1

Redovi Brojni redovi

Definicija 1: Neka e dadena niza { }na od realni broevi i neka formirame nova niza od parcijalni sumi { }nS na sledniot na~in: 00 =S ,

1+= nnn SaS . Simbolot

=

++++=1

21 ......n

nn aaaa se vika broen red, na se

~lenovi na redot. Definicija 2: Brojniot red na velime deka konvergira ako

nizata od parcijalni sumi { }nS e konvergentna so granica S . Pri toa za brojot S velime deka e suma na redot.

==+

=

+++

+

=

+++

=

++

++

+

=+

=

SSnnnnn

S

nnnn

nn

n

n

1lim1

111

11...31

21

21

11

)1(1...

211

...)1(

1...32

121

1)1(

11

Primer 1:

=0n

nq

Primer 2:

geometriski red

qqq...qqS

nn

n

=++++= 1

11 12

( )q

qq

limq

qq

limSlim nn

n

nnn =

=

=

111

11

111

ako 1

2

0

11

=+=

+=+=+=

nnnn

nnnnnnnnnnn

alimSalimS

SalimSlimalim)Sa(limSlim

Zabele{ka

Npnnaa npn > n Np,nn,SS npn >

3

Divergencija: na - divergira nb -divergira (so ).

2 Metod na koli~nici

Neka na i nb se dva reda. Ako Kk, taka {to Nn va`i K

bak

n

n , toga{ redovite imaat ista priroda (

konvergiraat ili divergiraat)

ko: 0= q,qbalim

n

n i e kone~en broj, na

nb . 0=

n

n

ba

lim nb , na

3 Dalamberov kriterium: Neka na e red so nenegativni ~lenovi i neka postoi =+

n

n

n aa 1lim . Ako < 1 redot konvergira, a ako >1 redot divergira. Za

=1 se potrebni drugi ispituvawa. 4 Ko{iev kriterium: Neka na e red so nenegativni ~lenovi i neka postoi

=

nnn

alim . Ako < 1 redot konvergira, a ako >1 redot divergira. Za = 1 se

potrebni drugi ispituvawa. 5 : Neka na e red so nenegativni ~lenovi i neka postoi

=

+

n

n

n aa

nlim 11 .

Ako > 1 redot konvergira, a ako < 1 redot divergira. 6 o{iev integralen kriterium: f , ,

, { }1t:f . ( )

=1n

nf

( ) ( )

=

n

ndttflimdttf

11

.

4

Naizmeni~ni(alternativni) redovi

Definicija 1: Neka na e red so proizvolni znaci. Ako na e konvergenten red, toga{ za na velime deka e apsolutno konvergenten red. Ako, pak, na e divergenten red i na e konvergenten, toga{ za na velime deka e uslovno (semi) konvergenten. Definicija 2: Redot na velime deka e alternativen ako

0,0 212 nn aa ili 0,0 212 nn aa .

Primer:

=

+++=1

...51

41

31

2111)1(

n

n

n

Teorema 1 (kriterium na Lajbnic): Neka na e alternativen red. Ako nizata { }na monotono opa|a i ako 0lim = nn a , toga{ redot na e konvergenten. Sumata S ima ist znak so 1a i va`i |||| 1aS < .

=

1

)1(n

n

n

Primer:

n1

- monotono opa|a, 0)1(lim = n

n

n redot e

konvergenten no uslovno bidej}i redot

=1

1n n

e harmoniski i e

divergenten. Osobini

1 Ako redot na e apsolutno konvergenten, toga{ e i konvergenten. Dokaz na e apsolutno konvergenten. Spred Ko{ieviot kriterium:

