2. Circuite in Regim Sinusoidal

Embed Size (px)

DESCRIPTION

Teoria Campului Electromagnetic - Circuite in Regim Sinusoidal

Citation preview

  • 1

    CIRCUITE N REGIM SINUSOIDAL

    1. Mrimi variabile, periodice, alternative: Fie o funcie y(t) ce reprezint o mrime variabil. Se definesc: - valoarea instantanee este valoarea la un moment oarecare t;

    - valoarea maxim respectiv minim ymax 12 tt , ymin 12 tt , sunt maximul i respectiv minimul n

    intervalul 12 tt .

    Valoarea maxim se numete de vrf i se noteaz 12 tt .

    - valoarea medie este media valorilor instantanee, calculat aritmetic 12 tt sau Ymed 12 tt ,

    ==2

    1121212

    1 ttmed

    ydttt

    ttYtt

    Valoarea medie este nlimea dreptunghiului de lime 12 tt , avnd aria cuprins ntre curba y(t) i axa 0t n intervalul considerat.

    - valoarea efectiv sau eficace n intervalul 12 tt este rdcina ptrat a mediilor ptratelor

    valorilor instantanee, notat Y 12 tt

    Y 12 tt

    =2

    1

    2

    12

    1 tt

    dtytt

    Valoarea efectiv 12 tt a intensitii curentului variabil n timp i(t) este intensitatea curentului

    continuu care ar dezvolta aceiai cantitate de cldur ntr-un rezistor liniar n intervalul de timp 2 1( )t t .

    =2

    1

    2

    1212

    1 tt

    dtitt

    ttI

    2

    1

    2 22 1( )

    t

    i ItQ R i dt Q RI t t= =

    Din egalarea lor rezult relaia anterioar.

    - Mrime periodic

    ( ) ( )y t y t nT= + valoarea se repet dup un numr ntreg de intervale constante T

  • 2

    frecvena f este numrul de perioade n unitatea de timp; fpi 2=

    Deoarece toate valorile instantanee ale unei mrimi periodice sunt cele cuprinse n intervalul

    Tttt + 11 , n formule se nlocuiete Ttt += 12 i se suprim indicele 12 tt din notaiile

    simbolurilor. Valoarea maxim i minim se noteaz ymax(), ymin, iar valoarea medie y~ (Ymed).

    1

    1

    1 t Tmed t

    Y ydtT

    += =

    1

    1

    21 t Tt

    Y y dtT

    += - valoare efectiv

    - Mrime pulsatorie - este mrimea periodic a crei valoare instantanee nu schimb semnul.

    - Mrime alternativ este mrimea periodic a crei valoare medie este nul.

    01 11

    == +Tt

    tydt

    T

    Poriunile de curb pentru care y(t)>0, respectiv y(t)

  • 3

    Valoarea medie pe o alternan, se obine:

    max max222

    2 21cos( )

    2

    T T

    TY Yydt tT T

    pi

    + +

    = = + =

    Valoarea efectiv Y se calculeaz cu relaia:

    [ ]1 11 1

    2 2 22 2max max maxsin ( ) 1 cos 2( )

    2 2t T t T

    t t

    Y Y YY t dt t dtT T

    + += + = + =

    max

    2YY =

    ( ) 2 sin ( )y t Y t = + - forma normal n sinus a mrimii armonice.

    RELAII DE FAZ

    Dou mrimi sinusoidale de aceiai frecven

    )sin(2)( 111 += tYty i )sin(2)( 222 += tYty se numesc defazate dac diferena fazelor lor, egal cu diferena fazelor iniiale e nenul.

    0)( 2121 =++ tt [ ].21 raddefazaj=

    dac 021 = , mrimea )(1 ty este defazat naintea mrimii )(2 ty ; 021 == , )()( 21 tysity sunt n faz (sinfazice); 021 = , )(1 ty defazat n urma )(2 ty

    221pi == , )(1 ty este defazat n cuadratur naintea lui )(2 ty .

    Dac )(1 ty trece cu valori cresctoare prin maxim pozitiv, mrimea )(2 ty trece prin 0 cu valori cresctoare

    221pi == , )(1 ty este defazat n cuadratur n urma lui )(2 ty

    Dac y1(t) trece prin maxim cu valori cresctoare, y2(t) trece prin 0 cu valori descresctoare. 1 2 pi= = - mrimi n opoziie

    Dac una trece prin maxim pozitiv, cealalt trece prin maxim negativ.

  • 4

    O mrime sinusoidal este complet determinat prin valoarea efectiv, frecven i faz iniial. n regim permanent sinusoidal, frecvena tensiunilor i curenilor laturilor reelei liniare este frecvena surselor de alimentare i n acest caz, mrimile sunt caracterizate numai prin valoarea efectiv i faza

    iniial. Cu notaiile lui Kennelly, funcia sinusoidal.

    )sin(2)( += Yty

    se reprezint 2Y t +

    respectiv Y

    Relaiile de faz ntre mrimile sinusoidale, au sens numai dac au aceiai frecven. Dac frecvena este diferit, diferena fazelor este variabil n timp i relaiile defazat inainte sau defazat n

    urm nu au semnificaie.

    OPERAII a) Multiplicarea cu scalari

    ( )( )

    +=

    +=

    tYty

    tYty

    sin2)(sin2)(

    Faza iniial constant. Valoarea efectiv se amplific cu b) Adunarea mrimilor sinusoidale

    ( )

    1 1 1

    2 2 2

    1 2

    2 sin( )2 sin( )

    ( ) ( ) ( ) 2 sin

    y Y t

    y Y t

    y t y t y t Y t

    = +

    = +

    = + = +

    avnd aceiai frecven, cu valoare efectiv i faza iniial date de relaiile:

    )cos(2 21212221 ++= YYYYY

    2211

    2211

    coscos

    sinsin

    YYYY

    tg+

    +=

    c) Derivata n raport cu timpul mrimii sinusoidale, este o mrime sinusoidal de aceiai frecven, valoarea efectiv de ori mai mare i defazat n cuadratur nainte

    )2sin(2 pi ++= tYdtdy

    d) Integrala unei mrimi sinusoidale

  • 5

    ( )( ) 2 sin2

    cos( ) 2 sin( )2

    y t Y t

    Y Yydt t t

    pi

    = +

    = + = +

    deoarece regimul este nepermanent, integrala este nedefinit.

    e) SUMA a dou mrimi sinusoidale )(1 ty i )(2 ty avnd frecvene diferite nu este o mrime sinusoidal.

    )sin(2)sin(2)()()( 22211121 +++=+= tYtYtytyty dac 021 YYY == i 021 == i pulsaile sunt puin diferite = 221 , mrimea sum

    1 21 2 0 0( ) ( ) ( ) 2 cos sin( )2y t y t y t Y t

    += + = + poate fi considerat sinusoidal, de pulsaie

    ( )2

    21 + i amplitudinea 02 cosY t lent variabil n timp.

    f) Produsul a dou mrimi sinusoidale de aceiai frecven 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2( ) ( ) ( ) 2 sin( )sin( ) cos( ) cos(2 )p t y t y t YY t t Y Y Y Y t = = + + = + +

    REPREZENTAREA GEOMETRIC A MRIMILOR SINUSOIDALE

    REPREZENTAREA CINEMATIC

    Se asociaz mrimii sinusoidale )sin(2)( += tYty un vector de modul 2Y care se rotete n plan n sens trigonometric cu viteza unghiular (pulsaia mrimii) i formeaz la fiecare moment un unghi 0t + cu axa Ot .

