2. ESTADO DEL CONOCIMIENTO 2.1. MECANISMOS DEL …

Estudio de la evolución temporal de la erosión local en pilas de puente a largo plazo

2. Estado del conocimiento 4

2. ESTADO DEL CONOCIMIENTO 2.1. MECANISMOS DEL PROCESO DE EROSIÓN Cuando cualquier estructura se sitúa en medio de una corriente de agua, se genera un fenómeno en tres dimensiones debido a la presencia del obstáculo. En el caso de una pila se ha visto que ocurre lo siguiente: El flujo se acelera alrededor de ésta, de manera que el gradiente de velocidad vertical del flujo se transforma en un gradiente de presión en la parte donde impacta directamente sobre la estructura. Este gradiente de presión provoca una corriente vertical hacia abajo que impacta en el lecho, en la base de la pila, donde se forma un vórtice que arrastra el material del lecho alrededor y aguas abajo de la estructura. Éste es el llamado vórtice de herradura, conocido por este nombre debido a la forma que adquiere cuando se observa desde encima. Por otra parte, en la superficie libre del agua, el flujo y la pila interactúan formando una ola llamada vórtice superficial. Además, detrás de la estructura, donde el flujo se ha separado, se producen unos vórtices de estela. Todos estos fenómenos se pueden observar en la figura 2.1. La capacidad de “aspiración” de todos estos vórtices y un incremento local de la tensión cortante en el lecho, al lado de la estructura, es lo que provoca la formación del foso alrededor de la pila. Muchos investigadores identifican la corriente vertical, y por lo tanto los vórtices de herradura, como la principal causa de erosión y describen el foso como un cono circular invertido con la pila como eje y el ángulo del cono el ángulo de reposo del sedimento.

Figura 2.1. Características del flujo alrededor de una pila Kothyari y Ranga Raju

(2002)



2.1.1. Vórtice de herradura Debido a la importancia del vórtice de herradura en el fenómeno de la erosión, ha sido extensamente estudiado, aunque casi siempre en pilas circulares. A continuación se presenta una descripción detallada de las características de los vórtices de herradura según Muzzammil et.al. (2003). Estos vórtices se pueden describir básicamente con tres parámetros: el diámetro, la velocidad y la fuerza o intensidad que tienen. Su forma es aproximadamente elíptica en el plano vertical de la línea de simetría del flujo, y su principal medida es un promedio entre el diámetro máximo y mínimo es decir,

Dv = a+b [2.1]

donde a y b son los radios máximos y mínimos. La segunda característica importante es la velocidad que se puede calcular como:

Vo=π*N*Dv [2.2]

donde N es la frecuencia de rotación del centro del vórtice. Y por último la fuerza del vórtice que se define como:

Γ=π*Dv*Vo [2.3]

Para ver el comportamiento o la evolución de estos parámetros con respecto a la erosión local se han hecho tres tipos de estudios: en lecho plano y rígido, con el foso formado pero rígido y con el lecho móvil.

Vórtice de herradura en lecho plano y rígido: Éste es un lecho en el que se ha inyectado cemento seco en la arena húmeda para rigidizarlo, y así dejar un lecho sin capacidad de erosión. En estas condiciones se ha comprobado que las magnitudes características de los vórtices permanecen constantes para número de Reynolds ReD > 104. Esto es lo que muestran los gráficos de la figura 2.2.

Figura 2.2.a) Tamaño del vórtice en lecho rígido



Figura 2.2. b) Velocidad del vórtice

Figura 2.2.c) Fuerza relativa del vórtice.

En el gráfico a) se observa que el tamaño medio del vórtice se aproxima al 20% del diámetro de la pila D. Por lo tanto Dv = 0,2 * D. Esto indica que el tamaño del vórtice sólo depende del diámetro de la pila y por o tanto es independiente de las condiciones del flujo. En el b) se puede ver que la velocidad tangencial del vórtice es el 50% de la velocidad del flujo U, con lo que se obtiene que Vo = 0,5 * U. Y finalmente el c) indica que su fuerza también es constante e igual a Γ = 0,1 * π * U * D. Esto muestra una relación lineal entre la fuerza del vórtice y el diámetro.



