1

Zadatak 461 (Mada, studentica ☺☺☺☺)

Cisterna je napunjena sa 20000 L benzina u Splitu u 18 sati. Kada je u ponoć vozač dovezao cisternu u Zagreb utvrđeno je da nedostaje 380 litara benzina. Je li vozač kriv za manjak? Izračunaj i obrazloži svoj odgovor. Temperatura u Splitu je bila 15 °C, a u Zagrebu – 5 °C. Koeficijent volumnog širenja benzina je 9.5 · 10-4 K-1.

Rješenje 461

V1 = 20000 L = 20000 dm3= 20 m3, ∆V = 380 L = 380 dm3 = 0.38 m3, t1 = 15 °C, t2 = – 5 °C, α = 9.5 · 10-4 K-1, V2 = ?

3 3,

31 1000 .1 1m dm L dm= =

Kad čvrstom tijelu povisimo temperaturu, njegove se dimenzije povećaju. Ako su sve dimenzije čvrstog tijela podjednako izražene, riječ je o obujamnom rastezanju. Neka tijelo pri 0 °C ima obujam V0. Povisimo li tijelu temperaturu za t (od 0 °C do t), njegov će se obujam povećati za

0,V t Vα∆ = ⋅ ⋅

gdje je α koeficijent obujamnog rastezanja. Pri temperaturi t tijelo će imati obujam

( )10 .V V tt α= ⋅ + ⋅

Taj izraz vrijedi i za obujamno rastezanje tekućina, kao i za šuplja čvrsta tijela. Gustoću ρ neke tvari možemo naći iz količnika mase m tijela i njegova obujma V:

.m m

m V VV

ρ ρρ

= ⇒ = ⋅ ⇒ =

Računamo obujam benzina V2 u Zagrebu na temperaturi t2.

( )

( )( )( )

podijelimo

jednadžbe

1 11 0 1 0 22

11 1 0 12 0 2

V V t V tV

V V tV V t

α α

αα

= ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅⇒ ⇒ = ⇒

⋅ + ⋅= ⋅ + ⋅

( )( )1 1 122 2 2 2 2

1 10

11 1 1 1 1/

11

0

tV V t V t

V V t VV

V t

V

t

α α α

α αα

⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒

+ ⋅ + ⋅⋅ + ⋅⋅

( )14

1 9.5 10 51 3 3 32 20 19.625 19625 19 625 .2 1 141 1 1 9.5 10 15

KtKV V m m dm L

tK

K

α

α

−+ ⋅ ⋅ −+ ⋅

⇒ = ⋅ = ⋅ = = =−+ ⋅

+ ⋅ ⋅

Razlika volumena iznosi: 20 000 19 625 375 .1 2V V V L L L∆ = − = − =

Cisterna zagrijavanjem mijenja obujam prema zakonu

( )1 .0V V tt α= ⋅ + ⋅

Prema tom zakonu mijenja se i obujam benzina u cisterni. Snižavanjem temperature obujam benzina bit će manji u Zagrebu nego u Splitu. Vozač nije kriv.

Vježba 461

Cisterna je napunjena sa 200 hl benzina u Splitu u 17 sati. Kada je u ponoć vozač dovezao cisternu u Zagreb utvrđeno je da nedostaje 375 litara benzina. Je li vozač kriv za manjak? Izračunaj i obrazloži svoj odgovor. Temperatura u Splitu je bila 15 °C, a u Zagrebu – 5 °C. Koeficijent volumnog širenja benzina je 9.5 · 10-4 K-1.

Rezultat: V2 = 19 625 L.

2

Zadatak 462 (Ivan, tehnička škola)

Izobarnim procesom određenoj se količini plina pri tlaku od 4 bara poveća obujam od jedne do dvije i pol litre. Koliki je rad plina?

Rješenje 462

p = 4 bara = 4 · 105 Pa, V1 = 1 l = 1 dm3 = 1 · 10-3 m3, V2 = 2.5 l = 2.5 dm3 = = 2.5 · 10-3 m3, W = ?

3 3,

31 1000 .1 1m dm L dm= =

Kad plinu dovodimo toplinu uz stalan tlak (izobarna promjena), plin se rasteže i obavlja rad koji je jednak

( )2 1 .W p V W p V V= ⋅ ∆ ⇒ = ⋅ −

Paralelogrami su četverokuti kojima su po dvije nasuprotne stranice usporedne (paralelne). Pravokutnik je paralelogram koji ima barem jedan pravi kut (pravi kut ima 90º). Površina pravokutnika Površina pravokutnika je jednaka produktu njegove duljine a i širine b.

.P a b= ⋅ 1.inačica

Rad pri izobarnom širenju plina je

( ) ( )5 3 3 3 34 10 2.5 10 1 10 600 .2 1W p V V Pa m m J

− −= ⋅ − = ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ =

2.inačica

Nacrtajmo p, V – dijagram. Rad je po iznosu jednak veličini površine ispod krivulje (ploština pravokutnika).

( )3 3 3 52.5 10 1 10 4 10 600 .W m Pa J

− −= ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ =

Vježba 462

Izobarnim procesom određenoj se količini plina pri tlaku od 4 bara poveća obujam od dvije do tri i pol litre. Koliki je rad plina?

Rezultat: 600 J. Zadatak 463 (Ante, tehnička škola)

Koliko se puta poveća tlak plina u balonu električne žarulje, ako se poslije uključivanja temperatura plina povisi od 15 ºC na 303 ºC?