    Axa care rotete n acelai sens cu vectorul i formeaz cu aceasta un unghi constant 0 se

    numete ax origine de faz Ox. Unghiul se msoar fa de axa origine de faz i este pozitiv n sens trigonometric i negativ n sens orar.

  • 6

    x0

    y0

    A

    t

    y(t)

    0 +t

    0

    Y2

    x0

    y0

    A1

    A2

    01

    02

    y

    x

    Y2

    Y2

    0

    2pi

    Y2

    pi Y2

    2

    Vectorul rotitor numit fazor cinematic, respectiv fazor geometric nesimplificat are proiecia pe

    axa Oy0 egal cu mrimea sinusoidal

    02)()(

    +=

    tYty

    tyAO

    { } 0( ) 2gn y t Y t = + gnF reprezint cinematica mrimii sinusoidale operaiei de multiplicare a mrimii sinusoidale y(t)

    cu scalarul i corespunde amplificarea cu a amplitudinii fazorului.

    { } 0( ) 2gn y t Y t = + analog { }1 2( ) ( )gn y t y t+ = { }1( )gn y t + { }2 1 1 2 2( ) 2 2gn y t Y t Y t = + + +

    Derivatei 02 2gndy Y tdt

    pi = + +

    Integralei

    { } 02 / 2gn ydt Y t pi= +

  • 7

    Reprezentarea polar

    Se asociaz mrimii sinusoidale y(t) un vector fix de modul OB egal cu valoarea efectiv Y a mrimii sinusoidale, fcnd cu axa de origine de faz OX un unghi egal cu faz iniial .

    Vectorul fix se numete fazor polar sau fazor geometric simplificat.

    Reprezentarea polar se deduce din cea cinematic prin rotirea planului ce conine axa OX n

    sens invers trigonometric cu i prin mprirea cu 2 a modului vectorului rotitor OA.

    Reprezentarea polar se numete simplificat

    gs = reprezentarea polar

    { }( ){ }

    { } { } { }

    { }

    1 21 2 1 2

    1 2

    ( )

    ( ) ( ) ( ) ( )

    2

    2

    gn

    gs

    gs gs gs

    gs

    gs

    y t Y

    y t Y

    Y Yy t y t F y t F y t

    dy Ydt

    Yydt

    pi

    pi

    =

    =

    + = + = +

    = +

    =

    Pentru trasarea diagramei polare cu mai muli fazori se alege arbitrar o ax de origine de faz, de

    obicei fazorul unei mrimi, considerate origine de faz.

    Aplicarea metodei reprezentrii polare n cmpuri electrice simple

    Se consider un circuit coninnd un rezistor, o bobin i un condensator sub tensiune

    sinusoidal, considerat origine de faz.

    ( ) 2 sinu t U t= i se determin cu metoda diagramelor polare valoarea efectiv I i defazajul al curentului.

    ( ) += tIti sin2)( a) REZISTOR

    Ecuaia caracteristic este R RU R i=

  • 8

    Aplicnd formula, rezult { }( )gs Ri t = 1 ( ) 0gs R UU tR R

    =

    REZISTOR BOBIN

    oR

    UI RR == 2/pi

    ==

    LU

    I LL

    Bobin

    Ecuaia caracteristic este: dtdi

    LU LL =

    Aplicnd formula, rezult:

    { } 1 1( ) / 2

    2

    gs gs L

    LL

    F i t F u dt UL L

    UI LL

    pi

    pi

    = =

    = = =

    UR R U

    iR

    IR 0=

    iR u

    u

    i

    pi2

    u L

    iL U

    IL

    2/pi

    u

    iL

    R

    U

    iR

    IR 0=

    iR u

    u

    i

    pi2

    u L

    iL U

    2/pi

    u

    u

    iR

    i

    2

    u

    i L

    i u

    t

    uR

    reactan inductiv

  • 9

    n diagrama polar, fazorul curentului Li se obine amplificnd modulul fazorului tensiunii cu

    L1

    = i rotind n sens invers trigonometric cu / 2pi , mprind cu . Condensator

    Ecuaia caractersitic a condensatorului este: cc

    dui Cdt

    = .

    { }( ) / 2cgs c gs cduF i t F C CUdt pi

    = =

    deci cc CUI = ; 2/pi =c

    Circuitul RLC serie Ecuaia caracteristic este: CLR uuuu ++= .

    Ecuaia de fazori are forma: { } { } { } { }CgsLgsRgsgs uFuFuFuF ++= . Deoarece prin fiecare din elementele circuitului curentul este acelai, se alege curentul origine de faz.

    tIti sin2)( = i rezult pentru tensiune, expresia:

    )sin(2)( += tUtu

    Diagrama polar se construiete astfel:

    UC

    iL u

    u

    i

    U

    IC

    2/pi C

    t

    iC

  • 10

    s Z

    R

    X

    Rc

    Ltgarc

    cLRIU

    s

    1

    )1( 22

    =

    +=

    i ZUI = Z- impedana circuitului

    mrimea L CX X X= = reactana echivalent sau total a circuitului

    i 2 2Z R X= +

    Circuitul RLC paralel Ecuaia caracteristic este: LCR iiii ++= .

    Ecuaia de fazori este: {} { } { } { }CgsLgsRgsgs iFiFiFiF ++= . Diagrama polar este:

    UL

    U

    UR

    I

    s

    UC

    U IR

    I

    p

    IL IC

  • 11

    22 1

    +=

    LCGUI

    22 1

    +=

    LCG

    admitana circuitului paralel [ ]S

    mrimea ==L

    CB

    1

    susceptan echivalent sau total

    [ ]B siemeni CLC BundeBBB = susceptan capacitiv

    LB susceptan inductiv

    Caracterizarea circuitelor dipolare n regim sinusoidal Fie o reea electric constituit din elemente pasive (R,L,C) i dou borne de acces )1(),1(

    La cele 2 borne se aplic o tensiune sinusoidal u . ( ) 2 sin( )u t U t = + . Pentru a calcula curentul absorbit se nlocuiete reeaua cu un dipol echivalent parcurs de curentul i .

