2 Ekonometrické modelovanie - fsi.uniza.skfsi.uniza.sk/kkm/old/publikacie/ek/ek_kap_2.pdf · 30 Ekonometria pre manažérov Ak prebytky hrubej produkcie tvoria stĺpcovú maticu

2 Ekonometrické modelovanie 25 __________________________________________________________________________________________ 2 Ekonometrické modelovanie

Na začiatok tejto kapitoly bude vhodné urobiť stručný prehľad o možnostiach využitia matematických modelov v ekonomike. Nebudeme však uvádzať všeobecné uplatňovanie matematiky, štatistiky a iných numerických metód v ekonomike tak ako sme to už uviedli, ale sústredíme sa iba na ekonomicko – matematické modely. 2.1 Matematické modelovanie

Podľa publikácie [24] sa ekonomicko – matematické modely rozdeľujú podľa nasledujúcich kritérií:

a) podľa tvaru matematického modelu, b) podľa povahy modelového súboru.

Do prvej skupiny sa zaraďujú modely, ktoré pre danú problematiku využívajú štandardné

matematické metódy. Do tejto skupiny patria:

a) matematické programovanie, b) štrukturálna analýza, c) graficko – analytické modely, d) teória hier a pod.

Do druhej skupiny sa zaraďujú modely, ktoré majú aplikačný charakter a ktoré pre

riešenie svojich úloh využívajú teoreticky rozpracované matematické modely. Ide predovšetkým o takéto modely:

e) teórie hromadnej obsluhy (teória front), f) teória zásob, g) teória obnovy, h) teória obchodného cestujúceho a pod.

Stručne popíšeme základné charakteristiky uvedených modelov.

A. Matematické programovanie umožňuje nájsť optimálne (extrémne) riešenie problému

za predpokladu, že

- existuje viac ako jedno možné riešenie, - existuje konečný počet obmedzujúcich podmienok, - je zadané optimalizačné kritérium, podľa ktorého sa jednotlivé riešenia hodnotia.

U matematického programovania ide o vyhľadávanie extrémnej, t.j. maximálnej alebo minimálnej hodnoty funkcie n premenných, ktorá sa môže označiť ako x = (x1, x2, …, xn) a považovať sa za vektor.

26 Ekonometria pre manažérov __________________________________________________________________________________________

)

Hodnota extremizovanej hodnoty varianty x je funkciou tejto varianty a označuje sa ako

(2.1) ,...,,( 21 nxxxf alebo v krátkosti f(x), pričom premenné x1 ,x2 , …,xn zostávajú v oblasti, ktorá je vymedzená sústavou nerovníc

ini bxxxq ≤),....,( 21 (i=1,2….,m) (2.2)

jx 0≥ (j=1,2,…,n) kde qi sú známe premenné, bi sú konštanty a tvoria podmienky, ktoré musí varianta splniť, aby bola prípustná. Podmienka nezápornosti vyplýva z ekonomickej interpretácie matematického modelu, ktorá nepripúšťa interpretáciu zápornú, negatívnu. Úloha nájsť extrém funkcie (2.1) pri podmienkach (2.2) sa nazýva úlohou matematického programovania. Funkcia (2.1) sa nazýva účelovou funkciou úlohy. Množina všetkých x, ktorá splňuje podmienky (2.2) sa nazýva množinou prípustných riešení. Z matematického hľadiska ide o vyhľadanie extrémnej hodnoty funkcie za daných podmienok. V matematickej analýze sa otázkou vyhľadávania extrémnej funkcie na množine, ktorá je ohraničená sústavou rovníc, zaoberá tzv. metóda Lagrangeových multiplikátorov a označuje sa tvarom ml,=i . Vzhľadom na zložitosť výpočtu je použitie týchto multiplikátorov pri riešení matematického programovania s ekonomickou interpretáciou obmedzené a prakticky sa nepoužíva.

Všeobecne pod pojmom matematické programovanie sa teda rozumie využitie nástrojov matematickej analýzy pre riešenie programovateľných úloh, ktoré vyžadujú vyhľadať riešenie „najlepšie“, „najvýhodnejšie“, teda optimálne. Využitím matematickej analýzy sa dospeje k riešeniu extrémnemu, t.j. takému, že za daných podmienok sa už nemôže nájsť ďalší extrém, nemôže sa nájsť „lepšie“ riešenie. Takéto extrémne riešenia sa potom nazývajú optimálnymi. Nájdené optimálne riešenie však nemusí zodpovedať a v praxi ani nemôže vždy zodpovedať riešeniam, ktoré sú z pohľadu ekonomickej analýzy požadované. Napriek tomu je vyhľadávanie extrémnych, t.j. optimálnych riešení mimoriadne významné, lebo hospodárska analýza nedisponuje dostatkom takých kvantifikačných analytických nástrojov, akými sú nástroje matematickej, resp. operačnej analýzy. Významnosť využitia metód matematického programovania spočíva aj v tom, že prostredníctvom týchto metód možno efektívnejšie riešiť využívanie obmedzených vstupných zdrojov, čo je jednou z prioritných otázok ekonomiky.

Podľa toho, či veličiny , ktoré sa v matematickom modelovaní používajú, majú lineárny či

nelineárny charakter, či sú tieto veličiny známymi alebo náhodnými veličinami, či v nich vystupuje činiteľ času, rozlišuje sa v matematickom programovaní

- lineárne programovanie, - nelineárne programovanie, - stochastické programovanie, - dynamické programovanie, - parametrické programovanie a pod.

2 Ekonometrické modelovanie 27 __________________________________________________________________________________________

Lineárne programovanie sa zaoberá riešením takých úloh matematického programovania,

v ktorých funkcie

),...,,( 21 nxxxfz =

a (i=1,2,…,m) (2.3) ini bxxxq ≥≤),...,,( 21

(j=1,2,…,n) 0≥jx sú lineárne. Ide o metódu, ktorá je z matematického programovania najrozšírenejšia a hodí sa pre mnohé nenáročné riešenia s kauzálnymi závislosťami. Riešenia sú obmedzené podmieňujúcimi podmienkami.

Lineárne programovanie je metóda, pomocou ktorej možno získať z viac možných riešení

to, ktoré je optimálne. Pritom sa predpokladá, že programované vzťahy sú lineárne alebo ich možno za lineárne považovať. Lineárne programovanie je metóda stanovovania maxima alebo minima lineárnej funkcie za súčasného pôsobenia obmedzujúcich podmienok. Cieľom je určenie extrémnej lineárnej funkcie.

Lineárne programovanie možno použiť napr. pri riadení skladového hospodárstva (čas a

množstvo doplňovania zásob), pri riešení tzv. dopravného problému (minimálna vzdialenosť prepravy, minimálny čas, minimálne náklady), pri stanovovaní najvýhodnejších sérií vo výrobe, atď.

Nelineárne programovanie rieši také úlohy matematického programovania, u ktorých

aspoň jedna z funkcií f(qi), pre i=1,2,…,m, je nelineárna. Využitie metód nelineárneho programovania je voči lineárnemu programovaniu obmedzené tým, že niektoré z vysvetľujúcich premenných majú lineárny, ale iné majú nelineárny vzťah i nelineárnu vývojovú krivku – vývojový trend a tak dochádza k vysvetleniu vysvetľovanej veličiny z nesúrodých veličín. Riešenie je síce možné, ale pri praktickom použití dochádza k tendencii vyjadriť nelineárne závislosti závislosťami lineárnymi. Interpretačná schopnosť takýchto modelov sa tým výrazne znižuje. Nelineárne programovanie pozostáva zo samostatných častí, akými sú napr. konvexné programovanie, kvadratické programovanie, geometrické programovanie a pod.

