2. Grandeurs et mesures - blog.ac-versailles.frblog.ac-versailles.fr/coursmadameanfraypires/public/Cours_2017... · CHAPITRE 1 : NOMBRES ENTIERS, DECIMAUX ET COMPARAISON Une I. Nombres

SOMMAIRE

A. 1 . Numériques : Nombres et calculs

1. Nombres

Chapitre 1. Nombres entiers, Décimaux, Comparaison (6ème

)…………...2 Chapitre 2. Nombres en écriture fractionnaire_Notion : (6

ème 4ème

)…....4

Chapitre 3. Nombres relatifs : Notion (5ème

)………………..….…….….....6 Chapitre 4. Puissances (4

ème)..……………………………………….……..7

Chapitre 5. Arithmétiques (6ème 3

ème)………………………………….…..8

2. Opérations

Chapitre 1. Techniques opératoires (6ème

).……………………...………...9 Chapitre 2. Les quatre opérations (6

ème).…………………………….…...11

Chapitre 3. Enchaînements et priorités d’opérations (5ème 4

ème)…...…12

Chapitre 4. Nombre en écriture fractionnaire_Opérations (6ème 4

ème)..13

Chapitre 5. Nombres relatifs_Opérations (5ème 4

ème)………..….….......14

3. Equations Chapitre 1. Calcul littéral (5

ème 4ème

)……………………………………..15 Chapitre 2. Identités remarquables (3

ème)..…………………………….....16

Chapitre 3. Equations (5ème 3

ème)……………………...……………..…..17

Chapitre 4. Inéquations (3ème

)…………………….……………………….18

A. 2. Gestion de données

4. Fonctions et Proportionnalité Chapitre 1. Proportionnalité (6

ème 3ème

)……………………...…………..19 Chapitre 2. Notions de fonction (3

ème)………………………..…….……..21

Chapitre 3. Fonctions linéaires et Fonctions affines (3ème

)….…...……..22

5. Statistiques Chapitre 1. Organisation de données (6

ème 5ème

)...…………...………..24

Chapitre 2. Statistiques et Probabilités (5ème 3

ème)……………………..25

B. 1. Géométrie

1. Eléments usuels

Chapitre 1. Eléments de géométrie : Notations et définitions (6ème

).......29 Chapitre 2. Droites (6

ème)..…….…………………………………………....30

Chapitre 3. Polygones (6ème 5

ème)………………………….……..……...31

Chapitre 4. Parallélogrammes (5ème

)……………………………………...32

2. Transformations

Chapitre 1. Symétries Axiale et Centrale (6ème 5

ème)……………..…....33

Chapitre 2. Axes et Centres de Symétrie (6ème 5

ème)...................…….35

Chapitre 3. Translation, Rotation, Homothétie (4ème 3

ème)………....….37

Chapitre 4. Agrandissements et Réductions (6ème 3

ème)…….…….…..38

3. Angles et triangles Chapitre 1. Les Racines carrées (4

ème)…….……………………………..39

Chapitre 2. Angles (6ème 5

ème)………………………………..….…….....40

Chapitre 3. Triangles (6ème 5

ème)……………………………………..…..42

Chapitre 3Bis. Triangles semblables (4ème

)…………………………...42bis

Chapitre 4. Pythagore et Thalès (4ème 3

ème)…………………...….…….43

Chapitre 5. Trigonométrie (3ème

)……………………….………………….45

B. 2. Grandeurs et mesures

4. Longueurs et surfaces Chapitre 1. Mesures – Unités et Convertions (6

ème)………..…………....46

Chapitre 2. Aires et Périmètres (6ème

)..…………...………...………...…..47 Chapitre 3. Sections par un plan (3

ème)…………………..……..…….…..48

5. Espace Chapitre 1. Solides et Patrons (6

ème)……………………..…...…………..49

Chapitre 2. Prismes et Cylindres (5ème

)..……………………………….....50 Chapitre 3. Pyramides et Cônes (4

ème)………………………..….…..…..51

Chapitre 4. Volumes (6ème 4

ème)……………………...………..……..…..52

Chapitre 5. Sphères et Boules (3ème

)………….……………………….….53

2 Cours Mme Anfray Pires

A.1. NUMERIQUE – 1.Nombres

CHAPITRE 1 : NOMBRES ENTIERS, DECIMAUX ET COMPARAISON

I. Nombres entiers

1. Chiffres et nombres

Il y a dix chiffres : 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9. Les nombres s’écrivent à l’aide de ces chiffres.

Exemples : 2017 est un nombre entier de 4 chiffres.

2 est un nombre entier d’un seul chiffre.

2. Rang des chiffres Exemple : 1 027 183 915 : un-milliard-vingt-sept-millions-cent-quatre-vingt-trois-mille-neuf-cent-quinze

Classe des milliards

Classe des millions

Classe des milliers

Classe des unités

c d u c d u c d u centaines dizaines unités

1 0 2 7 2 8 3 9 1 5

Décomposition : 1 027 183 915 = 1 x 1 000 000 000 1 est le chiffre des unités de milliards + 0 x 100 000 000 0 est le chiffre des centaines de millions + 2 x 10 000 000 2 est le chiffre des dizaines de millions + 7 x 1 000 000 7 est le chiffre des unités de millions

+ 2 x 100 000 2 est le chiffre des centaines de mille + 8 x 10 000 8 est le chiffre des dizaines de mille + 3 x 1 000 3 est le chiffre des unités de mille

+ 9 x 100 9 est le chiffre des centaines + 1 x 10 1 est le chiffre des dizaines + 5 x 1 5 est le chiffre des unités Attention à ne pas confondre le chiffre des milliers et le nombre de milliers : le chiffre des milliers est 3 et le nombre de milliers est 1 027 183.

II. Ecriture fractionnaire

Une fraction décimale est une fraction de dénominateur 10, 100, 1000…

Exemples : numérateur

un dixième.

un centième.

un millième.

dénominateur

III. Nombres décimaux 1. Ecriture décimale

Un nombre décimal est un nombre qui peut s’écrire à l’aide d’une écriture à virgule appelée écriture décimale. Il est alors égal à la somme d’un nombre entier, appelé partie entière, et d’un nombre inférieur à 1, appelé partie décimale.

Exemple :

Partie entière « Partie décimale »

dixièmes centièmes millièmes dix-millièmes

25, 4 6 7

25, 467 = 25 + 0,467 La partie entière du nombre est : 25. La partie décimale du nombre est : 0,467.

Un nombre entier est un nombre décimal dont sa partie décimale est nulle.

Exemple : 37,00 = 37 est un nombre entier.

2. Décomposition en fraction décimale

Un nombre décimal est un nombre qui peut aussi s’écrire à l’aide d’une fraction décimale.

Exemple :

25,467 =

= (2 10) + (5 1) +

+ 6

+ 7

La partie décimale d’un nombre décimal possède un nombre fini de chiffres.

Exemples :

= 0,25 est un nombre décimal.

= 0,1666666666…. n’est pas un nombre décimal.


IV. Comparaison de nombres décimaux 1. Demi-droite graduée

Définition : Une demi-droite graduée est une demi-droite sur laquelle on a choisi une unité de longueur que l’on reporte régulièrement à partir de l’origine.

Sur une demi-droite graduée : - Chaque point est repéré par un nombre appelé abscisse de ce point. - A chaque nombre correspond un point

Le point A a pour abscisse 4.

2. Comparaison de deux nombres décimaux

Comparer deux nombres, c’est dire s’ils sont égaux ou si l’un est plus petit ou plus grand que l’autre.

Exemples :

3,0 est égal à 3 3,0 = 3

5,7 est plus petit que 9 ou 5,7 inférieur à 9 5,7 < 9

9,2 est plus grand que 8 ou 9,2 est supérieur à 8 9,2 > 8

Pour comparer deux nombres décimaux :

On compare leurs parties entières : - Si elles sont différentes, le plus petit est celui qui a la plus petite partie entière. - Si elles sont égales, on compare leurs chiffres des dixièmes, si ces chiffres sont égaux, on compare leurs chiffres des centièmes, et ainsi de suite.

Exemples :

6,35 < 8,2 car 6 < 8.

6,39 < 6,7 car 3< 7.

6,35 < 6,38 car 5 < 8.

6,358 > 6,352 car 8 > 2.

3. Ranger des nombres décimaux

Ranger des nombres dans l’ordre croissant, c’est les ordonner du plus petit au plus grand. Ranger des nombres dans l’ordre décroissant, c’est les ordonner du plus grand au plus petit.

Exemple : Rangement dans l’ordre croissant : 0,5 < 0,505 < 0,55 < 0,555 < 5,05 < 5,55

Encadrer un nombre, c’est trouver deux nombres, l’un plus petit que lui et l’autre plus grand. Intercaler un nombre entre deux nombres donnés, c’est trouver un nombre compris entre les deux.

Exemple : 10 < 17,6 < 20 est un encadrement du nombre 17,6. 17,6 est intercalé entre 10 et 20.

V. Approximations décimales 1. Valeurs approchées

Une valeur approchée d’un nombre est un nombre décimal qui lui est très proche.

Exemple : Pour le nombre 28,564

VA par défaut Encadrement VA par excès

à l’unité : 28 28 < 28,564 < 29 à l’unité : 29

au dixième : 28,5 28,5 < 28,564 < 28,6 au dixième : 28,6

Au centième : 28,56 28,56 < 28,564 < 28,57 Au centième : 28,57

2. Troncature

Une troncature revient à donner une valeur approchée par défaut.

Exemple : La troncature au dixième de 28,564 est 28,5.

3. Arrondi

L’arrondi d’un nombre est la valeur approchée la plus proche du nombre (par défaut ou par excès).

Exemple : Pour l’arrondi au dixième, on regarde le chiffre des centièmes. - Si ce chiffre est 0 ;1 ;2 ;3 ;4 => on prend la valeur approchée par défaut. - Si ce chiffre est 5 ;6 ;7 ;8 ;9 => on prend la valeur approchée par excès. Arrondi au dixième : 28,564 28,6

Arrondi au centième : 28,564 28,56


A.1. NUMERIQUE – 1.Nombres

CHAPITRE 2 : NOMBRES EN ECRITURE FRACTIONNAIRE _ NOTION

I. Ecriture fractionnaire d’un quotient

Définition : Pour tout nombre et , avec non nul, le quotient de par est

le nombre qui multiplié par donne .

Ce nombre se note

.

Autrement dit,

x =

Exemple 1 : Exemple 2 :

Le quotient

c’est : 5 x 7 = 35

3 x

x 7 = 35

3 : 5

C’est le quotient de 3 par 5 ;

c'est-à-dire

x 5 = 3

est le nombre qui, multiplié par 5 donne 3

Quotients à connaître :

= 0,5, il se lit « un-demi »

= 0,1

= 0,25, il se lit « un quart »

= 0,01

= 0,125

= 0,001

= 0,2

Vocabulaire : Pour tout nombre a et b, avec b non nul : dividende numérateur

a : b =

diviseur dénominateur

Si les nombres et sont des entiers, le quotient

est appelé une fraction.

Exemples :

est une fraction.

est une écriture fractionnaire, mais n’est pas une fraction.

= 30 : 5 = 6

est un nombre entier.

= 9 : 2 = 4,5

est un nombre décimal, non entier.

(nombre fini de chiffres après la virgule)

n’est pas un nombre décimal.

(nombre infini de chiffres après la virgule)

Remarque : Pour tout nombre , avec non nul, on a :

= 1

=

= 0

II. Proportion

La proportion d’une quantité par rapport à une autre quantité , non nulle,

est égale au quotient

.

Exemple : Un colis de 7 livres contient 3 romans.

La proportion des romans dans ce colis est égale à

.


III. Quotients égaux

Propriété : Un quotient ne change pas si l’on multiplie (ou divise) le numérateur et le dénominateur par un même nombre non nul. Pour tout nombre a, b et c avec b et c non nuls, on a :

=

et

=

.

Exemple 1 :

=

=

Exemple 2 :

=

=

=

=

(le numérateur et le dénominateur sont des nombres plus

petits, on dit alors qu’on a simplifié la fraction)

Cas particuliers :

=

et

.

Exemples :

=

=

=

=

IV. Comparaison de nombres en écriture fractionnaire

Propriété (admise) : En écriture fractionnaire, si deux nombres ont le même dénominateur, alors le plus petit est celui qui a le plus petit numérateur. Soient , et des nombres avec > 0.

Si < alors

<

.

Exemples :

Comparer

et

.

2 < 5 et ces nombres ont le même dénominateur, donc

<

.

Comparer

et

.

Ces deux nombres n’ont pas le même dénominateur : on commence par les écrire avec le même dénominateur, puis on compare les numérateurs.

On a 42 = 7 x 6, donc

=

=

Comme 54 > 53, alors

>

.

On conclut que

>

.

V. Inverse d’un nombre

Définition : On dit que deux nombres sont inverses l’un de l’autre si leur produit est égal à 1. Autrement dit, l’inverse du nombre a, non nul, est le nombre b tel que a × b = 1.

Exemples : 2 × 0,5 = 1. Les nombres 2 et 0,5 sont inverses l’un de l’autre.

3 ×

= 1. Les nombres 3 et

sont inverses l’un de l’autre.

Propriété : Pour tout nombre relatif non nul et ,

* l’inverse de est

.

* l’inverse de

est

.

Exemples :

L’inverse de 5 est

.

L’inverse de

est

.


A. NUMERIQUE – 1.Nombres

CHAPITRE 3 : NOMBRES RELATIFS _ NOTION

I. Notion de nombres relatifs

- Il existe des nombres supérieurs à 0 et des nombres inférieurs à 0. Ces nombres sont appelés nombres relatifs. - Les nombres supérieurs à 0 sont précédés du signe « + » et sont appelés nombres positifs. - Les nombres inférieurs à 0 sont précédés du signe « - » et sont appelés nombres négatifs.

Remarque : En général, on n’écrit pas le signe « + » devant les nombres positifs. Exemple :

2 ; 3 ; +30 ; 1,5 sont des nombres positifs. Nombres relatifs -5 ; -10 ; -7,5 ; -3,4 sont des nombres négatifs.

II. Repérage sur une droite graduée

Définition : - L’origine d’une droite graduée a pour abscisse zéro. - La distance de l’origine à un point d’une droite graduée est appelée la distance à zéro de l’abscisse de ce point.

Exemple :

Nombres négatifs Nombres positifs

- 2,3 est l’abscisse du point C La distance à zéro du point C est 2,3. 1,5 est l’abscisse du point D. La distance à zéro du point D est 1,5. L’abscisse du point A est - 3 et celle du point B est 3.

III. Repérage dans le plan

Définition : Un repère orthogonal du plan est constitué de deux droites graduées de même origine et perpendiculaires. Soit M un point du plan.

