Click here to load reader
Upload
cantik02m89
View
2.994
Download
57
Embed Size (px)
Citation preview
ANALISIS GALAT (Error)Pertemuan 2
Matakuliah : METODE NUMERIK ITahun : 2008
Bina Nusantara
Galat atau ralat atau kesalahan (error) adalah selisih antara nilai sejati (sebenarnya) dengan nilai hampirannya
Dalam metoda numerik, galat berarti selisih antara nilai hasil perhitungan analitik (nilai sejati = a) dengan nilai hasil Perhitungan numerik (nilai hampiran = â)
Galat relatifer = (em/ â) x 100 %
Galat mutlakem= |a - â|
Bina Nusantara
Contoh: Misalkan nilai sejati (a) = 10,45 dan nilai hampiran (â) = 10,5, maka galat mutlaknya adalah: em = |a - â| = |10,45 – 10,5|= 0,01
Dengan galat mutlak kita tidak mengetahui seberapa dekat (teliti) hasil hampiran yang kita peroleh terhadap nilai sejatinya
Contoh:Perhitungan -1 em1 = |100,5 – 99,8| = 0,7
Perhitungan -2 em2 = |10,5 – 9,8| = 0,7
Dari dua perhitungan tsb, perhitungan mana yang lebih teliti?
Bina Nusantara
Jawaban:er1 = (0,7/99,8) x 100 % = 0, 7014 % ketelitian
99,2986 %er2 = (0,7/9,8) x 100 % = 7,14286 % ketelitian
92,8571 %Perhitungan -1 lebih teliti.
Bina Nusantara
Sumber Error/Galat numerik1. Galat pemotongan (trancation error)2. Galat pembulatan (round-off error)Galat pemotongan timbul akibat penggunaan
rumus hampiran sebagai pengganti rumus eksakMisalnya Deret Taylor
f(x) = f(x0) + f(’)(x0) (x-x0) + ½! f(”)(x0) (x-x0)2 + 1/3! f(3)(x0) (x-x0)3 + … + 1/n! f(n)(x0) (x-x0)n + Rn(x)
Rn(x) = {1/(n+1)!} f(n+1)() x(n+1), x0 < < x
Rn(x) adalah galat pemotongan
Bina Nusantara
Contoh
Cos x = 1 – 1/2! x2 + 1/4! x4 + … 1/(2n)! X(2n) + Rn(x) = 1 – ½! x2 +R1(x) = 1 – ½! x2 + ¼! x4 + R2(x) = 1 – ½! x2 + ¼! x4 – 1/6! x6 + R3(x) = 1 – ½! x2 + ¼! x4 – 1/6! x6 + ¼! x8 + R4(x)
R1(x) = Galat pemotongan untuk pendekatan orde -1 R2 (x) = Galat pemotongan untuk pendekatan orde -2 R3 (x) = Galat pemotongan untuk pendekatan orde -3 R4 (x) = Galat pemotongan untuk pendekatan orde -4
Bina Nusantara
Galat pembulatan timbul akibat penggunaan alat hitung (misalnya, kalkulator, komputer) yang kemampuannya terbatas
Contoh:1. Kalkulator/komputer dalam menyajikan bilangan 1/3 =
0.3333… yang tidak pernah tepat 1/3. Untuk perhitungan tiga desimal, 1/3 = 0.333 Terdapat galat pembulatan = 0.000333… Untuk perhitungan 6 desimal, 1/3 = 0.333333 Terdapat galat pembulatan = 0.000000333…2. Dalam sistim bilangan biner, (0.1)10 = (0.0001100110011001100110011…) 2
(0.1)10
Bina Nusantara
Penyajian bilanganDalam komputasi numerik, pada umumnya bilangan riil disajikan dalam format “floating point” atau disebut “titik kambang” yang dinormalkan.
Format floating point ternormalisasi:x = m . p
tanda; m mantisa; bilangan pokok; p eksponen m = 0.d1d2d3…dk -1 m <1Untuk sistim bilangan desimal, maka = 10 0.1 m <1; 1 d1 < 9; 0 dk < 9Untuk sistim bilangan biner, maka = 20.5 m <1; d1=1 ; 0 dk 1
Bina Nusantara
Contoh:1. Sistim bilangan desimal
0.7392.104 sering juga ditulis 0.7392 E+04 (= 7392)
- 0.3246.102 sering juga ditulis - 0.3246 E+02 (= - 32.46)
0.1627.10-3 sering juga ditulis 0.1627 E-03 (= 0.0001627)
Bina Nusantara
2. Sistim bilangan biner Untuk komputer 32 bit word, 1 bit untuk tanda, 7 bit untuk eksponen bertanda dan 24 bit untuk mantisa
0 1 0 0 1 1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1
Pangkat bertanda
Tanda 0 = + 1 = -
Mantisa
X = 0.100000000000001000110011.2-13
= 0.5000335574.10-7
Bina Nusantara
Contoh:1. a = 3,141592; â = 3,142
2
100001299,0
142,3
142,3141592,3 3
re
â mendekati a teliti sampai tiga desimal
Bina Nusantara
Bilangan â disebut mendekati a sampai pada d digit-digit yang signifikan bila d adalah bilangan positif terbesar yang memenuhi:
2
10ˆ
ˆ d
r a
aae
Batas Penghampiran
Bina Nusantara
Error Measures
• True value = Approximate value + Error
xx ~
xx ~
= Error = True value - Approximate value
r = relative error x
xx
xr ~
~
~
• d = significant digits
dr x
xx
102
1~
~
Bina Nusantara
Example
• Pi ~ 3.1416 • Better approximation x = 3.1415927. • Find the error, relative error and the number of significant digits in
the approximation.
