1

ËÈÍÅÉÍÛÅ ÀÑÈÍÕÐÎÍÍÛÅ ÒßÃÎÂÛÅ

ÄÂÈÃÀÒÅËÈ ÄËß ÂÛÑÎÊÎÑÊÎÐÎÑÒÍÎÃÎ

ÏÎÄÂÈÆÍÎÃÎ ÑÎÑÒÀÂÀ

È ÈÕ ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÎÅ

ÌÎÄÅËÈÐÎÂÀÍÈÅ

Ìîñêâà2015

Â.À. Ñîëîìèí, Ë.Ë. Çàìøèíà, À.Â. Ñîëîìèí

2

ISBN 978-5-89035-829-5

ÓÄÊ 621.333ÁÁÊ 39.15 Ñ60

Соломин В.А., Замшина Л.Л., Соломин А.В.

ISBN 978-5-89035-829-5

ÓÄÊ 621.333ÁÁÊ 39.15

Ñ60

© Ñîëîìèí Â.À., Çàìøèíà Ë.Ë.,Ñîëîìèí À.Â., 2015

© ÔÃÁÎÓ «Ó÷åáíî-ìåòîäè÷åñêèé öåíòðïî îáðàçîâàíèþ íà æåëåçíîäîðîæíîìòðàíñïîðòå», îôîðìëåíèå, 2015

Îïèñàíû íîâûå êîíñòðóêöèè ëèíåéíûõ àñèíõðîííûõ äâèãàòåëåé (ËÀÄ), ïðåäíàçíà÷åííûå äëÿ òÿãîâûõ è òîðìîçíûõ óñòðîéñòâ âûñîêîñêî-ðîñòíîãîïîäâèæíîãî ñîñòàâà, â òîì ÷èñëå ñ ìàãíèòíîé ïîäâåñêîé ýêèïàæà.

Ðàçðàáîòàíû ìàòåìàòè÷åñêèå ìîäåëè, ðàñïðåäåëåíèå ïëîòíîñòåé òîêà èíäóêòîðîâ ËÀÄ ñ ïðîäîëüíûì è ïîïåðå÷íûì ìàãíèòíûìè ïîòîêàìè.

Ðàçðàáîòàíû ìàòåìàòè÷åñêèå ìîäåëè, îïèñûâàþùèå ðàñïðåäåëåíèå òîêîâ âî âòîðè÷íûõ ýëåìåíòàõ òÿãîâûõ ËÀÄ ðàçëè÷íîé êîíñòðóêöèè, ïîçâîëÿþùèå îöåíèâàòü òÿãîâîå óñèëèå äâèãàòåëÿ.

Ìîæåò áûòü èñïîëüçîâàíî ñòóäåíòàìè è àñïèðàíòàìè òðàíñïîðòíûõ âóçîâ ñïåöèàëüíîñòåé «Ýëåêòðè÷åñêèé òðàíñïîðò» è «Âûñîêîñêîðîñòíîé íàçåìíûé òðàíñïîðò».

Ëèíåéíûå àñèíõðîííûå òÿãîâûå äâèãàòåëè äëÿ âûñîêîñêî-ðîñòíîãî ïîäâèæíîãî ñîñòàâà è èõ ìàòåìàòè÷åñêîå ìîäåëèðî-âàíèå. — Ì.: ÔÃÁÎÓ «Ó÷åáíî-ìåòîäè÷åñêèé öåíòð ïî îáðà-çîâàíèþ íà æåëåçíîäîðîæíîì òðàíñïîðòå», 2015. — 164 ñ.

Ð å ö å í ç å í ò: âåäóùèé èíæåíåð Äèðåêöèè òÿãè, êàíä. òåõí. íàóê Ю.В. Газизов

3

Введение

В экономике Российской Федерации важнейшее значение име)ет железнодорожный транспорт, который осуществляет около 70 %грузовых и более половины пассажирских перевозок. При разви)тии экономики страны грузооборот железных дорог будет значи)тельно возрастать, поэтому особое значение приобретает увеличе)ние скоростей движения и весовых норм поездов. Также Министер)ство транспорта РФ и ОАО «Российские железные дороги» считаютключевой задачей повышение уровня комфорта и скоростей движе)ния пассажирских поездов до 200—350 км/ч. В ближайшем буду)щем высокоскоростные поезда будут доставлять пассажиров изМосквы в Санкт)Петербург всего за 3 ч, и железнодорожный транс)порт, безусловно, выиграет в конкурентной борьбе с авиацией. Помнению руководства ОАО «РЖД», высокоскоростная магистральмежду Москвой и Санкт)Петербургом начнет функционировать ужев ближайшие годы.

Высокоскоростное движение на железнодорожном транспортепотребует существенного технического перевооружения. Необходи)мо создать новые локомотивы и вагоны, модернизировать системуэлектроснабжения и верхнего строения пути и изменить системууправления движением высокоскоростных поездов. ОАО «РЖД»вместе с немецкой фирмой «Сименс» создают несколько высоко)скоростных поездов, адаптированных к российским условиям ипредназначенных для сообщения между Москвой и Нижним Нов)городом, между Санкт)Петербургом и Хельсинки. В недалекойперспективе высокоскоростные поезда свяжут Москву и Санкт)Петербург с Черноморским побережьем и курортами КавказскихМинеральных Вод. Недалеко и то время, когда в Российской Фе)дерации появятся принципиально новые высокоскоростные поез)да на магнитном подвесе, способные перемещаться со скоростями350—500 км/ч.

4

Неизбежный технический прогресс будет базироваться на высо(ких технологиях и новых изобретениях, на применении новых ма(териалов для строительства скоростного подвижного состава, егопутевой структуры, для создания систем электроснабжения и уп(равления. Российская Федерация имеет собственную базу для орга(низации производства современных локомотивов и вагонов, изго(товления рельсов и других элементов путевой структуры. В совре(менных электровозах используется перспективный асинхронныйрегулируемый тяговый электропривод (например, в электровозахЭП20, 2ЭС10), который позволяет повысить скорость движенияпоездов. В развитие тягового асинхронного электропривода дляскоростного движения внесли значительный вклад отечественныеученые Курбасов А.С., Ротанов Н.А., Кучумов В.А. и др. [1]. Привысокоскоростном движении на первый план выходят вопросы ди(намики поездов, которыми занимаются ученые МГУПС (МИИТ) иВНИИЖТ, принадлежащие к научной школе профессора Савось(кина А.Н. [2]. Наши специализированные учебные заведения мо(гут готовить квалифицированные инженерно(технические кадрыдля железнодорожного транспорта, имеются научно(исследова(тельские и проектно(конструкторские организации с опытом раз(работки перспективных транспортных систем. Железнодорожныйтранспорт является одной из стратегически важных отраслей дляРоссии, поэтому технический прогресс в отрасли должен базиро(ваться, главным образом, на отечественных научных разработках ипатентах. Об этом часто в последнее время говорят руководителигосударства и ОАО «РЖД».

Повышение скоростей движения и грузооборота железнодорож(ного транспорта делают задачу повышения безопасности движенияпоездов все более актуальной. Во многом безопасность движенияна железнодорожном транспорте обеспечивается эффективностьюи надежностью функционирования тяговых, тормозных систем идинамическими качествами подвижного состава. Существующиетормозные системы, взаимодействующие с колесами, разработа(ны и исследованы достаточно полно. Для повышения тяговыхсвойств локомотивов и эффективности работы тормозных системнеобходимо создавать новые устройства, дополняющие традицион(ные тяговые и тормозные системы поездов. Это позволит повыситьскорость и безопасность движения поездов с колесным приводом.

5

Разработка новых типов тормозов и дополнительных тяговых уст(ройств являются актуальной задачей при создании высокоскорост(ного подвижного состава.

Тяговые и тормозные устройства, взаимодействующие непосред(ственно с рельсами, способны улучшить тяговые и тормозные ха(рактеристики скоростного подвижного состава и повысить безопас(ность его движения. В качестве дополнительных тяговых и тормоз(ных устройств скоростного подвижного состава с колесным приво(дом предлагается использовать индукторы линейных асинхронныхдвигателей, способных выполнять несколько функций, в том числефункцию вихретоковых, электромагнитных тормозов. Важно то, чтоэффективность действия индукторов линейных асинхронных дви(гателей не зависит от сцепления колеса с рельсом; более того, ин(дукторы увеличивают силу сцепления колеса с рельсом, что улуч(шает работу основных тяговых и тормозных устройств подвижногосостава с колесным приводом.

Высокоскоростная наземная транспортная система с магнитнойподвеской и линейными асинхронными тяговыми двигателями,спроектированная и построенная специалистами из Германии вКитайской Народной Республике, связавшая промышленный го(род Шанхай с аэропортом, находится в эксплуатации с ноября 2003 г.Это первая в мире коммерческая система высокоскоростного дви(жения на магнитном подвесе. В недалекой уже перспективе подоб(ные транспортные системы появятся и в России. Экипаж на маг(нитном подвесе не связан непосредственно и жестко с путевойструктурой, как, например, колеса с рельсами в традиционных по(ездах. Отсутствие жесткой связи экипажа с магнитной подвеской ипутевой структурой придает особую актуальность вопросам улуч(шения динамики высокоскоростных поездов.

В учебном пособии описаны наиболее перспективные системывысокоскоростного движения на современном этапе развития же(лезнодорожного транспорта России. Изложены пути решения про(блемы повышения эффективности использования линейных асин(хронных двигателей на скоростном транспорте. Рассмотрена важ(ная проблема разработки основ теории устройств с линейнымиасинхронными двигателями, повышающих эффективность работыи безопасность движения высокоскоростных экипажей на магнит(ном подвесе.

6

Глава 1. СИСТЕМЫ ДЛЯ ВЫСОКОСКОРОСТНОГО

ДВИЖЕНИЯ С ЛИНЕЙНЫМИ АСИНХРОННЫМИ

ДВИГАТЕЛЯМИ

1.1. Система высокоскоростного транспортана магнитном подвесе с линейными асинхронными

двигателями в путевой структуре

Одним из главных видов транспорта по объемам перевозок яв(ляется железнодорожный транспорт, и он всегда будет основным встранах, в которых протяженность с востока на запад и с севера наюг составляет тысячи километров. К таким странам относится Рос(сийская Федерация. Совершенствование железнодорожного транс(порта в Российской Федерации позволит ускорить ее научно(тех(нический и экономический прогресс за счет промышленного и со(циального развития регионов Сибири и Дальнего Востока. Дляпреодоления больших расстояний необходимо увеличивать ско(рость доставки пассажиров и грузов к месту назначения и созда(вать подвижной состав нового поколения (колесный и на маг(нитном подвесе), чтобы сократить время нахождения поездов впути и повысить комфортабельность пассажиров при поездках.В ближайшие десятилетия для перевозки пассажиров начнут стро(иться и эксплуатироваться системы высокоскоростного наземно(го транспорта с магнитной подвеской экипажей и с линейнымитяговыми двигателями, способные развивать скорости движениядо 500 км/ч.

Линейные тяговые двигатели преобразуют электроэнергию не(посредственно в поступательное движение транспортного экипажа.Линейные двигатели могут быть постоянного тока, асинхронными,синхронными, индукторными и даже шаговыми. В этом пособиирассматриваются системы высокоскоростного наземного транспор(та с линейными асинхронными двигателями.

7

Линейные асинхронные двигатели способны развивать усилиятяги и магнитного подвешивания высокоскоростного экипажа иимеют хорошие перспективы для их применения на новых видахтранспорта. Системы высокоскоростного наземного транспорта(ВСНТ) с различными типами магнитной подвески и линейнымиэлектроприводами, а также различные типы магнитного подвеши(вания экипажа ВСНТ рассмотрены во многих работах. Вместе с темочевидно, что до тех пор пока стоимость криогенных технологийи сверхпроводящих материалов не снизится до приемлемых дляпромышленно развитых стран значений, наиболее перспективны(ми будут системы ВСНТ с линейными асинхронными двигателя(ми (ЛАД). Об этом свидетельствует и первая, до сих пор единствен(ная, коммерческая линия ВСНТ, экипажи которой оборудованыЛАД и электромагнитной системой магнитной левитации, постро(енная в 2003 г. специалистами из Германии в Китайской НароднойРеспублике.

В пособии исследуются системы ВСНТ с линейными асинхрон(ными двигателями, в которых могут использоваться системы леви(тации с постоянными магнитами и электромагнитами или системыэлектромагнитного подвеса экипажа. Преимущественно рассматри(ваются системы ВСНТ с линейными асинхронными двигателями,разработанными в Ростовском государственном университете пу(тей сообщения (РГУПС). Ниже описана система ВСНТ, основу пу(тевой структуры которой представляют собой отдельные индукто(ры линейных асинхронных двигателей (модули), уложенные одинза другим в направлении движения. Преимуществом такой систе(мы ВСНТ является отсутствие системы контактного подведенияэлектроэнергии к экипажу, подвешенному в магнитном поле и пе(ремещающемуся со скоростью 350—500 км/ч, которая недостижи(ма для экспрессов с колесами, опирающимися на рельсовый путь.Здесь может быть достигнуто поочередное подключение индукто(ров к источнику электроэнергии, над которыми в данный моментвремени расположен высокоскоростной поезд. В этом случае сни(жаются потери мощности и увеличивается коэффициент полезногодействия, повышается надежность системы электроснабжения.Структура одного перегона (путевой структуры) между двумя стан(циями для системы ВСНТ показана на рис. 1.1.

8

Между двумя станциями 1 и 2 расположены участки 2, на ко(торых производится разгон и торможение поезда. Эти участкирасположены между станциями и основным по протяженностиучастком 3 (чаще прямолинейным), по которому экипаж высо(коскоростного наземного транспорта движется со скоростью 350—500 км/ч. Модули индукторов ЛАД, уложенные в путевую струк(туру, могут быть одинаковыми в пределах станций на участкахдля разгона и торможения экипажа ВСНТ и на основном участкеперегона между двумя станциями. В этом варианте для регулиро(вания скорости экипажа на магнитном подвесе необходимо ис(пользовать, в том числе, и одновременное изменение питающегонапряжения и частоты тока.

Предпочтительнее применять на каждом из участков перегонамодули индукторов линейных асинхронных двигателей с различны(ми значениями полюсного деления (рис. 1.2). Индукторы ЛАД смаксимальными значениями полюсного деления должны распола(гаться на основном участке перегона между двумя станциями. Мо(дули индукторов на участках, предназначенных для разгона или

Рис. 1.1. Структура одного перегона для системы ВСНТ

Рис. 1.2. Путевая структура одного перегона системы ВСНТ из модулей ЛАДс разными значениями полюсного деления:

1 — станция; 2 — участок разгона—торможения; 3 — основной участок;τ — полюсное деление индуктора модуля ЛАД

9

торможения высокоскоростных экипажей на магнитной подвеске,выполняются с меньшими значениями полюсного деления. При(чем все они могут иметь как одинаковые, так и разные полюс(ные деления. Полюсные деления модулей индукторов ЛАД наразгонно(тормозных участках предпочтительно уменьшать по мереприближения к станции. Это приводит к снижению диапазона час(тотного регулирования ЛАД систем ВСНТ и к экономии средствкак при строительстве системы ВСНТ, так и при ее эксплуатации.

Если индукторы ЛАД образуют путевую структуру ВСНТ, то ихвторичные элементы (ВЭ) располагаются в днище высокоскорост(ных экипажей. Вторичные элементы могут быть выполнены в видетрадиционной короткозамкнутой обмотки, состоящей из электро(проводящих стержней, расположенных перпендикулярно направ(лению движения транспортного экипажа, замкнутых по торцамэлектропроводящими шинами и размещенных в пазах сердечника,имеющего форму параллелепипеда. Вторичные элементы с цельюповышения усилий трогания или торможения экипажа ВСНТ сместа и регулирования скорости его движения могут выполнять(ся короткозамкнутыми с регулируемыми активными сопротивле(ниями. В этом случае электропроводящие стержни, размещенныев пазах сердечника, могут состоять из нескольких изолированныхдруг от друга проводников, замкнутых с одной стороны общейэлектропроводящей шиной, а с другой — подвижным замыкаю(щим элементом. Ряд новых конструкций регулируемых линейныхасинхронных двигателей для высокоскоростного транспорта и длядругих тяговых и нетяговых приводов разработаны в Ростовском го(сударственном университете путей сообщения [3—5]. При изме(нении положения подвижного замыкающего элемента в широкихпределах регулируется активное сопротивление ВЭ и соответственномеханическое усилие взаимодействия бегущего магнитного пото(ка, создаваемого путевой структурой из модулей индукторов ЛАД,с токами вторичного элемента, установленного на экипаже высо(коскоростной системы наземного транспорта с магнитной подвес(кой. Схематично конструкция фрагмента регулируемой короткозам(кнутой обмотки вторичного элемента представлена на рис. 1.3.

Положением подвижного элемента ВЭ, замыкающего стержникороткозамкнутой обмотки, можно управлять из кабины машини(ста (стрелками на рис. 1.3 показаны направления перемещения под(

10

вижного элемента для регулирования активного сопротивлениявторичного элемента). Возможно и дистанционное управление по�ложением подвижного элемента при регулировании скорости и тя�гового усилия, например, из диспетчерского пункта. Для ряда сис�тем высокоскоростного наземного транспорта вторичные элемен�ты могут изготавливаться в виде электропроводящих шин из меди,ее сплавов и алюминия и его сплавов, имеющих одинаковые сече�ния и активные сопротивления на всем их протяжении в продоль�ном и поперечном направлениях. Электропроводящие шины своейверхней частью могут примыкать к ферромагнитному элементу, поз�воляющему магнитному потоку замыкаться по пути с наименьшимсопротивлением. Это позволит повысить коэффициент полезногодействия и мощности системы ВСНТ. В некоторых случаях элект�ропроводящие шины могут выполняться полыми для использова�ния более эффективного водяного охлаждения.

Другой вариант ВЭ предполагает выполнение его из электропро�водящих шин, имеющих неодинаковые сечения и активные сопро�тивления в поперечном направлении. Неодинаковость активныхсопротивлений электропроводящих шин в поперечном направле�нии позволяет создавать и увеличивать усилия самостабилизацииэкипажа, подвешенного в магнитном поле, относительно путевойструктуры. Регулируемые ЛАД подробнее описаны ниже в разд. 1.6.

Для повышения безопасности движения экипажа ВСНТ в дни�ще кузова устанавливаются по краям два ряда колес (рис. 1.4). Придвижении экипажа на магнитном подвесе эти колеса не касаются

Рис. 1.3. Схема конструкции фрагмента регулируемой короткозамкнутойобмотки вторичного элемента:

1 — изолированный проводник; 2 — замыкающая шина; 3 — подвижныйэлемент

11

путевой структуры, а при потерепитания (при внезапном или ава(рийном отключении напряжения)или на стоянке транспортный эки(паж опирается на колеса.

При высокоскоростном движе(нии экипажа ВСНТ большое зна(чение имеют его аэродинамичес(кие характеристики. Колеса 3 (см.рис. 1.4) могут создавать при ско(ростях 350—500 км/ч значительноесопротивление движению, что при(ведет к увеличению потребляемоймощности. Этого можно избежать,если колеса убирать внутрь корпу(са экипажа по типу самолетныхшасси. В этом случае колеса будутвыпускаться при аварийной поте(ре питания, при торможении илипри стоянке на станции. Как вари(ант, колеса высокоскоростного эки(пажа могут быть выполнены лишьчастично выступающими из(под пола вагона. Для экстренного тор(можения предусмотрены электромагнитные тормоза, встраивае(мые в днище корпуса высокоскоростного экипажа. При этом в пу(тевой структуре дополнительно располагается ферромагнитная(стальная) полоса.

1.2. Система высокоскоростного наземного транспортана магнитном подвесе с индукторами линейных

асинхронных двигателей, установленными на экипаже

Во втором основном варианте системы ВСНТ индукторы линей(ных асинхронных двигателей размещаются на экипажах, подвешен(ных в магнитном поле, а вторичный элемент ЛАД — в путевой струк(туре. В этом случае достигается значительная экономия активныхматериалов (электротехнической стали и обмоточных проводов) приизготовлении транспортной системы. Одновременно более слож(ной становится проблема электроснабжения высокоскоростных

Рис. 1.4. Схема конструкцииустройства ВСНТ:

1 — корпус вагона; 2 — вторичныйэлемент; 3 — колесо; 4 — путевая

структура; 5 — индуктор ЛАД

12

поездов. Схема высокоскоростнойназемной транспортной системы синдукторами ЛАД на экипаже по(казана на рис. 1.5.

На экипаже ВСНТ могут бытьустановлены индукторы линейныхасинхронных двигателей различнойконструкции: с продольным, попе(речным и продольно(поперечнымзамыканием магнитного потока.Линейные двигатели с продольныммагнитным потоком для реализа(ции высоких скоростей движения вдиапазоне 350—500 км/ч должныснабжаться электроэнергией, час(тота тока которой превышает 50 Гц,тогда как ЛАД с поперечным замы(

канием бегущего магнитного потока способны развивать необхо(димые для ВСНТ скорости при промышленной частоте тока. В по(собии рассматриваются высокоскоростные экипажи с использова(нием индукторов ЛАД обоих типов. Кроме того, линейные асинх(ронные двигатели с поперечным магнитным потоком развивают,помимо тяговых усилий, усилия магнитной левитации, способныев ряде случаев обеспечить устойчивый магнитный подвес транспор(тного экипажа в собственном магнитном поле индукторов ЛАД.Путь замыкания магнитного потока в ЛАД с продольным магнит(ным (на рис. 1.6 средняя магнитная силовая линия бегущего пото(ка обозначена штриховой линией) потоком совпадает с направле(нием перемещения транспортного экипажа (обозначено стрелкой).

На рис. 1.6 показано замыкание магнитного потока в пределаходного полюсного деления индуктора. Синхронная скорость бегу(щего магнитного поля прямо пропорциональна величине полюс(ного деления и частоте тока. Для увеличения скорости перемеще(ния бегущего магнитного поля и транспортного экипажа на маг(нитном подвесе при неизменной частоте тока следует увеличиватьполюсное деление индуктора ЛАД. Это приводит к увеличению се(чения ярма индуктора и его массы, что значительно усложняет за(дачу реализации устойчивого магнитного подвеса высокоскорост(

Рис. 1.5. Схема устройства ВСНТ:1 — корпус вагона; 2 — индуктор

ЛАД; 3 — вторичный элемент;4 — электропроводящая часть ВЭ;

5 — обратный магнитопровод

13

ного транспортного экипажа. Поэтому для применения ЛАД с про�дольным магнитным потоком в системах ВСНТ требуется обязатель�ное питание обмотки его индуктора токами повышенной частоты,что позволяет снизить габариты и массу индуктора. Этот недоста�ток устранен в линейных асинхронных двигателях с поперечныммагнитным потоком.

Часто индукторы ЛАД с поперечным магнитным потоком вы�полняют из отдельных П� или Ш�образных сердечников, набран�ных из отдельных пластин холоднокатаной стали. Индукторы ЛАД споперечным магнитным потоком и с дискретным строением маг�нитной системы развивают значительные усилия магнитного под�веса. В этих линейных асинхронных машинах силовые линии маг�нитного поля (штриховая ли�ния на рис. 1.7) замыкаются внаправлении, поперечном пере�мещению магнитного поля и

Рис. 1.6. Упрощенная конструктивная схема ЛАД с продольным магнитным потоком:

1 — индуктор; 2 — вторичный элемент (ВЭ); 3 — электропроводящая часть ВЭ; 4 — обратный магнитопровод

Рис. 1.7. Упрощенная конструктивнаясхема ЛАД с поперечным магнитнымпотоком, индуктор которого выпол�

нен из отдельных сердечников:1 — индуктор; 2 — сердечник индук�тора; 3 — катушка обмотки; 4 — вто�ричный элемент; 5 — электропрово�дящая часть вторичного элемента;6 — обратный магнитопровод; 7 — на�правление движения экипажа ВСНТ

14

движению экипажа ВСНТ (направление движения показано стрел(кой 7 на рис. 1.7.

