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Introduction

Électronique numérique ou digitale (microprocesseurs, ordinateurs, calculatrices, …) etl’électronique analogique (radio, télévision, amplificateurs,…). Interface : les convertisseurs numériques-analogiques (CNA) et les convertisseurs analogiques-numériques (CAN).

Objet du cours

Etudier les circuits logiques combinatoires opposés aux circuits logiques séquentiels.

Acquérir les méthodes d’analyse des systèmes combinatoires. Ceci implique :

savoir lire un schéma technologique,savoir mettre en équation certaines variables,connaître les fonctions disponibles dans la bibliothèque des circuits intégrés (de la simple porte au réseau logique programmable).

x1

x2x3

xn

ENTREES

SORTIE

2

3

Algèbre de boole

1.1. Variable booléenneUne variable booléenne (ou bivalente) est une variable susceptible de prendre deux valeurs (“0” ou “1”) représentant les deux états uniques de l’élément qu’elle représente.

Proposition Vraie – FausseInterrupteur Ouvert – FerméRéponse Oui – NonHaut-Bas H – L

En électronique, les variables sont des niveaux de tension (VH > VL) ou des niveaux de courant (IH > IL). On définit alors deux logiques :- logique positive VH = “1” VL = “0”- logique négative VH = “0” VL = “1”

Il n’y a pas toujours correspondance entre Vrai-Faux et “1”-“0”.

Algèbre de boole

1.2. Structure booléenneUn ensemble B d’éléments a une structure algébrique de BOOLE s’il est muni de 2 opérations

internes notées (+ ) et (x) possédant les propriétés suivantes :

a) les opérations + et x sont commutatives et associatives,

b) l’opération + admet un élément neutre (“0”),

l’opération x admet un élément neutre (“1”),

c) chacune des 2 opérations internes est distributive par rapport à l’autre,

d) pour tout élément Y appartenant à B, il existe un élément inverse noté Y

appartenant à B et tel que : 1YY =+ et 0YY =×

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5

Algèbre de boole

1.3. Principe de dualité

Il y a une symétrie complète entre les 2 opérations + et x munies de leurs éléments neutres.

C’est à dire que de toute propriété valable entre les éléments de B, on peut déduire une autre

propriété appelée duale de la première, en interchangeant + et x d’une part, et “0” et “1”

d’autre part.

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Algèbre de boole

1.4. Propriétés remarquables1.4.1. Propriétés pour « une »variable

Soit Y une variable booléenne appartenant à B,

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=+

=+=+=+=+=+

1YY

YYYY0YY0

11YY1

DUALE

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=×

=×=×=×=×=×

0YY

YYYY1YY100YY0

et YY =

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Algèbre de boole

1.4. Propriétés remarquables1.4.2. Propriétés pour « plusieurs » variables

a) Associativité : ZT)(YT)(ZYTZ)(YTZY ++=++=++=++

b) Distributivité : - du produit/somme : YTYZT)ZY +=++ (

- de la somme/produit : T)Z)(YYZTY ++=+ (

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Algèbre de boole1.4. Propriétés remarquables

1.4.3. Axiomatique de l’algèbre de BOOLEThéorème 1 : Absorption AABA =+

Théorème 2 : Implication BBAAAB =+⇔= Théorème 3 : Adjacence

ABA(BBAAB =+=+ ) Théorème 4 : Consensus

BABAA +=+

Théorème 5 : Lois de DE MORGAN LL +++= CBAB.C.A. « le complément d’un produit est égal à la somme des compléments » LL +=+++ C.BACBA .. « le complément d’une somme est égal au produit des compléments »

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Algèbre de boole1.5. Table de vérité

Avant d’entamer la synthèse d’un problème combinatoire, il est souvent nécessaire de

visualiser dans un tableau l’état de la sortie (ou des différentes sorties) pour toutes les

combinaisons possibles des variables d’entrée (numérotée suivant l’ordre binaire).

Exemple : Tracer la table de vérité qui visualise les deux équations suivantes :

- Admission SI Moyenne ET PAS de note éliminatoire,

- Pas admission SI note éliminatoire OU PAS la moyenne.

Moyenne Note éliminatoire Admission

0 F F F

1 F V F

2 V F V

3 V V F V :Vrai F :Faux

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Codes binaires

En informatique et en automatique : transfert des informations sous une forme binaire.

Diversité des informations ⇒ codes différents destinés à répondre à des exigences spécifiques.

ExemplesNumération : binaire pur, binaire réfléchi, BCD (Binaire Codé Décimal) etc …

Informations alphanumériques : ASCII, ISO, …

Fiabiliser la transmission d’informations : codes auto-vérificateurscodes auto-correcteurs

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Codes binaires

Terminologie en numération

DECIMAL CODE 1 CODE 2codage transcodage

décodage

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Circuit logique

4.1. Généralités

CIRCUITLOGIQUE

Circuit logique = assemblage d’opérateurs logiques

Rôle du circuit : résoudre un problème logique portant sur un ensemble de variables d’entrée booléennes (les variables de sortie sont aussi booléennes).

