1

2. BRZINE PRENOSA TOPLOTE I MASE

2.1 Molekulski prenos toplote i mase

Molekulski prenos toplote

Posmatrajmo sloj nepokretnog gasa ili tečnosti ili sloj čvrstog materijala čiji krajevi tj. granične površine imaju različite temperature. Kao rezultat spontane težnje ka uspostavljanju termičke ravnoteže dolazi do prenosa toplote u smeru od toplije prema hladnijoj površini .

U pitanju je molekulski mehanizam prenosa toplote, koji je rezultat haotičnog termičkog kretanja molekula supstance pri čemu. dolazi do prenošenja kinetičke energije u smeru u kome temperatura opada (sa bržih na sporije molekule). Izuzetak su metali, gde su glavni prenosioci toplote slobodni elektroni.

Količina toplote koja u jedinici vremena prođe kroz neku površinu S naziva se fluks toplote ili toplotni fluks (W). Ako se temperatura u posmatranom medijumu menja samo u jednom koordinatnom pravcu z, za fluks toplote važi relacija :

)(Wz

TS

dt

dQ

∂∂λ−= (2.1)

poznata pod nazivom Furijeov (Fourie) zakon. S je veličina površine, normalne na pravac duž koga se temperatura menja (osa z) Parcijalni, umesto pravog izvoda, ukazuje na to da u opštem slučaju pretpostavljamo nestacionaran prenos toplote, tj.da temperatura zavisi i od vremena t: ),( tzTT = . Dalje, iz (2.1) dobijamo specifični toplotni fluks ili gustinu toplotnog fluksa q:

)(1 2mW

z

T

Sdt

dQq

∂∂λ−=⋅= (2.2)

Znak “-” u jedna čini (2.2) daje informaciju o smeru provođenja toplote, tj. o smeru toplotnog fluksa q, koji je ustvari vektorska veličina.

z

T

0,0 <>∂∂

qz

T

q

z

T

0,0 ><∂∂

qz

T

q

a b

Slika 2.1 – Smer specifičnog toplotnog fluksa

2

Pozitivna vrednost fluksa znači da je njegov smer jednak pozitivnom smeru z – ose (Sl. 2.1a), a ako smo dobili negativnu vrednost fluksa, znači da je njegov smer suprotan od usvojenog pozitivnog smera z - ose (Sl. 2.1b).

Posmatrajmo stacionarno provođenje toplote kroz ravan zid debljine δ, čija se jedna površina (veličine S) nalazi na temperaturi T1, a druga na temperaturi T2 (Sl. 2.2).

Slika 2.2 – Stacionarno provođenje toplote kroz zid

Pretpostavimo da je λ = const. Ako unutar zida uočimo beskonačno tanak sloj debljine dz, pošto je proces stacionaran, mora biti:

qzS = qz+dz S

odakle sledi :

21, zzzconstq ≤≤=

Sada možemo da integrišemo diferencijalnu jednačinu :

qdT

dz= −λ , T(z1) = T1

⇒λ=− ∫∫ T

T

z

z

dTdzq11

2111 ,)()( zzzzzq

TzT ≤≤−λ

−= (2.3)

Dakle, stacionaran temperaturni profil kroz ravan zid, pri λ = const. je linearan (slika 2.2). Dalje, iz (2.3) nakon smene: z = z2 , T(z) = T2, možemo da nađemo specifični toplotni fluks kroz zid:

λδ

∆−=δ−λ−=

/12 TTT

q

odnosno, apsolutna vrednost fluksa je:

3

λδ=∆

= /, tt

RR

Tq (2.4)

Uočimo analogiju sa Omovim zakonom:

• Rt, se naziva tremički otpor ,

• razlika ∆T = T2 – T1 odgovara potencijalnoj razlici,

• fluks q odgovara jačini struje.

PRIMER 2.1. Pokazati da je termički otpor jedinice dužine cilindrične cevi unutrašnjeg poluprečnika r1 i spoljašnjeg poluprečnika r2 pri λ = const. :

λπ

−=πλ

=s

t r

rrr

r

R22

ln121

2

gde je sr srednji logaritamski poluprečnik, definisan kao:

1

2

12

lnr

rrr

rs

−= .

Ukupni fluks toplote kroz bilo koji od koaksijalnih cilindara unutar zida cevi, dužine L i poluprečnika r1 ≤ r ≤ r2 mora imati jednaku vrednost da bi se održala stacionarnost:

dQ

dt

dT

drS

dT

drrL const= − = − =λ λ π2 (W)

Fluks po jedinici cevi qL biće :

q rdT

drconstL = − =2π λ (W/m)

Dobićemo ga integracijom poslednje jednačine u odgovarajućim granicama:

qdr

rdT q

r

rTL

r

r

T

T

L

1

2

1

2

2 22

1∫ ∫= − ⇒ = − ⋅πλ πλln ∆

qT

r

r

Tr

r

L = − = −2

22

1

2

1

πλ∆

πλln ln / ( )

∆ ⇒

st r

rr

r

rrr

rrr

r

Rπλ−=−πλ

−=πλ

=2

ln22

ln12

1

2

12

121

2

4

Molekulski prenos mase

U nepokretnim medijumima, analogno prenosu toplote, difuzija komponenata je rezultat termičkog kretanja molekula i naziva se molekulska difuzija.

Matematičko opisivanje molekulske difuzije je znatno složenije od opisivanja provođenja toplote jer je reć o smešama više komponenata (bar dve) čiji difuzioni fluksevi utiču jedni na druge.

Uzmimo na primer najjednostavniji slučaj stacionarne difuzije u binarnoj gasnoj smeši komponenata A i B pretpostavljajući da su granice sistema propusne za obe komponente. Ako postoji promena koncentracije komponente A u pravcu z, mora da postoji i promena koncentracije komponente B, jer pri datom pritisku ukupan broj molekula u jedinici zapremine mora u celom sistemu biti konstantan. Tako, pošto je:

CA + CB = Ctot. = const (mol/m2)

važi:

dz

dC

dz

dC BA−= (2.5)

pa difunduju obe komponente i to u suprotnim smerovima. Gustina difuzionog fluksa komponente A u pravcu ose z u posmatranom slučaju data je Fikovim (Fick) zakonom

⋅∂

∂−=2ms

mol

z

CDN A

AA (2.6)

Koeficijent DA (m2/s) se naziva molekulski koeficijent difuzije i u opštem slučaju zavisi od

koncentracije, pritiska i temperature. Kao i za koeficijent provodljivosti, za izračunavanje difuzionog koeficijenta postoje u literaturi teorijske, poluempirijske i empirijske jednačine. Uzimajući u obzir uslov (2.5) izvodimo linearne koncentracijske profile komponenata A i B (uz uslov , .)constDA = kao i vezu između flukseva :

