funkcji p = p(x) oraz q = q(y) takich, ze

∂M

∂y−∂N

∂x= p(x)N− q(y)M.

Wówczas P(x) = ±e∫p(x)dx oraz Q(y) = ±e

∫q(y)dy.

Zadanie 9.1. Prosze sprawdzic, czy równanie jest zupełne. Jesli tak, rozwiazac je.

(a) (2x− 2y2)dx+ (12y2 − 4xy)dy = 0

(b) (y sin xy+ xy2 cos xy)dx+ (x sin xy = xy2 cos xy)dy = 0

(c) (exy(x4y+ 4x3) + 3y)dx+ (x5exy + 3x)dy = 0

Zadanie 9.2. Prosze znalezc czynnik całkujacy bedacy funkcja jednej zmiennej, sprowadzic równanie do zupełnegoi rozwiazac je.

(a) 3x2ydx+ 2x3dy = 0

(b) y2dx+ (xy2 + 3xy+ 1y )dy = 0

(c) y sinydx+ x(siny− y cosy)dy = 0

(d) −ydx+ (x4 − x)dy = 0

Zadanie 9.3. Prosze znalezc czynnik całkujacy postaci µ(x,y) = P(x)Q(x), a nastepnie rozwiazac równanie

(a) (3xy+ 6y2)dx+ (2x2 + 9xy)dy = 0

(b) (ay+ bxy)dx+ (cx+ dxy)dy = 0, gdzie a,b, c,d ∈ R

10 równania rzędu ii sprowadzalne do równań rzędu i 10

10 równania rzędu ii sprowadzalne do równań rzędu i

Teoria: 10

Równanie F(t,y,y ′,y ′′) = 0 nazywamy równaniem rózniczkowym II-go rzedu. Jesli F jest specjalnej postaci,to takie równanie da sie sprowadzic do równania I-go rzedu.

F podstawienie po podstawieniuF(t,y ′,y ′′) y ′ = u(t), y ′′ = u ′(t) F(t,u,u ′)F(y,y ′,y ′′) y ′ = u(y), y ′′ = u ′(y)y ′ = u ′u F(t,u,u ′u)

Zadanie 10.1. Prosze wyznaczyc całki ogólne

(a) x ′′ − (2t+ 1t )x′ = 2t2et

2,

(b) (1− x2)x ′′ = (1+ 2xx ′)x ′

(c) y ′′ + (y ′)2 + 1 = 0,

Zadanie 10.2. Prosze wyznaczyc całki szczególne

(a) yy ′′ + (y ′)2 + (y ′)3 = 0, y(1) = 1, y ′(1) = 1,

(b) (1+ t2)y ′′ + 2ty ′ = 2t−3, y(1) = −1, y ′(1) = −1.

(c) x ′′ − xx ′ = x2x ′, x(0) = 1, x ′(0) = 5/6

11 równania liniowe n-go rzędu. istnienie i jednoznaczność rozwiąza-nia zagadnienia początkowego.

Teoria: 11

Twierdzenie 6. Jesli funkcje pi(t) (dla i = 1, 2...,n), f(t) sa ciagłe na przedziale (a,b) oraz (t0,y0,y1, ...,yn−1) ∈(a,b)×Rn , to zagadnienie poczatkowe

y(n) + p1(t)y(n−1) + ...pn−1(t)y ′ + pn(t)y = f(t),

y(t0) = y0, y ′(t0) = y1, ..., y(n−1)(t0) = yn−1(RE)

ma dokładnie jedno rozwiazanie. Rozwiazanie to jest okreslone na przedziale (a,b).

Zadanie 11.1. Wyznaczyc przedziały, na których podane zagadnienia maja jednoznaczne rozwiazania

(a) (1− t2)y ′′ + ty ′ = ln t, y(12 ) = 1 y ′(12 ) = 0,

(b) t(t+ 1)y ′′′ + (t− 1)y =√t, y(1) = 1, y ′(1) = 0, y ′′(1) = 1.

12 równanie różniczkowe liniowe wyższego rzędu o stałych współczynnikach. równanie liniowe jednorodne. równanie charakterystyczne. układ fundamentalny. 11

12 równanie różniczkowe liniowe wyższego rzędu o stałych współczyn-nikach. równanie liniowe jednorodne. równanie charakterysty-czne. układ fundamentalny.