Vórtice de herradura dentro del foso rígido: Para conseguir inmovilizar el sedimento del foso lo que se ha hecho es que una vez formado el foso se le ha inyectado cemento seco, como en el anterior caso. En esta situación lo que ocurre es que el tamaño del vórtice es constante (Dv = 0,2 * D) hasta que hs/D = 0,2, donde hs es la profundidad de erosión. A partir de este punto Dv crece linealmente con hs, tal como se puede ver en la figura 2.3 a). Así se llega a la conclusión que hasta que la erosión no iguala el tamaño del vórtice, éste no varía. Pero cuando el vórtice ya está completamente hundido, luego va creciendo linealmente con la profundidad de erosión. La velocidad y fuerza relativas del vórtice (representadas en la figura 2.3 b) y c) respectivamente) tienen curvas parecidas, en las que hay una fase inicial donde aumentan hasta llegar a un máximo, y luego disminuyen tendiendo a un valor asintótico en la fase de equilibrio. El aumento de las dos variables en el inicio, es atribuido a la aceleración del flujo producida por la curvatura de las líneas de corriente en un plano vertical. A medida que la erosión aumenta el efecto de la aceleración del flujo disminuye y la resistencia de la superficie incrementa.

Figura 2.3. a) Tamaño del vórtice vs. erosión en foso rígido



Figura 2.3. b) Velocidad del vórtice en foso rígido

Figura 2.3. c) Fuerza del vórtice en el foso rígido

Vórtice de herradura en lecho móvil: Esta es la situación que sucede en la realidad, un lecho que será erosionado en función de las características del vórtice. En este caso se han estudiado las mismas variables. Respecto al tamaño del vórtice, se ha visto que la movilidad del sedimento no le afecta, por lo que sigue la misma curva que en la figura 2.3. a), donde hay un incremento de Dv linealmente con hs. Respecto a la velocidad y la fuerza del vórtice hay que decir que ambas siguen las mismas tendencias que en el caso de foso rígido. En las gráficas 2.4. a) y b) hay representado Vo/Vom y Γ/Γm respecto a hs/hsm1 y hs/hms2 respectivamente, donde hsm1 es la erosión para Vom, que es la máxima velocidad, y hsm2 es la erosión para Γm.



Se observa que al inicio hay una fase de crecimiento, que, en este caso, sí depende de las condiciones iniciales, hasta llegar a un máximo. A partir de aquí empieza un descenso, es decir, una disminución de la velocidad y fuerza del vórtice, solamente influidos por la profundidad del foso. Esto es lo que provoca una reducción de la velocidad de erosión hasta llegar al equilibrio.

Figura 2.4. a)

Figura 2.4. b)

La caracterización tan minuciosa del vórtice de herradura, considerándolo como el principal causante de la erosión local, ha servido para hallar una expresión de la máxima profundidad de erosión, considerando el equilibrio de una partícula ideal de sedimento sobre una pendiente en lecho granular. Obviando el sistema de vórtices, el flujo se puede descomponer en dos fuerzas principales: una de arrastre, paralela a la pendiente del foso, y otra perpendicular a ésta.



La velocidad del vórtice servirá para evaluar la primera, mientras que la segunda se podrá encontrar mediante la relación entre la velocidad y la fuerza. Así pues se puede llegar a la siguiente expresión para evaluar la máxima profundidad de erosión de equilibrio (hsem):

31

*

=

DhA

Dhsem [2.4]

donde 4

1

02.0*

2

***93.10

=

e

c

i

c

VU

dUU

Aθ

[2.5]

D : diámetro de la pila h : calado d* : número adimensional del sedimento Uc : velocidad del inicio de erosión Ui : velocidad crítica de inicio del movimiento Voe : velocidad del vórtice en condiciones de equilibrio

Ésta es una formulación para el cálculo de la erosión máxima basada en las características del flujo o en su capacidad erosiva, en vez de hallar una fórmula empírica.