Il existe un unique couple ( ; ) de nombres relatifs tels que et sont les coordonnées du point M dans le repère.

est l’abscisse du point M, est l’ordonnée du point M et on note M( ; ).

Exemple :

Dans le repère orthogonal, ci-contre : Les coordonnées du point P sont - 3 et 4. On note : P ( - 3 ; 4 )

IV. Comparaison de deux nombres relatifs

Comparaison de deux nombres positifs

Comparaison de deux nombres négatifs

Comparaison de deux nombres de signes contraires

1,5 < 3,5

1,5 > 1,13

Si deux nombres sont négatifs, le plus petit est celui qui a la plus grande distance à zéro.

Si deux nombres sont de signes contraires, le plus petit est le nombre négatif.

1,5 < 3,5 donc -1,5 > - 3,5 - 3 < 2,4



CHAPITRE 4 : PUISSANCES

I. Puissance d’un nombre

1. Puissance d’exposant positif

Définition et convention: Soit un nombre relatif non nul. Pour tout entier supérieur ou égal à 2, on a : = x x … x x 1 = 0 = 1 ( facteurs égaux à est une puissance de et se lit “ exposant ”.

Exemples : 23 = 2 x 2 x 2 = 8 ( - 3)4 = ( - 3) x ( - 3) x ( - 3) x ( - 3) = 81

Vocabulaire : 3 se lit également « au cube ».

2. Puissance d’exposant négatif

Définition : Soit un nombre relatif non nul. Pour tout entier n supérieur ou

égal à 1, on a : =

=

On dit que est l’inverse de .

Exemples :

2 - 4

est l’inverse de 24 2 - 4 =

=

(- 4) - 3

est l’inverse de (- 4)3 ( - 4) - 3 =

=

=

=

3. Puissance de 10

Propriété (admise) :Pour tout entier n, on a :

10n = 100 … 0 et 10 - n = 0,0 … 01

n zéro(s) n zéro(s), en comptant l’unique zéro avant la virgule

Exemples : 105 = 100 000 10

– 6 = 0,000 001

II. Préfixes des unités de mesure

giga méga kilo hecto déca déci centi milli micro nano

G M k h da d c m n

109 10

6 10

3 10

2 10

1 100 = 1 10

- 1 10

- 2 10

- 3 10

- 6 10 - 9

III. Propriétés

Soient et deux nombres relatifs non nuls. Pour tous entiers et , on a :

x = Exemples 2² x 23 = 22 + 3 = 2

5

10 - ² x 105 = 10

- 2 + 5 = 10

3

= Exemples

= 22 – 5

= 2 – 3

–

Exemples (54)8 = 54 x 8 = 5 32

(10 - 4)3 = 10 - 4 x 3 = 10 - 12

= x = Exemple 63 x 43 = (6 x 4)3 = 243

=

=

=

IV. Calculs et puissances de 10

Remarque : Soit n un entier positif.

Pour multiplier un nombre décimal par 10n, Ex : 25,1 x 104 = 251 000

on décale la virgule de n rangs vers la droite.

Pour multiplier un nombre décimal par 10 - n, Ex : 25,1 x 10 - 4 = 0, 00251

on décale la virgule de n rangs vers la gauche.

V. Notation scientifique

Définition : Un nombre positif est écrit en notation scientifique quand il est écrit sous la forme : a x 10n, avec : - a est un nombre décimal tel que 1 ≤ a < 10. - n est un entier relatif.

Exemples : G = 0,38 x 104. Notation NON scientifique, le chiffre des unités est

plus petit que 1 (c’est 0). H = 8,25 x 5². Notation NON scientifique, « 5² » n’est pas une

puissance de 10. I = 7,45 x 10 - 3. Notation scientifique. J = 38,41 x 107 . Notation NON scientifique car le chiffre des unités plus grand que 10 (c’est 38).



CHAPITRE 5 : ARITHMETIQUE

I. Divisibilité

1. Division euclidienne

Définition : Soient a et b deux entiers naturels, avec b non nul. Effectuer la division euclidienne de a par b, c’est déterminer les deux entiers naturels q et r tels que

a = bq + r et 0 ≤ r < b. L’entier « a » est appelé le dividende de cette division, « b » le diviseur, « q » le quotient et « r » le reste.

Exemple : 155 = 4 x 38 + 3 (et 3 < 4) 155 4 35 38 Quotient Reste 3

2. Multiples et diviseurs

Définition : Soient a et b deux entiers naturels. On dit que b est un diviseur de a, ou que b divise a, ou encore que a est divisible par b, s’il existe un entier naturel k tel que :

a = b x k Autrement dit, le reste de la division euclidienne de a par b est nul.

Exemple : 24 = 3 x 8, donc 3 et 8 sont des diviseurs de 24. Remarques :

- 1 est un diviseur de tout entier naturel. - Tout entier naturel est un diviseur de 0. - Tout entier naturel est un diviseur de lui-même.

Critères de divisibilité :

Un nombre entier est divisible par 2 revient à dire que son chiffre des unités est 0 ; 2 ; 4 ; 6 ou 8.

Ex : 264 ; 970

Un nombre entier est divisible par 4 revient à dire que le nombre formé par ses deux derniers chiffres est un multiple de 4.

Ex : 216 ; 928

Un nombre entier est divisible par 5 revient à dire que son chiffre des unités est 0 ou 5.

Ex : 210 ; 925

Un nombre entier est divisible par 10 revient à dire que son chiffre des unités est 0.

Ex : 210 ; 920

Un nombre entier est divisible par 3 revient à dire que la somme de ses chiffres est un multiple de 3.

Ex : 210 ; 921

Un nombre entier est divisible par 9 revient à dire que la somme de ses chiffres est un multiple de 9.

Ex : 711 ; 972

3. Nombre premier

Définition : On appelle nombre premier tout entier naturel ayant exactement deux diviseurs : 1 et lui-même.

Exemples : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 sont des nombres premiers. 9 admet trois diviseurs : 1,3 et 9. Donc 9 n’est pas un nombre premier. Exemple : Décomposition des nombres en facteur de nombres premiers

36 = 2 x 2 x 3 x 3 84 = 2 x 2 x 3 x 7

II. Fractions irréductibles

Définition : Soient a et b deux entiers naturels non nuls. On dit que a et b sont premiers entre eux si le seul diviseur commun aux deux nombres est 1.

Exemples : - 36 et 24 ne sont pas premiers entre eux car ils sont divisibles par « 2 ». - Les diviseurs de 8 sont 1, 2, 4, 8 et ceux de 9 sont 1, 3, 9.

8 et 9 sont premiers entre eux car « 1 » est le seul diviseur commun.

Définition : Soient a et b deux entiers naturels, non nuls. La fraction

est

irréductible signifie que a et b sont premiers entre eux.

Exemple :

=

=

. 40 et 9 sont premiers entre eux.

est une fraction irréductible.


A.1. NUMERIQUE – 2.Opérations

CHAPITRE 1 : TECHNIQUES OPERATOIRES

I. Calculs posés

1. Addition et soustraction Lorsque l’on pose une addition ou une soustraction, il faut veiller à :

- Aligner les virgules et disposer les chiffres de même rang les uns sous les autres.

- Commencer les calculs par la droite. Calcul de 15,9 + 7,25 Calcul de 15,9 - 7,25 15,9 15,9 + 7,25 - 7,25 23,15 8,65

2. Multiplication de nombres décimaux Lorsque l’on pose une multiplication, on commence les calculs par la droite. Calcul de 4,75 x 3,1 4, 75 X 3,1 Il y a en tout trois chiffres après la virgule. 4 7 5 + 1 4 2 5 . 1 4,7 2 5 Donc, dans le résultat final, il y a trois chiffres après la virgule.

3. Division euclidienne : Nombres entiers

Effectuer la division euclidienne d’un nombre entier, appelé dividende, par un nombre entier différent de zéro, appelé diviseur, c’est trouver deux nombres entiers, le quotient et le reste, tels que : dividende = (quotient x diviseur) + reste avec reste < diviseur.

Exemple :

On cherche la division euclidienne de 185 par 7 : dividende 1 8 5 7 diviseur - 1 4 26

4 5 quotient - 4 2 reste 3 185 = (26 x 7) + 3 et 3 < 7. Le quotient est 26 et le reste est 3.

Vocabulaire : Lorsque le reste de la division euclidienne de deux nombres a par b est nul : a = q x b + 0, on dit que : a « est divisible par » b. a « est un multiple de » b. b « est un diviseur de » a.

Exemple : 36 = (4 x 9) + 0 36 est un multiple de 9. 36 est divisible par 9. 9 est un diviseur de 36.

4. Division de nombres décimaux

Effectuer la division décimale d’un nombre décimal, appelé dividende, par un nombre entier différent de zéro, appelé le diviseur, c’est chercher un nombre appelé quotient tel que : dividende = quotient x diviseur

Exemples : Division décimale de 9,2 par 4. Division décimale de 8 par 3. 9, 2 4 Dividende : 9,2 8, 0 0 3 - 8 2, 3 Diviseur : 4 - 6 2, 66 1 2 Quotient : 2,3 2 0 - 1 2 - 1 8 0 2 0 Il reste 0, donc la division s’arrête. - 1 8 9,2 : 4 = 2,3 2

8 : 3 2,67


II. Multiplication et division par 10 ; 0,1 … 1. Multiplication par 10 ; 100 ; 1000

Multiplier un nombre par 10 ; 100 ; 1000, revient à décaler la virgule d’un, deux ou trois rangs vers la droite.

Exemples :

21,65 x 10 = 216,5

15,1 x 100 = 1 510

0,01205 x 1000 = 12,05

2. Multiplication par 0,1 ; 0,01 ; 0,001

Multiplier un nombre par 0,1 ; 0,01 ; 0,001, revient à décaler la virgule d’un, deux ou trois rangs vers la gauche.

Exemples :

21,65 x 0,1 = 2,165

15,1 x 0,01 = 0,151

51 x 0,001 = 0,051

3. Division par 10 ; 100 ; 1000

Diviser un nombre par 10 ; 100 ; 1000, revient à décaler la virgule d’un, deux ou trois rangs vers la gauche.

Exemples :

5,7 : 10 = 0,57

48 : 100 = 0,48

12,5 : 1000 = 0,0125

III. Ordre de grandeur Somme, Différence, Produit

Pour obtenir un ordre de grandeur d’une somme / différence : - On remplace chaque nombre de la somme / différence / produit par

un nombre proche et facile à utiliser en calcul mental. - On effectue l’addition / soustraction / multiplication avec ces

nombres. - On obtient un résultat proche du résultat exact. Ce nombre est un

ordre de grandeur de la somme / différence / produit.

Exemple : 989,7 est proche de 1000 et 604,25 est proche de 600.

Opération 989,7 + 604,25 989,7 – 604,25 989,7 x 604,25

Calcul 1000 + 600 = 1600 1000 – 600 = 400 1000 x 600 = 600000

Ordre de grandeur

1600 400 600000

Remarque : On peut obtenir plusieurs ordres de grandeur pour une même somme / différence / produit.



CHAPITRE 2 : LES QUATRE OPERATIONS

I. Addition

Vocabulaire : Une addition est une opération qui permet de calculer la somme de deux nombres. Les nombres que l’on additionne sont les termes de la somme.

Exemple : 21 + 5 = 26. 21 + 5 est la somme de 21 et de 5. 21 et 5 sont les termes de la somme.

Pour calculer une somme de plusieurs nombres : - On peut modifier l’ordre des termes. - On peut regrouper différemment les termes.

Exemple : A = 6 + 2 + 4 A = 6 + 4 + 2 A = 10 + 2 A = 12

II. Soustraction

Vocabulaire : Une soustraction est une opération qui permet de calculer la différence de deux nombres. Les nombres que l’on soustrait sont les termes de la différence.

Exemple : 26 – 4 = 22 26 – 4 est la différence de 26 et de 4. 26 et 4 sont les termes de la différence.

ATTENTION : On ne peut pas modifier l’ordre des termes d’une soustraction.

Exemple : 26 – 4 4 – 26

III. Multiplication

Vocabulaire : Une multiplication est une opération qui permet de calculer le produit de deux nombres. Les nombres que l’on multiplie sont les facteurs du produit.

Exemple : 4 x 503 = 2 012 4 x 503 est le produit de 4 et de 503. Les facteurs du produit sont 4 et 503.

Quand on multiplie un nombre par 0, on obtient 0. Quand on multiplie un nombre par 1, on obtient ce nombre.

Exemple : 5,7 x 0 = 0 5,7 x 1 = 5,7 Pour calculer un produit de plusieurs nombres :

- On peut modifier l’ordre des facteurs. - On peut regrouper différemment les facteurs.

Exemple : A = 2 x 2,1 x 5 A = 2 x 5 x 2,1 A = 10 x 2,1 A = 21

IV. Division

Vocabulaire : Une division est une opération qui permet de calculer le quotient de deux nombres.

On ne peut pas diviser par 0. La division de deux nombres est égale à 1 si et seulement si les deux nombres sont égaux

Exemple : 13,5 : 13,5 = 0



CHAPITRE 3 : ENCHAINEMENTS ET PRORITES D’OPERATIONS

I. Calculs sans parenthèses

Propriété : En l’absence de parenthèses, on effectue les calculs progressivement de gauche à droite dans deux cas : - Quand le calcul ne contient que des additions et des soustractions. - Quand le calcul ne contient que des multiplications et des divisions.

Exemples : A = 7,2 + 3,6 – 1,6 + 2 B = 150 : 5 x 2 x 8 A = 10,8 – 1,6 + 2 B = 30 x 2 x 8 A = 9,2 + 2 B = 60 x 8 A = 11,2 B = 480

Propriété : En l’absence de parenthèses, on effectue les multiplications et les divisions avant les additions et les soustractions. On dit que les multiplications et les divisions sont prioritaires sur les additions et les soustractions.

Exemple 1 : La multiplication est prioritaire. A = 34 – 7 x 4 + 3 A = 34 – 28 + 3 A = 6 + 3 A = 9 Exemple 2 : La division est prioritaire. B = 26 + 16 : 2 – 9 B = 26 + 8 - 9 B = 34 - 9 B = 25 Exemple 3 : La multiplication et la division sont prioritaires, on les effectue de gauche à droite. C = 27 : 3 – 28 : 4 x 1,2 C = 9 – 28 : 4 x 1,2 C = 9 – 7 x 1,2 C = 9 – 8,4 C = 0,6

II. Calculs avec parenthèses Exemples : Les calculs entre parenthèses sont prioritaires, A = (5 + 8) x 6 A = 13 x 6 A = 78 On commence par le calcul des parenthèses les plus intérieures, la multiplication est effectuée après. B = (13 – 7) x (4 + 16) C = 9 x (15 – (18 – 7) ) B = 6 x 20 C = 9 x (15 – 11) B = 120 C = 9 x 4 C = 36

Propriété : Dans un calcul, on effectue dans l’ordre : - les calculs entre parenthèses. - les puissances. - les multiplications et les divisions. - Les additions et les soustractions.