BABA DDNN =−= , (2.7)

Opisanu difuziju u binarnom sistemu zovemo ekvimolarna suprotnostrujna difuzija . U praksi, ovaj slučaj imamo kod destilacije binarne smeše, pri kojoj lakše isparljiva komponenta difuduje iz tečnosti u paru, a teže isparljiva komponenta u suprotnom smeru. Analogno jednačini (2.4) za difuzioni fluks NA , opisan Fikovim zakonom (2.6) ,važi “električna“ analogija :

ADD

AA DR

R

CN /, δ=

∆= (2.8)

RD - difuzioni otpor

δ - debljina sloja kroz koji komponenta difunduje Drugi slučaj stacionarne difuzije u binarnom sistemu je kada A difunduje kroz „nepokretnu“ komponentu B. To će biti slučaj ako je granica sistema propusna samo za

5

komponentu A. Primer je apsorpcija komponente A u tečnosti. Zbog nestajanja komponente A u blizini granične površine gas - tečnost došlo bi do pada pritiska u toj oblasti. Da bi se pritisak održao konstantnim, povećava se fluks komponente A u odnosu na onaj koji daje Fikov zakon (2.6), dok je fluks nepokretne komponete jednak nuli i može se izvesti:

dz

dCD

C

CN A

AB

AA

+−= 1 (2. 9)

Vidimo da je važnost Fikovog zakona (2.6) ograničena. Tako, on važi strogo ili približno u sledećim slučajevima

• ekvimolarna binarna difuzija

• difuzija u razblaženim multikomponentnim sistemima tj. smešama u kojima je inertna komponenta ili rastvarač u velikom višku, u odnosu na komponentu A i druge prisutne rastvorke. Na primer u slučaju difuzije A kroz nepokretan sloj komponente B, B je inert i ako je CB >> CA relacija (2.9) postaje bliska jednačini (2.6)

• multikomponentna difuzija pri jednakim difuzionim koeficijentima svih komponenta jer tada nema međusobnog uticaja fluksova

Ako je neizotermičnost (neuniformnost temperature) jako izražena, neophodno je pri modelovanju difuzije uzeti u obzir i fenomen termodifuzije - difuzija koja nije uslovljena neuniformnošću koncentracije, tj. postojanjem koncentracijskog gradijenta već neuniformnošću temperature tj. postojanja temperaturnog gradijenta. Tada difuzionom fluksu treba dodati termodifuzioni fluks koji je proporcionalan gradijentu temperature, zT ∂∂ .

Analogija izme đu fenomena prenosa Uočljva je analogija izraza za gustine flukseve toplote (Furijeov zakon), komponente

(Fikov zakon) i količine kretanja pri strujanju Njutnovskog fluida (Njutnov zakon):

)( 2mWdz

dTq λ−= (2.9a)

)( 2msmoldz

dCDN A

AA ⋅−= (2.9b)

)( 2 PamNdz

dw =µ−=τ (2.9c)

τ - tangencijalni napon (fluks količine kretanja), Pa

µ - dinamički viskozitet, sPa⋅

w - brzina sloja, koji se kreće u pravcu normalnom na z – osu, sm

Formulacije flukseva q i τ, preko koncentracija veličina koje se prenose su:

6

dz

Tcda

dz

Tcd

cq pp

p

)()( ρ−=ρρλ−= (2.10)

ρ - gustina, 3mkg

cp - specifična topota, kgKJ

a - termička difuzivnost, m2/s

dz

wd

dz

wd )()( ρν−=ρρµ−=τ (2.11)

−ρµ=ν kinematski viskozitet, m2/s

Tabela 2.1 - Fluksevi preko koncentracija veličina koje se prenose

Za modelni sistem - binarna gasna smeša molekula A i B iste veličine i mase, za koju važi kinetička teorija, za sva tri transportna koeficijenta se izvodi:

l⋅=ν== waDA 3

1 (2.12)

−w srednja brzina molekula

−l srednja dužina slobodnog puta molekula

2.2 Efektivni koeficijenti prenosa toplote i mase

Efektivni koeficijenti prenosa toplote i komponente se definišu pri modelovanju:

• difuzije toplote i komponente kroz poroznu sredinu,

• prenosa toplote i komponente kroz fluid koji struji turbulentno,

sa ciljem da se navedeni fenomeni opišu jednostavnim formulama, koje imaju isti oblik kao Furijeov i Fikov zakon .

Gustina fluksa veličine

koja se prenosi

Koncentracija veličine koja se

prenosi (potencijal)

Koeficijent prenosa

Prenos toplote q (W/m2) ρcpT (J/m2) a (m2/s)

Prenos mase NA (mol/m2s) CA (mol/m2) DA (m2/s)

Prenos kol. kretanja τ (N/m2) ρW (kg/m2s) ν (m2/s)

7

Molekulska difuzija i provo đenje toplote kroz porozni medijum

Pri modelovanju difuzije molekula gasa ili tečnosti kroz čvrst, porozan medijum (primer je difuzija vode kroz materijal koji se suši), dvofazni sistem fluid - čvrsto zamenjuje se kvazi - homogenim medijumom - kao da molekuli difunduju kroz celu površinu preseka bloka poroznog čvrstog materijala, S, a ne samo kroz površinu S’ koju čine površine preseka pora (Sl. 2.2). Takav model se naziva kvazihomogen matematički model.

Slika 2.2 – Skica uz opis kvazihomogenog medijuma Tako se fluks komponente u poroznom sistemu, kroz površinu normalnu na pravac difuzije (Sl. 2.2), definiše kao:

−==s

molS

dz

dCDSN

dt

dn AeffAA

A (2.14a)

S - površina preseka poroznog bloka, normalna na pravac difuzije

Slično, umesto da se pri konduktivnom prenosu toplote kroz porozni medijum (Sl. 2.2) fluks toplote računa kao zbir flukseva kroz pore i kroz čvrst medijum, on se računa kao da je u pitanju homogena sredina, pomoću Furijeovog izraza:

)(WSdz

dTSq

dt

dQ effλ−=⋅= (2.14b)

Dakle, formule (2.14a,b) imaju isti oblik kao one za molekulski prenos topolote i mase kroz homogen medijum, s tim što u njima umesto pravih koeficijenata molekulskog prenosa λ i AD , figurišu efektivni koeficijenti effλ i eff

AD . Tako se oni mogu definisati na sledeći način:

• Efektivni koeficijent molekulske difuzije DAeff komponente A kroz porozni medijum

je parametar, koji kad se zameni u “kvazi - homogeni” Fikov izraz za fluks komponente (2.14a), daje pravu veličinu fluksa.

