2 Guia 02 Semestre 2 Geometria Analitica

Colegio Chileno Norteamericano

GEOMETRA

ANALTICA Erwin Coronado Contreras Erwin Coronado Contreras

Erwin E. Coronado Contreras

Profesor de Estado en Matemtica Pgina 1

Debes saber que:

La trigonometra fue desarrollada por astrnomos griegos, quienes vean el cielo como el interior de

una esfera, de manera que fue natural que los tringulos en una esfera se investigaran muy pronto

(Menelaus de Alejandra en el ao 100 dC) y que los tringulos en el plano se investigarn despus.

El astrnomo persa Nasr Eddin escribi el primer libro que contiene un tratado sistemtico de

trigonometra plana y esfrica (alrededor de 1250 dC).

Regiomontanus (1436-1476) es la persona ms responsable de que la trigonometra se moviera de la

astronoma a las matemticas.

Su trabajo fue mejorado por Coprnico (1473-1543) y su alumno Rhaeticus (1514-1576). El libro de

Rhaeticus fue el primero en definir las seis funciones trigonomtricas como razones de los lados de

los tringulos, aunque no dio a las funciones sus nombres actuales. stos se deben a Thomas Finck

(1583), aunque la notacin de Finck no se acept de manera universal en el momento. Con el tiempo,

la notacin se estabiliz gracias a los libros de texto de Leonhard Euler (1707-1783). La trigonometra

ha evolucionado desde sus aplicaciones en geodesia, navegacin e ingeniera a los estudios actuales

de las mareas, el aumento y la disminucin de los recursos alimenticios en ciertas ecologas, los

patrones de ondas en el cerebro y muchos otros fenmenos.

Fuente: lgebra y trigonometra de Sullivan, Sptima Edicin.

La palabra trigonometra proviene de dos vocablos griegos: trgono cuyo significado es tringulo y

metria cuyo significado es medicin. Por tanto, podemos decir que: La trigonometra es la parte de

la geometra que estudia las relaciones existentes entre las longitudes de los lados y las medidas de

los ngulos de los tringulos.

I. Sistemas Coordenados

Semi-recta: Dados dos puntos A y B , la unin de este segmento de recta AB con el conjunto de los

puntos X tales que B est entre A y X es la semi-recta AB , la que se denota por AB . El punto A es

el origen o vrtice de la semi-recta.



ngulo: Es la figura formada por dos semi-rectas de origen comn

llamado vrtice. Se simboliza por . Cada semi-recta se llama lado.

En general se identifica un ngulo por tres letras maysculas, siendo la

letra del medio la correspondiente al vrtice o tambin por letras

minsculas del alfabeto griego.

Medicin de ngulos

Se establecen las siguientes convenciones:

1. Un ngulo se considerar positivo si se ha medido, en sentido anti horario,

es decir, contrario a las manecillas del reloj.

2. Un ngulo se considerar negativo si se ha medido, desde su lado inicial

hasta su lado final, en sentido horario, es decir, de acuerdo a las manecillas

del reloj.

En segundo lugar ser necesario establecer una unidad de medida que no sea arbitraria, es decir, que no

nos lleve a confusin. Para ello trabajaremos en dos sistemas de medida: Sistema sexagesimal y el sistema

circular, siendo el grado y el radin sus unidades de medida respectivamente.

Sistema Sexagesimal

Un grado sexagesimal, que se simboliza por , es cada una de las 360 partes iguales en las que se divide

una circunferencia, mediante sectores circulares iguales. De esta forma, una circunferencia abarca un

ngulo de 360, llamado ngulo completo. El ngulo definido por media circunferencia se llama llano, y

mide 180. La mitad de un llano se llama recto y mide 90.



Adems, en este sistema, cada grado se divide en 60 partes iguales llamados minutos, simbolizados por .

A su vez, cada minuto se divide en 60 partes iguales llamadas segundos, los que se simbolizan por . De

esta manera, se tiene

'

11 60 1

60

11 60 1

60

de lo que se concluye que 1

1 3.600 1 3.600

Ejemplo

Un ngulo de 46 grados 25 minutos y 40 segundos se escribe como

46 25 40

De acuerdo a lo anterior, es posible expresar un ngulo identificando sus grados, minutos y segundos. En

este caso diremos que estamos dando la medida en forma compleja o entera. Si expresamos esta medida

en una sola unidad, diremos que hemos expresado la medida en forma incompleja. En particular, cuando

la medida de un ngulo se exprese en grados y en dcimas de grado, diremos que el ngulo se ha expresado

en forma decimal.

Ejemplo

a. Exprese en segundos, es decir, en forma incompleja 50 6 25

Solucin:

50 6 25 50 6 25 50 3.600 6 60 25

180.000 360 25

180.385



b. Exprese en forma compleja 1375,45

11375,45 1375 0,45 1320 55 0,45 60

60

22 55 27

22 55 27

c. Convierta a la forma decimal 50 6 25

1 150 6 25 50 6 25 50 6 25

60 3.600

50 0,1 0,00694

50,10694

d. Convierta a la forma compleja 21,256

21,256 21 0,256 21 0,256 60

21 15,36

21 15 0,36 60

21 15 21, 6

21 15 21, 6

21 15 22 Redondeando los segundos

Ejercicios

1. Exprese cada ngulo en su forma decimal. Redondee a dos decimales.

a. 40 10 25 c. 61 42 21 e. 1 2 3

b. 73 40 40 d. 29 3615 f. 31 15 45

2. Exprese cada ngulo en su forma compleja. Redondee al segundo ms cercano.

a. 40,32 c. 61,24 e. 44,01

b. 18,255 d. 29,411 f. 19,99



3. Exprese en segundos.

a. 4 25 b. 3 27 c. 42 13 d. 10 12 40

4. Exprese en minutos

a. 45 34 b. 33 27 c.1.845 d. 21 12 30

5. Determina la expresin compleja segn las siguientes operaciones. (Sugerencia: opera

unidad con unidad teniendo en cuenta las equivalencias o convierte a una sola unidad, operas

y nuevamente conviertes)

a. 12 24 32 56 46 20 c. 52 12 42 12 24

b. 23 42 35 8 d. 12 21 45 5

6. Resuelve los siguientes problemas. Ten en cuenta que la medida del tiempo forma parte del

sistema sexagesimal y se tiene la equivalencia:

1 60 (60 minutos)

1=60 (60 segundos)

h

a. La tercera etapa de la Vuelta Ciclista a Espaa estaba dividida en dos sectores: el

primero, en lnea, y el segundo, en una contrarreloj individual. El primer clasificado

de la general tard 3 h 52 min 43 s en recorrer el primer sector y 1 h 19 min 37 s en

recorrer el segundo. Cunto tard en hacer todo el recorrido?

b. Dado el ngulo de medida 53 42 28 , se traza la bisectriz. Ahora se traza la bisectriz de uno de los dos ngulos resultantes. Cunto mide el ngulo ms pequeo

de los ngulos obtenidos?

c. Un reloj digital marca las 19h 24min 12s. Cunto falta para la medianoche?

d. El sistema de seguimiento GPS de la Vuelta Ciclista indica que el grupo que encabeza

la carrera est a 130 de diferencia del ciclista que le persigue. Si la distancia se

acorta 15 cada kilmetro, al cabo de cuntos kilmetros atrapar al grupo?

e. Un ngulo mide 32 25 43 , cunto mide su complemento?

f. Tres ngulos suman 180. El menor mide 15 22 43 y el mayor es seis veces el

menor. Halla la medida del otro ngulo.



El concepto de ngulo en la trigonometra

Con lo ms arriba presentado, es razonable preguntarse si existen

ngulos mayores a 360. La respuesta es afirmativa y para mostrarlo,

es necesario ampliar nuestro concepto de ngulo.

Es importante considerar que un ngulo permanece invariante respecto

del plano y por lo tanto para facilitar nuestro trabajo nos referiremos

al ngulo en un sistema de coordenadas cartesianas. En este caso, si

tenemos una semirrecta con extremo en el origen y gira en torno a este,

obtendremos un ngulo que puede tener una medida mayor a 360. En

efecto, depender de cuntas veces hacemos girar la semi-recta en

torno al origen. En este caso distinguiremos en el ngulo: lado inicial

vrtice y lado terminal.

Definicin: Diremos que un ngulo se encuentra en posicin normal si su

vrtice se ubica en el origen de coordenadas y su lado inicial coincide con el

semieje positivo de las abscisas.

Definicin: Llamaremos ngulos coterminales a aquellos que, en posicin

normal, tienen lados terminales coincidentes.

De acuerdo a lo anterior, si se tiene un ngulo cualquiera, al sumar un mltiplo de 360, obtenemos

ilimitados ngulos coterminales. Es decir, si , son ngulos positivos, tales que: 360 con n n , entonces diremos que y son ngulos coterminales.

A los ngulos situados en 0, 90, 180, y 270 junto con sus ngulos coterminales correspondientes se

les conoce como ngulos cuadrantales.

Ejemplo

El ngulo como lo indica la figura, mide 405 y se tiene:

405 360 45

Luego los ngulos de 45 y 405 se llaman coterminales



Ejercicios

1. Los siguientes ngulos estn en la posicin estndar, encuentre dos ngulos coterminales positivos

y dos ngulos coterminales negativos en cada caso.

a. 120 c. 135 e. 240 g. 315 i. 30 k. 150

b. 150 d. 300 f. 1.500 h. 790 j. 1001 l. 543

2. Si tienes un ngulo cualquiera, cmo obtienes un ngulo coterminal que sea menor que l si el

ngulo es positivo?

Sistema Circular

En este sistema la unidad de medida es el radin, que se simboliza por ,rad

que corresponde a la medida del ngulo central de una circunferencia de

radio r que subtiende un arco de longitud r .

En la figura, el ngulo central subtiende un arco de longitud igual al

radio. Luego 1rad

Equivalencia entre grados y radianes

De la geometra, se tiene la siguiente proporcin, respecto de un ngulo central y el arco que subtiende

en una circunferencia de radio r

360 2

s

r

Ahora si 1rad , entonces s r , luego se obtiene que 360 2 rad , es decir

1801 1

180rad rad

Esta relacin nos permite convertir grados en radianes y viceversa.



Ejemplo

1. Convierta los siguientes ngulos en radianes.

a. 60

Solucin:

60 60180 3

rad rad

b. 42 24'35''

Solucin:

1 142 24 '35'' 42 24 35

60 3600

42 0,4 0,00972

42,41

42,41 0,7402180

rad rad

2. Convierta a grados los siguientes ngulos

a. 5

9

Solucin:

5 5 180100

9 9

b. 4

3rad

Solucin:

4 4 180 240

3 3rad

o tambin

476 23'40 ''

3rad



Longitud de arco

Como sabemos que 360 2 rad , y si el ngulo est expresado en radianes, tenemos

2 2

s

rad r

de lo que concluimos que la longitud del arco s se obtiene por s r

Ejemplo

1. Encuentre la longitud del arco de una circunferencia de radio 2 metros que subtiende un ngulo

central de 0.25 radianes.