Последнее обстоятельство позволяет получить высокие скорос(ти перемещения экипажа ВСНТ при промышленной частоте тока вобмотках индуктора ЛАД, поскольку длина пути замыкания сило(вых линий основного магнитного потока индуктора не связана свеличиной его полюсного деления. Это — одна из главных особен(ностей линейных асинхронных двигателей с поперечным магнит(ным потоком, которая делает их весьма перспективными для при(менения в высокоскоростных транспортных экипажах на магнит(ном подвесе. Следует отметить, что ЛАД с поперечным магнитнымпотоком имеют более простую конструкцию по сравнению с линей(ными асинхронными двигателями с продольным магнитным пото(ком и что они благодаря дискретности строения магнитной систе(

мы (ее модульности) более тех(нологичны в производстве.

В Ростовском государствен(ном университете путей сообще(ния разработан новый тип ли(нейного асинхронного двигате(ля — ЛАД с продольно(попереч(ным замыканием магнитногопотока. Он представляет собоймашину гибридного типа, соче(тающую в себе свойства линей(ных асинхронных двигателей спродольным и поперечным маг(нитным потоком. Одна из про(стейших конструктивных схемлинейных машин данного типапоказана на рис. 1.8.

Линейные асинхронные дви(гатели с продольно(поперечныммагнитным потоком, помимотяговых и левитационных уси(лий, способны развивать усилияпоперечной автоматической са(мостабилизации, что очень важ(

Рис. 1.8. ЛАД с продольно(попереч(ным магнитным потоком:

1 — индуктор; 2 — поперечно распо(ложенные сердечники; 3 — продоль(ный магнитопровод; 4 — катушкатрехфазной обмотки; 5 — вторичныйэлемент (ВЭ); 6 — электропроводящаячасть ВЭ; 7 — обратный магнитопро(вод; 8 — силовая линия магнитногополя, замыкающегося в поперечномдвижению направлении; 9 — силоваялиния магнитного поля, замыкающе(

гося в продольном направлении

15

но для высокоскоростного наземного транспорта. Усилия попереч(ной самостабилизации для транспортного экипажа, подвешенногов магнитном поле, обеспечивают его точную ориентацию относи(тельно путевой структуры за счет того, что при боковом смещениипоезда, например из(за сильного бокового ветра, магнитное полеиндуктора ЛАД при взаимодействии с токами, им индуктирован(ными во вторичном элементе, создает механическое усилие, воз(вращающее высокоскоростной состав в исходное состояние. При(чем величина усилия, возвращающего экипаж на магнитной подуш(ке в положение, когда он располагается симметрично относитель(но путевой структуры, будет пропорциональна величине боковогосмещения. Это значительно повышает безопасность движения сис(темы ВСНТ. В качестве примера приведем конструктивную схемуЛАД [6] с продольно(поперечным магнитным потоком для систе(мы высокоскоростного наземного транспорта, развивающего уси(лия поперечной самостабилизации экипажа (рис. 1.9).

Линейный асинхронный двигатель с продольно(поперечныммагнитным потоком (рис. 1.9, а) содержит магнитопровод индук(тора, образованный сочетанием шихтованных в поперечном на(

Рис. 1.9. ЛАД с продольно(поперечным магнитным потоком для ВСНТ:а — конструктивная схема; б — схема соединения обмоток; 1 — сердечник,шихтованный в поперечном направлении; 2 — сердечник, шихтованный в про(дольном направлении; 3 — катушка многофазной обмотки; 4 — электропрово(дящая часть вторичного элемента (якоря); 5 — магнитопроводящая часть вто(ричного элемента; Fт — тяговые усилия; F

δ1 и Fδ2 — поперечные механические

усилия

16

правлении сердечников 1, соединенных между собой шихтованны�ми в продольном направлении сердечниками 2, имеющими формугребенки. Катушки 3 многофазной (трехфазной) обмотки охваты�вают зубцы как поперечных, так и продольных сердечников. Элек�тропроводящая часть 4 вторичного элемента (якоря) имеет в по�перечном сечении форму равнобедренной трапеции, большее ос�нование которой обращено к индуктору ЛАД, а меньшее приле�гает к магнитопроводящей части ВЭ. Катушки 3 многофазной(трехфазной) обмотки образуют продольные и поперечные ряды.Катушки 3 каждого продольного ряда обмотки образуют одинако�вые порядки следования фаз А, В и С, а катушки 3 поперечныхрядов имеют до середины каждого ряда один, а после середины —противоположный порядок следования фаз (рис. 1.9, б).

Принцип действия данного ЛАД с продольно�поперечным маг�нитным потоком заключается в следующем. При подключении об�мотки индуктора к источнику трехфазного напряжения по ее ка�тушкам потечет трехфазный ток, который создаст бегущие магнит�ные потоки. Магнитный поток индуктора, бегущий в направлениидвижения (в продольном направлении), пересекая электропрово�дящую часть 4 ВЭ (якоря), будет наводить в ней электродвижущиесилы (ЭДС), которые вызовут протекание вихревых токов. Магнит�ный поток, бегущий в продольном направлении, при взаимодей�ствии с вихревыми токами, индуктированными им во вторичномэлементе, создает тяговое и подъемное усилия. Подъемное усилие(усилие магнитного подвеса) отталкивает индуктор (транспортныйэкипаж) от вторичного элемента (путевой структуры) и под действи�ем тягового усилия приводит его в движение в направлении, про�тивоположном направлению продольно бегущего магнитного по�тока. Магнитные потоки, бегущие в поперечном движению экипа�жа ВСНТ направлении навстречу друг другу, при пересечении имиэлектропроводящей части 4 вторичного элемента наводят в нейЭДС и вихревые токи.

Магнитные потоки, бегущие в поперечном направлении, привзаимодействии с вихревыми токами, ими индуктированными, со�здают механические усилия, направленные навстречу друг другу.В том случае, если вагон высокоскоростного экипажа расположенсимметрично (в поперечном направлении) относительно путевойструктуры (ВЭ), то поперечные механические усилия одинаковы,

17

взаимно уравновешиваются и не оказывают никакого влияния надвижение экипажа ВСНТ на магнитном подвесе. При смещениииндуктора линейной машины в поперечном направлении относи(тельно путевой структуры (например, при сильном боковом ветре,действующем на вагон системы ВСНТ, подвешенный в магнитномполе, или при вписывании в кривой участок пути) равновесиевстречно(направленных поперечных механических усилий наруша(ется. Это происходит из(за того, что часть индуктора ЛАД распола(гается при его боковом смещении над участком путевой структуры(электропроводящей части якоря), активное сопротивление кото(рого будет больше сопротивления части ВЭ под основной частьюиндуктора.

При этом поперечное боковое усилие, возникающее в результа(те взаимодействия бегущего в поперечном направлении магнитно(го потока с токами электропроводящей части ВЭ, имеющей боль(шее магнитное сопротивление, увеличится. В то же время попереч(ное боковое усилие, создаваемое при взаимодействии магнитногополя, бегущего в поперечном направлении, с вихревыми токами вцентральной части ВЭ, имеющей меньшее активное сопротивление,будет оставаться на прежнем уровне (как и до бокового смещенияэкипажа ВСНТ). Под действием разности поперечных усилий ин(дуктор ЛАД (экипаж ВСНТ) плавно возвратится в прежнее поло(жение и будет располагаться симметрично относительно путевойструктуры. Трапецеидальная форма поперечного сечения электро(проводящей части ВЭ (якоря) обеспечивает плавное увеличение еесопротивления от центрального сегмента ВЭ к его краям. Тем са(мым достигается плавность изменения усилий поперечной самоста(билизации экипажа ВСНТ относительно путевой структуры и ис(ключается возникновение боковых колебаний. Все эти процессыпроисходят автоматически и повышают безопасность при движе(нии высокоскоростных экипажей.

1.3. ЛАД с повышенными усилиями поперечнойсамостабилизации

Линейный асинхронный двигатель с продольно(поперечныммагнитным потоком может быть установлен как на экипаже ВСНТ,так и использоваться в качестве путевой структуры высокоскорост(ного транспорта.

18

Другое техническое решение,созданное в РГУПС, позволяетеще в большей мере повысить бе(зопасность движения, безусловно,перспективных в скором будущемсистем ВСНТ на магнитном под(весе за счет увеличения попереч(ных усилий и обеспечивает безо(пасность при больших боковыхсмещениях высокоскоростногоэкипажа относительно путевойструктуры [7]. На рис. 1.10 схема(тично представлено поперечноесечение ЛАД с продольно(попе(речным магнитным потоком.

Рассмотрим конструкцию ипринцип работы данного ЛАД с продольно(поперечным магнит(ным потоком. Линейный асинхронный двигатель для системыВСНТ (см. рис. 1.10) содержит основной индуктор 1 и вторичныйэлемент 2 из электропроводящего материала. Индуктор 1 состоитиз сердечника и трехфазной обмотки, катушки 3 которой образу(ют ряды в продольном и поперечном движению транспортногоэкипажа направлениях. Рассматриваемый ЛАД снабжен дополни(тельным индуктором 4, идентичным основному индуктору 1 ирасположенным параллельно ему. Катушки 5 трехфазной обмот(ки дополнительного индуктора 4 также образуют ряды в продоль(ном и поперечном движению направлениях. Оба индуктора ЛАДдля лучшей электромагнитной связи между ними установлены наобщем ферромагнитном основании 6. Вторичный элемент 2 обра(зован сочетанием пяти электропроводящих полос, примыкающихдруг к другу и выполненных в форме параллелепипедов. Средняяи крайние полосы имеют меньшее активное сопротивление, чемполосы, размещенные между ними. На рис. 1.10 показано, чтополосы, составляющие вторичный элемент, имеют разные пло(щади поперечных сечений. Возможен вариант конструкции вто(ричного элемента ЛАД, в котором образующие его электропро(водящие полосы изготовлены из материалов с разным активным со(противлением.

Рис. 1.10. ЛАД с продольно(поперечным магнитным потоком

для ВСНТ:1 — основной индуктор; 2 — вторич(ный элемент из электропроводяще(го материала; 3 — катушки обмоткиосновного индуктора; 4 — дополни(тельный индуктор; 5 — катушки об(мотки дополнительного индуктора;

6 — ферромагнитное основание

19

Схемы соединения трехфаз(ных обмоток основного и до(полнительного индукторов ли(нейного асинхронного двигате(ля представлены на рис. 1.11.На рис. 1.11 символами А, В иС обозначены фазы источниканапряжения, к которым под(ключены катушки обмотокобоих индукторов. Видно, чтопродольные ряды катушек об(моток индукторов ЛАД образу(ют прямые порядки следованияфаз А, В и С, а все поперечныеряды катушек обмоток основ(ного и дополнительного индук(торов имеют до середины рядаодин, а после середины — про(тивоположный порядок следо(вания фаз. Механические уси(лия, возникающие при взаимодействии бегущих магнитных полейЛАД с токами, ими индуктированными во вторичном элементе, обо(значены стрелками и символами FT, F1, F2, F3 и F4.

Работает данный линейный асинхронный двигатель с продоль(но(поперечным магнитным потоком следующим образом. Приподключении катушек 3 и 5 обмоток основного 1 и дополнительного4 индукторов к источнику трехфазного напряжения (см. рис. 1.10и 1.11) по катушкам фаз обмоток потекут токи, возбуждающие бе(гущие магнитные поля, которые будут пересекать электропроводя(щий вторичный элемент 2 и наводить в нем ЭДС. Под действиемэлектродвижущих сил во вторичном элементе потекут вихревыетоки, вступающие во взаимодействие с бегущими магнитнымиполями, которые послужили причиной их возникновения. В резуль(тате будут создаваться механические усилия.

При взаимодействии бегущих магнитных полей, возбуждаемыхпродольными рядами катушек 3 и 5 основного и дополнительногоиндукторов, имеющих одинаковые порядки следования фаз, с вих(ревыми токами, ими индуктированными во вторичном элементе 2,

Рис. 1.11. Схемы соединения обмотокосновного и дополнительного индукто(ров ЛАД с продольно(поперечным маг(

нитным потоком:Fт — тяговые усилия; F1 и F2 — попе(речные усилия основного индуктора; F3и F4 — поперечные усилия дополни(

тельного индуктора

20

будут создаваться механические усилия Fт (рис. 1.11). Под действиемусилий Fт вторичный элемент (экипаж ВСНТ), подвешенный вмагнитном поле, начнет перемещаться в продольном направле(нии. Одновременно токи в поперечных рядах катушек 3 и 5 ос(новного и дополнительного индукторов ЛАД возбуждают в каждомпоперечном сечении линейного двигателя по две пары встречнобегущих магнитных полей, например, А, В, С и С, В, А; А, В, С и С,В, А (верхняя строчка на рис. 1.11) и т.д.

Эти бегущие навстречу друг другу в поперечном направлениимагнитные поля, пересекая вторичный элемент 2, будут индук(тировать в нем ЭДС и вихревые токи. При взаимодействии по(перечно бегущих слева направо магнитных полей основного 1 идополнительного 4 индукторов ЛАД с вихревыми токами, ими индук(тированными в электропроводящем вторичном элементе 2 (рис. 1.10и 1.11), будут создаваться (в каждом поперечном сечении по всейдлине линейного асинхронного двигателя) одинаковые механичес(кие усилия F1 и F3, действующие слева направо. При взаимодей(ствии поперечно бегущих справа налево магнитных полей каждо(го из индукторов ЛАД с вихревыми токами, ими индуктирован(ными во вторичном элементе 2, будут создаваться одинаковые ме(ханические усилия F2 и F4, действующие также справа налево вкаждом поперечном сечении двигателя по всей его длине. При сим(метричном расположении вторичного элемента 2, являющегосяднищем подвешенного в магнитном поле экипажа ВСНТ, относи(тельно основного 1 и дополнительного 4 индукторов в поперечномнаправлении усилия F1 и F2 и F3 и F4 одинаковы по величине, вза(имно уравновешиваются и не оказывают никакого влияния на про(дольное движение вторичного элемента 2 (экипажа ВСНТ).

Если по каким(то причинам, например при сильном боковомветре, экипаж ВСНТ, подвешенный в магнитном поле, сместитсявправо относительно основного и дополнительного индукторовЛАД, то будет нарушено равновесие механических усилий, действу(ющих в поперечном направлении навстречу друг другу. На рис. 1.12показан вторичный элемент, а индукторы ЛАД с продольно(попе(речным магнитным потоком не показаны. Усилия F1 уменьшатся вкаждом поперечном сечении по длине ЛАД, поскольку они будутсоздаваться при взаимодействии эллиптических бегущих магнит(ных полей с вихревыми токами, ими индуктированными во вторич(

21

ном элементе. В левой части индуктора бегущие слева направо эл(липтические магнитные поля будут возбуждаться токами всего двухкатушек, подключенных к фазам В и С источника трехфазного на(пряжения (ведь левая катушка, подключенная к фазе А, не взаимо(действует со вторичным элементом из(за его смещения). Поэтомуи усилия F1 уменьшаются. Одновременно усилия F2, действующиена вторичный элемент справа налево, увеличатся за счет того, чтопри смещении вторичного элемента вправо (см. рис. 1.12) магнит(ное поле, бегущее в основном индукторе справа налево, остаетсяпо(прежнему круговым (оно создается токами трех катушек С, В иА), а активное сопротивление вторичного элемента над этой зонойкатушек увеличивается, так как при смещении вторичного элемен(та над катушками С, В и А основного индуктора поперечное сече(ние части вторичного элемента уменьшается. В результате усилияF2 возрастают. При таком смещении вторичного элемента умень(шатся и усилия F3 (см. рис. 1.12) по сравнению с симметричнымего расположением относительно индуктора ЛАД (см. рис. 1.10 и1.11). Объясняется это тем, что хотя характер бегущего слева на(право магнитного поля дополнительного индуктора остается кру(говым (оно создается токами трех катушек А, В и С (см. рис. 1.12),но активное сопротивление части вторичного элемента, располага(ющегося над этими катушками, снизится, так как увеличивается се(чение (поперечное) данной части вторичного элемента. Это отчет(ливо видно на рис. 1.12. В то же время встречно им направленныеусилия F4 увеличатся за счет возрастания активного сопротивлениячасти вторичного элемента, расположившейся над катушками С, В иА дополнительного индуктора. В результате возникнут разности по(перечных механических усилий F2—F1 и F4—F3, под действием ко(торых вторичный элемент (экипаж ВСНТ) будет возвращаться всимметричное положение, соответствующее рисункам 1.10 и 1.11.

Рис. 1.12. Усилия при поперечном боковом смещении вторичного элементавправо относительно индуктора

22

Эта конструкция ЛАД с продольно(поперечным магнитным по(током развивает по сравнению с предыдущей большие усилия по(перечной стабилизации и позволит существенным образом повы(сить безопасность движения систем ВСНТ с магнитной подвескойтранспортных экипажей.

1.4. Высокоскоростные транспортные системы с колеснымприводом

Несмотря на безусловные перспективы использования в дальней(шем для пассажирских перевозок систем ВСНТ с магнитным под(вешиванием экипажей и линейными тяговыми электродвигателя(ми, еще длительное время основу подвижного состава железнодо(рожного транспорта будут составлять колесные локомотивы и ва(гоны. Система «колесо — рельс» еще далеко не исчерпала себя нажелезнодорожном транспорте, о чем свидетельствует установлен(ный на железных дорогах Франции рекорд скорости движения по(езда, составляющий 586 км/ч. Поэтому подвижной состав принци(пиально традиционного типа еще очень долго будет находиться вэксплуатации, а для грузовых перевозок он всегда будет основным.Но рост объемов пассажирских и грузовых перевозок требует по(вышения скоростей движения поездов уже сейчас. Рост скоростейдоставки пассажиров и грузов должен происходить при одновре(менном повышении безопасности движения поездов. Одним изтехнических элементов, способствующих повышению безопасно(сти движения поездов за счет улучшения тормозных характерис(тик локомотивов и вагонов, являются устанавливаемые на нихэлектромагнитные рельсовые тормоза (ЭМРТ), разработкой и ис(следованием которых занимаются в РГУПС под руководствомпроф. Л.В. Балона.

Электромагнитные рельсовые тормоза предназначены, в первуюочередь, для использования в экстренных ситуациях и на стоянках(на станциях). Торможение с использованием ЭМРТ является рез(ким, интенсивным и сопровождается значительными усилиями,воздействующими на пассажиров и перевозимые грузы. Иногда этиусилия становятся весьма большими и небезопасными. Усилия, воз(действующие на пассажиров и грузы, возрастают при увеличениискорости движения поездов и именно поэтому электромагнитныерельсовые тормоза предназначены только для экстренного тормо(

23

жения. Более плавного торможения скоростного поезда при одно(временном сокращении тормозного пути можно достичь, исполь(зуя вихретоковые тормоза, устанавливаемых на локомотивах и ва(гонах. Возникла идея создания рельсового тормоза с расширенны(ми функциями, способного работать как в режиме вихретокового,так и в качестве электромагнитного тормоза. Подобный многофун(кциональный рельсовый тормоз позволит значительно сократитьдлину тормозного пути высокоскоростного поезда при одновремен(ном снижении усилий, воздействующих в процессе торможения налюдей и грузы. Для реализации этих целей в РГУПС разработанановая конструкция усовершенствованного ЭМРТ, способного ра(ботать и в качестве вихретокового тормоза [8], и обладающего рас(ширенными функциональными возможностями.

Данный электромагнитный рельсовый тормоз (рис. 1.13) состо(ит из отдельных магнитопроводов, каждый из которых образован дву(мя Г(образными сердечниками 1.К сердечникам 1 прикреплены по(люсные наконечники 2. Обмоткарасполагается на ярмах отдельныхмагнитопроводов и состоит из ка(тушек 3. Магнитопроводы с катуш(ками обмотки размещены в корпу(се 4 из ферромагнитного материа(ла. Катушки 3 обмотки ЭМРТ со(единяют таким образом, что приподключении их к источнику по(стоянного тока в продольном на(правлении (в направлении движе(ния) первая половина сердечниковсоответствует северному полюсуэлектромагнита, а вторая — южно(му. При этом вся длина электро(магнитного рельсового тормозаобразует два полюсных деленияэлектромагнита. В поперечном на(правлении замыкается магнитныйпоток каждого магнитопровода, иодин Г(образный сердечник обра(

Рис. 1.13. Электромагнитныйрельсовый тормоз:

1 — Г(образный сердечник; 2 —полюсный наконечник; 3 — катуш(ка обмотки; 4 — ферромагнитный

корпус

24

зует, например, северный полюс, то второй сердечник того же маг(нитопровода образует южный полюс.

Рассмотрим принцип действия нового электромагнитного рель(сового тормоза. При опускании ЭМРТ на рельс, например, с помо(щью пневмоцилиндра, и подключении его обмотки к источникупостоянного тока создается магнитное поле, силовые линии кото(рого будут замыкаться в продольном и поперечном движению по(езда направлениях. В поперечном направлении будут замыкатьсямагнитные потоки каждого отдельного магнитопровода, а в про(дольном направлении — магнитный поток, созданный всей сис(темой магнитопроводов электромагнитного рельсового тормо(за. При прохождении магнитного потока через рельс последнийнамагничивается и притягивается к полюсным наконечникам 2Г(образных сердечников 1, из которых состоят магнитопроводыЭМРТ. Поскольку магнитный поток замыкается в продольном ипоперечном направлениях, то усилие притяжения ЭМРТ к рельсувозрастает, его работа становится более эффективной, длина тор(мозного пути поезда сокращается. Важно и то, что полюсное деле(ние ЭМРТ в продольном направлении достаточно велико и маг(нитный поток в этом же направлении начинает пересекать рельси намагничивать его при большом зазоре между рельсом и полю(сами ЭМРТ. В этом случае создаются усилия притяжения междурельсом и ЭМРТ до того, как последний будет опущен на рельсы.Это снижает время подготовки ЭМРТ к работе, и он будет тормо(зить движущийся поезд еще до того, как полюсные наконечникиего магнитопроводов коснутся рельсов.

Данное устройство обладает расширенными функциональнымивозможностями, и если не опускать электромагнитный рельсовыйтормоз на рельсы и подключить его обмотку к источнику посто(янного тока, то ЭМРТ нового типа будет работать в качестве вих(ретокового тормоза, так как продольный магнитный поток будет пе(ресекать рельс при больших воздушных зазорах. Продольный маг(нитный поток, пересекая рельс при движении поезда, будет ин(дуктировать в рельсе электродвижущие силы, под действиемкоторых в нем потекут вихревые токи. При взаимодействии вихре(вых токов в рельсе с продольным магнитным потоком будет созда(ваться тормозное усилие. Использование ЭМРТ нового типа позво(лит обеспечить более плавное и безопасное торможение поезда в

25

экстренных случаях: вначале совместно работают пневматическийи вихретоковый тормоза, а затем ЭМРТ опускается на рельсы и ра(ботает совместно с пневматическим тормозом до полной останов(ки поезда.

Основой привода рельсовых высокоскоростных поездов являют(ся вращательные тяговые двигатели, которые по принципу дей(ствия могут быть постоянного тока, асинхронными, синхронны(ми или индукторными. Тяговые двигатели постоянного тока по ус(ловиям коммутации обмотки якоря при скорости движения свы(ше 200 км/ч использоваться уже не могут. Поэтому при высоких(более 200 км/ч) скоростях движения поездов будут использоватьсяв основном в качестве тяговых машин частотно(управляемые асин(хронные двигатели. На таком подвижном составе с целью повыше(ния безопасности движения за счет совершенствования системыторможения на локомотиве и вагонах могут быть установлены ин(дукторы ЛАД. Индукторы линейных асинхронных двигателей вданном случае могут поочередно выполнять несколько функций ислужить в качестве дополнительных тяговых двигателей, взаимо(действующих непосредственно с рельсами, дополнительных вих(ретоковых и электромагнитных рельсовых тормозов, а также (принеобходимости) догружателей. Принцип действия индуктора ЛАДзависит от режима, в котором он работает.