2.2. EROSIÓN LOCAL SEGÚN VELOCIDADES. ESTADO TENSIONAL La erosión local se puede clasificar en dos grupos según la velocidad del flujo. Lo especialmente interesante es la relación entre la velocidad de corte del flujo (v*) y la velocidad de corte crítica (v*c), que es la que se da en el inicio del movimiento. Según esta relación se pueden distinguir dos tipos de flujo:

Aguas claras: cuando v*/ v*c < 1. Esto significa que el flujo no alcanza la velocidad de corte del inicio del movimiento y como no tiene suficiente fuerza para movilizar partículas, no existe erosión, a no ser que el flujo se encuentre con algún obstáculo. Por lo tanto la única erosión posible es la local.

Lecho móvil: si v*/ v*c > 1. Aquí la velocidad del flujo ya tiene la fuerza suficiente

como para mover sedimento y por eso será capaz de erosionar el lecho del río. Según todos los estudios realizados, la máxima erosión se da justo cuando v*/ v*c = 1, que son precisamente las condiciones de inicio del movimiento. Por esta razón se han realizado los ensayos justo en estas condiciones. En la gráfica 2.5 se pueden apreciar las diferencias entre la erosión que provocan ambos flujos. En aguas claras se alcanza la máxima erosión, aunque se tarda mucho más tiempo. En cambio en lecho móvil es posible alcanzar grandes erosiones con menos tiempo, aunque éstas fluctúan alrededor de un valor de equilibrio que es ligeramente inferior al máximo.

Figura 2.5. Comparación de la evolución de erosión-tiempo en lecho móvil y aguas claras, según W. Jr. Miller (2003)

En la figura 2.6 se puede ver además, la relación de lo anterior con la velocidad. Cuanto mayor es la velocidad del flujo en lecho móvil, menor es el tiempo que se necesita para llegar a la erosión de equilibrio. La zona sombreada de negro muestra claramente como dse, que es la erosión de equilibrio, es mayor para el punto de la frontera entre aguas claras y lecho móvil, como se ha dicho.



Figura 2.6. Variación de la erosión local respecto a la velocidad del flujo y al tiempo, según Melville y Chiew (1999).

El hecho de que la profundidad de erosión cambie con la intensidad del flujo, o sea, con la velocidad, se explica en términos del balance entre el sedimento entrante y el saliente del foso de erosión. De esta manera en aguas claras no existe entrada de sedimento. La velocidad de corte del flujo (también relacionada con las fuerzas de arrastre), de la que se ha hablado anteriormente, es una medida de la acción del agua sobre el fondo y puede definirse a partir de la tensión τo como:

ρτ ov =* [2.6]

Para definir la zona en que hay movimiento y la zona donde no lo hay, se utiliza el ábaco de Shields (figura 2.7), en unos ejes τ y Re*, donde:

[2.7]

νDv *

Re ** = [2.8]

donde τ : es la relación entre las fuerzas de desequilibrio y las de equilibrio, Re*: es el Reynolds granular, que mide la turbulencia a nivel de grano (para diferenciarlo de Reynolds global).

De ahí se deduce que, cuanto mayor es D, mayor tiene que ser la tensión que es capaz de mover la partícula.

Ds *)( γγττ−

=



También se puede apreciar que para Re*>400 el movimiento se llama turbulento rugoso, ya que D del grano es mayor que la subcapa límite laminar y entonces la tensión necesaria para iniciar el movimiento es independiente del número de Reynolds y τ = 0.056. Una aclaración muy importante es que el inicio del movimiento no es una línea fina y definida sino que es una nube de dispersión entorno a esta línea., debido a que la forma de determinar la línea es puramente empírica y dependerá totalmente del experimentador y del tipo de grano utilizado.

Figura 2.7. Ábaco de Shields, de Chih Ted Yang (1996)



2.3. DESCRIPCIÓN DE LOS SUBPROCESOS DE EROSIÓN La erosión local es un fenómeno complejo formado por varios subprocesos que se van sucediendo en el tiempo. Éstos han sido largamente estudiados, y las principales partes del proceso completo que algunos autores han considerado, son las siguientes:

Melville (1975): dividió el proceso en tres fases: 1. El flujo se acelera debido a la distorsión de las líneas de corriente

causada por el obstáculo. 2. Separación del flujo y desarrollo del vórtice de herradura al mismo

tiempo que el foso se va erosionando. 3. Deslizamiento del material de las paredes del foso hacia el fondo

cuando éste ya es suficientemente grande para contener el vórtice de herradura.