)(,0 0 n> taka {to Np,nn > 0 va`i

5

Od druga strana, nizata od parcijalni sumi za na }e bide nn aaaS +++= ...21 i od neravenstvoto pnnpnn aaaa ++++ ++++ ...... 11 sledi

dokazot: 0nn > i

6

Funkcionalni nizi

Brojni nizibrojni redovifunkcionalni nizifunkcionalni stepenski redovi redovi furieovi redovi (trigonometriski redovi) Definicija 1: Neka e dadena niza od funkcii )...(),...,(),( 21 xfxfxf n so ista definiciona oblast. iza zna { })(xfn funkcionalna niza. Funkcionalnite nizi imaat pove}e vidovi na konvergencija:

to~kasta konvergencija ramnomerna (uniformna) konvergencija

Ako 0x e to~ka od definicionata oblast taka {to brojnata niza { })( 0xfn e

konvergentna so granica 0a , toga{ velime deka funkcionalnata niza to~kasto knvergira kon 0a za 0xx = .

Mno`estvoto od site to~ki vo koi funkcionalnata niza konvergira to~kasto se vika oblast na konvergencija. Funkcijata definirana na toa mno`estvo (oblast na konvergencija) so vrednost ednakva na granicite na soodvetnite brojni nizi se vika grani~na funkcija na funkcionalnata niza.

)(lim)( 000 xfaxf nn ==

... )(lim)( knnkk xfaxf ==

Oznaka )x(flim)x(f nn =t.k.

.

Ako )(xf e grani~na funkcija za { })(xfn , toga{ toa zna~i deka

),(,0 0 xn > , ( x - fiksno) taka {to 0nn > va`i .)()( taka {to 0nn > va`i Exxfxfn

7

Pr: nxxfn =)( ,

E)1,0( ,

=

x

n0 , 0)( =xf , 101

= .

............................

8081

3031

00

00

==

==

nx

nx

Kaj ramnomerna konvergencija 0n e fiksno i edinstveno za sekoe Ex (ne zavisi od Ex ).

Osobini kaj ramnomerno konvergentni funkcionalni nizi 1 Ramnomerna konvergencija i neprekinatost

Ako )(xfn se neprekinati na E i )x(f)x(flim nnr.k.

=

na E , toga{

)(xf e neprekinata na E . 2 Ramnomerna konvergencija i integrirawe

Ako )(xfn se neprekinati na ],[ ba i )x(f)x(flim.

nn

r.k

=

za sekoe

x ],[ ba , toga{ =x

a

x

ann

dttfdttf )()(lim za sekoe x ],[ ba .

3 Ramnomerna konvergencija i diferencirawe

Ako )x(f)x(flim nnt.k.

=

na ],[ ba , ako )(' xfn se neprekinati na ),( ba

i ako )x()x(flim.

'nn

r.k

=

na ],[ ba , toga{ )x(f)x(flim nnr.k.

=

na ],[ ba i

)()( ' xfx = .

Primer:

nnxxfn

sin)( = , 0sinlim = n

nxn

, 0)( =xf ,

8

Prvata osobina za neprekinatost ka`uva deka:

)(limlim)(limlim

)(lim)()(lim

tftf

xfxftf

nxtnnnxt

nnxt

=

==

Primer: 1)1()( = nn xxnxf neprekinati funkcii, )(0)1(lim 1 xfxxn n

n==

, za ]1,0[x , grani~nata funkcija 0)( =xf na

]1,0[x neprekinata funkcija. izata { })(xfn ne e ramnomerno konvergentna na ]1,0[ .

Dokaz ]1,0[,0)()()( = xxfxfxf nn . Za ovie razliki zemame max za ]1,0[x .

0)1)(1()( 12' == nnn nxxxnnxf , I. 00)1)(1( 1 == xnxxnn , II. nnx 12

=

za 0)(01 == xfx n , za 1

2111)(1

=

=

n

n nn

nnnxf

nnx

1

]1,0[

11)(max

=

n

nx nxf ; =

0111lim

1

en

n

n nemame ramnomerna

konvergencija. 0lim =

nnM , kade |)()(|max xfxfM nExn = e eden od kriteriumite za

ramnomerna konvergencija.

