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1. Secciones cónicas2. Circunferencia
1. La ecuación de la circunferencia2. Posición relativa de una recta y una circunferencia3. Recta tangente por un punto
3. Potencia de un punto con respecto de una circunferencia1. Definición y consecuencias2. Eje radical de dos circunferencias3. Centro radical de tres circunferencias
4. Elipse1. La ecuación de la elipse. Elementos de la elipse2. Excentricidad de la elipse3. Una propiedad geométrica de la elipse
5. Hipérbola 1. La ecuación de la hipérbola. Elementos de la hipérbola2. Excentricidad de la hipérbola
6. Parábola1. La ecuación de la parábola. Elementos de la parábola2. Una propiedad geométrica de la parábola
Cónicas.
Secciones cónicas
Si consideramos dos rectas no
paralelas en el espacio (eje y
generatriz) que se cortan en un
punto (vértice). La superficie que
se genera al girar una de las
rectas (generatriz) sobre la otra
(eje) se denomina SUPERFICIE
CÓNICA.
Se denomina SECCIÓN CÓNICA a la intersección de un plano con una superficie
cónica.
Si el plano no contiene al vértice y denominamos al ángulo que forma el
eje y la generatriz y al ángulo que forma el eje y el plano, tenemos:
Si > es una ELIPSE (si = 90º tenemos una circunferencia).
Si = es una PARÁBOLA.
Si < es una HIPÉRBOLA.
ELIPSE
PARÁBOLA
HIPÉRBOLA
CIRCUNFERENCIA
Denominamos Ca,r circunferencia con centro en a(a1,a2) y radio r > 0 al
conjunto de puntos que equidistan del punto a con una distancia igual a r. Es
decir su ecuación métrica es:
Ca,r = { p(x,y) : d(p,a) = r }
Que en coordenadas del plano equivale a:
Ca,r = { (x,y) : (x – a 1) 2 + (y – a 2) 2 } = r2
Y desarrollando la expresión e igualando a cero se obtiene la ecuación
polinomial o ecuación implícita:
Ca,r = P(x) x 2 + y 2 + D x + E y + F = 0 (e)
Igualando, e identificando coeficientes se obtiene:
D = - 2 a1 ; E = - 2 a2 ; F = (a1)2 + (a2)2 – r 2
La ecuación (e) corresponde a una circunferencia si y solo si se cumple:
r 2 = (a1)2 + (a2)2 – F > 0
a
rCa,r
CIRCUNFERENCIA
Ejemplo: Calcular la ecuación polinomial de una circunferencia cuyo centro
es O(2,3) y radio r = 2.
Desarrollando la ecuación
(x – 2) 2 + (y – 3) 2 = 22
Se obtiene la ecuación implícita:
x 2 + y 2 - 4 x – 6 y + 9 = 0
Ejemplo: Comprobar si la siguiente ecuación es la de una circunferencia
x 2 + y 2 - 2 x + 2 y + 3 = 0
Como
a1 = - (-2) / 2 = 1; a2 = - 2 / 2 = -1; F = 3
Será
r2 = (a1)2 + (a2)2 – F = -1 < 0
Luego, la ecuación no puede corresponder a una circunferencia
Posición relativa de recta y circunferencia
Para determinar la posición relativa de una circunferencia Ca,r y una recta s
Ca,r = (x – a 1) 2 + (y – a 2) 2 = r2
s : A x + B y + C = 0
calculamos la distancia de s al centro en a(a1,a2)
Si d > r la recta es exterior
Si d = r la recta es tangente a la circunferencia
Si d < r La recta es secante a la circunferencia.
1 2
2 2,
A a B a Cd s a
A B
Posición relativa de recta y circunferencia Ejemplo: Estudia la posición relativa de la recta s: 3 x + 4 y = 0 y la
circunferencia (x + 3) 2 + (y – 2) 2 = 22 . Como
2 2
3 3 4 2 0 1, 2
53 4d s a r
La recta es secante a la circunferencia.