Solucin:

Como s r , reemplazando obtenemos que

2 0,25

0,5

s m

s m

Luego el arco mide 0,5 metros

2. En una circunferencia de radio 30 pulgadas, se tiene un ngulo central de 50 . Determine el arco

que forma.

Solucin:

Tenemos que 5

50 50180 18

rad rad

y como s r , reemplazando obtenemos que

530 pulgadas

18

25pulgadas

3

s

s

Luego el arco mide 25

3

pulgadas.



Ejercicios

1. Exprese en radianes.

a. 30 c. 45 e. 90 g. 315 i. 88

b. 150 d. 405 f. 45 15'30'' h. 75 24'' j. 1001

2. Exprese en grados. Exprese su respuesta en la forma decimal, redondeando a 2 dcimas de grado

a. 2

c.

3

4

e.

9

g.

1

2rad i.

5

6rad

b. 4

d.

6

5

f.

7

3 h.

5

12

j.

3. En los siguientes ejercicios, s denota la longitud del arco de una circunferencia de radio r subtendido por el ngulo central . Encuentre la cantidad que falta.

a. 10r m ; 1

2rad ; ?s d.

1

3rad ; 2s cm ; ?r

b. 5r km ; 3s km ; ? e. 1

4rad ; 6s m ; ?r

c. 2 pulgadasr ; 30 ; ?s f. 6r m ; 8s m ; ?

4. En una circunferencia de 4 cm de radio, un ngulo 1 abarca un arco de 5cm . Otro ngulo 2 ,

abarca un arco de 2cm . Cunto miden 1 y 2 en radianes?

5. El minutero de un reloj es de 12cm de longitud. qu recorrido realiza la punta de la manecilla

en 20min ?

6. El ngulo central de un crculo de 30cm , forma un arco de 6cm . Exprese el ngulo central en

radianes y grados.

7. La curva de una va de ferrocarril se va a tender en un crculo. Qu radio debera usarse se la

trayectoria cambia de direccin 25 en una distancia de 120m?

8. El final de un pndulo de 40cm describe un arco de 5cm . Qu ngulo recorre el pndulo al

balancearse?



9. Suponga que la Tierra es una esfera de 3.960millas de radio. Encontrar la distancia que hay desde

el ecuador hasta un punto situado a 36 N

10. Sobre una circunferencia de radio 10cm , se marca un arco AB ,

tal que la cuerda AB mide 10cm . Calcular la medida del arco

en radianes.

Razones trigonomtricas

Consideremos un ngulo agudo , esto es 0 90 , como el de la figura. Si trazamos perpendiculares

al lado inicial del ngulo, obtenemos una serie de tringulos rectngulos, semejantes entre s. Esto significa

que los valores de las razones, por ejemplo de los catetos de AB , CD , EF , GH , IJ y las hipotenusas

respectivas OB , OD , OF , OH , OJ tendrn el mismo valor. Esto es:

AB CD EF GH IJ

OB OD OF OH OJ

Segn esto, el valor del ngulo determinar valores distintos para los valores de estas razones



De acuerdo a lo anterior, podemos considerar un tringulo rectngulo con

el cual trabajar y establecer razones entre sus lados en relacin a sus

ngulos agudos interiores.

Estas razones se llaman razones trigonomtricas y dado el tringulo rectngulo, rectngulo en B, de la

figura, se definen como:

sen

cateto opuesto a

hipotenusa b

cos

cateto adyacente c

hipotenusa b

tg

cateto opuesto a

cateto adyacente c

ctg

cateto adyacente c

cateto opuesto a sc

hipotenusa b

cateto adyacente c csc

hipotenusa b

cateto opuesto a

De las igualdades ms arriba expuestas, se deduce lo siguiente:

1 1sen

csc

a

bb

a

1 1

cos sc

c

bb

c

1 1

tg ctg

a

cc

a

Las razones seno y coseno, tangente y cotangente, secante y cosecante reciben el nombre de cofunciones

una de la otra.

Ejemplo

1. Determine las razones trigonomtricas dado el siguiente tringulo rectngulo en C

Solucin:

De acuerdo a lo definido ms arriba, se tiene que

. . 3sen

5

c o

h

. . 4cos

5

c a

h

. . 3tg

. . 4

c o

c a

. . 4ctg

. . 3

c a

c o

. 5sc

. . 4

h

c a

. 5csc

. . 3

h

c o



2. Dado un tringulo rectngulo ABC, rectngulo en C, se tiene que 8b , 17c . Encuentre el valor

de cada una de las seis funciones trigonomtricas del ngulo , siendo a el lado opuesto a .

Solucin:

De acuerdo a la figura y por el teorema de Pitgoras, se tiene que 2 2 2

2

2

17 8

289 64

225

225 15

x

x

x

x

Luego,

15sen

17

8cos

17

15tg

8

8ctg

15

17sc

8

17csc

15

3. Dado el tringulo PQR, rectngulo en R, se tiene que 6 3p , 6q . Determine sen + tg .

Solucin

Por Pitgoras, se tiene que

2

2 2

2

6 3 6

108 36

144 12

r

r

r

De esta manera obtenemos

6 3 6 3sen + tg

12 6

3 = 3

2

3 3 =

2



Ejercicios

1. Dado un tringulo rectngulo ABC, rectngulo en C. Calcular las funciones trigonomtricas del

ngulo correspondiente al vrtice B en que 3a , 4c


ngulo correspondiente al vrtice A en que 8a , 15b


ngulo correspondiente al vrtice B en que 0,6a , 0,8b

4. Dado un tringulo rectngulo ABC, rectngulo en C, se tiene que 2b a . Determine las razones

trigonomtricas del ngulo correspondiente al vrtice A.