Stochastické programovanie rieši také úlohy matematického, spravidla lineárneho

programovania, u ktorých vysvetľujúcimi veličinami sú veličiny náhodné. Ide o riešenie úloh s tzv. neúplnou informáciou o vstupných, vysvetľujúcich veličinách. Ťažkosť pri riešení úloh s náhodnými veličinami spočíva v tom, že nemožno v modeli dostatočne spoľahlivo explicitne vyjadriť hodnotu premenných a preto sa ich hodnota vyjadruje odhadom. Odhad nebýva dosť presný a štatisticky spoľahlivý. V stochastickom programovaní nejde preto o maximalizáciu určitej účelovej funkcie, pretože táto je známa iba v pravdepodobnostnom zmysle, ale ide o očakávanú hodnotu – matematickú nádej. Matematický model tu popisuje proces v aproximatívnej forme.


Transformácia stavu z jedného do ďalšieho stupňa sa vykonáva pomocou náhodných

čísiel, pomocou syntézy umelo zostavenej sústavy a empiricky zistených parametrov. Takto zostavená sústava a v nej prebiehajúce procesy sa nazýva simuláciou. Sústava vyžaduje dostatočný rozsah údajov, aby chyby boli čo možno najmenšie.

Simulácia sa zakladá na takom princípe, že určitá sústava a určité procesy sa vytvoria

pomocou matematických prostriedkov a to i bez zreteľa na ich existenciu v skutočnosti. Sústava či proces je teoreticky vykonštruovaný tak, aby sa mohli zistiť hlavné vlastnosti ich správania, t.j. tie vlastnosti, ktoré sa majú skúmať. K najstarším metódam simulácie patrí metóda analógovej simulácie. K najvýznamnejším z nich patrí metóda Monte-Carlo.

Dynamické programovanie sa zaoberá optimalizáciou viacstupňových, časovo

nadväzných procesov. Konečný výsledok je ovplyvňovaný rozhodovacími opatreniami uskutočnenými na každom jednotlivom stupni riešenia. Dynamické programovanie možno uplatniť pri riešení súvislého sledu procesov rozmanitého typu, pri ktorých dôležitú úlohu zohráva čas. Podstatným rysom dynamického programovania je okolnosť, že sa do nich zavádza čas. To sa vzťahuje aj na transformáciu statických modelov na modely dynamické. Mnohorakosť dynamických modelov sa rieši tým, že pri riešení sa postupuje po etapách.

Úlohy dynamického programovania sa rozlišujú na procesy diskrétne a spojité. Procesy

diskrétne sú také, u ktorých premenlivé veličiny nadobúdajú hodnoty len v určitých bodoch intervalu. Procesy spojité sú také, u ktorých sú stavové veličiny definované v intervale.

Parametrické programovanie umožňuje riešiť také úlohy, u ktorých niektoré veličiny sú

lineárnou a iné nelineárnou funkciou jedného alebo viacerých parametrov. Stretávame sa tu s prípadmi tzv. celočíselného riešenia (celočíselné programovanie), riešenia iba s určitými diskrétnymi hodnotami (diskrétne programovanie) alebo premenné získavajú iba hodnoty 0 (nula) alebo 1 (tzv. bivalentné premenné).

B. Štrukturálna analýza, známa tiež pod názvom analýza medziodvetvových vzťahov, je

bilančnou metódou, ktorou sa na princípe rovnováhy pomocou matematického modelu charakterizujú kvantitatívne závislosti medzi jednotlivými odvetviami alebo odbormi národného hospodárstva. Pomocou štrukturálnych analýz sa nevyhľadáva optimálne riešenie, ale vyhľadáva sa rovnováha medzi sledovanými zoskupeniami. Pod štruktúrou sa rozumie usporiadanie prvkov v sústave (systéme) a teda v štrukturálnej analýze sa skúmajú kvantitatívne závislosti premenných v sústavách tak, aby sa medzi nimi dosiahol rovnovážny stav. Je pochopiteľné, že prvým predpokladom pre riešenie je definovanie sústavy (napr. národné hospodárstvo, odvetvie, podnik a pod.). Druhým predpokladom je rovnováha medzi vstupnými a výstupnými hodnotami premenných (napr. výroba a spotreba, ponuka a dopyt a pod.). Príklad 2.1 Otvorený Leontiefov model Leontiefov model sa využíva na zobrazovanie vzťahov medzi odvetviami národného hospodárstva pomocou matice. Princíp modelu si objasníme na hypotetickom hospodárstve, ktoré je zložené z troch odvetví: poľnohospodárstvo, priemyselná výroba a palivá. Každé odvetvie predáva a kupuje od každého iného odvetvia, včítane seba samého.


Výstupy Vstupy Poľnohospodárstvo Priemysel Palivá

Poľnohospodárstvo 20 60 40 Priemysel 80 60 80 Palivá 40 60 120 Celková spotreba 200 300 400

Tab. 2.1 Transakcie medzi odvetviami národného hospodárstva (mld. Sk)

Riadky tabuľky interpretujeme v tom zmysle, že výstup z odvetvia poľnohospodárstva je rozdelený nasledovne: 20 mld. Sk do vlastného odvetvia, 60 mld. Sk do priemyselnej výroby, 40 mld. Sk do odvetvia palív a 80 mld. Sk do konečnej spotreby. Stĺpce tabuľky udávajú spotrebu jednotlivých odvetví. Napríklad odvetvie poľnohospodárstva spotrebuje 20 mld. Sk z vlastného odvetvia, 80 mld. Sk z odvetvia priemyselnej výroby, palív za 40 mld. Sk a za prácu zaplatia 60 mld. Sk. Ak chceme získať podklady pre rozhodovanie, tak musíme maticu transakcií previesť na maticu koeficientov (technologickú maticu).

Výstupy

Vstupy Poľnohospodárstvo Priemysel Palivá Poľnohospodárstvo 0,1 0,2 0,1 Priemysel 0,4 0,2 0,2 Palivá 0,2 0,2 0,3

Tab. 2.2 Prepočet koeficientov do technologickej matice

Z tabuľky 2.2 je možné zapísať technologickú maticu A (niekedy nazývaná aj Leontiefova matica) v tvare

=

302020202040102010

,,,,,,,,,

A

Matica produkcie X jednotlivých odvetví má stĺpcovú podobu

=

3

2

1

xxx

X

kde

x1 je hrubá produkcia v poľnohospodárstve, x2 je hrubá produkcia priemyselnej výroby, x3 je hrubá produkcia palív.

Jednotky hrubej produkcie, ktoré nie sú určené pre ostatné odvetvia (medzispotreba), nazývame konečný dopyt alebo tiež prebytok a sú dostupné pre spotrebiteľov, vládu a export.

30 Ekonometria pre manažérov __________________________________________________________________________________________ Ak prebytky hrubej produkcie tvoria stĺpcovú maticu D, tak potom ich výšku môžeme odvodiť z rovnice

DXAEDAXX =−=− )(resp. kde E je jednotková matica. Rovnica býva označovaná aj ako technologická rovnica pre tzv. otvorený Leontiefov model. Nájdime riešenie sústavy (t.j. veľkosť hrubej produkcie v jednotlivých odvetviach), ak je plánovaný prebytok 40 mld. Sk v poľnohospodárskej produkcii, prebytok 100 mld. Sk v priemyselnej výrobe a prebytok palív za 10 mld. Sk.

