2. BROJNI REDOVI - matf.bg.ac.rs · 2. BROJNI REDOVI 2.1. Deﬁnicija i konvergencija Deﬁnicija 2.1.1. Neka je (ak)1 k=1 realni niz. Beskonaˇcni zbir brojeva (2.1.1) X1 k=1 ak

2. BROJNI REDOVI

2.1. Definicija i konvergencija

Definicija 2.1.1. Neka je (ak)∞k=1 realni niz. Beskonacni zbir brojeva

(2.1.1)∞∑

k=1

ak = a1 + a2 + · · ·+ an + · · ·

zove se brojni ili numericki red.

Brojevi a1, a2, . . . su clanovi reda, a an je opsti clan reda (2.1.1). Opsticlan je, u stvari, pravilo po kojem se generisu svi clanovi reda.

I svaki drugi beskonacni zbir brojeva

(2.1.2)∞∑

k=m

ak = am + am+1 + · · · (m ∈ N0)

zove se brojni red. U opstem slucaju je m 6= 1, pa se redovi (2.1.1) i (2.1.2)razlikuju za konacno mnogo pocetnih clanova.

Definicija 2.1.2. Zbir prvih n clanova

(2.1.3) Sn =n∑

k=1

ak = a1 + · · ·+ an (n ∈ N)

je n–ta parcijalna suma reda (2.1.1).

Uocimo da je Sn konacan zbir brojeva, pa kao takav uvek postoji.

Definicija 2.1.3. Beskonacni zbir

(2.1.4)∞∑

k=n+1

ak = an+1 + an+2 + · · · (n ∈ N)

7

8 TEORIJA REDOVA

je ostatak reda (2.1.1).

Ostatak je takode red, oblika (2.1.2) sa m = n + 1. Ocigledno je

(2.1.5)∞∑

k=n+1

ak =∞∑

k=1

ak − Sn .

PRIMER 2.1.1. Beskonacni zbir

∞∑k=1

1

k= 1 +

1

2+

1

3+ · · ·

je brojni red. Opsti clan ovog reda je an =1

n, n–ta parcijalna suma je

Sn =

n∑k=1

1

k= 1 +

1

2+ · · ·+ 1

n,

a ostatak je red∞∑

k=n+1

1

k=

1

n + 1+

1

n + 2+ · · · .

Na primer, za n = 3 parcijalna suma i ostatak su:

S3 =

3∑k=1

1

k= 1 +

1

2+

1

3,

∞∑k=4

1

k=

1

4+

1

5+ · · · . 4

NAPOMENA 2.1.1. Red (2.1.1) moze da se zapise na nacin

∞∑k=1

ak ≡∞∑

k=m

ak−(m−1) ,

a red (2.1.2) na nacin∞∑

k=m

ak ≡∞∑

k=1

ak+(m−1) .

Dakle, promena pocetne vrednosti indeksa sumiranja k zahteva odgovarajucu promenuindeksa clanova. 4

Definicija 2.1.4. Red∞∑

k=1

ak je konvergentan (divergentan) ako je niz

parcijalnih suma (Sn)n∈N konvergentan (divergentan).

BROJNI REDOVI 9

Ako postoji, granicna vrednost

S = limn→∞

Sn

je suma (zbir) reda (2.1.1) i zapisuje se sa

(2.1.6) S =∞∑

k=1

ak .

Ako jelim

n→∞Sn = +∞ , lim

n→∞Sn = −∞ ,

kazemo da red (2.1.1) odredeno divergira.

PRIMER 2.1.2. Ispitati konvergenciju reda

∞∑k=1

1

k(k + 1).

Opsti clan moze da se zapise na nacin

an =1

n(n + 1)=

1

n− 1

n + 1,

pa je n–ta parcijalna suma

Sn =

n∑k=1

1

k(k + 1)=

n∑k=1

(1

k− 1

k + 1

)

=

(1− 1

2

)+

(1

2− 1

3

)+ · · ·+

(1

n− 1

n + 1

)

= 1− 1

n + 1.

Kako je limn→∞

Sn = 1, to je dati red konvergentan i njegov zbir je

S =

∞∑k=1

1

k(k + 1)= 1 . 4

PRIMER 2.1.3. Ispitati konvergenciju geometrijskog reda

(2.1.7)

∞∑k=0

qk (q ∈ R) .

10 TEORIJA REDOVA

Za q 6= 1, n–ta parcijalna suma je geometrijska progresija, pa je

Sn =

n∑k=0

qk =1− qn+1

1− q=

1

1− q− q

1− qqn .

Za q = 1 je

Sn =

n∑k=0

1k =

n∑k=0

1 = n + 1 .

U Primeru 1.1.1 smo pokazali da niz (qn) divergira za q ≤ −1, konvergira ka 0 za |q| < 1i odredeno divergira ka +∞ za q > 1. Zato ne postoji lim

n→∞Sn kad je q ≤ −1 i

limn→∞

Sn =1

1− q, |q| < 1 ,

limn→∞

Sn = +∞ , q > 1 .

Kako je jos limn→∞

Sn = +∞ kad je q = 1, zakljucujemo da geometrijski red divergira za

q ≤ −1, odredeno divergira ka +∞ za q ≥ 1 i konvergira za |q| < 1 sa sumom

(2.1.8) S =

∞∑k=0

qk =1

1− q.

Niz parcijalnih suma (Sn) i niz (1.1.1) se u literaturi srecu pod istim imenom geome-trijski niz. 4

Opste osobine brojnih redova iskazujemo sledecim teoremama.

Teorema 2.1.1. Neka je∞∑

k=1

ak konvergentan red sa sumom

S =∞∑

k=1

ak

i neka je c ∈ R proizvoljna konstanta. Tada je konvergentan i red∞∑

k=1

cak sa

sumom

cS =∞∑

k=1

cak .

Dokaz. Ako sa Sn i Tn oznacimo parcijalne sume

Sn =n∑

k=1

ak , Tn =n∑

k=1

cak ,

BROJNI REDOVI 11

vaziTn = cSn .

Po pretpostavci teoreme je S = limn→∞

Sn, pa je

limn→∞

Tn = c limn→∞

Sn = cS .

Teorema 2.1.2. Neka su∞∑

k=1

ak i∞∑

k=1

bk konvergentni redovi sa sumama

S1 =∞∑

k=1

ak , S2 =∞∑

k=1

bk .

Tada su konvergentni i redovi∞∑

k=1

(ak ± bk) sa sumama

S1 ± S2 =∞∑

k=1

(ak ± bk) .

Dokaz. Za parcijalne sume

Sn1 =n∑

k=1

ak , Sn2 =n∑

k=1

bk , Tn =n∑

k=1

(ak ± bk)

vaziTn = Sn1 ± Sn2 ,

pa jelim

n→∞Tn = lim

n→∞Sn1 ± lim

n→∞Sn2 = S1 ± S2 .

