Upload
muhamad-yani
View
92
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
14
2
DISTRIBUSI PELUANG
DAN
UJI HIPOTESIS
Sebagaimana dalam penelitian pada umumnya, di dalam eksperimen fisika kita juga
sering dihadapkan pada uji hipotesis. Di dalam Bab 2 ini kita akan mempelajari macam-
macam distribusi peluang dan penerapan distribusi normal untuk menyeleksi data dan uji
hipotesis. Dengan memahami materi dalam bab ini diharapkan kita dapat mengolah data serta
mengambil kesimpulannya dengan tepat.
Sebelum mempelajari Bab 2 ini diharapkan kita sudah memahami statistik distribusi,
karena pengetahuan tersebut merupakan dasar dari pembicaraan bab ini.
2.1. DISTRIBUSI PELUANG
Teori peluang adalah bagian integral dari ilmu statistik, dan merupakan salah satu
bagian yang penting dalam teori statistik inferensial. Statistik inferensial berkaitan dengan
metode pendugaan dan penarikan kesimpulan terhadap karakteristik suatu populasi
berdasarkan informasi yang diperoleh dari sample. Dalam proses pendugaan atau penarikan
kesimpulan tersebut terkandung unsur ketidak pastian, karena pada kenyatannya suatu
proses jarang sekali didukung oleh informasi atau input yang sempurna. Secara statistik
derajat/tingkat ketidak pastian tersebut dikuantisasikan dengan menggunakan teori peluang.
Distribusi peluang (probability distribution) bagi suatu variabel acak X pada dasarnya
merupakan distribusi dari suatu populasi. Distribusi peluang bagi X tersebut merupakan suatu
daftar yang memuat nilai peluang bagi semua nilai variable acak X yang mungkin terjadi.
Distribusi peluang bagi variable acak diskrit dapat disajikan dalam bentuk tabel, grafik atau
rumus yang mengaitkan nilai peluang dengan setiap nilai variable acaknya.
Dari macam-macam variable dalam penelitian , kita kenal beberapa jenis distribusi
peluang.
2.1.1. Distribusi Binomial
Salah satu karakteristik penting dari percobaan binomial adalah bahwa percobaan
hanya mungkin menghasilkan dua kejadian. Secara konvensional, kedua kejadian tersebut
15
biasa dikatagorikan sebagai berhasil dan gagal. Suatu percobaan binomial mempunyai ciri-ciri
sebagai berikut :
a. Percobaan binomial terdiri dari n ulangan yang identik
b. Dalam setiap ulangan hanya mungkin dihasilkan dua kejadian, yaitu berhasil atau
gagal.
c. Peluang untuk berhasil dalam setiap ulangan adalah p, dan nilai p bersifat konstan.
d. Setiap ulangan bersifat bebas dari ulangan yang lain, artinya hasil dari suatu
ulangan tidak mempengaruhi hasil ulangan yang lain.
Contoh dari percobaan binomial adalah pelemparan mata uang yang seimbang
sebanyak 15 kali. Dalam setiap pelemparan hanya ada dua kemungkinan, yaitu tampaknya
sisi muka (berhasil) dan tampaknya sisi belakang (gagal). Dengan asumsi simetris, maka
peluang tampaknya sisi muka pada setiap pelemparan adalah p = 0,5. Variabel acak yang
dihasilkan dari suatu percobaan binomial disebut dengan variable acak binomial. Pada kasus
tersebut, variable acak yang menjadi perhatian kita adalah misalnya jumlah sisi muka yang
tampak pada ke 15 lemparan tersebut. Oleh karena itu, variable acak binomial adalah variable
acak diskrit yang hanya dapat bernilai 0, 1, 2, n. Distribusi peluang dari variabel
binomial, disebut distribusi peluang binomial bagi tampaknya sisi muka (berhasil) sebanyak
x kali dari n ulangan.
Jadi pokok-pokok pengertian dalam distribusi binomial adalah sebagai berikut: apabila
timbulnya suatu gejala yang kita harapkan kita sebut berhasil kita beri simbul p, sedangkan
tidak timbulnya gejala kita sebut gagal dan kita beri simbul q (q = 1 p dan p = 1 q), maka
probabilitas timbulnya gejala berhasil sebanyak x kali dalam n kejadian (artinya x kali akan
berhasil dan n x kali akan gagal) dinyatakan dengan rumus sebgaia berikut :
xnX
B qpxnx
npnxP
!!
!,, (2.1)
dengan x = semua bilangan dari 0 sampai n
Mean dari distribusi binomial dinyatakan dengan
n
X
xnx npppxnx
nx
0
1!!
! (2.2)
Standar deviasi diberikan dengan persamaan
n
x
xnx pnpppxnx
nx
0
22 11!!
! (2.3)
16
Contoh 2.1
Misal kita melempar 10 koin ke udara 100 kali. Tiap lemparan kita akan mengamati
jumlah koin dengan gambar kepala, ditandai dengan x. i adalah jumlah lemparan,
sehingga i berharga satu sampai 100 dan xi adalah bilangan bulat dari nol sampai 10.