=

−−−−−−

=

−

=−

1010040

7,02,02,02,08,04,01,02,09,0

3,02,02,02,02,04,01,02,01,0

100010001

DAE

Po dosadení do rovnice ( dostávame DXAE =− )

=

×

−−−−−−

1010040

7,02,02,02,08,04,01,02,09,0

3

2

1

xxx

Rozšírená matica ma tvar

−−−−−−

1010040

7,02,02,02,08,04,01,02,09,0

Gauss-Jordanovou elimináciou získame maticu

100200100

100010001

takže hodnoty hrubej produkcie v jednotlivých odvetviach, ktoré vyhovujú zadaným požiadavkám na hodnoty prebytkov určených na konečnú spotrebu, sú:

- poľnohospodárstvo: mld. Sk, 1001 =x- priemyselná výroba: mld. Sk, 2002 =x- palivá: mld. Sk. 1003 =x

Prvky matice prebytkov musia obsahovať kladné alebo nulové hodnoty. V opačnom prípade by hodnota hrubej produkcie jedného alebo viacerých odvetví bola nedostatočná a nedokázala by uspokojiť požiadavky ostatných odvetví. Ekonomika nemôže spotrebovať viac, ako vyprodukuje. Použitý model je koncipovaný ako otvorený Leontiefov model, pretože technologická matica nezahrňuje všetky vstupy a výstupy. Vynechaná je napríklad práca, pričom niektoré (alebo aj všetky) prebytky slúžia domácnostiam, ktoré sú vlastníkom tohto výrobného činiteľa. ■

2 Ekonometrické modelovanie 31 __________________________________________________________________________________________ Príklad 2.2 Uzatvorený Leontiefov model Uvažujeme teraz v rámci modelovaného systému so všetkými jeho vstupmi a výstupmi. Už spomínaná práca je v modeli zahrnutá v kategórii rozpočtu domácnosti. Pre tento typ modelu je charakteristické to, že suma vstupov v každom stĺpci je rovná 1. V takomto prípade nejestvujú prebytky, takže , resp. 0=D 0=− AXX . Technologická rovnica má potom tvar:

a hovoríme o tzv. uzatvorenom Leontiefovom modeli. XAX = Nech technologická matica popisuje ekonomiku celej krajiny, pričom predstavuje rozpočet vlády, celkovú úroveň výstupu ziskových organizácií, rozpočet neziskových organizácií a je rozpočet domácností.

A 1x

2x 3x

4x

=

4,05,06,04,02,04,002,02,01,01,02,02,003,02,0

A

Vypočítame celkové rozpočty . 4321 a,,, xxxx Riešime systém rovníc daný technologickou rovnicou XAX = , a to

0 14321 2,003,02, xxxxx =+++

24321 2,01,01,02,0 xxxxx =+++ 0 34321 2,04,002, xxxxx =+++

0 44321 4,05,06,04, xxxxx =+++ Po úprave dostávame rozšírenú maticu

−−

−−

0000

6,05,06,04,02,06,002,02,01,09,02,02,003,08,0

Gauss-Jordanovou elimináciou získame maticu

−−−

0000

00001361003914010135001

32 Ekonometria pre manažérov __________________________________________________________________________________________ Odvodíme riešenie

0136

03914

0135

43

42

41

=−

=−

=−

xx

xx

xx

alebo

43

42

41

1363914135

xx

xx

xx

=

=

=

V získaných výsledkoch sa prejavili aj očakávané závislosti, pričom rozpočty závisia od rozpočtov domácností. Očividná je napríklad skutočnosť, že výstupy ziskových organizácií sú obmedzené ponukou práce. Ekonomika vyhovuje daným rovniciam vtedy, ak rozpočet vlády je

321 ,, xxx

135 krát rozpočet domácností, ak hodnota výstupu ziskových organizácií je 3914 krát rozpočet domácností, a ak rozpočet neziskových organizácií je 136 krát rozpočet

domácností. ■

C. Graficko-analytické metódy sa sústreďujú hlavne na teóriu grafov a na sieťovú analýzu. Tieto metódy sú určené pre analýzu zložitých nadväzných procesov skúmaných z hľadiska ich časového priebehu. Umožňujú postaviť kritickú cestu, ktorou sa treba uberať od začiatku až po ukončenie procesu. Odhaľujú kritické úseky, ktoré sú rozhodujúce pre včasné dokončenie postupnosti úlohy a umožňujú stanoviť časové rezervy, ktoré sú pre nadväzné procesy významné. Pre tieto vlastnosti je použitie graficko-analytických metód výhodne predovšetkým v projekčnej, plánovacej a v riadiacej práci.

Zložitosť riešení niektorých dôležitých úloh, ktoré vznikajú pri deľbe práce, kooperácii,

organizácii a plánovaní, si vyžaduje stanoviť prehľadné a objektívne postupy. Riadenie výskumných a projekčných prác, investičnej činnosti, montáži zložitých zariadení, rekonštrukcii a údržby a teda všade tam, kde treba docieliť čo najlepšie zladenie jednotlivých na seba nadväzujúcich procesov a vzájomne sa doplňujúcich činností, je použitie grafických metód účelné a nepostrádateľné. Pre riešenie takýchto úloh sa najlepšie hodí využitie teórie grafov, teórie sietí s využitím počtu pravdepodobnosti. Vznik teórie nadväzných procesov sa datuje do päťdesiatych rokov a použili sa pri raketovom programe v USA. Tieto metódy majú spoločný názov CPA – Critical Path Analysis - analýza kritickej cesty a ich základným znakom je zostavenie sietí a ich analýzy. Najznámejšie z nich sú:

CPM – Critical Path Method – metóda kritickej cesty,

PERT – Program Evaluation and Review Technique – metóda hodnotenia a preskúšania programu. Pre potreby časového (time) plánovania a plánovania nákladov (cost) boli vyvinuté programy PERT/TIME a PERT/COST,

RAMPS – Resource Allocation and Multiproject Scheduling – metóda rozdelenia obmedzených zdrojov.

Predpokladom použitia niektorej z metód CPA je podmienka, aby sa zložitá činnosť dala

rozložiť na niekoľko čiastkových činností, medzi ktorými existuje časová následnosť a podmienenosť, a ktorých komplexné riešenie vedie k splneniu danej úlohy.


Rozdiel medzi metódami PERT a CPM spočíva v tom, že CPM je metóda deterministická a pre každú činnosť je stanovený normovaný čas trvania. U metód PERT sa pre každú činnosť stanovujú tri časy trvania: optimistický odhad, pesimistický odhad a najpravdepodobnejší čas plnenia.

D. Teória hier sa zaoberá riešením konfliktných situácií, v ktorých vystupujú proti sebe

dvaja alebo viacerí účastníci (hráči) s protichodnými záujmami. Zmyslom riešenia konfliktných situácií je nájsť pre účastníkov hry optimálne stratégie, teda pravidlá konania a rozhodovania v priebehu hry.

E. Teória hromadnej obsluhy (teória front) umožňuje matematickými nástrojmi riešiť

také úlohy, u ktorých vznikajú požiadavky na obsluhu. V mnohých odboroch činnosti sa stretávame s procesmi, ktoré obsluhu vyžadujú. Patrí sem napr. obsluha kupujúcich predavačmi v obchodoch, pri platení v samoobsluhách, predaj lístkov v pokladniciach, zabezpečenie telefónnych hovorov v ústredniach (čo je pomaly už zašlou históriou), nástup cestujúcich do dopravných prostriedkov a pod. V niektorom čase bývajú zariadenia tak preťažené, že v ich obsluhe nemožno zaviesť nijaký rytmus. Požiadavky na obsluhu majú náhodný charakter a pri jej nedostatočnom zabezpečení obsluhou vznikajú pri čakaní fronty (odtiaľ názov teórie front). Teória hromadnej obsluhy je založená na teórii náhodných procesov a riešenia úloh často vyúsťujú do simulácií.

Zmyslom teórie hromadnej obsluhy je nájsť taký spôsob obsluhy, pri ktorom sú časové

straty pri čakaní na obsluhu i straty obslužného pracoviska minimálne.

F. Teória zásob umožňuje prostredníctvom matematického modelovania riešiť situácie, ktoré vznikajú vo výrobnom procese pri zabezpečovaní potrebného množstva surovín, palív, náhradných dielcov a iných materiálových zásob. Teória zásob umožňuje vyhľadávanie optimálnej veľkosti zásob z pohľadu miestneho i časového. Pri analýze stavu zásob ide o určenie výšky prostriedkov viazaných v zásobách a veľkosti nákladov spojených s udržiavaním zásob. Vzhľadom na viazanosť zásob na skladovací priestor sa o teórií zásob hovorí aj ako o teórii skladov.

