1.Proposisi

MATEMATIKA DISKRIT

UNDANG INDRAJAYADosen Kopertis Wilayah IV

Dpk pada AMIK Garut

Buku Sumber :

1.“Matematika Diskrit dan Aplikasinya pada Ilmu Komputer”. Jong Jek Siang.

2.“Matematika Diskrit, Edisi Ketiga”. Rinaldi Munir.

3.“Essential Computer Mathematics”. Seymour Lipschutz.

Silabus Kuliah (1)

1. Logika, himpunan dan fungsi2. Algoritma, Teori Bilangan dan

matriks3. Penalaran Matematika, Induksi dan

Rekursi4. Dasar-dasar Counting55 UTS (?)

Silabus Kuliah (2)

7. Teori Peluang Diskrit8. Advanced Counting9. Relasi10. Graph11. Tree dan aplikasinya12. Aljabar Boole UAS

Mengapa matematika diskrit ?

• Komputer (digital) beroperasi secara diskrit dengan unit terkecil yg disebut bit.

• Dengan demikian, baikStruktur (rangkaian) dan jugaOperasi (eksekusi algoritma)– Dapat dijelaskan dengan matematika

diskrit

Logika: Sekilas Pandang

Logika matematika adalah sebuah alat untuk bekerja dengan pernyataan (statement) majemuk yang rumit. Termasuk di dalamnya:

Notasi yang tepat untuk menuliskan sebuah pernyataan

Metodologi untuk bernalar secara objektif untuk menentukan nilai benar-salah dari pernyataan

Dasar-dasar untuk menyatakan pembuktian formal dalam semua cabang matematika

Logika digunakan dalam mendesain rangkaian elektronik.

Logika Proposisi

Logika adalah suatu sistem yang didasarkan pada proposisi.

Suatu proposisi adalah sebuah pernyataan yang bisa bernilai benar (true/T) atau salah (false/F) tetapi tidak sekaligus keduanya.

Kita katakan bahwa nilai kebenaran (truth value) dari sebuah proposisi adalah benar atau salah.

Dalam rangkaian dijital, nilai ini dinyatakan sebagai 1 dan 0

Logika Proposisi

Logika proposisi adalah logika pernyataan majemuk yang disusun dari pernyataan-pernyataan sederhana yang dihubungkan dengan penghubung Boolean (Boolean connectives)

Beberapa aplikasinya dalam ilmu komputer: Merancang sirkuit elektronik digital Menyatakan kondisi/syarat pada program Query untuk basis data dan program pencari

(search engine)

George Boole(1815-1864)

Sebuah proposisi (p, q, r, …) adalah suatu kalimat (sentence) yang memiliki nilai kebenaran (truth value) benar (true), dengan notasi T, atau nilai kebenaran salah (false) dengan notasi F tetapi tidak kedua-duanya

(Namun demikian, kadang kita tidak tahu nilai kebenarannya karena kasusnya tergantung situasi, dalam kasus ini kita harus mengggunakan asumsi)

10

Proposisi atau Pernyataan

“Gajah lebih besar daripada tikus.”

Apakah ini sebuah pernyataan?Apakah ini sebuah pernyataan? YAYA

Apakah ini sebuah proposisi?Apakah ini sebuah proposisi? YAYA

Apakah nilai kebenaran Apakah nilai kebenaran dari proposisi ini?dari proposisi ini?

BENARBENAR

“520 < 111”



Apakah nilai kebenaran Apakah nilai kebenaran dari proposisi ini?dari proposisi ini? SALAHSALAH


Proposisi atau Pernyataan“y > 5”

Nilai kebenaran dari pernyataan tersebut Nilai kebenaran dari pernyataan tersebut bergantung pada y, tapi nilainya belum bergantung pada y, tapi nilainya belum ditentukan.ditentukan.


Apakah ini sebuah proposisi?Apakah ini sebuah proposisi? TIDAKTIDAK

Pernyataan jenis ini kita sebut sebagai Pernyataan jenis ini kita sebut sebagai fungsi proposisifungsi proposisi atau atau kalimat terbukakalimat terbuka..