• Efektivni koeficijent provođenja toplote λeff se definiše analogno.

Veza između efektivnih i molekulskih koeficijenata prenosa se može teorijski izvesti samo za vrlo jednostavne, idealizovane porozne strukture, pa se efektivni koeficijenti ne izračunavaju iz pravih, nego određuju eksperimentalno. Jasno je da efektivni koeficijent

−′S ukupna površina poprečnih preseka svih pora

S- ukupna površina poprečnog reseka poroznog bloka

8

difuzije neke komponente kroz porozni medijum mora da ima manju vrednost od molekulskog koeficijenta difuzije :

AeffA DD <

Prenos toplote i komponente kroz fluid koji struji turbulentno

Posmatrajmo prenos toplote u suprotnostrujnom izmenjivaču toplote čiji smo model diskutovali u Primeru 1.1. Jednostavan matematički model (1.4) nije obuhvatio prenos toplote kroz fluide u pravcu ose izmenjivača, tj. podužno, koji svakako postoji zbog promena temperatura oba fluida duž izmenjivača. Pretpostavimo da fluid u cevi struji turbulentno. Kako opisati podužni fluks toplote kroz njega? Pošto se prenos toplote vrši ne samo molekulski nego i kao rezultat haotičnog kretanja vrtloga (vrtložni prenos toplote), nije primenljiv Furijeov zakon, koji važi samo za molekulski prenos. Ipak, radi pojednostavljenja modela, kombinovani molekulski i vrtložni prenos toplote se opisuje na analogan način kao čista kondukcija, zahvaljujući uvođenju efektivnog koeficijenta provođenja toplote:

dz

dTq effλ−= (2.15a)

čija je definicija analogna onoj za efektivni koeficijent kondukcije kroz poroznu sredinu. S obzirom da vrtlozi intenzifikuju prenos toplote kroz fluid, jasno je da važi:

λ>λeff

gde je λ koeficijent provođenja toplote za fluid. Analogno, fluks prenosa komponente kroz fluid kombinovananim mehanizmom (molekulski i vrtložni) se opisuje modifikovanim Fikovim zakonom:

dz

dCDN Aeff

AA −= (2.15b)

2.3 Konvektivni prenos toplote i mase. Prelaz toplote i mase.

Molekulski transport toplote i mase je rezultat haotičnog (neuređenog) kretanja molekula u nepokretnom fluidu. Molekulski mehanizam prenosa toplote i mase je takođe važeći i pri strujanju fluida , ako je ono laminarno (slojevito). Ako se pri strujanju fluida stvaraju vrtlozi (prelazni i turbulentni režim strujanja), neophodno je pri određivanju flukseva toplote i mase, uzeti u obzir i uticaj kretanja fluida . Prenos toplote ili mase, pri strujanju fluida se naziva konvektivni prenos.

U slučaju razvijenog turbulentnog strujanja fluida, prenos toplote i mase je znatno intenzivniji nego u nepokretnom fluidu, zbog haotičnog kretanja velikih grupa ili klastera (cluster) molekula, vidljivih i golim okom, koji se zovu vrtlozi (eddy).

9

Prelaz toplote

Posmatrajmo stacionarno jednodimenziono prinudno (pod dejstvom pumpe) turbulentno

strujanje fluida duž ravnog zida ili ploče vrlo velike (teorijski beskonačne) površine. Uspostavljeni brzinski profil w = w(z),

• je rezultat usporavajućeg dejstva zida na struju fluida potiskivanu pumpom, odnosno rezultat prenosa količine kretanja u pravcu normale na zid (osa z).

• ima horizontalnu asimptotu w = wf, ako zamislimo da je sloj fluida vrlo debeo.

Sloj fluida uz zid u kome brzina fluida raste od nula (u tački z = 0, tj. uz sam zid) do vrednosti 0.99wf naziva se hidrauli čni granični sloj i njegovu debljinu ćemo označiti sa δH. Za z > δH može se smatrati da je brzina uniformna i jednaka asimptotskoj vrednosti wf, koja predstavlja brzinu turbulentne mase fluida.

Slika 2.4 Brzinski i temperaturni profil

Analogno, ako temperatura zida Tz i temperatura dolazećeg fluida Tf nisu jednake, kao

rezultat prenosa toplote u z - pravcu formiraće se temperaturni profil sličnog oblika, sa horizontalnom asimptotom T = Tf . U toplotnom graničnom sloju, širine δT se temperatura menja od temperature zida Tz > Tf (Sl. 2.4) do 1.01Tf .

U laminarnom podsloju uz zid, fluid struji laminarno i

• u njemu su najveće promene brzine strujanja i temperature fuida, tj. gradijenti dw

dz

dT

dzi .

• imamo molekulski mehanizam prenosa količine kretanja i toplote

• brzinski i temperaturni profili su približno linearni

U međusloju (preostalom delu graničnog sloja) imamo :

• prelazni režim strujanja.

10

• gradijenti brzine i temperature postepeno opadaju praktično do nule , jer

• vrtlozi intenzifikuju prenos količine kretanja i toplote

U masi fluida, snažno vrtloženje uslovljava uniformisanje brzina i temperatura.

Debljina hidrauli čnog graničnog sloja će biti utoliko veća ukoliko je veći fluks količine kretanja između zida i fluida (kočeće dejstvo zida), odnosno ukoliko je veći kinematski viskozitet ν (difuznost količine kretanja) - vidi jedn. 2.11. Analogno, debljina toplotnog graničnog sloja δT (rastojanje do koga se “oseća” efekat zagrejane ploče na temperaturu fluida) raste sa toplotnom difuznošću a (vidi jedn. 2.10). Tako odnos δH i δT raste sa količnikom ν/a, koji se zove Prandltov kriterijum ili Prandtlov broj:

3/1

3/1Pr

ν==δδ

aT

H

gasovi) realni i tecnosti(

2.12) vidigas,idealan (

metali) (tecni

1Prza1

1Prza1

1Prza1

>>==<<

δδ

T

H

Teorija filma

Od praktičnog interesa je količina toplote koju zid u jedinici vremena preda fluidu ,

računato po jedinici površine:

qdT

dzzz

=

=

= −

0

0

λ (2.16)

Slika 2.5 Stvarni i aproksimativni temperaturni profil

Jednačina (2.16) zahteva poznavanje temperaturnog profila )(zT , čije je dobijanje vrlo kompleksno (rešavanje sistema od dve diferencijalne jednačine: bilans količine kretanja i energetski bilans).Zato pravi profil zamenjujemo izlomljenim (Sl. 2.5), koji se sastoji od

• kose duži (deo tangente povučene u tački z = 0) sa nagibom dT

dz z

=0

11

• horizontalog dela - asimptote T = Tf.