Teória zásob nie je ucelenou teóriou. Zásobovanie predstavuje zložitú a rozmanitú

problematiku a preto sa pri optimalizačných zásobovacích technikách používajú rôzne postupy. Ak je možné potrebu zásob, alebo ak je možné budúcu potrebu zásob charakterizovať určitým pravdepodobnostným rozdelením, modely zásob možno rozdeliť na deterministické a na stochastické.

G. Teória obnovy rieši otázky spojené s obnovou výrobného zariadenia, ktoré v priebehu

času mení svoj stav i svoje vlastnosti. Cieľom teórie obnovy je stanoviť optimálny spôsob opravy zariadení, ich obmenu a doplňovanie tak, aby sa zachoval ich požadovaný stav.

H. Teória obchodného cestujúceho sa zaoberá otázkami optimalizácie pochôdzok

obchodných zástupcov tak, aby sa pri návštevách odbytových stredísk (napr. predajní) minimalizovala dĺžka pracovnej cesty. Táto metóda má široké použitie a dá sa využiť všade tam, kde dochádza k pravidelným návštevám pracovníkov na určité strediská (napr. opravárov, údržbárov a pod.) v určitom priestore a čase.

34 Ekonometria pre manažérov __________________________________________________________________________________________ 2.2 Jednoduché matematicko-ekonomické modely

Hospodársky život je veľmi rozmanitý a tak isto rozmanité sú i metódy popisu a hodnotenia hospodárskych javov. Jednotlivé sféry hospodárskeho života majú svoje vlastné spôsoby vyhodnocovania ukazovateľov, ktorými sa charakterizujú ich špecifické činnosti. Výroba, obchod, poisťovníctvo, bankovníctvo a mnohé iné sféry hospodárstva si vytvorili svoj matematicko-štatistický aparát na vyjadrovanie svojich pochodov a na vykonávanie rozborov. S týmito metódami sa stretávame pri štúdiu odvetvových a prierezových ekonomík. Na tomto mieste sa nimi nemožno zaoberať. V matematickej ekonómii sa ale vytvorili modelové riešenia, ktoré sú východiskom zložitejších ekonometrických modelov. Patria k ním napríklad modely rastu, modely trendov, modely sezónnosti, investičné modely, produkčné modely, inflačné modely, atď. Niektorými modelmi sa budeme zaoberať v ďalších kapitolách, iné možno budú predmetom osobného záujmu čitateľa. Na tomto mieste poukážeme iba na niektoré modely rastu, ktoré sú pre riadiacich pracovníkov významné preto, lebo vyjadrujú dynamiku rastu v čase. Uvádzame ich tiež pre ich metodické vlastnosti. Typickými pre riešenia problémov rastu sú časové rady yt v tvare

t (2.4) tt etfy += )( T∈ kde f(t) je funkciou času, et je náhodná veličina a T je definičný odbor premennej času t (t.j. dĺžka sledovaného časového obdobia). V praxi sa vyvinuli časové modely rastu s vyššou mierou spoľahlivosti a sústredili sa na problematiku vyjadrenia tendencií rastu v tzv. trendoch časových radov a na ich nepravidelnosti v kratších časových úsekoch, v tzv. sezónnosti. V modeloch trendov ide o vyrovnávanie skutočných veličín časových radov od náhodilých a nepravidelných javov. Takto upravený model možno pokladať za hypotézu trendu vývoja daných veličín.

Z ekonometrického pohľadu nás zaujímajú predovšetkým modely vývojových trendov. V štatistike sa tzv. vyrovnávanie časových radov vykonáva jednoduchšími metódami, hlavne však metódou kĺzavých priemerov a metódou najmenších štvorcov.

t

y

Obr. 2.1 Kĺzavý priemer

2 Ekonometrické modelovanie 35 __________________________________________________________________________________________ Kĺzavý priemer sa počíta podľa tohto vzťahu

12 +

=∑=

−=+

m

yy

mk

mkki

i) i = 1,2,…, m (2.5)

Menovateľ reprezentuje dĺžku obdobia, za ktorý sa priemer počíta a kĺzavý priemer y) je

v strede úseku časového radu. Pojem „kĺzavý“ predstavuje spôsob, akým sa priemer vypočíta.

Metóda najmenších štvorcov interpretuje vyrovnávanie skutočných veličín od veličín s modelovaného typu funkcie y=f(x) požiadavkou, aby súčet štvorcov odchýlok ei daných hodnôt yi od vypočítaných hodnôt bol minimálny iy

( )∑ ∑= =

⇒−==n

iii

n

ii yyeS

1

2

1

2 .minˆ (2.6)

K vyrovnávaniu krivkou a jej grafickému vyjadreniu sa vrátime v nasledujúcich kapitolách. Pre ohodnotenie tesnosti modelovanej krivky od skutočných, t.j. štatisticky zistených hodnôt, sa výpočet vykonáva využitím koeficientu determinácie R2. Tento koeficient udáva pomer súčtu štvorcov odchýlok vypočítaných hodnôt od ich priemeru iy y voči štatistickým hodnotám yi:

( )∑

∑

=

=

−

−= n

ii

n

ii

yy

yyR

1

2

1

2

2)ˆ(

(2.7)

Ak by všetky vypočítané hodnoty splývali so štatistickými pôvodnými hodnotami, vtedy by koeficient determinácie rovnal jednej, R2=1. Ak by koeficient determinácie dosiahol nižšiu hodnotu ako 0,85, R2<0,85, vtedy by sa mal zvoliť iný druh funkcie y=f(x), ktoré teraz stručne popíšeme. Časové rady ekonomických veličín sa vyznačujú tým, že hodnota veličiny v čase t (yt) sa mení v nadväznosti na veličinu z predchádzajúceho obdobia t-1 (yt-1). Táto nadväznosť tvorí tendenciu rastu ekonomickej veličiny v závislosti od času f(t). Pre túto závislosť možno vytvoriť v matematickej podobe modely trendu. Ak za určité časové obdobie veličiny vykazujú v po sebe nasledujúcich obdobiach takmer rovnaké absolútne hodnoty rastu, možno pre sledovaný časový rad vytvoriť lineárny model trendu v podobe

(2.8) ( ) btatf += pretože model obsahuje konštantný rast parametra b


dt

tdf )(=b (2.9)

pričom parameter a predstavuje hodnotu východiskovej, počiatočnej konštanty.

Ak sa však zostavuje časový rad podľa relatívnych prírastkov veličín

cy

yyyy

t

tt

t

t =−

=∆ −1 (2.10)

a relatívny prírastok je pomerne stály, možno zostaviť model jednoduchej exponenciálnej funkcie trendu

(2.11) ctbetf =)( kde parameter b predstavuje hodnotu počiatočnej konštanty v čase t0, parameter c vyjadruje tempo rastu veličiny z tejto úrovne.

Modifikáciou jednoduchej exponenciálnej funkcie je všeobecná exponenciálna funkcia

v tvare

(2.12) ctbeatf +=)( kde parameter a vyjadruje hodnotu východiskovej počiatočnej konštanty.

Ak diferencie absolútnych prírastkov údajov (∆yt - ∆yt-1,…) v časovom rade sú stále,

konštantné, model trendu možno zostaviť ako všeobecnú kvadratickú parabolu (2.13) 2)( ctbtatf ++=

pretože 2

2 )(dt

tfdc =

Ak sa absolútne prírastky údajov (∆yt) v časovom rade dajú určiť ako podiel konštanty b

a časového údaja t, model trendu sa dá zostaviť vo forme logaritmickej funkcie f(t) = a + b ln t (2.14)

pretože td

tdfbln

)(=

V týchto modeloch sa používajú prirodzené, Napierové (hyperbolické) logaritmy so

základom e = 2,71828 a využíva sa tá ich vlastnosť, že absolútnu zmenu logaritmu veličiny možno vyjadriť ako relatívnu zmenu veličiny

xxx ∆

=∆ ln


Vzhľadom na rastúcu postupnosť času t=1,2,…,n vykazuje logaritmická funkcia spomaľujúci sa rast.