1.5. Классификация высокоскоростныхтранспортных систем

Увеличение скоростей движения поездов традиционного типа сколесным приводом еще не исчерпало своих возможностей. Об этомсвидетельствует опыт эксплуатации высокоскоростных поездов нажелезных дорогах Франции, Германии, Испании и Японии. В Рос(сии также ведутся работы совместно с Германией по созданию вы(сокоскоростных поездов для пассажирских перевозок на наибо(лее напряженных направлениях (Москва—Санкт(Петербург, Мос(ква—Юг, Москва—Нижний Новгород и др.). Предполагается, чтоновые пассажирские поезда будут курсировать со скоростями 150—250 км/ч. Электровозы для высокоскоростного движения оборуду(ются тяговым электроприводом переменного тока. Для повышениябезопасности движения высокоскоростных поездов их локомотивы

26

и вагоны оборудуются вихретоковыми тормозами, позволяющимисократить длину тормозного пути и сделать процесс торможенияболее плавным.

Ниже рассматривается вариант, когда локомотивы и вагоныоборудуются индукторами ЛАД, способными выполнять несколькофункций: выступить в качестве дополнительных тяговых двигате$лей, взаимодействующих непосредственно с рельсами; работать вкачестве вихретоковых или электромагнитных рельсовых тормозов;использоваться в качестве догружателей. Применение индукторовлинейных асинхронных двигателей позволит сделать работу высо$коскоростных поездов еще более безопасной и эффективной.

На рис. 1.14 приведена классификация колесных высокоскорост$ных транспортных систем. Локомотивы колесных высокоскорост$ных транспортных систем оборудуются тяговым электроприводомпеременного тока с асинхронными, синхронными или индуктор$ными электродвигателям. В настоящее время наиболее перспектив$ным для высокоскоростных поездов считается асинхронный тяго$вый частотно$регулируемый электропривод, который сравнитель$но долгое время используется на железных дорогах Германии, Фран$ции, Испании и Японии. Локомотивы и вагоны высокоскоростныхпоездов предлагается снабжать дополнительными тяговыми и тор$мозными устройствами, способными повысить эффективность и бе$зопасность их работы. Дополнительные устройства — это вихрето$ковые рельсовые тормоза, ЭМРТ и индукторы ЛАД. При опреде$ленных условиях ЭМРТ способен выполнять функции вихретоко$вого тормоза. Индуктор линейного асинхронного двигателя средивсех дополнительных тяговых и тормозных устройств является наи$более многофункциональным. Он может работать как дополнитель$ный тяговый электродвигатель, как вихретоковый и электромагнит$ный рельсовый тормоз и как догружатель. При необходимости ин$дуктор ЛАД можно использовать и в качестве стояночного тормоза.

Классификация систем ВСНТ с магнитным подвесом и тяговыминдуктором ЛАД, используемым в качестве путевой структуры,представлена на рис. 1.15. Система ВСНТ содержит путевую струк$туру, состоящую из индукторов линейных асинхронных двигателей,а вторичный элемент ЛАД располагается на транспортных экипа$жах. Индукторы ЛАД могут иметь различную конструкцию и вы$полняются с продольным, поперечным или продольно$поперечным

27

Ри

с. 1

.14.

Кла

сси

фи

кац

ия

высо

коск

орос

тны

х ко

лесн

ых

тран

спор

тны

х си

стем

28

Рис. 1.15. Классификация систем ВСНТ на магнитном подвесе

29

магнитным потоком. Участки путевой структуры системы ВСНТмогут формироваться из одинаковых или различных по конструк(ции модулей индукторов ЛАД. Отдельные модули ЛАД могут раз(личаться величиной полюсного деления, числом полюсов, типомобмотки, конструкцией магнитной системы. На ряде участков пе(регона между станциями могут устанавливаться индукторы ЛАД,обеспечивающие автоматическую поперечную самостабилизациюэкипажа на магнитной подвеске относительно путевой структуры.

Вторичный элемент тягового ЛАД устанавливается на экипажеВСНТ и может быть выполнен в виде электропроводящей шины,сечение и активное сопротивление которой одинаково по всей еедлине и ширине. Как вариант ВЭ может изготавливаться из элект(ропроводящей шины, сечение и активное сопротивление которойнеодинаково по ее ширине. В этом случае по краям шина имеетменьшее сечение или ее крайние участки изготавливаются из мате(риала с меньшей электрической проводимостью и увеличивают уси(лия поперечной самостабилизации подвешенного в магнитном полеэкипажа ВСНТ и безопасность его движения. Значительного уве(личения тяговых усилий ЛАД можно достичь, используя коротко(замкнутую обмотку на вторичном элементе. При выполнении ко(роткозамкнутой обмотки вторичного элемента с регулируемым со(противлением [3—5] можно увеличить усилия при трогании экипа(жа ВСНТ с места, повысить скорость экипажа при его разгоне иснизить ее при приближении к следующей станции. Такая конст(рукция короткозамкнутой обмотки позволяет регулировать скоростьдвижения экипажа ВСНТ с магнитным подвешиванием экипажапросто и в широких пределах.

Классификация высокоскоростных наземных транспортных си(стем с магнитным подвесом с индукторами ЛАД, установленнымина экипаже, и вторичными элементами, уложенными в путевуюструктуру, приведена на рис. 1.16.

Как и в предыдущей классификации, в системе ВСНТ могут ис(пользоваться индукторы ЛАД с продольным, поперечным и про(дольно(поперечным замыканием магнитного потока, причем пос(ледние предназначены преимущественно для создания поперечнойавтоматической самостабилизации высокоскоростных экипажей смагнитной подвеской относительно путевой структуры. В случаеустановки на высокоскоростном экипаже с магнитным подвесом

30

Ри

с. 1

.16.

Кла

сси

фи

кац

ия

сист

ем В

СН

Т с

маг

ни

тны

м п

одве

сом

31

индукторов линейных асинхронных двигателей с продольным илипоперечным магнитным потоком в качестве обмоток вторичныхэлементов могут служить электропроводящие шины, короткозамк(нутые обмотки, короткозамкнутые обмотки с регулируемыми со(противлениями в сочетании с электропроводящими шинами.

Если в качестве индукторов ЛАД применяются машины с про(дольно(поперечным магнитным потоком и с поперечной самоста(билизацией, то в качестве ВЭ могут служить электропроводящиешины или же короткозамкнутые обмотки с регулируемыми сопро(тивлениями, установленные в приподстанционных зонах и на са(мой станции, в сочетании с электропроводящими шинами, зани(мающими основные части перегонов между станциями. Электро(проводящие шины могут выполняться с одинаковыми сечениями исоответственно одинаковыми сопротивлениями по длине и шири(не ВЭ. Как вариант, электропроводящие шины могут иметь различ(ные сопротивления по длине и ширине. Так, на участках путевойструктуры, примыкающей к станции, сечение шины уменьшается,а сопротивление ее увеличивается, причем длина пристанционногоучастка путевой структуры (шины) зависит от пути разгона (илиторможения) экипажа ВСНТ.

На основном перегоне при использовании индукторов ЛАД,обеспечивающих поперечную самостабилизацию экипажа относи(тельно путевой структуры, по краям по ширине электропроводя(щей шины предпочтительно выполнять участки с меньшими се(чениями, т.е. с большими сопротивлениями, что увеличивает уси(лия поперечной самостабилизации при боковом поперечном сме(щении экипажа ВСНТ относительно путевой структуры. Есливторичный элемент содержит короткозамкнутую обмотку, то онаможет быть выполнена как с одинаковым сопротивлением по всейдлине, так и с различным сопротивлением: на участках, прилегаю(щих к станциям, сопротивление обмотки увеличено, а на основнойчасти перегона — уменьшено.

Вторичный элемент может быть также комбинированным: напристанционных участках его обмотка выполняется короткозам(кнутой с регулируемым сопротивлением, а на основной части пе(регона в путевую структуру уложена электропроводящая шина(см. рис. 1.16). В ряде случаев для плавного пуска экипажей ВСНТили для их точной электромагнитной фиксации при остановке мо(

32

гут быть использованы линейные асинхронные электроприводы,разработанные в РГУПС. Их принцип действия основан на исполь(зовании встречно бегущих магнитных полей [9, 10].

Предложенные классификации не являются исчерпывающими.Они включают в себя разработки, направленные на повышениеэффективности и безопасности движения высокоскоростных эки(пажей как содержащих колесный привод поезда, так и подвешен(ных в магнитном поле.

1.6. Конструкции регулируемых ЛАД и их применениена высокоскоростном подвижном составе

Актуальной проблемой являются повышение тягового усилияЛАД, возможности его регулирования и скорости линейного пере(мещения модуля. Один из путей решения этой задачи состоит вприменении новых, нетрадиционных конструкций линейных асин(хронных двигателей [3—7]. Обмотку вторичного элемента ЛАД пред(лагается выполнять короткозамкнутой с возможностью регулиро(вания ее сопротивления. Использование подобных устройств целе(сообразно, например, на участках профиля пути, характеризующе(гося большими уклонами.

Варианты расположения ЛАД на участках с большими уклонамипредставлены на рис. 1.17. Расположение индукторов линейныхасинхронных двигателей над рельсами и над вторичными элемен(тами показано на рис. 1.17, а. Внутри колеи, возле каждого из рель(сов 1 расположены вторичные элементы 3, сердечники которыхнабраны из отдельных пластин электротехнической стали. Индук(торы 2 ЛАД располагаются и над рельсами 1 и над вторичными эле(ментами 3, содержащими короткозамкнутую обмотку 4. С движу(щимся экипажем индукторы 2 жестко связаны рамами 5. Сопро(тивление обмотки 4 вторичного элемента 3 можно регулировать.Однако для повышения эффективности ЛАД и улучшения работыподвижного состава на участках с большими уклонами предусмот(рено изменение сечения короткозамкнутой обмотки. Так, в самойнижней части путевой структуры сечение короткозамкнутой обмот(ки минимально. В этом случае ЛАД при трогании с места груженогопоезда будет развивать максимальное тяговое усилие и способство(вать наиболее эффективному преодолению уклона. Когда же под ук(

33

лон будет двигаться подвижной состав, то увеличивающееся подконец спуска сопротивление обмотки вторичного элемента приве(дет к снижению скорости его движения. Рассмотрим более подроб(но конструкцию регулируемого ЛАД, представленную на рис. 1.18.

Линейный асинхронный двигатель (рис. 1.18, а) содержит ин(дуктор, состоящий из сердечника 1 с трехфазной обмоткой 2, и вто(ричный элемент 3, включающий сердечник 4 и обмотку 5. В каж(дом пазу вторичного элемента размещены несколько электропро(

Рис. 1.17. Схемы расположения регулируемого ЛАД для торможенияи дополнительной тяги на участках с крутыми уклонами:

а — вторичные элементы размещены внутри колеи возле каждого рельса; б —центральное расположение вторичного элемента; 1 — рельс; 2 — индуктор ЛАД;3 — сердечник вторичного элемента; 4 — обмотка вторичного элемента; 5 —

рама; 6 — колесо; 7 — замыкающий элемент

34

водящих изолированных друг от друга стержней 6, которые распо(ложены по высоте паза один над другим. Все стержни вторичнойобмотки с одной стороны замкнуты накоротко боковой шиной 7,а с другой стороны эти стержни образуют выемку в виде полуци(линдра, в которой размещен цилиндр 8, установленный с возмож(ностью поворота относительно своей горизонтальной оси. Ци(линдр состоит из двух полуцилиндров. Один полуцилиндр 9 явля(ется электропроводящим и выполнен, например, из меди или алю(миния, а второй полуцилиндр 10 изготовлен из изоляционногоматериала. Для возможности вращения цилиндр снабжен руко(яткой 11. К сердечнику вторичного элемента цилиндр прикреп(лен скобами 12.

Принцип действия данного регулируемого ЛАД состоит в сле(дующем. При подключении обмотки к источнику трехфазногонапряжения создается бегущее магнитное поле, пересекающеестержни 6 обмотки 5 вторичного элемента и наводящее в нихэлектродвижущие силы. Если стержни 6 замкнуты с обеих сто(рон, то под действием ЭДС в них потечет ток, который будет взаи(

Рис. 1.18 Регулируемый линейный асинхронный двигатель:1 — сердечник; 2 — обмотка; 3 — вторичный элемент; 4 — сердечник вторично(го элемента; 5 — обмотка вторичного элемента; 6 — стержни обмотки вторич(ного элемента; 7 — замыкающая шина; 8 — цилиндр; 9 — электропроводящийполуцилиндр; 10 — полуцилиндр из изоляцонного материала; 11 — рукоятка;

12 — скобы

35

модействовать с бегущим магнитным полем. В результате этого вза(имодействия создается тяговое усилие, заставляющее индуктордвигаться в сторону, противоположную направлению перемеще(ния бегущего магнитного поля. Известно, что линейные асинхрон(ные двигатели развивают незначительные пусковые усилия. В дан(ном случае можно увеличить пусковое тяговое усилие путем уве(личения активного сопротивления короткозамкнутой обмотки 5вторичного элемента 3. С этой целью цилиндр 8 замыкает тольковерхние стержни 6 обмотки вторичного элемента (рис. 1.18, б). За(метим, что электропроводящая часть 9 цилиндра 8 может замы(кать стержень 6 неполностью при пуске. Это позволит еще большеувеличить активное сопротивление обмотки вторичного элемента.

Конструкция регулируемого ЛАД позволяет регулировать ско(рость движения плавно и в широких пределах, приближая регу(лируемый ЛАД по свойствам к асинхронным машинам с фазнойобмоткой ротора. Для регулирования скорости движения враща(ют рукоятку 11 цилиндра 8. При этом увеличивается число зако(роченных стержней 6 в каждом пазу вторичного элемента и уве(личивается скорость линейного перемещения, так как активное со(противление вторичной обмотки уменьшается. Для уменьшенияскорости двигателя рукояткой 11 поворачивают цилиндр 8 такимобразом, чтобы число замыкаемых стержней 6 было минимальным.Для расширения диапазона регулирования скорости машины це(лесообразно увеличивать число изолированных стержней 6 в каж(дом пазу сердечника вторичного элемента. Привод поворота цилин(дра 8 может быть ручным, электромеханическим, пневматическимили гидравлическим.

Способ регулирования скорости перемещения и пускового уси(лия ЛАД за счет изменения активного сопротивления вторичнойобмотки позволяет расширить функциональные возможности элек(трической машины. Для рассмотренного выше двигателя разрабо(тана методика расчета и выполнены исследования влияния магнит(ного поля паза на активное и индуктивное сопротивление обмоткивторичного элемента.

Диапазон регулирования скорости, пускового и тягового усилийрасширен в другом линейном асинхронном двигателе, конструкцияиндуктора которого принципиально не отличается от описаннойвыше. Основное отличие состоит в конструкции замыкающего

36

цилиндра. На рис. 1.19 показа(ны фрагменты замыкания изоли(рованных электропроводящихстержней, лежащих в пазу сер(дечника вторичного элементасегментами замыкающего ци(линдра, имеющими различноесопротивление. Замыкающаяшина 1 с одной стороны обес(печивает закорачивание всехстержней 2 обмотки вторично(го элемента, а с другой стороныэти стержни замыкаются цилин(дром 3, содержащим следующиесегменты: изоляционные 4 иэлектропроводящие 5 и 6, вы(полненные соответственно измеди и алюминия. Перед пускомдвигателя стержни 2 вторичнойобмотки замкнуты изоляцион(ным сегментом 4. В этом случаезамкнутая цепь во вторичной об(мотке отсутствует (рис. 1.19, а).

Для пуска двигателя в ход поворачивают цилиндр 3 и электро(проводящий сегмент замыкает 1 или 2 стержня обмотки вторично(го элемента. Вторичная обмотка ЛАД становится короткозамкну(той, и при пересечении ее бегущим магнитным полем индукторав ней индуцируются ЭДС и токи. При взаимодействии бегущегомагнитного поля c токами стержней 2 вторичного элемента созда(ется пусковое тяговое усилие, под действием которого индуктор на(чинает свое движение.

По мере разгона электропроводящим сегментом 6, выполненнымиз алюминия, замыкают все стержни 2 в пазах вторичного элемента(рис. 1.19, б). Для увеличения скорости линейного перемещенияиндуктора поворачивают цилиндр 3 по часовой стрелке, и в каком(то режиме работы одна часть стержней 2 закорачивается алюмини(евым сегментом 6, а другая их часть замыкается медным сегментом 5(рис 1.19, в). Максимальная скорость линейного перемещения ре(

Рис. 1.19. Замыкание цилиндромпроводников обмотки вторичного

элемента:1 — шина; 2 — проводники; 3 — за(мыкающий цилиндр; 4 — изоляцион(ная часть; 5 — медная часть; 6 — алю(

миниевая часть

37

гулируемого ЛАД достигается при закорачивании всех стержней 2вторичной обмотки медным сегментом 5 цилиндра 3.

В другом линейном асинхронном двигателе с традиционной кон(струкцией индуктора расширение пределов регулирования тяговыхусилий и скорости достигается за счет увеличения числа стержней,лежащих в каждом пазу вторичного элемента. В каждом пазу сер(дечника вторичного элемента расположены, по меньшей мере, 2вертикальных ряда изолированных стержней, которые с одной сто(роны замкнуты общей шиной, а с другой — цилиндром. Одна частьсердечника является электропроводящей, а в другой части изоля(ционные и электропроводящие зоны чередуются. Шаг чередованиязон равен зубцовому делению вторичного элемента. Осевое пере(мещение и вращение цилиндра позволяет замыкать различное чис(ло стержней вторичного элемента и изменять активное сопротив(ление его обмотки, расширяя тем самым пределы регулированияскорости линейного перемещения.

Варианты расположения стержней в пазу вторичного элементапоказаны на рис. 1.20. Замыкающий цилиндр схематично изобра(жен на рис. 1.21. Замыкающий цилиндр 1 содержит электропрово(дящие вставки 2, между которыми расположены изоляционные пе(ремычки 3 (рис. 1.21, а). Изоляционный цилиндр 4 примыкает к

Рис. 1.20. Варианты (а и б) расположения стержней в пазу вторичного эле(мента регулируемого ЛАД:

1 — паз; 2 — изолированные проводники; 3 — пазовый клин

38

рукоятке 5. На рис. 1.21, б по(казан электропроводящий по(луцилиндр 6. Замыкающийцилиндр 1 установлен с воз(можностью поворота вокругсвоей оси и осевого перемеще(ния.

Принцип действия этогоЛАД состоит в следующем.При подключении обмоткииндуктора к источнику трех(фазного напряжения возбужда(ется бегущее магнитное поле,пересекающее электропроводя(щие стержни 2 (см. рис. 1.20)вторичной обмотки и наводя(щее в них электродвижущиесилы. Под действием электро(движущей силы в стержнях 2протекают токи, вступающие

во взаимодействие с бегущим магнитным полем. В результате взаи(модействия создается тяговое усилие, перемещающее индуктор всторону, противоположную направлению перемещения бегущегомагнитного поля. Для увеличения пускового тягового усилия це(лесообразно увеличить активное сопротивление обмотки вторич(ного элемента. Для этого поворачивают цилиндр 6 таким обра(зом, чтобы он замыкал только верхние (или часть их) стержни 2(рис. 1.20, а и б).

Если необходимо еще увеличить пусковое усилие, то цилиндр 6перемещают в продольном направлении таким образом, чтобы егопроводящие части замыкали верхние стержни 2 только одного вер(тикального ряда (см. рис. 1.20 и 1.21). Для регулирования скоростилинейного перемещения вращают рукоятку цилиндра. При этом за(мыкается различное число стержней в каждом пазу вторичногоэлемента, изменяется активное сопротивление обмотки вторич(ного элемента и, следовательно, скорость линейного перемеще(ния. Осевое перемещение цилиндра в сочетании с его вращениемпозволяет замыкать различное число стержней вторичного элемента

Рис. 1.21. Замыкающий цилиндр:1 — замыкающий цилиндр; 2 — элект(ропроводящие вставки; 3 — изоляци(онные перемычки; 4 — изолирующийцилиндр; 5 — рукоятка; 6 — электропро(

водящий полуцилиндр

39

и изменять активное сопротивление обмотки вторичного элементав более широких пределах, тем самым расширяя пределы регулиро(вания скорости линейного перемещения и добиваясь при этом боль(шей плавности.

В последнее время созданы конструкции регулируемых ЛАД длятяговых приводов высокоскоростного транспорта с расширеннымифункциональными возможностями, которые развивают усилия по(перечной самостабилизации экипажа на магнитном подвесе от(носительно его путевой структуры и повышают безопасность дви(жения. Особенностью таких регулируемых линейных асинхрон(ных двигателей является форма пазов сердечников вторичных эле(ментов и соответственно форма стержней короткозамкнутыхобмоток ВЭ. Рассмотрим одну из модификаций подобных регу(лируемых ЛАД.

Линейный асинхронный двигатель (рис. 1.22) содержит индук(тор, состоящий из сердечника 1 и трехфазной обмотки 2. Вторич(ный элемент 3 состоит из сердечника 4, в пазах которого располо(жены один над другим изолированные электропроводящие стерж(ни 5, замкнутые с одной стороны общей электропроводящей ши(ной 6, а с другой стороны — замыкающим цилиндром 7, состоящимиз электропроводящей и изоляционной частей и оборудованнымрукояткой 8. Вторичный элемент регулируемого ЛАД показан схе(матично на рис. 1.23. Видно, что пазы и электропроводящие стерж(ни 1 содержат центральную часть 5 и боковые части 6 и 7.

Рис. 1.22. Регулируемый линейный асинхронный двигатель:1 — сердечник индуктора; 2 — обмотка индуктора; 3 — вторичный элемент;4 — сердечник вторичного элемента; 5 — электропроводящие стержни; 6 —

электропроводящая шина; 7 — замыкающий цилиндр; 8 — рукоятка

40

При подключении трехфаз(ной обмотки 2 к источнику на(пряжения создается бегущеемагнитное поле, пересекающеестержни 5 короткозамкнутойобмотки вторичного элемента инаводящее в них электродвижу(щие силы. Под действием ЭДСв стержнях 5 потекут токи, вза(имодействующие с бегущиммагнитным полем. В результатеэтого взаимодействия создают(ся механические усилия, при(ложенные к центральной и бо(ковым частям вторичного эле(мента. Усилия, приложенные кбоковым частям стержней, раз(лагаются на составляющие: тя(говые и стабилизирующие уси(лия. Тяговые усилия в среднейи боковых частях стержней

складываются и образуют суммарную тяговую силу, приводящую вдвижение вторичный элемент, а одинаковые по величине стабили(зирующие усилия взаимно уравновешивают друг друга и не оказы(вают влияния на движение вторичного элемента при симметрич(ном его расположении относительно индуктора.

При смещении вторичного элемента относительно индуктораЛАД, например влево, часть обмотки вторичного элемента оказы(вается вне пределов индуктора. Поэтому возникающие в результатевзаимодействия бегущего магнитного поля с токами вторичногоэлемента усилия поперечной стабилизации станут неодинаковыми.Под действием разности поперечных усилий вторичный элементЛАД будет автоматически возвращаться в симметричное положе(ние относительно индуктора. Так будет осуществляться автомати(ческая поперечная самостабилизация вторичного элемента отно(сительно индуктора ЛАД. Причем при увеличении поперечногосмещения вторичного элемента пропорционально будет возрас(тать разность поперечных усилий, возвращающих вторичный эле(

Рис. 1.23. Вторичный элемент регули(руемого ЛАД:

1 — электропроводящие стержни; 2 —электропроводящая шина; 3 — замыка(ющий цилиндр; 4 — рукоятка; 5 — цен(тральная часть электропроводящихстержней; 6 и 7 — боковые части элек(

тропроводящих стержней

41

мент в симметричное положение. Вращением замыкающего цилин(дра 7 можно изменять сопротивление короткозамкнутой обмоткивторичного элемента и регулировать тяговую силу, поперечныестабилизирующие усилия и скорость движения линейного асинхрон(ного двигателя.

