2.-Clase UT 2 Arquitectura Naval en Valparaíso 22 Agosto 2014

x

y

•0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Estaciones• Las Estaciones se miden a lo largo del Eje-x

• La área descrita por la superficie inscrita se llama plano de áreas de agua, or Awp

• Un plano de áreas de agua se crea a medida que se mueve arriba o abajo del eje-z, o del puntal del barco

• Semi-mangas, distancias desde la línea de crujía a la borda del casco, se miden desde el eje-x

Dis

tanc

ia d

e se

mi-

mam

gas

M=?

AREAS PLANO DE FLOTACIÓN

semi-mangas desde Línea Crujía (pies)

Línea Agua 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Tope de Borda 3,85 8,14 10,19 11,15 11,40 11,40 11,26 11,07 10,84 10,53 10,09

18' Linea Agua 3,72 -

16' Línea Agua 3,20 7,92 10,13 11,15

14' Línea Agua 2,41 7,36 9,93 11,10 11,39 11,40 11,26 11,07 10,84 10,53 10,09

12' Línea Agua 1,58 6,26 9,20 10,70 11,19 11,32 11,21 11,02 10,76 10,45 10,02

10' Linea Agua 0,97 5,19 8,39 10,21 10,93 11,17 11,05 10,84 10,59 10,27 9,84

8' Línea Agua 0,46 4,07 7,43 9,63 10,64 10,98 10,87 10,66 10,41 10,07 9,65

6' Línea Agua 0,00 2,94 6,25 8,81 10,15 10,65 10,56 10,32 8,50 6,32 4,08

4' Línea Agua - 1,80 4,60 7,23 8,88 9,65 9,67 9,25 7,60 4,25 0,802' Línea Agua - 0,72 2,44 4,44 5,85 6,39 5,46 0,80

USNA YARD PATROL CRAFT TABLA DE PUNTOSESTACIÓN

Plano de Semi-Mangas

0,00

2,00

4,00

6,00

8,00

10,00

12,00

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Estaciones (x-axis)

Y-a

xis 10 ft waterline

8 ft waterline

6 ft waterline

4 ft waterline

2 ft waterline

Las distancias de las semi-mangas pueden ser presentadas en forma tabular , como se ve. Este es para un buque de la USN. El gráfico representa las áreas de los planos de flotación desde la 2a. a la 10a .

1.99

Plano Semi-mangas

0.00

2.00

4.00

6.00

8.00

10.00

12.00

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Estaciones (x-eje)

Y-e

je

2 ft w aterline

LINEA AGUA 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Tope de Borda

18' Linea Agua

16' Linea Agua

14' Linea Agua

12' Linea Agua

10' Linea Agua

8' Linea Agua

6' Linea Agua

4' Linea Agua

2' Linea Agua - 0.72 2.44 4.44 5.85 6.39 5.46 0.80

ESTACION

Y éstos son los valores- y para la L.A 2 ft

Las estaciones son los valores- x...

Los valores x- e y pueden plotearse, definiendo el plano flotación a ese nivel particular

roll

Half Breadth Plan

0,00

2,00

4,00

6,00

8,00

10,00

12,00

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Stations (x-axis)

Y-a

xis

4 ft w aterline

2 ft w aterline

Half-Breadths from Centerline (ft)

WATERLINE 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Top of Bulwark

18' Waterline

16' Waterline

14' Waterline

12' Waterline

10' Waterline

8' Waterline

6' Waterline

4' Waterline - 1,80 4,60 7,23 8,88 9,65 9,67 9,25 7,60 4,25 0,802' Waterline - 0,72 2,44 4,44 5,85 6,39 5,46 0,80

USNA YARD PATROL CRAFT TABLE OF OFFSETSSTATION

El proceso puede repetirse para el plano flotación 4º,…..

y

z

Al moverse a lo largo del eje x ¡eslora del buque!, se van formando las diferentes secciones

10 8 6 4 2 keel 2 4 6 8 10

Vagras (Buttocks)(pies)• Vagras se miden a lo largo del eje- y

• El área descrita por la área inscrita se llama sección o área seccional, o Asection

• Alturas, distancias desde la línea base a la superficie exterior del casco, son medidas a lo largo del eje z

Alt

uras

(pi

es)