Además Melville llegó a la conclusión que el ángulo de la pared del foso es el ángulo de reposo del sedimento y por lo tanto se mantiene constante en todo el proceso.

Nakagawa and Suzuki (1975): describieron el proceso en cuatro fases: 1. Erosión muy cerca de la pila causada por la tensión de corte del flujo

principal. 2. Erosión cerca de la cara aguas arriba de la pila debida al vórtice de

herradura. 3. Erosión debida al vórtice, ya estable, alrededor de la pila. 4. Periodo de reducción del ratio de erosión debido a la disminución de

la capacidad de transporte en el foso.

Ettema (1980): basándose en las fases descritas por Melville, él las describió de la siguiente manera:

1. Fase inicial: empieza el transporte de sedimentos alrededor de la pila sin que el vórtice de herradura intervenga.

2. Principal fase de erosión: el vórtice de herradura crece rápidamente en tamaño y fuerza y se sitúa completamente dentro del foso. La erosión sólo ocurre en una zona llamada zona de entrada que se extiende +/- 110º desde el eje de la pila. Esta fase continúa hasta que el flujo ya no es capaz de mover el sedimento en la zona.

3. Fase de equilibrio: el flujo ya no es capaz de mover el sedimento (cuando se dan las condiciones de aguas claras) o el balance de sedimento entrante y saliente del foso es cero (lecho vivo).



2.4. PARÁMETROS QUE INFLUYEN EN LA EROSIÓN La profundidad de erosión depende de una serie de parámetros muchos de los cuales están interrelacionados. Se pueden dividir en:

Parámetros que describen el fluido: su densidad (ρ) y la viscosidad (µ), que dependen de la temperatura y salinidad del fluido.

Parámetros que describen el sedimento: tamaño medio (d50), desviación estándar del

tamaño (σ), densidad (ρs) y ángulo de reposo (φ).

Parámetros que describen en flujo: calado (y0), velocidad media (v), pendiente de energía del flujo (Sf), pendiente del lecho (So) y tensión del corte (τ).

Parámetros que describen el obstáculo: forma, dimensiones (D), orientación relativa

a la dirección del flujo.



2.5. EVOLUCIÓN TEMPORAL DE LA EROSIÓN En los últimos 50 años se han desarrollado muchos estudios de erosión local en pilas o estribos de puente en un lecho de río. Pero no todos coinciden en las conclusiones. Algunos autores sugieren que el tiempo para desarrollar la erosión de equilibrio es ilimitado porque al equilibrio en aguas claras se llega de manera asintótica con el tiempo. Otros solamente han desarrollado fórmulas para el tiempo final de equilibrio. Pero el hecho de estudiar toda la evolución temporal del proceso no ha sido muy corriente. A continuación se presentan los desarrollos más importantes de evolución temporal hasta el momento, algunos de ellos descritos por Miller (2003) en su tesis doctoral.

Laursen (1963): Su modelo está basado en la hipótesis que el límite de aguas claras ocurre cuando el límite de la tensión de corte como función del tiempo (τ) es igual a la tensión de corte crítica (τc). Desarrolló una fórmula para la erosión de equilibrio:

32

2/8,0

=

c

o

oo

se

tyD

yd

ττ

de donde sacó 2

3

=

s

se

c dd

ττ [2.9]

También supone que el foso de erosión tiene forma de cono con una altura igual a ds y una base de 2,75*ds. Así el volumen del foso se puede aproximar como Vol=8*ds

3 , por

lo tanto la variación de transporte de material en el foso:

dtdd

ddt

dVolq sss

224== [2.10]

Finalmente Laursen encontró una ecuación diferencial que simulaba el desarrollo del foso con el tiempo. Para una pila circular la ecuación quedaba como:

dtDd

Dgdy

yy

c

om5,12

5,1

5,3

92,11

−

=− τ

τ [2.11]

donde y=ds/dse El propio autor reconoció lo peligroso que era utilizar este modelo fuera del rango de los experimentos, pero lo que consiguió es demostrar que se podía encontrar una previsión fiable de la evolución temporal de la erosión. Se puede ver que la anterior ecuación no depende del calado, como muchos otros autores afirman. Esto es debido a que tuvo en cuenta directamente las tensiones de corte en el lecho.



