Autor: Mario A. Jordán

Fundamentos de Control Realimentado

NOTA: Esta Copia de Power-Point es para uso exclusivo del Alumnado de FCR,2do. Cuatrimestre 2013. Contiene los conceptos fundamentales en el marco de la

Bibliografía disponible y es una contribución didáctica para el Curso. Esta versión está sujeta a futuras mejoras y extensiones. Para mostrar animaciones desde el comienzo presione F5

Clases 7, 8 y 9 - Versión 1 - 2014

Contenido

Estabilidad - Generalidades

Función de Transferencia de Laplace de un Sistema de Control

Diagramas en Bloques

Criterio de Estabilidad de Routh

2

Aplicación al Diseño de un Sistema de Control

Función de transferencia y respuestas temporales

Salida de un sistema dinámico:

3

Respuesta Impulsiva:

Respuesta al escalón:

Y(s) = G(s) U(s)

U(s)=1 G(s) = H(s) L -1 G(s) = h(t)

U(s)=1/s Y(s) = G(s)/s L -1 G(s)/s = y(t)

Relación entre las respuestas impulsiva y al escalón:

dy/dt = h(t)

Operaciones con bloquesSean los siguientes sistemas dinámicos aislados en bloques:

U2(s)U2/U1=G1

Y2/U2=G2

U2=Y2 / G2

Y2/U1=G1G2

Bloques en serie (Lazo abierto)

Y1(s)

Y2(s)

Bloques en cascadaY1/U=G1

Y2/U=G2Y=Y1 + Y2

Y/U=G1 + G2

Bloques en lazo cerradoU1=R - Y2

Y/U1=G1Y=G1 (R-Y2)

Y/R=G1/(1 + G1G2)Y2/Y=G2

Y=G1R-G1G2Y

4

Operaciones con bloquesTraslado de un bloque hacia atrás a través de un nodo

Traslado de un bloque hacia adelante a través de un nodo

5

Operaciones con bloquesTraslado de bloques hacia delante a través de un sumador

Traslado de un bloque hacia adelante a través de un sumador

6

Operaciones con bloquesTraslado de un bloque desde la realimentación hacia afuera y hacia adentro

Traslado de un bloque desde afuera hacia adentro del lazo

7

Operaciones con bloques

Ejemplo 1

8

Operaciones con bloquesEjemplo 2

9

Regla de Mason para hallar FT-LC

Trayecto de lazo

Ganancia de realimentaciónTrayecto directo

Nodos

Diagrama en bloques Diagrama en flujo 3 Ejemplos distintos

10

Entrada y salida

Unión de nodos

Ganancia de lazo: G1G2G4

Ganancia de trayecto directo: G1G2

Regla de Mason para hallar FT-LC

Ganancia del Trayecto directo i-ésimo

Determinante del sistema = 1 – SUMA de todas las ganancias de lazos individuales + SUMA de los productos de ganancias de cada par de lazos que no se tocan – SUMA de los productos de ganancias de cada triplete de lazos que no se tocan + …

Determinante del sistema que resulta de anular en todos los términos que se conectan con el trayecto directo i-ésimo, ya sea en algún sub-tramo o todo el tramo.

11

Regla de Mason para hallar FT-LC

Ejemplo

12

Trayecto directo Ganancia del trayecto

Trayecto de lazo Ganancia de lazo

Regla de Mason para hallar FT-LC13

Regla de Mason para hallar FT-LC14

Trayecto directo Ganancia del trayecto

Trayecto de lazo Ganancia de lazo

1

Estabilidad de sistemas dinámicos

Criterios de Estabilidad

Diagrama de Nyquist

Diagramas de Bode (frecuencia de cruce)

Raíces de la Ecuación Característica

Criterio de Routh

Función de Liapunov

Análisis Diseño

٢٢

٢ ٢

٢ ٢

٢ ٢

Lugar de las raíces ٢ ٢

Un sistema lineal invariante en el tiempo es estable si todas las raíces del polinomio denominador de su Función de Transferencia de Laplace tienen parte real negativa.

(2do orden)

De otra manera el sistema es inestable.

Definición

(2do. orden)

15

Estabilidad de sistemas dinámicosCriterio de las raíces de la Ecuación Característica. Sea:

…+ C1 e-p1t +C2 t e-p1t +C3 t2 e-p1t+ …

+……+

… …

+……+

para todos los polos con:

16

Estabilidad de sistemas dinámicosDefiniciones

ESTABILIDAD INTERNA: Todos los polos del sistema dinámico están estrictamente en el semiplano izquierdo

ESTABILIDAD NEUTRA: Un sistema dinámico es neutralmente estable cuando además de sus polos estables posee un polo en el origen y/o un par de polos imaginarios conjugados.

INESTABILIDAD: Un sistema dinámico es inestable cuando posee algún polo en el semiplano derecho y/o polos sobre el eje imaginario con multiplicidad (ejemplo un Integrador doble o un par de polos imaginarios conjugados múltiples).

ESTABILIDAD INVERSA: Un sistema es inversamente estable cuando posee todos sus ceros en el semiplano derecho.