Exemples : 5 x 32 = 5 x 9 = 45 ( 5 x 3)² = 15² = 225 (5 + 3)² = 8² = 64

ATTENTION : - 3² (- 3)², car (- 3)² = (-3) x (-3) = 9 - 3² = - 1 x 3² = -1 x 9 = - 9



CHAPITRE 4 : OPERATIONS SUR LES NOMBRES EN ECRITURE FRACTIONNAIRE

Cadre : Pour tout nombre relatif , , et . Avec et non nuls

I. Multiplier une fraction par un nombre

Prendre une fraction d’une quantité, c’est multiplier cette fraction par cette quantité.

Exemples : Dans une classe,

des 20 élèves sont externes.

Méthode 1 : Méthode 2 : Méthode 3 :

x 20 =

x 20 = (3 : 5) x 20

x 20 = 3 x

x 20 =

x 20 = 0,6 x 20

x 20 = 3 x (20 : 5)

x 20 = 12

x 20 = 12

x 20 = 3 x 4

x 20 = 12

12 élèves sont externes.

II. Somme et différence 1. Dénominateurs égaux

Propriété :

+

=

Remarque : Pour calculer la somme (ou la différence) de deux nombres relatifs en écriture fractionnaire ayant le même dénominateur : - On additionne ou soustrait les numérateurs entre eux. - On garde le dénominateur commun.

Exemples :

+

=

=

-

=

=

= 2

2. Dénominateurs différents

Remarque : Pour calculer la somme (ou la différence) de deux nombres relatifs en écriture fractionnaire dont les dénominateurs sont différents. - On réduit les nombres au même dénominateur. - On calcule la somme ou la différence des deux nombres en écriture fractionnaire de même dénominateur, comme précédemment.

Exemples : A =

+

B =

+

A =

+

B =

+

A =

+

B =

+

A =

B =

A =

B =

III. Produit

Propriété :

×

=

Remarque : Pour calculer le produit de deux nombres relatifs en écriture fractionnaire : - On multiplie les numérateurs entre eux. - On multiplie les dénominateurs entre eux.

Exemples :

×

=

=

3 ×

=

=

=

(On pense à simplifier)

IV. Produit en croix

Propriété : Si

=

, alors x = x .

Inversement, Si x = x , alors

=

.

Exemple 1 : Les fractions

et

sont-elles égales ?

21 x 6 = 126 et 7 x 18 = 126, comme 21 x 6 = 7 x 18, alors

=

Exemple 2 : On cherche m tel que

=

.

m =

= 4

V. Quotient

Propriété : : =

:

=

×

Remarque : Diviser par un nombre non nul revient à multiplier par son inverse.

Exemples :

: (- 7) =

×

=

:

=

×

=



CHAPITRE 5 : OPERATIONS SUR LES NOMBRES RELATIFS

I. Somme de deux nombres relatifs

1. Nombres de même signe

Définition : La somme de deux nombres relatifs de même signe est un nombre : - Dont le signe est le signe commun aux deux nombres. - Dont la distance à zéro est égale à la somme des distances à zéro des deux nombres.

2. Nombres de signes contraires

Définition : La somme de deux nombres relatifs de signes contraires est un nombre : - Dont le signe est celui du nombre qui a la plus grande distance à zéro. - Dont la distance à zéro est égale à la différence des distances à zéro des deux nombres.

Exemples :

Nombres de même signe : on additionne les nombres

Nombres de signes contraires : on soustrait les nombres

(+ 4,5) + (+ 5,2) (- 13) + (- 9,9) (- 7,3) + (+ 13,8) (- 8,2) + (+ 3)

positif négatif 13,8 > 7,3 positif

8,2 > 3 négatif

+ 9,7 - 22,9 + 6,5 - 5,2

3. Nombres opposés

Définition : Deux nombres sont opposés lorsque leur somme est égale à zéro.

Exemple : (-3,8) + (3,8) = 0, donc - 3,8 et 3,8 sont des nombres opposés.

II. Différence de deux nombres relatifs 1. Différence

Soustraire un nombre revient à ajouter son opposé.

Exemples :

(- 4,5) – (-10,5) = (- 4,5) + (+10,5) = + 6

(-18) – (+24,5) = (-18) + (-24,5) = - 42,5

2. Distance de deux points sur une droite graduée

Définition : Sur une droite graduée, la distance de deux points est égale à la différence entre la plus grande abscisse et la plus petite.

Exemple : Soit A le point d’abscisse 1,5 et B le point d’abscisse – 3 : La distance AB est AB = 1,5 – (-3) = 1,5 + (+3) = 4,5

Remarque : La distance de deux points est toujours positive.

III. Produit et quotient

1. Produit et quotient de deux nombres relatifs

Propriété : Pour calculer le produit / quotient de deux nombres relatifs, différents de zéro : - On détermine le signe du produit :

- Si les deux nombres sont du même signe, le produit / quotient est positif.

- Si les deux nombres sont de signes contraires, le produit / quotient est négatif. - On multiplie / divise leurs distances à zéro.

Exemples :

Nombres de même signe Nombres de signes contraires

(- 15) : (- 5) (- 3) x (- 4,5) 5,3 x (- 2) 7 : (- 3, 5)

positif positif négatif négatif

+ 3 + 13,5 - 10,6 - 2

ATTENTION (- 5)² - 5² Soit « a » un nombre relatif : C = (- 5)² D = - 5² a x 0 = 0 x a = 0 C = (- 5) x (- 5) D = - 5 x 5 a x 1 = 1 x a = a C = + 25 D = - 25 a x (- 1) = (- 1) x a = - a « - a » n’est pas toujours un nombre négatif : si a = - 5 , alors – a = 5

2. Produit de plusieurs nombres relatifs

Propriété : Pour calculer le produit de plusieurs nombres relatifs, différents de zéro : - Si le nombre de facteurs négatifs est pair, le produit est positif.

Ex : ( - 3) x (- 4) x ( + 2) x ( - 2) x (- 5) est positif, il y a 4 facteurs négatifs

- Si le nombre de facteurs négatifs est impair, le produit est négatif.

Ex : ( - 6) x (+ 4) x ( + 2) x ( - 2) x (- 5) est négatif, il y a 3 facteurs négatifs


A.1. NUMERIQUE – 3.Equation

CHAPITRE 1 : CALCUL LITTERAL

Cadre : a, b, c, d et k sont des nombres I. Expression littérale

Une expression littérale est une expression dans laquelle certains nombres sont représentés par des lettres.

Exemples :

La formule de l’aire du rectangle : A = L x l. A désigne l’aire du rectangle, L sa longueur et l sa largeur.

Le prix de « » stylos à 2,5€ l’unité est égal à 2,5 x . La lettre désigne le nombre de stylos achetés, on dit que le prix payé pour

stylos s’exprime en fonction de .

II. Réduction d’une expression littérale

Définition : Réduire une expression littérale signifie écrire cette expression sous une forme plus simple.

1. Réduire un produit

Le signe « x » de la multiplication peut être supprimé devant une lettre ou devant une parenthèse.

Exemples : On cherche à réduire les expressions 3 x b = 3b a x b = ab 3 x (7 – 6t) = 3(7 – 6t) - 5 x 2a x 3 = - 5 x 2 x 3 x a - 5 x 2a x 3 = - 15 Cas particulier : 1 x a = a x 1 = a

2. Réduire une somme, différence a. Développer

Définition : Développer signifie transformer un produit en une somme. Propriété : k x (a + b) = k x a + k x b

k x (a – b) = k x a – k x b

Exemples : A = (- b) x (3 - a) B = 24 x (10 + 2) calculer mentalement

C = 34 x 102. A = (- b) x 3 – (- b) x a B = 24 x (10 + 2) C = 34 x (100 + 2) A = - b x 3 + b x a B = 24 x 10 + 24 x 2 C = 34 x 100 + 34 x 2 A = - 3b + ab B = 240 + 48 = 288 C = 3400 + 68 = 3468

Propriété : - (a + b) = - a – b - (a – b) = - a + b

Remarque : - Pour supprimer les parenthèses précédées du signe « + », on supprime les parenthèses. Puis, on réécrit l’expression sans changer les nombres situés à l’intérieur des parenthèses supprimées. - Pour supprimer les parenthèses précédées du signe « - », on supprime les parenthèses et le signe « - » qui les précède. Puis, on réécrit l’expression en changeant tous les nombres situés à l’intérieur des parenthèses supprimées en leur opposé.

Exemples : D = – ( - b + 6c – 5) E = 2a + (3b – 2) F = - 7a – ( - 2b + 5) D = + b – 6c + 5 E = 2a + 3b – 2 F = - 7a + 2b - 5

b. Factoriser

Définition : Factoriser signifie transformer une somme (ou une différence) en un produit. Propriété : k x a + k x b = k x (a + b) k x a - k x b = k x (a - b)

Remarque : Pour factoriser on cherche un facteur commun.

Exemples : 7 x 3 + 7 x a = 7 x (3 + a). Réduire G = 6a² + 2a² Calculer mentalement H = 16 x 3,5 – 16 x 1,5. G = 6a² + 2a² H = 16 x 3,5 – 16 x 1,5 G = 6a² + 2a² H = 16 x (3,5 – 1,5) G = (6 + 2) a² H = 16 x 2 G = 8a² H = 32

Problème : On cherche à réduire l’expression H = 3a - 3 – (5a – 4) + 2 On commence par les parenthèses. A = 3a - 3 – 5a + 4 + 2 A = 3a – 5a - 3 + 4 + 2 On regroupe les termes « semblables ». A = - 2a + 3 est la forme réduite de cette expression.

III. Double distributivité

Propriété : (a + b) × (c + d) = a × c + a × d + b × c + b × d

Exemples : B = (a + 5)(2a + 1) C = (a - 2)(-b - 10) B = (a 2a + a 1) + (5 2a + 5 1) C = (a - 2) (- b - 10)

B = 2a² + a + 10a + 5 C = (a ( - b) + a ( - 10)) + ( - 2 ( - b)+( - 2) ( - 10))

B = 2a² + 11a + 5 C = - ab – 10a + 2b + 20



CHAPITRE 2 : IDENTITES REMARQUABLES

I. Développement

Propriété : Pour tout nombre relatif a et b, on a : (a + b)² = a² + 2ab + b²

Exemple : Développer A = (y + 9)² A = y² + 2 x y x 9 + 9² A = y² + 18y + 81

Propriété : Pour tout nombre relatif a et b, on a : (a - b)² = a² - 2ab + b²

Exemple : Développer B = (3y - 4z)² B = (3y)² - 2 x (3y) x (4z) + (4z)² B = 9y² - 24zy + 16z²

Propriété : Pour tout nombre relatif a et b, on a : (a + b)(a – b) = a² - b²

Exemple : Développer C = (5y + 8)(5y - 8) C = (5y)² - 8² C = 25y² - 64

II. Factorisation

Propriété : Pour tout nombre relatif a et b, on a : a² + 2ab + b² = (a + b)²

Exemple : Factoriser D = 49 + 14z + i² D = 7² + 2 x 7 x i + i² D = (7 + i)²

Propriété : Pour tout nombre relatif a et b, on a : a² - 2ab + b² = (a - b)²

Exemple : Factoriser E = 25i² - 60iy+ 36y² E = (5i)² - 2 x (5i) x (6y) + (6y)² E = (5i – 6y)²

Propriété : Pour tout nombre relatif a et b, on a : a² - b² = (a + b)(a – b)

Exemple : Développer F = 4 – 16t² F = 2² - (4t)² F = (2 + 4t)(2 – 4t)



CHAPITRE 3 : EQUATIONS

I. Tester une égalité

Une égalité comporte deux expressions séparées par un signe « = ». Les deux membres d’une égalité doivent avoir la même valeur.

Exemple : 5 + 3 = 10 – 2. Les deux membres ont la même valeur car : 5 + 3 = 8 et 10 – 2 = 8.

Pour tester si une égalité est vraie : - On remplace les lettres par les nombres proposés. - On calcule séparément les deux expressions. - On observe si les deux résultats sont égaux :

. Si les deux membres ont la même valeur, l’égalité est vraie pour ces nombres. . Si les deux membres n’ont pas la même valeur, l’égalité n’est pas vraie pour ces nombres.

Exemple : est un nombre inconnu qui vérifie l’égalité : 2 + 3 = 4 – 1 Pour = 2, Pour =1, 2 + 3 = 2 x 2 + 3 = 4 + 3 = 7 2 + 3 = 2 x 1 + 3 = 2 + 3 = 5

4 – 1 = 4 x 2 – 1 = 8 – 1 = 7 4 – 1 = 4 x 1 – 1 = 4 – 1 = 3 Donc l’égalité est vraie pour = 2. Donc l’égalité est fausse pour =1

II. Equations du premier degré à une inconnue 1. Généralité

Définition : Une équation est une égalité comportant un ou plusieurs nombres inconnus désignés par des lettres. Les valeurs des inconnues pour lesquelles l’égalité est vraie sont appelées les solutions de l’équation. Une équation est dite du premier degré à une inconnue , lorsqu’elle peut s’écrire sous la forme a + b = c + d, avec a, b, c, d des nombres et a ≠ c.

Exemple : 2 + 3 = 4 – 1 est une équation du premier degré à une inconnue

membre de gauche membre de droite est l’inconnue. 2 est une solution de cette équation (voir exemple ci-dessus) Remarque : Résoudre une équation, c’est trouver toutes ses solutions.

2. Résolution d’équation du premier degré à une inconnue

Propriété : Si on ajoute ou soustrait un même nombre aux deux membres d’une équation, alors on obtient une équation qui a les mêmes solutions. Autrement dit : Pour tous nombres a, b et c

si a = b alors a + c = b + c et a – c = b – c.

Propriété : Si on multiplie ou divise les deux membres d’une équation par un même nombre non nul, alors on obtient une équation qui a les mêmes solutions. Pour tous nombres a, b et c avec c non nul, si a = b alors a x c = b x c et a : c = b : c.

Exemples : 2 – 11 = 8

2 – 11 + 11 = 8 + 11 2 = 19

2 : 2 = 19 : 2 = 9,5

III. Equations produits

1. Produit nul

Propriété (admise) : Pour tous nombres A et B, - Si A = 0 ou B = 0, alors A x B = 0. - Si A x B = 0, alors A = 0 ou B = 0.

2. Equation

Propriété (admise) : Pour tous nombres a, b, c et d, Les solutions de l’équation sont les nombres tels que :

= 0 ou = 0.

Exemple :

Les solutions de l’équation – sont les nombres tels que :

– ou

ou

ou

.