Ak v časovom rade súčin veličiny a časového údaja má tendenciu k stálosti,

, možno model trendu vyjadriť hyperbolickou funkciou atyty === ...2211

tatf =)( (2.15)

a je špecifickým prípadom mocninovej funkcie

(2.16) battf =)(

a teda

ln f(t) = ln a + b ln t (2.17) v ktorej . Derivácia mocninovej funkcie podľa času vyjadruje, že relatívne prírastky sa spomaľujú

1−=b

tb

tftf=

∆)()(

Priebeh týchto funkcií je znázornený na obr. 2.2.

hyperbolická

logaritmická

lineárna

parabolická

Obr. 2.2 Priebeh funkcií Bližšie vysvetlenie k uvedeným funkciám sa nachádza v literatúre, napr. [10]. Vo všetkých predchádzajúcich prípadoch sa predpokladalo, že veličiny v časových radoch majú stály, konštantný prírastok. Ak by bol prírastok nasledujúcej veličiny väčší ako predchádzajúce hodnoty, zobrazovaný súbor veličín by sa zväčšoval, rástol. V opačnom prípade, ak by bol prírastok menší, súbor by sa zmenšoval. Hyperbolická a logistická funkcia majú asymptotický priebeh a pri rastúcej hodnote t konvergujú k maximálnej resp. minimálnej hodnote. Asymptotická, pre c<0, je exponenciálna a modifikovaná exponeciálna funkcia a mocninová funkcia je pre b<0. Lineárna, kvadratická a logaritmická funkcia nemá ohraničenie.


V praxi sa vyskytujú prípady, keď sa po postupnom raste dosiahne tzv. inflexný bod. Po prekročení tohto bodu dochádza k postupnému poklesu rastu veličín až dôjde k nasýteniu, saturácii javu. Tento postup vývoja sa zobrazuje tzv. S krivkou a vyjadruje logistickú funkciu v tvare

ctbeatf

−+=

1)( (2.18)

kde a je asymptotou funkcie.

Podobný priebeh ako logistická funkcia má Gompertzová krivka

(2.19) tcabtf =)(

vo vyjadrení v logaritmickom tvare

ln f(t) = ln a + (ln b)ct (2.20) a po nahradení ln f(t)=F(t), ln a=A, ln b=B

F(t)= A + Bct (2.21) čo zodpovedá tvaru modifikovanej všeobecnej exponenciálnej funkcii. Nevzťahuje sa však na hodnoty veličín, ale na ich logaritmy. K uvedeným krivkám a ich zobrazeniu sa vrátime v ďalších kapitolách.

Sezónne modely sa používajú v krátkodobých prognózach a ich úlohou je vziať pri tvorbe modelov do úvahy výkyvy, ktoré sa v sledovanom období vyskytujú. Príčiny odchýlok môžu byť rôzne a preto je ich ekonomická interpretácia dôležitá. Menej významné i náhodné výkyvy môžu nepriaznivo ovplyvniť tvorbu modelov a preto je účelnejšie pri tvorbe modelov ich vylúčiť. V takom prípade sa vyžaduje očistiť časové rady od sezónnych výkyvov. Pri jednoduchších modeloch možno postupovať tak, že sa využijú jednoduchšie štatistické nástroje, napríklad kĺzavé priemery. Ak sú sezónne výkyvy významnejšie, treba ich vziať do úvahy. V takom prípade sa používajú tzv. parametrické modely, u ktorých sa analýza sezónnosti robí oddelene od analýzy trendu.

Parametrické modely sezónnosti sa vytvárajú aditívnym vzťahom Yts = Rts + Sts + ets t=1,2,…,T; s =1,2,3,4 (2.22) kde

R predstavuje trendovú zložku modelu, S je sezónna zložka (v našom prípade štvrťročná, s má štyri obdobia, štvrťroky), e je reziduálna zložka a T je počet rokov sledovaného obdobia.

Ak model neobsahuje sezónnu zložku, z uvedeného modelu vypadne zložka Sts.

2 Ekonometrické modelovanie 39 __________________________________________________________________________________________ Pre parametrické modelovanie sezónnosti sa používajú tieto modely [10]: Model konštantnej (aditívnej) sezónnosti, v ktorých sa predpokladá, že sezónne výkyvy v príslušných obdobiach (štvrťrokoch), vyjadrené parametrami as, sa nemenia. Model má tvar

Yts = Rts + as + ets (2.23)

Model proporcionálnej sezónnosti predpokladá, že sezónne výkyvy sa vyvíjajú proporcionálne k trendovej zložke časového radu

Yts = Rts + βs Rts + ets (2.24) a po substitúcii bs=1+βs dostaneme multiplikatívny model Yts = bs Rts + ets (2.25) Model zmiešanej sezónnosti, v ktorom časť sezónnych výkyvov je konštantná as a časť sa mení k trendovej zložke bs Yts=as + bs R ts + ets (2.26) Model aditívnej dynamickej sezónnosti, v ktorom sa parametre typu as rovnomerne vyvíjajú podľa rokov (zložky cs t)

Yts = Rts + (as + cs t) + ets (2.27) Model multiplikatívnej dynamickej sezónnosti, v ktorom sa parametre typu bs rovnomerne vyvíjajú podľa rokov (zložky ds t)

Yts = (bs + ds t)Rts + ets (2.28) Hodnoty sezónne očisteného radu Y sa u predchádzajúcich modelov vypočítavajú podľa vzťahu

*t

tdb

tcaY

ss

sstt +

−Y −=* (2.29)

pričom sa použijú iba parametre vybraného modelu, ostatné parametre sa nahradia nulou a u parametra b jednotkou. Pri odhade parametrov modelovaných veličín postupuje sa takto:

- pri lineárnej funkcii, kvadratickej parabole a pri logaritmickej funkcii sa odhad parametrov vykonáva metódou najmenších štvorcov,

- pri jednoduchej exponenciále, hyperbole a mocninovej funkcii sa odhad parametrov vykonáva taktiež metódou najmenších štvorcov, ale až po ich logaritmickej transformácii a substitúcii,

- pri modifikovanej exponenciálnej funkcii a Gompertzovej krivke, modifikovanej na exponencionálu, sa odhad parametrov najčastejšie vykonáva iteračnými metódami alebo inými štatistickými metódami.


Extrapoláciou, t.j. predĺžením trendu do budúcnosti, sa zaoberá tzv. bodová a intervalová prognóza.

Bodová prognóza je bodovým odhadom veľkosti ekonomickej veličiny v čase t,

t=n+1,n+2,…,n+T, kde T je bod horizontu prognózy. Bodová prognóza sa potom vyjadrí vzťahom

tbaytˆˆˆ += (2.30)

kde â je odhadová konštanta, b

) je parameter odhadovanej veličiny v čase t. Bodová hodnota

nevyjadruje pravdepodobnosť, s akou možno očakávať, že tt yy =ˆ . Intervalová prognóza stanovuje interval, v ktorom sa môže hodnota ty) nachádzať s pravdepodobnosťou p=− )1( α , pričom pre empirické hodnoty platí

tt ubtay ++= (2.31) kde u je náhodnou premenou. t

[Pozn.: Uvedená symbolika v tejto i v iných častiach práce sa v prevážnej väčšine preberá podľa publikácie [10].]

Jednoduchými matematickými modelmi sú i tzv. naivné modely yt, ktorými sa taktiež

vyjadruje rast hodnoty v čase, a ktorý rast

a) môže byť tak veľký ako predchádzajúca posledná veličina yt-1, s prípadnou odchýlkou wt

yt = yt-1 + wt = ŷt + wt (2.32)

kde ŷt je odhadovaná hodnota veličiny y. b) môže byť tak veľký ako predchádzajúca posledná veličina yt-1 zväčšená o zmeny

z prechádzajúcich období yt-2 a prípadnú odchýlku wt

yt = yt-1 +(yt-1 – yt-2) + wt = ŷt + wt (2.33)

c) môže byť tak veľký ako predchádzajúca posledná veličina ale násobená tempom rastu veličiny z predchádzajúcich období

=+=

−

−− ty

ytt wyy

t

t

2

11 ŷt + wt (2.34)

[Pozn.: Dolný index t sa bude v tejto publikácii používať nielen pre časové, ale aj pre prierezové údaje vtedy, keď pôjde o ekonometrické modely.]