ESTABILIDAD BIBO: Un sistema es BIBO si para cualquier entrada acotada y una condición inicial acotada, su salida es acotada.

17

Estabilidad Neutra – Ejemplo 1

G(s)=1/s

G(s)=1/s2

jw

s

jw

s

InestableNeutralmente estable

Respuesta al impulso unitario

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.50

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

Tiempo (seg)

Am

plitu

d18

Estabilidad Neutra – Ejemplo 2

G(s)=10/(s2+4)

T(s)=1/(s2+4)2

jw

s

jw

s

Inestable

Neutralmente estable

0 5 10 15 20 25 30 35-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

40

Respuesta al impulso unitario

Tiempo (seg)

Am

plitu

d19

Estabilidad Inversa – Ejemplo 3

I I

s2 + 5 s + 6

s2 + 3 s + 1.61

Respuesta al impulso unitario

Tiempo (seg)

Am

plitu

d

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

s2 + 5 s + 6

s2 + 3 s - 1.61

s2 + 3 s - 1.61

s2 + 5 s + 6

s2 + 3 s + 1.61

s2 + 5 s + 6

jw

s

jw

s

jw

sI E

I E

I E

jw

s

20

FT inversa

FT inversa

Criterio de Estabilidad de RouthDe la Teoría de Polinomios se sabe que:Una condición necesaria para que un polinomio con coeficientes reales tenga sus raíces estables es que todos sus coeficientes sean del mismo signo. Esta condición no es suficiente.

El criterio de Routh (E. Routh 1874) dice que:Una condición necesaria y suficiente para que un polinomio con coeficientes reales tenga sus raíces estables es que los signos de la primera columna del denominado “Arreglo de Routh” sean todos estrictamente positivos.

El criterio de Hurwitz (A. Hurwitz 1895) dice que:Una condición necesaria y suficiente para que un polinomio con coeficientes reales tenga sus raíces estables es que los determinantes de las sub-matrices principales de una matriz construida con el arreglo de Routh, sean positivos.

El criterio de Jury (E. Jury, 1923):Es un conocido criterio de estabilidad similar al de Routh pero para sistemas de tiempo discreto.

21

Fila Fila Fila Fila Fila Fila Fila Fila Fila

Criterio de RouthSea un sistema dinámico con FT G(s)= b(s)/a(s) con denominador mónico:

a(s) = sn+ a1 sn-1 + a2 sn-2 +…+ an-1 s + a0

Se construye un ARREGLO ordenando las dos primeras filas con coeficientesdel polinomio:

En donde el ARREGLO ordenando es:

Cambios designos?

?

22

Criterio de Routh – Cálculo de CoeficientesLa tercera fila se construye a partir de determinantes

23

Fila Fila Fila Fila Fila Fila Fila Fila Fila

Criterio de Routh – Cálculo de CoeficientesDe igual manera, la cuarta fila se construye a partir de determinantes

De manera similar con la quinta y sexta fila hasta que se llegue a la (n+1)-iésimafila, que lo general constará de un primer elemento no-nulo seguido de elementos ceros.

El aspecto del arreglo de Routh es una matriz triangular superior.

24

Fila Fila Fila Fila Fila Fila Fila Fila Fila

0

El número de cambios de signo en la primera columna marca la cantidad de polos inestables

Criterio de Routh – Cálculo de Coeficientes

Ejemplo: si la secuencia de signos es +++ - ++++, existen 2polos inestables en el sistema dinámico

Si el último elemento de la columna es cero, el sistemaposee un polo en el origen

Si una fila es cero y no existen cambios de signo, entonces el sistema posee un par de polos imaginarios conjugados

Existen dos casos patológicos que nos impiden calcular el arreglo. Estos casos se salvan con modificaciones.

25

Criterio de Routh – Caso: normalEjemplo

Existen dos raíces inestables !

26

1er Caso Patológico: un elemento nulo

Ejemplo:

Fila s3 se reemplaza!

Coef. positivo

Coef. negativo

Coef. positivo

Donde e es un númeropequeño y positivo

Por lo tanto, existen dos polos en el semiplano derecho

Se continúa con fila nueva(se divide por 3 a toda la fila)

27

2do. Caso Patológico: una fila nula

Ejemplo:

Fila s1 es nula!

No existen cambios de signo: Sistema Dinámico estable??

Polinomio auxiliar

28

2do. Caso Patológico: una fila nula

El mismo ejemplo:

El sistema no es internamente estable, pero si neutralmente estable. Su respuesta temporal no se extingue y oscila en el tiempo.

Si e es positivo, no existe cambio de signo

Por el contrario, si e es negativo, existen dos cambios de signo

Para e=0, existe un par de polos conjugados en el eje imaginario.