Tačka preloma, tj. presek tangente i asimptote, definiše debljinu fiktivnog toplotnog graničnog sloja, Tδ′ ili debljinu filma . Nagib kosog profila je,

0

'=

=δ−

zT

zf

dz

dTTT

pa dobijamo:

)('0 zfT

z TTq −δλ−=

=

Ako se količnik λ/δT’ zameni novim koeficijentom α,

'Tδλ=α (W/m2K) (2.17)

dobijamo izraz za prelaz toplote sa zida na fluid:

( )zfz TTq −α−==0 (2.18)

α - koeficijent konvekcije ili koeficijent prelaza toplote.

Sličnim pristupom, za fluks koli čine kretanja sa zida na fluid dobijamo :

2

00 2 f

f

zz w

C

dz

dw ρ=µ=τ=

= (2.19)

fC - bezdimenzioni parametar koji se naziva koeficijent trenja (friction

coefficient).

Primena teorije sli čnosti

Umesto simultanog rešavanja diferencijalnih jednačina prenosa količine kretanja i toplote,

• definiše se skup bezdimenzionih grupa ili kriterijuma, (prevođenjem dif. jednačina u bezdimenzioni oblik), koje karakterišu posmatranu pojavu.

• na bazi eksperimenata, definišu se kriterijalne jedna čine, koje povezuju bezdimenzione kriterijume, za

• pojedine klase sistema, koje se karakterišu istom geometrijom (da bi mogao da se ostvari uslov geometrijske sličnosti) i

• isti režim strujanja fluida (zbog hidrodinamičke sličnosti).

Tako za prinudnu konvekciju , kriterijalna jednačina glasi:

12

Pr)(Re,Nu fL =λα=

i uobičajeni oblik je:

nmc PrReNu = , 0.5 ≤ m ≤0.8, 0.2 ≤ n ≤0.5 (2.20)

Značenja bezdimenzionih kriterijuma su

• Re - mera relativnog uticaja inercijalnih sila (brojioc) i sila trenja (imenioc),

• Pr - odnos intenziteta prenosa količine kretanja i prenosa toplote, odnosno odnos otpora prenosu toplote (1/a) i otpora prenosu količine kretanja (1/ν),

• Nu - odnos uticaja turbulentnog (brojioc) i molekulskog (imenioc) mehanizma prenosa toplote, ili odnos otpora provođenju toplote L/λ i otpora konvenktivnom prenosu toplote 1/α.

Za koeficijent trenja i njemu proporcionalan frikcioni faktor f , pri laminarnom strujanju kroz glatku cev važi:

Re

644 == fCf (2.21)

f– frikcioni faktor

Za turbulentno strujanje i rapave cevi u literaturi postoje empirijske zavisnosti:

)(Re,4 ε== FCf f (2.21a)

−ε koeficijent rapavosti (-) PRIMER 2.2 Pokazati da je termički otpor prelaza toplote sa fluida na zid (ili obrnuto) cilindrične cevi, računat po jedinici dužine cevi, jednak:

απ

=r

Rt 2

1

Protok toplote,

qrLAqdt

dQ⋅π=⋅= 2 (q dato jednačinom 2.18)

po jedinici dužine cevi je

απ

=⇒∆

=

απ

∆=∆απ=π=

rR

R

T

r

TTrqrq t

tL 2

1

21

22

PRIMER 2.3. Parovod spoljnjeg prečnika 10 cm sa temperaturom spoljne površine od 110 0C je izložen vetru brzine 8 m/s sa pravcem normalnim na osu parovoda. Temperatura vazduha je 4 0C. Odrediti gubitke toplote u atmosferu po 1 m parovoda. Podaci: toplotna provodljivost i

13

kinematski viskozitet vazduha na srednjoj temepraturi (57 oC) su ⋅⋅

=λoRhft

BTU.01640 i

h

cm2670=ν . Proračun izvesti paralelno sa dve kriterijalne jednačine:

5485

4132

3121

31 0.805

282000

Re1

Pr

401

Pr0.62Re0.3Nu

PrRe0270Nu

+

++=

=

.

.

Iz tablica za srednju temperaturu vazduha: Pr = 0.708. (Rešenje u Mathcad -u)

PRIMER 2.4 Idealno izolovan protočni grejač vode u obliku cevi sa električnim grejačem, dug je 5 m i ima unutrašnji prečnik 2 cm.

a) Izračunati snagu grejača koja obezbeđuje zagrevanje 10 l/min vode od 150C do 650C

b) Proceniti temperaturu unutrašnje površine grejača na izlazu, imajući u vidu da je gustina fluksa konstantna duž električnog grejača. Potrebni podaci: termofizičke osobine vode na srednjoj temepraturi (40oC) su

⋅⋅

=λoRhft

BTU.3650 ,

h

ft.

202550=ν ,

kgK

cal.Cp 1998= i

39920

cm

g.=ρ .

Kriterijalna jednačina: 40 0.8 PrRe0230Nu ..= Iz tablica, za srednju temperaturu vode: Pr = 4.22. (Rešenje u Mathcad -u)

Prelaz mase (komponente)

Analogno prenosu toplote, definiše se fluks prelaza komponente sa međufazne površine na fluid koji struji, ili obrnuto:

( ) )( 2,, smmolCCN sAfAAA −β−= (2.22)

CA,f - koncentracija u turbulentnoj masi fluida

CA,s - koncentracija na međufaznoj površini pri čemu je z - osa postavljena normalno na posmatranu površinu i usmerena od površine ka fluidu (vidi Sliku.2.5)

Koeficijent prelaza komponente A, βA je u skladu sa teorijom filma :

'D

AA

D

δ=β (m/s) (2.23)

δD’ - debljina fiktivnog difuzionog graničnog sloja (filma)

Za kiterijalnu jedna činu za prinudnu konvekciju ,

)Sc(Re,Sh f= (2.24)

14

uobičajeni oblik je :

nmc ScReSh= , .5 ≤ m ≤0.8, 0.2 ≤ n ≤0.5

Šervudov (Sherwood) kriterijum Sh je analogan Nuseltovom:

A

A

D

Lβ=Sh

Šmitov (Schmidt) kriterijum Sc je analogan Prandtlovom:

AD

ν=Sc

U tabeli 2.2 dati su izrazi za fluks prelaza komponente, koji se koriste u praksi

Tabela 2.2 - Konzistentni parovi pogonska sila - koeficijent prelaza komponente

gde su,

AC - molska koncentracija komponente, 3mmol

Ac - masena koncentracija komponente, 3mkg ,

−Ap parcijalni pritisak komponente u gasnoj smeši, Pa

−Ax molski udeo komponente u smeši

PRIMER 2.5 Naći formule za preračunavanje koeficijenata prelaza pri promeni načina izražavanja pogonske sile.