    )(sin2)( += tIti

    care n general satiface o ecuaie diferenial n care raportul ( )( )u t

    i t este un operator.

    n regim sinusoidal, dipolul este caracterizat de doi parametrii:

    GL

    Ctg p

    1

    =

    u

    i

    ( )1

    ( )1

  • 12

    X

    R

    sR

    Z

    a) impedana echivalent Z i defazajul s , definite:

    0 02 2s s

    UZI

    pi pi = > = > < <

    Din diagrama de impedan,

    cos2cos 0

    sinsin 0

    ss

    ss

    URI

    UX ZI

    = = >

    = = >

    Unde =sU cos componenta activ a tensiunii n faz cu curentul i =sU sin componenta

    reactiv a tensiunii n cuadratur cu curentul. Dac se dau rezistena i reactana, impedana Z i

    defazajul s se calculeaz dup cum urmeaz: 2 2

    s

    XZ R X arctgR

    = + =

    i valoarea instantanee:

    2 2( ) 2 sin ( )U Xi t t arctg

    RR X = +

    +

    2 2( ) 2 sin Xu t I R X t arctgR

    = + + +

    .

    Clasificarea circuitelor dipolare n regim sinusoidal

    - REZISTIV ( ) 0 0sZ R X = = = ; - REACTIV 0 ( 0) 0sX B ;

    - PUR REACTIV sau NEDISIPATIV 0 ( 0) / 2sR G Z X pi= = = = ;

    <

    <

  • 13

    - INDUCTIV 0 0sX > > ;

    - PUR INDUCTIV 0; ; / 2sR Z X pi= = = ;

    - CAPACITIV 0 0sX < < ;

    - PUR CAPACITIV 0; ; / 2sR Z X pi= = = .

    Puteri n regim sinusoidal Se consider un dipol liniar. Dac )(tu i ( )i t se asocieaz dup regula de la receptoare, tensiunea se numete aplicat i puterea instantanee este primit de dipol. Dac sensurile sunt asociate dup regula de la generatoare, tensiunea este produs i puterea instantanee este produs sau cedat de dipol. Presupunem sensurile asociate dup regula de la receptoare:

    ).2cos(cos)()sin()sin(2)().()(

    )sin(2)()sin(2)(

    ++=

    ++==

    +=+=

    tUIUItpttUItitutp

    tUtitUtu

    unde s = se consider defazajul ntre curent i tensiune.

    s == Prin convenie se consider n calculul puterilor s = .

    Puterea instantanee conine un termen constant n timp = PUTERE ACTIV 0cos >= UIP i

    un termen sinusoidal de frecven dubl, numit PUTERE OSCILANT.

    )2

    2sin()(0pi ++= tUItp

    Energia, calculat ntr-un interval de timp egal cu un numr ntreg de perioade (nT) are expresia:

    +

    ===

    nTt

    t

    nTPnTUIpdtnTW1

    1

    cos)(

    Deci puterea activ este valoarea medie a puterii instantanee ntr-un numr ntreg de perioade.

    +

    ==

    nTt

    t

    pdtnTnT

    nTWP1

    1

    1)(

    Puterea activ pozitiv e primit, iar cea negativ e cedat de dipol, dac sensurile de referin sunt asociate dup regula de la receptoare invers dac sunt asociate dup regula de la generatoare.

  • 14

    PUTEREA REACTIV definit de relaia: 0sin >== UIPQ r (VAR) dac 02/0 > Qpi deci este cedat de dipolul receptor i primit de cel generator.

    PUTERE APARENT (Pap sau S) apP S UI= =

    2 2 2

    ; cos ;

    sin .

    ap

    ap

    ap

    P P QQ Ptg P P

    Q P

    = +

    = =

    =

    Puterea aparent nu depinde de defazaj i depinde de valoarea maxim a puterii active max 0apP P = =

    sau valoarea maxim a puterii reactive n valoare absolut.

    max / 2apP Q pi= =

    Factorul de putere ap

    PKP

    = 0 1k< < .

    n regim sinusoidal, cosk =

    Calculul puterilor n circuitele dipolare simple Se consider un circuit coninnd o rezisten, o bobin i un condensator sub tensiune

    sinusoidal. Puterile se calculeaz cu formulele i se obine:

    a) circuitul cu rezistor 0; ==== RsR RUI i rezult

    22cos 0; 0;R R R R ap R

    UP UI RI Q P PR

    = = = > = = . Rezistorul absoarbe putere activ egal cu cldura

    dezvoltat n unitatea de timp prin efect electrocaloric. Puterea reactiv e nul, puterea aparent este egal cu puterea activ i factorul de putere este maxim.

    cos 1R Rk = =

    <

    S Q

    P

  • 15

    b) circuitul cu bobin 2/pi

    ==== LsL LUI i rezult

    22

    cos 0

    sin 0

    L L L

    L L L L ap L

    P UIUQ UI L I P Q

    L

    = =

    = = = > =

    Bobina absoarbe putere reactiv, puterea activ e nul, puterea aparent e egal cu puterea

    reactiv i factorul de putere e nul.

    Dac se alege tensiunea origine de faz )0( = , puterea instantanee Lp este egal cu puterea oscilant i are expresia: tUItUItp LL pipi 2sin)2/2/02sin()( =+=

    ( ) sin 2 sin 2L L Lp t UI t Q t = = Deci puterea reactiv LQ este amplitudinea puterii instantanee. Energia magnetic )(tWL n intervalul (0,t) se calculeaz dup cum urmeaz:

    ==t

    LLL t

    QdtptW0

    )12(cos2

    )(

    Valoarea medie calculat ntr-o perioad,

    ===T

    m

    LLL W

    QdtWT

    W0 2

    1~

    (*)

    unde 221 LIWm =

    Energia magnetic medie a bobinei sub tensiune sinusoidal este egal cu energia magnetic

    mW a bobinei parcurs de curentul continuu de intensitate egal cu valoarea efectiv a curentului

    sinusoidal. Din ecuaia (*) rezult c puterea reactiv a bobinei este proporional cu energia magnetic mW .

    mL WQ 2=

    c) pentru circuitul cu condensator 2/; pi ==== CsC UCI 2

    2cos 0 sin cc c c C c c

    IP UI Q UI CUC

    = = = = =

    cos 0L Lk = =

  • 16

    ap cP Q= Condensatorul absoarbe putere reactiv negativ, prin urmare produce putere reactiv, puterea activ fiind nul. Puterea aparent este ega cu puterea reactiv i factorul de putere e nul.

    cos 0c ck = =

    Dac se alege tensiunea n origine de faz ( 0 = ), puterea instantanee cp egal cu puterea oscilant

    0cp are expresia:

    ( )'( ) sin 2 / 2 sin 2( ) sin 2 sin 2

    c c c

    c c c

    p t UI t UI tp t UI t Q t

    pi

    = + + =

    = =

    cQ este amplitudinea puterii instantanee.

    Energia electric ( )CW t n intervalul ( )0, t se calculeaz:

    ( )0

    (1 cos 2 )2

    tc

    c t c

    QW p dt t

    = =

    i valoarea medie

    ===T

    ec

    cc WQdtW

    TW

    0 21~

    unde 221 CUWc =

    Energia electric medie a condensatorului sub tensiune sinusoidal cW

    ~

    este egal cu energia

    electric cW a condensatorului sub tensiune continu egal cu valoarea efectiv a tensiunii sinusoidale.

