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2 examen departamental ago sep 2013
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1
SEGUNDO DEPARTAMENTAL DE FUNDAMENTOS MATEMATICOS
Nombre
Grupo: 1TM1
Materia Fundamentos Matemáticos
Fecha: 16/10/2103
Instrucciones
El examen esta ponderado al 70%
Debes de contestar todos los problemas
Trigonometría Analítica
Verificación de identidades trigonométricas
Verifique la identidad
1.
cos / 2tan
/ 2
xx
sen x
Solución
Utilizamos las identidades trigonométricas siguientes:
cos y cos2 2
x sen x sen x x
Y tenemos que
tancos
sen xx
x
Por Wolfram
Resultado
Forma Alterna
2
SEGUNDO DEPARTAMENTAL DE FUNDAMENTOS MATEMATICOS
2. 2tan
sec2 tan
u u
u senu
Solución
1sec
2cos
2
2 2
1 cos 1 cos
22 cos
coscos
cos cos
2 tan
tan
u
u
senu
u senu u
senusenu u
senu senu usenu senu u
u u
u
u senu
Con Wolfram
Resultado Exacto
Gráfica
3
SEGUNDO DEPARTAMENTAL DE FUNDAMENTOS MATEMATICOS
Formas Alternativas
Forma alternativa asumiendo que 0u
Solución entera
Compruebe la identidad
1. 4 4 2 4cos 1 2cos 2cossen x x x x
Solución
Verify the following identity:
sinHxL4+ cosHxL4
� 1 - 2 cosHxL2+ 2 cosHxL4
Express sinHxL4
in terms of cosine via the Pythagorean identity.
sinHxL4� IsinHxL2M2
� I1 - cosHxL2M2:
cosHxL4+ I1 - cosHxL2M2
�
?
1 - 2 cosHxL2+ 2 cosHxL4
Expand I1 - cosHxL2M2.
I1 - cosHxL2M2� 1 - 2 cosHxL2
+ cosHxL4:
cosHxL4+ 1 - 2 cosHxL2
+ cosHxL4�
?
1 - 2 cosHxL2+ 2 cosHxL4
Evaluate cosHxL4 + 1 - 2 cosHxL2 + cosHxL4.
cosHxL4+ 1 - 2 cosHxL2
+ cosHxL4� 1 - 2 cosHxL2
+ 2 cosHxL4:
1 - 2 cosHxL2+ 2 cosHxL4
�
?
1 - 2 cosHxL2+ 2 cosHxL4
Come to a conclusion.
The left hand side and right hand side are identical:
Answer:
Hidentity has been verifiedL
4
SEGUNDO DEPARTAMENTAL DE FUNDAMENTOS MATEMATICOS
Resuelva la ecuación
1. 2cos 1 0x
Solución
2cos 1 0 2cos 1
1 2cos 2
2 3
42
3
x x
x x n
ó
x n
Forma Alterna
Soluciones
Ley de Senos
1. Elevación. Un poste de teléfono de 10 metros proyecta una sombra de 17
metros hacia debajo de una pendiente, cuando el ángulo de elevación del Sol
es de 42° (vea la figura). Encuentre , el ángulo de elevación del suelo.
5
SEGUNDO DEPARTAMENTAL DE FUNDAMENTOS MATEMATICOS
Solución
42 48
10 17
42 ~ 0.43714
42 ~ 25.9
~ 16.1
o o
o
o o
o
sen sen
sen
Sistemas de Ecuaciones
Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones
1.