. 2 . 3 . 4 . 5A B C D

Rješenje 463

V1 = V2 = V, t1 = 15 °C => T1 = 273 + t1 = (273 + 15) K = 288 K,

3

t2 = 303 °C => T2 = 273 + t2 = (273 + 303) K = 576 K, 2 ?1

p

p=

Broj atoma i molekula u makroskopskim tijelima je velik i obično se ne izražava brojnošću, već veličinom množina, tj. količina tvari (znak: n). Jedinica za količinu tvari ili množinu je mol (znak: mol). Jednadžba stanja plina, ako je zadana množina n idealnog plina, glasi:

,p V n R T⋅ = ⋅ ⋅

gdje je p tlak, V obujam plina, n množina tvari, R plinska konstanta, T termodinamička temperatura plina. Iz sustava jednadžbi stanja plina za početno (prvo) stanje i konačno (drugo) stanje plina dobije se:

1 1 1 1 1 2 2

2 2 2 2 2 1 1

podijelimo

jednadžbe

p V n R T p V n R T p V n R T

p V n R T p V n R T p V n R T

⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⇒ ⇒ ⇒ = ⇒

⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

5762 2 2 2 2 2 2.2881 1 1 1 1 1

p T p T p pK

p T p T p K p

V n R

V n R

⋅ ⋅ ⋅⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ =

⋅ ⋅ ⋅

Odgovor je pod A.

Vježba 463

Koliko se puta poveća tlak plina u balonu električne žarulje, ako se poslije uključivanja temperatura plina povisi od 15 ºC na 5991 ºC?

. 2 . 3 . 4 . 5A B C D

Rezultat: B.

Zadatak 464 (XY, maturantica)

Željezne šine od kojih su napravljene tračnice željezničke pruge složene su jedna za drugom po duljini. Na temperaturi od 0 ºC razmaknute su 4 · 10-2 m. Šine su pri toj temperaturi duge 22.5 m. Do koje bi se najmanje temperature morale zagrijati šine da bi nestao razmak? (koeficijent linearnog rastezanja za željezo pri temperaturi 0 ºC je 1.2 º 10-5 K-1)

Rješenje 464

∆l = 4 · 10-2 m, l0 = 22.5 m, β = 1.2 º 10-5 K-1, ∆t = ?

Kad štapu nekog čvrstog tijela, koji prema dogovoru pri 0 °C ima duljinu l0, povisimo temperaturu za t (od 0 °C do t), on će se produljiti za:

,l l tβ∆ = ⋅ ⋅�

gdje je β koeficijent linearnog rastezanja koji se definira izrazom:

.l lt

l tβ

−=

⋅

�

�

Jedinica za koeficijent linearnog rastezanja je K-1.

Kelvinova i Celzijeva ljestvica su dvije različite temperaturne ljestvice. Međunarodni sustav mjernih jedinica (SI) za temperaturu propisuje jedinicu kelvin (K). Tu temperaturu zovemo termodinamička temperatura (T). Temperaturna razlika od 1 K jednaka je temperaturnoj razlici od 1 °C, što izražavamo jednadžbom:

( ) ( ) .T K t C∆ = ∆�

1/

ll l t l t l l t l t

llβ β β

ββ

∆∆ = ⋅ ⋅ ∆ ⇒ ⋅ ⋅ ∆ = ∆ ⇒ ⋅ ⋅ ∆ = ∆ ⇒ ∆⋅

⋅= =

⋅� � �

��

24 10148 .

1522.5 1.2 10

mK

mK

−⋅

= =−

⋅ ⋅

4

Promjena temperature mora biti ∆t = 148 ºC.

Vježba 464

Željezne šine od kojih su napravljene tračnice željezničke pruge složene su jedna za drugom po duljini. Na temperaturi od 0 ºC razmaknute su 4 cm. Šine su pri toj temperaturi duge 22.5 m. Do koje bi se najmanje temperature morale zagrijati šine da bi nestao razmak? (koeficijent linearnog rastezanja za željezo pri temperaturi 0 ºC je 1.2 º 10-5 K-1)

Rezultat: ∆t = 148 ºC. Zadatak 465 (Una, gimnazija)

Nađi gustoću smjese plinova koja se sastoji od vodika i kisika u omjeru 2 : 3 pri tlaku od 100 kPa i temperaturi 300 K. (plinska konstanta R = 8.314 J / (K · mol), molna masa vodika M1 = 2 g / mol, molna masa kisika M2 = 32 g / mol)

Rješenje 465

m1 : m2 = 2 : 3, p = 100 kPa = 105 Pa, T = 300 K. R = 8.314 J / (K · mol), M1 = 2 g / mol = 0.002 kg / mol, M2 = 32 g / mol = 0.032 kg / mol, ρ = ?

Ako su a i b brojevi, kažemo da je količnik a : b, b ≠ 0 omjer brojeva a i b. Razmjer ili proporcija je jednakost dvaju jednakih omjera. Ako je

a : b = k i c : d = k, tada je razmjer ili proporcija

a : b = c : d.

Umnožak vanjskih članova razmjera a i d jednak je umnošku unutarnjih članova razmjera b i c.

.: :a b c d a d b c= ⇒ ⋅ = ⋅ Gustoću ρ neke tvari možemo naći iz količnika mase m tijela i njegova obujma V:

.m m

VV

ρρ

= ⇒ =

Jednadžba stanja plina, ako je zadana masa plina m i molna masa M, glasi:

,m

p V R TM

⋅ = ⋅ ⋅

gdje je p tlak, V obujam plina, m masa plina, M molna masa plina, R plinska konstanta, T termodinamička temperatura plina. Imamo li smjesu nekoliko plinova, ukupni će tlak biti jednak zbroju parcijalnih tlakova pomiješanih plinova. Tlak smjese je

...1 2 3 ,p p p p= + + +

gdje su p1, p2, p3, tlakovi pojedinih plinova. Parcijalni ili djelomični tlak plina je tlak što bi ga imala jedna od pomiješanih količina plina kad bi sama ispunila cijeli prostor u kojemu se nalazi smjesa. Iz omjera masa plinova dobije se:

2: 2 : 3 3 2 3 2 .1 2 1 2 / : 131 2 23

m m m m m m m m= ⇒ ⋅ = ⋅ ⇒ ⋅ = ⋅ ⇒ = ⋅

Za svaki plin, vodik i kisik, može se napisati jednadžba:

1/

1/

1 1 11 1 1

1 1 1 .2 2 2

2 2 22 2 2

m m m R Tp V R T p V R T p

M M M V

m m m R Tp V R T p V R T p

M

V

VM M V

⋅⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅

⇒ ⇒⋅

⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =

⋅

⋅ ⋅

Budući da za ukupni tlak smjese plinova vodika i kisika vrijedi

1 2 ,p p p= +

dobije se:

5

1 2 1 21 2

1 2 1 2

m m m mR T R T R Tp p p p p

M V M V M M V

⋅ ⋅ ⋅= + ⇒ = ⋅ + ⋅ ⇒ = + ⋅ ⇒

1 2 1 2 .1 2 1

/2

Vm m m mR T R Tp V

M M V p M M p

⋅ ⋅⇒ = + ⇒ ⋅⋅⋅ = +

Gustoća smjese plinova iznosi:

( )1 21 2 1 2

1 2

21

1 2

2 2

3

1 1

2

m m pm m m m

V m m m mR TR T

m

M

m

M M p M

ρ ρ ρ+ ⋅+ +

= ⇒ = ⇒ = ⇒ ⇒⋅

+ ⋅ + ⋅

=

⋅

⋅

2 212 2 23 3

2 2 12 223 31 2 1 2

m m p m p

m mR T m R T

M M M M

ρ ρ

⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅

⇒ = ⇒ = ⇒⋅

+ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅⋅ ⋅

2 2 51 13 3 3

2 1 2 1 2 1

3 3 31 2 2 1

2

1 22

p p p

R T R T R TM M M M M M

m

m

ρ ρ ρ

⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅

⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒

⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅

5 5

2 1 2 33

3 1 2 1 2

p p

R T R TM M M M

ρ ρ⋅ ⋅

⇒ = ⇒ = =

⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅⋅

55 10

0.18328 .3

2 38.314 300

0.002 0.032

Pa kg

mJ

Kkg kg K mol

mol mol

⋅= =

+ ⋅ ⋅⋅

Vježba 465

Nađi gustoću smjese plinova koja se sastoji od vodika i kisika u omjeru 4 : 6 pri tlaku od 100 kPa i temperaturi 300 K. (plinska konstanta R = 8.314 J / (K · mol), molna masa vodika M1 = 2 g / mol, molna masa kisika M2 = 32 g / mol)

Rezultat: 0.18328 kg / m3. Zadatak 466 (Tibor, gimnazija)

Kolika je gustoća plina pri normiranim uvjetima (p = 101325 Pa, T = 273.15 K), ako je njegova molna masa 0.04 kg / mol? (plinska konstanta R = 8.314 J / (K · mol))

Rješenje 466

p = 101325 Pa, T = 273.15 K, M = 0.04 kg / mol, R = 8.314 J / (K · mol), ρ = ?

Gustoću ρ neke tvari možemo naći iz količnika mase m tijela i njegova obujma V:

.m

Vρ =

Jednadžba stanja plina, ako je zadana masa plina m i molna masa M, glasi:

6

,m

p V R TM

⋅ = ⋅ ⋅

gdje je p tlak, V obujam plina, m masa plina, M molna masa plina, R plinska konstanta, T termodinamička temperatura plina.

/m m m m p M

p V R T R T p V RM

R T VT p V

M M M V R T⋅

⋅⋅ = ⋅ ⋅ ⇒ ⋅ ⋅ = ⋅ ⇒ ⋅ ⋅ = ⋅ ⇒ =

⋅ ⋅⋅⇒

101325 0.041.78 .3

8.314 273.15

kgPa

p M kgmol

JR T mKK mo

V

l

mρ ρ

⋅⋅

⇒ ⇒ = = =⋅

⋅⋅

=

Vježba 466

Kolika je gustoća plina pri normiranim uvjetima (p = 101325 Pa, T = 273.15 K), ako je njegova molna masa 40 g / mol?

Rezultat: 1.78 kg / mol. Zadatak 467 (Laura, srednja škola)

Brzina čestice plina je 400 m / s. Odredite njezinu masu ako znate da je temperatura 27 ºC. (Boltzmannova konstanta k = 1.38 · 10-23 J / K)

Rješenje 467

v = 400 m / s, t = 27 ºC => T = 273.15 + t = (273.15 + 27) K = 300.15 K, k = 1.38 · 10-23 J / K, m = ?

Srednja kinetička energija: • za česticu mase m je

1 2

2,E m v

k= ⋅ ⋅

gdje je v efektivna brzina • jedne čestice proporcionalna je apsolutnoj temperaturi T:

3

2.E k T

k= ⋅ ⋅

1 21 3 1 3 32 22

23 2 2 2 2

2

2/ 2

E m vk k T

m v k T m v k T m

vk T vEk

= ⋅ ⋅⋅ ⋅

⇒ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⇒ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⇒ = =

= ⋅

⋅

⋅

233 1.38 10 300.15

267.7625 10 .

2400

JK

K kg

m

s

−⋅ ⋅ ⋅

−= = ⋅

Vježba 467

Brzina čestice plina je 0.4 km / s. Odredite njezinu masu ako znate da je temperatura 27 ºC. (Boltzmannova konstanta k = 1.38 · 10-23 J / K)

Rezultat: 7.7625 · 10-26 kg.

7

Zadatak 468 (Laura, srednja škola)

Posuda obujma 10 litara sadrži jednoatomni plin pod tlakom 2000 hPa. Kolika je ukupna kinetička energija svih čestica plina?

Rješenje 468

V = 10 L = 10 dm3 = 10-2 m3, p = 2000 hPa = 2 · 105 Pa, Ek = ?

Unutarnja energija idealnog plina jednaka je srednjoj kinetičkoj energiji svih njegovih čestica. Za jednoatomne plinove možemo za unutarnju energiju napisati jednadžbu

2,

3U p V= ⋅ ⋅

gdje je p tlak plina, V obujam plina.