Teoria: 12

Równaniem rózniczkowym liniowym rzedu n o stałych współczynnikach nazywamy równanie postaci

a0y(n) + a1y

(n−1) + ... + an−1y ′ + any = f(t), (RLn)

gdzie ak ∈ R, k = 0, 1, ...n, a f jest ciagła w pewnym przedziale.Jesli f ≡ 0 to (RLn) nazywamy równaniem liniowym jednorodnym rzedu n (w przeciwnym razie niejdnorod-nym).Dla równania liniowego jednorodnego tworzymy równanie charakterystyczne

a0λn + a1λ

n−1 + ... + an = 0 (RChar)

Rozwiazanie równania liniowego jednorodnego znajdujemy badajac pierwiatski (RChar) λ1, λ2, ...λn.

pierwiastki (RChar) rozwiazanie∀i∈1,2,...,n λi ∈ R

λi 6= λj dla i 6= j y = C1eλ1t + ... +Cneλnt

∀i∈1,2,...,n λi ∈ R

λ1 = λ2 = ... = λk = λ- k-krotny y = C1eλt +C2te

λt + ...Cktk−1eλt + ... +Cneλnt

pozostałe 1-krotneλ1 = α+ iβ, λ2 = α− iβ

pozostałe rzeczywistne, 1-krotne y = C1eαt cosβt+C2eαt sinβt+C3eλ3t + ... +Cneλnt

λ1 = α+ iβ, λ2 = α− iβ k-krotnepozostałe rzeczywistne, 1-krotne y = C1e

αt cosβt+C2eαt sinβt+C3teαt cosβt+C4teαt sinβt...... +C2k−1tk−1eαt cosβt+C2ktk−1eαt sinβt+

+C2k+1eλ2k+1t + ... +Cneλnt

Zadanie 12.1. Prosze rozwiazac równanie

(a) y ′′ + 6y ′ + 3y = 0,

(b) y ′′ + 8y ′ + 7y = 0,

(c) y ′′ − 4y ′ + 5y = 0,

(d) y ′′′ + y ′ = 0,

(e) y(6) + 2y(4) + y(2) = 0,

(f) y ′′ + 6y ′ + 10y = 0,

(g) y ′′ − 2y ′ + 3y = 0,

(h) 10y ′′ − 3y ′ − y = 0,

(i) y(4) − 3y ′′ + 2y = 0

Zadanie 12.2. Prosze znalezc rozwiazanie problemu poczatkowego

(a) y ′′ + 6y ′ + 3y = 0, y(0) = 3, y ′(0) = −1,

(b) y ′′ + 14y ′ + 50y = 0, y(0) = −2 y ′(0) = −17,

(c) 4y ′′ − 4y ′ − 3y = 0, y(0) = 312 ,y ′(0) = 23

24 ,

(d) 6y ′′ + y ′ − y = 0, y(0) = −1, y ′(0) = 3.

13 równanie różniczkowe liniowe niejednorodne rzędu n . metodauzmienniania stałej

Teoria: 13

Jesliy0(t) = C1y1 +C2y2 + ... +Cnyn

jest całka ogólna równania liniowego jednorodnego rzedu n

a0y(n) + a1y

(n−1) + ... + an−1y ′ + any = 0, (RLJn)

gdzie y1,y2, ...yn sa liniowo niezalezne, to rozwiazania (RLn) szukamy w postaci

Y(t) = C1(t)y1 +C2(t)y2 + ... +Cn(t)yn,

gdzie funkcje C1,C2, ...,Cn wyznaczamy rozwiazujac układ

C ′1(t)y1 +C′2(t)y2 + ... +C ′n(t)yn = 0,

C ′1(t)y′1 +C

′2(t)y

′2 + ... +C ′n(t)y

′n = 0,

...

C ′1(t)y(n−1)1 +C ′2(t)y

(n−1)2 + ... +C ′n(t)y

(n−1)n = f(t).