5. El cuadrado ABCD , presentado en la figura tiene un rea igual a 264 .cm Determine las razones trigonomtricas de acuerdo al en el

ABC .

6. En la siguiente figura, ABC es rectngulo en C , CD

altura del ABC . Si 2p y 4CD , entonces determine

el valor de sen( )CBA para el ABC

7. En el ABC rectngulo en C de la figura, determine el valor de

1 cos

8. El permetro del ABC , rectngulo en C es de 48 .cm donde ( ) 20m AB Determine el valor de

las funciones trigonomtricas, sabiendo que 20

sc( )16

. ( correspondiente a vrtice A)

9. En un tringulo sabemos que la hipotenusa mide 4 cm y la tangente del ngulo que esta determina

con la base es igual a 0,2. Calcular el rea de dicho tringulo.



10. Se tiene un tringulo rectngulo de rea 29 2cm . Si el cateto opuesto a mide 3 cm calcula:

a. El permetro del tringulo.

b. Las funciones trigonomtricas correspondientes a .

11. En el tringulo rectngulo PQR, rectngulo en R, se tiene que 80p y que 4

sen5

QPR

(presentado en su forma irreductible). Determina las funciones trigonomtricas restantes.

12. Para los siguientes ejercicios considere el tringulo rectngulo ABC, rectngulo en C, con sus

ngulos agudos y correspondientes a los vrtices A y B respectivamente.

a. Dado 1

sen 2

, encuentre sc y ctg

b. Dado 4

tg 3

, encuentre sen y sen

c. Si 25 sen 7 encuentre sc .

d. Si a

senc

, prueba que 2 2 tg c a a

e. Si 13

sc 5

, encuentre el valor de 2sen 3cos

4sen 9cos

f. Si ctg a

b , encuentre el valor de

cos sen

cos sen

a q

a q

13. Dado el tringulo rectngulo de la figura, donde 2 2x m n , 2y mn , determina las funciones

trigonomtricas correspondientes al ngulo .

14. Se tiene el tringulo ABC, rectngulo en C, donde 5 3

sen 10

, calcula las funciones

trigonomtricas restantes y las funciones trigonomtricas correspondientes al ngulo . Qu

puedes concluir de tus resultados?



15. Supongamos que el ngulo es un ngulo central de un crculo de radio 1. Demuestre que:

a. 2

OAC

b. senCD y cosOD

c. sen

tg 2 1 cos

16. Demuestre que el rea A de un tringulo issceles es 2sen cos A a , donde a es la longitud

de uno de los lados iguales y es la medida de uno de los ngulos iguales.



Razones trigonomtricas de ngulos complementarios

Recuerda que

Dos ngulos y son complementarios si se tiene que = 90

90 90

En particular, dado un tringulo rectngulo cualquiera, se tiene que sus ngulos agudos interiores son

complementarios. Si consideramos la figura, 90 , y podemos observar que el lado a es el cateto

opuesto al ngulo , pero a su vez, es el cateto adyacente al ngulo . De esta

manera, podemos concluir que:

sen cos cos 90a

c cos sen sen 90

a

c

tg ctg ctg 90a

b ctg tg tg 90

b

a

sc csc csc 90c

b csc sc sc 90

c

a

Podemos concluir que las cofunciones de ngulos complementarios son iguales

Ejemplo

1. sen 28 cos 90 28 cos 62

2. En un tringulo rectngulo PQR, rectngulo en R, con sus ngulo agudos y correspondientes

a los vrtices p y q respectivamente, se tiene que 5

sen 13

. Determine sc .

Solucin:

Como 90 , entonces se tiene que cos sen y como 1

cos sc

, se obtiene que

1 1 13sc

5cos 5

13



Razones trigonomtricas de ngulos 30, 45 y 60

Dadas las caractersticas del cuadrado y del tringulo equiltero, respecto de sus lados y sus ngulos,

adems de los segmentos que se pueden trazar desde sus vrtices, en particular, la diagonal en el cuadrado

y de la altura en el tringulo equiltero, podemos determinar los valores de las razones trigonomtricas de

los ngulos de 30, 45 y 60.

Razones trigonomtricas del ngulo 45

Dado el cuadrado ABCD , de lado a . La diagonal, por ejemplo 2DB a forma dos tringulos

rectngulos issceles y considerando las conclusiones respecto de los ngulos complementarios, tenemos

que:

2sen 45 cos 45

22

a

a

tg 45 1 ctg 45a

a

2sc 45 2 csc 45

a

a

Razones trigonomtricas del ngulo 60 y 30

Dado el tringulo equiltero ABC , de lado a . Al trazar la altura, por ejemplo 32

aCD forma dos

tringulos rectngulos de hipotenusa a y catetos 2

a y 3

2

a y considerando las conclusiones respecto de

los ngulos complementarios, tenemos que:

332sen 60 cos 30

2

a

a

12cos 60 sen 302

a

a

32tg 60 3 ctg 30

2

a

a

1 3ctg 60 tg 30

tg 60 3

1sc 60 2 sc 30

cos 60

1 2 3csc 60 sc 30

sen 60 3



Resumiendo los clculos anteriores, tenemos

ngulo/Funcin sen Cos tg ctg sc csc

30 1

2

3

2

3

3 3

2 3

3 2

45 2

2

2

2 1 1 2 2

60 3

2

1

2 3

3

3 2

2 3

3

Ejemplo

1. Calcular, sin uso de calculadora, el valor de sen(60 ) tg(30 ) sc(60 )

1 tg(60 ) tg(45 )A

3 3 2 3 43 2

sen(60 ) tg(30 ) sc(60 ) 4 3 14 10 3 5 3 72 2

1 tg(60 ) tg(45 ) 8 41 3 1 1 3 2 2 3A

2. Dado un tringulo rectngulo, donde es un ngulo interior del tringulo, tal que 60m , y

su cateto opuesto mide 100 , determine el valor de la hipotenusa.