Apakah nilai kebenaran Apakah nilai kebenaran dari proposisi ini?dari proposisi ini?

SALAHSALAH

“Sekarang tahun 2004 dan 99 < 5.”


“Tolong untuk tidak tidur selama kuliah”

TIDAKTIDAK

TIDAKTIDAK

Hanya pernyataanlah yang bisa menjadi Hanya pernyataanlah yang bisa menjadi proposisi.proposisi.

Ini adalah sebuah permintaan.Ini adalah sebuah permintaan.

Apakah ini sebuah pernyataan?Apakah ini sebuah pernyataan?

Apakah ini sebuah proposisi?Apakah ini sebuah proposisi?


“x < y jika dan hanya jika y > x.”

Apakah ini pernyataan ?Apakah ini pernyataan ? YAYA

Apakah ini proposisi ?Apakah ini proposisi ? YAYA

Apakah nilai kebenaran Apakah nilai kebenaran dari proposisi ini ?dari proposisi ini ? BENARBENAR

… … karena nilai kebenarannya karena nilai kebenarannya tidak bergantung harga tidak bergantung harga spesifik x maupun y.spesifik x maupun y.

Penggabung Proposisi

Beberapa contoh terdahulu menunjukkan bahwa beberapa proposisi dapat digabung menjadi sebuah proposisi gabungan.

Hal ini kita formal-kan dengan melambangkan proposisi sebagai huruf-huruf; seperti p, q, r, s; dan memperkenalkan operator-operator logika.

Operator / Penghubung

Sebuah operator atau penghubung menggabungkan satu atau lebih ekspresi operand ke dalam ekspresi yang lebih besar. (seperti tanda “+” di ekspresi numerik.)

Operator Uner bekerja pada satu operand (cth, −3); Operator biner bekerja pada 2 operand (cth 3 4).

Operator Proposisi atau Boolean bekerja pada proposisi-proposisi atau nilai kebenaran, bukan pada suatu angka

Operator logika

Kita akan membahas operator-operator berikut:

Negasi (NOT) Konjungsi (AND) Disjungsi (OR) Eksklusif OR (XOR) Implikasi (jika – maka) Bikondisional (jika dan hanya jika)

Tabel logika (tabel kebenaran/ truth table) dapat dipakai untuk menunjukkan bagaimana operator-operator tsb diatas menggabungkan beberapa proposisi menjadi satu proposisi gabungan.

Operator Negasi (~)

Operator negasi uner “¬” (NOT) mengubah suatu proposisi menjadi proposisi lain yang bertolak belakang nilai kebenarannya

Contoh: Jika p = “Saya cantik”

maka ¬p = “Saya tidak cantik.”

Tabel kebenaran untuk NOT:p pT FF TT :≡ True; F :≡ False

“:≡” artinya “didefinisikan sebagai”Kolom operan

Kolom hasil

Negasi (NOT)

Operator Uner, Lambang: /~

P P

Benar Salah

Salah Benar

Operator Konjungsi

Operator konjungsi biner “” (AND) menggabungkan dua proposisi untuk membentuk logika konjungsinya

Cth: Jika p=“Saya suka sayuran” and q=“Saya suka daging”, maka pq=“saya suka sayuran dan daging”

Ingat: “” mirip seperti huruf “A”, dan artinya “” mirip seperti huruf “A”, dan artinya “NDND””

NDND

Tabel Kebernaran Konjungsi

Perhatikan bahwa

konjungsip1 p2 … pn

dari n proposisi akan

memiliki 2n barispada tabelnya

p q p qF F FF T FT F FT T T

Kolom operan

Konjungsi (AND)

Operator Biner, Lambang:

P Q PQ

Benar Benar Benar

Benar Salah Salah

Salah Benar Salah

Salah Salah Salah

Operator Disjungsi

Operator biner disjungsi “” (OR) menggabungkan dua proposisi untuk membentuk logika disjungsinya

p=“Mesin mobil saya rusak”

q=“Karburator mobil saya rusak”

pq=“Mesin atau karburator mobil saya rusak.” Setelah kapak “””

membelah kayu, Anda membelah kayu, Anda dapat mengambil hanya dapat mengambil hanya satu belahannya, atau satu belahannya, atau belahan lainnya, ATAU belahan lainnya, ATAU keduanyakeduanya

Maknanya seperti “dan/atau” dalam bahasa Indonesia

Tabel Kebenaran Disjungsi

Perhatikan bahwa pq berarti p benar, atau q benar, atau keduanya benar!

