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2. Energia Cinetica 3. 5. Il teorema dell’energia cinetica ... · PDF filelavoro è definito come il prodotto scalare della forza per lo spostamento : Dove θ è l’angolo tra la

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Energia e Lavoro

1. Che cos lenergia 2. Energia Cinetica 3. Lavoro di una forza costante 4. Lavoro di un forza variabile 5. Il teorema dellenergia cinetica 6. Esempio: il lavoro compiuto dalla forza peso 7. Esempio: il lavoro compiuto per sollevare ed

abbassare un peso 8. Esempio: lavoro compiuto dalla forza elastica 9. Esempio: il lavoro compiuto dalla forza di attrito

Dal punto di vista fisico: Lenergia una grandezza fisica scalare associata allo stato di un corpo o di un sistema di corpi .

Se una forza interviene a cambiare lo stato di un corpo il valore numerico dellenergia che lo rappresenta si modifica.

La propriet pi importante del nostro Universo che in esso lenergia si conserva, si pu trasformare , passare da un corpo ad un altro, ma lenergia totale si deve conservare.

Mediante lo studio dellenergia possibile risolvere dei problemi di dinamica anche senza lutilizzo delle leggi di newton e questo approccio molto conveniente soprattutto quando si ha a che fare con forze variabili, cio quando laccelerazione non costante e le equazioni del moto possono risulta molto complicate.

Definizione di Sistema: Un sistema un modello semplificato di una piccola porzione di Universo che viene presa in considerazione. Un sistema pu essere composto da: una sola particella, un insieme di particelle, una regione di spazio.. Un sistema pu cambiare di forma e dimensione ( pallina di gomma ..)

Che cos lenergia- definizione di sistema Il termine energia un parola comunemente usata nel nostro colloquiare quotidiano. Conosciamo molti tipi di energia e gli innumerevoli campi in cui essa pu essere utilizzata, sappiamo che qualsiasi movimento richiede energia, che il controllo di alcune fonti di energia stato ed tuttora una delle cause di guerre tra stati MA. Cosa significa in realt energia?

Energia Cinetica

Energia cinetica di un corpo : energia associata allo stato di moto del corpo

2

21 mvK =

Se ad un certo istante un corpo si muove con una velocit v, sufficientemente inferiore alla velocit della luce, lenergia cinetica del corpo in quellistante

Energia Cinetica

Lenergia cinetica aumenta quadraticamente allaumentare del modulo della velocit e se un corpo fermo la sua energia cinetica nulla

Lenergia cinetica dipende linearmente dalla massa del corpo

Lunit di misura dellenergia il Joule e si ha che:

Vedremo che la variazione di energia cinetica si collega strettamente ad un nuovo concetto fisico detto Lavoro ( in fisica la parola Lavoro ha un significato diverso da quello comunemente usato).

221 smKgJ =

Lavoro svolto da una forza costante Consideriamo una forza costante che agisca su un punto materiale e supponiamo per semplicit che il moto avvenga nella direzione della forza. Sia r lo spostamento. Definiamo Lavoro della forza il prodotto: Pi in generale se il moto avviene in una direzione diversa rispetto alla forza il lavoro definito come il prodotto scalare della forza per lo spostamento : Dove langolo tra la direzione della forza e quella dello spostamento. Siccome L uno scalare esso pu essere positivo, negativo o nullo: Se 0)la forza ha una componente positiva nella direzione del moto L>0 ed il lavoro e detto lavoro motore

Se /2

Alcune considerazioni sul lavoro di una forza

cosrFrFL ==!

Poich Fcos pu essere vista come la proiezione della forza sulla direzione dello spostamento r, quando forza e spostamento hanno direzioni diverse, il lavoro compiuto solo dalla componente di nella direzione di r. Se quindi la Forza agente su un corpo perpendicolare allo spostamento la sua componente lungo r nulla e quindi non compie lavoro.

F!

F!

Se la forza agente non costante ma la traiettoria lineare (particella che si muove lungo lasse x ma con forza che varia in funzione della posizione) allora possiamo scomporre la traiettoria stessa in intervalli dx sufficientemente piccoli da poter considerare in essi che la forza sia costante

Possiamo esprimere il lavoro effettuato dalla forza lungo la traiettoria come la somma dei lavori eseguiti nei singoli segmenti di traiettoria: L = Fx1 x + Fx2 x+ Fx3 x+ . +FxN x Cio:

Se le dimensioni degli intervalli tendono a zero il numero degli intervalli cresce fino ad infinito e la somma tende allintegrale:

Lavoro svolto da una forza variabile(1)

==

==N

nx

N

nn xFLL n

11

===

f

i

n

x

xx

N

nxx

dxFxFL10

lim

NB: Se la forza fosse costante, Fx potrebbe essere estratto dallintegrale e si otterrebbe di nuovo L=Fxx

Il lavoro pari allintegrale definito di F(x) calcolato tra xi ed xf , cio pari allarea sottesa

dalla curva Fx(x) nellintervallo x = xf-xi

Lavoro svolto da una forza variabile(2)

Consideriamo ora un caso pi generale, di una particella che si muove lungo una traiettoria tridimensionale mentre soggetta ad una forza risultante . Il lavoro, che una grandezza scalare sar dato dallintegrale del prodotto scalare tra ed il percorso infinitesimo :

F!