3 3 5 2 32 10 10 3000 3 .3 2 2

2

E Uk

E p V Pa m J kJk

U p V

=−

⇒ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = == ⋅ ⋅

Vježba 468

Posuda obujma 0.1 hl sadrži jednoatomni plin pod tlakom 200 kPa. Kolika je ukupna kinetička energija svih čestica plina?

Rezultat: 3 kJ. Zadatak 469 (Marko, srednja škola)

Dva tijela jednakih masa načinjena iz istog materijala imaju temperature od 20 ºC i 50 ºC. Ako ih stavimo u kontakt (zanemarite gubitke topline na okolinu) konačna temperatura tijela u ºC će biti:

. 44 . 35 . 15 . 70A B C D

Rješenje 469

m1 = m2 = m, c1 = c2 = c, t1 = 20 ºC, t2 = 50 ºC, t = ?

Zakon očuvanja energije: • Energija se ne može ni stvoriti ni uništiti, već samo pretvoriti iz jednog oblika u drugi. • Ukupna energija zatvorenog (izoliranog) sustava konstantna je bez obzira na to koji se procesi

zbivaju u tom sustavu. Kad se u nekom procesu pojavi gubitak nekog oblika energije, mora se pojaviti i jednak prirast nekog drugog oblika energije. Richmannovo pravilo: pravilo iz kojega se određuje temperatura smjese dviju ili više tvari različitih masa, temperatura i specifičnih toplinskih kapaciteta. Kad su u međusobnom dodiru dva tijela različitih temperatura, onda je, prema zakonu o očuvanju energije, povećanje unutrašnje energije tijela koje se grije jednako smanjenju unutrašnje energije tijela koje se hladi, tj.

( ) ( )1 2 1 1 1 2 2 ,2Q Q m c t t m c t t= ⇒ ⋅ ⋅ − = ⋅ ⋅ −

gdje je t konačna temperatura, tj. temperatura pri kojoj oba tijela postižu toplinsku ravnotežu. Toplina koju primi hladnije tijelo temperature t1 jednaka je toplini koju preda toplije tijelo temperature t2.

( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 2 2 2 1 2m c t t m c t t m c t t m c t t⋅ ⋅ − = ⋅ ⋅ − ⇒ ⋅ ⋅ − = ⋅ ⋅ − ⇒

( ) ( )1 2 1 2 21

1/m c t t m c t t t t t t tm

tc

t t⋅⋅

⇒ ⋅ ⋅ − = ⋅ ⋅ − ⇒ − = − ⇒ + = + ⇒

20 501 22 2 35 .1 2 11

/22 2 2

t t C Ct t t t t t t C

+ +⇒ ⋅ = + ⇒ ⋅ = + =⋅ ⇒ = =

� �

�

Odgovor je pod B.

8

Vježba 469

Dva tijela jednakih masa načinjena iz istog materijala imaju temperature od 10 ºC i 20 ºC. Ako ih stavimo u kontakt (zanemarite gubitke topline na okolinu) konačna temperatura tijela u ºC će biti:

. 44 . 35 . 15 . 70A B C D

Rezultat: C. Zadatak 470 (Marko, srednja škola)

Metak je ispaljen u komad kita male termičke vodljivosti. Temperatura metka se pri zaustavljanju povisi za 4 K. Za koliko će porasti temperatura metka pri zaustavljanju ako metak ima dvostruku brzinu od prijašnje?

. 4 . 6 . 8 . 16A K B K C K D K

Rješenje 470

m, v1 = v, c, ∆t1 = 4 K, v2 = 2 · v, ∆t2 = ?

Zakon očuvanja energije: • Energija se ne može ni stvoriti ni uništiti, već samo pretvoriti iz jednog oblika u drugi. • Ukupna energija zatvorenog (izoliranog) sustava konstantna je bez obzira na to koji se procesi

zbivaju u tom sustavu. • Kad se u nekom procesu pojavi gubitak nekog oblika energije, mora se pojaviti i jednak prirast

nekog drugog oblika energije. Tijelo mase m i brzine v ima kinetičku energiju

1 22

.E m vk

= ⋅ ⋅

Toplina Q je onaj dio unutarnje energije tijela koji prelazi s jednog tijela na drugo zbog razlike temperatura tih tijela. Toplina koju neko tijelo zagrijavanjem primi odnosno hlađenjem izgubi jednaka je

( ) ,2 1Q m c t Q m c t t= ⋅ ⋅ ∆ ⇒ = ⋅ ⋅ −

gdje je m masa tijela, c specifični toplinski kapacitet, a ∆t promjena temperature. Kinetička energija metka jednaka je, prema zakonu očuvanja energije, toplini koju ima pri zaustavljanju u komadu kita. Vrijedi sustav jednadžbi:

1 2podijelimo1 11 11 1 2

1 22 je22 22 22

dnadžbe

m c t m vE Q Q Ek k

E Q Q Ek k m c t m v

⋅ ⋅ ∆ = ⋅ ⋅= =⇒ ⇒ ⇒ ⇒

= =⋅ ⋅ ∆ = ⋅ ⋅

1 2 2 222 22 2 2 2 2 2 2

21 2 21 1 1 1 1112

1

1

21

2

m v vm c t t t vmm c

m c

t v

m c t t t t vvm v vm

⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅ ∆ ⋅ ⋅ ∆ ∆ ∆⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒

⋅ ⋅ ∆ ⋅ ⋅ ∆ ∆ ∆⋅ ⋅ ⋅ ⋅

2 2 2 22 22 2 2

2 1 2 1/ 1 2 11 1 1

t v v vt t t t t t

t v v

vt

vv

∆ ⋅ ⋅⇒ = ⇒ ∆ = ⋅⋅ ∆ ⇒ ∆ = ⋅ ∆ ⇒ ∆ = ⋅ ∆ ⇒

∆∆

22 4 4 16 .2 1t t K K⇒ ∆ = ⋅ ∆ = ⋅ =

Odgovor je pod D.