9

Funkcionalni redovi

Definicija 1: Neka { })(xU n e funkcionalna niza definirana na E . efinirame funkcionalna niza parcijalni sumi { })(xSn so ( ) ( )xUxS 11 =

( ) ( ) ( ) .n,xSxUxS nnn 21 += za . Izrazot

=1)(

nn xU se vika funkcionalen red.

Redot

=1)(

nn xU konvergira (to~kasto ili ramnomerno) ako

konvergira (to~kasto ili ramnomerno) funkcionalnata niza parcijalni sumi { })(xSn . Grani~nata funkcija na funkcionalnata niza

{ })(xSn se vika suma funkcija za funkcionalniot red

=1)(

nn xU .

Teorema 1 (Vajer{trasov kriterium za ramnomerna konvergencija na funkcionalen red): Neka e daden funkcionalniot red )(xU n . Ako

Dx ( D - definiciona oblast) va`i NnaxU nn ,)( i ako

soodvetniot broen red na e konvergenten, toga{ funkcionalniot red ramnomerno konvergira na D . Dokaz na e konvergenten { }nS e konvergentna nS e Ko{ieva niza za koja va`i )(,0 0 n> taka {to ,SS npn 0 . Neka )(xSn e op{t ~len na funkcionalnata niza od parcijalni sumi. Toga{

++++= +++++ )(...)()(...)()()( 11 xUxUxUxUxSxS pnnpnnnpn

Npnnaa pnn >

10

konvergira na ],[ ba i pri toa ( )

==1

)()()(b

an

b

an

b

a

dxxUdxxUdxxf (t.e. so

ramnomerna konvergencija redot mo`e da se integrira ~len po ~len).

Posledica 3

=1)(

nn xU Neka e funkcionalen red definiran na

],[ ba . Ako )(xU n se neprekinati na ],[ ba , ako )(' xU n se neprekinati na

),( ba , ako

=1)(

nn xU konvergira to~kasto na ],[ ba kon )(xf , ako

=1

' )(n

n xU

ramnomerno konvergira na ],[ ba kon )(x , toga{

=1)(

nn xU ramnomerno

konvergira na ],[ ba kon )(xf i )()(' xxf = (t.e. redot mo`e da se diferencira ~len po ~len). Dve klasi funkcionalni redovi (koi naj~esto se koristat)

tepenski redovi (Tajlorov red) Furieovi redovi (trigonometriski redovi)

Pr: Tajlorov red

)()()()(!

)(...)(

!1)(

)()( 00

)(

00

'

0 xRxPxRxxnxfxxxfxfxf nnn

nn

+=++++= .

Stepenski redovi

Definicija 1: Funkcionalniot red so ~lenovi stepenski funkcii se vika stepenski red.

Op{t vid na stepenski red:

=

0

0n

nn

n a,)xx(a koeficient.

Naj~esto koristen vid:

)0(...... 02

2100

=+++++=

=

xxaxaxaaxa nnn

nn

Ako = nn xax 0 to~kasto konvergira vo 0=x Teorema 1 (Abel): Ako nn xa konvergira to~kasto za 00 = xx ,

toga{ redot apsolutno konvergira za sekoe x za koe va`i 0xx < . Ako redot divergira za 0xx = , toga{ toj divergira za x za koe 0xx > .

11

Definicija 2: Neka 0>R e najgolemata po apsolutna vrednost od site to~ki (vrednosti) za koi redot nn xa to~kasto konvergira. Toga{ R se vika radius na konvergencija, a intervalot ),( RR se vika interval na konvergencija.

Teorema 2 (Ko{i-Adamar): Neka nn xa e stepenski red i neka

postoi grani~na vrednost n nnasuplim

= . Toga{ radius na konvergencija

na stepenskiot red e 1

=R .