Teorema 2.1.3. Redovi∞∑

k=1

ak i∞∑

k=m

ak (m ≥ 2) su istovremeno konver-

gentni ili divergentni.Dokaz. Neka je, za n ≥ m,

Sn =n∑

k=1

ak , Tn =n∑

k=m

ak .

Tada je

Sn =m−1∑

k=1

ak + Tn = Sm−1 + Tn .

12 TEORIJA REDOVA

Zbir Sm−1 ima fiksiran broj sabiraka m − 1, koji ne zavisi od n, pa je kon-stantan. Ako stavimo C = Sm−1, dobijamo

Sn = C + Tn .

Iz poslednje jednakosti sledi da limn→∞

Sn postoji ako i samo ako postojilim

n→∞Tn.

Prema Definiciji 2.1.3 i Teoremi 2.1.3 vazi da su red (2.1.1) i ostatak reda(2.1.4) istovremeno konvergentni ili divergentni. U slucaju konvergentnogreda, sa parcijalnom sumom (2.1.3) i zbirom (2.1.6), ostatak je

Rn =∞∑

k=n+1

ak = S − Sn .

Teorema 2.1.4. Ako je red∞∑

k=1

ak konvergentan, tada je

limn→∞

an = 0 .

Dokaz. Kako je

Sn =n∑

k=1

ak , Sn−1 =n−1∑

k=1

ak ,

to jean = Sn − Sn−1 .

Red∞∑

k=1

ak je konvergentan, pa je, prema Teoremi 1.1.3,

S = limn→∞

Sn = limn→∞

Sn−1 ,

i, jasno,lim

n→∞an = lim

n→∞Sn − lim

n→∞Sn−1 = S − S = 0 .

Teorema 2.1.4 se najcesce primenjuje u negiranom obliku. Ako je

limn→∞

an 6= 0, tada red∞∑

k=1

ak divergira. Na primer, geometrijski red (2.1.7)

divergira za q ≥ 1 jer je limn→∞

an = limn→∞

qn 6= 0.

BROJNI REDOVI 13

NAPOMENA 2.1.2. Zahvaljujuci Teoremi 2.1.3, u literaturi se cesto srece Defini-cija 2.1.4 u sledecem obliku.

Brojni red (2.1.1) konvergira ako za svako ε > 0 postoji N(ε) ∈ N tako da je

|∞∑

k=n+1

ak| < ε za svako n ≥ N(ε). 4

NAPOMENA 2.1.3. Za S =∞∑

k=1

ak, T =∞∑

k=m

ak, prema dokazu Teoreme 2.1.3 sledi

S = limn→∞

Sn = C + limn→∞

Tn = C + T .

Ako je konstanta C 6= 0, ocigledno je S 6= T . Dakle, konacan broj m− 1 clanova ne uticena konvergenciju reda, ali utice na zbir konvergentnog reda. Tako geometrijski redovi∞∑

k=0

qk i∞∑

k=1

qk istovremeno konvergiraju (|q| < 1) ili divergiraju (|q| ≥ 1). Medutim, u

slucaju |q| < 1, prema Primeru 2.1.3 je

S =

∞∑k=0

qk =1

1− q,

dok je

T =

∞∑k=1

qk = −1 +

∞∑k=0

qk = −1 +1

1− q=

q

1− q6= S . 4

2.2. Pozitivni redovi


k=1

ak naziva se red sa pozitivnim clanovima ili

pozitivan red ako je ak ≥ 0 za svako k ∈ N.


k=1

ak je red sa negativnim clanovima ili negativan

red ako je ak ≤ 0 za svako k ∈ N.

Red koji ima konacno mnogo negativnih clanova, a svi ostali su nenega-tivni, takode zovemo pozitivnim redom. Analogno, red je negativan i ako jekonacno mnogo njegovih clanova pozitivno.

Teorema 2.2.1. Pozitivan red∞∑

k=1

ak je konvergentan ili odredeno diver-

gira ka +∞.

14 TEORIJA REDOVA

Dokaz. Neka je

Sn =n∑

k=1

ak , Sn+1 =n+1∑

k=1

ak .

Tada jeSn+1 = Sn + an+1 .

Kako je an+1 ≥ 0, vazi Sn+1 ≥ Sn za svako n ∈ N. Dakle, niz parcijal-nih suma (Sn) je neopadajuci. Ukoliko je niz (Sn) ogranicen, prema Teo-remi 1.1.2 on je i konvergentan. Ako (Sn) nije ogranicen, on je divergentan.Pri tome, zbog Sn+1 ≥ Sn za svako n ∈ N, niz (Sn) odredeno divergiraka +∞.

Teorema 2.2.2. Pozitivan red∞∑

k=1

ak je konvergentan ako i samo ako je

niz parcijalnih suma (Sn) ogranicen.Dokaz. U Teoremi 2.2.1 smo pokazali da je niz (Sn) neopadajuci i da iz

ogranicenosti niza (Sn) sledi konvergencija reda∞∑

k=1

ak. Sada pokazujemo

obrnuto.Neka je

∞∑k=1

ak konvergentan red. Tada postoji zbir S =∞∑

k=1

ak i vazi

S =∞∑

k=1

ak =n∑

k=1

ak +∞∑

k=n+1

ak = Sn + Rn .

Kako je ak ≥ 0 za svako k ∈ N, to je Rn ≥ 0, pa je

S ≥ Sn

za svako n ∈ N. Dakle, niz (Sn) je ogranicen.

NAPOMENA 2.2.1. Neopadajuci niz (an) je uvek ogranicen odozdo svojim prvimclanom jer je

a1 ≤ a2 ≤ · · · .

Zato se ogranicenost niza svodi na ogranicenost s gornje strane. Analogno, ogranicenostnerastuceg niza znaci ogranicenost s donje strane.

U prethodnim teoremama smo imali neopadajuci niz parcijalnih suma (Sn), pa smopod ogranicenoscu podrazumevali ogranicenost odozgo. 4

Vratimo se na negativne redove i posmatrajmo∞∑

k=1

bk sa bk ≤ 0 za svako

k ∈ N. Neka je ak = |bk|. Tada je bk = −ak. Prema Teoremi 2.1.1, za

BROJNI REDOVI 15

c = −1, redovi∞∑

k=1

bk i∞∑

k=1

ak su istovremeno konvergentni ili divergentni.

Pri tome, ako je S =∞∑

k=1

ak, tada je −S =∞∑

k=1

bk. Ako∞∑

k=1

ak odredeno

divergira ka +∞,∞∑

k=1

bk odredeno divergira ka −∞. Na osnovu prethodnog

zakljucujemo da je dovoljno razmatrati samo pozitivne redove.

Navodimo sada jedan koristan postupak za formiranje konvergentnih idivergentnih redova.

Neka je (Mn) rastuci niz za koji je

limn→∞

Mn = +∞ .