9

Vježba 470

Metak je ispaljen u komad kita male termičke vodljivosti. Temperatura metka se pri zaustavljanju povisi za 2 K. Za koliko će porasti temperatura metka pri zaustavljanju ako metak ima dvostruku brzinu od prijašnje?

. 4 . 6 . 8 . 16A K B K C K D K

Rezultat: C.

Zadatak 471 (Una, gimnazija)

Kotač lokomotive ima polumjer 0.5 m na temperaturi 0 ºC. Odredite razliku u broju okreta kotača ljeti na temperaturi 25 ºC i zimi na temperaturi – 25 ºC na putu dugome 100 km. Koeficijent linearnog rastezanja željeza od kojeg je kotač napravljen je 12 · 10-6 1 / ºC.

Rješenje 471

r = 0.5 m, t = 0 ºC, t1 = 25 ºC, t2 = – 25 ºC, s = 100 km = 105 m, β = 12 · 10-6 1 / ºC, ∆n = ?

Krug je skup svih točaka ravnine kojima je udaljenost od zadane točke S manja ili jednaka zadanom broju r > 0 (polumjeru kruga). Opseg kruga polumjera r iznosi:

2 .O r π= ⋅ ⋅

Kad štapu nekog čvrstog tijela, koji prema dogovoru pri 0 °C ima duljinu l0, povisimo temperaturu za t (od 0 °C do t), on će se produljiti za:

0 ,l l tβ∆ = ⋅ ⋅

gdje je β koeficijent linearnog rastezanja koji se definira izrazom:

0

0.

l lt

l tβ

−=

⋅

Jedinica za koeficijent linearnog rastezanja je K-1. Iz izraza za β slijedi da će nakon zagrijavanja duljina štapa biti jednaka:

( )10 .l l tt β= ⋅ + ⋅

Opseg kotača na temperaturi t = 0 °C iznosi:

2 .O r π= ⋅ ⋅ Njegov opseg bit će:

• na temperaturi t1

( ) ( )11 12 2 11 1 1 1O r r tr O r tπ β πβ= ⋅ + ⋅= ⋅ ⋅ ⇒ ⇒ = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅

• na temperaturi t2

( ) ( )12 22 2 12 2 2 2O r r tr O r tπ β πβ= ⋅ + ⋅= ⋅ ⋅ ⇒ ⇒ = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅

Lokomotiva prijeđe put s pa je odgovarajući broj okreta, ljeti i zimi, jednak

( )

( )

11 2 1 11 .

2 2 2 12 2

ssnn

r tO

s sn n

O r t

β π

β π

==⋅ ⋅ + ⋅ ⋅

⇒

= =⋅ ⋅ + ⋅ ⋅

Uočimo da vrijedi: .1 2 1 2O O n n> ⇒ <

Računamo razliku broja okreta.

10

( ) ( )2 1 2 1 2 12 1

s sn n n n

r t r tβ π β π∆ = − ⇒ ∆ = − ⇒

⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅

1 1

2 1 12 1

sn

r t tπ β β⇒ ∆ = ⋅ − =

⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅

( )

510 1 1

19 .1 16 62 0.5 1 12 10 25

okreta1 12 10 25

m

mC C

C C

π= ⋅ − =

− −⋅ ⋅+ ⋅ ⋅ − + ⋅ ⋅

� �

� �

Vježba 471

Kotač lokomotive ima polumjer 50 cm na temperaturi 0 ºC. Odredite razliku u broju okreta kotača ljeti na temperaturi 25 ºC i zimi na temperaturi – 25 ºC na putu dugome 100 km. Koeficijent linearnog rastezanja željeza od kojeg je kotač napravljen je 12 · 10-6 1 / ºC.

Rezultat: 19 okreta.

Zadatak 472 (Ante, gimnazija)

Metalno tijelo mase m zagrijavamo. Porast temperature T tijela u ovisnosti o dovedenoj toplinskoj energiji Q prikazan je grafom. Nagib pravca jednak je tg φ. Specifični toplinski kapacitet tijela iznosi:

1 1. . . .A B C m tg D tg

m tg mϕ ϕ

ϕ⋅

⋅

Q / J

T / °°°°C

ϕϕϕϕ

Rješenje 472

m, T, Q, tg φ, c = ?

Toplina Q je onaj dio unutarnje energije tijela koji prelazi s jednog tijela na drugo zbog razlike temperatura tih tijela. Toplina koju neko tijelo zagrijavanjem primi odnosno hlađenjem izgubi jednaka je

,Q m c t= ⋅ ⋅ ∆

gdje je m masa tijela, c specifični toplinski kapacitet, a ∆t promjena temperature. Trokut je dio ravnine omeđen s tri dužine. Te dužine zovemo stranice trokuta. Pravokutni trokuti imaju jedan pravi kut (kut od 90º). Stranice koje zatvaraju pravi kut zovu se katete, a najdulja stranica je hipotenuza pravokutnog trokuta.

11

Tangens šiljastog kuta pravokutnog trokuta jednak je omjeru duljine katete nasuprot tog kuta i duljine katete uz taj kut. Kotangens šiljastog kuta pravokutnog trokuta jednak je omjeru duljine katete uz taj kut i duljine katete nasuprot tog kuta.

∆∆∆∆Q

∆∆∆∆T

Q / J

T / °°°°C

ϕϕϕϕ

/T T T

tg tg tg T Q tgQ Q Q

m c T QQ m c T m c T Q m c Q

Q

T

ϕ ϕ ϕ ϕ⋅ ∆∆ ∆ ∆

= = = ∆ = ∆ ⋅∆ ∆ ∆⇒ ⇒ ⇒ ⇒

⋅ ⋅ ∆ = ∆∆ = ⋅ ⋅ ∆ ⋅ ⋅ ∆ = ∆ ⋅ ⋅ ∆ = ∆

metoda 1/

zamjene m Q tm c Q tg Q m c Q tg Q

gϕ

ϕϕ⇒ ⇒ ⋅ ⋅ ∆ ⋅ = ∆ ⇒ ⋅ ⋅ ∆ ⋅ = ∆ ⋅ ⇒

⋅ ∆ ⋅

1.c

m tg ϕ⇒ =

⋅

Odgovor je pod A.