29

De la fila s2 se calcula:

Ejemplo: Diseño de un Sistema de Control Proporcional

Objetivos del Diseño:

Criterio de Routh – Aplicación

Objetivo 1: Encontrar la ganancia crítica (simbolizada por K*) para este proceso, es definir a este sistema en el límite de estabilidad, es decir, definirlo como marginalmente estable

Objetivo 2: Buscar un ganancia K que otorgue al sistema controlado estabilidad y una buena performance

Controlador Proceso

Realimentación unitaria

Comando

Salida controlada

30

Criterio de Routh – Aplicación31

Respuesta Impulsiva de la Planta o Proceso

5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

x 1024

0

G(s) = s (s-1) (s+6)

(s+1)

El proceso Sin Control, es Inestable !Posee un polo inestable y un integrador

Criterio de Routh – Diseño de un SCFunción de Transferencia de la Sistema de Control:

Polinomio característico del Sistema de Control se calcula de:

Al aplicar el Test de Routh de estabilidad para el Lazo de Control:

Resultan estricciones para la estabilidad:

32

Criterio de Routh – Diseño de un SCRestricción de estabilidad:

La ganancia crítica K* es: *

Raíces para K*=7.5:p1=-5.0000 p2=-0.0000 + 1.2247ip3=-0.0000 - 1.2247i

jw

s

Raíces para K=13:p1=-4.0647 p2=-0.4677 + 1.7261ip3=-0.4677 - 1.7261iRaíces para K=25:p1=-1.9084p2=-1.5458 + 3.2727ip3=-1.5458 - 3.2727i

33

05 10 15 20 25 30

-0.5

0

1

1.5

2

2.5

3Respuesta al escalón

Tiempo (seg)

Am

plitu

d

0

0.5

Criterio de Routh – Performance del SC

K*=7.5

K=13

K=25

34

Proceso

Ejemplo: Dos parámetros de diseño – Control PI

Criterio de Routh – Diseño de un SC

Controlador

Realimentación unitaria

Comando

Salida controlada

35

Ejemplo: Dos parámetros de diseño – Control PI

Criterio de Routh – Diseño de un SC36

Parámetros estabilizantes

Optimización en 2 parámetros

Función de costo para diseño:

z = min |1(t)-y(t; K, Ki)| dt0

K, Ki

% PROGRAMA DE CÁLCULO DE LA FUNCIÓN zclose all; for Ki=1:7; K1=round((Ki/3)-2); K=(Ki/3)-2; if K>K1; K1=K1+1; end for K=K1:7; T=tf([K Ki],[1 3 (2+K) Ki]); T1=tf([1],[1 0]); E=T1*(1-T); t=0:0.01:10; y=impulse(E,t); z=cumsum(abs(y)); z1=size(z); z1=z1(1); [K, Ki, z(z1)] figure (1); step(T,10); hold on (1) figure (2); impulse(E, 10); hold on (2) end end

Diseño de un PI optimizado

donde y(t) es la respuesta al escalón del sistema de control a la entrada 1(t).

La integral es convergente en la zona de estabilidad de K y Ki.

En las siguientes transparencias se busca selectivamente un par K y Ki según elgradiente de z en el dominio paramétrico.

37

Diseño de un PI optimizado

1

2

3

4

5

6

Optimización en 2 parámetros

38

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

Step Response

Time (sec)

Am

plit

ude

K Ki

2 10 34 33 7

4 3

Optimización en 2 parámetros

Diseño de un PI optimizado39

Mínimo de z

1

2

3

4

5

6

7

Diseño de un PI optimizadoOptimización en 2 parámetros

40

K Ki

4 44 25 33 3

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

Step Response

Time (sec)

Am

plit

ude

5 3

Optimización en 2 parámetros

Diseño de un PI optimizado41

Mínimo de z

1

2

3

4

5

6

7

Diseño de un PI optimizadoOptimización en 2 parámetros

42

K Ki

5 26 35 4

Diseño de un PI optimizado

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4Step Response

Time (sec)

Am

plitu

de

5 4

Optimización en 2 parámetros

43

Mínimo de z

1

2

3

4

5

6

Diseño de un PI optimizadoOptimización en 2 parámetros

44

K Ki

6 27 36 4

Optimización en 2 parámetros

Diseño de un PI optimizado

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4Step Response

Time (sec)

Am

plit

ud

e

6 4

45

Respuesta Óptima

Mínimo de z

Comparación del SC PI y la Planta sin Control

Diseño de un PI optimizado

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4Step Response

Time (sec)

Am

plit

ud

e

46

Respuesta óptima del sistema de control

Respuesta del proceso

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

Construyamos un control a lazo abierto y comparemos la performance de ambos sistemas de control.

Planta con Control a Lazo Abierto47

Respuesta óptima del sistema de control de lazo cerrado

U(s) (s+1) (s+2)

2Y(s)

Para ello modifiquemos el proceso incorporando un amplificador de valor 2

Respuesta del sistema de control de lazo abierto

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

Pensemos en un desplazamiento del polo del proceso de s=-1 a s=-0.5

Controles a Lazo Cerrado y Abierto48

Si comparamos las respuestas al escalón notamos la diferencia

Respuestas óptimas del sistema de control de lazo cerrado tras la variación paramétrica

Respuesta del sistema de control de lazo abierto tras la variación paramétrica

* La variación de la Función de Transferenciadel proceso, no afecta en demasía al SC a LC

* Pero sí significativamente al SC a LA

Conclusión:

1(t) escalón unitario