    Deci puterea reactiv a condensatorului este proporional cu energia electric eW .

    ec WQ 2= Circuitul RLC serie Valoarea efectiv a curentului i defazajul

    s au expresiile:

  • 17

    22 1;

    1

    1

    cos ; sin2

    s

    s s

    UI Z R LZ c

    Lcarctg

    R

    LR X cZ Z

    = = +

    = =

    = = =

    Puterea activ, reactiv i aparent se calculeaz:

    2 21cos ; sins s

    ap

    P UI RI Q UI L IC

    P UI

    = = = =

    =

    Factorul de putere rezult subunitar

    cos 1sk = <

    Dac se calculeaz separat puterile pentru fiecare element al circuitului, se obine:

    - pentru rezistor: 2RIPR = ; 0=RQ ; - pentru bobin: 20 LIQP LL == ;

    - pentru condensator: 2

    0C CIP QC

    = = .

    Deci, puterea activ a circuitului RLC serie este puterea activ a rezistorului; puterea reactiv

    este suma algebric a puterilor reactive ale bobinei i condensatorului. Bobina absoarbe putere reactiv iar condensatorul cedeaz putere reactiv. Deci puterile reactive se compenseaz i numai excesul este puterea reactiv a circuitului. Localizarea puterii active n rezistor i a puterii reactive numai n

    elementele reactive pune n eviden proprietatea de conservare separat a puterilor activ i reactiv. - circuitul RLC paralel

    Se ine seama c ps =

    - pentru rezistor 2GUPR = 0=RQ ;

    - pentru bobin 0=LP LUQL

    2

    = ;

    - pentru condensator 0=cP 2CUQe =

    Cu aceasta, puterile activ, reactiv i aparent ale circuitului au expresiile:

  • 18

    2

    2 2

    2 2

    cos cos

    1sin sin

    p

    p

    ap

    P UI UI GU

    Q UI UI C U B UL

    P P Q

    = = =

    = = = =

    = +

    ;

    =UI

    2 21( )

    1

    p

    G CL

    CLarctg

    G

    = +

    =

    Deci puterea activ a circuitului este puterea disipat n rezistor, iar puterea rectiv este cea nmagazinat n bobin i condensator.

    Reprezentarea analitic prin mrimi complexe

    Un numr complex C se reprezint fie cartezian.

    ; 1C a jb j= + = unde a este partea real msurat dup axa real, iar b este partea imaginar msurat dup axa imaginar.

    { } { }cimbcrca == ; sau trigonometric, polar sau eulerian

    cos sinjC re r jr = = +

    unde umentulululr

    argmod

    =

    =

    axa real

    axa

    imag

    inar

    C

    a

    b r

  • 19

    Dac sunt date a, b se calculeaz r i cu relaiile:

    Dac sunt date r i , se calculeaz a i b cu relaiile:

    cosra = ; sinrb =

    Un numr complex c este nul , dac n reprezentarea cartezian, prile real i imaginar sunt

    nule.

    0;0 == ba

    iar n reprezentarea polar modulul este nul 0=r

    Dou numere complexe 1c i 2c

    2

    1

    2222

    1111

    j

    j

    erjbacerjbac

    =+=

    =+=

    sunt egale dac n reprezentarea cartezian au prile reale, respectiv imaginare egale.

    2121 ; bbaa ==

    sau dac n reprezentarea polar modulele sunt egale, iar argumentele difer cu pin2 .

    ;21 rr = ...2,1,0221 == nnpi

    Un numr complex C multiplicat cu 0> este un numr complex C a crui parte real, respectiv imaginar, respectiv modulul sunt amplificate cu .

    jC a j b r e = + =

    Suma, produsul i raportul numerelor complexe 21 ,cc au n reprezentarea cartezian expresiile:

    ( ) ( ) ( )1 2 1 2 1 2

    1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2 1

    1 1 1 1 2 1 2 2 1 2 12 2 2 2

    2 2 2 2 2 2 2

    ( ),

    s c c a a j b bp c c a jb a jb a a b b j a b a b

    c a jb a a b b a b b ad jc a jb a b a b

    = + = + + +

    = = + + = + +

    + + = = = +

    + + +

    n reprezentarea polar:

    0 arcsin cos

    2 2

    > == =

    + ==

    r

    b r

    a arc

    a

    b arctg

    b a c r

    <

    <

  • 20

    ( )( )

    ( )

    1 2

    1 2

    1 2

    1 2 1 1 1 1 2 2 2 2

    2 2 2 21 1 2 2

    2 2 21 1 2 21 2 1 2 1 2

    1 1 2 2

    1 2

    1

    2

    cos sin cos sin cos sin

    cos cos ...

    sin sin 2 coscos cos

    j j j

    j

    j

    s re r e re s r jr r jr r jrr r r

    r rarctg r r r r r

    r r

    p r r e

    rd er

    +

    = + = = + + + +

    = + +

    += = + +

    +

    =

    =

    Numrul complex je de modul unitate i argumentul se umete operator de rotaie sau de

    difazare.

    sincos je j += Multiplicnd un numr complex jrec = cu operatorul je , rezult un numr complex, avnd

    modulul neschimbat i argumentul + . ( ) +

    =jj

    rece

    Vectorul de poziie OC, rotete n sens trigonometric cu unghiul .

    Pentru 2pi

    = , operatorii de rotaie sunt egali cu j+ i j

    / 2 / 2j je j e jpi pi= = Multiplicarea vectorului de poziie cu j sau j, rotete vectorul cu 2/pi sau - 2/pi .

    j

    r je

    je C

    C

    axa real axa real

    C j

    Cj

    Cj

    r

  • 21

    Reprezentarea n complex nesimplificat Se asocieaz mrimii sinusoidale

    ( ) ( ) += tt sin2 o mrime complex y numit imagine n complex nesimplificat, avnd modulul egal cu

    amplitudinea 2 i argumentul egal cu faza +t . ( )2 j te +=

    Cu aceasta, imaginile n complex nesimplificat ale curentului i tensiunii sinusoidale,

    ( ) ( )( ) ( )

    +=

    +=

    tIti

    tUtu

    sin2sin2

    sunt:

    )(

    )(

    2

    2

    +

    +

    =

    =

    tj

    tj

    Iei

    Ueu

    numite curent, respectiv tensiune complex nesimplificat.

    Deoarece partea imaginar a mrimii complexe y este ( )y t , rezult urmtoarea regul de trecere invers de la mrimea imagine la mrimea original:

    ( ) { } ( ){ } ( ) +=== + teimimt tj sin22 a) Multiplicarea mrimii sinusoidale )(ty cu scalarul 0> corespunde amplificrii cu a

    amplitudinii imaginii, respectiv amplificarea cu a modulului fazorului complex nesimplificat y , argumentul nefiind simplificat.

    { }cos ( ) 2 sin( )F y t y t = = + b) Suma )(ty a mrimilor )(1 ty i )(2 ty corespunde sumei y a mrimilor complexe 1y i 2y .

    21 yyy +=

    <

    axa real

    y j dtdy

    dty

    2

    2

    y

    2 axa real

    j

    1y

    2y

    1 2y y y= +

  • 22

    c) Derivatei dtdy

    i corespunde produsul ntre y i j .