Spored Ko{ieviot kriterium n

nna

R

=lim

1, a so pomo{ na

Dalamberoviot kriterium se dobiva formulata: 1

lim+

=

n

n

n aaR

Osobini 1 Ako R e radius na konvergencija na stepenskiot red nn xa ,

toga{ toj ramnomerno konvergira na segmentot Rrrr

12

)1ln( x+ e neprekinata funkcija i vo 01=x

2ln...41

31

211)1ln(lim

01=++=+

x

x

Primer:

2242

11...)1(...1x

xxx nn+

=++++ stepenski red

=

0

2)1(n

nn x .

ako 2xq = dobivame geometriski red

= =+++++=

0

2

11......1

n

nn

qqqqq , nna )1(=

Ko{iev kriterium: 111

lim1

===

n

nna

R )1,1( -interval na

konvergencija. Ako 1=x i 1=x se dobiva ist broen red 1-1+1-1+1.... koj divergira bidej}i 0lim na

=+x

xx

dx

02 arctan1

, za 1

13

Tajlorovi redovi

Funkcijata x1

1 e definirana za 1x i e zbir na stepenskiot red

=0n

nx , koj za 1

14

=+=

+

===

======

++++++=

+

)1(lim

)!1(1!

1

limlim,!

1

1...)0(...1)0(;1)0(

...!

...!3!2!1

1

1

)('

32

n

n

naa

Rn

a

fffnxxxxe

nnn

n

nn

n

nx

Trigonometriski redovi

Furieovi redovi

Definicija: So formulata ( )

=

++1

0 sincos2 n

nn nxbnxaa

, e zadaden

trigonometriski red, kade nn ba , se koeficienti na toj red, a sumata ( )xS na ovoj red, ako postoi, e periodi~na funkcija, i toa so period 2 . Problem: Neka ( )xf e dadena funkcija. Koi uslovi treba da gi zadovoluva za da bide suma na nekoj trigonometriski red? Re{enie: ]e pretpostavime deka f e apsolutno integrabilna na

[ ] , , t.e.

15

Dokolku se napravi istoto ako prvin )(xf i redot se pomno`at so kxsin , odnosno kxcos , a potoa se integrira, se dobiva:

Pri ova, se koristat ravenstvata: 0coscos =

kxdxnx ; 0sinsin =

kxdxnx ;

0cossin =

kxdxnx , za nk ; i

=

nxdx2cos ;

=

nxdx2sin .

Vaka presmetanite koeficienti se vikaat Furieovi koeficienti, a soodvetniot red - Furieov red (ako postoi) za funkcijata )(xf . Se postavuva pra{aweto koga taka dobieniot Furieoviot red to~kasto }e konvergira kon ( )xf na [ ] , . Odgovorot go davaat Dirihleovite uslovi. Teorema 1 (Dirihleovi uslovi): Neka )(xf e dadena funkcija koja e po delovi neprekinata (ima prekini vo kone~en broj to~ki), zaedno so svojot izvod, na ),( . Toga{ postoi nejzin Furieov red koj konvergira (to~kasto) na [ ] , i zbirnata funkcija ( )xS e ednakva na:

samata funkcija )(xf , vo site to~ki vo ),( , vo koi )(xf e neprekinata

2

)0()0( 00 ++ xfxf , vo to~kite na prekin ),(0 x

2

)0()0( ++ ff vo krajnite to~ki na segmentot [ ] , , t.e.

2)0()0()()( ++== ffSS

(vrednostite vo krajnite to~ki od osnovniot period na periodi~na funkcija se ednakvi.)

Primer:

xxf =)( , na ),( . Da se najde soodvetniot Furieov red.

( )xS e periodi~na funkcija koja e definirana na . ( )xS = )(xf , soglasno Dirihleovite uslovi, na ),(

==

nxdxxfbnxdxxfa nn sin)(

1,cos)(1

;0cos1

10

==

=

nxdxxa

xdxa

n;2)1(sin1 1

nnxdxxb nn

==

nn )1(cos =

...)33sin

22sin

1sin(2)( += xxxxS

16

)()( xSxf = , za ),( bidej}i xxf =)( nema to~ki na prekin na ),( , no

022

)0()0()()( =+=++== ffSS , {to zna~i deka ( )xS ima to~ki na prekin, {to se gleda ako se prika`e grafikot na ovaa funkcija. (iako soodvetniot red ima ~lenovi neprekinati funkcii

Od to~kastata konvergencija konstatirame deka za

=

=

222 fSx , a so zamena vo redot se dobiva:

222...)