Разработаны несколько новых вариантов выполнения регулиру(емых тяговых ЛАД, способных развивать усилия поперечной авто(матической самостабилизации высокоскоростного экипажа с маг(нитной левитацией относительно путевой структуры при любомнаправлении движения и создавать повышенные тяговые усилияпри расширении диапазона изменения скорости перемещения(рис. 1.24 и 1.25).

При симметричном расположении индуктора относительно вто(ричного элемента регулируемого ЛАД (рис. 1.24), размещенного натранспортном экипаже, бегущее магнитное поле, пересекая прово(дящие стержни вторичного элемента, индуктирует в них ЭДС итоки. Токи в стержнях ВЭ, взаимодействуя с бегущим магнитнымполем, создают механические усилия, направление действия ко(торых перпендикулярно токам, протекающим в различных участ(ках стержней. Это усилия Fт, F1 и F2 (рис. 1.24). Усилия F1 и F2разлагаются на усилия Fд1 и Fд2, которые складываются с основ(ным тяговым усилием ЛАД Fт и составляют тяговую силу, приводя(щую экипаж ВСНТ в движение, и поперечные усилия F

δ1 и Fδ2,

Рис. 1.24. Симметричное расположение индуктора ЛАД относительно вторич(ного элемента:

1 — индуктор; 2 — замыкающие элементы; 3 — центральные части стержнейВЭ; 4, 6 — боковые прямолинейные части стержней ВЭ; 5, 7 — боковые на(

клонные части стержней ВЭ

42

одинаковые по величине и действующие навстречу друг другу. Присимметричном расположении индуктора ЛАД и ВЭ, размещенногона экипаже ВСНТ, поперечные усилия взаимно уравновешиваютсяи не влияют на движение данного транспортного средства.

Если экипаж ВСНТ, подвешенный в магнитном поле, сместилсявлево относительно индуктора (рис. 1.25), например, под действи(ем сильного бокового ветра, то равновесие поперечных усилий на(рушится и F

δ2 станет больше Fδ1. Под действием разности этих сил

экипаж будет автоматически возвращаться в исходное симметрич(ное положение относительно индуктора ЛАД, выполняющего рольпутевой структуры (рис. 1.24). Это позволяет улучшить поперечнуюдинамику высокоскоростного поезда.

Сопротивление вторичного элемента можно изменять не толькомеханически при изменении положения замыкающего элемента.Такой же результат можно достичь при поочередном замыканииотдельных проводников стержней вторичного элемента с помощью,например, герконов или тиристоров (рис. 1.26). Герконы (герконо(вые реле) легко управляются и очень быстро срабатывают. Совре(менные герконы способны работать при значительных токах. Схе(мы управления пуском в ход и регулированием скорости линей(

Рис. 1.25. Поперечное смещение вторичного элемента относительно индуктора:1 — индуктор; 2 — замыкающие элементы; 3 — центральные части стержнейВЭ; 4, 6 — боковые прямолинейные части стержней ВЭ; 5, 7 — боковые

наклонные части стержней ВЭ

Рис. 1.26. Фрагмент обмотки вторичного элемента регулируемого ЛАД:1 — стержни; 2 — замыкающая шина; 3 — герконы

ного асинхронного двигателя достаточно просты, надежны и могутбыть реализованы на элементной базе, производимой в Россий%ской Федерации.

При подаче сигнала на катушки соответствующих герконовыхреле герконы 3 срабатывают и образуют короткозамкнутую обмот%ку ВЭ с требуемым значением сопротивления. При достаточнобольшом количестве проводников в каждом стержне обмотки вто%ричного элемента их замыкание с помощью электронных устройствобеспечивает высокую степень плавности регулирования скоростидвижения и тягового усилия. Плавность регулирования пусковогои тягового усилия ЛАД резко увеличивается при расположении впазах ВЭ сплошных стержней и плавном замыкании их по высотеподвижным элементом, проводящая часть которого выполнена мед%нографитовой или графитовой. Разработан ряд вариантов инженер%ных решений привода замыкающего элемента, обеспечивающегонадежный контакт между ним и стержнями обмотки вторичногоэлемента.

Разработка и исследование контактных и бесконтактных спосо%бов регулирования сопротивления короткозамкнутых обмоток вто%ричных элементов новых типов линейных асинхронных двигателейв настоящее время продолжаются.

44

Глава 2. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

ПЛОТНОСТИ ТОКА ИНДУКТОРА

ЛИНЕЙНОГО АСИНХРОННОГО ДВИГАТЕЛЯ

ДЛЯ ВЫСОКОСКОРОСТНОГО ТРАНСПОРТА

2.1. Тяговый линейный асинхронный двигательс продольным магнитным потоком

В системах высокоскоростного движения с линейными асинх(ронными тяговыми двигателями в виде вторичного элемента частоиспользуются электропроводящие шины, в качестве которых в рядеслучаев могут выступать рельсы. Путевая структура ВСНТ можетбыть комбинированной и сочетать в себе короткозамкнутую обмот(ку с регулируемым сопротивлением, установленную на участках,прилегающих к станциям, и электропроводящую шину, размещен(

ную на основной части перегона.Токи индуктора ЛАД создают бегу(щее магнитное поле, в результатевзаимодействия которого с токамивторичного элемента создается тя(говое усилие.

Расчет тока в индукторе линей(ного асинхронного двигателя име(ет важное значение для определе(ния тягового усилия высокоскоро(стного наземного транспорта с маг(нитным подвешиванием экипажа.Рассмотрим индуктор ЛАД с про(дольным магнитным потоком с об(моткой, распределенной в его пазах,расположенных перпендикулярнонаправлению движения (рис. 2.1).

Рис. 2.1. Поперечное сечениеиндуктора ЛАД:

1 — индуктор; 2 — сердечник индук(тора; 3 — обмотка индуктора; 4 —электропроводящая часть индукто(ра; 5 — сердечник вторичного эле(

мента; d1 — толщина обмотки

45

В срединной части индуктора полагаем непрерывное распре�деление плотности тока, изменяющееся во времени и в направ�лении движения по синусоидальному закону (рис. 2.2). В этойчасти индуктора присутствует лишь одна составляющая плотно�сти тока, направленная перпендикулярно перемещению бегуще�го магнитного поля. Лобовая часть обмотки моделируется плот�ностью тока, имеющей две составляющие y2 и x2. Таким образом,задача моделирования сводится в данном случае к определениюзаконов изменения указанных выше составляющих плотностейтока.

При составлении модели необходимо учесть выполнение усло�вий непрерывности линий электрического тока. Естественно счи�тать, что y�составляющая плотности тока и в лобовой части обмот�ки синусоидально изменяется в направлении движения; х�состав�ляющая плотности тока в лобовой части обмотки и при соблюде�нии принципа непрерывности линий тока будет изменяться в томже направлении по закону косинуса. На этом основании последнююсоставляющую тока можно представить в виде

1 2sh ch cos ,

хс y c y x t (2.1)

где , — полюсное деление индуктора ЛАД.

Подставляя значение х в уравнение непрерывности линий тока,получим

).sin()chsh(21

txycycyy

(2.2)

Выполнив интегрирование по у, получаем общее выражение дляу�составляющей плотности тока

),sin()shch(321

txcycycy

(2.3)

где с1, с2, с3 — постоянные интегрирования.

В общих выражениях для плотностей токов имеется три произ�вольных постоянных, которые необходимо определить из гранич�ных условий.

46

Первое граничное условие при y = b, δх = 0:

.0chsh21

=α+α bcbc

Второе граничное условие при y = b, δум = δ1м:

.shсhм1321

δ=+α+α cbcbc

Третье граничное условие при y = b1, δу= 0:

.0shсh321=+α+α cbcbc

Система уравнений, позволяющая определить неизвестные кон(станты, имеет следующий вид:

.

0

0

1shch

1shch

0chsh

м1

3

2

1

11

δ=⋅

αα

αα

αα

c

c

с

bb

bb

bb

(2.4)

Решая эту систему уравнений, получим значения постоянных ин(тегрирования

;1)(ch

ch

1shch

1shch

0chsh

1sh0

1sh

0ch0

1

м1

11

1

1м

1 −−α

αδ−=

αα

αα

αα

α

αδ

α

=bb

b

bb

bb

bb

b

b

b

с

;1)(ch

sh

1)(ch

10сh

1ch

00sh

1

м1

1

1

1м

2 −−α

αδ=

−−α

α

δα

α

=bb

b

bb

b

b

b

с

47

.1)(ch

)(ch

1)(ch

0сhсh

shch

0chsh

1

1м1

1

11

1м1м

3 −−α

−αδ=

−−α

αα

δδαα

αα

=bb

bb

bb

bb

bb

bb

с

Составляющие плотности тока в однородной среде, эквивалент(ной лобовым частям обмотки индуктора, после ряда несложныхупрощений можно записать в виде

);cos(1)(ch

)(sh

1

м12

txbb

byх

ω−α−−α

−αδ−=δ (2.5)

).sin(1)(ch

)](sh)(ch[

1

1м12

txbb

bybbу

ω−α−−α

−α−−αδ=δ (2.6)

Путем прямой подстановки нетрудно убедиться, что полученныевыражения для плотности тока удовлетворяют условиям непрерыв(ности линии тока, поскольку

);sin(1)(ch

)(sh

1

м1 txbb

by

хх

ω−α−−α

−ααδ=

∂

δ∂ (2.7)

).sin(1)(ch

)(sh

1

м1 txbb

by

уу

ω−α−−α

−ααδ−=

∂

δ∂

(2.8)

Достоверность выражений (2.5) и (2.6) подтверждается путемопределения интегральных значений токов в отдельных областяхмодели обмотки индуктора в соответствии с рис. 2.1 и рис. 2.2.

Ток, протекающий в срединной части индуктора в пределах поло(вины полюсного деления перпендикулярно направлению движения,

,sin 1м12

0

2

01м112 π

τδ=αδ=δ= ∫ ∫

τ τ

dxdxddxdI

у (2.9)

где τ — полюсное деление индуктора ЛАД;d1 — толщина обмоточного слоя.

48

Ток, протекающий в лобовой части обмотки индуктора парал(лельно направлению движения,

.1)(ch

)(sh1 11м1

11м112∫ ∫

π

τδ−=

−−α

−α−δ=δ=

b

b

b

bx

ddу

bb

byddуdI (2.10)

Эти токи по величине, как и следовало ожидать, оказались оди(наковыми, а их направления определяются типом обмотки индук(тора.

Полученные соотношения позволяют более точно рассчитыватьтяговое усилие ЛАД для высокоскоростного транспорта, так какпоявилась возможность учета дополнительных тяговых и тормоз(ных усилий, возникающих при взаимодействии токов лобовых час(тей с токами в электропроводящей части вторичного элемента.

2.2. Линейный асинхронный двигатель с поперечныммагнитным потоком

Выше приведены соотношения для расчета плотностей тока ин(дуктора линейного асинхронного двигателя с продольным магнит(ным потоком. Для высокоскоростного транспорта с магнитнымподвешиванием экипажа наиболее перспективны ЛАД с попереч(ным магнитным потоком (ЛАДПП), т.е. тяговые двигатели, у кото(рых силовые линии магнитного поля замыкаются в направлении,поперечном направлению перемещения экипажа.

Рис. 2.2. Схема расположения то(ковых зон индуктора линейногоасинхронного двигателя с про(

дольным магнитным потоком:2b — ширина средней части ин(дуктора; 2b1 — общая ширинаиндуктора; 2bл — ширина лобо(

вой части обмотки

49

Линейный асинхронный дви(гатель с поперечным магнитнымпотоком способен развивать ско(рость 350—500 км/ч при промыш(ленной частоте тока, так как дли(на пути, по которому замыкаетсямагнитный поток, не зависит отвеличины полюсного деления ин(дуктора. Упрощенная конструк(тивная схема ЛАД с поперечныммагнитным потоком представленана рис. 2.3. Схема расположениятоковых зон индуктора ЛАД с по(перечным магнитным потоком(ЛАДПП) показана на рис. 2.4.

Рассмотрим наиболее общийслучай, при котором (рис. 2.4)

b1и ≠ b3и – b2и.

Рис. 2.3. Поперечное сечение ин(дуктора ЛАД с поперечным магнит(

ным потоком:1 — индуктор; 2 — сердечник индук(тора; 3 — обмотка индуктора; 4 —электропроводящая часть вторич(ного элемента; 5 — сердечник вто(

ричного элемента

Рис. 2.4. Схема расположения токовых зон индуктора линейного асинхронно(го двигателя с поперечным магнитным потоком:

2b — ширина рабочей зоны индуктора; 2b3и — ширина индуктора; 2b1л — ши(рина лобовой части

50

Общее выражение плотностей токов в лобовых частях обмоткикак во внешней, так и в ее срединной части представляем в виде,аналогичном выражению для двигателя с продольным магнитнымпотоком:

).)sin(shch(

);)cos(chsh(

321

21

txcycyс

txycyс

y

х

ω−α+α+α=δ

ω−αα+α=δ

(2.11)

Рассмотрим сначала срединную часть двигателя, характеризуе(

мую размером b1и. Выполнение граничных условий ,00=δ

=уу

,01

=δ=bух

)sin(м1

1

txbуу

ω−αδ=δ=

приводит к следующей системе

уравнений:

.0

0

1shсh

0сhsh

101

м13

2

1

и1и1

и1и1δ

=⋅

αα

αα

с

с

с

bb

bb (2.12)

Решая эту систему уравнений, находим значения постоянныхинтегрирования для срединной зоны индуктора ЛАД:

;1сh

сh

1shch

0chsh

101

1sh

0ch0

100

и1

и1м1

и1и1

и1и1

и11м

и1

1 −α

αδ−=

αα

αα

αδ

α

=b

b

bb

bb

b

b

с

;1сh

sh

и1

и1м12 −α

αδ=

b

bс

.1сh

сh

и1

и1м13 −α

αδ=

b

bс

51

Распределение плотностей тока в срединной лобовой части рас�пределенной обмотки индуктора линейного асинхронного двигате�ля с поперечным магнитным потоком аналитически может бытьпредставлено в виде двух компонент плотности тока, протекающе�го в сплошной проводящей среде, по своим размерам равной сре�динной лобовой части обмотки:

1м 1и

1и

sh ( )cos( );

ch 1xс

y bx t

b

1м 1и 1и

1и

[ch ch ( )]sin( ).

ch 1ус

b b yx t

b

(2.13)

Во внешней лобовой части для плотностей тока обмотки спра�

ведливы следующие граничные условия: 0и3

уb, ,0

2и

bух

).sin(м1

и2

txbуу

Они необходимы для определения посто�

янных с1, с2, с3 при решении системы уравнений (2.11).При этом получаем систему уравнений, определяющих неизвес�

тные постоянные с1, с2, с3:

.

0

0

0сhsh

1shсh

1shсh

м1

3

2

1

и2и2

и2и1

и2и2

с

с

с

bb

bb

bb

(2.14)

Решение системы уравнений (2.14) имеет вид

;1)(сh

сh

1сhsh

0shсh

1shсh

0sh0

1сh

1sh0

и2и3

и2м1

и2и2

и2и2

и3и3

и2

и21м

и3

1

bb

b

bb

bb

bb

b

b

b

с

52

;1)(сh

sh

и2и1

и2м12 −−α

αδ=

bb

bс

.1)(сh

)(сh

и2и3

и2и3м13 −−α

−αδ=

bb

bbс

Таким образом, внешние лобовые части распределенной обмот(ки индуктора могут быть смоделированы сплошной средой с темиже геометрическими размерами и циркулирующими в ней токами,плотность которых аналитически представляется в виде двух ком(понент по осям x — δхbи у — δуb:

[ ]

−−α

−α−−αδ=δ

ω−α−−α

−αδ−=δ

.1)(ch

)(ch)(ch

);cos(1)(ch

)(sh

и2и3

и2и2и3м1

и2и3

и2м1

bb

bybb

txbb

by

yb

хb

(2.15)

На практике, как правило, лобовые части обмотки линейногоасинхронного двигателя с поперечным магнитным потоком выпол(няются одинаковыми как в срединной, так и во внешней областях.В связи с этим в приведенных выше выражениях для плотностейтоков справедливо выражение

.и1и2и3

bbb =−

При этом расчетные формулы становятся практически одинако(выми. Различия между ними в этом случае определяются лишь раз(ным расположением этих областей относительно осей координат:

[ ]

−α

−α−−αδ=δ

ω−α−α

−αδ−=δ

.1ch

)(ch)(ch

);cos(1ch

)(sh

и1

и2и2и3м1

и1

и2м1

b

bybb

txb

by

yb

хb

(2.16)

53

Математическая модель для определения плотности тока ин�дуктора ЛАД с поперечным магнитным потоком составлена такимобразом, что, задавая размеры индуктора, например его полюсноеделение и вылет лобовых частей, можно получить общеприня�тую модель распределения плотности тока в лобовых частях об�мотки, приняв, например, относительное значение вылета лобо�

вых частей .5,0л1

b

Рассчитаем плотности тока в индукторе линейного асинхронно�го двигателя с поперечным магнитным потоком. Для общности ре�зультатов расчет выполним в относительных единицах. Расчетныеформулы для плотностей токов получаем в виде

* *

* * * *sh (1 ) ch ch (1 )

2 2 2cos ; sin ,ch 1 ch 1

2 2

xс ус

y yx x

где .;;;л1

**

м1

*

м1

*

b

уу

ххус

усхс

хс

Расчет выполнен для срединной части ЛАД с поперечным маг�нитным потоком (ЛАДПП). Результаты представлены в табл. 2.1—2.3 и графически на рис. 2.5 и рис. 2.6.

Таблица 2.1Относительные значения у�составляющей плотности тока

в лобовой срединной части обмотки индуктора ЛАДПП

54

Таблица 2.2Относительные значения х�составляющей плотности тока

в лобовой срединной части обмотки индуктора ЛАДПП

Таблица 2.3Относительные значения плотности тока

в лобовой срединной части обмотки индуктора ЛАДПП

Значения плотности тока во внешних лобовых частях определя�ются с учетом того, что обычно b1л = b1и. Тогда формулы для ихрасчета становятся практически такими же, как формулы (2.16), изначения плотности тока во внешних лобовых частях обмотки ин�дуктора будут определены на основе симметрии.

Анализ реализации математической модели распределения плот�ности тока в лобовых частях обмотки индуктора ЛАДПП позволя�ет сделать выводы:

1. Составляющая плотности тока у

в лобовых частях обмоткииндуктора ЛАД с поперечным магнитным потоком по оси у возрас�тает с уменьшением полюсного деления (при увеличении х*). Вы�полненные расчеты показали, что если х*=1, то: 1

ус при у*=1 и

35,0ус

при у*=0,2.

55

2. Составляющая плотности тока в лобовых частях обмотки ин�дуктора ЛАД с поперечным магнитным потоком по оси у увели�чивается при возрастании длины вылета лобовых частей. Причеммаксимальное значение она имеет при меньшем значении полюс�

ного деления, так, если y*=1, то: 97,0у

при х*=0,5 и 32,0у

при х*=0,1.

3. Составляющая плотности х

тока в лобовых частях обмоткииндуктора линейного асинхронного двигателя с поперечным маг�нитным потоком по оси x уменьшается при уменьшении величиныполюсного деления. Наибольшее значение

х приобретает в цент�

ре сердечника индуктора (в начале координат): 52,1х

при у*=0

и 2,0х

при у*=0,8.

4. Составляющая плотности тока в лобовых частях обмотки ин�дуктора ЛАД с поперечным магнитным потоком снижается приуменьшении длины вылета лобовых частей (при увеличении у*).

Рис. 2.5. Распределение у�составля�ющей плотности токов в индукторе

ЛАДПП

Рис. 2.6. Распределение х�составля�ющей плотности токов в индукторе

ЛАДПП

56

Максимальное значение ∗δ

хс достигается при у*=0. Расчеты по(

казали, что

54,1=δ∗

хс при у*=0 и х*=0; 48,0=δ

∗

хс при у*=0 и х*=0,4.

5. Токи в лобовых частях обмотки индуктора создают бегущиемагнитные поля, взаимодействующие с токами во вторичном эле(менте, ими индуктированными. При взаимодействии магнитныхпотоков, созданных у(составляющими токов в лобовых частях, стоками вторичного элемента создаются дополнительные тяговыеусилия ЛАД. В результате взаимодействия магнитных потоков, со(зданных х(составляющими токов в лобовых частях обмотки индук(тора ЛАД с поперечным магнитным потоком, с токами вторичногоэлемента создаются дополнительные усилия магнитного подвеса.Так, если при проектировании линейного асинхронного двигателядля системы высокоскоростного наземного транспорта следует уве(личить тяговое усилие, то нужно увеличить длину вылета лобовыхчастей, а для увеличения усилия магнитного подвеса в собственноммагнитном поле следует уменьшать длину вылета лобовых частей.

57

Глава 3. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

ТОКОВ ВО ВТОРИЧНОМ ЭЛЕМЕНТЕ

ЛИНЕЙНОГО АСИНХРОННОГО ДВИГАТЕЛЯ

С ПРОДОЛЬНЫМ МАГНИТНЫМ ПОТОКОМ

ДЛЯ ВЫСОКОСКОРОСТНОГО ТРАНСПОРТА

3.1. Постановка задачи и составление уравнений

Необходимость расчета токов во вторичном элементе линейногоасинхронного двигателя диктуется тем, что их величина и направ(ление определяют тяговые усилия двигателя, степень нагрева вто(ричного элемента и возника(ющие поперечные усилия.

Представим двигатель, учи(тывая его симметрию, в видедвух зон (рис. 3.1). Магнитнуюиндукцию в области 1, нахо(дящейся непосредственно подиндуктором, примем неиз(менной в направлении оси у,перпендикулярной направле(нию движения. Выражение длямагнитной индукции в этойобласти может быть записанов следующем виде:

).cos(м1z

txBB ω−α−= (3.1)

Магнитная индукция в об(ласти 2 может быть представ(лена следующим выражением:

Рис. 3.1. Векторы плотностей токов во вто(ричном элементе линейного асинхронно(

го двигателя с продольным потоком:b — полуширина индуктора; b2 — полу(

ширина вторичного элемента

58

),cos(м2z

txeBB

yb

ω−λ−= ∆

−

(3.2)

где ∆ — величина немагнитного зазора.

Предполагая, что магнитная индукция имеет лишь составляю(щие, перпендикулярные плоскости вторичного элемента, распре(деления плотности тока во вторичном элементе рассчитаем с помо(щи уравнений Максвелла:

;rott

B

∂

∂γ−=δ (3.3)

,0div =δ (3.4)

где γ — электропроводность вторичного элемента.

