Upload
andreas-bahda
View
236
Download
2
Embed Size (px)
Citation preview
8/17/2019 1.Sistem Bilangan Riil-STT Telkom
1/12
Sistem Bilangan Riil
MA 1114 Kalkulus 1 2
Pendahuluan
Kalkulus didasarkan pada sistem bilangan
riil dan sifat-sifatnya.
Sistem bilangan riil adalah himpunan
bilangan riil yang disertai operasi
penjumlahan dan perkalian sehingga
memenuhi aksioma tertentu.
MA 1114 Kalkulus 1 3
Komponen bilangan riil dapat digambarkan sebagai
berikut :
8/17/2019 1.Sistem Bilangan Riil-STT Telkom
2/12
MA 1114 Kalkulus 1 4
Pendahuluan
Himpunan bilangan riil adalah sekumpulan bilangan
yang dapat mengukur panjang, bersama-sama dengan
negatifnya dan nol. [ Purcell]
Himpunan bilangan rasional adalah bilangan yang
dapat dituliskan dalam bentuk
Apakah bilangan-bilangan rasional berfungsi mengukur
semua panjang ? Tidak. Fakta ini ditemukan oleh orang
yunani kuno beberapa abad sebelum masehi.
m,n bilangan bulat, dengan n ≠ 0.n
m
MA 1114 Kalkulus 1 5
Pendahuluan
Kita lihat sebuah segitiga siku-siku :
2 1
1
merupakan panjang sisi miring sebuah segitiga, tetapi
bilangan ini tidak dapat dituliskan sebagai suatu hasil
bagi 2 bilangan bulat. Jadi bilangan tersebut adalah
bialngan irrasional.
2
MA 1114 Kalkulus 1 6
Pendahuluan
Contoh bilangan irrasional yang lain adalah , ,3 5 π
dan lain-lain.
Secara geometri, sistem bilangan riil digambarkan pada
suatu garis bilangan.
Dari garis bilangan tersebut, muncul suatu yang dinamakan
interval. Interval yaitu suatu himpunan bagian dari R yang
memenuhi pertidaksamaan tertentu.
Definisi interval, notasi dan gambarnya adalah sebagai
berikut :
8/17/2019 1.Sistem Bilangan Riil-STT Telkom
3/12
MA 1114 Kalkulus 1 7
Pendahuluan
Definisi Notasi
{ }a x x < ( )a,∞−
{ }a x x ≤ ( ]a,∞−
{ }b xa x ( )∞,b{ }b x x ≥ [ )∞,b{ }ℜ∈ x x ( )∞∞,
MA 1114 Kalkulus 1 8
Pendahuluan
• Sifat-sifat urutan :
Trikotomi
Jika x dan y adalah suatu bilangan, maka pasti berlaku
salah satu dari x < y atau x > y atau x = y
Ketransitifan
Jika x < y dan y < z maka x < z
Perkalian
Misalkan z bilangan positif dan x < y maka xz < yz,
sedangkan bila z bilangan negatif, maka xz > yz
MA 1114 Kalkulus 1 9
Pertidaksamaan
Pertidaksamaan satu variabel adalahsuatu bentuk aljabar dengan satu variabelyang dihubungkan dengan relasi urutan.
Bentuk umum pertidaksamaan :
dengan A(x), B(x), D(x), E(x) adalah sukubanyak (polinom) dan B(x) ≠ 0, E(x) ≠ 0
( )( )
( )( ) x E x D
x B
x A
8/17/2019 1.Sistem Bilangan Riil-STT Telkom
4/12
MA 1114 Kalkulus 1 10
Pertidaksamaan
Menyelesaikan suatu pertidaksamaan
adalah mencari semua himpunanbilangan riil yang membuat
pertidaksamaan berlaku.
Cara menyelesaikan pertidaksamaan :
1. Bentuk pertidaksamaan diubah menjadi :
, dengan cara :0
)(
)(<
xQ
xP
MA 1114 Kalkulus 1 11
Pertidaksamaan
Ruas kiri atau ruas kanan dinolkan
Menyamakan penyebut dan menyederhanakan bentuk
pembilangnya
2. Dicari titik-titik pemecah dari pembilang dan
penyebut dengan cara P(x) dan Q(x) diuraikan
menjadi faktor-faktor linier dan/ atau kuadrat
3. Gambarkan titik-titik pemecah tersebut pada
garis bilangan, kemudian tentukan tanda (+, -)
pertidaksamaan di setiap selang bagian yang
muncul
MA 1114 Kalkulus 1 12
Contoh : Menentukan Himpunan
Penyelesaian
53213 ≥−≥ x
352313 +≥≥+⇔ x
8216 ≥≥⇔ x48 ≥≥⇔ x
84 ≤≤⇔ x
[ ]8,4Hp =4 8
1
8/17/2019 1.Sistem Bilangan Riil-STT Telkom
5/12
MA 1114 Kalkulus 1 13
Contoh : Menentukan Himpunan
Penyelesaian
8462 ≤−
8/17/2019 1.Sistem Bilangan Riil-STT Telkom
6/12
MA 1114 Kalkulus 1 16
Contoh : Menentukan Himpunan
Penyelesaian
Hp = [ )∞∩⎥⎦
⎤⎜
⎝
⎛ ∞− ,0
9
10,
09
10
Dari gambar tersebut dapat disimpulkan :
Hp = ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡9
10,0
MA 1114 Kalkulus 1 17
Contoh : Menentukan Himpunan
Penyelesaian
13
2
1
1
−<
+ x x
013
2
1
1<
−−
+⇔
x x
( ) ( )( )( )
0131
2213<
−++−−
⇔ x x
x x
5.
