1

Zadatak 121 (Nikolina gimnazija) Odredite poluosi linearni i numerički ekscentricitet hiperbole zadane jednadžbom

2 2144 81 11664x ysdot minus sdot =

Rješenje 121 Ponovimo

Hiperbola kojoj središte leži u ishodištu koordinatnog sustava a realna os na osi apscisa ima

jednadžbu

( )2 2

2 2 2 2 2 2ili 1 kanonska jednadžba hiperbole

2 2

x yb x a y a b

a b

sdot minus sdot = sdot minus =

Linearni ekscentricitet hiperbole

2 2 2

2 2e a b e a b= + rArr = +

Numerički ekscentricitet hiperbole

e

aε =

Da bismo odredili osi hiperbole napišemo njezinu jednadžbu u kanonskom obliku

2 2144 812 2 2 2

144 81 11664 144 81 11664 111664 11664

11664x y

x y x ysdot sdot

sdot minus sdot = rArr sdot minus sdot = rArr minus = rArr

2 22 2 2 281 81

1 12 211664 11664 81 144 144 144

144 81

a ax y x y

b b

= =rArr minus = rArr minus = rArr rArr rArr

= =

81 9

12144

a a

bb

= =rArr rArr

==

Linearni ekscentricitet hiperbole iznosi

2 281 144

81 144 225 152 2

a be e e

e a b

= =rArr = + rArr = rArr =

= +

Numerički ekscentricitet hiperbole iznosi

15 915 5

9 3

e a

e

a

ε εε

= =

rArr = rArr ==

Vježba 121

Odredite poluosi hiperbole 2 2

4 9 36x ysdot minus sdot =

Rezultat a = 3 b = 2

Zadatak 122 (Nikolina gimnazija) Odredite jednadžbe onih tangenata parabole koje su paralelne sa zadanim pravcem ako je

26

2 3 1 0

y x

x y

= sdot

sdot minus sdot + =

Rješenje 122 Ponovimo

Dva pravca zadana svojim jednadžbama u eksplicitnom obliku

2

1 1

2 2

y k x l

y k x l

= sdot +

= sdot +

paralelna su onda i samo onda ako vrijedi

1 2

k k=

Parabola kojoj tjeme leži u ishodištu a žarište na pozitivnom dijelu osi apscisa ima jednadžbu

22 y p x= sdot sdot

gdje je p poluparametar parabole tjudaljenost žarišta do ravnalice

Uvjet dodira pravca i parabole

Pravac

y k x l= sdot +

dira parabolu

22y p x= sdot sdot

onda i samo onda kad vrijedi

2 p k l= sdot sdot

Budući da je tangenta pravac potražit ćemo pravac u eksplicitnom obliku

y k x l= sdot +

i iskoristiti uvjet dodira pravca i parabole

2 p k l= sdot sdot

Odredimo poluparametar p parabole

26

2 6 2 6 32

2

2y x

p p p

y p x

= sdotrArr sdot = rArr sdot = rArr =

= sdot sdot

Takontildeer izračunamo koeficijent smjera zadanog pravca

( )2 3 1 0 3 2 1 3 2 1 3x y y x y xsdot minus sdot + = rArr minus sdot = minus sdot minus rArr minus sdot = sdot minus minusminus rArr

koef2

icijent smjera1 2

3 3 3

y x krArr = sdot + rArr =

Budući da je tangenta parabole paralelna sa zadanim pravcem ima isti koeficijent smjera

2

3k =

Iz uvjeta dodira lako se izračuna l odsječak tangente na y osi

23 2 4 4 4 9

3 2 3 3 3 33 3 3 3 4

2

3

4

p kl l l l l

p k l

= =rArr = sdot sdot rArr = sdot rArr sdot = rArr = =

= sdot

sdotsdot rArr

sdot

Jednadžba tangente je

2 9 2 9

3 43 4

k ly x

y k x l

= =rArr = sdot +

= sdot +

Vježba 122

Odredite jednadžbe onih tangenata parabole koje su paralelne sa zadanim pravcem ako je

26

15 05 0

y x

x y

= sdot

minus sdot + =

3

Rezultat 2 9

3 4

y x= sdot +

Zadatak 123 (Nina gimnazija)

Napiši jednadžbu hiperbole koja prolazi točkom A(10 8) i ako je zadano a = b

Rješenje 123 Ponovimo

1 a b a b a

a bn n n b

minusminus = = rArr =

Hiperbola kojoj središte leži u ishodištu koordinatnog sustava a realna os na osi apscisa ima

jednadžbu

( )2 2

2 2 2 2 2 2ili 1 kanonska jednadžba hiperbole

2 2

x yb x a y a b

a b

sdot minus sdot = sdot minus =

Budući da hiperbola prolazi točkom A njezine koordinate uvrstit ćemo u jednadžbu hiperbole

( ) ( ) 10 82 2

10 8 100 64 100 64 362 2 1 1 1 1

2 2 2 2 2 21

2 2

A x y A a b

x ya a a a a a

a b

= =

minusrArr minus = rArr minus = rArr = rArr = rArr

minus =

2 236 36

236

a ba b

a

=rArr = rArr rArr =

=

Jednadžba hiperbole glasi

2 236 36 2 2 2 2

2 22 2 1 1 36

36 36 3 3

6 3612 2

6

a bx y x y

x yx y

a b

= =

rArr minus = rArr minus = rArr minus

minus =

sdot =

Vježba 123

Napiši jednadžbu hiperbole koja prolazi točkom A(10 6) i ako je zadano a = b

Rezultat 2 2

64x yminus =

Zadatak 124 (Helena srednja škola)

Točka na paraboli y2 = 18 x kojoj je ordinata pozitivna i tri puta veća od apscise je

( ) ( ) ( ) ( ) 1 3 3 1 2 6 3 9A T B T C T D T

Rješenje 124 Ponovimo

( )1

n n n

a a a b a b= sdot = sdot

Parabola kojoj tjeme leži u ishodištu a žarište na pozitivnom dijelu osi apscisa ima jednadžbu

22 y p x= sdot sdot

gdje je p poluparametar parabole tjudaljenost žarišta do ravnalice

Kako zapisati da je broj x en puta veći od broja y

ili ili x x

x n y y nn y

= sdot = =

Da bi umnožak bio jednak nuli dovoljno je da jedan faktor bude jednak nuli

4

0 0 ili 0 il i 0a b a b a bsdot = hArr = = = =

Budući da je ordinata y točke na paraboli y2 = 18 x tri puta veća od apscise vrijedi

( )metoda

9supstitucije

3 2 2 23 18 9 18 9 18

218

y xx x x x x x

y x

= sdotrArr rArr sdot = sdot rArr sdot = sdot rArr sdot = sdot rArr

= sdot

( )002 2 1

2 2 0 2 0 22 0 2

2

nema smislaxxx x x x x x x

x x

==rArr = sdot rArr minus sdot = rArr sdot minus = rArr rArr rArr =

minus = =

Računamo ordinatu tražene točke

( ) ( )3

3 2 6 2 6 2

y xy y T x y T

x

= sdotrArr = sdot rArr = rArr =

=

Odgovor je pod C

Vježba 124

Točka na paraboli y2 = 9 x kojoj je ordinata pozitivna i tri puta veća od apscise je

( ) ( ) ( ) ( ) 1 3 3 1 2 6 3 9A T B T C T D T

Rezultat A

Zadatak 125 (Tina srednja škola)

Pravac 2 x + b y ndash 1 = 0 je normala kružnice x2 + y2 ndash 2 x ndash 2 y ndash 3 = 0 ako je b

jednako

2 2 1 1A B C Dminus minus

Rješenje 125 Ponovimo

Ako je S(p q) središte kružnice a r polumjer tada središnja jednadžba kružnice glasi

( ) ( )2

2 2

x p y q rminus + minus =

Opća jednadžba kružnice

2 2 20

22 2 x y p x q y c r p q c+ minus sdot sdot minus sdot sdot + = = + minus

Ako je presjek pravca i kružnice jedna točka D kažemo da pravac dira kružnicu ili da je tangenta

kružnice Točku D zovemo diralište tangente Pravac koji spaja središte S kružnice i diralište D

tangente naziva se normala kružnice

normala

DS

Zadanoj kružnici odredimo koordinate središta S

( )

( )

2 22 22 2 3 0 2 2 2

1

2 2 2 2 12 22 2 20

px y x y p p

q qqx y p x q y c

minus sdot = minus+ minus sdot minus sdot minus = minus sdot = minus =rArr rArr rArr rArr

minus sdot = minus =minus sdot = minus+ minus sdot sdot minus sdot sdot +

minus

minus=

( ) ( ) 1 1 S p q SrArr =

Budući da je normala pravac koji prolazi središtem S kružnice koordinate točke S uvrstit ćemo u

jednadžbu pravca

5

( ) ( ) 1 12 1 1 1 0 2 1 0 2 1 1

2 1 0

S x y Sb b b b

x b y

=rArr sdot + sdot minus = rArr + minus = rArr = minus + rArr = minus

sdot + sdot minus =

Odgovor je pod D

Vježba 125

Pravac 3 x + b y ndash 2 = 0 je normala kružnice x2 + y2 ndash 2 x ndash 2 y ndash 5 = 0 ako je b

jednako

2 2 1 1A B C Dminus minus

Rezultat D

Zadatak 126 (Iva strukovna škola)

Kolika je duljina tetive koju na krivulji 3 x2 ndash y

2 = 3 odsijeca pravac y + x ndash 5 = 0

6 2 jediničnih dužina 7 2 jediničnih dužinaA Bsdot sdot

8 2 jediničnih dužina 9 2 jediničnih dužinaC Dsdot sdot

Rješenje 126

Ponovimo

Tetiacuteva u geometriji je spojnica dviju točaka krivulje posebno na kružnici

( )2 2 2

2a b a a b b a b a bminus = minus sdot sdot + sdot = sdot

Neka su A(x1 y1) i B(x2 y2) dvije točke ravnine Tada je udaljenost točaka A i B dana formulom

( ) ( )2

1 1

2

2 2AB x x y y= minus + minus

Zakon distribucije množenja prema zbrajanju

( ) ( ) a b c a b a c a b a c a b csdot + = sdot + sdot sdot + sdot = sdot +

Da bismo našli sjecišta krivulje i pravca moramo riješiti sustav jednadžbi

( )2 2 2 2

223 me3 toda

sups

3 33 5 3

5 0 titucije5

x y x yx x

y x y x

sdot minus = sdot minus =rArr rArr rArr sdot minus minus = rArr

+ minus = = minus

( )2 2 2 2 2 23 25 10 3 3 25 10 3 3 25 10 3 0x x x x x x x x xrArr sdot minus minus sdot + = rArr sdot minus + sdot minus = rArr sdot minus + sdot minus minus = rArr

2 2 22 10 28 0 2 10 28 0 5 14 2 0x x x x x xrArr sdot + sdot minus = rArr sdot + sdot minus = rArr + sdot minus = rArr

( )1 5 14 22 5 5 4 1 145 14 0

24 12 2 11 5 14

12 2

a b c

x xx

b b a ca b c x

a

= = = minusminus plusmn minus sdot sdot minus+ sdot minus =

rArr rArr rArr = rArrminus plusmn minus sdot sdot sdot= = = minus =

sdot

5 9

15 25 56 5 81 5 9 212 12 12 5 92 2 2

2 2

x

x x x

x

minus +=

minus plusmn + minus plusmn minus plusmnrArr = rArr = rArr = rArr rArr

minus minus=

[ ]( )

5

45 22 3 31 12 1 1 1

14 7 5 7 125 72 2 22

2 2

x yx y y

x y yy

yx

x

= = minus= = =rArr rArr rArr rArr rArr rArr

= minus = + == minus minus= minus

= minus

Sjecišta krivulje i pravca su točke

6

( ) ( )2 3 i 7 12 A B minus

Duljina tetive AB iznosi

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

2 31 1

2 2 2 2 7 12 7 2 12 3 9 9

2 2

2 2

2 1 2 1

A x y A

B x y B AB AB

AB x x y y

=

= minus rArr = minus minus + minus rArr = minus + rArr

= minus + minus

81 81 81 2 81 2 9 2AB AB AB ABrArr = + rArr = sdot rArr = sdot rArr = sdot

Odgovor je pod D

Vježba 126

Kolika je duljina tetive koju na krivulji

22

13

yx minus = odsijeca pravac y = ndash x + 5

6 2 jediničnih dužina 7 2 jediničnih dužinaA Bsdot sdot

8 2 jediničnih dužina 9 2 jediničnih dužinaC Dsdot sdot

Rezultat D

Zadatak 127 (Iva strukovna škola)

Zadana je jednakostranična hiperbola x2 ndash y

2 = 8 Nantildeite linearni ekscentricitet

Rješenje 127

Ponovimo

2

0a b a b a a asdot = sdot = ge

Hiperbola kojoj središte leži u ishodištu koordinatnog sustava a realna os na osi apscisa ima

jednadžbu

( )2 2

2 2 2 2 2 2ili 1 kanonska jednadžba hiperbole

2 2

x yb x a y a b

a b

sdot minus sdot = sdot minus =

Linearni ekscentricitet hiperbole

2 2 2

2 2e a b e a b= + rArr = +

Hiperbolu kojoj su realna i imaginarna poluos jednake nazivamo jednakostranična hiperbola Za nju

vrijedi jednadžba

2 22

2 2

12 2

2 21

2 2

x yx y a

a aa

y

b

x

a b

minus =rArr rArrminus = minus =

=

Linearni ekscentricitet jednakostranične hiperbole

2 2 22 2 2 2 2 2 2 2

2 22 2 e a b

e a e aa b

a e a e a e a= +

rArr = + rArr = = sdot=

sdot rArr = sdot rArr = sdot rArr

Računamo linearni ekscentricitet

2 28 2 2

8 8 82 2 2

x y

x

a

a

a a

y

minus =rArr = rArr = rArr =

minus =

7

28 2 16 4

8

e ae e e

a

= sdotrArr = sdot rArr = rArr =

=

Vježba 127

Zadana je jednakostranična hiperbola x2 ndash y2 = 18 Nantildeite linearni ekscentricitet

Rezultat 6

Zadatak 128 (Nikolina srednja škola)

Kružnica k prolazi točkom T(ndash 3 2) i ima isto središte kao i kružnica zadana jednadžbom

(x + 2)2 + (y ndash 5)

2 = 20 Koliki je polumjer kružnice k

10 11 13 14A B C D

Rješenje 128

Ponovimo

Ako je S(p q) središte kružnice a r polumjer tada središnja jednadžba kružnice glasi

( ) ( )2

2 2

x p y q rminus + minus =

Neka su A(x1 y1) i B(x2 y2) dvije točke ravnine Tada je udaljenost točaka A i B dana s

( ) ( )2

1 1

2

2 2AB x x y y= minus + minus

Kružnice su koncentrične ako imaju isto središte

Polumjer kružnice je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice

1inačica

Kružnica k ima isto središte kao i kružnica zadana jednadžbom (x + 2)2 + (y ndash 5)

2 = 20 pa njezina

jednadžba glasi

( ) ( )2 2 2

2 5 x y r+ + minus =

Budući da kružnica k prolazi točkom T koordinate točke uvrstit ćemo u jednadžbu kružnice da bismo

izračunali njezin polumjer

( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

2 2 22 5 2 2 2 22 2

3 2 2 5 1 3 3 2

x y rr r

T x y T

+ + minus =rArr minus + + minus = rArr minus + minus = rArr

= minus

2 2 2 21 9 10 10 10 10 r r r r rrArr + = rArr = rArr = rArr = rArr =

Odgovor je pod A

2inačica

Iz zadane jednadžbe kružnice (x + 2)2 + (y ndash 5)2 = 20 odredimo koordinate središta

( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

2 22 5 20

2 5 2 2 2

x yS p q S

x p y q r

+ + minus =rArr = minus

minus + minus =

Budući da kružnica k prolazi točkom T(ndash 3 2) i ima isto središte S(ndash 2 5) njezin polumjer iznosi

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( )( ) ( )

2 51 1

2 2 3 2 3 2 2 5

2 2

2 2

2 1 2 1

S x y S

T x y T r

r ST x x y y

= minus

= minus rArr = minus minus minus + minus rArr

= = minus + minus

8

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2

3 2 2 5 1 3 1 9 10r r r rrArr = minus + + minus rArr = minus + minus rArr = + rArr =

Odgovor je pod A

Vježba 128

Kružnica k prolazi točkom T(ndash 6 2) i ima isto središte kao i kružnica zadana jednadžbom

(x + 2)2 + (y ndash 5)

2 = 20 Koliki je polumjer kružnice k

3 4 5 6A B C D

Rezultat C

Zadatak 129 (Anita ekonomska škola)

Točka T(6 5) nalazi se na elipsi čija je velika poluos a = 9 Odredite jednadžbu elipse i

udaljenost mentildeu fokusima

Rješenje 129

Ponovimo

Elipsa kojoj se središte podudara s ishodištem koordinatnog sustava smjer glavne osi s x ndash osi a smjer

sporedne osi s y ndash osi ima jednadžbu

2 22 2 2 2 2 2

i li 12 2

x yb x a y a b

a b

sdot + sdot = sdot + =

Broj e naziva se linearni ekscentricitet elipse

2 2 2e a b= minus

Koordinate fokusa F1 i F2 elipse su

( ) ( ) 0 0 1 2

F e F eminus

Budući da točka pripada elipsi koordinate točke uvrstit ćemo u jednadžbu elipse i izračunati malu

poluos b elipse

( ) ( ) 6 5

2 2 2 2 2 2 2 29 6 9 5 9 36 2 025 81

2 2 2 2 2 2

T x y T

a b b b b

b x a y a b

=

= rArr sdot + sdot = sdot rArr sdot + = sdot rArr

sdot + sdot = sdot

( )2 2 2 2 2

36 81 2 025 45 20 25 45 2 425 550 4b b b b bminusrArr sdot minus sdot = minus rArr minus sdot = minus rArr minus sdot = minus rArr =

Jednadžba elipse glasi

2 281 45 2 2 2 2

45 81 81 45 45 81 36452 2 2 2 2 2

a bx y x y

b x a y a b

= =rArr sdot + sdot = sdot rArr sdot + sdot =

sdot + sdot = sdot

Računamo linearni ekscentricitet elipse

2 281 45 2 2 2

81 45 36 36 36 2 2

62

a be e e e e

e a b

= =rArr = minus rArr = rArr = rArr = rArr =

= minus

Koordinate fokusa elipse iznose

( )

( )( )

( )

01 6 0

1 0

2 6 02

6

F eF

F eF

e

minusminus

rArr

=

pa je njihova mentildeusoba udaljenost jednaka

9

2 2 6 121 2 1 2 1 2

F F e F F F F= sdot rArr = sdot rArr =

Vježba 129

Točka T(ndash 6 ndash 5) nalazi se na elipsi čija je velika poluos a = 9 Odredite jednadžbu elipse i

udaljenost mentildeu fokusima

Rezultat 2 2

45 81 3645 121 2

x y F Fsdot + sdot = =

Zadatak 130 (Ana gimnazija)

Napiši jednadžbu elipse čiji fokus je ( )24 0 i 5 F a b= sdot

Rješenje 130

Ponovimo

( ) ( )2

n n n

a b b a a b a b a a= rArr = sdot = sdot =

Elipsa kojoj se središte podudara s ishodištem koordinatnog sustava smjer glavne osi s x ndash osi a smjer

sporedne osi s y ndash osi ima jednadžbu

2 22 2 2 2 2 2

i li 12 2

x yb x a y a b

a b

sdot + sdot = sdot + =

gdje su a i b velika i mala poluos

Broj e naziva se linearni ekscentricitet elipse

2 2 2e a b= minus

Koordinate fokusa (žarišta) F1 i F2 elipse su

( ) ( ) 0 0 1 2

F e F eminus

( ) ( )

( )metoda

supstitucij

0 24 0 2422 2

5 5 24e

5

2 2 2 2 2 2

F e F e

a b a b b b

e a b e a b

= =

= sdot rArr = sdot rArr rArr = sdot minus rArr

= minus = minus

2 2 2 2 2 2576 5 576 4 4 576 4 576 14 4 4b b b b b brArr = sdot minus rArr = sdot rArr sdot = rArr sdot = rArr =

Računamo a2

2 2 25 5 5 2 25 144 720

2 2 2144 144 1

44

a b a b a ba a

b b b

= sdot = sdot = sdotrArr rArr rArr = sdot rArr =

= = =

Kanonska ili osna jednadžba elipse glasi

2 2720 144 2 2

2 2 1720 1441

2 2

a bx y

x y

a b

= =

rArr + =

+ =

Vježba 130

Napiši jednadžbu elipse čiji fokus je ( )24 0 i 5 F a bminus = sdot

Rezultat

2 2

1720 144

x y+ =

10

Zadatak 131 (Ana gimnazija)

Odredimo jednadžbu hiperbole s fokusima na y ndash osi koja sadrži točke A(ndash 1 2) i B(7 10)

Rješenje 131

Ponovimo

1a

a bb

= rArr =

Neka je zadana hiperbola čiji fokusi leže na y ndash osi a središte hiperbole je ishodište koordinatnog

sustava Jednadžba takve hiperbole glasi

2 2

12

2

x y

b a

minus = minus

Budući da hiperbola sadrži točke A i B uvrstit ćemo koordinate točaka u jednadžbu hiperbole i dobiti

sustav jednadžbi

( ) ( )

( ) ( )

( )22 2 2

1 1 42 1 2 1 11

2 2 2 22 2

2 2 2 2 49 1007 10 1 7 10 1 1 2 22 2 2 2

x yA x y A

b a b ab a

x yB x y B

b ab a b a

minus= minus minus = minus minus = minusminus = minus

rArr rArr rArr

minus = minus= minus = minus minus = minus

( )1 4 49 196

1 492 2 2 2

49 100 49 1001 1

2 2 2

2

49metoda suprotnih

koeficijenata

b a b a

b a b a

minus = minus =

rArr rArr rArr

minus = minus minus = minus

sdot

minus + rArr

minus

96 96 248 48 2

2 2

2

48

aa

a a

rArr = rArr sdot= rArr =

Računamo b2

1 41 1 4 1 1 1 22 2

1 2 1 1 2 1 12 2 2 222

2

bb a

b b b ba

minus = minus

rArr minus = minus rArr minus = minus rArr = minus + rArr = rArr =

=

Jednadžba hiperbole glasi

2 22 1 2 2 2

22 2 1 1

1 2 212 2

a bx y y

xx y

b a

= =

rArr minus = minus rArr minus = minus

minus = minus

Vježba 131

Odredimo jednadžbu hiperbole s fokusima na y ndash osi koja sadrži točke A(1 2) i B(ndash 7 10)

Rezultat

22

12

yx minus = minus

Zadatak 132 (Ivana ekonomska škola)

Odredi jednadžbu kružnice polumjera r = 5 koja dodiruje os x i prolazi točkom T(ndash 2 2)

Skiciraj

Rješenje 132

Ponovimo

11

( ) ( )2 2

a b a bminus minus = +

Ako je S(p q) središte kružnice a r njezin polumjer tada središnja jednadžba kružnice glasi

( ) ( )2

2 2

x p y q rminus + minus =

Kada kružnica dira os x točka diranja je od središta udaljena upravo onoliko koliko je os x udaljena

od središta tj polumjer kružnice jednak je udaljenosti središta S(p q) do osi x Vrijedi

q r q r= = minus

pa postoje dvije jednadžbe

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2

2 2

x p y r r x p y r rminus + minus = minus + + =

Točka T je iznad osi x i zato promatramo kružnicu koja dira os x iznad osi x Ako je iznad tada je

polumjer upravo jednak q

55

q rq

r

=rArr =

=

Budući da kružnica prolazi točkom T koordinate točke uvrstit ćemo u jednadžbu kružnice

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

5 52 2 2 22 2

2 2 2 2 5 5 2 3 5

2 2 2

q r

T x y T p p

x p y q r

= =

= minus rArr minus minus + minus = rArr minus minus + minus = rArr

minus + minus =

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2

2 9 25 2 25 9 2 16 2 1 6p p p prArr + + = rArr + = minus rArr + = rArr + = rArr

22 4 4 2 12 16 2 4

2 4 4 2 62

pp pp p

p p p

=+ = = minusrArr + = plusmn rArr + = plusmn rArr rArr rArr

+ = minus = minus minus = minus

Postoje dvije kružnice sa zadanim uvjetima

bull

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

2 5 5 2 2 2 222 5 5 2 5 252 2 2

p q rx y x y

x p y q r

= = =

rArr minus + minus = rArr minus + minus =minus + minus =

bull

( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )

6 5 5 2 2 2 226 5 5 6 5 252 2 2

p q rx y x y

x p y q r

= minus = =

rArr minus minus + minus = rArr + + minus =minus + minus =

-10 -5 5 10

14

12

10

8

6

4

2

0

y

x

S(- 6 5)

S(2 5)

T

12

Vježba 132

Odredi jednadžbu kružnice polumjera r = 5 koja dodiruje os x i prolazi točkom T(ndash 2 8)

Rezultat ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2

2 5 25 6 5 25x y x yminus + minus = + + minus =

Zadatak 133 (Ivana ekonomska škola)

Odredi jednadžbu kružnice koja sadrži točke A(1 0) i B(ndash 1 4) a središte pripada osi x

Skiciraj

Rješenje 133

Ponovimo

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 22 2 2 2

2 2 a b a a b b a b a a b b a b a bminus = minus sdot sdot + + = + sdot sdot + minus minus = +

Ako je S(p q) središte kružnice a r njezin polumjer tada središnja jednadžba kružnice glasi

( ) ( )2

2 2

x p y q rminus + minus =

Kada središte S(p q) kružnice pripada osi x tada je ordinata q središta jednaka nuli q = 0 Vrijedi

jednadžba

( ) ( ) ( )2 2 22 2 2

0x p y r x p y rminus + minus = rArr minus + =

Budući da kružnica sadrži dvije točke A i B uvrstit ćemo koordinate točaka u jednadžbu kružnice i

dobiti sustav od dvije jednadžbe sa dvije nepoznanice

bull

( ) ( )

( )( ) ( )

1 02 22 2 2

1 0 1 2 2 2

A x y A

p r p rx p y r

=

rArr minus + = rArr minus =

minus + =

bull

( ) ( )

( )( ) ( )

1 42 22 2 2

1 4 1 16 2 2 2

B x y B

p r p r

x p y r

= minus

rArr minus minus + = rArr + + =

minus + =

Iz sustava jednadžbi dobije se

( )

( )( ) ( )

metoda

komparaci

2 21 2 2

1 1 162 2

1 16je

p rp p

p r

minus =rArr rArr minus = + + rArr

+ + =

2 21 2 1 2 16 2 2 16

2 21 1 2 2 16p p p pp p p ppp +rArr minus sdot + = + sdot + + rArr minus sdot = + sdot + rArr minus sdot = sdot ++ rArr

( )2 2 16 4 16 4 16 4 4p p p p prArr minus sdot minus sdot = rArr minus sdot = rArr minus sdot rArr = minusminus=

Računamo r2

( )( )( ) ( )

2 22 21 2 2 2 2 2

1 4 1 4 5 25

4

p rr r r r

p

minus =rArr minus minus = rArr + = rArr = rArr =

= minus

Jednadžba kružnice glasi

( )( )( ) ( )

24 25 2 22 2

4 25 4 252 2 2

p rx y x y

x p y r

= minus =rArr minus minus + = rArr + + =

minus + =

13

6

5

4

3

2

1

-1

-2

-3

-4

-5

-10 -8 -6 -4 -2 2 4 6

0

y

xS(- 4 0)

B(- 1 4)

A(10)

Vježba 133

Odredi jednadžbu kružnice koja sadrži točke A(ndash 9 0) i B(ndash 1 4) a središte pripada osi x

Rezultat ( )2 2

4 25x y+ + =

Zadatak 134 (Marin ekonomska škola)

Kako glase jednadžbe onih tangenata elipse 2 2

4 9 36x ysdot + sdot = ako je poznat koeficijent

smjera 8

9

k =

Rješenje 134

Ponovimo

1

n a c a d b cn

b d b d

sdot + sdot= + =

sdot

Elipsa kojoj se središte podudara s ishodištem koordinatnog sustava smjer glavne osi s x ndash osi a smjer

sporedne osi s y ndash osi ima jednadžbu

2 22 2 2 2 2 2

i li 12 2

x yb x a y a b

a b

sdot + sdot = sdot + =

Eksplicitni oblik jednadžbe pravca

koeficijent smjera odsječak na y osiy k x l k l= sdot + minus minus

Pravac y = k middot x + l dodiruje elipsu

2 2

12 2

x y

a b+ = ako i samo ako vrijedi

2 2

2 2a k b lsdot + =

Prvo napišemo kanonski oblik elipse

2 24 92 2 2 2

4 9 36 4 9 3 6 136

3636

x yx y x y

sdot sdotsdot + sdot = rArr sdot + sdot = rArr + = rArr

22 24 9

36 3

2 2 91 1

29 4 46

ax y x y

b

=sdot sdot rArr + = rArr + = rArr

=

Iz uvjeta dodira pravca i elipse dobije se odsječak l na y osi tangente

14

2 2 2 2 28 64 642 2 2

9 4 9 4 482 2 9 819 4 9

89

1

a k b ll l l

a b k

sdot + = rArr sdot + = rArr sdot + = rArr sdot + = rArr

= = =

64 64 4 64 36 100 1002 2 2 2 24

9 9 1 9 9 9l l l l l

+rArr + = rArr + = rArr = rArr = rArr = rArr

10

1100 100 102 3

12 12 109 9 32 3

l

l l l

l

=

rArr = rArr = plusmn rArr = plusmn rArr = minus

Jednadžbe tangenata glase

8 10 8 10

9 3 9 3

8 10 8 10

9 3 9 3

y k x l k l y x

y k x l k l y x

= sdot + = = = sdot +

rArr = sdot + = = minus = sdot minus

Vježba 134

Kako glase jednadžbe onih tangenata elipse 2 2

4 9 36x ysdot + sdot = ako je poznat koeficijent

smjera 2

3

k =

Rezultat 2 2

2 2 2 23 3

y x y x= sdot + sdot = sdot minus sdot

Zadatak 135 (Goran srednja škola)

Točka T(6 5) nalazi se na elipsi čija je velika poluos a = 9 Odredite jednadžbu elipse i

udaljenost mentildeu fokusima

Rješenje 135

Ponovimo

2 0a a a= ge

Elipsa kojoj se središte podudara s ishodištem koordinatnog sustava smjer glavne osi s x ndash osi a smjer

sporedne osi s y ndash osi ima jednadžbu

2 22 2 2 2 2 2

i li 12 2

x yb x a y a b

a b

sdot + sdot = sdot + =

Broj e naziva se linearni ekscentricitet elipse

2 2 2

2 2e a b e a b= minus rArr = minus

Fokusi (žarišta) elipse su točke s koordinatama

( ) ( ) 0 0 1 2

F e F eminus

Za realni broj x njegova je apsolutna vrijednost (modul) broj x koji odrentildeujemo na ovaj način

0

0

x xx

x x

ge=

minus lt

Ako je broj x pozitivan ili nula tada je on jednak svojoj apsolutnoj vrijednosti Za svaki x x ge 0

vrijedi x= x

Ako je x negativan broj njegova apsolutna vrijednost je suprotan broj ndash x koji je pozitivan Za svaki x

x lt 0 je x= ndash x

Ili ovako

15

Apsolutna vrijednost realnog broja x definira se

0

0 0

0

x x

x x

x x

gt

= =minus lt

Ako je broj x pozitivan broj onda ga prepišemo | x | = x | 7 | = 7

Ako je broj x negativan broj onda ga pišemo s minusom | x | = ndash x | ndash 4 | = ndash (ndash 4) = 4

Udaljenost točaka ( ) ( ) i A x y B x yB BA A

( ) ( )2 2

AB x x y yB BA A

= minus + minus

Budući da se točka T nalazi na elipsi njezine koordinate uvrstit ćemo u jednadžbu elipse

( ) ( ) 6 52 2 2 2 2 2 2 2

9 6 9 5 9 36 81 25 81

2 2 2 2 2 2

T x y T

a b b b b

b x a y a b

=

= rArr sdot + sdot = sdot rArr sdot + sdot = sdot rArr

sdot + sdot = sdot

2 2 2 2 236 2025 81 36 81 2025 45 2025b b b b brArr sdot + = sdot rArr sdot minus sdot = rArr minus sdot = minus rArr

( )2 2

45 2025 4 455b brArr minus sdot = minus rArr =minus

Jednadžba elipse glasi 2 2

2 22 2 1

12 2

81 45

81 45

x yx y

a b

a b

+ =+ =

= =rArr

Računamo linearni ekscentricitet elipse

2 281 45

81 45 36 62 2

a be e e

e a b

= = rArr = minus rArr = rArr =

= minus

Fokusi elipse imaju koordinate

( ) ( ) ( ) ( ) 0 6 0 0 6 01 1 2 2

F e F F e Fminus = minus =

pa njihova mentildeusobna udaljenost iznosi

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( )( ) ( )

6 01 1 1 1

2 2 6 0 6 6 0 0

2 2 2 2 1 2

2 2

1 2 2 1 2 1

F x y F

F x y F F F

F F x x y y

= minus

= rArr = minus minus + minus rArr

= minus + minus

( )2 2

6 6 0 12 121 2 1 2 1 2

F F F F F FrArr = + + rArr = rArr =

Vježba 135

Točka T(ndash 6 ndash 5) nalazi se na elipsi čija je velika poluos a = 9 Odredite jednadžbu elipse

Rezultat

2 2

181 45

x y+ =

16

Zadatak 136 (Maturanti HTT)

U kojim točkama kružnica x2 + y

2 = 25 siječe koordinatne osi

Rješenje 136

Ponovimo

Točka koja pripada osi y ima apscisujednaku 0

Točka koja pripada osi x ima ordinatujednaku 0

0 x

y

A(x 0)

B(0 y)

Budući da točke u kojima kružnica siječe os x imaju ordinatu jednaku 0 slijedi

2 22 2 2 2 225

0 25 0 25 25 20

5x y

x x x xy

+ =rArr + = rArr + = rArr = rArr = rArr

=

51

25 5 12 12 5

2

xx x

x

= minusrArr = plusmn rArr = plusmn rArr

=

Kružnica siječe os x u dvije točke

( ) ( )5 0 i 5 0 A Bminus

Budući da točke u kojima kružnica siječe os y imaju apscisu jednaku 0 slijedi

2 22 2 2 2 225

0 25 0 25 25 250

x y

y y y yx

+ =rArr + = rArr + = rArr = rArr = rArr

=

51

25 5 12 12 5

2

yy y

y

= minusrArr = plusmn rArr = plusmn rArr

=

Kružnica siječe os y u dvije točke

( ) ( )0 5 i 0 5 C Dminus

Vježba 136

U kojim točkama kružnica x2 + y2 = 9 siječe koordinatne osi

Rezultat ( ) ( ) ( ) ( )3 0 3 0 0 3 0 3 A B C Dminus minus

Zadatak 137 (Maturanti HTT)

Točka S(ndash 2 3) je središte kružnice koja prolazi ishodištem koordinatnoga sustava Kako glasi

jednadžba kružnice

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2

2 3 13 2 3 5A x y B x y+ + minus = + + minus =

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2

2 3 13 2 3 5C x y D x yminus + + = minus + + =

Rješenje 137

Ponovimo

( ) 2

a a=

Ako je S(p q) središte kružnice a r polumjer tada središnja jednadžba kružnice glasi

( ) ( )2

2 2

x p y q rminus + minus =

Neka su A(x1 y1) i B(x2 y2) dvije točke ravnine Tada je udaljenost točaka A i B dana s

17

( ) ( )2

1 1

2

2 2AB x x y y= minus + minus

1inačica

Kružnica sa središtem u točki S(ndash 2 3) ima jednadžbu

( ) ( )

( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )

2 3 2 2 2 22 22 3 2 3

2 2 2

S p q S

x y r x y rx p y q r

= minus

rArr minus minus + minus = rArr + + minus =

minus + minus =

Budući da kružnica prolazi ishodištem koordinatnog sustava koordinate ishodišta uvrstit ćemo u

jednadžbu kružnice i izračunati njezin polumjer

( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) ( )

0 02 2 22 2 2

0 2 0 3 2 32 2 2

2 3

O x y O

r rx y r

=

rArr + + minus = rArr + minus = rArr+ + minus =

2 2 24 9 13 13r r rrArr + = rArr = rArr =

Jednadžba kružnice glasi

( ) ( )2 2

2 3 13x y+ + minus =

Odgovor je pod A

2inačica

Kružnica sa središtem u točki S(ndash 2 3) ima jednadžbu

( ) ( )

( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )

2 3 2 2 2 22 22 3 2 3

2 2 2

S p q S

x y r x y rx p y q r

= minus

rArr minus minus + minus = rArr + + minus =

minus + minus =

Budući da kružnica prolazi ishodištem koordinatnog sustava njezin polumjer jednak je udaljenosti

izmentildeu točaka S i O

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )

2 31 1

0 02 2 2 2 2 2

0 2 0 3 0 2 0 32 2

2 1 2 1

S x y S

O x y O

r r

SO x x y y

r SO

= minus

=

rArr = minus minus + minus rArr = + + minus rArr

= minus + minus

=

( )22

2 3 4 9 13r r rrArr = + minus rArr = + rArr =

Jednadžba kružnice glasi

( ) ( ) ( ) ( ) ( )22 2 2 2

2 3 13 2 3 13x y x y+ + minus = rArr + + minus =

Odgovor je pod A

18

8

7

6

5

4

3

2

1

-1

-2

-8 -6 -4 -2 2 4 6

y

x

S(-2 3)

O(0 0)

Vježba 137 Kružnica sa središtem u točki S(1 1) prolazi ishodištem koordinatnog sustava Kako glasi

jednadžba te kružnice

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2

) 1 1 2 ) 1 1 2A x y B x yminus + + = minus + minus =

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2

) 1 1 1 ) 1 1 1C x y D x y+ + minus = minus + + =

Rezultat B

Zadatak 138 (Ivan gimnazija)

Na slici je prikazana hiperbola i njezina točka A Izračunajte koordinate točke u kojoj tangenta

na tu hiperbolu u točki A siječe os x

Rješenje 138

Ponovimo

1

a

n a dbnc b c

d

sdot= =

sdot

Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i

jedinice

0 1a n a

n nb n b

sdot= ne ne

sdot

Hiperbola kojoj se središte podudara s ishodištem koordinatnog sustava a fokusi leže na osi x ima

jednadžbu (osna jednadžba)

2 22 2 2 2 2

2

12 2

x yb x a y a b

a b

minus = rArr sdot minus sdot = sdot

gdje je a realna poluos b imaginarna poluos

19

Jednadžba tangente u točki T(x1 y1) hiperbole

2 2 2 2ili 1 1 1

1 2 2

1

x x y yb x x a y y a b

a b

sdot sdotsdot sdot minus sdot sdot = sdot minus =

a

2

Sa slike vidi se da je realna poluos hiperbole a = 2

2 2 22 2 4a a a= rArr = rArr =

Budući da točka A pripada hiperboli koordinate točke uvrstit ćemo u jednadžbu hiperbole i izračunati

imaginarnu poluos b

( ) ( )2

4 6 2 2 26 2 36 4 4

2 2 1 1 12 2 24 41

2 2

36

4

a A x y A

x yb b b

a b

= =

rArr minus = rArr minus = rArr minus = rArrminus =

29 4 9 4 2 2 2 21 1 9 4 9 4

2 21

1b b b b b

b b

rArr minus = rArr minus = rArr sdot minus = rArr sdot minus =sdot rArr

4 12 2 2 2 28 4 8 4

8

4 8

8 2b b b b brArr sdot = rArr sdot = rArr = rArr = rArr =

Jednadžba hiperbole glasi

12 24

2 2212 2 14

12 2 2

a bx y

x y

a b

= =

rArr minus =

minus =

Tangenta na hiperbolu prolazi točkom A pa je njezina jednadžba oblika

( ) ( )

12 24

226 2 31 6 2 1 1 4 1

1 1 1 14 2

2 21 1 12 2

6

4

a b

yx y x

A x y A x y

x x y y

a b

= =

sdotsdot sdot sdot

= rArr minus = rArr minus = rArr sdot minus sdot = rArr

sdot sdotminus =

13 3 3 14 1 4 1

2 2 8 4

4y x y x y xrArr minus sdot = minus sdot + rArr minus sdot = minus sdot + rArr = sdotsdot minus minus

Budući da tangenta siječe x os sjecište će imati ordinatu jednaku nula y = 0

20

3 13 1 3 1 2 2

0 0 0 8 48 4 8 4

8

3 330

y xx x x x

y

= sdot minusrArr sdot minus = rArr sdot minus = rArr minus = =sdot rArr

=

Koordinate točke glase

2 0

3

Vježba 138

Na slici je prikazana hiperbola i njezina točka A Izračunajte koordinate točke u kojoj tangenta

na tu hiperbolu u točki A siječe os y

Rezultat 1

0 4

minus

Zadatak 139 (Tina srednja škola)

Zadan je skup svih točaka koje su od točke (2 4) udaljene za 3 Napišite jednadžbu tog skupa i

skicirajte ga u zadanom koordinatnom sustavu

Rješenje 139

Ponovimo

Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) te ravnine

Ako je S(p q) središte kružnice a r polumjer tada središnja jednadžba kružnice glasi

( ) ( )2

2 2

x p y q rminus + minus =

Skup svih točaka koje su od točke (2 4) udaljene za 3 je kružnica sa središtem S(p q) = S(2 4) i

polumjerom r = 3 Njezina jednadžba glasi

( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

2 4 32 2 2 22

2 4 3 2 4 92 2 2

S p q S r

x y x yx p y q r

= =

rArr minus + minus = rArr minus + minus =

minus + minus =

9

8

7

6

5

4

3

2

1

-1

-2

-6 -4 -2 2 4 6 8 10 12

S 2 4(((( ))))

y

x

21

Vježba 139

Zadan je skup svih točaka koje su od točke (4 2) udaljene za 3 Napišite jednadžbu tog skupa

Rezultat ( ) ( )2 2

4 2 9x yminus + minus =

Zadatak 140 (Ivan srednja škola)

Točka T(10 y gt 0) leži na krivulji 2 middot y2 = 5 middot x Koliko je točka T udaljena od žarišta te

krivulje

Rješenje 140

Ponovimo

Parabola kojoj tjeme leži u ishodištu a žarište na pozitivnom dijelu osi apscisa ima jednadžbu

22 y p x= sdot sdot

gdje je p poluparametar parabole tjudaljenost žarišta do ravnalice

Koordinate žarišta (fokusa) F parabole su

02

pF

1

a

n a dbnc b c

d

sdot= =

sdot

Neka su A(x1 y1) i B(x2 y2) dvije točke ravnine Tada je udaljenost točaka A i B dana formulom

( ) ( )2

1 1

2

2 2AB x x y y= minus + minus

2

a c a d b c a c a d b c

a ab d b d b d b d

sdot minus sdot sdot + sdotminus = + = =

sdot sdot

Uočimo da je krivulja parabola

52 2 22 5 2 5 2

2y x y x y xsdot = sdot rArr sdot = sdot rArr = sdot

Njezin poluparametar p iznosi

22

5 5 52 2 52 2 2 4

2

1

2

y p x

p p py x

= sdot sdot

rArr sdot sdot= rArr sdot = rArr =

= sdot

Tada žarište (fokus) parabole ima koordinate

5 5 052 4 4 0 0 0

22 85

14

pF

F F F

p

rArr rArr rArr

=

Budući da točka T pripada paraboli uvrstit ćemo koordinate točke u jednadžbu parabole i izračunati

ordinatu y

( ) ( ) 105 52 2 2 2

10 25 25522

10 2

2

T x y T y

y y y yy x

=

rArr = sdot rArr = sdot rArr = rArr = rArr= sdot

22

( ) ( )nije rješenj

51

25 5e zbog 0

10 5 12 5

2y

yy y T x y T

y

=rArr = plusmn rArr rArr = rArr =

gt= minus

Računamo udaljenost izmentildeu točaka T i F

( ) ( )

( )

( ) ( )

( )

10 51 1

25 5 2

0 10 0 52 2 8 8

2 2

2 1 2 1

T x y T

F x y F TF

TF x x y y

=

= rArr = minus + minus rArr

= minus + minus

( )2 2 2

5 10 5 80 7525 25 25

8 1 8 8TF TF TF

minusrArr = minus + minus rArr = + rArr = minus + rArr

5625 5625 25 5625 160025

64 64 1 64TF TF TF

+rArr = + rArr = + rArr = rArr

7 225 8510625

64 8TF TF TFrArr = rArr = rArr =

Vježba 140

Točka T(10 y lt 0) leži na krivulji 2 middot y2 = 5 middot x Koliko je točka T udaljena od žarišta te

krivulje

Rezultat 10625

2

1 1

2 2

y k x l

y k x l

= sdot +

= sdot +

paralelna su onda i samo onda ako vrijedi

1 2

k k=

Parabola kojoj tjeme leži u ishodištu a žarište na pozitivnom dijelu osi apscisa ima jednadžbu

22 y p x= sdot sdot

gdje je p poluparametar parabole tjudaljenost žarišta do ravnalice

Uvjet dodira pravca i parabole

Pravac

y k x l= sdot +

dira parabolu

22y p x= sdot sdot

onda i samo onda kad vrijedi

2 p k l= sdot sdot

Budući da je tangenta pravac potražit ćemo pravac u eksplicitnom obliku

y k x l= sdot +

i iskoristiti uvjet dodira pravca i parabole

2 p k l= sdot sdot

Odredimo poluparametar p parabole

26

2 6 2 6 32

2

2y x

p p p

y p x

= sdotrArr sdot = rArr sdot = rArr =

= sdot sdot

Takontildeer izračunamo koeficijent smjera zadanog pravca

( )2 3 1 0 3 2 1 3 2 1 3x y y x y xsdot minus sdot + = rArr minus sdot = minus sdot minus rArr minus sdot = sdot minus minusminus rArr

koef2

icijent smjera1 2

3 3 3

y x krArr = sdot + rArr =

Budući da je tangenta parabole paralelna sa zadanim pravcem ima isti koeficijent smjera

2

3k =

Iz uvjeta dodira lako se izračuna l odsječak tangente na y osi

23 2 4 4 4 9

3 2 3 3 3 33 3 3 3 4

2

3

4

p kl l l l l

p k l

= =rArr = sdot sdot rArr = sdot rArr sdot = rArr = =

= sdot

sdotsdot rArr

sdot

Jednadžba tangente je

2 9 2 9

3 43 4

k ly x

y k x l

= =rArr = sdot +

= sdot +

Vježba 122

Odredite jednadžbe onih tangenata parabole koje su paralelne sa zadanim pravcem ako je

26

15 05 0

y x

x y

= sdot

minus sdot + =

3

Rezultat 2 9

3 4

y x= sdot +

Zadatak 123 (Nina gimnazija)

Napiši jednadžbu hiperbole koja prolazi točkom A(10 8) i ako je zadano a = b

Rješenje 123 Ponovimo

1 a b a b a

a bn n n b

minusminus = = rArr =

Hiperbola kojoj središte leži u ishodištu koordinatnog sustava a realna os na osi apscisa ima

jednadžbu

( )2 2

2 2 2 2 2 2ili 1 kanonska jednadžba hiperbole

2 2

x yb x a y a b

a b

sdot minus sdot = sdot minus =

Budući da hiperbola prolazi točkom A njezine koordinate uvrstit ćemo u jednadžbu hiperbole

( ) ( ) 10 82 2

10 8 100 64 100 64 362 2 1 1 1 1

2 2 2 2 2 21

2 2

A x y A a b

x ya a a a a a

a b

= =

minusrArr minus = rArr minus = rArr = rArr = rArr

minus =

2 236 36

236

a ba b

a

=rArr = rArr rArr =

=

Jednadžba hiperbole glasi

2 236 36 2 2 2 2

2 22 2 1 1 36

36 36 3 3

6 3612 2

6

a bx y x y

x yx y

a b

= =

rArr minus = rArr minus = rArr minus

minus =

sdot =

Vježba 123

Napiši jednadžbu hiperbole koja prolazi točkom A(10 6) i ako je zadano a = b

Rezultat 2 2

64x yminus =

Zadatak 124 (Helena srednja škola)

Točka na paraboli y2 = 18 x kojoj je ordinata pozitivna i tri puta veća od apscise je

( ) ( ) ( ) ( ) 1 3 3 1 2 6 3 9A T B T C T D T

Rješenje 124 Ponovimo

( )1

n n n

a a a b a b= sdot = sdot

Parabola kojoj tjeme leži u ishodištu a žarište na pozitivnom dijelu osi apscisa ima jednadžbu

22 y p x= sdot sdot

gdje je p poluparametar parabole tjudaljenost žarišta do ravnalice

Kako zapisati da je broj x en puta veći od broja y

ili ili x x

x n y y nn y

= sdot = =

Da bi umnožak bio jednak nuli dovoljno je da jedan faktor bude jednak nuli

4

0 0 ili 0 il i 0a b a b a bsdot = hArr = = = =

Budući da je ordinata y točke na paraboli y2 = 18 x tri puta veća od apscise vrijedi

( )metoda

9supstitucije

3 2 2 23 18 9 18 9 18

218

y xx x x x x x

y x

= sdotrArr rArr sdot = sdot rArr sdot = sdot rArr sdot = sdot rArr

= sdot

( )002 2 1

2 2 0 2 0 22 0 2

2

nema smislaxxx x x x x x x

x x

==rArr = sdot rArr minus sdot = rArr sdot minus = rArr rArr rArr =

minus = =

Računamo ordinatu tražene točke

( ) ( )3

3 2 6 2 6 2

y xy y T x y T

x

= sdotrArr = sdot rArr = rArr =

=

Odgovor je pod C

Vježba 124

Točka na paraboli y2 = 9 x kojoj je ordinata pozitivna i tri puta veća od apscise je

( ) ( ) ( ) ( ) 1 3 3 1 2 6 3 9A T B T C T D T

Rezultat A

Zadatak 125 (Tina srednja škola)

Pravac 2 x + b y ndash 1 = 0 je normala kružnice x2 + y2 ndash 2 x ndash 2 y ndash 3 = 0 ako je b

jednako

2 2 1 1A B C Dminus minus

Rješenje 125 Ponovimo

Ako je S(p q) središte kružnice a r polumjer tada središnja jednadžba kružnice glasi

( ) ( )2

2 2

x p y q rminus + minus =

Opća jednadžba kružnice

2 2 20

22 2 x y p x q y c r p q c+ minus sdot sdot minus sdot sdot + = = + minus

Ako je presjek pravca i kružnice jedna točka D kažemo da pravac dira kružnicu ili da je tangenta

kružnice Točku D zovemo diralište tangente Pravac koji spaja središte S kružnice i diralište D

tangente naziva se normala kružnice

normala

DS

Zadanoj kružnici odredimo koordinate središta S

( )

( )

2 22 22 2 3 0 2 2 2

1

2 2 2 2 12 22 2 20

px y x y p p

q qqx y p x q y c

minus sdot = minus+ minus sdot minus sdot minus = minus sdot = minus =rArr rArr rArr rArr

minus sdot = minus =minus sdot = minus+ minus sdot sdot minus sdot sdot +

minus

minus=

( ) ( ) 1 1 S p q SrArr =

Budući da je normala pravac koji prolazi središtem S kružnice koordinate točke S uvrstit ćemo u

jednadžbu pravca

5

( ) ( ) 1 12 1 1 1 0 2 1 0 2 1 1

2 1 0

S x y Sb b b b

x b y

=rArr sdot + sdot minus = rArr + minus = rArr = minus + rArr = minus

sdot + sdot minus =

Odgovor je pod D

Vježba 125

Pravac 3 x + b y ndash 2 = 0 je normala kružnice x2 + y2 ndash 2 x ndash 2 y ndash 5 = 0 ako je b

jednako

2 2 1 1A B C Dminus minus

Rezultat D

Zadatak 126 (Iva strukovna škola)

Kolika je duljina tetive koju na krivulji 3 x2 ndash y

2 = 3 odsijeca pravac y + x ndash 5 = 0

6 2 jediničnih dužina 7 2 jediničnih dužinaA Bsdot sdot

8 2 jediničnih dužina 9 2 jediničnih dužinaC Dsdot sdot

Rješenje 126

Ponovimo

Tetiacuteva u geometriji je spojnica dviju točaka krivulje posebno na kružnici

( )2 2 2

2a b a a b b a b a bminus = minus sdot sdot + sdot = sdot

Neka su A(x1 y1) i B(x2 y2) dvije točke ravnine Tada je udaljenost točaka A i B dana formulom

( ) ( )2

1 1

2

2 2AB x x y y= minus + minus

Zakon distribucije množenja prema zbrajanju

( ) ( ) a b c a b a c a b a c a b csdot + = sdot + sdot sdot + sdot = sdot +

Da bismo našli sjecišta krivulje i pravca moramo riješiti sustav jednadžbi

( )2 2 2 2

223 me3 toda

sups

3 33 5 3

5 0 titucije5

x y x yx x

y x y x

sdot minus = sdot minus =rArr rArr rArr sdot minus minus = rArr

+ minus = = minus

( )2 2 2 2 2 23 25 10 3 3 25 10 3 3 25 10 3 0x x x x x x x x xrArr sdot minus minus sdot + = rArr sdot minus + sdot minus = rArr sdot minus + sdot minus minus = rArr

2 2 22 10 28 0 2 10 28 0 5 14 2 0x x x x x xrArr sdot + sdot minus = rArr sdot + sdot minus = rArr + sdot minus = rArr

( )1 5 14 22 5 5 4 1 145 14 0

24 12 2 11 5 14

12 2

a b c

x xx

b b a ca b c x

a

= = = minusminus plusmn minus sdot sdot minus+ sdot minus =

rArr rArr rArr = rArrminus plusmn minus sdot sdot sdot= = = minus =

sdot

5 9

15 25 56 5 81 5 9 212 12 12 5 92 2 2

2 2

x

x x x

x

minus +=

minus plusmn + minus plusmn minus plusmnrArr = rArr = rArr = rArr rArr

minus minus=

[ ]( )

5

45 22 3 31 12 1 1 1

14 7 5 7 125 72 2 22

2 2

x yx y y

x y yy

yx

x

= = minus= = =rArr rArr rArr rArr rArr rArr

= minus = + == minus minus= minus

= minus

Sjecišta krivulje i pravca su točke

6

( ) ( )2 3 i 7 12 A B minus

Duljina tetive AB iznosi

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

2 31 1

2 2 2 2 7 12 7 2 12 3 9 9

2 2

2 2

2 1 2 1

A x y A

B x y B AB AB

AB x x y y

=

= minus rArr = minus minus + minus rArr = minus + rArr

= minus + minus

81 81 81 2 81 2 9 2AB AB AB ABrArr = + rArr = sdot rArr = sdot rArr = sdot

Odgovor je pod D

Vježba 126

Kolika je duljina tetive koju na krivulji

22

13

yx minus = odsijeca pravac y = ndash x + 5

6 2 jediničnih dužina 7 2 jediničnih dužinaA Bsdot sdot

8 2 jediničnih dužina 9 2 jediničnih dužinaC Dsdot sdot

Rezultat D

Zadatak 127 (Iva strukovna škola)

Zadana je jednakostranična hiperbola x2 ndash y

2 = 8 Nantildeite linearni ekscentricitet

Rješenje 127

Ponovimo

2

0a b a b a a asdot = sdot = ge

Hiperbola kojoj središte leži u ishodištu koordinatnog sustava a realna os na osi apscisa ima

jednadžbu

( )2 2

2 2 2 2 2 2ili 1 kanonska jednadžba hiperbole

2 2

x yb x a y a b

a b

sdot minus sdot = sdot minus =

Linearni ekscentricitet hiperbole

2 2 2

2 2e a b e a b= + rArr = +

Hiperbolu kojoj su realna i imaginarna poluos jednake nazivamo jednakostranična hiperbola Za nju

vrijedi jednadžba

2 22

2 2

12 2

2 21

2 2

x yx y a

a aa

y

b

x

a b

minus =rArr rArrminus = minus =

=

Linearni ekscentricitet jednakostranične hiperbole

2 2 22 2 2 2 2 2 2 2

2 22 2 e a b

e a e aa b

a e a e a e a= +

rArr = + rArr = = sdot=

sdot rArr = sdot rArr = sdot rArr

Računamo linearni ekscentricitet

2 28 2 2

8 8 82 2 2

x y

x

a

a

a a

y

minus =rArr = rArr = rArr =

minus =

7

28 2 16 4

8

e ae e e

a

= sdotrArr = sdot rArr = rArr =

=

Vježba 127

Zadana je jednakostranična hiperbola x2 ndash y2 = 18 Nantildeite linearni ekscentricitet

Rezultat 6

Zadatak 128 (Nikolina srednja škola)

Kružnica k prolazi točkom T(ndash 3 2) i ima isto središte kao i kružnica zadana jednadžbom

(x + 2)2 + (y ndash 5)

2 = 20 Koliki je polumjer kružnice k

10 11 13 14A B C D

Rješenje 128

Ponovimo

Ako je S(p q) središte kružnice a r polumjer tada središnja jednadžba kružnice glasi

( ) ( )2

2 2

x p y q rminus + minus =

Neka su A(x1 y1) i B(x2 y2) dvije točke ravnine Tada je udaljenost točaka A i B dana s

( ) ( )2

1 1

2

2 2AB x x y y= minus + minus

Kružnice su koncentrične ako imaju isto središte

Polumjer kružnice je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice

1inačica

Kružnica k ima isto središte kao i kružnica zadana jednadžbom (x + 2)2 + (y ndash 5)

2 = 20 pa njezina

jednadžba glasi

( ) ( )2 2 2

2 5 x y r+ + minus =

Budući da kružnica k prolazi točkom T koordinate točke uvrstit ćemo u jednadžbu kružnice da bismo

izračunali njezin polumjer

( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

2 2 22 5 2 2 2 22 2

3 2 2 5 1 3 3 2

x y rr r

T x y T

+ + minus =rArr minus + + minus = rArr minus + minus = rArr

= minus

2 2 2 21 9 10 10 10 10 r r r r rrArr + = rArr = rArr = rArr = rArr =

Odgovor je pod A

2inačica

Iz zadane jednadžbe kružnice (x + 2)2 + (y ndash 5)2 = 20 odredimo koordinate središta

( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

2 22 5 20

2 5 2 2 2

x yS p q S

x p y q r

+ + minus =rArr = minus

minus + minus =

Budući da kružnica k prolazi točkom T(ndash 3 2) i ima isto središte S(ndash 2 5) njezin polumjer iznosi

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( )( ) ( )

2 51 1

2 2 3 2 3 2 2 5

2 2

2 2

2 1 2 1

S x y S

T x y T r

r ST x x y y

= minus

= minus rArr = minus minus minus + minus rArr

= = minus + minus

8

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2

3 2 2 5 1 3 1 9 10r r r rrArr = minus + + minus rArr = minus + minus rArr = + rArr =

Odgovor je pod A

Vježba 128

Kružnica k prolazi točkom T(ndash 6 2) i ima isto središte kao i kružnica zadana jednadžbom

(x + 2)2 + (y ndash 5)

2 = 20 Koliki je polumjer kružnice k

3 4 5 6A B C D

Rezultat C

Zadatak 129 (Anita ekonomska škola)