Formiramo pozitivne redove:

∞∑

k=1

(Mk+1 −Mk) ,(2.2.1)

∞∑

k=1

( 1Mk

− 1Mk+1

).(2.2.2)

Kako je

Sn =n∑

k=1

(Mk+1 −Mk) = Mn+1 −M1 ,

Tn =n∑

k=1

( 1Mk

− 1Mk+1

)=

1M1

− 1Mn+1

,

to je

limn→∞

Sn = limn→∞

Mn+1 −M1 = +∞ ,

limn→∞

Tn =1

M1− lim

n→∞1

Mn+1=

1M1

.

Zato red (2.2.1) odredeno divergira ka +∞, a red (2.2.2) konvergira ka1

M1,

tj.1

M1=

∞∑

k=1

( 1Mk

− 1Mk+1

).

16 TEORIJA REDOVA


(2.2.3)

∞∑k=1

ln

(1 +

1

k

).

Stavimo Mn = ln n (n ∈ N). Niz (Mn) je rastuci jer je Mn = ln n < ln(n+1) = Mn+1

i vazilim

n→∞Mn = +∞ .

Kako je

Mk+1 −Mk = ln(k + 1)− ln k = lnk + 1

k= ln

(1 +

1

k

),

to je∞∑

k=1

ln

(1 +

1

k

)=

∞∑k=1

(Mk+1 −Mk) ,

tj. red (2.2.3) je red oblika (2.2.1). Prema prethodnom, zakljucujemo da red (2.2.3)divergira. 4


∞∑k=1

1

k(k + 1).

Stavimo Mn = n (n ∈ N). Niz (Mn) je rastuci i vazi limn→∞

Mn = +∞. Kako je

1

Mk− 1

Mk+1=

1

k− 1

k + 1=

1

k(k + 1),

to je∞∑

k=1

1

k(k + 1)=

∞∑k=1

(1

Mk− 1

Mk+1

),

pa je dati red oblika (2.2.2). Zato dati red konvergira i ima sumu

∞∑k=1

1

k(k + 1)=

1

M1= 1 .

Do istog zakljucka smo, samo na drugi nacin, dosli u Primeru 2.1.2. 4

BROJNI REDOVI 17

2.2.1. Poredbeni kriterijumi konvergencije

Navodimo nekoliko teorema kojima su uspostavljeni kriterijumi za ispiti-vanje konvergencije pozitivnih redova. Kriterijumi su zasnovani na uporedi-vanju clanova reda, pa otuda potice ime poredbeni kriterijumi.


k=1

ak i∞∑

k=1

bk pozitivni redovi za cije clanove

vazi

(2.2.4) ak ≤ bk

za svako k ∈ N. Tada iz konvergencije reda∞∑

k=1

bk sledi konvergencija reda∞∑

k=1

ak. Takode, iz divergencije reda∞∑

k=1

ak sledi divergencija reda∞∑

k=1

bk.

Dokaz. Sa Sn i Tn oznacimo parcijalne sume

Sn =n∑

k=1

ak , Tn =n∑

k=1

bk .

Prema pretpostavci (2.2.4), za svako n ∈ N vazi

Sn ≤ Tn .

Pretpostavimo da je red∞∑

k=1

bk konvergentan. Prema Teoremi 2.2.2, niz

(Tn) je ogranicen, tj. postoji konstanta M (0 < M < +∞) takva da jeTn < M za svako n ∈ N. Tada je Sn ≤ Tn < M , pa je i niz (Sn) ogranicen.

Ponovnom primenom Teoreme 2.2.2 zakljucujemo da je red∞∑

k=1

ak konver-

gentan.

Obrnuto, neka je red∞∑

k=1

ak divergentan. Prema Teoremi 2.2.1, ovaj red

odredeno divergira ka +∞, sto znaci da je

limn→∞

Sn = +∞ .

Zbog Sn ≤ Tn, tada je ilim

n→∞Tn = +∞ ,

pa je red∞∑

k=1

bk takode odredeno divergentan.

18 TEORIJA REDOVA

Sledece teoreme navodimo bez dokaza. Dokazi se mogu naci, npr., u [4],str. 10–11. I za ostala tvrdenja, koja u produzetku budemo navodili nedokazujuci ih, dokazi se mogu naci u istoj knjizi [4].


k=1

ak i∞∑

k=1

bk pozitivni redovi i neka je bk 6= 0

za svako k ∈ N. Ako je

(2.2.5) L = limk→∞

ak

bk,

gde je 0 < L < +∞, redovi∞∑

k=1

ak i∞∑

k=1

bk su istovremeno konvergentni ili

divergentni.


k=1

ak i∞∑

k=1

bk pozitivni redovi i neka je akbk 6= 0

za svako k ∈ N. Ako je

(2.2.6)ak+1

ak≤ bk+1

bk

za svako k ∈ N, iz konvergencije reda∞∑

k=1

bk sledi konvergencija reda∞∑

k=1

ak,

a iz divergencije reda∞∑

k=1

ak sledi divergencija reda∞∑

k=1

bk.

NAPOMENA 2.2.2. Tvrdenja Teorema 2.2.3 i 2.2.5 ostaju na snazi i ako nejednakosti(2.2.4), (2.2.6) vaze pocev od bilo kog k = m ∈ N0. 4


∞∑k=1

1

k2.

U Primerima 2.1.2 i 2.2.2 smo ustanovili da je red∞∑

k=1

1

k(k + 1)konvergentan. Kako

je za svako k ∈ N1

k(k + 1)≥ 1

2k2,

to vazi (2.2.4) i mozemo da primenimo Teoremu 2.2.3. Prema Teoremi 2.2.3 red

∞∑k=1

1

2k2

BROJNI REDOVI 19

je konvergentan. Tada je, prema Teoremi 2.1.1, konvergentan i red∞∑

k=1

1

k2. 4

PRIMER 2.2.4. Ispitati konvergenciju harmonijskog reda

(2.2.7)

∞∑k=1

1

k.

U Primeru 2.2.1 smo utvrdili da red

∞∑k=1

ln

(1 +

1

k

)

divergira. Neka je

ak = ln

(1 +

1

k

), bk =

1

k.

Tada je bk 6= 0 za svako k ∈ N i

ak

bk= k ln

(1 +

1

k

)= ln

(1 +

1

k

)k

,

odakle je

limk→∞

ak

bk= lim

k→∞ln

(1 +

1

k

)k

= ln e = 1 .

Prema (2.2.5) jeL = 1 ∈ (0, +∞) ,

pa primenjujemo Teoremu 2.2.4 i zakljucujemo da je harmonijski red divergentan.Interesantan dokaz divergencije harmonijskog reda, zasnovan na Teoremi 2.2.1, moze

se naci u [4], str. 7.Primetimo na ovom mestu da za opsti clan harmonijskog reda vazi

limn→∞

an = limn→∞

1

n= 0 ,

pa je ovaj red primer da obrnuto tvrdenje Teoremi 2.1.4 ne vazi u opstem slucaju. 4


(2.2.8)

∞∑k=1

1

kp (p = 2, 3, . . . ) .