Lin

. bas

e

2

4

6

8

10

12

AREAS SECCIÓN

USNA YARD PATROL CRAFT TABLE OF OFFSETS

Vagras (eje y) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Tope de Borda 18,50 17,62 16,85 16,19 15,65 15,24 14,97 14,79 14,71 14,71 14,70

10' Vagra 14,20 9,24 5,63 4,48 4,49 5,11 6,08 7,52 11,75

8' Vagra 16,59 9,14 4,82 3,24 2,71 2,77 3,16 3,71 4,36 4,97

6' Vagra 11,51 5,65 3,00 2,07 1,88 2,10 2,55 3,10 3,69 4,30

4' Vagra 7,87 3,40 1,76 1,32 1,41 1,78 2,30 2,86 3,45 4,08

2' Vagra 13,09 4,36 1,63 0,82 0,73 1,02 1,53 2,10 2,68 3,27 3,91

Quilla 6,00 0,66 0,10 0,09 0,28 0,71 1,34 1,95 2,54 3,14 3,76

EstaciónAlturas sobre la Línea Base, ft (eje z)

Section Areas

0.00

2.00

4.00

6.00

8.00

10.00

12.00

14.00

16.00

18.00

-12 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 12Buttocks (Y-axis)

Z-A

xis

Sta 0

Sta 2

Sta 1

Sta 3

Sta 4

Sta 5

Sta 6

Sta 7

Sta 8

Sta 9

Sta 10

Esta es la tabla de alturas para el YP a través de las seccionesconstruidas

• Nótese que las secciones se presentan en mitades debido ala simetría •Las secciones de proa estána la derecha

•Las de popa a la izquierda

Section Areas

0.00

2.00

4.00

6.00

8.00

10.00

12.00

14.00

16.00

18.00

-12 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 12Buttocks (Y-axis)

Z-A

xis

Sta 0


Vagras (eje y) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Tope de Borda 18,50

10' Vagra

8' Vagra

6' Vagra

4' Vagra

2' Vagra 13,09

Quilla 6,00


Se inicia la tabla con la Estación “0”, en la perpendicular de proa del buque (FP)

• Se aprecia, como es de esperar que es relativamente fino, ya que es el “extremo puntiagudo” del buque.

•En este punto, la quilla está 6ft por sobre la línea de base más profunda del buque.

•Solo la mitad de la sección es dibujada, debido a la simetría del casco.

Section Areas

0.00

2.00

4.00

6.00

8.00

10.00

12.00

14.00

16.00

18.00

-12 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 12Buttocks (Y-axis)

Z-A

xis

Sta 0

Sta 1


Vagras (eje y) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Tope de Borda 18,50 17,62

10' Vagra

8' Vagra 16,59

6' Vagra 11,51

4' Vagra 7,87

2' Vagra 13,09 4,36

Quilla 6,00 0,66


…Aquí se muestran los datos para la Estación 1.

• Nuevamente, la sección es presentada en la mitad de su sección, debido a la simetría.


Alturas sobre la Línea Base, ft (eje z)

Vagras (eje y) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Tope de Borda 18,50 17,62 16,85 16,19 15,65

10' Vagra 14,20 9,24 5,63

8' Vagra 16,59 9,14 4,82 3,24

6' Vagra 11,51 5,65 3,00 2,07

4' Vagra 7,87 3,40 1,76 1,32

2' Vagra 13,09 4,36 1,63 0,82 0,73

Quilla 6,00 0,66 0,10 0,09 0,28

Estación

Section Areas

0.00

2.00

4.00

6.00

8.00

10.00

12.00

14.00

16.00

18.00

-12 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 12Buttocks (Y-axis)

Z-A

xis

Sta 0

Sta 2

Sta 1

Sta 3

Sta 4

... Y para la Estación 4 y así sucesivamente.

A medida que nos aproximamos al centro del buque y éste comienza a disminuir hacia popa, pareciera mejor mostrarlas en el otro lado del plano...