Эти уравнения применим для каждой из областей. В области 1после подстановки выражения для магнитной индукции в уравне(ния Максвелла и представления ротации и дивергенции в осях дву(мерной системы координат получим следующие уравнения для со(ставляющих плотности тока во вторичном элементе:

.0

);sin(

11

м11

=∂

δ∂+

∂

δ∂

ω−αγω−=∂

δ∂−

∂

δ∂

yx

txByx

ух

ху

(3.5)

Дифференцируя первое уравнение системы (3.5) по у, а второе —по х и вычитая из второго уравнения первое, получим уравнение длях(составляющей плотности тока в области 1 вторичного элемента

.02

12

21

2

=

∂

δ∂+

∂

δ∂

yxхх (3.6)

Аналогично получим уравнение для у(составляющей в области 1вторичного элемента

).cos(м2

12

21

2

txByx

ууω−ααγω=

∂

δ∂+

∂

δ∂ (3.7)

59

Система уравнений Максвелла для области 2 вторичного элемен(та имеет следующий вид:

.0

);sin(

22

м22

=∂

δ∂+

∂

δ∂

ω−αωγ=∂

δ∂+

∂

δ∂∆

−

yx

txeByx

ух

хуyb

(3.8)

Выполняя преобразования, подобные тем, которые были выпол(нены для области 1, получим уравнения для соответствующих со(ставляющих плотности тока области 2 вторичного элемента

).cos(

);sin(

м22

2

22

2

м2

22

22

2

txeByx

txeB

yx

yb

yb

уу

хх

ω−ααωγ=∂

δ∂+

∂

δ∂

ω−α∆

ωγ=

∂

δ∂+

∂

δ∂

∆

−

∆

−

(3.9)

Итак, получены четыре уравнения, определяющие распределе(ние плотности тока во вторичном элементе линейного асинхрон(ного двигателя с продольным замыканием магнитного потока:

).cos(

);sin(

);cos(

;0

м22

2

22

2

м2

22

22

2

м21

2

21

2

21

2

21

2

txeByx

txeB

yx

txByx

yx

yb

yb

уу

хх

уу

хх

ω−ααωγ=∂

δ∂+

∂

δ∂

ω−α∆

ωγ=

∂

δ∂+

∂

δ∂

ω−ααγω=∂

δ∂+

∂

δ∂

=∂

δ∂+

∂

δ∂

∆

−

∆

− (3.10)

60

3.2. Решение дифференциальных уравненийплотности тока во вторичном элементе

Для решения системы уравнений (3.10) используем круговые игиперболические тригонометрические функции, как в методе раз(деления переменных для уравнений в частных производных, с пос(ледующим учетом краевых условий. Общее выражение для х(состав(ляющей плотности тока в области 1 имеет вид

).(sh11

txyAnх

ω−αα=δ (3.11)

Прямой подстановкой в первое уравнение системы (3.10) легкоубедиться в правильности этого частного решения уравнения.

Общее выражение для у(составляющей плотности тока в облас(ти 1 вторичного элемента представляется в виде

).cos()ch(521

txcyAnу

ω−α−α=δ (3.12)

Подставляя это выражение во второе уравнение системы (3.10),находим значение неизвестной постоянной интегрирования

,м5

α

ωγ=

Bс (3.13)

где γ — электропроводность вторичного элемента;Вм — амплитудное значение магнитной индукции;ω — угловая частота.

Составляющая плотности тока по оси х в области 2 в общемвиде может быть представлена следующим образом:

).sin()(ch

632txecyA

yb

nхω−α

+β+α=δ ∆

−

(3.14)

Подставляя значение δх2 из (3.14) в третье уравнение системы(3.10), находим значение неизвестной постоянной интегрирования

,1 22

м6

∆α−

∆ωγ=

Bс (3.15)

где ∆ — величина немагнитного зазора.

61

Для у(составляющей плотности тока в области 2 вторичного эле(мента получим следующее выражение:

).cos()(sh

742txecyA

yb

nуω−α

+β+=δ ∆

−

(3.16)

Путем подстановки этого выражения в четвертое уравнение си(стемы (3.10) получаем значение неизвестной постоянной интегри(рования

.1 22

2м

7∆α−

∆αωγ=

Bс (3.17)

Итак, система уравнений (3.10) имеет следующие решения, ко(торые содержат ряд неизвестных, подлежащих определению из дру(гих дополнительных условий

).cos()(sh

);sin()(ch

);cos()ch(

);(sh

742

632

521

11

txecyA

txecyA

txcyA

txyA

yb

nу

yb

nх

nу

nх

ω−α

+β+=δ

ω−α

+β+α=δ

ω−α−α=δ

ω−αα=δ

∆

−

∆

−

(3.18)

Величина β введена в выражения для плотности токов вторич(ного элемента в области 2 с тем, чтобы стало возможным выполне(ние граничного условия, по которому у(компонента плотности токаво вторичном элементе равна нулю при у = b2. Величину β в после(дующем определяют так же, как и величины А1, А2, А3, А4. Для ихопределения необходимо иметь всего пять уравнений.

Отсутствие источников питания во вторичной части уравненийприводит для области 1 к следующему соотношению:

.011=

∂

δ∂

+∂

δ∂

yxух (3.19)

62

После подстановки значений плотности тока в области 1 вторич(ного элемента в уравнение (3.19) и выполнения элементарных опе(раций получаем первое из искомых уравнений

.21 nn

AА −= (3.20)

Аналогичное соотношение выполняется и для области 2 вторич(ного элемента

.022=

∂

δ∂

+∂

δ∂

yxух

(3.21)

После ряда элементарных преобразований получим второе урав(нение для определения неизвестных постоянных

.43 nn

AА −= (3.22)

Каждая из составляющих плотности тока сохраняет свое значе(ние при переходе из области 1 в область 2. Применительно к х(со(ставляющей плотности тока выполнение этого требования приво(дит к следующему соотношению, которое и является третьим урав(

нением системы

δ=δ

== bух

bух 21

:

.1

)(chsh22

м31

∆α−

∆ωγ+β+α=α

BbAbA

nn (3.23)

Равенство у(составляющих плотности тока областей 1 и 2 на их

границе дает четвертое уравнение

δ=δ

== bуу

bуу 21 :

.ch1

)(sh м222

2м

4 α

ωγ−α=

∆α−

∆αωγ+β+α

BbA

BbA

nn (3.24)

Пятое уравнение получается из условия :02

=δ

=bуу

.01

)(sh2

22

2м

24=

∆α−

∆αωγ+β+α ∆

−bb

ne

BbA (3.25)

63

Итак, система из пяти уравнений для определения пяти неизве(стных постоянных интегрирования сводится к трем уравнениям стремя неизвестными путем учета соотношений (3.20) и (3.22):

.01

)(sh

;)1(

)(shch

;1

)(сhsh

2

22

2м

24

22м

41

22м

41

=∆α−

∆αωγ+β+α

∆α−α

ωγ−=β+α+α

∆α−

∆ωγ=β+α+α

∆

−bb

n

nn

nn

eB

bA

BbAbA

BbAbA

(3.26)

Решение системы уравнений (3.26) выполняется в три приема.Во(первых, рассматривая первые два уравнения этой системы, оп(ределяем из них А1n и А4n как функции величины β. Умножая пер(вое уравнение на chβb, а второе на –shβb и складывая их, получаем

.sh1

ch1

)](shsh)(chch[22

м4

α

α+α∆

∆α−

ωγ=β+αα−β+αα bb

BbbbbA

n

После ряда элементарных преобразований получаем величинуА4n, необходимую для определения амплитуды искомой плотнос(ти тока

.)ch1(

sh1

ch

22

м

4 b

bbB

An α∆α−

α

α+α∆ωγ

= (3.27)

Во вторых, умножая первое уравнение на shα(b+β), а второе наchα(b+β) и складывая их, будем иметь

.)(ch1

)(sh1

)](chch)(shsh[

22м

1

β+α

α+β+α∆

∆α−

ωγ=

=β+αα−β+αα

bbB

bbbbAn

Отсюда находим вторую неизвестную величину, необходимую дляопределения амплитуды плотности тока во вторичном элементе

64

.thsh1

сhch1

sh1 22

м1

α

α

α+αβ∆+α

α+α∆

∆α−

ωγ−= bbbb

BA

n (3.28)

Величина β определяется из третьего уравнения системы (3.26)путем подстановки в него значения А4

.01ch

)(sh

1

sh1

ch

22

2м2

22

м

2

=∆α−

∆αωγ+

α

β+α⋅

∆α−

α

α+α∆ωγ

∆

−bb

eB

b

bbbB

Полученное соотношение дает возможность определить искомуювеличину β путем последовательных преобразований

;

sh1

chch

expthth

2

22

2

α

α+α∆α

∆

−∆α

−α−=αβbbb

bb

b (3.29)

.

sh1

chch

exptharth

1

2

22

2

α

α+α∆α

∆

−∆α

−α−α

=βbbb

bb

b (3.30)

Итак, имеем систему уравнений, определяющую плотности токаво вторичном элементе ЛАД

]

);sin(sh

thsh1

сhch1

sh1 22

м1

txy

bbbbB

х

ω−αα×

×α

α

α+αβ∆

+α

α+α∆

∆α−

ωγ−=δ

(3.31)

(

);cos(1

chthsh1

сhch1

sh1

22

22м

1

txybb

bbB

у

ω−α

α∆α−

−α⋅

α

α

α+

+αβ∆

+α

α+α∆

∆α−

ωγ=δ

(3.32)

65

);sin(ch

)(chsh

1ch

1 22м

2txe

ybb

Byb

х

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛

(3.33)

).cos(ch

)(shsh

1ch

1

222

м2

txey

bbB

yb

у

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛

(3.34)

При практической реализации математического моделирования,как правило, нет необходимости исключать из рассмотрения пу�тем подстановки ее значения в выражение для А1n и А4n. Значитель�но проще предварительно вычислять вспомогательную величину ,а затем ее значение подставлять в другие соотношения.

3.3. Анализ полученных расчетных соотношений

Полученные формулы (3.31)—(3.34) преобразуем следующимобразом. В каждое из этих выражений включим значение из фор�мулы (3.30), подставляя величину в выражение (3.32), и после уп�рощений получим

м1 22 2

2 2 22 м

2 22

2 22 222

2 2

1 1sh ch сh sh th

1

1exp ch cos( )

сh 1

sh ( ) expch ( )1 1ch

ch ch

у

Bb b b b

b b By x t

b

b bb bb b

yb b

⎧⎡ ⎛ ⎪ ⎛ ⎞⎢ ⎜ ⎨ ⎜ ⎟⎜ ⎢ ⎝ ⎠ ⎪ ⎝⎣⎩

⎤ ⎞ ⎫ ⎪⎥ ⎟ ⎬⎟ ⎥ ⎪⎭⎠ ⎦

⎧ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎨ ⎢ ⎥

⎢ ⎥⎣ ⎦

cos( ).x t

⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎬⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭

Аналогичное выражение для у�составляющей плотности тока,приводимое проф. П.К. Будигом, представим следующим образом:

66

).cos(1chch

)(ch)cos(

1ch)th)(th1(

ch

2м

2

мв1

txyb

bbBtx

bbbb

yBу

ω−α

−α

α

−α

α

ωγ=ω−α×

×

−

αα−α+α

α

ωγ=δ

Таким образом, становится возможным сравнение расчетныхформул, определяющих у(компоненту плотности тока в той частивторичного элемента ЛАД, которая расположена непосредственнопод индуктором и, главным образом, определяет величину тягово(го усилия ЛАД:

).cos(

1

1ch

ch)1(

exp)(sh

1

м

222

222

222

22в1

1

txB

yb

bbbb

уу

ω−αωγ×

×

∆α∆α−

−αα∆α−

∆

−∆α+−α∆

−∆α−

δ=δ

(3.35)

Аналогично производим сравнение х(компоненты плотноститока вторичного элемента в зоне, расположенной под индуктором:

).sin(shch)1(

exp)(sh

1

);sin(shch

)(ch

)sin(shch]th)(th1[

11

222

222

22в1

1

2

2м

2мв1

txyb

bbbb

txyb

bbB

txybbbb

B

хх

х

ω−ααα∆α−

∆

−∆α+−α∆

+∆α−

δ=δ

ω−ααα

−α

α

ωγ−=

=ω−αααα−α+α

ωγ−=δ

(3.36)

Соотношения (3.35) и (3.36) позволяют оценить погрешности,которые возникают при использовании формул, предложенныхпрофессором Будигом. Однако определить эти погрешности в об(щем виде достаточно трудно. Поэтому значительно более наглядноиспользование числовых примеров.

67

Расчеты выполнены для 27 вариантов исполнения линейныхасинхронных двигателей. Девять основных вариантов полученыпутем варьирования полюсного деления, ширины индуктора и ши(рины вторичного элемента. Дополнительные варианты получают(ся в результате рассмотрения разных возможных немагнитных за(зоров.

Первый вариант расчета предназначен для высокоскоростныхдвигателей с синхронной скоростью 300 м/с и промышленной час(тотой источника питания. Полюсное деление соответственно со(ставляет τ=3 м. Ширина индуктора 2b=6 м, или 2b=3 м, или 2b=0,6м. Для каждого значения ширины индуктора приняты соразмерныезначения ширины вторичного элемента 2b2=7,5 м, или 2b2=3,75 м,или 2b2=0,75 м. Каждый вариант содержит подварианты, получае(мые путем варьирования немагнитного зазора в следующих преде(лах: ∆=0,01 м, ∆=0,05 м, ∆=0,1 м.

Второй вариант расчета выполнен для двигателей с синхроннойскоростью 100 м/с. Полюсное деление τ =1 м. Ширина индуктора2b=2 м, или 2b=1 м, или 2b=0,2 м. Ширина вторичного элемента2b2 =2,5 м, или 2b2 =1,25 м, или 2b2 =0,25 м. Значения немагнитно(го зазора приняты те же, что и в первом варианте.

Третий вариант расчета произведен для сравнительно низко(скоростного двигателя, синхронная скорость которого составля(ет 10 м/с. Выбраны три значения ширины индуктора b =0,1 м,или b =0,05 м, или b =0,01 м. Соответственно этому принята ши(рина вторичного элемента b2 =0,125 м, или b2=0,0625 м, или b2 ==0,0125 м. В каждом из трех вариантов рассматриваются подва(рианты со значениями немагнитного ∆=0,005 м, или ∆=0,01 м,или ∆=0,03 м.

Наряду с этим проведены расчеты для плотности тока во вто(ричном элементе тех же двигателей способом, предложенным проф.Будигом. Расчетные формулы в этом случае не зависят от немагнит(ного зазора, так как в них не учитывается влияние первичного кра(евого эффекта. По этой причине число рассмотренных вариантовменьше в три раза (9 вариантов).

Приводимые данные позволяют получить непосредственно вчислах расчетные формулы для плотности тока во вторичном эле(менте, что позволит сопоставить формулы профессора Будига с пред(

68

лагаемыми уточнениями. Например, для двигателя с полюсным де(лением τ=1 м, шириной индуктора 2b=2 м и шириной вторичногоэлемента 2b2=2,5 м по методу профессора Будига получим следую(щее соотношение:

).cos()3183,0сh0166,0(м1

txyBy

ω−α−αωγ=δ

Для этого же варианта исполнения двигателя получим уточнен(ные выражения плотности тока во вторичном элементе в зависи(мости от немагнитного зазора:

).cos()3183,0сh0143,0(,м1,0

);cos()3183,0сh0148,0(,м05,0

);cos()3183,0сh0156,0(,м01,0

м1

м1

м1

txyB

txyB

txyB

y

y

y

ω−α−αωγ=δ=∆

ω−α−αωγ=δ=∆

ω−α−αωγ=δ=∆

Расчет токов во вторичном элементе второго варианта двигателя,имеющего полюсное деление τ=0,1 м, ширину индуктора 2b=0,2 м,ширину вторичного элемента 2b2=0,25 м, методом проф. Будигавыполним по формуле

).cos()03183,0сh00166,0(м1

txyBy

ω−α−αωγ=δ

Уточненные выражения плотности тока для второго вариантаимеют следующий вид:

).cos()03183,0сh00147,0(м,03,0

);cos()03183,0сh00154,0(,м01,0

);cos()03183,0сh00158,0(,м005,0

м1

м1

м1

txyB

txyB

txyB

y

y

y

ω−α−αωγ=δ=∆

ω−α−αωγ=δ=∆

ω−α−αωγ=δ=∆

По аналогии можно получить выражения для плотности токаво вторичном элементе двигателя применительно к другим вари(антам его исполнения. Подобным образом получаются форму(лы, с помощью которых можно определить другие компонентыплотности тока как в зоне действия индуктора, так и вне этойзоны.

69

3.4. Расчет и построение линий тока во вторичномэлементе линейного асинхронного электродвигателя

Необходимость построения линий токов во вторичном элементелинейного двигателя возникает при детальном изучении его энер(гетических и тяговых свойств. Анализ распределения токов во вто(ричном элементе дает возможность произвести правильный выборрационального варианта исполнения рассматриваемого линейногоэлектродвигателя. Величина вторичного тока, протекающего черезэлементарную площадку, определяется следующим скалярным про(изведением:

.cosм2

αδ=δ= dssddI (3.37)

На рис. 3.2 представлена часть вторичного элемента линейногодвигателя. При расчете линий тока принято выбирать площадки восновном в плоскостях, перпендикулярных оси y. Такой выбор пло(щадок упрощает расчет токов. Ток, проходящий через элементар(ную площадку, можно определить следующим образом:

.м2

dsdIy

δ=

Это соотношение составляет основу дальнейших расчетов припостроении линий тока. Общий порядок определения линий токасостоит в следующем: вначалерассчитывается амплитуда вто(ричного тока, затем производит(ся выбор числа линий тока, пос(ле чего, задаваясь значениями у,определяют по имеющимся со(отношениям значения х, соот(ветствующие линиям раздела от(дельных участков, заключающихв себе равные токи. Ниже при(менение этой методики иллюст(рируется конкретными числовы(ми примерами.

Числовые примеры выбранытаким образом, чтобы можнобыло произвести сопоставление

Рис. 3.2. Трубка тока во вторичномэлементе линейного асинхронногодвигателя с продольным потоком

70

результатов, полученных по методу проф. Будига и по уточненнойпредлагаемой методике, а также сопоставить двигатели, имеющиеразное отношение ширины к длине.

В качестве первого числового примера при моделировании рас(сматривается определение токов во вторичном элементе линейно(го асинхронного двигателя с продольным замыканием магнитно(го потока, имеющего полюсное деление τ=1 м, ширину индуктора2b=1 м и ширину вторичного элемента 2b2=1,25 м. Произведем рас(чет методом проф. Будига и уточненным предлагаемым способом.

Используя результаты, полученные в предыдущем разделе, най(дем расчетные формулы плотностей токов по методу проф. Будига:

),cos()625,0(sh2,19

);sin()625,0(ch2,19

);cos()83,31ch45,9(

);sin(sh45,9

2

2

1

1

txyA

txyA

txAy

txyA

y

x

y

x

ω−α−α−=δ

ω−α−α−=δ

ω−α−α=δ

ω−αα−=δ

где А = 0,001Вмγω.Амплитуду тока вторичного элемента можно определить двумя

способами. Во(первых, ее можно определить в сечении вторичногоэлемента плоскостью, перпендикулярной оси у и проходящей че(рез начало координат, на участке варьирования координаты х отнуля до половины полюсного деления.

.A1,7cos)83,3145,9(

5,0

0

5,0

00/1м2

−=α−=δ= ∫∫ =

xdxAdxIуу

Расчет производится для t=0.Во(вторых, ее можно определить в сечении вторичного элемента

плоскостью, перпендикулярной оси х и проходящей через точку(0,5; 0), на участке варьирования координаты у от нуля до величи(ны, равной половине ширины вторичного элемента:

.A07,7)625,0(ch2,19sh45,9

625,0

5,0

5,0

0м2

−=−α−+α−= ∫∫ dyyAydyAI

71

Второй вариант расчета выполнен с целью проверки правильно�сти предыдущего. Совпадение оказывается вполне удовлетворитель�ным.

Задавшись величиной тока между двумя соединительными ли�ниями тока, равной –Аn, составляем уравнение искомой линиитока

,sin83,31ch45,9

cos)83,31ch345(00

1x

yxdxydxnA

xx

у

∫∫

где n — номер силовой линии тока.

Определяем из него координату х

1arcsin .

9,45ch 31,83

Anx

y

⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦

Задавая значения у в пределах от 0 до 0,5, находим соответству�ющие значения х. Результаты расчетов представлены в табл. 3.1.

Таблица 3.1Результаты расчета линий тока вторичного элемента

линейного асинхронного двигателя

Характерные точки линий тока при х =0,5 получаются из тогоже соотношения. Они приведены в табл. 3.2.

Таблица 3.2Ординаты линий тока для характерных точек при х=0,5

72

Подобным образом получаем уравнение линий тока для области2 вторичного элемента

.)625,0(sh2,19

)(arcsin

1

−α

−α

α=

y

Anx

На основании этих расчетов составлена табл. 3.3.Таблица 3.3

Координаты точек линий тока в области 2 вторичного элемента линейногоасинхронного двигателя

Выполненные расчеты позволили построить кривые токов вто(ричного элемента. На рис. 3.3 они представлены сплошными ли(ниями.

Плотности тока, рассчитанные по уточненному методу, зависятот величины немагнитного зазора.

При немагнитном зазоре ∆=0,01 м выражения для токов имеютвид

);sin(01,0

5,0exp001,1)625,0(ch88,20

);cos()83,31ch42,9(

);sin(sh42,9

2

1

1

txAy

y

txAy

txyA

х

y

х

ω−α

−−−α−=δ

ω−α−α=δ

ω−αα−=δ

).cos(01,0

5,0exp0314,0)625,0(sh88,20

2txA

yy

уω−α

−+−α=δ

Для того же двигателя при наличии немагнитного зазора ∆=0,05 мвыражения для плотности тока приобретают следующий вид:

);cos()83,31ch17,9(

);sin(sh17,9

1

1

txAy

txyA

у

х

ω−α−α=δ

ω−αα−=δ

73

).cos(05,0

5,0exp805,0)626,0(sh13,24

);sin(05,0

5,0exp126,5)626,0(ch13,24

2

2

txAy

y

txAy

y

у

х

ω−α

−+−α=δ

ω−α

−−−α−=δ

В случае немагнитного зазора ∆=0,1 м плотности тока во вто(ричном элементе представляются следующим образом:

).cos(1,0

5,0exp48,3)636,0(sh03,29

);sin(1,0

5,0exp09,11)638,0(ch03,29

);cos()83,31ch04,9(

);sin(sh04,9

2

2

1

1

txAy

y

txAy

y

txAy

txyA

у

х

у

х

ω−α

−−−α=δ

ω−α

−−−α−=δ

ω−α−α=δ

ω−αα−=δ

Методика расчета линий тока по уточненному методу та же са(мая. Результаты расчета для зазора ∆=0,01 м совпадают с тем, чтополучено по методу проф. Бу(дига. Штриховыми линиями нарис. 3.3 показаны линии тока,полученные уточненным мето(дом для немагнитного зазора∆=0,05 м. Наибольшее разли(чие составляет 8,5 %.

Тем же способом расчеталиний тока получена картинаих распределения примени(тельно к двигателю, в котором

Рис. 3.3. Влияние немагнитного за(зора на распределение токов во вто(ричном элементе (штриховые ли(нии — без учета влияния воздушно(го зазора, сплошные линии — с уче(том влияния воздушного зазора)

74

с отношением ширины кдлине в два раза больше чемв двигателе, рассмотренномвыше. На рис. 3.4 сплошныелинии являются линиямитока линейного асинхронно(го двигателя с τ=1 м, b=0,5 ми b2=0,625 м, а штриховыелинии построены примени(тельно к двигателю с τ=1 м,b=1 м и b2=1,25 м. Масштабвыбран различным, чтобыможно было сопоставить рас(пределение тока относитель(но ширины вторичного эле(мента. При выбранных мас(штабах ширина вторичныхэлементов двигателей на гра(фике получается одинаковой.

Установлено, что эффек(тивно действует вторичныйэлемент во втором случае, т.е.при увеличении отношенияb/τ улучшаются условия длявзаимодействия вторичного

элемента с индуктором за счет роста поперечной составляющейплотности тока. Однако экстремум усилий взаимодействия можетбыть достигнут лишь при увеличении этого отношения до беско(нечности.

В реальных установках выбор отношения ширины к полюсномуделению обусловлен целым рядом факторов: скоростью, условия(ми вписывания в рабочий механизм, расходом материалов и други(ми факторами.