71

51

311(2 =

=

=++ fS

4...

71

51

311 =++

Primer:

Da se najde Furieov red za funkcijata xxf =)( , za ).,( Uslovi: ( )xS (zbirnata funkcija na Furieviot red) e definirana na

),( i e periodi~na ( ))()2( xSxS =+ i 2

)0()0()()( ++== ffSS .

==

dxxfa )(10

[ ]

2

1)1(2cos)(1n

nxdxxfan

n

==

, za parno 0)2(, == naknn

0sin)(1 ==

nxdxxfbn , zatoa {to nxsin e neparna funkcija

-

3 2

-3

-2 - 0

? 3 ? ? 2 ? ? ? ? 2 ? 3 ? ? ? ?

x

y

Grafik na )(xS

17

=

=1

2)12()12cos(4

2)(

n nxnxS

bidej}i )(xf e neprekinata na ),( , za ),( x ( )xS = )(xf

)()(22

)0()0()()( ===+=++== ffffSS . Vo op{t slu~aj,

kako {to vpro~em i uvidovme od prethodniot primer, vrednostite na po~etnata funkcija )(xf ne mora da bidat ednakvi vo krajnite to~ki od intervalot ).,(

Vo ovoj slu~aj ( )xS e i neprekinata funkcija.

Za 0=x se dobiva brojniot red:

= =

12)12(

142

)0(n n

S

,

a od druga strana pak, 0)0()0( == fS , od {to sledi deka 8)12(

1 2

12

=

=n n.

Od ovde mo`e da se uvidi deka preku Furieovite redovi mo`e da se najdat sumite na nekoi brojni redovi.

Osobini

1 Ako )(xf e parna funkcija, toga{ 0=nb 2 Ako )(xf e neparna funkcija, toga{ 00 == aan 3 Ako pri re{avawe na integralite, se dobie izraz kaj kogo vo imenitelot se pojavuva izrazot 2,1 nn i sli~no, toga{ posebno se presmetuvaat 2211 ,,, baba , za 1=n odnosno za 2=n i.t.n..

-

3 2

-3

-2 -

0

? 3 ? ? 2 ? ? ? ? 2 ? 3 ? ? ? ?

x

y

)()( xSxf

=

0cos)(2 nxdxxfan

=

0sin)(2 nxdxxfbn

=

00 )(

2 dxxfa

18

4 Ako )(xf e zadadena kako inicijalna funkcija samo na intervalot ),0( , toga{ mo`e da se dobijat dva razli~ni Furieovi redovi, edniot po sinusi, a drugiot po kosinusi, vo zavisnost od neparnoto ili parnoto prodol`uvawe na )(xf na intervalot

)0,( .

Primer: Da se najde Furieoviot red po kosinusi, ako e zadadena xxf sin)( = , za ),0( x . Bidej}i }e presmetuvame po kosinusi, funkcijata parno }e ja preslikame , t.e. }e zememe deka xx sin)( = , za ),( x .

4sin2

00 == xdxa , [ ]==

1)1()1(2cossin2 12

0

nn n

nxdxxa

samo za 1>n ,

)12)(12(4,0 212 +

== kk

aa kk ; 0=nb , spored osobina 1.

Spored 3, za 1=n , posebno se presmetuva 1a : 0cossin2

01 ==

xdxxa ,

= +=

12cos

)12)(12(142)(

nnx

nnxS

, 0)()( == SS .

Za 0)0()0(,0 === Sx

= +=

1 )12)(12(1420

n nn

21...

531

311

=+

+

.