Section Areas

0.00

2.00

4.00

6.00

8.00

10.00

12.00

14.00

16.00

18.00

-12 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 12Buttocks (Y-axis)

Z-A

xis

Sta 0

Sta 2

Sta 1

Sta 3

Sta 4

Sta 5

Sta 6

Sta 7

Sta 8

Sta 9

Sta 10


Vagras (eje y) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Tope de Borda 18,50 17,62 16,85 16,19 15,65 15,24 14,97 14,79 14,71 14,71 14,70

10' Vagra 14,20 9,24 5,63 4,48 4,49 5,11 6,08 7,52 11,75

8' Vagra 16,59 9,14 4,82 3,24 2,71 2,77 3,16 3,71 4,36 4,97

6' Vagra 11,51 5,65 3,00 2,07 1,88 2,10 2,55 3,10 3,69 4,30

4' Vagra 7,87 3,40 1,76 1,32 1,41 1,78 2,30 2,86 3,45 4,08

2' Vagra 13,09 4,36 1,63 0,82 0,73 1,02 1,53 2,10 2,68 3,27 3,91

Quilla 6,00 0,66 0,10 0,09 0,28 0,71 1,34 1,95 2,54 3,14 3,76


Finalmente, una vez ploteadas todas las estaciones, el plano del cuerpo resultante para todas las secciones se ve así.

x

y

z

En resumen, recuerde sus ejes marcados y lo que ellos representan:

• El eje x representa la eslora del buque. Las Estaciones están en este eje• El eje y representa la manga del buque. Las Vagras están sustentadas en este eje• El eje z representa la altura o calado del buque. Los planos de agua se

determinan en él

UNIDAD TEMÁTICA 2

2.1 Repaso algunos conceptos de la geometría de un buque y Líneas del Buque.

2.2 Relaciones de Desplazamiento y Peso.

2.3 Coeficientes de afinamiento o fineza de un Buque.

2.4 Sustentación de diversos tipos de Barcos.

2.5 Reglas de Integración (Trapecio, Simpson).

2.6 Curvas Hidrostáticas, Curvas de Bonjean, etc.

Dimensiones y Geometría de un Buque (cont.)

Definiciones:– Desplazamiento (W): Es el peso del volumen de agua desplazada

por el casco, incluyendo todos los apéndices sumergidos, cuando flota libremente, a un determinado calado. En el fondo, el desplazamiento es el peso del buque, aún cuando navegue en agua dulce o agua salada, ya que en este caso lo que varía es el volumen de agua desplazada.

– Este peso viene expresado en toneladas métricas.– El cálculo del desplazamiento se hará con la embarcación presta

para salir a navegar, con todo su equipo e instalaciones fijas, con los motores de mayor peso con que esté diseñada, con los tanques de combustible y agua potable llenos y el número máximo de personas autorizadas (75 Kgs por persona), elementos de seguridad, contraincendios, salvamento y navegación.


• Continuación Desplazamiento:– Según la carga, el desplazamiento puede ser, además del

máximo: • Desplazamiento en rosca: Es el peso del buque totalmente

descargado, sin combustible, agua, dotación, víveres, etc.• Desplazamiento en lastre: Cuando el buque está sin carga,

pero listo para navegar, con dotación, víveres, etc.• Desplazamiento en carga: es el peso del buque con carga

sin llegar a ser la máxima.

– Peso muerto es la diferencia entre el desplazamiento máximo (DM) y el desplazamiento en rosca (DR).PM = DM - DR


• Continuación Desplazamiento:– ARQUEO (A) Es el volumen interior del casco y

superestructuras, medido conforme al Reglamento de Arqueo en vigor y, expresado en toneladas Moorson. Se puede definir, también, diciendo que es el volumen o capacidad interior de los espacios cerrados de un buque.

Arqueo bruto es el volumen total de los espacios de un buqueArqueo neto es el volumen de los espacios cerrados de bodega.

– El valor de una tonelada Moorson se obtiene dividiendo el

volumen en metros cúbicos de los espacios cerrados por 2,83.

El volumen de la parte sumergida de un barco se calcula integrando áreas en las diferentes secciones y trazando el plano de áreas de sección que luego se puede nuevamente integrar ya sea por las conocidas reglas de Simpson o del Trapecio, que recordaremos más adelante. Esta etapa también se puede resolver por sistema de computación teniendo como base el Plano de Líneas. El resultado obtenido se conoce como el volumen de desplazamiento, , (también se usa la letra “V”) hasta la línea de flotación. Si conocemos la densidad de masa del agua, , en la cual el buque flota, calculamos el peso del fluido desplazado o peso de desplazamiento, W, de acuerdo a la siguiente fórmula:

DESPLAZAMIENTO Y CENTRO DE CARENA

Por el principio de Arquímedes este peso es igual al peso del barco y su contenido. En unidades SI (Sistema Internacional), la expresión anterior de la ecuación se aplica si las unidades de fuerza son newtons (con en kg/m3) ó kilonewtons (con en ton/m3). En Agua Dulce, FW, el valor de g es aproximadamente 9,81 kN/m3 ( = 1,0 tons/m3) y en agua salada, SW, g es 10,055 kN/m3 ( = 1,025 t/m3). Tales unidades se emplearán en resistencia y propulsión. Sin embargo adherir al sistema SI obliga a pensar en desplazamiento del buque, en unidades de masa en vez de unidades de peso (fuerza). Luego en el sistema SI el desplazamiento de masa,

DESPLAZAMIENTO Y CENTRO DE CARENA (cont.)

g

VW o

oVgW

Donde W ( ) está dado en toneladas métricas, V ( ) es en m3 y = 1,00 tons/m3 (igual a kg/L) en Agua Dulce (FW) y 1,025 tons/m3 en Agua Salada (SW).

Puesto que la densidad de masa del agua dulce es 1,0 kg/L ó 1,0 ton/m3, la densidad es numéricamente la misma en unidades SI a la gravedad específica, a temperatura estándar.

DESPLAZAMIENTO Y CENTRO DE CARENA (cont.)

VW

Disco de Plimsol• A mediados del siglo XIX se

detectó que había una gran cantidad de desastres por el exceso de carga con que estaban navegando las naves. Se creó un sistema que limitara la carga máxima, estableciéndose las Load Line Regulations.

• Se supone que a una nave no se le autorizará el zarpe si sobrepasa la línea de carga autorizada.

• Anualmente las Casas Clasificadoras verifican la correcta instalación de las marcas de carga máxima.

Ubicación del Disco de Plimsoll

Explicación de las abreviaciones usadas en la marca:TF: Agua Tropical

(para agua con una densidad de 1,0 t/m3)

F: Agua DulceT: Tropical (para

agua con una densidad de 1,025 t/m3)

S: VeranoW: InviernoWNA: Invierno Nor

Atlántico. Sólo para buques con eslora menor de 100 metros.

DL: Danske Lloyd

D: Calado del Buque

Agua Dulce Agua Salada

UNIDAD TEMÁTICA 2







Coeficientes de Formas

La eslora, manga y puntal son datos de dimensiones lineales de un buque, longitudinal, transversal y vertical, respectivamente, pero para tener una idea de las formas del casco, por ejemplo, si la carena corresponde a un buque de líneas finas o llenas, se utilizan los coeficientes de afinamiento. Los datos para el cálculo de estos coeficientes suelen ser los de trazado.

Existen tres Coeficientes de Afinamiento principales, el de Bloque, el Prismático y el de la Cuaderna Maestra o Sección Media. A la vez, en determinados cálculos o embarcaciones se utilizan otros, como el de Líneas de agua o Flotación, el Prismático del cuerpo de popa, el del cuerpo de proa y el prismático vertical.


Coeficiente de Bloque, Cb.

Es la relación entre el Volumen del desplazamiento “V” y el volumen de un bloque rectangular que posea sus bordes respectivamente iguales a la eslora entre perpendiculares ( Lpp), de la manga de construcción (B) y del calado medio de construcción a ese desplazamiento (Tm).Este coeficiente da una idea de la forma de afinamiento, ya que relaciona el paralelepípedo circunscrito con la obra viva del buque. También se le llama Coeficiente de afinamiento cúbico.

LppxBxTm

VCb


Coeficiente de Bloque, Cb.


Coeficiente Prismático (también llamado Cilíndrico o Longitudinal), Cp

Es la relación entre el Volumen del desplazamiento “V” y el volumen de un prisma cuya base es el área de la cuaderna maestra sumergida, Ao, y la eslora entre perpendiculares, ( Lpp).

AoxL

VCp


Coeficiente Prismático (también llamado Cilíndrico o Longitudinal), Cp


Coeficiente de la Sección Media o de la Cuaderna Maestra, Cm

Es la relación entre el área de la cuaderna maestra hasta la línea de flotación y el área de un rectángulo cuyas dimensiones son el calado y la manga de trazado de la misma.

BxTm

AoCm


Coeficiente de la Sección Media o de la Cuaderna Maestra, Cm


Coeficiente de líneas de agua o área del plano de flotación, Cwp o Cs

Es la relación entre el área de la línea de agua o de flotación y la superficie del rectángulo circunscrito, cuya eslora y manga son las de flotación.

