2

수리 역(가형)

2 8

5. 집합 일 때, ∣ ∈ ∈를 함수 → 의 그래프로 정의한다. 역함수가 존재하는 함수 의 그래프를 <보기>에서 모두 고르면? [3점]

보 기ㄱ. ㄴ. ㄷ.

① ㄱ② ㄷ③ ㄱ, ㄴ④ ㄴ, ㄷ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

6. 의 가수를 이라 할 때,의 값은? [3점]

① ② ③ ④ ⑤

7. 다음은 거듭제곱근에 대한 수업 장면의 일부이다.교사 : 제곱하여 2가 되는 수를 모두 말해보세요.학생 : (가) 가 있습니다.교사 : 맞습니다. 그러면 세제곱하여 이 되는 수는 무엇이 있나요?학생 : 가 있습니다.교사 : 물론 실수인 것은 뿐이지만 복소수 범위까지 확장하면

세제곱하여 이 되는 수는 와 (나) 가 있습니다.⋮

교사 : 실수 범위에서 음수의 세제곱근은 항상 (다) 개가 있고,음수의 네제곱근은 없습니다.

이 장면에서 (가)~(다)에 알맞은 것을 바르게 짝지은 것은? (단, ) [3점]

(가) (나) (다)① ±

② ±

③ ± ±

④ ± ±

⑤ ± ±

8. 모든 실수 에 대하여 가 정의되기 위한 정수 의 값들의 합은? [3점]

① ② ③ ④ ⑤

3수리 역(가형)

3 8

9. 역행렬이 존재하는 행렬

에 대하여 함수 , 를 , 로 정의한다. , 일 때, 의 값은? (단, 는 의 역행렬이다.) [3점]

①

②

③

④

⑤

10. 그림과 같이 가로의 길이가 , 세로의 길이가 인 직사각형 가 원 에 내접하고 있다. 두 선분 , 가 축의 양의 방향과 이루는 각의 크기를 각각 , 라 할 때, 의 값은? (단, 선분 는 축과 평행하다.) [3점]

①

②

③

④

⑤

11. 조건 가 조건 이기 위한 필요조건이지만 충분조건이 아닌 것을 <보기>에서 모두 고르면? (단, , 는 실수이다.) [3점]

보 기ㄱ. 이고 ㄴ.

ㄷ. 이고

① ㄱ② ㄴ③ ㄱ, ㄷ④ ㄴ, ㄷ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

12. 이 아닌 모든 실수 에 대하여 정의된 함수 가

를 만족할 때, 의 값은? [4점]

① ② ③ ④ ⑤

4

수리 역(가형)

4 8

13. 그림과 같이 가로의 길이가 , 세로의 길이가 인 직사각형 가 있다. 변 의 중점을 , 변 위의 임의의 점을 , 변 위의 임의의 점을 , 변 를 로 내분하는 점을 라 하자. 이때, 의 길이의 최솟값은? [3점]

① ② ③ ④ ⑤

14. 다음은 자연수 에 대하여 이 무리수임을 증명한 것이다.[증명] 이 (가) 라고 가정하면

(, 는 서로소인 자연수)이다. 이므로 은 로 나누어 떨어진다., 는 서로소이므로 (나) 이다. ∴ 여기에서 이므로, 자연수 에 대하여(i) 일 때, (다) 을 만족하는 자연수 이 존재하지 않고,

(ii) 일 때, (다) 을 만족하는 자연수 이 존재하지 않는다.(i)과 (ii)에 의해서 보다 큰 자연수 는 존재하지 않는다.따라서 이 (가) 라는 가정에 모순이다.그러므로 은 무리수이다.이 증명에서 (가)~(다)에 알맞은 것을 바르게 짝지은 것은? [4점]

(가) (나) (다)① 유리수

② 유리수

③ 유리수

④ 무리수

⑤ 무리수

15. 물 를 담을 수 있는 같은 크기의 두 병 , 에 각각 물 , 가 들어 있다. 에 들어있는 물의

을 에 옮겨 담은 후, 에 들어있는 물의

을 다시 로 옮겨 담았더니 , 에 들어있는 물의 양이 각각 , 가 되었다. 물의 양 , , , 사이의 관계는

과 같이 행렬을

사용하여 나타낼 수 있다. 이때, 의 값은?(단, , ) [3점]

①

②

③

④

⑤

16. 이차정사각행렬 에 대하여 항상 옳은 것을 <보기>에서 모두 고르면? (단, 는 영행렬, 는 단위행렬, 는 의 역행렬이다.)

[4점]보 기

ㄱ. 이면 이다.ㄴ. 이면 는 역행렬을 갖는다.ㄷ. 이면 ⋯ 이다.

① ㄱ② ㄴ③ ㄱ, ㄷ④ ㄴ, ㄷ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

5수리 역(가형)

5 8

17. 다음은 자연수 에 대하여 ⋯ 이 로 나누어 떨어짐을 증명한 것이다.