U Primeru 2.2.3 smo utvrdili da red∞∑

k=1

1

k2konvergira. Neka je

ak =1

kp , bk =

1

k2.

20 TEORIJA REDOVA

Tada je akbk 6= 0 za svako k ∈ N. Formiramo kolicnike

ak+1

ak=

1

(k + 1)p

1

kp

=

(k

k + 1

)p

,bk+1

bk=

1

(k + 1)2

1

k2

=

(k

k + 1

)2

.

Kako jek

k + 1< 1 ,

za svako k ∈ N i kako je p ≥ 2, to je

ak+1

ak=

(k

k + 1

)p

≤(

k

k + 1

)2

=bk+1

bk,

pa je uslov (2.2.6) ispunjen. Prema Teoremi 2.2.5 iz konvergencije reda∞∑

k=1

1

k2sledi

konvergencija reda (2.2.8). Red (2.2.8) je specijalni slucaj hiperharmonijskog reda kadaje p = 2, 3, . . . prirodan broj. Opsti slucaj, kada je p ∈ R, razmatramo kasnije. 4

2.2.2. Ostali kriterijumi konvergencije

Teorema 2.2.6. (CAUCHYEV KRITERIJUM) Neka je∞∑

k=1

ak pozitivan red.

Ako postoje m ∈ N i q (0 < q < 1) tako da je

(2.2.9) n√

an ≤ q < 1

za svako n ≥ m, red∞∑

k=1

ak je konvergentan. Ako je

n√

an ≥ 1


k=1

ak divergira.

Dokaz. Iz nejednakosti (2.2.9) sledi an ≤ qn za svako n ≥ m. Kako je

0 < q < 1, prema Primeru 2.1.3 geometrijski red∞∑

k=0

qk je konvergentan.

Prema Teoremi 2.1.3, tada je konvergentan i red∞∑

k=m

qk. Zbog nejednakosti

an ≤ qn i prema Teoremi 2.2.3 sledi konvergencija reda∞∑

k=1

ak.

BROJNI REDOVI 21

Ako je n√

an ≥ 1 za svako n ≥ m, tada je i an ≥ 1 za svako n ≥ m, pa je

limn→∞

an 6= 0. Prema Teoremi 2.1.4 red∞∑

k=1

ak divergira.

Umesto Teoreme 2.2.6 u praksi se, pod istim imenom, cesce koristi njenaposledica.

Teorema 2.2.7. (CAUCHYEV KRITERIJUM) Neka je∞∑

k=1

ak pozitivan red

i neka je

(2.2.10) L = limn→∞

n√

an .

Ako je L < 1, red∞∑

k=1

ak konvergira. Ako je L > 1, red∞∑

k=1

ak divergira.

Teorema 2.2.8. (D’ALAMBERTOV KRITERIJUM) Neka je∞∑

k=1

ak pozitivan

red sa ak 6= 0 za svako k ∈ N. Ako postoje m ∈ N i q (0 < q < 1) tako da je

(2.2.11)an+1

an≤ q < 1


k=1

ak je konvergentan. Ako je

an+1

an≥ 1


k=1

ak divergira.

Dokaz. Radi jednostavnosti zapisivanja i ne umanjujuci opstost, pret-postavimo da je m = 1.

Nejednakost (2.2.11), redom za n = 1, 2, . . . , glasi:

a2 ≤ qa1 , a3 ≤ qa2 , . . . , an ≤ qan−1 ,

odakle jean ≤ qan−1 ≤ q2an−2 ≤ · · · ≤ qn−1a1 .

Zbog 0 < q < 1, geometrijski red∞∑

k=1

qk−1 =∞∑

k=0

qk je konvergentan. Prema

Teoremi 2.1.1, tada je konvergentan i red∞∑

k=1

a1qk−1. Zbog an ≤ a1q

n−1 i

prema Teoremi 2.2.3 sledi konvergencija reda∞∑

k=1

ak.

22 TEORIJA REDOVA

Ako jean+1

an≥ 1 =

11, prema Teoremi 2.2.5 iz divergencije reda

∞∑k=1

1

(videti Primer 2.1.3) sledi divergencija reda∞∑

k=1

ak.

Kao i kod Cauchyevog kriterijuma, jednostavnija za primenu je sledecaposledica Teoreme 2.2.8.

Teorema 2.2.9. (D’ALAMBERTOV KRITERIJUM) Neka je∞∑

k=1

ak pozitivan

red sa ak 6= 0 za svako k ∈ N i neka je

(2.2.12) L = limn→∞

an+1

an.

Ako je L < 1, red∞∑

k=1

ak konvergira. Ako je L > 1, red∞∑

k=1

ak divergira.

Teoremama 2.2.7 i 2.2.9 nije obuhvacen slucaj L = 1. Razlog je u cinjenicida za L = 1 red moze da bude konvergentan, ali i divergentan. Na primer,

kod harmonijskog reda∞∑

k=1

1k

je

limn→∞

n√

an = limn→∞

an+1

an= 1 ,

a taj red je divergentan. Istovremeno, hiperharmonijski red∞∑

k=1

1k2

je kon-

vergetan, a takode vazi

limn→∞

n√

an = limn→∞

an+1

an= 1 .

NAPOMENA 2.2.3. Granicna vrednost limn→∞

n√

an = 1 kod harmonijskog reda∞∑

k=1

1

k

je odredena prema sledecem. Neka je f(x) = xx za x > 0. Tada je ln f = x ln x, pa jeredom:

limx→0

(ln f) = limx→0

(x ln x) = limx→0

ln x

1

x

= limx→0

1

x

− 1

x2

= limx→0

(−x) = 0 ,

ln( limx→0

f) = 0 ,

limx→0

f = limx→0

xx = e0 = 1 .

BROJNI REDOVI 23

Pri nalazenju limx→0

(ln f) je upotrebljeno L’Hospitalovo pravilo. Za an =1

nje

limn→∞

n√

an = limn→∞

n

√1

n= lim

n→∞

(1

n

)1/n

,

sto je samo diskretan oblik granicne vrednosti limx→0

xx (videti [5], str. 72–78).

Za hiperharmonijski red∞∑

k=1

1

k2je lim

n→∞n√

an = 1 odreden na isti nacin, polazeci od

funkcije f(x) = x2x za x > 0. 4

Cauchyev kriterijum je precizniji od D’Alambertovog jer iz (2.2.12) sledi(2.2.10), dok obrnuto ne mora da vazi ([5], str. 51–53). Tacnije, postojeslucajevi u kojima pomocu D’Alambertovog ne moze, a pomocu Cauchyevogkriterijuma moze da se utvrdi konvergencija (divergencija) reda.


∞∑k=1

(k − 1

k + 1

)k(k+1)

.