Probabilitas distribusi fungsi mendapatkan harga x diberikan dengan distribusi binomial
(2.1). Distribusi induk tidak dipengaruhi oleh i percobaan. Distribusi induk PB(x,10,1/2)
seperti dilukiskan pada Gambar 2.1. Sedangkan meannya adalah
= 10(1/2) = 5
Standar deviasi dinyatakan dengan
58,15,22
1
2
110
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0 2 4 6 8 10 12
P (
x, 10, 1/2
)
Gambar 2.1. Distribusi binomial fungsi PB(x, 10, ) dengan = 5 dan =1,6
Contoh 2 .2
Misal kita melempar 10 dadu. Berapakah probabilitas x dadu yang terletak dengan angka
satu diatas. Jika melempar satu dadu, probabilitas untuk mendapatkan dadu tersebut
terletak dengan angka satu di atas adalah p = 1/6. maka
xx
xxxP
10
6
5
6
1
)!10(!
!10
6
1,10,
Mean : 67,16
10
Standar deviasi = 18,1
17
-0.05
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0 5 10 15
P (
x, 10, 1/6
)
Gambar 2.2. Distribusi binomial fungsi PB(x, 10, 1/6) dengan = 1,67 dan =1,2. Distribusi tidak simetri disekitar mean
Contoh 2.3
Andaikan suatu pabrik lilin (untuk ski), menyatakan bahwa lilin produksinya dapat
mengurangi gesekan antara ski-salju. Untuk menguji hal tersebut perlu dilakukan
percobaan perlombaan 10 pasang ski, tiap pasangan satu ski diberi lilin sedangkan
yang lain tidak diberi lilin. Berapakah kebolehjadian ke10 ski berlilin memenangkan
lomba ?
Penyelesaian
Untuk menyelesaikan persoalan tersebut, dirumuskan dulu hipotesis statistik, dalam hal ini
yang paling sederhana adalah hipotesis nol, yaitu mengandaikan bahwa lilin tidak memberi
efek apapun.
Kebolehjadian tiap ski berlilin menang p = , kalah q = Kebolehjadian n ski berlilin
memang dalam sepuluh (10) perlombaan.
P (x, n, p) )10(
)!10(!
!10 nnqpnn
= 10
2
1
)!10(!
!10
nn
Kebolehjadian 10 ski berlilin menang.
%1,02
1
2
1
)!1010(!10
!10)
2
1,10,10(
1010
P
Sangat kecil
18
Contoh 2.4
Distribusi binomial ini dapat digunakan untuk menggambarkan kejadian peluruhan.
Andaikan ada N partikel. Kebolehjadian setiap partikel meluruh (p) dan tidak meluruh q =
1 p.
Nomor partikel : 1,2,3 n-1, n, n+1 N
Kebolehjadian n partikel pertama meluruh.
P = pn q
(N-n) untuk satu partikel
Jika partikel tak terbedakan
)(
)( !!
!),(
nNnN
n
nNn
qpC
qpnnN
NNnP
P = probabilitas meluruh dari n partikel
q = probabilitas tidak meluruh
N = jumlah partikel
n = probabilitas yang dicari
Distribusi Binomial untuk mencari n rata-rata
N
1
),( n
NnPnn ingat ! :
)(
)(
xfx
dxxxfxx
nqpCN
n
nNnN
n
1
)(
Dengan mensubstitusikan
m = n 1 n = m + 1
M = N 1 N = M 1
nqpmmM
Mn mMm
N
n
)()1(1
)!1()!(
)!1(
mMmN
m
qpmmM
MPN
)!()!(
!1
0
Distribusi binomial dalam m
Jadi pNn
Standar deviasi :
Npp
pNqS
)1(
19
2.1.2. Distribusi Poisson
Distribusi ini diturunkan dari distribusi binomial untuk N besar. Jika kejadian yang
diharapkan muncul adalah x, dan x
20
-0.05
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0 5 10 15
P (
x, 1,6
7)
Gambar 2.3. Distribusi Poisson PP(x,) Untuk = 1,67 cacah/10 secon dan = 1,29
2.1.3. Distribusi Normal / Gaussian
Dalam macam-macam distribusi yang dibicarakan di atas, semua variable acaknya
bersifat diskrit. Sekarang kita beralih pada distribusi dengan variable acak kontinu. Distribusi
dengan variable acak kontinu yang kita bicarakan di sini adalah distribusi normal atau yang
disebut juga distribusi Gauss. Distribusi ini merupakan salah satu yang paling penting dan
banyak digunakan. Dalam distribusi normal, jika terdapat N buah data X1, X2 XN.
kebolehjadian mendapatkan hasil pengukuran Xi adalah
2
2
2
1)(
X
exf (2.10)
dengan merupakan rata-rata distribusi dan adalah simpangan baku untuk
distribusi, dan dengan X mempunyai batas - < X < , maka dikatakan bahwa variable acak
X berdistribusi normal.
N
i
)(rerata
N
XiX
(2.11)
Deviasi standar deviasi induk (N tak hingga)
22 )(1
XiN
Untuk distribusi sampel N berhingga, Deviasi standarnya :
1
)( 222
N
XXis
(2.12)
Sifat-sifat penting distribusi normal adalah:
1. Grafiknya selalu ada di atas sumbu datar X
21
2. Bentuknya simetri terhadap X =
3. Mempunyai satu modus, jadi kurva unimodial, tercapai pada X = sebesar
3989,0
4. Grafiknya mendekati sumbu datar X dimulai dari 3X ke kanan dan
3X ke kiri
5. Luas daerah grafik selalu sama dengan satu unit persegi
Untuk tiap pasang dan , sifat-sifat tersebut selalu terpenuhi, hanya bentuk kurvanya
yang berbeda-beda, Jika makin besar kurvanya makin rendah (platikurtik), dan jika makin
kecil, kurvanya makin tinggi (leptokurtik).