Točka T(6 5) nalazi se na elipsi čija je velika poluos a = 9 Odredite jednadžbu elipse i

udaljenost mentildeu fokusima

Rješenje 129

Ponovimo

Elipsa kojoj se središte podudara s ishodištem koordinatnog sustava smjer glavne osi s x ndash osi a smjer

sporedne osi s y ndash osi ima jednadžbu

2 22 2 2 2 2 2

i li 12 2

x yb x a y a b

a b

sdot + sdot = sdot + =

Broj e naziva se linearni ekscentricitet elipse

2 2 2e a b= minus

Koordinate fokusa F1 i F2 elipse su

( ) ( ) 0 0 1 2

F e F eminus

Budući da točka pripada elipsi koordinate točke uvrstit ćemo u jednadžbu elipse i izračunati malu

poluos b elipse

( ) ( ) 6 5

2 2 2 2 2 2 2 29 6 9 5 9 36 2 025 81

2 2 2 2 2 2

T x y T

a b b b b

b x a y a b

=

= rArr sdot + sdot = sdot rArr sdot + = sdot rArr

sdot + sdot = sdot

( )2 2 2 2 2

36 81 2 025 45 20 25 45 2 425 550 4b b b b bminusrArr sdot minus sdot = minus rArr minus sdot = minus rArr minus sdot = minus rArr =

Jednadžba elipse glasi

2 281 45 2 2 2 2

45 81 81 45 45 81 36452 2 2 2 2 2

a bx y x y

b x a y a b

= =rArr sdot + sdot = sdot rArr sdot + sdot =

sdot + sdot = sdot

Računamo linearni ekscentricitet elipse

2 281 45 2 2 2

81 45 36 36 36 2 2

62

a be e e e e

e a b

= =rArr = minus rArr = rArr = rArr = rArr =

= minus

Koordinate fokusa elipse iznose

( )

( )( )

( )

01 6 0

1 0

2 6 02

6

F eF

F eF

e

minusminus

rArr

=

pa je njihova mentildeusoba udaljenost jednaka

9

2 2 6 121 2 1 2 1 2

F F e F F F F= sdot rArr = sdot rArr =

Vježba 129

Točka T(ndash 6 ndash 5) nalazi se na elipsi čija je velika poluos a = 9 Odredite jednadžbu elipse i

udaljenost mentildeu fokusima

Rezultat 2 2

45 81 3645 121 2

x y F Fsdot + sdot = =

Zadatak 130 (Ana gimnazija)

Napiši jednadžbu elipse čiji fokus je ( )24 0 i 5 F a b= sdot

Rješenje 130

Ponovimo

( ) ( )2

n n n

a b b a a b a b a a= rArr = sdot = sdot =

Elipsa kojoj se središte podudara s ishodištem koordinatnog sustava smjer glavne osi s x ndash osi a smjer

sporedne osi s y ndash osi ima jednadžbu

2 22 2 2 2 2 2

i li 12 2

x yb x a y a b

a b

sdot + sdot = sdot + =

gdje su a i b velika i mala poluos

Broj e naziva se linearni ekscentricitet elipse

2 2 2e a b= minus

Koordinate fokusa (žarišta) F1 i F2 elipse su

( ) ( ) 0 0 1 2

F e F eminus

( ) ( )

( )metoda

supstitucij

0 24 0 2422 2

5 5 24e

5

2 2 2 2 2 2

F e F e

a b a b b b

e a b e a b

= =

= sdot rArr = sdot rArr rArr = sdot minus rArr

= minus = minus

2 2 2 2 2 2576 5 576 4 4 576 4 576 14 4 4b b b b b brArr = sdot minus rArr = sdot rArr sdot = rArr sdot = rArr =

Računamo a2

2 2 25 5 5 2 25 144 720

2 2 2144 144 1

44

a b a b a ba a

b b b

= sdot = sdot = sdotrArr rArr rArr = sdot rArr =

= = =

Kanonska ili osna jednadžba elipse glasi

2 2720 144 2 2

2 2 1720 1441

2 2

a bx y

x y

a b

= =

rArr + =

+ =

Vježba 130

Napiši jednadžbu elipse čiji fokus je ( )24 0 i 5 F a bminus = sdot

Rezultat

2 2

1720 144

x y+ =

10

Zadatak 131 (Ana gimnazija)

Odredimo jednadžbu hiperbole s fokusima na y ndash osi koja sadrži točke A(ndash 1 2) i B(7 10)

Rješenje 131

Ponovimo

1a

a bb

= rArr =

Neka je zadana hiperbola čiji fokusi leže na y ndash osi a središte hiperbole je ishodište koordinatnog

sustava Jednadžba takve hiperbole glasi

2 2

12

2

x y

b a

minus = minus

Budući da hiperbola sadrži točke A i B uvrstit ćemo koordinate točaka u jednadžbu hiperbole i dobiti

sustav jednadžbi

( ) ( )

( ) ( )

( )22 2 2

1 1 42 1 2 1 11

2 2 2 22 2

2 2 2 2 49 1007 10 1 7 10 1 1 2 22 2 2 2

x yA x y A

b a b ab a

x yB x y B

b ab a b a

minus= minus minus = minus minus = minusminus = minus

rArr rArr rArr

minus = minus= minus = minus minus = minus

( )1 4 49 196

1 492 2 2 2

49 100 49 1001 1

2 2 2

2

49metoda suprotnih

koeficijenata

b a b a

b a b a

minus = minus =

rArr rArr rArr

minus = minus minus = minus

sdot

minus + rArr

minus

96 96 248 48 2

2 2

2

48

aa

a a

rArr = rArr sdot= rArr =

Računamo b2

1 41 1 4 1 1 1 22 2

1 2 1 1 2 1 12 2 2 222

2

bb a

b b b ba

minus = minus

rArr minus = minus rArr minus = minus rArr = minus + rArr = rArr =

=

Jednadžba hiperbole glasi

2 22 1 2 2 2

22 2 1 1

1 2 212 2

a bx y y

xx y

b a

= =

rArr minus = minus rArr minus = minus

minus = minus

Vježba 131

Odredimo jednadžbu hiperbole s fokusima na y ndash osi koja sadrži točke A(1 2) i B(ndash 7 10)

Rezultat

22

12

yx minus = minus

Zadatak 132 (Ivana ekonomska škola)

Odredi jednadžbu kružnice polumjera r = 5 koja dodiruje os x i prolazi točkom T(ndash 2 2)

Skiciraj

Rješenje 132

Ponovimo

11

( ) ( )2 2

a b a bminus minus = +

Ako je S(p q) središte kružnice a r njezin polumjer tada središnja jednadžba kružnice glasi

( ) ( )2

2 2

x p y q rminus + minus =

Kada kružnica dira os x točka diranja je od središta udaljena upravo onoliko koliko je os x udaljena

od središta tj polumjer kružnice jednak je udaljenosti središta S(p q) do osi x Vrijedi

q r q r= = minus

pa postoje dvije jednadžbe

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2

2 2

x p y r r x p y r rminus + minus = minus + + =

Točka T je iznad osi x i zato promatramo kružnicu koja dira os x iznad osi x Ako je iznad tada je

polumjer upravo jednak q

55

q rq

r

=rArr =

=

Budući da kružnica prolazi točkom T koordinate točke uvrstit ćemo u jednadžbu kružnice

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

5 52 2 2 22 2

2 2 2 2 5 5 2 3 5

2 2 2

q r

T x y T p p

x p y q r

= =

= minus rArr minus minus + minus = rArr minus minus + minus = rArr

minus + minus =

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2

2 9 25 2 25 9 2 16 2 1 6p p p prArr + + = rArr + = minus rArr + = rArr + = rArr

22 4 4 2 12 16 2 4

2 4 4 2 62

pp pp p

p p p

=+ = = minusrArr + = plusmn rArr + = plusmn rArr rArr rArr

+ = minus = minus minus = minus

Postoje dvije kružnice sa zadanim uvjetima

bull

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

2 5 5 2 2 2 222 5 5 2 5 252 2 2

p q rx y x y

x p y q r

= = =

rArr minus + minus = rArr minus + minus =minus + minus =

bull

( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )

6 5 5 2 2 2 226 5 5 6 5 252 2 2

p q rx y x y

x p y q r

= minus = =

rArr minus minus + minus = rArr + + minus =minus + minus =

-10 -5 5 10

14

12

10

8

6

4

2

0

y

x

S(- 6 5)

S(2 5)

T

12

Vježba 132

Odredi jednadžbu kružnice polumjera r = 5 koja dodiruje os x i prolazi točkom T(ndash 2 8)

Rezultat ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2

2 5 25 6 5 25x y x yminus + minus = + + minus =

Zadatak 133 (Ivana ekonomska škola)

Odredi jednadžbu kružnice koja sadrži točke A(1 0) i B(ndash 1 4) a središte pripada osi x

Skiciraj

Rješenje 133

Ponovimo

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 22 2 2 2

2 2 a b a a b b a b a a b b a b a bminus = minus sdot sdot + + = + sdot sdot + minus minus = +

Ako je S(p q) središte kružnice a r njezin polumjer tada središnja jednadžba kružnice glasi

( ) ( )2

2 2

x p y q rminus + minus =

Kada središte S(p q) kružnice pripada osi x tada je ordinata q središta jednaka nuli q = 0 Vrijedi

jednadžba

( ) ( ) ( )2 2 22 2 2

0x p y r x p y rminus + minus = rArr minus + =

Budući da kružnica sadrži dvije točke A i B uvrstit ćemo koordinate točaka u jednadžbu kružnice i

dobiti sustav od dvije jednadžbe sa dvije nepoznanice

bull

( ) ( )

( )( ) ( )

1 02 22 2 2

1 0 1 2 2 2

A x y A

p r p rx p y r

=

rArr minus + = rArr minus =

minus + =

bull

( ) ( )

( )( ) ( )

1 42 22 2 2

1 4 1 16 2 2 2

B x y B

p r p r

x p y r

= minus

rArr minus minus + = rArr + + =

minus + =

Iz sustava jednadžbi dobije se

( )

( )( ) ( )

metoda

komparaci

2 21 2 2

1 1 162 2

1 16je

p rp p

p r

minus =rArr rArr minus = + + rArr

+ + =

2 21 2 1 2 16 2 2 16

2 21 1 2 2 16p p p pp p p ppp +rArr minus sdot + = + sdot + + rArr minus sdot = + sdot + rArr minus sdot = sdot ++ rArr

( )2 2 16 4 16 4 16 4 4p p p p prArr minus sdot minus sdot = rArr minus sdot = rArr minus sdot rArr = minusminus=

Računamo r2

( )( )( ) ( )

2 22 21 2 2 2 2 2

1 4 1 4 5 25

4

p rr r r r

p

minus =rArr minus minus = rArr + = rArr = rArr =

= minus

Jednadžba kružnice glasi

( )( )( ) ( )

24 25 2 22 2

4 25 4 252 2 2

p rx y x y

x p y r

= minus =rArr minus minus + = rArr + + =

minus + =

13

6

5

4

3

2

1

-1

-2

-3

-4

-5

-10 -8 -6 -4 -2 2 4 6

0

y

xS(- 4 0)

B(- 1 4)

A(10)

Vježba 133

Odredi jednadžbu kružnice koja sadrži točke A(ndash 9 0) i B(ndash 1 4) a središte pripada osi x

Rezultat ( )2 2

4 25x y+ + =

Zadatak 134 (Marin ekonomska škola)

Kako glase jednadžbe onih tangenata elipse 2 2

4 9 36x ysdot + sdot = ako je poznat koeficijent

smjera 8

9

k =

Rješenje 134

Ponovimo

1

n a c a d b cn

b d b d

sdot + sdot= + =

sdot

Elipsa kojoj se središte podudara s ishodištem koordinatnog sustava smjer glavne osi s x ndash osi a smjer

sporedne osi s y ndash osi ima jednadžbu

2 22 2 2 2 2 2

i li 12 2

x yb x a y a b

a b

sdot + sdot = sdot + =

Eksplicitni oblik jednadžbe pravca

koeficijent smjera odsječak na y osiy k x l k l= sdot + minus minus

Pravac y = k middot x + l dodiruje elipsu

2 2

12 2

x y

a b+ = ako i samo ako vrijedi

2 2

2 2a k b lsdot + =

Prvo napišemo kanonski oblik elipse

2 24 92 2 2 2

4 9 36 4 9 3 6 136

3636

x yx y x y

sdot sdotsdot + sdot = rArr sdot + sdot = rArr + = rArr

22 24 9

36 3

2 2 91 1

29 4 46

ax y x y

b

=sdot sdot rArr + = rArr + = rArr

=

Iz uvjeta dodira pravca i elipse dobije se odsječak l na y osi tangente

14

2 2 2 2 28 64 642 2 2

9 4 9 4 482 2 9 819 4 9

89

1

a k b ll l l

a b k

sdot + = rArr sdot + = rArr sdot + = rArr sdot + = rArr

= = =

64 64 4 64 36 100 1002 2 2 2 24

9 9 1 9 9 9l l l l l

+rArr + = rArr + = rArr = rArr = rArr = rArr

10

1100 100 102 3

12 12 109 9 32 3

l

l l l

l

=

rArr = rArr = plusmn rArr = plusmn rArr = minus

Jednadžbe tangenata glase

8 10 8 10

9 3 9 3

8 10 8 10

9 3 9 3

y k x l k l y x

y k x l k l y x

= sdot + = = = sdot +

rArr = sdot + = = minus = sdot minus

Vježba 134

Kako glase jednadžbe onih tangenata elipse 2 2

4 9 36x ysdot + sdot = ako je poznat koeficijent

smjera 2

3

k =

Rezultat 2 2

2 2 2 23 3

y x y x= sdot + sdot = sdot minus sdot

Zadatak 135 (Goran srednja škola)

Točka T(6 5) nalazi se na elipsi čija je velika poluos a = 9 Odredite jednadžbu elipse i

udaljenost mentildeu fokusima

Rješenje 135

Ponovimo

2 0a a a= ge

Elipsa kojoj se središte podudara s ishodištem koordinatnog sustava smjer glavne osi s x ndash osi a smjer

sporedne osi s y ndash osi ima jednadžbu

2 22 2 2 2 2 2

i li 12 2

x yb x a y a b

a b

sdot + sdot = sdot + =

Broj e naziva se linearni ekscentricitet elipse

2 2 2

2 2e a b e a b= minus rArr = minus

Fokusi (žarišta) elipse su točke s koordinatama

( ) ( ) 0 0 1 2

F e F eminus

Za realni broj x njegova je apsolutna vrijednost (modul) broj x koji odrentildeujemo na ovaj način

0

0

x xx

x x

ge=

minus lt

Ako je broj x pozitivan ili nula tada je on jednak svojoj apsolutnoj vrijednosti Za svaki x x ge 0

vrijedi x= x

Ako je x negativan broj njegova apsolutna vrijednost je suprotan broj ndash x koji je pozitivan Za svaki x

x lt 0 je x= ndash x

Ili ovako

15

Apsolutna vrijednost realnog broja x definira se

0

0 0

0

x x

x x

x x

gt

= =minus lt

Ako je broj x pozitivan broj onda ga prepišemo | x | = x | 7 | = 7

Ako je broj x negativan broj onda ga pišemo s minusom | x | = ndash x | ndash 4 | = ndash (ndash 4) = 4

Udaljenost točaka ( ) ( ) i A x y B x yB BA A

( ) ( )2 2

AB x x y yB BA A

= minus + minus

Budući da se točka T nalazi na elipsi njezine koordinate uvrstit ćemo u jednadžbu elipse

( ) ( ) 6 52 2 2 2 2 2 2 2

9 6 9 5 9 36 81 25 81

2 2 2 2 2 2

T x y T

a b b b b

b x a y a b

=

= rArr sdot + sdot = sdot rArr sdot + sdot = sdot rArr

sdot + sdot = sdot

2 2 2 2 236 2025 81 36 81 2025 45 2025b b b b brArr sdot + = sdot rArr sdot minus sdot = rArr minus sdot = minus rArr

( )2 2

45 2025 4 455b brArr minus sdot = minus rArr =minus

Jednadžba elipse glasi 2 2

2 22 2 1

12 2

81 45

81 45

x yx y

a b

a b

+ =+ =

= =rArr

Računamo linearni ekscentricitet elipse

2 281 45

81 45 36 62 2

a be e e

e a b

= = rArr = minus rArr = rArr =

= minus

Fokusi elipse imaju koordinate

( ) ( ) ( ) ( ) 0 6 0 0 6 01 1 2 2

F e F F e Fminus = minus =

pa njihova mentildeusobna udaljenost iznosi

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( )( ) ( )

6 01 1 1 1

2 2 6 0 6 6 0 0

2 2 2 2 1 2

2 2

1 2 2 1 2 1

F x y F

F x y F F F

F F x x y y

= minus

= rArr = minus minus + minus rArr

= minus + minus

( )2 2

6 6 0 12 121 2 1 2 1 2

F F F F F FrArr = + + rArr = rArr =

Vježba 135

Točka T(ndash 6 ndash 5) nalazi se na elipsi čija je velika poluos a = 9 Odredite jednadžbu elipse

Rezultat

2 2

181 45

x y+ =

16

Zadatak 136 (Maturanti HTT)

U kojim točkama kružnica x2 + y

2 = 25 siječe koordinatne osi

Rješenje 136

Ponovimo

Točka koja pripada osi y ima apscisujednaku 0

Točka koja pripada osi x ima ordinatujednaku 0

0 x

y

A(x 0)

B(0 y)

Budući da točke u kojima kružnica siječe os x imaju ordinatu jednaku 0 slijedi

2 22 2 2 2 225

0 25 0 25 25 20

5x y

x x x xy

+ =rArr + = rArr + = rArr = rArr = rArr

=

51

25 5 12 12 5

2

xx x

x

= minusrArr = plusmn rArr = plusmn rArr

=

Kružnica siječe os x u dvije točke

( ) ( )5 0 i 5 0 A Bminus

Budući da točke u kojima kružnica siječe os y imaju apscisu jednaku 0 slijedi

2 22 2 2 2 225

0 25 0 25 25 250

x y

y y y yx

+ =rArr + = rArr + = rArr = rArr = rArr

=

51

25 5 12 12 5

2

yy y

y

= minusrArr = plusmn rArr = plusmn rArr

=

Kružnica siječe os y u dvije točke

( ) ( )0 5 i 0 5 C Dminus

Vježba 136

U kojim točkama kružnica x2 + y2 = 9 siječe koordinatne osi

Rezultat ( ) ( ) ( ) ( )3 0 3 0 0 3 0 3 A B C Dminus minus

Zadatak 137 (Maturanti HTT)

Točka S(ndash 2 3) je središte kružnice koja prolazi ishodištem koordinatnoga sustava Kako glasi

jednadžba kružnice

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2

2 3 13 2 3 5A x y B x y+ + minus = + + minus =

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2

2 3 13 2 3 5C x y D x yminus + + = minus + + =

Rješenje 137

Ponovimo

( ) 2

a a=

Ako je S(p q) središte kružnice a r polumjer tada središnja jednadžba kružnice glasi

( ) ( )2

2 2

x p y q rminus + minus =

Neka su A(x1 y1) i B(x2 y2) dvije točke ravnine Tada je udaljenost točaka A i B dana s

17

( ) ( )2

1 1

2

2 2AB x x y y= minus + minus

1inačica

Kružnica sa središtem u točki S(ndash 2 3) ima jednadžbu

( ) ( )

( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )

2 3 2 2 2 22 22 3 2 3

2 2 2

S p q S

x y r x y rx p y q r

= minus

rArr minus minus + minus = rArr + + minus =

minus + minus =

Budući da kružnica prolazi ishodištem koordinatnog sustava koordinate ishodišta uvrstit ćemo u

jednadžbu kružnice i izračunati njezin polumjer

( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) ( )

0 02 2 22 2 2

0 2 0 3 2 32 2 2

2 3

O x y O

r rx y r

=

rArr + + minus = rArr + minus = rArr+ + minus =

2 2 24 9 13 13r r rrArr + = rArr = rArr =

Jednadžba kružnice glasi

( ) ( )2 2

2 3 13x y+ + minus =

Odgovor je pod A

2inačica

Kružnica sa središtem u točki S(ndash 2 3) ima jednadžbu

( ) ( )

( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )

2 3 2 2 2 22 22 3 2 3

2 2 2

S p q S

x y r x y rx p y q r

= minus

rArr minus minus + minus = rArr + + minus =

minus + minus =

Budući da kružnica prolazi ishodištem koordinatnog sustava njezin polumjer jednak je udaljenosti

izmentildeu točaka S i O

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )

2 31 1

0 02 2 2 2 2 2

0 2 0 3 0 2 0 32 2

2 1 2 1

S x y S

O x y O

r r

SO x x y y

r SO

= minus

=

rArr = minus minus + minus rArr = + + minus rArr

= minus + minus

=

( )22

2 3 4 9 13r r rrArr = + minus rArr = + rArr =

Jednadžba kružnice glasi

( ) ( ) ( ) ( ) ( )22 2 2 2

2 3 13 2 3 13x y x y+ + minus = rArr + + minus =

Odgovor je pod A

18

8

7

6

5

4

3

2

1

-1

-2

-8 -6 -4 -2 2 4 6

y

x

S(-2 3)

O(0 0)

Vježba 137 Kružnica sa središtem u točki S(1 1) prolazi ishodištem koordinatnog sustava Kako glasi

jednadžba te kružnice

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2

) 1 1 2 ) 1 1 2A x y B x yminus + + = minus + minus =

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2

) 1 1 1 ) 1 1 1C x y D x y+ + minus = minus + + =

Rezultat B

Zadatak 138 (Ivan gimnazija)

Na slici je prikazana hiperbola i njezina točka A Izračunajte koordinate točke u kojoj tangenta

na tu hiperbolu u točki A siječe os x

Rješenje 138

Ponovimo

1

a

n a dbnc b c

d

sdot= =

sdot

Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i

jedinice

0 1a n a

n nb n b

sdot= ne ne

sdot

Hiperbola kojoj se središte podudara s ishodištem koordinatnog sustava a fokusi leže na osi x ima

jednadžbu (osna jednadžba)

2 22 2 2 2 2

2

12 2

x yb x a y a b

a b

minus = rArr sdot minus sdot = sdot

gdje je a realna poluos b imaginarna poluos

19

Jednadžba tangente u točki T(x1 y1) hiperbole

2 2 2 2ili 1 1 1

1 2 2

1

x x y yb x x a y y a b

a b

sdot sdotsdot sdot minus sdot sdot = sdot minus =

a

2

Sa slike vidi se da je realna poluos hiperbole a = 2

2 2 22 2 4a a a= rArr = rArr =

Budući da točka A pripada hiperboli koordinate točke uvrstit ćemo u jednadžbu hiperbole i izračunati

imaginarnu poluos b

( ) ( )2

4 6 2 2 26 2 36 4 4

2 2 1 1 12 2 24 41

2 2

36

4

a A x y A

x yb b b

a b

= =

rArr minus = rArr minus = rArr minus = rArrminus =

29 4 9 4 2 2 2 21 1 9 4 9 4

2 21

1b b b b b

b b

rArr minus = rArr minus = rArr sdot minus = rArr sdot minus =sdot rArr

4 12 2 2 2 28 4 8 4

8

4 8

8 2b b b b brArr sdot = rArr sdot = rArr = rArr = rArr =

Jednadžba hiperbole glasi

12 24

2 2212 2 14

12 2 2

a bx y

x y

a b

= =

rArr minus =

minus =

Tangenta na hiperbolu prolazi točkom A pa je njezina jednadžba oblika

( ) ( )

12 24

226 2 31 6 2 1 1 4 1

1 1 1 14 2

2 21 1 12 2

6

4

a b

yx y x

A x y A x y

x x y y

a b

= =

sdotsdot sdot sdot

= rArr minus = rArr minus = rArr sdot minus sdot = rArr

sdot sdotminus =

13 3 3 14 1 4 1

2 2 8 4

4y x y x y xrArr minus sdot = minus sdot + rArr minus sdot = minus sdot + rArr = sdotsdot minus minus

Budući da tangenta siječe x os sjecište će imati ordinatu jednaku nula y = 0

20

3 13 1 3 1 2 2

0 0 0 8 48 4 8 4

8

3 330

y xx x x x

y

= sdot minusrArr sdot minus = rArr sdot minus = rArr minus = =sdot rArr

=

Koordinate točke glase

2 0

3

Vježba 138

Na slici je prikazana hiperbola i njezina točka A Izračunajte koordinate točke u kojoj tangenta

na tu hiperbolu u točki A siječe os y

Rezultat 1

0 4

minus

Zadatak 139 (Tina srednja škola)

Zadan je skup svih točaka koje su od točke (2 4) udaljene za 3 Napišite jednadžbu tog skupa i

skicirajte ga u zadanom koordinatnom sustavu

Rješenje 139

Ponovimo

Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) te ravnine

Ako je S(p q) središte kružnice a r polumjer tada središnja jednadžba kružnice glasi

( ) ( )2

2 2

x p y q rminus + minus =

Skup svih točaka koje su od točke (2 4) udaljene za 3 je kružnica sa središtem S(p q) = S(2 4) i

polumjerom r = 3 Njezina jednadžba glasi

( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

2 4 32 2 2 22

2 4 3 2 4 92 2 2

S p q S r

x y x yx p y q r

= =

rArr minus + minus = rArr minus + minus =

minus + minus =

9

8

7

6

5

4

3

2

1

-1

-2

-6 -4 -2 2 4 6 8 10 12

S 2 4(((( ))))

y

x

21

Vježba 139

Zadan je skup svih točaka koje su od točke (4 2) udaljene za 3 Napišite jednadžbu tog skupa

Rezultat ( ) ( )2 2

4 2 9x yminus + minus =

Zadatak 140 (Ivan srednja škola)

Točka T(10 y gt 0) leži na krivulji 2 middot y2 = 5 middot x Koliko je točka T udaljena od žarišta te

krivulje

Rješenje 140

Ponovimo

Parabola kojoj tjeme leži u ishodištu a žarište na pozitivnom dijelu osi apscisa ima jednadžbu

22 y p x= sdot sdot

gdje je p poluparametar parabole tjudaljenost žarišta do ravnalice

Koordinate žarišta (fokusa) F parabole su

02

pF

1

a

n a dbnc b c

d

sdot= =

sdot

Neka su A(x1 y1) i B(x2 y2) dvije točke ravnine Tada je udaljenost točaka A i B dana formulom

( ) ( )2

1 1

2

2 2AB x x y y= minus + minus

2

a c a d b c a c a d b c

a ab d b d b d b d

sdot minus sdot sdot + sdotminus = + = =

sdot sdot

Uočimo da je krivulja parabola

52 2 22 5 2 5 2

2y x y x y xsdot = sdot rArr sdot = sdot rArr = sdot

Njezin poluparametar p iznosi

22

5 5 52 2 52 2 2 4

2

1

2

y p x

p p py x

= sdot sdot

rArr sdot sdot= rArr sdot = rArr =

= sdot

Tada žarište (fokus) parabole ima koordinate

5 5 052 4 4 0 0 0

22 85

14

pF

F F F

p

rArr rArr rArr

=

Budući da točka T pripada paraboli uvrstit ćemo koordinate točke u jednadžbu parabole i izračunati

ordinatu y

( ) ( ) 105 52 2 2 2

10 25 25522

10 2

2

T x y T y

y y y yy x

=

rArr = sdot rArr = sdot rArr = rArr = rArr= sdot

22

( ) ( )nije rješenj

51

25 5e zbog 0

10 5 12 5

2y

yy y T x y T

y

=rArr = plusmn rArr rArr = rArr =

gt= minus

Računamo udaljenost izmentildeu točaka T i F

( ) ( )

( )

( ) ( )

( )

10 51 1

25 5 2

0 10 0 52 2 8 8

2 2

2 1 2 1

T x y T

F x y F TF

TF x x y y

=

= rArr = minus + minus rArr

= minus + minus

( )2 2 2

5 10 5 80 7525 25 25

8 1 8 8TF TF TF

minusrArr = minus + minus rArr = + rArr = minus + rArr

5625 5625 25 5625 160025

64 64 1 64TF TF TF

+rArr = + rArr = + rArr = rArr

7 225 8510625

64 8TF TF TFrArr = rArr = rArr =

Vježba 140

Točka T(10 y lt 0) leži na krivulji 2 middot y2 = 5 middot x Koliko je točka T udaljena od žarišta te

krivulje

Rezultat 10625

3

Rezultat 2 9

3 4

y x= sdot +

Zadatak 123 (Nina gimnazija)

Napiši jednadžbu hiperbole koja prolazi točkom A(10 8) i ako je zadano a = b

Rješenje 123 Ponovimo

1 a b a b a

a bn n n b

minusminus = = rArr =

Hiperbola kojoj središte leži u ishodištu koordinatnog sustava a realna os na osi apscisa ima

jednadžbu

( )2 2

2 2 2 2 2 2ili 1 kanonska jednadžba hiperbole

2 2

x yb x a y a b

a b

sdot minus sdot = sdot minus =

Budući da hiperbola prolazi točkom A njezine koordinate uvrstit ćemo u jednadžbu hiperbole

( ) ( ) 10 82 2

10 8 100 64 100 64 362 2 1 1 1 1

2 2 2 2 2 21

2 2

A x y A a b

x ya a a a a a

a b

= =

minusrArr minus = rArr minus = rArr = rArr = rArr

minus =

2 236 36

236

a ba b

a

=rArr = rArr rArr =

=

Jednadžba hiperbole glasi

2 236 36 2 2 2 2

2 22 2 1 1 36

36 36 3 3

6 3612 2

6

a bx y x y

x yx y

a b

= =

rArr minus = rArr minus = rArr minus

minus =

sdot =

Vježba 123

Napiši jednadžbu hiperbole koja prolazi točkom A(10 6) i ako je zadano a = b

Rezultat 2 2

64x yminus =

Zadatak 124 (Helena srednja škola)

Točka na paraboli y2 = 18 x kojoj je ordinata pozitivna i tri puta veća od apscise je

( ) ( ) ( ) ( ) 1 3 3 1 2 6 3 9A T B T C T D T

Rješenje 124 Ponovimo

( )1

n n n

a a a b a b= sdot = sdot

Parabola kojoj tjeme leži u ishodištu a žarište na pozitivnom dijelu osi apscisa ima jednadžbu

22 y p x= sdot sdot

gdje je p poluparametar parabole tjudaljenost žarišta do ravnalice

Kako zapisati da je broj x en puta veći od broja y

ili ili x x

x n y y nn y

= sdot = =

Da bi umnožak bio jednak nuli dovoljno je da jedan faktor bude jednak nuli

4

0 0 ili 0 il i 0a b a b a bsdot = hArr = = = =

Budući da je ordinata y točke na paraboli y2 = 18 x tri puta veća od apscise vrijedi

( )metoda

9supstitucije

3 2 2 23 18 9 18 9 18

218

y xx x x x x x

y x

= sdotrArr rArr sdot = sdot rArr sdot = sdot rArr sdot = sdot rArr

= sdot

( )002 2 1

2 2 0 2 0 22 0 2

2

nema smislaxxx x x x x x x

x x

==rArr = sdot rArr minus sdot = rArr sdot minus = rArr rArr rArr =

minus = =

Računamo ordinatu tražene točke

( ) ( )3

3 2 6 2 6 2

y xy y T x y T

x

= sdotrArr = sdot rArr = rArr =

=

Odgovor je pod C

Vježba 124

Točka na paraboli y2 = 9 x kojoj je ordinata pozitivna i tri puta veća od apscise je

( ) ( ) ( ) ( ) 1 3 3 1 2 6 3 9A T B T C T D T

Rezultat A

Zadatak 125 (Tina srednja škola)

Pravac 2 x + b y ndash 1 = 0 je normala kružnice x2 + y2 ndash 2 x ndash 2 y ndash 3 = 0 ako je b

jednako

2 2 1 1A B C Dminus minus

Rješenje 125 Ponovimo

Ako je S(p q) središte kružnice a r polumjer tada središnja jednadžba kružnice glasi

( ) ( )2

2 2

x p y q rminus + minus =

Opća jednadžba kružnice

2 2 20

22 2 x y p x q y c r p q c+ minus sdot sdot minus sdot sdot + = = + minus

Ako je presjek pravca i kružnice jedna točka D kažemo da pravac dira kružnicu ili da je tangenta

kružnice Točku D zovemo diralište tangente Pravac koji spaja središte S kružnice i diralište D

tangente naziva se normala kružnice

normala

DS

Zadanoj kružnici odredimo koordinate središta S

( )

( )

2 22 22 2 3 0 2 2 2

1

2 2 2 2 12 22 2 20

px y x y p p

q qqx y p x q y c

minus sdot = minus+ minus sdot minus sdot minus = minus sdot = minus =rArr rArr rArr rArr

minus sdot = minus =minus sdot = minus+ minus sdot sdot minus sdot sdot +

minus

minus=

( ) ( ) 1 1 S p q SrArr =

Budući da je normala pravac koji prolazi središtem S kružnice koordinate točke S uvrstit ćemo u

jednadžbu pravca

5

( ) ( ) 1 12 1 1 1 0 2 1 0 2 1 1

2 1 0

S x y Sb b b b

x b y

=rArr sdot + sdot minus = rArr + minus = rArr = minus + rArr = minus

sdot + sdot minus =

Odgovor je pod D

Vježba 125

Pravac 3 x + b y ndash 2 = 0 je normala kružnice x2 + y2 ndash 2 x ndash 2 y ndash 5 = 0 ako je b

jednako

2 2 1 1A B C Dminus minus

Rezultat D

Zadatak 126 (Iva strukovna škola)

Kolika je duljina tetive koju na krivulji 3 x2 ndash y

2 = 3 odsijeca pravac y + x ndash 5 = 0

6 2 jediničnih dužina 7 2 jediničnih dužinaA Bsdot sdot

8 2 jediničnih dužina 9 2 jediničnih dužinaC Dsdot sdot

Rješenje 126

Ponovimo

Tetiacuteva u geometriji je spojnica dviju točaka krivulje posebno na kružnici

( )2 2 2

2a b a a b b a b a bminus = minus sdot sdot + sdot = sdot

Neka su A(x1 y1) i B(x2 y2) dvije točke ravnine Tada je udaljenost točaka A i B dana formulom

( ) ( )2

1 1

2

2 2AB x x y y= minus + minus

Zakon distribucije množenja prema zbrajanju

( ) ( ) a b c a b a c a b a c a b csdot + = sdot + sdot sdot + sdot = sdot +

Da bismo našli sjecišta krivulje i pravca moramo riješiti sustav jednadžbi

( )2 2 2 2

223 me3 toda

sups

3 33 5 3

5 0 titucije5

x y x yx x

y x y x

sdot minus = sdot minus =rArr rArr rArr sdot minus minus = rArr

+ minus = = minus

( )2 2 2 2 2 23 25 10 3 3 25 10 3 3 25 10 3 0x x x x x x x x xrArr sdot minus minus sdot + = rArr sdot minus + sdot minus = rArr sdot minus + sdot minus minus = rArr

2 2 22 10 28 0 2 10 28 0 5 14 2 0x x x x x xrArr sdot + sdot minus = rArr sdot + sdot minus = rArr + sdot minus = rArr

( )1 5 14 22 5 5 4 1 145 14 0

24 12 2 11 5 14

12 2

a b c

x xx

b b a ca b c x

a

= = = minusminus plusmn minus sdot sdot minus+ sdot minus =

rArr rArr rArr = rArrminus plusmn minus sdot sdot sdot= = = minus =

sdot

5 9

15 25 56 5 81 5 9 212 12 12 5 92 2 2

2 2

x

x x x

x

minus +=

minus plusmn + minus plusmn minus plusmnrArr = rArr = rArr = rArr rArr

minus minus=

[ ]( )

5

45 22 3 31 12 1 1 1

14 7 5 7 125 72 2 22

2 2

x yx y y

x y yy

yx

x

= = minus= = =rArr rArr rArr rArr rArr rArr

= minus = + == minus minus= minus

= minus

Sjecišta krivulje i pravca su točke

6

( ) ( )2 3 i 7 12 A B minus

Duljina tetive AB iznosi

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

2 31 1

2 2 2 2 7 12 7 2 12 3 9 9

2 2

2 2

2 1 2 1

A x y A

B x y B AB AB

AB x x y y

=

= minus rArr = minus minus + minus rArr = minus + rArr

= minus + minus

81 81 81 2 81 2 9 2AB AB AB ABrArr = + rArr = sdot rArr = sdot rArr = sdot

Odgovor je pod D

Vježba 126

Kolika je duljina tetive koju na krivulji

22

13

yx minus = odsijeca pravac y = ndash x + 5

6 2 jediničnih dužina 7 2 jediničnih dužinaA Bsdot sdot

8 2 jediničnih dužina 9 2 jediničnih dužinaC Dsdot sdot

Rezultat D

Zadatak 127 (Iva strukovna škola)

Zadana je jednakostranična hiperbola x2 ndash y

2 = 8 Nantildeite linearni ekscentricitet

Rješenje 127

Ponovimo

2

0a b a b a a asdot = sdot = ge

Hiperbola kojoj središte leži u ishodištu koordinatnog sustava a realna os na osi apscisa ima

jednadžbu

( )2 2

2 2 2 2 2 2ili 1 kanonska jednadžba hiperbole

2 2

x yb x a y a b

a b

sdot minus sdot = sdot minus =

Linearni ekscentricitet hiperbole

2 2 2

2 2e a b e a b= + rArr = +

Hiperbolu kojoj su realna i imaginarna poluos jednake nazivamo jednakostranična hiperbola Za nju

vrijedi jednadžba

2 22

2 2

12 2

2 21

2 2

x yx y a

a aa

y

b

x

a b

minus =rArr rArrminus = minus =

=

Linearni ekscentricitet jednakostranične hiperbole

2 2 22 2 2 2 2 2 2 2

2 22 2 e a b

e a e aa b

a e a e a e a= +

rArr = + rArr = = sdot=

sdot rArr = sdot rArr = sdot rArr

Računamo linearni ekscentricitet

2 28 2 2

8 8 82 2 2

x y

x

a

a

a a

y

minus =rArr = rArr = rArr =

minus =

7

28 2 16 4

8

e ae e e

a

= sdotrArr = sdot rArr = rArr =

=

Vježba 127

Zadana je jednakostranična hiperbola x2 ndash y2 = 18 Nantildeite linearni ekscentricitet

Rezultat 6

Zadatak 128 (Nikolina srednja škola)

Kružnica k prolazi točkom T(ndash 3 2) i ima isto središte kao i kružnica zadana jednadžbom

(x + 2)2 + (y ndash 5)

2 = 20 Koliki je polumjer kružnice k

10 11 13 14A B C D

Rješenje 128

Ponovimo

Ako je S(p q) središte kružnice a r polumjer tada središnja jednadžba kružnice glasi

( ) ( )2

2 2

x p y q rminus + minus =

Neka su A(x1 y1) i B(x2 y2) dvije točke ravnine Tada je udaljenost točaka A i B dana s

( ) ( )2

1 1

2

2 2AB x x y y= minus + minus

Kružnice su koncentrične ako imaju isto središte

Polumjer kružnice je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice

1inačica

Kružnica k ima isto središte kao i kružnica zadana jednadžbom (x + 2)2 + (y ndash 5)

2 = 20 pa njezina

jednadžba glasi

( ) ( )2 2 2

2 5 x y r+ + minus =

Budući da kružnica k prolazi točkom T koordinate točke uvrstit ćemo u jednadžbu kružnice da bismo

izračunali njezin polumjer

( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

2 2 22 5 2 2 2 22 2

3 2 2 5 1 3 3 2

x y rr r

T x y T

+ + minus =rArr minus + + minus = rArr minus + minus = rArr

= minus

2 2 2 21 9 10 10 10 10 r r r r rrArr + = rArr = rArr = rArr = rArr =

Odgovor je pod A

2inačica

Iz zadane jednadžbe kružnice (x + 2)2 + (y ndash 5)2 = 20 odredimo koordinate središta

( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

2 22 5 20

2 5 2 2 2

x yS p q S

x p y q r

+ + minus =rArr = minus

minus + minus =

Budući da kružnica k prolazi točkom T(ndash 3 2) i ima isto središte S(ndash 2 5) njezin polumjer iznosi

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( )( ) ( )

2 51 1

2 2 3 2 3 2 2 5

2 2

2 2

2 1 2 1

S x y S

T x y T r

r ST x x y y

= minus

= minus rArr = minus minus minus + minus rArr

= = minus + minus

8

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2

3 2 2 5 1 3 1 9 10r r r rrArr = minus + + minus rArr = minus + minus rArr = + rArr =

Odgovor je pod A

Vježba 128

Kružnica k prolazi točkom T(ndash 6 2) i ima isto središte kao i kružnica zadana jednadžbom

(x + 2)2 + (y ndash 5)

2 = 20 Koliki je polumjer kružnice k

3 4 5 6A B C D

Rezultat C

Zadatak 129 (Anita ekonomska škola)

Točka T(6 5) nalazi se na elipsi čija je velika poluos a = 9 Odredite jednadžbu elipse i

udaljenost mentildeu fokusima

Rješenje 129

Ponovimo

Elipsa kojoj se središte podudara s ishodištem koordinatnog sustava smjer glavne osi s x ndash osi a smjer

sporedne osi s y ndash osi ima jednadžbu

2 22 2 2 2 2 2

i li 12 2

x yb x a y a b

a b

sdot + sdot = sdot + =

Broj e naziva se linearni ekscentricitet elipse

2 2 2e a b= minus

Koordinate fokusa F1 i F2 elipse su

( ) ( ) 0 0 1 2

F e F eminus

Budući da točka pripada elipsi koordinate točke uvrstit ćemo u jednadžbu elipse i izračunati malu

poluos b elipse

( ) ( ) 6 5

2 2 2 2 2 2 2 29 6 9 5 9 36 2 025 81

2 2 2 2 2 2

T x y T

a b b b b

b x a y a b

=

= rArr sdot + sdot = sdot rArr sdot + = sdot rArr

sdot + sdot = sdot

( )2 2 2 2 2

36 81 2 025 45 20 25 45 2 425 550 4b b b b bminusrArr sdot minus sdot = minus rArr minus sdot = minus rArr minus sdot = minus rArr =

Jednadžba elipse glasi

2 281 45 2 2 2 2

45 81 81 45 45 81 36452 2 2 2 2 2

a bx y x y

b x a y a b

= =rArr sdot + sdot = sdot rArr sdot + sdot =

sdot + sdot = sdot

Računamo linearni ekscentricitet elipse

2 281 45 2 2 2

81 45 36 36 36 2 2

62

a be e e e e

e a b

= =rArr = minus rArr = rArr = rArr = rArr =

= minus

Koordinate fokusa elipse iznose

( )

( )( )

( )

01 6 0

1 0

2 6 02

6

F eF

F eF

e

minusminus

rArr

=

pa je njihova mentildeusoba udaljenost jednaka

9

2 2 6 121 2 1 2 1 2

F F e F F F F= sdot rArr = sdot rArr =

Vježba 129

Točka T(ndash 6 ndash 5) nalazi se na elipsi čija je velika poluos a = 9 Odredite jednadžbu elipse i

udaljenost mentildeu fokusima

Rezultat 2 2

45 81 3645 121 2

x y F Fsdot + sdot = =

Zadatak 130 (Ana gimnazija)

Napiši jednadžbu elipse čiji fokus je ( )24 0 i 5 F a b= sdot

Rješenje 130

Ponovimo

( ) ( )2

n n n

a b b a a b a b a a= rArr = sdot = sdot =

Elipsa kojoj se središte podudara s ishodištem koordinatnog sustava smjer glavne osi s x ndash osi a smjer

sporedne osi s y ndash osi ima jednadžbu

2 22 2 2 2 2 2

i li 12 2

x yb x a y a b

a b

sdot + sdot = sdot + =

gdje su a i b velika i mala poluos

Broj e naziva se linearni ekscentricitet elipse

2 2 2e a b= minus

Koordinate fokusa (žarišta) F1 i F2 elipse su

( ) ( ) 0 0 1 2

F e F eminus

( ) ( )

( )metoda

supstitucij

0 24 0 2422 2

5 5 24e

5

2 2 2 2 2 2

F e F e

a b a b b b

e a b e a b

= =

= sdot rArr = sdot rArr rArr = sdot minus rArr

= minus = minus

2 2 2 2 2 2576 5 576 4 4 576 4 576 14 4 4b b b b b brArr = sdot minus rArr = sdot rArr sdot = rArr sdot = rArr =

Računamo a2

2 2 25 5 5 2 25 144 720

2 2 2144 144 1

44

a b a b a ba a

b b b

= sdot = sdot = sdotrArr rArr rArr = sdot rArr =

= = =

Kanonska ili osna jednadžba elipse glasi

2 2720 144 2 2

2 2 1720 1441

2 2

a bx y

x y

a b

= =

rArr + =

+ =

Vježba 130

Napiši jednadžbu elipse čiji fokus je ( )24 0 i 5 F a bminus = sdot

Rezultat

2 2

1720 144

x y+ =

10

Zadatak 131 (Ana gimnazija)

Odredimo jednadžbu hiperbole s fokusima na y ndash osi koja sadrži točke A(ndash 1 2) i B(7 10)

Rješenje 131

Ponovimo

1a

a bb

= rArr =

Neka je zadana hiperbola čiji fokusi leže na y ndash osi a središte hiperbole je ishodište koordinatnog

sustava Jednadžba takve hiperbole glasi

2 2

12

2

x y

b a

minus = minus

Budući da hiperbola sadrži točke A i B uvrstit ćemo koordinate točaka u jednadžbu hiperbole i dobiti

sustav jednadžbi

( ) ( )

( ) ( )

( )22 2 2

1 1 42 1 2 1 11

2 2 2 22 2

2 2 2 2 49 1007 10 1 7 10 1 1 2 22 2 2 2

x yA x y A

b a b ab a

x yB x y B

b ab a b a

minus= minus minus = minus minus = minusminus = minus

rArr rArr rArr

minus = minus= minus = minus minus = minus

( )1 4 49 196

1 492 2 2 2

49 100 49 1001 1

2 2 2

2

49metoda suprotnih

koeficijenata

b a b a

b a b a

minus = minus =

rArr rArr rArr

minus = minus minus = minus

sdot

minus + rArr

minus

96 96 248 48 2

2 2

2

48

aa

a a

rArr = rArr sdot= rArr =

Računamo b2

1 41 1 4 1 1 1 22 2

1 2 1 1 2 1 12 2 2 222

2

bb a

b b b ba

minus = minus

rArr minus = minus rArr minus = minus rArr = minus + rArr = rArr =

=

Jednadžba hiperbole glasi

2 22 1 2 2 2

22 2 1 1

1 2 212 2

a bx y y

xx y

b a

= =

rArr minus = minus rArr minus = minus

minus = minus

Vježba 131

Odredimo jednadžbu hiperbole s fokusima na y ndash osi koja sadrži točke A(1 2) i B(ndash 7 10)

Rezultat

22

12

yx minus = minus

Zadatak 132 (Ivana ekonomska škola)

Odredi jednadžbu kružnice polumjera r = 5 koja dodiruje os x i prolazi točkom T(ndash 2 2)

Skiciraj

Rješenje 132

Ponovimo

11

( ) ( )2 2

a b a bminus minus = +

Ako je S(p q) središte kružnice a r njezin polumjer tada središnja jednadžba kružnice glasi

( ) ( )2

2 2

x p y q rminus + minus =

Kada kružnica dira os x točka diranja je od središta udaljena upravo onoliko koliko je os x udaljena

od središta tj polumjer kružnice jednak je udaljenosti središta S(p q) do osi x Vrijedi

q r q r= = minus

pa postoje dvije jednadžbe

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2

2 2

x p y r r x p y r rminus + minus = minus + + =

Točka T je iznad osi x i zato promatramo kružnicu koja dira os x iznad osi x Ako je iznad tada je

polumjer upravo jednak q

55

q rq

r

=rArr =

=

Budući da kružnica prolazi točkom T koordinate točke uvrstit ćemo u jednadžbu kružnice

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

5 52 2 2 22 2

2 2 2 2 5 5 2 3 5

2 2 2

q r

T x y T p p

x p y q r

= =

= minus rArr minus minus + minus = rArr minus minus + minus = rArr

minus + minus =

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2

2 9 25 2 25 9 2 16 2 1 6p p p prArr + + = rArr + = minus rArr + = rArr + = rArr

22 4 4 2 12 16 2 4

2 4 4 2 62

pp pp p

p p p

=+ = = minusrArr + = plusmn rArr + = plusmn rArr rArr rArr

+ = minus = minus minus = minus

Postoje dvije kružnice sa zadanim uvjetima

bull

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

2 5 5 2 2 2 222 5 5 2 5 252 2 2

p q rx y x y

x p y q r

= = =

rArr minus + minus = rArr minus + minus =minus + minus =

bull

( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )

6 5 5 2 2 2 226 5 5 6 5 252 2 2

p q rx y x y

x p y q r

= minus = =

rArr minus minus + minus = rArr + + minus =minus + minus =

-10 -5 5 10

14

12

10

8

6

4

2

0

y

x

S(- 6 5)

S(2 5)

T

12

Vježba 132

Odredi jednadžbu kružnice polumjera r = 5 koja dodiruje os x i prolazi točkom T(ndash 2 8)

Rezultat ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2

2 5 25 6 5 25x y x yminus + minus = + + minus =

Zadatak 133 (Ivana ekonomska škola)

Odredi jednadžbu kružnice koja sadrži točke A(1 0) i B(ndash 1 4) a središte pripada osi x

Skiciraj

Rješenje 133

Ponovimo

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 22 2 2 2

2 2 a b a a b b a b a a b b a b a bminus = minus sdot sdot + + = + sdot sdot + minus minus = +

Ako je S(p q) središte kružnice a r njezin polumjer tada središnja jednadžba kružnice glasi

( ) ( )2

2 2

x p y q rminus + minus =

Kada središte S(p q) kružnice pripada osi x tada je ordinata q središta jednaka nuli q = 0 Vrijedi

jednadžba

( ) ( ) ( )2 2 22 2 2

0x p y r x p y rminus + minus = rArr minus + =

Budući da kružnica sadrži dvije točke A i B uvrstit ćemo koordinate točaka u jednadžbu kružnice i

dobiti sustav od dvije jednadžbe sa dvije nepoznanice

bull

( ) ( )

( )( ) ( )

1 02 22 2 2

1 0 1 2 2 2

A x y A

p r p rx p y r

=

rArr minus + = rArr minus =

minus + =

bull

( ) ( )

( )( ) ( )

1 42 22 2 2

1 4 1 16 2 2 2

B x y B

p r p r

x p y r

= minus

rArr minus minus + = rArr + + =

minus + =

Iz sustava jednadžbi dobije se

( )

( )( ) ( )

metoda

komparaci

2 21 2 2

1 1 162 2

1 16je

p rp p

p r

minus =rArr rArr minus = + + rArr

+ + =

2 21 2 1 2 16 2 2 16

2 21 1 2 2 16p p p pp p p ppp +rArr minus sdot + = + sdot + + rArr minus sdot = + sdot + rArr minus sdot = sdot ++ rArr

( )2 2 16 4 16 4 16 4 4p p p p prArr minus sdot minus sdot = rArr minus sdot = rArr minus sdot rArr = minusminus=

Računamo r2

( )( )( ) ( )

2 22 21 2 2 2 2 2

1 4 1 4 5 25

4

p rr r r r

p

minus =rArr minus minus = rArr + = rArr = rArr =

= minus

Jednadžba kružnice glasi

( )( )( ) ( )

24 25 2 22 2

4 25 4 252 2 2

p rx y x y

x p y r

= minus =rArr minus minus + = rArr + + =

minus + =

13

6

5

4

3

2

1

-1

-2

-3

-4

-5

-10 -8 -6 -4 -2 2 4 6

0

y

xS(- 4 0)

B(- 1 4)

A(10)

Vježba 133

Odredi jednadžbu kružnice koja sadrži točke A(ndash 9 0) i B(ndash 1 4) a središte pripada osi x

Rezultat ( )2 2

4 25x y+ + =

Zadatak 134 (Marin ekonomska škola)

Kako glase jednadžbe onih tangenata elipse 2 2

4 9 36x ysdot + sdot = ako je poznat koeficijent

smjera 8

9

k =

Rješenje 134

Ponovimo

1

n a c a d b cn

b d b d

sdot + sdot= + =

sdot

Elipsa kojoj se središte podudara s ishodištem koordinatnog sustava smjer glavne osi s x ndash osi a smjer

sporedne osi s y ndash osi ima jednadžbu

2 22 2 2 2 2 2

i li 12 2

x yb x a y a b

a b

sdot + sdot = sdot + =

Eksplicitni oblik jednadžbe pravca

koeficijent smjera odsječak na y osiy k x l k l= sdot + minus minus

Pravac y = k middot x + l dodiruje elipsu

2 2

12 2

x y

a b+ = ako i samo ako vrijedi

2 2

2 2a k b lsdot + =

Prvo napišemo kanonski oblik elipse

2 24 92 2 2 2

4 9 36 4 9 3 6 136

3636

x yx y x y

sdot sdotsdot + sdot = rArr sdot + sdot = rArr + = rArr

22 24 9

36 3

2 2 91 1

29 4 46

ax y x y

b

=sdot sdot rArr + = rArr + = rArr

=

Iz uvjeta dodira pravca i elipse dobije se odsječak l na y osi tangente

14

2 2 2 2 28 64 642 2 2

9 4 9 4 482 2 9 819 4 9

89

1

a k b ll l l

a b k

sdot + = rArr sdot + = rArr sdot + = rArr sdot + = rArr

= = =

64 64 4 64 36 100 1002 2 2 2 24

9 9 1 9 9 9l l l l l

+rArr + = rArr + = rArr = rArr = rArr = rArr

10

1100 100 102 3

12 12 109 9 32 3

l

l l l

l

=

rArr = rArr = plusmn rArr = plusmn rArr = minus

Jednadžbe tangenata glase

8 10 8 10

9 3 9 3

8 10 8 10

9 3 9 3

y k x l k l y x

y k x l k l y x

= sdot + = = = sdot +

rArr = sdot + = = minus = sdot minus

Vježba 134

Kako glase jednadžbe onih tangenata elipse 2 2

4 9 36x ysdot + sdot = ako je poznat koeficijent

smjera 2

3

k =

Rezultat 2 2

2 2 2 23 3

y x y x= sdot + sdot = sdot minus sdot

Zadatak 135 (Goran srednja škola)

Točka T(6 5) nalazi se na elipsi čija je velika poluos a = 9 Odredite jednadžbu elipse i

udaljenost mentildeu fokusima

Rješenje 135

Ponovimo

2 0a a a= ge

Elipsa kojoj se središte podudara s ishodištem koordinatnog sustava smjer glavne osi s x ndash osi a smjer

sporedne osi s y ndash osi ima jednadžbu

2 22 2 2 2 2 2

i li 12 2

x yb x a y a b

a b

sdot + sdot = sdot + =

Broj e naziva se linearni ekscentricitet elipse

2 2 2

2 2e a b e a b= minus rArr = minus

Fokusi (žarišta) elipse su točke s koordinatama

( ) ( ) 0 0 1 2

F e F eminus

Za realni broj x njegova je apsolutna vrijednost (modul) broj x koji odrentildeujemo na ovaj način

0

0

x xx

x x

ge=

minus lt

Ako je broj x pozitivan ili nula tada je on jednak svojoj apsolutnoj vrijednosti Za svaki x x ge 0

vrijedi x= x

Ako je x negativan broj njegova apsolutna vrijednost je suprotan broj ndash x koji je pozitivan Za svaki x

x lt 0 je x= ndash x

Ili ovako

15

Apsolutna vrijednost realnog broja x definira se

0

0 0

0

x x

x x

x x

gt

= =minus lt

Ako je broj x pozitivan broj onda ga prepišemo | x | = x | 7 | = 7

Ako je broj x negativan broj onda ga pišemo s minusom | x | = ndash x | ndash 4 | = ndash (ndash 4) = 4

Udaljenost točaka ( ) ( ) i A x y B x yB BA A

( ) ( )2 2

AB x x y yB BA A

= minus + minus

Budući da se točka T nalazi na elipsi njezine koordinate uvrstit ćemo u jednadžbu elipse

( ) ( ) 6 52 2 2 2 2 2 2 2

9 6 9 5 9 36 81 25 81

2 2 2 2 2 2

T x y T

a b b b b

b x a y a b

=

= rArr sdot + sdot = sdot rArr sdot + sdot = sdot rArr

sdot + sdot = sdot

2 2 2 2 236 2025 81 36 81 2025 45 2025b b b b brArr sdot + = sdot rArr sdot minus sdot = rArr minus sdot = minus rArr

( )2 2

45 2025 4 455b brArr minus sdot = minus rArr =minus

Jednadžba elipse glasi 2 2

2 22 2 1

12 2

81 45

81 45

x yx y

a b

a b

+ =+ =

= =rArr

Računamo linearni ekscentricitet elipse

2 281 45

81 45 36 62 2

a be e e

e a b

= = rArr = minus rArr = rArr =

= minus

Fokusi elipse imaju koordinate

( ) ( ) ( ) ( ) 0 6 0 0 6 01 1 2 2

F e F F e Fminus = minus =

pa njihova mentildeusobna udaljenost iznosi

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( )( ) ( )

6 01 1 1 1

2 2 6 0 6 6 0 0

2 2 2 2 1 2

2 2

1 2 2 1 2 1

F x y F

F x y F F F

F F x x y y

= minus

= rArr = minus minus + minus rArr

= minus + minus

( )2 2

6 6 0 12 121 2 1 2 1 2

F F F F F FrArr = + + rArr = rArr =

Vježba 135

Točka T(ndash 6 ndash 5) nalazi se na elipsi čija je velika poluos a = 9 Odredite jednadžbu elipse

Rezultat

2 2

181 45

x y+ =

16

Zadatak 136 (Maturanti HTT)

U kojim točkama kružnica x2 + y

2 = 25 siječe koordinatne osi

Rješenje 136

Ponovimo

Točka koja pripada osi y ima apscisujednaku 0

Točka koja pripada osi x ima ordinatujednaku 0

0 x

y

A(x 0)

B(0 y)

Budući da točke u kojima kružnica siječe os x imaju ordinatu jednaku 0 slijedi

2 22 2 2 2 225

0 25 0 25 25 20

5x y

x x x xy

+ =rArr + = rArr + = rArr = rArr = rArr

=

51

25 5 12 12 5

2

xx x

x

= minusrArr = plusmn rArr = plusmn rArr

=

Kružnica siječe os x u dvije točke

( ) ( )5 0 i 5 0 A Bminus

Budući da točke u kojima kružnica siječe os y imaju apscisu jednaku 0 slijedi

2 22 2 2 2 225

0 25 0 25 25 250

x y

y y y yx

+ =rArr + = rArr + = rArr = rArr = rArr

=

51

25 5 12 12 5

2

yy y

y

= minusrArr = plusmn rArr = plusmn rArr

=

Kružnica siječe os y u dvije točke

( ) ( )0 5 i 0 5 C Dminus

Vježba 136

U kojim točkama kružnica x2 + y2 = 9 siječe koordinatne osi

Rezultat ( ) ( ) ( ) ( )3 0 3 0 0 3 0 3 A B C Dminus minus

Zadatak 137 (Maturanti HTT)

Točka S(ndash 2 3) je središte kružnice koja prolazi ishodištem koordinatnoga sustava Kako glasi

jednadžba kružnice

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2

2 3 13 2 3 5A x y B x y+ + minus = + + minus =

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2

2 3 13 2 3 5C x y D x yminus + + = minus + + =

Rješenje 137

Ponovimo

( ) 2

a a=

Ako je S(p q) središte kružnice a r polumjer tada središnja jednadžba kružnice glasi

( ) ( )2

2 2

x p y q rminus + minus =

Neka su A(x1 y1) i B(x2 y2) dvije točke ravnine Tada je udaljenost točaka A i B dana s

17

( ) ( )2

1 1

2

2 2AB x x y y= minus + minus

1inačica

Kružnica sa središtem u točki S(ndash 2 3) ima jednadžbu

( ) ( )

( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )

2 3 2 2 2 22 22 3 2 3

2 2 2

S p q S

x y r x y rx p y q r

= minus

rArr minus minus + minus = rArr + + minus =

minus + minus =

Budući da kružnica prolazi ishodištem koordinatnog sustava koordinate ishodišta uvrstit ćemo u

jednadžbu kružnice i izračunati njezin polumjer

( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) ( )

0 02 2 22 2 2

0 2 0 3 2 32 2 2

2 3

O x y O

r rx y r

=

rArr + + minus = rArr + minus = rArr+ + minus =

2 2 24 9 13 13r r rrArr + = rArr = rArr =

Jednadžba kružnice glasi

( ) ( )2 2

2 3 13x y+ + minus =

Odgovor je pod A

2inačica

Kružnica sa središtem u točki S(ndash 2 3) ima jednadžbu

( ) ( )

( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )

2 3 2 2 2 22 22 3 2 3

2 2 2

S p q S

x y r x y rx p y q r

= minus

rArr minus minus + minus = rArr + + minus =

minus + minus =

Budući da kružnica prolazi ishodištem koordinatnog sustava njezin polumjer jednak je udaljenosti

izmentildeu točaka S i O

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )

2 31 1

0 02 2 2 2 2 2

0 2 0 3 0 2 0 32 2

2 1 2 1

S x y S

O x y O

r r

SO x x y y

r SO

= minus

=

rArr = minus minus + minus rArr = + + minus rArr

= minus + minus

=

( )22

2 3 4 9 13r r rrArr = + minus rArr = + rArr =

Jednadžba kružnice glasi

( ) ( ) ( ) ( ) ( )22 2 2 2

2 3 13 2 3 13x y x y+ + minus = rArr + + minus =

Odgovor je pod A

18

8

7

6

5

4

3

2

1

-1

-2

-8 -6 -4 -2 2 4 6

y

x

S(-2 3)

O(0 0)

Vježba 137 Kružnica sa središtem u točki S(1 1) prolazi ishodištem koordinatnog sustava Kako glasi

jednadžba te kružnice

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2

) 1 1 2 ) 1 1 2A x y B x yminus + + = minus + minus =

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2

) 1 1 1 ) 1 1 1C x y D x y+ + minus = minus + + =

Rezultat B

Zadatak 138 (Ivan gimnazija)

Na slici je prikazana hiperbola i njezina točka A Izračunajte koordinate točke u kojoj tangenta

na tu hiperbolu u točki A siječe os x

Rješenje 138

Ponovimo

1

a

n a dbnc b c

d

sdot= =

sdot

Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i

jedinice

0 1a n a

n nb n b

sdot= ne ne

sdot

Hiperbola kojoj se središte podudara s ishodištem koordinatnog sustava a fokusi leže na osi x ima

jednadžbu (osna jednadžba)

2 22 2 2 2 2

2

12 2

x yb x a y a b

a b

minus = rArr sdot minus sdot = sdot

gdje je a realna poluos b imaginarna poluos

19

Jednadžba tangente u točki T(x1 y1) hiperbole

2 2 2 2ili 1 1 1

1 2 2

1

x x y yb x x a y y a b

a b

sdot sdotsdot sdot minus sdot sdot = sdot minus =

a

2

Sa slike vidi se da je realna poluos hiperbole a = 2

2 2 22 2 4a a a= rArr = rArr =

Budući da točka A pripada hiperboli koordinate točke uvrstit ćemo u jednadžbu hiperbole i izračunati

imaginarnu poluos b

( ) ( )2

4 6 2 2 26 2 36 4 4

2 2 1 1 12 2 24 41

2 2

36

4

a A x y A

x yb b b

a b

= =

rArr minus = rArr minus = rArr minus = rArrminus =

29 4 9 4 2 2 2 21 1 9 4 9 4

2 21

1b b b b b

b b

rArr minus = rArr minus = rArr sdot minus = rArr sdot minus =sdot rArr

4 12 2 2 2 28 4 8 4

8

4 8

8 2b b b b brArr sdot = rArr sdot = rArr = rArr = rArr =

Jednadžba hiperbole glasi

12 24

2 2212 2 14

12 2 2

a bx y

x y

a b

= =

rArr minus =

minus =

Tangenta na hiperbolu prolazi točkom A pa je njezina jednadžba oblika

( ) ( )

12 24

226 2 31 6 2 1 1 4 1

1 1 1 14 2

2 21 1 12 2

6

4

a b

yx y x

A x y A x y

x x y y

a b

= =

sdotsdot sdot sdot

= rArr minus = rArr minus = rArr sdot minus sdot = rArr

sdot sdotminus =

13 3 3 14 1 4 1

2 2 8 4

4y x y x y xrArr minus sdot = minus sdot + rArr minus sdot = minus sdot + rArr = sdotsdot minus minus

Budući da tangenta siječe x os sjecište će imati ordinatu jednaku nula y = 0

20

3 13 1 3 1 2 2

0 0 0 8 48 4 8 4

8

3 330

y xx x x x

y

= sdot minusrArr sdot minus = rArr sdot minus = rArr minus = =sdot rArr

=

Koordinate točke glase

2 0

3

Vježba 138

Na slici je prikazana hiperbola i njezina točka A Izračunajte koordinate točke u kojoj tangenta

na tu hiperbolu u točki A siječe os y

Rezultat 1

0 4

minus

Zadatak 139 (Tina srednja škola)

Zadan je skup svih točaka koje su od točke (2 4) udaljene za 3 Napišite jednadžbu tog skupa i

skicirajte ga u zadanom koordinatnom sustavu

Rješenje 139

Ponovimo

Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) te ravnine

Ako je S(p q) središte kružnice a r polumjer tada središnja jednadžba kružnice glasi

( ) ( )2

2 2

x p y q rminus + minus =

Skup svih točaka koje su od točke (2 4) udaljene za 3 je kružnica sa središtem S(p q) = S(2 4) i

polumjerom r = 3 Njezina jednadžba glasi

( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

2 4 32 2 2 22

2 4 3 2 4 92 2 2

S p q S r

x y x yx p y q r

= =

rArr minus + minus = rArr minus + minus =

minus + minus =

9

8

7

6

5

4

3

2

1

-1

-2

-6 -4 -2 2 4 6 8 10 12

S 2 4(((( ))))

y

x

21

Vježba 139

Zadan je skup svih točaka koje su od točke (4 2) udaljene za 3 Napišite jednadžbu tog skupa

Rezultat ( ) ( )2 2

4 2 9x yminus + minus =

Zadatak 140 (Ivan srednja škola)

Točka T(10 y gt 0) leži na krivulji 2 middot y2 = 5 middot x Koliko je točka T udaljena od žarišta te

krivulje

Rješenje 140

Ponovimo

Parabola kojoj tjeme leži u ishodištu a žarište na pozitivnom dijelu osi apscisa ima jednadžbu

22 y p x= sdot sdot

gdje je p poluparametar parabole tjudaljenost žarišta do ravnalice

Koordinate žarišta (fokusa) F parabole su

02

pF

1

a

n a dbnc b c

d

sdot= =

sdot

Neka su A(x1 y1) i B(x2 y2) dvije točke ravnine Tada je udaljenost točaka A i B dana formulom

( ) ( )2

1 1

2

2 2AB x x y y= minus + minus

2

a c a d b c a c a d b c

a ab d b d b d b d

sdot minus sdot sdot + sdotminus = + = =

sdot sdot

Uočimo da je krivulja parabola

52 2 22 5 2 5 2

2y x y x y xsdot = sdot rArr sdot = sdot rArr = sdot

Njezin poluparametar p iznosi

22

5 5 52 2 52 2 2 4

2

1

2

y p x

p p py x

= sdot sdot

rArr sdot sdot= rArr sdot = rArr =

= sdot

Tada žarište (fokus) parabole ima koordinate

5 5 052 4 4 0 0 0

22 85

14

pF

F F F

p

rArr rArr rArr

=

Budući da točka T pripada paraboli uvrstit ćemo koordinate točke u jednadžbu parabole i izračunati

ordinatu y

( ) ( ) 105 52 2 2 2

10 25 25522

10 2

2

T x y T y

y y y yy x

=

rArr = sdot rArr = sdot rArr = rArr = rArr= sdot

22

( ) ( )nije rješenj

51

25 5e zbog 0

10 5 12 5

2y

yy y T x y T

y

=rArr = plusmn rArr rArr = rArr =

gt= minus

Računamo udaljenost izmentildeu točaka T i F

( ) ( )

( )

( ) ( )

( )

10 51 1

25 5 2

0 10 0 52 2 8 8

2 2

2 1 2 1

T x y T

F x y F TF

TF x x y y

=

= rArr = minus + minus rArr

= minus + minus

( )2 2 2

5 10 5 80 7525 25 25

8 1 8 8TF TF TF

minusrArr = minus + minus rArr = + rArr = minus + rArr

5625 5625 25 5625 160025

64 64 1 64TF TF TF

+rArr = + rArr = + rArr = rArr

7 225 8510625

64 8TF TF TFrArr = rArr = rArr =

Vježba 140

Točka T(10 y lt 0) leži na krivulji 2 middot y2 = 5 middot x Koliko je točka T udaljena od žarišta te

krivulje

Rezultat 10625

4

0 0 ili 0 il i 0a b a b a bsdot = hArr = = = =

Budući da je ordinata y točke na paraboli y2 = 18 x tri puta veća od apscise vrijedi

( )metoda

9supstitucije

3 2 2 23 18 9 18 9 18

218

y xx x x x x x

y x

= sdotrArr rArr sdot = sdot rArr sdot = sdot rArr sdot = sdot rArr

= sdot

( )002 2 1

2 2 0 2 0 22 0 2

2

nema smislaxxx x x x x x x

x x

==rArr = sdot rArr minus sdot = rArr sdot minus = rArr rArr rArr =

minus = =

Računamo ordinatu tražene točke

( ) ( )3

3 2 6 2 6 2

y xy y T x y T

x

= sdotrArr = sdot rArr = rArr =

=

Odgovor je pod C

Vježba 124

Točka na paraboli y2 = 9 x kojoj je ordinata pozitivna i tri puta veća od apscise je

( ) ( ) ( ) ( ) 1 3 3 1 2 6 3 9A T B T C T D T

Rezultat A

Zadatak 125 (Tina srednja škola)

Pravac 2 x + b y ndash 1 = 0 je normala kružnice x2 + y2 ndash 2 x ndash 2 y ndash 3 = 0 ako je b

jednako

2 2 1 1A B C Dminus minus

Rješenje 125 Ponovimo

Ako je S(p q) središte kružnice a r polumjer tada središnja jednadžba kružnice glasi

( ) ( )2

2 2

x p y q rminus + minus =

Opća jednadžba kružnice

2 2 20

22 2 x y p x q y c r p q c+ minus sdot sdot minus sdot sdot + = = + minus

Ako je presjek pravca i kružnice jedna točka D kažemo da pravac dira kružnicu ili da je tangenta

kružnice Točku D zovemo diralište tangente Pravac koji spaja središte S kružnice i diralište D

tangente naziva se normala kružnice

normala

DS

Zadanoj kružnici odredimo koordinate središta S

( )

( )

2 22 22 2 3 0 2 2 2

1

2 2 2 2 12 22 2 20

px y x y p p

q qqx y p x q y c

minus sdot = minus+ minus sdot minus sdot minus = minus sdot = minus =rArr rArr rArr rArr

minus sdot = minus =minus sdot = minus+ minus sdot sdot minus sdot sdot +

minus

minus=

( ) ( ) 1 1 S p q SrArr =

Budući da je normala pravac koji prolazi središtem S kružnice koordinate točke S uvrstit ćemo u

jednadžbu pravca

5

( ) ( ) 1 12 1 1 1 0 2 1 0 2 1 1

2 1 0

S x y Sb b b b

x b y

=rArr sdot + sdot minus = rArr + minus = rArr = minus + rArr = minus

sdot + sdot minus =

Odgovor je pod D

Vježba 125

Pravac 3 x + b y ndash 2 = 0 je normala kružnice x2 + y2 ndash 2 x ndash 2 y ndash 5 = 0 ako je b

jednako

2 2 1 1A B C Dminus minus

Rezultat D

Zadatak 126 (Iva strukovna škola)

Kolika je duljina tetive koju na krivulji 3 x2 ndash y

2 = 3 odsijeca pravac y + x ndash 5 = 0

6 2 jediničnih dužina 7 2 jediničnih dužinaA Bsdot sdot

8 2 jediničnih dužina 9 2 jediničnih dužinaC Dsdot sdot

Rješenje 126

Ponovimo

Tetiacuteva u geometriji je spojnica dviju točaka krivulje posebno na kružnici

( )2 2 2

2a b a a b b a b a bminus = minus sdot sdot + sdot = sdot

Neka su A(x1 y1) i B(x2 y2) dvije točke ravnine Tada je udaljenost točaka A i B dana formulom

( ) ( )2

1 1

2

2 2AB x x y y= minus + minus

Zakon distribucije množenja prema zbrajanju

( ) ( ) a b c a b a c a b a c a b csdot + = sdot + sdot sdot + sdot = sdot +

Da bismo našli sjecišta krivulje i pravca moramo riješiti sustav jednadžbi

( )2 2 2 2

223 me3 toda

sups

3 33 5 3

5 0 titucije5

x y x yx x

y x y x

sdot minus = sdot minus =rArr rArr rArr sdot minus minus = rArr

+ minus = = minus

( )2 2 2 2 2 23 25 10 3 3 25 10 3 3 25 10 3 0x x x x x x x x xrArr sdot minus minus sdot + = rArr sdot minus + sdot minus = rArr sdot minus + sdot minus minus = rArr

2 2 22 10 28 0 2 10 28 0 5 14 2 0x x x x x xrArr sdot + sdot minus = rArr sdot + sdot minus = rArr + sdot minus = rArr

( )1 5 14 22 5 5 4 1 145 14 0

24 12 2 11 5 14

12 2

a b c

x xx

b b a ca b c x

a

= = = minusminus plusmn minus sdot sdot minus+ sdot minus =

rArr rArr rArr = rArrminus plusmn minus sdot sdot sdot= = = minus =

sdot

5 9

15 25 56 5 81 5 9 212 12 12 5 92 2 2

2 2

x

x x x

x

minus +=

minus plusmn + minus plusmn minus plusmnrArr = rArr = rArr = rArr rArr

minus minus=

[ ]( )

5

45 22 3 31 12 1 1 1

14 7 5 7 125 72 2 22

2 2

x yx y y

x y yy

yx

x

= = minus= = =rArr rArr rArr rArr rArr rArr

= minus = + == minus minus= minus

= minus

Sjecišta krivulje i pravca su točke

6

( ) ( )2 3 i 7 12 A B minus

Duljina tetive AB iznosi

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

2 31 1

2 2 2 2 7 12 7 2 12 3 9 9

2 2

2 2

2 1 2 1

A x y A

B x y B AB AB

AB x x y y

=

= minus rArr = minus minus + minus rArr = minus + rArr

= minus + minus

81 81 81 2 81 2 9 2AB AB AB ABrArr = + rArr = sdot rArr = sdot rArr = sdot

Odgovor je pod D

Vježba 126

Kolika je duljina tetive koju na krivulji

22

13

yx minus = odsijeca pravac y = ndash x + 5

6 2 jediničnih dužina 7 2 jediničnih dužinaA Bsdot sdot

8 2 jediničnih dužina 9 2 jediničnih dužinaC Dsdot sdot

Rezultat D

Zadatak 127 (Iva strukovna škola)

Zadana je jednakostranična hiperbola x2 ndash y

2 = 8 Nantildeite linearni ekscentricitet

Rješenje 127

Ponovimo

2

0a b a b a a asdot = sdot = ge

Hiperbola kojoj središte leži u ishodištu koordinatnog sustava a realna os na osi apscisa ima

jednadžbu

( )2 2

2 2 2 2 2 2ili 1 kanonska jednadžba hiperbole

2 2

x yb x a y a b

a b

sdot minus sdot = sdot minus =

Linearni ekscentricitet hiperbole

2 2 2

2 2e a b e a b= + rArr = +

Hiperbolu kojoj su realna i imaginarna poluos jednake nazivamo jednakostranična hiperbola Za nju

vrijedi jednadžba

2 22

2 2

12 2

2 21

2 2

x yx y a

a aa

y

b

x

a b

minus =rArr rArrminus = minus =

=

Linearni ekscentricitet jednakostranične hiperbole

2 2 22 2 2 2 2 2 2 2

2 22 2 e a b

e a e aa b

a e a e a e a= +

rArr = + rArr = = sdot=

sdot rArr = sdot rArr = sdot rArr

Računamo linearni ekscentricitet

2 28 2 2

8 8 82 2 2

x y

x

a

a

a a

y

minus =rArr = rArr = rArr =

minus =

7

28 2 16 4

8

e ae e e

a

= sdotrArr = sdot rArr = rArr =

=

Vježba 127

Zadana je jednakostranična hiperbola x2 ndash y2 = 18 Nantildeite linearni ekscentricitet

Rezultat 6

Zadatak 128 (Nikolina srednja škola)

Kružnica k prolazi točkom T(ndash 3 2) i ima isto središte kao i kružnica zadana jednadžbom

(x + 2)2 + (y ndash 5)

2 = 20 Koliki je polumjer kružnice k

10 11 13 14A B C D

Rješenje 128

Ponovimo

Ako je S(p q) središte kružnice a r polumjer tada središnja jednadžba kružnice glasi

( ) ( )2

2 2

x p y q rminus + minus =

Neka su A(x1 y1) i B(x2 y2) dvije točke ravnine Tada je udaljenost točaka A i B dana s

( ) ( )2

1 1

2

2 2AB x x y y= minus + minus

Kružnice su koncentrične ako imaju isto središte

Polumjer kružnice je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice

1inačica

Kružnica k ima isto središte kao i kružnica zadana jednadžbom (x + 2)2 + (y ndash 5)

2 = 20 pa njezina

jednadžba glasi

( ) ( )2 2 2

2 5 x y r+ + minus =

Budući da kružnica k prolazi točkom T koordinate točke uvrstit ćemo u jednadžbu kružnice da bismo

izračunali njezin polumjer

( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

2 2 22 5 2 2 2 22 2

3 2 2 5 1 3 3 2

x y rr r

T x y T

+ + minus =rArr minus + + minus = rArr minus + minus = rArr

= minus

2 2 2 21 9 10 10 10 10 r r r r rrArr + = rArr = rArr = rArr = rArr =

Odgovor je pod A

2inačica

Iz zadane jednadžbe kružnice (x + 2)2 + (y ndash 5)2 = 20 odredimo koordinate središta

( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

2 22 5 20

2 5 2 2 2

x yS p q S

x p y q r

+ + minus =rArr = minus

minus + minus =

Budući da kružnica k prolazi točkom T(ndash 3 2) i ima isto središte S(ndash 2 5) njezin polumjer iznosi

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( )( ) ( )

2 51 1

2 2 3 2 3 2 2 5

2 2

2 2

2 1 2 1

S x y S

T x y T r

r ST x x y y

= minus

= minus rArr = minus minus minus + minus rArr

= = minus + minus

8

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2

3 2 2 5 1 3 1 9 10r r r rrArr = minus + + minus rArr = minus + minus rArr = + rArr =

Odgovor je pod A

Vježba 128

Kružnica k prolazi točkom T(ndash 6 2) i ima isto središte kao i kružnica zadana jednadžbom

(x + 2)2 + (y ndash 5)

2 = 20 Koliki je polumjer kružnice k

3 4 5 6A B C D

Rezultat C

Zadatak 129 (Anita ekonomska škola)

Točka T(6 5) nalazi se na elipsi čija je velika poluos a = 9 Odredite jednadžbu elipse i

udaljenost mentildeu fokusima

Rješenje 129

Ponovimo

Elipsa kojoj se središte podudara s ishodištem koordinatnog sustava smjer glavne osi s x ndash osi a smjer

sporedne osi s y ndash osi ima jednadžbu

2 22 2 2 2 2 2

i li 12 2

x yb x a y a b

a b

sdot + sdot = sdot + =

Broj e naziva se linearni ekscentricitet elipse

2 2 2e a b= minus

Koordinate fokusa F1 i F2 elipse su

( ) ( ) 0 0 1 2

F e F eminus

Budući da točka pripada elipsi koordinate točke uvrstit ćemo u jednadžbu elipse i izračunati malu

poluos b elipse

( ) ( ) 6 5

2 2 2 2 2 2 2 29 6 9 5 9 36 2 025 81

2 2 2 2 2 2

T x y T

a b b b b

b x a y a b

=

= rArr sdot + sdot = sdot rArr sdot + = sdot rArr

sdot + sdot = sdot

( )2 2 2 2 2

36 81 2 025 45 20 25 45 2 425 550 4b b b b bminusrArr sdot minus sdot = minus rArr minus sdot = minus rArr minus sdot = minus rArr =

Jednadžba elipse glasi

2 281 45 2 2 2 2

45 81 81 45 45 81 36452 2 2 2 2 2

a bx y x y

b x a y a b

= =rArr sdot + sdot = sdot rArr sdot + sdot =

sdot + sdot = sdot

Računamo linearni ekscentricitet elipse

2 281 45 2 2 2

81 45 36 36 36 2 2

62

a be e e e e

e a b

= =rArr = minus rArr = rArr = rArr = rArr =

= minus

Koordinate fokusa elipse iznose

( )

( )( )

( )

01 6 0

1 0

2 6 02

6

F eF

F eF

e

minusminus

rArr

=

pa je njihova mentildeusoba udaljenost jednaka

9

2 2 6 121 2 1 2 1 2

F F e F F F F= sdot rArr = sdot rArr =

Vježba 129

Točka T(ndash 6 ndash 5) nalazi se na elipsi čija je velika poluos a = 9 Odredite jednadžbu elipse i

udaljenost mentildeu fokusima

Rezultat 2 2

45 81 3645 121 2

x y F Fsdot + sdot = =

Zadatak 130 (Ana gimnazija)

Napiši jednadžbu elipse čiji fokus je ( )24 0 i 5 F a b= sdot

Rješenje 130

Ponovimo

( ) ( )2

n n n

a b b a a b a b a a= rArr = sdot = sdot =

Elipsa kojoj se središte podudara s ishodištem koordinatnog sustava smjer glavne osi s x ndash osi a smjer

sporedne osi s y ndash osi ima jednadžbu

2 22 2 2 2 2 2

i li 12 2

x yb x a y a b

a b

sdot + sdot = sdot + =

gdje su a i b velika i mala poluos

Broj e naziva se linearni ekscentricitet elipse

2 2 2e a b= minus

Koordinate fokusa (žarišta) F1 i F2 elipse su

( ) ( ) 0 0 1 2

F e F eminus

( ) ( )

( )metoda

supstitucij

0 24 0 2422 2

5 5 24e

5

2 2 2 2 2 2

F e F e

a b a b b b

e a b e a b

= =

= sdot rArr = sdot rArr rArr = sdot minus rArr

= minus = minus

2 2 2 2 2 2576 5 576 4 4 576 4 576 14 4 4b b b b b brArr = sdot minus rArr = sdot rArr sdot = rArr sdot = rArr =

Računamo a2

2 2 25 5 5 2 25 144 720

2 2 2144 144 1

44

a b a b a ba a

b b b

= sdot = sdot = sdotrArr rArr rArr = sdot rArr =

= = =

Kanonska ili osna jednadžba elipse glasi

2 2720 144 2 2

2 2 1720 1441

2 2

a bx y

x y

a b

= =

rArr + =

+ =

Vježba 130

Napiši jednadžbu elipse čiji fokus je ( )24 0 i 5 F a bminus = sdot

Rezultat

2 2

1720 144

x y+ =

10

Zadatak 131 (Ana gimnazija)

Odredimo jednadžbu hiperbole s fokusima na y ndash osi koja sadrži točke A(ndash 1 2) i B(7 10)

Rješenje 131

Ponovimo

1a

a bb

= rArr =

Neka je zadana hiperbola čiji fokusi leže na y ndash osi a središte hiperbole je ishodište koordinatnog

sustava Jednadžba takve hiperbole glasi

2 2

12

2

x y

b a

minus = minus

Budući da hiperbola sadrži točke A i B uvrstit ćemo koordinate točaka u jednadžbu hiperbole i dobiti

sustav jednadžbi

( ) ( )

( ) ( )

( )22 2 2

1 1 42 1 2 1 11

2 2 2 22 2

2 2 2 2 49 1007 10 1 7 10 1 1 2 22 2 2 2

x yA x y A

b a b ab a

x yB x y B

b ab a b a

minus= minus minus = minus minus = minusminus = minus

rArr rArr rArr

minus = minus= minus = minus minus = minus

( )1 4 49 196

1 492 2 2 2

49 100 49 1001 1

2 2 2

2

49metoda suprotnih

koeficijenata

b a b a

b a b a

minus = minus =

rArr rArr rArr

minus = minus minus = minus

sdot

minus + rArr

minus

96 96 248 48 2

2 2

2

48

aa

a a

rArr = rArr sdot= rArr =

Računamo b2

1 41 1 4 1 1 1 22 2

1 2 1 1 2 1 12 2 2 222

2

bb a

b b b ba

minus = minus

rArr minus = minus rArr minus = minus rArr = minus + rArr = rArr =

=

Jednadžba hiperbole glasi

2 22 1 2 2 2

22 2 1 1

1 2 212 2

a bx y y

xx y

b a

= =

rArr minus = minus rArr minus = minus

minus = minus

Vježba 131

Odredimo jednadžbu hiperbole s fokusima na y ndash osi koja sadrži točke A(1 2) i B(ndash 7 10)

Rezultat

22

12

yx minus = minus

Zadatak 132 (Ivana ekonomska škola)

Odredi jednadžbu kružnice polumjera r = 5 koja dodiruje os x i prolazi točkom T(ndash 2 2)

Skiciraj

Rješenje 132

Ponovimo

11

( ) ( )2 2

a b a bminus minus = +

Ako je S(p q) središte kružnice a r njezin polumjer tada središnja jednadžba kružnice glasi

( ) ( )2

2 2

x p y q rminus + minus =

Kada kružnica dira os x točka diranja je od središta udaljena upravo onoliko koliko je os x udaljena

od središta tj polumjer kružnice jednak je udaljenosti središta S(p q) do osi x Vrijedi

q r q r= = minus

pa postoje dvije jednadžbe

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2

2 2

x p y r r x p y r rminus + minus = minus + + =

Točka T je iznad osi x i zato promatramo kružnicu koja dira os x iznad osi x Ako je iznad tada je

polumjer upravo jednak q

55

q rq

r

=rArr =

=

Budući da kružnica prolazi točkom T koordinate točke uvrstit ćemo u jednadžbu kružnice

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

5 52 2 2 22 2

2 2 2 2 5 5 2 3 5

2 2 2

q r

T x y T p p

x p y q r

= =

= minus rArr minus minus + minus = rArr minus minus + minus = rArr

minus + minus =

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2

2 9 25 2 25 9 2 16 2 1 6p p p prArr + + = rArr + = minus rArr + = rArr + = rArr

22 4 4 2 12 16 2 4

2 4 4 2 62

pp pp p

p p p

=+ = = minusrArr + = plusmn rArr + = plusmn rArr rArr rArr

+ = minus = minus minus = minus

Postoje dvije kružnice sa zadanim uvjetima

bull

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

2 5 5 2 2 2 222 5 5 2 5 252 2 2

p q rx y x y

x p y q r

= = =

rArr minus + minus = rArr minus + minus =minus + minus =

bull

( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )

6 5 5 2 2 2 226 5 5 6 5 252 2 2

p q rx y x y

x p y q r

= minus = =

rArr minus minus + minus = rArr + + minus =minus + minus =

-10 -5 5 10

14

12

10

8

6

4

2

0

y

x

S(- 6 5)

S(2 5)

T

12

Vježba 132

Odredi jednadžbu kružnice polumjera r = 5 koja dodiruje os x i prolazi točkom T(ndash 2 8)

Rezultat ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2

2 5 25 6 5 25x y x yminus + minus = + + minus =

Zadatak 133 (Ivana ekonomska škola)

Odredi jednadžbu kružnice koja sadrži točke A(1 0) i B(ndash 1 4) a središte pripada osi x

Skiciraj

Rješenje 133

Ponovimo

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 22 2 2 2

2 2 a b a a b b a b a a b b a b a bminus = minus sdot sdot + + = + sdot sdot + minus minus = +

Ako je S(p q) središte kružnice a r njezin polumjer tada središnja jednadžba kružnice glasi

( ) ( )2

2 2

x p y q rminus + minus =

Kada središte S(p q) kružnice pripada osi x tada je ordinata q središta jednaka nuli q = 0 Vrijedi

jednadžba

( ) ( ) ( )2 2 22 2 2

0x p y r x p y rminus + minus = rArr minus + =

Budući da kružnica sadrži dvije točke A i B uvrstit ćemo koordinate točaka u jednadžbu kružnice i

dobiti sustav od dvije jednadžbe sa dvije nepoznanice

bull

( ) ( )

( )( ) ( )

1 02 22 2 2

1 0 1 2 2 2

A x y A

p r p rx p y r

=

rArr minus + = rArr minus =

minus + =

bull

( ) ( )

( )( ) ( )

1 42 22 2 2

1 4 1 16 2 2 2

B x y B

p r p r

x p y r

= minus

rArr minus minus + = rArr + + =

minus + =

Iz sustava jednadžbi dobije se

( )

( )( ) ( )

metoda

komparaci

2 21 2 2

1 1 162 2

1 16je

p rp p

p r

minus =rArr rArr minus = + + rArr

+ + =

2 21 2 1 2 16 2 2 16

2 21 1 2 2 16p p p pp p p ppp +rArr minus sdot + = + sdot + + rArr minus sdot = + sdot + rArr minus sdot = sdot ++ rArr

( )2 2 16 4 16 4 16 4 4p p p p prArr minus sdot minus sdot = rArr minus sdot = rArr minus sdot rArr = minusminus=

Računamo r2

( )( )( ) ( )

2 22 21 2 2 2 2 2

1 4 1 4 5 25

4

p rr r r r

p

minus =rArr minus minus = rArr + = rArr = rArr =

= minus

Jednadžba kružnice glasi

( )( )( ) ( )

24 25 2 22 2

4 25 4 252 2 2

p rx y x y

x p y r

= minus =rArr minus minus + = rArr + + =

minus + =

13

6

5

4

3

2

1

-1

-2

-3

-4

-5

-10 -8 -6 -4 -2 2 4 6

0

y

xS(- 4 0)

B(- 1 4)

A(10)

Vježba 133

Odredi jednadžbu kružnice koja sadrži točke A(ndash 9 0) i B(ndash 1 4) a središte pripada osi x

Rezultat ( )2 2

4 25x y+ + =

Zadatak 134 (Marin ekonomska škola)

Kako glase jednadžbe onih tangenata elipse 2 2

4 9 36x ysdot + sdot = ako je poznat koeficijent

smjera 8

9

k =

Rješenje 134

Ponovimo

1

n a c a d b cn

b d b d

sdot + sdot= + =

sdot

Elipsa kojoj se središte podudara s ishodištem koordinatnog sustava smjer glavne osi s x ndash osi a smjer

sporedne osi s y ndash osi ima jednadžbu

2 22 2 2 2 2 2

i li 12 2

x yb x a y a b

a b

sdot + sdot = sdot + =

Eksplicitni oblik jednadžbe pravca

koeficijent smjera odsječak na y osiy k x l k l= sdot + minus minus

Pravac y = k middot x + l dodiruje elipsu

2 2

12 2

x y

a b+ = ako i samo ako vrijedi

2 2

2 2a k b lsdot + =

Prvo napišemo kanonski oblik elipse

2 24 92 2 2 2

4 9 36 4 9 3 6 136

3636

x yx y x y

sdot sdotsdot + sdot = rArr sdot + sdot = rArr + = rArr

22 24 9

36 3

2 2 91 1

29 4 46

ax y x y

b

=sdot sdot rArr + = rArr + = rArr

=

Iz uvjeta dodira pravca i elipse dobije se odsječak l na y osi tangente

14

2 2 2 2 28 64 642 2 2

9 4 9 4 482 2 9 819 4 9

89

1

a k b ll l l

a b k

sdot + = rArr sdot + = rArr sdot + = rArr sdot + = rArr

= = =

64 64 4 64 36 100 1002 2 2 2 24

9 9 1 9 9 9l l l l l

+rArr + = rArr + = rArr = rArr = rArr = rArr

10

1100 100 102 3

12 12 109 9 32 3

l

l l l

l

=

rArr = rArr = plusmn rArr = plusmn rArr = minus

Jednadžbe tangenata glase

8 10 8 10

9 3 9 3

8 10 8 10

9 3 9 3

y k x l k l y x

y k x l k l y x

= sdot + = = = sdot +

rArr = sdot + = = minus = sdot minus

Vježba 134

Kako glase jednadžbe onih tangenata elipse 2 2

4 9 36x ysdot + sdot = ako je poznat koeficijent

smjera 2

3

k =

Rezultat 2 2

2 2 2 23 3

y x y x= sdot + sdot = sdot minus sdot

Zadatak 135 (Goran srednja škola)

Točka T(6 5) nalazi se na elipsi čija je velika poluos a = 9 Odredite jednadžbu elipse i

udaljenost mentildeu fokusima

Rješenje 135

Ponovimo

2 0a a a= ge

Elipsa kojoj se središte podudara s ishodištem koordinatnog sustava smjer glavne osi s x ndash osi a smjer

sporedne osi s y ndash osi ima jednadžbu

2 22 2 2 2 2 2

i li 12 2

x yb x a y a b

a b

sdot + sdot = sdot + =

Broj e naziva se linearni ekscentricitet elipse

2 2 2

2 2e a b e a b= minus rArr = minus

Fokusi (žarišta) elipse su točke s koordinatama

( ) ( ) 0 0 1 2

F e F eminus

Za realni broj x njegova je apsolutna vrijednost (modul) broj x koji odrentildeujemo na ovaj način

0

0

x xx

x x

ge=

minus lt

Ako je broj x pozitivan ili nula tada je on jednak svojoj apsolutnoj vrijednosti Za svaki x x ge 0

vrijedi x= x

Ako je x negativan broj njegova apsolutna vrijednost je suprotan broj ndash x koji je pozitivan Za svaki x

x lt 0 je x= ndash x

Ili ovako

15

Apsolutna vrijednost realnog broja x definira se

0

0 0

0

x x

x x

x x

gt

= =minus lt

Ako je broj x pozitivan broj onda ga prepišemo | x | = x | 7 | = 7

Ako je broj x negativan broj onda ga pišemo s minusom | x | = ndash x | ndash 4 | = ndash (ndash 4) = 4

Udaljenost točaka ( ) ( ) i A x y B x yB BA A

( ) ( )2 2

AB x x y yB BA A

= minus + minus

Budući da se točka T nalazi na elipsi njezine koordinate uvrstit ćemo u jednadžbu elipse

( ) ( ) 6 52 2 2 2 2 2 2 2

9 6 9 5 9 36 81 25 81

2 2 2 2 2 2

T x y T

a b b b b

b x a y a b

=

= rArr sdot + sdot = sdot rArr sdot + sdot = sdot rArr

sdot + sdot = sdot

2 2 2 2 236 2025 81 36 81 2025 45 2025b b b b brArr sdot + = sdot rArr sdot minus sdot = rArr minus sdot = minus rArr

( )2 2

45 2025 4 455b brArr minus sdot = minus rArr =minus

Jednadžba elipse glasi 2 2

2 22 2 1

12 2

81 45

81 45

x yx y

a b

a b

+ =+ =

= =rArr

Računamo linearni ekscentricitet elipse

2 281 45

81 45 36 62 2

a be e e

e a b

= = rArr = minus rArr = rArr =

= minus

Fokusi elipse imaju koordinate

( ) ( ) ( ) ( ) 0 6 0 0 6 01 1 2 2

F e F F e Fminus = minus =

pa njihova mentildeusobna udaljenost iznosi

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( )( ) ( )

6 01 1 1 1

2 2 6 0 6 6 0 0

2 2 2 2 1 2

2 2

1 2 2 1 2 1

F x y F

F x y F F F

F F x x y y

= minus

= rArr = minus minus + minus rArr

= minus + minus

( )2 2

6 6 0 12 121 2 1 2 1 2

F F F F F FrArr = + + rArr = rArr =

Vježba 135

Točka T(ndash 6 ndash 5) nalazi se na elipsi čija je velika poluos a = 9 Odredite jednadžbu elipse

Rezultat

2 2

181 45

x y+ =

16

Zadatak 136 (Maturanti HTT)

U kojim točkama kružnica x2 + y

2 = 25 siječe koordinatne osi

Rješenje 136

Ponovimo

Točka koja pripada osi y ima apscisujednaku 0

Točka koja pripada osi x ima ordinatujednaku 0

0 x

y

A(x 0)

B(0 y)

Budući da točke u kojima kružnica siječe os x imaju ordinatu jednaku 0 slijedi

2 22 2 2 2 225

0 25 0 25 25 20

5x y

x x x xy

+ =rArr + = rArr + = rArr = rArr = rArr

=

51

25 5 12 12 5

2

xx x

x

= minusrArr = plusmn rArr = plusmn rArr

=

Kružnica siječe os x u dvije točke

( ) ( )5 0 i 5 0 A Bminus

Budući da točke u kojima kružnica siječe os y imaju apscisu jednaku 0 slijedi

2 22 2 2 2 225

0 25 0 25 25 250

x y

y y y yx

+ =rArr + = rArr + = rArr = rArr = rArr

=

51

25 5 12 12 5

2

yy y

y

= minusrArr = plusmn rArr = plusmn rArr

=

Kružnica siječe os y u dvije točke

( ) ( )0 5 i 0 5 C Dminus

Vježba 136

U kojim točkama kružnica x2 + y2 = 9 siječe koordinatne osi

Rezultat ( ) ( ) ( ) ( )3 0 3 0 0 3 0 3 A B C Dminus minus

Zadatak 137 (Maturanti HTT)

Točka S(ndash 2 3) je središte kružnice koja prolazi ishodištem koordinatnoga sustava Kako glasi

jednadžba kružnice

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2

2 3 13 2 3 5A x y B x y+ + minus = + + minus =

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2

2 3 13 2 3 5C x y D x yminus + + = minus + + =

Rješenje 137

Ponovimo

( ) 2

a a=

Ako je S(p q) središte kružnice a r polumjer tada središnja jednadžba kružnice glasi

( ) ( )2

2 2

x p y q rminus + minus =

Neka su A(x1 y1) i B(x2 y2) dvije točke ravnine Tada je udaljenost točaka A i B dana s

17

( ) ( )2

1 1

2

2 2AB x x y y= minus + minus

1inačica

Kružnica sa središtem u točki S(ndash 2 3) ima jednadžbu

( ) ( )

( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )

2 3 2 2 2 22 22 3 2 3

2 2 2

S p q S

x y r x y rx p y q r

= minus

rArr minus minus + minus = rArr + + minus =

minus + minus =

Budući da kružnica prolazi ishodištem koordinatnog sustava koordinate ishodišta uvrstit ćemo u

jednadžbu kružnice i izračunati njezin polumjer

( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) ( )

0 02 2 22 2 2

0 2 0 3 2 32 2 2

2 3

O x y O

r rx y r

=

rArr + + minus = rArr + minus = rArr+ + minus =

2 2 24 9 13 13r r rrArr + = rArr = rArr =

Jednadžba kružnice glasi

( ) ( )2 2

2 3 13x y+ + minus =

Odgovor je pod A

2inačica

Kružnica sa središtem u točki S(ndash 2 3) ima jednadžbu

( ) ( )

( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )

2 3 2 2 2 22 22 3 2 3

2 2 2

S p q S

x y r x y rx p y q r

= minus

rArr minus minus + minus = rArr + + minus =

minus + minus =

Budući da kružnica prolazi ishodištem koordinatnog sustava njezin polumjer jednak je udaljenosti

izmentildeu točaka S i O

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )

2 31 1

0 02 2 2 2 2 2

0 2 0 3 0 2 0 32 2

2 1 2 1

S x y S

O x y O

r r

SO x x y y

r SO

= minus

=

rArr = minus minus + minus rArr = + + minus rArr

= minus + minus

=

( )22

2 3 4 9 13r r rrArr = + minus rArr = + rArr =

Jednadžba kružnice glasi

( ) ( ) ( ) ( ) ( )22 2 2 2

2 3 13 2 3 13x y x y+ + minus = rArr + + minus =

Odgovor je pod A

18

8

7

6

5

4

3

2

1

-1

-2

-8 -6 -4 -2 2 4 6

y

x

S(-2 3)

O(0 0)

Vježba 137 Kružnica sa središtem u točki S(1 1) prolazi ishodištem koordinatnog sustava Kako glasi

jednadžba te kružnice

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2

) 1 1 2 ) 1 1 2A x y B x yminus + + = minus + minus =

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2

) 1 1 1 ) 1 1 1C x y D x y+ + minus = minus + + =

Rezultat B

Zadatak 138 (Ivan gimnazija)

Na slici je prikazana hiperbola i njezina točka A Izračunajte koordinate točke u kojoj tangenta

na tu hiperbolu u točki A siječe os x

Rješenje 138

Ponovimo

1

a

n a dbnc b c

d

sdot= =

sdot

Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i

jedinice

0 1a n a

n nb n b

sdot= ne ne

sdot

Hiperbola kojoj se središte podudara s ishodištem koordinatnog sustava a fokusi leže na osi x ima

jednadžbu (osna jednadžba)

2 22 2 2 2 2

2

12 2

x yb x a y a b

a b

minus = rArr sdot minus sdot = sdot

gdje je a realna poluos b imaginarna poluos

19

Jednadžba tangente u točki T(x1 y1) hiperbole

2 2 2 2ili 1 1 1

1 2 2

1

x x y yb x x a y y a b

a b

sdot sdotsdot sdot minus sdot sdot = sdot minus =

a

2

Sa slike vidi se da je realna poluos hiperbole a = 2

2 2 22 2 4a a a= rArr = rArr =

Budući da točka A pripada hiperboli koordinate točke uvrstit ćemo u jednadžbu hiperbole i izračunati

imaginarnu poluos b

( ) ( )2

4 6 2 2 26 2 36 4 4

2 2 1 1 12 2 24 41

2 2

36

4

a A x y A

x yb b b

a b

= =

rArr minus = rArr minus = rArr minus = rArrminus =

29 4 9 4 2 2 2 21 1 9 4 9 4

2 21

1b b b b b

b b

rArr minus = rArr minus = rArr sdot minus = rArr sdot minus =sdot rArr

4 12 2 2 2 28 4 8 4

8

4 8

8 2b b b b brArr sdot = rArr sdot = rArr = rArr = rArr =

Jednadžba hiperbole glasi

12 24

2 2212 2 14

12 2 2

a bx y

x y

a b

= =

rArr minus =

minus =

Tangenta na hiperbolu prolazi točkom A pa je njezina jednadžba oblika

( ) ( )

12 24

226 2 31 6 2 1 1 4 1

1 1 1 14 2

2 21 1 12 2

6

4

a b

yx y x

A x y A x y

x x y y

a b

= =

sdotsdot sdot sdot

= rArr minus = rArr minus = rArr sdot minus sdot = rArr

sdot sdotminus =

13 3 3 14 1 4 1

2 2 8 4

4y x y x y xrArr minus sdot = minus sdot + rArr minus sdot = minus sdot + rArr = sdotsdot minus minus

Budući da tangenta siječe x os sjecište će imati ordinatu jednaku nula y = 0

20

3 13 1 3 1 2 2

0 0 0 8 48 4 8 4

8

3 330

y xx x x x

y

= sdot minusrArr sdot minus = rArr sdot minus = rArr minus = =sdot rArr

=

Koordinate točke glase

2 0

3

Vježba 138

Na slici je prikazana hiperbola i njezina točka A Izračunajte koordinate točke u kojoj tangenta

na tu hiperbolu u točki A siječe os y

Rezultat 1

0 4

minus

Zadatak 139 (Tina srednja škola)

Zadan je skup svih točaka koje su od točke (2 4) udaljene za 3 Napišite jednadžbu tog skupa i

skicirajte ga u zadanom koordinatnom sustavu

Rješenje 139

Ponovimo

Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) te ravnine

Ako je S(p q) središte kružnice a r polumjer tada središnja jednadžba kružnice glasi

( ) ( )2

2 2

x p y q rminus + minus =

Skup svih točaka koje su od točke (2 4) udaljene za 3 je kružnica sa središtem S(p q) = S(2 4) i

polumjerom r = 3 Njezina jednadžba glasi

( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

2 4 32 2 2 22

2 4 3 2 4 92 2 2

S p q S r

x y x yx p y q r

= =

rArr minus + minus = rArr minus + minus =

minus + minus =

9

8

7

6

5

4

3

2

1

-1

-2

-6 -4 -2 2 4 6 8 10 12

S 2 4(((( ))))

y

x

21

Vježba 139

Zadan je skup svih točaka koje su od točke (4 2) udaljene za 3 Napišite jednadžbu tog skupa

Rezultat ( ) ( )2 2

4 2 9x yminus + minus =

Zadatak 140 (Ivan srednja škola)

Točka T(10 y gt 0) leži na krivulji 2 middot y2 = 5 middot x Koliko je točka T udaljena od žarišta te

krivulje

Rješenje 140

Ponovimo

Parabola kojoj tjeme leži u ishodištu a žarište na pozitivnom dijelu osi apscisa ima jednadžbu

22 y p x= sdot sdot

gdje je p poluparametar parabole tjudaljenost žarišta do ravnalice

Koordinate žarišta (fokusa) F parabole su

02

pF

1

a

n a dbnc b c

d

sdot= =

sdot

Neka su A(x1 y1) i B(x2 y2) dvije točke ravnine Tada je udaljenost točaka A i B dana formulom

( ) ( )2

1 1

2

2 2AB x x y y= minus + minus

2

a c a d b c a c a d b c

a ab d b d b d b d

sdot minus sdot sdot + sdotminus = + = =

sdot sdot

Uočimo da je krivulja parabola

52 2 22 5 2 5 2

2y x y x y xsdot = sdot rArr sdot = sdot rArr = sdot

Njezin poluparametar p iznosi

22

5 5 52 2 52 2 2 4

2

1

2

y p x

p p py x

= sdot sdot

rArr sdot sdot= rArr sdot = rArr =

= sdot

Tada žarište (fokus) parabole ima koordinate

5 5 052 4 4 0 0 0

22 85

14

pF

F F F

p

rArr rArr rArr

=

Budući da točka T pripada paraboli uvrstit ćemo koordinate točke u jednadžbu parabole i izračunati

ordinatu y

( ) ( ) 105 52 2 2 2

10 25 25522

10 2

2

T x y T y

y y y yy x

=

rArr = sdot rArr = sdot rArr = rArr = rArr= sdot

22

( ) ( )nije rješenj

51

25 5e zbog 0

10 5 12 5

2y

yy y T x y T

y

=rArr = plusmn rArr rArr = rArr =

gt= minus

Računamo udaljenost izmentildeu točaka T i F

( ) ( )

( )

( ) ( )

( )

10 51 1

25 5 2

0 10 0 52 2 8 8

2 2

2 1 2 1

T x y T

F x y F TF

TF x x y y

=

= rArr = minus + minus rArr

= minus + minus

( )2 2 2

5 10 5 80 7525 25 25

8 1 8 8TF TF TF

minusrArr = minus + minus rArr = + rArr = minus + rArr

5625 5625 25 5625 160025

64 64 1 64TF TF TF

+rArr = + rArr = + rArr = rArr

7 225 8510625

64 8TF TF TFrArr = rArr = rArr =

Vježba 140

Točka T(10 y lt 0) leži na krivulji 2 middot y2 = 5 middot x Koliko je točka T udaljena od žarišta te

krivulje

Rezultat 10625

5

( ) ( ) 1 12 1 1 1 0 2 1 0 2 1 1

2 1 0

S x y Sb b b b

x b y

=rArr sdot + sdot minus = rArr + minus = rArr = minus + rArr = minus

sdot + sdot minus =

Odgovor je pod D

Vježba 125

Pravac 3 x + b y ndash 2 = 0 je normala kružnice x2 + y2 ndash 2 x ndash 2 y ndash 5 = 0 ako je b

jednako

2 2 1 1A B C Dminus minus

Rezultat D

Zadatak 126 (Iva strukovna škola)

Kolika je duljina tetive koju na krivulji 3 x2 ndash y

2 = 3 odsijeca pravac y + x ndash 5 = 0

6 2 jediničnih dužina 7 2 jediničnih dužinaA Bsdot sdot

8 2 jediničnih dužina 9 2 jediničnih dužinaC Dsdot sdot

Rješenje 126

Ponovimo

Tetiacuteva u geometriji je spojnica dviju točaka krivulje posebno na kružnici

( )2 2 2

2a b a a b b a b a bminus = minus sdot sdot + sdot = sdot

Neka su A(x1 y1) i B(x2 y2) dvije točke ravnine Tada je udaljenost točaka A i B dana formulom

( ) ( )2

1 1

2

2 2AB x x y y= minus + minus

Zakon distribucije množenja prema zbrajanju

( ) ( ) a b c a b a c a b a c a b csdot + = sdot + sdot sdot + sdot = sdot +

Da bismo našli sjecišta krivulje i pravca moramo riješiti sustav jednadžbi

( )2 2 2 2

223 me3 toda

sups

3 33 5 3

5 0 titucije5

x y x yx x

y x y x

sdot minus = sdot minus =rArr rArr rArr sdot minus minus = rArr

+ minus = = minus

( )2 2 2 2 2 23 25 10 3 3 25 10 3 3 25 10 3 0x x x x x x x x xrArr sdot minus minus sdot + = rArr sdot minus + sdot minus = rArr sdot minus + sdot minus minus = rArr

2 2 22 10 28 0 2 10 28 0 5 14 2 0x x x x x xrArr sdot + sdot minus = rArr sdot + sdot minus = rArr + sdot minus = rArr

( )1 5 14 22 5 5 4 1 145 14 0

24 12 2 11 5 14

12 2

a b c

x xx

b b a ca b c x

a

= = = minusminus plusmn minus sdot sdot minus+ sdot minus =

rArr rArr rArr = rArrminus plusmn minus sdot sdot sdot= = = minus =

sdot

5 9

15 25 56 5 81 5 9 212 12 12 5 92 2 2

2 2

x

x x x

x

minus +=

minus plusmn + minus plusmn minus plusmnrArr = rArr = rArr = rArr rArr

minus minus=

[ ]( )

5

45 22 3 31 12 1 1 1

14 7 5 7 125 72 2 22

2 2

x yx y y

x y yy

yx

x

= = minus= = =rArr rArr rArr rArr rArr rArr

= minus = + == minus minus= minus

= minus

Sjecišta krivulje i pravca su točke

6

( ) ( )2 3 i 7 12 A B minus

Duljina tetive AB iznosi

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

2 31 1

2 2 2 2 7 12 7 2 12 3 9 9

2 2

2 2

2 1 2 1

A x y A

B x y B AB AB

AB x x y y

=

= minus rArr = minus minus + minus rArr = minus + rArr

= minus + minus

81 81 81 2 81 2 9 2AB AB AB ABrArr = + rArr = sdot rArr = sdot rArr = sdot

Odgovor je pod D

Vježba 126

Kolika je duljina tetive koju na krivulji

22

13

yx minus = odsijeca pravac y = ndash x + 5

6 2 jediničnih dužina 7 2 jediničnih dužinaA Bsdot sdot

8 2 jediničnih dužina 9 2 jediničnih dužinaC Dsdot sdot

Rezultat D

Zadatak 127 (Iva strukovna škola)

Zadana je jednakostranična hiperbola x2 ndash y

2 = 8 Nantildeite linearni ekscentricitet

Rješenje 127

Ponovimo

2

0a b a b a a asdot = sdot = ge

Hiperbola kojoj središte leži u ishodištu koordinatnog sustava a realna os na osi apscisa ima

jednadžbu

( )2 2

2 2 2 2 2 2ili 1 kanonska jednadžba hiperbole

2 2

x yb x a y a b

a b

sdot minus sdot = sdot minus =

Linearni ekscentricitet hiperbole

2 2 2

2 2e a b e a b= + rArr = +

Hiperbolu kojoj su realna i imaginarna poluos jednake nazivamo jednakostranična hiperbola Za nju

vrijedi jednadžba

2 22

2 2

12 2

2 21

2 2

x yx y a

a aa

y

b

x

a b

minus =rArr rArrminus = minus =

=

Linearni ekscentricitet jednakostranične hiperbole

2 2 22 2 2 2 2 2 2 2

2 22 2 e a b

e a e aa b

a e a e a e a= +

rArr = + rArr = = sdot=

sdot rArr = sdot rArr = sdot rArr

Računamo linearni ekscentricitet

2 28 2 2

8 8 82 2 2

x y

x

a

a

a a

y

minus =rArr = rArr = rArr =

minus =

7

28 2 16 4

8

e ae e e

a

= sdotrArr = sdot rArr = rArr =

=

Vježba 127

Zadana je jednakostranična hiperbola x2 ndash y2 = 18 Nantildeite linearni ekscentricitet

Rezultat 6

Zadatak 128 (Nikolina srednja škola)

Kružnica k prolazi točkom T(ndash 3 2) i ima isto središte kao i kružnica zadana jednadžbom

(x + 2)2 + (y ndash 5)

2 = 20 Koliki je polumjer kružnice k

10 11 13 14A B C D

Rješenje 128

Ponovimo

Ako je S(p q) središte kružnice a r polumjer tada središnja jednadžba kružnice glasi

( ) ( )2

2 2

x p y q rminus + minus =

Neka su A(x1 y1) i B(x2 y2) dvije točke ravnine Tada je udaljenost točaka A i B dana s

( ) ( )2

1 1

2

2 2AB x x y y= minus + minus

Kružnice su koncentrične ako imaju isto središte

Polumjer kružnice je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice

1inačica

Kružnica k ima isto središte kao i kružnica zadana jednadžbom (x + 2)2 + (y ndash 5)

2 = 20 pa njezina

jednadžba glasi

( ) ( )2 2 2

2 5 x y r+ + minus =

Budući da kružnica k prolazi točkom T koordinate točke uvrstit ćemo u jednadžbu kružnice da bismo

izračunali njezin polumjer

( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

2 2 22 5 2 2 2 22 2

3 2 2 5 1 3 3 2

x y rr r

T x y T

+ + minus =rArr minus + + minus = rArr minus + minus = rArr

= minus

2 2 2 21 9 10 10 10 10 r r r r rrArr + = rArr = rArr = rArr = rArr =

Odgovor je pod A

2inačica

Iz zadane jednadžbe kružnice (x + 2)2 + (y ndash 5)2 = 20 odredimo koordinate središta

( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

2 22 5 20

2 5 2 2 2

x yS p q S

x p y q r

+ + minus =rArr = minus

minus + minus =

Budući da kružnica k prolazi točkom T(ndash 3 2) i ima isto središte S(ndash 2 5) njezin polumjer iznosi

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( )( ) ( )

2 51 1

2 2 3 2 3 2 2 5

2 2

2 2

2 1 2 1

S x y S

T x y T r

r ST x x y y

= minus

= minus rArr = minus minus minus + minus rArr

= = minus + minus

8

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2

3 2 2 5 1 3 1 9 10r r r rrArr = minus + + minus rArr = minus + minus rArr = + rArr =

Odgovor je pod A

Vježba 128

Kružnica k prolazi točkom T(ndash 6 2) i ima isto središte kao i kružnica zadana jednadžbom

(x + 2)2 + (y ndash 5)

2 = 20 Koliki je polumjer kružnice k

3 4 5 6A B C D

Rezultat C

Zadatak 129 (Anita ekonomska škola)

Točka T(6 5) nalazi se na elipsi čija je velika poluos a = 9 Odredite jednadžbu elipse i

udaljenost mentildeu fokusima

Rješenje 129

Ponovimo

Elipsa kojoj se središte podudara s ishodištem koordinatnog sustava smjer glavne osi s x ndash osi a smjer

sporedne osi s y ndash osi ima jednadžbu

2 22 2 2 2 2 2

i li 12 2

x yb x a y a b

a b

sdot + sdot = sdot + =

Broj e naziva se linearni ekscentricitet elipse

2 2 2e a b= minus

Koordinate fokusa F1 i F2 elipse su

( ) ( ) 0 0 1 2

F e F eminus

Budući da točka pripada elipsi koordinate točke uvrstit ćemo u jednadžbu elipse i izračunati malu

poluos b elipse

( ) ( ) 6 5

2 2 2 2 2 2 2 29 6 9 5 9 36 2 025 81

2 2 2 2 2 2

T x y T

a b b b b

b x a y a b

=

= rArr sdot + sdot = sdot rArr sdot + = sdot rArr

sdot + sdot = sdot

( )2 2 2 2 2

36 81 2 025 45 20 25 45 2 425 550 4b b b b bminusrArr sdot minus sdot = minus rArr minus sdot = minus rArr minus sdot = minus rArr =

Jednadžba elipse glasi

2 281 45 2 2 2 2

45 81 81 45 45 81 36452 2 2 2 2 2

a bx y x y

b x a y a b

= =rArr sdot + sdot = sdot rArr sdot + sdot =

sdot + sdot = sdot

Računamo linearni ekscentricitet elipse

2 281 45 2 2 2

81 45 36 36 36 2 2

62

a be e e e e

e a b

= =rArr = minus rArr = rArr = rArr = rArr =

= minus

Koordinate fokusa elipse iznose

( )

( )( )

( )

01 6 0

1 0

2 6 02

6

F eF

F eF

e

minusminus

rArr

=

pa je njihova mentildeusoba udaljenost jednaka

9

2 2 6 121 2 1 2 1 2

F F e F F F F= sdot rArr = sdot rArr =

Vježba 129

Točka T(ndash 6 ndash 5) nalazi se na elipsi čija je velika poluos a = 9 Odredite jednadžbu elipse i

udaljenost mentildeu fokusima

Rezultat 2 2

45 81 3645 121 2

x y F Fsdot + sdot = =

Zadatak 130 (Ana gimnazija)

Napiši jednadžbu elipse čiji fokus je ( )24 0 i 5 F a b= sdot

Rješenje 130

Ponovimo

( ) ( )2

n n n

a b b a a b a b a a= rArr = sdot = sdot =

Elipsa kojoj se središte podudara s ishodištem koordinatnog sustava smjer glavne osi s x ndash osi a smjer

sporedne osi s y ndash osi ima jednadžbu

2 22 2 2 2 2 2

i li 12 2

x yb x a y a b

a b

sdot + sdot = sdot + =

gdje su a i b velika i mala poluos

Broj e naziva se linearni ekscentricitet elipse

2 2 2e a b= minus

Koordinate fokusa (žarišta) F1 i F2 elipse su

( ) ( ) 0 0 1 2

F e F eminus

( ) ( )

( )metoda

supstitucij

0 24 0 2422 2

5 5 24e

5

2 2 2 2 2 2

F e F e

a b a b b b

e a b e a b

= =

= sdot rArr = sdot rArr rArr = sdot minus rArr

= minus = minus

2 2 2 2 2 2576 5 576 4 4 576 4 576 14 4 4b b b b b brArr = sdot minus rArr = sdot rArr sdot = rArr sdot = rArr =

Računamo a2

2 2 25 5 5 2 25 144 720

2 2 2144 144 1

44

a b a b a ba a

b b b

= sdot = sdot = sdotrArr rArr rArr = sdot rArr =

= = =

Kanonska ili osna jednadžba elipse glasi

2 2720 144 2 2

2 2 1720 1441

2 2

a bx y

x y

a b

= =

rArr + =

+ =

Vježba 130

Napiši jednadžbu elipse čiji fokus je ( )24 0 i 5 F a bminus = sdot

Rezultat

2 2

1720 144

x y+ =

10

Zadatak 131 (Ana gimnazija)