Za

an =

(n− 1

n + 1

)n(n+1)

formiramo

n√

an =n

√(n− 1

n + 1

)n(n+1)

=

(n− 1

n + 1

)n+1

=

(1− 2

n + 1

)n+1

i nalazimo granicnu vrednost (2.2.10),

L = limn→∞

n√

an = limn→∞

(1− 2

n + 1

)n+1

= limn→∞

[(1− 2

n + 1

)−n+12

]−2

= e−2 .

Broj e ≈ 2.718 > 1 je transcedentan broj. Ovaj broj se prvi put srece u Napierovom

radu. Kako je L =1

e2< 1, prema Cauchyevom kriterijumu (Teorema 2.2.7) dati red

konvergira. 4


∞∑k=1

k3

(c +

1

k

)k,

gde je c > 0 proizvoljan realan broj.

24 TEORIJA REDOVA

Za

an =n3(

c +1

n

)n

nalazimo

n√

an = n

√√√√ n3(c +

1

n

)n =n√

n3

c +1

n

.

Analogno kao u Napomeni 2.2.3, polazeci od f(x) = x3/x i uzimajuci da x →∞, odreduje

se limn→∞

n√

n3 = 1. Zato granicna vrednost (2.2.10) glasi

L = limn→∞

n√

an =1

c.

Primenom Cauchyevog kriterijuma zakljucujemo sledece. Za c < 1 je L > 1, pa posma-trani red divergira. Za c > 1 je L < 1, pa red konvergira. Za c = 1 je L = 1, pa se ne znada li red konvergira ili divergira. Medutim, za c = 1 je

limn→∞

an = limn→∞

n3(1 +

1

n

)n = ∞ 6= 0 ,

pa red divergira prema Teoremi 2.1.4.Dakle, dati red konvergira za c > 1 i divergira za c ≤ 1. 4


∞∑k=1

2k

k!.

Za

an =2n

n!

formiramo kolicnik

an+1

an=

2n+1

(n + 1)!

2n

n!

=2n+1n!

2n(n + 1)!=

2

n + 1

i odredujemo granicnu vrednost (2.2.12),

L = limn→∞

an+1

an= lim

n→∞2

n + 1= 0 .

Kako je L = 0 < 1, prema D’Alambertovom kriterijumu (Teorema 2.2.9) dati red konver-gira. 4

BROJNI REDOVI 25


∞∑k=1

1

ck + 1,

gde je c > 0 proizvoljan realan broj.

Za

an =1

cn + 1

formiramo kolicnik

an+1

an=

1

cn+1 + 11

cn + 1

=cn + 1

cn+1 + 1=

1 +1

cn

c +1

cn

,

i nalazimo granicnu vrednost (2.2.12). Za c ≤ 1 imamo

L = limn→∞

an+1

an= lim

n→∞cn + 1

cn+1 + 1= 1 ,

a za c > 1 imamo

L = limn→∞

an+1

an= lim

n→∞

1 +1

cn

c +1

cn

=1

c< 1 .

Primenom D’Alambertovog kriterijuma zakljucujemo sledece. Za c > 1 je L < 1, paposmatrani red konvergira. Za c ≥ 1 je L = 1, pa se ne zna da li red konvergira ilidivergira. Medutim, za c < 1 i c = 1 je redom:

limn→∞

an = limn→∞

1

cn + 1= 1 6= 0 , lim

n→∞an = lim

n→∞1

2=

1

26= 0 ,

pa red divergira prema Teoremi 2.1.4.Dakle, dati red konvergira za c > 1 i divergira za c ≤ 1. 4

Osim Cauchyevog i D’Alambertovog kriterijuma, medu poznatije krite-rijume spadaju i Kummerov, Raabeov i Gaussov, koji su detaljno opisaniu [4], str. 17-22. U razmatranje ovih kriterijuma necemo da se upustamo,samo pominjemo njihov medusobni odnos. Kummerov kriterijum je opstijegtipa, koji se u specijalnim slucajevima svodi na D’Alambertov ili Raabeovkriterijum. Pri tome je Raabeov precizniji od D’Alambertovog kriterijuma.Gaussov kriterijum je precizniji i od Raabeovog.

Navedimo jos jedan, cesto primenjivani kriterijum.

Teorema 2.2.10. (CAUCHYEV INTEGRALNI KRITERIJUM) Neka je realnafunkcija f(x) (x ∈ R) pozitivna, neprekidna i nerastuca za svako x > x0 ≥ 0.

26 TEORIJA REDOVA

Takode, neka je ak = f(k) za svako k ≥ m = [x0] + 1 (k ∈ N), gde je [x0]

celobrojni deo od x0. Tada red∞∑

k=m

ak i nesvojstveni integral∫ +∞

mf(x) dx

istovremeno konvergiraju ili divergiraju.

Zbog Teoreme 2.1.3, pod uslovima Teoreme 2.2.10 vazi da i

∞∑

k=1

ak ,

∫ +∞

m

f(x) dx

istovremeno konvergiraju ili divergiraju.NAPOMENA 2.2.4. Ako je x0 ≥ 1, moze da se uzme m = [x0]. 4

PRIMER 2.2.10. Ispitati konvergenciju hiperharmonijskog reda

(2.2.13)

∞∑k=1

1

kp ,

gde je p ∈ R proizvoljan broj.

Posmatrajmo funkciju

f(x) =1

xp .

Ova funkcija je pozitivna, neprekidna i nerastuca za svako x > 0 i p > 0, pa uzimamox0 = 0. Kako je m = [x0] + 1 = 1, stavljamo

ak =1

kp = f(k)

za svako k ≥ m = 1, tj. za svako k ∈ N. Primenjujemo Teoremu 2.2.10 i nalazimo

∫ +∞

m

f(x) dx =

∫ +∞

1

dx

xp =

x−p+1

−p + 1

∣∣∣+∞

1, p 6= 1 ,

ln x

∣∣∣+∞

1, p = 1 ,

=

+∞ , p < 1 ,

1

p− 1, p > 1 ,

+∞ , p = 1 ,

=

+∞ , p ≤ 1 ,

1

p− 1, p > 1 .

Za p ≤ 0 red (2.2.13) divergira prema Teoremi 2.1.4.

Dakle, nesvojstveni integral, a time i hiperharmonijski red (2.2.13), konvergira za p > 1i divergira za p ≤ 1. 4

BROJNI REDOVI 27

NAPOMENA 2.2.5. Za p > 1 hiperharmonijski red (2.2.13) konvergira, pa postojinjegov zbir, koji je funkcija od p, jer su clanovi funkcije ak = ak(p). Zbirna funkcija

ζ(p) =

∞∑k=1

1

kp (p > 1)

je poznata Riemannova zeta–funkcija. 4NAPOMENA 2.2.6. U toku izvodenja dokaza Teoreme 2.2.10, koji smo izostavili, dolazi

se do nejednakosti∞∑

k=m+1

ak ≤∫ +∞

m

f(x) dx ≤∞∑

k=m

ak .