Veza između molske koncentracije )( 3mmol i molskog udela neke supstance je

s

sAsA

AAA M

xx

V

n

n

n

V

nC

ρ=ρ=== ∗

n - ukupan broj molova u smeši,

∗ρs - molska gustina smeše, mol/m2

Ms - mol. masa smeše, (kg/kmol)

ρs - gustina smeše (kg/m2)

fluks : pogonska sila koef. prelaza

NA = - βA ∆CA ( smmol 2 ) ∆CA (mol/m2) βA (m/s)

AAA cm ∆β−= ( smkg 2 ) Ac∆ ( 3mkg ) βA (m/s)

NA = - βA,,p ∆pA ( smmol 2 ) ∆ pA (Pa) βA,,p (mol/m2 Pa s)

NA = - βA,x ∆xA ( smmol 2 ) ∆ xA ( - ) βA,x (mol/m2s)

15

Ako zanemarimo promene gustine smeše i molekulske mase sa sastavom,

ρs, Ms = const ⇒ s

AsA M

xC

∆ρ=∆

što nakon smene u prvi od flukseva u Tabeli daje:

AxAs

AsAA x

M

xN ∆β−=∆ρβ−= ,

odnosno, vezu između koeficijenta prelaza AxA ββ i , :

s

sAxA M

ρβ=β , (2.25)

Veza između pogonskih sila AA xP ∆∆ i je pri zanemarivanju promena pritiska jednostavna:

pA = xA p .constp=

⇒ ∆pA = ∆xA p što nakon smene u drugi od flukseva u Tabeli daje vezu između pAxA ,, i ββ :

ppAxA ., β=β (2.26)

Iz (2.25) i (2.26) sledi konačno veza između ApA ββ i , :

As

spA Mp

βρ=β , (2.27)

Ako je smeša idealan gas važi: RTM

RTps

ss

ρ=ρ= ∗ , pa imamo :

RT

ApA

β=β , (2.28a)

∗ρβ=β=β spApAxA RT

p..,

(2.28b)

PRIMER 2.6 Treba proceniti brzinu sušenja r u kg vode/(kg suve materije·s), kockica šargarepe vazduhom u fluidizovanom sloju, pretpostavljajući da je površina kockica prekrivena filmom vode.

a) Izvesti sledeći izraz za traženu brzinu sušenja:

( )10

)1( −ϕ−ρβ= ssp

p

M

Mr c

w

sv

wsvw

gde su,

−βw koeficijent prelaza vlage sa površine, sm

16

−ρsv gustina suvog vazduha, 3mkg

−svw MM , molekulske mase vode i suvog vazduha, kmolkg

−p pritisak vazduha za sušenja, Pa

−0wp napon pare vode na temperaturi sušenja, Pa

−ϕ relativna vlažnost vazduha za sušenje

−cs specifična površina kockica šargarepe, 2m /kg suve materije

b) Izračunati traženu brzinu sušenja sa sledećim podacima. Stranica kockice je cmac 1= .

Gustina šargarepe je 1020 3mkg a vlažnost 5=x kg vode/kg suve materije. Relativna vlažnost

vazduha je 2%, pritisak je kPa101 , a temperatura sušenja CT 080= . Vazduh struji brzinom smw 12= . Na datoj temperaturi: napon vodene, kPapw 4.470

= , viskozitet vazduha,

cP0195.0=µ . Kriterijalna jednačina koja važi za sušenje u fluidizovanom sloju (R.T.Toledo, 1991, 476str):

33.05.0 ScRe6.02Sh +=

Kao karakteristična dimenzija kocke uzima se prečnik ekvivalentne sfere – one koja ima istu površinu kao kocka datih dimenzija.Za koeficijent difuzije vlage kroz vazduh uzeti

smDw25102.2 −×=

a) Brzina sušenja, pri pretpostavci da je površina kockice šargarepe prekrivena filmom vode, jednaka je fluksu prelaza vode sa površine u struju vazduha. Tako, krenućemo od izraza za specifični maseni fluks prelaza vode, izabravši kao pogonsku silu razliku parcijalnih pritisaka vode uz samu površinu i u struji vazduha:

∆β=∆β=sm

kgp

RTMpMm w

ww

a

wpwww 2

)28.2(

,

Parcijalni pritisak vode uz samu površinu, pošto je na površini uspostavljena termodinamička ravnoteža, jednak je naponu pare vode na temperaturi sušenja, pa imamo:

( ) ( )wwwwwww

www

ww pppRT

pMpp

RTMp

RTMm −β=−β=∆β= 00 1

RTp je molska gustina vazduha i praktično je jednaka (zbog male relativne vlažnosti)

molskoj gustini suvog vazduha, ∗ρsv . Relativna vlažnost vazduha je definisana kao 0ww pp=ϕ ,

pa je:

( )

ϕ−ρβ=ϕ−ρβ= ∗

sm

kg

p

p

M

M

p

pMm w

sv

wsvw

wsvwww 2

00

)1(1

Konačno, da bi smo dobili brzinu sušenja u traženim jedinicama, treba pomnožiti izvedeni izraz specifičnom površinom kockice, cs računatom po kilogramu suve materije:

( )10

)1( −ϕ−ρβ== ssp

p

M

Msmr c

w

sv

wsvwcw

17

b) (Mathcad)

Analogija trenja pri proticanju fluida, prelaza top lote i prelaza mase

I u slučaju konvektivnog prenosa toplote i mase, pored očigledne kvalitativne, postoji i kvantitativna veza, što se može naslutiti iz opštih formi kriterijalnih jednačina za prenos toplote i mase u slučaju prinudne konvekcije (2.24, 2.27). Eksperimenti su pokazali da bezdimenzione grupe ( tzv. j- faktor za toplotu i j– faktor za masu)

1/3PrRe

Nu=Hj (2.29a)

1/3ScRe

Sh=Dj (2.29b)

imaju u oblasti turbulentnog režima strujanja, približne iste brojne vrednosti:

2

fjj DH == (2.30)

jH - faktor za prenos toplote i jD - faktor za prenos mase.