BxLf

AfCs

Af


Relación entre los Coeficientes de Afinamiento

Cm

CbCp

Otras relaciones:

-Razón entre Eslora y Manga, Lpp/B 3 a 12-Razón entre Eslora y Calado, Lpp/T 7 a 30 (excepto en casos específicos)-Razón entre Manga y Calado, B/T 1,8 a 4-Coeficiente Volumétrico, V/(Lpp)3 -Razón entre el Desplazamiento y la Eslora, W /Lpp rango 50 a 500.

Valores típicos de los Coeficientes de Formas

.

Coeficientes Destructor Buque de carga

Remolcador de Bahía

Buque container

Buque Pasajeros

Cb 0.52 0.64 0.58 0.87 0.59

Cm 0.83 0.96 0.89 0.99 0.95

Cp 0.62 0.66 0.65 0.88 0.62

Cs o Cwp 0.74 0.76 0.80 0.91 0.72

Razones

L/B 9.82 6.92 4.18 9.67 8.38

L/T 32.75 16.82 9.33 29.00 26.25

B/T 3.33 2.43 2.23 3.00 3.14

UNIDAD TEMÁTICA 2







Sustentación de Naves

(Superficie, Efecto de la Superficie y Sub superficie)

Aviones

Soporte HidrodinámicoSoporte Aerostático

ARQUÍMEDESSumergiblesBERNOULLI

Soporte Hidrodinámico(Desplazamiento)

Efecto de Superficie

Rango aproximado de velocidad

Nudos 80-100 60-40 40-25 30-15

Efecto Colchón de aire Burbuja de aire

Capturada

Aire

Mar

Hidroala

Catamarán

Alas sumergidas

Casco Planeador

Desplazamiento Convencional

Multi Casco

Desplazamiento Profundo

Aliscafo

Desplazamiento Especial

Submarino

Colchón de aire (air cushion)

Burbuja de aire (captured air bubble)

Soporte aerostático

250’ SES Ferry

Soporte aerostático

Soporte Hidrodinámico (Bernoulli)

• Buque Hydrofoil (Aliscafo)Hydrofoil (Aliscafo) - Soportado en hidroala, como el ala de un avión- Soportado en hidroala, como el ala de un avión

Ferry Aliscafo

Buques Hidroplano (alas sumergidas)


Casco Planeador - Soportado por la presión hidrodinámica desarrollada bajo el casco a alta - Soportado por la presión hidrodinámica desarrollada bajo el casco a alta

velocidadvelocidad - - Tipo de forma en V o plana, comúnmente usado en botes de placer, bote de Tipo de forma en V o plana, comúnmente usado en botes de placer, bote de

patrullaje, botes misileros, botes de carrera. patrullaje, botes misileros, botes de carrera.


Desplazamiento Convencional

Soporte Hidrostático (Arquímedes)

Concepto buque combate tri-casco


Desplazamiento Especial (Trimarán

Desplazamiento Especial - Multi casco (SWATH)


Desplazamiento Especial (Gran Desplazamiento)


Sumergibles o Submarinos

Casos Especiales

Buque Ro Ro Buque sumergible

UNIDAD TEMÁTICA 2







ÁREAS Y VOLÚMENES DE BUQUES

Las Reglas de Simpson y las del Trapecio pueden ser usadas para determinar las áreas y volúmenes de figuras de forma irregular.

Estas Reglas se basan en que las fronteras de tales figuras son curvas que siguen una definida ley matemática.

Cuando son aplicadas a los buques, nos entregan una buena aproximación de las áreas y los volúmenes.

Mientras menor sea la distancia entre las ordenadas y, por lo tanto, más cercano se encuentre la curva a su equivalente matemático, más precisa será la determinación de las áreas y volúmenes.

