Upload
trananh
View
264
Download
6
Embed Size (px)
Citation preview
3. Komposisi dan Invers Fungsi a. Komposisi Fungsi
Syarat dua fungsi bisa dikomposisikan jika dan hanya jika 𝐷! ∩ 𝑅! ≠ ∅
Gambar 5
Operasi pada komposisi fungsi tidak bersifat komutatif
𝑔!𝑓 𝑥 ≠ 𝑓!𝑔 𝑥 Operasi pada komposisi fungsi bersifat asosiatif
ℎ!𝑔!𝑓 𝑥 = ℎ! 𝑔!𝑓 𝑥 = ℎ!𝑔 !𝑓 𝑥
Jika fungsi 𝑓 dan 𝑔 didefenisikan sebagai 𝑓:𝐴 → 𝐵 dan 𝑔:𝐵 → 𝐶 maka 𝑔!𝑓:𝐴 → 𝐶 adalah komposisi fungsi dimana range atau keluaran dari fungsi 𝑓 merupakan domain atau masukan dari fungsi 𝑔 dan ditulis dengan
𝑔!𝑓 𝑥 = 𝑔 𝑓 𝑥
b. Invers dan Fungsi Identitas
Syarat suatu fungsi mempunyai invers jika dan hanya jika fungsi tersebut merupakan relasi satu ke satu
Gambar 6
Jika 𝑦 = 𝑓 𝑥 maka 𝑓!! 𝑓 𝑥 = 𝐼 𝑥𝑓!! 𝑓 𝑥 = 𝑥𝑓!! 𝑦 = 𝑥
𝑦 = 𝑓 𝑥 ⟹ 𝑥 = 𝑓!! 𝑦
Jika fungsi 𝑓 dan 𝑔 didefenisikan sebagai 𝑓:𝐴 → 𝐵 dan 𝑔:𝐵 → 𝐴 maka 𝑔!𝑓:𝐴 → 𝐴 dan 𝑓!𝑔:𝐵 → 𝐵 adalah komposisi fungsi yang merupakan fungsi identitas. Fungsi 𝑔 disebut invers dari fungsi 𝑓 dan ditulis 𝑓!! (bukan pangkat −1) begitu juga sebaliknya. Maka berlaku rumus
𝑓!! 𝑓 𝑥 = 𝑔 𝑔!! 𝑥 = 𝐼 𝑥 = 𝑥
Contoh 1 : Fungsi 𝑓 𝑥 = !"!!
!"!! fungsi inversnya adalah 𝑓!! 𝑥 =
Misalkan 𝑓!! 𝑥 = 𝑦
𝑓 𝑥 = !!!!!!!!
𝑓 𝑦 = !!!!!!!!
𝑓 𝑓!! 𝑥 = 𝐼 𝑥𝑓 𝑓!! 𝑥 = 𝑥𝑓 𝑦 = 𝑥!"!!!"!!
= 𝑥
𝑎𝑦 + 𝑏 = 𝑚𝑦 − 𝑛 𝑥𝑎𝑦 + 𝑏 = 𝑚𝑥𝑦 − 𝑛𝑥𝑛𝑥 + 𝑏 = 𝑚𝑥𝑦 − 𝑎𝑦𝑛𝑥 + 𝑏 = 𝑚𝑥 − 𝑎 𝑦!"!!!"!!
= 𝑦!"!!!"!!
= 𝑓!! 𝑥
Contoh 2 : SBMPTN 2013 Jika 𝑓 !
!!!!= !!!!
!!! , maka nilai 𝑓!! 1 adalah ...
Misalkan 𝑓!! 1 = 𝑎 maka 1 = 𝑓 𝑓!! 1 = 𝑓 𝑎 dan 𝑎 = !!!!!
Substitusi
𝑓 !!!!!
= !!!!!!!
𝑓 𝑎 = !!!!!!!
1 = !!!!!!!
𝑥 + 4 = 2𝑥 + 34− 3 = 2𝑥 − 𝑥1 = 𝑥
𝑓!! 1 = 𝑎𝑓!! 1 = !
!!!!
𝑓!! 1 = !! ! !!
𝑓!! 1 = !!!!
𝑓!! 1 = !!!