što se prema autorima naziva analogija Čilton-Kolborn -a (Chilton-Colburn). Iz te analogije sledi veza između koeficijenata prelaza komponente i toplote:

32 /

A

pA a

D

C

ρα=β (2.31)

PRIMER 2.7 Pri strujanju suvog vazduha temperature 25 0C i pritiska 1 atm, brzinom 2 m/s preko površine od 0.3 m2 pokrivene slojem naftalina, izmerena količina isparenog naftalina u toku od 15 min je 12 g. Napon pare naftalina na 25 0C je 11 Pa a njegova difuzivnost u vazduhu, DA,B = 0.61×10-5 m2/s, gde A označava naftalin, a B vazduh, kroz koga naftalin difunduje. Proceniti koeficijent prelaza toplote za vazduh, pri istim uslovima proticanja i istoj geometriji sistema. Specifična toplota i toplotna difuzivnost vazduha na 25 0C su:

smakgK

kJcp

251018.2,01.1 −×== . Iz izračunate vrednosti koeficijenta prelaza naftalina

Aβ , izračunati pAA,x , i ββ (Rešenje u Mathcad-u)

2.4 Prenos toplote i mase kroz višeslojni medijum.

Prolaz toplote i mase

Prolaz toplote

18

Prenos toplote kroz tri sloja: fiktivni toplotni granični sloj prvog fluida, zid i fiktivni toplotni granični sloj drugog fluida nazivamo prolaženje ili prolaz toplote pred. Na Slici 2.6 dat je uprošćen temperaturni profil (u skladu sa teorijom filma), pri stacionarnom prolaženju toplote između dva fluida sa temperaturama T1 i T2, kao i šema termičkih otpora.

Po analogiji sa Omovim zakonom, za flukseve toplote kroz pojedine slojeve važi:

2

22,3

2,1,2

1

1,11 /1

,/

,/1 α

−=λ

−=α−= TT

qd

TTq

TTq iiii (2.32)

Slika 2.6 Temperaturni profil pri stacionarnom prolaženju toplote

Iz uslova stacionarnosti temperature zida sledi međusobna jednakost flukseva:

q1 = q2 = q2 (= q) (2.33)

Nijedna od jedn. (2.32) ne omogućuje izračunavanje q jer sadrže nepoznate potencijale - intermedijalne temperature Ti,1 Ti,2. Produžena jednakost (2.32) sadrži dve nezavisne jednačine, recimo q1 = q2; q2 = q2, u kojima će, nakon smene izraza (2.32), figurisati nepoznate intermedijalne temperature. Rešavanjem tih jednačina dobijamo nepoznate temperature u funkciji od krajnjih - merljivih potencijala, T1 i T2. Kada se dobijeni izrazi zamene u bilo koju od tri jednačine (2.22) dobijamo fluks prolaza toplote u funkciji od krajnjih temperatura:

)(11 21

21

21 TTKd

TTq T −=

α+

λ+

α

−= ( )2mW (2.34)

q - fluks prolaza toplote

KT - koeficijent prolaza toplote.

19

Izraz (2.34) mogli da dobijemo neposrednom primenom “električne” analogije: u brojiocu je ukupna pogonska sila, a u imeniocu ekvivalentan ili ukupan otpor za tri termička otpora vezana na red (Sl.2.6). PRIMER 2.8 Gubici toplote iz izolovanog parovoda u atmosferu po jedinici dužine parovoda, se računaju kao:

2211

11

d)(ddd

TTq

rii

i

zz

z

aL

πα+α+

πλδ+

πλδ+

πα

−= (W/m)

gde su:

T, Ta - temperatura pare i temperatura atmosfere (K) d1, d2 - unutrašnji i spoljašnji prečnik izolovanog parovoda (m) δz, δi - debljina zida cevi i debljina sloja izolacije (m) dz - srednji logaritamski prečnik zida cevi (m) di - srednji logaritamski prečnik sloja izolacije (m) λz, λi - toplotne provodljivosti zida i izolacije (W/mK) α1 - koeficijent prelaza sa pare na unutrašnji zid paravoda (W/m2K) α2 - koeficijent prelaza toplote sa spoljne površine paravoda u atmosferu (W/m2K) αr - efektivni koeficijent prelaza toplote radijacijom (W/m2K) Efektivni koeficijent prelaza toplote radijacijom je onaj parametar, koji kad se pomnoži pogonskom silom za prelaz toplote (T2 - Ta), daje pravu vrednost toplotnog fluksa zračenja. Tako je prema definiciji:

)()( 244

2 ara TTTT −α=−⋅εσ

−2T temperatura spoljnje površine izolovanog parovoda

σ - Stefan-Bolcmanova (Stephan- Boltzman) konstanta zračenja, )(10673.5 428 KmW−×=σ

−ε emisivnost površine, 10 ≤ε<

pa αr očigledno zavisi od temperatura, aTT ,2 ,

( )( )aaa

ar TTTT

TT

TT++εσ=

−

−εσ=α 2

222

2

442

i za njegovo izračunavanje je neophodna procena nepoznate temperature T2.

a) Izvesti datu formulu za toplotne gubitke

b) Izvesti izraz za koeficijent prolaza toplote, baziran na unutrašnjoj površini cevi parovoda.

a) Šema termičkih otpora :

R1 - otpor prelazu toplote sa pare na unutrašnji zid parovoda

20

Rz, Ri - otpori provođenju zida i izolacije

R2 - otpor prelazu toplote sa spoljašnjeg zida parovoda na atmosferu

Rr - efektivni otpor radijacije

222

211

1111

dR,

dR,

dR,

dR,

dR

rr

ii

ii

zz

zz πα

=πα

=πλδ=

πλδ=

πα=

Ekvivalentan otpor :

r

iz

RR

RRRR11

1

2

1+

+++=

i formula se dobija nakon smene ekvivalentnog otpora u jedn. R

TT

R

Tq a

L

−=∆=

b) Da bi smo, polazeći od jednačine,

R

TT

dddd

TTq a

rii

i

zz

z

aL

−=

πα+α+

πλδ+

πλδ+

πα

−=

2211 )(11

izveli traženi izraz za koeficijent prolaza toplote, neophodno je fluks toplote, Lq prikazati kao

proizvod koeficijenta prolaza,TK pogonske sile )( aTT − i odgovarajuće površine toplotne

razmene- unutrašnje površine cevi jedinične dužine (S = 1dπ ) i izjednačiti dva izraza za Lq :

1)( dTTKR

TTaT

a π−=−

Sledi,

1

1

dRKT

π=

i kada se smeni izraz za R :

1

2211

1

)(11

1

ddddd

K

rii

i

zz

zT π

⋅

πα+α+

πλδ+

πλδ+

πα

=

Konačno,

22

111

1 )(1

1

d

d

d

d

d

dK

rii

i

zz

zT

α+α+

λδ+

λδ+

α

=

PRIMER 2.9 (R.T.Toledo, 1991, P 7.1) Treba izračunati potrebnu debljinu izolacije ( )(0346.0 mKW=λ tavanice da se temperatura plafona ne bi razlikovala od sobne

temperature više od C02 . Tavanica je debela 0.5in, a koeficijent toplotne provodljivosti

21

materijala od koga je napravljena je )(433.0 mKW=λ . Koeficijet prelaza toplote sa obe

strane tavanice je )(84.2 2KmW=α . Temperatura vazduha na tavanu je C049 , a sobna

temperatura C020 .