Jadi, operasi ini juga disebut inclusive or, karena mencakupkemungkinan bahwa both p

dan q keduanya benar.

p q p qF F FF T TT F TT T T

Lihat bedanyadengan AND

Disjungsi (OR)


P Q PQ

Benar Benar Benar

Benar Salah Benar

Salah Benar Benar

Salah Salah Salah

Operator Exclusive Or

Operator biner exclusive-or “” (XOR) menggabungkan dua proposisi untuk membentuk logika “exclusive or”-nya

p = “Saya akan mendapat nilai A di kuliah ini,”

q = “Saya akan drop kuliah ini,”

p q = “Saya akan mendapat nilai A atau saya akan drop kuliah ini (tapi tidak dua-duanya!)”

Tabel Kebenaran Exclusive-Or

Perhatikan bahwa pq berarti p benar, atau q

benar tapi tidak dua-

duanya benar!Disebut exclusive or,

karena tidak memungkinkan

p dan q keduanya benar

p q pqF F FF T TT F TT T F

Lihat BedanyaDengan OR.

Eksklusif Or (XOR)


P Q PQ

Benar Benar Salah

Benar Salah Benar

Salah Benar Benar

Salah Salah Salah

Operator Implikasi

Implikasi p q menyatakan bahwa p mengimplikasikan q.

Jika p benar, maka q benar; tapi jika p tidak benar, maka q bisa benar bisa tidak benar

Cth, misalkan p = “Kamu giat belajar.” q = “Kamu akan dapat nilai bagus.”

p q = “Jika kamu giat belajar, maka kamu akan mendapat nilai bagus”

Hipotesa/anteseden/premis Konklusi/konsekuensi

Tabel Kebenaran Implikasi

p q salah hanya jikap benar tapi q tidak benar

p q tidak mengatakan

bahwa hanya p yang menye-

babkan q!p q tidak mensyaratkan

bahwa p atau q harus benar!Cth. “(1=0) kucing bisa terbang” BENAR!

p q p q F F T F T T T F F T T T

Satu-satunya kasus

SALAH!

Implikasi (jika - maka)


P Q PQ

Benar Benar Benar

Benar Salah Salah

Salah Benar Benar

Salah Salah Benar

Contoh-contoh implikasi

“Jika saya rajin kuliah hari ini, matahari akan bersinar esok hari” True / False?

“Jika hari ini Senin, maka saya adalah seekor pinguin.” True / False?

“Jika 1+1=6, Maka SBY adalah presiden.” True / False?

“Jika bulan dibuat dari keju, maka saya lebih kaya dari Bill Gates.” True or False?

Operator Biimplikasi

Operator biimplikasi p q menyatakan bahwa p benar jika dan hanya jika (jikka) q benar

p = “SBY menang pada pemilu 2004”

q = “SBY akan menjadi presiden mulai tahun 2004.”

p q = “Jika dan hanya jika SBY menang pada pemilu 2004 maka dia akan menjadi presiden mulai tahun 2004.”

Tabel Kebenaran Biimplikasi

p q benar jika p dan qmemiliki nilai kebenaran

yang sama.Perhatikan bahwa tabelnya

adalah kebalikan dari tabel

exclusive or !p q artinya ¬(p q)

p q p qF F TF T FT F FT T T

Bikondisional (jika dan hanya jika)


P Q PQ

Benar Benar Benar

Benar Salah Salah

Salah Benar Salah

Salah Salah Benar

Latihan

Converse, Inverse, Contrapositive

Beberapa terminologi dalam implikasi p q:Converse-nya adalah: q p. Inverse-nya adalah: ¬p ¬q.Contrapositive-nya adalah: ¬q ¬ p.Salah satu dari ketiga terminologi di atas

memiliki makna yang sama (memiliki tabel kebenaran yang sama) dengan p q. Bisa Anda sebutkan yang mana?