3.5. Взаимодействие токов индуктора и вторичногоэлемента линейного асинхронного электродвигателя

Проведенные выше исследования позволяют объективно оценитьраспределение токов во вторичном элементе. Однако при опреде(

Рис. 3.4. Сопоставление линий токов ЛАДс различным отношением ширины ин(дуктора к полюсному делению (штрихо(вые линии — без учета влияния воздуш(ного зазора, сплошные линии — с учетом

влияния воздушного зазора)

75

лении тяговых усилий и других параметров линейного двигателянеобходимо, прежде всего, установить взаимодействие между ин(дуктором и вторичным элементом. В этом случае весьма существен(ную роль играет смещение по фазе между токами индуктора и вто(ричного элемента. Естественно при этом производить расчеты вкомплексной форме. Воспользуемся моделью Вольдека, из которойпосле небольших преобразований общее выражение напряженнос(ти магнитного поля во вторичном элементе определяется в виде

,chsh2

м11221z2

xjeBs

jycycН α−

λ

ωγ−λ+λ=� (3.38)

где γ2 — электропроводность вторичного элемента;s — скольжение;

)1(2ε+α=λ j — коэффициент;

2

2120

2120

π

τωγµ

=

α

ωγµ

=ε

ss — безразмерная величина, характеризующая ве(

личину нагрузки ЛАД. При холостом ходе s=0 и ε=0.

Из выражения (3.38) получаются значения плотностей токов вовторичном элементе

.; z2z2

x

H

y

Hyx ∂

∂=δ

∂

∂=δ

�

�

�

� (3.39)

После подстановки значений z2H� получим

,)]shch([21

xjx

eycyc α−λ+λλ=δ� (3.40)

.chsh2

м11221

xjy

eBs

jycycj α−

λ

ωγ−λ+λα=δ� (3.41)

Вернемся к рис. 3.1. Законы изменения токов в областях 1 и 2различны, так как магнитные индукции в них существенно отлича(ются друг от друга. Предположим, что магнитная индукция в обла(сти 2 равна нулю, а в области 1 постоянна и равна В1м.

Рассмотрим вначале область 1. Здесь справедливо следующееграничное условие:

76

,00/=δ

=yx (3.42)

из которого следует

0shch21

=λ+λ ycyc и с1 = 0.

В результате выражения для плотности токов в области 1 упро(щаются:

.ch

;sh

2м112

21

21

jdxy

jdxx

es

jycj

yec

−

−

λ

βωγ−λα=δ

λλ=δ

(3.43)

Граничное условие в области 2

022/=δ

=byу (3.44)

дает возможность найти одну из неизвестных постоянных интегри(рования. Действительно,

,0chsh2423=λ+λ bcbc

откуда получаем

.th234

bcc λ−=

Подставляя (3.44) в выражения для плотностей токов области 2,получаем их более простое представление

;ch

)(ch

2

232

jdxx

eb

byc −

λ

−λλ=δ (3.45)

.ch

)(sh

2

232

jdxy

eb

bycj −

λ

−λα=δ (3.46)

Неизвестные постоянные интегрирования с2 и с3 определяютсяиз условия неразрывности линий тока на границе областей 1 и 2вторичного элемента. Здесь должны быть выполнены следующиеусловия:

77

21,

xxby �� и .

21 yy �� (3.47)

Подставляя выражение (3.47) в выражения (3.43) и (3.46), полу�чаем следующее уравнение:

.

0

ch

)(shch

ch

)(chsh

2112

3

2

2

211

2

211

ms

jс

с

b

bbb

b

bbb

(3.48)

Из последнего уравнения определяем значения неизвестных по�стоянных интегрирования

;ch

)(ch

22

21м1122 b

bbВsjc

(3.49)

.sh12

м1123

bВs

jc

(3.50)

Используя постоянные с2 и с3, получим выражения для плотно�стей токов в каждой области вторичного элемента.

Область 1:

;1chch

)(ch

2

212

м1121

xjy

eyb

bbВs

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

� (3.51)

.shch

)(ch

2

21м1121

xjx

eyb

bbВsj

� (3.52)

Область 2:

;)(shch

sh2

2

1м1122

xjу

ebyb

bВs

� (3.53)

.)(chch

sh2

2

1м1122

xjx

ebyb

bВsj

� (3.54)

78

Плотности токов вторичного элемента могут быть выражены че�рез плотность тока индуктора с учетом следующего соотношения:

.м10м1

�

jВ

Область 1 вторичного элемента:

;1chch

)(ch

2

212

м11201

xjy

eyb

bbsj

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

�

� (3.55)

.shch

)(ch

2

212

м11201

xjx

yeb

bbs

�

� (3.56)

Область 2 вторичного элемента:

;)(shch

sh2

2

12

м11202

xjy

ebyb

bsj

�

� (3.57)

.)(chch

sh2

2

1м11202

xjx

ebyb

bs

�

� (3.58)

Выражения (3.55)—(3.58) неудобны для практического исполь�зования, так как в них мнимая и действительная части содержатсяв неявной форме.

Чтобы выделить в формулах плотностей токов вторичного эле�мента мнимую и действительную части, воспользуемся следующи�ми соотношениями:

,),1(22 jNMj

где ;2

11,

2

11 22 NМ

);(sin)(sh)(cos)(ch)(ch2121212121

bbNbbMjbbNbbMbb

.sinshcoschch

;sinshcoschch

22222NbMbjNbMbb

NyMyjNyMyy

79

Введем обозначения

.sinsh

;cosch

;sinsh

;cosch

);(sin)(sh

);(cos)(ch

226

225

4

3

21212

21211

NbMbA

NbMbA

NyMyA

NyMyA

bbNbbMA

bbNbbMA

(3.59)

Преобразуем выражения у�составляющей плотности тока вторич�ного элемента ЛАД в области 1:

1 2 21 02 2

2

1 2 3 4 5 60

5 6

2 2 2 23 2 4 3 5 6 3 3 4 2 5 6 0

2 2 25 6

ch ch ch

/ ch

(1 )( )

,(1 )

j xy

j x

j x

b b y bА e

b

A jA A jA A jAА е

j A A

A К A К A A j A К A К A A Ae

A A

⎡ ⎤ ⎢ ⎥⎣ ⎦

��

�

�

где ;м1

00

А�

).()(

;)()(

6525613

5626512

AAAAAAК

AAAAAAК

Формулу для х�составляющей плотности тока в области 1 пре�образуем с учетом следующего соотношения:

NyMyjNyMyy sinchcosshsh

(3.60)

80

и дополнительных обозначений:

.sinch

;cossh

;

8

7

0

м12

м101

NyMyA

NyMyA

jA

=

=

µ

εβα=δαε−= ��

(3.61)

Выражение (3.56) преобразуем аналогичным образом:

.

))((

))(())((

))((

))(())((

))((

))((

ch

sh)(ch

01

26

25

22658172652871

26

25

22658172652871

0165

872101

2

211

xj

xjxjx

еA

AANМ

MАNАААААNАMАААААj

AANМ

NАMАААААMАNААААА

eAjAAjNM

jAAjAAjeA

b

ybbj

α−

α−α−

×

×

++

−++−−+

+++

−+−+−

=

=++

++=

λ⋅λ

λ−λ=δ

�

���

Итак, х(составляющая плотности тока в области 1 вторичногоэлемента ЛАД представляется в следующем виде:

,))((

)(012

625

2258676857

1xj

xeA

AANM

KAKAjKAKAα−

++

++−=δ �� (3.62)

где

).()(

;)()(

6516526

6526515

NAMAAMANAAK

NAMAAMANAAK

−++=

−−+=

При преобразовании формулы плотности тока в области 2 вто(ричного элемента учтем следующие известные соотношения:

).(sin)(ch

)(cos)(sh)(sh

;sinchcosshsh

22

222

11111

byNbyMj

byNbyMby

NbMbjNbMbb

−−+

+−−=−λ

⋅+=λ

81

Введем обозначения

.)(sin)(ch

;)(cos)(sh

;sinch

;cossh

2212

2211

1110

119

byNbyMA

byNbyMA

NbMbA

NbMbA

−−=

−−=

=

=

(3.63)

Последовательно выполняя преобразования, получим

[ ][ ]

.))(1(

))(())((

))(1(

))(())((

))(1(

)()()(

))(1(

))((

ch

)(shsh

026

25

2561210119659121011

26

25

2569121011651210119

026

25

2566591210111210119

026

25

12111090

222

212

xj

xj

xjxjy

eAAA

AAAAAAAAAAAA

AA

AAAAAAAAAAAA

eAAA

AAjAAAAAAjAAAA

eAAAj

jAAjAAeA

b

byb

α−

α−

α−α−

+ε+

ε+−−ε−++

+

+ε+

ε+++ε−−=

=+ε+

ε+−ε−++−=

=+ε+

++=⋅

λαλ

−λλ=δ

�

�

���

у(составляющая плотности тока в области 2 вторичного элемен(та имеет следующий вид:

,))(1(

)(02

625

2712811812711

2xj

yeA

AA

KAKAjKAKAα−

+ε+

+−++=δ �� (3.64)

где

).()(

;)()(

65105698

56106597

AAAAAAK

AAAAAAK

ε−−ε+=

ε++ε−=

Преобразование выражения для х(составляющей плотноститока вторичного элемента осуществлено с учетом следующего вы(ражения:

82

),(sin)(sh)(cos)(ch)(ch22222

byNbyMjbyNbyMby −−+−−=−λ

где введены обозначения

).(sin)(sh

;)(cos)(ch

2214

2213

byNbyMA

byNbyMA

−−=

−−=

(3.65)

Аналогично предыдущему преобразуем соотношения для 2x

δ� .

Получим преобразованное выражение

,))((

)(012

625

2291410131014913

2xj

xeА

AANM

KAKAjKAKAα−

++

++−=δ� (3.66)

где

).()(

;)()(

651065910

65106599

MANAANAMAAK

NAMAAMANAAK

++−=

−−+=

Как следует из формул, определяющих плотности токов во вто(ричном элементе, имеет место определенный сдвиг по фазе междупервичными и вторичными токами, причем величина этого сдвигазависит от х и у. Наибольшее значение, естественно, имеют фазо(вые соотношения в срединной части линейного асинхронного дви(гателя, т.е. при у=0.

Выделим действительную и мнимую части в выражении плотно(

сти тока 1y

δ� при у=0, приняв за начало отсчета вектор плотности

тока м1

δ� . Для этого воспользуемся соотношением (3.60) и, учтя ука(

занные выше факторы, приведем его к следующему виду:

[{

[ ]} .)()()(

)())(1(

615226

2562516152

26

2562512

625

м10/1

xj

уу

eAAAAAAAAAAjAAAA

AAAAAAAA

α−

=

−ε++−++−−

−+−+ε

+ε+

εδ=δ ��

(3.67)

Дальнейший анализ фазовых соотношений между плотностямитоков первичной и вторичной частей линейного двигателя в об(щем виде затруднен. Поэтому проведем сопоставление для конк(ретного числового примера. В табл. 3.4 приведены результаты та(

83

кого расчета. В качестве примера взята группа двигателей, имею(щая отношение ширины вторичного элемента к ширине индукто(ра, равное 1,6. Магнитное число Рейнольдса изменяется от 1 до 3, аотношение ширины индуктора к полюсному делению находится впределах 0,1—2,0. В таблице приведены комплексные числа, рав(ные отношению токов вторичного элемента к токам индуктора. Токиэти не просто приведены, но они взаимноприведены, т.е. рассеяны(распределены) в пределах немагнитного зазора.

Таблица 3.4Относительные значения плотности тока на оси вторичного элемента,

представленные в комплексной форме

На рис. 3.5—3.7 приведенывекторные диаграммы, постро(енные на основе получены ре(зультатов расчета. На рис. 3.8 и3.9 приведены кривые, характе(ризующие фазовые соотношенияв системе «первичный ток — маг(нитная индукция в немагнитномзазоре — вторичный ток».

Наибольший интерес пред(ставляет взаимодействие междупервичной магнитной индукциейи токами вторичного элемента.

Рис. 3.5. Векторные диаграммы плот(ностей тока вторичного элемента и

индуктора ЛАД при ε=1,0

84

Векторные диаграммы играфические построения по�казывают, что фазовый сдвигмежду магнитной индукциейи вторичным током уменьша�ется со снижением отноше�ния ширины индуктора к по�

Рис. 3.6. Векторные диаграммыплотностей токов индуктора и вторич�

ного элемента ЛАД при = 2,0

Рис. 3.7. Векторные диаграммыплотностей токов индуктора и вторич�

ного элемента ЛАД при = 3,0

Рис. 3.8. Сдвиг по фазе между маг�нитной индукцией в немагнитном

зазоре и вторичным током

85

люсному делению. В то же время при этих же условиях сильнее ска(зывается отрицательное влияние вторичного краевого эффекта. Та(ким образом, в двигателях, вытянутых в длину, следует «выпрямить»линию тока, например, введением обмотки типа беличьей клетки,и эффективность их может существенно возрасти.

3.6. Коэффициент силового взаимодействия индуктораи вторичного элемента

Элементарное усилие взаимодействия между индуктором и вто(ричным элементом может быть представлено в виде:

.z22

Re м1м1эм

δ= dxdyd

BdF у

�

(3.68)

Интегрирование производится по всему объему вторичного эле(мента. Причем интегрирование по осям х и z производится простым

Рис. 3.9. Сдвиг по фазе между магнитной индукцией в немагнитном зазореи вторичным током

86

умножением на 2р и 1. Выполнив интегрирование по оси у, полу�чим величину тягового усилия с учетом того, что к = м = 2:

,ch

sh)(ch11Re

2

2

22

22м110

эм⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

b

bbb

b

bpF (3.69)

Определим для данного случая коэффициент ослабления тяго�вой электромагнитной силы ЛАД [9]

.ch

sh)(ch11Re

2

2

12

2

ос⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

b

bbb

bK (3.70)

Этот коэффициент, естественно, не учитывает все аспекты си�лового взаимодействия индуктора и вторичного элемента, так каксила электромагнитного взаимодействия зависит также и от магнит�ного числа Рейнольдса. Кроме того, на ее величину существенновлияет изменение первичной плотности тока при питании обмотокиндуктора от сети переменного тока с постоянным по величине дей�ствующим напряжением.

Однако, рассматривая отдельные вопросы силового взаимодей�ствия вне их связи, удается дать общую оценку влияния различныхфакторов на величину силы тяги.

В выражении (3.69) положим = 0. Силовое взаимодействие ин�дуктора с вторичным элементом в этих условиях будет равно нулю.Оно характеризует в данном случае эффект поперечного сжатиялиний тока вторичного элемента, т.е. дает возможность оценитьодин из факторов, влияющих на величину силового взаимодействияиндуктора и вторичного элемента. При принятых условиях выра�жение для коэффициента ослабления тяговой электромагнитнойсилы запишется в следующем виде:

.ch

sh)(ch1

21

2ос bb

bbbK

(3.71)

Коэффициент ослабления силы в этом случае приобретаетсмысл коэффициента редукции линий тока вторичного элементав поперечном направлении и зависит лишь от двух факторов: от�ношения ширины индуктора к полюсному делению и отношения

87

вторичного элемента к полюсному делению. Если принять в выра�жении (3.71) b = b2, то получим известное соотношение, получен�ное проф. А.И. Вольдеком:

.th

1Re2

2

ос⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛

b

bK (3.72)

В табл. 3.5 приведены значения коэффициента ослабления элек�тромагнитной силы, рассчитанной для линейных электродвигате�лей, применение которых в практике наиболее вероятно. На рис. 3.10и 3.11 представлены значения коэффициента ослабления электро�магнитной силы взаимодействия индуктора и вторичного элементалинейного асинхронного двигателя с продольным магнитным по�током при = 0.

Таблица 3.5Коэффициент ослабления электромагнитной силы ЛАД в зависимости

от их конструктивного исполнения при = 0

Как следует из рис. 3.10 и 3.11, а также из табл. 3.5, увеличениеотношения ширины индуктора к полюсному делению равно как иувеличение отношения ширины вторичного элемента к ширинеиндуктора более чем в 10 раз практически не влияет на коэффици�ент ослабления электромагнитной силы.

Проанализируем законы изменения коэффициента ослабленияэлектромагнитной силы при других значениях магнитного числаРейнольдса. С этой целью преобразуем выражение (3.70) с учетомобозначений, принятых в (3.59) и (3.63). Произведя соответствую�щие подстановки и выполняя последовательные математическиедействия, получим

88

Рис. 3.10. Коэффициент ослабления электромагнитной силы ЛАД при = 0 дляразных значений отношения ширины вторичного элемента к ширине индуктора

Рис. 3.11. Коэффициент ослабления электромагнитной силы ЛАД при = 0для разных значений отношения ширины индуктора к полюсному делению

89

.1)(

)]()()[()]()()[(1

1

1

))(1)((

)]()()[()]()()[(

1

1

))()(1(

))((Re

1

1

ch

sh)(ch11Re

2226

251

592101610291692101510191

222226

25

56921016510291

2651

109212

2

121

12

2

ос

1

ε+α+α

+ε+−−−ε−++−−×

×ε+

=+ε++α

+ε+ε−+++ε−ε−−−

−ε+

=

++ε+α

++−

ε+=

λ

λ−λ

λ−

λ

α=

AAb

NMAAAAAAAAAANMAAAAAAAAAA

NMAAB

NMANMAAAAANMANMAAAAA

jAAjNMjb

jAAjAA

b

bbb

bK

После ряда преобразований выражение для коэффициента ос(лабления электромагнитной силы упрощается и становится удоб(ным для расчета с применением любых вычислительных средств:

,)(

1)(

1)(

11

126

25

256265

2ос

+α

ε+α

+ε′′−′−

ε+α

ε−′′+′

−ε+

=AAb

NMAkAk

NMAkAk

K (3.73)

где ;10291

AAAAk −=′

.cossh

;

22

222

625

92101

NbMbAA

AAAAk

+=+

+=′′

В табл. 3.6 приведены значения коэффициента ослабления элек(тромагнитной силы для некоторых типов тяговых линейных асинх(ронных двигателей.

Таблица 3.6

Коэффициент ослабления электромагнитной силы ЛАД при 1,62=

b

b

90

Данные расчетов графически показаны на рис 3.12 и 3.13.

Рис. 3.12. Зависимость коэффициента ослабления электромагнитной силы ЛАДс продольным магнитным потоком от при разных значениях отношения ши#

рины индуктора к полюсному делению

Рис. 3.13. Зависимость коэффициента ослабления электромагнитной силы ЛАДс продольным магнитным потоком от отношения ширины индуктора к полюс#

ному делению при разных значениях

91

Глава 4. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ТОКОВ ВО ВТОРИЧНОМ ЭЛЕМЕНТЕ

ЛИНЕЙНОГО АСИНХРОННОГО ДВИГАТЕЛЯ

С ПОПЕРЕЧНЫМ МАГНИТНЫМ ПОТОКОМ

4.1. Общая постановка задачи

Распределение токов во вторичном элементе ЛАД с поперечныммагнитным потоком существенно влияет на тяговое усилие двига�теля высокоскоростного экипажа и на работу системы ВСНТ в це�лом. Поэтому исследование распределения токов во ВЭ ЛАДППявляется важной и актуальной научной проблемой. Однако до сихпор публикаций по этому вопросу недостаточно. Вклад в изучениеэтой научно�технической проблемы был внесен Т.К. Калнинем,который, исследуя причины ослабления тягового усилия ЛАДПП,получил выражение для расчета плотности тока в поперечном направ�лении вторичного элемента. Результаты исследования использованыдля определения коэффициента поперечного краевого эффекта. Цен�ность исследования Т.К. Калниня в том, что это первое наиболее се�рьезное решение рассматриваемой проблемы.

Следующим шагом, позволяющим более точно определить рас�пределение токов во вторичном элементе тягового линейного асин�хронного двигателя с поперечным линейным потоком, стали иссле�дования А.Д. Попова, который, опираясь на результаты, достигну�тые проф. Будигом, получил соотношения, позволяющие составитькартину распределения линий тока во ВЭ. Однако для более точ�ной оценки тяговых свойств ЛАДПП недостаточно знания коэф�фициента снижения силы взаимодействия между индуктором ли�нейной машины и ее электропроводящим ВЭ. Необходимо допол�нительно получить полную картину линий растекания линий токаво вторичном элементе. Такие исследования выполнялись автора�ми совместно с проф. А.Д. Поповым. Далее исследование в этойобласти были продолжены авторами данного учебного пособия.

92

Исследования распределения токов и построений линий токовдля ЛАД продольным магнитным потоком выполнены проф. Буди�гом. Эти результаты не могут быть непосредственно распростране�ны на тяговые линейные асинхронные двигатели с поперечныммагнитным потоком даже при учете данных исследований Т.К. Кал�ниня. Процессы во вторичном элементе ЛАД с поперечным маг�нитным потоком представляют собой более общий случай, посколь�ку необходимо учитывать первичный поперечный эффект.

На рис. 4.1 представлена схема относительного расположенияиндуктора и вторичного элемента двигателя с поперечным магнит�ным потоком. Последний разбит на шесть областей, причем облас�ти 1—3 соответственно симметричны областям 4—6. Возможнаянесимметрия обусловлена тем, что для данного двигателя не всегдавыполняется равенство b1 = b3 — b2. Поэтому необходимо рассмат�ривать три независимые области 1—3 вместо двух, как у проф. Бу�дига. Распределение токов в областях 4—6 с учетом происходящихв двигателе физических процессов является зеркальным отражени�ем распределения токов в первых трех областях. Поэтому дальней�ший анализ проведем лишь для областей 1—3.

Наиболее простой способопределения токов во вто�ричном элементе основан напредположении, что магнит�ная индукция распределенаравномерно в пределах облас�ти 2 по оси у и синусоидальноизменяется по оси х. В облас�тях 1 и 3 магнитная индукцияравна нулю. При этом учиты�вается лишь составляющая ин�дукции, перпендикулярнаяплоскости чертежа, т.е. В=Вz.

Таким образом, в области 2вторичного элемента линей�ного двигателя с поперечныммагнитным потоком справед�ливо следующее соотноше�ние:

Рис. 4.1. Схема относительногорасположения индуктора и вторично�

го элемента ЛАДПП

93

).cos(мz

txBBB ω−α−== (4.1)

В областях 1 и 3 вторичного элемента двигателя магнитная ин�дукция

.0z== BB (4.2)

4.2. Математическая модель токов вторичного элемента

Пренебрегая токами смещения, на основании уравнений Макс�велла можно записать для данного случая следующее соотношение:

,rott

B

∂

∂γ−=δ (4.3)

где γ — электропроводность ВЭ.

Поскольку во вторичном элементе ЛАДПП нет источниковэнергии, для него справедливо следующее соотношение:

.0div =δ (4.4)

Полагая распределение токов во вторичном элементе двумер�ным, применим первое из приведенных выше уравнений последо�вательно к каждой области вторичного элемента.

Область 1:

.011=

∂

δ∂−

∂

δ∂

yxху

(4.5)

Область 2:

.z22

t

B

yxху

∂

∂γ−=

∂

δ∂−

∂

δ∂ (4.6)

Область 3:

.033=

∂

δ∂−

∂

δ∂

yхху (4.7)

Из принципа непрерывности линий тока в каждой из областейвторичного элемента получаем еще три уравнения.