Na skici su naznačeni termički otpori. Najpre ćemo iz granične temperature plafona, sobne temperature i koeficijenta prelaza toplote izračunati fluks prelaza toplote sa plafona na sobni vazduh:

[ ] 22 68.5)2( mWTTq ss =−+α=

sT 0T

11 α

)(84.2

49

1

00

mKW

CT

=α

=

CTs02+

tδ iδ

12

020

α=α

= CTs

1T

21 α tt λδ ii λδ

Skica uz Primer 2.9

On je tačno jednak fluksu prolaza toplote od vazduha tavana do vazduha u sobi:

2

21

0 68.511

mWTT

qiitt

s =α+λδ+λδ+α

−=

odakle dobijamo traženu debljinu izolacije:

cmq

TTi

t

tsi 13.15

11

21

0 =λ⋅

α+λδ+α−−=δ

Jasno je da debljina izolacije, tražena prema datom zahtevu, ne zavisi od toga da li će se ona staviti na tavanicu ili ispod nje (na skici je uzeto da se ona postavlja ispod tavanice). Iz formule za fluks prolaza toplote jasno se vidi da njegova vrednost ne zavisi od redosleda termičkih otpora jer zbir u imeniocu ne zavisi od redosleda sabiraka.

2.5 Principi opisivanja brzine složenog procesa

Složeni fenomeni prenosa se, ako je moguće, dekomponuju (raščlanjuju) na više jednostavnijih fenomena koji predstavljaju stupnjeve ili stadijume složenog procesa. Oni mogu međusobno biti povezani:

• serijski (uzastopni ili konsekutivni stupnjevi)

22

• paralelno (paralelni ili uporedni stupnjevi)

• na složen način koji predstavlja kombinaciju serijskih i paralelnih veza.

Tako, u Primeru 2.7, gubljenje toplote pare pri transportu kroz parovod smo raščlanili na 5 elementarnih stupnjeva, kao:

Brzine elementarnih fizičkih stadijuma (prenos toplote ili mase) se mogu prikazati u

vidu količnika pogonske sile i otpora. Ako pogonska sila linearno zavisi od potencijala (temperature ili koncentracije), a otpor nije funkcija potencijala , kažemo da je posmatrani stadijum linearan i njegova brzina je opisana izrazom analognom Omovom zakonu (električna analogija):

rV

R= − ∆

(2.35)

V - potencijal (temperatura ili koncentracija)

R - otpor (toplotni ili difuzioni)

Negativni predznak u izrazu (2.35) nosi informaciju o smeru fluksa (da li je isti kao i smer prostorne ose ili suprotan od njega) pri čemu je prostorna osa usmerena od prvog ka poslednjem stadijumu u nizu.

Brzina složenog procesa, dekomponovanog na linearne stadijume dobija se pomoću električne analogije (2.35) u koju se kao ∆V zamenjuje ukupna potencijalna razlika a umesto R ukupan ili ekvivalentan otpor. Tako, ako je složeni proces niz od n linearnih uzastopnih stadijuma čije su brzine:

niR

VV

R

Vr

i

ii

i

ii ,...,1,1 =−−=∆−= − (2.36)

ukupna pogonska sila je:

∆ ∆V V V Vii

n

n= = −=

∑1

0 (2.36a)

a ekvivalentan otpor:

R Rii

n

==

∑1

(2.36b)

4. prelaz toplote 1. 2. 2. sa spoljašnjeg prelaz toplote provođenje provođenje zida u atmosferu sa pare na toplote toplote unutrašnji kroz zid kroz izolaciju 5. zid cevi prenošenje toplote sa spolašnjeg zida u atmosferu zračenjem

23

pa je brzina procesa:

rV V

RP

n

ii

n= −−

=

∑0

1

(2.37)

−nVV ,0 krajnji potencijali

Metod limitiraju ćeg stupnja

Posmatrajmo prolaz toplote kroz homogeni zid. Brzine tri stadijuma su date jednačinama (2.32):

qT T

Rq

T T

Rq

T T

Ri i i i

11 1

12

1 2

23

2 2

3

=−

=−

=−, , , ,, ,

Neka je 2. stupanj znatno sporiji od ostalih, odnosno njegov otpor znatno veći od druga dva otpora, što znači:

R

R

R

R1

3

2

3

0≈ ≈

Iz uslova jednakosti brzina prvog i trećeg stupnja:

11,3

1

22,

1,1)32.2(

31 0 TTR

R

TT

TTqq i

i

i ≈⇒≈=−

−⇒=

Iz drugog uslova, q2 = q3 imamo:

1,2,3

2

22,

2,1,)32.2(

32 0 iii

ii TTR

R

TT

TTqq ≈⇒≈=

−

−⇒=

Dakle, aproksimativni temperaturni profil će izgledati kao na Sl. 2.7 Pošto smo definisali intermedijalne potencijale:

T T Ti i, ,1 2 1= =

sledi izračunavanje brzine prenosa toplote smenom nađenih vrednosti u izraz za brzinu nekog od stupnjeva. Međutim, pošto su, izrazi za brzine “brzih” stupnjeva q1 i q2

nedefinisani

0

0 preostaje izraz za spori stupanj:

r rT T

RP = =−

31 2

3

24

Slika 2.7 – Aproksimativni temperaturni profil troslojnog zida kada je 213 , RRR >>

Zaključujemo da

• Izrazito najsporiji u nizu konsekutivnih stupnjeva definiše tj. limitira ( jer je najsporiji) brzinu složenog procesa, pa se zato zove limitiraju ći stupanj;

• U ostalim (relativno brzim) stadijumima približno se uspostavlja termodinamička ravnoteža, tj. pogonske sile tih su bliske nuli ;

• Brzina procesa je približno jednaka brzini kojom bi se odvijao limitiraju ći stupanj, kad bi u svim ostalim stupnjevima bila uspostavljena termodinamička ravnoteža.

Metod limitirajućeg stupnja znatno pojednostavljuje problem određivanja brzine složenog procesa, naročito u slučaju kad su neki od stupnjeva nelinearni. (kao što je naprimer stadijum zračenja toplote).