Odredimo jednadžbu hiperbole s fokusima na y ndash osi koja sadrži točke A(ndash 1 2) i B(7 10)

Rješenje 131

Ponovimo

1a

a bb

= rArr =

Neka je zadana hiperbola čiji fokusi leže na y ndash osi a središte hiperbole je ishodište koordinatnog

sustava Jednadžba takve hiperbole glasi

2 2

12

2

x y

b a

minus = minus

Budući da hiperbola sadrži točke A i B uvrstit ćemo koordinate točaka u jednadžbu hiperbole i dobiti

sustav jednadžbi

( ) ( )

( ) ( )

( )22 2 2

1 1 42 1 2 1 11

2 2 2 22 2

2 2 2 2 49 1007 10 1 7 10 1 1 2 22 2 2 2

x yA x y A

b a b ab a

x yB x y B

b ab a b a

minus= minus minus = minus minus = minusminus = minus

rArr rArr rArr

minus = minus= minus = minus minus = minus

( )1 4 49 196

1 492 2 2 2

49 100 49 1001 1

2 2 2

2

49metoda suprotnih

koeficijenata

b a b a

b a b a

minus = minus =

rArr rArr rArr

minus = minus minus = minus

sdot

minus + rArr

minus

96 96 248 48 2

2 2

2

48

aa

a a

rArr = rArr sdot= rArr =

Računamo b2

1 41 1 4 1 1 1 22 2

1 2 1 1 2 1 12 2 2 222

2

bb a

b b b ba

minus = minus

rArr minus = minus rArr minus = minus rArr = minus + rArr = rArr =

=

Jednadžba hiperbole glasi

2 22 1 2 2 2

22 2 1 1

1 2 212 2

a bx y y

xx y

b a

= =

rArr minus = minus rArr minus = minus

minus = minus

Vježba 131

Odredimo jednadžbu hiperbole s fokusima na y ndash osi koja sadrži točke A(1 2) i B(ndash 7 10)

Rezultat

22

12

yx minus = minus

Zadatak 132 (Ivana ekonomska škola)

Odredi jednadžbu kružnice polumjera r = 5 koja dodiruje os x i prolazi točkom T(ndash 2 2)

Skiciraj

Rješenje 132

Ponovimo

11

( ) ( )2 2

a b a bminus minus = +

Ako je S(p q) središte kružnice a r njezin polumjer tada središnja jednadžba kružnice glasi

( ) ( )2

2 2

x p y q rminus + minus =

Kada kružnica dira os x točka diranja je od središta udaljena upravo onoliko koliko je os x udaljena

od središta tj polumjer kružnice jednak je udaljenosti središta S(p q) do osi x Vrijedi

q r q r= = minus

pa postoje dvije jednadžbe

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2

2 2

x p y r r x p y r rminus + minus = minus + + =

Točka T je iznad osi x i zato promatramo kružnicu koja dira os x iznad osi x Ako je iznad tada je

polumjer upravo jednak q

55

q rq

r

=rArr =

=

Budući da kružnica prolazi točkom T koordinate točke uvrstit ćemo u jednadžbu kružnice

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

5 52 2 2 22 2

2 2 2 2 5 5 2 3 5

2 2 2

q r

T x y T p p

x p y q r

= =

= minus rArr minus minus + minus = rArr minus minus + minus = rArr

minus + minus =

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2

2 9 25 2 25 9 2 16 2 1 6p p p prArr + + = rArr + = minus rArr + = rArr + = rArr

22 4 4 2 12 16 2 4

2 4 4 2 62

pp pp p

p p p

=+ = = minusrArr + = plusmn rArr + = plusmn rArr rArr rArr

+ = minus = minus minus = minus

Postoje dvije kružnice sa zadanim uvjetima

bull

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

2 5 5 2 2 2 222 5 5 2 5 252 2 2

p q rx y x y

x p y q r

= = =

rArr minus + minus = rArr minus + minus =minus + minus =

bull

( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )

6 5 5 2 2 2 226 5 5 6 5 252 2 2

p q rx y x y

x p y q r

= minus = =

rArr minus minus + minus = rArr + + minus =minus + minus =

-10 -5 5 10

14

12

10

8

6

4

2

0

y

x

S(- 6 5)

S(2 5)

T

12

Vježba 132

Odredi jednadžbu kružnice polumjera r = 5 koja dodiruje os x i prolazi točkom T(ndash 2 8)

Rezultat ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2

2 5 25 6 5 25x y x yminus + minus = + + minus =

Zadatak 133 (Ivana ekonomska škola)

Odredi jednadžbu kružnice koja sadrži točke A(1 0) i B(ndash 1 4) a središte pripada osi x

Skiciraj

Rješenje 133

Ponovimo

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 22 2 2 2

2 2 a b a a b b a b a a b b a b a bminus = minus sdot sdot + + = + sdot sdot + minus minus = +

Ako je S(p q) središte kružnice a r njezin polumjer tada središnja jednadžba kružnice glasi

( ) ( )2

2 2

x p y q rminus + minus =

Kada središte S(p q) kružnice pripada osi x tada je ordinata q središta jednaka nuli q = 0 Vrijedi

jednadžba

( ) ( ) ( )2 2 22 2 2

0x p y r x p y rminus + minus = rArr minus + =

Budući da kružnica sadrži dvije točke A i B uvrstit ćemo koordinate točaka u jednadžbu kružnice i

dobiti sustav od dvije jednadžbe sa dvije nepoznanice

bull

( ) ( )

( )( ) ( )

1 02 22 2 2

1 0 1 2 2 2

A x y A

p r p rx p y r

=

rArr minus + = rArr minus =

minus + =

bull

( ) ( )

( )( ) ( )

1 42 22 2 2

1 4 1 16 2 2 2

B x y B

p r p r

x p y r

= minus

rArr minus minus + = rArr + + =

minus + =

Iz sustava jednadžbi dobije se

( )

( )( ) ( )

metoda

komparaci

2 21 2 2

1 1 162 2

1 16je

p rp p

p r

minus =rArr rArr minus = + + rArr

+ + =

2 21 2 1 2 16 2 2 16

2 21 1 2 2 16p p p pp p p ppp +rArr minus sdot + = + sdot + + rArr minus sdot = + sdot + rArr minus sdot = sdot ++ rArr

( )2 2 16 4 16 4 16 4 4p p p p prArr minus sdot minus sdot = rArr minus sdot = rArr minus sdot rArr = minusminus=

Računamo r2

( )( )( ) ( )

2 22 21 2 2 2 2 2

1 4 1 4 5 25

4

p rr r r r

p

minus =rArr minus minus = rArr + = rArr = rArr =

= minus

Jednadžba kružnice glasi

( )( )( ) ( )

24 25 2 22 2

4 25 4 252 2 2

p rx y x y

x p y r

= minus =rArr minus minus + = rArr + + =

minus + =

13

6

5

4

3

2

1

-1

-2

-3

-4

-5

-10 -8 -6 -4 -2 2 4 6

0

y

xS(- 4 0)

B(- 1 4)

A(10)

Vježba 133

Odredi jednadžbu kružnice koja sadrži točke A(ndash 9 0) i B(ndash 1 4) a središte pripada osi x

Rezultat ( )2 2

4 25x y+ + =

Zadatak 134 (Marin ekonomska škola)

Kako glase jednadžbe onih tangenata elipse 2 2

4 9 36x ysdot + sdot = ako je poznat koeficijent

smjera 8

9

k =

Rješenje 134

Ponovimo

1

n a c a d b cn

b d b d

sdot + sdot= + =

sdot

Elipsa kojoj se središte podudara s ishodištem koordinatnog sustava smjer glavne osi s x ndash osi a smjer

sporedne osi s y ndash osi ima jednadžbu

2 22 2 2 2 2 2

i li 12 2

x yb x a y a b

a b

sdot + sdot = sdot + =

Eksplicitni oblik jednadžbe pravca

koeficijent smjera odsječak na y osiy k x l k l= sdot + minus minus

Pravac y = k middot x + l dodiruje elipsu

2 2

12 2

x y

a b+ = ako i samo ako vrijedi

2 2

2 2a k b lsdot + =

Prvo napišemo kanonski oblik elipse

2 24 92 2 2 2

4 9 36 4 9 3 6 136

3636

x yx y x y

sdot sdotsdot + sdot = rArr sdot + sdot = rArr + = rArr

22 24 9

36 3

2 2 91 1

29 4 46

ax y x y

b

=sdot sdot rArr + = rArr + = rArr

=

Iz uvjeta dodira pravca i elipse dobije se odsječak l na y osi tangente

14

2 2 2 2 28 64 642 2 2

9 4 9 4 482 2 9 819 4 9

89

1

a k b ll l l

a b k

sdot + = rArr sdot + = rArr sdot + = rArr sdot + = rArr

= = =

64 64 4 64 36 100 1002 2 2 2 24

9 9 1 9 9 9l l l l l

+rArr + = rArr + = rArr = rArr = rArr = rArr

10

1100 100 102 3

12 12 109 9 32 3

l

l l l

l

=

rArr = rArr = plusmn rArr = plusmn rArr = minus

Jednadžbe tangenata glase

8 10 8 10

9 3 9 3

8 10 8 10

9 3 9 3

y k x l k l y x

y k x l k l y x

= sdot + = = = sdot +

rArr = sdot + = = minus = sdot minus

Vježba 134

Kako glase jednadžbe onih tangenata elipse 2 2

4 9 36x ysdot + sdot = ako je poznat koeficijent

smjera 2

3

k =

Rezultat 2 2

2 2 2 23 3

y x y x= sdot + sdot = sdot minus sdot

Zadatak 135 (Goran srednja škola)

Točka T(6 5) nalazi se na elipsi čija je velika poluos a = 9 Odredite jednadžbu elipse i

udaljenost mentildeu fokusima

Rješenje 135

Ponovimo

2 0a a a= ge

Elipsa kojoj se središte podudara s ishodištem koordinatnog sustava smjer glavne osi s x ndash osi a smjer

sporedne osi s y ndash osi ima jednadžbu

2 22 2 2 2 2 2

i li 12 2

x yb x a y a b

a b

sdot + sdot = sdot + =

Broj e naziva se linearni ekscentricitet elipse

2 2 2

2 2e a b e a b= minus rArr = minus

Fokusi (žarišta) elipse su točke s koordinatama

( ) ( ) 0 0 1 2

F e F eminus

Za realni broj x njegova je apsolutna vrijednost (modul) broj x koji odrentildeujemo na ovaj način

0

0

x xx

x x

ge=

minus lt

Ako je broj x pozitivan ili nula tada je on jednak svojoj apsolutnoj vrijednosti Za svaki x x ge 0

vrijedi x= x

Ako je x negativan broj njegova apsolutna vrijednost je suprotan broj ndash x koji je pozitivan Za svaki x

x lt 0 je x= ndash x

Ili ovako

15

Apsolutna vrijednost realnog broja x definira se

0

0 0

0

x x

x x

x x

gt

= =minus lt

Ako je broj x pozitivan broj onda ga prepišemo | x | = x | 7 | = 7

Ako je broj x negativan broj onda ga pišemo s minusom | x | = ndash x | ndash 4 | = ndash (ndash 4) = 4

Udaljenost točaka ( ) ( ) i A x y B x yB BA A

( ) ( )2 2

AB x x y yB BA A

= minus + minus

Budući da se točka T nalazi na elipsi njezine koordinate uvrstit ćemo u jednadžbu elipse

( ) ( ) 6 52 2 2 2 2 2 2 2

9 6 9 5 9 36 81 25 81

2 2 2 2 2 2

T x y T

a b b b b

b x a y a b

=

= rArr sdot + sdot = sdot rArr sdot + sdot = sdot rArr

sdot + sdot = sdot

2 2 2 2 236 2025 81 36 81 2025 45 2025b b b b brArr sdot + = sdot rArr sdot minus sdot = rArr minus sdot = minus rArr

( )2 2

45 2025 4 455b brArr minus sdot = minus rArr =minus

Jednadžba elipse glasi 2 2

2 22 2 1

12 2

81 45

81 45

x yx y

a b

a b

+ =+ =

= =rArr

Računamo linearni ekscentricitet elipse

2 281 45

81 45 36 62 2

a be e e

e a b

= = rArr = minus rArr = rArr =

= minus

Fokusi elipse imaju koordinate

( ) ( ) ( ) ( ) 0 6 0 0 6 01 1 2 2

F e F F e Fminus = minus =

pa njihova mentildeusobna udaljenost iznosi

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( )( ) ( )

6 01 1 1 1

2 2 6 0 6 6 0 0

2 2 2 2 1 2

2 2

1 2 2 1 2 1

F x y F

F x y F F F

F F x x y y

= minus

= rArr = minus minus + minus rArr

= minus + minus

( )2 2

6 6 0 12 121 2 1 2 1 2

F F F F F FrArr = + + rArr = rArr =

Vježba 135

Točka T(ndash 6 ndash 5) nalazi se na elipsi čija je velika poluos a = 9 Odredite jednadžbu elipse

Rezultat

2 2

181 45

x y+ =

16

Zadatak 136 (Maturanti HTT)

U kojim točkama kružnica x2 + y

2 = 25 siječe koordinatne osi

Rješenje 136

Ponovimo

Točka koja pripada osi y ima apscisujednaku 0

Točka koja pripada osi x ima ordinatujednaku 0

0 x

y

A(x 0)

B(0 y)

Budući da točke u kojima kružnica siječe os x imaju ordinatu jednaku 0 slijedi

2 22 2 2 2 225

0 25 0 25 25 20

5x y

x x x xy

+ =rArr + = rArr + = rArr = rArr = rArr

=

51

25 5 12 12 5

2

xx x

x

= minusrArr = plusmn rArr = plusmn rArr

=

Kružnica siječe os x u dvije točke

( ) ( )5 0 i 5 0 A Bminus

Budući da točke u kojima kružnica siječe os y imaju apscisu jednaku 0 slijedi

2 22 2 2 2 225

0 25 0 25 25 250

x y

y y y yx

+ =rArr + = rArr + = rArr = rArr = rArr

=

51

25 5 12 12 5

2

yy y

y

= minusrArr = plusmn rArr = plusmn rArr

=

Kružnica siječe os y u dvije točke

( ) ( )0 5 i 0 5 C Dminus

Vježba 136

U kojim točkama kružnica x2 + y2 = 9 siječe koordinatne osi

Rezultat ( ) ( ) ( ) ( )3 0 3 0 0 3 0 3 A B C Dminus minus

Zadatak 137 (Maturanti HTT)

Točka S(ndash 2 3) je središte kružnice koja prolazi ishodištem koordinatnoga sustava Kako glasi

jednadžba kružnice

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2

2 3 13 2 3 5A x y B x y+ + minus = + + minus =

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2

2 3 13 2 3 5C x y D x yminus + + = minus + + =

Rješenje 137

Ponovimo

( ) 2

a a=

Ako je S(p q) središte kružnice a r polumjer tada središnja jednadžba kružnice glasi

( ) ( )2

2 2

x p y q rminus + minus =

Neka su A(x1 y1) i B(x2 y2) dvije točke ravnine Tada je udaljenost točaka A i B dana s

17

( ) ( )2

1 1

2

2 2AB x x y y= minus + minus

1inačica

Kružnica sa središtem u točki S(ndash 2 3) ima jednadžbu

( ) ( )

( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )

2 3 2 2 2 22 22 3 2 3

2 2 2

S p q S

x y r x y rx p y q r

= minus

rArr minus minus + minus = rArr + + minus =

minus + minus =

Budući da kružnica prolazi ishodištem koordinatnog sustava koordinate ishodišta uvrstit ćemo u

jednadžbu kružnice i izračunati njezin polumjer

( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) ( )

0 02 2 22 2 2

0 2 0 3 2 32 2 2

2 3

O x y O

r rx y r

=

rArr + + minus = rArr + minus = rArr+ + minus =

2 2 24 9 13 13r r rrArr + = rArr = rArr =

Jednadžba kružnice glasi

( ) ( )2 2

2 3 13x y+ + minus =

Odgovor je pod A

2inačica

Kružnica sa središtem u točki S(ndash 2 3) ima jednadžbu

( ) ( )

( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )

2 3 2 2 2 22 22 3 2 3

2 2 2

S p q S

x y r x y rx p y q r

= minus

rArr minus minus + minus = rArr + + minus =

minus + minus =

Budući da kružnica prolazi ishodištem koordinatnog sustava njezin polumjer jednak je udaljenosti

izmentildeu točaka S i O

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )

2 31 1

0 02 2 2 2 2 2

0 2 0 3 0 2 0 32 2

2 1 2 1

S x y S

O x y O

r r

SO x x y y

r SO

= minus

=

rArr = minus minus + minus rArr = + + minus rArr

= minus + minus

=

( )22

2 3 4 9 13r r rrArr = + minus rArr = + rArr =

Jednadžba kružnice glasi

( ) ( ) ( ) ( ) ( )22 2 2 2

2 3 13 2 3 13x y x y+ + minus = rArr + + minus =

Odgovor je pod A

18

8

7

6

5

4

3

2

1

-1

-2

-8 -6 -4 -2 2 4 6

y

x

S(-2 3)

O(0 0)

Vježba 137 Kružnica sa središtem u točki S(1 1) prolazi ishodištem koordinatnog sustava Kako glasi

jednadžba te kružnice

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2

) 1 1 2 ) 1 1 2A x y B x yminus + + = minus + minus =

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2

) 1 1 1 ) 1 1 1C x y D x y+ + minus = minus + + =

Rezultat B

Zadatak 138 (Ivan gimnazija)

Na slici je prikazana hiperbola i njezina točka A Izračunajte koordinate točke u kojoj tangenta

na tu hiperbolu u točki A siječe os x

Rješenje 138

Ponovimo

1

a

n a dbnc b c

d

sdot= =

sdot

Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i

jedinice

0 1a n a

n nb n b

sdot= ne ne

sdot

Hiperbola kojoj se središte podudara s ishodištem koordinatnog sustava a fokusi leže na osi x ima

jednadžbu (osna jednadžba)

2 22 2 2 2 2

2

12 2

x yb x a y a b

a b

minus = rArr sdot minus sdot = sdot

gdje je a realna poluos b imaginarna poluos

19

Jednadžba tangente u točki T(x1 y1) hiperbole

2 2 2 2ili 1 1 1

1 2 2

1

x x y yb x x a y y a b

a b

sdot sdotsdot sdot minus sdot sdot = sdot minus =

a

2

Sa slike vidi se da je realna poluos hiperbole a = 2

2 2 22 2 4a a a= rArr = rArr =

Budući da točka A pripada hiperboli koordinate točke uvrstit ćemo u jednadžbu hiperbole i izračunati

imaginarnu poluos b

( ) ( )2

4 6 2 2 26 2 36 4 4

2 2 1 1 12 2 24 41

2 2

36

4

a A x y A

x yb b b

a b

= =

rArr minus = rArr minus = rArr minus = rArrminus =

29 4 9 4 2 2 2 21 1 9 4 9 4

2 21

1b b b b b

b b

rArr minus = rArr minus = rArr sdot minus = rArr sdot minus =sdot rArr

4 12 2 2 2 28 4 8 4

8

4 8

8 2b b b b brArr sdot = rArr sdot = rArr = rArr = rArr =

Jednadžba hiperbole glasi

12 24

2 2212 2 14

12 2 2

a bx y

x y

a b

= =

rArr minus =

minus =

Tangenta na hiperbolu prolazi točkom A pa je njezina jednadžba oblika

( ) ( )

12 24

226 2 31 6 2 1 1 4 1

1 1 1 14 2

2 21 1 12 2

6

4

a b

yx y x

A x y A x y

x x y y

a b

= =

sdotsdot sdot sdot

= rArr minus = rArr minus = rArr sdot minus sdot = rArr

sdot sdotminus =

13 3 3 14 1 4 1

2 2 8 4

4y x y x y xrArr minus sdot = minus sdot + rArr minus sdot = minus sdot + rArr = sdotsdot minus minus

Budući da tangenta siječe x os sjecište će imati ordinatu jednaku nula y = 0

20

3 13 1 3 1 2 2

0 0 0 8 48 4 8 4

8

3 330

y xx x x x

y

= sdot minusrArr sdot minus = rArr sdot minus = rArr minus = =sdot rArr

=

Koordinate točke glase

2 0

3

Vježba 138

Na slici je prikazana hiperbola i njezina točka A Izračunajte koordinate točke u kojoj tangenta

na tu hiperbolu u točki A siječe os y

Rezultat 1

0 4

minus

Zadatak 139 (Tina srednja škola)

Zadan je skup svih točaka koje su od točke (2 4) udaljene za 3 Napišite jednadžbu tog skupa i

skicirajte ga u zadanom koordinatnom sustavu

Rješenje 139

Ponovimo

Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) te ravnine

Ako je S(p q) središte kružnice a r polumjer tada središnja jednadžba kružnice glasi

( ) ( )2

2 2

x p y q rminus + minus =

Skup svih točaka koje su od točke (2 4) udaljene za 3 je kružnica sa središtem S(p q) = S(2 4) i

polumjerom r = 3 Njezina jednadžba glasi

( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

2 4 32 2 2 22

2 4 3 2 4 92 2 2

S p q S r

x y x yx p y q r

= =

rArr minus + minus = rArr minus + minus =

minus + minus =

9

8

7

6

5

4

3

2

1

-1

-2

-6 -4 -2 2 4 6 8 10 12

S 2 4(((( ))))

y

x

21

Vježba 139

Zadan je skup svih točaka koje su od točke (4 2) udaljene za 3 Napišite jednadžbu tog skupa

Rezultat ( ) ( )2 2

4 2 9x yminus + minus =

Zadatak 140 (Ivan srednja škola)

Točka T(10 y gt 0) leži na krivulji 2 middot y2 = 5 middot x Koliko je točka T udaljena od žarišta te

krivulje

Rješenje 140

Ponovimo

Parabola kojoj tjeme leži u ishodištu a žarište na pozitivnom dijelu osi apscisa ima jednadžbu

22 y p x= sdot sdot

gdje je p poluparametar parabole tjudaljenost žarišta do ravnalice

Koordinate žarišta (fokusa) F parabole su

02

pF

1

a

n a dbnc b c

d

sdot= =

sdot

Neka su A(x1 y1) i B(x2 y2) dvije točke ravnine Tada je udaljenost točaka A i B dana formulom

( ) ( )2

1 1

2

2 2AB x x y y= minus + minus

2

a c a d b c a c a d b c

a ab d b d b d b d

sdot minus sdot sdot + sdotminus = + = =

sdot sdot

Uočimo da je krivulja parabola

52 2 22 5 2 5 2

2y x y x y xsdot = sdot rArr sdot = sdot rArr = sdot

Njezin poluparametar p iznosi

22

5 5 52 2 52 2 2 4

2

1

2

y p x

p p py x

= sdot sdot

rArr sdot sdot= rArr sdot = rArr =

= sdot

Tada žarište (fokus) parabole ima koordinate

5 5 052 4 4 0 0 0

22 85

14

pF

F F F

p

rArr rArr rArr

=

Budući da točka T pripada paraboli uvrstit ćemo koordinate točke u jednadžbu parabole i izračunati

ordinatu y

( ) ( ) 105 52 2 2 2

10 25 25522

10 2

2

T x y T y

y y y yy x

=

rArr = sdot rArr = sdot rArr = rArr = rArr= sdot

22

( ) ( )nije rješenj

51

25 5e zbog 0

10 5 12 5

2y

yy y T x y T

y

=rArr = plusmn rArr rArr = rArr =

gt= minus

Računamo udaljenost izmentildeu točaka T i F

( ) ( )

( )

( ) ( )

( )

10 51 1

25 5 2

0 10 0 52 2 8 8

2 2

2 1 2 1

T x y T

F x y F TF

TF x x y y

=

= rArr = minus + minus rArr

= minus + minus

( )2 2 2

5 10 5 80 7525 25 25

8 1 8 8TF TF TF

minusrArr = minus + minus rArr = + rArr = minus + rArr

5625 5625 25 5625 160025

64 64 1 64TF TF TF

+rArr = + rArr = + rArr = rArr

7 225 8510625

64 8TF TF TFrArr = rArr = rArr =

Vježba 140

Točka T(10 y lt 0) leži na krivulji 2 middot y2 = 5 middot x Koliko je točka T udaljena od žarišta te

krivulje

Rezultat 10625

6

( ) ( )2 3 i 7 12 A B minus

Duljina tetive AB iznosi

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

2 31 1

2 2 2 2 7 12 7 2 12 3 9 9

2 2

2 2

2 1 2 1

A x y A

B x y B AB AB

AB x x y y

=

= minus rArr = minus minus + minus rArr = minus + rArr

= minus + minus

81 81 81 2 81 2 9 2AB AB AB ABrArr = + rArr = sdot rArr = sdot rArr = sdot

Odgovor je pod D

Vježba 126

Kolika je duljina tetive koju na krivulji

22

13

yx minus = odsijeca pravac y = ndash x + 5

6 2 jediničnih dužina 7 2 jediničnih dužinaA Bsdot sdot

8 2 jediničnih dužina 9 2 jediničnih dužinaC Dsdot sdot

Rezultat D

Zadatak 127 (Iva strukovna škola)

Zadana je jednakostranična hiperbola x2 ndash y

2 = 8 Nantildeite linearni ekscentricitet

Rješenje 127

Ponovimo

2

0a b a b a a asdot = sdot = ge

Hiperbola kojoj središte leži u ishodištu koordinatnog sustava a realna os na osi apscisa ima

jednadžbu

( )2 2

2 2 2 2 2 2ili 1 kanonska jednadžba hiperbole

2 2

x yb x a y a b

a b

sdot minus sdot = sdot minus =

Linearni ekscentricitet hiperbole

2 2 2

2 2e a b e a b= + rArr = +

Hiperbolu kojoj su realna i imaginarna poluos jednake nazivamo jednakostranična hiperbola Za nju

vrijedi jednadžba

2 22

2 2

12 2

2 21

2 2

x yx y a

a aa

y

b

x

a b

minus =rArr rArrminus = minus =

=

Linearni ekscentricitet jednakostranične hiperbole

2 2 22 2 2 2 2 2 2 2

2 22 2 e a b

e a e aa b

a e a e a e a= +

rArr = + rArr = = sdot=

sdot rArr = sdot rArr = sdot rArr

Računamo linearni ekscentricitet

2 28 2 2

8 8 82 2 2

x y

x

a

a

a a

y

minus =rArr = rArr = rArr =

minus =

7

28 2 16 4

8

e ae e e

a

= sdotrArr = sdot rArr = rArr =

=

Vježba 127

Zadana je jednakostranična hiperbola x2 ndash y2 = 18 Nantildeite linearni ekscentricitet

Rezultat 6

Zadatak 128 (Nikolina srednja škola)

Kružnica k prolazi točkom T(ndash 3 2) i ima isto središte kao i kružnica zadana jednadžbom

(x + 2)2 + (y ndash 5)

2 = 20 Koliki je polumjer kružnice k

10 11 13 14A B C D

Rješenje 128

Ponovimo

Ako je S(p q) središte kružnice a r polumjer tada središnja jednadžba kružnice glasi

( ) ( )2

2 2

x p y q rminus + minus =

Neka su A(x1 y1) i B(x2 y2) dvije točke ravnine Tada je udaljenost točaka A i B dana s

( ) ( )2

1 1

2

2 2AB x x y y= minus + minus

Kružnice su koncentrične ako imaju isto središte

Polumjer kružnice je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice

1inačica

Kružnica k ima isto središte kao i kružnica zadana jednadžbom (x + 2)2 + (y ndash 5)

2 = 20 pa njezina

jednadžba glasi

( ) ( )2 2 2

2 5 x y r+ + minus =

Budući da kružnica k prolazi točkom T koordinate točke uvrstit ćemo u jednadžbu kružnice da bismo

izračunali njezin polumjer

( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

2 2 22 5 2 2 2 22 2

3 2 2 5 1 3 3 2

x y rr r

T x y T

+ + minus =rArr minus + + minus = rArr minus + minus = rArr

= minus

2 2 2 21 9 10 10 10 10 r r r r rrArr + = rArr = rArr = rArr = rArr =

Odgovor je pod A

2inačica

Iz zadane jednadžbe kružnice (x + 2)2 + (y ndash 5)2 = 20 odredimo koordinate središta

( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

2 22 5 20

2 5 2 2 2

x yS p q S

x p y q r

+ + minus =rArr = minus

minus + minus =

Budući da kružnica k prolazi točkom T(ndash 3 2) i ima isto središte S(ndash 2 5) njezin polumjer iznosi

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( )( ) ( )

2 51 1

2 2 3 2 3 2 2 5

2 2

2 2

2 1 2 1

S x y S

T x y T r

r ST x x y y

= minus

= minus rArr = minus minus minus + minus rArr

= = minus + minus

8

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2

3 2 2 5 1 3 1 9 10r r r rrArr = minus + + minus rArr = minus + minus rArr = + rArr =

Odgovor je pod A

Vježba 128

Kružnica k prolazi točkom T(ndash 6 2) i ima isto središte kao i kružnica zadana jednadžbom

(x + 2)2 + (y ndash 5)

2 = 20 Koliki je polumjer kružnice k

3 4 5 6A B C D

Rezultat C

Zadatak 129 (Anita ekonomska škola)

Točka T(6 5) nalazi se na elipsi čija je velika poluos a = 9 Odredite jednadžbu elipse i

udaljenost mentildeu fokusima

Rješenje 129

Ponovimo

Elipsa kojoj se središte podudara s ishodištem koordinatnog sustava smjer glavne osi s x ndash osi a smjer

sporedne osi s y ndash osi ima jednadžbu

2 22 2 2 2 2 2

i li 12 2

x yb x a y a b

a b

sdot + sdot = sdot + =

Broj e naziva se linearni ekscentricitet elipse

2 2 2e a b= minus

Koordinate fokusa F1 i F2 elipse su

( ) ( ) 0 0 1 2

F e F eminus

Budući da točka pripada elipsi koordinate točke uvrstit ćemo u jednadžbu elipse i izračunati malu

poluos b elipse

( ) ( ) 6 5

2 2 2 2 2 2 2 29 6 9 5 9 36 2 025 81

2 2 2 2 2 2

T x y T

a b b b b

b x a y a b

=

= rArr sdot + sdot = sdot rArr sdot + = sdot rArr

sdot + sdot = sdot

( )2 2 2 2 2

36 81 2 025 45 20 25 45 2 425 550 4b b b b bminusrArr sdot minus sdot = minus rArr minus sdot = minus rArr minus sdot = minus rArr =

Jednadžba elipse glasi

2 281 45 2 2 2 2

45 81 81 45 45 81 36452 2 2 2 2 2

a bx y x y

b x a y a b

= =rArr sdot + sdot = sdot rArr sdot + sdot =

sdot + sdot = sdot

Računamo linearni ekscentricitet elipse

2 281 45 2 2 2

81 45 36 36 36 2 2

62

a be e e e e

e a b

= =rArr = minus rArr = rArr = rArr = rArr =

= minus

Koordinate fokusa elipse iznose

( )

( )( )

( )

01 6 0

1 0

2 6 02

6

F eF

F eF

e

minusminus

rArr

=

pa je njihova mentildeusoba udaljenost jednaka

9

2 2 6 121 2 1 2 1 2

F F e F F F F= sdot rArr = sdot rArr =

Vježba 129

Točka T(ndash 6 ndash 5) nalazi se na elipsi čija je velika poluos a = 9 Odredite jednadžbu elipse i

udaljenost mentildeu fokusima

Rezultat 2 2

45 81 3645 121 2

x y F Fsdot + sdot = =

Zadatak 130 (Ana gimnazija)

Napiši jednadžbu elipse čiji fokus je ( )24 0 i 5 F a b= sdot

Rješenje 130

Ponovimo

( ) ( )2

n n n

a b b a a b a b a a= rArr = sdot = sdot =

Elipsa kojoj se središte podudara s ishodištem koordinatnog sustava smjer glavne osi s x ndash osi a smjer

sporedne osi s y ndash osi ima jednadžbu

2 22 2 2 2 2 2

i li 12 2

x yb x a y a b

a b

sdot + sdot = sdot + =

gdje su a i b velika i mala poluos

Broj e naziva se linearni ekscentricitet elipse

2 2 2e a b= minus

Koordinate fokusa (žarišta) F1 i F2 elipse su

( ) ( ) 0 0 1 2

F e F eminus

( ) ( )

( )metoda

supstitucij

0 24 0 2422 2

5 5 24e

5

2 2 2 2 2 2

F e F e

a b a b b b

e a b e a b

= =

= sdot rArr = sdot rArr rArr = sdot minus rArr

= minus = minus

2 2 2 2 2 2576 5 576 4 4 576 4 576 14 4 4b b b b b brArr = sdot minus rArr = sdot rArr sdot = rArr sdot = rArr =

Računamo a2

2 2 25 5 5 2 25 144 720

2 2 2144 144 1

44

a b a b a ba a

b b b

= sdot = sdot = sdotrArr rArr rArr = sdot rArr =

= = =

Kanonska ili osna jednadžba elipse glasi

2 2720 144 2 2

2 2 1720 1441

2 2

a bx y

x y

a b

= =

rArr + =

+ =

Vježba 130

Napiši jednadžbu elipse čiji fokus je ( )24 0 i 5 F a bminus = sdot

Rezultat

2 2

1720 144

x y+ =

10

Zadatak 131 (Ana gimnazija)

Odredimo jednadžbu hiperbole s fokusima na y ndash osi koja sadrži točke A(ndash 1 2) i B(7 10)

Rješenje 131

Ponovimo

1a

a bb

= rArr =

Neka je zadana hiperbola čiji fokusi leže na y ndash osi a središte hiperbole je ishodište koordinatnog

sustava Jednadžba takve hiperbole glasi

2 2

12

2

x y

b a

minus = minus

Budući da hiperbola sadrži točke A i B uvrstit ćemo koordinate točaka u jednadžbu hiperbole i dobiti

sustav jednadžbi

( ) ( )

( ) ( )

( )22 2 2

1 1 42 1 2 1 11

2 2 2 22 2

2 2 2 2 49 1007 10 1 7 10 1 1 2 22 2 2 2

x yA x y A

b a b ab a

x yB x y B

b ab a b a

minus= minus minus = minus minus = minusminus = minus

rArr rArr rArr

minus = minus= minus = minus minus = minus

( )1 4 49 196

1 492 2 2 2

49 100 49 1001 1

2 2 2

2

49metoda suprotnih

koeficijenata

b a b a

b a b a

minus = minus =

rArr rArr rArr

minus = minus minus = minus

sdot

minus + rArr

minus

96 96 248 48 2

2 2

2

48

aa

a a

rArr = rArr sdot= rArr =

Računamo b2

1 41 1 4 1 1 1 22 2

1 2 1 1 2 1 12 2 2 222

2

bb a

b b b ba

minus = minus

rArr minus = minus rArr minus = minus rArr = minus + rArr = rArr =

=

Jednadžba hiperbole glasi

2 22 1 2 2 2

22 2 1 1

1 2 212 2

a bx y y

xx y

b a

= =

rArr minus = minus rArr minus = minus

minus = minus

Vježba 131

Odredimo jednadžbu hiperbole s fokusima na y ndash osi koja sadrži točke A(1 2) i B(ndash 7 10)

Rezultat

22

12

yx minus = minus

Zadatak 132 (Ivana ekonomska škola)

Odredi jednadžbu kružnice polumjera r = 5 koja dodiruje os x i prolazi točkom T(ndash 2 2)

Skiciraj

Rješenje 132

Ponovimo

11

( ) ( )2 2

a b a bminus minus = +

Ako je S(p q) središte kružnice a r njezin polumjer tada središnja jednadžba kružnice glasi

( ) ( )2

2 2

x p y q rminus + minus =

Kada kružnica dira os x točka diranja je od središta udaljena upravo onoliko koliko je os x udaljena

od središta tj polumjer kružnice jednak je udaljenosti središta S(p q) do osi x Vrijedi

q r q r= = minus

pa postoje dvije jednadžbe

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2

2 2

x p y r r x p y r rminus + minus = minus + + =

Točka T je iznad osi x i zato promatramo kružnicu koja dira os x iznad osi x Ako je iznad tada je

polumjer upravo jednak q

55

q rq

r

=rArr =

=

Budući da kružnica prolazi točkom T koordinate točke uvrstit ćemo u jednadžbu kružnice

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

5 52 2 2 22 2

2 2 2 2 5 5 2 3 5

2 2 2

q r

T x y T p p

x p y q r

= =

= minus rArr minus minus + minus = rArr minus minus + minus = rArr

minus + minus =

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2

2 9 25 2 25 9 2 16 2 1 6p p p prArr + + = rArr + = minus rArr + = rArr + = rArr

22 4 4 2 12 16 2 4

2 4 4 2 62

pp pp p

p p p

=+ = = minusrArr + = plusmn rArr + = plusmn rArr rArr rArr

+ = minus = minus minus = minus

Postoje dvije kružnice sa zadanim uvjetima

bull

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

2 5 5 2 2 2 222 5 5 2 5 252 2 2

p q rx y x y

x p y q r

= = =

rArr minus + minus = rArr minus + minus =minus + minus =

bull

( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )

6 5 5 2 2 2 226 5 5 6 5 252 2 2

p q rx y x y

x p y q r

= minus = =

rArr minus minus + minus = rArr + + minus =minus + minus =

-10 -5 5 10

14

12

10

8

6

4

2

0

y

x

S(- 6 5)

S(2 5)

T

12

Vježba 132

Odredi jednadžbu kružnice polumjera r = 5 koja dodiruje os x i prolazi točkom T(ndash 2 8)

Rezultat ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2

2 5 25 6 5 25x y x yminus + minus = + + minus =

Zadatak 133 (Ivana ekonomska škola)

Odredi jednadžbu kružnice koja sadrži točke A(1 0) i B(ndash 1 4) a središte pripada osi x

Skiciraj

Rješenje 133

Ponovimo

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 22 2 2 2

2 2 a b a a b b a b a a b b a b a bminus = minus sdot sdot + + = + sdot sdot + minus minus = +

Ako je S(p q) središte kružnice a r njezin polumjer tada središnja jednadžba kružnice glasi

( ) ( )2

2 2

x p y q rminus + minus =

Kada središte S(p q) kružnice pripada osi x tada je ordinata q središta jednaka nuli q = 0 Vrijedi

jednadžba

( ) ( ) ( )2 2 22 2 2

0x p y r x p y rminus + minus = rArr minus + =

Budući da kružnica sadrži dvije točke A i B uvrstit ćemo koordinate točaka u jednadžbu kružnice i

dobiti sustav od dvije jednadžbe sa dvije nepoznanice

bull

( ) ( )

( )( ) ( )

1 02 22 2 2

1 0 1 2 2 2

A x y A

p r p rx p y r

=

rArr minus + = rArr minus =

minus + =

bull

( ) ( )

( )( ) ( )

1 42 22 2 2

1 4 1 16 2 2 2

B x y B

p r p r

x p y r

= minus

rArr minus minus + = rArr + + =

minus + =

Iz sustava jednadžbi dobije se

( )

( )( ) ( )

metoda

komparaci

2 21 2 2

1 1 162 2

1 16je

p rp p

p r

minus =rArr rArr minus = + + rArr

+ + =

2 21 2 1 2 16 2 2 16

2 21 1 2 2 16p p p pp p p ppp +rArr minus sdot + = + sdot + + rArr minus sdot = + sdot + rArr minus sdot = sdot ++ rArr

( )2 2 16 4 16 4 16 4 4p p p p prArr minus sdot minus sdot = rArr minus sdot = rArr minus sdot rArr = minusminus=

Računamo r2

( )( )( ) ( )

2 22 21 2 2 2 2 2

1 4 1 4 5 25

4

p rr r r r

p

minus =rArr minus minus = rArr + = rArr = rArr =

= minus

Jednadžba kružnice glasi

( )( )( ) ( )

24 25 2 22 2

4 25 4 252 2 2

p rx y x y

x p y r

= minus =rArr minus minus + = rArr + + =

minus + =

13

6

5

4

3

2

1

-1

-2

-3

-4

-5

-10 -8 -6 -4 -2 2 4 6

0

y

xS(- 4 0)

B(- 1 4)

A(10)

Vježba 133

Odredi jednadžbu kružnice koja sadrži točke A(ndash 9 0) i B(ndash 1 4) a središte pripada osi x

Rezultat ( )2 2

4 25x y+ + =

Zadatak 134 (Marin ekonomska škola)

Kako glase jednadžbe onih tangenata elipse 2 2

4 9 36x ysdot + sdot = ako je poznat koeficijent

smjera 8

9

k =

Rješenje 134

Ponovimo

1

n a c a d b cn

b d b d

sdot + sdot= + =

sdot

Elipsa kojoj se središte podudara s ishodištem koordinatnog sustava smjer glavne osi s x ndash osi a smjer

sporedne osi s y ndash osi ima jednadžbu

2 22 2 2 2 2 2

i li 12 2

x yb x a y a b

a b

sdot + sdot = sdot + =

Eksplicitni oblik jednadžbe pravca

koeficijent smjera odsječak na y osiy k x l k l= sdot + minus minus

Pravac y = k middot x + l dodiruje elipsu

2 2

12 2

x y

a b+ = ako i samo ako vrijedi

2 2

2 2a k b lsdot + =

Prvo napišemo kanonski oblik elipse

2 24 92 2 2 2

4 9 36 4 9 3 6 136

3636

x yx y x y

sdot sdotsdot + sdot = rArr sdot + sdot = rArr + = rArr

22 24 9

36 3

2 2 91 1

29 4 46

ax y x y

b

=sdot sdot rArr + = rArr + = rArr

=

Iz uvjeta dodira pravca i elipse dobije se odsječak l na y osi tangente

14

2 2 2 2 28 64 642 2 2

9 4 9 4 482 2 9 819 4 9

89

1

a k b ll l l

a b k

sdot + = rArr sdot + = rArr sdot + = rArr sdot + = rArr

= = =

64 64 4 64 36 100 1002 2 2 2 24

9 9 1 9 9 9l l l l l

+rArr + = rArr + = rArr = rArr = rArr = rArr

10

1100 100 102 3

12 12 109 9 32 3

l

l l l

l

=

rArr = rArr = plusmn rArr = plusmn rArr = minus

Jednadžbe tangenata glase

8 10 8 10

9 3 9 3

8 10 8 10

9 3 9 3

y k x l k l y x

y k x l k l y x

= sdot + = = = sdot +

rArr = sdot + = = minus = sdot minus

Vježba 134

Kako glase jednadžbe onih tangenata elipse 2 2

4 9 36x ysdot + sdot = ako je poznat koeficijent

smjera 2

3

k =

Rezultat 2 2

2 2 2 23 3

y x y x= sdot + sdot = sdot minus sdot

Zadatak 135 (Goran srednja škola)

Točka T(6 5) nalazi se na elipsi čija je velika poluos a = 9 Odredite jednadžbu elipse i

udaljenost mentildeu fokusima

Rješenje 135

Ponovimo

2 0a a a= ge

Elipsa kojoj se središte podudara s ishodištem koordinatnog sustava smjer glavne osi s x ndash osi a smjer

sporedne osi s y ndash osi ima jednadžbu

2 22 2 2 2 2 2

i li 12 2

x yb x a y a b

a b

sdot + sdot = sdot + =

Broj e naziva se linearni ekscentricitet elipse

2 2 2

2 2e a b e a b= minus rArr = minus

Fokusi (žarišta) elipse su točke s koordinatama

( ) ( ) 0 0 1 2

F e F eminus

Za realni broj x njegova je apsolutna vrijednost (modul) broj x koji odrentildeujemo na ovaj način

0

0

x xx

x x

ge=

minus lt

Ako je broj x pozitivan ili nula tada je on jednak svojoj apsolutnoj vrijednosti Za svaki x x ge 0

vrijedi x= x

Ako je x negativan broj njegova apsolutna vrijednost je suprotan broj ndash x koji je pozitivan Za svaki x

x lt 0 je x= ndash x

Ili ovako

15

Apsolutna vrijednost realnog broja x definira se

0

0 0

0

x x

x x

x x

gt

= =minus lt

Ako je broj x pozitivan broj onda ga prepišemo | x | = x | 7 | = 7

Ako je broj x negativan broj onda ga pišemo s minusom | x | = ndash x | ndash 4 | = ndash (ndash 4) = 4

Udaljenost točaka ( ) ( ) i A x y B x yB BA A

( ) ( )2 2

AB x x y yB BA A

= minus + minus

Budući da se točka T nalazi na elipsi njezine koordinate uvrstit ćemo u jednadžbu elipse

( ) ( ) 6 52 2 2 2 2 2 2 2

9 6 9 5 9 36 81 25 81

2 2 2 2 2 2

T x y T

a b b b b

b x a y a b

=

= rArr sdot + sdot = sdot rArr sdot + sdot = sdot rArr

sdot + sdot = sdot

2 2 2 2 236 2025 81 36 81 2025 45 2025b b b b brArr sdot + = sdot rArr sdot minus sdot = rArr minus sdot = minus rArr

( )2 2

45 2025 4 455b brArr minus sdot = minus rArr =minus

Jednadžba elipse glasi 2 2

2 22 2 1

12 2

81 45

81 45

x yx y

a b

a b

+ =+ =

= =rArr

Računamo linearni ekscentricitet elipse

2 281 45

81 45 36 62 2

a be e e

e a b

= = rArr = minus rArr = rArr =

= minus

Fokusi elipse imaju koordinate

( ) ( ) ( ) ( ) 0 6 0 0 6 01 1 2 2

F e F F e Fminus = minus =

pa njihova mentildeusobna udaljenost iznosi

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( )( ) ( )

6 01 1 1 1

2 2 6 0 6 6 0 0

2 2 2 2 1 2

2 2

1 2 2 1 2 1

F x y F

F x y F F F

F F x x y y

= minus

= rArr = minus minus + minus rArr

= minus + minus

( )2 2

6 6 0 12 121 2 1 2 1 2

F F F F F FrArr = + + rArr = rArr =

Vježba 135

Točka T(ndash 6 ndash 5) nalazi se na elipsi čija je velika poluos a = 9 Odredite jednadžbu elipse

Rezultat

2 2

181 45

x y+ =

16

Zadatak 136 (Maturanti HTT)

U kojim točkama kružnica x2 + y

2 = 25 siječe koordinatne osi

Rješenje 136

Ponovimo

Točka koja pripada osi y ima apscisujednaku 0

Točka koja pripada osi x ima ordinatujednaku 0

0 x

y

A(x 0)

B(0 y)

Budući da točke u kojima kružnica siječe os x imaju ordinatu jednaku 0 slijedi

2 22 2 2 2 225

0 25 0 25 25 20

5x y

x x x xy

+ =rArr + = rArr + = rArr = rArr = rArr

=

51

25 5 12 12 5

2

xx x

x

= minusrArr = plusmn rArr = plusmn rArr

=

Kružnica siječe os x u dvije točke

( ) ( )5 0 i 5 0 A Bminus

Budući da točke u kojima kružnica siječe os y imaju apscisu jednaku 0 slijedi

2 22 2 2 2 225

0 25 0 25 25 250

x y

y y y yx

+ =rArr + = rArr + = rArr = rArr = rArr

=

51

25 5 12 12 5

2

yy y

y

= minusrArr = plusmn rArr = plusmn rArr

=

Kružnica siječe os y u dvije točke

( ) ( )0 5 i 0 5 C Dminus

Vježba 136

U kojim točkama kružnica x2 + y2 = 9 siječe koordinatne osi

Rezultat ( ) ( ) ( ) ( )3 0 3 0 0 3 0 3 A B C Dminus minus

Zadatak 137 (Maturanti HTT)

Točka S(ndash 2 3) je središte kružnice koja prolazi ishodištem koordinatnoga sustava Kako glasi

jednadžba kružnice

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2

2 3 13 2 3 5A x y B x y+ + minus = + + minus =

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2

2 3 13 2 3 5C x y D x yminus + + = minus + + =

Rješenje 137

Ponovimo

( ) 2

a a=

Ako je S(p q) središte kružnice a r polumjer tada središnja jednadžba kružnice glasi

( ) ( )2

2 2

x p y q rminus + minus =

Neka su A(x1 y1) i B(x2 y2) dvije točke ravnine Tada je udaljenost točaka A i B dana s

17

( ) ( )2

1 1

2

2 2AB x x y y= minus + minus

1inačica

Kružnica sa središtem u točki S(ndash 2 3) ima jednadžbu

( ) ( )

( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )

2 3 2 2 2 22 22 3 2 3

2 2 2

S p q S

x y r x y rx p y q r

= minus

rArr minus minus + minus = rArr + + minus =

minus + minus =

Budući da kružnica prolazi ishodištem koordinatnog sustava koordinate ishodišta uvrstit ćemo u

jednadžbu kružnice i izračunati njezin polumjer

( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) ( )

0 02 2 22 2 2

0 2 0 3 2 32 2 2

2 3

O x y O

r rx y r

=

rArr + + minus = rArr + minus = rArr+ + minus =

2 2 24 9 13 13r r rrArr + = rArr = rArr =

Jednadžba kružnice glasi

( ) ( )2 2

2 3 13x y+ + minus =

Odgovor je pod A

2inačica

Kružnica sa središtem u točki S(ndash 2 3) ima jednadžbu

( ) ( )

( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )

2 3 2 2 2 22 22 3 2 3

2 2 2

S p q S

x y r x y rx p y q r

= minus

rArr minus minus + minus = rArr + + minus =

minus + minus =

Budući da kružnica prolazi ishodištem koordinatnog sustava njezin polumjer jednak je udaljenosti

izmentildeu točaka S i O

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )

2 31 1

0 02 2 2 2 2 2

0 2 0 3 0 2 0 32 2

2 1 2 1

S x y S

O x y O

r r

SO x x y y

r SO

= minus

=

rArr = minus minus + minus rArr = + + minus rArr

= minus + minus

=

( )22

2 3 4 9 13r r rrArr = + minus rArr = + rArr =

Jednadžba kružnice glasi

( ) ( ) ( ) ( ) ( )22 2 2 2

2 3 13 2 3 13x y x y+ + minus = rArr + + minus =

Odgovor je pod A

18

8

7

6

5

4

3

2

1

-1

-2

-8 -6 -4 -2 2 4 6

y

x

S(-2 3)

O(0 0)

Vježba 137 Kružnica sa središtem u točki S(1 1) prolazi ishodištem koordinatnog sustava Kako glasi

jednadžba te kružnice

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2

) 1 1 2 ) 1 1 2A x y B x yminus + + = minus + minus =

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2

) 1 1 1 ) 1 1 1C x y D x y+ + minus = minus + + =

Rezultat B

Zadatak 138 (Ivan gimnazija)

Na slici je prikazana hiperbola i njezina točka A Izračunajte koordinate točke u kojoj tangenta

na tu hiperbolu u točki A siječe os x

Rješenje 138

Ponovimo

1

a

n a dbnc b c

d

sdot= =

sdot

Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i

jedinice

0 1a n a

n nb n b

sdot= ne ne

sdot

Hiperbola kojoj se središte podudara s ishodištem koordinatnog sustava a fokusi leže na osi x ima

jednadžbu (osna jednadžba)

2 22 2 2 2 2

2

12 2

x yb x a y a b

a b

minus = rArr sdot minus sdot = sdot

gdje je a realna poluos b imaginarna poluos

19

Jednadžba tangente u točki T(x1 y1) hiperbole

2 2 2 2ili 1 1 1

1 2 2

1

x x y yb x x a y y a b

a b

sdot sdotsdot sdot minus sdot sdot = sdot minus =

a

2

Sa slike vidi se da je realna poluos hiperbole a = 2

2 2 22 2 4a a a= rArr = rArr =

Budući da točka A pripada hiperboli koordinate točke uvrstit ćemo u jednadžbu hiperbole i izračunati

imaginarnu poluos b

( ) ( )2

4 6 2 2 26 2 36 4 4

2 2 1 1 12 2 24 41

2 2

36

4

a A x y A

x yb b b

a b

= =

rArr minus = rArr minus = rArr minus = rArrminus =

29 4 9 4 2 2 2 21 1 9 4 9 4

2 21

1b b b b b

b b

rArr minus = rArr minus = rArr sdot minus = rArr sdot minus =sdot rArr

4 12 2 2 2 28 4 8 4

8

4 8

8 2b b b b brArr sdot = rArr sdot = rArr = rArr = rArr =

Jednadžba hiperbole glasi

12 24

2 2212 2 14

12 2 2

a bx y

x y

a b

= =

rArr minus =

minus =

Tangenta na hiperbolu prolazi točkom A pa je njezina jednadžba oblika

( ) ( )

12 24

226 2 31 6 2 1 1 4 1

1 1 1 14 2

2 21 1 12 2

6

4

a b

yx y x

A x y A x y

x x y y

a b

= =

sdotsdot sdot sdot

= rArr minus = rArr minus = rArr sdot minus sdot = rArr

sdot sdotminus =

13 3 3 14 1 4 1

2 2 8 4

4y x y x y xrArr minus sdot = minus sdot + rArr minus sdot = minus sdot + rArr = sdotsdot minus minus

Budući da tangenta siječe x os sjecište će imati ordinatu jednaku nula y = 0

20

3 13 1 3 1 2 2

0 0 0 8 48 4 8 4

8

3 330

y xx x x x

y

= sdot minusrArr sdot minus = rArr sdot minus = rArr minus = =sdot rArr

=

Koordinate točke glase

2 0

3

Vježba 138

Na slici je prikazana hiperbola i njezina točka A Izračunajte koordinate točke u kojoj tangenta

na tu hiperbolu u točki A siječe os y

Rezultat 1

0 4

minus

Zadatak 139 (Tina srednja škola)

Zadan je skup svih točaka koje su od točke (2 4) udaljene za 3 Napišite jednadžbu tog skupa i

skicirajte ga u zadanom koordinatnom sustavu

Rješenje 139

Ponovimo

Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) te ravnine

Ako je S(p q) središte kružnice a r polumjer tada središnja jednadžba kružnice glasi

( ) ( )2

2 2

x p y q rminus + minus =

Skup svih točaka koje su od točke (2 4) udaljene za 3 je kružnica sa središtem S(p q) = S(2 4) i

polumjerom r = 3 Njezina jednadžba glasi

( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

2 4 32 2 2 22

2 4 3 2 4 92 2 2

S p q S r

x y x yx p y q r

= =

rArr minus + minus = rArr minus + minus =

minus + minus =

9

8

7

6

5

4

3

2

1

-1

-2

-6 -4 -2 2 4 6 8 10 12

S 2 4(((( ))))

y

x

21

Vježba 139

Zadan je skup svih točaka koje su od točke (4 2) udaljene za 3 Napišite jednadžbu tog skupa

Rezultat ( ) ( )2 2

4 2 9x yminus + minus =

Zadatak 140 (Ivan srednja škola)

Točka T(10 y gt 0) leži na krivulji 2 middot y2 = 5 middot x Koliko je točka T udaljena od žarišta te

krivulje

Rješenje 140

Ponovimo

Parabola kojoj tjeme leži u ishodištu a žarište na pozitivnom dijelu osi apscisa ima jednadžbu

22 y p x= sdot sdot

gdje je p poluparametar parabole tjudaljenost žarišta do ravnalice

Koordinate žarišta (fokusa) F parabole su

02

pF

1

a

n a dbnc b c

d

sdot= =

sdot

Neka su A(x1 y1) i B(x2 y2) dvije točke ravnine Tada je udaljenost točaka A i B dana formulom

( ) ( )2

1 1

2

2 2AB x x y y= minus + minus

2

a c a d b c a c a d b c

a ab d b d b d b d

sdot minus sdot sdot + sdotminus = + = =

sdot sdot

Uočimo da je krivulja parabola

52 2 22 5 2 5 2

2y x y x y xsdot = sdot rArr sdot = sdot rArr = sdot

Njezin poluparametar p iznosi

22

5 5 52 2 52 2 2 4

2

1

2

y p x

p p py x

= sdot sdot

rArr sdot sdot= rArr sdot = rArr =

= sdot

Tada žarište (fokus) parabole ima koordinate

5 5 052 4 4 0 0 0

22 85

14

pF

F F F

p

rArr rArr rArr

=

Budući da točka T pripada paraboli uvrstit ćemo koordinate točke u jednadžbu parabole i izračunati

ordinatu y

( ) ( ) 105 52 2 2 2

10 25 25522

10 2

2

T x y T y

y y y yy x

=

rArr = sdot rArr = sdot rArr = rArr = rArr= sdot

22

( ) ( )nije rješenj

51

25 5e zbog 0

10 5 12 5

2y

yy y T x y T

y

=rArr = plusmn rArr rArr = rArr =

gt= minus

Računamo udaljenost izmentildeu točaka T i F

( ) ( )

( )

( ) ( )

( )

10 51 1

25 5 2

0 10 0 52 2 8 8

2 2

2 1 2 1

T x y T

F x y F TF

TF x x y y

=

= rArr = minus + minus rArr

= minus + minus

( )2 2 2

5 10 5 80 7525 25 25

8 1 8 8TF TF TF

minusrArr = minus + minus rArr = + rArr = minus + rArr

5625 5625 25 5625 160025

64 64 1 64TF TF TF

+rArr = + rArr = + rArr = rArr

7 225 8510625

64 8TF TF TFrArr = rArr = rArr =

Vježba 140

Točka T(10 y lt 0) leži na krivulji 2 middot y2 = 5 middot x Koliko je točka T udaljena od žarišta te

krivulje

Rezultat 10625

7

28 2 16 4

8

e ae e e

a

= sdotrArr = sdot rArr = rArr =

=

Vježba 127

Zadana je jednakostranična hiperbola x2 ndash y2 = 18 Nantildeite linearni ekscentricitet

Rezultat 6

Zadatak 128 (Nikolina srednja škola)

Kružnica k prolazi točkom T(ndash 3 2) i ima isto središte kao i kružnica zadana jednadžbom

(x + 2)2 + (y ndash 5)

2 = 20 Koliki je polumjer kružnice k

10 11 13 14A B C D

Rješenje 128

Ponovimo

Ako je S(p q) središte kružnice a r polumjer tada središnja jednadžba kružnice glasi

( ) ( )2

2 2

x p y q rminus + minus =

Neka su A(x1 y1) i B(x2 y2) dvije točke ravnine Tada je udaljenost točaka A i B dana s

( ) ( )2

1 1

2

2 2AB x x y y= minus + minus

Kružnice su koncentrične ako imaju isto središte

Polumjer kružnice je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom kružnice

1inačica

Kružnica k ima isto središte kao i kružnica zadana jednadžbom (x + 2)2 + (y ndash 5)

2 = 20 pa njezina

jednadžba glasi

( ) ( )2 2 2

2 5 x y r+ + minus =

Budući da kružnica k prolazi točkom T koordinate točke uvrstit ćemo u jednadžbu kružnice da bismo

izračunali njezin polumjer

( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

2 2 22 5 2 2 2 22 2

3 2 2 5 1 3 3 2

x y rr r

T x y T

+ + minus =rArr minus + + minus = rArr minus + minus = rArr

= minus

2 2 2 21 9 10 10 10 10 r r r r rrArr + = rArr = rArr = rArr = rArr =

Odgovor je pod A

2inačica

Iz zadane jednadžbe kružnice (x + 2)2 + (y ndash 5)2 = 20 odredimo koordinate središta

( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

2 22 5 20

2 5 2 2 2

x yS p q S

x p y q r

+ + minus =rArr = minus

minus + minus =

Budući da kružnica k prolazi točkom T(ndash 3 2) i ima isto središte S(ndash 2 5) njezin polumjer iznosi

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( )( ) ( )

2 51 1

2 2 3 2 3 2 2 5

2 2

2 2

2 1 2 1

S x y S

T x y T r

r ST x x y y

= minus

= minus rArr = minus minus minus + minus rArr

= = minus + minus

8

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2

3 2 2 5 1 3 1 9 10r r r rrArr = minus + + minus rArr = minus + minus rArr = + rArr =