( )( ) 0
131
2213<
−+−−−
⇔ x x
x x
TP : -1, 3
1
− , 3
3
++ ++--
-1
--
31−
Hp = ( ) ⎟ ⎠
⎞⎜⎝
⎛ −∪−∞− 3,3
11,
MA 1114 Kalkulus 1 18
Contoh : Menentukan Himpunan
Penyelesaian
x
x
x
x
+≤
−+
32
1
032
1
≤+−−
+
⇔ x
x
x
x
( )( ) ( )( )( )
032
231≤
+−−−++
⇔ x x
x x x x
( )( ) 0
32
322 2≤
+−++
⇔ x x
x x
6.
8/17/2019 1.Sistem Bilangan Riil-STT Telkom
7/12
MA 1114 Kalkulus 1 19
Contoh : Menentukan Himpunan
Penyelesaian
Untuk pembilang 322 2 ++ x x mempunyai nilai
Diskriminan (D) < 0, sehingga nilainya selalupositif, Jadi TP : 2,-3
Pembilang tidak menghasilkan titik pemecah.
-3 2
-- ++ --
( ) ( )∞∪−∞ ,23,Hp =
MA 1114 Kalkulus 1 20
Pertidaksamaan nilai mutlak
Nilai mutlak x (| x|) didefinisikan sebagai
jarak x dari titik pusat pada garis bilangan,
sehingga jarak selalu bernilai positif.
Definisi nilai mutlak :
⎩⎨⎧
8/17/2019 1.Sistem Bilangan Riil-STT Telkom
8/12
MA 1114 Kalkulus 1 22
Contoh : Menentukan Himpunan
Penyelesaian
41
8/17/2019 1.Sistem Bilangan Riil-STT Telkom
9/12
MA 1114 Kalkulus 1 25
Contoh : Menentukan Himpunan
Penyelesaian
Hp = ( ]1,,3
4−∞−∩⎟
⎠
⎞⎢⎣
⎡ ∞−
Jika digambar pada garis bilangan :
-13
4−
++--++
MA 1114 Kalkulus 1 26
Contoh : Menentukan Himpunan
Penyelesaian
272
≥+ x
272
≥+⇔ x
272
−≤+ x
52
−≥⇔ x
92
−≤ x
10−≥⇔ x 18−≤ x
[ ) ( ]18,,10 −∞−∪∞−
4.
atau
atau
atau
Hp =
-18 -10
MA 1114 Kalkulus 1 27
Contoh : Menentukan Himpunan
Penyelesaian
⎩⎨
⎧
8/17/2019 1.Sistem Bilangan Riil-STT Telkom
10/12
MA 1114 Kalkulus 1 28
Contoh : Menentukan Himpunan
Penyelesaian
1−
8/17/2019 1.Sistem Bilangan Riil-STT Telkom
11/12
MA 1114 Kalkulus 1 31
Contoh : Menentukan Himpunan
Penyelesaian
21
8/17/2019 1.Sistem Bilangan Riil-STT Telkom
12/12
MA 1114 Kalkulus 1 34
Hp = 3Hp2Hp1Hp ∪∪
( ) ⎟ ⎠
⎞⎢⎣
⎡ ∞∪⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−∪−∞−= ,2
5
4
7,11,Hp
Untuk lebih mempermudah, masing-masing interval
digambarkan dalam sebuah garis bilangan
Contoh : Menentukan Himpunan
Penyelesaian
MA 1114 Kalkulus 1 35
Contoh : Menentukan Himpunan
Penyelesaian
Jadi Hp = ⎟ ⎠
⎞⎢⎣
⎡ ∞∪⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ ∞− ,2
5
4
7,
47
25-1
47 2
5-1
47
25-1
MA 1114 Kalkulus 1 36
Soal Latihan
5432 +≥+ x x
22212
≥+++ x x
Cari himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan
3232 ≤−+− x x
1
2
3
x x
x−≥
−+
124
2
4
3
122 +
+
≤
− x
x
x
x
5
23 ≤+ x x6