Les solutions de l’équation – sont 3 et

.



CHAPITRE 4 : INEQUATIONS

III. Vocabulaire

1. Inégalité

Le symbole « … … » signifie « … est inférieur ou égale à … »

Le symbole « … … » signifie « … est strictement inférieur à … » Le symbole « … … » signifie « … est supérieur ou égale à … »

Le symbole « … … » signifie « … est strictement supérieur à … »

Remarque : a est « strictement positif » se traduit par a > 0. a est « strictement négatif » se traduit par a < 0.

2. Inéquation

Une inéquation à une inconnue est une inégalité qui est soit vraie, soit

fausse, selon les valeurs de . Résoudre une inéquation, c’est déterminer toutes les valeurs d’une inconnue qui vérifient l’inégalité. Ces valeurs sont appelées les solutions de l’inéquation.

Exemples : 1) 4 – 1 ≤ + 5 est une inéquation dont est l’inconnue.

2) - 2 > 1 est une inéquation à une inconnue : « »

Pour = 3 Pour = - 1 - 2 x 3 = - 6 - 2 x ( - 1) = 2 - 6 n’est pas plus grand que 1, donc 2 est plus grand que 1, donc 3 n’est pas solution de l’inéquation – 1 est solution de l’inéquation.

IV. Propriétés

Propriété : Pour tous nombres relatifs a, b. Si a > b, alors a – b > 0.

Propriétés : Pour tous nombres relatifs a, b et c : a + c et b + c sont rangés dans le même ordre que a et b.

Autrement dit : Si a < b, alors a + c < b + c et a - c < b - c. Si a > b, alors a + c > b + c et a - c > b - c.

Propriétés : Pour tous nombres relatifs a, b et c : Si c > 0, alors a x c et b x c sont rangés dans le même ordre que a et b. Si c < 0, alors a x c et b x c sont rangés dans le même ordre que a et b.

Autrement dit : Si a < b et c > 0, alors a x c < b x c. Si a < b et c < 0, alors a x c > b x c.

Exemples :

- 21 < 14 - 3 + 10 ≤ 2 – 21 + 21 < 14 + 21 - 3 + 10 – 10 ≤ 2 – 10

< 35 - 3 ≤ 2 - 10

<

(« 5 » positif) - 3 - 2 ≤ 2 - 10 - 2

< 7 - 5 ≤ - 10

( « - 5 » négatif)

Les solutions sont les nombres strictement inférieurs à 7. Les solutions sont les nombres supérieurs ou égaux à 2.

V. Représentation graphique

On peut représenter les solutions d’une inéquation sur une demi-droite graduée.

Exemples : Pour les solutions de - 21 < 14 Pour les solutions de - 3 + 10 ≤ 2 Le crochet n’est pas tourné Le crochet est tourné vers vers la partie colorée pour indiquer la partie colorée pour indiquer

que 7 n’est pas solution de l’inéquation. que est solution de l’inéquation.


A.2.GESTION DE DONNEES – 4.Fonctions et proportionnalité

CHAPITRE 1 : LA PROPORTIONNALITE

I. Proportionnalité

Si, dans un tableau de proportionnalité à quatre cases, on connaît trois valeurs sur quatre, alors on peut calculer la quatrième valeur, appelée quatrième proportionnelle.

Problème : Un épicier vend des pêches au kilogramme. Le prix de 2 kg 4,50€. Combien coûtent 6 kiwis ?

1. Méthode 1 : En calculant le coefficient de proportionnalité

On dit que le prix à payer est proportionnel au kilo de pêches achetées. Il s’obtient en multipliant la masse de pêches choisies par le prix d’un kilogramme.

Les deux grandeurs « masse de pêches » et « prix » sont proportionnelles : on obtient les valeurs de l’une en multipliant les valeurs de l’autre par un même nombre. Un tableau de proportionnalité est un tableau de deux lignes pour lequel une ligne s’obtient en multipliant l’autre ligne par le même nombre non nul. On appelle ce nombre « le coefficient de proportionnalité ».

Pour 2 kg, on paie 4,5€. Donc 4,5 = 2 ?

4,5 = 2 ×

4,5 : 2 = 2,25 Le coefficient de proportionnalité est 2,25 Masse des fruits x 2,25 = Prix à payer Donc 6kg coûtent 6 x 2,25 = 13,5€

2. Méthode 2 : Passage par l’unité ou règle de trois On cherche le prix d’un kilogramme de pêches. 2 : 2 = 1 4,5 : 2 = 2,25 pour 1 kg, on paie 2,25€. Pour 6kg : 6 x 2,25 = 13,5 Donc 6kg de fruits coûtent 13,5€.

3. Méthode 3 : Rapport de linéarité

En multipliant les nombres d’une colonne

2kg coûtent 4,5€ et 2 x 3 = 6 Donc 6kg coûtent 4,5 x 3 = 13,5€

En additionnant les nombres des colonnes

Masse des pêches (en kg) 2 4 6

Prix à payé (en €) 4,5 9 ?

4kg de pêches coûtent 9€. 2 + 4 = 6 4,5 + 9 = 13,5 Donc 6kg de fruits coûtent 13,5€.

4. Méthode 4 : En utilisant le produit en croix

= 13,5

Donc 6kg de fruits coûtent 13,5€.

II. Représentation graphique

Propriété : Une situation de proportionnalité est représentée graphiquement par des points alignés sur une droite qui passe par l’origine du repère.

Exemple : Voici un tableau de proportionnalité représentant le prix de différentes quantités de pêches.

Quantité de pêches (en kg) 1 3 5

Prix (en euros) 2,40 7,20 12

Les points sont alignés sur une droite qui passe par l’origine du repère. Prix (en euros)

Poids des pêches (en kg)

0

5

10

15

0 2 4 6

Masse des pêches (en kg) 2 6 1

Prix à payé (en €) 4,5 ? 2,25

2 6

4,5 ?


III. Applications 1. Durée

La durée représente une situation de proportionnalité.

1min = 60s 1h = 60min = 3 600s 1j = 24h Problème : André a mis un plat au four à 11h53. Il sort le plat du four à 12h28. Quelle a été la durée de cuisson de ce plat ? 12h28 = 720min + 28min = 748min 11h53 = 660min + 53min = 713min 748 – 713 = 35. La cuisson a duré 35min.

2. Pourcentage

Un pourcentage traduit une situation de proportionnalité.

Pour calculer p % d’une quantité, on multiplie cette quantité par

.

Problème 1 : Le collège d’Issa compte 525 élèves, 32% des élèves sont demi-pensionnaires. Combien d’élèves sont demi-pensionnaires ? 32% des élèves sont demi-pensionnaires signifie que sur 100 élèves, 32 sont demi-pensionnaires.

525 x

= 168.

168 élèves sont demi-pensionnaires.

Problème 2 : Sur 540 élèves, il y a 324 filles, on cherche le pourcentage de filles.

= 60. Il y a 60% de filles.

Problème 3 : Un Jean coûte 39€. Le prix est soldé à 30%.

Propriété : Augmenter un nombre de t% revient à le multiplier par 1 +

.

Diminuer un nombre de t% revient à le multiplier par 1 -

.

Méthode 1 Méthode 2

39 x

= 11,7. (

)

39 – 11,7 = 27,3. 39 x 0,7 = 27,3. Le Jean revient donc à 27,3€.

3. Agrandissement et réduction

Pour agrandir une figure, on multiplie toutes les longueurs par un même nombre plus grand que 1. Ce nombre est le« coefficient d’agrandissement ». Pour réduire une figure, on multiplie toutes les longueurs par un même nombre plus petit que 1. Ce nombre est le « coefficient de réduction ».

4. Echelle

Définition : L’échelle « e » d’une représentation est le coefficient de proportionnalité qui permet de passer des mesures réelles aux mesures de la représentation :

e =

.

ATTENTION : Les mesures sont exprimées dans la même unité. Exemple 1 : Un insecte mesure 3mm de longueur, on le représente sur un dessin par une longueur de 6cm.

L’échelle e du dessin est e =

= 20.

e > 1 : le dessin est un agrandissement de l’insecte réel représenté. Exemple 2 : La longueur d’une avenue est de 750m, on la représente sur une carte par une longueur de 5cm.

L’échelle e de la carte est : e =

=

.

e < 1 : la carte est une réduction de l’avenue réelle représentée.

5. Vitesse moyenne

Définition : La vitesse moyenne « » d’un mobile est le quotient de la

distance parcourue, « », par la durée de ce parcours, « ».

Problème 1 : Un piéton se déplace à la vitesse moyenne de 12,6km.h-1. Ainsi, en 1h il parcourt en moyenne 12,6km. 1h = 3600s et 12,6km = 12600m

La vitesse moyenne du piéton est v =

= 3,5m.s-1.

Problème 2 : Une voiture roule pendant 2h12min à la vitesse moyenne de 65km/h. Quelle distance d parcourt-elle ? v = 65km/h

t = 2h12min = 2,2h. 12min = 12 : 60 h = 0,2h. ( 1min =

h)

Donc d = 65 x 2,2 = 143. La voiture parcourt 143km.

Durée (en h) 1 11 12

Durée (en min) 60 660 720

Nombre d’élèves 100 525

Nombres de demi-pensionnaires 32

Nombre de filles 324

Nombres d’élèves 540 100



CHAPITRE 2 : NOTION DE FONCTION

I. Notation

On appelle fonction numérique f un procédé qui, à tout nombre , associe un unique nombre, noté f( ).

est appelé la variable. f( ), qui se lit f « de » , est la valeur prise par la fonction f pour la valeur . On note Nom de la fonction est définie par variable on associe nombre associé à Exemple :

On appelle g la fonction qui, à un nombre, lui fait correspondre son cube.

Cette fonction peut être notée ou g( ) = 3. « le cube de 2 est 8 » est traduit par : g(2) = 8.

II. Image et antécédent h est une fonction, telle que, .

antécédent image

Le nombre ( ) est l’image de par la fonction .

Le nombre est un antécédent de h( ) par la fonction . Remarque : L’image d’un nombre est unique, alors qu’un nombre peut avoir plusieurs antécédents ou aucun. Exemples : 1) On détermine la fonction j par : .

j(

) = -

, -

est l’image de

par la fonction j.

j(- 3) = 3 - 3 est un antécédent de 3 par la fonction j.

2) On considère la fonction k définie par :

k( ) = ² - 2 antécédent image L’image de - 2 par la fonction k est 2. L’image de 0 par la fonction k est - 2. Le nombre 7 a deux antécédents : - 3 et 3.

III. Représentation graphique Dans un repère, la représentation graphique d’une fonction f est l’ensemble

des points de coordonnées ( ; f( )). Exemple : Le point A a pour coordonnées (-2 ; 0) et il appartient à la représentation graphique de f donc f(-2) 0. L’image de 2 est environ 8 par la fonction f. Un antécédent de 2 est - 4 ou 0 par la fonction f

-3 - 2 0 2 3

k( ) 7 2 -2 2 7



CHAPITRE 3 : FONCTIONS LINEAIRES ET FONCTIONS AFFINES

I. Fonction linéaire et fonction affine

Une fonction numérique est appelée fonction affine lorsqu’il existe deux

nombres « » et « » tel que, pour tout nombre « », on lui associe le nombre .

On la note ou .

Les nombres et sont les coefficients de la fonction affine.

Cas particuliers :

Si = 0, alors . On dit que est une fonction linéaire.

Si = 0, alors . On dit que est une fonction constante. Exemple : Fonctions affines ou non affines.

fonction affine de coefficients = 7 et = 9

fonction linéaire, donc affine = 1 et = 0

fonction affine de coefficients =

et = 0,5

fonction constante, donc affine = 0 et = - 1,2

n’est pas une fonction affine.

n’est pas une fonction affine.

II. Déterminer un antécédent d’un nombre par une

fonction affine ou linéaire

Pour déterminer un antécédent d’un nombre par une fonction affine , on résout l’équation .

Exemple 1 : Pour une fonction affine

On cherche un antécédent de - 3 par la fonction – .

. Donc on résout l’équation :

–

Donc

. Un antécédent de – 3 par la fonction est

.

Exemple 2 : Pour une fonction linéaire

On cherche un antécédent de 5 par la fonction .

. Donc on résout l’équation :

Donc

. Un antécédent de 5 par la fonction est 2,5.

III. Représentation graphique

Propriété : Dans le plan muni d’un repère,

- la représentation graphique de la fonction linéaire est une droite passant par l’origine du repère.

- la représentation graphique de la fonction affine est une droite. Cette droite est parallèle à la droite représentative de la fonction linéaire

et passe par le point de coordonnées (O ; ).

Définition : Le nombre est appelé le coefficient directeur de cette droite.

Le nombre est appelé l’ordonnée à l’origine de la droite.

Cas particulier : La représentation graphique d’une fonction constante est une droite parallèle à l’axe des abscisses. Remarque :

Tout point M( ) vérifiant la relation appartient à la

droite représentative de la fonction affine .

Tout point N( ) appartenant à la droite représentative de la

fonction affine vérifie la relation . Exemple :


Pour la droite (d)

Le coefficient directeur est égal à

.

L’ordonnée à l’origine est égale à 1. La droite (d) est la représentation graphique de la fonction affine :

.

Pour la droite (d’)

Le coefficient directeur est égal à

.

Cette droite passe par l’origine : L’ordonnée à l’origine est égale à 0. La droite (d) est la représentation graphique de la fonction affine :

.

Les droites (d) et (d’) sont parallèles et la droite (d) passe par le point B de coordonnées (0 ; f(0)) = (0 ; 1).

Le point A de coordonnées (1 ; 0,51) appartient-il à la représentation

graphique de la fonction ?

(1) =

+ 1 = - 0,5 + 1 = 0,5. Comme 0,5 ≠ 0,51, alors le point A

n’appartient pas à la droite (d).

IV. Proportionnalité

Un tableau de valeurs d’une fonction linéaire est un tableau de proportionnalité. Le coefficient de la fonction est un coefficient de proportionnalité de ce tableau. Exemple :

ABCD est un carré de longueur cm. Le périmètre est égal à 4 . La fonction linéaire associée se définit par : .

Longueur du côté (en cm) 1 2,5 1,5

Périmètre du carré ABCD (en cm) 4 10 6

V. Expression algébrique d’une fonction linéaire ou affine 1. Proportionnalité des accroissements

Propriété : Soit une fonction affine telle que avec et

deux nombres.

Pour tous nombres et distincts, on a :

=

.

2. Déterminer une fonction affine, connaissant la donnée de deux

nombres non nuls et de leurs images

Exemple 1 :

On cherche l’expression de la fonction affine telle que (4) = 5 et (6) = 9.

La fonction est de la forme .

On détermine le coefficient « » de la fonction affine par la proportionnalité des accroissements.

=

=

=

= 2.