Dada la figura y de las razones trigonomtricas, tenemos

cscc

a

Luego, reemplazando los valores, se tiene

csc60100

c , es decir,

2 3

3 100

c

Luego 2 3 200 3

100 115,53 3

c



Angulo de elevacin y de depresin

Dos conceptos que se deben incorporar para la resolucin de ejercicios de aplicacin son el ngulo de

elevacin y ngulo de depresin.

Definicin:

Cuando un objeto Y est sobre la lnea horizontal OX, el ngulo XOY se llama

ngulo de elevacin del objeto Y respecto del punto O.

Definicin:

Cuando un objeto Y est bajo la lnea horizontal OX, el ngulo XOY se llama

ngulo de depresin del objeto Y respecto del punto O.



Ejemplo

Desde el pie de un edificio de altura 40m , el ngulo de elevacin a la parte superior de otro edificio

situado al frente es de 45 y desde la parte ms alta del primer edificio, el ngulo de elevacin a la parte

superior del segundo edificio es de 30. Determinar la altura del segundo edificio.

Solucin:

Tenemos que DH CQ , es decir m DH m CQ y , entonces

40tg 45

x

y

esto implica que

40

tg 45

xy

tg 30x

y esto implica que

tg 30

xy

Igualando, tenemos 40

tg 45 tg 30

x x

Reemplazando los valores de tg 45 y tg 30 , tenemos que

40

1 3

3

x x es decir

340

3

xx ,

lo que implica que

3 40 3 3

3 3 40 3

3 3 40 3

40 3

3 3

54,64

x x

x x

x

x

x

Es decir la altura del edifico situado al frente es aproximadamente 54,64m



Ejercicios

1. Determine el valor numrico de:

a. cos 10

sen 80 b. tg 64 ctg 26

2. Si sen =0,3 , determine el valor de sen +cos 90

3. Si tg =4 , determine el valor de tg +tg 90

4. Determine el valor numrico de los siguientes ejercicios. [observacin: 2 2 sen sen . Esta

equivalencia es vlida para cada una de las razones trigonomtricas]

a. 2 2tg 60 2tg 45

b. 2 22csc 45 3sc 30

c. 3 3tg 45 4cos 60

d. 2sen 30 cos30 ctg60

e. 2 2 21

csc 60 sc 45 2ctg 602

f. 2 2 2 24 1 1

3tg 30 cos 30 sc 45 sen 603 2 3

5. El ngulo de elevacin a la parte superior de una chimenea, desde una distancia de 90 m es de 30.

Calcular la altura h de la chimenea.

6. Un observador forma un ngulo de elevacin de 30 con la parte superior de una torre. Si la distancia

del observador a los pies de la torre es de 26 m y el observador mide 1,80m, determine la altura de

la torre y la distancia del observador a la parte superior de la torre.

7. Una escalera mide 13,5m y forma un ngulo de elevacin de 60 con la parte superior de un muro.

Encuentre la altura del muro y la distancia desde los pies de la escalera al muro.

8. Desde los pies de un puesto de observacin a la parte superior de un campanario es 45 y desde la

parte superior del puesto de observacin, que se encuentra a 9m del suelo, se forma un ngulo de

elevacin a la parte superior del campanario de 30. Calcular la altura del campanario y la distancia

desde el puesto de observacin al campanario.



9. Un observador tiene un ngulo de elevacin de 60 respecto de

la parte superior de una propiedad construido en una superficie

plana. Si avanza 30 m en sentido contrario a la direccin de la

propiedad, el ngulo de elevacin al mismo punto cambia a 45.

Determina la altura de la propiedad.

10. Dos personas A y B separadas por 10 metros observan el campanario de una iglesia. A observa con

un ngulo de elevacin del 60 y B lo observa con un ngulo de elevacin de 45. Cul es la altura

del campanario?

11. Calcular la longitud de una escalera que se apoya contra una pared de 1m de altura de manera que el

ngulo formado por la escalera y el piso en forma horizontal mide 30.

12. Los ngulos de depresin desde un monumento de 28,8m a la parte superior y a los pies de una torre

son 30 y 60. Determine la altura de la torre.

13. Desde la cima de un acantilado de 45 m de alto el ngulo de depresin que se forma al avistar un

bote es de 30. Determine la distancia del bote a los pies del acantilado.



Resolucin de tringulos

Hasta ahora hemos trabajado con ngulos de 30, 45 y 60

14. Encuentre el ngulo agudo de un tringulo rectngulo, que cumple con que:

a. cos 2 sen 3

b. sen =cos 2 30

c. sen =cos 4

d. tg ctg 3



Resolucin de tringulos oblicungulos

Teorema del seno y coseno

1. El ngulo entre los dos lados iguales de un tringulo issceles es de 40 y el lado desigual tiene una longitud de

40 cm. Cul es la longitud de cada uno de los lados iguales del tringulo?

2. El ngulo agudo de un rombo mide 25. El lado mide 13 cm. Calcula el rea del rombo.

3. Los lados de un tringulo miden 8 cm, 11 cm y 13 cm, respectivamente. Calcula el valor del seno del ngulo

ms pequeo.