Pernyataan dan Operasi

Pernyataan-pernyataan dan operator-operator dapat digabungkan menjadi suatu pernyataan baru.

P Q P Q (P)(Q)

Benar Benar Salah Salah Salah

Benar Salah Salah Benar Benar

Salah Benar Benar Salah Benar

Salah Salah Benar Benar Benar

Pernyataan dan Operasi

P Q PQ (PQ) (P)(Q)

Benar Benar Benar Salah Salah

Benar Salah Salah Benar Benar

Salah Benar Salah Benar Benar

Salah Salah Salah Benar Benar

Pernyataan-pernyataan dan operator-operator dapat digabungkan menjadi suatu pernyataan baru.

Contoh

Buatlah tabel kebenaran untuk kalimat dalam bentuk simbol-simbol logika di bawah ini

1. ¬(¬p ¬ q)

2. ¬ (¬ pq)

3. (pq) ¬(pq)

4. (¬p(¬qr))(qr)

Pernyataan-pernyataan yang ekivalen

Pernyatan (PQ) dan (P)(Q) adalah ekivalen secara

logis, karena (PQ)(P)(Q) selalu benar.

P Q (PQ) (P)(Q) (PQ)(P)(Q)

Benar Benar Salah Salah Benar

Benar Salah Benar Benar Benar

Salah Benar Benar Benar Benar

Salah Salah Benar Benar Benar

Tautologi dan Kontradiksi

Suatu tautologi adalah pernyataan yang selalu bernilai benar

Contoh: R(R)(PQ)(P)(Q)

Jika ST sebuah tautologi, kita tulis S T. JIka ST sebuah tautologi, kita tulis S T.

Kontradiksi

Suatu kontradiksi adalah pernyataan yang selalu bernilai salah.

Contoh: R(R) ((PQ)(P)(Q))

Negasi dari sebarang tautologi adalah sebuah kontradiksi, sebaliknya, negasi dari sebuah kontradiksi adalah sebuah tautologi.

Latihan

Kita tahu tautologi berikut: (PQ) (P)(Q)

Latihan di kelas : Tunjukkan bahwa (PQ) (P)(Q).

Merupakan tautologiKedua tautologi ini disebut sebagai hukum De

Morgan

Hukum Ekivalensi

Identity: (i) pT p (ii) pF pDomination: (i) pT T (ii) pF FIdempotent: (i) pp p (ii) pp pDouble negation: p pCommutative: (i) pq qp

(ii) pq qpAssociative: (i) (pq)r p(qr)

(ii) (pq)r p(qr)

Hukum Ekivalensi

Distributif: (i) p(qr) (pq)(pr) (ii) p(qr) (pq)(pr)

De Morgan: (i) (pq) p q(ii) (pq) p q

Trivial tautology/contradiction:(i) p p T

(ii) p p F

Hukum-hukum Logika ProposisiDisebut juga hukum-hukum aljabar proposisi.

1. Hukum identitas :a. p F pb. p T p

2. Hukum null / dominasi :a. p F F b. p T T

3. Hukum negasi : a. p p T b. p p F

4. Hukum idempoten : a. p p p b. p p p

5. Hukum involusi (negasi ganda) : (p) p

6. Hukum penyerapan (absorbsi) : a. p (p q) p b. p (p q) p

7. Hukum komutatif : a. p q q p b. p q q p

8. Hukum asosiatif : a. p (q r) (p q) r b. p (q r) (p q) r

9. Hukum distributif : a. p (q r) (p q) (p r) b. p (q r) (p q) (p r)

10. Hukum De Morgan : a. (p q) p q b. (p q) p q

Proposisi dan Fungsi

Fungsi proposisi (kalimat terbuka) :Pernyataan yang mengandung satu buah variabel atau

lebih.