Primera Regla de Simpson

Existen tres Reglas de Simpson, la primera de ellas asume que la curva es una parábola de segundo orden, cuya ecuación, referida a los ejes de las coordenadas es: donde a0, a1, a2 son constantes.y después de efectuar las integraciones pertinentes se obtiene:

donde “h” es la separación entre las ordenadasEsta Regla puede ser usada para determinar áreas donde existe un número impar de ordenadas. Al aplicar en varias áreas, tendremos lo siguiente:Área de figura= h/3 (a + 4b + 2c + 4d + 2e + 4f + 2g + 4h +i)

Esta es la forma en el cual la fórmula debe ser usada y corresponde al Multiplicador de Simpson 1 4 2 4 2 4 2 4 1

2210 xaxaay

Área de la figura = )4(3 321 yyyh

Segunda Regla de Simpson

La segunda asume que la curva es una parábola de tercer orden, cuya ecuación, referida a los ejes de las coordenadas es: donde a0, a1, a2, a3 son constantes.

y después de efectuar las integraciones pertinentes se obtiene:

Esta Regla se usa para determinar el área cuando el número de ordenadas es tal que si le restamos una, el número de ordenadas que quedan es divisible por 3. Al aplicar en varias áreas, tendremos lo siguiente:

Área de figura= 3h/8 (a + 3b + 3c + 2d + 3e + 3f + g)

Esta es la forma en el cual la fórmula debe ser usada y corresponde al Multiplicador de Simpson 1 3 3 2 3 3 1

Área de la figura =

33

2210 xaxaxaay

)33(8

34321 yyyyh

Esta regla es usada principalmente por la USN en el cálculo de buques. Se basa en que para hallar el área bajo la curva en una figura como la que se indica, se divide el tramo AB en partes iguales y en esos puntos se trazan perpendiculares.

El área del trapecio AEFD, es igual a:

Regla del Trapecio

y

y0 y1 y2 y3 y4 y5 y6 y7 y8 y9

x

D

AE

F

C

B

10 2

1

2

1yyhA

El área del segundo trapezoide es h (½ y1 + ½ y2 ), la del tercer trapezoide es h (½ y2 + ½ y3 ), y así sucesivamente. Si sumáramos, para determinar el área total, cada ordenada aparece dos veces, salvo las ordenadas de los extremos y, por lo tanto, tendremos que el área total será:

Regla del Trapecio

9876543210 2

1

2

1yyyyyyyyyyhA

Y, en general,

nn yyyyyhA

2

1........

2

11210 donde n es cualquier integrador

REGLA DEL TRAPECIO (cont.)

Ejemplo, en el dibujo inicial las ordenadas y0 a y8 tienen los siguientes valores, con una distancia de separación de 10 metros. Calcular el área.

Estación Ordenada, m Multiplicador Función de Área, f(A)

y0 12 ½ 6

y1 14 1 14

y2 16 1 16

y3 16,5 1 16,5

y4 17 1 17

y5 16 1 16

y6 15 1 15

y7 13 1 13

y8 10 1 10

y9 9 ½ 4,5

128)(Af 2128012810)( mAfhALuego, el área será:

Esta Regla puede ser usada para calcular el área entre dos ordenadas consecutivas, cuando las tres ordenadas consecutivas son conocidas.

La regla establece que el área entre dos ordenadas consecutivas es igual a 5 veces la primera ordenada, más 8 veces la ordenada intermedia menos la ordenada externa, todo ello multiplicado por 1/12 del intervalo común.

Área 1 = 1/12 h (5a + 8b - c )

Área 2 = 1/12 h (5c + 8b - a )

x

hh

a b c

ÁREA 1 ÁREA 2

Tercera Regla de Simpson

Ejemplo Tercera Regla de Simpson

Tres ordenadas consecutivas en el plano de agua de un buque separadas 6 metros, son 14 m, 15 m y 15,5 m. Encontrar el área entre las dos últimas ordenadas y el área total.

Área 2 = 1/12 h (5c + 8b - a ) =6/12 (77,5 + 120 – 14) = 91,75 m2

Área 1 = 1/2 (70 + 120 – 15,5) = 87,25 m2

Área total = 179 m2

x

hh

a b c

ÁREA 1 ÁREA 2

LOCALIZACIÓN DEL CENTRO DE

GRAVEDAD DE UN ÁREA

Para ubicar el centro geométrico de un área, o su Centro de Gravedad, se debe primero ubicar su momento sobre un eje de referencia.

Posteriormente, este momento total debe ser dividido por el área, de manera tal de encontrar el brazo o la distancia perpendicular del centro de gravedad al eje de referencia.