4. Los tres lados de un tringulo miden 6 cm, 8 cm y 9 cm. Calcula sus ngulos.

5. En un tringulo ABC, conocemos A = 34,5, B = 78 y a + b = 43 cm. Calcula cunto miden los lados a y b.

6. En un tringulo ABC, conocemos a = 15 cm, b = 11 cm y A + B = 104. Calcula cunto miden los ngulos A y

B.

7. En un tringulo ABC, conocemos A - B = 16, a = 23 cm y b = 19 cm. Calcula los ngulos del tringulo.

8. Demuestra que en todo tringulo ABC, se cumple la igualdad:

2

2BA

tg

BAtg

ba

ba

, conocida como Teorema de Nepper. (Indicacin: debes usar el teorema del seno para escribir

la relacin entre a y b)

9. En los lados de un tringulo ABC se cumple que b - a = 1 y c - b = 1, y se tiene que cos A = 0,6. Calcula a, tg

(B/2) y sen 2C

10. De un tringulo se conocen los lados b = 2,5 cm y c = 3,5 cm y se sabe que el ngulo B es la mitad del ngulo

C. Calcula a y los ngulos A, B y C.

11. Calcula las medidas e los lados a y c del tringulo ABC representado en la siguiente figura:

12. El rea de un tringulo de vrtices A, B y C, tiene una superficie de 50 m2. El ngulo A de este tringulo es

de 45 y el ngulo B es de 30. Sea D el pie de la altura desde el vrtice C, es decir, el punto del segmento AB en

que se cumple que CD es perpendicular a AB. Calcula la longitud de los segmentos CD, AD, BD, AB, BC y AC.



13. En los siguientes ejercicios: a, b, y c son las medidas de los lados de un tringulo, mientras que

, , son las medidas de los ngulos opuestos a esos lados, respectivamente. Resuelve el tringulo en

cada caso:

a) a = 10 cm. b= 12 cm. = 35 b) a = 7 m. b = 6 m. c = 4 m.

c) c = 10 cm. = 40 = 70

d) a = 12 cm. b = 16 cm = 43

e) = 53 = 75 c = 30,5 cm.

f) = 48 = 68 c = 47,2 mm.

14. Dos lados adyacentes de un paralelogramo se cortan en un ngulo de 36 y tienen longitudes de 3 y 8

cm. Determina la longitud de la diagonal menor.

Aplicaciones de la trigonometra

1. En un cierto lugar de su recorrido un ro tiene sus orillas paralelas. En ese punto se desea medir su ancho. Para

ello desde dos puntos A y B de una de sus orillas, que estn separados 25 m, se observa un punto P de la otra

orilla, situado ro abajo. Si las visuales desde A y B a P forman con la orilla unos ngulos de 39 25' y 52 48'

respectivamente, averigua la ancho del ro en ese punto.

2. Queremos colgar una lmpara a una determinada distancia del techo de una habitacin. Para ello, cogemos un

cable, fijamos la lmpara y lo clavamos por sus extremos en dos puntos del techo que estn separados 140 cm, de

modo que los ngulos entre el cable y el techo son de 40 y 60 en cada uno de los puntos de fijacin.

a) Cul es la longitud del cable? b) A qu distancia del techo quedar la lmpara?

3. Para medir la altura de una nube se han hecho dos observaciones simultneas desde los puntos A y B, que

distan entre si 1 km, y que estn situados los dos al nivel del mar. La inclinacin de la visual desde A a la nube,

respecto de la horizontal, es de 47. Los ngulos que forman las visuales desde A y desde B con la recta AB son,

respectivamente, 38 y 53, tal como se indica en la figura. Calcula la altura de la nube respecto del nivel del mar.

4. Dos amigos estn cada uno de ellos en la terraza de su casa y observan un barco. Quieren determinar a qu

distancia se encuentra y para ello disponen cada uno de un teodolito.

a) En primer lugar quieren conocer qu distancia hay entre ellos. Llamemos A y B a los puntos en que se encuentran sus respectivos teodolitos. Desde el punto A miden una distancia de 10 m a un punto C, AC = 10 m, de

manera que el tringulo ACB es rectngulo en A. Desde el punto B resulta que el ngulo B de este tringulo es de

5,6. Calcula la distancia entre A y B.



5. Desde los puntos A y B de una misma orilla de un ro y separados entre si 12 m., se observan el pie P y la copa

C de un pino, situado en la orilla opuesta. Calcular la altura del pino, sabiendo que los ngulos miden PAB=42,

PBA=37 y PAC=50 .

6. La sombra que proyecta un rbol de 3,4 m. sobre el piso horizontal mide 4,3 m. Cul es la medida

del ngulo que hace la horizontal con la lnea que une los dos puntos extremos, de la sombra y del rbol?

7. Un avin sale de un aeropuerto y se eleva manteniendo un ngulo constante de 10 hasta que logra

una altura de 6 km. Determina a qu distancia horizontal del aeropuerto se encuentra en ese momento.

8. Una persona se encuentra en la ventana de su apartamento que est situada a 8 metros del suelo y

observa el edificio de enfrente de la siguiente manera: la parte superior, con un ngulo de elevacin de

35 y la parte inferior, con un ngulo de depresin de 43. Determina la altura del edificio de enfrente.

9. Dos trenes parten simultneamente de una estacin en direccin tal que forman un ngulo de 35. Uno

va a 15 km/hr y el otro a 25 km/hr. Determina a qu distancia se encuentran separados despus de dos

horas de viaje.

10. Determina las longitudes de las diagonales de un paralelogramo, conocidos los lados m y n, y el

ngulo a entre ellos.



II.- Calcular, sin uso de calculadora, el valor de las siguientes expresiones.