Gambar 2.4. menunjukkan dua kurva normal. (a) kurva normal dengan = 10 dan
= 5, sedangkan (b) kurva normal dengan = 20 dan = 7
Gambar 2. 4
Sifat (5) dapat dinyatakan dengan persamaan
12
1)(
2
2
`
dxedxxfX
(2.13)
Untuk menentukan peluang harga X antara a dan b, yakni P(a
22
Distribusi normal standart adalah distribusi normal dengan rata-rata = 0 dan
simpangan baku = 1. Fungsi densitasnya berbentuk :
2
21
2
1)(
zezf
(2.15)
Untuk z dalam daerah min tak hingga sampai dengan tak hingga. Mengubah distribusi normal
umum (2.12) menjadi distribusi normal baku (2.13) dapat digunakan transformasi:
Xz (2.16)
Perubahan grafiknya dapat dilihat pada Gambar 2.5
(a) (b)
Gambar 2.5.a). Normal umum : rata-rata = 0, simpangan baku 1
b).normal standart : rata-rata = 0, = 1
Setelah kita mempunyai distribusi normal baku yang diperoleh dari distribusi normal
umum dengan transformasi persamaan (2.15), maka daftar distribusi normal baku dapat
digunakan. Dengan daftar ini, bagian-bagian luas dari distribusi normal baku dapat dicari.
Caranya adalah sebagai berikut :
1. Hitung z sampai dua desimal
2. Gambarkan kurvanya seperti gambar sebelah kanan pada Gambar 2. 5.
3. Letakkan harga z pada sumbu datar, lalu tarik garis vertical hingga memotong kurva.
4. Luas yang tertera dalam daftar adalah luas daerah antara garis ini dengan garis tegak
di titik nol
5. Dalam Daftar F, cari tempat harga z pada kolom paling kiri hanya sampai satu desimal
dan desimal keduanya dicari pada baris paling atas.
6. Dari z di kolom kiri maju ke kanan dan dari z di baris atas turun ke bawah, maka
diperoleh bilangan yang merupakan luas yang dicari. Bilangan yang diperoleh harus
ditulis dalam bentuk 0,xxxx (bentuk 4 desimal)
-3 -2 - + +2 +3 -3 -2 -1 0 1 2 3
-3 -2 -1 0 1 2 3
23
Karena seluruh luas sama dengan 1 dan kurva simetrik terhadap = 0, maka luas dari garis
tegak pada titik nol ke kiri atau ke kanan adalah 0,5.
Untuk mencari kembali z apabila luasnya diketahui, maka dilakukan langkah
sebaliknya. Misal jika luas = 0,4931, maka dalam badan daftar dicari 4931 lalu menuju ke
pinggir sampai pada kolom z, didapat 2,4 dan menuju ke atas sampai diperoleh batas z di
dapat 6. Maka harga z = 2.46.
Beberapa bagian luas untuk distribusi normal umum dengan rata-rata dan simpangan
baku tertentu dengan mudah dapat ditentukan. Jika sebuah fenomena berdistribusi normal,
maka dari fenomena tersebut dapat diartikan
1. Kira-kira terdapat 68,27 % berada dalam daerah satu simpangan baku sekitar rata-rata,
yaitu antara dan +
2. Terdapat 95,45 % terletak dalam daerah dua simpangan baku, yaitu antara 2 dan
+2
3. Terdapat 99,73 % terletak dalam daerah tiga simpangan baku, yaitu antara 3 dan
+3
Penggunaan distribusi normal untuk penolakan dan penerimaan data
Setelah kita melakukan pengukuran, kita sering menjumpai bahwa dalam satu seri
pengukuran terdapat satu atau beberapa data yang menyimpang. Kita harus dapat
memutuskan apakah penyimpangan itu berasal dari suatu kesalahan dan harus ditolak ataukah
tidak perlu ditolak.
Contoh 2.6
Misal hasil pengukuran dari suatu periode ayunan yang dilakukan enam kali adalah: 3,8;
3,5; 3,9; 3,4; 3,9; 1,8 (dalam detik). Kita lihat bahwa 1,8 sangat menyimpang dari hasil
yang lain. Perlukah harga 1,8 tersebut kita tolak?
Penyelesaian
Dengan perhitungan nilai rata-rata diperoleh
0,8 dan
4,3
6
8,1394,39,35,38,3
24
Kebolehjadian mendapat hasil ukur terletak antara :
1) xX dan %68 xX ; atau %68 xx XXXP
2) xX 2 dan %952 xX ; atau %9522 xx XXXP
Kebolehjadian penyimpangan hasil ukur adalah :
1) %32%68%100 xx XdanX
2) 20
1%5%95%10022 xx XdanX
Data 1,8 ternyata terletak pada xx XXXP 22 dengan kebolehjadian
penyimpangan hasil ukur 5% atau 1/20. Ini berarti bahwa setiap 20 pengukuran, diharapkan
hanya ada satu penyimpangan hasil pengukuran.
Kesimpulan :
1) Jika hanya terbatas ada 6 data maka data 1,8 dicurigai sebagai data yang salah,
sehingga data tersebut perlu ditolak
2) Jika dimungkinkan menambah data sampai 20, data 1,8 tidak perlu ditolak, karena hal
tersebut adalah kejadian yang normal.