Odgovor je pod A

Vježba 128

Kružnica k prolazi točkom T(ndash 6 2) i ima isto središte kao i kružnica zadana jednadžbom

(x + 2)2 + (y ndash 5)

2 = 20 Koliki je polumjer kružnice k

3 4 5 6A B C D

Rezultat C

Zadatak 129 (Anita ekonomska škola)

Točka T(6 5) nalazi se na elipsi čija je velika poluos a = 9 Odredite jednadžbu elipse i

udaljenost mentildeu fokusima

Rješenje 129

Ponovimo

Elipsa kojoj se središte podudara s ishodištem koordinatnog sustava smjer glavne osi s x ndash osi a smjer

sporedne osi s y ndash osi ima jednadžbu

2 22 2 2 2 2 2

i li 12 2

x yb x a y a b

a b

sdot + sdot = sdot + =

Broj e naziva se linearni ekscentricitet elipse

2 2 2e a b= minus

Koordinate fokusa F1 i F2 elipse su

( ) ( ) 0 0 1 2

F e F eminus

Budući da točka pripada elipsi koordinate točke uvrstit ćemo u jednadžbu elipse i izračunati malu

poluos b elipse

( ) ( ) 6 5

2 2 2 2 2 2 2 29 6 9 5 9 36 2 025 81

2 2 2 2 2 2

T x y T

a b b b b

b x a y a b

=

= rArr sdot + sdot = sdot rArr sdot + = sdot rArr

sdot + sdot = sdot

( )2 2 2 2 2

36 81 2 025 45 20 25 45 2 425 550 4b b b b bminusrArr sdot minus sdot = minus rArr minus sdot = minus rArr minus sdot = minus rArr =

Jednadžba elipse glasi

2 281 45 2 2 2 2

45 81 81 45 45 81 36452 2 2 2 2 2

a bx y x y

b x a y a b

= =rArr sdot + sdot = sdot rArr sdot + sdot =

sdot + sdot = sdot

Računamo linearni ekscentricitet elipse

2 281 45 2 2 2

81 45 36 36 36 2 2

62

a be e e e e

e a b

= =rArr = minus rArr = rArr = rArr = rArr =

= minus

Koordinate fokusa elipse iznose

( )

( )( )

( )

01 6 0

1 0

2 6 02

6

F eF

F eF

e

minusminus

rArr

=

pa je njihova mentildeusoba udaljenost jednaka

9

2 2 6 121 2 1 2 1 2

F F e F F F F= sdot rArr = sdot rArr =

Vježba 129

Točka T(ndash 6 ndash 5) nalazi se na elipsi čija je velika poluos a = 9 Odredite jednadžbu elipse i

udaljenost mentildeu fokusima

Rezultat 2 2

45 81 3645 121 2

x y F Fsdot + sdot = =

Zadatak 130 (Ana gimnazija)

Napiši jednadžbu elipse čiji fokus je ( )24 0 i 5 F a b= sdot

Rješenje 130

Ponovimo

( ) ( )2

n n n

a b b a a b a b a a= rArr = sdot = sdot =

Elipsa kojoj se središte podudara s ishodištem koordinatnog sustava smjer glavne osi s x ndash osi a smjer

sporedne osi s y ndash osi ima jednadžbu

2 22 2 2 2 2 2

i li 12 2

x yb x a y a b

a b

sdot + sdot = sdot + =

gdje su a i b velika i mala poluos

Broj e naziva se linearni ekscentricitet elipse

2 2 2e a b= minus

Koordinate fokusa (žarišta) F1 i F2 elipse su

( ) ( ) 0 0 1 2

F e F eminus

( ) ( )

( )metoda

supstitucij

0 24 0 2422 2

5 5 24e

5

2 2 2 2 2 2

F e F e

a b a b b b

e a b e a b

= =

= sdot rArr = sdot rArr rArr = sdot minus rArr

= minus = minus

2 2 2 2 2 2576 5 576 4 4 576 4 576 14 4 4b b b b b brArr = sdot minus rArr = sdot rArr sdot = rArr sdot = rArr =

Računamo a2

2 2 25 5 5 2 25 144 720

2 2 2144 144 1

44

a b a b a ba a

b b b

= sdot = sdot = sdotrArr rArr rArr = sdot rArr =

= = =

Kanonska ili osna jednadžba elipse glasi

2 2720 144 2 2

2 2 1720 1441

2 2

a bx y

x y

a b

= =

rArr + =

+ =

Vježba 130

Napiši jednadžbu elipse čiji fokus je ( )24 0 i 5 F a bminus = sdot

Rezultat

2 2

1720 144

x y+ =

10

Zadatak 131 (Ana gimnazija)

Odredimo jednadžbu hiperbole s fokusima na y ndash osi koja sadrži točke A(ndash 1 2) i B(7 10)

Rješenje 131

Ponovimo

1a

a bb

= rArr =

Neka je zadana hiperbola čiji fokusi leže na y ndash osi a središte hiperbole je ishodište koordinatnog

sustava Jednadžba takve hiperbole glasi

2 2

12

2

x y

b a

minus = minus

Budući da hiperbola sadrži točke A i B uvrstit ćemo koordinate točaka u jednadžbu hiperbole i dobiti

sustav jednadžbi

( ) ( )

( ) ( )

( )22 2 2

1 1 42 1 2 1 11

2 2 2 22 2

2 2 2 2 49 1007 10 1 7 10 1 1 2 22 2 2 2

x yA x y A

b a b ab a

x yB x y B

b ab a b a

minus= minus minus = minus minus = minusminus = minus

rArr rArr rArr

minus = minus= minus = minus minus = minus

( )1 4 49 196

1 492 2 2 2

49 100 49 1001 1

2 2 2

2

49metoda suprotnih

koeficijenata

b a b a

b a b a

minus = minus =

rArr rArr rArr

minus = minus minus = minus

sdot

minus + rArr

minus

96 96 248 48 2

2 2

2

48

aa

a a

rArr = rArr sdot= rArr =

Računamo b2

1 41 1 4 1 1 1 22 2

1 2 1 1 2 1 12 2 2 222

2

bb a

b b b ba

minus = minus

rArr minus = minus rArr minus = minus rArr = minus + rArr = rArr =

=

Jednadžba hiperbole glasi

2 22 1 2 2 2

22 2 1 1

1 2 212 2

a bx y y

xx y

b a

= =

rArr minus = minus rArr minus = minus

minus = minus

Vježba 131

Odredimo jednadžbu hiperbole s fokusima na y ndash osi koja sadrži točke A(1 2) i B(ndash 7 10)

Rezultat

22

12

yx minus = minus

Zadatak 132 (Ivana ekonomska škola)

Odredi jednadžbu kružnice polumjera r = 5 koja dodiruje os x i prolazi točkom T(ndash 2 2)

Skiciraj

Rješenje 132

Ponovimo

11

( ) ( )2 2

a b a bminus minus = +

Ako je S(p q) središte kružnice a r njezin polumjer tada središnja jednadžba kružnice glasi

( ) ( )2

2 2

x p y q rminus + minus =

Kada kružnica dira os x točka diranja je od središta udaljena upravo onoliko koliko je os x udaljena

od središta tj polumjer kružnice jednak je udaljenosti središta S(p q) do osi x Vrijedi

q r q r= = minus

pa postoje dvije jednadžbe

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2

2 2

x p y r r x p y r rminus + minus = minus + + =

Točka T je iznad osi x i zato promatramo kružnicu koja dira os x iznad osi x Ako je iznad tada je

polumjer upravo jednak q

55

q rq

r

=rArr =

=

Budući da kružnica prolazi točkom T koordinate točke uvrstit ćemo u jednadžbu kružnice

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

5 52 2 2 22 2

2 2 2 2 5 5 2 3 5

2 2 2

q r

T x y T p p

x p y q r

= =

= minus rArr minus minus + minus = rArr minus minus + minus = rArr

minus + minus =

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2

2 9 25 2 25 9 2 16 2 1 6p p p prArr + + = rArr + = minus rArr + = rArr + = rArr

22 4 4 2 12 16 2 4

2 4 4 2 62

pp pp p

p p p

=+ = = minusrArr + = plusmn rArr + = plusmn rArr rArr rArr

+ = minus = minus minus = minus

Postoje dvije kružnice sa zadanim uvjetima

bull

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

2 5 5 2 2 2 222 5 5 2 5 252 2 2

p q rx y x y

x p y q r

= = =

rArr minus + minus = rArr minus + minus =minus + minus =

bull

( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )

6 5 5 2 2 2 226 5 5 6 5 252 2 2

p q rx y x y

x p y q r

= minus = =

rArr minus minus + minus = rArr + + minus =minus + minus =

-10 -5 5 10

14

12

10

8

6

4

2

0

y

x

S(- 6 5)

S(2 5)

T

12

Vježba 132

Odredi jednadžbu kružnice polumjera r = 5 koja dodiruje os x i prolazi točkom T(ndash 2 8)

Rezultat ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2

2 5 25 6 5 25x y x yminus + minus = + + minus =

Zadatak 133 (Ivana ekonomska škola)

Odredi jednadžbu kružnice koja sadrži točke A(1 0) i B(ndash 1 4) a središte pripada osi x

Skiciraj

Rješenje 133

Ponovimo

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 22 2 2 2

2 2 a b a a b b a b a a b b a b a bminus = minus sdot sdot + + = + sdot sdot + minus minus = +

Ako je S(p q) središte kružnice a r njezin polumjer tada središnja jednadžba kružnice glasi

( ) ( )2

2 2

x p y q rminus + minus =

Kada središte S(p q) kružnice pripada osi x tada je ordinata q središta jednaka nuli q = 0 Vrijedi

jednadžba

( ) ( ) ( )2 2 22 2 2

0x p y r x p y rminus + minus = rArr minus + =

Budući da kružnica sadrži dvije točke A i B uvrstit ćemo koordinate točaka u jednadžbu kružnice i

dobiti sustav od dvije jednadžbe sa dvije nepoznanice

bull

( ) ( )

( )( ) ( )

1 02 22 2 2

1 0 1 2 2 2

A x y A

p r p rx p y r

=

rArr minus + = rArr minus =

minus + =

bull

( ) ( )

( )( ) ( )

1 42 22 2 2

1 4 1 16 2 2 2

B x y B

p r p r

x p y r

= minus

rArr minus minus + = rArr + + =

minus + =

Iz sustava jednadžbi dobije se

( )

( )( ) ( )

metoda

komparaci

2 21 2 2

1 1 162 2

1 16je

p rp p

p r

minus =rArr rArr minus = + + rArr

+ + =

2 21 2 1 2 16 2 2 16

2 21 1 2 2 16p p p pp p p ppp +rArr minus sdot + = + sdot + + rArr minus sdot = + sdot + rArr minus sdot = sdot ++ rArr

( )2 2 16 4 16 4 16 4 4p p p p prArr minus sdot minus sdot = rArr minus sdot = rArr minus sdot rArr = minusminus=

Računamo r2

( )( )( ) ( )

2 22 21 2 2 2 2 2

1 4 1 4 5 25

4

p rr r r r

p

minus =rArr minus minus = rArr + = rArr = rArr =

= minus

Jednadžba kružnice glasi

( )( )( ) ( )

24 25 2 22 2

4 25 4 252 2 2

p rx y x y

x p y r

= minus =rArr minus minus + = rArr + + =

minus + =

13

6

5

4

3

2

1

-1

-2

-3

-4

-5

-10 -8 -6 -4 -2 2 4 6

0

y

xS(- 4 0)

B(- 1 4)

A(10)

Vježba 133

Odredi jednadžbu kružnice koja sadrži točke A(ndash 9 0) i B(ndash 1 4) a središte pripada osi x

Rezultat ( )2 2

4 25x y+ + =

Zadatak 134 (Marin ekonomska škola)

Kako glase jednadžbe onih tangenata elipse 2 2

4 9 36x ysdot + sdot = ako je poznat koeficijent

smjera 8

9

k =

Rješenje 134

Ponovimo

1

n a c a d b cn

b d b d

sdot + sdot= + =

sdot

Elipsa kojoj se središte podudara s ishodištem koordinatnog sustava smjer glavne osi s x ndash osi a smjer

sporedne osi s y ndash osi ima jednadžbu

2 22 2 2 2 2 2

i li 12 2

x yb x a y a b

a b

sdot + sdot = sdot + =

Eksplicitni oblik jednadžbe pravca

koeficijent smjera odsječak na y osiy k x l k l= sdot + minus minus

Pravac y = k middot x + l dodiruje elipsu

2 2

12 2

x y

a b+ = ako i samo ako vrijedi

2 2

2 2a k b lsdot + =

Prvo napišemo kanonski oblik elipse

2 24 92 2 2 2

4 9 36 4 9 3 6 136

3636

x yx y x y

sdot sdotsdot + sdot = rArr sdot + sdot = rArr + = rArr

22 24 9

36 3

2 2 91 1

29 4 46

ax y x y

b

=sdot sdot rArr + = rArr + = rArr

=

Iz uvjeta dodira pravca i elipse dobije se odsječak l na y osi tangente

14

2 2 2 2 28 64 642 2 2

9 4 9 4 482 2 9 819 4 9

89

1

a k b ll l l

a b k

sdot + = rArr sdot + = rArr sdot + = rArr sdot + = rArr

= = =

64 64 4 64 36 100 1002 2 2 2 24

9 9 1 9 9 9l l l l l

+rArr + = rArr + = rArr = rArr = rArr = rArr

10

1100 100 102 3

12 12 109 9 32 3

l

l l l

l

=

rArr = rArr = plusmn rArr = plusmn rArr = minus

Jednadžbe tangenata glase

8 10 8 10

9 3 9 3

8 10 8 10

9 3 9 3

y k x l k l y x

y k x l k l y x

= sdot + = = = sdot +

rArr = sdot + = = minus = sdot minus

Vježba 134

Kako glase jednadžbe onih tangenata elipse 2 2

4 9 36x ysdot + sdot = ako je poznat koeficijent

smjera 2

3

k =

Rezultat 2 2

2 2 2 23 3

y x y x= sdot + sdot = sdot minus sdot

Zadatak 135 (Goran srednja škola)

Točka T(6 5) nalazi se na elipsi čija je velika poluos a = 9 Odredite jednadžbu elipse i

udaljenost mentildeu fokusima

Rješenje 135

Ponovimo

2 0a a a= ge

Elipsa kojoj se središte podudara s ishodištem koordinatnog sustava smjer glavne osi s x ndash osi a smjer

sporedne osi s y ndash osi ima jednadžbu

2 22 2 2 2 2 2

i li 12 2

x yb x a y a b

a b

sdot + sdot = sdot + =

Broj e naziva se linearni ekscentricitet elipse

2 2 2

2 2e a b e a b= minus rArr = minus

Fokusi (žarišta) elipse su točke s koordinatama

( ) ( ) 0 0 1 2

F e F eminus

Za realni broj x njegova je apsolutna vrijednost (modul) broj x koji odrentildeujemo na ovaj način

0

0

x xx

x x

ge=

minus lt

Ako je broj x pozitivan ili nula tada je on jednak svojoj apsolutnoj vrijednosti Za svaki x x ge 0

vrijedi x= x

Ako je x negativan broj njegova apsolutna vrijednost je suprotan broj ndash x koji je pozitivan Za svaki x

x lt 0 je x= ndash x

Ili ovako

15

Apsolutna vrijednost realnog broja x definira se

0

0 0

0

x x

x x

x x

gt

= =minus lt

Ako je broj x pozitivan broj onda ga prepišemo | x | = x | 7 | = 7

Ako je broj x negativan broj onda ga pišemo s minusom | x | = ndash x | ndash 4 | = ndash (ndash 4) = 4

Udaljenost točaka ( ) ( ) i A x y B x yB BA A

( ) ( )2 2

AB x x y yB BA A

= minus + minus

Budući da se točka T nalazi na elipsi njezine koordinate uvrstit ćemo u jednadžbu elipse

( ) ( ) 6 52 2 2 2 2 2 2 2

9 6 9 5 9 36 81 25 81

2 2 2 2 2 2

T x y T

a b b b b

b x a y a b

=

= rArr sdot + sdot = sdot rArr sdot + sdot = sdot rArr

sdot + sdot = sdot

2 2 2 2 236 2025 81 36 81 2025 45 2025b b b b brArr sdot + = sdot rArr sdot minus sdot = rArr minus sdot = minus rArr

( )2 2

45 2025 4 455b brArr minus sdot = minus rArr =minus

Jednadžba elipse glasi 2 2

2 22 2 1

12 2

81 45

81 45

x yx y

a b

a b

+ =+ =

= =rArr

Računamo linearni ekscentricitet elipse

2 281 45

81 45 36 62 2

a be e e

e a b

= = rArr = minus rArr = rArr =

= minus

Fokusi elipse imaju koordinate

( ) ( ) ( ) ( ) 0 6 0 0 6 01 1 2 2

F e F F e Fminus = minus =

pa njihova mentildeusobna udaljenost iznosi

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( )( ) ( )

6 01 1 1 1

2 2 6 0 6 6 0 0

2 2 2 2 1 2

2 2

1 2 2 1 2 1

F x y F

F x y F F F

F F x x y y

= minus

= rArr = minus minus + minus rArr

= minus + minus

( )2 2

6 6 0 12 121 2 1 2 1 2

F F F F F FrArr = + + rArr = rArr =

Vježba 135

Točka T(ndash 6 ndash 5) nalazi se na elipsi čija je velika poluos a = 9 Odredite jednadžbu elipse

Rezultat

2 2

181 45

x y+ =

16

Zadatak 136 (Maturanti HTT)

U kojim točkama kružnica x2 + y

2 = 25 siječe koordinatne osi

Rješenje 136

Ponovimo

Točka koja pripada osi y ima apscisujednaku 0

Točka koja pripada osi x ima ordinatujednaku 0

0 x

y

A(x 0)

B(0 y)

Budući da točke u kojima kružnica siječe os x imaju ordinatu jednaku 0 slijedi

2 22 2 2 2 225

0 25 0 25 25 20

5x y

x x x xy

+ =rArr + = rArr + = rArr = rArr = rArr

=

51

25 5 12 12 5

2

xx x

x

= minusrArr = plusmn rArr = plusmn rArr

=

Kružnica siječe os x u dvije točke

( ) ( )5 0 i 5 0 A Bminus

Budući da točke u kojima kružnica siječe os y imaju apscisu jednaku 0 slijedi

2 22 2 2 2 225

0 25 0 25 25 250

x y

y y y yx

+ =rArr + = rArr + = rArr = rArr = rArr

=

51

25 5 12 12 5

2

yy y

y

= minusrArr = plusmn rArr = plusmn rArr

=

Kružnica siječe os y u dvije točke

( ) ( )0 5 i 0 5 C Dminus

Vježba 136

U kojim točkama kružnica x2 + y2 = 9 siječe koordinatne osi

Rezultat ( ) ( ) ( ) ( )3 0 3 0 0 3 0 3 A B C Dminus minus

Zadatak 137 (Maturanti HTT)

Točka S(ndash 2 3) je središte kružnice koja prolazi ishodištem koordinatnoga sustava Kako glasi

jednadžba kružnice

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2

2 3 13 2 3 5A x y B x y+ + minus = + + minus =

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2

2 3 13 2 3 5C x y D x yminus + + = minus + + =

Rješenje 137

Ponovimo

( ) 2

a a=

Ako je S(p q) središte kružnice a r polumjer tada središnja jednadžba kružnice glasi

( ) ( )2

2 2

x p y q rminus + minus =

Neka su A(x1 y1) i B(x2 y2) dvije točke ravnine Tada je udaljenost točaka A i B dana s

17

( ) ( )2

1 1

2

2 2AB x x y y= minus + minus

1inačica

Kružnica sa središtem u točki S(ndash 2 3) ima jednadžbu

( ) ( )

( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )

2 3 2 2 2 22 22 3 2 3

2 2 2

S p q S

x y r x y rx p y q r

= minus

rArr minus minus + minus = rArr + + minus =

minus + minus =

Budući da kružnica prolazi ishodištem koordinatnog sustava koordinate ishodišta uvrstit ćemo u

jednadžbu kružnice i izračunati njezin polumjer

( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) ( )

0 02 2 22 2 2

0 2 0 3 2 32 2 2

2 3

O x y O

r rx y r

=

rArr + + minus = rArr + minus = rArr+ + minus =

2 2 24 9 13 13r r rrArr + = rArr = rArr =

Jednadžba kružnice glasi

( ) ( )2 2

2 3 13x y+ + minus =

Odgovor je pod A

2inačica

Kružnica sa središtem u točki S(ndash 2 3) ima jednadžbu

( ) ( )

( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )

2 3 2 2 2 22 22 3 2 3

2 2 2

S p q S

x y r x y rx p y q r

= minus

rArr minus minus + minus = rArr + + minus =

minus + minus =

Budući da kružnica prolazi ishodištem koordinatnog sustava njezin polumjer jednak je udaljenosti

izmentildeu točaka S i O

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )

2 31 1

0 02 2 2 2 2 2

0 2 0 3 0 2 0 32 2

2 1 2 1

S x y S

O x y O

r r

SO x x y y

r SO

= minus

=

rArr = minus minus + minus rArr = + + minus rArr

= minus + minus

=

( )22

2 3 4 9 13r r rrArr = + minus rArr = + rArr =

Jednadžba kružnice glasi

( ) ( ) ( ) ( ) ( )22 2 2 2

2 3 13 2 3 13x y x y+ + minus = rArr + + minus =

Odgovor je pod A

18

8

7

6

5

4

3

2

1

-1

-2

-8 -6 -4 -2 2 4 6

y

x

S(-2 3)

O(0 0)

Vježba 137 Kružnica sa središtem u točki S(1 1) prolazi ishodištem koordinatnog sustava Kako glasi

jednadžba te kružnice

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2

) 1 1 2 ) 1 1 2A x y B x yminus + + = minus + minus =

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2

) 1 1 1 ) 1 1 1C x y D x y+ + minus = minus + + =

Rezultat B

Zadatak 138 (Ivan gimnazija)

Na slici je prikazana hiperbola i njezina točka A Izračunajte koordinate točke u kojoj tangenta

na tu hiperbolu u točki A siječe os x

Rješenje 138

Ponovimo

1

a

n a dbnc b c

d

sdot= =

sdot

Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i

jedinice

0 1a n a

n nb n b

sdot= ne ne

sdot

Hiperbola kojoj se središte podudara s ishodištem koordinatnog sustava a fokusi leže na osi x ima

jednadžbu (osna jednadžba)

2 22 2 2 2 2

2

12 2

x yb x a y a b

a b

minus = rArr sdot minus sdot = sdot

gdje je a realna poluos b imaginarna poluos

19

Jednadžba tangente u točki T(x1 y1) hiperbole

2 2 2 2ili 1 1 1

1 2 2

1

x x y yb x x a y y a b

a b

sdot sdotsdot sdot minus sdot sdot = sdot minus =

a

2

Sa slike vidi se da je realna poluos hiperbole a = 2

2 2 22 2 4a a a= rArr = rArr =

Budući da točka A pripada hiperboli koordinate točke uvrstit ćemo u jednadžbu hiperbole i izračunati

imaginarnu poluos b

( ) ( )2

4 6 2 2 26 2 36 4 4

2 2 1 1 12 2 24 41

2 2

36

4

a A x y A

x yb b b

a b

= =

rArr minus = rArr minus = rArr minus = rArrminus =

29 4 9 4 2 2 2 21 1 9 4 9 4

2 21

1b b b b b

b b

rArr minus = rArr minus = rArr sdot minus = rArr sdot minus =sdot rArr

4 12 2 2 2 28 4 8 4

8

4 8

8 2b b b b brArr sdot = rArr sdot = rArr = rArr = rArr =

Jednadžba hiperbole glasi

12 24

2 2212 2 14

12 2 2

a bx y

x y

a b

= =

rArr minus =

minus =

Tangenta na hiperbolu prolazi točkom A pa je njezina jednadžba oblika

( ) ( )

12 24

226 2 31 6 2 1 1 4 1

1 1 1 14 2

2 21 1 12 2

6

4

a b

yx y x

A x y A x y

x x y y

a b

= =

sdotsdot sdot sdot

= rArr minus = rArr minus = rArr sdot minus sdot = rArr

sdot sdotminus =

13 3 3 14 1 4 1

2 2 8 4

4y x y x y xrArr minus sdot = minus sdot + rArr minus sdot = minus sdot + rArr = sdotsdot minus minus

Budući da tangenta siječe x os sjecište će imati ordinatu jednaku nula y = 0

20

3 13 1 3 1 2 2

0 0 0 8 48 4 8 4

8

3 330

y xx x x x

y

= sdot minusrArr sdot minus = rArr sdot minus = rArr minus = =sdot rArr

=

Koordinate točke glase

2 0

3

Vježba 138

Na slici je prikazana hiperbola i njezina točka A Izračunajte koordinate točke u kojoj tangenta

na tu hiperbolu u točki A siječe os y

Rezultat 1

0 4

minus

Zadatak 139 (Tina srednja škola)

Zadan je skup svih točaka koje su od točke (2 4) udaljene za 3 Napišite jednadžbu tog skupa i

skicirajte ga u zadanom koordinatnom sustavu

Rješenje 139

Ponovimo

Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) te ravnine

Ako je S(p q) središte kružnice a r polumjer tada središnja jednadžba kružnice glasi

( ) ( )2

2 2

x p y q rminus + minus =

Skup svih točaka koje su od točke (2 4) udaljene za 3 je kružnica sa središtem S(p q) = S(2 4) i

polumjerom r = 3 Njezina jednadžba glasi

( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

2 4 32 2 2 22

2 4 3 2 4 92 2 2

S p q S r

x y x yx p y q r

= =

rArr minus + minus = rArr minus + minus =

minus + minus =

9

8

7

6

5

4

3

2

1

-1

-2

-6 -4 -2 2 4 6 8 10 12

S 2 4(((( ))))

y

x

21

Vježba 139

Zadan je skup svih točaka koje su od točke (4 2) udaljene za 3 Napišite jednadžbu tog skupa

Rezultat ( ) ( )2 2

4 2 9x yminus + minus =

Zadatak 140 (Ivan srednja škola)

Točka T(10 y gt 0) leži na krivulji 2 middot y2 = 5 middot x Koliko je točka T udaljena od žarišta te

krivulje

Rješenje 140

Ponovimo

Parabola kojoj tjeme leži u ishodištu a žarište na pozitivnom dijelu osi apscisa ima jednadžbu

22 y p x= sdot sdot

gdje je p poluparametar parabole tjudaljenost žarišta do ravnalice

Koordinate žarišta (fokusa) F parabole su

02

pF

1

a

n a dbnc b c

d

sdot= =

sdot

Neka su A(x1 y1) i B(x2 y2) dvije točke ravnine Tada je udaljenost točaka A i B dana formulom

( ) ( )2

1 1

2

2 2AB x x y y= minus + minus

2

a c a d b c a c a d b c

a ab d b d b d b d

sdot minus sdot sdot + sdotminus = + = =

sdot sdot

Uočimo da je krivulja parabola

52 2 22 5 2 5 2

2y x y x y xsdot = sdot rArr sdot = sdot rArr = sdot

Njezin poluparametar p iznosi

22

5 5 52 2 52 2 2 4

2

1

2

y p x

p p py x

= sdot sdot

rArr sdot sdot= rArr sdot = rArr =

= sdot

Tada žarište (fokus) parabole ima koordinate

5 5 052 4 4 0 0 0

22 85

14

pF

F F F

p

rArr rArr rArr

=

Budući da točka T pripada paraboli uvrstit ćemo koordinate točke u jednadžbu parabole i izračunati

ordinatu y

( ) ( ) 105 52 2 2 2

10 25 25522

10 2

2

T x y T y

y y y yy x

=

rArr = sdot rArr = sdot rArr = rArr = rArr= sdot

22

( ) ( )nije rješenj

51

25 5e zbog 0

10 5 12 5

2y

yy y T x y T

y

=rArr = plusmn rArr rArr = rArr =

gt= minus

Računamo udaljenost izmentildeu točaka T i F

( ) ( )

( )

( ) ( )

( )

10 51 1

25 5 2

0 10 0 52 2 8 8

2 2

2 1 2 1

T x y T

F x y F TF

TF x x y y

=

= rArr = minus + minus rArr

= minus + minus

( )2 2 2

5 10 5 80 7525 25 25

8 1 8 8TF TF TF

minusrArr = minus + minus rArr = + rArr = minus + rArr

5625 5625 25 5625 160025

64 64 1 64TF TF TF

+rArr = + rArr = + rArr = rArr

7 225 8510625

64 8TF TF TFrArr = rArr = rArr =

Vježba 140

Točka T(10 y lt 0) leži na krivulji 2 middot y2 = 5 middot x Koliko je točka T udaljena od žarišta te

krivulje

Rezultat 10625

8

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2

3 2 2 5 1 3 1 9 10r r r rrArr = minus + + minus rArr = minus + minus rArr = + rArr =

Odgovor je pod A

Vježba 128

Kružnica k prolazi točkom T(ndash 6 2) i ima isto središte kao i kružnica zadana jednadžbom

(x + 2)2 + (y ndash 5)

2 = 20 Koliki je polumjer kružnice k

3 4 5 6A B C D

Rezultat C

Zadatak 129 (Anita ekonomska škola)

Točka T(6 5) nalazi se na elipsi čija je velika poluos a = 9 Odredite jednadžbu elipse i

udaljenost mentildeu fokusima

Rješenje 129

Ponovimo

Elipsa kojoj se središte podudara s ishodištem koordinatnog sustava smjer glavne osi s x ndash osi a smjer

sporedne osi s y ndash osi ima jednadžbu

2 22 2 2 2 2 2

i li 12 2

x yb x a y a b

a b

sdot + sdot = sdot + =

Broj e naziva se linearni ekscentricitet elipse

2 2 2e a b= minus

Koordinate fokusa F1 i F2 elipse su

( ) ( ) 0 0 1 2

F e F eminus

Budući da točka pripada elipsi koordinate točke uvrstit ćemo u jednadžbu elipse i izračunati malu

poluos b elipse

( ) ( ) 6 5

2 2 2 2 2 2 2 29 6 9 5 9 36 2 025 81

2 2 2 2 2 2

T x y T

a b b b b

b x a y a b

=

= rArr sdot + sdot = sdot rArr sdot + = sdot rArr

sdot + sdot = sdot

( )2 2 2 2 2

36 81 2 025 45 20 25 45 2 425 550 4b b b b bminusrArr sdot minus sdot = minus rArr minus sdot = minus rArr minus sdot = minus rArr =

Jednadžba elipse glasi

2 281 45 2 2 2 2

45 81 81 45 45 81 36452 2 2 2 2 2

a bx y x y

b x a y a b

= =rArr sdot + sdot = sdot rArr sdot + sdot =

sdot + sdot = sdot

Računamo linearni ekscentricitet elipse

2 281 45 2 2 2

81 45 36 36 36 2 2

62

a be e e e e

e a b

= =rArr = minus rArr = rArr = rArr = rArr =

= minus

Koordinate fokusa elipse iznose

( )

( )( )

( )

01 6 0

1 0

2 6 02

6

F eF

F eF

e

minusminus

rArr

=

pa je njihova mentildeusoba udaljenost jednaka

9

2 2 6 121 2 1 2 1 2

F F e F F F F= sdot rArr = sdot rArr =

Vježba 129

Točka T(ndash 6 ndash 5) nalazi se na elipsi čija je velika poluos a = 9 Odredite jednadžbu elipse i

udaljenost mentildeu fokusima

Rezultat 2 2

45 81 3645 121 2

x y F Fsdot + sdot = =

Zadatak 130 (Ana gimnazija)

Napiši jednadžbu elipse čiji fokus je ( )24 0 i 5 F a b= sdot

Rješenje 130

Ponovimo

( ) ( )2

n n n

a b b a a b a b a a= rArr = sdot = sdot =

Elipsa kojoj se središte podudara s ishodištem koordinatnog sustava smjer glavne osi s x ndash osi a smjer

sporedne osi s y ndash osi ima jednadžbu

2 22 2 2 2 2 2

i li 12 2

x yb x a y a b

a b

sdot + sdot = sdot + =

gdje su a i b velika i mala poluos

Broj e naziva se linearni ekscentricitet elipse

2 2 2e a b= minus

Koordinate fokusa (žarišta) F1 i F2 elipse su

( ) ( ) 0 0 1 2

F e F eminus

( ) ( )

( )metoda

supstitucij

0 24 0 2422 2

5 5 24e

5

2 2 2 2 2 2

F e F e

a b a b b b

e a b e a b

= =

= sdot rArr = sdot rArr rArr = sdot minus rArr

= minus = minus

2 2 2 2 2 2576 5 576 4 4 576 4 576 14 4 4b b b b b brArr = sdot minus rArr = sdot rArr sdot = rArr sdot = rArr =

Računamo a2

2 2 25 5 5 2 25 144 720

2 2 2144 144 1

44

a b a b a ba a

b b b

= sdot = sdot = sdotrArr rArr rArr = sdot rArr =

= = =

Kanonska ili osna jednadžba elipse glasi

2 2720 144 2 2

2 2 1720 1441

2 2

a bx y

x y

a b

= =

rArr + =

+ =

Vježba 130

Napiši jednadžbu elipse čiji fokus je ( )24 0 i 5 F a bminus = sdot

Rezultat

2 2

1720 144

x y+ =

10

Zadatak 131 (Ana gimnazija)

Odredimo jednadžbu hiperbole s fokusima na y ndash osi koja sadrži točke A(ndash 1 2) i B(7 10)

Rješenje 131

Ponovimo

1a

a bb

= rArr =

Neka je zadana hiperbola čiji fokusi leže na y ndash osi a središte hiperbole je ishodište koordinatnog

sustava Jednadžba takve hiperbole glasi

2 2

12

2

x y

b a

minus = minus

Budući da hiperbola sadrži točke A i B uvrstit ćemo koordinate točaka u jednadžbu hiperbole i dobiti

sustav jednadžbi

( ) ( )

( ) ( )

( )22 2 2

1 1 42 1 2 1 11

2 2 2 22 2

2 2 2 2 49 1007 10 1 7 10 1 1 2 22 2 2 2

x yA x y A

b a b ab a

x yB x y B

b ab a b a

minus= minus minus = minus minus = minusminus = minus

rArr rArr rArr

minus = minus= minus = minus minus = minus

( )1 4 49 196

1 492 2 2 2

49 100 49 1001 1

2 2 2

2

49metoda suprotnih

koeficijenata

b a b a

b a b a

minus = minus =

rArr rArr rArr

minus = minus minus = minus

sdot

minus + rArr

minus

96 96 248 48 2

2 2

2

48

aa

a a

rArr = rArr sdot= rArr =

Računamo b2

1 41 1 4 1 1 1 22 2

1 2 1 1 2 1 12 2 2 222

2

bb a

b b b ba

minus = minus

rArr minus = minus rArr minus = minus rArr = minus + rArr = rArr =

=

Jednadžba hiperbole glasi

2 22 1 2 2 2

22 2 1 1

1 2 212 2

a bx y y

xx y

b a

= =

rArr minus = minus rArr minus = minus

minus = minus

Vježba 131

Odredimo jednadžbu hiperbole s fokusima na y ndash osi koja sadrži točke A(1 2) i B(ndash 7 10)

Rezultat

22

12

yx minus = minus

Zadatak 132 (Ivana ekonomska škola)

Odredi jednadžbu kružnice polumjera r = 5 koja dodiruje os x i prolazi točkom T(ndash 2 2)

Skiciraj

Rješenje 132

Ponovimo

11

( ) ( )2 2

a b a bminus minus = +

Ako je S(p q) središte kružnice a r njezin polumjer tada središnja jednadžba kružnice glasi

( ) ( )2

2 2

x p y q rminus + minus =

Kada kružnica dira os x točka diranja je od središta udaljena upravo onoliko koliko je os x udaljena

od središta tj polumjer kružnice jednak je udaljenosti središta S(p q) do osi x Vrijedi

q r q r= = minus

pa postoje dvije jednadžbe

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2

2 2

x p y r r x p y r rminus + minus = minus + + =

Točka T je iznad osi x i zato promatramo kružnicu koja dira os x iznad osi x Ako je iznad tada je

polumjer upravo jednak q

55

q rq

r

=rArr =

=

Budući da kružnica prolazi točkom T koordinate točke uvrstit ćemo u jednadžbu kružnice

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

5 52 2 2 22 2

2 2 2 2 5 5 2 3 5

2 2 2

q r

T x y T p p

x p y q r

= =

= minus rArr minus minus + minus = rArr minus minus + minus = rArr

minus + minus =

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2

2 9 25 2 25 9 2 16 2 1 6p p p prArr + + = rArr + = minus rArr + = rArr + = rArr

22 4 4 2 12 16 2 4

2 4 4 2 62

pp pp p

p p p

=+ = = minusrArr + = plusmn rArr + = plusmn rArr rArr rArr

+ = minus = minus minus = minus

Postoje dvije kružnice sa zadanim uvjetima

bull

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

2 5 5 2 2 2 222 5 5 2 5 252 2 2

p q rx y x y

x p y q r

= = =

rArr minus + minus = rArr minus + minus =minus + minus =

bull

( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )

6 5 5 2 2 2 226 5 5 6 5 252 2 2

p q rx y x y

x p y q r

= minus = =

rArr minus minus + minus = rArr + + minus =minus + minus =

-10 -5 5 10

14

12

10

8

6

4

2

0

y

x

S(- 6 5)

S(2 5)

T

12

Vježba 132

Odredi jednadžbu kružnice polumjera r = 5 koja dodiruje os x i prolazi točkom T(ndash 2 8)

Rezultat ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2

2 5 25 6 5 25x y x yminus + minus = + + minus =

Zadatak 133 (Ivana ekonomska škola)

Odredi jednadžbu kružnice koja sadrži točke A(1 0) i B(ndash 1 4) a središte pripada osi x

Skiciraj

Rješenje 133

Ponovimo

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 22 2 2 2

2 2 a b a a b b a b a a b b a b a bminus = minus sdot sdot + + = + sdot sdot + minus minus = +

Ako je S(p q) središte kružnice a r njezin polumjer tada središnja jednadžba kružnice glasi

( ) ( )2

2 2

x p y q rminus + minus =

Kada središte S(p q) kružnice pripada osi x tada je ordinata q središta jednaka nuli q = 0 Vrijedi

jednadžba

( ) ( ) ( )2 2 22 2 2

0x p y r x p y rminus + minus = rArr minus + =

Budući da kružnica sadrži dvije točke A i B uvrstit ćemo koordinate točaka u jednadžbu kružnice i

dobiti sustav od dvije jednadžbe sa dvije nepoznanice

bull

( ) ( )

( )( ) ( )

1 02 22 2 2

1 0 1 2 2 2

A x y A

p r p rx p y r

=

rArr minus + = rArr minus =

minus + =

bull

( ) ( )

( )( ) ( )

1 42 22 2 2

1 4 1 16 2 2 2

B x y B

p r p r

x p y r

= minus

rArr minus minus + = rArr + + =

minus + =

Iz sustava jednadžbi dobije se

( )

( )( ) ( )

metoda

komparaci

2 21 2 2

1 1 162 2

1 16je

p rp p

p r

minus =rArr rArr minus = + + rArr

+ + =

2 21 2 1 2 16 2 2 16

2 21 1 2 2 16p p p pp p p ppp +rArr minus sdot + = + sdot + + rArr minus sdot = + sdot + rArr minus sdot = sdot ++ rArr

( )2 2 16 4 16 4 16 4 4p p p p prArr minus sdot minus sdot = rArr minus sdot = rArr minus sdot rArr = minusminus=

Računamo r2

( )( )( ) ( )

2 22 21 2 2 2 2 2

1 4 1 4 5 25

4

p rr r r r

p

minus =rArr minus minus = rArr + = rArr = rArr =

= minus

Jednadžba kružnice glasi

( )( )( ) ( )

24 25 2 22 2

4 25 4 252 2 2

p rx y x y

x p y r

= minus =rArr minus minus + = rArr + + =

minus + =

13

6

5

4

3

2

1

-1

-2

-3

-4

-5

-10 -8 -6 -4 -2 2 4 6

0

y

xS(- 4 0)

B(- 1 4)

A(10)

Vježba 133

Odredi jednadžbu kružnice koja sadrži točke A(ndash 9 0) i B(ndash 1 4) a središte pripada osi x

Rezultat ( )2 2

4 25x y+ + =

Zadatak 134 (Marin ekonomska škola)

Kako glase jednadžbe onih tangenata elipse 2 2

4 9 36x ysdot + sdot = ako je poznat koeficijent

smjera 8

9

k =

Rješenje 134

Ponovimo

1

n a c a d b cn

b d b d

sdot + sdot= + =

sdot

Elipsa kojoj se središte podudara s ishodištem koordinatnog sustava smjer glavne osi s x ndash osi a smjer

sporedne osi s y ndash osi ima jednadžbu

2 22 2 2 2 2 2

i li 12 2

x yb x a y a b

a b

sdot + sdot = sdot + =

Eksplicitni oblik jednadžbe pravca

koeficijent smjera odsječak na y osiy k x l k l= sdot + minus minus

Pravac y = k middot x + l dodiruje elipsu

2 2

12 2

x y

a b+ = ako i samo ako vrijedi

2 2

2 2a k b lsdot + =

Prvo napišemo kanonski oblik elipse

2 24 92 2 2 2

4 9 36 4 9 3 6 136

3636

x yx y x y

sdot sdotsdot + sdot = rArr sdot + sdot = rArr + = rArr

22 24 9

36 3

2 2 91 1

29 4 46

ax y x y

b

=sdot sdot rArr + = rArr + = rArr

=

Iz uvjeta dodira pravca i elipse dobije se odsječak l na y osi tangente

14

2 2 2 2 28 64 642 2 2

9 4 9 4 482 2 9 819 4 9

89

1

a k b ll l l

a b k

sdot + = rArr sdot + = rArr sdot + = rArr sdot + = rArr

= = =

64 64 4 64 36 100 1002 2 2 2 24

9 9 1 9 9 9l l l l l

+rArr + = rArr + = rArr = rArr = rArr = rArr

10

1100 100 102 3

12 12 109 9 32 3

l

l l l

l

=

rArr = rArr = plusmn rArr = plusmn rArr = minus

Jednadžbe tangenata glase

8 10 8 10

9 3 9 3

8 10 8 10

9 3 9 3

y k x l k l y x

y k x l k l y x

= sdot + = = = sdot +

rArr = sdot + = = minus = sdot minus

Vježba 134

Kako glase jednadžbe onih tangenata elipse 2 2

4 9 36x ysdot + sdot = ako je poznat koeficijent

smjera 2

3

k =

Rezultat 2 2

2 2 2 23 3

y x y x= sdot + sdot = sdot minus sdot

Zadatak 135 (Goran srednja škola)

Točka T(6 5) nalazi se na elipsi čija je velika poluos a = 9 Odredite jednadžbu elipse i

udaljenost mentildeu fokusima

Rješenje 135

Ponovimo

2 0a a a= ge

Elipsa kojoj se središte podudara s ishodištem koordinatnog sustava smjer glavne osi s x ndash osi a smjer

sporedne osi s y ndash osi ima jednadžbu

2 22 2 2 2 2 2

i li 12 2

x yb x a y a b

a b

sdot + sdot = sdot + =

Broj e naziva se linearni ekscentricitet elipse

2 2 2

2 2e a b e a b= minus rArr = minus

Fokusi (žarišta) elipse su točke s koordinatama

( ) ( ) 0 0 1 2

F e F eminus

Za realni broj x njegova je apsolutna vrijednost (modul) broj x koji odrentildeujemo na ovaj način

0

0

x xx

x x

ge=

minus lt

Ako je broj x pozitivan ili nula tada je on jednak svojoj apsolutnoj vrijednosti Za svaki x x ge 0

vrijedi x= x

Ako je x negativan broj njegova apsolutna vrijednost je suprotan broj ndash x koji je pozitivan Za svaki x

x lt 0 je x= ndash x

Ili ovako

15

Apsolutna vrijednost realnog broja x definira se

0

0 0

0

x x

x x

x x

gt

= =minus lt

Ako je broj x pozitivan broj onda ga prepišemo | x | = x | 7 | = 7

Ako je broj x negativan broj onda ga pišemo s minusom | x | = ndash x | ndash 4 | = ndash (ndash 4) = 4

Udaljenost točaka ( ) ( ) i A x y B x yB BA A

( ) ( )2 2

AB x x y yB BA A

= minus + minus

Budući da se točka T nalazi na elipsi njezine koordinate uvrstit ćemo u jednadžbu elipse

( ) ( ) 6 52 2 2 2 2 2 2 2

9 6 9 5 9 36 81 25 81

2 2 2 2 2 2

T x y T

a b b b b

b x a y a b

=

= rArr sdot + sdot = sdot rArr sdot + sdot = sdot rArr

sdot + sdot = sdot

2 2 2 2 236 2025 81 36 81 2025 45 2025b b b b brArr sdot + = sdot rArr sdot minus sdot = rArr minus sdot = minus rArr

( )2 2

45 2025 4 455b brArr minus sdot = minus rArr =minus

Jednadžba elipse glasi 2 2

2 22 2 1

12 2

81 45

81 45

x yx y

a b

a b

+ =+ =

= =rArr

Računamo linearni ekscentricitet elipse

2 281 45

81 45 36 62 2

a be e e

e a b

= = rArr = minus rArr = rArr =

= minus

Fokusi elipse imaju koordinate

( ) ( ) ( ) ( ) 0 6 0 0 6 01 1 2 2

F e F F e Fminus = minus =

pa njihova mentildeusobna udaljenost iznosi

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( )( ) ( )

6 01 1 1 1

2 2 6 0 6 6 0 0

2 2 2 2 1 2

2 2

1 2 2 1 2 1

F x y F

F x y F F F

F F x x y y

= minus

= rArr = minus minus + minus rArr

= minus + minus

( )2 2

6 6 0 12 121 2 1 2 1 2

F F F F F FrArr = + + rArr = rArr =

Vježba 135

Točka T(ndash 6 ndash 5) nalazi se na elipsi čija je velika poluos a = 9 Odredite jednadžbu elipse

Rezultat

2 2

181 45

x y+ =

16

Zadatak 136 (Maturanti HTT)

U kojim točkama kružnica x2 + y

2 = 25 siječe koordinatne osi

Rješenje 136

Ponovimo

Točka koja pripada osi y ima apscisujednaku 0

Točka koja pripada osi x ima ordinatujednaku 0

0 x

y

A(x 0)

B(0 y)

Budući da točke u kojima kružnica siječe os x imaju ordinatu jednaku 0 slijedi

2 22 2 2 2 225

0 25 0 25 25 20

5x y

x x x xy

+ =rArr + = rArr + = rArr = rArr = rArr

=

51

25 5 12 12 5

2

xx x

x

= minusrArr = plusmn rArr = plusmn rArr

=

Kružnica siječe os x u dvije točke

( ) ( )5 0 i 5 0 A Bminus

Budući da točke u kojima kružnica siječe os y imaju apscisu jednaku 0 slijedi

2 22 2 2 2 225

0 25 0 25 25 250

x y

y y y yx

+ =rArr + = rArr + = rArr = rArr = rArr

=

51

25 5 12 12 5

2

yy y

y

= minusrArr = plusmn rArr = plusmn rArr

=

Kružnica siječe os y u dvije točke

( ) ( )0 5 i 0 5 C Dminus

Vježba 136

U kojim točkama kružnica x2 + y2 = 9 siječe koordinatne osi

Rezultat ( ) ( ) ( ) ( )3 0 3 0 0 3 0 3 A B C Dminus minus

Zadatak 137 (Maturanti HTT)

Točka S(ndash 2 3) je središte kružnice koja prolazi ishodištem koordinatnoga sustava Kako glasi

jednadžba kružnice

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2

2 3 13 2 3 5A x y B x y+ + minus = + + minus =

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2

2 3 13 2 3 5C x y D x yminus + + = minus + + =

Rješenje 137

Ponovimo

( ) 2

a a=

Ako je S(p q) središte kružnice a r polumjer tada središnja jednadžba kružnice glasi

( ) ( )2

2 2

x p y q rminus + minus =

Neka su A(x1 y1) i B(x2 y2) dvije točke ravnine Tada je udaljenost točaka A i B dana s

17

( ) ( )2

1 1

2

2 2AB x x y y= minus + minus

1inačica

Kružnica sa središtem u točki S(ndash 2 3) ima jednadžbu

( ) ( )

( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )

2 3 2 2 2 22 22 3 2 3

2 2 2

S p q S

x y r x y rx p y q r

= minus

rArr minus minus + minus = rArr + + minus =

minus + minus =

Budući da kružnica prolazi ishodištem koordinatnog sustava koordinate ishodišta uvrstit ćemo u

jednadžbu kružnice i izračunati njezin polumjer

( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) ( )

0 02 2 22 2 2

0 2 0 3 2 32 2 2

2 3

O x y O

r rx y r

=

rArr + + minus = rArr + minus = rArr+ + minus =

2 2 24 9 13 13r r rrArr + = rArr = rArr =

Jednadžba kružnice glasi

( ) ( )2 2

2 3 13x y+ + minus =

Odgovor je pod A

2inačica

Kružnica sa središtem u točki S(ndash 2 3) ima jednadžbu

( ) ( )

( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )

2 3 2 2 2 22 22 3 2 3

2 2 2

S p q S

x y r x y rx p y q r

= minus

rArr minus minus + minus = rArr + + minus =

minus + minus =

Budući da kružnica prolazi ishodištem koordinatnog sustava njezin polumjer jednak je udaljenosti

izmentildeu točaka S i O

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )

2 31 1

0 02 2 2 2 2 2

0 2 0 3 0 2 0 32 2

2 1 2 1

S x y S

O x y O

r r

SO x x y y

r SO

= minus

=

rArr = minus minus + minus rArr = + + minus rArr

= minus + minus

=

( )22

2 3 4 9 13r r rrArr = + minus rArr = + rArr =

Jednadžba kružnice glasi

( ) ( ) ( ) ( ) ( )22 2 2 2

2 3 13 2 3 13x y x y+ + minus = rArr + + minus =

Odgovor je pod A

18

8

7

6

5

4

3

2

1

-1

-2

-8 -6 -4 -2 2 4 6

y

x

S(-2 3)

O(0 0)

Vježba 137 Kružnica sa središtem u točki S(1 1) prolazi ishodištem koordinatnog sustava Kako glasi

jednadžba te kružnice

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2

) 1 1 2 ) 1 1 2A x y B x yminus + + = minus + minus =

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2

) 1 1 1 ) 1 1 1C x y D x y+ + minus = minus + + =

Rezultat B

Zadatak 138 (Ivan gimnazija)

Na slici je prikazana hiperbola i njezina točka A Izračunajte koordinate točke u kojoj tangenta

na tu hiperbolu u točki A siječe os x

Rješenje 138

Ponovimo

1

a

n a dbnc b c

d

sdot= =

sdot

Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i

jedinice

0 1a n a

n nb n b

sdot= ne ne

sdot

Hiperbola kojoj se središte podudara s ishodištem koordinatnog sustava a fokusi leže na osi x ima

jednadžbu (osna jednadžba)

2 22 2 2 2 2

2

12 2

x yb x a y a b

a b

minus = rArr sdot minus sdot = sdot

gdje je a realna poluos b imaginarna poluos

19

Jednadžba tangente u točki T(x1 y1) hiperbole

2 2 2 2ili 1 1 1

1 2 2

1

x x y yb x x a y y a b

a b

sdot sdotsdot sdot minus sdot sdot = sdot minus =

a

2

Sa slike vidi se da je realna poluos hiperbole a = 2

2 2 22 2 4a a a= rArr = rArr =

Budući da točka A pripada hiperboli koordinate točke uvrstit ćemo u jednadžbu hiperbole i izračunati

imaginarnu poluos b

( ) ( )2

4 6 2 2 26 2 36 4 4

2 2 1 1 12 2 24 41

2 2

36

4

a A x y A

x yb b b

a b

= =

rArr minus = rArr minus = rArr minus = rArrminus =

29 4 9 4 2 2 2 21 1 9 4 9 4

2 21

1b b b b b

b b

rArr minus = rArr minus = rArr sdot minus = rArr sdot minus =sdot rArr

4 12 2 2 2 28 4 8 4

8

4 8

8 2b b b b brArr sdot = rArr sdot = rArr = rArr = rArr =

Jednadžba hiperbole glasi

12 24

2 2212 2 14

12 2 2

a bx y

x y

a b

= =

rArr minus =

minus =

Tangenta na hiperbolu prolazi točkom A pa je njezina jednadžba oblika

( ) ( )

12 24

226 2 31 6 2 1 1 4 1

1 1 1 14 2

2 21 1 12 2

6

4

a b

yx y x

A x y A x y

x x y y

a b

= =

sdotsdot sdot sdot

= rArr minus = rArr minus = rArr sdot minus sdot = rArr

sdot sdotminus =

13 3 3 14 1 4 1

2 2 8 4

4y x y x y xrArr minus sdot = minus sdot + rArr minus sdot = minus sdot + rArr = sdotsdot minus minus

Budući da tangenta siječe x os sjecište će imati ordinatu jednaku nula y = 0

20

3 13 1 3 1 2 2

0 0 0 8 48 4 8 4

8

3 330

y xx x x x

y

= sdot minusrArr sdot minus = rArr sdot minus = rArr minus = =sdot rArr

=

Koordinate točke glase

2 0

3

Vježba 138

Na slici je prikazana hiperbola i njezina točka A Izračunajte koordinate točke u kojoj tangenta

na tu hiperbolu u točki A siječe os y

Rezultat 1

0 4

minus

Zadatak 139 (Tina srednja škola)

Zadan je skup svih točaka koje su od točke (2 4) udaljene za 3 Napišite jednadžbu tog skupa i

skicirajte ga u zadanom koordinatnom sustavu

Rješenje 139

Ponovimo

Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) te ravnine

Ako je S(p q) središte kružnice a r polumjer tada središnja jednadžba kružnice glasi

( ) ( )2

2 2

x p y q rminus + minus =

Skup svih točaka koje su od točke (2 4) udaljene za 3 je kružnica sa središtem S(p q) = S(2 4) i

polumjerom r = 3 Njezina jednadžba glasi

( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

2 4 32 2 2 22

2 4 3 2 4 92 2 2

S p q S r

x y x yx p y q r

= =

rArr minus + minus = rArr minus + minus =

minus + minus =

9

8

7

6

5

4

3

2

1

-1

-2

-6 -4 -2 2 4 6 8 10 12

S 2 4(((( ))))

y

x

21

Vježba 139

Zadan je skup svih točaka koje su od točke (4 2) udaljene za 3 Napišite jednadžbu tog skupa

Rezultat ( ) ( )2 2

4 2 9x yminus + minus =

Zadatak 140 (Ivan srednja škola)

Točka T(10 y gt 0) leži na krivulji 2 middot y2 = 5 middot x Koliko je točka T udaljena od žarišta te

krivulje

Rješenje 140

Ponovimo

Parabola kojoj tjeme leži u ishodištu a žarište na pozitivnom dijelu osi apscisa ima jednadžbu

22 y p x= sdot sdot

gdje je p poluparametar parabole tjudaljenost žarišta do ravnalice

Koordinate žarišta (fokusa) F parabole su

02

pF

1

a

n a dbnc b c

d

sdot= =

sdot

Neka su A(x1 y1) i B(x2 y2) dvije točke ravnine Tada je udaljenost točaka A i B dana formulom

( ) ( )2

1 1

2

2 2AB x x y y= minus + minus

2

a c a d b c a c a d b c

a ab d b d b d b d

sdot minus sdot sdot + sdotminus = + = =

sdot sdot

Uočimo da je krivulja parabola

52 2 22 5 2 5 2

2y x y x y xsdot = sdot rArr sdot = sdot rArr = sdot

Njezin poluparametar p iznosi

22

5 5 52 2 52 2 2 4

2

1

2

y p x

p p py x

= sdot sdot

rArr sdot sdot= rArr sdot = rArr =

= sdot

Tada žarište (fokus) parabole ima koordinate

5 5 052 4 4 0 0 0

22 85

14

pF

F F F

p

rArr rArr rArr

=

Budući da točka T pripada paraboli uvrstit ćemo koordinate točke u jednadžbu parabole i izračunati

ordinatu y

( ) ( ) 105 52 2 2 2

10 25 25522

10 2

2

T x y T y

y y y yy x

=

rArr = sdot rArr = sdot rArr = rArr = rArr= sdot

22

( ) ( )nije rješenj

51

25 5e zbog 0

10 5 12 5

2y

yy y T x y T

y

=rArr = plusmn rArr rArr = rArr =

gt= minus

Računamo udaljenost izmentildeu točaka T i F

( ) ( )

( )

( ) ( )

( )

10 51 1

25 5 2

0 10 0 52 2 8 8

2 2

2 1 2 1

T x y T

F x y F TF

TF x x y y

=

= rArr = minus + minus rArr

= minus + minus

( )2 2 2

5 10 5 80 7525 25 25

8 1 8 8TF TF TF

minusrArr = minus + minus rArr = + rArr = minus + rArr

5625 5625 25 5625 160025

64 64 1 64TF TF TF

+rArr = + rArr = + rArr = rArr

7 225 8510625

64 8TF TF TFrArr = rArr = rArr =

Vježba 140

Točka T(10 y lt 0) leži na krivulji 2 middot y2 = 5 middot x Koliko je točka T udaljena od žarišta te

krivulje

Rezultat 10625

9

2 2 6 121 2 1 2 1 2

F F e F F F F= sdot rArr = sdot rArr =

Vježba 129

Točka T(ndash 6 ndash 5) nalazi se na elipsi čija je velika poluos a = 9 Odredite jednadžbu elipse i

udaljenost mentildeu fokusima

Rezultat 2 2

45 81 3645 121 2

x y F Fsdot + sdot = =

Zadatak 130 (Ana gimnazija)

Napiši jednadžbu elipse čiji fokus je ( )24 0 i 5 F a b= sdot

Rješenje 130

Ponovimo

( ) ( )2

n n n

a b b a a b a b a a= rArr = sdot = sdot =

Elipsa kojoj se središte podudara s ishodištem koordinatnog sustava smjer glavne osi s x ndash osi a smjer

sporedne osi s y ndash osi ima jednadžbu

2 22 2 2 2 2 2

i li 12 2

x yb x a y a b

a b

sdot + sdot = sdot + =

gdje su a i b velika i mala poluos

Broj e naziva se linearni ekscentricitet elipse

2 2 2e a b= minus

Koordinate fokusa (žarišta) F1 i F2 elipse su

( ) ( ) 0 0 1 2

F e F eminus

( ) ( )

( )metoda

supstitucij

0 24 0 2422 2

5 5 24e

5

2 2 2 2 2 2

F e F e

a b a b b b

e a b e a b

= =

= sdot rArr = sdot rArr rArr = sdot minus rArr

= minus = minus

2 2 2 2 2 2576 5 576 4 4 576 4 576 14 4 4b b b b b brArr = sdot minus rArr = sdot rArr sdot = rArr sdot = rArr =

Računamo a2

2 2 25 5 5 2 25 144 720

2 2 2144 144 1

44

a b a b a ba a

b b b

= sdot = sdot = sdotrArr rArr rArr = sdot rArr =

= = =

Kanonska ili osna jednadžba elipse glasi

2 2720 144 2 2

2 2 1720 1441

2 2

a bx y

x y

a b

= =

rArr + =

+ =

Vježba 130

Napiši jednadžbu elipse čiji fokus je ( )24 0 i 5 F a bminus = sdot

Rezultat

2 2

1720 144

x y+ =

10

Zadatak 131 (Ana gimnazija)

Odredimo jednadžbu hiperbole s fokusima na y ndash osi koja sadrži točke A(ndash 1 2) i B(7 10)