On détermine le coefficient « » de la fonction affine en utilisant

(4)=5 (ou (6) = 9) et = 2. (4) = 5 et = 2. Donc (4) = 2 x 4 + = 5.

Donc 8 + = 5.

= 5 – 8 = - 3. L’expression de la fonction affine est : . Exemple 2 : Pour une fonction linéaire

On détermine de la même façon, mais on pense à prendre (0) = 0 et b = 0. Soit un nombre non nul et une fonction linéaire de coefficient . ( ) = x

=

4) = 14.

Le nombre 4 a pour image 14 par la fonction . Il existe un nombre tel que (4) = x 4 = 14.

Donc = 14 : 4 = 3,5.


A.2.GESTION DE DONNEES – 5. Statistiques

CHAPITRE 1 : ORGANISATION DE DONNEES

Situation : Combien d’animaux domestiques possédez-vous ? Réponses ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

I. Organisation des données dans un tableau

Nombre d’animaux

0 1 2 3 4 et plus

Nombre d’élèves

II. Interprétation des données Quel est le nombre total d’élèves ?

Combien d’élèves possèdent au moins 3 animaux domestiques ?

Combien d’élèves possèdent au plus 2 animaux domestiques ?

III. Représentation graphique des données



CHAPITRE 2 : STATISTIQUES

I. Vocabulaire

L’ensemble des données recueillies auprès des individus d’une population est appelée une série statistique. On appelle population l’ensemble sur lequel porte l’étude statistique. Le caractère est le critère que l’on étudie dans la population, il peut être quantitatif ou qualitatif. L’effectif d’une valeur est le nombre de fois où cette valeur apparaît dans la série. L’effectif total est la somme de tous les effectifs. La fréquence d’une valeur est le quotient de l’effectif de cette valeur par l’effectif total. Lorsque le nombre de données est important, on peut les regrouper par tranches de valeurs, appelées des « classes ».

Exemple 1 : On interroge des personnes sur leur couleur de cheveux. Le caractère étudié est la couleur des cheveux, c’est un caractère qualitatif. Exemple 2 : On interroge une classe de quatrième sur le nombre de frère et sœur : La population étudiée est une classe de quatrième. Le caractère étudié est le nombre de frère et sœur, c’est un caractère quantitatif. L’effectif total est le nombre d’élèves interrogés, soit 27.

Nombre de frère et sœur

0 1 2 3 4 5 et plus

Effectif 6 12 8 0 1 0

Fréquence

II. Caractéristique de position 1. Moyenne

On note M la moyenne d’une série statistique. Pour la calculer : - On additionne toutes les valeurs du caractère de la série. - On divise la somme obtenue par l’effectif total.

Autrement dit : M =

Exemple : En mathématiques, Benoît a pour notes : 17 ; 8,5 ; 12 ; 14,5.

M =

= 13.

2. Moyenne pondérée

On note M la moyenne pondérée d’une série statistique. Pour la calculer :

- On additionne les produits de chaque valeur par son coefficient. - On divise la somme obtenue par l’effectif total.

Autrement dit : M =

Exemple : Benoît a des coefficients sur ses notes. Sa moyenne pondérée est

M =

M ≈ 11,64

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

0 1 2 3 4 5

Note 17 8,5 12 14,5

Coefficient 0,5 2 2 1


3. Médiane

Dans une série statistique ordonnée dans l’ordre croissant, la médiane est un nombre qui partage les valeurs de cette série en deux séries de même effectif.

Remarque : La médiane n’est pas toujours une valeur de la série. La médiane n’est pas forcément égale à la moyenne.

ATTENTION : La série doit être rangée par ordre croissant.

Exemple : Voici deux séries de notes.

Si l’effectif total de la série est impair : Notes obtenues à un contrôle par les garçons d’une classe 7 ; 8 ; 9 ; 9 ; 10 ; 10 ; 11 ; 12 ; 12 ; 12 ; 15 ; 15 ; 17 6 notes 6 notes Médiane La médiane de la série des notes des garçons est 11. Il y a autant de notes supérieures ou égales à 11, que de notes inférieures ou égales à 11. Moyenne des notes des garçons :

M1 =

≈ 11,31.

Si l’effectif total de la série est pair : Notes obtenues à un contrôle par les filles d’une classe 5 ; 7 ; 7 ; 8 ; 9 ; 9 ; 10 ; 10 ; 13 ; 13 ; 13 ; 14 ; 14 ; 15 ; 15 ; 16

8 notes 8 notes Médiane : valeur entre 10 et 13

La médiane de la série des notes des filles est 11,5. Il y a autant de notes supérieures ou égales à 11,5, que de notes inférieures ou égales à 11,5. Moyenne des notes des filles :

M2 =

= 11,125.

III. Caractéristique de dispersion 1. Etendue

Définition : L’étendue d’une série statistique est la différence entre la plus grande et la plus petite des valeurs de cette série.

Exemple : Sur la série des notes des garçons, ci-dessus, l’étendue est 8. (15 – 7 = 8) Sur la série des notes des filles, ci-dessus, l’étendue est 11. (16 – 5 = 11)



CHAPITRE 3 : PROBABILITES

I. Vocabulaire

On réalise une expérience aléatoire lorsqu’elle a plusieurs résultats et que l’on ne peut pas prévoir quel résultat se produira. Chacun des résultats possibles d’une expérience aléatoire est une issue de l’expérience. Un événement est constitué d’une ou plusieurs issues. Un événement réalisé par une seule issue est un événement élémentaire. Un événement est dit impossible s’il ne peut pas se produire. Un événement est dit certain s’il se produit nécessairement.

Exemple : Expérience : La roue de loterie : Une urne contient 2 boules noires, 1 jaune et 3 boules rouges, ces boules sont indiscernables. - « On tire une boule au hasard et on regarde la couleur obtenue. » est une expérience aléatoire. - Cette expérience admet 6 issues : 2 noires, 1 jaune, 3 rouges - « On tire une boule jaune » est un évènement élémentaire. - « On obtient la couleur bleue » est un évènement impossible. - « On obtient une boule noire, jaune ou rouge » est un évènement certain.

II. Notion de probabilité 3. Notion

Soit A un évènement, on note p(A) la probabilité que l’événement A se réalise. Autrement dit, la probabilité d’un évènement exprime « la chance qu’un évènement a de se produire ».

Exemple : Expérience : La roue de loterie On considère l’événement N : « obtenir une boule noire ».

p(N) =

=

4. Propriétés

Propriétés : - Une probabilité est un nombre compris entre 0 et 1. - Un événement impossible a une probabilité égale à 0. - Un événement certain a une probabilité égale à 1. - La somme des probabilités de tous les événements élémentaires est égale à 1.

5. Equiprobabilité

Lorsque tous les événements élémentaires ont la même probabilité d’être réalisés, on dit qu’il s’agit d’une situation d’équiprobabilité.

Propriété : Soit n le nombre d’issues d’une expérience aléatoire. Dans une situation d’équiprobabilité, la probabilité d’un évènement

élémentaire est égale à

.

Exemples : Expérience : La pièce de monnaie : « On lance une pièce de monnaie dont la possibilité est soit pile, soit face ». On a autant de chance d’obtenir pile que face ; il s’agit d’une situation d’équiprobabilité. Expérience : La roue de loterie On a plus de chance d’obtenir une boule rouge qu’une boule noire ou jaune ; il ne s’agit pas d’une situation d’équiprobabilité.

III. Lien entre la fréquence des issues et la probabilité

Lorsqu’on effectue un très grand nombre de fois une expérience aléatoire, la fréquence de réalisation d’un événement se rapproche d’une « fréquence théorique » appelée probabilité.


IV. Evénements particuliers 1. Evénements incompatibles

Deux événements sont incompatibles s’ils ne peuvent pas se réaliser en même temps.

Propriété : Lorsque deux événements sont incompatibles, la probabilité pour que l’un ou l’autre se réalise est égale à la somme de leurs probabilités. Autrement dit, si A et B dont des événements incompatibles, alors p(A ou B) = p(A) + p(B)

Exemple : Expérience : Le dé de 6 faces « On lance un dé à 6 faces et on regarde sa face supérieure. » Evénement M3 : « on obtient un multiple de 3 ». Les issues sont : 3 ; 6 Evénement I2 : « on obtient un nombre inférieur ou égal à 2 ». Les issues sont : 1 ; 2 Les événements M3 et I2 sont incompatibles, les issues sont 1 ; 2 ; 3 ; 6.

p(M3 ou I2) = p(M3) + p(I2) =

+

=

=

2. Evénements contraires

L’événement contraire de l’événement A, noté « non A », est celui qui se réalise lorsque A ne se réalise pas.

Propriété: La somme des probabilités d’un événement A et de son contraire est égale à 1. p(A) + p(non A) = 1 d’où p(non A) = 1 – p(A)

Exemple : Expérience : La roue de loterie Evénement N : « on obtient une boule noire ». Evénements « non N » est traduit par « on n’obtient pas une boule noire », les issues sont jaune et rouge.

p(N) =

=

p(non N) = 1 -

=

V. Arbres pondérés et expériences aléatoires à deux épreuves 1. Arbres pondérés

L’arbre des possibles permet de visualiser les issues d’une expérience aléatoire. Lorsqu’on fait figurer sur chaque branche la probabilité associée, on dit qu’on pondère l’arbre des possibles.

Propriété : Avec un arbre, la probabilité d’un événement est la somme des probabilités écrites sur les branches conduisant aux issues qui réalisent l’événement.

Exemple : Expérience : La roue de loterie

P : « on obtient une couleur primaire ». Les issues sont : 1 jaune, 3 rouges.

p(P) =

=

2. Expériences aléatoires à deux épreuves

Propriété : Dans un arbre, la probabilité d’un événement est le produit des probabilités rencontrées pour obtenir cet événement.

Exemple : Expérience : On lance une pièce (expérience 1), puis on tire une boule (expérience 2) On peut représenter cette expérience à 2 épreuves par un arbre pondéré à 2 étapes.

p(face puis jaune) =

x

=

p(pile puis rouge) =

x

=

=

B.1.GEOMETRIE – 1.Eléments usuels


CHAPITRE 1 : NOTATIONS ET DEFINITION

I. Points

Un point est représenté par une croix. La notation d’un point est en lettre majuscule.

Attention : Sur une figure, deux points distincts ne peuvent pas avoir le même nom.

Définition : Deux points sont dits confondus s’ils occupent le même emplacement. Deux points sont dits distincts s’ils n’occupent pas le même emplacement.

II. Droites et points alignés, demi-droites, segments

Une droite est une ligne droite dite illimitée.

La droite (CD) passe par les points C et D.

Définition : Les points sont dits « alignés » lorsqu’ils appartiennent à la même droite.

Notation : Le symbole signifie « appartient à ». Le symbole signifie « n’appartient pas à ». Exemple : Les points R, S et T sont alignés, ils appartiennent tous à la droite (d). R appartient à la droite (d), on note R (d) et P n’appartient pas à la droite

(d), on note P (d).

III. Segments 1. Notion

Un segment est une partie d’une droite limitée par deux points. Ces points sont appelés extrémités du segment.

2. Longueur Remarque : Pour indiquer sur une figure que des segments ont la même longueur, on utilise des codages. Exemple : AB = AC et DE = FG.

Attention : Une longueur un nombre, ce n’est pas un objet géométrique.

3. Milieu

Définition : Le milieu d’un segment est le point de ce segment situé à égale distance de ses extrémités.

Exemple : Le segment [AB] a pour extrémités A et B. Sa longueur est AB = 4 cm Le point I est le milieu du segment [AB]

IV. Demi-droite

Une demi-droite est une partie d’une droite limitée par un seul point. Ce point est appelé origine de la demi-droite.

La demi-droite [EF) a pour origine E. (Le crochet représente l’origine)

V. Le cercle

Définition : Un cercle de centre O est formé de tous les points situés à une même distance du point O. Cette distance est appelée le rayon du cercle.

Exemple : les points A, B, C, D et M appartiennent au cercle C de centre O. [OM] est un rayon O est le milieu du segment [AB]. [AB] est un diamètre [CD] est une corde O est le centre du cercle est un arc de cercle Le cercle C de centre O a pour rayon 1,5cm. Le point M appartient au cercle C. On peut donc affirmer que OM = 1,5cm. Le point N est placé tel que ON = 1,5cm. On peut donc affirmer que N appartient au cercle C. Le diamètre d’un cercle est égal au double de son rayon.


B.1.GEOMETRIE – 1.Eléments usuels

CHAPITRE 2 : DROITES

DROITES

I. Définitions

Définitions Représentation Notation /

caractéristique

Deux droites sécantes sont deux droites qui ont un seul point commun. Ce point est le point d’intersection des deux droites.

Définition : Deux droites perpendiculaires sont deux droites qui se coupent en formant quatre angles droits.

Le symbole « » signifie « perpendiculaire à ». Les droites (d) et (d’) sont perpendiculaires en A. On note (d) (d’). Les droites (d) et (d’) sont sécantes en A.

Définition : La médiatrice d’un segment est la droite qui coupe ce segment perpendiculairement en son milieu.

La droite (d) est la médiatrice du segment [AB] : - Les droites (d) et (AB) sont perpendiculaires. - La droite (d) coupe le segment [AB] en son milieu I.

Définition : Deux droites parallèles sont deux droites qui ne sont pas sécantes.

Le symbole « » signifie « parallèle à ». Les droites (d) et (d’) sont parallèles. On note (d) // (d’).

Remarque : Lorsque les points A, B et C sont alignés, les droites (AB) et (AC) ont une infinité de points communs. Ces droites ne sont pas sécantes, elles sont parallèles. Dans ce cas, on dit que les droites (AB) et (AC) sont confondues.

II. Propriétés

Propriété (admise) : Si deux droites sont perpendiculaires à une même droite, alors elles sont parallèles.

Exemple :

On sait que (AB) (EF) et (CD) (EF). Si deux droites (AB) et (CD) sont perpendiculaires à une même droite (EF), alors elles sont parallèles. Donc (AB) // (CD).

Propriété (admise) : Si deux droites sont parallèles, alors toute perpendiculaire à l’une est perpendiculaire à l’autre.

Exemple :

On sait que (AB) // (CD) et (CD) (EF). Si deux droites (AB) et (CD) sont parallèles et si une troisième droite (EF) est perpendiculaire à l’une (CD), alors la droite (EF) est aussi perpendiculaire à l’autre droite (AB).

Donc (AB) (EF).


B.1.GESTION DE DONNEES – 1.Eléments usuels

CHAPITRE 3 : POLYGONES

I. Nature

Un polygone est une figure plane fermée, dont les côtés sont des segments.

Nombre de sommets Nature du polygone

3 Triangle

4 Quadrilatère

5 Pentagone

6 Hexagone

7 Heptagone

8 Octogone

9 Ennéagone

10 Décagone

12 Dodécagone

II. Triangles

Définitions Figures et Exemples

Définition : Un triangle rectangle est un triangle qui possède un angle droit.