Penolakan data berdasarkan kriteria Chauvenet
Kriteria Chauvenet menyatakan sebagai berikut : data akan ditolak, jika
kzzP
2
1dan
atau k
P o4
1)(
dengan k = cacah data
XXz
1
Contoh 2. 7
Dilakukan 10 kali pengukuran terhadap suatu besaran dengan nilai rata-rata adalah
X = 5 dan x = 2. salah satu hasil adalah 8. Ditolak atau diterimakah 8 ini?
25
Penyelasaian
5,12
58
XXz
5,125,15,1 PP Dari daftar z
P (-1,5 < < 1,5) = 86,64%
Kebolehjadian menyimpang
%68,62
%64,86%1005,1
P
Karena k
P4
15,1
%5,240
1
4
110
kk maka 8 diterima
Penggunaan distribusi normal untuk mengetahui factor bobot
Dalam N buah hasil pengukuran yang berasal dari distribusi induk Gaussian. Keboleh
jadian memperoleh hasil pengukuran Xi adalah (persamaan 2.14)
2
2
1exp
2
1
i
i
i
i
XXP
dengan adalah nilai rata-rata populasi (tidak diketahui). Jika adalah nilai rata-rata dari
hasil eksperimen, maka dihipotesakan distribusi induk dengan nilai rata-rata dan deviasi
standar , maka kebolehjadian mendapatkan hasil ukur Xi adalah :
2
'
2
1exp
2
1
i
i
i
i
XXP
(2.17)
Kebolehjadian mendapatkan suatu set pengukuran yang terdiri dari X 1, X2, XN adalah
i
N
iPP
1
2
1
'
2
1exp
2
1
i
i
i
N
i
XP
Kebolehjadian ini akan berharga maksimum jika
26
2
1
1 '
2
1
Xadalah minimum (2.18)
Atau 0'
d
d
0'
2
i
iX
0'22
ii
X
2
2
1
'
i
i
iX
(2.19)
Dari rumus perambatan ralat
2
2 ''
i
iX
2
2
2
2
1
1
1
'
i
i
i
i
i
ii
X
XX
maka
2
2
2
2
2
2
2
22
'
1
1
1
1
i
i
i
i
i
2
2
'
1
1
i
(2.20)
i
i
w2
1
disebut factor bobot
Jika deviasi masing-masing pengukuran sama besar, maka besarnya factor bobot masing-
masing pengukuran adalah sama
27
Nw
Nw
Xw
ww
i
i
1
'
'
(2.21)
Dari penjelasan di atas dapat kita lihat bahwa makin kecil standar deviasi, makin besar factor
bobot, yang berarti pula kebolehjadian untuk suatu hasil pengukuran akan berharga
maksimum.
2.2. DISTRIBUSI NORMAL DAN UJI HIPOTESIS
2.2.1. Menguji Rata-Rata : uji dua pihak
Misal kita mempunyai sebuah populasi yang berdistribusi normal dengan rata-rata
dan simpangan baku . Kita akan menguji parameter rata-rata . Untuk ini kita ambil sample
acak berukuran n, lalu kita lakukan hitung statistik X dan . Untuk keperluan uji rata-rata
ini kita bedakan hal-hal sebagai berikut:
a) Jika diketahui
Pasangan hipotesis : H0 : = 0
H1 : 0
Dengan 0 adalah sebuah harga yang diketahui. Untuk pengetesan hipotesis digunakan
statistik
n
XZ o
(2.22)
Statistik z ini berdistribusi normal baku, sehingga untuk menentukan criteria pengujian,
digunakan daftar distribusi normal baku. H0 kita terima jika -z1/2(1-) < z < z1/2(1-)
Dengan z1/2(1-) diperoleh dari daftar normal baku dengan peluang 1/2(1-). Dalam hal
lainnya H0 ditolak.
Contoh 2.8
Suatu perusahaan membutuhkan fiber dengan daya patah normal 150 psi. Pengalaman
sebelumnya menunjukkan bahwa simpangan baku daya patah fiber merk X adalah 3 psi.
Sebelum menggunakan fiber merk X, dilakukan empat kali eksperimen secara acak, dan
28
diobservasi. Ternyata daya patah rata-ratanya adalah 148 psi. Dengan = 0,05 (taraf
kepercayaan 95 %), diterimakah fiber merk X tadi ?
Penyelesaian
Diketahui : X = 148 psi
o = 150 psi
= 3 psi
n = 4
Perumusan hipotesis : 150: oH
150:1 H
Ditentukan = 0,05 ; z1/2(1-) = Z0,475 = 1,960 (table harga Z)
Terima Ho jika -1,960
29
Contoh 2.9
Perusahaan OHP mengatakan bahwa lampunya dapat tahan pakai sampai 800 jam.
Akhir-akhir ini timbul dugaan bahwa masa pakai lampu tersebut berubah. Untuk
menentukan hal ini dilakukan penelitian dengan jalan menguji 50 lampu. Ternyata rata-
ratanya adalah 792 jam, dari sample diperoleh s = 55 jam. Selidikah dengan taraf nyata
0,05, apakah kualitas lampu itu telah berubah atau belum.