    ( ) yjejdt

    ydtj == +2

    Deci operatorului de derivare dtd

    i corespunde biunivoc multiplicarea cu j a imaginii n

    complex y .

    Utiliznd operatorul de rotaie, j, fazorul dtdy

    se obine amplificnd fazorul y cu i rotindu-l

    cu 2/pi n sens trigonometric.

    pi jdtdye

    dtdy j = 2/

    d) Derivatei de ordin n, n

    n

    dtyd

    i corespunde produsul ntre mrimea complex y i ( )nj .

    ( )

    =

    n

    n

    n

    n

    dtdyj

    dtyd

    ( )nj

    e) Integralei n raport cu timpul a mrimii sinusoidale ydt i corespunde produsul dintre mrimea

    complex y i j1

    .

    { } { } ( )

    +=== tjcncn ejdtyydtFydtF2

    ( ) yjejdtytj

    12

    == +

    Fazorul dty se obine mprind fazorul y cu i rotindu-l cu 2/pi n sens invers

    trigonometric.

    pi

    jdtyedtyj 11 2/ =

    f) Integrala de ordin n a mrimii sinusoidate )(ty i corespunde

  • 23

    { ( )( )

    ( )

    {yedty

    yj

    ej

    dty

    jn

    n

    n

    tjn

    n

    2/1...,

    12...,

    pi

    +

    =

    =

    =

    Forma n complex nesimplificat a ecuaiilor difereniale liniare, neomogene cu coeficieni constani Se consider ecuaia diferenial liniar, neomogen cu coeficieni constani

    )(......11

    1 txyadtyd

    adt

    yda

    dtyd

    nkn

    kn

    n

    n

    n

    n

    =+++++

    unde =ka constante

    i max( ) sin( )x t X t = +

    Notm cu Lnd operatorul diferenial liniar cu coeficieni constani.

    L

    1

    0 1 1 ... ...

    n n n k

    nd k nn n n kd d d

    a a a adt dt dt

    = + + + + + ,

    i ecuaia se poate pune sub forma:

    ndx L y=

    n condiiile iniiale nule, ( ) ,1,...2,1;0 == nky k soluia general ( )ty egal cu soluia particular a ecuaiei neomogene are aceeai form cu termenul liber, fiind sinusoidal i de aceiai frecven.

    ( ) ( )max sinY t t = + innd seama de relaiile:

    ( )nn

    n

    tj

    jdtd

    ey

    =

    = + )(2

    termenul general al operatorului L nd trece n mrimea complex

    ( ) knkknkn

    k jadtd

    a

    =

    Deci operatorului diferenial L nd i corespunde mrimea complex ndL .

  • 24

    (1) ( ) ( ) ( ) ( )10 10

    ... ...

    nn n n k n k

    nd k n kk

    L a j a j a j a a j =

    = + + + + + =

    deci jnd ndL L e

    =

    i ndL y x =

    n care ( ) ( )122 22 4 3 5

    2 4 1 3 5...nd n n n n n nL a a a a a a = + + +

    +

    +

    +

    +

    =

    imparnaaa

    aaaarctg

    parnaaa

    aaaarctg

    nnn

    nnn

    nnn

    nnn

    ...

    ...

    ...

    ...

    55

    331

    44

    22

    44

    22

    55

    331

    Ecuaia diferenial (1) trece n ecuaia algebric cu mrimi complexe ndL y x =

    unde x i y sunt imaginile mrimilor sinusoidale )(tx i )(ty . ( )

    ( )max

    max

    j t

    j tx X e

    y e

    +

    =

    =

    Cu aceast notaie, se obine:

    ( )max j tnd nd

    Xxy eL L

    + = =

    Cu regula de trecere invers, rezult )(ty :

    { } ( )max( ) sinmnd

    Xy t i y tL

    = = +

    Rezult evident,

    L ( ) ( )nd y t x t= ndL y x= cu proprietile:

    - raportului dintre dou mrimi sinusoidale de aceiai frecven i faze iniiale diferite, )(tx i )(ty i corespunde un operator diferenial L nd

    ( )( )

    max

    max

    sinL

    sin ndX t

    t

    +

    +

  • 25

    - raportului dintre dou mrimi sinusoidale de aceiai frecven i corespunde n complex raportul a doi

    fazori i o mrime complex ndL

    ( )( ) ndLy

    x

    tytx

    =

    - din corespondena operatorilor L nd ndL , urmeaz c mrimea complex ndL este un operator

    complex. Operatorul complex ndL aplicat fazorului complex y , determin fazorul complex x ;

    - din ecuaia jndL e y x

    = , rezult c operatorul complex ndL este de rotaie i amplificare sau de

    defazare i amplificare a fazorului y . Fazorul x se obine rotind y n sens trigonometric cu i

    amplificnd modulul lui y cu ndL . Dei x , y , ndL sunt mrimi complexe, numai primele dou mrimi

    sunt fazori, deoarece lor le corespund mrimile sinusoidale, ( ) ( )tytx , . Mrimea ndL fiind raportul a doi fazori, nu este o mrime imaginar i aplicarea regulii de trecere invers la mrimea original nu are sens.

    Pentru a marca deosebirea dintre mrimile complexe cu proprieti de fazor x i y - mrimea complex

    ndL definit cu raportul a doi fazori se numete defazor. Ecuaia integro-diferenial liniar neomogen

    cu coeficieni constani ( )txdtycyadt

    yda

    dtyd

    adt

    yda nk

    kn

    kn

    n

    n

    n

    =++++++

    ......1

    1

    10 se transform prin

    derivarea n raport cu timpul a ambilor termeni ntr-o ecuaie similar cu

    ( )txyadt

    yda

    dtyd

    adt

    yda nkn

    kn

    kn

    n

    n

    n

    =+++++

    ......1

    1

    10

    i forma n complex corespunztoare este algebric.

    ( ) ( )ndnd

    L y t x tL y x

    =

    =

    n general, ecuaia diferenial de forma: 1 1

    0 1 0 11 1... ... ... ...

    n n n k m m m k

    k n k mn n n k m m m kd y d y d y d x d x d x

    a a a a y b b b b xdt dt dt dt dt dt

    + + + + + = + + + + +

    respectiv nd nd nd mdL y L x=

    unde Lnd i L md sunt operatori difereniali:

  • 26

    1

    0 1 1

    1

    0 1 1

    ... ...

    ... ...

    n n n k

    nd k nn n n k

    m m m k

    nd k mm m m k

    d d dL a a a adt dt dtd d dL b b b bdt dt dt

    = + + + + +

    = + + + + +

    trece n ecuaia complex

    xLyL mdnd =

    unde ndL i mdL sunt operatori compleci

    ( )

    ( ) rmmr

    rmd

    n

    k

    knknd

    jbL

    jaL

    =

    =

    =

    =

    0

    0

    Raportul dintre fazorii compleci y i x este o mrime complex ( )jA ,

    ( )( )( )

    =

    =

    ===n

    k

    knk

    m

    r

    rm

    r

    nd

    md

    ja

    jbLL

    x

    yjA

    0

    0

    i se numete funcie complex de reea. Dac x este un curent complex i i y o tensiune complex u ,

    funcia de reea ( )jZ , este dat de relaia: ( )

    iujZ = impedana complex

    Dac x este tensiunea complex u i y este curentul complex i , funcia de reea ( )j (admitan complex) este:

    ( )u

    ij =

    Dac ambii fazori sunt fie tensiuni complexe 1ux = i 2uy = fie curenii compleci 1x i= ,

    2iy = funcia de reea se numete raport de transformare a tensiunilor, respectiv a curenilor.