Le triangle ABC est rectangle en A.

Définition : Un triangle isocèle est un triangle possédant deux côtés de même longueur.

Le triangle MNP est isocèle en M, on a MN = MP. On dit que : - M est son sommet principal. - Le côté [NP] est sa

base.

Définition : Un triangle équilatéral est un triangle possédant trois côtés de même longueur.

Le triangle EFG est équilatéral, on a EF = EG = GF.

III. Quadrilatères

Définitions Figures et Exemples

Définition : Un rectangle est un quadrilatère qui a quatre angles droits.

Le quadrilatère ABDC est un rectange.

Définition : Un losange est un quadrilatère qui a quatre côtés de même longueur.

Le quadrilatère IJKL est un losange. IL = LK = KJ = JI

Définition : Un carré est un quadrilatère qui a quatre côtés de même longueur et quatre angles droits.

Le quadrilatère MNOP est un carré. OP = ON = NM = MP

Remarque : Le carré est un losange et un rectangle.

Définition : Un parallélogramme est un quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles.

Le quadrilatère ABCD est un parallélogramme,

(AB)//(CD) et (BC)// (AD).


B.1.GESTION DE DONNEES – 1.Eléments usuels

CHAPITRE 4 : PARALLELOGRAMMES

III. Propriétés

Propriété 1 : Si un quadrilatère est un parallélogramme, alors il possède un centre de symétrie qui est le point d’intersection de ses diagonales.

Remarque : Le centre de symétrie d’un parallélogramme est appelé le centre du parallélogramme.

Propriétés 2 : Si un quadrilatère est un parallélogramme, alors : - Ses diagonales se coupent en leur milieu. - Ses côtés opposés ont la même longueur. - Ses angles opposés ont la même mesure. - La somme des angles consécutifs est égale à 180°.

Exemple : ABCD est un parallélogramme, on a donc :

est le milieu des diagonales [AC] et [BD].

AB = CD et AD = BC.

= et = .

+ = 180°, + = 180°,

+ = 180° et + = 180°. IV. Propriétés réciproques

Propriétés 3 : Dans un quadrilatère si ses diagonales se coupent en leur milieu, alors c’est un parallélogramme. Dans un quadrilatère non croisé : - si ses côtés opposés ont la même longueur, alors c’est un parallélogramme. - si deux de ses côtés sont parallèles et de même longueur, alors c’est un parallélogramme.

V. Quadrilatères particuliers 1. Rectangle

Propriétés 4 : Si un quadrilatère est un rectangle, alors c’est un parallélogramme qui a : - Ses diagonales de même longueur. - Deux axes de symétrie : les médiatrices de ses côtés.

Exemple : ABCD est un rectangle, on a donc :

- (AB) // (DC) et (AD) // (BC). - AB = DC et AD = BC. - Les diagonales [BD] et [AC] sont de même longueur et se coupent en leur

milieu.

- I est le centre de symétrie.

- .

2. Reconnaître un rectangle

Propriétés 5 : - Si un parallélogramme possède un angle droit, alors c’est un rectangle. - Si un parallélogramme possède des diagonales de même longueur, alors c’est un rectangle.

3. Losange

Propriétés 6 : Si un quadrilatère est un losange, alors c’est un parallélogramme qui a : - Ses diagonales perpendiculaires. - Deux axes de symétrie : ses diagonales.

Exemple : ABCD est un losange, on a donc :

- (AB) // (DC) et (AD) // (BC). - AB = DC = AD = BC. - Les diagonales [BD] et [AC] sont perpendiculaires et se coupent en leur

milieu.


- .

- 4. Reconnaître un losange

Propriétés 7 : - Si un parallélogramme a deux côtés consécutifs de même longueur, alors c’est un losange. - Si un parallélogramme a ses diagonales perpendiculaires, alors c’est un losange.

5. Carré

Propriétés 8 : Si un quadrilatère est un carré, alors c’est un parallélogramme qui a : - Ses diagonales perpendiculaires et de même longueur. - Quatre axes de symétrie : ses diagonales et les médiatrices de ses côtés.

Exemple : ABCD est un carré, on a donc :

- (AB) // (DC) et (AD) // (BC). - AB = DC = AD = BC. - Les diagonales [BD] et [AC] sont perpendiculaires, de même longueur et se

coupent en leur milieu.


- .

6. Reconnaître un carré

Propriétés 9 : - Si un parallélogramme a deux côtés consécutifs perpendiculaires et de même longueur, alors c’est un carré. - Si un parallélogramme a ses diagonales perpendiculaires et de même longueur, alors c’est un carré.


B.1.GESTION DE DONNEES – 2.Transformations

CHAPITRE 1 : SYMETRIE AXIALE

I. Figures symétriques

Deux figures sont symétriques par rapport à une droite lorsque, en pliant suivant cette droite, les deux figures se superposent. La symétrie par rapport à une droite est appelée symétrie orthogonale ou symétrie axiale. Cette droite est appelée l’axe de symétrie.

Exemple : Symétrie par rapport à la droite (d).

II. Symétrique d’un point

Définition : Soit M un point qui n’appartient pas à la droite (d). Le symétrique du point M par rapport à la droite (d) est le point M’ tel que la droite (d) est la médiatrice du segment [MM’]. Soit N un point qui appartient à la droite (d). Le symétrique du point N par rapport à la droite (d) est le point N lui-même.

Exemple :

III. Symétriques de figures usuelles

Propriétés Exemples

Propriété : Le symétrique d’une droite par rapport à une droite est une droite. On dit que la symétrie axiale conserve l’alignement des points.

Le symétrique de la droite (m) par rapport à la droite (d) est la droite (m’)

Propriété : Le symétrique d’un segment par rapport à une droite est un segment de même longueur. On dit que la symétrie axiale conserve les longueurs.

Le symétrique du segment [AB] par rapport à la droite (d) est le segment [A’B’] où : A’ est le

symétrique du point A par rapport à la droite (d). B’ est le symétrique du point B par rapport à la droite (d). On a donc AB = A’B’.

Propriété : Le symétrique d’un cercle par rapport à une droite est un cercle de même rayon. Les centres des deux cercles sont symétriques par rapport à cette droite.

C est un cercle de centre O et de rayon 2cm. O’ est le symétrique du point O par rapport à la droite (d). Le symétrique C’ du

cercle C par rapport à la droite (d) est le cercle de centre O’ et de rayon 2cm.

Propriété : Le symétrique d’un angle par rapport à une droite est un angle de même mesure. On dit que la symétrie axiale conserve les mesures d’angles.

Le symétrique de par rapport à (d) est

.

On a donc



CHAPITRE 1 : SYMETRIE CENTRALE

I. Points symétriques

Définition : Soit O un point du plan. Soit A un point distinct de O. Le symétrique de A par rapport à O est le point A’ tel que O est le milieu du segment [AA’].

Exemple :

Remarque 1 : Dans la symétrie de centre O, le symétrique du point O est le point O lui-même. Remarque 2 : Deux figures sont symétriques par rapport à un point O si elles se superposent lorsqu’on leur fait faire un demi-tour autour du point O.

Exemple : Symétrie par rapport au point O.

II. Propriétés de la symétrie centrale

Propriétés Exemples

Propriété : Le symétrique d’une droite par rapport à un point est une droite qui lui est parallèle. La symétrie centrale conserve l’alignement des points.

Le symétrique de la droite (AB) par rapport à O est la droite (A’B’), donc les droites (AB) et (A’B’) sont parallèles.

Propriété (admise) : Le symétrique d’un segment par rapport à un point est un segment de même longueur. La symétrie centrale conserve les longueurs.

Le symétrique du segment [AB] par rapport à O est le segment [A’B’], donc AB = A’B’.

Propriété (admise) : Le symétrique d’une demi-droite par rapport à un point est une demi-droite qui lui est parallèle. Les origines des deux demi-droites sont symétriques.

Le symétrique de la demi—droite [AB) par rapport à O est la

demi-droite [A’B’), donc les demi-droites [AB) et [A’B’) sont parallèles et les points A et A’ sont symétriques par rapport à O.

Propriété (admise) : Le symétrique d’un cercle par rapport à un point est un cercle de même rayon. Les centres de deux cercles sont symétriques.

Le symétrique du cercle C par rapport à O est le cercle C’, donc les centres A et A’

sont symétriques par rapport à O et les cercles C et C’ ont le même rayon car la symétrie centrale conserve les longueurs.

Propriété (admise) : Le symétrique d’un angle par rapport à un point est un angle de même mesure. La symétrie centrale conserve les mesures d’angles.

Le symétrique de l’angle par rapport à O

est l’angle , donc = .



CHAPITRE 2 : AXES ET CENTRES DE SYMETRIE

I. Axes de symétrie de figures usuelles

1. Médiatrice d’un segment

La médiatrice d’un segment est un axe de symétrie de ce segment.

Propriété : Si un point appartient à la médiatrice d’un segment, alors il est équidistant des extrémités de ce segment.

Exemple :

Propriété : Si un point est équidistant des extrémités d’un segment, alors il appartient à la médiatrice de ce segment.

Exemple :

2. Bissectrice d’un angle

La droite qui porte la bissectrice d’un angle est un axe de symétrie de cet angle.

Exemple :

La demi-droite [Ot) est la bissectrice de l’angle . La droite (Ot) est l’axe de symétrie de cet angle.

3. Triangle isocèle

Propriété : - Si un triangle est isocèle, alors il a un axe de symétrie : la médiatrice de sa base. - Si un triangle est isocèle, alors l’axe de symétrie partage l’angle au sommet principal en deux angles de même mesure. - Si un triangle est isocèle, alors les deux angles à la base sont de même mesure.

Exemple : Dans le triangle ABC isocèle en C.

La droite (CD) est l’axe de symétrie et la droite (CD) est la médiatrice du segment [AB].

(CD) partage l’angle en deux angles de même mesure : =

= .

4. Triangle équilatéral

Propriété : Si un triangle est équilatéral, alors il a trois axes de symétrie : les médiatrices des côtés. - Si un triangle est équilatéral, alors tous ses angles sont de même mesure.

Exemple : Dans le triangle équilatéral ABD.

Les droites (BE), (DG) et (AF) sont des axes de symétrie et les médiatrices des côtés.

= = .


5. Rectangle

Propriété : Si un quadrilatère est un rectangle, alors il a deux axes de symétrie : les médiatrices de ses côtés.

Propriété : - Si un quadrilatère est un rectangle, alors ses côtés opposés sont parallèles et de même longueur. - Si un quadrilatère est un rectangle, alors ses diagonales ont la même longueur et se coupent en leur milieu.

Exemple : ABDC est un rectangle.

AB = CD et AC = BD et (AB) // (CD) et (AC) // (BD).

Les diagonales [AD] et [BC] se coupent en leur milieu E. AE = BE = DE = CE.

6. Losange

Propriété : Si un quadrilatère est un losange, alors il a deux axes de symétrie : ses diagonales.

Propriété : - Si un quadrilatère est un losange, alors ses diagonales sont perpendiculaires et se coupent en leur milieu. - Si un quadrilatère est un losange, alors ses côtés opposés sont parallèles. - Si un quadrilatère est un losange, alors ses angles opposés ont la même mesure.

Exemple : ACBD est un losange.

AC = CB = BD = AD et (AC) // (DB) et (CB) // (AD).

les diagonales [CD] et [AB] sont perpendiculaires et se coupent en leur milieu E.

= et .

7. Carré

Propriété : Si un quadrilatère est un carré, alors il a quatre axes de symétrie : ses diagonales et les médiatrices des côtés.

Propriété : Si un quadrilatère est un carré, alors ses diagonales ont la même longueur, sont perpendiculaires et se coupent en leur milieu.

Exemple : ABCD est un carré.

Les droites (DB) et (AC) sont perpendiculaires et se coupent en leur milieu E.

DE = CE = BE = AE.

II. Centres de symétrie

Définition : Le centre de symétrie O d’une figure F est un point tel que le symétrique de F par rapport au point O est la figure F elle-même.

Exemples :

le centre de symétrie d’un segment est son milieu.

le centre de symétrie d’un cercle est son centre.

le centre de symétrie d’un rectangle, d’un losange ou d’un carré est le point d’intersection de ses diagonales.



CHAPITRE 3 : TRANSLATION, ROTATION, HOMOTHETIE

Pour transformer une figure, on peut utiliser la symétrie (axiale ou centrale), la translation, la rotation ou une homothétie (niveau collège).

I. La translation

Transformer une figure par translation, c’est la faire glisser sans la tourner. Ce glissement est défini par : - une direction - une sens - une longueur.

Exemple : Translation. La droite (AA’) donne la direction du glissement. La flèche qui part de A vers A’ donne le sens du glissement. La longueur AA’ donne la longueur du glissement.

Propriétés : La translation conserve les alignements, les mesures d’angles, les longueurs et les aires.

II. La rotation

Transformer une figure par rotation, c’est la faire tourner autour d’un point. Une rotation est définie par : - un centre - un angle de rotation - un sens de rotation.

Exemple : Rotation On fait tourner autour du point O d’un angle de 110° dans le sens dit anti-horaire.

Remarque : La rotation de centre O et d’angle 180° est la symétrie centrale de centre O.

Propriétés : La rotation conserve les alignements, les mesures d’angles, les longueurs et les aires.

III. Homothétie

On appelle homothétie de centre O et de rapport k, non nul, la transformation qui à tout point M associe le point M’ tel que : - O, M, M’ sont alignés, - Si k>0, alors OM’ = k x OM et - Si k<0, alors OM’ = - k x OM et M et M’ sont du même côté par rapport à O. M et M’ sont de part et d’autre de O.

Exemples :

Propriétés : L’homothétie conserve les alignements, les angles et le parallélisme.



CHAPITRE 4 : AGRANDISSEMENT ET REDUCTION

Définition : Quand on multiplie par un nombre k strictement positif les longueurs des côtés d’une figure F pour obtenir les longueurs des côtés d’une figure F’, on dit que :

- F’ est un agrandissement de la figure F si k > 1. - F’ est une réduction de la figure F si k < 1.

Le nombre k est appelé le rapport d’agrandissement ou le rapport de réduction.

Propriété : Un agrandissement (ou une réduction) conserve les mesures d’angles et le parallélisme.

Propriété : Dans un agrandissement ou une réduction de rapport k : L’aire d’une surface est multipliée par k². Le volume d’un solide est multiplié par k3.

Exemple :

Soit ABCDEFGH un pavé droit ayant pour volume V = 6cm3. On multiplie toutes ses longueurs par 3 pour obtenir un pavé droit A’B’C’D’F’E’G’H’. Comme k = 3, k > 1, alors le pavé droit A’B’C’D’F’E’G’H’ est un agrandissement de ABCDEFGH , son volume V’ est égal à : V’ = k3 x V V’ = 33 x 6 V’ = 27 x 6 V’ = 162cm3.