Penyelesaiaan
Diketahui
X = 792
8000
s = 55
n = 50
Dengan menerapkan persamaan (2.23) maka diperoleh 029,15055
800792
t
Dari daftar distribusi Student, dengan = 0,05 dan dk = 49 untuk uji dua pikak didapat t0,975 =
2,01. Kriteria pengujian terima H0 jika t terletak anatata 2,01 dan 2,01 sedangkan dalam han
lainnya H0 ditolak. Jadi dalam taraf nyata 0,05, penelitian menunjukkan bahwa masa pakai
lampu masih sekitar 800 jam, belum berubah.
2.2.2. Menguji Kesamaan Dua Rata-Rata : uji dua pihak
Banyak penelitian yang memerlukan perbandingan antara dua keadaan atau dua
populasi. Misal perbandingan produk dua cara produksi, kelenturan dua macam batang baja,
daya rekat dua macam lem dan sebagainya. Untuk keperluan ini akan digunakan dasar
distribusi sampling mengenai selisih statistik, missal selisih rata-rata dan selisih proporsi.
Misal kita mempunyai dua populasi normal, masing-masing dengan rata-rata 1 dan 2
sedangkan simpangan bakunya 1 dan 2. Secara independen dari populasi pertama diambil
sample acak berukuran n1, sedangkan dari populasi kedua sample acak berukuran n2. Dari
kedua sample ini diperoleh 11, sX dan 22 ,sX . Akan diuji tentang rata-rata 1 dan 2
Pasangan hipotesis nol dan tandingannya adalah :
H0 : 1 = 2
H1 : 1 2
30
Untuk ini kita bedakan hal-hal sebagai berikut :
a). 1 = 2 = dan diketahui
Statistik yang digunakan jika H0 benar adalah
21
21
11
nn
XXz
(2.24)
Dengan taraf nyata , maka criteria pengujian adalah : terima H0 jika -z1/2(1-) < z < z1/2(1-)
Dengan z1/2(1-) diperoleh dari daftar normal baku dengan peluang 1/2(1-). Dalam hal
lainnya H0 ditolak.
Contoh 2.10
Dua tipe plastik diperkirakan cocok digunakan oleh suatu pabrik elektronik. Untuk ini
daya patah plastik perlu diketahui. Diketahui bahwa 1 = 2 = 1,0 psi. dari sample yang
diambil secara acak n1 = 10 dan n2 = 12 diperoleh X1 = 162,5 psi dan X2 = 155,0 psi.
Perusahaan menentukan bahwa tidak akan mengambil plastik 1 jika daya patahnya tidak
melebihi plastik 2 paling tidak 10 psi. Berdasarkan informasi dari sample, apakah
perusahaan mengambil plastik 1 (gunakan taraf kepercayaan 99 %)
Penyelesaian
Diketahui : 1 = 162,5 psi n1 = 10
2 = 155,0 psi n2 = 12
1 = 2 = 1,0 psi
Perumusan hipotesis :
psiH
psiHo
10:
10:
211
21
Kriteria penerimaan H0, terima H0 jika -z1/2(1-) < z < z1/2(1-)
Dari table
57,2495,001,01
2
1
ZZ
839,5
12
1
10
1
105,7
110,1
10
21
21
nn
yyZo
Ternyata 495,0ZZ , jadi Ho ditolak, berarti dengan = 0,01, pengusaha pabrik tidak
menggunakan plastik jenis 1.
31
b). 1 = 2 = tetapi tidak diketahui
Dalam banyak hal jarang sekali 1 dan 2 diketahui besarnya. Untuk hal yang demikian
statistik yang digunakan jika H0 benar adalah
21
21
11
nns
XXt
p
(2.25)
Dengan
2
11
21
2
22
2
112
nn
snsnsp (2.26)
Dengan s1 dan s2 adalah varians sample pertama dan kedua
1
)( 22
n
XXis
Statistik t di atas (Persamaan 2.25) berdistribusi student dengan dk = (n1 + n2 2). Kriteria
pengujian adalah : terima H0 jika t(1- ) < t < t(1- ) . dengan t(1- ) diperoleh dari
daftar distribusi t dengan dk = (n1 + n2 2) dan peluang (1- ) . Untuk harga-harga t
lainnya H0 ditolak.
Contoh 2.11
Kekuatan tegangan ikat dari semen adalah karakteristik yang penting dari suatu produk
semen. Seorang peneliti tertarik untuk membandingkan kekuatan tegangan ikat dari
formula yang telah dimodifikasi dengan suatu cara, dengan formula yang belum
dimodifikasi. Peneliti mengadakan 10 penyelidikan untuk formula yang telah
dimodifikasi dan 10 untuk formula yang belum dimodifikasi. Pada Tabel 2.1. kita lihat
dua perbedaan hasil pengukuran sebagai akibat dua perlakuan. Apakah tegangan ikat dari
dua macam semen tersebut berbeda ?. Gunakan 05,0
Tabel 2.1. Data hasil pengukuran kekuatan tegangan ikat dari dua macam formula semen
J Formula yang telah dimodifikasi
(X1j)
Formula yang belum dimodifikasi
(X2j)
1 16,85 17,50
2 16,40 17,63
3 17,21 18,25
4 16,35 18,00
5 16,52 17,86
32
6 17,04 17,75
7 16,96 18,22
8 17,15 17,90
9 16,59 17,96
10 16,57 18,15
Penyelesaian:
Dalam permasalahan di atas peneliti akan menolah H0 jika mean salah satu populasi lebih
besar dari pada mean populasi yang lain. Jadi pasangan hipotesisnya adalah
Hipotesis nol H0 : 1 = 2
Hipotesis alternatif H1 : 1 >2
terima H0 jika t(1- ) < t < t(1- )
Dari Tabel 2.1. kita peroleh
Formula yang telah dimodifikasi : 1X = 16,76 kgf/cm2
S12 = 0,100
S1 = 0,316
n1 = 10
Formula yang belum dimodifikasi : 2X = 17,92 kgf/cm2
S22 = 0,061
S2 = 0,247
n2 = 10
Dan
2
11
21
2
22
2
112
nn
snsnsp
081,0
21010
)051,0(9)100,0(9
Sp = 0,284
Selanjutnya dihitung tes statistik dengan persamaan (2.25)
21
21
11
nns
XXt
p
33
13,9
10
1
10
1284,0
92,1776,16
Dengan derajat kebebasan (n1+n2-2) =18 maka t(1- ) = t0,975 = 2,10. Jadi karena
10,213,9 975,00 tt maka kita menolak H0. Artinya kekuatan tegangan ikat dua macam
produk semen adalah berbeda.