    ( )

    ( )2

    1

    2

    1

    iijHiu

    ujHu

    =

    =

  • 27

    Pentru un sistem liniar de transmisie, raportul ntre mrimea de ieire y i mrimea de intrare

    x se numete funcie complex de transfer ( )jH ( ) ( ) jejH

    x

    yjH ==

    Logaritmul natural al modulului funciei de transfer, ( )a ( ) ( )lna H j =

    corespunde fie unei amplificri, fie unei atenuri. Unitatea de atenuare (amplificare) se numete neper (Np).

    ( ) 781,2~ex

    yjH ==

    Dac n locul ln se utilizeaz log, se utilizeaz unitatea decibel.

    ( ) [ ][ ] .686,8log201

    log20dBdBeN

    dBjHap ==

    ==

    Atenuarea (amplificarea) ( )a i defazajul ( ) se numesc caracteristici de frecven ale sistemului liniar.

    Formule n complex ale ecuaiilor caracteristice ale rezistorului, bobinei i condensatorului

    Fie : ( )

    ( )

    +

    +

    =

    =

    tj

    tj

    Iei

    Ueu

    2

    2

    Imagini n complex nesimplificat ale tensiunii i curentului sinusoidal

    ( ) ( )( ) ( )

    +=

    +=

    tIti

    tUtu

    sin2sin2

    Ecuaiile algebrice complexe care corespund ecuaiilor caracteristice ale R, L, C se stabilesc:

  • 28

    CCCCCC

    LLLLLI

    RRRRRR

    iZuiuiZuiuiZuiu

    ==

    ==

    ==

    Operatorii de impedane CLR ,, trec n mrimi complexe LCR ZZZ ,, numite impedane complexe.

    CjZdtC

    LjZdtdL

    RZR

    CC

    LL

    RR

    11==

    ==

    ==

    n condiiile iZu = . Impedana complex Z este operatorul care aplicat fazorului curentului i determin fazorul

    tensiune u . j

    eZZ =

    Impedana complex este operator de rotaie i amplificare, egal cu produsul ntre modulul

    impedanei Z i operatorul unitar de rotaie je .

    ieZu j=

    Pentru rezistor, RZ R = i 0=R

    Pentru bobin, LjZ L = i 2/pi =L

    Pentru condesator, CjZ C

    1= i 2/pi =C

    Aplicarea metodei reprezentrii n complex nesimplificat la analiza circuitelor dipolare simple. Se procedeaz astfel:

    - se stabilesc ecuaiile circuitelor n mrimi instantanee; - se determin imaginile n complex ale ecuaiilor circuitelor, utiliznd formele n complex ale ecuaiilor caracteristice obinndu-se ecuaii algebrice complexe; - se rezolv ecuaiile algebrice complexe n raport cu imaginile mrimilor necunoscute;

    - cu regula de trecere invers se determin mrimile necunoscute.

    Circuitul RLC serie

  • 29

    CLR uuuu ++=

    Ecuaia complex CLR uuuu ++=

    unde ( ) += tjeUuu 2 este imaginea tensiunii aplicate ( ) ( ) += tUtu sin2 . Se nlocuiesc CLR uuu ,, , cu expresiile lor n ecuaiile caracteristice i deoarece CLR iii == se obine:

    z

    uiiCjjLRu =

    ++=

    1

    unde

    +=

    CLjRZ

    1

    avnd modulul:

    sj

    s

    eZZ

    RC

    Ltg

    jc

    LRZ

    =

    =

    +=

    1

    1 22

    Partea real a impedanei este egal cu rezistena R, iar partea imaginar este egal cu reactana

    echivalent L CX X X= .

    { } { } 1re Z R im Z X LC

    = = =

    deoarece ,jZ Ze = se obine: ( )22

    sj tui e + =

    i { } ( )2 sin2 sUi im i t = = +

    Punnd ecuaia sub forma: ju Ze i= impedana Z este operator de amplificare i rotaie.

    Aplicat fazorului i determin fazorul u , prin rotirea n sens trigonometric cu s i amplificarea cu Z.

    Circuitul RLC paralel

    R L Ci i i i= + + ecuatii n mrimi instantanee

    R L Ci i i i= + + ecuaia complex

    Se nlocuiesc , ,R L Ci i i cu expresiile lor din ecuaiile caracteristice i deoarece L C Ru u u u= = =

    se obine:

  • 30

    1i G j C uj L

    = + +

    respectiv i Yu=

    unde Y este admitana complex a circuitului RLC paralel.

    1 1Y G j C G j Cj L L

    = + + = +

    avnd modulul 2 21( )Y G CL

    = +

    1

    p

    CLarctg

    G

    =

    Partea real a admitanei este conductana G, iar partea imaginar este susceptana echivalent

    C LB B B=

    ( )re Y G= ( ) 1im Y B CL

    = =

    nlocuind pjY Ye = se deduce curentul complex i ( )

    ( ) { } ( )2

    2 sin

    pj t

    p

    i YUe

    i t im i YU t

    + +=

    = = + +

    n ecuaia = uei pj este operator de rotaie i amplificare

    CARACTERIZAREA N COMPLEX A CIRCUITELOR DIPOLARE n regim sinusoidal Circuitele dipolare au fost caracterizate n regim permanent sinusoidal prin doi parametrii reali: impedan i defazaj sau rezisten i reactan sau admitan i defazaj sau conductan i susceptan. n reprezentarea n complex nesimplificat sau simplificat circuitele dipolare sunt caracterizate de o mrime complex impedana sau admitana complex. Fie o reea electric liniar, constituit din elemente pasive ),,( CLR . ntre dou puncte reeaua este echivalent cu un dipol. Dipolul, sub tensiune complex u sau U , parcurs de curentul complex i

    sau I este caracterizat de un parametru complex, i anume :

    - impedana complex sjeZI

    UiuZ === unde { } { } { }argsZ Z Z R re Z X im Z= = = =

  • 31

    - admitana complex pjeUI

    u

    i === unde = (admitana)

    { } { } { }arg ; ; .p G re B im = = =

    =

    1Z i deci psZ =

    =1

    Ecuaiile sjeZZ = i pje = se numesc forma n complex a ecuaiei lui Ohm.

    PUTERE COMPLEX Puterea instantanee p egal cu produsul valorilor instantanee ale tensiunii i curentului sinusoidali n timp, nefiind o mrime sinusoidal de aceeai frecven nu poate fi reprezentat n complex.