B.1.GESTION DE DONNEES – 3.Angles et Triangles


CHAPITRE 1 : LES RACINES CARREES

Définition : Soit a un nombre positif.

L’unique nombre positif dont le carré est égal à est appelé la racine carrée

de a. On le note .

Exemples :

3 est un nombre positif et 3² = 9.

On dit que 3 est la racine carrée de 9 et on note 3 = .

est un nombre positif et (

)² =

.

Donc

est la racine carrée de

, on note

=

.

0,5² = 0,25 donc = 0,5.

Carrés parfaits à connaître

1² = 1 => = 1

2² = 4 => = 2

3² = 9 => = 3

4² = 16 => = 4

5² = 25 => = 5

6² = 36 => = 6²

7² = 49 => = 7

8² = 64 => = 8

9² = 81 => = 9

10² = 100 => = 10

11² = 121 => = 11

12² = 144 => = 12

13² = 169 => = 13

(14² = 196 => = 14)

(15² = 225 => = 15)



CHAPITRE 2 : ANGLES

I. Vocabulaire et notation

Un angle est une portion de plan délimitée par deux demi-droites de même origine.

Vocabulaire : L’origine de ces deux demi-droites est le sommet de l’angle. Les deux demi-droites sont les côtés de l’angle. Notation : On note un angle avec trois lettres. Celle du milieu désigne le sommet de l’angle. Exemples :

Cet angle est noté ou Cet angle est noté ou . Côtés de l’angle Côtés de l’angle

II. Mesure d’un angle

L’unité de mesure d’un angle, au collège, est le degré. Pour mesurer un angle, on utilise un rapporteur. Vocabulaire :

Représentation

Angle Nul Aigu Droit Obtus Plat

Mesure 0° Comprise entre 0° et

90°

90° Comprise entre 90° et

180°

180°

III. Bissectrice d’un angle

Définition : La bissectrice d’un angle est la demi-droite qui partage cet angle en deux angles de même mesure et de même sommet.

Exemple :

L’angle mesure 80°. 80° : 2 = 40° Donc la bissectrice de cet angle est la demi droite [MT)

telle que : = = 40°

IV. Angles adjacents

Définition : Deux angles sont adjacents lorsque : - Ils ont le même sommet. - Ils ont un côté commun. - Ils sont situés de part et d’autre de ce côté commun.

Exemple : Côté commun Sommet commun

Les angles sont adjacents. Les angles ne sont pas adjacents.

Propriété 1 : Si deux angles et sont adjacents, alors =

Exemple :Les angles sont adjacents.

=

= 55 + 102

= 157°

V. Angles complémentaires et angles supplémentaires 1. Angles complémentaires

Définition : Deux angles sont complémentaires lorsque la somme de leurs mesures est égale à 90°.

Exemples :

Les angles et sont complémentaires car :

2. Angles supplémentaires

Définition : Deux angles sont supplémentaires lorsque la somme de leurs mesures est égale à 180°.

Exemples :

Les angles et sont complémentaires car :


VI. Angles opposés par le sommet

Définition : Deux angles sont opposés par le sommet lorsque : - Ils ont le même sommet. - Les côtés de l’un sont dans le prolongement des côtés de l’autre.

Exemple : Les deux paires d’angles opposés par le sommet sont :

Propriété 2 : Si deux angles sont opposés par le sommet, alors ils ont la même mesure.

Exemple :

Les angles sont opposés par le sommet.

On a donc

VII. Angles alternes-internes

Définition : Lorsque deux droites sont coupées par une sécante, elles déterminent deux paires d’angles alternes-internes. On dit que deux angles sont alternes-internes lorsqu’ils sont : - De part et d’autre de la sécante. - A l’intérieur de la bande formée par les deux droites.

Exemple : Les deux paires d’angles alternes-internes sont :

Propriété 3 : Si deux droites sont parallèles et sont coupées par une sécante, alors elles déterminent des angles alternes-internes de même mesure.

Propriété 4 : Si deux droites coupées par une sécante déterminent deux angles alternes-internes de même mesure, alors ces droites sont parallèles

VIII. Angles correspondants

Définition : Lorsque deux droites sont coupées par une sécante, elles déterminent quatre paires d’angles correspondants. On dit que deux angles sont correspondants lorsqu’ils sont : - Du même côté de la sécante. - Non adjacents. - De sorte qu’un seul angle se trouve à l’intérieur de la bande formée par les deux droites.

Exemple : Les quatre paires d’angles correspondants sont :

Propriété 5 : Si deux droites sont parallèles et sont coupées par une sécante, alors elles déterminent des angles correspondants de même mesure.

Propriété 6 : Si deux droites coupées par une sécante déterminent deux angles correspondants de même mesure, alors ces droites sont parallèles.



CHAPITRE 3 : TRIANGLES

I. Inégalité triangulaire

Propriété : Soient A, B et C trois points quelconques. - Si B appartient au segment [AC], alors AC = AB + BC. - Si B n’appartient pas au segment [AC], alors AC < AB + BC.

Exemple : C n’appartient pas au

segment [AB] B appartient au segment [AC] AB + BC = 3 + 2 = 5cm AC + BC = 3 + 5 = 8cm AC = 5cm AB = 4cm On a bien AB + BC = AC. On a bien AB < AC + BC.

Propriété : Dans un triangle ABC, la longueur de chaque côté est inférieure à la somme des longueurs des deux autres côtés.

Remarque : Pour vérifier qu’un triangle est constructible ou non, il suffit de comparer la somme des deux plus petites longueurs à la troisième.

Exemple : MNO est-il constructible ? MN = 6cm, MO = 3cm, NO = 2cm MO + NO = 3 + 2 = 5cm et MN = 6cm, d’où MO + NO < MN. Donc le triangle MNO n’est pas constructible.

II. Somme des mesures des angles d’un triangle

Propriété: La somme des mesures des angles d’un triangle est égale à 180°.

III. Triangle rectangle

Propriété : Si un triangle est rectangle, alors ses angles aigus sont complémentaires.

Exemple : Le triangle ABC est rectangle en B.

On a : + = 90°.

Propriété : Si deux angles d’un triangle sont complémentaires, alors ce triangle est rectangle.

IV. Triangle isocèle

Propriété : Si un triangle est isocèle, alors les angles à la base sont de même mesure.

Exemple : Le triangle ABC est isocèle en C. On a : = .

V. Triangle Equilatéral

Propriété : Si un triangle est équilatéral, alors ses angles sont de même mesure.

Exemple : Le triangle ABD est équilatéral. On a : = = = 60°.

VI. Droites remarquables 1. Médiatrice

Propriété : Si un point P est situé sur la médiatrice du segment [AB], alors PA = PB. Autrement dit, P est équidistant des extrémités A et B.

Propriété : Si M est un point tel que MA = MB, alors le point M est situé sur la médiatrice du segment [AB]. Si un point est équidistant des extrémités d’un segment, alors il est situé sur la médiatrice de ce segment.

2. Médiane

Définition : Dans un triangle, une médiane est une droite qui passe par un sommet et qui coupe le côté opposé en son milieu.

3. Hauteur

Définition : Dans un triangle, une hauteur est une droite qui passe par un sommet et qui est perpendiculaire au côté opposé à ce sommet.

VII. Cercle circonscrit

Propriété : Les médiatrices des trois côtés d’un triangle sont concourantes. Leur point de concours est le centre du cercle qui passe par les trois sommets du triangle. Ce cercle est appelé le cercle circonscrit au triangle.



CHAPITRE 4 : THEOREME DE PYTHAGORE

I. Vocabulaire

Définition : Dans un triangle rectangle, l’hypoténuse est le côté opposé à l’angle droit.

Exemple : Le triangle ABC est rectangle en A. Le côté [BC] est l’hypoténuse du triangle ABC.

Remarque : L’hypoténuse est le plus grand des trois côtés.

II. Théorème de Pythagore

Théorème de Pythagore : Dans un triangle rectangle, le carré de la longueur de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés.

Conséquence 1 : Dans un triangle rectangle, le théorème de Pythagore permet de calculer la longueur d’un côté connaissant les longueurs des deux autres côtés.

Propriété : Si ABC est un triangle rectangle en A, alors BC² = AB² + AC².

Exemple : On sait que ABC est un triangle rectangle en A. D’après le théorème de Pythagore : BC² = AB² + AC². On a donc : 40² = AB² + 24²

1600 = AB² + 576 AB² = 1600 – 576 AB² = 1024

AB = 32 cm

III. Réciproque et contraposée du théorème de Pythagore Conséquence 2 : La réciproque du théorème de Pythagore permet de démontrer qu’un triangle est rectangle, donc que deux droites sont perpendiculaires.

Propriété : Si, dans un triangle ABC, on a BC² = AB² + AC², alors le triangle est rectangle en A.

Exemple : Dans le triangle ABC, [BC] est le plus grand côté. CB² = 5² = 25 AC² + AB² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25 On constate que CB² = AC² + AB². Donc, d’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en A.

Conséquence 3 : La contraposée du théorème de Pythagore permet de démontrer qu’un triangle n’est pas rectangle.

Propriété : Si, dans un triangle ABC, on a BC² ≠ AB² + AC², alors le triangle ABC n’est pas rectangle.

Exemple : Soit un triangle EFG tel que : EF = 3cm, EG =3,5cm et FG = 4,5cm. Le côté [FG] est le plus long côté. On a : FG² = 4,5² = 20,25. Et EF² + EG² = 3² + 3,5² = 9 + 12,25 = 21,25. On constate que : FG² ≠ EF² + EG². Donc d’après la contraposée du théorème de Pythagore, le triangle EFG n’est pas rectangle.



CHAPITRE 4 : THEOREME DE THALES

I. Le théorème de Thalès

Théorème de Thalès : (d) et (d’) sont deux droites sécantes en A. B et M sont deux points appartenant à la droite (d), distincts de A. C et N sont deux points appartenant à la droite (d’), distincts de A.

Si les droites (BC) et (MN) sont parallèles, alors

=

=

.

Configuration des triangles Configuration du papillon

Autrement dit : il y a proportionnalité entre le petit triangle et le grand triangle.

Remarque : On peut changer l’ordre des lettres et l’ordre de chaque expression

=

=

Les rapports inverses sont eux aussi égaux :

=

=

Remarque : Ce théorème permet de calculer la longueur d’un segment.

Exemple : On sait que :

Les droites (NC) et (MB) sont sécantes en A.

Les droites (MN) et (BC) sont parallèles. Or, d’après le théorème de Thalès :

=

=

(remplacer par les valeurs connues, puis prendre juste les rapports utiles)

Donc, on a :

=

AB =

= 15 cm

Remarque : Ce théorème permet de démontrer que deux droites ne sont pas parallèles.

Exemple : Les droites (NC) et (MB) sont sécantes en A. AM = 2cm, AB = 3cm, AN = 3cm et AC = 4cm.

=

0,67 cm et

=

= 0,75cm

On a

≠

, donc les droites (MN) et (BC) ne sont pas parallèles.

(Si les droites étaient parallèles, on aurait égalité des rapports par le théorème de Thalès, mais ce n’est pas le cas)

II. Réciproque du théorème de Thalès

Propriété : (d) et (d’) sont deux droites sécantes en A. B et M sont deux points appartenant à la droite (d), distincts de A. C et N sont deux points appartenant à la droite (d’), distincts de A.

Si,

=

et si les points A, B, M et A, C, N sont dans le même ordre,

alors les droites (BC) et (MN) sont parallèles.

Remarque : Ce théorème permet de démontrer que deux droites sont parallèles.

Exemple 1 : Données :

Les droites (EU) et (FV) sont sécantes en A.

=

= 0,6 et

=

= 0,6

On constate que

=

Les points A, E, U et A, F, V sont alignés dans le même ordre. Conclusion : Donc, d’après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (EF) et (UV) sont parallèles. Exemple 2 :

Les droites (BD) et (CN) sont sécantes en A.

=

et

=

On constate que

=

.

Or les droites (DN) et (BC) ne sont pas parallèles : les points A, D, B et A, N, C ne sont pas alignés dans le même ordre.



CHAPITRE 5 : TRIGONOMETRIE

I. Vocabulaire

Côté adjacent à l’angle Hypoténuse

Côté opposé à l’angle

II. Cosinus d’un angle aigu

Définition : Dans un triangle rectangle, le cosinus d’un angle aigu , noté

cos , est égal au quotient :

cos =

.

Exemple :

Dans le triangle ABC, rectangle en B, on a : cos =

III. Sinus d’un angle aigu

Définition : Dans un triangle rectangle, le sinus d’un angle aigu , noté sin ,

est égal au quotient :

sin =

.

Exemple :

Dans le triangle ABC, rectangle en B, on a : sin =

IV. Tangente d’un angle aigu

Définition : Dans un triangle rectangle, la tangente d’un angle aigu , noté

tan , est égal au quotient :

sin =

.

Exemple :

Dans le triangle ABC, rectangle en B, on a : tan =

V. Relations trigonométriques

Remarque : Pour tout angle aigu d’un triangle rectangle, on a :

0 < cos < 1 et 0 < sin < 1.

Propriété : Pour tout angle aigu d’un triangle rectangle, on a :

- (cos )² + (sin )² = 1, notée cos² + sin² = 1

- tan =

.

Exemple 1 : La première formule permet de calculer le cosinus (ou le sinus)

d’un angle aigu, lorsque l’on connaît son sinus (ou le cosinus).

(sin 57)² + (cos57)² = 1

Exemple 2 : La deuxième formule permet de calculer le cosinus, le sinus ou la

tangente d’un angle aigu, lorsque l’on connaît deux de ces nombres.

tan 36 =


B.2. GRANDEURS ET MESURES–4. Longueurs et surfaces

CHAPITRE 1 : UNITES ET CONVERTIONS

I. Longueur et masse

La mesure d’un segment s’appelle sa longueur. L’unité de mesure est le mètre, il se note « m ». La mesure d’une quantité de matière s’appelle la masse. L’unité de mesure est le gramme, il se note « g ». Préfixes : Kilo : « 1000 » Milli : « un millième » Hecto : « 100 » Centi : « un centième » Déca : « 10 » Déci : « un dixième »

1. Tableau des unités de longueur

km hm dam m dm cm mm

1m = 100cm 1,5 m = 150cm

2. Changements d’unités de masse

1 tonne = 1t = 1000kg 1 quintal = 1q = 100kg

t q kg hg dag g dg cg mg

750dg = 0,0750kg 81g = 8,1dag

II. Unité d’aire Une unité d’aire souvent utilisée est le mètre carré (m²). 1m² est l’aire d’un carré de côté 1m.

km² hm² dam² m² dm² cm² mm²

5, 7 5

0, 7 9 1

5,75m² = 57 500cm² 0,791 km² = 79,1hm² Vocabulaire : Pour mesurer la superficie des terrains, on utilise l’are (a) et l’hectare (ha).

