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A hipotenusa ao quadrado é igual a
soma dos quadrados dos catetos.
222 cba
Essa relação só vale para triângulos
retângulos.
Para trocar a lâmpada de um poste de iluminação de uma avenida , foi usada uma escada Magirus de 15m de comprimento. A escada encontrava-se sobre um caminhão de 2m de altura, afastado 12m do poste. Sabendo que a extremidade da escada coincide com a extremidade do poste, podemos concluir que a altura desse poste é:
A) 9m B) 10m C) 11m D) 12m
Basta utilizar o
teorema de
Pitágoras. x
12
2
222 1215 x2144225 x
1442252 x
812 x
81x 9xA altura do poste é 9+2 = 11 m
(Enem)
Na figura acima, que representa o projeto de uma escada com 5 degraus de mesma altura, o comprimento total do corrimão é igual a a) 1,8 m. b) 1,9 m. c) 2,0 m. d) 2,1 m. e) 2,2 m.
90
120
x
222 90120 x8100144002 x
225002 x
22500xcmx 150
O comprimento do corrimão é 150+30+30 = 210 cm
O comprimento do corrimão é 2,1m
Um esportista radical vai fazer uma tirolesa Entre dois edifícios de 13 m e 37 m de altura, distantes de 70 m um do outro. Determine o comprimento mínimo que o cabo de aço utilizado na aventura deve ter: A) 74 B) 76 C) 64 D) 46
x
24
70
222 2470 x57649002 x
54762 x
5476xmx 74
Encontre o valor de x:
A) 9 cm B) 10 cm C) 12 cm D) 15 cm
222 39 x981 2 x9812 x
72x
222 72)66( x
72216 2 x1442 x
144x12x
Uma árvore foi quebrada pelo vento e a parte do tronco que restou em pé forma um ângulo reto com o solo. Se a altura da árvore antes de se quebrar era 9 m e sabendo – se que a ponta da parte quebrada está a 3 m da base da árvore, qual a altura do tronco da árvore que restou em pé?
3 m
x 9- x
222 3)9( xx
91881 22 xxx
81918 x7218 x
18
72x
mx 4
Uma escada de (x + 3) metros de comprimento está apoiada em um muro a 2x metros de altura do solo. O pé da escada está afastado (x+ 1) metros da base do muro.
Logo, podemos afirmar que o comprimento dessa escada é: A) 1 m B) 3 m C) 4 m D) 5 m
222 )2()1()3( xxx 222 41296 xxxxx
01926 2 xxx
084 2 xx
0842 xx0842 xx
Multiplicando por -1.
As raízes dessa equação são x=2 e x=-6.
2+1 = 3
2.1=2
2+3=5
– Trigonometria – No triângulo retângulo
Professor : Jamerson Fernando
A palavra trigonometria é derivada de palavras gregas, onde: trigonon = triângulo metron = medida
O que significa trigonometria?
Logo, a trigonometria nos remete ao estudo das medidas dos lados e ângulos de um triângulo.
Para início de conversa:
Como medir a altura do Farol de Mãe Luíza?
Como saber a largura do Rio Potengi em determinado ponto?
Como medir o raio da Terra?
Olhar a realidade de forma diferente:
Observe as figuras abaixo e tente encontrar triângulos retângulos em
cada uma delas.
Olhar a realidade de forma diferente:
Olhar a realidade de forma diferente:
A
C
B
a
b
c
a
Hipotenusa
(Lado oposto ao ângulo reto)
cateto b
cateto
c
oposto ao ângulo ß
adjacente ao ângulo ß ß
Elementos de um triângulo retângulo
º180ˆˆˆ CBA
º180ˆˆº90 CB
º90ˆˆ CB Os ângulos agudos de um triângulo retângulo são complementares.
Lembre-se: A soma das medidas dos ângulos internos de qualquer triângulo resulta sempre em 180º.
Contexto histórico
De acordo com Carl Boyer, a trigonometria,
como outros ramos da matemática, não foi obra de um
só homem ou nação. Teoremas sobre razões entre
lados de triângulos semelhantes tinham sido conhecido
e usados pelos egípcios e babilônios.
Papiro Rhind, Museu de Londres.