    Produsul tensiunii n complex nesimplificat u prin curentul complex nesimplificat i ( ) ++

    =tjeUIiu 22

    sau produsul tensiunii complexe simplificate U prin curentul complex simplificat I ( ) +

    =jeUIIU

    nu pot fi utilizate pentru calculul puterilor activ i reactiv a dipolului.

    Mrimea complex S definit prin semiprodusul ntre tensiunea complex nesimplificat i

    curentul complex nesimplificat conjugat *i , respectiv produsul dintre tensiunea complex simplificat U prin curentul complex simplificat conjugat *I .

    **

    21 IUuiS ==

    se numete putere complex.

    nlocuind expresiile lui iu, i IU , se obine: ( ) ( )

    ( )

    *

    *

    1 1 2 2 cos sin2 2

    cos sin

    j t j t

    jj j

    S ui U e I e UI jUI

    S UI Ue I e UIe UI jUI

    + +

    = = = +

    = = = = + =

    deci sincos UIQUIPjQPS ==+= unde s == defazajul ntre curent i tensiune { } { } { }; argP re S Q im S S S S= = = =

  • 32

    IMPEDANE I ADMITANE COMPLEXE ECHIVALENTE Dipol echivalent

    Se consider dipolul echivalent al unei reele ntre bornele ( ) ( )bsia . Se presupune c u,i sunt sinusoidali n timp, de aceeai frecven, cu sensurile de referin asociate dup regula de la receptoare.

    U , I sunt imaginile n complex simplificat.

    Se definete eZ impedana echivalent complex

    eRsj

    e e e

    UZ Z e j XI

    = = = +

    cos : sine e s e e sR Z X Z = = ;

    Cu modulul egal cu impedana echivalent eZ i argumentul s egal cu defazajul ntre tensiune i curent.

    { } { }0 0e e e eR re Z X im Z< > Raportul ntre curentul complex I i tensiunea complex U se numete admitan.

    ; cos sinpjc e e e e p e e pI

    e G jB G BU

    = = = + = =

    conductana echivalent { }eG re e= susceptana echivalent { }eB im e= . Dac reeaua este pasiv i conine, rezistoare, bobine i condensatoare ( )0,0,0 >>> CLR atunci R 0e > i 0eG > . Dac reeaua conine i surse, aceste mrimi pot fi i negative.

    Dipolul caracterizat prin rezistena echivalent ( )ssR i reactana echivalent

    ( )jeX admite

    schema echivalen serie n care reactana corespunde fie unei inductiviti echivalente ( )seL fie unei

    capaciti echivalente ( )seC . ( ) ( ) 1;j see e

    e

    XL CX

    = =

    Dipolul caracterizat de conductana echivalent ( )peG i susceptana echivalent

    ( )peB admite

    schema echivalent paralel, n care susceptana corespunde unei inductiviti echivalente ( )peL fie unei

    capaciti echivalente ( )peC

  • 33

    ( ) ( )1 ;p p ee e

    e

    BL CB

    = =

    CONEXIUNEA SERIE A DIPOLILOR LINIARI I PASIVI Se consider n dipoli liniari, pasivi i necuplai magnetic avnd impedanele complexe

    ,,...2,1 nkZ k = conectai n serie i fie kU i II k = tensiunea complex i curentul complex,

    acelai prin dipolii k .

    kkk IZU =

    Tensiunea echivalent la bornele dipolului echivalent, este egal cu suma algebric a

    tensiunilor complexe kU .

    =

    = ke

    n

    k

    n

    k ZZdeciIZUU11

    Separnd prile real i imaginar se obine rezistena echivalent i reactana echivalent.

    ;e k e kR R X X= = .

    CONEXIUNEA PARALEL

    eZ U

    I

    1Z

    2Z

    kZ

    nZ

    1U

    2U

    kU

    nU

  • 34

    UUI kkkk ==

    i =

    ==n

    k

    n

    e

    n

    kk UII11 1

    separnd prile real i imaginar, rezult 1 1

    ;n n

    e k e kG G B B= = .

    CIRCUITE DIVIZOARE DE TENSIUNE I CURENT

    Un circuit divizor de tensiune se compune din doi dipoli conectai n serie. Tensiunea U

    aplicat circuitului se divide n tensiunile 1U i 2U .

    21 UUU += ; notnd 2

    1

    22

    11

    j

    j

    eZZ

    eZZ

    =

    =

    dipoliloralecomplexe

    eimpedantel

    Curentul complex I are expresia:

    21 ZZUI+

    =

    U 1I 2I kI kI nI

    1 2 k n

    I

    U

    1Z U

    I

    2Z 2U

    1U U 2U

    1U

    U

    1U

    2U

    I

  • 35

    i UZZ

    ZIZUZZ

    ZUIZU +

    ==

    +==

    21

    111

    21

    222

    Tensiunea efectiv 2U poate fi mai mic sau mai mare dect tensiunea efectiv U aplicat

    divizorului.

    Pentru msurarea tensiunilor nalte U, tensiunea U2 fiind mic se aleg dipolii astfel nct, fie

    021 == i divizorul este poteniometric, fie 2/21 pi == i divizorul e capacitiv.

    Un circuit divizor de curent se compune din doi dipoli conectai n paralel. Curentul total I ,

    complex se divide n curenii 1I i 2I .

    21 III +=

    iar pentru curentul complex 2I se deduce expresia 21

    2

    21

    12 +

    =

    += I

    ZZZII .

    Valoarea efectiv a curentului 2I poate fi mai mare sau mai mic dect valoarea curentului

    efectiv I .

    Dac 021 == , divizorul de curent e rezistiv i se numete Sunt.

    CIRCUITE DIPOLARE REZONANTE Circuit rezonant RLC serie Se consider circuitul RLC serie cu tensiune sinusoidal la borne. Impedana circuitului, Z, se

    calculeaz cu relaia:

    I

    U

    2I

    2 1

    1I I 2I

    1I

    2I I<

    1I

    I> 2I I 2I

  • 36

    22 1

    +=

    cLRZ

    este minim i egal cu rezistena R dac este ndeplinit condiia 1 0Lc

    = iar curentul e maxim,

    max

    UIR

    = .

    Condiia de rezonan este satisfcut pentru frecvena tensiunii aplicate 0f :

    LCf 1;

    2 00

    0 == pi

    frecven de rezonan.

    Dac rezistena scade, curentul la rezonan crete i pentru max0R I= adic circuitul LC

    la rezonan este echivalent cu un scurtcircuit.

    n diagramele polare, locul geometric al vrfului fazorului RU i deci al curentului I este un cerc. La rezonan, mrimile CL UsiU pot avea valori orict de mari i anume mai mari dect ale

    tensiunii aplicate U .

    Aceast proprietate se utilizeaz n circuitele de cureni slabi pentru amplificarea semnalelor

    slabe avnd frecvena egal cu frecvena de rezonan a circuitului. Fenomenul de rezonan poate produce supratensiuni periculoase.

    Se numete factor de calitate, raportl RXQs 0= , sau raportul ntre tensiunea la rezonan pe

    elementul reactiv i tensiunea pe rezistena R.