[증명]

(가) ⋯

이므로, 은 (가) 의 배수이다.이를 이용하면 ⋯ ⋯ 이므로 ⋯ 은 (나) 의 배수이다.또한 ⋯ ⋯ 이므로 ⋯ 은 (다) 의 배수이다.따라서 ⋯ 은 로 나누어 떨어진다.이 증명에서 (가)~(다)에 알맞은 것을 바르게 짝지은 것은? [4점]

(가) (나) (다)①

②

③

④

⑤

18. 행렬

에 대하여, 의 역행렬이 존재하지 않도록 하는 실수 값들의 곱은? (단, 는 단위행렬이다.) [3점]

① ② ③ ④ ⑤

19. 다음은 어떤 금고를 여는 방법이다.Ⅰ. 금고에 다섯 개의 버튼 , , , , 만 있다.Ⅱ. 아래 그림의 맨 위에서부터 시작하여 각 단계에서 제시된 명제

가 참이면 , 거짓이면 이 가리키는 방향으로 화살표를 따라 맨 아래 수까지 내려간다.

Ⅲ. 금고 버튼에 있는 숫자 중 두 수의 합이 위의 Ⅱ에서 도달한 수와 같아지도록 순서에 관계없이 버튼 두개를 누르면 금고가 열린다.

이 문구에 적힌 방법으로 금고를 열기 위해서 눌러야 할 두 개의 버튼은? (단, , , 는 이 아닌 양의 실수이다.) [4점]

① , ② , ③ , ④ , ⑤ ,

6

수리 역(가형)

6 8

20. 그림과 같이 어떤 컴퓨터 프로그램은 에 함수식을 입력하면 그래프를 좌표평면에 그려낸다. 버튼을 누르면 직선 에 대한 대칭이동, 버튼을 누르면 축의 양의 방향으로 만큼 평행이동, 버튼을 누르면 축에 대해 대칭이동이 되어진 그래프가 화면에 그려진다.

에 함수식 을 입력한 후, → → 버튼의 순서로 한 번씩 눌렀을 때 화면에

그려진 그래프는? [4점]

①

②

③

④

⑤

21. 다항식 를 로 나눈 나머지는 이고, 로 나눈 나머지는 , 으로 나눈 나머지는 이다.∘를 으로 나눈 나머지를 라 할 때, 의 값은? [4점]

①

②

③

④

⑤

단답형

22. 점 을 지나는 함수 의 그래프가 을

점근선으로 갖는다. 이때, 의 값을 구하시오. (단, , 는 실수이다.)[3점]

7수리 역(가형)

7 8

23. 두 집합 , 가

, 는 실수,

, 은 양의 실수이고, 집합 는 이외의 원소를 갖는다고 하자. ∩의 원소의 개수가 한 개일 때, 의 값을 구하시오. [4점]

24. 두 집합 ≦ ,

에 대하여 ⊂ , ∩∪ 를 만족하는 집합 는 ≦ ≦ 이다. 의 최댓값을 , 최솟값을 이라 할 때, 두 수의 합 의 값을 구하시오. [3점]

25. 서로 다른 개의 수가 있다. 가장 작은 수를 제외한 개의 수의 평균은 이고, 가장 큰 수를 제외한 개의 수의 평균은 이다. 가장 작은 수와 가장 큰 수의 합이 일 때, 개의 수의 평균을 구하시오. [4점]

26. 그림과 같이 원 은 원점 를 중심으로 하고, 점 을 지난다. 원 는 직선 위의 점 를 중심으로 하고, 원 에 내접하며 축 위의 점 에서 축에 접한다. 삼각형 의 넓이를

라 할 때, 의 값을 구하시오. (단, , 는 서로소인 자연수이다.) [4점]

8

수리 역(가형)

8 8

27. 집합 ⋯ 의 임의의 원소 , 에 대하여 두 연산 ⊕ , ⊗을 각각 다음과 같이 정의한다.

⊕ ( 를 로 나눈 나머지 )⊗ ( ×를 로 나눈 나머지 )

이때, ⊗⊕ 을 만족하는 의 값을 구하시오. [3점]

28. 자연수 을 이진법의 수로 나타내면 자리의 수가 되고, 십진법의 수로 나타내면 자리의 수가 된다. 이때, 의 값을 구하시오.

(단, ) [4점]

29. 점 가 집합 ≦ ≦ 의 원소일 때, 점 가 나타내는 도형의 넓이를 라 하자. 이때, 의 값을 구하시오. [4점]

30. 그림과 같이 갑이 탄 배는 해변 지점에서 출발하여 떨어진 등대 지점을 향해 속력 분으로 직선 경로를 따라서 항해하고, 을이 탄 배는 섬 지점에서 출발하여 떨어진 지점을 향해 속력 분으로 직선 경로를 따라서 항해하고 있다. 동시에 출발한 갑, 을이 탄 두 배가 지나는 지점을 잇는 선분이 지점과 지점을 잇는 선분과 평행이 되는 순간의 두 배 사이의 거리는 이다. 이때, 의 값을 구하시오. (단, ∠

이고, 두 배의 크기는 무시한다.) [4점]

※ 확인사항

○ 문제지와 답안지의 해당란을 정확히 기입(표기)했는지 확인

하시오.