Prva od ovih nejednakosti se koristi za dokazivanje nekih drugih vaznih nejednakosti.Jedna od takvih se odnosi na hiperharmonijski red i glasi

∞∑k=1

1

kp <

p

p− 1(p > 1) . 4


∞∑k=1

1

(k − 4)2 + 1.

Posmatrajmo funkciju

f(x) =1

(x− 4)2 + 1.

Ova funkcija je pozitivna i neprekidna za svako x ∈ R. Ispitujemo monotonost funkcije iu tom cilju nalazimo

f ′(x) =−2x + 8

[(x− 4)2 + 1]2.

Funkcija f(x) je nerastuca kad je f ′(x) ≤ 0, tj. x ≥ 4. Dakle, uslovi Teoreme 2.2.10 suispunjeni za svako x > 4, pa uzimamo x0 = 4 i m = [x0] = 4. Stavljajuci

ak = f(k) =1

(k − 4)2 + 1

za svako k = 4, 5, . . . i izracunavajuci

∫ +∞

4

f(x) dx =

∫ +∞

4

dx

(x− 4)2 + 1=

∫ +∞

0

dt

t2 + 1= arctan t

∣∣∣+∞

0=

π

2,

28 TEORIJA REDOVA

zakljucujemo da∞∑

k=4

ak konvergira, pa konvergira i

∞∑k=1

ak =

∞∑k=1

1

(k − 4)2 + 1. 4

Cauchyev integralni kriterijum moze da se iskaze i na sledeci nacin.

Teorema 2.2.11. (CAUCHYEV INTEGRALNI KRITERIJUM) Neka je realnafunkcija f(x) (x ∈ R) pozitivna, neprekidna i opadajuca za svako x > 0.Tada postoji konacna granicna vrednost

limn→∞

( n∑

k=1

ak −∫ n

1

f(x) dx

),

gde je ak = f(k) za svako k = 1, . . . , n (n ∈ N).

NAPOMENA 2.2.7. Funkcija f(x) =1

xzadovoljava uslove Teoreme 2.2.11, pa postoji

limn→∞

( n∑k=1

1

k−

∫ n

1

dx

x

),

tj. postoji

γ = limn→∞

( n∑k=1

1

k− ln n

).

Broj γ se zove Eulerova konstanta i iznosi γ ≈ 0.577. Jos uvek nije poznata prirodabroja γ, tj. ne zna se da li je γ algebarski ili transcedentan, cak ni da li je racionalan iliiracionalan broj. 4

Na kraju ove celine, pomenimo jos Cauchyev opsti princip konvergencije,koji je zasnovan na Teoremi 1.1.4 za niz parcijalnih suma (Sn). Cauchyevopsti princip je od velike teorijske vaznosti, ali se u praksi retko koristi jerje komplikovan za primenu (videti [4], str. 25).

2.3. Alternativni redovi


k=1

ak je alternativni red ako njegovi clanovi naiz-

menicno menjaju znak, tj. ako za svako k ∈ N vazi

akak+1 < 0 .

BROJNI REDOVI 29

Prema definiciji, u alternativnom redu∞∑

k=1

ak je

a1 < 0 , a2 > 0 , a3 < 0 , a4 > 0 , . . .

ilia1 > 0 , a2 < 0 , a3 > 0 , a4 < 0 , . . . .

Promena znaka clanova reda se regulise drugacijim oznakama:

∞∑

k=1

(−1)k bk ,

∞∑

k=1

(−1)k+1bk ,

gde je bk = |ak| > 0 za svako k ∈ N. Umesto prethodnih, bez dovodenja uzabunu, nadalje koristimo standardne oznake:

(2.3.1)∞∑

k=1

(−1)kak ,

∞∑

k=1

(−1)k+1ak ,

gde je ak > 0 za svako k ∈ N. Kako je

∞∑

k=1

(−1)k+1ak = −∞∑

k=1

(−1)kak ,

svejedno je koji od redova iz (2.3.1) razmatramo.Definicije i teoreme navedene u delu 2.1 vaze za sve brojne, pa i za al-

ternativne redove. Medutim, kriterijumi konvergencije pozitivnih redova nevaze za alternativne redove. Zato su izvedeni drugi kriterijumi, od kojih jenajpoznatiji Leibnizov.

Teorema 2.3.1. (LEIBNIZOV KRITERIJUM) Alternativni red

(2.3.2)∞∑

k=1

(−1)k+1ak

je konvergentan ako je niz (an)n∈N nerastuci i limn→∞

an = 0.

Ostatak Rn konvergentnog reda (2.3.2) je po modulu manji od prvog zane-marenog clana, tj.

|Rn| ≤ an+1 ,

i ima isti znak (−1)n kao taj clan.

30 TEORIJA REDOVA

Dokaz. Parcijalna suma reda (2.3.2) je

Sn =n∑

k=1

(−1)k+1ak ,

pa je

S2n =2n∑

k=1

(−1)k+1ak = (a1 − a2) + (a3 − a4) + · · ·+ (a2n−1 − a2n) .

Niz (ak)k∈N je nerastuci po pretpostavci teoreme, sto znaci da je ak ≥ ak+1

za svako k ∈ N, tj. ak − ak+1 ≥ 0 za svako k = 1, 2, . . . . Zato je niz(S2n) neopadajuci i vazi S2n ≥ 0. Drugacijim grupisanjem clanova sumeS2n imamo

S2n = a1 − (a2 − a3)− · · · − (a2n−2 − a2n−1)− a2n ≤ a1 ,

pa je niz (S2n) ogranicen. Prema Teoremi 1.1.2, niz (S2n) je konvergentan ipostoji

S = limn→∞

S2n .

S druge strane, kako je

S2n+1 =2n+1∑

k=1

(−1)k+1ak =2n∑

k=1

(−1)k+1ak + (−1)2n+2a2n+1 = S2n + a2n+1

i, po pretpostavci teoreme,

limn→∞

a2n+1 = 0 ,

dobijamolim

n→∞S2n+1 = lim

n→∞S2n + lim

n→∞a2n+1 = S .

Dakle, niz (S2n+1) konvergira ka istoj granici kao i niz (S2n). Prema Teo-remi 1.1.3, tada je konvergentan i niz (Sn), tj. alternativni red (2.3.2) kon-vergira.

Ostatak Rn konvergentnog reda (2.3.2) zapisimo na nacin

Rn =∞∑

k=n+1

(−1)k+1ak = (−1)n+2(an+1 − an+2 + an+3 − · · · )

=(−1)n[(an+1 − an+2) + (an+3 − an+4) + · · · ] .

BROJNI REDOVI 31

S obzirom na pretpostavku ak − ak+1 ≥ 0 za svako k ∈ N, zbir u uglastojzagradi je nenegativan, pa Rn ima znak (−1)n, koji stoji uz an+1. Drugimrecima, ostatak Rn ima isti znak kao prvi zanemareni clan (−1)nan+1.