1 a = 1 dam² = 100m² et 1 ha = 1 hm² = 10 000m²

III. Unité de volume

Unité de volume : On dit que le volume d’un cube d’arête 1m est égal à un mètre cube, noté 1m3. Unité de contenance : Une unité de contenance souvent utilisée est le litre (L). 1L est la contenance d’un cube d’arête 1dm.

1L = 1dm3

Exemple : 2,4dm3 = 0,0024 m3 = 2400 cm3 = 240 cL

km3 hm3 dam3 m3 dm3 cm3 mm3

kL hL daL L dL cL mL

0 0 0 2 4 0 0


B.2. GRANDEURS ET MESURES–4. Longueurs et surfaces

CHAPITRE 2 : PERIMETRE ET AIRES

Attention : Les longueurs sont exprimées dans la même unité.

I. Périmètre

1. Notion de périmètre

Le périmètre d’une figure est la longueur de son contour.

2. Périmètre d’un polygone

Le périmètre d’un polygone est égal à la somme des longueurs des côtés du polygone.

Exemple : ABCD est un polygone avec AB = 1,3cm, BC = 2,3cm, CD = 2,8cm et DA = 1,5cm. P = AB + BC + CD + DA = 1,3 + 2,3 + 2,8 + 1,5 = 7,9cm Le périmètre P du polygone ABCD est 7,9cm.

II. Aire 1. Notion d’aire

L’aire d’une figure est la mesure de sa surface.

Deux figures qui se superposent par découpage et recollement ont la même aire.

Exemple : En découpant et recollant un demi-disque, on constate que les figure 1 et 2 ont la même aire : celle d’un rectangle de longueur 4cm et de largeur 2cm, soit 4 x 2 = 8cm². Remarque : Ces deux figures n’ont pas le même périmètre.

III. Figures usuelles

Nom Losange Carré Rectangle

Figure

“c” la longueur des côtés

“c” la longueur des côtés

“ ” la largeur et “L” la longueur

Périmètre P = 4 x c P = 4 x 5 = 20cm

P = 4 x c P = 4 x 6 = 24cm

P = (2 x ) + (2 x L) P = 2 x ( + L) P = 2 x (3 + 7) = 20cm

Aire A = c x c A = 6 x 6 = 36cm²

A = L x A = 3 x 7 = 21cm²

Nom Parallélogramme Cercle Triangles

Figure

“R” le rayon et “D” le diamètre

Périmètre Somme des

longueurs des côtés

P = 2 x x R P = x D

P = 2 x x 4,5 P = 9 x

P 28,3cm

Somme des longueurs des côtés

Aire Aire = h x b A = R x R x

A = x R² A =

A =

=

A = 17,5cm²

est un nombre environ égal à 3,14 qui s’appelle la constante du cercle. Il permet de calculer le périmètre et l’aire d’un cercle. On utilise la touche sur la calculatrice. R² se lit « R au carré ».


B.2. GRANDEURS ET MESURES– 4. Longueurs et surfaces

CHAPITRE 3 : SECTIONS PAR UN PLAN

1. Pavé droit Exemple n°1 :

Si on coupe un pavé droit (ABCDEFGH) par un plan parallèle à l’une de ses faces (ADEF), alors la section obtenue (IJLK) est un rectangle qui a les mêmes dimensions que cette face. La section IJKL est un rectangle.

IJ = EF et IK = AF. Exemple n°2 :

Si on coupe un pavé droit (ABCDEFGH) par un plan parallèle à l’une de ses arêtes ([FE]), alors la section obtenue (IJNM) est un rectangle dont une dimension est la longueur de l’arête.

La section IJNM est un rectangle. IJ = EF.

2. Cylindre de révolution Exemple n°1 :

Si on coupe un cylindre (d’axe (OO’)) par un plan parallèle à sa base (cercle de rayon r), alors la section obtenue est un cercle qui a le même rayon que la base du cylindre. La section est un cercle de rayon r.

Exemple n°2 :

Si on coupe un cylindre (d’axe (OO’)) par un plan perpendiculaire à sa base, alors la section obtenue est un rectangle. La section ABCD est un rectangle. BC = OO’

3. Cône de révolution Si on coupe un cône de révolution par un plan parallèle à sa base, alors la section obtenue est un cercle qui est une réduction du cercle de base.

La section est un cercle de centre I qui est une réduction du cercle de base de centre O.

4. Pyramide Si on coupe une pyramide par un plan parallèle à sa base, alors la section obtenue est un polygone qui est une réduction du polygone de base.

La section est un polygone FGHI qui est une réduction du polygone ABCD.

5. Sphères et boules Une sphère de centre O et de rayon R est coupée par un plan. Le point H est le point d’intersection du plan et de sa perpendiculaire passant par O. On dit que OH est la distance de O au plan. Exemple n°1 :

Si 0 < OH < R, alors la section obtenue est un cercle. D est un point appartenant à la sphère et au cercle de centre H. Le triangle HOD est rectangle en H. Exemple n°2 :

Si OH = 0, alors la section obtenue est un cercle. Les points H et O sont confondus. Le cercle de centre H est un grand cercle de la sphère. Exemple n°3 :

Si OH = R, alors la section obtenue est un point. Le plan est dit tangent en H à la sphère Remarque : Si OH > R, le plan ne coupe pas la

sphère.


B.2. GRANDEURS ET MESURES– 5. Espace

CHAPITRE 1 : SOLIDES ET PATRONS

Il existe plusieurs façons de déplier un solide donc un même solide possède plusieurs patrons différents.

I. Le parallélépipède rectangle

Un parallélépipède rectangle est un solide dont les six faces sont des rectangles.

Remarques : - Un parallélépipède rectangle est aussi appelé pavé droit. - Un cube est un parallélépipède rectangle dont les 6 faces sont des carrés. - Un parallélépipède rectangle est défini par 3 dimensions : sa longueur , sa

largeur et sa hauteur .

Remarque : Un parallélépipède rectangle possède 6 faces, 8 sommets et 12 arêtes.

II. Représentation en perspective cavalière

Pour représenter un solide sur une surface plane, on utilise la perspective cavalière.

Remarques : - Deux arêtes parallèles et de même longueur sont représentées par deux segments parallèles et de même longueur. - Les arêtes cachées sont représentées en pointillés.

III. Patron

Un patron d’un solide est un dessin en un seul morceau qui permet de construire ce solide. Sur ce patron, toutes les faces sont dessinées en vraie grandeur. - Un patron d’un parallélépipède rectangle est constitué de 6 rectangles. - Un patron d’un cube est constitué de 6 carrés de même dimension.

Exemple :

Remarque : Il y a plusieurs patrons pour un même parallélépipède rectangle.



CHAPITRE 2 : PRISMES ET CYLINDRES

PRISMES ET CYLINDRES

I. Prisme droit 1. Définition

Définition : Un prisme droit est un solide délimité par : - Deux polygones superposables et parallèles, appelés les bases du prisme. - Des faces rectangulaires perpendiculaires aux bases, appelées les faces latérales du prisme.

Remarque : Le parallélépipède rectangle est un prisme droit dont les bases sont des rectangles. Le cube est un prisme droit dont les bases sont des carrés.

Les arêtes latérales d’un prisme droit sont les côtés communs à deux faces latérales. Les arêtes latérales sont perpendiculaires aux bases, parallèles entres elles et de même longueur. Cette longueur commune est appelée la hauteur du prisme droit.

Exemple : bases arêtes latérales

hauteur

2. Patron

Un patron d’un prisme droit est composé des deux bases et des faces latérales du prisme.

Exemple : On cherche à construire le patron du prisme droit ci-dessous. Patron :

II. Cylindre de révolution 1. Définition

Un cylindre de révolution est un solide délimité par : - Deux disques superposables et parallèles, appelés les bases du cylindre. - Un rectangle « enroulé » autour des bases, appelé la surface latérale du cylindre.

- La droite passant par les centres des deux bases est appelée l’axe du cylindre. Cette droite est perpendiculaire aux bases. - La distance entre les deux centres des bases est appelée la hauteur du cylindre. - La surface latérale d’un cylindre de révolution est un rectangle dont les dimensions sont le périmètre d’un disque de base et la hauteur du cylindre

Remarque : Un cylindre de révolution peut aussi être obtenu en faisant tourner un rectangle autour d’un de ses côtés.

2. Patron

Un patron d’un cylindre de révolution est composé des deux disques de base et de la surface latérale du cylindre.

Exemple : On cherche à construire le patron du cylindre de révolution.

Patron :



CHAPITRE 3 : PYRAMIDES ET CONES DE REVOLUTION

I. Les pyramides

1. Vocabulaire

Définition : Une pyramide est solide dont : - Une face est un polygone, appelée base. - Les autres faces, dites faces latérales, sont des triangles qui ont un sommet commun, appelé sommet de la pyramide.

Définition : - La hauteur d’une pyramide de sommet S est le segment [SO] perpendiculaire au plan de la base, où O est un point de ce plan. - Les arêtes latérales sont les segments joignant les sommets de la base au sommet de la pyramide.

Vocabulaire : S est le sommet de la pyramide. Le polygone EFGH est la base de la pyramide. Les faces latérales sont : SFG, SGH, SEH, SEF. Les arêtes latérales sont : [SF], [SG], [SH], [SE]. La hauteur de la pyramide est le segment [SO]. Exemples : Pyramide à base rectangulaire Pyramide à base triangulaire

(appelée un tétraèdre)

(le mot tétraèdre vient du mot grec : « tetra » = quatre et edros = base.)

2. Pyramides régulières

Définition : Une pyramide régulière est une pyramide dont la base est un polygone régulier.

Propriété : Les faces latérales d’une pyramide régulière sont des triangles isocèles de même dimension.

Exemple : Pyramide à base carrée.

3. Patron

II. Les cônes de révolution

Définition : Un cône de révolution de sommet S est le solide engendré par la rotation d’un triangle SOM rectangle en O, autour de la droite (SO). Le disque de centre O et de rayon OM est la base de ce cône.

Définition : - La hauteur d’un cône de révolution est le segment qui joint le centre du disque au sommet du cône ; il est perpendiculaire au disque de base.

Remarque : Les génératrices sont des segments qui ont pour extrémités le sommet du cône et un point du cercle délimitant le disque de base. Vocabulaire : S est le sommet du cône de révolution. Sa base est le disque de centre O et de rayon OM (on la représente en perspective par un ovale : ellipse). La hauteur du cône est le segment [OS].



CHAPITRE 4 : VOLUMES

I. Volume d’un parallélépipède

Propriété : On note (longueur), (largeur) et (hauteur) les trois dimensions d’un parallélépipède rectangle. Le volume du parallélépipède rectangle est :

V =

Volume du cube = c x c x c

Exemple : Le volume d’un parallélépipède rectangle dont les dimensions sont 50cm, 30cm et 20 cm est : V = 50 x 30 x 20 = 30 000cm3.

II. Volume d’un prisme et d’un cylindre 1. Prisme

Propriété : On note (l’aire de la base) et (hauteur). Le volume du parallélépipède rectangle est :

V =

2. Cylindre

Propriété : On note (l’aire de la base) et (hauteur). Le volume du parallélépipède rectangle est :

V =

V

III. Volume d’un cône et d’une pyramide

Propriété : Le volume V d’une pyramide ou d’un cône de révolution est égal au tiers du produit de l’aire de la base B par la hauteur du solide H :

V =

.

Volume du cône =

Volume de la pyramide=

Exemples :

Un cône de révolution de 4cm de haut a un rayon de base de 1,5cm.

V =

=

= .

Le volume de ce cône est cm3 (valeur exacte). L’arrondi au dixième de ce volume est 9,4 cm3.

Une pyramide de hauteur 6cm a pour base un rectangle de 3cm sur 5cm.

V =

=

= .

Le volume de cette pyramide est 30 cm3



CHAPITRE 5 : SPHERES ET BOULES

I. Définition

Définition : La sphère de centre O et de rayon R est l’ensemble des points M de l’espace tels que OM = R. La boule de centre O et de rayon R est l’ensemble des points M de l’espace tels que OM ≤ R.

II. Aire et volume

1. Aire d’une sphère R : rayon de la sphère

Aire d’une sphère = 4πR²

Exemple : L’aire d’une sphère de centre O et de rayon R = 5cm est : A = 4πR² A = 4π x 5² A = 4 x 25 x π A = 100 π cm². (valeur exacte) A 314cm². (valeur approchée à l’unité)

2. Volume d’une boule R : rayon de la boule

Volume d’une boule =

πR3

Exemple : Le volume d’une boule de centre O et de rayon R = 5cm est :

V =

πR3

V =

π53

V =

x 125 x π

V =

π cm3. (valeur exacte)

V 524cm3. (valeur approchée à l’unité)

III. Se repérer dans l’espace



CHAPITRE 3BIS : TRIANGLES SEMBLABLES

I. Triangles égaux

Définition : Deux triangles égaux sont deux triangles qui ont leurs côtés deux à deux de même longueur.

Propriété : Si deux triangles sont égaux, alors leurs angles sont deux à deux de même mesure.

Exemple :

Les triangles ABC et DEF sont égaux. Leurs angles sont deux à deux de même mesure. Remarque : Deux triangles égaux sont superposables.

II. Triangles semblables

Définition : Deux triangles semblables sont deux triangles qui ont leurs angles deux à deux de même mesure.

Exemple : ABC et EDF sont des triangles semblables.

x 0,5

Remarque : Pour démontrer que deux triangles sont semblables, il suffit juste de montrer qu’ils ont deux paires d’angles deux à deux de même mesure.

Propriété : Si deux triangles sont semblables, alors les longueurs de leurs côtés sont proportionnelles.

Propriété (réciproque) : Si les longueurs des côtés de deux triangles sont proportionnelles, alors ces triangles sont semblables.

Exemple :

x k

Autrement dit :

=

=

OU

=

=

= k

Remarque : k est le coefficient de proportionnalité Si k > 1, alors le triangle DEF est un agrandissement du triangle ABC. Si k < 1, alors le triangle DEF est une réduction du triangle ABC.

Longueurs de ABC 6,16 7,92 4,02

Longueurs de DEF 3,08 3,96 2,01

Longueurs du triangle ABC AB BC AC

Longueurs du triangle DEF ED EF DF

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2. Grandeurs et mesures - blog.ac-versailles.frblog.ac-versailles.fr/coursmadameanfraypires/public/Cours_2017... · CHAPITRE 1 : NOMBRES ENTIERS, DECIMAUX ET COMPARAISON Une I. Nombres