Rješenje 131

Ponovimo

1a

a bb

= rArr =

Neka je zadana hiperbola čiji fokusi leže na y ndash osi a središte hiperbole je ishodište koordinatnog

sustava Jednadžba takve hiperbole glasi

2 2

12

2

x y

b a

minus = minus

Budući da hiperbola sadrži točke A i B uvrstit ćemo koordinate točaka u jednadžbu hiperbole i dobiti

sustav jednadžbi

( ) ( )

( ) ( )

( )22 2 2

1 1 42 1 2 1 11

2 2 2 22 2

2 2 2 2 49 1007 10 1 7 10 1 1 2 22 2 2 2

x yA x y A

b a b ab a

x yB x y B

b ab a b a

minus= minus minus = minus minus = minusminus = minus

rArr rArr rArr

minus = minus= minus = minus minus = minus

( )1 4 49 196

1 492 2 2 2

49 100 49 1001 1

2 2 2

2

49metoda suprotnih

koeficijenata

b a b a

b a b a

minus = minus =

rArr rArr rArr

minus = minus minus = minus

sdot

minus + rArr

minus

96 96 248 48 2

2 2

2

48

aa

a a

rArr = rArr sdot= rArr =

Računamo b2

1 41 1 4 1 1 1 22 2

1 2 1 1 2 1 12 2 2 222

2

bb a

b b b ba

minus = minus

rArr minus = minus rArr minus = minus rArr = minus + rArr = rArr =

=

Jednadžba hiperbole glasi

2 22 1 2 2 2

22 2 1 1

1 2 212 2

a bx y y

xx y

b a

= =

rArr minus = minus rArr minus = minus

minus = minus

Vježba 131

Odredimo jednadžbu hiperbole s fokusima na y ndash osi koja sadrži točke A(1 2) i B(ndash 7 10)

Rezultat

22

12

yx minus = minus

Zadatak 132 (Ivana ekonomska škola)

Odredi jednadžbu kružnice polumjera r = 5 koja dodiruje os x i prolazi točkom T(ndash 2 2)

Skiciraj

Rješenje 132

Ponovimo

11

( ) ( )2 2

a b a bminus minus = +

Ako je S(p q) središte kružnice a r njezin polumjer tada središnja jednadžba kružnice glasi

( ) ( )2

2 2

x p y q rminus + minus =

Kada kružnica dira os x točka diranja je od središta udaljena upravo onoliko koliko je os x udaljena

od središta tj polumjer kružnice jednak je udaljenosti središta S(p q) do osi x Vrijedi

q r q r= = minus

pa postoje dvije jednadžbe

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2

2 2

x p y r r x p y r rminus + minus = minus + + =

Točka T je iznad osi x i zato promatramo kružnicu koja dira os x iznad osi x Ako je iznad tada je

polumjer upravo jednak q

55

q rq

r

=rArr =

=

Budući da kružnica prolazi točkom T koordinate točke uvrstit ćemo u jednadžbu kružnice

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

5 52 2 2 22 2

2 2 2 2 5 5 2 3 5

2 2 2

q r

T x y T p p

x p y q r

= =

= minus rArr minus minus + minus = rArr minus minus + minus = rArr

minus + minus =

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2

2 9 25 2 25 9 2 16 2 1 6p p p prArr + + = rArr + = minus rArr + = rArr + = rArr

22 4 4 2 12 16 2 4

2 4 4 2 62

pp pp p

p p p

=+ = = minusrArr + = plusmn rArr + = plusmn rArr rArr rArr

+ = minus = minus minus = minus

Postoje dvije kružnice sa zadanim uvjetima

bull

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

2 5 5 2 2 2 222 5 5 2 5 252 2 2

p q rx y x y

x p y q r

= = =

rArr minus + minus = rArr minus + minus =minus + minus =

bull

( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )

6 5 5 2 2 2 226 5 5 6 5 252 2 2

p q rx y x y

x p y q r

= minus = =

rArr minus minus + minus = rArr + + minus =minus + minus =

-10 -5 5 10

14

12

10

8

6

4

2

0

y

x

S(- 6 5)

S(2 5)

T

12

Vježba 132

Odredi jednadžbu kružnice polumjera r = 5 koja dodiruje os x i prolazi točkom T(ndash 2 8)

Rezultat ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2

2 5 25 6 5 25x y x yminus + minus = + + minus =

Zadatak 133 (Ivana ekonomska škola)

Odredi jednadžbu kružnice koja sadrži točke A(1 0) i B(ndash 1 4) a središte pripada osi x

Skiciraj

Rješenje 133

Ponovimo

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 22 2 2 2

2 2 a b a a b b a b a a b b a b a bminus = minus sdot sdot + + = + sdot sdot + minus minus = +

Ako je S(p q) središte kružnice a r njezin polumjer tada središnja jednadžba kružnice glasi

( ) ( )2

2 2

x p y q rminus + minus =

Kada središte S(p q) kružnice pripada osi x tada je ordinata q središta jednaka nuli q = 0 Vrijedi

jednadžba

( ) ( ) ( )2 2 22 2 2

0x p y r x p y rminus + minus = rArr minus + =

Budući da kružnica sadrži dvije točke A i B uvrstit ćemo koordinate točaka u jednadžbu kružnice i

dobiti sustav od dvije jednadžbe sa dvije nepoznanice

bull

( ) ( )

( )( ) ( )

1 02 22 2 2

1 0 1 2 2 2

A x y A

p r p rx p y r

=

rArr minus + = rArr minus =

minus + =

bull

( ) ( )

( )( ) ( )

1 42 22 2 2

1 4 1 16 2 2 2

B x y B

p r p r

x p y r

= minus

rArr minus minus + = rArr + + =

minus + =

Iz sustava jednadžbi dobije se

( )

( )( ) ( )

metoda

komparaci

2 21 2 2

1 1 162 2

1 16je

p rp p

p r

minus =rArr rArr minus = + + rArr

+ + =

2 21 2 1 2 16 2 2 16

2 21 1 2 2 16p p p pp p p ppp +rArr minus sdot + = + sdot + + rArr minus sdot = + sdot + rArr minus sdot = sdot ++ rArr

( )2 2 16 4 16 4 16 4 4p p p p prArr minus sdot minus sdot = rArr minus sdot = rArr minus sdot rArr = minusminus=

Računamo r2

( )( )( ) ( )

2 22 21 2 2 2 2 2

1 4 1 4 5 25

4

p rr r r r

p

minus =rArr minus minus = rArr + = rArr = rArr =

= minus

Jednadžba kružnice glasi

( )( )( ) ( )

24 25 2 22 2

4 25 4 252 2 2

p rx y x y

x p y r

= minus =rArr minus minus + = rArr + + =

minus + =

13

6

5

4

3

2

1

-1

-2

-3

-4

-5

-10 -8 -6 -4 -2 2 4 6

0

y

xS(- 4 0)

B(- 1 4)

A(10)

Vježba 133

Odredi jednadžbu kružnice koja sadrži točke A(ndash 9 0) i B(ndash 1 4) a središte pripada osi x

Rezultat ( )2 2

4 25x y+ + =

Zadatak 134 (Marin ekonomska škola)

Kako glase jednadžbe onih tangenata elipse 2 2

4 9 36x ysdot + sdot = ako je poznat koeficijent

smjera 8

9

k =

Rješenje 134

Ponovimo

1

n a c a d b cn

b d b d

sdot + sdot= + =

sdot

Elipsa kojoj se središte podudara s ishodištem koordinatnog sustava smjer glavne osi s x ndash osi a smjer

sporedne osi s y ndash osi ima jednadžbu

2 22 2 2 2 2 2

i li 12 2

x yb x a y a b

a b

sdot + sdot = sdot + =

Eksplicitni oblik jednadžbe pravca

koeficijent smjera odsječak na y osiy k x l k l= sdot + minus minus

Pravac y = k middot x + l dodiruje elipsu

2 2

12 2

x y

a b+ = ako i samo ako vrijedi

2 2

2 2a k b lsdot + =

Prvo napišemo kanonski oblik elipse

2 24 92 2 2 2

4 9 36 4 9 3 6 136

3636

x yx y x y

sdot sdotsdot + sdot = rArr sdot + sdot = rArr + = rArr

22 24 9

36 3

2 2 91 1

29 4 46

ax y x y

b

=sdot sdot rArr + = rArr + = rArr

=

Iz uvjeta dodira pravca i elipse dobije se odsječak l na y osi tangente

14

2 2 2 2 28 64 642 2 2

9 4 9 4 482 2 9 819 4 9

89

1

a k b ll l l

a b k

sdot + = rArr sdot + = rArr sdot + = rArr sdot + = rArr

= = =

64 64 4 64 36 100 1002 2 2 2 24

9 9 1 9 9 9l l l l l

+rArr + = rArr + = rArr = rArr = rArr = rArr

10

1100 100 102 3

12 12 109 9 32 3

l

l l l

l

=

rArr = rArr = plusmn rArr = plusmn rArr = minus

Jednadžbe tangenata glase

8 10 8 10

9 3 9 3

8 10 8 10

9 3 9 3

y k x l k l y x

y k x l k l y x

= sdot + = = = sdot +

rArr = sdot + = = minus = sdot minus

Vježba 134

Kako glase jednadžbe onih tangenata elipse 2 2

4 9 36x ysdot + sdot = ako je poznat koeficijent

smjera 2

3

k =

Rezultat 2 2

2 2 2 23 3

y x y x= sdot + sdot = sdot minus sdot

Zadatak 135 (Goran srednja škola)

Točka T(6 5) nalazi se na elipsi čija je velika poluos a = 9 Odredite jednadžbu elipse i

udaljenost mentildeu fokusima

Rješenje 135

Ponovimo

2 0a a a= ge

Elipsa kojoj se središte podudara s ishodištem koordinatnog sustava smjer glavne osi s x ndash osi a smjer

sporedne osi s y ndash osi ima jednadžbu

2 22 2 2 2 2 2

i li 12 2

x yb x a y a b

a b

sdot + sdot = sdot + =

Broj e naziva se linearni ekscentricitet elipse

2 2 2

2 2e a b e a b= minus rArr = minus

Fokusi (žarišta) elipse su točke s koordinatama

( ) ( ) 0 0 1 2

F e F eminus

Za realni broj x njegova je apsolutna vrijednost (modul) broj x koji odrentildeujemo na ovaj način

0

0

x xx

x x

ge=

minus lt

Ako je broj x pozitivan ili nula tada je on jednak svojoj apsolutnoj vrijednosti Za svaki x x ge 0

vrijedi x= x

Ako je x negativan broj njegova apsolutna vrijednost je suprotan broj ndash x koji je pozitivan Za svaki x

x lt 0 je x= ndash x

Ili ovako

15

Apsolutna vrijednost realnog broja x definira se

0

0 0

0

x x

x x

x x

gt

= =minus lt

Ako je broj x pozitivan broj onda ga prepišemo | x | = x | 7 | = 7

Ako je broj x negativan broj onda ga pišemo s minusom | x | = ndash x | ndash 4 | = ndash (ndash 4) = 4

Udaljenost točaka ( ) ( ) i A x y B x yB BA A

( ) ( )2 2

AB x x y yB BA A

= minus + minus

Budući da se točka T nalazi na elipsi njezine koordinate uvrstit ćemo u jednadžbu elipse

( ) ( ) 6 52 2 2 2 2 2 2 2

9 6 9 5 9 36 81 25 81

2 2 2 2 2 2

T x y T

a b b b b

b x a y a b

=

= rArr sdot + sdot = sdot rArr sdot + sdot = sdot rArr

sdot + sdot = sdot

2 2 2 2 236 2025 81 36 81 2025 45 2025b b b b brArr sdot + = sdot rArr sdot minus sdot = rArr minus sdot = minus rArr

( )2 2

45 2025 4 455b brArr minus sdot = minus rArr =minus

Jednadžba elipse glasi 2 2

2 22 2 1

12 2

81 45

81 45

x yx y

a b

a b

+ =+ =

= =rArr

Računamo linearni ekscentricitet elipse

2 281 45

81 45 36 62 2

a be e e

e a b

= = rArr = minus rArr = rArr =

= minus

Fokusi elipse imaju koordinate

( ) ( ) ( ) ( ) 0 6 0 0 6 01 1 2 2

F e F F e Fminus = minus =

pa njihova mentildeusobna udaljenost iznosi

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( )( ) ( )

6 01 1 1 1

2 2 6 0 6 6 0 0

2 2 2 2 1 2

2 2

1 2 2 1 2 1

F x y F

F x y F F F

F F x x y y

= minus

= rArr = minus minus + minus rArr

= minus + minus

( )2 2

6 6 0 12 121 2 1 2 1 2

F F F F F FrArr = + + rArr = rArr =

Vježba 135

Točka T(ndash 6 ndash 5) nalazi se na elipsi čija je velika poluos a = 9 Odredite jednadžbu elipse

Rezultat

2 2

181 45

x y+ =

16

Zadatak 136 (Maturanti HTT)

U kojim točkama kružnica x2 + y

2 = 25 siječe koordinatne osi

Rješenje 136

Ponovimo

Točka koja pripada osi y ima apscisujednaku 0

Točka koja pripada osi x ima ordinatujednaku 0

0 x

y

A(x 0)

B(0 y)

Budući da točke u kojima kružnica siječe os x imaju ordinatu jednaku 0 slijedi

2 22 2 2 2 225

0 25 0 25 25 20

5x y

x x x xy

+ =rArr + = rArr + = rArr = rArr = rArr

=

51

25 5 12 12 5

2

xx x

x

= minusrArr = plusmn rArr = plusmn rArr

=

Kružnica siječe os x u dvije točke

( ) ( )5 0 i 5 0 A Bminus

Budući da točke u kojima kružnica siječe os y imaju apscisu jednaku 0 slijedi

2 22 2 2 2 225

0 25 0 25 25 250

x y

y y y yx

+ =rArr + = rArr + = rArr = rArr = rArr

=

51

25 5 12 12 5

2

yy y

y

= minusrArr = plusmn rArr = plusmn rArr

=

Kružnica siječe os y u dvije točke

( ) ( )0 5 i 0 5 C Dminus

Vježba 136

U kojim točkama kružnica x2 + y2 = 9 siječe koordinatne osi

Rezultat ( ) ( ) ( ) ( )3 0 3 0 0 3 0 3 A B C Dminus minus

Zadatak 137 (Maturanti HTT)

Točka S(ndash 2 3) je središte kružnice koja prolazi ishodištem koordinatnoga sustava Kako glasi

jednadžba kružnice

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2

2 3 13 2 3 5A x y B x y+ + minus = + + minus =

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2

2 3 13 2 3 5C x y D x yminus + + = minus + + =

Rješenje 137

Ponovimo

( ) 2

a a=

Ako je S(p q) središte kružnice a r polumjer tada središnja jednadžba kružnice glasi

( ) ( )2

2 2

x p y q rminus + minus =

Neka su A(x1 y1) i B(x2 y2) dvije točke ravnine Tada je udaljenost točaka A i B dana s

17

( ) ( )2

1 1

2

2 2AB x x y y= minus + minus

1inačica

Kružnica sa središtem u točki S(ndash 2 3) ima jednadžbu

( ) ( )

( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )

2 3 2 2 2 22 22 3 2 3

2 2 2

S p q S

x y r x y rx p y q r

= minus

rArr minus minus + minus = rArr + + minus =

minus + minus =

Budući da kružnica prolazi ishodištem koordinatnog sustava koordinate ishodišta uvrstit ćemo u

jednadžbu kružnice i izračunati njezin polumjer

( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) ( )

0 02 2 22 2 2

0 2 0 3 2 32 2 2

2 3

O x y O

r rx y r

=

rArr + + minus = rArr + minus = rArr+ + minus =

2 2 24 9 13 13r r rrArr + = rArr = rArr =

Jednadžba kružnice glasi

( ) ( )2 2

2 3 13x y+ + minus =

Odgovor je pod A

2inačica

Kružnica sa središtem u točki S(ndash 2 3) ima jednadžbu

( ) ( )

( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )

2 3 2 2 2 22 22 3 2 3

2 2 2

S p q S

x y r x y rx p y q r

= minus

rArr minus minus + minus = rArr + + minus =

minus + minus =

Budući da kružnica prolazi ishodištem koordinatnog sustava njezin polumjer jednak je udaljenosti

izmentildeu točaka S i O

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )

2 31 1

0 02 2 2 2 2 2

0 2 0 3 0 2 0 32 2

2 1 2 1

S x y S

O x y O

r r

SO x x y y

r SO

= minus

=

rArr = minus minus + minus rArr = + + minus rArr

= minus + minus

=

( )22

2 3 4 9 13r r rrArr = + minus rArr = + rArr =

Jednadžba kružnice glasi

( ) ( ) ( ) ( ) ( )22 2 2 2

2 3 13 2 3 13x y x y+ + minus = rArr + + minus =

Odgovor je pod A

18

8

7

6

5

4

3

2

1

-1

-2

-8 -6 -4 -2 2 4 6

y

x

S(-2 3)

O(0 0)

Vježba 137 Kružnica sa središtem u točki S(1 1) prolazi ishodištem koordinatnog sustava Kako glasi

jednadžba te kružnice

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2

) 1 1 2 ) 1 1 2A x y B x yminus + + = minus + minus =

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2

) 1 1 1 ) 1 1 1C x y D x y+ + minus = minus + + =

Rezultat B

Zadatak 138 (Ivan gimnazija)

Na slici je prikazana hiperbola i njezina točka A Izračunajte koordinate točke u kojoj tangenta

na tu hiperbolu u točki A siječe os x

Rješenje 138

Ponovimo

1

a

n a dbnc b c

d

sdot= =

sdot

Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i

jedinice

0 1a n a

n nb n b

sdot= ne ne

sdot

Hiperbola kojoj se središte podudara s ishodištem koordinatnog sustava a fokusi leže na osi x ima

jednadžbu (osna jednadžba)

2 22 2 2 2 2

2

12 2

x yb x a y a b

a b

minus = rArr sdot minus sdot = sdot

gdje je a realna poluos b imaginarna poluos

19

Jednadžba tangente u točki T(x1 y1) hiperbole

2 2 2 2ili 1 1 1

1 2 2

1

x x y yb x x a y y a b

a b

sdot sdotsdot sdot minus sdot sdot = sdot minus =

a

2

Sa slike vidi se da je realna poluos hiperbole a = 2

2 2 22 2 4a a a= rArr = rArr =

Budući da točka A pripada hiperboli koordinate točke uvrstit ćemo u jednadžbu hiperbole i izračunati

imaginarnu poluos b

( ) ( )2

4 6 2 2 26 2 36 4 4

2 2 1 1 12 2 24 41

2 2

36

4

a A x y A

x yb b b

a b

= =

rArr minus = rArr minus = rArr minus = rArrminus =

29 4 9 4 2 2 2 21 1 9 4 9 4

2 21

1b b b b b

b b

rArr minus = rArr minus = rArr sdot minus = rArr sdot minus =sdot rArr

4 12 2 2 2 28 4 8 4

8

4 8

8 2b b b b brArr sdot = rArr sdot = rArr = rArr = rArr =

Jednadžba hiperbole glasi

12 24

2 2212 2 14

12 2 2

a bx y

x y

a b

= =

rArr minus =

minus =

Tangenta na hiperbolu prolazi točkom A pa je njezina jednadžba oblika

( ) ( )

12 24

226 2 31 6 2 1 1 4 1

1 1 1 14 2

2 21 1 12 2

6

4

a b

yx y x

A x y A x y

x x y y

a b

= =

sdotsdot sdot sdot

= rArr minus = rArr minus = rArr sdot minus sdot = rArr

sdot sdotminus =

13 3 3 14 1 4 1

2 2 8 4

4y x y x y xrArr minus sdot = minus sdot + rArr minus sdot = minus sdot + rArr = sdotsdot minus minus

Budući da tangenta siječe x os sjecište će imati ordinatu jednaku nula y = 0

20

3 13 1 3 1 2 2

0 0 0 8 48 4 8 4

8

3 330

y xx x x x

y

= sdot minusrArr sdot minus = rArr sdot minus = rArr minus = =sdot rArr

=

Koordinate točke glase

2 0

3

Vježba 138

Na slici je prikazana hiperbola i njezina točka A Izračunajte koordinate točke u kojoj tangenta

na tu hiperbolu u točki A siječe os y

Rezultat 1

0 4

minus

Zadatak 139 (Tina srednja škola)

Zadan je skup svih točaka koje su od točke (2 4) udaljene za 3 Napišite jednadžbu tog skupa i

skicirajte ga u zadanom koordinatnom sustavu

Rješenje 139

Ponovimo

Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) te ravnine

Ako je S(p q) središte kružnice a r polumjer tada središnja jednadžba kružnice glasi

( ) ( )2

2 2

x p y q rminus + minus =

Skup svih točaka koje su od točke (2 4) udaljene za 3 je kružnica sa središtem S(p q) = S(2 4) i

polumjerom r = 3 Njezina jednadžba glasi

( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

2 4 32 2 2 22

2 4 3 2 4 92 2 2

S p q S r

x y x yx p y q r

= =

rArr minus + minus = rArr minus + minus =

minus + minus =

9

8

7

6

5

4

3

2

1

-1

-2

-6 -4 -2 2 4 6 8 10 12

S 2 4(((( ))))

y

x

21

Vježba 139

Zadan je skup svih točaka koje su od točke (4 2) udaljene za 3 Napišite jednadžbu tog skupa

Rezultat ( ) ( )2 2

4 2 9x yminus + minus =

Zadatak 140 (Ivan srednja škola)

Točka T(10 y gt 0) leži na krivulji 2 middot y2 = 5 middot x Koliko je točka T udaljena od žarišta te

krivulje

Rješenje 140

Ponovimo

Parabola kojoj tjeme leži u ishodištu a žarište na pozitivnom dijelu osi apscisa ima jednadžbu

22 y p x= sdot sdot

gdje je p poluparametar parabole tjudaljenost žarišta do ravnalice

Koordinate žarišta (fokusa) F parabole su

02

pF

1

a

n a dbnc b c

d

sdot= =

sdot

Neka su A(x1 y1) i B(x2 y2) dvije točke ravnine Tada je udaljenost točaka A i B dana formulom

( ) ( )2

1 1

2

2 2AB x x y y= minus + minus

2

a c a d b c a c a d b c

a ab d b d b d b d

sdot minus sdot sdot + sdotminus = + = =

sdot sdot

Uočimo da je krivulja parabola

52 2 22 5 2 5 2

2y x y x y xsdot = sdot rArr sdot = sdot rArr = sdot

Njezin poluparametar p iznosi

22

5 5 52 2 52 2 2 4

2

1

2

y p x

p p py x

= sdot sdot

rArr sdot sdot= rArr sdot = rArr =

= sdot

Tada žarište (fokus) parabole ima koordinate

5 5 052 4 4 0 0 0

22 85

14

pF

F F F

p

rArr rArr rArr

=

Budući da točka T pripada paraboli uvrstit ćemo koordinate točke u jednadžbu parabole i izračunati

ordinatu y

( ) ( ) 105 52 2 2 2

10 25 25522

10 2

2

T x y T y

y y y yy x

=

rArr = sdot rArr = sdot rArr = rArr = rArr= sdot

22

( ) ( )nije rješenj

51

25 5e zbog 0

10 5 12 5

2y

yy y T x y T

y

=rArr = plusmn rArr rArr = rArr =

gt= minus

Računamo udaljenost izmentildeu točaka T i F

( ) ( )

( )

( ) ( )

( )

10 51 1

25 5 2

0 10 0 52 2 8 8

2 2

2 1 2 1

T x y T

F x y F TF

TF x x y y

=

= rArr = minus + minus rArr

= minus + minus

( )2 2 2

5 10 5 80 7525 25 25

8 1 8 8TF TF TF

minusrArr = minus + minus rArr = + rArr = minus + rArr

5625 5625 25 5625 160025

64 64 1 64TF TF TF

+rArr = + rArr = + rArr = rArr

7 225 8510625

64 8TF TF TFrArr = rArr = rArr =

Vježba 140

Točka T(10 y lt 0) leži na krivulji 2 middot y2 = 5 middot x Koliko je točka T udaljena od žarišta te

krivulje

Rezultat 10625

10

Zadatak 131 (Ana gimnazija)

Odredimo jednadžbu hiperbole s fokusima na y ndash osi koja sadrži točke A(ndash 1 2) i B(7 10)

Rješenje 131

Ponovimo

1a

a bb

= rArr =

Neka je zadana hiperbola čiji fokusi leže na y ndash osi a središte hiperbole je ishodište koordinatnog

sustava Jednadžba takve hiperbole glasi

2 2

12

2

x y

b a

minus = minus

Budući da hiperbola sadrži točke A i B uvrstit ćemo koordinate točaka u jednadžbu hiperbole i dobiti

sustav jednadžbi

( ) ( )

( ) ( )

( )22 2 2

1 1 42 1 2 1 11

2 2 2 22 2

2 2 2 2 49 1007 10 1 7 10 1 1 2 22 2 2 2

x yA x y A

b a b ab a

x yB x y B

b ab a b a

minus= minus minus = minus minus = minusminus = minus

rArr rArr rArr

minus = minus= minus = minus minus = minus

( )1 4 49 196

1 492 2 2 2

49 100 49 1001 1

2 2 2

2

49metoda suprotnih

koeficijenata

b a b a

b a b a

minus = minus =

rArr rArr rArr

minus = minus minus = minus

sdot

minus + rArr

minus

96 96 248 48 2

2 2

2

48

aa

a a

rArr = rArr sdot= rArr =

Računamo b2

1 41 1 4 1 1 1 22 2

1 2 1 1 2 1 12 2 2 222

2

bb a

b b b ba

minus = minus

rArr minus = minus rArr minus = minus rArr = minus + rArr = rArr =

=

Jednadžba hiperbole glasi

2 22 1 2 2 2

22 2 1 1

1 2 212 2

a bx y y

xx y

b a

= =

rArr minus = minus rArr minus = minus

minus = minus

Vježba 131

Odredimo jednadžbu hiperbole s fokusima na y ndash osi koja sadrži točke A(1 2) i B(ndash 7 10)

Rezultat

22

12

yx minus = minus

Zadatak 132 (Ivana ekonomska škola)

Odredi jednadžbu kružnice polumjera r = 5 koja dodiruje os x i prolazi točkom T(ndash 2 2)

Skiciraj

Rješenje 132

Ponovimo

11

( ) ( )2 2

a b a bminus minus = +

Ako je S(p q) središte kružnice a r njezin polumjer tada središnja jednadžba kružnice glasi

( ) ( )2

2 2

x p y q rminus + minus =

Kada kružnica dira os x točka diranja je od središta udaljena upravo onoliko koliko je os x udaljena

od središta tj polumjer kružnice jednak je udaljenosti središta S(p q) do osi x Vrijedi

q r q r= = minus

pa postoje dvije jednadžbe

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2

2 2

x p y r r x p y r rminus + minus = minus + + =

Točka T je iznad osi x i zato promatramo kružnicu koja dira os x iznad osi x Ako je iznad tada je

polumjer upravo jednak q

55

q rq

r

=rArr =

=

Budući da kružnica prolazi točkom T koordinate točke uvrstit ćemo u jednadžbu kružnice

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

5 52 2 2 22 2

2 2 2 2 5 5 2 3 5

2 2 2

q r

T x y T p p

x p y q r

= =

= minus rArr minus minus + minus = rArr minus minus + minus = rArr

minus + minus =

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2

2 9 25 2 25 9 2 16 2 1 6p p p prArr + + = rArr + = minus rArr + = rArr + = rArr

22 4 4 2 12 16 2 4

2 4 4 2 62

pp pp p

p p p

=+ = = minusrArr + = plusmn rArr + = plusmn rArr rArr rArr

+ = minus = minus minus = minus

Postoje dvije kružnice sa zadanim uvjetima

bull

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

2 5 5 2 2 2 222 5 5 2 5 252 2 2

p q rx y x y

x p y q r

= = =

rArr minus + minus = rArr minus + minus =minus + minus =

bull

( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )

6 5 5 2 2 2 226 5 5 6 5 252 2 2

p q rx y x y

x p y q r

= minus = =

rArr minus minus + minus = rArr + + minus =minus + minus =

-10 -5 5 10

14

12

10

8

6

4

2

0

y

x

S(- 6 5)

S(2 5)

T

12

Vježba 132

Odredi jednadžbu kružnice polumjera r = 5 koja dodiruje os x i prolazi točkom T(ndash 2 8)

Rezultat ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2

2 5 25 6 5 25x y x yminus + minus = + + minus =

Zadatak 133 (Ivana ekonomska škola)

Odredi jednadžbu kružnice koja sadrži točke A(1 0) i B(ndash 1 4) a središte pripada osi x

Skiciraj

Rješenje 133

Ponovimo

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 22 2 2 2

2 2 a b a a b b a b a a b b a b a bminus = minus sdot sdot + + = + sdot sdot + minus minus = +

Ako je S(p q) središte kružnice a r njezin polumjer tada središnja jednadžba kružnice glasi

( ) ( )2

2 2

x p y q rminus + minus =

Kada središte S(p q) kružnice pripada osi x tada je ordinata q središta jednaka nuli q = 0 Vrijedi

jednadžba

( ) ( ) ( )2 2 22 2 2

0x p y r x p y rminus + minus = rArr minus + =

Budući da kružnica sadrži dvije točke A i B uvrstit ćemo koordinate točaka u jednadžbu kružnice i

dobiti sustav od dvije jednadžbe sa dvije nepoznanice

bull

( ) ( )

( )( ) ( )

1 02 22 2 2

1 0 1 2 2 2

A x y A

p r p rx p y r

=

rArr minus + = rArr minus =

minus + =

bull

( ) ( )

( )( ) ( )

1 42 22 2 2

1 4 1 16 2 2 2

B x y B

p r p r

x p y r

= minus

rArr minus minus + = rArr + + =

minus + =

Iz sustava jednadžbi dobije se

( )

( )( ) ( )

metoda

komparaci

2 21 2 2

1 1 162 2

1 16je

p rp p

p r

minus =rArr rArr minus = + + rArr

+ + =

2 21 2 1 2 16 2 2 16

2 21 1 2 2 16p p p pp p p ppp +rArr minus sdot + = + sdot + + rArr minus sdot = + sdot + rArr minus sdot = sdot ++ rArr

( )2 2 16 4 16 4 16 4 4p p p p prArr minus sdot minus sdot = rArr minus sdot = rArr minus sdot rArr = minusminus=

Računamo r2

( )( )( ) ( )

2 22 21 2 2 2 2 2

1 4 1 4 5 25

4

p rr r r r

p

minus =rArr minus minus = rArr + = rArr = rArr =

= minus

Jednadžba kružnice glasi

( )( )( ) ( )

24 25 2 22 2

4 25 4 252 2 2

p rx y x y

x p y r

= minus =rArr minus minus + = rArr + + =

minus + =

13

6

5

4

3

2

1

-1

-2

-3

-4

-5

-10 -8 -6 -4 -2 2 4 6

0

y

xS(- 4 0)

B(- 1 4)

A(10)

Vježba 133

Odredi jednadžbu kružnice koja sadrži točke A(ndash 9 0) i B(ndash 1 4) a središte pripada osi x

Rezultat ( )2 2

4 25x y+ + =

Zadatak 134 (Marin ekonomska škola)

Kako glase jednadžbe onih tangenata elipse 2 2

4 9 36x ysdot + sdot = ako je poznat koeficijent

smjera 8

9

k =

Rješenje 134

Ponovimo

1

n a c a d b cn

b d b d

sdot + sdot= + =

sdot

Elipsa kojoj se središte podudara s ishodištem koordinatnog sustava smjer glavne osi s x ndash osi a smjer

sporedne osi s y ndash osi ima jednadžbu

2 22 2 2 2 2 2

i li 12 2

x yb x a y a b

a b

sdot + sdot = sdot + =

Eksplicitni oblik jednadžbe pravca

koeficijent smjera odsječak na y osiy k x l k l= sdot + minus minus

Pravac y = k middot x + l dodiruje elipsu

2 2

12 2

x y

a b+ = ako i samo ako vrijedi

2 2

2 2a k b lsdot + =

Prvo napišemo kanonski oblik elipse

2 24 92 2 2 2

4 9 36 4 9 3 6 136

3636

x yx y x y

sdot sdotsdot + sdot = rArr sdot + sdot = rArr + = rArr

22 24 9

36 3

2 2 91 1

29 4 46

ax y x y

b

=sdot sdot rArr + = rArr + = rArr

=

Iz uvjeta dodira pravca i elipse dobije se odsječak l na y osi tangente

14

2 2 2 2 28 64 642 2 2

9 4 9 4 482 2 9 819 4 9

89

1

a k b ll l l

a b k

sdot + = rArr sdot + = rArr sdot + = rArr sdot + = rArr

= = =

64 64 4 64 36 100 1002 2 2 2 24

9 9 1 9 9 9l l l l l

+rArr + = rArr + = rArr = rArr = rArr = rArr

10

1100 100 102 3

12 12 109 9 32 3

l

l l l

l

=

rArr = rArr = plusmn rArr = plusmn rArr = minus

Jednadžbe tangenata glase

8 10 8 10

9 3 9 3

8 10 8 10

9 3 9 3

y k x l k l y x

y k x l k l y x

= sdot + = = = sdot +

rArr = sdot + = = minus = sdot minus

Vježba 134

Kako glase jednadžbe onih tangenata elipse 2 2

4 9 36x ysdot + sdot = ako je poznat koeficijent

smjera 2

3

k =

Rezultat 2 2

2 2 2 23 3

y x y x= sdot + sdot = sdot minus sdot

Zadatak 135 (Goran srednja škola)

Točka T(6 5) nalazi se na elipsi čija je velika poluos a = 9 Odredite jednadžbu elipse i

udaljenost mentildeu fokusima

Rješenje 135

Ponovimo

2 0a a a= ge

Elipsa kojoj se središte podudara s ishodištem koordinatnog sustava smjer glavne osi s x ndash osi a smjer

sporedne osi s y ndash osi ima jednadžbu

2 22 2 2 2 2 2

i li 12 2

x yb x a y a b

a b

sdot + sdot = sdot + =

Broj e naziva se linearni ekscentricitet elipse

2 2 2

2 2e a b e a b= minus rArr = minus

Fokusi (žarišta) elipse su točke s koordinatama

( ) ( ) 0 0 1 2

F e F eminus

Za realni broj x njegova je apsolutna vrijednost (modul) broj x koji odrentildeujemo na ovaj način

0

0

x xx

x x

ge=

minus lt

Ako je broj x pozitivan ili nula tada je on jednak svojoj apsolutnoj vrijednosti Za svaki x x ge 0

vrijedi x= x

Ako je x negativan broj njegova apsolutna vrijednost je suprotan broj ndash x koji je pozitivan Za svaki x

x lt 0 je x= ndash x

Ili ovako

15

Apsolutna vrijednost realnog broja x definira se

0

0 0

0

x x

x x

x x

gt

= =minus lt

Ako je broj x pozitivan broj onda ga prepišemo | x | = x | 7 | = 7

Ako je broj x negativan broj onda ga pišemo s minusom | x | = ndash x | ndash 4 | = ndash (ndash 4) = 4

Udaljenost točaka ( ) ( ) i A x y B x yB BA A

( ) ( )2 2

AB x x y yB BA A

= minus + minus

Budući da se točka T nalazi na elipsi njezine koordinate uvrstit ćemo u jednadžbu elipse

( ) ( ) 6 52 2 2 2 2 2 2 2

9 6 9 5 9 36 81 25 81

2 2 2 2 2 2

T x y T

a b b b b

b x a y a b

=

= rArr sdot + sdot = sdot rArr sdot + sdot = sdot rArr

sdot + sdot = sdot

2 2 2 2 236 2025 81 36 81 2025 45 2025b b b b brArr sdot + = sdot rArr sdot minus sdot = rArr minus sdot = minus rArr

( )2 2

45 2025 4 455b brArr minus sdot = minus rArr =minus

Jednadžba elipse glasi 2 2

2 22 2 1

12 2

81 45

81 45

x yx y

a b

a b

+ =+ =

= =rArr

Računamo linearni ekscentricitet elipse

2 281 45

81 45 36 62 2

a be e e

e a b

= = rArr = minus rArr = rArr =

= minus

Fokusi elipse imaju koordinate

( ) ( ) ( ) ( ) 0 6 0 0 6 01 1 2 2

F e F F e Fminus = minus =

pa njihova mentildeusobna udaljenost iznosi

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( )( ) ( )

6 01 1 1 1

2 2 6 0 6 6 0 0

2 2 2 2 1 2

2 2

1 2 2 1 2 1

F x y F

F x y F F F

F F x x y y

= minus

= rArr = minus minus + minus rArr

= minus + minus

( )2 2

6 6 0 12 121 2 1 2 1 2

F F F F F FrArr = + + rArr = rArr =

Vježba 135

Točka T(ndash 6 ndash 5) nalazi se na elipsi čija je velika poluos a = 9 Odredite jednadžbu elipse

Rezultat

2 2

181 45

x y+ =

16

Zadatak 136 (Maturanti HTT)

U kojim točkama kružnica x2 + y

2 = 25 siječe koordinatne osi

Rješenje 136

Ponovimo

Točka koja pripada osi y ima apscisujednaku 0

Točka koja pripada osi x ima ordinatujednaku 0

0 x

y

A(x 0)

B(0 y)

Budući da točke u kojima kružnica siječe os x imaju ordinatu jednaku 0 slijedi

2 22 2 2 2 225

0 25 0 25 25 20

5x y

x x x xy

+ =rArr + = rArr + = rArr = rArr = rArr

=

51

25 5 12 12 5

2

xx x

x

= minusrArr = plusmn rArr = plusmn rArr

=

Kružnica siječe os x u dvije točke

( ) ( )5 0 i 5 0 A Bminus

Budući da točke u kojima kružnica siječe os y imaju apscisu jednaku 0 slijedi

2 22 2 2 2 225

0 25 0 25 25 250

x y

y y y yx

+ =rArr + = rArr + = rArr = rArr = rArr

=

51

25 5 12 12 5

2

yy y

y

= minusrArr = plusmn rArr = plusmn rArr

=

Kružnica siječe os y u dvije točke

( ) ( )0 5 i 0 5 C Dminus

Vježba 136

U kojim točkama kružnica x2 + y2 = 9 siječe koordinatne osi

Rezultat ( ) ( ) ( ) ( )3 0 3 0 0 3 0 3 A B C Dminus minus

Zadatak 137 (Maturanti HTT)

Točka S(ndash 2 3) je središte kružnice koja prolazi ishodištem koordinatnoga sustava Kako glasi

jednadžba kružnice

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2

2 3 13 2 3 5A x y B x y+ + minus = + + minus =

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2

2 3 13 2 3 5C x y D x yminus + + = minus + + =

Rješenje 137

Ponovimo

( ) 2

a a=

Ako je S(p q) središte kružnice a r polumjer tada središnja jednadžba kružnice glasi

( ) ( )2

2 2

x p y q rminus + minus =

Neka su A(x1 y1) i B(x2 y2) dvije točke ravnine Tada je udaljenost točaka A i B dana s

17

( ) ( )2

1 1

2

2 2AB x x y y= minus + minus

1inačica

Kružnica sa središtem u točki S(ndash 2 3) ima jednadžbu

( ) ( )

( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )

2 3 2 2 2 22 22 3 2 3

2 2 2

S p q S

x y r x y rx p y q r

= minus

rArr minus minus + minus = rArr + + minus =

minus + minus =

Budući da kružnica prolazi ishodištem koordinatnog sustava koordinate ishodišta uvrstit ćemo u

jednadžbu kružnice i izračunati njezin polumjer

( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) ( )

0 02 2 22 2 2

0 2 0 3 2 32 2 2

2 3

O x y O

r rx y r

=

rArr + + minus = rArr + minus = rArr+ + minus =

2 2 24 9 13 13r r rrArr + = rArr = rArr =

Jednadžba kružnice glasi

( ) ( )2 2

2 3 13x y+ + minus =

Odgovor je pod A

2inačica

Kružnica sa središtem u točki S(ndash 2 3) ima jednadžbu

( ) ( )

( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )

2 3 2 2 2 22 22 3 2 3

2 2 2

S p q S

x y r x y rx p y q r

= minus

rArr minus minus + minus = rArr + + minus =

minus + minus =

Budući da kružnica prolazi ishodištem koordinatnog sustava njezin polumjer jednak je udaljenosti

izmentildeu točaka S i O

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )

2 31 1

0 02 2 2 2 2 2

0 2 0 3 0 2 0 32 2

2 1 2 1

S x y S

O x y O

r r

SO x x y y

r SO

= minus

=

rArr = minus minus + minus rArr = + + minus rArr

= minus + minus

=

( )22

2 3 4 9 13r r rrArr = + minus rArr = + rArr =

Jednadžba kružnice glasi

( ) ( ) ( ) ( ) ( )22 2 2 2

2 3 13 2 3 13x y x y+ + minus = rArr + + minus =

Odgovor je pod A

18

8

7

6

5

4

3

2

1

-1

-2

-8 -6 -4 -2 2 4 6

y

x

S(-2 3)

O(0 0)

Vježba 137 Kružnica sa središtem u točki S(1 1) prolazi ishodištem koordinatnog sustava Kako glasi

jednadžba te kružnice

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2

) 1 1 2 ) 1 1 2A x y B x yminus + + = minus + minus =

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2

) 1 1 1 ) 1 1 1C x y D x y+ + minus = minus + + =

Rezultat B

Zadatak 138 (Ivan gimnazija)

Na slici je prikazana hiperbola i njezina točka A Izračunajte koordinate točke u kojoj tangenta

na tu hiperbolu u točki A siječe os x

Rješenje 138

Ponovimo

1

a

n a dbnc b c

d

sdot= =

sdot

Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i

jedinice

0 1a n a

n nb n b

sdot= ne ne

sdot

Hiperbola kojoj se središte podudara s ishodištem koordinatnog sustava a fokusi leže na osi x ima

jednadžbu (osna jednadžba)

2 22 2 2 2 2

2

12 2

x yb x a y a b

a b

minus = rArr sdot minus sdot = sdot

gdje je a realna poluos b imaginarna poluos

19

Jednadžba tangente u točki T(x1 y1) hiperbole

2 2 2 2ili 1 1 1

1 2 2

1

x x y yb x x a y y a b

a b

sdot sdotsdot sdot minus sdot sdot = sdot minus =

a

2

Sa slike vidi se da je realna poluos hiperbole a = 2

2 2 22 2 4a a a= rArr = rArr =

Budući da točka A pripada hiperboli koordinate točke uvrstit ćemo u jednadžbu hiperbole i izračunati

imaginarnu poluos b

( ) ( )2

4 6 2 2 26 2 36 4 4

2 2 1 1 12 2 24 41

2 2

36

4

a A x y A

x yb b b

a b

= =

rArr minus = rArr minus = rArr minus = rArrminus =

29 4 9 4 2 2 2 21 1 9 4 9 4

2 21

1b b b b b

b b

rArr minus = rArr minus = rArr sdot minus = rArr sdot minus =sdot rArr

4 12 2 2 2 28 4 8 4

8

4 8

8 2b b b b brArr sdot = rArr sdot = rArr = rArr = rArr =

Jednadžba hiperbole glasi

12 24

2 2212 2 14

12 2 2

a bx y

x y

a b

= =

rArr minus =

minus =

Tangenta na hiperbolu prolazi točkom A pa je njezina jednadžba oblika

( ) ( )

12 24

226 2 31 6 2 1 1 4 1

1 1 1 14 2

2 21 1 12 2

6

4

a b

yx y x

A x y A x y

x x y y

a b

= =

sdotsdot sdot sdot

= rArr minus = rArr minus = rArr sdot minus sdot = rArr

sdot sdotminus =

13 3 3 14 1 4 1

2 2 8 4

4y x y x y xrArr minus sdot = minus sdot + rArr minus sdot = minus sdot + rArr = sdotsdot minus minus

Budući da tangenta siječe x os sjecište će imati ordinatu jednaku nula y = 0

20

3 13 1 3 1 2 2

0 0 0 8 48 4 8 4

8

3 330

y xx x x x

y

= sdot minusrArr sdot minus = rArr sdot minus = rArr minus = =sdot rArr

=

Koordinate točke glase

2 0

3

Vježba 138

Na slici je prikazana hiperbola i njezina točka A Izračunajte koordinate točke u kojoj tangenta

na tu hiperbolu u točki A siječe os y

Rezultat 1

0 4

minus

Zadatak 139 (Tina srednja škola)

Zadan je skup svih točaka koje su od točke (2 4) udaljene za 3 Napišite jednadžbu tog skupa i

skicirajte ga u zadanom koordinatnom sustavu

Rješenje 139

Ponovimo

Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) te ravnine

Ako je S(p q) središte kružnice a r polumjer tada središnja jednadžba kružnice glasi

( ) ( )2

2 2

x p y q rminus + minus =

Skup svih točaka koje su od točke (2 4) udaljene za 3 je kružnica sa središtem S(p q) = S(2 4) i

polumjerom r = 3 Njezina jednadžba glasi

( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

2 4 32 2 2 22

2 4 3 2 4 92 2 2

S p q S r

x y x yx p y q r

= =

rArr minus + minus = rArr minus + minus =

minus + minus =

9

8

7

6

5

4

3

2

1

-1

-2

-6 -4 -2 2 4 6 8 10 12

S 2 4(((( ))))

y

x

21

Vježba 139

Zadan je skup svih točaka koje su od točke (4 2) udaljene za 3 Napišite jednadžbu tog skupa

Rezultat ( ) ( )2 2

4 2 9x yminus + minus =

Zadatak 140 (Ivan srednja škola)

Točka T(10 y gt 0) leži na krivulji 2 middot y2 = 5 middot x Koliko je točka T udaljena od žarišta te

krivulje

Rješenje 140

Ponovimo

Parabola kojoj tjeme leži u ishodištu a žarište na pozitivnom dijelu osi apscisa ima jednadžbu

22 y p x= sdot sdot

gdje je p poluparametar parabole tjudaljenost žarišta do ravnalice

Koordinate žarišta (fokusa) F parabole su

02

pF

1

a

n a dbnc b c

d

sdot= =

sdot

Neka su A(x1 y1) i B(x2 y2) dvije točke ravnine Tada je udaljenost točaka A i B dana formulom

( ) ( )2

1 1

2

2 2AB x x y y= minus + minus

2

a c a d b c a c a d b c

a ab d b d b d b d

sdot minus sdot sdot + sdotminus = + = =

sdot sdot

Uočimo da je krivulja parabola

52 2 22 5 2 5 2

2y x y x y xsdot = sdot rArr sdot = sdot rArr = sdot

Njezin poluparametar p iznosi

22

5 5 52 2 52 2 2 4

2

1

2

y p x

p p py x

= sdot sdot

rArr sdot sdot= rArr sdot = rArr =

= sdot

Tada žarište (fokus) parabole ima koordinate

5 5 052 4 4 0 0 0

22 85

14

pF

F F F

p

rArr rArr rArr

=

Budući da točka T pripada paraboli uvrstit ćemo koordinate točke u jednadžbu parabole i izračunati

ordinatu y

( ) ( ) 105 52 2 2 2

10 25 25522

10 2

2

T x y T y

y y y yy x

=

rArr = sdot rArr = sdot rArr = rArr = rArr= sdot

22

( ) ( )nije rješenj

51

25 5e zbog 0

10 5 12 5

2y

yy y T x y T

y

=rArr = plusmn rArr rArr = rArr =

gt= minus

Računamo udaljenost izmentildeu točaka T i F

( ) ( )

( )

( ) ( )

( )

10 51 1

25 5 2

0 10 0 52 2 8 8

2 2

2 1 2 1

T x y T

F x y F TF

TF x x y y

=

= rArr = minus + minus rArr

= minus + minus

( )2 2 2

5 10 5 80 7525 25 25

8 1 8 8TF TF TF

minusrArr = minus + minus rArr = + rArr = minus + rArr

5625 5625 25 5625 160025

64 64 1 64TF TF TF

+rArr = + rArr = + rArr = rArr

7 225 8510625

64 8TF TF TFrArr = rArr = rArr =

Vježba 140

Točka T(10 y lt 0) leži na krivulji 2 middot y2 = 5 middot x Koliko je točka T udaljena od žarišta te

krivulje

Rezultat 10625

11

( ) ( )2 2

a b a bminus minus = +

Ako je S(p q) središte kružnice a r njezin polumjer tada središnja jednadžba kružnice glasi

( ) ( )2

2 2

x p y q rminus + minus =

Kada kružnica dira os x točka diranja je od središta udaljena upravo onoliko koliko je os x udaljena

od središta tj polumjer kružnice jednak je udaljenosti središta S(p q) do osi x Vrijedi

q r q r= = minus

pa postoje dvije jednadžbe

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2

2 2

x p y r r x p y r rminus + minus = minus + + =

Točka T je iznad osi x i zato promatramo kružnicu koja dira os x iznad osi x Ako je iznad tada je

polumjer upravo jednak q

55

q rq

r

=rArr =

=

Budući da kružnica prolazi točkom T koordinate točke uvrstit ćemo u jednadžbu kružnice

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

5 52 2 2 22 2

2 2 2 2 5 5 2 3 5

2 2 2

q r

T x y T p p

x p y q r

= =

= minus rArr minus minus + minus = rArr minus minus + minus = rArr

minus + minus =

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2

2 9 25 2 25 9 2 16 2 1 6p p p prArr + + = rArr + = minus rArr + = rArr + = rArr

22 4 4 2 12 16 2 4

2 4 4 2 62

pp pp p

p p p

=+ = = minusrArr + = plusmn rArr + = plusmn rArr rArr rArr

+ = minus = minus minus = minus

Postoje dvije kružnice sa zadanim uvjetima

bull

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

2 5 5 2 2 2 222 5 5 2 5 252 2 2

p q rx y x y

x p y q r

= = =

rArr minus + minus = rArr minus + minus =minus + minus =

bull

( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )

6 5 5 2 2 2 226 5 5 6 5 252 2 2

p q rx y x y

x p y q r

= minus = =

rArr minus minus + minus = rArr + + minus =minus + minus =

-10 -5 5 10

14

12

10

8

6

4

2

0

y

x

S(- 6 5)

S(2 5)

T

12

Vježba 132

Odredi jednadžbu kružnice polumjera r = 5 koja dodiruje os x i prolazi točkom T(ndash 2 8)

Rezultat ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2

2 5 25 6 5 25x y x yminus + minus = + + minus =

Zadatak 133 (Ivana ekonomska škola)

Odredi jednadžbu kružnice koja sadrži točke A(1 0) i B(ndash 1 4) a središte pripada osi x

Skiciraj

Rješenje 133

Ponovimo

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 22 2 2 2

2 2 a b a a b b a b a a b b a b a bminus = minus sdot sdot + + = + sdot sdot + minus minus = +

Ako je S(p q) središte kružnice a r njezin polumjer tada središnja jednadžba kružnice glasi

( ) ( )2

2 2

x p y q rminus + minus =

Kada središte S(p q) kružnice pripada osi x tada je ordinata q središta jednaka nuli q = 0 Vrijedi

jednadžba

( ) ( ) ( )2 2 22 2 2

0x p y r x p y rminus + minus = rArr minus + =

Budući da kružnica sadrži dvije točke A i B uvrstit ćemo koordinate točaka u jednadžbu kružnice i

dobiti sustav od dvije jednadžbe sa dvije nepoznanice

bull

( ) ( )

( )( ) ( )

1 02 22 2 2

1 0 1 2 2 2

A x y A

p r p rx p y r

=

rArr minus + = rArr minus =

minus + =

bull

( ) ( )

( )( ) ( )

1 42 22 2 2

1 4 1 16 2 2 2

B x y B

p r p r

x p y r

= minus

rArr minus minus + = rArr + + =

minus + =

Iz sustava jednadžbi dobije se

( )

( )( ) ( )

metoda

komparaci

2 21 2 2

1 1 162 2

1 16je

p rp p

p r

minus =rArr rArr minus = + + rArr

+ + =

2 21 2 1 2 16 2 2 16

2 21 1 2 2 16p p p pp p p ppp +rArr minus sdot + = + sdot + + rArr minus sdot = + sdot + rArr minus sdot = sdot ++ rArr

( )2 2 16 4 16 4 16 4 4p p p p prArr minus sdot minus sdot = rArr minus sdot = rArr minus sdot rArr = minusminus=

Računamo r2

( )( )( ) ( )

2 22 21 2 2 2 2 2

1 4 1 4 5 25

4

p rr r r r

p

minus =rArr minus minus = rArr + = rArr = rArr =

= minus

Jednadžba kružnice glasi

( )( )( ) ( )

24 25 2 22 2

4 25 4 252 2 2

p rx y x y

x p y r

= minus =rArr minus minus + = rArr + + =

minus + =

13

6

5

4

3

2

1

-1

-2

-3

-4

-5

-10 -8 -6 -4 -2 2 4 6

0

y

xS(- 4 0)

B(- 1 4)

A(10)

Vježba 133

Odredi jednadžbu kružnice koja sadrži točke A(ndash 9 0) i B(ndash 1 4) a središte pripada osi x

Rezultat ( )2 2

4 25x y+ + =

Zadatak 134 (Marin ekonomska škola)

Kako glase jednadžbe onih tangenata elipse 2 2

4 9 36x ysdot + sdot = ako je poznat koeficijent

smjera 8

9

k =

Rješenje 134

Ponovimo

1

n a c a d b cn

b d b d

sdot + sdot= + =

sdot

Elipsa kojoj se središte podudara s ishodištem koordinatnog sustava smjer glavne osi s x ndash osi a smjer

sporedne osi s y ndash osi ima jednadžbu

2 22 2 2 2 2 2

i li 12 2

x yb x a y a b

a b

sdot + sdot = sdot + =

Eksplicitni oblik jednadžbe pravca

koeficijent smjera odsječak na y osiy k x l k l= sdot + minus minus

Pravac y = k middot x + l dodiruje elipsu

2 2

12 2

x y

a b+ = ako i samo ako vrijedi

2 2

2 2a k b lsdot + =

Prvo napišemo kanonski oblik elipse

2 24 92 2 2 2

4 9 36 4 9 3 6 136

3636

x yx y x y

sdot sdotsdot + sdot = rArr sdot + sdot = rArr + = rArr

22 24 9

36 3

2 2 91 1

29 4 46

ax y x y

b

=sdot sdot rArr + = rArr + = rArr

=

Iz uvjeta dodira pravca i elipse dobije se odsječak l na y osi tangente

14

2 2 2 2 28 64 642 2 2

9 4 9 4 482 2 9 819 4 9

89

1

a k b ll l l

a b k

sdot + = rArr sdot + = rArr sdot + = rArr sdot + = rArr

= = =

64 64 4 64 36 100 1002 2 2 2 24

9 9 1 9 9 9l l l l l

+rArr + = rArr + = rArr = rArr = rArr = rArr

10

1100 100 102 3

12 12 109 9 32 3

l

l l l

l

=

rArr = rArr = plusmn rArr = plusmn rArr = minus

Jednadžbe tangenata glase

8 10 8 10

9 3 9 3

8 10 8 10

9 3 9 3

y k x l k l y x

y k x l k l y x

= sdot + = = = sdot +

rArr = sdot + = = minus = sdot minus

Vježba 134

Kako glase jednadžbe onih tangenata elipse 2 2

4 9 36x ysdot + sdot = ako je poznat koeficijent

smjera 2

3

k =

Rezultat 2 2

2 2 2 23 3

y x y x= sdot + sdot = sdot minus sdot

Zadatak 135 (Goran srednja škola)

Točka T(6 5) nalazi se na elipsi čija je velika poluos a = 9 Odredite jednadžbu elipse i

udaljenost mentildeu fokusima

Rješenje 135

Ponovimo

2 0a a a= ge

Elipsa kojoj se središte podudara s ishodištem koordinatnog sustava smjer glavne osi s x ndash osi a smjer

sporedne osi s y ndash osi ima jednadžbu

2 22 2 2 2 2 2

i li 12 2

x yb x a y a b

a b

sdot + sdot = sdot + =

Broj e naziva se linearni ekscentricitet elipse

2 2 2

2 2e a b e a b= minus rArr = minus

Fokusi (žarišta) elipse su točke s koordinatama

( ) ( ) 0 0 1 2

F e F eminus

Za realni broj x njegova je apsolutna vrijednost (modul) broj x koji odrentildeujemo na ovaj način

0

0

x xx

x x

ge=

minus lt

Ako je broj x pozitivan ili nula tada je on jednak svojoj apsolutnoj vrijednosti Za svaki x x ge 0

vrijedi x= x

Ako je x negativan broj njegova apsolutna vrijednost je suprotan broj ndash x koji je pozitivan Za svaki x

x lt 0 je x= ndash x

Ili ovako

15

Apsolutna vrijednost realnog broja x definira se

0

0 0

0

x x

x x

x x

gt

= =minus lt

Ako je broj x pozitivan broj onda ga prepišemo | x | = x | 7 | = 7

Ako je broj x negativan broj onda ga pišemo s minusom | x | = ndash x | ndash 4 | = ndash (ndash 4) = 4

Udaljenost točaka ( ) ( ) i A x y B x yB BA A

( ) ( )2 2

AB x x y yB BA A

= minus + minus

Budući da se točka T nalazi na elipsi njezine koordinate uvrstit ćemo u jednadžbu elipse

( ) ( ) 6 52 2 2 2 2 2 2 2

9 6 9 5 9 36 81 25 81

2 2 2 2 2 2

T x y T

a b b b b

b x a y a b

=

= rArr sdot + sdot = sdot rArr sdot + sdot = sdot rArr

sdot + sdot = sdot

2 2 2 2 236 2025 81 36 81 2025 45 2025b b b b brArr sdot + = sdot rArr sdot minus sdot = rArr minus sdot = minus rArr

( )2 2

45 2025 4 455b brArr minus sdot = minus rArr =minus

Jednadžba elipse glasi 2 2

2 22 2 1

12 2

81 45

81 45

x yx y

a b

a b

+ =+ =

= =rArr

Računamo linearni ekscentricitet elipse

2 281 45

81 45 36 62 2

a be e e

e a b

= = rArr = minus rArr = rArr =

= minus

Fokusi elipse imaju koordinate

( ) ( ) ( ) ( ) 0 6 0 0 6 01 1 2 2

F e F F e Fminus = minus =

pa njihova mentildeusobna udaljenost iznosi

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( )( ) ( )

6 01 1 1 1

2 2 6 0 6 6 0 0

2 2 2 2 1 2

2 2

1 2 2 1 2 1

F x y F

F x y F F F

F F x x y y

= minus

= rArr = minus minus + minus rArr

= minus + minus

( )2 2

6 6 0 12 121 2 1 2 1 2

F F F F F FrArr = + + rArr = rArr =

Vježba 135

Točka T(ndash 6 ndash 5) nalazi se na elipsi čija je velika poluos a = 9 Odredite jednadžbu elipse

Rezultat

2 2

181 45

x y+ =

16

Zadatak 136 (Maturanti HTT)

U kojim točkama kružnica x2 + y

2 = 25 siječe koordinatne osi

Rješenje 136

Ponovimo

Točka koja pripada osi y ima apscisujednaku 0

Točka koja pripada osi x ima ordinatujednaku 0

0 x

y

A(x 0)

B(0 y)

Budući da točke u kojima kružnica siječe os x imaju ordinatu jednaku 0 slijedi

2 22 2 2 2 225

0 25 0 25 25 20

5x y

x x x xy

+ =rArr + = rArr + = rArr = rArr = rArr

=

51

25 5 12 12 5

2

xx x

x

= minusrArr = plusmn rArr = plusmn rArr

=

Kružnica siječe os x u dvije točke

( ) ( )5 0 i 5 0 A Bminus

Budući da točke u kojima kružnica siječe os y imaju apscisu jednaku 0 slijedi

2 22 2 2 2 225

0 25 0 25 25 250

x y

y y y yx

+ =rArr + = rArr + = rArr = rArr = rArr

=

51

25 5 12 12 5

2

yy y

y

= minusrArr = plusmn rArr = plusmn rArr

=

Kružnica siječe os y u dvije točke

( ) ( )0 5 i 0 5 C Dminus

Vježba 136

U kojim točkama kružnica x2 + y2 = 9 siječe koordinatne osi

Rezultat ( ) ( ) ( ) ( )3 0 3 0 0 3 0 3 A B C Dminus minus

Zadatak 137 (Maturanti HTT)