Hiparco de Nicéia:
Hiparco foi o maior astrônomo da antiguidade, é
considerado o pai da trigonometria.
Entre as grandes descoberta de Hiparco, destacamos a
descoberta da distância entre a terra e a Lua, utilizando
apenas um astrolábio e conhecimentos de trigonometria
(tabelas das cordas).
Astrolábio
Hoje
Teodolito
Instrumento geodésico, que
serve para levantar plantas,
medir ângulos reduzidos ao
horizonte e as distâncias
zenitais.
Ontem
Astrolábio
Um dos mais antigos
instrumentos científicos, que
teria surgido no século III
a.C. A sua invenção é
atribuída ao matemático e
astrônomo grego Hiparco.
Hoje onde aplicamos a trigonometria?
Hoje em dia, aplicamos a trigonometria em outros ramos da ciência, tais como: Engenharia, Física, na Medicina, Astronomia e Biologia.
ALTURA DE ÁRVORES ENGENHARIA MECÂNICA
DOS CILINDROS
3Km
Os atuais aviões são bem equipados e possuem um
sistema de segurança rigoroso, entre esses aparelhos
destacamos o computador de voo e um altímetro que são
capazes de medir respectivamente a distância percorrida e a
altura do avião em relação ao nível do mar.
Com isso, podemos montar um modelo de um avião
levantando vôo, veja.
Trigonometria na Aviação
3 Km
6 Km
Assim até o momento que o piloto estiver subindo
antes de estabilizar o avião na horizontal podemos
desenhar vários triângulos retângulos semelhantes de
modo que suas medidas podem ser obtidos através
dos aparelhos aborto do avião, veja:
3 Km
6 Km
9 Km
Última medida antes de estabilizar vôo, observe:
3 Km
6 Km
9 Km
Agora perceber a relação entre o modelo real e o matemático.
Modelo matemático
Modelo Real
3 Km
6 Km
9 Km
B D
A
C
O F
E
B D
A
C
O F
E
Por semelhança de triângulos notamos que:
15
9
10
6
5
3
Percorrida
Distância
mardonívelao
relaçãoemAltura
Razão 6,05
3k
15
12
10
8
5
4
Percorrida
Distância
Horizontal
toDeslocamen
Razão
12
9
8
6
4
3
Horizontal
Distância
mardonívelao
relaçãoemAltura
Razão
8,05
4k
75,04
3k
Em uma linguagem matemática se consideremos um ângulo AOB de medida α, do triângulo AOB, reto em B, com 0° < α < 90° e, a partir dos pontos C, E, G, etc. da semi-reta OG, tracemos as perpendiculares CD, EF, GH, etc, à semi-reta OH.
Assim os triângulos OAB, OCD, OEF e OGH são todos semelhantes. Portanto teremos:
HIPOTENUSA
OPOSTOCATETOsen
OG
GH
OE
EF
OC
CD
OA
ABR1
HIPOTENUSA
ADJACENTECATETO cos
OG
OH
OE
OF
OC
OD
OA
OBR2
ADJACENTECATETO
OPOSTOCATETOtg
OH
GH
OF
EF
OD
CD
OB
ABR3
Seno, cosseno e tangente no triângulo retângulo
• Para um ângulo agudo de um triângulo retângulo definimos seno, cosseno e tangente como segue:
O seno do ângulo é a razão entre o cateto oposto ao ângulo e a hipotenusa.
HIPOTENUSA
OPOSTOCATETOsen
a
csen
O cosseno do ângulo é a razão entre o cateto adjacente ao ângulo e a hipotenusa.