ZADACI 2.1 (Cengel, E2-2) Prozor sa duplim staklima razdvojenih slojem nepokretnog vazduha ima dimenzije m.. 5180 × . Stakla ( Rhft/BTU. ⋅⋅=λ 4510 ) su debela 4mm, a sloj vazduha ( Rhft/BTU. ⋅⋅=λ 0150 ) 10 mm. Ako je temperatura u sobi 200C, a spoljnja temperatura -100C, izračunati toplotne gubitke i temperaturu unutrašnje površine prozora. Koeficijent

prelaza toplote za unutrašnju površinu prozora je Rhft/BTU. ⋅⋅=α 21 7611 , a za spoljašnju

Rhft/BTU. ⋅⋅=α 212 0447 .

2.2 Kroz zid sastavljen od 4 sloja iste debljine, toplotnih provodljivosti, prenosi se toplota između leve površine, temperature T1 i desne, temperature T2.

25

a) Skicirati temperaturni profile kroz posmatrani zid ako je treći od 4 konsekutivna stupnja limitirajući i napisati odgovarajuću formulu za fluks toplote, q

b) Skicirati temp. profil i napisati izraz za q ako je : 3241 λ≈λ>>λ≈λ

2.3 (R.Toledo, E7.5) Čelična cev (λ = 45 W/mK) unutrašnjeg prečnika 0.824in i spoljašnjeg prečnika 1.05in je izolovana slojem fiberglasa (λ = 0.025 W/mK), debljine 2cm. Temperatura unutrašnjeg površine cevi C0150 , a spoljašnje površine izolacije C030 .

a) Izračunati toplotni fluks između te dve površine za 1 metar cevi, )( mWqL

b) Izračunati temperaturu spoljašnje površine cevi

c) Proceniti traženi fluks i temperaturu koristeći metod limitirajućeg stupnja i uporediti sa prethodno dobijenim vrednostima.

2.4 Projektuje se komora za zamrzavanje prehrambenih proizvoda, širine 6m, dubine 4m i visine 3m. Zidovi i tavanica se sastoje od sledećih slojeva: sloj nerđajućeg čelika, ( )(2.14 mKW=λ ) debljine 1.7mm, sloj penaste izolacije ( )(34.0 mKW=λ ), debljine 10cm,

sloj plute ( )(043.0 mKW=λ ) i sloj drveta ( )(43.0 mKW=λ ), debljine 1.27cm. Temperatura

u zamrzivaču je C040− , a temperatura okolnog vazduha je C032 . Koeficijent prelaza toplote na strani nerđajućeg čelika je )(5 2KmW , a sa strane drveta )(2 2KmW . Ako je tačka rose

spoljnjeg vazduha C029 , izračunati debljinu sloja pute da bi se sprečila kondenzacija vazduha na spoljnjoj površini komore. 2.5 (R.Toledo, E7.4) Radi određivanja toplotne provodljivosti, uzorak govedine oblika cilindra, dužine cm5 i prečnika cm75.3 , smešten je između dva cilindra od akrila ( mKW5.1=λ ), istog prečnika i sve je to stavljeno u izolovani kontejner (skica). Slobodne površine akrilnih cilindara (na dnu donjeg i na vrhu gornjeg cilindra) se održavaju na konstantnim temperaturama, pri čemu je donja površina na višoj temperaturi. U oba akrilna cilindra su stavljena po dva termopara i to na rastojanju 0.5 i cm1 od dodirne površine sa uzorkom. Termoparovi (počev od najnižeg) su registrovali sledeće temperature:

C013 i 15,43,45 . Izračunati,

a) Specifični toplotni fluks, qkroz uzorak i akrilne cilindre.

b) Temperature donje i gornje površine uzorka

c) Toplotnu provodljivost λ goveđeg mesa.

T2

T1

λ1 λ2

λ3 λ4

26

3.75 cm

5 cm

Skica uz zadatak 2.5

2.6 (R.Toledo, E7.12) Unutrašnja cev izmenjivača toplote ima unutrašnji prečnik cm21.2 i zid debeo mm65.1 . Koeficijent prelaza toplote sa unutrašnje strane cevi KmW 2

1 568=α , a sa

spoljašnje, KmW 22 5678=α .Toplotna provodljivost cevi je mKW6.55=λ . Izračunati,

a) koeficijent prolaza toplote kroz cev, baziran na unutrašnjoj površini cevi,

b) temperaturu unutrašnje površine cevi, ako je temperatura fluida u cevi C080 , a temperatura fluida oko cevi C0120 2.7 (R.Toledo, E7.12) 50 hkg koncentrata jabukovog soka ( kgKkJCp 187.3= ) se hladi od

80 do C020 u suprotno-strujnom izmenjivaču toplote, cev u cevi. Rashladna voda ulazi u izmenjivač na temperaturi C010 , a izlazi na C017 . Koeficijent prolaza toplote u izmenjivaču je

KmWKT2568= . Izračunati,

a) protok rashladne vode

b) potrebnu površinu toplotne razmene.

2.8 Izvesti sledeći izraz za termički otpor (otpor provođenju toplote) sferne ljuske sa unutrašnjim i spoljašnjim poluprečnicima r1 i r2

λπ

−=21

12

4 rr

rrRt

2.9 a) Izvesti izraz za brzinu difuzije FA komponente A kroz porozni zid u obliku sferne ljuske sa unutrašnjim i spoljašnjim poluprečnikom r1 i r2.

12

21,21

)()(4

rr

rCrCDrrF AA

BAA−

−π= (mol/s)

27

b) (Cengel, P11-44) Helijum je skladišten u sferni rezervoar spoljnjeg prečnika 2 m i debljine zida 5 cm od pireksa na 200C. Molska koncentracija helijuma u pireksu je 0.72 mol/m2 na unutrašnjoj površini zida a zanemarljiva na spoljnjoj površini. Difuzivnost helijuma kroz pireks na 200C DA,B = 4.5×10-15 m2/s. Odrediti dnevne gubitke helijuma difuzijom kroz zid rezervoara. Rešenje: 6.21×10-7 g/dan

2.10 Za laminarno strujanje kroz cevovod, izvodi se sledeći brzinski profil:

−=

2

12)(R

rwrw sr

gde je srw srednja brzina proticanja,a R unutrašnji poluprečnik cevovoda. Za tangencijalni

napon na površini cevi važi jedn. (2.19), s tim što umesto fw treba staviti srw . Koristeći jedn

(2.19) i Njutnov zakon (2.9c), izvesti izraz (2.21) za koeficijent trenja.