2 Ekonometrické modelovanie 41 __________________________________________________________________________________________ 2.3 Matematické modely v ekonometrii

Pri tvorbe ekonometrických modelov využíva sa jeden z troch typov matematického tvaru modelu, t.j. jednorovnicový, viacrovnicový a simulačný model.

Jednorovnicový model. V tomto modeli sa vyjadruje jedna závislá premenná prostredníctvom jednej alebo viacerých nezávislých premenných. Vysvetľovaná premenná veličina je veličinou endogénnou, vnútornou a jej veľkosť je závislá alebo od merateľných vonkajších, exogénnych veličín, alebo od oneskorených vnútorných veličín a od nemerateľnej náhodnej zložky. Jednorovnicový model má charakter regresného stochastického modelu. Stochastického preto, lebo obsahuje náhodnú zložku.

Viacrovnicový model. Viacrovnicový model je sústavou nezávislých jednorovnicových stochastických modelov, ktoré možno chápať alebo samostatne a samostatne i riešiť, alebo je ho možné chápať ako jeden viacrozmerný regresný model. Jednotlivé rovnice vo viacrovnicovom modeli možno chápať ako relatívne nezávislé iba vtedy, ak náhodné zložky v jednotlivých rovniciach navzájom nekorelujú.

Simulačný model. Simulačný model sa môže vytvárať zo vzájomne závislých stochastických alebo nestochastických rovníc tým, že endogénne veličiny vytvárajú súčasne funkciu vysvetľovaných i vysvetľujúcich veličín. To vytvára ich simulačný charakter. V interdependentných, t.j. vzájomne závislých sústavách simultánnych rovníc jestvujú medzi endogénnymi premennými priame i nepriame väzby. V rekurzívnych sústavách jestvujú iba jednosmerné kauzálne (príčinné) väzby a náhodné zložky v jednotlivých rovniciach sú navzájom nezávislé.

V súvislosti s voľbou matematického modelu pri formulovaní ekonometrického modelu je potrebné poukázať ešte na jednu dôležitú vec. Je ňou stanovenie znamienok a ohraničenia parametrov. Stanovenie znamienok v ekonometrickom modeli je apriórne určené a vychádza z ekonomickej analýzy predmetu modelovania vykonanej pred vytváraním modelu. Znamienko parametra môže byť kladné alebo záporne a taktiež i hodnota parametra sa vymedzuje apriórne v rámci očakávaného intervalu. 2.3.1 Postup pri tvorbe ekonometrických modelov

Pri vytváraní ekonometrického modelu je potrebné postupovať podľa istých pravidiel. Postupovať možno podľa týchto krokov [23]:

1. formulácia problému, 2. zostavenie ekonometrického modelu, 3. kvantifikácia modelu, 4. riešenie modelu, 5. interpretácia získaných výsledkov, 6. implementácia výsledkov.

Formulácia problému súvisí predovšetkým s obsahovou analýzou skúmaného

a modelovaného javu. Veľmi záleží na tom, či výsledky tejto analýzy sú dostatočné a objektívne a či pre fungovanie skúmaného javu spoľahlivo označujú významné a rozhodujúce veličiny. Chyba, ktorá by tu vznikla, mohla by znehodnotiť celý modelovaný

42 Ekonometria pre manažérov __________________________________________________________________________________________ výsledok. To preto, lebo model je zobrazením skúmaného javu. Ďalej si treba povšimnúť, že samotný skúmaný jav nestojí voči svojmu prostrediu izolovane. Objektivita zobrazenia javu v modeli musí v zodpovedajúcej miere zobraziť aj prostredie, v ktorom sa skúmaný jav nachádza a, samozrejme, musí zovšeobecniť aj prostredie, v ktorom sa skúmaný jav vyvíja. Nie na poslednom mieste je potrebné pri formulácii problému zdôvodniť cieľ, pre ktorý sa modelovaný jav zobrazuje. Napríklad pre plánovanie vývoja javu budú rozhodujúce iné činitele ako pre jeho využitie v operatívnom riadení. Východiskové poznatky o probléme je potrebné charakterizovať i z hľadiska možnosti ich kvantifikácie, pretože pri modelovaní treba všetky rozhodujúce veličiny, a to i kvalitatívne, vyjadriť v kvantifikovateľnej podobe.

Modelovaný jav sa vyjadrí vo forme vysvetľovanej veličiny, identity. Na základe výsledku obsahovej analýzy sa definujú vysvetľujúce premenné, ktoré vo svojej podstate charakterizujú modelovaný jav v kvalitatívnej i v kvantitatívnej podobe. Vysvetľujúce premenné sa do ekonometrického modelu premietnu ako nezávislé exogenné premenné. Ich úlohou bude vysvetliť sledovaný jav. Ten je javom závislým od stavu, charakteru a od významnosti vysvetľujúcich exogenných premenných. Treba si tiež povšimnúť, že u viacrovnicového modelu sa už vysvetlená premenná môže stať v ďalšom kroku premennou vysvetľujúcou. V takom prípade takúto premennú nazývame vnútornou, endogénnou premennou.

Ak je problém definície podstaty problému vyriešený, pristúpi sa k výberu vhodného ekonometrického modelu. Treba sa uistiť, že vybraný model bude zodpovedať predloženej problematike. Ale i naopak, že definované premenné zodpovedajú štruktúre a interpretačnej schopnosti zvoleného ekonometrického modelu a jeho matematickej a štatistickej vierohodnosti. Ak by tomu tak nebolo, model by mohol stratiť svoju interpretačnú schopnosť, alebo by sa mohlo dospieť i k nepravdivým výsledkom. Definovať treba iba podstatné zložky modelovaného javu, nepodstatné treba odstrániť. Kvalitatívne, menej významné, ale i prípadné iné nedefinované premenné treba odhadnúť. Tie ostatné, nedefinované, sa nazývajú náhodnými veličinami. Ak sa do modelu dostávajú takéto náhodné veličiny, model nadobúda stochastický charakter.

Ak je vysvetľujúcich veličín viac, je treba každú veličinu opatriť príslušným významom v súbore veličín a to tak, že sa ku každej veličine priradí významový parameter. Ten sa, pravda, taktiež kvantifikuje. Významový parameter charakterizuje významnosť jednotlivej veličiny v súbore veličín, ale súčasne vyjadruje aj správanie sa jednotlivej veličiny k iným veličinám a i k vysvetľovanej veličine. Teda u každého modelu je potrebné definovať veličiny, ktoré vysvetľujú ich význam voči vysvetľovanej veličine a vyjadrujú identitu veličiny v modeli. V modeli treba vyjadriť aj funkciu správania sa jednotlivých veličín (tzv.: behaviourálna funkcia) a i toto správanie sa vykoná parametrizáciou veličín. Vo všeobecnosti sa identita vyjadruje ako rovnica, ktorá vysvetľuje (definuje) jednu, vysvetľovanú veličinu (premennú) pomocou iných, vysvetľujúcich premenných. Komplexný hospodársky jav obsahuje viac identít, ktoré sa vysvetľujú sériou identických rovníc. Rovnice, ktoré obsahujú behaviourálne funkcie, nazývajú sa tiež behaviourálne rovnice.

Po kvantifikácii sa preskúma, či nejestvuje medzi vysvetľujúcimi veličinami vzájomná závislosť (kolerácia) a ak áno, v akom rozsahu. Parametre veličín sa otestujú testom významnosti tak, aby sa niektorá z veličín neprecenila, iná nepodcenila. Ak sa prejde príslušným testovaním, ekonometrický model sa môže pokladať za zostavený.