HIPOTENUSA
ADJACENTECATETOcos
ADJACENTECATETO
OPOSTOCATETOtg
A tangente do ângulo é a razão entre o cateto oposto e o cateto adjacente ao ângulo.
b
ccos
b
ctg
Consequências das definições
a
b
a
c
A
C
B
a
b
c
a
b
c
sen B =
tg C =
cos B = cos C =
sen C =
tg B = c
b
a
b
a
c
b
c
_
1ª CONSEQUÊNCIA - Como B e C são ângulos complementares, podemos observar que o seno de um é igual ao cosseno do outro;
2ª CONSEQUÊNCIA - Observamos também que a tangente de um ângulo é igual ao inverso da tangente do outro.
tg B = 1/tg C
Ex1 : Sen 40° = Cos 50°
Ex2 : Sen 35° = Cos 55°
Consequências das definições
A
C
B
a
b
c
a
b
c
3ª CONSEQUÊNCIA (Relação fundamental da trigonometria)
sen²α + cos²α = 1 DEMONSTRAÇÃO: sen B = b/a
cos B = c/a Elevando os membros ao quadrado: sen² B = (b/a)²
cos² B = (c/a)² Somando as duas equações: sen² B + cos² B = (b/a)² + (c/a)²
Desenvolvendo o 2º menbro: sen² B + cos² B = b²/a² + c²/a²
sen² B + cos² B = (b² + c²)/a²
sen² B + cos² B = (a²)/a² = 1
2l
l
Razões Trigonométricas do ângulo de 45º
A B
C D sen 45º = sen 45º =
Considere o quadrado ABCD, com lado de medida ℓ.
ℓ
ℓ
d = ℓ 2
A diagonal AC desse quadrado mede d = ℓ . 2Destaquemos do quadrado o triângulo ABC.
Temos: 1
2
1
45º
sen 45º = 2
2
2l
lcos 45º =
1
2
2
l
ltg 45º = tg 45º = 1
Observe que os valores das razões trigonométricas não dependem da medida do lado do quadrado.
=
Razões Trigonométricas do ângulo de 30º
Considere agora o triângulo equilátero ABC, com lado de medida ℓ .
A
B C
ℓ
A altura AH do triângulo mede 2
3lh .
H .
h
Destaquemos do ABC o AHC.
Temos:
sen 30º =
30º
ℓ 2
l
l
2 sen 30º = ℓ 2
1 ℓ
. sen 30º = 1 2
cos 30º = l
l
2
3
cos 30º = cos 30º = 1 ℓ
. ℓ 2
3
2
3
tg 30º =
23
2
l
l
tg 30º = ℓ 2
.
ℓ
2
3 tg 30º =
3
31
Ângulos Notáveis
Razões Trigonométricas do ângulo de 60º
Destaquemos novamente o AHC, temos:
cos 60º = l
l
2 cos 60º = ℓ 2
1 ℓ
. cos 60º = 1 2
sen 60º = l
l
2
3
sen 60º = sen 60º = 1 ℓ
. ℓ 2
3
2
3
tg 60º =
2
23
l
l
tg 60º = tg 60º = 3
1
A
B C
ℓ
H .
h
60º
ℓ 2 ℓ
2
3 2 ℓ
.
Vamos colocar numa tabela os valores encontrados:
Ângulo 30º 45º 60º
seno
cosseno
tangente
2
1
2
1
2
3
2
3
2
2
2
2
3
331
Trigonometria Musical (No mesmo ritmo de Bate o sino)
“1, 2, 3
3, 2, 1
Tudo sobre 2
Você põe a raiz no 3 e no 2, hei!
A tangente é diferente, venha aprender
Raiz de 3 sobre 3
1, raiz de 3″
Exercícios de Fixação 1. (ESA) O valor de α, no triângulo abaixo, é:
a) 36
b) 32
c) 30 α
d) 34
e) 38
18
30º
UTILIZANDO A RELAÇÃO DO
SENO TEMOS:
1830 sen
18
2
1
m36
2. Qual é o comprimento da escada?
x
UTILIZANDO A RELAÇÃO DO
SENO TEMOS:
xsen
330
x
3
2
1 mx 6
3. Determine o comprimento do cabo de aço AB no qual foi puxado até o topo do prédio?
CABO DE AÇO
A
B
x
UTILIZANDO A RELAÇÃO DO COSSENO TEMOS:
x
6030cos
x
3
2
3 63 x
3
6x 32x
4. Calcule a altura do balão de gás, considere .
UTILIZANDO A RELAÇÃO DO
TANGENTE TEMOS:
5060
htg
503
h
mh 350
5. No triângulo retângulo abaixo, qual é o valor
do cosseno de ?