Dalje, za zbir u uglastoj zagradi vazi

(an+1 − an+2) + (an+3 − an+4) + · · · =an+1 − (an+2 − an+3)− (an+4 − an+5)− · · · ≤ an+1 .

Imajuci u vidu nenegativnost ovog zbira, dobijamo

|Rn| =∣∣(an+1 − an+2) + (an+3 − an+4) + · · ·

∣∣ ≤ an+1 ,

tj. Rn je po modulu manji od prvog zanemarenog clana. Ovim je teoremau potpunosti dokazana.


∞∑k=1

(−1)k+1 1

k.

Ovde je

an =1

n,

pa niz (an)n∈N opada i limn→∞

an = 0. Prema Leibnizovom kriterijumu dati alternativni

red konvergira. Ostatak Rn ima znak (−1)n+2 = (−1)n i vazi

|Rn| < an+1 =1

n + 1. 4


∞∑k=1

(−1)k k

k3 + 1.

Ovde je

an =n

n3 + 1,

pa niz (an)n∈N opada i limn→∞

an = 0. Prema Leibnizovom kriterijumu dati alternativni

red konvergira. Ostatak Rn ima znak (−1)n+1 i vazi

|Rn| < an+1 =n + 1

(n + 1)3 + 1. 4

32 TEORIJA REDOVA

2.4. Redovi sa proizvoljnim clanovima

Alternativni redovi su specijalan slucaj redova sa proizvoljnim clanovima.Redovi sa proizvoljnim clanovima su oni ciji clanovi imaju razlicit znak, pricemu promena znaka ne mora da podleze nekoj posebnoj pravilnosti kao kodalternativnih redova.

Kod redova sa proizvoljnim clanovima, ukljucujuci i alternativne redove,razlikuju se dve vrste konvergencije: apsolutna i uslovna konvergencija.

Definicija 2.4.1. Red sa proizvoljnim clanovima∞∑

k=1

ak apsolutno kon-

vergira ako konvergira pozitivan red∞∑

k=1

|ak|.

Iz Definicije 2.4.1 je ocigledno da je apsolutna konvergencija nekog redaisto sto i konvergencija odgovarajuceg pozitivnog reda. Zato za ispitivanjeapsolutne konvergencije mogu da se koriste svi kriterijumi navedeni u delu2.2.

Teorema 2.4.1. (CAUCHYEVA TEOREMA) Ako je red∞∑

k=1

ak apsolutno

konvergentan, on je i konvergentan.

Dokaz. Formiramo nove redove∞∑

k=1

bk i∞∑

k=1

ck sa opstim clanovima

bn =12(|an|+ an

), cn =

12(|an| − an

)

i primecujemo da jean = bn − cn .

Kako je an ≤ |an| za svako n ∈ N, to je

bn ≥ 0 , cn ≥ 0 ,

bn ≤ 12(|an|+ |an|

)= |an|

za svako n ∈ N. Zbog −|an| ≤ an, tj. −an ≤ |an| za svako n ∈ N, takode je

cn ≤ 12(|an|+ |an|

)= |an|

za svako n ∈ N. Dakle, redovi∞∑

k=1

bk i∞∑

k=1

ck su pozitivni i za njihove opste

clanove vaze nejednakosti bn ≤ |an|, cn ≤ |an|.

BROJNI REDOVI 33

Po pretpostavci, red∞∑

k=1

|ak| konvergira. Prema poredbenom kriterijumu

iz Teoreme 2.2.3, tada konvergiraju redovi∞∑

k=1

bk i∞∑

k=1

ck. Dalje, prema

an = bn − cn i Teoremi 2.1.2, konvergira i red∞∑

k=1

ak =∞∑

k=1

bk −∞∑

k=1

ck .

Obrnuto tvrdenje u odnosu na Cauchyevu teoremu ne vazi u opstem

slucaju. Preciznije, red∞∑

k=1

ak moze da bude konvergentan, a da ne bude

apsolutno konvergentan. Zato je uveden sledeci pojam.

Definicija 2.4.2. Red s proizvoljnim clanovima∞∑

k=1

ak je uslovno konver-

gentan ili semikonvergentan ako je∞∑

k=1

ak konvergentan i istovremeno∞∑

k=1

|ak|divergentan.

Dakle, uslovno konvergentan red je konvergentan, ali ne i apsolutno kon-vergentan, pa se za uslovnu konvergenciju cesto kaze samo konvergencija.

PRIMER 2.4.1. Ispitati apsolutnu konvergenciju reda

∞∑k=1

(−1)k k

k3 + 1.

Opsti clan datog reda je

an = (−1)n n

n3 + 1,

pa je

|an| = n

n3 + 1.

Red∞∑

k=1

|ak| je pozitivan red, pa za ispitivanje njegove konvergencije koristimo, npr.,

poredbeni kriterijum iz Teoreme 2.2.4. Neka je

bn =1

n2

opsti clan reda∞∑

k=1

1

k2, ciju konvergenciju smo ustanovili u Primeru 2.2.3. Formiramo

|an|bn

=

n

n3 + 11

n2

=n3

n3 + 1,

34 TEORIJA REDOVA

i nalazimo

L = limn→∞

|an|bn

= limn→∞

n3

n3 + 1= 1 .

Zbog L = 1 ∈ (0, +∞), red∞∑

k=1

|ak| konvergira, tj. dati red∞∑

k=1

ak apsolutno konvergira.

Prema Cauchyevoj teoremi, dati red∞∑

k=1

ak konvergira. Ovu cinjenicu smo vec utvrdili

u Primeru 2.3.2 pomocu Leibnizovog kriterijuma jer je∞∑

k=1

ak alternativni red. 4


(2.4.1)

∞∑k=1

(−1)k+1 1

2k−1.


an = (−1)n+1 1

2n−1,

pa je

|an| = 1

2n−1.

Red ∞∑k=1

|ak| =∞∑

k=1

1

2k−1=

∞∑k=0

1

2k

je geometrijski red (2.1.7) sa q = 1/2 < 1. U Primeru 2.1.3 smo pokazali da ovaj redkonvergira i ima sumu (2.1.8), tj.

S =

∞∑k=0

1

2k=

1

1− 1

2

= 2 .

Zato red (2.4.1) apsolutno konvergira i, prema Cauchyevoj teoremi, konvergira.

Primetimo da je (2.4.1) alternativni red, pa smo njegovu konvergenciju (ne i apsolutnukonvergenciju) mogli jednostavno da utvrdimo pomocu Leibnizovog kriterijuma. Pomocuovog kriterijuma mozemo da dobijemo i procenu ostatka

|Rn| =∣∣∣

∞∑k=n+1

(−1)k+1 1

2k−1

∣∣∣ <1

2n,

ali ne i zbir reda. Medutim, kako je (−1)k+1 = (−1)k−1, red (2.4.1) mozemo da zapisemou obliku geometrijskog reda (2.1.7), tj.