Vježba 472

Metalno tijelo mase m zagrijavamo. Porast temperature T tijela u ovisnosti o dovedenoj toplinskoj energiji Q prikazan je grafom. Nagib pravca jednak je tg φ. Specifični toplinski kapacitet tijela iznosi:

1. . . .

ctgA B C m ctg D ctg

m m

ϕϕ ϕ⋅

Rezultat: A. Zadatak 473 (Mira, gimnazija)

Duljinu stupca žive pri 100 ºC označimo sa L100, a pri 0 ºC sa L0. Koji od navedenih izraza prikazuje temperaturu T pri kojoj je duljina stupca žive LT?

. 100 . 100100 100

L LTA C B CL L L L

T

⋅ ⋅− −

� ��

�

100. 100 . 100100 100

L L L LT TC C D CL L L L

− −⋅ ⋅

− −

�� �

� �

Rješenje 473

100 ºC, L100, 0 ºC, L0, LT, T = ?

Kad štapu nekog čvrstog tijela, koji prema dogovoru pri 0 °C ima duljinu l0, povisimo temperaturu za t (od 0 °C do t), on će se produljiti za:

,l l tβ∆ = ⋅ ⋅�

gdje je β koeficijent linearnog rastezanja koji se definira izrazom:

.l lt

l tβ

−=

⋅

�

�

12

Jedinica za koeficijent linearnog rastezanja je K-1. Iz izraza za β slijedi da će nakon zagrijavanja duljina štapa biti jednaka:

( )1 .l l tt β= ⋅ + ⋅�

Iz formule za L100 izračunamo β.

( ) ( )1 100 1 100 100100 100 100L L C L C L L L C Lβ β β= ⋅ + ⋅ ⇒ ⋅ + ⋅ = ⇒ + ⋅ ⋅ = ⇒� � �

� � � �

100100 100 .100 100 1

1/

100 00

L LL C L L L C L L

LL C Cβ β β

−⇒ ⋅ ⋅ = − ⇒ ⋅ ⋅ = − ⇒ =

⋅ ⋅⋅

�

�

�� �

� � � � �

�

Sada za T vrijedi:

( ) ( )1 1L L T L T L L L T L L T L LT T T T

β β β β= ⋅ + ⋅ ⇒ ⋅ + ⋅ = ⇒ + ⋅ ⋅ = ⇒ ⋅ ⋅ = − ⇒� � � � � �

100 1001

100100 00 100

L L L LL T L L T L L

T TL CL C C

L LL

Lβ

− − ⇒ ⇒ ⋅ ⋅ = − ⇒ ⋅ ⋅ = − ⇒

⋅ ⋅

−=

⋅

�

��

�

� �

� � �� �

� �

100 100 100 .100 100 10

100/

100 0

L L L L L LTT L L T L

C

LL T C

T TC LC L L

− − −⇒ ⋅ = − ⇒ ⋅ = − ⋅

−⇒ = ⋅

−

� � � �

� ��

�

�

�

�

Odgovor je pod D.

Vježba 473

Duljinu stupca žive pri 10 ºC označimo sa L10, a pri 0 ºC sa L0. Koji od navedenih izraza prikazuje temperaturu T pri kojoj je duljina stupca žive LT?

. 10 . 1010 10

L LTA C B CL L L L

T

⋅ ⋅− −

� ��

�

10. 10 . 1010 10

L L L LT TC C D CL L L L

− −⋅ ⋅

− −

�� �

� �

Rezultat: D. Zadatak 474 (Marjan, tehnička škola)

Kolika je temperatura plina molne mase 0.7 g / mol i gustoće 90 g / cm3 pri tlaku 1.4 · 1016 Pa? (plinska konstanta R = 8.314 J / (K · mol))

Rješenje 474

M = 0.7 g / mol = 7 · 10-4 kg / mol, ρ = 90 g / cm3 = 9 · 104 kg / m3, p = 1.4 · 1016 Pa, R = 8.314 J / (K · mol), T = ?

Gustoću ρ neke tvari možemo naći iz količnika mase m tijela i njegova obujma V:

.m

m VV

ρ ρ= ⇒ = ⋅

Jednadžba stanja plina, ako je zadana masa plina m i molna masa M, glasi:

,m

p V R TM

⋅ = ⋅ ⋅

gdje je p tlak plina, V obujam plina, m masa plina, M molna masa plina, R plinska konstanta, T termodinamička temperatura plina.

m VV V

p V R T R T p VmM Mp V R T

M

ρρ ρ

= ⋅⋅ ⋅

⇒ ⋅ = ⋅ ⋅ ⇒ ⋅ ⋅ = ⋅ ⇒⋅ = ⋅ ⋅

13

16 41.4 10 7 10

71.31 10 .

49 10 8.31

/43

kgPa

V p M molR T p V T Kkg JM R

K molm

M

V R

ρ

ρρ

−⋅ ⋅ ⋅

⋅ ⋅⇒ ⋅ ⋅ = ⋅ ⇒ = =⋅

⋅ ⋅= ⋅

⋅⋅ ⋅

⋅

Vježba 474

Kolika je temperatura plina molne mase 1.4 g / mol i gustoće 180 g / cm3 pri tlaku 1.4 · 1016 Pa? (plinska konstanta R = 8.314 J / (K · mol))

Rezultat: 1.31 · 107 K. Zadatak 475 (Marina, medicinska škola)

Jedna litra plina pod normalnim uvjetima ima masu 1.3 g. Kolika je gustoća plina?