Contoh : x - 3 > 5.

Misalkan kita sebut fungsi proposisi ini sebagai P(x), dimana P adalah predikat dan x adalah variabel.

Apakah nilai kebenaran dari P(2) ?Apakah nilai kebenaran dari P(2) ? SalahSalah

SalahSalah

BenarBenar

Apakah nilai kebenaran dari P(8) ?Apakah nilai kebenaran dari P(8) ?

Apakah nilai kebenaran dari P(9) ?Apakah nilai kebenaran dari P(9) ?

Fungsi Proposisi

Tinjau fungsi proposisi Q(x, y, z) yg didefinisikan:

x + y = z.

Disini, Q adalah predikat dan x, y, and z adalah variabel.

Apakah nilai kebenaran dari Q(2, 3, 5) ?Apakah nilai kebenaran dari Q(2, 3, 5) ? BenarBenar

Apakah nilai kebenaran dari Q(0, 1, 2) ?Apakah nilai kebenaran dari Q(0, 1, 2) ?

Apakah nilai kebenaran dari Q(9, -9, 0) ?Apakah nilai kebenaran dari Q(9, -9, 0) ?

SalahSalah

BenarBenar

Penarikan kesimpulan

Proses penarikan kesimpulan terdiri atas beberapa pernyataan yang diketahui nilai kebenarannya yang disebut premisKemudian dengan menggunakan prinsip logika dapat diturunkan pernyataan baru (kesimpulan/ konklusi) Penarikan kesimpulan tersebut sering juga disebut argumentasiSuatu argumentasi dikatakan sah jika premis-premisnya benar, maka konklusinya juga benar

Suatu argumentasi dikatakan sah jika konjungsi dari premis-premisnya berimplikasi dengan konklusinya merupakan TAUTOLOGI

Untuk memeriksa apakah suatu argumen valid atau tidak dapat dilakukan sbb:

1.Buat tabel kebenaran untuk semua premis dan konklusi.

2.Carilah baris kritis, yaitu baris dimana semua premis bernilai benar

3.Jika semua konklusi dalam baris kritis bernilai benar, maka argumen tsb valid

qp p

q

Modus ponen

premis 1

premis 2

kesimpulan/konklusi

Contoh:Jika saya punya uang banyak, maka saya premis 1akan membeli rumahSaya punya uang banyak premis 2

Maka konklusinya adalah Saya akan membeli rumah

qp q~p~

Modus tolen

premis 1

premis 2

kesimpulan/konklusi

Contoh:Jika hari ini cuaca cerah , maka saya premis 1datang ke pestamu Saya tidak datang ke pestamu premis 2Maka konklusinya adalah Hari ini cuaca tidak cerah

qp rq

rp

SILLOGISME

premis 1premis 2

kesimpulan/konklusi

Contoh:Jika hari ini hujan, maka saya tidak premis 1berangkat ke sekolahJika saya tidak berangkat sekolah, maka premis 2ayah akan marah

Maka konklusinya adalah: Jika hari ini hujan, maka ayah akan marah

SIMPLIFIKASI

p

qp

Premis

kesimpulan/konklusi

Contoh:

Lina menguasai bahasa basic dan pascal premis

Maka konklusinya adalah: Lina menguasai bahasa basic

q

qp

Premis

kesimpulan/konklusi

Penambahan Disjungtif

qp

p

Premis

kesimpulan/konklusi

Contoh:

Simon adalah mahasiswa teknik informatika premis

Maka konklusinya adalah: Simon adalah mahasiswa teknik informatika atau manajemen informatika.

qp

q

Premis

kesimpulan/konklusi

Silogisme Disjungtif

q

p

qp

Premis 1

kesimpulan/konklusi

Contoh:

Kunci motorku ada di tas atau tertinggal di rumah premis 1Kunci motorku tidak ada di tas premis 2

Maka konklusinya adalah: Kunci motor ku tertinggal di rumah.