c) 1 2 dan keduanya tidak diketahui
Jika kedua simpangan baku tidak sama, tetapi kedua populasi berdistribusi normal,
sampai sekarang belum ada statistik yang tepat yang dapat digunakan. Pendekatan yang cukup
memuaskan adalah dengan menggunakan statistik t sebagai berikut :
2
2
2
1
2
1
21'
n
S
n
S
XXt
(2.27)
Kriteria pengujian adalah : terima H0 jika
-21
2211
21
2211 'ww
twtwt
ww
twtw
(2.28)
Dengan 1
2
11
n
sw dan
2
2
22
n
sw
1.
2111 1
n
tt
1.
2112 2
n
tt
mt , diperoleh dari daftar distribusi Student dengan peluang dan dk = (n-1) Untuk harga-
harga t yang lain, H0 ditolak.
Contoh 2.12
Semacam barang dihasilkan dengan menggunakan dua proses. Ingin diketahui apakah dua
proses itu menghasilkan hal yang sama atau tidak terhadap kualitas barang itu ditinjau dari
rata-rata daya tekannya. Untuk itu diadakan percobaan sebanyak 20 kali terhadap hasil
proses pertama dan 20 kali pula terhadap hasil proses kedua. Rata-rat dan simpangan
34
bakunya berturut-turut adalah 1X = 9,25 kg, s1 = 2,24 kg 2X = 10,40 kg, s2 = 3,12 kg.
Dengan taraf nyata 0,05, selidikilah hasilnya !
Penyelesaian
Hipotesis H0 dan tandingannya H1 adalah
H0 : 1 = 2 ; kedua proses menghasilkan barang dengan rata-rata daya tekan yang sama
H1 : 1 2 ; kedua proses menghasilkan barang dengan rata-rata daya tekan yang berbeda
Uji statistiknya adalah
339,1
20
7344,9
20
0176,5
4,1025,9'
t
2509,0
20
0176,51 w
; 4867,0
20
7344,92 w
09,219,975,01 tt dan
09,219,975,02 tt
Sehingga
09,2
4867,02509,0
09,24867,009,22509,0
21
2211
ww
twtw
Kriteria pengujian adalah : Terima H0 jika 2,09
35
H1 : 2 0
2
Untuk pengujian digunakan statistik Chi-kuadrat
2
0
22 1
sn (2.29)
Jika dalam pengujian digunakan taraf nyata , maka criteria pengujian adalah : Terima H0
jika 2
1122
21
2 dengan
211
2
21
2dan di[peroleh dari daftar distribusi Chi-
kuadrat dengan dk = (n-1) dan masing-masing dengan peluang dan (1 ). Dalam hal
lainnya H0 ditolak.
Contoh 2.13
Simpangan baku dari massa hidup lampu yang diproduksi oleh suatu pabrik X adalah =
60 jam. Dengan sample berukuran 50 diperoleh s = 55 jam. Jika massa hidup lampu
berdistribusi normal, benarkah = 60 jam dalam taraf nyata = 0,05 ?
Penyelesaian
Untuk menyelidiki benar atau tidaknya harga ini, maka kita berhadapan dengan pasangan
hipotesis
H0 : 2
= 3600 jam
H1 : 2 3600 jam
Dengan persamaan (2.29) dan n = 50 ; s2 = 3025, maka
174,41
3600
30251502
Dengan dk = 49 dan peluang 0,025 dan 0,975, dari daftar distribusi Chi- kuadrat berturut-turut
didapatkan 025.02 = 32,4 dan 975,02 = 71,4
Kriteria pengujian : Terima H0 jika 2 antara 32,4 dan 71,4. Untuk harga harga
lainnya H0 ditolak. Dari perhitungan harga 2 = 41,174, harga ini terletak antara 32,4 dan
71,4 maka hipotesis diterima. Kesimpulan = 60 jam dapat diterima dengan resiko 5% akan
terjadinya penolakan hipotesis.
2.3.2. Uji Satu Pihak
Dalam kenyataan, sering sekali dikehendaki varians yang berharga kecil. Untuk ini
pengujian yang diperlukan merupakan uji pihak kanan
36
H0 : 2
= 02
H1 : 2 > 0
2
Statistik yang digunakan adalah tetap 2 dengan persamaan (2.29). Kriteria pengujian
dalam hal ini adalah : Tolak H0 jika 2 2 1- , dan
2 1- diperoleh dari daftar Chi-kuadrat
dengan dk = (n-1) dan peluang (1-). Dalam hal lainnya H0 diterima.