F!

rd!

= rdFL!!

Se in un sistema costituito da una particella su cui agiscono pi forze, il lavoro totale compiuto sul sistema dato dalla somma dei lavori effettuati dalle singole forze:

( ) ==f

i

x

xxtot dxFLL

( ) =f

i

f

i

x

xx

x

xx dxFdxF

NB la somma di integrali di funzioni uguale allintegrale della somma delle funzioni

Lintegrale calcolato lungo il percorso della traiettoria ( integrale di linea)

NB: In ogni caso il lavoro una grandezza scalare e le sue dimensioni fisiche sono: [M][L]2[T]-2

Lunita di misura del lavoro la stessa dellenergia : il Joule 221 smKgmNJ ==

Esplicitiamo: Consideriamo una particella sulla quale agisca una forza : dove Fx, Fy, Fz, dipendono da x, y, z rispettivamente (semplificazione) Supponiamo che la particella compia uno spostamento infinitesimo Il lavoro infinitesimo dL, svolto dalla forza F mentre la particella si sposta di sar: Il lavoro L svolto da F durante lo spostamento dalla posizione iniziale alla posizione finale sar quindi:

Analisi tridimensionale

== rdFdLL!!

kFjFiFF zyx ++=!

( ) ( ) ( )kdzjdyidxrd ++=!

rd!

dzFdyFdxFrdFdL zyx ++==!!

( )iiii zyxr ,,=!

( )ffff zyxr ,,=!

( ) ++=++==f

i

f

i

f

i

z

zz

y

yy

x

xx

f

izyx

f

i

dzFdyFdxFdzFdyFdxFdLL

Teorema dellenergia cinetica

Se si pu calcolare il lavoro compiuto dalla forza risultante agente su una particella per effettuare un dato spostamento, sar possibile calcolare in maniera molto semplice anche la sua variazione di velocit.

Consideriamo una particella che si muove lungo una traiettoria e scomponiamo la sua accelerazione nelle componenti tangente at e radiale ar rispetto alla traiettoria stessa. Definiamo forza tangenziale Ft la componente della forza nella direzione della traiettoria. Il lavoro della forza si pu scrivere in termini di tale componente: Ricordiamo che: E sostituendo nellespressione del lavoro:

tt maF = Forza tangenziale

=f

itdrFL

dtdvat = dt

dvmmaF tt ==

==f

i

f

it drdt

dvmdrFL fi

f

i

v

v

v

v

f

i

vmvdvmdvdtdrm 2

21

===22

21

21

if mvmvL =

Dove vi e vf sono le velocit della particella nel punto iniziale e finale dello spostamento

dtdr v

Ricordiamo che per definizione lenergia cinetica di una particella che possiede una velocit v pari a: Avremo quindi che

Teorema dellenergia cinetica

Quando svolto lavoro sul sistema e la sola variazione nel sistema la variazione del modulo della velocit, il lavoro compiuto dalla forza risultante che agisce sul sistema pari alla variazione dellenergia cinetica della particella che avviene nello spostamento.

2

21 mvK =

Kmvmv if =22

21

21 Variazione dellenergia

cinetica della particella

Possiamo quindi enunciare il TEOREMA DELLENERGIA CINETICA:

22

21

21

if mvmvKL ==

Se L>0 K>0 lenergia cinetica aumenta andando dal punto iniziale i al punto finale f

Se L

Lavoro compiuto dalla forza gravitazionale

Consideriamo una pallina di massa m che viene gettata in aria verticalmente con una velocit iniziale v0 La pallina soggetta alla forza gravitazione A causa della presenza di tale forza la velocit della pallina, diminuisce e quindi anche lenergia cinetica Il lavoro che la forza gravitazionale fa sulla pallina durante lo spostamento y :

0v

v

0=vgF!

gF!

gF!

y

202

1 mvKi =

2

21 mvK =

0=K202

1 mvKi =

gmFg!!

=

Energia cinetica iniziale

cosyFL g=

+

=

ymg

ymg Mentre la pallina sale ( =180 perche la forza e lo spostamento hanno versi opposti)

Mentre la pallina scende ( =0 perche la forza e lo spostamento sono equiversi)

Il segno positivo sta ad indicare che la forza gravitazionale trasferisce energia mgy alla particella

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