Opérateurs logiques

- suivent les règles de l’algèbre de BOOLE

- représentation symbolique indépendante de la technologie

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Circuit logique

4.2. Opérateurs logiques élémentaires

4.2.1.Opérateur OU

Somme booléenne de 2 ou n variables bivalentes

Table de vérité

Elle résume les propriétés de la fonction OU (inclusif) sur 2 variables :

YXS +=

X Y S

0 0 0

0 1 1 S=1 si : OU X, OU Y, OU les 2 sont égaux à 1.

1 0 1

1 1 1

X

YS

>=10

0

0

X

YSReprésentation symbolique

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Circuit logique

4.2. Opérateurs logiques élémentaires

4.2.2.Opérateur ET

Produit booléen de 2 ou n variables bivalentes

Table de vérité

Elle résume les propriétés de la fonction ET sur 2 variables :

Y.XP =

X Y P

0 0 0

0 1 0 P=1 si : ET X, ET Y sont égaux à 1.

1 0 0

1 1 1 X

YP

X

Y

&0

0

0

PReprésentation symbolique

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Circuit logique

4.2. Opérateurs logiques élémentaires

4.2.3. Inversion

Table de vérité

X X

0 1

1 0

XX1

XX

Représentation symbolique

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Circuit logique

4.2. Opérateurs logiques élémentaires

4.2.4.Opérateur NOR (ou NI)

Table de véritéYXN +=

X Y N

0 0 1

0 1 0

1 0 0

1 1 0

NXY N

>=10

0

0

X

Y

Représentation symbolique

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Circuit logique

Remarque : une équation booléenne écrite sous la forme d’un produit de termes-somme peut se représenter par un ensemble de NOR.

Exemple :

)yx()yx()yx()yx)(yx)(yx(FF

)yx)(yx)(yx(F

+++++=+++==

+++=

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Circuit logique

4.2. Opérateurs logiques élémentaires

4.2.5.Opérateur NAND (ou NON ET)

Table de véritéY.XM =

X Y M

0 0 1

0 1 1

1 0 1

1 1 0

MX

YN

>=10

0

0

X

Y

Représentation symbolique

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Circuit logique

Remarque : une équation booléenne écrite sous la forme d’une somme de termes-produit peut se représenter par un ensemble de NAND.

Exemple

z.y.xz.y.xz.y.xz.y.xz.y.xz.y.xz.y.xz.y.xGG

z.y.xz.y.xz.y.xz.y.xG

⋅⋅⋅=+++==

+++=

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Circuit logique

4.2. Opérateurs logiques élémentaires

4.2.6.Opérateur OU Exclusif

Ce n’est pas un opérateur de base comme les précédents ; cependant, comme il est simple et qu’il apparaît souvent dans les équations booléennes, un symbolisme particulier lui a été réservé.

Table de vérité

YXYXYX +=⊕

X Y YX⊕0 0 0

0 1 1

1 0 1

1 1 0

X

YYX⊕

X

YYX⊕

=10

0

0Représentation symbolique

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Circuit logique

Remarque

fonction comparateur ou ET inclusif, car

YXXYYXYX +=⊕=⊗

1YX =⊗ si X=Y

Représentation symbolique

X

Y

=0

0

0 YX⊗X

YYX⊗

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Circuit logique

4.3. Autres symboles des portes

4.3.1.Opérateur OU

En remarquant que S=0, si X=0 ET Y=0

Rappel Représentation équivalente

X

YS

>=10

0

0

X

YS

S=(XY)(L)X(L)

Y(L)

X Y S

0 0 0

0 1 1

1 0 1

1 1 1

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Circuit logique

4.3. Autres symboles des portes

4.3.2.Opérateur ET

En remarquant que P=0, si X=0 OU Y=0

Rappel Représentation équivalente

X

YP

X

Y

&0

0

0

P

P=(X+Y)(L)X(L)

Y(L)

X Y P

0 0 0

0 1 0

1 0 0

1 1 1

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Circuit logique

4.3. Autres symboles des portes

4.3.3.Opérateur NOR

En remarquant que N=1, si X=0 ET Y=0

Rappel Représentation équivalente

NXY

N>=10

0

0

X

Y

N=(XY)(H)X(L)

Y(L)

X Y N

0 0 1

0 1 0

1 0 0

1 1 0

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Circuit logique

4.3. Autres symboles des portes

4.3.4.Opérateur NAND

En remarquant que M=1, si X=0 OU Y=0

Rappel Représentation équivalente

MX

Y

N>=10

0

0

X

Y

M=(X+Y)(H)X(L)

Y(L)

X Y M

0 0 1

0 1 1

1 0 1

1 1 0

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Circuit logique

ExempleComparons les 2 schémas strictement équivalents du point de vue équation logique

Seul le schéma de droite permet de connaître instantanément la fonction

réalisée, ainsi que le niveau actif de la sortie :

Sauf impossibilité, une variable active à l’état bas est connectée à une

entrée précédée d’un rond inverseur.

A

C

B F

A

C

B F

)H)(BCAB()H(F +=

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Circuit logique

Exemple

Construction d’un schéma logique

Réaliser la synthèse de la fonction

sachant que les entrées disponibles sont A, B et C actives au niveau haut et que la

sortie est active au niveau bas.

CABAF +=

A

C

BF

A

1 OU, 2 ET, 2 inverseurs