3 3 2 3 1 3. 1.3 10 . 1.3 10 . 1.3 10A kg m B kg m C kg m

− − − − − −⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

3 2 3. 1.3 . 1.3 10D kg m E kg m

− −⋅ ⋅ ⋅

Rješenje 475

V = 1 L = 1 dm3 = 10-3 m3, m = 1.3 g = 1.3 · 10-3 kg, ρ = ?

Gustoću ρ neke tvari možemo naći iz količnika mase m tijela i njegova obujma V:

.m

Vρ =

31.3 10 31.3 1.3 .3 3 310

m kg kgkg m

V m m

ρ−

⋅ −= = = = ⋅

−

Odgovor je pod D.

Vježba 475

Jedna litra plina pod normalnim uvjetima ima masu 1.5 g. Kolika je gustoća plina?

3 3 2 3 1 3. 1.5 10 . 1.5 10 . 1.5 10A kg m B kg m C kg m

− − − − − −⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

3 2 3. 1.5 . 1.5 10D kg m E kg m

− −⋅ ⋅ ⋅

Rezultat: D. Zadatak 476 (Ivana, medicinska škola)

U kalorimetru je 2 dl vode temperature 100 ºC. Nakon koliko će vremena sva voda iz kalorimetra ispariti ako je u kalorimetar uronjen grijač snage 1000 W? Specifična toplina isparavanja vode iznosi 2.2 · 106 J / kg, a gustoća vode 1000 kg / m3. Zanemarite gubitke energije u okolinu.

Rješenje 476

V = 2 dl = 2 · 10-1 L = 2 · 10-1 dm3 = 2 · 10-4 m3, tv = 100 ºC, P = 1000 W, r = 2.2 · 106 J / kg, ρ = 1000 kg / m3, t = ?

Gustoću ρ neke tvari možemo naći iz količnika mase m tijela i njegova obujma V:

.m

m VV

ρ ρ= ⇒ = ⋅

Tekućina prelazi u paru pri svakoj temperaturi. Temperatura iznad koje pri određenom tlaku tekućina više ne može postojati u tekućem agregatnom stanju naziva se vrelištem. Temperatura vrelišta ostaje nepromijenjena sve dok sva tekućina vrenjem ne prijeđe u paru. Toplinu koja je potrebna da tekućina mase m prijeđe u paru iste temperature možemo izračunati iz izraza

,Q m r= ⋅

gdje je r specifična toplina isparavanja. Kad tijelo obavlja rad, mijenja mu se energija. Promjena energije tijela jednaka je utrošenom radu. Brzinu rada izražavamo snagom. Snaga P jednaka je omjeru rada W i vremena t za koje je rad

14

obavljen, tj.

.W

Pt

=

/

m V

Q V rQ m r W V rV r V r

W Q P PW Q Wt tP

W tWPP

P

t

t

t

ρ

ρ ρρ ρ

= ⋅

= ⋅ ⋅= ⋅ = ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅

⇒ = ⇒ ⇒ = ⇒ = ⇒==

==

⋅

4 3 61000 2 10 2.2 103

440 .1000

kg Jm

kgV r mt sP W

ρ

−⋅ ⋅ ⋅ ⋅

⋅ ⋅⇒ = = =

Vježba 476

U kalorimetru je 0.2 L vode temperature 100 ºC. Nakon koliko će vremena sva voda iz kalorimetra ispariti ako je u kalorimetar uronjen grijač snage 1 kW? Specifična toplina isparavanja vode iznosi 2.2 · 106 J / kg, a gustoća vode 1000 kg / m3. Zanemarite gubitke energije u okolinu.

Rezultat: 440 s. Zadatak 477 (Ana, medicinska škola)

Koji graf prikazuje produljenje metalne žice ∆l ovisno o promjeni temperature ∆t?

∆∆∆∆l

∆∆∆∆t ∆∆∆∆t ∆∆∆∆t ∆∆∆∆t

∆∆∆∆l∆∆∆∆l

D.C.B.A.

∆∆∆∆l

Rješenje 477

∆l, ∆t

Kad štapu nekog čvrstog tijela, koji prema dogovoru pri 0 °C ima duljinu l0, povisimo temperaturu za t (od 0 °C do t), on će se produljiti za:

,l l tβ∆ = ⋅ ⋅�

gdje je β koeficijent linearnog rastezanja koji se definira izrazom:

.l lt

l tβ

−=

⋅

�

�

Neka je a realan broj. Funkcija :f R R→ dana pravilom ( )f x a x= ⋅ naziva se linearna funkcija.

Graf linearne funkcije je pravac y = a · x. Linearna funkcija raste ako i samo ako je a > 0. Promotrimo formulu za linearno rastezanje (produljenje) čvrstih tijela.

( )( )

( ).

fizika

m

l

atemati

l tl l t l l t

f x ka x a

ββ β

∆ = ⋅ ⋅ ∆ ∆ = ⋅ ⋅ ∆ ⇒ ∆ = ⋅ ⋅ ∆ ⇒

= ⋅

�

� �

Produljenje metalne žice ∆l razmjerno je promjeni temperature ∆t. Graf je pravac, Odgovor je pod A.

Vježba 477

Nema pitanja.

Rezultat: �.

15

Zadatak 478 (Ante, srednja škola)

Pri izobarnom širenju jedan mol idealnog plina obavi rad od 8.3 kJ. Obujam plina pritom se poveća dva puta. Ako je plinska konstanta R ≈ 8.3 J / (mol · K) kolika je početna temperatura plina?

. 2 000 . 2 000 . 100 . 1000A K B C C K D K�

Rješenje 478

n = 1 mol, W = 8.3 kJ = 8300 J, V1 = V, V2 = 2 · V, R ≈ 8.3 J / (mol · K), T = ?