1) (60 ) (30 ) s (60 )

1 (60 ) (30 )

tg tg ecA

tg tg

2)

3 7s ( ) s ( )

2 2

( ) cosec(2 )

ec en

Atg

, pertenece al primer Cuadrante



3)

5 3s ( ) 2cos( ) 2s (15 )

12 4

cos(15 ) se (75 )

en en

An

4) s ( ) cos( ) cos(270 )

se ( ) (480 ) ( 1305 )

enA

n tg sen

I Cuadrante

III.- Determine el valor de cada expresin, considerando los datos que se indican

1) Si 3

( ) , 2

sen II Cuadrante , entonces determine 2 ( ) sec( ) cos ( 2 )A tg ec

2) Si 8

cot ( ) , 15

g IV Cuadrante , entonces determine

3cot ( 2 ) sec( ) cos(2 )B g

3) Si 3

cos ( ) ,2

ec III Cuadrante y 8

( ) ,15

tg III Cuadrante , entonces

determine

2sec( 2 ) ( ) ( 2 )C cotg tg .

IV.- Resolver los siguientes problemas de aplicacin, utilizando Trigonometra

1) El mstil central de una tienda de campaa, que tiene la forma de cono circular, tiene una

altura de 6 mts y su parte superior est sostenida por cuerdas de 12 mts de largo, amarradas a estacas clavadas en la tierra.

a) Calcular la distancia a la que estn las estacas del pie del mstil central.

b) Calcular la inclinacin de los cables con la tierra.

2) Desde el pie de un edificio de 40 mts de altura, el ngulo de elevacin a la parte superior de otro edificio situado al frente es de 48 y desde la parte mas alta del primer edificio, el ngulo de elevacin a la parte superior del segundo edificio es de 36. Determinar la altura del segundo edificio.



3) Desde lo alto de un faro de150 mts de alto, los ngulos de depresin a dos botes situados al sur del observador, son de 15 y 75. Determinar la distancia que hay entre los botes.

4) Una bandera est atada a un mstil de 10 mts de alto. Los ngulos de elevacin al punto superior e inferior de la bandera son de 17 y 35, respectivamente.

Calcular el ancho de la bandera.

5) Calcular el Permetro de un terreno triangular ABC, si se sabe que 50 , 36 y el lado

14c mts .

6) Calcular, usando trigonometra, el ngulo en la figura

7) La distancia entre dos edificios de tejado plano es de 75 mts . Desde la azotea del edificio mas

bajo, cuya altura es de 40 mts , se observa la azotea del otro con un ngulo de elevacin de 40. Calcular la altura del edificio ms alto.

8) Par hallar la altura de un rbol, se ubic un instrumento de 1,4 mts de alto, a 24 mts del pie del

rbol. Si el ngulo de elevacin del rbol respecto a la cima del instrumento es de 56, calcular la altura del rbol.

9) En lo alto de una torre se ha instalado una antena transmisora de televisin. Una persona

ubicada a 80 mts del pie de la torre, ve las cspides de la torre y la antena, bajo ngulos de elevacin de 42 y 65, respectivamente.

Calcular la altura de la torre y de la antena. ) :80 ; :59R torre mts antena mts

10) Desde el piso 18 de un edificio se ven enfrente y alineados, una casa A y un edificio B. La casa,

que es la ms prxima, tiene dos pisos y su cima se ve bajo un ngulo de depresin de 65. El edificio B tiene 6 pisos y su cspide se observa bajo un ngulo de depresin de 38. Calcular la

distancia que separa la casa A del edificio B, suponiendo que, en promedio, la altura por piso es de

3 mts . )34,6R mts



11) Una torre se ve desde una distancia de 55 mts bajo un ngulo de 43. Para que este ngulo

disminuye en 10%, en qu tanto por ciento debe aumentar la distancia? )16,4%R

12) Un observador ve, desde una ventana de un edificio, el borde superior del edificio del frente,

con un ngulo de elevacin de 24 y la base del mismo con un ngulo de depresin de 32. Qu

altura tiene el edificio observad, si la calle que los separa tiene un ancho de 20 mts?

13) En un paralelogramo ABCD, la diagonal AC forma con los lados ngulos de 21 y 54. Qu porcentaje del Permetro del paralelogramo mide la diagonal?

14) Un barco navega en lnea recta. Al pasar a kms6 de distancia de un faro, lo observa con un

ngulo de 56 respecto a su trayectoria. 40 minutos mas tarde se encuentra a kms8 de distancia del faro. Calcular la velocidad del barco y el ngulo que la visual dirigida al faro forma con la

trayectoria en ese momento.

15) Sobre un cuerpo se ejercen dos fuerzas kgsF 5,171 y kgsF 5,222 . Si las direcciones en

que actan forman entre s un ngulo de 50, determinar la fuerza resultante R y el ngulo que

forma la direccin de R y la direccin de la fuerza F2.

16) Tres ciudades, A, B y C, estn situadas de modo que sus distancias son kmsAB 50 ,

kmsBC 30 y kmsAC 38 . A y B estn unidas por un camino recto y desde C parte un camino que corta al anterior perpendicularmente en un punto D. Calcular el largo del camino CD y la

distancia, por el camino, desde C hasta B.

17) La torre de Pisa tiene una inclinacin de 8, respecto a la vertical. Calcular la altura de la torre,

si un observador que se encuentra a 29 mts de distancia, hacia el lado inclinado, ve la cspide con

un ngulo de elevacin de 41.