X
10cm 8cm
10² = 8² + x²
100 = 64 + x²
36 = x²
x = 6
Cos() =
10
6
5
3_x_ =
10
HIP ² = CAT ² + CAT ²
h
Sen 30º =
HIP
C.O
HIP
C.O
12
h
2
1
0º 30º 45º 60º 90º
SEN 0 2
1
2
2
2
3 1
COS 1 2
3
2
2 2
1 0
TAN 0 3
3 1 3
12m
2h=12 h=6m
60º
30º
6. Uma escada de 12m de comprimento esta apoiada em
um prédio fazendo com este um ângulo de 60º. Qual é a
altura do prédio?
7. Uma escada de um carro de bombeiros pode estender-se até um
comprimento máximo de 30 metros quando é levantada a um ângulo máximo
de 70°. Sabe-se que a base da escada está colocada sobre um caminhão, a
uma altura de 2 metros do solo. Que altura, em relação ao solo, essa escada
pode alcançar? (Use: sen 70° = 0,93, cos 70° = 0,34 e tg 70° = 2,74)
y
UTILIZANDO A RELAÇÃO DO SENO TEMOS:
3070
xsen
3094,0
x
2,28x
Logo a altura que a escada poderá
alcançar será:
22,28 m2,30
8. Para determinar a altura de um prédio, o topógrafo colocou seu teodolito na praça em frente. Com uma trena, ele mediu a distância do teodolito ao prédio e encontrou 27 m. Mirando o alto do prédio, ele verificou, na escala do teodolito, que o ângulo formado por essa linha visual com a horizontal é de 30º. Se a luneta do teodolito está a 1,7 m do chão, qual é a altura do prédio?
(Use ):
A) 16m B) 17 m
C) 18 m D) 19 m
:7,13
UTILIZANDO A RELAÇÃO DA
TANGENTE TEMOS:
2730tg
x
273
3 x
3273 x
3
327x
39x
x
Como a questão diz que :7,13
39x 7,1.9 3,15 Logo a altura do prédio será:
7,13,15 h m17
9. (UFRS) A figura a seguir é um corte vertical de uma peça usada em
certo tipo de máquina. No corte aparecem dois círculos, com raios de
3cm e 4cm, um suporte vertical e um apoio horizontal.
A partir das medidas indicadas na figura, conclui-se
que a altura do suporte é
A) 7 cm B) 11 cm C) 12 cm D) 14 cm E) 15 cm
2430
xsen
242
1 x 242 x 12x
O tamanho do suporte será:
Tamanho = 12 + 3 – 4 = 11
10. (IFMG 2005) Duas pessoas A e B, numa rua plana, avistam o topo de um prédio sob ângulos de 60° e 30°, respectivamente, com a horizontal, conforme mostra a figura. Se a distância entre os observadores é de 40 m, então, a altura do prédio, em metros, é aproximadamente igual a:
a) 34
b) 32
c) 30
d) 28
• SOLUÇÃO:
120
30
Como esse triângulo
possui dois ângulos
iguais ele é isóscles.
Logo ele possui dois
lados iguais
m40 Sendo assim:
Utilizando o seno:
4060
xsen
402
3 x
mx 320 m34
7,1
11. (EPCAR-2012) Uma coruja está pousada em R, ponto mais alto de um poste, a uma altura h do ponto P, no chão.
Ela é vista por um rato no ponto A, no solo, sob um ângulo de 30°, conforme mostra figura abaixo.
O rato se desloca em linha reta até o ponto B, de onde vê a coruja, agora sob um ângulo de 45° com o chão e a uma distância BR de medida 6 2 metros.
Com base nessas informações, estando os pontos A, B e P alinhados e desprezando-se a espessura do poste, pode-se afirmar então que a medida do deslocamento AB do rato, em metros, é um número entre
a) 3 e 4 b) 4 e 5 c) 5 e 6 d) 6 e 7
26
Como o ângulo é
45° segue-se que
H = BP.