∞∑k=1

(−1)k−1 1

2k−1=

∞∑k=1

(−1

2

)k−1

=

∞∑k=0

(−1

2

)k

.

BROJNI REDOVI 35

Ovde je q = −1/2 i |q| < 1, pa red (2.4.1) konvergira prema Primeru 2.1.3 i ima zbir(2.1.8), tj.

S =

∞∑k=0

(−1)k 1

2k=

1

1 +1

2

=2

3. 4


(2.4.2)

∞∑k=1

(−1)k+1 1

k.


an = (−1)n+1 1

n,

pa je

|an| = 1

n.

Red ∞∑k=1

|ak| =∞∑

k=1

1

k

je harmonijski red (2.2.7), za koji smo u Primeru 2.2.4 utvrdili da divergira. Dakle, red(2.4.2) ne konvergira apsolutno.

S druge strane, u Primeru 2.3.1 smo ustanovili da red (2.4.2) konvergira. Prema Defini-ciji 2.4.2, posmatrani red (2.4.2) uslovno konvergira. 4

Na kraju, bez dokaza navodimo neke znacajne teoreme, koje se odnose nakonvergenciju brojnih redova.

Teorema 2.4.2. (DIRICHLETOVA TEOREMA) Zbir konvergentnog pozi-tivnog reda ostaje nepromenjen ako se poredak njegovih clanova proizvoljnopromeni.

Neposredna posledica Teoreme 2.4.2 je da zbir apsolutno konvergentnogreda ostaje isti pri proizvoljnoj izmeni poretka njegovih clanova.

Teorema 2.4.3. Neka je∞∑

k=1

ak semikonvergentan red i neka su redovi∞∑

i=1

bki ,∞∑

i=1

cki formirani samo od pozitivnih, odnosno samo od negativnih

clanova reda∞∑

k=1

ak, redom. Tada pozitivan red∞∑

i=1

bki odredeno divergira ka

+∞, a negativan red∞∑

i=1

cki odredeno divergira ka −∞.

Teorema 2.4.4. (RIEMANN–DINIEV STAV) Zbir semikonvegentnog redazavisi od poretka njegovih clanova. Preciznije, clanovi semikonvergentnog

36 TEORIJA REDOVA

reda mogu da se poredaju tako da zbir reda ima proizvoljnu vrednost. Cak ivise, pogodnim poretkom clanova, semikonvergentni redovi mogu da postanudivergentni.


(2.4.3)

∞∑k=1

(1

2k − 1− 1

2(2k − 1)− 1

2(2k)

).

Posmatrajmo red (2.4.2) koji u razvijenom obliku glasi

∞∑k=1

(−1)k+1 1

k= 1− 1

2+

1

3− 1

4+ · · ·

i za koji smo u Primeru 2.4.3 pokazali da je semikonvergentan. U redu (2.4.2) menja-mo redosled clanova tako da iza svakog pozitivnog slede dva negativna clana i vrsimoodgovarajuce grupisanje. Red (2.4.2) postaje

(1− 1

2− 1

4

)+

(1

3− 1

6− 1

8

)+ · · · =

∞∑k=1

(1

2k − 1− 1

2(2k − 1)− 1

2(2k)

).

Dakle, red (2.4.3) je red (2.4.2) sa izmenjenim redosledom clanova.S druge strane, opsti clan reda (2.4.3) je

an =1

2n− 1− 1

2(2n− 1)− 1

2(2n)=

1

2(2n− 1)− 1

2(2n)=

1

2

(1

2n− 1− 1

2n

),

pa je red (2.4.3) isti kao i red

1

2

∞∑k=1

(1

2k − 1− 1

2k

)=

1

2

[(1− 1

2

)+

(1

3− 1

4

)+ · · ·

]

=1

2

[1− 1

2+

1

3− 1

4+ · · ·

]=

1

2

∞∑k=1

(−1)k+1 1

k.

Neka je S zbir reda (2.4.2). Prema prethodnom, tada dati red (2.4.3) ima zbir

∞∑k=1

(1

2k − 1− 1

2(2k − 1)− 1

2(2k)

)=

1

2S .

Zakljucujemo da je promena poretka clanova u redu (2.4.2) sa zbirom S dovela do reda

(2.4.3) sa zbirom1

2S, cime je na jednostavan nacin ilustrovan deo Riemann–Dinievog

stava.Ocigledno, dati red (2.4.3) je konvergentan. 4

BROJNI REDOVI 37


1 +1√3− 1√

2+

1√5

+1√7− 1√

4+

1√9

+1√11− 1√

6+ · · · .

Dati red cemo odmah, grupisuci njegove clanove, ali ne menjajuci im poredak, dazapisemo u obliku

(2.4.4)

∞∑k=1

(1√

4k − 3+

1√4k − 1

− 1√2k

).

Opsti clan ovog reda je

an =1√

4n− 3+

1√4n− 1

− 1√2n

=1√n

(1√

4− 3

n

+1√

4− 1

n

− 1√2

).

Neka je

bn =1√n

opsti clan hiperharmonijskog reda (2.2.13), sa p = 1/2, za koji je u Primeru 2.2.10 vecpokazano da divergira. Primenom poredbenog kriterijuma datog u Teoremi 2.2.4, nalazi-mo

L = limn→∞

an

bn= lim

n→∞

(1√

4− 3

n

+1√

4− 1

n

− 1√2

)

=1√4

+1√4− 1√

2= 1− 1√

2∈ (0, +∞) ,

pa red (2.4.4) divergira kao i red (2.2.13).

S druge strane, posmatrajmo alternativni red

(2.4.5)

∞∑k=1

(−1)k+1 1√k

= 1− 1√2

+1√3− 1√

4+ · · · ,

cija konvergencija se lako utvrduje prema Leibnizovom kriterijumu. Medutim, red (2.4.5)je semikonvergentan jer je divergentan red

∞∑k=1

∣∣∣(−1)k+1 1√k

∣∣∣ =

∞∑k=1

1√k

.

Uporedivanjem redova (2.4.4) i (2.4.5), lako vidimo da je red (2.4.4) nastao iz reda(2.4.5) promenom poretka clanova. Posle svaka dva uzastopna pozitivna clana reda (2.4.5)uzet po jedan negativan clan iz niza

(− 1√

2,− 1√

4, . . .

).

Dakle, red (2.4.4) ima iste clanove kao i red (2.4.5), samo drugacije poredane. Kako red(2.4.5) konvergira, a red (2.4.4) divergira, ovim primerom smo ilustrovali Riemann–Dinievstav u celini. 4

Documents

2. BROJNI REDOVI - matf.bg.ac.rs · 2. BROJNI REDOVI 2.1. Deﬁnicija i konvergencija Deﬁnicija 2.1.1. Neka je (ak)1 k=1 realni niz. Beskonaˇcni zbir brojeva (2.1.1) X1 k=1 ak