Jika hipotesis nol dan tandingannya menyebabkan uji pihak kiri, maka pasangan
hipotesis tersebut adalah
H0 : 2
= 02
H1 : 2 < 0
2
Maka criteria pengujiannya adalah sebaliknya, yaitu tolak H0 jika 2 12 , dan
12 diperoleh dari daftar Chi-kuadrat dengan dk = (n-1) dan peluang . Dalam hal lainnya
H0 diterima.
Contoh 2.14
Proses pengisian suatu jenis makanan kedalam kemasan plastik oleh mesin, paling tinggi
mempunyai varians 0,50 g. Akhir-akhir ini ada dugaan bahwa isi kemasan telah
mempunyai variabilitas yang lebih besar. Setelah diteliti 20 kemasan dan isinya
ditimbang. Ternyata sample ini menghasilkan simpangan baku 0,90 g dengan = 0,05.
Perlukah mesin pengisi distel ?
Penyelesaian
Pengujian yang akan dilakukan adalah mengenai
H0 : 2 = 0,50
H1 : 2 > 0,50
Dengan s2 = 0,81 dan n = 20 serta 2 = 0,50, maka dengan persamaan (2.29)
diperoleh
78,30
50,0
81,01202
Dari daftar Chi-kudrat dengan dk = 19 dan peluang 0,95 diperoleh 95,02 = 30,1
Karena Chi-kuadrat dari penelitian lebih besar dari 30,1 maka H0 ditolak pada taraf 5%. Ini
berarti bahwa variasi isi kemasan telah menjadi lebih besar, sehingga dianjurkan untuk
menyetel kembali mesin agar mendapatkan pengisian yang lebih merata.
37
2.2.3. Menguji Kesamaan Dua Varians
Ketika menaksir selisih rata-rata dan menguji kesamaan dua rata-rata, kita mempunyai
asumsi bahwa kedua populasi mempunyai varians yang sama. Jika varians berbeda, sampai
saat ini hanya digunakan cara-cara pendekatan. Oleh karena itu dirasa perlu untuk melakukan
pengujian mengenai kesamaan dua varians atau lebih. Populasi dengan varians yang sama
besar dinamakan populasi dengan varians homogen. Dalam hal lainnya disebut populasi
dengan varians heterogen.
Misal kita mempunyai dua populasi normal dengan varians 12
dan 22 . Jika kita
akan menguji kesamaan dua varians tersebut (uji dua pihak), maka pasangan hipotesis H0 dan
tandingannya H1 adalah
H0 : 12
= 22
H1 : 12 2
2
Berdasarkan sample acak yang diambil secara independen dari masing-masing populasi,
sample dari populasi kesatu berukuran n1 dan dengan varians s12 dan sample dari populasi
kedua berukuran n2 dan dengan varians s22, maka untuk menguji hipotesis digunakan
persamaan
2
2
2
1
s
sF (2.30)
Kriteria pengujian adalah : terima H0 jika 1,12
111211
nnn FFF untuk taraf nyata ,
dengan F(m,n) didapat dari daftar distribusi F dengan peluang , dk pembilang = m dan dk
penyebut =n. Dalam hal lainnya H0 ditolak.
Contoh 2.15
Ada dua macam cara pengukuran kelembaban udara. Cara pertama dilakukan 10 kali
pengukuran dengn s2 = 24,7 dan dengan cara kedua dilakukan 13 kali dengan s
2 = 37,2.
Dengan = 0,01 tentukan apakah kedua cara pengukuran tersebut mempunyai varians
yang homogen ?
Penyelesaian
Dengan persamaan (2.30) diperoleh
506,14,27
2,37F
38
Derajat kebebasan untuk pembilang = 12 dan untuk penyebut = 9. Dengan = 0,01dari daftar
distribusi F di dapat F0,005 (12,9) = 3,07
Dari penelitian didapat F = 1,506 dan ini lebih kecil dari 3,07. Jadi H0 : 12 = 2
2
Diterima dan H1 : 12 2
2 ditolak. Atau kedua cara pengukuran dapat dikatakan mempunyai
varians yang sama.
Jika pengujian yang dihadapi merupakan uji satu pihak, yaitu uji pihak kanan, maka
hipotesis nol dan tandingannya adalah
H0 : 12
= 22
H1 : 12 > 2
2
Statistik yang digunakan sama dengan persamaan (2.30)
Untuk uji pihak kanan, criteria pengujian adalah : tolak H0 jika 1,1 21 nnFF sedangkan
untuk uji pihak kiri,
H0 : 12
= 22
H1 : 12 < 2
2
Kriteria pengujiannya adalah tolak H0 jika 1,11 21 nnFF . Dalam hal lainnya H0 diterima.
Contoh 2.16
Penelitian terhadap dua mesin pengisi minuman botol menghasilkan s12 = 25,4 cc dan s2
2
= 30,7 cc. Sampel yang diambil berukuran 13. Ada anggapan bahwa pengisian dengan
mesin pertama mempunyai variabilitas yang lebih kecil. Betulkah hal tersebut ?
Penyelesaian
Hipotesis yang akan diuji adalah
H0 : 12
= 22
H1 : 12 > 2
2
Dengan persamaan (2.30) diperoleh
21,14,25
7,30F
39
Dari daftar distribusi F didapat F0,05(12,12) = 2,69. Karena 1,21 < 2,69, maka dalam taraf nyata
0,05 H0 kita terima. Atau cara pengisian mesin kesatu mempunyai variabilitas yang sama
dengan mesin kedua.