Točka S(ndash 2 3) je središte kružnice koja prolazi ishodištem koordinatnoga sustava Kako glasi

jednadžba kružnice

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2

2 3 13 2 3 5A x y B x y+ + minus = + + minus =

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2

2 3 13 2 3 5C x y D x yminus + + = minus + + =

Rješenje 137

Ponovimo

( ) 2

a a=

Ako je S(p q) središte kružnice a r polumjer tada središnja jednadžba kružnice glasi

( ) ( )2

2 2

x p y q rminus + minus =

Neka su A(x1 y1) i B(x2 y2) dvije točke ravnine Tada je udaljenost točaka A i B dana s

17

( ) ( )2

1 1

2

2 2AB x x y y= minus + minus

1inačica

Kružnica sa središtem u točki S(ndash 2 3) ima jednadžbu

( ) ( )

( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )

2 3 2 2 2 22 22 3 2 3

2 2 2

S p q S

x y r x y rx p y q r

= minus

rArr minus minus + minus = rArr + + minus =

minus + minus =

Budući da kružnica prolazi ishodištem koordinatnog sustava koordinate ishodišta uvrstit ćemo u

jednadžbu kružnice i izračunati njezin polumjer

( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) ( )

0 02 2 22 2 2

0 2 0 3 2 32 2 2

2 3

O x y O

r rx y r

=

rArr + + minus = rArr + minus = rArr+ + minus =

2 2 24 9 13 13r r rrArr + = rArr = rArr =

Jednadžba kružnice glasi

( ) ( )2 2

2 3 13x y+ + minus =

Odgovor je pod A

2inačica

Kružnica sa središtem u točki S(ndash 2 3) ima jednadžbu

( ) ( )

( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )

2 3 2 2 2 22 22 3 2 3

2 2 2

S p q S

x y r x y rx p y q r

= minus

rArr minus minus + minus = rArr + + minus =

minus + minus =

Budući da kružnica prolazi ishodištem koordinatnog sustava njezin polumjer jednak je udaljenosti

izmentildeu točaka S i O

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )

2 31 1

0 02 2 2 2 2 2

0 2 0 3 0 2 0 32 2

2 1 2 1

S x y S

O x y O

r r

SO x x y y

r SO

= minus

=

rArr = minus minus + minus rArr = + + minus rArr

= minus + minus

=

( )22

2 3 4 9 13r r rrArr = + minus rArr = + rArr =

Jednadžba kružnice glasi

( ) ( ) ( ) ( ) ( )22 2 2 2

2 3 13 2 3 13x y x y+ + minus = rArr + + minus =

Odgovor je pod A

18

8

7

6

5

4

3

2

1

-1

-2

-8 -6 -4 -2 2 4 6

y

x

S(-2 3)

O(0 0)

Vježba 137 Kružnica sa središtem u točki S(1 1) prolazi ishodištem koordinatnog sustava Kako glasi

jednadžba te kružnice

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2

) 1 1 2 ) 1 1 2A x y B x yminus + + = minus + minus =

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2

) 1 1 1 ) 1 1 1C x y D x y+ + minus = minus + + =

Rezultat B

Zadatak 138 (Ivan gimnazija)

Na slici je prikazana hiperbola i njezina točka A Izračunajte koordinate točke u kojoj tangenta

na tu hiperbolu u točki A siječe os x

Rješenje 138

Ponovimo

1

a

n a dbnc b c

d

sdot= =

sdot

Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i

jedinice

0 1a n a

n nb n b

sdot= ne ne

sdot

Hiperbola kojoj se središte podudara s ishodištem koordinatnog sustava a fokusi leže na osi x ima

jednadžbu (osna jednadžba)

2 22 2 2 2 2

2

12 2

x yb x a y a b

a b

minus = rArr sdot minus sdot = sdot

gdje je a realna poluos b imaginarna poluos

19

Jednadžba tangente u točki T(x1 y1) hiperbole

2 2 2 2ili 1 1 1

1 2 2

1

x x y yb x x a y y a b

a b

sdot sdotsdot sdot minus sdot sdot = sdot minus =

a

2

Sa slike vidi se da je realna poluos hiperbole a = 2

2 2 22 2 4a a a= rArr = rArr =

Budući da točka A pripada hiperboli koordinate točke uvrstit ćemo u jednadžbu hiperbole i izračunati

imaginarnu poluos b

( ) ( )2

4 6 2 2 26 2 36 4 4

2 2 1 1 12 2 24 41

2 2

36

4

a A x y A

x yb b b

a b

= =

rArr minus = rArr minus = rArr minus = rArrminus =

29 4 9 4 2 2 2 21 1 9 4 9 4

2 21

1b b b b b

b b

rArr minus = rArr minus = rArr sdot minus = rArr sdot minus =sdot rArr

4 12 2 2 2 28 4 8 4

8

4 8

8 2b b b b brArr sdot = rArr sdot = rArr = rArr = rArr =

Jednadžba hiperbole glasi

12 24

2 2212 2 14

12 2 2

a bx y

x y

a b

= =

rArr minus =

minus =

Tangenta na hiperbolu prolazi točkom A pa je njezina jednadžba oblika

( ) ( )

12 24

226 2 31 6 2 1 1 4 1

1 1 1 14 2

2 21 1 12 2

6

4

a b

yx y x

A x y A x y

x x y y

a b

= =

sdotsdot sdot sdot

= rArr minus = rArr minus = rArr sdot minus sdot = rArr

sdot sdotminus =

13 3 3 14 1 4 1

2 2 8 4

4y x y x y xrArr minus sdot = minus sdot + rArr minus sdot = minus sdot + rArr = sdotsdot minus minus

Budući da tangenta siječe x os sjecište će imati ordinatu jednaku nula y = 0

20

3 13 1 3 1 2 2

0 0 0 8 48 4 8 4

8

3 330

y xx x x x

y

= sdot minusrArr sdot minus = rArr sdot minus = rArr minus = =sdot rArr

=

Koordinate točke glase

2 0

3

Vježba 138

Na slici je prikazana hiperbola i njezina točka A Izračunajte koordinate točke u kojoj tangenta

na tu hiperbolu u točki A siječe os y

Rezultat 1

0 4

minus

Zadatak 139 (Tina srednja škola)

Zadan je skup svih točaka koje su od točke (2 4) udaljene za 3 Napišite jednadžbu tog skupa i

skicirajte ga u zadanom koordinatnom sustavu

Rješenje 139

Ponovimo

Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) te ravnine

Ako je S(p q) središte kružnice a r polumjer tada središnja jednadžba kružnice glasi

( ) ( )2

2 2

x p y q rminus + minus =

Skup svih točaka koje su od točke (2 4) udaljene za 3 je kružnica sa središtem S(p q) = S(2 4) i

polumjerom r = 3 Njezina jednadžba glasi

( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

2 4 32 2 2 22

2 4 3 2 4 92 2 2

S p q S r

x y x yx p y q r

= =

rArr minus + minus = rArr minus + minus =

minus + minus =

9

8

7

6

5

4

3

2

1

-1

-2

-6 -4 -2 2 4 6 8 10 12

S 2 4(((( ))))

y

x

21

Vježba 139

Zadan je skup svih točaka koje su od točke (4 2) udaljene za 3 Napišite jednadžbu tog skupa

Rezultat ( ) ( )2 2

4 2 9x yminus + minus =

Zadatak 140 (Ivan srednja škola)

Točka T(10 y gt 0) leži na krivulji 2 middot y2 = 5 middot x Koliko je točka T udaljena od žarišta te

krivulje

Rješenje 140

Ponovimo

Parabola kojoj tjeme leži u ishodištu a žarište na pozitivnom dijelu osi apscisa ima jednadžbu

22 y p x= sdot sdot

gdje je p poluparametar parabole tjudaljenost žarišta do ravnalice

Koordinate žarišta (fokusa) F parabole su

02

pF

1

a

n a dbnc b c

d

sdot= =

sdot

Neka su A(x1 y1) i B(x2 y2) dvije točke ravnine Tada je udaljenost točaka A i B dana formulom

( ) ( )2

1 1

2

2 2AB x x y y= minus + minus

2

a c a d b c a c a d b c

a ab d b d b d b d

sdot minus sdot sdot + sdotminus = + = =

sdot sdot

Uočimo da je krivulja parabola

52 2 22 5 2 5 2

2y x y x y xsdot = sdot rArr sdot = sdot rArr = sdot

Njezin poluparametar p iznosi

22

5 5 52 2 52 2 2 4

2

1

2

y p x

p p py x

= sdot sdot

rArr sdot sdot= rArr sdot = rArr =

= sdot

Tada žarište (fokus) parabole ima koordinate

5 5 052 4 4 0 0 0

22 85

14

pF

F F F

p

rArr rArr rArr

=

Budući da točka T pripada paraboli uvrstit ćemo koordinate točke u jednadžbu parabole i izračunati

ordinatu y

( ) ( ) 105 52 2 2 2

10 25 25522

10 2

2

T x y T y

y y y yy x

=

rArr = sdot rArr = sdot rArr = rArr = rArr= sdot

22

( ) ( )nije rješenj

51

25 5e zbog 0

10 5 12 5

2y

yy y T x y T

y

=rArr = plusmn rArr rArr = rArr =

gt= minus

Računamo udaljenost izmentildeu točaka T i F

( ) ( )

( )

( ) ( )

( )

10 51 1

25 5 2

0 10 0 52 2 8 8

2 2

2 1 2 1

T x y T

F x y F TF

TF x x y y

=

= rArr = minus + minus rArr

= minus + minus

( )2 2 2

5 10 5 80 7525 25 25

8 1 8 8TF TF TF

minusrArr = minus + minus rArr = + rArr = minus + rArr

5625 5625 25 5625 160025

64 64 1 64TF TF TF

+rArr = + rArr = + rArr = rArr

7 225 8510625

64 8TF TF TFrArr = rArr = rArr =

Vježba 140

Točka T(10 y lt 0) leži na krivulji 2 middot y2 = 5 middot x Koliko je točka T udaljena od žarišta te

krivulje

Rezultat 10625

12

Vježba 132

Odredi jednadžbu kružnice polumjera r = 5 koja dodiruje os x i prolazi točkom T(ndash 2 8)

Rezultat ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2

2 5 25 6 5 25x y x yminus + minus = + + minus =

Zadatak 133 (Ivana ekonomska škola)

Odredi jednadžbu kružnice koja sadrži točke A(1 0) i B(ndash 1 4) a središte pripada osi x

Skiciraj

Rješenje 133

Ponovimo

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 22 2 2 2

2 2 a b a a b b a b a a b b a b a bminus = minus sdot sdot + + = + sdot sdot + minus minus = +

Ako je S(p q) središte kružnice a r njezin polumjer tada središnja jednadžba kružnice glasi

( ) ( )2

2 2

x p y q rminus + minus =

Kada središte S(p q) kružnice pripada osi x tada je ordinata q središta jednaka nuli q = 0 Vrijedi

jednadžba

( ) ( ) ( )2 2 22 2 2

0x p y r x p y rminus + minus = rArr minus + =

Budući da kružnica sadrži dvije točke A i B uvrstit ćemo koordinate točaka u jednadžbu kružnice i

dobiti sustav od dvije jednadžbe sa dvije nepoznanice

bull

( ) ( )

( )( ) ( )

1 02 22 2 2

1 0 1 2 2 2

A x y A

p r p rx p y r

=

rArr minus + = rArr minus =

minus + =

bull

( ) ( )

( )( ) ( )

1 42 22 2 2

1 4 1 16 2 2 2

B x y B

p r p r

x p y r

= minus

rArr minus minus + = rArr + + =

minus + =

Iz sustava jednadžbi dobije se

( )

( )( ) ( )

metoda

komparaci

2 21 2 2

1 1 162 2

1 16je

p rp p

p r

minus =rArr rArr minus = + + rArr

+ + =

2 21 2 1 2 16 2 2 16

2 21 1 2 2 16p p p pp p p ppp +rArr minus sdot + = + sdot + + rArr minus sdot = + sdot + rArr minus sdot = sdot ++ rArr

( )2 2 16 4 16 4 16 4 4p p p p prArr minus sdot minus sdot = rArr minus sdot = rArr minus sdot rArr = minusminus=

Računamo r2

( )( )( ) ( )

2 22 21 2 2 2 2 2

1 4 1 4 5 25

4

p rr r r r

p

minus =rArr minus minus = rArr + = rArr = rArr =

= minus

Jednadžba kružnice glasi

( )( )( ) ( )

24 25 2 22 2

4 25 4 252 2 2

p rx y x y

x p y r

= minus =rArr minus minus + = rArr + + =

minus + =

13

6

5

4

3

2

1

-1

-2

-3

-4

-5

-10 -8 -6 -4 -2 2 4 6

0

y

xS(- 4 0)

B(- 1 4)

A(10)

Vježba 133

Odredi jednadžbu kružnice koja sadrži točke A(ndash 9 0) i B(ndash 1 4) a središte pripada osi x

Rezultat ( )2 2

4 25x y+ + =

Zadatak 134 (Marin ekonomska škola)

Kako glase jednadžbe onih tangenata elipse 2 2

4 9 36x ysdot + sdot = ako je poznat koeficijent

smjera 8

9

k =

Rješenje 134

Ponovimo

1

n a c a d b cn

b d b d

sdot + sdot= + =

sdot

Elipsa kojoj se središte podudara s ishodištem koordinatnog sustava smjer glavne osi s x ndash osi a smjer

sporedne osi s y ndash osi ima jednadžbu

2 22 2 2 2 2 2

i li 12 2

x yb x a y a b

a b

sdot + sdot = sdot + =

Eksplicitni oblik jednadžbe pravca

koeficijent smjera odsječak na y osiy k x l k l= sdot + minus minus

Pravac y = k middot x + l dodiruje elipsu

2 2

12 2

x y

a b+ = ako i samo ako vrijedi

2 2

2 2a k b lsdot + =

Prvo napišemo kanonski oblik elipse

2 24 92 2 2 2

4 9 36 4 9 3 6 136

3636

x yx y x y

sdot sdotsdot + sdot = rArr sdot + sdot = rArr + = rArr

22 24 9

36 3

2 2 91 1

29 4 46

ax y x y

b

=sdot sdot rArr + = rArr + = rArr

=

Iz uvjeta dodira pravca i elipse dobije se odsječak l na y osi tangente

14

2 2 2 2 28 64 642 2 2

9 4 9 4 482 2 9 819 4 9

89

1

a k b ll l l

a b k

sdot + = rArr sdot + = rArr sdot + = rArr sdot + = rArr

= = =

64 64 4 64 36 100 1002 2 2 2 24

9 9 1 9 9 9l l l l l

+rArr + = rArr + = rArr = rArr = rArr = rArr

10

1100 100 102 3

12 12 109 9 32 3

l

l l l

l

=

rArr = rArr = plusmn rArr = plusmn rArr = minus

Jednadžbe tangenata glase

8 10 8 10

9 3 9 3

8 10 8 10

9 3 9 3

y k x l k l y x

y k x l k l y x

= sdot + = = = sdot +

rArr = sdot + = = minus = sdot minus

Vježba 134

Kako glase jednadžbe onih tangenata elipse 2 2

4 9 36x ysdot + sdot = ako je poznat koeficijent

smjera 2

3

k =

Rezultat 2 2

2 2 2 23 3

y x y x= sdot + sdot = sdot minus sdot

Zadatak 135 (Goran srednja škola)

Točka T(6 5) nalazi se na elipsi čija je velika poluos a = 9 Odredite jednadžbu elipse i

udaljenost mentildeu fokusima

Rješenje 135

Ponovimo

2 0a a a= ge

Elipsa kojoj se središte podudara s ishodištem koordinatnog sustava smjer glavne osi s x ndash osi a smjer

sporedne osi s y ndash osi ima jednadžbu

2 22 2 2 2 2 2

i li 12 2

x yb x a y a b

a b

sdot + sdot = sdot + =

Broj e naziva se linearni ekscentricitet elipse

2 2 2

2 2e a b e a b= minus rArr = minus

Fokusi (žarišta) elipse su točke s koordinatama

( ) ( ) 0 0 1 2

F e F eminus

Za realni broj x njegova je apsolutna vrijednost (modul) broj x koji odrentildeujemo na ovaj način

0

0

x xx

x x

ge=

minus lt

Ako je broj x pozitivan ili nula tada je on jednak svojoj apsolutnoj vrijednosti Za svaki x x ge 0

vrijedi x= x

Ako je x negativan broj njegova apsolutna vrijednost je suprotan broj ndash x koji je pozitivan Za svaki x

x lt 0 je x= ndash x

Ili ovako

15

Apsolutna vrijednost realnog broja x definira se

0

0 0

0

x x

x x

x x

gt

= =minus lt

Ako je broj x pozitivan broj onda ga prepišemo | x | = x | 7 | = 7

Ako je broj x negativan broj onda ga pišemo s minusom | x | = ndash x | ndash 4 | = ndash (ndash 4) = 4

Udaljenost točaka ( ) ( ) i A x y B x yB BA A

( ) ( )2 2

AB x x y yB BA A

= minus + minus

Budući da se točka T nalazi na elipsi njezine koordinate uvrstit ćemo u jednadžbu elipse

( ) ( ) 6 52 2 2 2 2 2 2 2

9 6 9 5 9 36 81 25 81

2 2 2 2 2 2

T x y T

a b b b b

b x a y a b

=

= rArr sdot + sdot = sdot rArr sdot + sdot = sdot rArr

sdot + sdot = sdot

2 2 2 2 236 2025 81 36 81 2025 45 2025b b b b brArr sdot + = sdot rArr sdot minus sdot = rArr minus sdot = minus rArr

( )2 2

45 2025 4 455b brArr minus sdot = minus rArr =minus

Jednadžba elipse glasi 2 2

2 22 2 1

12 2

81 45

81 45

x yx y

a b

a b

+ =+ =

= =rArr

Računamo linearni ekscentricitet elipse

2 281 45

81 45 36 62 2

a be e e

e a b

= = rArr = minus rArr = rArr =

= minus

Fokusi elipse imaju koordinate

( ) ( ) ( ) ( ) 0 6 0 0 6 01 1 2 2

F e F F e Fminus = minus =

pa njihova mentildeusobna udaljenost iznosi

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( )( ) ( )

6 01 1 1 1

2 2 6 0 6 6 0 0

2 2 2 2 1 2

2 2

1 2 2 1 2 1

F x y F

F x y F F F

F F x x y y

= minus

= rArr = minus minus + minus rArr

= minus + minus

( )2 2

6 6 0 12 121 2 1 2 1 2

F F F F F FrArr = + + rArr = rArr =

Vježba 135

Točka T(ndash 6 ndash 5) nalazi se na elipsi čija je velika poluos a = 9 Odredite jednadžbu elipse

Rezultat

2 2

181 45

x y+ =

16

Zadatak 136 (Maturanti HTT)

U kojim točkama kružnica x2 + y

2 = 25 siječe koordinatne osi

Rješenje 136

Ponovimo

Točka koja pripada osi y ima apscisujednaku 0

Točka koja pripada osi x ima ordinatujednaku 0

0 x

y

A(x 0)

B(0 y)

Budući da točke u kojima kružnica siječe os x imaju ordinatu jednaku 0 slijedi

2 22 2 2 2 225

0 25 0 25 25 20

5x y

x x x xy

+ =rArr + = rArr + = rArr = rArr = rArr

=

51

25 5 12 12 5

2

xx x

x

= minusrArr = plusmn rArr = plusmn rArr

=

Kružnica siječe os x u dvije točke

( ) ( )5 0 i 5 0 A Bminus

Budući da točke u kojima kružnica siječe os y imaju apscisu jednaku 0 slijedi

2 22 2 2 2 225

0 25 0 25 25 250

x y

y y y yx

+ =rArr + = rArr + = rArr = rArr = rArr

=

51

25 5 12 12 5

2

yy y

y

= minusrArr = plusmn rArr = plusmn rArr

=

Kružnica siječe os y u dvije točke

( ) ( )0 5 i 0 5 C Dminus

Vježba 136

U kojim točkama kružnica x2 + y2 = 9 siječe koordinatne osi

Rezultat ( ) ( ) ( ) ( )3 0 3 0 0 3 0 3 A B C Dminus minus

Zadatak 137 (Maturanti HTT)

Točka S(ndash 2 3) je središte kružnice koja prolazi ishodištem koordinatnoga sustava Kako glasi

jednadžba kružnice

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2

2 3 13 2 3 5A x y B x y+ + minus = + + minus =

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2

2 3 13 2 3 5C x y D x yminus + + = minus + + =

Rješenje 137

Ponovimo

( ) 2

a a=

Ako je S(p q) središte kružnice a r polumjer tada središnja jednadžba kružnice glasi

( ) ( )2

2 2

x p y q rminus + minus =

Neka su A(x1 y1) i B(x2 y2) dvije točke ravnine Tada je udaljenost točaka A i B dana s

17

( ) ( )2

1 1

2

2 2AB x x y y= minus + minus

1inačica

Kružnica sa središtem u točki S(ndash 2 3) ima jednadžbu

( ) ( )

( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )

2 3 2 2 2 22 22 3 2 3

2 2 2

S p q S

x y r x y rx p y q r

= minus

rArr minus minus + minus = rArr + + minus =

minus + minus =

Budući da kružnica prolazi ishodištem koordinatnog sustava koordinate ishodišta uvrstit ćemo u

jednadžbu kružnice i izračunati njezin polumjer

( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) ( )

0 02 2 22 2 2

0 2 0 3 2 32 2 2

2 3

O x y O

r rx y r

=

rArr + + minus = rArr + minus = rArr+ + minus =

2 2 24 9 13 13r r rrArr + = rArr = rArr =

Jednadžba kružnice glasi

( ) ( )2 2

2 3 13x y+ + minus =

Odgovor je pod A

2inačica

Kružnica sa središtem u točki S(ndash 2 3) ima jednadžbu

( ) ( )

( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )

2 3 2 2 2 22 22 3 2 3

2 2 2

S p q S

x y r x y rx p y q r

= minus

rArr minus minus + minus = rArr + + minus =

minus + minus =

Budući da kružnica prolazi ishodištem koordinatnog sustava njezin polumjer jednak je udaljenosti

izmentildeu točaka S i O

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )

2 31 1

0 02 2 2 2 2 2

0 2 0 3 0 2 0 32 2

2 1 2 1

S x y S

O x y O

r r

SO x x y y

r SO

= minus

=

rArr = minus minus + minus rArr = + + minus rArr

= minus + minus

=

( )22

2 3 4 9 13r r rrArr = + minus rArr = + rArr =

Jednadžba kružnice glasi

( ) ( ) ( ) ( ) ( )22 2 2 2

2 3 13 2 3 13x y x y+ + minus = rArr + + minus =

Odgovor je pod A

18

8

7

6

5

4

3

2

1

-1

-2

-8 -6 -4 -2 2 4 6

y

x

S(-2 3)

O(0 0)

Vježba 137 Kružnica sa središtem u točki S(1 1) prolazi ishodištem koordinatnog sustava Kako glasi

jednadžba te kružnice

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2

) 1 1 2 ) 1 1 2A x y B x yminus + + = minus + minus =

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2

) 1 1 1 ) 1 1 1C x y D x y+ + minus = minus + + =

Rezultat B

Zadatak 138 (Ivan gimnazija)

Na slici je prikazana hiperbola i njezina točka A Izračunajte koordinate točke u kojoj tangenta

na tu hiperbolu u točki A siječe os x

Rješenje 138

Ponovimo

1

a

n a dbnc b c

d

sdot= =

sdot

Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i

jedinice

0 1a n a

n nb n b

sdot= ne ne

sdot

Hiperbola kojoj se središte podudara s ishodištem koordinatnog sustava a fokusi leže na osi x ima

jednadžbu (osna jednadžba)

2 22 2 2 2 2

2

12 2

x yb x a y a b

a b

minus = rArr sdot minus sdot = sdot

gdje je a realna poluos b imaginarna poluos

19

Jednadžba tangente u točki T(x1 y1) hiperbole

2 2 2 2ili 1 1 1

1 2 2

1

x x y yb x x a y y a b

a b

sdot sdotsdot sdot minus sdot sdot = sdot minus =

a

2

Sa slike vidi se da je realna poluos hiperbole a = 2

2 2 22 2 4a a a= rArr = rArr =

Budući da točka A pripada hiperboli koordinate točke uvrstit ćemo u jednadžbu hiperbole i izračunati

imaginarnu poluos b

( ) ( )2

4 6 2 2 26 2 36 4 4

2 2 1 1 12 2 24 41

2 2

36

4

a A x y A

x yb b b

a b

= =

rArr minus = rArr minus = rArr minus = rArrminus =

29 4 9 4 2 2 2 21 1 9 4 9 4

2 21

1b b b b b

b b

rArr minus = rArr minus = rArr sdot minus = rArr sdot minus =sdot rArr

4 12 2 2 2 28 4 8 4

8

4 8

8 2b b b b brArr sdot = rArr sdot = rArr = rArr = rArr =

Jednadžba hiperbole glasi

12 24

2 2212 2 14

12 2 2

a bx y

x y

a b

= =

rArr minus =

minus =

Tangenta na hiperbolu prolazi točkom A pa je njezina jednadžba oblika

( ) ( )

12 24

226 2 31 6 2 1 1 4 1

1 1 1 14 2

2 21 1 12 2

6

4

a b

yx y x

A x y A x y

x x y y

a b

= =

sdotsdot sdot sdot

= rArr minus = rArr minus = rArr sdot minus sdot = rArr

sdot sdotminus =

13 3 3 14 1 4 1

2 2 8 4

4y x y x y xrArr minus sdot = minus sdot + rArr minus sdot = minus sdot + rArr = sdotsdot minus minus

Budući da tangenta siječe x os sjecište će imati ordinatu jednaku nula y = 0

20

3 13 1 3 1 2 2

0 0 0 8 48 4 8 4

8

3 330

y xx x x x

y

= sdot minusrArr sdot minus = rArr sdot minus = rArr minus = =sdot rArr

=

Koordinate točke glase

2 0

3

Vježba 138

Na slici je prikazana hiperbola i njezina točka A Izračunajte koordinate točke u kojoj tangenta

na tu hiperbolu u točki A siječe os y

Rezultat 1

0 4

minus

Zadatak 139 (Tina srednja škola)

Zadan je skup svih točaka koje su od točke (2 4) udaljene za 3 Napišite jednadžbu tog skupa i

skicirajte ga u zadanom koordinatnom sustavu

Rješenje 139

Ponovimo

Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) te ravnine

Ako je S(p q) središte kružnice a r polumjer tada središnja jednadžba kružnice glasi

( ) ( )2

2 2

x p y q rminus + minus =

Skup svih točaka koje su od točke (2 4) udaljene za 3 je kružnica sa središtem S(p q) = S(2 4) i

polumjerom r = 3 Njezina jednadžba glasi

( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

2 4 32 2 2 22

2 4 3 2 4 92 2 2

S p q S r

x y x yx p y q r

= =

rArr minus + minus = rArr minus + minus =

minus + minus =

9

8

7

6

5

4

3

2

1

-1

-2

-6 -4 -2 2 4 6 8 10 12

S 2 4(((( ))))

y

x

21

Vježba 139

Zadan je skup svih točaka koje su od točke (4 2) udaljene za 3 Napišite jednadžbu tog skupa

Rezultat ( ) ( )2 2

4 2 9x yminus + minus =

Zadatak 140 (Ivan srednja škola)

Točka T(10 y gt 0) leži na krivulji 2 middot y2 = 5 middot x Koliko je točka T udaljena od žarišta te

krivulje

Rješenje 140

Ponovimo

Parabola kojoj tjeme leži u ishodištu a žarište na pozitivnom dijelu osi apscisa ima jednadžbu

22 y p x= sdot sdot

gdje je p poluparametar parabole tjudaljenost žarišta do ravnalice

Koordinate žarišta (fokusa) F parabole su

02

pF

1

a

n a dbnc b c

d

sdot= =

sdot

Neka su A(x1 y1) i B(x2 y2) dvije točke ravnine Tada je udaljenost točaka A i B dana formulom

( ) ( )2

1 1

2

2 2AB x x y y= minus + minus

2

a c a d b c a c a d b c

a ab d b d b d b d

sdot minus sdot sdot + sdotminus = + = =

sdot sdot

Uočimo da je krivulja parabola

52 2 22 5 2 5 2

2y x y x y xsdot = sdot rArr sdot = sdot rArr = sdot

Njezin poluparametar p iznosi

22

5 5 52 2 52 2 2 4

2

1

2

y p x

p p py x

= sdot sdot

rArr sdot sdot= rArr sdot = rArr =

= sdot

Tada žarište (fokus) parabole ima koordinate

5 5 052 4 4 0 0 0

22 85

14

pF

F F F

p

rArr rArr rArr

=

Budući da točka T pripada paraboli uvrstit ćemo koordinate točke u jednadžbu parabole i izračunati

ordinatu y

( ) ( ) 105 52 2 2 2

10 25 25522

10 2

2

T x y T y

y y y yy x

=

rArr = sdot rArr = sdot rArr = rArr = rArr= sdot

22

( ) ( )nije rješenj

51

25 5e zbog 0

10 5 12 5

2y

yy y T x y T

y

=rArr = plusmn rArr rArr = rArr =

gt= minus

Računamo udaljenost izmentildeu točaka T i F

( ) ( )

( )

( ) ( )

( )

10 51 1

25 5 2

0 10 0 52 2 8 8

2 2

2 1 2 1

T x y T

F x y F TF

TF x x y y

=

= rArr = minus + minus rArr

= minus + minus

( )2 2 2

5 10 5 80 7525 25 25

8 1 8 8TF TF TF

minusrArr = minus + minus rArr = + rArr = minus + rArr

5625 5625 25 5625 160025

64 64 1 64TF TF TF

+rArr = + rArr = + rArr = rArr

7 225 8510625

64 8TF TF TFrArr = rArr = rArr =

Vježba 140

Točka T(10 y lt 0) leži na krivulji 2 middot y2 = 5 middot x Koliko je točka T udaljena od žarišta te

krivulje

Rezultat 10625

13

6

5

4

3

2

1

-1

-2

-3

-4

-5

-10 -8 -6 -4 -2 2 4 6

0

y

xS(- 4 0)

B(- 1 4)

A(10)

Vježba 133

Odredi jednadžbu kružnice koja sadrži točke A(ndash 9 0) i B(ndash 1 4) a središte pripada osi x

Rezultat ( )2 2

4 25x y+ + =

Zadatak 134 (Marin ekonomska škola)

Kako glase jednadžbe onih tangenata elipse 2 2

4 9 36x ysdot + sdot = ako je poznat koeficijent

smjera 8

9

k =

Rješenje 134

Ponovimo

1

n a c a d b cn

b d b d

sdot + sdot= + =

sdot

Elipsa kojoj se središte podudara s ishodištem koordinatnog sustava smjer glavne osi s x ndash osi a smjer

sporedne osi s y ndash osi ima jednadžbu

2 22 2 2 2 2 2

i li 12 2

x yb x a y a b

a b

sdot + sdot = sdot + =

Eksplicitni oblik jednadžbe pravca

koeficijent smjera odsječak na y osiy k x l k l= sdot + minus minus

Pravac y = k middot x + l dodiruje elipsu

2 2

12 2

x y

a b+ = ako i samo ako vrijedi

2 2

2 2a k b lsdot + =

Prvo napišemo kanonski oblik elipse

2 24 92 2 2 2

4 9 36 4 9 3 6 136

3636

x yx y x y

sdot sdotsdot + sdot = rArr sdot + sdot = rArr + = rArr

22 24 9

36 3

2 2 91 1

29 4 46

ax y x y

b

=sdot sdot rArr + = rArr + = rArr

=

Iz uvjeta dodira pravca i elipse dobije se odsječak l na y osi tangente

14

2 2 2 2 28 64 642 2 2

9 4 9 4 482 2 9 819 4 9

89

1

a k b ll l l

a b k

sdot + = rArr sdot + = rArr sdot + = rArr sdot + = rArr

= = =

64 64 4 64 36 100 1002 2 2 2 24

9 9 1 9 9 9l l l l l

+rArr + = rArr + = rArr = rArr = rArr = rArr

10

1100 100 102 3

12 12 109 9 32 3

l

l l l

l

=

rArr = rArr = plusmn rArr = plusmn rArr = minus

Jednadžbe tangenata glase

8 10 8 10

9 3 9 3

8 10 8 10

9 3 9 3

y k x l k l y x

y k x l k l y x

= sdot + = = = sdot +

rArr = sdot + = = minus = sdot minus

Vježba 134

Kako glase jednadžbe onih tangenata elipse 2 2

4 9 36x ysdot + sdot = ako je poznat koeficijent

smjera 2

3

k =

Rezultat 2 2

2 2 2 23 3

y x y x= sdot + sdot = sdot minus sdot

Zadatak 135 (Goran srednja škola)

Točka T(6 5) nalazi se na elipsi čija je velika poluos a = 9 Odredite jednadžbu elipse i

udaljenost mentildeu fokusima

Rješenje 135

Ponovimo

2 0a a a= ge

Elipsa kojoj se središte podudara s ishodištem koordinatnog sustava smjer glavne osi s x ndash osi a smjer

sporedne osi s y ndash osi ima jednadžbu

2 22 2 2 2 2 2

i li 12 2

x yb x a y a b

a b

sdot + sdot = sdot + =

Broj e naziva se linearni ekscentricitet elipse

2 2 2

2 2e a b e a b= minus rArr = minus

Fokusi (žarišta) elipse su točke s koordinatama

( ) ( ) 0 0 1 2

F e F eminus

Za realni broj x njegova je apsolutna vrijednost (modul) broj x koji odrentildeujemo na ovaj način

0

0

x xx

x x

ge=

minus lt

Ako je broj x pozitivan ili nula tada je on jednak svojoj apsolutnoj vrijednosti Za svaki x x ge 0

vrijedi x= x

Ako je x negativan broj njegova apsolutna vrijednost je suprotan broj ndash x koji je pozitivan Za svaki x

x lt 0 je x= ndash x

Ili ovako

15

Apsolutna vrijednost realnog broja x definira se

0

0 0

0

x x

x x

x x

gt

= =minus lt

Ako je broj x pozitivan broj onda ga prepišemo | x | = x | 7 | = 7

Ako je broj x negativan broj onda ga pišemo s minusom | x | = ndash x | ndash 4 | = ndash (ndash 4) = 4

Udaljenost točaka ( ) ( ) i A x y B x yB BA A

( ) ( )2 2

AB x x y yB BA A

= minus + minus

Budući da se točka T nalazi na elipsi njezine koordinate uvrstit ćemo u jednadžbu elipse

( ) ( ) 6 52 2 2 2 2 2 2 2

9 6 9 5 9 36 81 25 81

2 2 2 2 2 2

T x y T

a b b b b

b x a y a b

=

= rArr sdot + sdot = sdot rArr sdot + sdot = sdot rArr

sdot + sdot = sdot

2 2 2 2 236 2025 81 36 81 2025 45 2025b b b b brArr sdot + = sdot rArr sdot minus sdot = rArr minus sdot = minus rArr

( )2 2

45 2025 4 455b brArr minus sdot = minus rArr =minus

Jednadžba elipse glasi 2 2

2 22 2 1

12 2

81 45

81 45

x yx y

a b

a b

+ =+ =

= =rArr

Računamo linearni ekscentricitet elipse

2 281 45

81 45 36 62 2

a be e e

e a b

= = rArr = minus rArr = rArr =

= minus

Fokusi elipse imaju koordinate

( ) ( ) ( ) ( ) 0 6 0 0 6 01 1 2 2

F e F F e Fminus = minus =

pa njihova mentildeusobna udaljenost iznosi

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( )( ) ( )

6 01 1 1 1

2 2 6 0 6 6 0 0

2 2 2 2 1 2

2 2

1 2 2 1 2 1

F x y F

F x y F F F

F F x x y y

= minus

= rArr = minus minus + minus rArr

= minus + minus

( )2 2

6 6 0 12 121 2 1 2 1 2

F F F F F FrArr = + + rArr = rArr =

Vježba 135

Točka T(ndash 6 ndash 5) nalazi se na elipsi čija je velika poluos a = 9 Odredite jednadžbu elipse

Rezultat

2 2

181 45

x y+ =

16

Zadatak 136 (Maturanti HTT)

U kojim točkama kružnica x2 + y

2 = 25 siječe koordinatne osi

Rješenje 136

Ponovimo

Točka koja pripada osi y ima apscisujednaku 0

Točka koja pripada osi x ima ordinatujednaku 0

0 x

y

A(x 0)

B(0 y)

Budući da točke u kojima kružnica siječe os x imaju ordinatu jednaku 0 slijedi

2 22 2 2 2 225

0 25 0 25 25 20

5x y

x x x xy

+ =rArr + = rArr + = rArr = rArr = rArr

=

51

25 5 12 12 5

2

xx x

x

= minusrArr = plusmn rArr = plusmn rArr

=

Kružnica siječe os x u dvije točke

( ) ( )5 0 i 5 0 A Bminus

Budući da točke u kojima kružnica siječe os y imaju apscisu jednaku 0 slijedi

2 22 2 2 2 225

0 25 0 25 25 250

x y

y y y yx

+ =rArr + = rArr + = rArr = rArr = rArr

=

51

25 5 12 12 5

2

yy y

y

= minusrArr = plusmn rArr = plusmn rArr

=

Kružnica siječe os y u dvije točke

( ) ( )0 5 i 0 5 C Dminus

Vježba 136

U kojim točkama kružnica x2 + y2 = 9 siječe koordinatne osi

Rezultat ( ) ( ) ( ) ( )3 0 3 0 0 3 0 3 A B C Dminus minus

Zadatak 137 (Maturanti HTT)

Točka S(ndash 2 3) je središte kružnice koja prolazi ishodištem koordinatnoga sustava Kako glasi

jednadžba kružnice

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2

2 3 13 2 3 5A x y B x y+ + minus = + + minus =

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2

2 3 13 2 3 5C x y D x yminus + + = minus + + =

Rješenje 137

Ponovimo

( ) 2

a a=

Ako je S(p q) središte kružnice a r polumjer tada središnja jednadžba kružnice glasi

( ) ( )2

2 2

x p y q rminus + minus =

Neka su A(x1 y1) i B(x2 y2) dvije točke ravnine Tada je udaljenost točaka A i B dana s

17

( ) ( )2

1 1

2

2 2AB x x y y= minus + minus

1inačica

Kružnica sa središtem u točki S(ndash 2 3) ima jednadžbu

( ) ( )

( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )

2 3 2 2 2 22 22 3 2 3

2 2 2

S p q S

x y r x y rx p y q r

= minus

rArr minus minus + minus = rArr + + minus =

minus + minus =

Budući da kružnica prolazi ishodištem koordinatnog sustava koordinate ishodišta uvrstit ćemo u

jednadžbu kružnice i izračunati njezin polumjer

( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) ( )

0 02 2 22 2 2

0 2 0 3 2 32 2 2

2 3

O x y O

r rx y r

=

rArr + + minus = rArr + minus = rArr+ + minus =

2 2 24 9 13 13r r rrArr + = rArr = rArr =

Jednadžba kružnice glasi

( ) ( )2 2

2 3 13x y+ + minus =

Odgovor je pod A

2inačica

Kružnica sa središtem u točki S(ndash 2 3) ima jednadžbu

( ) ( )

( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )

2 3 2 2 2 22 22 3 2 3

2 2 2

S p q S

x y r x y rx p y q r

= minus

rArr minus minus + minus = rArr + + minus =

minus + minus =

Budući da kružnica prolazi ishodištem koordinatnog sustava njezin polumjer jednak je udaljenosti

izmentildeu točaka S i O

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )

2 31 1

0 02 2 2 2 2 2

0 2 0 3 0 2 0 32 2

2 1 2 1

S x y S

O x y O

r r

SO x x y y

r SO

= minus

=

rArr = minus minus + minus rArr = + + minus rArr

= minus + minus

=

( )22

2 3 4 9 13r r rrArr = + minus rArr = + rArr =

Jednadžba kružnice glasi

( ) ( ) ( ) ( ) ( )22 2 2 2

2 3 13 2 3 13x y x y+ + minus = rArr + + minus =

Odgovor je pod A

18

8

7

6

5

4

3

2

1

-1

-2

-8 -6 -4 -2 2 4 6

y

x

S(-2 3)

O(0 0)

Vježba 137 Kružnica sa središtem u točki S(1 1) prolazi ishodištem koordinatnog sustava Kako glasi

jednadžba te kružnice

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2

) 1 1 2 ) 1 1 2A x y B x yminus + + = minus + minus =

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2

) 1 1 1 ) 1 1 1C x y D x y+ + minus = minus + + =

Rezultat B

Zadatak 138 (Ivan gimnazija)

Na slici je prikazana hiperbola i njezina točka A Izračunajte koordinate točke u kojoj tangenta

na tu hiperbolu u točki A siječe os x

Rješenje 138

Ponovimo

1

a

n a dbnc b c

d

sdot= =

sdot

Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i

jedinice

0 1a n a

n nb n b

sdot= ne ne

sdot

Hiperbola kojoj se središte podudara s ishodištem koordinatnog sustava a fokusi leže na osi x ima

jednadžbu (osna jednadžba)

2 22 2 2 2 2

2

12 2

x yb x a y a b

a b

minus = rArr sdot minus sdot = sdot

gdje je a realna poluos b imaginarna poluos

19

Jednadžba tangente u točki T(x1 y1) hiperbole

2 2 2 2ili 1 1 1

1 2 2

1

x x y yb x x a y y a b

a b

sdot sdotsdot sdot minus sdot sdot = sdot minus =

a

2

Sa slike vidi se da je realna poluos hiperbole a = 2

2 2 22 2 4a a a= rArr = rArr =

Budući da točka A pripada hiperboli koordinate točke uvrstit ćemo u jednadžbu hiperbole i izračunati

imaginarnu poluos b

( ) ( )2

4 6 2 2 26 2 36 4 4

2 2 1 1 12 2 24 41

2 2

36

4

a A x y A

x yb b b

a b

= =

rArr minus = rArr minus = rArr minus = rArrminus =

29 4 9 4 2 2 2 21 1 9 4 9 4

2 21

1b b b b b

b b

rArr minus = rArr minus = rArr sdot minus = rArr sdot minus =sdot rArr

4 12 2 2 2 28 4 8 4

8

4 8

8 2b b b b brArr sdot = rArr sdot = rArr = rArr = rArr =

Jednadžba hiperbole glasi

12 24

2 2212 2 14

12 2 2

a bx y

x y

a b

= =

rArr minus =

minus =

Tangenta na hiperbolu prolazi točkom A pa je njezina jednadžba oblika

( ) ( )

12 24

226 2 31 6 2 1 1 4 1

1 1 1 14 2

2 21 1 12 2

6

4

a b

yx y x

A x y A x y

x x y y

a b

= =

sdotsdot sdot sdot

= rArr minus = rArr minus = rArr sdot minus sdot = rArr

sdot sdotminus =

13 3 3 14 1 4 1

2 2 8 4

4y x y x y xrArr minus sdot = minus sdot + rArr minus sdot = minus sdot + rArr = sdotsdot minus minus

Budući da tangenta siječe x os sjecište će imati ordinatu jednaku nula y = 0

20

3 13 1 3 1 2 2

0 0 0 8 48 4 8 4

8

3 330

y xx x x x

y

= sdot minusrArr sdot minus = rArr sdot minus = rArr minus = =sdot rArr

=

Koordinate točke glase

2 0

3

Vježba 138

Na slici je prikazana hiperbola i njezina točka A Izračunajte koordinate točke u kojoj tangenta

na tu hiperbolu u točki A siječe os y

Rezultat 1

0 4

minus

Zadatak 139 (Tina srednja škola)

Zadan je skup svih točaka koje su od točke (2 4) udaljene za 3 Napišite jednadžbu tog skupa i

skicirajte ga u zadanom koordinatnom sustavu

Rješenje 139

Ponovimo

Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) te ravnine

Ako je S(p q) središte kružnice a r polumjer tada središnja jednadžba kružnice glasi

( ) ( )2

2 2

x p y q rminus + minus =

Skup svih točaka koje su od točke (2 4) udaljene za 3 je kružnica sa središtem S(p q) = S(2 4) i

polumjerom r = 3 Njezina jednadžba glasi

( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

2 4 32 2 2 22

2 4 3 2 4 92 2 2

S p q S r

x y x yx p y q r

= =

rArr minus + minus = rArr minus + minus =

minus + minus =

9

8

7

6

5

4

3

2

1

-1

-2

-6 -4 -2 2 4 6 8 10 12

S 2 4(((( ))))

y

x

21

Vježba 139

Zadan je skup svih točaka koje su od točke (4 2) udaljene za 3 Napišite jednadžbu tog skupa

Rezultat ( ) ( )2 2

4 2 9x yminus + minus =

Zadatak 140 (Ivan srednja škola)

Točka T(10 y gt 0) leži na krivulji 2 middot y2 = 5 middot x Koliko je točka T udaljena od žarišta te

krivulje

Rješenje 140

Ponovimo

Parabola kojoj tjeme leži u ishodištu a žarište na pozitivnom dijelu osi apscisa ima jednadžbu

22 y p x= sdot sdot

gdje je p poluparametar parabole tjudaljenost žarišta do ravnalice

Koordinate žarišta (fokusa) F parabole su

02

pF

1

a

n a dbnc b c

d

sdot= =

sdot

Neka su A(x1 y1) i B(x2 y2) dvije točke ravnine Tada je udaljenost točaka A i B dana formulom

( ) ( )2

1 1

2

2 2AB x x y y= minus + minus

2

a c a d b c a c a d b c

a ab d b d b d b d

sdot minus sdot sdot + sdotminus = + = =

sdot sdot

Uočimo da je krivulja parabola

52 2 22 5 2 5 2

2y x y x y xsdot = sdot rArr sdot = sdot rArr = sdot

Njezin poluparametar p iznosi

22

5 5 52 2 52 2 2 4

2

1

2

y p x

p p py x

= sdot sdot

rArr sdot sdot= rArr sdot = rArr =

= sdot

Tada žarište (fokus) parabole ima koordinate

5 5 052 4 4 0 0 0

22 85

14

pF

F F F

p

rArr rArr rArr

=

Budući da točka T pripada paraboli uvrstit ćemo koordinate točke u jednadžbu parabole i izračunati

ordinatu y

( ) ( ) 105 52 2 2 2

10 25 25522

10 2

2

T x y T y

y y y yy x

=

rArr = sdot rArr = sdot rArr = rArr = rArr= sdot

22

( ) ( )nije rješenj

51

25 5e zbog 0

10 5 12 5

2y

yy y T x y T

y

=rArr = plusmn rArr rArr = rArr =

gt= minus

Računamo udaljenost izmentildeu točaka T i F

( ) ( )

( )

( ) ( )

( )

10 51 1

25 5 2

0 10 0 52 2 8 8

2 2

2 1 2 1

T x y T

F x y F TF

TF x x y y

=

= rArr = minus + minus rArr

= minus + minus

( )2 2 2

5 10 5 80 7525 25 25

8 1 8 8TF TF TF

minusrArr = minus + minus rArr = + rArr = minus + rArr

5625 5625 25 5625 160025

64 64 1 64TF TF TF

+rArr = + rArr = + rArr = rArr

7 225 8510625

64 8TF TF TFrArr = rArr = rArr =

Vježba 140

Točka T(10 y lt 0) leži na krivulji 2 middot y2 = 5 middot x Koliko je točka T udaljena od žarišta te

krivulje

Rezultat 10625

14

2 2 2 2 28 64 642 2 2

9 4 9 4 482 2 9 819 4 9

89

1

a k b ll l l

a b k

sdot + = rArr sdot + = rArr sdot + = rArr sdot + = rArr

= = =

64 64 4 64 36 100 1002 2 2 2 24

9 9 1 9 9 9l l l l l

+rArr + = rArr + = rArr = rArr = rArr = rArr

10

1100 100 102 3

12 12 109 9 32 3

l

l l l

l

=

rArr = rArr = plusmn rArr = plusmn rArr = minus

Jednadžbe tangenata glase

8 10 8 10

9 3 9 3

8 10 8 10

9 3 9 3

y k x l k l y x

y k x l k l y x

= sdot + = = = sdot +

rArr = sdot + = = minus = sdot minus

Vježba 134

Kako glase jednadžbe onih tangenata elipse 2 2

4 9 36x ysdot + sdot = ako je poznat koeficijent

smjera 2

3

k =

Rezultat 2 2

2 2 2 23 3

y x y x= sdot + sdot = sdot minus sdot

Zadatak 135 (Goran srednja škola)

Točka T(6 5) nalazi se na elipsi čija je velika poluos a = 9 Odredite jednadžbu elipse i

udaljenost mentildeu fokusima

Rješenje 135

Ponovimo

2 0a a a= ge

Elipsa kojoj se središte podudara s ishodištem koordinatnog sustava smjer glavne osi s x ndash osi a smjer

sporedne osi s y ndash osi ima jednadžbu

2 22 2 2 2 2 2

i li 12 2

x yb x a y a b

a b

sdot + sdot = sdot + =

Broj e naziva se linearni ekscentricitet elipse

2 2 2

2 2e a b e a b= minus rArr = minus

Fokusi (žarišta) elipse su točke s koordinatama

( ) ( ) 0 0 1 2

F e F eminus

Za realni broj x njegova je apsolutna vrijednost (modul) broj x koji odrentildeujemo na ovaj način

0

0

x xx

x x

ge=

minus lt

Ako je broj x pozitivan ili nula tada je on jednak svojoj apsolutnoj vrijednosti Za svaki x x ge 0

vrijedi x= x

Ako je x negativan broj njegova apsolutna vrijednost je suprotan broj ndash x koji je pozitivan Za svaki x

x lt 0 je x= ndash x

Ili ovako

15

Apsolutna vrijednost realnog broja x definira se

0

0 0

0

x x

x x

x x

gt

= =minus lt

Ako je broj x pozitivan broj onda ga prepišemo | x | = x | 7 | = 7

Ako je broj x negativan broj onda ga pišemo s minusom | x | = ndash x | ndash 4 | = ndash (ndash 4) = 4

Udaljenost točaka ( ) ( ) i A x y B x yB BA A

( ) ( )2 2

AB x x y yB BA A

= minus + minus

Budući da se točka T nalazi na elipsi njezine koordinate uvrstit ćemo u jednadžbu elipse

( ) ( ) 6 52 2 2 2 2 2 2 2

9 6 9 5 9 36 81 25 81

2 2 2 2 2 2

T x y T

a b b b b

b x a y a b

=

= rArr sdot + sdot = sdot rArr sdot + sdot = sdot rArr

sdot + sdot = sdot

2 2 2 2 236 2025 81 36 81 2025 45 2025b b b b brArr sdot + = sdot rArr sdot minus sdot = rArr minus sdot = minus rArr

( )2 2

45 2025 4 455b brArr minus sdot = minus rArr =minus

Jednadžba elipse glasi 2 2

2 22 2 1

12 2

81 45

81 45

x yx y

a b

a b

+ =+ =

= =rArr

Računamo linearni ekscentricitet elipse

2 281 45

81 45 36 62 2

a be e e

e a b

= = rArr = minus rArr = rArr =

= minus

Fokusi elipse imaju koordinate

( ) ( ) ( ) ( ) 0 6 0 0 6 01 1 2 2

F e F F e Fminus = minus =

pa njihova mentildeusobna udaljenost iznosi

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( )( ) ( )

6 01 1 1 1

2 2 6 0 6 6 0 0

2 2 2 2 1 2

2 2

1 2 2 1 2 1

F x y F

F x y F F F

F F x x y y

= minus

= rArr = minus minus + minus rArr

= minus + minus

( )2 2

6 6 0 12 121 2 1 2 1 2

F F F F F FrArr = + + rArr = rArr =

Vježba 135

Točka T(ndash 6 ndash 5) nalazi se na elipsi čija je velika poluos a = 9 Odredite jednadžbu elipse

Rezultat

2 2

181 45

x y+ =

16

Zadatak 136 (Maturanti HTT)

U kojim točkama kružnica x2 + y

2 = 25 siječe koordinatne osi

Rješenje 136

Ponovimo

Točka koja pripada osi y ima apscisujednaku 0

Točka koja pripada osi x ima ordinatujednaku 0

0 x

y

A(x 0)

B(0 y)

Budući da točke u kojima kružnica siječe os x imaju ordinatu jednaku 0 slijedi

2 22 2 2 2 225

0 25 0 25 25 20

5x y

x x x xy

+ =rArr + = rArr + = rArr = rArr = rArr

=

51

25 5 12 12 5

2

xx x

x

= minusrArr = plusmn rArr = plusmn rArr

=

Kružnica siječe os x u dvije točke

( ) ( )5 0 i 5 0 A Bminus

Budući da točke u kojima kružnica siječe os y imaju apscisu jednaku 0 slijedi

2 22 2 2 2 225

0 25 0 25 25 250

x y

y y y yx

+ =rArr + = rArr + = rArr = rArr = rArr

=

51

25 5 12 12 5

2

yy y

y

= minusrArr = plusmn rArr = plusmn rArr

=

Kružnica siječe os y u dvije točke

( ) ( )0 5 i 0 5 C Dminus

Vježba 136

U kojim točkama kružnica x2 + y2 = 9 siječe koordinatne osi

Rezultat ( ) ( ) ( ) ( )3 0 3 0 0 3 0 3 A B C Dminus minus

Zadatak 137 (Maturanti HTT)

Točka S(ndash 2 3) je središte kružnice koja prolazi ishodištem koordinatnoga sustava Kako glasi

jednadžba kružnice

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2

2 3 13 2 3 5A x y B x y+ + minus = + + minus =

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2

2 3 13 2 3 5C x y D x yminus + + = minus + + =

Rješenje 137

Ponovimo

( ) 2

a a=

Ako je S(p q) središte kružnice a r polumjer tada središnja jednadžba kružnice glasi

( ) ( )2

2 2

x p y q rminus + minus =

Neka su A(x1 y1) i B(x2 y2) dvije točke ravnine Tada je udaljenost točaka A i B dana s

17

( ) ( )2

1 1

2

2 2AB x x y y= minus + minus

1inačica

Kružnica sa središtem u točki S(ndash 2 3) ima jednadžbu

( ) ( )

( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )

2 3 2 2 2 22 22 3 2 3

2 2 2

S p q S

x y r x y rx p y q r

= minus

rArr minus minus + minus = rArr + + minus =

minus + minus =

Budući da kružnica prolazi ishodištem koordinatnog sustava koordinate ishodišta uvrstit ćemo u

jednadžbu kružnice i izračunati njezin polumjer

( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) ( )

0 02 2 22 2 2

0 2 0 3 2 32 2 2

2 3

O x y O

r rx y r

=

rArr + + minus = rArr + minus = rArr+ + minus =

2 2 24 9 13 13r r rrArr + = rArr = rArr =

Jednadžba kružnice glasi

( ) ( )2 2

2 3 13x y+ + minus =

Odgovor je pod A

2inačica

Kružnica sa središtem u točki S(ndash 2 3) ima jednadžbu

( ) ( )

( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )

2 3 2 2 2 22 22 3 2 3

2 2 2

S p q S

x y r x y rx p y q r

= minus

rArr minus minus + minus = rArr + + minus =

minus + minus =

Budući da kružnica prolazi ishodištem koordinatnog sustava njezin polumjer jednak je udaljenosti

izmentildeu točaka S i O

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )

2 31 1

0 02 2 2 2 2 2

0 2 0 3 0 2 0 32 2

2 1 2 1

S x y S

O x y O

r r

SO x x y y

r SO

= minus

=

rArr = minus minus + minus rArr = + + minus rArr

= minus + minus

=

( )22

2 3 4 9 13r r rrArr = + minus rArr = + rArr =

Jednadžba kružnice glasi

( ) ( ) ( ) ( ) ( )22 2 2 2

2 3 13 2 3 13x y x y+ + minus = rArr + + minus =

Odgovor je pod A

18

8

7

6

5

4

3

2

1

-1

-2

-8 -6 -4 -2 2 4 6

y

x

S(-2 3)

O(0 0)

Vježba 137 Kružnica sa središtem u točki S(1 1) prolazi ishodištem koordinatnog sustava Kako glasi

jednadžba te kružnice

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2

) 1 1 2 ) 1 1 2A x y B x yminus + + = minus + minus =

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2

) 1 1 1 ) 1 1 1C x y D x y+ + minus = minus + + =

Rezultat B

Zadatak 138 (Ivan gimnazija)

Na slici je prikazana hiperbola i njezina točka A Izračunajte koordinate točke u kojoj tangenta

na tu hiperbolu u točki A siječe os x

Rješenje 138

Ponovimo

1

a

n a dbnc b c

d

sdot= =

sdot

Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i

jedinice

0 1a n a

n nb n b

sdot= ne ne

sdot

Hiperbola kojoj se središte podudara s ishodištem koordinatnog sustava a fokusi leže na osi x ima

jednadžbu (osna jednadžba)

2 22 2 2 2 2

2

12 2

x yb x a y a b

a b

minus = rArr sdot minus sdot = sdot

gdje je a realna poluos b imaginarna poluos

19

Jednadžba tangente u točki T(x1 y1) hiperbole

2 2 2 2ili 1 1 1

1 2 2

1

x x y yb x x a y y a b

a b

sdot sdotsdot sdot minus sdot sdot = sdot minus =

a

2

Sa slike vidi se da je realna poluos hiperbole a = 2

2 2 22 2 4a a a= rArr = rArr =

Budući da točka A pripada hiperboli koordinate točke uvrstit ćemo u jednadžbu hiperbole i izračunati

imaginarnu poluos b

( ) ( )2

4 6 2 2 26 2 36 4 4

2 2 1 1 12 2 24 41

2 2

36

4

a A x y A

x yb b b

a b

= =

rArr minus = rArr minus = rArr minus = rArrminus =

29 4 9 4 2 2 2 21 1 9 4 9 4

2 21

1b b b b b

b b

rArr minus = rArr minus = rArr sdot minus = rArr sdot minus =sdot rArr

4 12 2 2 2 28 4 8 4

8

4 8

8 2b b b b brArr sdot = rArr sdot = rArr = rArr = rArr =

Jednadžba hiperbole glasi

12 24

2 2212 2 14

12 2 2

a bx y

x y

a b

= =

rArr minus =

minus =

Tangenta na hiperbolu prolazi točkom A pa je njezina jednadžba oblika

( ) ( )

12 24

226 2 31 6 2 1 1 4 1

1 1 1 14 2

2 21 1 12 2

6

4

a b

yx y x

A x y A x y

x x y y

a b

= =

sdotsdot sdot sdot

= rArr minus = rArr minus = rArr sdot minus sdot = rArr

sdot sdotminus =

13 3 3 14 1 4 1

2 2 8 4

4y x y x y xrArr minus sdot = minus sdot + rArr minus sdot = minus sdot + rArr = sdotsdot minus minus

Budući da tangenta siječe x os sjecište će imati ordinatu jednaku nula y = 0

20

3 13 1 3 1 2 2

0 0 0 8 48 4 8 4

8

3 330

y xx x x x

y

= sdot minusrArr sdot minus = rArr sdot minus = rArr minus = =sdot rArr

=

Koordinate točke glase

2 0

3

Vježba 138

Na slici je prikazana hiperbola i njezina točka A Izračunajte koordinate točke u kojoj tangenta

na tu hiperbolu u točki A siječe os y

Rezultat 1

0 4

minus

Zadatak 139 (Tina srednja škola)