𝑓!! 1 = −3
c. Invers Fungsi Komposisi i. ℎ 𝑥 = 𝑓!𝑔 𝑥 ⟹ 𝑓 𝑥 = ℎ 𝑔!! 𝑥
Bukti : ℎ 𝑥 = 𝑓!𝑔 𝑥ℎ 𝑥 = 𝑓 𝑔 𝑥ℎ 𝑔!! 𝑥 = 𝑓 𝑔 𝑔!! 𝑥ℎ 𝑔!! 𝑥 = 𝑓 𝑥
ℎ 𝑥 = 𝑓!𝑔 𝑥 ⟹ 𝑓 𝑥 = ℎ 𝑔!! 𝑥 Contoh : UMPTN 2000 Jika 𝑓 𝑥 = 2𝑥 − 3 dan 𝑔!𝑓 𝑥 = 2𝑥 + 1 , maka 𝑔 𝑥 = ⋯ Misalkan 𝑦 = 𝑓!! 𝑥 maka 𝑥 = 𝑓 𝑓!! 𝑥 = 𝑓 𝑦
𝑓 𝑥 = 2𝑥 − 3𝑓 𝑦 = 2𝑦 − 3𝑥 = 2𝑦 − 3𝑥 + 3 = 2𝑦!!!!
= 𝑦
𝑔!𝑓 𝑥 = 2𝑥 + 1𝑔 𝑓 𝑥 = 2𝑥 + 1𝑔 𝑓 𝑦 = 2𝑦 + 1𝑔 𝑥 = 2 !!!
!+ 1
𝑔 𝑥 = 𝑥 + 3 + 1𝑔 𝑥 = 𝑥 + 4
Cara lain 𝑔!𝑓 𝑥 = 2𝑥 + 1𝑔 𝑓 𝑥 = 2𝑥 + 1𝑔 2𝑥 − 3 = 2𝑥 − 3+ 4𝑔 2𝑥 − 3 = 2𝑥 − 3 + 4𝑔 𝑦 = 𝑦 + 4𝑔 𝑥 = 𝑥 + 4
ii. ℎ 𝑥 = 𝑓!𝑔 𝑥 ⟹ 𝑔 𝑥 = 𝑓!! ℎ 𝑥 Bukti : Misalkan ℎ 𝑥 = 𝑓!𝑔 𝑥 ⟹ ℎ 𝑥 = 𝑓 𝑔 𝑥 𝑓!! 𝑓 𝑥 = 𝐼 𝑥𝑓!! 𝑓 𝑥 = 𝑥𝑓!! 𝑓 𝑔 𝑥 = 𝑔 𝑥𝑓!! ℎ 𝑥 = 𝑔 𝑥
ℎ 𝑥 = 𝑓!𝑔 𝑥 ⟹ 𝑔 𝑥 = 𝑓!! ℎ 𝑥
Contoh : UMPTN 1994
Jika 𝑓 𝑥 = −4𝑥 dan 𝑓 𝑔 𝑥 = − !!+ 1 maka 𝑔 𝑥 = ⋯
Misalkan 𝑦 = 𝑓!! 𝑥 ⟹ 𝑥 = 𝑓 𝑦 dan ℎ 𝑥 = 𝑓 𝑔 𝑥 = − !
!+ 1
𝑓 𝑥 = −4𝑥𝑓 𝑦 = −4𝑦𝑥 = −4𝑦− !
!= 𝑦
− !!
= 𝑓!! 𝑥
𝑓!! 𝑥 = − !!
𝑓!! ℎ 𝑥 = − ! !!
𝑔 𝑥 = −!!!!!
!
𝑔 𝑥 = − !!− !
!+ !
!
𝑔 𝑥 = !!!×− !
!𝑥 − 2
𝑔 𝑥 !!𝑥 − 2
Cara Lain 𝑓 𝑥 = −4𝑥𝑓 𝑔 𝑥 = −4𝑔 𝑥− !
!+ 1 = −4𝑔 𝑥
!!!
− !!+ !
!= 𝑔 𝑥
!!!×− !
!𝑥 − 2 = 𝑔 𝑥
!!𝑥 − 2 = 𝑔 𝑥
iii. 𝑓!𝑔 !! 𝑥 = 𝑔!!𝑜𝑓!! 𝑥 Bukti : Misalkan 𝑓!𝑔 𝑥 = ℎ 𝑥 ⟹ 𝑓!𝑔 !! 𝑥 = ℎ!! 𝑥 ℎ 𝑥 = 𝑓!𝑔 𝑥 ⟹ 𝑓 𝑥 = ℎ 𝑔!! 𝑥 ⟹ 𝑔!! 𝑥 = ℎ!! 𝑓 𝑥 ℎ!! 𝑓 𝑥 = 𝑔!! 𝑥ℎ!! 𝑓 𝑓!! 𝑥 = 𝑔!! 𝑓!! 𝑥ℎ!! 𝑥 = 𝑔!! 𝑓!! 𝑥𝑓!𝑔 !! 𝑥 = 𝑔!!𝑜𝑓!! 𝑥
𝑓!𝑔 !! 𝑥 = 𝑔!!𝑜𝑓!! 𝑥