94

Область 1:

.011=

∂

δ∂

+∂

δ∂

yxух

(4.8)

Область 2:

.022=

∂

δ∂

+∂

δ∂

yxух (4.9)

Область 3:

.033=

∂

δ∂

+∂

δ∂

yxух (4.10)

Дифференцируя первое уравнение области 1 по х, а второе —по у, складываем их и получаем следующее уравнение для области 1с учетом выражения для магнитной индукции в этой области:

.02

12

21

2

=

∂

δ∂+

∂

δ∂

yxхх (4.11)

Дифференцируя первое уравнение области 1 по у, а второе —по х и вычитая из второго уравнения первое, с учетом значения ин�дукции в этой области получим

.021

12

21

2

=

∂

δ∂

+

∂

δ∂

yx

уу (4.12)

Аналогично получаются уравнения для плотностей тока в обла�сти 2 вторичного элемента ЛАДПП:

).cos(

;0

м22

2

22

2

22

2

22

2

txByx

yx

уу

хх

ω−ααωγ=∂

δ∂+

∂

δ∂

=∂

δ∂+

∂

δ∂

(4.13)

95

Аналогично составляются уравнения для плотностей токов в об�ласти 3 вторичного элемента ЛАДПП:

.0

;0

32

23

2

23

2

32

=∂

δ∂

+

∂

δ∂

=

∂

δ∂+

∂

δ∂

yx

yx

уу

хх

(4.14)

4.3. Решение уравнений токов вторичного элемента

Общие решения для уравнений токов должны удовлетворять какдифференциальным уравнениям, так и граничным условиям, так какв данном случае имеем краевую задачу. Решим эту задачу последо�вательно. Сначала найдем решение, удовлетворяющее дифферен�циальным уравнениям в более общем виде, а затем определим не�известные постоянные интегрирования из граничных условий.

Общие выражения для токов вторичного элемента, удовлетво�ряющие дифференциальным уравнениям, могут быть представле�ны следующим образом.

Область 1:

).cos(sh

);sin(ch

21

11

txyA

txyA

у

х

ω−αα=δ

ω−αα=δ

(4.15)

Область 2:

).cos()(ch

);sin()(sh

м142

132

txB

yA

txyA

у

х

ω−α

α

ωγ−−βα=δ

ω−α−βα=δ

(4.16)

Область 3:

).cos()(sh

);sin()(ch

363

353

txybA

txybA

у

х

ω−α−α=δ

ω−α−α=δ

(4.17)

96

Величина 1 определяет ординату у, при которой плотность токапо оси х равна нулю. Эту величину ввели по соображениям, непо�средственно связанным с физическими процессами, происходящи�ми во вторичном элементе линейного асинхронного двигателя с по�перечным замыканием магнитного потока. Величина 1 определя�ется из граничных условий так же, как и постоянные А1—А6.

Соответствие представленных решений дифференциальнымуравнениям токов вторичного элемента легко проверяется прямойподстановкой. Например, подставляя в первое уравнение области 1значение х1, получим

.0)sin(chsinch 21

21

txyAtxyA

Подстановка значения у1 во второе уравнение области 1 даетследующее тождество:

.0cosshcossh 22

22

txyAtxyA

Подставляя значение х2 в первое уравнение области 2, получим

.0)sin()(shsin)(sh1

231

23

txyAtxyyA

Аналогично проверяется решение второго уравнения области 2вторичного элемента:

.0cos)(chcos)(ch1

241

24

txyAtxyA

Проверка решения для области 3 вторичного элемента приводиттакже к тождествам

.0)sin()(chsin)(ch3

253

25

txybAtxybA

.0)cos()(chcos)(sh3

263

26

txybAtxybA

Неизвестные постоянные интегрирования в приводимых реше�ниях определяются из дополнительных условий. Первым таким ус�ловием является непрерывность линий тока:

.0div (4.18)

97

Применительно к данному случаю это соотношение имеет вид

.0

yxух (4.19)

Принимая принцип непрерывности линий тока к области 1, по�лучим

,0)cos(ch)cos(ch21

txyAtxyA

откуда

А1 = –А2.

В области 2 соответственно получаем

А3 = А4.

В области 3 имеем

А5 = А6.

Таким образом, три из семи неизвестных постоянных интегри�рования могут быть исключены, и выражения для плотностей то�ков вторичного элемента оказываются более удобными для после�дующего использования. Они примут следующий вид в области 1:

);cos(sh

);sin(ch

11

11

txyA

txyA

у

х

(4.20)

в области 2:

);cos()(ch

);sin()(sh

м132

132

txB

yA

txyA

у

х

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

(4.21)

в области 3:

).cos()(sh

);sin()(ch

353

353

txybA

txybA

у

х

(4.22)

Остальные четыре неизвестных постоянных интегрирования оп�ределяются из условия неразрывности линий тока на границах об�ластей.

98

На границе областей 1 и 2 необходимо выполнить следующееусловие:

),,(),(1211

bxbxхх

δ=δ (4.23)

которое позволяет определить первое уравнение для нахождения не�известных постоянных:

).(shch11311

bAbA −βα=α

На границе областей 2 и 3 должно выполняться условие

),,(),(2322

bxbxхх

δ=δ (4.24)

которое определяет второе из искомых уравнений

).(ch)(sh235213

bbAbA −α=−βα

Аналогичные условия выполняются для y�составляющей плот�ности тока

).,(),(

);,(),(

2322

1211

bxbx

bxbx

уу

уу

δ=δ

δ=δ

(4.25)

На их основании получаем третье и четвертое уравнения для на�хождения неизвестных постоянных интегрирования

).(sh)(ch

;)(chsh

235м

214

м11412

bbAB

bA

BbAbA

−α=α

ωγ−−βα

α

ωγ−−βα=α

Итак, имеем систему из четырех уравнений с четырьмя неизвес�тными:

).(sh)(ch

;)(chsh

);(ch)(sh

);(shch

235м

213

м11311

235213

11311

bbAB

bA

BbAbA

bbAbA

bAbA

−α=α

ωγ−−β

α

ωγ−−βα=α−

−α=−βα

−βα=α

(4.26)

99

Из первых двух уравнений системы (4.26) находим величины А1и А5, как функции А3 и β1:

.)(ch

)(sh

;ch

)(sh

23

2135

1

1131

bb

bAA

b

bAA

−α

−βα=

α

−βα=

Подставив значения А1 и А5 в третье и четвертое уравнениясистемы (4.26), перейдем к системе уравнений с двумя неизвест�ными:

).(sh)(th)(ch

.)(ch)(shth

21233м

213

м1131113

bbbAB

bA

BbAbbA

−βα−α=α

ωγ−−β

α

ωγ−−βα=−βαα−

Величина А3 может быть найдена из этих уравнений двумя спо�собами:

)(shth)(ch

1

11111

м3 bbb

BA

−βαα+−βαα

ωγ=

и

.)(sh)(th)(ch

1

212321

м3 bbbb

BA

−βα−α−−βαα

ωγ=

Сопоставляя правые части приведенных равенств, получим ещеодно уравнение, из которого можно определить β1. После выпол�нения ряда математических действий искомую величину β1 можнозаписать в следующем виде:

.shch

)(chctharth

1

31

2331

αα

−α−α

α=β

bb

bbb (4.27)

100

Итак, четыре постоянных интегрирования определены:

,)(sh)(ch)(cth

1

;)(shth)(ch

1

;sh)(cthch

1

232321

м5

11111

м3

1111

м1

bbbb

BA

bbb

BA

bbb

BA

−βα−−α−βαα

ωγ=

−βαα+−βαα

ωγ=

α+−βααα

ωγ=

(4.28)

где .shch

)(chctharth

1

31

2331

αα

−α−α

α=β

bb

bbb

Таким образом, соответственно областям вторичного элементаимеем следующие выражения для плотностей токов вторичного эле�мента ЛАД.

Область 1:

).cos(

sh)(cthch

sh

);sin(sh)(cthch

ch

1111

м1

1111

м1

txbbb

yB

txbbb

yB

у

х

ω−αα+−βαα

α

α

ωγ−=δ

ω−αα+−βαα

α

α

ωγ=δ

(4.29)

Область 2:

);(cos1

(shth)(ch

)(ch

);sin()(shth)(ch

)(sh

)11111

1м2

11111

1м2

txbbb

yB

txbbb

yB

y

х

ω−α

−

−βαα+−βα

−βα

α

ωγ=δ

ω−α−βαα+−βα

−βα

α

ωγ=δ

(4.30)

101

Область 3:

).cos(

)(sh)(cth)(ch

)(sh

);sin()(sh)(cth)(ch

)(ch

232123

3м3

231123

3м3

txbbbb

ybB

txbbbbb

yB

у

х

ω−α−βα−−βα−α

−α

α

ωγ=δ

ω−α−α−−βα−α

−βα

α

ωγ=δ

(4.31)

Представленные таким образом выражения для плотностей то�ков являются функциями некоторой искусственно введенной вели�чины β1, имеющей определенный физический смысл.

Выполнив элементарные математические преобразования, при�ведем выражения для плотностей токов во вторичном элементеЛАДПП к более удобному виду.

Область 1:

).cos(sh

ch

)(sh

);sin(chch

)(sh

1

11м1

1

11м1

txyb

bB

txyb

bB

у

х

ω−ααα

−βα

α

ωγ−=δ

ω−ααα

−βα

α

ωγ=δ

(4.32)

Область 2:

).cos(1)(chch

ch

);sin()(shch

ch

11

1м2

11

1м2

txybB

txybB

у

х

ω−α

−−βα

αβ

α

α

ωγ=δ

ω−α−βααβ

α

α

ωγ=δ

(4.33)

Область 3:

).cos()(sh)(ch

)(sh

);sin()(ch)(ch

)(sh

313

21м3

313

21м3

txyb

bB

txyb

bB

у

х

ω−α−βαβ−α

−βα

α

ωγ=δ

ω−α−βαβ−α

−βα

α

ωγ=δ

(4.34)

102

Величина 1 в уравнениях (4.32)—(4.34) определяется из выра�жения:

.shch

)(chctharth

1

31

2331

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

bb

bbb (4.35)

При необходимости 1 может быть исключена из выражений дляплотностей токов. Последние в этом случае после математическихпреобразований приобретают следующий вид для области 1:

);cos(shsh

)(ch)(ch

);sin(chsh

)(ch)(ch

3

2313м2

3

2313м1

txyb

bbbbB

txyb

bbbbB

у

х

(4.36)

для области 2

);cos(sh

shsh)(ch)(shch

);sin(sh

ch)(ch)(chch

3

32331м2

3

2331м2

txb

bybbybbB

txb

ybbybbB

у

х

(4.37)

для области 3

).cos()(shsh

chch

);sin()(chsh

chch

33

21м3

33

21м3

txybb

bbB

txybb

bbB

у

х

(4.38)

Используя полученные результаты, выполним исследования ипостроим линии тока вторичного элемента.

В первую очередь определим полный ток вторичного элемента впределах полюсного деления. Принципиально его значение можнонайти в любом сечении вторичного элемента. Однако наиболее

103

удобными являются такие сечения, в которых одна из составляю�щих плотности тока равна нулю.

Таких сечений в пределах половины полюсного деления можноуказать два.

Первое из них расположено на уровне у = 1 в пределах от x = 0до x =/2, как это представлено на рис. 4.1. В этом сечении имеет�ся лишь y�составляющая плотности тока.

Второе сечение расположено на уровне x = /2 в пределах от у = 1до у = b3, и в нем имеется только x�составляющая плотности тока.

Ток в первом сечении определяется сравнительно просто:

.1ch

chcos1

ch

ch

1

12

м2

0 1

1м2

02

1⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

∫∫

bBxdx

bBdxI

yу

Во втором сечении выражение для тока представляется в видедвух слагаемых:

.1ch

ch)(ch

)(ch

)(sh

)(shch

ch

1

12

м3

13

21м

11

1м

23

22

3

2

2

1

3

2

2

1

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

∫

∫∫∫

bBdyyb

b

bB

dyybB

dyxdyI

b

b

bb

bx

b

xх

Равенство токов в первом и во втором сечениях служит подтвер�ждением правильности выполненных преобразований.

Допустим, что в пределах полюсного деления необходимо иметьn1 трубок тока. Тогда уравнение линии, ограничивающей k1 трубоктока, примет следующий вид:

.sin1)(chch

ch1

ch

ch1

1

12

м

0 12

м

1

12

xybbB

b

bB

n

kdx

x

у

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

∫

Для удобства вычислений это уравнение преобразуем и предста�вим следующим образом:

104

.ch

ch

sinch

chcharch

1

;ch)(chch

chcharcsin

1

1

1

1

11

1

11

111

11

1

1

α

αβ+

αα

αβ−α−αβ

π=

τ

α−−βαα

αβ−α

π=

τ

bxb

b

n

ky

byb

b

n

kx

(4.39)

В качестве примера выполнены вычисления. На их основаниипостроены линии тока во вторичном элементе тягового линейно�

Рис. 4.2. Линии тока вторичного элемента ЛАДПП при полной симметриирасположения индуктора относительно вторичного элемента

105

го асинхронного двигателя с поперечным магнитным потоком нарис. 4.2 и рис. 4.3.

4.4. Распределение магнитной индукции по ширинеЛАДПП с учетом поперечных эффектов

Рассмотренное выше распределение тока во вторичном элемен�те носит несколько упрощенный характер, поскольку при этом пред�полагалось равномерное распределение магнитной индукции под

Рис. 4.3. Линии тока вторичного элемента ЛАДПП при несимметричномрасположении индуктора относительно вторичного элемента

106

индуктором и равенство ин�дукции нулю за пределамииндуктора. Рассмотрим ли�нейный асинхронный двига�тель с поперечным замыкани�ем магнитного потока, взаим�ное расположение индуктораи вторичного элемента кото�рого показано на рис. 4.4.Аналитическое выражениедля магнитной индукции подиндуктором можно получитьдля симметричного положе�ния двигателя, при которомоси индуктора и вторичногоэлемента совпадают. В этомслучае исследованию под�вергается лишь половина

двигателя, токи во второй половине вторичного элемента распо�лагаются симметрично по отношению к токам в первой половине.Исследуемая часть вторичного элемента двигателя представлена ввиде четырех областей 1, 2, 2, 3. В каждой из областей магнитнаяиндукция изменяется по своему закону.

Получим выражение для магнитной индукции под индукторомлинейного асинхронного двигателя с поперечным замыканием маг�

нитного потока примени�тельно к принятой его схемена рис. 4.4 и распределениюиндукции, показанному нарис. 4.5. Следует отметить,что в двигателях с попереч�ным магнитным потокомраспределение индукции подиндуктором будет несиммет�ричным относительно осииндуктора, так как в этомслучае сказывается влияниевторой половины индуктора,

Рис. 4.4. Взаимное расположениеиндуктора и вторичного элемента

двигателя

Рис. 4.5. Распределение магнитнойиндукции в активной зоне индуктора

107

расположенной по другую сторону оси. Поэтому коэффициентыснижения индукции на краях индуктора различны — 1 и . Анали�тическое выражение для магнитной индукции под индуктором мож�но получить, составив уравнения прямых, проходящих через двезаданные точки.

В области 2 запишем уравнение прямой, проходящей через точ�

ки (1, В1, b1) и ⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ 2

, 211

bbB :

121

1

111

112

2

)(

bbb

by

BB

ByB

Отсюда получаем выражение для индукции в этой области:

.)1(2

)2()1(2)(

1

1121

12

112

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

bb

ybb

ByB (4.40)

В области 2 запишем уравнение прямой, проходящей через точ�

ки ((, В1, b2) и ⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ 2

, 211

bbB :

.

2

)(

221

2

11

12

bbb

by

BB

ByB

Отсюда получаем аналитическое выражение для индукции в об�ласти 2 в функции координаты y:

.)1(2

)2()1(2)( 21

21

12

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

bb

ybb

ByB (4.41)

В области 1 вторичного элемента аналитическое выражение ин�дукции получим методом суперпозиции. При этом каждый из внут�ренних краев половинок индуктора рассматривается независимо от

108

другого, причем поле вне каждой из половинок индуктора описы�вается известным соотношением:

,)z(

z

BeB

где — величина немагнитного зазора.

В средней части двигателя магнитные поля обеих половинок на�кладываются друг на друга. Поскольку они действуют навстречу другдругу, выражение для индукции результирующего поля может бытьзаписано в следующем виде:

.sh2)(111

111

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

yeBeeByB

bybyb

(4.42)

Графически сложение этих полей представлено на рис. 4.6.Приведенные соотношения дают возможность установить взаи�

мосвязь между 1 и 1:

.11

2

1⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

b

e

В последующем одна из этихвеличин может быть исключе�на.

С учетом приведенных вышесоображений относительно поляв области 1 вторичного элемен�та сравнительно просто получа�ется аналитическое выражениедля магнитной индукции в об�ласти 3 вторичного элемента:

2

3 1( ) .

b y

B y B e

(4.43)

4.6. Графическое сложение магнитныхполей поперечного краевого эффекта,

образующих первичный среднийэффект ЛАДПП

109

Общее выражение для магнитной индукции в каждой из облас�тей получается в предположении ее синусоидального распределе�ния по продольной оси двигателя, т.е.

).cos()(1м1

txBxB (4.44)

Учитывая вышеизложенное, можно записать аналитическую за�висимость магнитной индукции от координат в каждой области.

Область 1:

);cos(sh21

1м1tx

yeBB

b

(4.45)

Область 2:

).cos(

12

21

12

1

11

1

2

1

2

2

2

12

м1

2

2

tx

e

bebe

y

bb

Be

B

b

bb

b

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

(4.46)

Область 2:

).cos(12

2)1(221

21

м12

txbb

ybb

BB

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

(4.47)

Область 3:

).cos(2

м13txeBB

yb

(4.48)

110

4.5. Уравнение плотностей токов во вторичном элементес учетом первичных поперечных краевых эффектов

На основании уравнений Максвелла во вторичном элементе ли�нейного асинхронного двигателя можно записать следующие соот�ношения:

.0div;rot =δ∂

∂−=δ

t

B

Эти соотношения, учитывая двумерное распределение токов вовторичном элементе, можно преобразовать для каждой области вто�ричного элемента следующим образом:

область 1:

;0

);sin(sh

11

111

=∂

δ∂

−∂

δ∂

ω−α∆

−=∂

δ∂−

∂

δ∂

yx

txy

Cyx

ух

ху

(4.49)

область 2α:

;0

);sin()(

22

3222

=∂

δ∂

−∂

δ∂

ω−α+−=∂

δ∂−

∂

δ∂

αα

αα

yx

txCyCyx

ух

ху

(4.50)

область 2δ:

;0

);sin()(

22

5422

=∂

δ∂+

∂

δ∂

ω−α+−=∂

δ∂

−∂

δ∂

δδ

δδ

yx

txCyCyx

хх

уу

(4.51)

111

область 3:

23 3

6

33

sin( );

0,

b yу х

ух

C e x tx y

x y

(4.52)

где

;2

1(2

21

;

12

;2

1

1

2

2

2

3

12

2

м

2

м1

11

1

1

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

bе

bebe

C

bb

eB

C

eBC

bb

b

b

(4.53)

;

12

21

м4 bb

BC

;12

221

5

bb

C

.м6 BC

Преобразуем полученную систему уравнений так, чтобы каж�дое уравнение содержало только одну неизвестную функцию. Дляэтого из первого уравнения для области 1 исключаем величинуу1, а из второго уравнения этой же области 1 величину х1. Ана�логичные операции выполняем для других областей вторичногоэлемента.

112

Продифференцируем первое уравнение области 1 по y, а второе —по x:

( )

.0

;sinch

12

21

2

12

12

12

=∂∂

δ∂

−

∂

δ∂−

ω−α∆∆

−=

∂

δ∂−

∂∂

δ∂

yxx

txyC

yyx

ух

ху

Сложим полученные уравнения

( ).sinch12

12

21

2

txyC

yxхх

ω−α∆∆

=

∂

δ∂+

∂

δ∂

Продифференцируем первое уравнение для области 1 по x, а вто�рое — по y и получим

( );cossh1

12

12

txy

Cyxx

хуω−α

∆α−=

∂∂

δ∂−

∂

δ∂

.02

12

12

=

∂

δ∂

+∂∂

δ∂

yyxух

Выполнив математические преобразования, получим восемьуравнений для определения плотности тока во вторичном элементеЛАДПП.

В области 1:

( )

( );cossh

;sinch

121

2

21

2

12

12

21

2

txy

Cyx

txyC

yx

уу

хх

ω−α∆

α−=

∂

δ∂

+

∂

δ∂

ω−α∆∆

=

∂

δ∂+

∂

δ∂

(4.54)

113

В области 2α:

( )

( ).cos)(

;sin

3222

2

22

2

222

2

22

2

txCyCyx

txCyx

уу

хх

ω−αα+−=

∂

δ∂

+

∂

δ∂

ω−α=

∂

δ∂+

∂

δ∂

αα

αα

(4.55)

В области 2δ:

( )

( ).cos)(

;sin

5422

2

22

2

422

2

22

2

txCyCyx

txCyx

уу

хх

ω−αα+−=

∂

δ∂

+

∂

δ∂

ω−α=

∂

δ∂+

∂

δ∂

δδ

δδ

(4.56)

В области 3:

( )

( ).cos

;sin

2

2

623

2

23

2

62

32

23

2

txeCyx

txeC

yxyb

уу

yb

хх

ω−αα−=

∂

δ∂

+

∂

δ∂

ω−α∆

−=

∂

δ∂+

∂

δ∂

∆

−

∆

−

(4.57)

4.6. Решение уравнений токов вторичного элементас учетом первичных поперечных краевых эффектов

Для решения уравнений (4.54)—(4.57) можно использовать одини тот же математический прием. Поэтому представим их решение вболее общем виде.

Общая форма уравнений токов во вторичном элементе можетбыть представлена в следующем виде:

( ).sin)(12

2

2

2txyF

yxω−α=

∂

δ∂+

∂

δ∂

114

Решение отыскиваем в следующей форме:

.sin)(2

txyF

Подставляя значение в основное дифференциальное уравне�ние, получаем неоднородное обыкновенное дифференциальноеуравнение второго порядка относительно F2(у):

).()()(

122

22

2

yFyFdy

yFd

Для решения используем метод варьирования произвольных не�известных функций от у. Для этого находим частные решения соот�ветствующего однородного уравнения:

.)(,)(

,0)()(

2221

22

2

yy eyFeyF

yFyF

Общее решение неоднородного уравнения в этом случае можнопредставить в следующем виде:

),()()()()(2222112

yFyCyFyCyF

где С1(у) и С2(у) — некоторые функции, определяемые из дополнительныхусловий.

Продифференцировав общее решение по у и положив

,0)()()()(222211

yFyCyFyC

будем иметь

).()()()()(2222112

yFyCyFyCyF

Полученное выражение дифференцируем еще раз:

.2222112222112

FCFCFCFCF

Подставляя в обыкновенное неоднородное дифференциальноеуравнение второго порядка значения F2 и F2, получим систему диф�ференциальных уравнений первого порядка относительно С1 и С2.

).(;012121

yFeCeCeCeC yyyy

115

Вначале эту систему решаем как алгебраическую, а затем нахо�дим значения С1(y) и С2(y) путем выполнения операции интегри�рования:

∫ +α

−=

α−=

′

α=

α=

′

α

α−α

.)(2

1

),(1

2;2

1),(

12

2112

11111

CdyeyFC

yFeCCyFeC

y

yy

Таким образом, общее решение неоднородного дифференциаль�ного уравнения получаем в следующем виде:

[ ] .)()(2

1)(

2111112yyyyyy eCeCdyeyFedyeyFeyF α−ααα−α−α

++−

α

= ∫ ∫Общее решение дифференциального уравнения для плотностей

токов во вторичном элементе линейного двигателя имеет следую�щий вид:

[ ] ).sin()()()(2

111

txyAchdyeyFedyeyFe yyyy ω−α

β+α+−α

=δ ∫ ∫ αα−α−α

Преобразуем общее решение для значения функции .)(2

1∆

−

=

yb

eyF

Подставляя значение F1(y) в общее решение, последовательновыполняем элементарные преобразования:

).sin(

112

1)(ch

)sin(

2

1)(ch

22

22

tx

eeeeyA

tx

dyeeedyeeeyA

yyb

y

yyb

y

y

yb

yy

yb

y

ω−α×

×

∆α−∆

−−

∆α+∆

−α

+β+α=

=ω−α×

×

−

α+β+α=δ

∆

∆α+−

α−∆

∆α−−

α

α−∆

−

α−α−∆

−

α ∫ ∫

116

Решение представим в виде

).sin(1

)(ch2

22

2txeyA

yb

ω−α

∆α−

∆+β+α=δ ∆

−

Получим общее решение для следующего вида заданной функ�

ции ∆

=y

yF sh)(1 . Выполнив подстановку и элементарные преобра�

зования, получим:

).sin(2

1

2

1

2

1)(ch

)sin(shsh2

1)(ch

txdyeee

dyeeeyA

txdyey

edyey

eyA

yy

yy

y

yy

yy

y

yyyy

ω−α

−−

−

−

α+β+α=

=ω−α

∆

−∆α

+β+α=δ

∫

∫

∫ ∫

α+∆

−α+∆α−

α−∆

−α−∆α

αα−α−α

Решение можно представить в виде

).sin(sh1

)(ch22

2tx

yyA ω−α

∆∆α−

∆+β+α=δ

Для линейной функции F1 = A11 + A12y, как и в предыдущем слу�чае, получим следующее решение:

).sin()(1

)(ch12112

txyAAyA ω−α

+

α−β+α=δ

Если линейная функция имеет вид F1 = A13 + A14y, то решениеполучается из предыдущего путем простой замены А12 на — А14.