14 równanie liniowe niejednorodne rzędu n o stałych współczynnikach. metoda przewidywań (współczynników nieoznaczonych) 12

Zadanie 13.1. Prosze rozwiazac równanie

(a) y ′′ − y ′ = −3,

(b) y ′′ + 6y ′ + 3y = e−3t,

(c) y ′′′ + y ′ = tanx

(d) y(6) − y(3) = xex

14 równanie liniowe niejednorodne rzędu n o stałych współczyn-nikach. metoda przewidywań (współczynników nieoznaczonych)

Teoria: 14

a0y(n) + a1y

(n−1) + ... + an−1y ′ + any = f(t), (RLn)

gdzie ak ∈ R, k = 0, 1, ...n, a f jest ciagła w pewnym przedziale.

METODA PRZEWIDYWANJezeli w równaniu (RLn)

f(t) = eαt(Pl(t) cosβt+Qm(t) sinβt), (15)

gdzie Pl, Qm sa wielomianami stopnia l i m oraz α+ iβ jest k-krotnym pierwiastkiem równania charak-terystycznego, to rozwiazanie szczególne (RLn) przewidujemy w postci

Y(t) = tkeαt(Pr(t) cosβt+ Qr(t) sinβt), (16)

gdzie r = maxl,m, Qr, Pr sa wielomianami stopnia r.

Uwaga 9. Jesli α+ iβ nie jest pierwiastkiem równania charakterystycznego, to w (16) przyjmujemy k = 0.

Zadanie 14.1. Prosze wyznaczyc postacie rozwiazan podanych równan rózniczkowych

(a) y ′′ + y ′ + y = at2 + bt+ c,

(b) y ′′ + 2y ′ + 5y = [(t+ 2) cos 2t+ 3 sin 2t]et,

(c) ay ′′ + by ′ + y = tn.

Zadanie 14.2. Prosze rozwiazac równanie

(a) y ′′ + 6y ′ + 3y = 4,

(b) y ′′ − 2y ′ + y = 2+ et sin t,

(c) y(4) − y ′′ = sin t,

(d) y ′′ + 3y ′ + 2y = t2e−t,

(e) y ′′′ − 7y ′′ + 19y ′ − 13y = 13x3 − 57x2 − 10x+ 70,

(f) x(4) − x = 4 sin t− 8 exp (−t) + 1.

Zadanie 14.3. Prosze rozwiazac zagadnienia poczatkowe

(a) 3y ′′ + 6y ′ = cos t, y(0) = 115 , y ′(0) = 2

15 ,

(b) y ′′ + 5y ′ + 4y = 4t+ 1+ et, y(0) = 110 , y ′(0) = 11

10 ,

(c) 2y ′′′ − 6y ′′ = 36t+ 4et, y(0) = 1, y ′(0) = 1, y ′′(0) = 0.

15 równanie eulera

Teoria: 15

a0tny(n) + a1t

n−1y(n−1) + ... + an−1ty ′ + any = f(t), (RE)

gdzie ak-stałe, an 6= 0, f ciagła na przedziale (a,b). Szukamy rozwiazania dla t > 0 (lub t < 0) podstawiajact = es i sprowadzajac (RE) do równania rzedu n o stałych współczynnikach.

Zadanie 15.1. Wyznaczyc rozwiazania na (0,∞)

(a) t2y ′′ + 2ty ′ = 6,

(b) t2y ′′ − 2ty ′ + 3y = 4t2 sin(ln(t)),

(c) t2y ′′ + 5ty ′ + 4y = 1t2 ln t ,

(d) t2y ′′ + 2ty ′ − 2y = t−2 + 3t,

(e) y ′′ = 5t−1y ′ − 13t−2y,

(f) t2y ′′ − 3ty ′ − 5y = t2 ln t.

16 redukcja równania rzędu n do układu równań rzędu i 13

16 redukcja równania rzędu n do układu równań rzędu i

Teoria: 16

Równanie postaciF(t,y(t),y ′(t)...y(n)(t)) = 0, (17)

gdzie F jest funkcja ciagla na Ω ⊂ Rn+2 mozemy zredukowac do układu równan I-go rzedu podstawiajac

y1(t) = y(n−1)(t)

y2(t) = y(n−2)(t)

.

.

yn−1(t) = y′(t)

yn(t) = y(t).

Wówczas równanie (21) zostaje zastapione układem równan

F(t,yn(t), ...,y1(t),y ′1(t))

y ′2(t) = y1(t),

.

.

y ′n(t) = yn−1.