Zadan je skup svih točaka koje su od točke (2 4) udaljene za 3 Napišite jednadžbu tog skupa i

skicirajte ga u zadanom koordinatnom sustavu

Rješenje 139

Ponovimo

Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) te ravnine

Ako je S(p q) središte kružnice a r polumjer tada središnja jednadžba kružnice glasi

( ) ( )2

2 2

x p y q rminus + minus =

Skup svih točaka koje su od točke (2 4) udaljene za 3 je kružnica sa središtem S(p q) = S(2 4) i

polumjerom r = 3 Njezina jednadžba glasi

( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

2 4 32 2 2 22

2 4 3 2 4 92 2 2

S p q S r

x y x yx p y q r

= =

rArr minus + minus = rArr minus + minus =

minus + minus =

9

8

7

6

5

4

3

2

1

-1

-2

-6 -4 -2 2 4 6 8 10 12

S 2 4(((( ))))

y

x

21

Vježba 139

Zadan je skup svih točaka koje su od točke (4 2) udaljene za 3 Napišite jednadžbu tog skupa

Rezultat ( ) ( )2 2

4 2 9x yminus + minus =

Zadatak 140 (Ivan srednja škola)

Točka T(10 y gt 0) leži na krivulji 2 middot y2 = 5 middot x Koliko je točka T udaljena od žarišta te

krivulje

Rješenje 140

Ponovimo

Parabola kojoj tjeme leži u ishodištu a žarište na pozitivnom dijelu osi apscisa ima jednadžbu

22 y p x= sdot sdot

gdje je p poluparametar parabole tjudaljenost žarišta do ravnalice

Koordinate žarišta (fokusa) F parabole su

02

pF

1

a

n a dbnc b c

d

sdot= =

sdot

Neka su A(x1 y1) i B(x2 y2) dvije točke ravnine Tada je udaljenost točaka A i B dana formulom

( ) ( )2

1 1

2

2 2AB x x y y= minus + minus

2

a c a d b c a c a d b c

a ab d b d b d b d

sdot minus sdot sdot + sdotminus = + = =

sdot sdot

Uočimo da je krivulja parabola

52 2 22 5 2 5 2

2y x y x y xsdot = sdot rArr sdot = sdot rArr = sdot

Njezin poluparametar p iznosi

22

5 5 52 2 52 2 2 4

2

1

2

y p x

p p py x

= sdot sdot

rArr sdot sdot= rArr sdot = rArr =

= sdot

Tada žarište (fokus) parabole ima koordinate

5 5 052 4 4 0 0 0

22 85

14

pF

F F F

p

rArr rArr rArr

=

Budući da točka T pripada paraboli uvrstit ćemo koordinate točke u jednadžbu parabole i izračunati

ordinatu y

( ) ( ) 105 52 2 2 2

10 25 25522

10 2

2

T x y T y

y y y yy x

=

rArr = sdot rArr = sdot rArr = rArr = rArr= sdot

22

( ) ( )nije rješenj

51

25 5e zbog 0

10 5 12 5

2y

yy y T x y T

y

=rArr = plusmn rArr rArr = rArr =

gt= minus

Računamo udaljenost izmentildeu točaka T i F

( ) ( )

( )

( ) ( )

( )

10 51 1

25 5 2

0 10 0 52 2 8 8

2 2

2 1 2 1

T x y T

F x y F TF

TF x x y y

=

= rArr = minus + minus rArr

= minus + minus

( )2 2 2

5 10 5 80 7525 25 25

8 1 8 8TF TF TF

minusrArr = minus + minus rArr = + rArr = minus + rArr

5625 5625 25 5625 160025

64 64 1 64TF TF TF

+rArr = + rArr = + rArr = rArr

7 225 8510625

64 8TF TF TFrArr = rArr = rArr =

Vježba 140

Točka T(10 y lt 0) leži na krivulji 2 middot y2 = 5 middot x Koliko je točka T udaljena od žarišta te

krivulje

Rezultat 10625

15

Apsolutna vrijednost realnog broja x definira se

0

0 0

0

x x

x x

x x

gt

= =minus lt

Ako je broj x pozitivan broj onda ga prepišemo | x | = x | 7 | = 7

Ako je broj x negativan broj onda ga pišemo s minusom | x | = ndash x | ndash 4 | = ndash (ndash 4) = 4

Udaljenost točaka ( ) ( ) i A x y B x yB BA A

( ) ( )2 2

AB x x y yB BA A

= minus + minus

Budući da se točka T nalazi na elipsi njezine koordinate uvrstit ćemo u jednadžbu elipse

( ) ( ) 6 52 2 2 2 2 2 2 2

9 6 9 5 9 36 81 25 81

2 2 2 2 2 2

T x y T

a b b b b

b x a y a b

=

= rArr sdot + sdot = sdot rArr sdot + sdot = sdot rArr

sdot + sdot = sdot

2 2 2 2 236 2025 81 36 81 2025 45 2025b b b b brArr sdot + = sdot rArr sdot minus sdot = rArr minus sdot = minus rArr

( )2 2

45 2025 4 455b brArr minus sdot = minus rArr =minus

Jednadžba elipse glasi 2 2

2 22 2 1

12 2

81 45

81 45

x yx y

a b

a b

+ =+ =

= =rArr

Računamo linearni ekscentricitet elipse

2 281 45

81 45 36 62 2

a be e e

e a b

= = rArr = minus rArr = rArr =

= minus

Fokusi elipse imaju koordinate

( ) ( ) ( ) ( ) 0 6 0 0 6 01 1 2 2

F e F F e Fminus = minus =

pa njihova mentildeusobna udaljenost iznosi

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( )( ) ( )

6 01 1 1 1

2 2 6 0 6 6 0 0

2 2 2 2 1 2

2 2

1 2 2 1 2 1

F x y F

F x y F F F

F F x x y y

= minus

= rArr = minus minus + minus rArr

= minus + minus

( )2 2

6 6 0 12 121 2 1 2 1 2

F F F F F FrArr = + + rArr = rArr =

Vježba 135

Točka T(ndash 6 ndash 5) nalazi se na elipsi čija je velika poluos a = 9 Odredite jednadžbu elipse

Rezultat

2 2

181 45

x y+ =

16

Zadatak 136 (Maturanti HTT)

U kojim točkama kružnica x2 + y

2 = 25 siječe koordinatne osi

Rješenje 136

Ponovimo

Točka koja pripada osi y ima apscisujednaku 0

Točka koja pripada osi x ima ordinatujednaku 0

0 x

y

A(x 0)

B(0 y)

Budući da točke u kojima kružnica siječe os x imaju ordinatu jednaku 0 slijedi

2 22 2 2 2 225

0 25 0 25 25 20

5x y

x x x xy

+ =rArr + = rArr + = rArr = rArr = rArr

=

51

25 5 12 12 5

2

xx x

x

= minusrArr = plusmn rArr = plusmn rArr

=

Kružnica siječe os x u dvije točke

( ) ( )5 0 i 5 0 A Bminus

Budući da točke u kojima kružnica siječe os y imaju apscisu jednaku 0 slijedi

2 22 2 2 2 225

0 25 0 25 25 250

x y

y y y yx

+ =rArr + = rArr + = rArr = rArr = rArr

=

51

25 5 12 12 5

2

yy y

y

= minusrArr = plusmn rArr = plusmn rArr

=

Kružnica siječe os y u dvije točke

( ) ( )0 5 i 0 5 C Dminus

Vježba 136

U kojim točkama kružnica x2 + y2 = 9 siječe koordinatne osi

Rezultat ( ) ( ) ( ) ( )3 0 3 0 0 3 0 3 A B C Dminus minus

Zadatak 137 (Maturanti HTT)

Točka S(ndash 2 3) je središte kružnice koja prolazi ishodištem koordinatnoga sustava Kako glasi

jednadžba kružnice

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2

2 3 13 2 3 5A x y B x y+ + minus = + + minus =

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2

2 3 13 2 3 5C x y D x yminus + + = minus + + =

Rješenje 137

Ponovimo

( ) 2

a a=

Ako je S(p q) središte kružnice a r polumjer tada središnja jednadžba kružnice glasi

( ) ( )2

2 2

x p y q rminus + minus =

Neka su A(x1 y1) i B(x2 y2) dvije točke ravnine Tada je udaljenost točaka A i B dana s

17

( ) ( )2

1 1

2

2 2AB x x y y= minus + minus

1inačica

Kružnica sa središtem u točki S(ndash 2 3) ima jednadžbu

( ) ( )

( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )

2 3 2 2 2 22 22 3 2 3

2 2 2

S p q S

x y r x y rx p y q r

= minus

rArr minus minus + minus = rArr + + minus =

minus + minus =

Budući da kružnica prolazi ishodištem koordinatnog sustava koordinate ishodišta uvrstit ćemo u

jednadžbu kružnice i izračunati njezin polumjer

( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) ( )

0 02 2 22 2 2

0 2 0 3 2 32 2 2

2 3

O x y O

r rx y r

=

rArr + + minus = rArr + minus = rArr+ + minus =

2 2 24 9 13 13r r rrArr + = rArr = rArr =

Jednadžba kružnice glasi

( ) ( )2 2

2 3 13x y+ + minus =

Odgovor je pod A

2inačica

Kružnica sa središtem u točki S(ndash 2 3) ima jednadžbu

( ) ( )

( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )

2 3 2 2 2 22 22 3 2 3

2 2 2

S p q S

x y r x y rx p y q r

= minus

rArr minus minus + minus = rArr + + minus =

minus + minus =

Budući da kružnica prolazi ishodištem koordinatnog sustava njezin polumjer jednak je udaljenosti

izmentildeu točaka S i O

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )

2 31 1

0 02 2 2 2 2 2

0 2 0 3 0 2 0 32 2

2 1 2 1

S x y S

O x y O

r r

SO x x y y

r SO

= minus

=

rArr = minus minus + minus rArr = + + minus rArr

= minus + minus

=

( )22

2 3 4 9 13r r rrArr = + minus rArr = + rArr =

Jednadžba kružnice glasi

( ) ( ) ( ) ( ) ( )22 2 2 2

2 3 13 2 3 13x y x y+ + minus = rArr + + minus =

Odgovor je pod A

18

8

7

6

5

4

3

2

1

-1

-2

-8 -6 -4 -2 2 4 6

y

x

S(-2 3)

O(0 0)

Vježba 137 Kružnica sa središtem u točki S(1 1) prolazi ishodištem koordinatnog sustava Kako glasi

jednadžba te kružnice

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2

) 1 1 2 ) 1 1 2A x y B x yminus + + = minus + minus =

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2

) 1 1 1 ) 1 1 1C x y D x y+ + minus = minus + + =

Rezultat B

Zadatak 138 (Ivan gimnazija)

Na slici je prikazana hiperbola i njezina točka A Izračunajte koordinate točke u kojoj tangenta

na tu hiperbolu u točki A siječe os x

Rješenje 138

Ponovimo

1

a

n a dbnc b c

d

sdot= =

sdot

Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i

jedinice

0 1a n a

n nb n b

sdot= ne ne

sdot

Hiperbola kojoj se središte podudara s ishodištem koordinatnog sustava a fokusi leže na osi x ima

jednadžbu (osna jednadžba)

2 22 2 2 2 2

2

12 2

x yb x a y a b

a b

minus = rArr sdot minus sdot = sdot

gdje je a realna poluos b imaginarna poluos

19

Jednadžba tangente u točki T(x1 y1) hiperbole

2 2 2 2ili 1 1 1

1 2 2

1

x x y yb x x a y y a b

a b

sdot sdotsdot sdot minus sdot sdot = sdot minus =

a

2

Sa slike vidi se da je realna poluos hiperbole a = 2

2 2 22 2 4a a a= rArr = rArr =

Budući da točka A pripada hiperboli koordinate točke uvrstit ćemo u jednadžbu hiperbole i izračunati

imaginarnu poluos b

( ) ( )2

4 6 2 2 26 2 36 4 4

2 2 1 1 12 2 24 41

2 2

36

4

a A x y A

x yb b b

a b

= =

rArr minus = rArr minus = rArr minus = rArrminus =

29 4 9 4 2 2 2 21 1 9 4 9 4

2 21

1b b b b b

b b

rArr minus = rArr minus = rArr sdot minus = rArr sdot minus =sdot rArr

4 12 2 2 2 28 4 8 4

8

4 8

8 2b b b b brArr sdot = rArr sdot = rArr = rArr = rArr =

Jednadžba hiperbole glasi

12 24

2 2212 2 14

12 2 2

a bx y

x y

a b

= =

rArr minus =

minus =

Tangenta na hiperbolu prolazi točkom A pa je njezina jednadžba oblika

( ) ( )

12 24

226 2 31 6 2 1 1 4 1

1 1 1 14 2

2 21 1 12 2

6

4

a b

yx y x

A x y A x y

x x y y

a b

= =

sdotsdot sdot sdot

= rArr minus = rArr minus = rArr sdot minus sdot = rArr

sdot sdotminus =

13 3 3 14 1 4 1

2 2 8 4

4y x y x y xrArr minus sdot = minus sdot + rArr minus sdot = minus sdot + rArr = sdotsdot minus minus

Budući da tangenta siječe x os sjecište će imati ordinatu jednaku nula y = 0

20

3 13 1 3 1 2 2

0 0 0 8 48 4 8 4

8

3 330

y xx x x x

y

= sdot minusrArr sdot minus = rArr sdot minus = rArr minus = =sdot rArr

=

Koordinate točke glase

2 0

3

Vježba 138

Na slici je prikazana hiperbola i njezina točka A Izračunajte koordinate točke u kojoj tangenta

na tu hiperbolu u točki A siječe os y

Rezultat 1

0 4

minus

Zadatak 139 (Tina srednja škola)

Zadan je skup svih točaka koje su od točke (2 4) udaljene za 3 Napišite jednadžbu tog skupa i

skicirajte ga u zadanom koordinatnom sustavu

Rješenje 139

Ponovimo

Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) te ravnine

Ako je S(p q) središte kružnice a r polumjer tada središnja jednadžba kružnice glasi

( ) ( )2

2 2

x p y q rminus + minus =

Skup svih točaka koje su od točke (2 4) udaljene za 3 je kružnica sa središtem S(p q) = S(2 4) i

polumjerom r = 3 Njezina jednadžba glasi

( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

2 4 32 2 2 22

2 4 3 2 4 92 2 2

S p q S r

x y x yx p y q r

= =

rArr minus + minus = rArr minus + minus =

minus + minus =

9

8

7

6

5

4

3

2

1

-1

-2

-6 -4 -2 2 4 6 8 10 12

S 2 4(((( ))))

y

x

21

Vježba 139

Zadan je skup svih točaka koje su od točke (4 2) udaljene za 3 Napišite jednadžbu tog skupa

Rezultat ( ) ( )2 2

4 2 9x yminus + minus =

Zadatak 140 (Ivan srednja škola)

Točka T(10 y gt 0) leži na krivulji 2 middot y2 = 5 middot x Koliko je točka T udaljena od žarišta te

krivulje

Rješenje 140

Ponovimo

Parabola kojoj tjeme leži u ishodištu a žarište na pozitivnom dijelu osi apscisa ima jednadžbu

22 y p x= sdot sdot

gdje je p poluparametar parabole tjudaljenost žarišta do ravnalice

Koordinate žarišta (fokusa) F parabole su

02

pF

1

a

n a dbnc b c

d

sdot= =

sdot

Neka su A(x1 y1) i B(x2 y2) dvije točke ravnine Tada je udaljenost točaka A i B dana formulom

( ) ( )2

1 1

2

2 2AB x x y y= minus + minus

2

a c a d b c a c a d b c

a ab d b d b d b d

sdot minus sdot sdot + sdotminus = + = =

sdot sdot

Uočimo da je krivulja parabola

52 2 22 5 2 5 2

2y x y x y xsdot = sdot rArr sdot = sdot rArr = sdot

Njezin poluparametar p iznosi

22

5 5 52 2 52 2 2 4

2

1

2

y p x

p p py x

= sdot sdot

rArr sdot sdot= rArr sdot = rArr =

= sdot

Tada žarište (fokus) parabole ima koordinate

5 5 052 4 4 0 0 0

22 85

14

pF

F F F

p

rArr rArr rArr

=

Budući da točka T pripada paraboli uvrstit ćemo koordinate točke u jednadžbu parabole i izračunati

ordinatu y

( ) ( ) 105 52 2 2 2

10 25 25522

10 2

2

T x y T y

y y y yy x

=

rArr = sdot rArr = sdot rArr = rArr = rArr= sdot

22

( ) ( )nije rješenj

51

25 5e zbog 0

10 5 12 5

2y

yy y T x y T

y

=rArr = plusmn rArr rArr = rArr =

gt= minus

Računamo udaljenost izmentildeu točaka T i F

( ) ( )

( )

( ) ( )

( )

10 51 1

25 5 2

0 10 0 52 2 8 8

2 2

2 1 2 1

T x y T

F x y F TF

TF x x y y

=

= rArr = minus + minus rArr

= minus + minus

( )2 2 2

5 10 5 80 7525 25 25

8 1 8 8TF TF TF

minusrArr = minus + minus rArr = + rArr = minus + rArr

5625 5625 25 5625 160025

64 64 1 64TF TF TF

+rArr = + rArr = + rArr = rArr

7 225 8510625

64 8TF TF TFrArr = rArr = rArr =

Vježba 140

Točka T(10 y lt 0) leži na krivulji 2 middot y2 = 5 middot x Koliko je točka T udaljena od žarišta te

krivulje

Rezultat 10625

16

Zadatak 136 (Maturanti HTT)

U kojim točkama kružnica x2 + y

2 = 25 siječe koordinatne osi

Rješenje 136

Ponovimo

Točka koja pripada osi y ima apscisujednaku 0

Točka koja pripada osi x ima ordinatujednaku 0

0 x

y

A(x 0)

B(0 y)

Budući da točke u kojima kružnica siječe os x imaju ordinatu jednaku 0 slijedi

2 22 2 2 2 225

0 25 0 25 25 20

5x y

x x x xy

+ =rArr + = rArr + = rArr = rArr = rArr

=

51

25 5 12 12 5

2

xx x

x

= minusrArr = plusmn rArr = plusmn rArr

=

Kružnica siječe os x u dvije točke

( ) ( )5 0 i 5 0 A Bminus

Budući da točke u kojima kružnica siječe os y imaju apscisu jednaku 0 slijedi

2 22 2 2 2 225

0 25 0 25 25 250

x y

y y y yx

+ =rArr + = rArr + = rArr = rArr = rArr

=

51

25 5 12 12 5

2

yy y

y

= minusrArr = plusmn rArr = plusmn rArr

=

Kružnica siječe os y u dvije točke

( ) ( )0 5 i 0 5 C Dminus

Vježba 136

U kojim točkama kružnica x2 + y2 = 9 siječe koordinatne osi

Rezultat ( ) ( ) ( ) ( )3 0 3 0 0 3 0 3 A B C Dminus minus

Zadatak 137 (Maturanti HTT)

Točka S(ndash 2 3) je središte kružnice koja prolazi ishodištem koordinatnoga sustava Kako glasi

jednadžba kružnice

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2

2 3 13 2 3 5A x y B x y+ + minus = + + minus =

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2

2 3 13 2 3 5C x y D x yminus + + = minus + + =

Rješenje 137

Ponovimo

( ) 2

a a=

Ako je S(p q) središte kružnice a r polumjer tada središnja jednadžba kružnice glasi

( ) ( )2

2 2

x p y q rminus + minus =

Neka su A(x1 y1) i B(x2 y2) dvije točke ravnine Tada je udaljenost točaka A i B dana s

17

( ) ( )2

1 1

2

2 2AB x x y y= minus + minus

1inačica

Kružnica sa središtem u točki S(ndash 2 3) ima jednadžbu

( ) ( )

( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )

2 3 2 2 2 22 22 3 2 3

2 2 2

S p q S

x y r x y rx p y q r

= minus

rArr minus minus + minus = rArr + + minus =

minus + minus =

Budući da kružnica prolazi ishodištem koordinatnog sustava koordinate ishodišta uvrstit ćemo u

jednadžbu kružnice i izračunati njezin polumjer

( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) ( )

0 02 2 22 2 2

0 2 0 3 2 32 2 2

2 3

O x y O

r rx y r

=

rArr + + minus = rArr + minus = rArr+ + minus =

2 2 24 9 13 13r r rrArr + = rArr = rArr =

Jednadžba kružnice glasi

( ) ( )2 2

2 3 13x y+ + minus =

Odgovor je pod A

2inačica

Kružnica sa središtem u točki S(ndash 2 3) ima jednadžbu

( ) ( )

( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )

2 3 2 2 2 22 22 3 2 3

2 2 2

S p q S

x y r x y rx p y q r

= minus

rArr minus minus + minus = rArr + + minus =

minus + minus =

Budući da kružnica prolazi ishodištem koordinatnog sustava njezin polumjer jednak je udaljenosti

izmentildeu točaka S i O

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )

2 31 1

0 02 2 2 2 2 2

0 2 0 3 0 2 0 32 2

2 1 2 1

S x y S

O x y O

r r

SO x x y y

r SO

= minus

=

rArr = minus minus + minus rArr = + + minus rArr

= minus + minus

=

( )22

2 3 4 9 13r r rrArr = + minus rArr = + rArr =

Jednadžba kružnice glasi

( ) ( ) ( ) ( ) ( )22 2 2 2

2 3 13 2 3 13x y x y+ + minus = rArr + + minus =

Odgovor je pod A

18

8

7

6

5

4

3

2

1

-1

-2

-8 -6 -4 -2 2 4 6

y

x

S(-2 3)

O(0 0)

Vježba 137 Kružnica sa središtem u točki S(1 1) prolazi ishodištem koordinatnog sustava Kako glasi

jednadžba te kružnice

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2

) 1 1 2 ) 1 1 2A x y B x yminus + + = minus + minus =

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2

) 1 1 1 ) 1 1 1C x y D x y+ + minus = minus + + =

Rezultat B

Zadatak 138 (Ivan gimnazija)

Na slici je prikazana hiperbola i njezina točka A Izračunajte koordinate točke u kojoj tangenta

na tu hiperbolu u točki A siječe os x

Rješenje 138

Ponovimo

1

a

n a dbnc b c

d

sdot= =

sdot

Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i

jedinice

0 1a n a

n nb n b

sdot= ne ne

sdot

Hiperbola kojoj se središte podudara s ishodištem koordinatnog sustava a fokusi leže na osi x ima

jednadžbu (osna jednadžba)

2 22 2 2 2 2

2

12 2

x yb x a y a b

a b

minus = rArr sdot minus sdot = sdot

gdje je a realna poluos b imaginarna poluos

19

Jednadžba tangente u točki T(x1 y1) hiperbole

2 2 2 2ili 1 1 1

1 2 2

1

x x y yb x x a y y a b

a b

sdot sdotsdot sdot minus sdot sdot = sdot minus =

a

2

Sa slike vidi se da je realna poluos hiperbole a = 2

2 2 22 2 4a a a= rArr = rArr =

Budući da točka A pripada hiperboli koordinate točke uvrstit ćemo u jednadžbu hiperbole i izračunati

imaginarnu poluos b

( ) ( )2

4 6 2 2 26 2 36 4 4

2 2 1 1 12 2 24 41

2 2

36

4

a A x y A

x yb b b

a b

= =

rArr minus = rArr minus = rArr minus = rArrminus =

29 4 9 4 2 2 2 21 1 9 4 9 4

2 21

1b b b b b

b b

rArr minus = rArr minus = rArr sdot minus = rArr sdot minus =sdot rArr

4 12 2 2 2 28 4 8 4

8

4 8

8 2b b b b brArr sdot = rArr sdot = rArr = rArr = rArr =

Jednadžba hiperbole glasi

12 24

2 2212 2 14

12 2 2

a bx y

x y

a b

= =

rArr minus =

minus =

Tangenta na hiperbolu prolazi točkom A pa je njezina jednadžba oblika

( ) ( )

12 24

226 2 31 6 2 1 1 4 1

1 1 1 14 2

2 21 1 12 2

6

4

a b

yx y x

A x y A x y

x x y y

a b

= =

sdotsdot sdot sdot

= rArr minus = rArr minus = rArr sdot minus sdot = rArr

sdot sdotminus =

13 3 3 14 1 4 1

2 2 8 4

4y x y x y xrArr minus sdot = minus sdot + rArr minus sdot = minus sdot + rArr = sdotsdot minus minus

Budući da tangenta siječe x os sjecište će imati ordinatu jednaku nula y = 0

20

3 13 1 3 1 2 2

0 0 0 8 48 4 8 4

8

3 330

y xx x x x

y

= sdot minusrArr sdot minus = rArr sdot minus = rArr minus = =sdot rArr

=

Koordinate točke glase

2 0

3

Vježba 138

Na slici je prikazana hiperbola i njezina točka A Izračunajte koordinate točke u kojoj tangenta

na tu hiperbolu u točki A siječe os y

Rezultat 1

0 4

minus

Zadatak 139 (Tina srednja škola)

Zadan je skup svih točaka koje su od točke (2 4) udaljene za 3 Napišite jednadžbu tog skupa i

skicirajte ga u zadanom koordinatnom sustavu

Rješenje 139

Ponovimo

Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) te ravnine

Ako je S(p q) središte kružnice a r polumjer tada središnja jednadžba kružnice glasi

( ) ( )2

2 2

x p y q rminus + minus =

Skup svih točaka koje su od točke (2 4) udaljene za 3 je kružnica sa središtem S(p q) = S(2 4) i

polumjerom r = 3 Njezina jednadžba glasi

( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

2 4 32 2 2 22

2 4 3 2 4 92 2 2

S p q S r

x y x yx p y q r

= =

rArr minus + minus = rArr minus + minus =

minus + minus =

9

8

7

6

5

4

3

2

1

-1

-2

-6 -4 -2 2 4 6 8 10 12

S 2 4(((( ))))

y

x

21

Vježba 139

Zadan je skup svih točaka koje su od točke (4 2) udaljene za 3 Napišite jednadžbu tog skupa

Rezultat ( ) ( )2 2

4 2 9x yminus + minus =

Zadatak 140 (Ivan srednja škola)

Točka T(10 y gt 0) leži na krivulji 2 middot y2 = 5 middot x Koliko je točka T udaljena od žarišta te

krivulje

Rješenje 140

Ponovimo

Parabola kojoj tjeme leži u ishodištu a žarište na pozitivnom dijelu osi apscisa ima jednadžbu

22 y p x= sdot sdot

gdje je p poluparametar parabole tjudaljenost žarišta do ravnalice

Koordinate žarišta (fokusa) F parabole su

02

pF

1

a

n a dbnc b c

d

sdot= =

sdot

Neka su A(x1 y1) i B(x2 y2) dvije točke ravnine Tada je udaljenost točaka A i B dana formulom

( ) ( )2

1 1

2

2 2AB x x y y= minus + minus

2

a c a d b c a c a d b c

a ab d b d b d b d

sdot minus sdot sdot + sdotminus = + = =

sdot sdot

Uočimo da je krivulja parabola

52 2 22 5 2 5 2

2y x y x y xsdot = sdot rArr sdot = sdot rArr = sdot

Njezin poluparametar p iznosi

22

5 5 52 2 52 2 2 4

2

1

2

y p x

p p py x

= sdot sdot

rArr sdot sdot= rArr sdot = rArr =

= sdot

Tada žarište (fokus) parabole ima koordinate

5 5 052 4 4 0 0 0

22 85

14

pF

F F F

p

rArr rArr rArr

=

Budući da točka T pripada paraboli uvrstit ćemo koordinate točke u jednadžbu parabole i izračunati

ordinatu y

( ) ( ) 105 52 2 2 2

10 25 25522

10 2

2

T x y T y

y y y yy x

=

rArr = sdot rArr = sdot rArr = rArr = rArr= sdot

22

( ) ( )nije rješenj

51

25 5e zbog 0

10 5 12 5

2y

yy y T x y T

y

=rArr = plusmn rArr rArr = rArr =

gt= minus

Računamo udaljenost izmentildeu točaka T i F

( ) ( )

( )

( ) ( )

( )

10 51 1

25 5 2

0 10 0 52 2 8 8

2 2

2 1 2 1

T x y T

F x y F TF

TF x x y y

=

= rArr = minus + minus rArr

= minus + minus

( )2 2 2

5 10 5 80 7525 25 25

8 1 8 8TF TF TF

minusrArr = minus + minus rArr = + rArr = minus + rArr

5625 5625 25 5625 160025

64 64 1 64TF TF TF

+rArr = + rArr = + rArr = rArr

7 225 8510625

64 8TF TF TFrArr = rArr = rArr =

Vježba 140

Točka T(10 y lt 0) leži na krivulji 2 middot y2 = 5 middot x Koliko je točka T udaljena od žarišta te

krivulje

Rezultat 10625

17

( ) ( )2

1 1

2

2 2AB x x y y= minus + minus

1inačica

Kružnica sa središtem u točki S(ndash 2 3) ima jednadžbu

( ) ( )

( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )

2 3 2 2 2 22 22 3 2 3

2 2 2

S p q S

x y r x y rx p y q r

= minus

rArr minus minus + minus = rArr + + minus =

minus + minus =

Budući da kružnica prolazi ishodištem koordinatnog sustava koordinate ishodišta uvrstit ćemo u

jednadžbu kružnice i izračunati njezin polumjer

( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) ( )

0 02 2 22 2 2

0 2 0 3 2 32 2 2

2 3

O x y O

r rx y r

=

rArr + + minus = rArr + minus = rArr+ + minus =

2 2 24 9 13 13r r rrArr + = rArr = rArr =

Jednadžba kružnice glasi

( ) ( )2 2

2 3 13x y+ + minus =

Odgovor je pod A

2inačica

Kružnica sa središtem u točki S(ndash 2 3) ima jednadžbu

( ) ( )

( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )

2 3 2 2 2 22 22 3 2 3

2 2 2

S p q S

x y r x y rx p y q r

= minus

rArr minus minus + minus = rArr + + minus =

minus + minus =

Budući da kružnica prolazi ishodištem koordinatnog sustava njezin polumjer jednak je udaljenosti

izmentildeu točaka S i O

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )

2 31 1

0 02 2 2 2 2 2

0 2 0 3 0 2 0 32 2

2 1 2 1

S x y S

O x y O

r r

SO x x y y

r SO

= minus

=

rArr = minus minus + minus rArr = + + minus rArr

= minus + minus

=

( )22

2 3 4 9 13r r rrArr = + minus rArr = + rArr =

Jednadžba kružnice glasi

( ) ( ) ( ) ( ) ( )22 2 2 2

2 3 13 2 3 13x y x y+ + minus = rArr + + minus =

Odgovor je pod A

18

8

7

6

5

4

3

2

1

-1

-2

-8 -6 -4 -2 2 4 6

y

x

S(-2 3)

O(0 0)

Vježba 137 Kružnica sa središtem u točki S(1 1) prolazi ishodištem koordinatnog sustava Kako glasi

jednadžba te kružnice

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2

) 1 1 2 ) 1 1 2A x y B x yminus + + = minus + minus =

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2

) 1 1 1 ) 1 1 1C x y D x y+ + minus = minus + + =

Rezultat B

Zadatak 138 (Ivan gimnazija)

Na slici je prikazana hiperbola i njezina točka A Izračunajte koordinate točke u kojoj tangenta

na tu hiperbolu u točki A siječe os x

Rješenje 138

Ponovimo

1

a

n a dbnc b c

d

sdot= =

sdot

Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i

jedinice

0 1a n a

n nb n b

sdot= ne ne

sdot

Hiperbola kojoj se središte podudara s ishodištem koordinatnog sustava a fokusi leže na osi x ima

jednadžbu (osna jednadžba)

2 22 2 2 2 2

2

12 2

x yb x a y a b

a b

minus = rArr sdot minus sdot = sdot

gdje je a realna poluos b imaginarna poluos

19

Jednadžba tangente u točki T(x1 y1) hiperbole

2 2 2 2ili 1 1 1

1 2 2

1

x x y yb x x a y y a b

a b

sdot sdotsdot sdot minus sdot sdot = sdot minus =

a

2

Sa slike vidi se da je realna poluos hiperbole a = 2

2 2 22 2 4a a a= rArr = rArr =

Budući da točka A pripada hiperboli koordinate točke uvrstit ćemo u jednadžbu hiperbole i izračunati

imaginarnu poluos b

( ) ( )2

4 6 2 2 26 2 36 4 4

2 2 1 1 12 2 24 41

2 2

36

4

a A x y A

x yb b b

a b

= =

rArr minus = rArr minus = rArr minus = rArrminus =

29 4 9 4 2 2 2 21 1 9 4 9 4

2 21

1b b b b b

b b

rArr minus = rArr minus = rArr sdot minus = rArr sdot minus =sdot rArr

4 12 2 2 2 28 4 8 4

8

4 8

8 2b b b b brArr sdot = rArr sdot = rArr = rArr = rArr =

Jednadžba hiperbole glasi

12 24

2 2212 2 14

12 2 2

a bx y

x y

a b

= =

rArr minus =

minus =

Tangenta na hiperbolu prolazi točkom A pa je njezina jednadžba oblika

( ) ( )

12 24

226 2 31 6 2 1 1 4 1

1 1 1 14 2

2 21 1 12 2

6

4

a b

yx y x

A x y A x y

x x y y

a b

= =

sdotsdot sdot sdot

= rArr minus = rArr minus = rArr sdot minus sdot = rArr

sdot sdotminus =

13 3 3 14 1 4 1

2 2 8 4

4y x y x y xrArr minus sdot = minus sdot + rArr minus sdot = minus sdot + rArr = sdotsdot minus minus

Budući da tangenta siječe x os sjecište će imati ordinatu jednaku nula y = 0

20

3 13 1 3 1 2 2

0 0 0 8 48 4 8 4

8

3 330

y xx x x x

y

= sdot minusrArr sdot minus = rArr sdot minus = rArr minus = =sdot rArr

=

Koordinate točke glase

2 0

3

Vježba 138

Na slici je prikazana hiperbola i njezina točka A Izračunajte koordinate točke u kojoj tangenta

na tu hiperbolu u točki A siječe os y

Rezultat 1

0 4

minus

Zadatak 139 (Tina srednja škola)

Zadan je skup svih točaka koje su od točke (2 4) udaljene za 3 Napišite jednadžbu tog skupa i

skicirajte ga u zadanom koordinatnom sustavu

Rješenje 139

Ponovimo

Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) te ravnine

Ako je S(p q) središte kružnice a r polumjer tada središnja jednadžba kružnice glasi

( ) ( )2

2 2

x p y q rminus + minus =

Skup svih točaka koje su od točke (2 4) udaljene za 3 je kružnica sa središtem S(p q) = S(2 4) i

polumjerom r = 3 Njezina jednadžba glasi

( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

2 4 32 2 2 22

2 4 3 2 4 92 2 2

S p q S r

x y x yx p y q r

= =

rArr minus + minus = rArr minus + minus =

minus + minus =

9

8

7

6

5

4

3

2

1

-1

-2

-6 -4 -2 2 4 6 8 10 12

S 2 4(((( ))))

y

x

21

Vježba 139

Zadan je skup svih točaka koje su od točke (4 2) udaljene za 3 Napišite jednadžbu tog skupa

Rezultat ( ) ( )2 2

4 2 9x yminus + minus =

Zadatak 140 (Ivan srednja škola)

Točka T(10 y gt 0) leži na krivulji 2 middot y2 = 5 middot x Koliko je točka T udaljena od žarišta te

krivulje

Rješenje 140

Ponovimo

Parabola kojoj tjeme leži u ishodištu a žarište na pozitivnom dijelu osi apscisa ima jednadžbu

22 y p x= sdot sdot

gdje je p poluparametar parabole tjudaljenost žarišta do ravnalice

Koordinate žarišta (fokusa) F parabole su

02

pF

1

a

n a dbnc b c

d

sdot= =

sdot

Neka su A(x1 y1) i B(x2 y2) dvije točke ravnine Tada je udaljenost točaka A i B dana formulom

( ) ( )2

1 1

2

2 2AB x x y y= minus + minus

2

a c a d b c a c a d b c

a ab d b d b d b d

sdot minus sdot sdot + sdotminus = + = =

sdot sdot

Uočimo da je krivulja parabola

52 2 22 5 2 5 2

2y x y x y xsdot = sdot rArr sdot = sdot rArr = sdot

Njezin poluparametar p iznosi

22

5 5 52 2 52 2 2 4

2

1

2

y p x

p p py x

= sdot sdot

rArr sdot sdot= rArr sdot = rArr =

= sdot

Tada žarište (fokus) parabole ima koordinate

5 5 052 4 4 0 0 0

22 85

14

pF

F F F

p

rArr rArr rArr

=

Budući da točka T pripada paraboli uvrstit ćemo koordinate točke u jednadžbu parabole i izračunati

ordinatu y

( ) ( ) 105 52 2 2 2

10 25 25522

10 2

2

T x y T y

y y y yy x

=

rArr = sdot rArr = sdot rArr = rArr = rArr= sdot

22

( ) ( )nije rješenj

51

25 5e zbog 0

10 5 12 5

2y

yy y T x y T

y

=rArr = plusmn rArr rArr = rArr =

gt= minus

Računamo udaljenost izmentildeu točaka T i F

( ) ( )

( )

( ) ( )

( )

10 51 1

25 5 2

0 10 0 52 2 8 8

2 2

2 1 2 1

T x y T

F x y F TF

TF x x y y

=

= rArr = minus + minus rArr

= minus + minus

( )2 2 2

5 10 5 80 7525 25 25

8 1 8 8TF TF TF

minusrArr = minus + minus rArr = + rArr = minus + rArr

5625 5625 25 5625 160025

64 64 1 64TF TF TF

+rArr = + rArr = + rArr = rArr

7 225 8510625

64 8TF TF TFrArr = rArr = rArr =

Vježba 140

Točka T(10 y lt 0) leži na krivulji 2 middot y2 = 5 middot x Koliko je točka T udaljena od žarišta te

krivulje

Rezultat 10625

18

8

7

6

5

4

3

2

1

-1

-2

-8 -6 -4 -2 2 4 6

y

x

S(-2 3)

O(0 0)

Vježba 137 Kružnica sa središtem u točki S(1 1) prolazi ishodištem koordinatnog sustava Kako glasi

jednadžba te kružnice

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2

) 1 1 2 ) 1 1 2A x y B x yminus + + = minus + minus =

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2

) 1 1 1 ) 1 1 1C x y D x y+ + minus = minus + + =

Rezultat B

Zadatak 138 (Ivan gimnazija)

Na slici je prikazana hiperbola i njezina točka A Izračunajte koordinate točke u kojoj tangenta

na tu hiperbolu u točki A siječe os x

Rješenje 138

Ponovimo

1

a

n a dbnc b c

d

sdot= =

sdot

Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i

jedinice

0 1a n a

n nb n b

sdot= ne ne

sdot

Hiperbola kojoj se središte podudara s ishodištem koordinatnog sustava a fokusi leže na osi x ima

jednadžbu (osna jednadžba)

2 22 2 2 2 2

2

12 2

x yb x a y a b

a b

minus = rArr sdot minus sdot = sdot

gdje je a realna poluos b imaginarna poluos

19

Jednadžba tangente u točki T(x1 y1) hiperbole

2 2 2 2ili 1 1 1

1 2 2

1

x x y yb x x a y y a b

a b

sdot sdotsdot sdot minus sdot sdot = sdot minus =

a

2

Sa slike vidi se da je realna poluos hiperbole a = 2

2 2 22 2 4a a a= rArr = rArr =

Budući da točka A pripada hiperboli koordinate točke uvrstit ćemo u jednadžbu hiperbole i izračunati

imaginarnu poluos b

( ) ( )2

4 6 2 2 26 2 36 4 4

2 2 1 1 12 2 24 41

2 2

36

4

a A x y A

x yb b b

a b

= =

rArr minus = rArr minus = rArr minus = rArrminus =

29 4 9 4 2 2 2 21 1 9 4 9 4

2 21

1b b b b b

b b

rArr minus = rArr minus = rArr sdot minus = rArr sdot minus =sdot rArr

4 12 2 2 2 28 4 8 4

8

4 8

8 2b b b b brArr sdot = rArr sdot = rArr = rArr = rArr =

Jednadžba hiperbole glasi

12 24

2 2212 2 14

12 2 2

a bx y

x y

a b

= =

rArr minus =

minus =

Tangenta na hiperbolu prolazi točkom A pa je njezina jednadžba oblika

( ) ( )

12 24

226 2 31 6 2 1 1 4 1

1 1 1 14 2

2 21 1 12 2

6

4

a b

yx y x

A x y A x y

x x y y

a b

= =

sdotsdot sdot sdot

= rArr minus = rArr minus = rArr sdot minus sdot = rArr

sdot sdotminus =

13 3 3 14 1 4 1

2 2 8 4

4y x y x y xrArr minus sdot = minus sdot + rArr minus sdot = minus sdot + rArr = sdotsdot minus minus

Budući da tangenta siječe x os sjecište će imati ordinatu jednaku nula y = 0

20

3 13 1 3 1 2 2

0 0 0 8 48 4 8 4

8

3 330

y xx x x x

y

= sdot minusrArr sdot minus = rArr sdot minus = rArr minus = =sdot rArr

=

Koordinate točke glase

2 0

3

Vježba 138

Na slici je prikazana hiperbola i njezina točka A Izračunajte koordinate točke u kojoj tangenta

na tu hiperbolu u točki A siječe os y

Rezultat 1

0 4

minus

Zadatak 139 (Tina srednja škola)

Zadan je skup svih točaka koje su od točke (2 4) udaljene za 3 Napišite jednadžbu tog skupa i

skicirajte ga u zadanom koordinatnom sustavu

Rješenje 139

Ponovimo

Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) te ravnine

Ako je S(p q) središte kružnice a r polumjer tada središnja jednadžba kružnice glasi

( ) ( )2

2 2

x p y q rminus + minus =

Skup svih točaka koje su od točke (2 4) udaljene za 3 je kružnica sa središtem S(p q) = S(2 4) i

polumjerom r = 3 Njezina jednadžba glasi

( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

2 4 32 2 2 22

2 4 3 2 4 92 2 2

S p q S r

x y x yx p y q r

= =

rArr minus + minus = rArr minus + minus =

minus + minus =

9

8

7

6

5

4

3

2

1

-1

-2

-6 -4 -2 2 4 6 8 10 12

S 2 4(((( ))))

y

x

21

Vježba 139

Zadan je skup svih točaka koje su od točke (4 2) udaljene za 3 Napišite jednadžbu tog skupa

Rezultat ( ) ( )2 2

4 2 9x yminus + minus =

Zadatak 140 (Ivan srednja škola)

Točka T(10 y gt 0) leži na krivulji 2 middot y2 = 5 middot x Koliko je točka T udaljena od žarišta te

krivulje

Rješenje 140

Ponovimo

Parabola kojoj tjeme leži u ishodištu a žarište na pozitivnom dijelu osi apscisa ima jednadžbu

22 y p x= sdot sdot

gdje je p poluparametar parabole tjudaljenost žarišta do ravnalice

Koordinate žarišta (fokusa) F parabole su

02

pF

1

a

n a dbnc b c

d

sdot= =

sdot

Neka su A(x1 y1) i B(x2 y2) dvije točke ravnine Tada je udaljenost točaka A i B dana formulom

( ) ( )2

1 1

2

2 2AB x x y y= minus + minus

2

a c a d b c a c a d b c

a ab d b d b d b d

sdot minus sdot sdot + sdotminus = + = =

sdot sdot

Uočimo da je krivulja parabola

52 2 22 5 2 5 2

2y x y x y xsdot = sdot rArr sdot = sdot rArr = sdot

Njezin poluparametar p iznosi

22

5 5 52 2 52 2 2 4

2

1

2

y p x

p p py x

= sdot sdot

rArr sdot sdot= rArr sdot = rArr =

= sdot

Tada žarište (fokus) parabole ima koordinate

5 5 052 4 4 0 0 0

22 85

14

pF

F F F

p

rArr rArr rArr

=

Budući da točka T pripada paraboli uvrstit ćemo koordinate točke u jednadžbu parabole i izračunati

ordinatu y

( ) ( ) 105 52 2 2 2

10 25 25522

10 2

2

T x y T y

y y y yy x

=

rArr = sdot rArr = sdot rArr = rArr = rArr= sdot

22

( ) ( )nije rješenj

51

25 5e zbog 0

10 5 12 5

2y

yy y T x y T

y

=rArr = plusmn rArr rArr = rArr =

gt= minus

Računamo udaljenost izmentildeu točaka T i F

( ) ( )

( )

( ) ( )

( )

10 51 1

25 5 2

0 10 0 52 2 8 8

2 2

2 1 2 1

T x y T

F x y F TF

TF x x y y

=

= rArr = minus + minus rArr

= minus + minus

( )2 2 2

5 10 5 80 7525 25 25

8 1 8 8TF TF TF

minusrArr = minus + minus rArr = + rArr = minus + rArr

5625 5625 25 5625 160025

64 64 1 64TF TF TF

+rArr = + rArr = + rArr = rArr

7 225 8510625

64 8TF TF TFrArr = rArr = rArr =

Vježba 140

Točka T(10 y lt 0) leži na krivulji 2 middot y2 = 5 middot x Koliko je točka T udaljena od žarišta te

krivulje

Rezultat 10625

19

Jednadžba tangente u točki T(x1 y1) hiperbole

2 2 2 2ili 1 1 1

1 2 2

1

x x y yb x x a y y a b

a b

sdot sdotsdot sdot minus sdot sdot = sdot minus =

a

2

Sa slike vidi se da je realna poluos hiperbole a = 2

2 2 22 2 4a a a= rArr = rArr =

Budući da točka A pripada hiperboli koordinate točke uvrstit ćemo u jednadžbu hiperbole i izračunati

imaginarnu poluos b

( ) ( )2

4 6 2 2 26 2 36 4 4

2 2 1 1 12 2 24 41

2 2

36

4

a A x y A

x yb b b

a b

= =

rArr minus = rArr minus = rArr minus = rArrminus =

29 4 9 4 2 2 2 21 1 9 4 9 4

2 21

1b b b b b

b b

rArr minus = rArr minus = rArr sdot minus = rArr sdot minus =sdot rArr

4 12 2 2 2 28 4 8 4

8

4 8

8 2b b b b brArr sdot = rArr sdot = rArr = rArr = rArr =

Jednadžba hiperbole glasi

12 24

2 2212 2 14

12 2 2

a bx y

x y

a b

= =

rArr minus =

minus =

Tangenta na hiperbolu prolazi točkom A pa je njezina jednadžba oblika

( ) ( )

12 24

226 2 31 6 2 1 1 4 1

1 1 1 14 2

2 21 1 12 2

6

4

a b

yx y x

A x y A x y

x x y y

a b

= =

sdotsdot sdot sdot

= rArr minus = rArr minus = rArr sdot minus sdot = rArr

sdot sdotminus =

13 3 3 14 1 4 1

2 2 8 4

4y x y x y xrArr minus sdot = minus sdot + rArr minus sdot = minus sdot + rArr = sdotsdot minus minus

Budući da tangenta siječe x os sjecište će imati ordinatu jednaku nula y = 0

20

3 13 1 3 1 2 2

0 0 0 8 48 4 8 4

8

3 330

y xx x x x

y

= sdot minusrArr sdot minus = rArr sdot minus = rArr minus = =sdot rArr

=

Koordinate točke glase

2 0

3

Vježba 138

Na slici je prikazana hiperbola i njezina točka A Izračunajte koordinate točke u kojoj tangenta

na tu hiperbolu u točki A siječe os y

Rezultat 1

0 4

minus

Zadatak 139 (Tina srednja škola)

Zadan je skup svih točaka koje su od točke (2 4) udaljene za 3 Napišite jednadžbu tog skupa i

skicirajte ga u zadanom koordinatnom sustavu

Rješenje 139

Ponovimo

Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) te ravnine

Ako je S(p q) središte kružnice a r polumjer tada središnja jednadžba kružnice glasi

( ) ( )2

2 2

x p y q rminus + minus =

Skup svih točaka koje su od točke (2 4) udaljene za 3 je kružnica sa središtem S(p q) = S(2 4) i

polumjerom r = 3 Njezina jednadžba glasi

( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

2 4 32 2 2 22

2 4 3 2 4 92 2 2

S p q S r

x y x yx p y q r

= =

rArr minus + minus = rArr minus + minus =

minus + minus =

9

8

7

6

5

4

3

2

1

-1

-2

-6 -4 -2 2 4 6 8 10 12

S 2 4(((( ))))

y

x

21

Vježba 139

Zadan je skup svih točaka koje su od točke (4 2) udaljene za 3 Napišite jednadžbu tog skupa

Rezultat ( ) ( )2 2

4 2 9x yminus + minus =

Zadatak 140 (Ivan srednja škola)

Točka T(10 y gt 0) leži na krivulji 2 middot y2 = 5 middot x Koliko je točka T udaljena od žarišta te

krivulje

Rješenje 140

Ponovimo

Parabola kojoj tjeme leži u ishodištu a žarište na pozitivnom dijelu osi apscisa ima jednadžbu

22 y p x= sdot sdot

gdje je p poluparametar parabole tjudaljenost žarišta do ravnalice

Koordinate žarišta (fokusa) F parabole su

02

pF

1

a

n a dbnc b c

d

sdot= =

sdot

Neka su A(x1 y1) i B(x2 y2) dvije točke ravnine Tada je udaljenost točaka A i B dana formulom

( ) ( )2

1 1

2

2 2AB x x y y= minus + minus

2

a c a d b c a c a d b c

a ab d b d b d b d

sdot minus sdot sdot + sdotminus = + = =

sdot sdot

Uočimo da je krivulja parabola

52 2 22 5 2 5 2

2y x y x y xsdot = sdot rArr sdot = sdot rArr = sdot

Njezin poluparametar p iznosi

22

5 5 52 2 52 2 2 4

2

1

2

y p x

p p py x

= sdot sdot

rArr sdot sdot= rArr sdot = rArr =

= sdot

Tada žarište (fokus) parabole ima koordinate

5 5 052 4 4 0 0 0

22 85

14

pF

F F F

p

rArr rArr rArr

=

Budući da točka T pripada paraboli uvrstit ćemo koordinate točke u jednadžbu parabole i izračunati

ordinatu y

( ) ( ) 105 52 2 2 2

10 25 25522

10 2

2

T x y T y

y y y yy x

=

rArr = sdot rArr = sdot rArr = rArr = rArr= sdot

22

( ) ( )nije rješenj

51

25 5e zbog 0

10 5 12 5

2y

yy y T x y T

y

=rArr = plusmn rArr rArr = rArr =

gt= minus

Računamo udaljenost izmentildeu točaka T i F

( ) ( )

( )

( ) ( )

( )

10 51 1

25 5 2

0 10 0 52 2 8 8

2 2

2 1 2 1

T x y T

F x y F TF

TF x x y y

=

= rArr = minus + minus rArr

= minus + minus

( )2 2 2

5 10 5 80 7525 25 25

8 1 8 8TF TF TF

minusrArr = minus + minus rArr = + rArr = minus + rArr

5625 5625 25 5625 160025

64 64 1 64TF TF TF

+rArr = + rArr = + rArr = rArr

7 225 8510625

64 8TF TF TFrArr = rArr = rArr =

Vježba 140

Točka T(10 y lt 0) leži na krivulji 2 middot y2 = 5 middot x Koliko je točka T udaljena od žarišta te

krivulje

Rezultat 10625

20

3 13 1 3 1 2 2

0 0 0 8 48 4 8 4

8

3 330

y xx x x x

y

= sdot minusrArr sdot minus = rArr sdot minus = rArr minus = =sdot rArr

=

Koordinate točke glase

2 0

3

Vježba 138

Na slici je prikazana hiperbola i njezina točka A Izračunajte koordinate točke u kojoj tangenta

na tu hiperbolu u točki A siječe os y

Rezultat 1

0 4

minus

Zadatak 139 (Tina srednja škola)

Zadan je skup svih točaka koje su od točke (2 4) udaljene za 3 Napišite jednadžbu tog skupa i

skicirajte ga u zadanom koordinatnom sustavu

Rješenje 139

Ponovimo

Kružnica je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke (središta) te ravnine

Ako je S(p q) središte kružnice a r polumjer tada središnja jednadžba kružnice glasi

( ) ( )2

2 2

x p y q rminus + minus =

Skup svih točaka koje su od točke (2 4) udaljene za 3 je kružnica sa središtem S(p q) = S(2 4) i

polumjerom r = 3 Njezina jednadžba glasi

( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

2 4 32 2 2 22

2 4 3 2 4 92 2 2

S p q S r

x y x yx p y q r

= =

rArr minus + minus = rArr minus + minus =

minus + minus =

9

8

7

6

5

4

3

2

1

-1

-2

-6 -4 -2 2 4 6 8 10 12

S 2 4(((( ))))

y

x

21

Vježba 139

Zadan je skup svih točaka koje su od točke (4 2) udaljene za 3 Napišite jednadžbu tog skupa

Rezultat ( ) ( )2 2

4 2 9x yminus + minus =

Zadatak 140 (Ivan srednja škola)

Točka T(10 y gt 0) leži na krivulji 2 middot y2 = 5 middot x Koliko je točka T udaljena od žarišta te

krivulje

Rješenje 140

Ponovimo

Parabola kojoj tjeme leži u ishodištu a žarište na pozitivnom dijelu osi apscisa ima jednadžbu

22 y p x= sdot sdot

gdje je p poluparametar parabole tjudaljenost žarišta do ravnalice

Koordinate žarišta (fokusa) F parabole su

02

pF

1

a

n a dbnc b c

d

sdot= =

sdot

Neka su A(x1 y1) i B(x2 y2) dvije točke ravnine Tada je udaljenost točaka A i B dana formulom

( ) ( )2

1 1

2

2 2AB x x y y= minus + minus

2

a c a d b c a c a d b c

a ab d b d b d b d

sdot minus sdot sdot + sdotminus = + = =

sdot sdot

Uočimo da je krivulja parabola

52 2 22 5 2 5 2

2y x y x y xsdot = sdot rArr sdot = sdot rArr = sdot

Njezin poluparametar p iznosi

22

5 5 52 2 52 2 2 4

2

1

2

y p x

p p py x

= sdot sdot

rArr sdot sdot= rArr sdot = rArr =

= sdot

Tada žarište (fokus) parabole ima koordinate

5 5 052 4 4 0 0 0

22 85

14

pF

F F F

p

rArr rArr rArr

=

Budući da točka T pripada paraboli uvrstit ćemo koordinate točke u jednadžbu parabole i izračunati

ordinatu y

( ) ( ) 105 52 2 2 2

10 25 25522

10 2

2

T x y T y

y y y yy x

=

rArr = sdot rArr = sdot rArr = rArr = rArr= sdot

22

( ) ( )nije rješenj

51

25 5e zbog 0

10 5 12 5

2y

yy y T x y T

y

=rArr = plusmn rArr rArr = rArr =

gt= minus

Računamo udaljenost izmentildeu točaka T i F

( ) ( )

( )

( ) ( )

( )

10 51 1

25 5 2

0 10 0 52 2 8 8

2 2

2 1 2 1

T x y T

F x y F TF

TF x x y y

=

= rArr = minus + minus rArr

= minus + minus

( )2 2 2

5 10 5 80 7525 25 25

8 1 8 8TF TF TF

minusrArr = minus + minus rArr = + rArr = minus + rArr

5625 5625 25 5625 160025

64 64 1 64TF TF TF

+rArr = + rArr = + rArr = rArr

7 225 8510625

64 8TF TF TFrArr = rArr = rArr =

Vježba 140

Točka T(10 y lt 0) leži na krivulji 2 middot y2 = 5 middot x Koliko je točka T udaljena od žarišta te

krivulje

Rezultat 10625

21

Vježba 139

Zadan je skup svih točaka koje su od točke (4 2) udaljene za 3 Napišite jednadžbu tog skupa

Rezultat ( ) ( )2 2

4 2 9x yminus + minus =

Zadatak 140 (Ivan srednja škola)

Točka T(10 y gt 0) leži na krivulji 2 middot y2 = 5 middot x Koliko je točka T udaljena od žarišta te

krivulje

Rješenje 140

Ponovimo

Parabola kojoj tjeme leži u ishodištu a žarište na pozitivnom dijelu osi apscisa ima jednadžbu

22 y p x= sdot sdot

gdje je p poluparametar parabole tjudaljenost žarišta do ravnalice

Koordinate žarišta (fokusa) F parabole su

02

pF

1

a

n a dbnc b c

d

sdot= =

sdot

Neka su A(x1 y1) i B(x2 y2) dvije točke ravnine Tada je udaljenost točaka A i B dana formulom

( ) ( )2

1 1

2

2 2AB x x y y= minus + minus

2

a c a d b c a c a d b c

a ab d b d b d b d

sdot minus sdot sdot + sdotminus = + = =

sdot sdot

Uočimo da je krivulja parabola

52 2 22 5 2 5 2

2y x y x y xsdot = sdot rArr sdot = sdot rArr = sdot

Njezin poluparametar p iznosi

22

5 5 52 2 52 2 2 4

2

1

2

y p x

p p py x

= sdot sdot

rArr sdot sdot= rArr sdot = rArr =

= sdot

Tada žarište (fokus) parabole ima koordinate

5 5 052 4 4 0 0 0

22 85

14

pF

F F F

p

rArr rArr rArr

=

Budući da točka T pripada paraboli uvrstit ćemo koordinate točke u jednadžbu parabole i izračunati

ordinatu y

( ) ( ) 105 52 2 2 2

10 25 25522

10 2

2

T x y T y

y y y yy x

=

rArr = sdot rArr = sdot rArr = rArr = rArr= sdot

22

( ) ( )nije rješenj

51

25 5e zbog 0

10 5 12 5

2y

yy y T x y T

y

=rArr = plusmn rArr rArr = rArr =

gt= minus

Računamo udaljenost izmentildeu točaka T i F

( ) ( )

( )

( ) ( )

( )

10 51 1

25 5 2

0 10 0 52 2 8 8

2 2

2 1 2 1

T x y T

F x y F TF

TF x x y y

=

= rArr = minus + minus rArr

= minus + minus

( )2 2 2

5 10 5 80 7525 25 25

8 1 8 8TF TF TF

minusrArr = minus + minus rArr = + rArr = minus + rArr

5625 5625 25 5625 160025

64 64 1 64TF TF TF

+rArr = + rArr = + rArr = rArr

7 225 8510625

64 8TF TF TFrArr = rArr = rArr =

Vježba 140

Točka T(10 y lt 0) leži na krivulji 2 middot y2 = 5 middot x Koliko je točka T udaljena od žarišta te

krivulje

Rezultat 10625

22

( ) ( )nije rješenj

51

25 5e zbog 0

10 5 12 5

2y

yy y T x y T

y

=rArr = plusmn rArr rArr = rArr =

gt= minus

Računamo udaljenost izmentildeu točaka T i F

( ) ( )

( )

( ) ( )

( )

10 51 1

25 5 2

0 10 0 52 2 8 8

2 2

2 1 2 1

T x y T

F x y F TF

TF x x y y

=

= rArr = minus + minus rArr

= minus + minus

( )2 2 2

5 10 5 80 7525 25 25

8 1 8 8TF TF TF

minusrArr = minus + minus rArr = + rArr = minus + rArr

5625 5625 25 5625 160025

64 64 1 64TF TF TF

+rArr = + rArr = + rArr = rArr

7 225 8510625

64 8TF TF TFrArr = rArr = rArr =

Vježba 140

Točka T(10 y lt 0) leži na krivulji 2 middot y2 = 5 middot x Koliko je točka T udaljena od žarišta te

krivulje

Rezultat 10625