    LU CU

    U RU

    0 <

    LU CU

    RU I

    0 =

    I

    LU

    CU

    RU

    U

    0 >

    I I

  • 37

    =

    =

    ====

    0

    0

    000

    1

    11

    ss

    s

    arctgQR

    cL

    tgarc

    CL

    RRc

    RL

    RXQ

    La frecvene mai mici dect frecvena de rezonan circuitul este capacitiv

    ==

    20 pi s

    iar pentru frecvene mai mari circuitul este inductiv. ( )/ 2s pi = . La rezonan defazajul este

    nul i schimbarea de faz este cu att mai net cu ct sQ este mai mare (pentru sQ , curba

    0

    s

    are o discontinuitate la 0 = ).

    Pentru a urmri modul de variaie cu frecvena a tensiunii la bornele rezistorului, RU , bobinei,

    LU , condensatorului CU , se exprim aceste mrimi raportate la tensiunea aplicat circuitului U, funcie

    de sQ i de raportul

    0

    .

    6/pi

    3/pi

    2/pi

    6/pi

    3/pi

    2/pi

    0

    2=sQ

    10=sQ

    1 2 3

    21

    =sQ

  • 38

    ( ) ( ) ( )U

    UUUUU

    UUU CCLLRR ===

    000 ;;

    Dac se consider tensiunea U ca mrime de intrare i tensiunile RCL UUU ,, mrimi de ieire

    (de rspuns), mrimile relative: ( )

    ( )

    ( )

    ( )

    ( )

    ( )

    ( )

    ( )

    0

    2 22

    2

    0

    2

    002

    0 0

    0

    2 22 20 0

    020 0

    00 0

    2 220

    00 0

    00 0

    0

    1

    1 11

    1

    1 11

    1 1

    11 1

    1 11

    1

    RR

    L C

    R

    R

    s

    LL

    L C

    L

    U XRUU X R X X L

    R C

    U

    LR C

    U

    L QR

    LU I XLUU I R X X

    R LR C

    LU

    XRR

    = = =

    + +

    =

    +

    = =

    + +

    = = =

    + +

    =

    +

    ( )

    02 22

    20 0

    0 0

    0

    22 0

    0 0

    1

    1

    s

    s

    sC

    s

    Q

    Q

    QUQ

    =

    +

    =

    +

    Mrimile relative sunt modulele funciilor de transfer. Se pot reprezenta curbele

    U

    U

    U

    U

    U

    U CLR

    000 ;;

    pentru 1=sQ i 2=sQ .

    Pentru 0 < circuitul este capacitiv. Pentru 0= tensiunea aplicat este cea de la bornele

    condensatorului UC, tensiunile la bornele rezistenei i bobinei fiind nule.

  • 39

    La frecvene 0 > , are loc schimbarea de faz i circuitul este inductiv. La frecvene foarte

    mari 0 >> tensiunea aplicat este tensiunea la bornele bobinei, celelalte tensiuni fiind practic nule

    (UR, UC).

    Trecerea prin maxim a tensiunii U

    U R la rezonan, este cu att mai net cu ct factorul de

    calitate sQ este mai mare. La valori mari ale lui sQ i la frecvene mai mici sau mai mari dect pi

    20

    ,

    tensiunea UU R

    este mic. Circuitul RLC serie se comport ca filtru de trecere a semnalelor avnd

    frecvene apropiate de frecvena de rezonan pi

    20

    . Banda frecvenelor de trecere este cu att mai ngust

    cu ct sQ este mai mare.

    1 2

    1

    0,2

    3

    0,4 0,6 0,8

    1,2

    0

    1sQ = (0)LU

    1sQ =

    2=sQ

    1 2

    1

    0,2

    3

    0,4 0,6 0,8

    1,2

    0

    UU R

    j

    1 2

    12s

    Q =

    2sQ = 10sQ =

    UU R

    (0)CU

  • 40

    Filtrul trece band ideal, filtreaz complet semnalele ale cror frecvene sunt n afara benzii de trecere i are caracteristica de frecven diferit de cea a circuitului RLC serie.

    Pentru circuitul RLC serie, banda de trecere corespunde frecvenelor semnalelor ale cror

    valori U

    U R sunt egale cu

    21

    .

    21

    1

    12

    0

    0

    2

    =

    +

    =

    s

    R

    QU

    U

    12

    0

    0

    2=

    sQ respectiv

    ss QQ 21

    411 2

    0

    +=

    Pentru valori mari ale lui Qs, dezvoltnd n serie radicalul i reinnd primii doi termeni, se obine:

    sQ211~

    0

    Deci valorile inferioar i superioar ale pulsaiei ( )21 si sunt:

    1 0 2 01 11 ~ 1

    2 2s sQ Q

    +

    i pi

    pi

    pi

    pi

    ======

    ss Qf

    Qfffsiff00

    122

    21

    1 2;

    2;

    2 unde

    LR

    2= este constanta de atenuare a

    circuitului RLC serie.

    1 2

    UU R

    o

    21

    1

  • 41

    CIRCUITUL REZONANT RLC paralel

    Admitana circuitului 2

    2 1

    +=

    LCG

    .

    Admitana este maxim i egal cu conductana R

    G 1= dac e satisfcut condiia:

    min

    1

    . .

    CL

    I I GU

    =

    = =

    Condiia se numete antirezonan i se ndeplinete pentru frecvena pi

    20

    0 =f , aceeai ca la

    circuitul RLC serie.

    Dac conductana scade, curentul Imin scade i pentru min0 0G I= = , adic la rezonan,

    circuitul RLC paralel este echivalent cu un circuit deschis i se numete circuit buon.

    Diagramele polare ale curenilor prin elementele circuitului RLC paralel sunt similare cu

    diagramele polare ale circuitului LRC serie i deci vrful fazorului I este un cerc. La rezonan, valorile

    LI i cI pot fi orict de mari.

    Circuitul RLC paralel se numete cu rezonan de curent.

    Exprimnd defazajul funcie de factorul de calitate Qp i raportul 0

    se obine:

    =

    00

    pp arctgQ unde

    =

    ==

    =

    RG

    LCB

    GBQp 1

    10

    000

    La frecvene mai mici dect frecvena de rezonan circuitul este inductiv

    ( )2/0 pi == p , iar la frecvene mai mari dect frecvena de rezonan, circuitul este capacitiv ( )2/pi = p . Pentru a urmri modul de variaie al curenilor IR, IL, IC, se exprim aceste mrimi n funcie de

    Qp, 0

    i se obin relaii similare cu cele de la circuitul RLC serie.

  • 42

    ( )

    ( )

    ( )2

    0

    0

    2

    0

    0

    20

    0

    2

    00

    20

    0

    2

    0

    1

    1

    1

    1

    +

    ==

    +

    ==

    +

    ==

    p

    pCC

    p

    pL

    L

    p

    RR

    Q

    QI

    II

    Q

    Q

    II

    I

    QI

    II

    Circuitul RLC paralel se comport ca un filtru de trecere pentru curentul RI .