Es necesario destacar que la determinación del centro de gravedad con la Regla del Trapecio es menos exacta que determinar las áreas y volúmenes, pero sirve para determinar valores promedios aproximados.

y0 y1 y2 y3 y4 y5 y6 y7 y8 y9

x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Asumamos, totalmente arbitrario, que el eje de referencia es la ordenada y4, que los valores a la izquierda de esta ordenada serán positivos y a la derecha serán negativos.

En este caso, debemos usar la ordenada como una función de área y para cada ordenada multiplicarla por el brazo de momento (distancia de la ordenada al eje de referencia). Como se aprecia, cada brazo tiene un factor común que es la distancia entre las ordenadas, por lo que es conveniente omitirla en el cálculo previo y multiplicarla al final de la suma de la función de Momentos.

A lo anterior, se debe agregar que como estamos utilizando ordenadas lineales como funciones de área, debemos multiplicar nuevamente la suma de la función de Momentos por la distancia entre las ordenadas, de manera tal de considerar el hecho que estamos sumando los momentos de áreas de secciones pequeñas.

)(2 MfhM AD

Por lo tanto, tendremos:

La distancia del CG a y4, es el momento neto del área, dividido por el área, a saber:

A

M

Afh

MfhCG AD

AD

)(

)(2

Como los planos de agua son áreas simétricas, los centros de flotación están localizados en el eje central y sólo se requiere un eje de referencia para determinarlos.

En caso de áreas no simétricas, se requiere determinar un segundo eje de referencia para determinar un nuevo punto, como un sistema de dos coordenadas.

Tabla para determinarlo

)(Af )(Mf

x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Sección Ordenada Multiplicador Función de Área f (A)

Brazo respecto y4

Función de Momento f (M)

0 a ½ a/2 +4 2a

1 b 1 b +3 3b

2 c 1 c +2 2c

3 d 1 d +1 d

4 e 1 e 0 0

5 f 1 f -1 -f

6 g 1 g -2 -2g

7 h 1 h -3 -3h

8 i 1 i -4 -4i

9 j 1/2 j/2 -5 -5j

a b c d e f g h i j

Fórmula para determinarlo

)(AfhA

)(2 MfhM

)(

)(

Af

Mfh

A

MCG

x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Determinación del Centro de Gravedad

Ejemplo, considerando la separación entre ordenadas de 10 metros.

Estación Ordenada, m Multiplicador Función de Área, f(A)

Brazo del Momento

c/r a y4

Función de Momento,

f(M)

Y0 0 ½ 0 +4 0

Y1 5 1 5,0 +3 15,0

Y2 10 1 10,0 +2 20,0

Y3 14 1 14,0 +1 14,0

Y4 16,5 1 16,5 0 0

Y5 17,8 1 17,8 -1 -17,8

Y6 17,1 1 17,1 -2 -34,2

Y7 15,3 1 15,3 -3 -45,9

Y8 11,4 ½ 5,7 -4 -22,8

4,101)( Af 7,71)( Mf

REGLA DEL TRAPECIO (cont.)

4,101 Af

h=10 metros

4,10110 AfhA21014mA

7,71 Mf

71707,71100)(2

4 MfhM y

07,71014

71704

4

A

MCG y

y metros a popa de y4

Determinación del área de los apéndices y ordenadas intermedias

Como se ha visto anteriormente, el uso de las Reglas de Simpson para determinar áreas y volúmenes, dependen de lo cercano que sea una ley matemática para representar los lados de la curvatura de esas áreas y volúmenes.

Si miramos el Plano de Agua que les dibujo, podemos observar que desde la amura hasta la aleta, la curva es una sola, pero desde la proa a la amura y desde la aleta hasta la popa es una curva completamente diferente. Para alcanzar un resultado lo más exacto posible, se calcula el área desde la amura a la aleta con el uso de las Reglas de Simpson y el sector del área restante se debe hacer por un nuevo cálculo, considerando que es un área diferente a la anterior.

Esta área remanente es lo que se llama apéndice.

Lo mismo sucede en la sección transversal, en que el casco del buque forma una curva razonable, hasta que se llega a la curvatura de la sentina o del doblefondo, donde la curva es de una diferente forma.


Para poder determinar el área o volumen de un apéndice, se introducen ordenadas intermedias. Si dividimos un plano de agua en 7 partes iguales, podemos apreciar que la curva es representativa de alguna ley matemática desde la proa hasta la ordenada “g”.