1) Dado el siguiente ABC , rectngulo en C , la medida de sus catetos son respectivamente

( ) 3m AC y ( ) 4m BC , entonces determine el valor de ( )tg :

2) En un tringulo rectngulo, su hipotenusa mide 15 cm. Sus ngulos agudos son y ,

respectivamente. Y se define 9

( )15

sen , entonces el ( )sen se define como:

3) Si 5

( )13

cos , entonces ( )ctg es igual a:

4) En un ABC , rectngulo en C , con sus ngulos y se cumple que, ( ) 12m BC y 12

( )5

tg

. Entonces determine el valor de tg( )

5) 6)

7)

B 20

C A

8) En la siguiente figura, el RST es rectngulo en T se tiene que 5t y 3s . Determine el valor de ( ), cos( ), ( ), sen tg sc( )

T



3

R 5 S

III.- Resolver los siguientes problemas de aplicacin, utilizando Trigonometra

1) El mstil central de una tienda de campaa, que tiene la forma de cono circular, tiene una

altura de 6 mts y su parte superior est sostenida por cuerdas de 12 mts de largo, amarradas a estacas clavadas en la tierra.

c) Calcular la distancia a la que estn las estacas del pie del mstil central. d) Calcular la inclinacin de los cables con la tierra.

2) Desde el pie de un edificio de 40 mts de altura, el ngulo de elevacin a la parte superior de otro edificio situado al frente es de 48 y desde la parte mas alta del

primer edificio, el ngulo de elevacin a la parte superior del segundo edificio es de 36. Determinar la altura del segundo edificio.

3) Desde lo alto de un faro de150 mts de alto, los ngulos de depresin a dos botes situados al sur del observador, son de 15 y 75. Determinar la distancia que hay entre los botes.

4) Una bandera est atada a un mstil de 10 mts de alto. Los ngulos de elevacin al punto superior e inferior de la bandera son de 17 y 35, respectivamente. Calcular el ancho de la bandera.

5) La distancia entre dos edificios de tejado plano es de 75 mts . Desde la azotea del edificio mas

bajo, cuya altura es de 40 mts , se observa la azotea del otro con un ngulo de elevacin de 40. Calcular la altura del edificio ms alto.

8) Par hallar la altura de un rbol, se ubic un instrumento de 1,4 mts de alto, a 24 mts del pie del

rbol. Si el ngulo de elevacin del rbol respecto a la cima del instrumento es de 56, calcular la altura del rbol. 9) En lo alto de una torre se ha instalado una antena transmisora de televisin. Una persona

ubicada a 80 mts del pie de la torre, ve las cspides de la torre y la antena, bajo ngulos de elevacin de 42 y 65, respectivamente.

Calcular la altura de la torre y de la antena. ) :80 ; :59R torre mts antena mts



10) Desde el piso 18 de un edificio se ven enfrente y alineados, una casa A y un edificio B. La casa,

que es la ms prxima, tiene dos pisos y su cima se ve bajo un ngulo de depresin de 65. El edificio B tiene 6 pisos y su cspide se observa bajo un ngulo de depresin de 38. Calcular la

distancia que separa la casa A del edificio B, suponiendo que, en promedio, la altura por piso es de

3 mts . )34,6R mts

11) Una torre se ve desde una distancia de 55 mts bajo un ngulo de 43. Para que este ngulo

disminuye en 10%, en qu tanto por ciento debe aumentar la distancia? )16,4%R

12) Un observador ve, desde una ventana de un edificio, el borde superior del edificio del frente,

con un ngulo de elevacin de 24 y la base del mismo con un ngulo de depresin de 32. Qu

altura tiene el edificio observad, si la calle que los separa tiene un ancho de 20 mts?

13) En un paralelogramo ABCD, la diagonal AC forma con los lados ngulos de 21 y 54. Qu

porcentaje del Permetro del paralelogramo mide la diagonal?

Suponiendo que a es la hipotenusa, b y c los catetos de un tringulo rectngulo. Encontrar lo que se pide:

1).- a = ? si b = 5 c = 8 2).- b = ? si a =3 c = 10 3).- c = ? si a = 10 b = 15 4).- a = ? si b = 7 c = 9 5).- b =

? si a = 6 c = 10 3. Expresar en grados, minutos y segundos los ngulos que miden 23,18 , 107,03 4.

Calcular sen a, cos a y tg a en los siguientes casos. a) b = 5 ; c = 3. b) a = 10 ; b = 6. 5. Hallar el rea de

un tringulo rectngulo en el cual un ngulo mide 30 y la hipotenusa mide 4. 6. Hallar los ngulos del

tringulo rectngulo cuyos catetos miden 30 y 35. 7. 8. Un poste de telfono est sujeto por medio de

varios cables que parten del extremo superior. Uno de estos cables est atado a una estaca situada a 5 m

del pie del poste y forma con la horizontal un ngulo de 60. Calcular la altura del poste y la longitud del

cable. 9. En un tringulo issceles la altura correspondiente a la base mide el doble que esta. Hallar el

valor de sus ngulos.

Solucin En la figura 21 se ve que

Valores de las otras funciones trigonomtricas, dado sen u, u agudo

Dado un angulo agudo, encuentre el valor exacto de las otras

cinco funciones trigonometricas de u.

Dados dos puntos distintos A y B sobre una circunferencia, esta queda dividida en dos arcos AB .



Ahora, si tenemos dos arcos, por ejemplo AB y CD , cmo determinamos cul de ellos es mayor al otro, o si son iguales?

Bibliografa Granville, W. A. (1950). Trigonometra Plana y Esfrica. Unin tipogrfica Editorial Hispano-Amrica

.

Sullivan, M. (2006). lgebra y trigonometra. Naucalpan de Jurez: Pearson Educacin.

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2 Guia 02 Semestre 2 Geometria Analitica