Ako pak se bara furieov red po sinusi toga{ xx sin)( = , za ),( x -(neparna funkcija) . Toga{ ( ) xsinxS = , t.e. furieoviot red ima

samo eden ~len. Zabele{ka Mo`e da se zaklu~i deka ako e dadena periodi~na funkcija, toga{ soodvetniot Furieorov red e istata taa funkcija.

/2

-1

1

3/2 -3/2 - -/2 0

? 3 ? ? 2

x

y

)(x

19

Primer: xxxf 22 cossin)( = , ),( x

===8

4cos14

sincossin22sincossin

222 xxxxxxx ova e Furieoviot

red, i toj ne mora da se presmetuva po integrali t.{. xxS 4cos81

81)( = .

Zabele{ka Dokolku po~etnata funkcija )(xf e dadena na intervalot ),( ll i gi zadovoluva Dirihleovite uslovi na ),( ll , toga{ Furieovite koeficienti se presmetuvaat po formulite:

dxlxnxf

lbdx

lxnxf

ladxxf

la

l

ln

l

ln

l

l

=== sin)(1,cos)(1,)(10

i zbirnata funkcija e periodi~na so period l2 .

Sredna kvadratna aproksimacija (Metod na najmali kvadrati)

Neka =

++=n

kkkn kxkxxP

1

0 )sincos(2

)(

e trigonometriski polinom.

Se baraat k i k odnosno )(xPn taka {to: [ ]

dxxPxf n2)()( , da ima

najmala mo`na vrednost (optimum vo odnos na nepoznatite k i k , kade )(xf e dadena funkcija na [ ] , . Vo ova se sostoi su{tinata na metodot

na najmali kvadrati.

Teorema 1: Me|u site trigonometriski polinomi so stepen n , najmalo sredno kvadratno otstapuvawe od )(xf ima onoj polinom ~ii koeficienti se vsu{nost Furieovite koeficienti kk a= i kk b= .

Sredno kvadratna aproksimacija na )(xf so )(xPn na [ ] , . Osobini na Furieovite koeficienti: 1 0lim =

nna , 2 0lim =

nnb ,

3 =

++n

kkk ba

adxxf1

22202 )(

2)(1

- Beselovo neravenstvo

=

++=1

2202 )(2

)(1n

nn baadxxf

- ravenstvo na Perseval

Ako ovaa ravenstvo e to~no toga{ velime deka furieoviot red

20

konvergira na [ ] , vo smisol na sredna kvadratna aproksimacija ( )(xf e samo integrabilna funkcija).

Teorema 2: Ako )(xf e neprekinata funkcija so ograni~en i integrabilen izvod )(' xf na ),( i )0()0( =+ ff , toga{ soodvetniot Furieov red ramnomerno konvergira kon )(xf na [ ] , .

Ojlerovi formuli:

;2

cosinxinx eenx

+= ;

2sin

ieenx

inxinx

xixexixe

ix

ix

sincossincos

=

+=

Primer: Furieov red e i od vid

=n

inxneC , daden vo kompleksen vid, kade

ZndxexfC inxn =

,)(21

.

Primer: Vo elektrotehnikata:

lxni

e

pretstavuva vi{i harmonici

=l

nn

pretstavuva branovi broevi za )(xf

{ }n se narekuva spektar na )(xf , nC kompleksna amplituda.

Primer: Ako: n

nnnnn b

atg,baA =+= 22 , Furieoviot red e:

=

++1

0 )sin(2 n

nn nxAa

- kaj prosti harmoniski oscilacii (vibracii);

An - amplituda; n - frekfencija; n - faza

( Redovi (( Brojni redovi (( Redovi so nenegativni ~lenovi (( Naizmeni~ni(alternativni) redovi (( Funkcionalni nizi (( Funkcionalni redovi (( Stepenski redovi (( Tajlorovi redovi (( Trigonometriski redovi (( Furieovi redovi (( Sredna kvadratna aproksimacija (Metod na najmali kvadrati) (