Shen et al. (1966): Hizo experimentos en aguas claras y también el lecho vivo. De ellos sacó una fórmula empírica para hallar la profundidad de erosión en función del tiempo para una pila de diámetro D, con una velocidad del flujo V y para un calado y0, que es la siguiente:

2

1 aE

se

s edd −−= [2.12]

donde

=

oo ytVLn

yDFE *3

1

y ( )[ ]oytfa **932,2exp*026,0=

y F es el número de Froude. Como se puede observar, cuando E va aumentando, ds/dse va acercándose a 1 ya que la exponencial tiende a cero. Un problema hallado por otros autores en esta teoría es la falta de dependencia del tamaño del sedimento, por lo cual solamente es válido en las condiciones desarrolladas en el mismo modelo.

Carstens (1966): Aproximando la geometría del foso a un cono truncado invertido, propuso un modelo basado en el balance de sedimento entre la geometría que regía la profundidad del foso de erosión y el sedimento transportado fuera del foso.

dtdd

Dtgd

tgddD

tgd

tgdtd

dtdVolq sssss

s

+=

+==

φφπ

φφπ *

2**3

*3

23

[2.13]

Este balance da el transporte de sedimento (qs). Por otro lado Carstens desarrolló una fórmula empírica para hallar qs. Combinándolas y integrando respecto Vt/D llegó a la ecuación buscada.

( ) ( )

++−

+

−

+

=

−−

1*2

643232

*

24

*

16*)(10*14,4

43

2

345

25226

φφφφ

φ

φ

tgDd

LntgDd

tgDd

tg

Dd

tgDd

tgDd

DtV

Dd

NN

sss

sss

gscs

[2.14]

Esta ecuación no conduce al equilibrio, pero el incremento en la erosión es muy pequeño ya que el inversamente proporcional a (ds/D)4.



Nakagawa and Suzuki (1975): Para hacer sus estudios desarrollaron experimentos con una pila cilíndrica y concluyeron que la máxima erosión ocurría en el plano de simetría y sólo dependía del vórtice de herradura. Modelaron la fuerza del vórtice como una disminución en la circulación del flujo debido a la presencia de la pila. La conclusión de este estudio fue que el modelo se adaptaba perfectamente a los experimentos en su fase inicial, aunque no ocurría lo mismo en la fase final. Esto era debido a que no tuvieron en cuenta la disminución de la capacidad de transporte que se daba en el foso.

Hjorth (1977): Aplicó el modelo original de transporte de sedimento de Einstein (1950) para examinar la naturaleza del proceso de erosión local. Aproximó la tensión de corte en el foso como función de la profundidad de erosión, y dedujo su valor de una serie de consideraciones de conservación de la vorticidad. Asumió que la tensión de corte era proporcional a la vorticidad, y que la erosión empezaba cuando la velocidad de aproximación del flujo era la mitad de la velocidad crítica, independientemente del diámetro de la pila. Además decir que a medida que el foso aumentaba de tamaño, el área del vórtice también lo hacía. El modelo está basado en un modelo estocástico que asume que la probabilidad de que una partícula sea arrastrada es la probabilidad de que una partícula entre en contacto con el remolino y la fuerza de éste sea mayor que la resistencia que oponga la partícula a ser movida. Este modelo fue considerado erróneo ya que se consideró que las hipótesis hechas por el autor no eran correctas.