Utilizando o
teorema de
Pitágoras
concluímos que
H = 6
6
6x
Utilizando a tangente de 30:
6
630
xtg
6
6
3
1
x 366 x
636 x
)13(6 x
)17,1(6 x 7,0.6x
2,4x
12. (EPCAR-2009)
13. (EPCAR) Um avião voa numa reta horizontal de altura 10 km em relação
a um observador P, situado na projeção ortogonal da trajetória. No instante
t1, o avião é visto sob um ângulo de 60° e no instante t2, sob um ângulo de
30°. Qual é a distância percorrida pelo avião no intervalo t1 até t2 ?
t1 t2
a
10
x =
a
y
14. (UGF – RJ) A medida do , indicada na figura é:
a) cm
b) 6 cm
c) 8 cm
d) 10 cm
e) cm
ED
310
15. Determine o valor de , indicado na figura abaixo:
AB
15. Determine o perímetro do triângulo ACD.
16. (F. Ruy Barbosa-BA) A área do triângulo ABC, da figura abaixo, mede, em u.a.:
a) 16 b) 32 c) 16 d) e)
3
)33(32
3
)21(16
30º
45ºC
A
8
B
17. Para medir a largura aproximada do rio, Fernandão usou
como referência uma árvore em uma das margens para marcar
as medidas mostradas no desenho. Qual é a largura
aproximada do rio?
Use: sen 70° = 0,93, cos 70° = 0,34 e tg 70° = 2,74)
5) Pedro mediu a altura de prédio onde mora. Para isso, precisou
de um teodolito, aparelho utilizado por agrimensores para medir
ângulos. Primeiramente ele mediu o ângulo de elevação do prédio e
depois a distância da base do prédio até o lugar onde estava o
teodolito. A medida do ângulo é 48º e a distância é 18 m. Como ele
descobriu a altura do prédio? Você também consegue calculá-la?
19. Pedro mediu a altura de prédio onde mora. Para isso, precisou
de um teodolito, aparelho utilizado por agrimensores para medir
ângulos. Primeiramente ele mediu o ângulo de elevação do prédio e
depois a distância da base do prédio até o lugar onde estava o
teodolito. A medida do ângulo é 48º e a distância é 18 m. Como ele
descobriu a altura do prédio? Você também consegue calculá-la?
tg 48º = 1,11
20. (UNESP) Um pequeno avião deveria partir de uma cidade A rumo a uma cidade B ao norte, distante 60km de A. Por um problema de orientação, o piloto seguiu erradamente rumo ao oeste, Ao perceber o erro, ele
corrigiu a rota, fazendo um giro de 120º à direita em um ponto C, de modo que o seu trajeto, juntamente com o trajeto que deveria ter sido seguido, formaram, aproximadamente, um triângulo retângulo ABC, como mostra a figura. Com base na figura, a distância, em quilômetros, que o avião voou partindo de A até chegar a B é:
a) 30 √3
b) 40 √3
c) 60 √3
d) 80 √3
21. Uma escada de 4,5 m de comprimento está apoiada num
muro vertical, como mostra a figura. O ângulo que a escada faz
com o chão é de 62º. Sabendo que sen 62º = 0,88, calcule a
altura h.
22. Uma torre de transmissão de TV de 60m de altura está
implantada num terreno horizontal. Um cabo de tensão vai
desde o solo até ao ponto mais alto da torre e faz com o solo
um ângulo de 55º. Qual o comprimento do cabo?
23. (UFG-2007) Para dar sustentação a um poste telefônico, utilizou-se um outro poste com 8 m de comprimento, fixado ao solo a 4 m de distância do poste telefônico, inclinado sob um ângulo de 60°, conforme a figura a seguir. Considerando-se que foram utilizados 10 m de cabo para ligar os dois postes, determine a altura do poste telefônico em relação ao solo.
24. (UFRN-2009) Para medir a altura de uma árvore, da qual não podia aproximar-se, um ambientalista colocou, a certa distância dessa árvore, um cavalete de 1 m de altura e observou seu ponto mais alto, segundo um ângulo de 30° . Aproximando-se mais 10 m, observou o mesmo ponto segundo um ângulo de 45° , conforme a figura abaixo.
25. A figura representa o perfil de uma escada cujos degraus têm todos a mesma extensão, além de mesma altura. Sabendo que AB=12m e B𝐶 A mede 30°, responda:
a) o valor da altura de cada degrau.
b) o valor do comprimento de cada degrau.