Para calcular los puntos de intersección de una
circunferencia Ca,r y una recta s, resolvemos el
sistema de ecuaciones
Ca,r = (x – a 1) 2 + (y – a 2) 2 = r2
s : A x + B y + C = 0
Que además, de dicha solución se deducirá si la
recta es exterior (si no tiene solución el sistema)
es tangente (s solo tiene una solución) y secante
(si tiene dos soluciones)
Posición relativa de recta y circunferencia Ejemplo: Para calcular los puntos de corte de la recta s: 3 x + 4 y = 0 y la
circunferencia (x + 3) 2 + (y – 2) 2 = 22 . Resolvemos el sistemaCa,r = (x + 3) 2 + (y – 2) 2 = 22
s : 3 x + 4 y = 0
Que despejando y = – (3x) / 4 de la primera
ecuación, y sustituyendo en la segunda, se
obtiene la ecuación de segundo grado en x:
x2 + 6 x + 9 + (9/16) x 2 + 3x + 4 = 4
Cuya solución es 72 12 11
25x
Y sustituyendo los valores de la x, en la primera
ecuación se obtiene54 9 11
25y
Luego los puntos de corte de la recta s secante a la circunferencia C, serán
72 12 11 54 9 11 72 12 11 54 9 11, , ; , ,
25 25 25 25x y x y
Dada la circunferencia Ca,r y un punto P0(x0,y0) de dicha circunferencia, para
calcular la recta tangente s a la circunferencia Ca,r en el punto P0 . Teniendo en
cuenta que la pendiente m de la recta t que pasa por los puntos P0(x0,y0) y
a(a1,a2) es
Como la pendiente de la recta s perpendicular a t es
La recta tangente s será:
Recta tangente por un punto
0 2
0 1
y am
x a
1 0
0 2
1'
a xm
m y a
1 00 0
0 2
a xy y x x
y a
a
P0
t
s
m
C
Ejemplo:
Calcular la ecuación de la recta tangente a la circunferencia x2 + y2 - 2 x = 0 en
el punto (0,0).
Como se puede comprobar que el punto (0,0) pertenece a la circunferencia, y
que el centro de la circunferencia es el punto (1,0) la ecuación de la recta
tangente a la circunferencia que pasa por el punto (0,0) será
Recta tangente por un punto
1 00 0 0 1 0 0
0 0y x y x x
Se denomina POTENCIA de un punto P0(x0,y0) respecto de la circunferencia
Ca,r al número
Lógicamente se deduce:
Si P0 es un punto exterior a la circunferencia POTC(P0) > 0
Si P0 es un punto de la circunferencia POTC(P0) = 0
Si P0 es un punto exterior a la circunferencia POTC(P0) < 0
Potencia de un punto con respecto a una circunferencia
2 20 0; distancia ,CPot P d r d P a
C P0
d a
r
Si s es la recta tangente a Ca,r que pasa por P0(x0,y0) y a’ s Ca,r se
cumplirá
Basta tener en cuenta que el punto P0, a y a’ forman un triángulo rectángulo de
hipotenusa P0 a, y aplicar el teorema de Pitágoras
Potencia de un punto con respecto a una circunferencia
2
0 0distancia , 'CPot P P a
C P0
d a
r PotC(P0)
a’
Se denomina EJE RADICAL de dos circunferencias Ca,r y C’a’,r’ al conjunto de
puntos P(x,y) que cumplen
Además, este conjunto de puntos es una recta, ya que si:
Resolviendo la ecuación (1) e igualando a cero se obtiene la ecuación
(A-A’) x + (B-B’) y + (C-C’) = 0
Que es la ecuación de una recta
Eje radical de dos circunferencias
' (1)C CPot P Pot P
2 20
2 2' 0 ' ' '
C
C
Pot P x y Ax By C
Pot P x y A x B y C
Además, esta recta es perpendicular a la recta que une los dos centros de la
circunferencias, ya que el vector normal de esta recta es (A-A’,B-B’), que
precisamente es el vector formado por los dos centros.
Ejemplo: Calcular el eje radical de las circunferencias de ecuaciones:
x2 + y2 - 1 = 0
x2 + y2 + 2 y = 0
Solución: Igualando ambas ecuaciones obtenemos la ecuación del eje radical x2 + y2 - 1 - x2 - y2 - 2 y = 0 y = -1/2
Eje radical de dos circunferencias
Para construir geométricamente el eje radical de dos circunferencias Si son tangentes.- Es la recta tangente a ambas circunferencias y
perpendicular a la recta que une los centros de dichas circunferencias. Si son secantes.- Es la recta que pasa por los puntos de intersección de
ambas circunferencias. Si son exteriores.- Tranzando una circunferencia secante a ambas, y los
dos ejes radicales respectivos. Es la recta perpendicular a la recta que
une el centro de las dos circunferencias y pasa por el punto de
intersección de los ejes radicales trazados provisionalmente
Eje radical de dos circunferencias
Se denomina CENTRO RADICAL de tres circunferencias Ca,r , C’a’,r’ y C’’a’’,r’’ al
punto P que cumplen
Existe el centro radical P cuando los ejes radicales de las circunferencias no son
paralelos. Además, es el punto de intersección de los tres ejes radicales.