6
2 3 0
3 4 2 4
2 0
x y z w
x y w
x y z w
x y z w
Solución
Solve the following system:
w + x + y + z � 6
-w + 2 x + 3 y � 0
2 w - 3 x + 4 y + z � 4
w + x + 2 y - z � 0
Express the system in matrix form:
1 1 1 1
-1 2 3 0
2 -3 4 1
1 1 2 -1
w
x
y
z
=
6
0
4
0
Write the system in augmented matrix form and use Gaussian elimination:
1 1 1 1 6
-1 2 3 0 0
2 -3 4 1 4
1 1 2 -1 0
Swap row 1 with row 3:
2 -3 4 1 4
-1 2 3 0 0
1 1 1 1 6
1 1 2 -1 0
Add
1
2
´ Hrow 1L to row 2:
2 -3 4 1 4
01
25
1
22
1 1 1 1 6
1 1 2 -1 0
Multiply row 2 by 2:
2 -3 4 1 4
0 1 10 1 4
1 1 1 1 6
1 1 2 -1 0
Subtract
1
2
´ Hrow 1L from row 3:
2 -3 4 1 4
0 1 10 1 4
05
2-1
1
24
1 1 2 -1 0
Multiply row 3 by 2:
2 -3 4 1 4
0 1 10 1 4
0 5 -2 1 8
1 1 2 -1 0
Subtract
1
2
´ Hrow 1L from row 4:
2 -3 4 1 4
0 1 10 1 4
0 5 -2 1 8
05
20 -
3
2-2
Multiply row 4 by 2:
2 -3 4 1 4
0 1 10 1 4
0 5 -2 1 8
0 5 0 -3 -4
Swap row 2 with row 3:
2 -3 4 1 4
0 5 -2 1 8
0 1 10 1 4
0 5 0 -3 -4
2 Solución del Sistema de Ecuaciones.cdf
Subtract
1
5
´ Hrow 2L from row 3:
2 -3 4 1 4
0 5 -2 1 8
0 052
5
4
5
12
5
0 5 0 -3 -4
Multiply row 3 by
5
4
:
2 -3 4 1 4
0 5 -2 1 8
0 0 13 1 3
0 5 0 -3 -4
Subtract row 2 from row 4:
2 -3 4 1 4
0 5 -2 1 8
0 0 13 1 3
0 0 2 -4 -12
Divide row 4 by 2:
2 -3 4 1 4
0 5 -2 1 8
0 0 13 1 3
0 0 1 -2 -6
Subtract
1
13
´ Hrow 3L from row 4:
2 -3 4 1 4
0 5 -2 1 8
0 0 13 1 3
0 0 0 -27
13-
81
13
Solución del Sistema de Ecuaciones.cdf 3
Multiply row 4 by -
13
27
:
2 -3 4 1 4
0 5 -2 1 8
0 0 13 1 3
0 0 0 1 3
Subtract row 4 from row 3:
2 -3 4 1 4
0 5 -2 1 8
0 0 13 0 0
0 0 0 1 3
Divide row 3 by 13:
2 -3 4 1 4
0 5 -2 1 8
0 0 1 0 0
0 0 0 1 3
Add 2 ´ Hrow 3L to row 2:
2 -3 4 1 4
0 5 0 1 8
0 0 1 0 0
0 0 0 1 3
Subtract row 4 from row 2:
2 -3 4 1 4
0 5 0 0 5
0 0 1 0 0
0 0 0 1 3
Divide row 2 by 5:
2 -3 4 1 4
0 1 0 0 1
0 0 1 0 0
0 0 0 1 3
4 Solución del Sistema de Ecuaciones.cdf
Add 3 ´ Hrow 2L to row 1:
2 0 4 1 7
0 1 0 0 1
0 0 1 0 0
0 0 0 1 3
Subtract 4 ´ Hrow 3L from row 1:
2 0 0 1 7
0 1 0 0 1
0 0 1 0 0
0 0 0 1 3
Subtract row 4 from row 1:
2 0 0 0 4
0 1 0 0 1
0 0 1 0 0
0 0 0 1 3
Divide row 1 by 2:
1 0 0 0 2
0 1 0 0 1
0 0 1 0 0
0 0 0 1 3
Collect results:
Answer:
w � 2
x � 1
y � 0
z � 3
Solución del Sistema de Ecuaciones.cdf 5
6
SEGUNDO DEPARTAMENTAL DE FUNDAMENTOS MATEMATICOS
Geometría analítica
Elipse
1. Encuentre los centros, focos y los vértices (recuerde que es posible que sea
necesario despejar y obtener dos ecuaciones)
a. 2 236 9 48 36 72 0x y x y
Solución
Características Geométricas
Gráfica
7
SEGUNDO DEPARTAMENTAL DE FUNDAMENTOS MATEMATICOS
Formas Alternativas