Baker (1978): Realizó varios ensayos en pilas circulares dando especial relevancia al vórtice de herradura. Lo que buscaba era investigar la dependencia entre la profundidad de equilibrio y el desarrollo temporal del foso, con varios parámetros. Baker coincidió con Melville en varias cuestiones como que la parte más profunda del foso está aguas arriba de la pila, que la pendiente del foso aguas arriba coincide con el ángulo de reposo del sedimento y que la erosión tiene lugar en una pequeña región cerca de la pila. Él describió el proceso de la siguiente manera: el vórtice de herradura saca el sedimento de la zona de aguas arriba de la pila para llevarlo hasta aguas debajo de ésta. Además el sedimento que está en la pared del foso aguas arriba va resbalando hasta llegar a la zona del vórtice de herradura de manera que éste tiene más material para arrastrar. Esto se sucede hasta que la tensión de corte producida por el vórtice ya no es capaz de mover el sedimento. Respecto al desarrollo del foso con el tiempo enunció que, en aguas claras, al aumentar la velocidad, la profundidad del equilibrio se conseguía más lentamente. En cambio en



lecho vivo sucedía al contrario, al aumentar la velocidad, el equilibrio se hallaba más rápidamente.

Ettema (1980): Desarrolló un modelo parecido al de Carstens y Nakagawa and Suzuki. Modeló solamente la mitad de aguas arriba del foso como un cono truncado invertido. Según él, el ancho del área de erosión en el fondo del foso variaba en función de D/d. Para D/d>130, esta zona de erosión se extendía hacia la pendiente del foso en las fases iniciales pero retrocedía a medida que la erosión avanzaba hasta que quedaba reducida justo al lado de la pila. Para 130>D/d>30 esta área de erosión era una zona pequeña en la base de la pila. Ettema encontró la variación de volumen con el tiempo que se producía en el foso y definió también la variación de transporte de sedimento para poder hallar la evolución temporal de la profundidad de erosión, que es la que sigue:

p

s

IDkk

dktD

d

*cot

cot1*

*** 2

342

1

φφ+

=∂

∂

[2.15]

ki son constantes que Ettema obtuvo empíricamente para determinadas condiciones de flujo. En realidad pero, no trató de resolver totalmente esta ecuación ya que no resolvió Ip.

Yanmez and Altinbilek (1991): Usando la ecuación de balance de sedimento de Cartens (1966) (anteriormente nombrada) y con el modelo de transporte de sedimento de LeFeuvre (1970), encontraron un modelo de evolución temporal en el que tuvieron que ajustar con algunos factores de forma empírica. Al final propusieron la siguiente ecuación que resolvieron numéricamente con el algoritmo de Runge-Kutta:

+

+

=

φφ

φπtgDdd

tgDd

dtutgCN

duFdt

dd

ss

s

Ds

s

****2

**)(***

***30000275,0

50

4,58,28,5

501 [2.16]

Más tarde ellos mismos se dieron cuenta de que el modelo sólo era válido para aquellos valores experimentales con los que habían ajustado los parámetros empíricos utilizados.

Sumer et al. (1992): Desarrolló un modelo empírico donde asumía que la erosión como función del tiempo seguía una curva exponencial decreciente:

)1(* Tt

ses edd−

−= [2.17]



donde dse es la profundidad de erosión de equilibrio y T:

2,2

2*

21

3

2

*1**

20001*

*1

−

−

−

=gd

uDy

gd

DTs

o

s ρρ

ρρ

[2.18]

Este es un modelo muy simplificado en el que se supuso régimen turbulento rugoso, lo cual no era del todo cierto. Debido a las simplificaciones hechas se concluyó que el modelo no era del todo correcto.

Kothyari et al (1992): Las bases que expusieron eran parecidas a las que había sacado Hjorth en 1977. Aproximaron la tensión de corte en el fondo del foso asumiendo que la tensión debajo del vórtice es función del área del propio vórtice. Experimentalmente encontraron que el diámetro inicial del vórtice de herradura se podía calcular como :

85.0

*28,0

=

oo

v

yD

yD

[2.19]

A medida que el vórtice crecía, se iba introduciendo en el foso y su área iba aumentando

desde 4* 2

vo

DA π= hasta φ

πcot*24

* 22sv

tdD

A += .