A
C B
26. (UNESP-2007) Um ciclista sobe, em linha reta, uma rampa com inclinação de 3 graus a uma velocidade constante de 4 metros por segundo. A altura do topo da rampa em relação ao ponto de partida é 30 m. Use a aproximação sen3°=0,05 e responda. O tempo, em minutos, que o ciclista levou para percorrer completamente a rampa é
a) 2,5. b) 7,5. c) 10. d) 15.
27. Na figura, a área do triângulo ABC, em cm2, vale:
a) 15 b) 30 c) 6 d) 10 e) 20
28. (EPCAR-2006)
29. Para medir a altura de um prédio, em engenheiro mediu, com um
aparelho, o ângulo que o topo do prédio forma com a linha horizontal,
como mostra a figura. Sabendo que o aparelho tem 1,5 m de altura e está
a 20 m do prédio. A altura do prédio é: (Considere: sen 30º = 0,50;
cos 30º = 0,86 e tg 30º = 0,57)
A) 15,1 m.
B) 13,65 m.
C) 12,90 m.
D) 11,40 m.
No ponto A, o navegador verifica que a reta AP, da embarcação ao farol,
forma um ângulo de 30° com a direção AB. Após a embarcação percorrer
1.000 m, no ponto B, o navegador verifica que a reta BP, da embarcação
ao farol, forma um ângulo de 60° com a mesma direção AB.
Seguindo sempre a direção AB. Determine a menor distância entre a
embarcação e o farol. (considere: e )
30. Um barco navega na direção AB, próximo a um farol P, conforme
a figura a seguir.
3
3o30tg 330tg o
Trigonometria e Raio da Terra 31. A montanha onde se localiza o Cristo Redentor (Corcovado) no
Rio de Janeiro, está a 703 m de altura em relação ao nível do mar. Lá de cima, um observador vê o horizonte (no mar) segundo um ângulo de 0,85o em relação ao plano horizontal. Encontre uma medida aproximada para o raio da Terra.
(Use: sen 0,85o = 0,0148 , cos 0,85o = 0,9998 e tg 0,85o = 0,0148)
32. Um topógrafo utilizou um teodolito para calcular a altura de uma torre que se encontra do outro lado de um rio da seguinte forma: Inicialmente, o teodolito foi colocado em um ponto A. Mirando
o ponto V, o mais alto da torre, verificamos que o ângulo dessa linha
visual com a horizontal era de 23º. Em seguida, o topógrafo aproximou-
se da torre e fixou o teodolito no ponto B. Nessa posição, mirando para
o ponto V, o mais alto da torre, ele verificou que o ângulo da linha
visual com a horizontal passou a ser de 35º.
Sabendo que a distância AB (medida com a trena) era de 100
m, qual é a altura da torre?
TRIGONOMETRIA E AS MEDIDAS INACESSÍVEIS
- A torre “pesa” 14453 toneladas e está, desde
1993, com um “sobrepeso” de mil toneladas de
chumbo, para evitar a queda.
- O campanário de Pisa tem 58,5 metros de
altura. Sua base tem 19,6 metros de diâmetro.
- São 8 andares, dos quais seis apresentam
arcadas de mármore em torno do eixo central.
- A construção do campanário começou em
1173; a base tem apenas 3 metros de
profundidade.
- Ao ser iniciada a construção do terceiro
andar, em 1724, o terreno de argila cedeu e a
torre apresentou uma primeira inclinação.
- A construção terminou em 1301; em 1350, a
inclinação era de 1,40 metro.
- Em 1995, a inclinação chegou a 5,40 metros;
o terreno em torno da torre está prejudicado
em até 40 metros de profundidade.
- Atualmente trabalhos de contenção do solo
projetam que a torre seja devolvida à mesma
inclinação de 1817, que era de 3,80 metros.
Considerando os dados apresentados na reportagem, construir um esquema
referente à situação do ano de 1995, determinar o ângulo de inclinação da torre.
Com o auxílio de uma tabela trigonométrica, determine o menor intervalo inteiro
em graus que se encontra esse ângulo.
(O Estado de São Paulo 01/8/2000)
33. Os segredos da torre inclinada
Até a próxima aula!!!!