Zadanie 16.1. Prosze sprowadzic do układu równan nastepujace równania

(a) y ′′ − ty ′ + t2y = cos t,

(b) y ′′′ + t5y ′′ + 2ty ′ + y = et ,

(c) yIV − 1t y′′′ = 5 .

Rozwiazac równanie z podpunktu (c).

17 układy równań - metoda eliminacji

Teoria: 17

Układ równan postaci

x ′ (t) = f1 (t , x , y) ,

y ′ (t) = f2 (t , x , y) ,

gdzie f1 , f2 - funkcje ciagłe na pewnym przedziale mozemy rozwiazac np. metoda eliminacji polegajaca nasprowadzeniu tego układu do równania rózniczkowego rzedu drugiego z jedna niewiadoma.

Zadanie 17.1. Prosze rozwiazac

(a)

x ′ (t) = 3x − y ,

y ′ (t) = x

(b)

x ′ (t) + y ′ (t) = et ,

− x ′′ (t) + x ′ (t) + x(t) + y(t) = 0

(c)

x ′ (t) = 3x − y ,

y ′ (t) = x .

18 układy równań o stałych współczynnikach 14

18 układy równań o stałych współczynnikach

Teoria: 18

Rozwazmy układ równany ′ (t) = Ay(t) + f(t) (UR)

z warunkiem poczatkowymy(α) = y0 (WP)

gdzie A jest macierza n × n, której współczynniki aij sa stałe, y(t) = [y1 (t) , y2 (t) , . . . , yn (t)]T orazf(t) = [f1 (t) , f2 (t) , . . . , fn (t)]T

Twierdzenie 7. Jesli f jest ciagła dla t ∈ [α , β], to zagadnienie (UR)-(WP) ma dokładnie jedno rozwiazanie.

Twierdzenie 8. Załózmy, ze x(1) , x(2) , . . .x(n) sa liniowo niezaleznymi wektorami własnymi macierzy An×nodpowiednio dla wartosci własnych λ1 , λ2 , . . .λn . Wówczas układ

y ′ (t) = Ay(t) (18)

ma rozwiazanie ogólne dane wzorem

y(t) = C1eλ1tx(1) + C2e

λ2tx(2) + . . .Cneλntx(n) (19)

DWUKROTNE WARTOSCI WŁASNE I JEDEN WEKTOR LINIOWO NIEZALEZNY:Załózmy, ze mamy tylko jeden wektor własny x(1) dla dwukrotnej wartosci własnej λ. Wówczas jednym zrozwiazan (18) jest u1 = x(1)eλt . Drugiego rozwiazania szukamy w postaci

u2 = x(1)teλt + x(2)eλt ,

gdzie wektor x(2) wyznaczamy podstawiajac u2 do (18).

METODA UZMIENNIANIA STAŁEJRozwazmy układ równan liniowych niejednorodnych postaci:

y ′ (t) = Ay(t) + f(t) (20)

Przypuscmy, ze znamy rozwiazanie ogólne układu (18) y0 = C1u1 (t) + C2u2 (t) + Cnun (t) = X(t)C.Wówczas X nazywamy macierza fundamentalna układu (18). Wektory kolumnowe X sa liniowo niezalezne.Pochodna X ′ uzyskujemy przez rózniczkowanie kazdej funkcji wewnetrznej X.Rozwiazania ogólengo (20) szukamy w postaci

Y (t) = X(t)C(t) (21)

Rózniczkujemy i korzystamy z (18) oraz z (21)

Y ′ (t) = X ′ (t)C(t) + X(t)C ′ (t) = AX(t)C(t) + X(t)C ′ (t) = AY (t) + X(t)C ′ (t) .

Przyrównujac do (20) dostajemy f(t) = X(t)C ′ (t), z którego wyznaczamy C.

Zadanie 18.1. Prosze rozwiazac układ y ′ (t) = Ay(t), gdzie

a) A =

[4 −2

1 1

], b) A =

[−6 −3

1 −2

]c) A =

[1 −3

3 7

]d) A =

[−7 4

−1 11

]e) A =

[4 −5

5 −2

]Zadanie 18.2. Prosze rozwiazac układ y ′ (t) = Ay(t) + f(t), gdzie

a) A =

[1 2

2 1

], f(t) =

[2e4t

e4t

]b) A =

[0 1

−1 0

], f(t) =

[1

t

]