Por ejemplo para resolver el centro radical de las circunferencias
Resolviendo el sistema se obtiene el centro
(3/4,0)
Centro radical de tres circunferencias
' ' 'C C CPot P Pot P Pot P
2 2
2 2
2 2
2 0
2 0
4 3 0
x y y
x y y
x y x
Se denomina ELIPSE que tiene por focos al los puntos F1 y F2 (situados a una
distancia FOCAL d(F1,F2’) = 2 c ), y cuya constante es 2a R (siendo a>c), al
lugar geométrico de los puntos P(x,y), tales que d (P,F1) + d (P,F2) = 2 a.
La ecuación de la elipse. Elementos de la elipse.
Se denominan EJES de la elipse
(ejes de simetría ortogonales) a la
rectas que pasan por F1 y F2 (de
segmento mayor) y a su mediatriz
(de segmento menor). El punto de
intersección de los ejes es su centro
(O), y los puntos de intersección con
la elipse se denominan vértices (A1 y
A2 para el eje mayor, B1 y B2 para el
eje menor)
A1
B1
B2
A2
De la definición se desprende que la elipse es simétrica respecto de los
segmentos A1A2 y B1B2. Y se deduce:
d (A1,F1) + d (A1,F2) = d (A2,F1) + d (A2,F2) = 2.a ( por definición ) =
= d (O,A1) + d (O,A2) = 2.d(O,A1) d (O,A1) = d (O,A2) = a.
Y como los puntos B1 y B2 son simétricas respecto de los focos F1 y F2.
d(B1,F1) = d(B1,F2) = d(B2,F1) = d(B2,F2) = a d(O,B1) = d(O,B2) = b.
La ecuación de la elipse. Elementos de la elipse.
Y teniendo en cuenta que.
c = d(O,F1) = d(O,F2);
será:
a 2 = b 2 + c 2.
c
b
En el caso particular, de que los ejes mayores y menores de la elipse sean
respectivamente el eje OX y OY, de un sistema de referencia cartesiano. Los
focos F1 y F2 tendrán coordenadas (-c,0) y (c,0) respectivamente. Y para cada
punto P de la elipse, como se cumple la condición d (P,F1) + d (P,F2) = 2.a.
Desarrollando la expression se obtiene la ecuación reducida de la elipse
La ecuación de la elipse. Elementos de la elipse.
2 2
2 21
x y
a b
Razonado análogamente, si tomamos los ejes mayores y menores de la elipse
sean respectivamente el eje OY y OX, dicha ecuación queda:
2 2
2 21
x y
b a
En el caso de que traslademos el origen de coordenadas hasta el punto (u,v) la
elipse reducida tendrá por ecuación
La ecuación de la elipse. Elementos de la elipse.
2 2
2 21
x u y v
a b
v u
Ejemplo.- Calcular la ecuación de la elipse cuyos focos son F1(-4,0) y F2(4,0) y
su semieje mayor es a = 5
La ecuación de la elipse. Elementos de la elipse.
2 2
2 21
5 3
x y
Como a = 5 y c = 4, de la relación a2 = b2 + c2, se obtiene que b = 3, y por tanto
la ecuación será
Se denomina EXCENTRICIDAD de la elipse al número e = c/a (0 < c < a), que
está comprendido entre 0 y 1. Y se aproximará a un círculo cuando e sea
próximo a 1 y será muy achatada cuando se aproxime a 0
Excentricidad de la elipse.
Ejemplo.- Calcular la ecuación de la elipse cuyos focos son F1(-4,0) y F2(4,0) y
su semieje mayor es a = 5 y su excentricidad
2 2
2 21
5 3
x y
Como a = 5 y c = 4, de la relación a2 = b2 + c2, se obtiene que b = 3, y por tanto
la ecuación será
Y su excentricidad será e = c/a = 4/5
La elipse posee la siguiente propiedad de reflexión: Si por un punto P de una
elipse se traza una tangente, los radios locales PF1 y PF2 forman con la
tangente ángulos iguales
Propiedad geométrica de la elipse.
Se denomina HIPÉRBOLA que tiene por focos al los puntos F1 y F2 (situados
a una distancia focal d(F1,F2’) = 2 c), y cuya constante es 2a R (siendo a<c), al
lugar geométrico de los puntos P(x,y), tales que | d (P,F1) - d (P,F2) | = 2 a.
La ecuación de la hipérbola. Elementos de la hipérbola.
Se denominan EJES de la
hipérbola (ejes de simetría
ortogonales) a la rectas que pasan
por F1 y F2 y a su mediatriz. El punto
de intersección de los ejes es su
centro (O), y los puntos de
intersección con la hipérbola se
denominan vértices (A1 y A2)
A2
A1
De la definición se desprende que la elipse es simétrica respecto de los ejes de
simetría. Y se deduce:
d (A2,F1) - d (A2,F2) = d (A2,A1) + d (A1,F1) - d (A2,F2) = 2.a ( por definición ) =
= d (O,A2) + d (O,A1) = 2.d(O,A1) d (O,A1) = d (O,A2) = a
La ecuación de la hipérbola. Elementos de la hipérbola.