Basándose en que el inicio de la erosión se produce aproximadamente cuando hay una velocidad de corte la mitad de la crítica, propusieron que la tensión de corte probabilística en la base de la pila en un tiempo t, era:

2*

57,0

, ***4 tt

outp u

AA

ρττ =

= [2.20]

donde τu es la tensión de corte en el lecho y u*t es la velocidad de corte. Un hecho importante es que el diámetro inicial del vórtice según el modelo es independiente de la velocidad del flujo y sólo es función del calado y del diámetro de la pila. En los ensayos realizados por Kothyari et al. las variables fueron el tamaño del sedimento y la velocidad del flujo, pero el calado y el tamaño de la pila se mantuvieron constantes. Es por esto que el efecto de estas dos últimas variables queda indeterminado en el modelo propuesto.



Franzetti et al.(1982): Formularon una propuesta para pilas circulares que tiene la siguiente expresión:

)*exp(1)( 211

ατατ −== fdd

se

t si τ≥2*106 [2.21]

donde D

ut *=τ

u es la velocidad del flujo aguas arriba de la pila D es el diámetro de la pila Y los coeficientes α1 y α2 los hallaron de forma empírica. Según sus estudios α1=-0,028 y α2= 1/3. En esta formulación dt/dse tiende asintóticamente a 1, con lo que no se llegaría nunca al equilibrio.

Melville and Chiew (1999): Ellos encontraron el tiempo te de equilibrio en aguas claras, que lo definieron como el tiempo en que la variación en la profundidad de erosión es menor del 5% del diámetro de la pila en 24 horas. Además definieron un factor de escala temporal t*=Vte/D. Experimentalmente hallaron que te y t* sólo dependían de V/Vc, D/d50 y y0/D. En sus estudios relacionaron t* con cada uno de los parámetros independientes. Demostraron que:

t*=2,5*106 si y0/D>6 ó D/d50>100

t* = 1,6*106{ y0/D}0,25 si y0/D ≤ 6 [2.22]

t* = 9,5*105{D/d50}0,21 si D/d50 ≤ 100 Sus experimentos sólo son válidos en aguas claras (0,4 ≤ V/Vc≤ 1) donde:

t* = 4,17*106{V/Vc – 0,4} [2.23] De estas relaciones sacaron el tiempo de equilibrio te:

−= 4,0*26,48)(

ce V

VVDdíast si y0/D > 6 [2.24]

25,0

4,0*89,30)(

−=

Dy

VV

VDdíast

ce si y0/D ≤ 6

y también la ecuación de la erosión en función del tiempo:



−=

6,1

03,0expe

c

se

s

ttLn

VV

dd

[2.25]

De las ecuaciones se pude observar que el tiempo de equilibrio tiende a incrementar si se incrementa la intensidad del flujo V/Vc, manteniendo las demás variables constantes. Esto es debido a dos factores. Primero, al incrementar la intensidad del flujo el sedimento es movido más rápidamente y por esto tiende a disminuir el tiempo de equilibrio. En segundo lugar la profundidad de equilibrio es mayor si hay más intensidad del flujo y por eso se necesita más tiempo para llegar al equilibrio. Este estudio dedujo que el segundo factor es dominante sobre el primero y por eso al tener más intensidad del flujo el tiempo de equilibrio es mayor.

Oliveto et al. (2002) Su modelo se basó en la analogía entre erosión local y la resistencia que ofrece un cuerpo rígido en el flujo de un fluido no viscoso. La resistencia del cuerpo al flujo F se puede expresar, de acuerdo con Newton, como:

2** 2

oVAF

ρ= [2.26]

donde A es el área perpendicular al flujo y Vo es la velocidad de aproximación del flujo (los efectos del ángulo de ataque no son tenidos en cuenta). La erosión ocurre debido a que las fuerzas hidrodinámicas en el grano son mayores que las fuerzas que se oponen al movimiento. La profundidad de erosión (LR) en un momento t varia dependiendo del tamaño de la pila o estribo y del calado aguas arriba. Luego por geometría se puede sacar:

βαoR yDL *= y 1=+ βα [2.27]

Además LR aumenta aproximadamente con Vo al cuadrado y disminuye con un incremento de la diferencia de densidades entre los dos elementos que intervienen

ρρρ −s . Otro parámetro determinante es el número de Fraude densimétrico Fd que

incluye parámetros hidráulicos y granulométricos y se puede expresar como:

50** dg

VFs

d

ρρρ −

= [2.28]