Podkladom pre kvantifikáciu premenných i parametrov sú údajové súbory, ktoré sa získavajú zo štatistík. Štatistické údaje treba pre modelovanie pripraviť, treba overiť ich objektivitu, ich rozmer i akosť. Pri vytváraní vhodných reprezentatívnych výberových súborov je potrebné postupovať podľa štatistických zásad pre tvorbu takýchto výberových súborov. Pre veľký rozsah štatistických údajov nemožno pri modelovaní použiť spravidla celý štatistický súbor a preto je nevyhnutné vytvoriť jeho reprezentatívny výber.

Zostavený ekonometrický model je pripravený k svojmu riešeniu. Postupuje sa podľa metodík riešenia a využitím matematických analytických nástrojov a simulačných postupov. Výsledkom bude ošetrený a overený model, ktorý možno aplikovať v praxi tak pre ekonomickú analýzu ex-post, ako aj pre plánovanie ex-ante a pre riadenie špecifických procesov. Skôr je však potrebné vykonať jeho interpretáciu, vysvetlenie a v rámci tohto kroku vysvetliť aj podmienky, za ktorých možno model pre jednotlivé aplikácie ako model simulačný použiť.

Výsledným krokom bude zostaviť aplikovateľný projekt a program, podľa ktorého sa bude pri aplikácii ekonometrického modelu postupovať. Ak je program algoritmizovateľný, pripraví sa jeho programová podoba pre počítačové alebo iné projektové riešenie. Ak nie je, postupuje sa podľa klasických konštrukčných, plánovacích alebo iných riadiacich techník.

Bližšie sa s touto problematikou možno oboznámiť v publikácii [23].

2.3.2 Overovanie ekonometrického modelu

Správnosť zostaveného ekonometrického modelu je pred jeho použitím potrebné overiť. Model je zovšeobecnením skutočnosti a preto potrebujeme zistiť, či model naozaj verne skutočnosť zobrazuje. Chyby v zobrazení by mohli znamenať chyby v interpretácii modelu a viedli by k nepresným a nesprávnym hypotézam, ktoré sa z modelu vyvodzujú. Overovanie ekonometrického modelu sa vykonáva z troch hľadísk: z ekonomického, zo štatistického a z ekonometrického hľadiska.

Ekonomická verifikácia spočíva v overení, či model verne zobrazuje ekonomické

charakteristiky pozorovaného súboru. K charakteristikám patria kvalitatívne a kvantitatívne vlastnosti pozorovaného súboru. Kvalitou sa rozumie vyjadrenie východiskovej filozofie skúmaného javu (súboru) a jeho myšlienkové vyjadrenie. Skôr, ako sa pristúpi ku kvantifikácii činiteľov vysvetľujúcich skúmaný jav, je potrebné preskúmať ich sémantickú, obsahovú stránku. Tú potom vyjadríme ekonomickou veličinou, ktorá v modeli vystupuje ako nezávislá vysvetľujúca premenná.

Štatistická verifikácia spočíva jednak v overovaní východiskových údajov, ktoré sa pri

stavbe modelu využívajú a jednak v overovaní reprezentatívnosti modelu voči skutočnému východiskovému stavu a voči správaniu sa javu vo svojom pôvodnom prostredí.

Obom problematikám sa venujeme v ďalšej časti práce.

44 Ekonometria pre manažérov __________________________________________________________________________________________ Príklad 2.3 Formulácia a zostavenie ekonometrického modelu dopytu po tovaroch a službách Ekonometrický model patrí k metodickým nástrojom ekonometrie a pri jeho formulácii a zostavovaní vychádzame z poznatkov ekonomickej teórie. Pomocou ekonometrického modelu sa pokúsime vyjadriť základné závislosti, s ktorými sa stretávame pri analýze dopytu po tovaroch a službách. Pred samotným zostavením modelu, ktoré spočíva v symbolickom matematickom zápise skúmaného ekonomického vzťahu, zhrnieme východiskové poznatky o študovanom jave a pokúsime sa pomenovať činitele, ktoré môžu mať vplyv na jeho priebeh. Dopyt po tovaroch a službách sa definuje ako množstvo tovarov a služieb, ktoré sú ľudia ochotní a schopní kúpiť pri ich rôznych cenách počas nejakého stanoveného obdobia, pričom všetky ostatné činitele s výnimkou ceny považujeme za konštantné. Na základe tejto definície a údajov o vývoji dopytovaného množstva pri rozličných cenových úrovniach sa konštruuje individuálna a trhová krivka dopytu po konkrétnych tovaroch a službách. Vzťah nepriamej úmernosti medzi cenou a dopytovaným množstvom tovaru sa nazýva zákon klesajúceho dopytu. Medzi necenové determinanty dopytu môžeme zaradiť napríklad spotrebiteľské návyky a preferencie, ktoré sú, pochopiteľne, ovplyvnené ďalšími činiteľmi, ako sú reklama, podpora predaja, hodnotenie kvality a odporúčanie štátnych a súkromných spoločností pôsobiacich v danom odbore. Dôležitým determinantom dopytu je dôchodok. Ak dôchodok ľudí rastie, tak je možné očakávať zvýšený dopyt po produkte. V ekonómii sa dopyt vyjadruje zvyčajne ako funkcia disponibilného dôchodku, t.j. dôchodku po odpočítaní daní a odvodov do povinných fondov. Na dopyt po tovare vplýva aj cena súvisiacich produktov. Ak sa zmení cena substitučného tovaru, tak sa očakáva zmena rovnakým smerom aj pokiaľ ide o dopyt po tovare, ktorý máme na zreteli. Pri zmene ceny komplementárneho tovaru sa očakáva zmena opačným smerom v dopyte po tovare, ktorý máme na zreteli. Výsledkom znižujúcej sa ceny tovaru je rast dopytu po komplementárnom tovare. Budúce očakávania významne vplývajú na dopyt po uvažovanom tovare. Ak viacerí kupujúci očakávajú nárast ceny tovaru v budúcnosti, tak ich správanie môže viesť z nárastu súčasného dopytu. Dopyt po digitálnych kamerách a fotoaparátoch ihneď po ich uvedení na trh pravdepodobne nebude tak vysoký, ako by si predávajúci želali, pretože kupujúci očakávajú, že postupom času dôjde k zníženiu ceny týchto tovarov. Úroveň dopytu je pochopiteľne ovplyvňovaná počtom kupujúcich a takisto štruktúrou populácie. Ak sa napríklad zvyšuje podiel detí na celkovej populácii, tak je predpoklad zvyšujúceho sa záujmu spotrebiteľov o hračky ako aj o šaty a nábytok pre deti. Vzhľadom na zložitosť ekonomických javov nemožno očakávať, že sa manažérovi podarí zostaviť na prvý pokus ten najvhodnejší model. Ide o zložitý proces hľadania dôležitých premenných, ktorého výsledkom je štatisticky významný model. Z pohľadu zostavovateľa je podstatná aj skutočnosť, aby boli do modelu zaradené tie premenné, ktoré dokáže ovplyvniť a zabezpečiť tak dosiahnutie požadovanej hodnoty vysvetľovanej premennej. Rovnako dôležité je stanovenie si účelu, na ktorý sa model zostavuje a dostupnosť a kvalita údajov, ktoré sú potrebné na kvantifikáciu modelu.

2 Ekonometrické modelovanie 45 __________________________________________________________________________________________ Cena je všeobecne považovaná za činiteľ, ktorý významnou mierou ovplyvňuje dopyt po tovaroch a službách. Ak by celková úroveň dopytu po tovare A závisela iba od jeho jednotkovej ceny, tak matematický zápis tejto závislosti by bol

)( Apfq = kde

q je úroveň dopytu po tovare A, f je symbol vyjadrujúci funkčnú závislosť,

Ap je cena za jednotku tovaru A. Ide o deterministický vzťah, na základe ktorého je príslušnej hodnote priradená určitá (presná) hodnota . Uvedený vzťah upravíme na stochastický (pravdepodobnostný), ktorý obsahuje aj náhodnú zložku u. Tým je vyjadrená skutočnosť, že jednotková cena tovaru A ovplyvňuje celkovú úroveň dopytu po tovare A len približne (s určitou pravdepodobnosťou), a že na pôsobia aj iné činitele.