Los puntos (0, b), se denominan
extremos imaginarios, y son tales
que, su distancia (b) al punto O
cumple
a 2 + b 2 = c 2
Siendo
a = d (A1,O) = d (A2,O)
c = d (F1,O) = d (F2,O)
En el caso particular, de que los ejes mayores y menores de la hipérbola sean
respectivamente el eje OX y OY, de un sistema de referencia cartesiano. Los
focos F1 y F2 tendrán coordenadas (-c,0) y (c,0) respectivamente. Y para cada
punto P de la elipse, como se cumple la condición | d(P,F1) - d(P,F2) | = 2.a.
Desarrollando la expresión y simplificando se obtiene la ecuación reducida de
la hipérbola
La ecuación de la hipérbola. Elementos de la hipérbola.
2 2
2 21
x y
a b—
Razonado análogamente, si tomamos los ejes mayores y menores de la
hipérbola sean respectivamente el eje OY y OX, dicha ecuación queda:
2 2
2 21
y x
a b—
En el caso de que traslademos el origen de coordenadas hasta el punto (u,v) la
hipérbola reducida tendrá por ecuación
La ecuación de la hipérbola. Elementos de la hipérbola.
2 2
2 21
x u y v
a b
—
v u
La ecuación de la hìpérbola. Elementos de la hipérbola.
Ejemplo.- Calcular la ecuación de la hipérbola cuyos focos son F1(-5,0) y
F2(5,0) y sus vértices son A1(-4,0) y A2(4,0)
2 2
2 21
5 3
x y—
Como a = 4 y c = 5, de la relación c2 = a2 + b2, se obtiene que b = 3, y por tanto
la ecuación será
Se denomina EXCENTRICIDAD de la hipérbola al número e = c/a (0 < a < c),
que es mayor que 1. Se aproximará a los focos y estará estirada cuando e sea
próximo a 1 y será muy alargada cuando e sea mucho mayor que 1
Excentricidad de la hipérbola.
Ejemplo.- Calcular la ecuación de la hipérbola cuyos focos son F1(-5,0) y
F2(5,0) y sus vértices son A1(-4,0) y A2(4,0) . Calcular su excentricidad.
2 2
2 21
5 3
x y—
Como a = 4 y c = 5, de la relación c2 = a2 + b2, se obtiene que b = 3, y por tanto
la ecuación será
Y su excentricidad será e = c/a = 5/4
Se denomina PARÁBOLA que tiene por focos al punto F y recta directriz D
(situada a una distancia p de F), al lugar geométrico de los puntos P(x,y), tales
que d (P,F) = d (P,D).
La ecuación de la parábola. Elementos de la parábola.
Se denomina EJE
de la elipse a la
rectas perpendicular a
la directriz D que
pasa por F. El punto
de intersección del
eje con la parábola se
denomina vértice ( O)
Si consideramos el eje de la parábola el eje OX y el vértice el origen de
coordenadas, será F(p/2,0) y D: x = -p/2. Y como para cualquier P(x,y) de la
parábola se debe de cumplir:
d (P,F) = d (P,D) (x – (p/2))2 + y2 = (x +(p/2))2
y2 = 2px
La ecuación de la parábola. Elementos de la parábola.
Razonando de manera análoga con el eje de la parábola el eje OY y el
vértice el origen de coordenadas se obtiene la ecuación.
x2 = 2py
D y P F x p
En el caso de que traslademos el origen de coordenadas hasta el punto (u,v) la
parábola reducida tendrá por ecuación
(y-v)2 = 2p(x-u)
La ecuación de la parábola. Elementos de la parábola.
v u
Ejemplo.- Calcular la ecuación reducida de la parábola cuyo foco es el punto
F(-1,0) y su directriz es la ecuación x = 1
La ecuación de la parábola. Elementos de la parábola.
2 4y x
La parábola está centrada en el origen de coordenadas y como p = 2 su
ecuación será
La parábola posee la siguiente propiedad: Si por un punto P de una parábola
se traza una tangente, el radio focal PF y la recta que pasa por P y es paralela
al eje de simetría forman con la tangente ángulos iguales
Propiedad geométrica de la parábola.
Mas ayuda del tema de la página
Matemática de DESCARTES del
Ministerio de Educación y ciencia
(http://recursostic.educacion.es/descartes/web/)
En la siguiente diapósitiva
Mas ayuda del tema de la página
Manuel Sada
(figuras de GeoGebra)
(http://docentes.educacion.navarra.es/
msadaall/geogebra/)
En la siguiente diapósitiva