Jednadžba stanja plina, ako je zadana množina n idealnog plina, glasi:

,p V n R T⋅ = ⋅ ⋅ gdje je p tlak, V obujam plina, R plinska konstanta, T termodinamička temperatura plina. Kad plinu dovodimo toplinu uz stalan tlak (izobarna promjena), plin se rasteže i obavlja rad koji je jednak

( )2 1 .W p V W p V V= ⋅ ∆ ⇒ = ⋅ −

( ) ( )2

212 1

2V V

V V

p V n R T p V n R T p V n R T

W p V V W p V V W p V

⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅⇒ ⇒ ⇒ ⇒

= ⋅ − = ⋅ ⋅ − = ⋅

= ⋅

=

1/

WW n R T n R T W n R T T

n Rn RW ⋅⇒ = ⋅ ⋅ ⇒ ⋅ ⋅ = ⇒ ⋅ ⋅ = ⇒ =

⋅⋅=

83001000 .

1 8.3

JK

Jmol

mol K

= =

⋅⋅

Odgovor je pod D.

Vježba 478

Pri izobarnom širenju dva mola idealnog plina obave rad od 16.6 kJ. Obujam plina pritom se poveća dva puta. Ako je plinska konstanta R ≈ 8.3 J / (mol · K) kolika je početna temperatura plina?

. 2 000 . 2 000 . 100 . 1000A K B C C K D K�

Rezultat: D.

Zadatak 479 (Lucija, gimnazija)

U zatvorenoj je posudi s pomičnim klipom volumena 0.5 m3 idealni plin pod tlakom 2 · 105 Pa. Koliki će biti tlak toga plina ako se volumen plina izotermno smanji za 25%?

Rješenje 479

V1 = 0.5 m3, p1 = 2 · 105 Pa, p = 25% = 0.25, p2 = ?

Stoti dio nekog broja naziva se postotak. Piše se kao razlomak s nazivnikom 100. Postotak p je broj jedinica koji se uzima od 100 jedinica neke veličine. Na primjer,

9 81 4.5 5479 % , 81 % , 4.5 % , 547 % , .

100 100 100%

1100 00

pp= = = = =

Kako se računa ''... p% od x...''?

.100

px⋅

Kako zapisati da se x smanji za p% ?

1100 100

.p p

x x x− ⋅ = − ⋅

Ako pri promjeni stanja dane mase plina, temperatura ostaje stalna (izotermno stanje), promjene

16

obujma i tlaka plina možemo opisati Boyle – Mariotteovim zakonom:

1 2 .1 2p V p V⋅ = ⋅

Iz formule vidi se da su tlak i volumen obrnuto razmjerne veličine (koliko se puta tlak poveća, toliko se puta volumen smanji; koliko se puta tlak smanji, toliko se puta volumen poveća). Najprije izračunamo smanjeni volumen V2.

0.25 0.75 .2 1 1 2 1 1 2 1V V p V V V V V V= − ⋅ ⇒ = − ⋅ ⇒ = ⋅

Tlak p2 iznosi. 0.751 1 2 2 2 2 1 1 2 1 1 1p V p V p V p V p V p V⋅ = ⋅ ⇒ ⋅ = ⋅ ⇒ ⋅ ⋅ = ⋅ ⇒

52 10 510.75 2.67 10 .2 1 1 1 2 0.75 0.7

1/

0.75 1 5

p Pap V p V p Pa

V

⋅⇒ ⋅ ⋅ = ⋅ ⇒ = = = ⋅⋅

⋅

Vježba 479

U zatvorenoj je posudi s pomičnim klipom volumena 0.7 m3 idealni plin pod tlakom 2 · 105 Pa. Koliki će biti tlak toga plina ako se volumen plina izotermno smanji za 25%?

Rezultat: 2.67 · 105 Pa. Zadatak 480 (Tomislav, gimnazija)

Ako se idealnom plinu temperatura poveća za 20% uz stalan obujam, tlak mu se poveća za 104 Pa. Početni tlak plina je iznosio:

5 3 5 4. 2 10 . 2 10 . 5 10 . 5 10A Pa B Pa C Pa D Pa⋅ ⋅ ⋅ ⋅

Rješenje 480

T1 = T, T2 = T + 0.20 · T = 1.20 · T, ∆p = 104 Pa, p1 = p, p2 = p1 + ∆p = p + 104, p1 = ?

Stoti dio nekog broja naziva se postotak. Piše se kao razlomak s nazivnikom 100. Postotak p je broj jedinica koji se uzima od 100 jedinica neke veličine. Na primjer,

9 81 4.5 5479 % , 81 % , 4.5 % , 547 % , .

100 100 100%

1100 00

pp= = = = =

Kako se računa ''... p% od x...''?

.100

px⋅

Kako zapisati da se x uveća za p% ?

1100 100

.p p

x x x+ ⋅ = + ⋅

Mijenja li se temperatura nekoj masi plina stalnog obujma (izohorna promjena), mijenjat će se tlak plina prema Charlesovu zakonu:

. , .1 2

1 2

p p pV konst konst

T T T= ⇒ = =

( )41 2 1 2 1.20 101 2 2 11 2

/ 12

21

p p p pp T p T p T p T

TT

T TT

T= ⇒ = ⇒ ⋅ = ⋅ ⇒ ⋅ ⋅ = +⋅ ⋅⋅ ⇒

( )4 4 41.20 10 1.20 10 1.20/ : 10p T p T p p pT p⇒ ⋅ ⋅ = + ⋅ ⇒ ⋅ = + ⇒ ⋅ − = ⇒

/ : 0.24 4 4 4

0.20 010 0.20 10 5 10 5 10 .1p p p p Pa⇒ ⋅ = ⇒ ⋅ = ⇒ = ⋅ ⇒ = ⋅

17

Odgovor je pod D.

Vježba 480

Ako se idealnom plinu temperatura poveća za 20% uz stalan obujam, tlak mu se poveća za 10 kPa. Početni tlak plina je iznosio:

5 3 5 4. 2 10 . 2 10 . 5 10 . 5 10A Pa B Pa C Pa D Pa⋅ ⋅ ⋅ ⋅

Rezultat: D.