Apq

q Po úprave dostávame

),( upfq A= kde u je náhodná zložka. V modeli pokračujeme voľbou analytického tvaru modelu. Ak sa rozhodneme pre lineárnu závislosť, tak môžeme zapísať rovnicu v tvare

upbbq A ++= 10 kde

0b je úrovňová konštanta (úroveň dopytu, ak je parameter b rovný nule), 1

1b je regresný parameter. Pomocou vhodných štatistických metód možno dospieť k odhadu teoretických hodnôt a b . Odhadnuté parametre označujeme príslušným znakom so strieškou.

0b1

epbbq A ++= 10

ˆˆˆ kde

0b je odhad úrovňovej konštanty b ,0

1b je odhad parametra ,1b

e je rezíduum (nevysvetlený zvyšok). Ak sa rozhodneme zaradiť do modelu aj ďalšie činitele, a to cenu statku B (záleží na vzťahu medzi A a B, či sú substitúty alebo komplementy), disponibilný príjem obyvateľstva a spotrebiteľské preferencie, tak potom môžeme dopytovú funkciu matematicky zapísať v tvare


),,,,( uVYppfq DBA= kde

Bp je cena za jednotku tovaru B,

DY je disponibilný príjem obyvateľstva, V je premenná, ktorá vyjadruje výdavky na reklamu tovaru A.

Pôsobenie ostatných, menej podstatných činiteľov, zostane zahrnuté v náhodnej zložke u . Ak sa napríklad domnievame, že výdavky na reklamu neovplyvňujú významne dopyt po tovare A, a premennú V z modelu vynecháme, tak jej vplyv zostane zahrnutý v náhodnej zložke u. Vo fáze zostavovania modelu vytvoríme predpoklady pre následnú ekonomickú verifikáciu tým, že stanovíme očakávané znamienka odhadnutých parametrov. Smer závislosti vyjadrený znamienkami parametrov predpokladáme v zhode s ekonomickou teóriou. Ak opäť zvolíme lineárny tvar modelu, tak môžeme zapísať rovnicu

uVbYbpbpbbq DBA +++++= 43210 kde b sú parametre odhadovanej regresnej rovnice, pričom 43210 ,,,, bbbb

- je úrovňová konštanta (určuje výšku dopytu pri ostatných parametroch nulových), predpokladáme kladné znamienko,

0b

- má záporné znamienko, rast ceny statku A spôsobí pokles dopytu po tomto tovare, 1b- má kladné znamienko, ak B je substitučný tovar k tovaru A, a záporné znamienko,

ak B je komplementárny tovar k tovaru A, 2b

- je obvykle kladný, rast Y spôsobí rast úrovne q3b D (okrem prípadu, že A je inferiórny tovar),

- má kladná znamienko, očakávame zvýšený záujem o tovar A v prípade zvyšujúcich sa výdavkov na reklamu tohto tovaru.

4b

Odhadnuté parametre modelu, pokiaľ sú v súlade s vyššie uvedenými podmienkami, majú svoju ekonomickú interpretáciu. V tomto prípade ich interpretujeme ako absolútne pružnosti dopytu. Parameter b (absolútna cenová pružnosť dopytu) vyjadruje zmenu dopytovaného množstva vyvolanú zmenou ceny tovaru A o jednotku. Ide o hraničnú veličinu, ktorá závisí od meracích jednotiek obidvoch premenných.

1

Hodnotu parametra dostaneme ako parciálnu deriváciu modelu dopytu podľa ceny tovaru A,

Apqb

∂∂

=1

Parameter b je súčasťou koeficientu tzv. relatívnej cenovej pružnosti 1 pε , pričom

Ap p

q∂∂

=εqpA resp.

qpb A

p 1=ε

2 Ekonometrické modelovanie 47 __________________________________________________________________________________________ Absolútna pružnosť v bode zostáva nezmenená, relatívna pružnosť dopytu sa pre rôzne úrovne mení, ide o model s variabilnou relatívnou cenovou pružnosťou. Pre parameter b platí apriórne obmedzenie, a to (

1

)01 ≤≤−∞ b . Všeobecne možno konštatovať, že dopyt po tovare je tým cenovo pružnejší, čím je na trhu viac substitútov uvažovaného tovaru. Luxusnejší tovar je všeobecne viac cenovo pružný, naopak nevyhnutný tovar je cenovo nepružný. Dlhodobé cenové pružnosti sú väčšie ako krátkodobé. Parameter interpretujeme ako absolútnu krížovú pružnosť dopytu. Vyjadruje zmenu dopytovaného množstva vyvolanú zmenou ceny tovaru B o jednotku. Apriórne obmedzenie pre

2b

(−∞2b je . Absolútna veľkosť krížovej pružnosti dopytu rastie so stupňom zameniteľnosti statku tovaru A za B. Hodnotu parametra dostaneme ako parciálnu deriváciu dopytového modelu podľa ceny tovaru B,

)2 ∞≤≤ b

Bpqb

∂∂

=2

Parameter vystupuje ako zložka koeficientu relatívnej krížovej pružnosti dopytu , takže 2b *

pε

Bp p

q∂∂

=*εqpB resp. 2

* bp =εqpB

Parameter 3b

(

vyjadruje absolútnu bodovú príjmovú pružnosť dopytu. Vyjadruje zmenu dopytovaného množstva pri zmene disponibilného príjmu o jednotku. Apriórne obmedzenie pre je . Hodnotu parametra získame ako parciálnu deriváciu podľa disponibilného príjmu

3b )0 3 ∞≤≤ b

DYqb

∂∂

=3

Parameter 3b vystupuje ako súčasť koeficientu relatívnej príjmovej pružnosti dopytu Yε . Z ekonomickej teórie vieme, že pre luxusné tovary platí, že 1⟩Yε , a pre nevyhnutné tovary

1⟨Yε . Určujúci význam má výška priemerného príjmu na obyvateľa. Pre Yε platí, že

DY Y

q∂∂

=εq

YD , resp. q

Yb DY 3=ε

Parameter vyjadruje priemernú zmenu dopytovaného množstva pri jednotkovej zmene výdavkov na reklamu. Očakávame kladné znamienko, nakoľko zvýšenie reklamných výdavkov o jednotku spôsobí pravdepodobne nárast záujmu o tovar medzi spotrebiteľmi

.

4b

)∞0( 4 ≤≤ b

48 Ekonometria pre manažérov __________________________________________________________________________________________ Otázky 1. Objasnite princípy a spôsob aplikácie štrukturálnej analýzy na úrovni národného

hospodárstva a na úrovni výrobného podniku. 2. Vymenujte základné funkcie, s ktorými sa stretávame pri modelovaní trendu. Určite, ktoré

z týchto funkcií majú asymptotický charakter a ktoré nie. 3. Vysvetlite princíp vyrovnávania časového radu metódou kĺzavého priemeru a porovnajte

tento spôsob s vyrovnávaním radu metódou najmenších štvorcov. Aké výhody a aké obmedzenia má využitie každej z metód?

4. Vymenujte a bližšie charakterizujte jednotlivé fázy v procese tvorby ekonometrického

modelu. 5. Formulujte, zostavte a špecifikujte jednoduchý ekonometrický model popisujúci

nákladové hospodárenie výrobného podniku.

Documents

2 Ekonometrické modelovanie - fsi.uniza.skfsi.uniza.sk/kkm/old/publikacie/ek/ek_kap_2.pdf · 30 Ekonometria pre manažérov Ak prebytky hrubej produkcie tvoria stĺpcovú maticu