Fd puede expresarse como el ratio entre la velocidad actual V y una velocidad de

referencia VR. Luego se puede definir un tiempo de referencia tR como R

RR V

Lt = . Esto

concuerda con lo dicho anteriormente ya que el tiempo de equilibrio depende de la geometría, del calado, de la densidad del sedimento y de la granulometría. De esta forma se halla un tiempo adimensional T:



tL

dg

ttT

R

s

R

***

21

50

−

==ρρρ

[2.29]

Resumiendo, la profundidad de erosión adimensional Z=z(t)/LR varia con Fd y con f(T), donde f(T) incrementa con el tiempo. Algunos autores proponen que esta función sea logarítmica.

)log(***068,0 5,121

TFNZ d−

= σ [2.30]

donde N depende de la forma del obstáculo y es igual a 1 para pilas cilíndricas e igual a 1,25 para estribos o pilas rectangulares.

Mia F. and Nago H. (2003) El estudio realizado era básicamente para pilas cilíndricas, sedimento uniforme y en condiciones de aguas claras. Utilizando la teoría de Yalin (1977), sacó la variación de transporte de sedimento volumétrico por unidad de ancho qst:

+−==Π )*1(

*11*

* *50t

tt

t

stst saLn

sask

udq

q [2.31]

Luego asumiendo que la forma del foso no cambia y se puede aproximar a un cono truncado invertido con un ángulo aproximadamente igual al ángulo de reposo del sedimento, halló el volumen del foso como:

232 *

*2**

*3 ststvt dtgDd

tgQ

φπ

φπ

+= [2.32]

Si ahora se busca el volumen del foso de erosión por unidad de anchura de la superficie en un tiempo t:

ststst

vtvt dDd

tgtg

dQ

q *4**

*6*22 π

φπ

φ

+=

= [2.33]

y de aquí se puede sacar dst:

4**3

16**9**6 22 φφ

πφ tgDtgDqtgd vtst −+= [2.34]

Con lo que sólo faltaría determinar qvt.



Miller, W, Jr (2003): Su modelo asume que la geometría del foso de erosión se puede aproximar a un cono truncado invertido, que es simétrico y que la pendiente del foso igual al ángulo de reposo del sedimento. La erosión solamente se da en una pequeña zona adyacente al cilindro. Esta zona es alimentada por el sedimento que va deslizando de las paredes del foso. De esta manera el ángulo de estas paredes puede mantenerse constante. El área de la zona de erosión es constante para cualquier profundidad de erosión, y solamente depende del diámetro de la pila. Se tiene el siguiente dibujo:

Figura 2.8. Volúmenes definidos en el modelo.

Del que se puede deducir geométricamente el incremento de volumen del foso que es ∆V1+∆V2:

( ) ( ) sss d

tgd

tgd

nDnDnVol ∆

++++=∆ **1*21**

22

φφπ [2.34]

El volumen de sedimento transportado Vols se relaciona con el volumen del foso de erosión según:

( )pVol

Vol s

−=

1 [2.36]

donde p es la porosidad. Luego derivando la ecuación en el tiempo, queda:

( ) ( ) ( )

++++−=

22 *1*21***)1(*

φφπ

tgd

tgd

nDnDndtdd

pdt

dVol ssss [2.37]

Si la variación de volumen de sedimento transportado se puede describir como:



wqQdt

dVoloutout

s *== [2.38]

donde w es el ancho del área donde hay transporte de sedimento y se puede definir como w=D*(2*n+1)*βe como se ve en el siguiente dibujo:

Figura 2.9. Demostración del parámetro w.

Finalmente solo faltaría hallar qout para poder encontrar d(ds)/dt que queda:

( ) ( )

++++−

+=

22 **

*1*21***)1(*

**)1*2(*

φφπ

β

tgyd

tgyd

nDnDndp

qnDdtdy

sesese

oute [2.39]

donde y=ds/dse. La fórmula asume las condiciones de aguas claras pero en el caso de querer aplicarla a lecho vivo sólo tendría que añadirse un término que cuantificara qin.

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2. ESTADO DEL CONOCIMIENTO 2.1. MECANISMOS DEL …