Si se calcula el área con las 8 semi ordenadas, directamente a través de las reglas, indudablemente estamos cometiendo un error y el resultado obtenido, obviamente será erróneo. Para reducir este error, el área del plano de agua puede ser dividido en dos, uno que lo calculamos con alguna de las reglas de Simpson (Área 1). Para determinar el Área 2, dividimos el trazo gj en dos, introduciendo una nueva semi ordenada “h” y el intervalo común en este sector es h/2. Por lo tanto,

Área 1= h/3 (a + 4b + 2c + 4d + 2e + 4f + g)

Área 2=h/2 x 1/3 x (g + 4h +j) = h/3 (½ g + 2h + ½ j)

OJO, si el intervalo común es la mitad, los multiplicadores son la mitad, por ejemplo de 1, 4, 1 pasan a ½, 2, ½


Por lo tanto el área total de la mitad del plano de agua, sería:

Área de ½ Plano de Agua = h/3 (a + 4b + 2c + 4d + 2e + 4f + 1 ½ g + 2h + ½ j)

Ejemplo1: Las mangas de un buque están medidas a intervalos de 9 metros, comenzando desde proa y son las siguientes:

0 – 7,6 – 8,7 – 9,2 – 9,5 – 9,4 y 8,5 metros, respectivamente.

A popa de la última ordenada hay un apéndice de 50 m2. Encontrar el área total del plano de agua.

Ejemplo 2: El largo de un plano de agua de un buque es de 100 metros. Los largos de las semi ordenadas desde proa son las siguientes:

0 – 3,6 – 6,0 – 7,3 – 7,7 – 7,6 – 4,8 – 2,8 y 0,6 metros respectivamente.

La mitad entre las dos últimas semi ordenadas es aquella que tiene un largo de 2,8 metros. Hallar el área del Plano de Agua.

Resolución ejercicios• Ejemplo1: Las mangas de un buque están medidas a intervalos de 9

metros, comenzando desde proa y son las siguientes:0 – 7,6 – 8,7 – 9,2 – 9,5 – 9,4 y 8,5 metros, respectivamente.A popa de la última ordenada hay un apéndice de 50 m2. Encontrar el área total del plano de agua.

• En este ejemplo, el área del apéndice de popa está dado como dato y, por lo tanto habría que calcular solo el de proa; como no tenemos otros datos, se puede hacer un cálculo aproximado considerando que es un triángulo rectángulo, obteniendo los siguientes valores:

• Área 1 = ½ base x altura = ½ * 9 * 7,6 = 34,2 m2

• Área 2 = h * (1/2 * 7,6 + 8,7 + 9,2 + 9,5 + 9,4 + 1/2 * 8,5) = 403,65 m2

• Área 3 = 50 m2

• Área Total = A1 + A2 + A3 = 34,2 + 403,65 + 50 = 487,85 m2

• Como los valores iniciales son las mangas, no se multiplica por 2 esta área obtenida.

Resolución ejercicios• Ejemplo 2: El largo de un plano de agua de un buque es de 100

metros. Los largos de las semi ordenadas desde proa son las siguientes:

0 – 3,6 – 6,0 – 7,3 – 7,7 – 7,6 – 4,8 – 2,8 y 0,6 metros respectivamente.

La mitad entre las dos últimas semi ordenadas es aquella que tiene un largo de 2,8 metros. Hallar el área del Plano de Agua.

• En este ejemplo, se indica que entre las ordenadas con valores 4,8 y 0,6 metros, existe un apéndice cuyo valor en la mita es de 2,8 metros. Asimismo, a proa, si se dibujan las ordenadas se aprecia que la curva sí sigue una cierta tendencia y, por lo tanto no es necesario calcular allí el apéndice. Por lo tanto:

• El área total de la mitad del plano de agua, será:• Área ½ Plano = h/3 (a + 4b + 2c + 4d + 2e + 4f + 1 ½ g + 2i + ½ j)

A = 100/7 * 1/3 (1 x 0 + 4 x 3,6 + 2 x 6 + 4 x 7,3 + 2 x 7,7 + 4 x 7,6 + 1,5 x 4,8 + 2 x 2,8 + ½ x 0,6) = 4,76 * (114,5) = 545,02 m2

• Área Total = 2 x A = 2 x 545,02 = 1090,04 m2

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2.-Clase UT 2 Arquitectura Naval en Valparaíso 22 Agosto 2014