SOAL-SOAL
1. Dalam suatu eksperimen dilakukan 15 kali pengukuran terhadap suatu besaran, rata-rata
hasil adalah x = 7 dengan deviasi standar sama dengan 2. Jika salah satu hasil adalah x1 =
9, ditolak atau diterimakah hasil pengukuran x1 tersebut ?
2 Sejenis alat laboratorium sekolah mempunyai kebolehjadian untuk memenuhi syarat
yang ditentukan oleh pengawas sekolah. Kini ada 4 alat seperti itu yang diperiksa
persyaratannya.
Berapa kebolehjadian bahwa jumlah alat yang memenuhi syarat adalah :
a) tidak ada
b) 2
3. Sepuluh % dari semacam batuan tergolong kedalam katagori A. Sebuah sample berukuran
30 telah diambil secara acak. Berapa peluang sample tersebut berisikan batuan berkatagori
A:
a. semuanya
b. sebuah
c. dua buah
d. paling sedikit sebuah
e. paling banyak dua buah
f. tentukan rata-rata terdapatnya katagori A
4. Hasil pengukuran panjang suatu benda adalah : 45, 48, 44, 38, 45, 47, 52, 44, 46, 45 cm.
Selidikilah apakah ada data yang harus ditolak atau tidak ?
5. Diameter pipa baja yang dihasilkan oleh suatu pabrik mempunyai simpangan baku =
0,0001 inc. Dari 10 sampel yang diambil secara acak, diperoleh diameter rata-rata 0,2545
inc. Ujilah hipotesis yang menyatakan bahwa mean diameter pipa adalah 0,255 inc.
Gunakan = 0,05.
40
6. Waktu layak konsumsi dari suatu minuman adalah suatu criteria yang penting. 10 botol
yang diambil secara acak di tes, hasilnya adalah sebagai berikut :
Hari
108 138
124 163
124 159
106 134
115 139
Jika hipotesis alternatif adalah mean waktu layak konsumsi lebih besar dari 125 hari,
dapatkah hipotesis nol H0 = = 125 hari ditolak ? Gunakan waktu layak konsumsi yang
benar mempunyai interval kepercayaan 95 %
7. Waktu pakai peralatan elektronik merupakan variable yang terdistribusi normal diukur
dalam jam. Waktu pakai dari 16 peralatan yang dipilih secara acak, adalah sebagai
berikut :
Jam
159 280 101 212
224 379 179 264
222 362 168 250
149 260 485 170
Benarkah mean waktu pakai lebih besar dari 225 jam ?. Tentukan interval kepercayaan
mean waktu pakai yang benar 95%.
8.Dua buah mesin digunakan untuk mengisi botol plastik yang bervolume netto masing-
masing 16. Proses pengisian dianggap normal dengan standart deviasi masing-masing 1
= 0,015 dan 2 = 0,018. Balai Peneraan mempunyai assumsi bahwa dua mesin tersebut
mengisi dengan volume netto yang sama. Apakah assumsi Balai Peneraan tersebut benar
?. Sampel yang diambil secara acak merupakan hasil pengukuran volume sari pengisian
masing-masing mesin.
41
Mesin 1 Mesin 2
16,03 16,01 16,02 16,03
16,04 15,96 15,97 16,04
16,05 15,98 15,96 16,02
16,05 16,02 16,01 16,01
16,02 15,99 15,99 16,00
9. Berikut ini adalah waktu nyala dua jenis lilin yang berbeda merk yang dinyatakan dalam
menit
Jenis 1 Jenis 2
65 82 64 56
81 67 71 69
57 59 83 74
66 75 59 82
82 70 65 79
a. Ujilah hipotesis yang menyatakan bahwa dua varians adalah sama. Gunakan = 0,05
b. Berdasarkan hasil a, ujilah bahwa mean waktu nyala dua jenis lilin tersebut adalah
sama.
10. Diameter sebuah bola diukur oleh 12 orang yang masing-masing menggunakan dua
macam spherometer. Hasil pengukurannya adalah sebagai berikut
Spherometer 1 Spherometer 2
0,265 0,264
0,265 0,265
0,266 0,266
0,267 0,267
0,267 0,268
0,225 0,264
0,267 0,265
0,267 0,265
0,265 0,267
0,268 0,268
0,268 0,269
0,265 0,264
Apakah ada perbedaan antara dua mean dari populasi pengukuran yang dilakukan dengan
dua alat tersebut ? Gunakan = 0,05
42
DAFTAR PUSTAKA
Abdulrahman Ritongga, 1993. Statistik Terapan untuk Penelitian, Jakarta : FE. UI
Bevington, Philip R, 1992. Data Reduction And Error Analysis for the Physical Sciences.
New York : Mc Graw Hill.
Douglas c. Montgomery. 1984. Design And Analysis Of Experiments. New York : John
Willey and Sons
Ernest Rabinowicz. 1970. An Introduction To Experimentation. Massachusetts: Addison-
Wesley Publishing Company
Kusminarto, Dr. 1993. Metode Fisika Eksperimen. Yogyakarta : Fakultas Matematika Dan
Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Gadjah Mada
Sudjana, Prof, Dr, MA, MSc. 1996. Metoda Statistika (edisi ke enam). Bandung : Penerbit
Tarsito