Premis 2

p

q

qp

Premis 1

kesimpulan/konklusi

Premis 2

Konjungsi

qp

q

p

Premis 1

kesimpulan/konklusi

Contoh:

Taslim mengambil kuliah matematika diskrit premis 1Taslim mengulang kuliah algoritma premis 2

Maka konklusinya adalah: Taslim mengambil kuliah matematika diskrit dan mengulang kuliah algoritma.

Premis 2

Dilema

r

rq

rp

qp

Premis 1

kesimpulan/konklusi

Contoh:

Nanti malam Adi mengajak saya nonton atau makan di restoran premis 1Jika Adi mengajak saya nonton maka saya akan senang premis 2Jika Adi mengajak saya makan direstoran maka saya akan senang Premis 3

Maka konklusinya adalah: Nanti malam saya akan senang.

Premis 2

Premis 3

Untuk argumen yg valid, jelaskan aturan yg digunakan, jika tidak valid jelaskan kesalahan yg terjadi1.Jika adi menjawab soal dengan benar, maka ia akan memperoleh jawaban = 2

Adi memperoleh jawaban =2kesimpulan: Adi menjawab soal dengan benar

2.Bilangan real ini merupakan bilangan rasional atau irrasional

bilangan real ini tidak rasionalKesimpulan: bilangan real ini adalah bilangan

irrasional

Kuantifikasi Universal

Mis. P(x) suatu fungsi proposisi. Kalimat yg dikuantifikasi secara universal :

Untuk semua x dalam semesta pembicaraan, P(x) adalah benar.

Dengan kuantifier universal : x P(x) “untuk semua x P(x)” atau “untuk setiap x P(x)”

(Catatan: x P(x) bisa benar atau salah, jadi merupakan sebuah proposisi, bukan fungsi proposisi.)

Kuantifikasi Universal

Contoh : S(x): x adalah seorang mahasiswa IT.G(x): x adalah seorang yang pandai.

Apakah arti dari x (S(x) G(x)) ?“Jika x adalah mahasiswa IT, maka x adalah

seorang yang pandai”atau

“Semua mahasiswa IT pandai.”

Kuantifikasi Eksistensial

Kalimat yang di-kuantifikasi secara eksistensial:Ada x di dalam semesta pembicaraan dimana P(x)

benar.Dengan peng-kuantifikasi eksistensial :x P(x) “Ada sebuah x sedemikian hingga P(x).”

“Ada sedikitnya sebuah x sedemikian hingga P(x).”(Catatan: x P(x) bisa benar atau salah, jadi

merupakan sebuah proposisi, tapi bukan fungsi proposisi.)

Kuantifikasi Eksistensial

Contoh : P(x): x adalah seorang dosen IT.G(x): x adalah seorang yang pandai.

Apakah arti x (P(x) G(x)) ?

“Ada x sedemikian hingga x adalah seorang dosen IT dan x adalah seorang yang pandai.”atau

“Sedikitnya satu orang dosen IT adalah seorang yang pandai.”

Kuantifikasi

Contoh lain :Misalkan semesta pembicaraan adalah bilangan riil.

Apakah arti dari xy (x + y = 320) ?

“Untuk setiap x ada y sehingga x + y = 320.”

Apakah pernyataan ini benar ?Apakah pernyataan ini benar ?

Apakah ini benar untuk bilangan Apakah ini benar untuk bilangan cacah?cacah?

YaYa

TidakTidak

Disproof dengan counterexample

Counterexample dari x P(x) adalah sebuah objek c sehingga P(c) salah. Pernyataan seperti x (P(x) Q(x)) dapat di-disproof secara sederhana dengan memberikan counterexample-nya.

Pernyataan: “Semua burung bisa terbang.”Pernyataan: “Semua burung bisa terbang.”

Disproved Disproved dengandengan counterexample counterexample: : PenguinPenguin..

Negasi

(x P(x)) ekivalen scr logis dengan x (P(x)).

(x P(x)) ekivalen scr logis dengan x (P(x)).

That’s it!…

THANK YOU! Questions?…

Documents

1.Proposisi