0000073.0
1416.31415927.3
~
xx
0000023237.0
1415927.3
0000073.0
r
5.3329
)10ln(
)0000023237.0*2ln(
)10ln(
)2ln(
ed
Bina Nusantara
Error Perkiraan
A is the approximate error between the current approximate value and our previous approximate value
kkA xx ~~ 1
1
1
1 ~
~~
~
k
kk
kA
Ar x
xx
x
Bina Nusantara
Contoh
• Estimate exp(x) for x = 0.5 by adding more and more terms to the sequence and computing the errors after adding each new term. Add terms until the estimate is valid to three significant digits.
• From a calculators x = 1.648721271
!4!3!2
1432 xxx
xex
005.0102
1~2
x
xxr
Bina Nusantara
Contoh
Gunakan hanya termin I dari barisanGunakan termin I, II dan seterusnya dari barisan
# Termin Hasil
1 1 0.393
2 1.5 0.09
3 1.625 0.014
4 1.645833333 0.0017
5 1.648437500 0.00017
6 1.648697917 0.000014
1xe5.15.011 xex
%909.0648721271.1
5.1648721271.1~
x
xx
!4!3!2
1432 xxx
xex
Bina Nusantara
Deret Taylor Deret Taylor dapat digunakan untuk memperkirakan nilai
suatu fungsi pada satu titik dalam bentuk nilai fungsi dan turunannya pada titik lainnya.
Setiap fungsi kontinu dapat didekati dengan suatu polinomial.
Teorema: Suatu fungsi yang mempunyai turunan sampai orde (n+1)
dan kontinu dalam selang [a,b] dan memuat X0, maka f dapat diperluas (diekspansikan) dalam deret Taylor, yaitu:
f(x) = f(x0) + f(’)(x0) (x-x0) + ½! f(”)(x0) (x-x0)2 + 1/3! f(3)(x0) (x-x0)3 + … + 1/n! f(n)(x0) (x-x0)n + Rn
Rn =truncated error
Bina Nusantara
Secara geometris, deret Taylor mempunyai arti: apabila harga suatu fungsi diketahui di x = x0, maka harga fungsi tersebut dapat dihitung disekitar x0Contoh:1 = 1; Tentukan 1,01=?
Jawban:f(x) = x = (x)1/2, dengan x = 1,01 dan x0 = 1 dan x – x0 = 0,01 f(‘)(x) = ½ x-1/2, f(‘)(1) = ½ = 0,5f(“)(x) = -1/4 x-3/2, f(“)(1) = - ¼ = - 0,25f(3)(x) = 3/8 x-5/2 , f(3)(1) = 3/8 = 0,375f(4)(x) = -15/16 x-7/2 , f(4)(1) = -15/16 = - 0,9375
Bina Nusantara
n 0 1 2 3 4
f(n)(1) 1 0,5 -0,25 0,375 - 0,9375
f(x) = f(x0) + f(’)(x0) (x-x0) + ½! f(”)(x0) (x-x0)2 + 1/3! f(3)(x0) (x-x0)3 + … + 1/n! f(n)(x0) (x-x0)n + … = 1 + (0,5)(0,01) + (0,5)(-0,25)(0,01)2 + (0,16667)(0,375)(0,01)3 + (0,04167)(-0,9375)(0,01)4 + … = 1,0049875 (perhitungan tujuh desimal)
Selanjutnya
Bina Nusantara
Misalkan dua buah bilangan a1 dan a2 dengan nilai hampirannya masing-masing â1 dan â2
Maka: a1= â1 e1 er1= e1/ â1
a2 = â2 e2 er2 = e2/ â2Perambatan galat dari a1 dan a2 pada:
1. PenjumlahanA = a1 a2 = (â1 e1) (â2 e2)
= (â1 â2) (e1 + e2) = (â1 â2) eA
eA = e1 + e2 , yaitu galat absolut dari penjumlahan ()
PerambatanGalat
Bina Nusantara
2. Perkalian
B = a1 . a2 = (â1 e1).(â2 e2)
= (â1. â2) (â1 e2 + â2 e1 + e1 e2)
= (â1. â2) eB
eB = (â1 e2 + â2 e1 + e1 e2) erB = er1+er2
3. Pembagian
222
1
2
1
2
1
2
2
2
1
2
1
2
2
22
11
22
11
2
1
ˆ
ˆ
ˆˆ
ˆ
ˆ1
ˆˆ
ˆ
ˆ
ˆ
)ˆ(
)ˆ(
ˆ
ˆe
a
a
a
e
a
a
a
e
a
e
a
a
a
ax
ea
ea
ea
ea
a
aP
P= (â1/ â2) eP eP =
22
2
1
2
1
ˆ
ˆ
ˆe
a
a
a
e
Bina Nusantara
Soal Latihan1. Diketahui b= 1.648721271, Bila b dinyatakan dalam 4 desimal, berapakah relatif errornya?
2. π=3,14159265358…, bila π dinyatakan dalam 6 desimal, hitunglah error relatif jika:
a. dilakukan pemotongan tanpa pembulatan? b. dilakukan pemotongan dengan pembulatan?
3. Diketahui p=2,25 dan q=100 (nyatakan batas mutlak desimal sebagai error)
a. Tentukan error mutlak dari p.q b. Tentukan error relatif dari p+q
Catatan: Misalnya 10,2 adalah bilangan 1 desimal maka batas mutlaknya (0,1)/2 =0,05