Если F1(y) — величина постоянная, то решение получаем следу�ющим образом.

117

Полагая в предыдущем случае А12 = 0, получим решение

).sin()(ch2

11 txA

yA ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

В частном случае, когда F1(y)=0, решение дифференциальногоуравнения для плотностей токов во вторичном элементе приобре�тает следующий вид:

).sin()(ch txyA

Используя полученные общие решения подобных дифференци�альных уравнений, запишем выражения для плотностей токов вовторичном элементе без учета граничных условий.

Область 1:

).cos(sh1

sh

);sin(ch1

ch

22

21

21

221

11

txyC

yA

txyC

yA

у

х

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

(4.58)

Область 2:

22 3 2 2

2 32 4 2

sh ( ) sin ;

( )ch ( ) cos .

х

у

CA y x t

C y CA y x t

⎡ ⎤ ⎢ ⎥

⎢ ⎥⎣ ⎦

⎡ ⎤ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

(4.59)

Область 2:

42 5 2 2

4 52 6 2

sh ( ) sin ;

( )ch ( ) cos .

х

у

CA y x t

C y CA y x t

⎡ ⎤ ⎢ ⎥

⎢ ⎥⎣ ⎦

⎡ ⎤ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

(4.60)

118

Область 3:

.)cos(exp

1)(sh

;)sin(exp1

)(ch

222

26

383

222

6373

txybC

yA

txybC

yA

у

х

ω−α

∆

−

∆α−

∆α−−βα=δ

ω−α

∆

−

∆α−

∆−−βα=δ

(4.61)

Неизвестные постоянные интегрирования найдем из условиянепрерывности линий тока внутри каждой области и их неразрыв�ности на границах областей. Всего имеем одиннадцать неизвестныхпостоянных — А1—А8, β2α, β2δ, β3. Условия непрерывности внутриобластей дают 4 уравнения (по числу областей), а условия нераз�рывности линий тока на границах областей 7 уравнений (по двауравнения на каждой из трех граничных линий раздела между об�ластями и на границе области 3).

Рассмотрим условия непрерывности линий тока в каждой обла�сти вторичного элемента.

Область 1:

;011=

∂

δ∂

+∂

δ∂

yxух

( )

( )

.

;0cosch1

ch

cosch1

ch

21

221

2

221

1

AA

txyC

yA

txyC

yA

−=

=ω−α

∆∆α−

∆α−αα+

+ω−α

∆∆α−

∆α+αα

Область 2α:

;022=

∂

δ∂

+∂

δ∂αα

yxух

119

.

;0)cos(

)(sh)cos()(sh

43

224

223

AA

tx

CyAtx

CyA

=

=ω−α×

×

α+−βαα−+ω−α

α−−βαα

αα

Область 2δ:

.

;0)cos(

)(sh)cos()(sh

;0

65

426

425

22

AA

tx

CyAtx

CyA

yxух

=

=ω−α×

×

α+−βαα−+ω−α

α−−βαα

=∂

δ∂+

∂

δ∂

δδ

δδ

Область 3:

.

;0)cos(1

)(ch

)cos(1

)(сh

;0

87

226

38

226

37

33

2

2

AA

txeC

yA

txeС

yA

yx

yb

yb

ух

=

=ω−α

∆α−

∆α+−βαα−+

+ω−α

∆α−

∆α−−βαα

=∂

δ∂+

∂

δ∂

∆

−

∆

−

Запишем условия неразрывности линий тока для каждой гранич�ной линии раздела между областями в отдельности.

Граница областей 1 и 2α:

αδ=δ

21 хх при у = b1;

120

.)(shch1

ch22

1231

221

11α

−−βα=∆∆α−

∆+α

α

CbA

bCbA

αδ=δ

21 уу при у = b1;

.)(

)ch(sh1

sh

;)(

)(chsh1

sh

312123

122

21

11

312124

122

21

12

α

++−β=

∆∆α−

∆α−α−

α

++−βα=

∆∆α−

∆α−α

α

α

CbCbA

bCbA

CbCbA

bCbA

Граница областей 2α и 2δ:

δαδ=δ

22 хх при ;2

21bb

y+

=

.2

sh2

sh2421

252221

23 α−

+−βα=

α−

+−βα

δα

CbbA

CbbA

δαδ=δ

22 уу при ;2

21bb

y+

=

;2

2ch

2

2ch

521

421

26

321

221

24

α

+

+

+

+−βα=

=α

+

+

+

+−βα

δ

α

Cbb

Cbb

A

Cbb

Cbb

A

121

.2

2ch

2

2ch

521

421

25

321

221

23

α

+

+

+

+−βα=

=α

+

+

+

+−βα

δ

α

Cbb

Cbb

A

Cbb

Cbb

A

Граница области 2δ и области 3:

32 ххδ=δ

δ при у = b2;

.1

)(ch)(sh22

62372

4225

∆α−

∆−−βα=

α−−βα

δ

CbA

CbA

32 ууδ=δ

δ при у = b2;

.1

)(sh)(

)(ch

;1

)(sh)(

)(ch

22

26

237524

225

22

26

238524

226

∆α−

∆α−−βα=

α

++−βα

∆α−

∆α−−βα=

α

+−−βα

δ

δ

CbA

CbCbA

CbA

CbCbA

Граница области 3 с неэлектропроводящей средой:

.0exp1

)(sh 3222

26

338=

∆

−

∆α−

∆α−−βα

bbCbA

Таким образом, имеем семь уравнений с семью неизвестными:

;

2sh

2sh

;)(chsh

;)(shch

1221

2521

23

1112311

1012311

Cbb

Abb

A

CbAbA

CbAbA

=

+−βα−

+−βα

=−βα+α

=−βα−α

δα

α

α

(4.62)

122

.)(sh

;)(sh)(ch

;)(ch)(sh

;2

ch2

ch

16337

15237225

14237225

1321

2521

23

CbA

CbAbA

CbAbA

Cbb

Abb

Aa

=−βα

=−βα−−βα

=−βα−−βα

=

+−βα−

+−βα

δ

δ

δ

В системе уравнений (4.62) введены следующие обозначения:

;ch1

122

122

10 ∆∆α−

∆

−

α

−=

bссс

;sh1

)(1

22

21312

11 ∆∆α−

∆α−

α

+−=

bсcbсс

;2

4212

α

−

=

ссс

c13 = 0; (4.63)

;1 22

124

14∆α−

∆

−

α

=

ссс

;1

)(

22

21524

15∆α−

∆α

−α

+

−=

сcbсс

.exp1

3222

21

16 ∆

−

∆α−

∆α

=

bbсс

Из�за большого числа уравнений решение системы (4.62) про�изведем комбинированным способом.

Из первых двух уравнений выразим А1 и А3 через β2α.Выполнив последовательно требуемые преобразования, полу�

чим:

123

;

ch

)(sh)(ch

)(chsh

)(shch

)(ch

)(sh

2

12111210

121

121

1211

1210

1α

αα

α

α

α

α

αβ

−βα+−βα=

−βαα

−βα−α

−βα

−βα−

=bcbc

bb

bb

bc

bc

А

.ch

shch

ch

sh

ch

2

110111

2

111

101

3αα

αβ

α−α=

αβ

α

α

=bcbccb

cb

A

Рассматривая систему, состоящую из третьего и четвертого урав�нений, выразим А3 и А5 через β2α и β2δ. Определитель этой системыпосле преобразований примет вид:

).(sh

2ch

2ch

2sh

2sh

Д22

212

212

212

212

2 αδ

αα

αα

β−βα=

+−βα−

+−βα

+−βα−

+−βα

=bbbb

bbbb

Величины А3 и А5 находим в виде

;)(sh

2ch

22

21212

3αδ

δ

β−βα

+−βα−

=

bbc

A

.)(sh

2ch

22

21212

5αδ

α

β−βα

+−βα−

=

bbc

A

Из системы уравнений, составленной из пятого и шестого урав�нений, аналогично предыдущему получим:

).(ch)(sh)(ch

)(ch)(shД

322322

23223

β−βα=−βα−βα

−βα−−βα=

δδ

δ

bb

bb

124

В результате преобразования полученных выражений находим:

.)(ch

)(ch)(sh

;)(ch

)(ch)(sh

32

221422157

32

231523145

bcbс

А

bcbсА

Из седьмого уравнения получаем

.)(sh

33

167 b

сА

Выразим через известные параметры ЛАДПП величины 2, 2,3 и придем к следующей системе уравнений:

).1())((

;1

;

1622232524

19182120

172120

XZccZccXcXZ

Zcc

YX

Ycc

cYX

Xcc

(4.64)

В системе уравнений (4.64) введены следующие обозначения:

;chsh;th;th;th11111017322

bcbccZYX

;2

ch;chsh;shch 2112202142151921421518

bbccbcbccbcbcc

;2

sh 211221

bbcc

;sh

322bc ;ch

323bc

;shch21421524

bcbcc .chsh21421525

bcbcc

Исключив из полученной системы Y и Z, получим алгебраичес$кое уравнение третьей степени. Решив его по формуле Кардано,определим величину Х. Затем определяем значения Y, Z и 2, 2,3. По полученным результатам составляем выражения для плот$ностей токов каждой зоны ЛАД с поперечным магнитным потоком.

125

4.7. Токи вторичного элемента ЛАДППи их взаимодействие с токами индуктора

Как уже говорилось в гл. 3, взаимодействие индуктора со вто$ричным элементом в значительной степени зависит от фазовых со$отношений между соответствующими токами. Все расчеты произ$ведем в комплексной форме. Общие выражения плотностей токоввторичного элемента аналогичны выражениям (3.40) и (3.41). Од$нако распределение плотностей токов вторичного элемента опре$деляется схемой, приведенной на рис. 4.1. Найдем законы измене$ния плотностей токов в каждой отдельной области.

В области 1 вторичного элемента ЛАДПП (рис. 4.1) плотноститока определяются следующими выражениями:

.)chsh(

;)shch(

211

211

xjу

xjх

eycycj

eycyc

�

�

(4.65)

Поскольку двигатель симметричен, в этой области необходимоучесть граничное условие

.001 уу

� (4.66)

С учетом этого ограничения выражения (4.65) приобретают бо$лее простой вид

.sh

;ch

11

11

xjу

xjх

yecj

yec

�

�

(4.67)

В области 2 вторичного элемента плотности тока в общем видепредставим следующим образом:

.chsh

;)shch(

21м12

432

432

xjу

xjх

eBs

jycycj

eycyc

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

�

�

(4.68)

Введем величину 1 так же, как в выражении (4.16). Это равно$сильно введению граничного условия

126

,01

/2=δ

β=ух� (4.69)

которое дает дополнительное уравнение

,0shch1413=λβ+λβ cс

позволяющее исключить неизвестную постоянную с3. Уравненияплотностей токов становятся проще:

.ch

)(сh

;ch

)(sh

2м112

1

142

1

142

xjу

xjх

eBs

jy

cj

ey

c

α−

α−

λ

ωγ−

λβ

β−λα=δ

λβ

β−λλ=δ

�

�

(4.70)

В области 3 вторичного элемента плотности тока в самом общемвиде определяются следующим образом:

.)chsh(

;)shch(

653

653

xjу

xjх

eycycj

eycyc

α−

α−

λ+λα=δ

λ+λλ=δ

�

�

(4.71)

Граничное условие в этой области

03

/3=δ

=bуу� (4.72)

дает дополнительное соотношение

0chsh3635=λ+λ bcbс

и позволяет исключить неизвестную постоянную с5:

.sh

)(sh

;sh

)(ch

3

363

3

363

xjу

xjх

eb

ybcj

eb

ybc

α−

α−

λ

−λα−=δ

λ

−λλ−=δ

�

�

(4.73)

127

Условия неразрывности линий тока на границе областей 1 и 2дают два граничных условия

.

;

11

11

/2/1

/2/1

bууbуу

bухbух

==

==

δ=δ

δ=δ

��

��

(4.74)

Выполнение условий (4.74) приводит к следующему матрично�му уравнению:

,

0

ch

)(chsh

ch

)(shch

2м1124

1

1

111

1

111

λ

ωγ−

=⋅

λβ

β−λ−λ

λβ

β−λ−λ

Bsjc

c

bb

bb

(4.75)

из которого определяются неизвестные постоянные с1 и с4:

;ch12

м1124

bBs

jс λλ

ωγ= (4.76)

.ch

)(sh

1

112

м1121 λβ

β−λ

λ

ωγ=

bBsjс (4.77)

Условия неразрывности линий тока приводят на границе облас�тей 2 и 3 к следующим граничным условиям:

.

;

22

22

/3/2

/3/2

bууbуу

bухbух

==

==

δ=δ

δ=δ

��

��

(4.78)

Из граничных условий получаем матричное уравнение

,

0

sh

)(sh

ch

)(ch

sh

)(ch

ch

)(sh

2м1126

4

3

23

1

12

3

23

1

12

λ

ωγ

=⋅

λ

−λ−

λβ

β−λ

λ

−λ

λβ

β−λ

Bsjc

c

b

bbb

b

bbb

(4.79)

128

из решения которого получаем

;ch)(ch

)(ch

sh

)(sh

ch

)(ch

sh

)(ch

ch

)(sh

sh

)(sh

sh

)(ch0

113

232

м112

3

23

1

12

3

23

1

12

3

232

м112

3

23

4b

b

bbBsj

b

bbb

b

bbb

b

bbBsj

b

bb

с λβ−λ

−λ

λ

ωγ=

λ

−λ−

λβ

β−λ

λ

−λ

λβ

β−λ

λ

−λ−

λ

ωγ

λ

−λ

= (4.80)

.sh)(ch

)(sh

shch

)(ch

сh

)(сh

0сh

)(sh

313

122

м112

31

13

2м112

1

12

1

12

6b

b

bBsj

bb

bb

Bsj

b

b

с λβ−λ

β−λ

λ

ωγ−=

λλ

−λ

λ

ωγ

λβ

β−λ

λβ

β−λ

= (4.81)

Таким образом, выражения для плотностей тока во вторичномэлементе приобретают вид, пригодный для практического исполь�зования в расчетах.

Область 1:

.shch

)(sh

;chch

)(sh

1

112

м1121

1

11м1121

xjу

xjх

yebBs

yebBs

j

α−

α−

λλβ

β−λ

λ

ωαγ−=δ

λλβ

β−λ

λ

ωγ=δ

�

�

(4.82)

129

Область 2:

.1)(chch

ch

;)(shch

ch

11

12

м1122

11

1м1122

xjу

xjх

eybBs

eybBs

j

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

�

�

(4.83)

Область 3:

.)(sh)(ch

)(sh

;)(ch)(ch

)(sh

313

122

м1123

313

12м1123

xjу

xjх

eybb

bBs

eybb

bBsj

�

�

(4.84)

Величина 1 определяется из выражения для постоянной с4:

.сh)(ch

)(сhсh

113

232

м11212

м1124

b

bbBsjb

Bsjс

Выполнив математические действия, получим

.)shch

)(сhсtharth

1

31

2331

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

bb

bbb (4.85)

Итак, все неизвестные постоянные интегрирования определе�ны, и теперь можно выполнять необходимые расчеты и прово�дить требуемые анализы. Но не во всех случаях оказывается удоб�но предварительно определять значение 1. Поэтому исключимэту искусственно введенную величину из выражений для плот�ностей тока. Прямая подстановка приводит в данном случае кгромоздким преобразованиям, поэтому несколько преобразуемотдельные выражения, входящие в формулы плотности тока длякаждой области.

130

Область 1:

.sh

)(ch)(ch

sh

)(ch

sh

ch

сhshshсh

)(сhсthсhsh

thсhshсh

shсhсhsh

ch

)(sh

3

2313

3

23

3

3

1131

23311

1111

1111

1

11

b

bbbb

b

bb

b

b

bbbb

bbbbb

bbbbb

λ

−λ+−λ−=

λ

−λ+

λ

λ×

×λ−λ=

λλ

−γ−λλ−λ=

=λβλ−λ=λβ

λβλ−λβλ=

λβ

β−λ

Область 2α:

.shch

sh)(сh)(shch

shch

)(сhshchchshshchch

сh

)(сh

sh

chshch

сh

shshсhch

ch

)(сh

31

2331

31

231331

1

23

3

3

1

11

1

1

bb

ybbybb

bb

bbybbybby

b

bb

b

byy

yyy

λλ

λ−γ+−λλ=

=λλ

−γλ+λλλ−λλλ=

=λ

−γ+

λ

λλ−λ=

λβ

λβλ−λβλ=

λβ

β−λ

Область 2δ:

.shch

ch)(сh)(chch

shch

ch)(сhchchchshchch

shсh

)(сh

sh

chсhsh

сh

shсhсhsh

ch

)(sh

31

2331

31

231331

31

23

3

3

1

11

1

1

bb

ybbybb

bb

ybbbbyybb

bb

bb

b

byy

yyy

λλ

λ−γ+−λλ−=

=λλ

λ−γ+λλλ−λλλ=

=

λλ

−λ−

λ

λλ−λ=

λβ

λβλ−λβλ=

λβ

β−λ

131

Область 3:

.sh

сhсh

shсh

)(сhсthshch

shсh

)(сhсthсhsh

thshch

thсhsh

shshсhch

shсhсhsh

)(ch

)(sh

3

21

31

23333

31

23322

133

122

1313

1212

13

12

b

bb

bb

bbbbb

bb

bbbbb

bb

bb

bb

bb

b

b

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

После подстановки и упрощений выражения для плотностей токане зависят от величины 1. Запишем эти уравнения для каждой об�ласти вторичного элемента.

Область 1:

.shsh

)(ch)(сh

;chsh

)(ch)(сh

3

13232

м1121

3

1323м1121

xjу

xjх

yeb

bbbbBs

yeb

bbbbBsj

�

�

(4.86)

Область 2:

.sh

shsh)(ch)(shсh

;sh

сh)(ch)(сhсh

3

323312

м1122

3

2331м1122

xjу

xjх

eb

bybbybbBs

eb

ybbybbBsj

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

�

�

Область 3:

2 1 1м 1 23 3

3

2 1 1м 1 23 32

3

сh chсh ( ) ;

sh

ch chsh ( ) .

sh

j xх

j xу

s B b bj b y e

b

s B b bb y e

b

�

�

(4.88)

(4.87)

132

Использование формул (4.86)—(4.88) может вызывать затрудне�ния, особенно при расчете тяговых усилий и параметров схемы за�мещения, поскольку в них не выделены действительная и мнимаячасти. Чтобы не заниматься этим в каждом конкретном расчете,выполним такие требования в общем виде.

х�составляющая плотности тока в области 1 представлена в виде:

,)(1

)(

226

225

22228232723282227

0

м11

xjх

eAA

KAKAjKAKABα−

+ε+

++−

µ

ε=δ� (4.89)

где

.

;sinch;cossh

;sinsh;cosch

);(sin)(sh

);(cos)(ch

);(sin)(sh

);(cos)(ch

);)(())((

);)(())((

0

м12

02

33263325

2827

131324

131323

232322

232321

262524222625232123

262524222526232122

µ

ελ=

==

==

−−=

−−=

−−=

−−=

+−+−−=

−−−+−=

BA

NbMbANbMbA

NYMYANYMYA

bbNbbMA

bbNbbMA

bbNbbMA

bbNbbMA

MANAAANAMAAAK

NAMAAANAMAAAK

Аналогичным путем получим у�составляющую плотности тока вобласти 1 вторичного элемента ЛАДПП:

,))(1(

)(

226

225

22530262726302529

0

м11

xjу

eAA

KAKAjKAKABα−

+ε+

+−++

µ

αε−=δ� (4.90)

где

.

;sinch;cossh

);)(())((

);)(())((

м10

м10

3029

262524222526232126

252624222625232125

BjA

NYMYANYMYA

AAAAAAAAK

AAAAAAAAK

µ

αε−=δε=

==

ε−−−ε+−=

ε+−+ε−−=

�

133

Преобразованная формула х�составляющей плотности тока вобласти 2:

,)(1

)(1

226

225

22934303327282827

226

225

23034293328282727

0

м12

xj

х

eAA

KAKAKAKAj

AA

KAKAKAKAB

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

�

(4.91)

где

).(sin)(sh

);(cos)(ch

;sinsh;cosch

);()(

);()(

);()(

);()(

3334

3333

11321131

26253226253130

26253126253229

26252226252128

26252226252127

ybNybMA

ybNybMA

NbMbANbMbA

MANAANAMAAK

MANAANAMAAK

MANAANAMAAK

NAMAAMANAAK

у�составляющая плотности тока ЛАДПП в области 2 вторичногоэлемента имеет вид

,))(1(

))(1(

226

225

2363336343531303229

226

225

2353436333532303129

0

м12

0

м12

xj

уу

eAA

KKAKAKAKAj

AA

KKAKAKAKA

BB

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

��

(4.92)

134

где

).(sin)(ch

);(cos)(sh

);();(

);()(

);()(

);()(

);()(

3336

3335

226

22536

226

22535

25263126253234

25263226253133

25262126252232

25262226252131

ybNybMA

ybNybMA

AAKAAK

AAAAAAK

AAAAAAK

AAAAAAK

AAAAAAK

−−=

−−=

+ε=+−=

ε++ε−−=

ε++ε−=

ε++ε−−=

ε++ε−=

Для области 3 вторичного элемента ЛАДПП после математичес�ких преобразований получаем

,)(1

)(

226

225

23734383338343733

0

м13

xjх

eAA

KAKAjKAKABα−

+ε+

++−

µ

ε=δ� (4.93)

где

.sinsh

;cosch

);)(())((

);)(())((

2238

2237

262531372625323838

262532382625313737

NbMbA

NbMbA

NAMAAAMANAAAK

NAMAAAMANAAAK

=

=

−−++−=

−−−+−=

Аналогично получим соотношение для плотности тока в облас�ти 3 вторичного элемента ЛАДПП

,))(1(

)(

226

225

23936403540363935

0

м13

xjу

eAA

KAKAjKAKABα−

+ε+

+−++

µ

αε−=δ� (4.94)

где

).)(())((

);)(())((

262532382526313740

262531372526323839

AAAAAAAAK

AAAAAAAAK

ε−−−ε+−=

ε−−+ε+−=

135

4.8. Коэффициент ослабления электромагнитной силылинейного асинхронного двигателяс поперечным магнитным потоком

Элементарное усилие взаимодействия одной половины активнойчасти индуктора ЛАДПП с вторичным элементом можно предста�вить следующим образом:

.z22

Re 2м1эм

δ= dxdyd

ВdF

y�

�

(4.95)

С учетом выражения (4.87) выражение (4.95) приобретает следу�ющий вид:

.sh

sh)(ch)(shchsh

2Re

3

233132

22м10

эм

λ

λ−λ−−λλ−λ

λ

αα

εδµ=

b

ybbybbbdF

Усилие взаимодействия между индуктором и вторичным элемен�том определяется интегрированием по всему объему немагнитногозазора, который «заполнен» вторичным током:

.zsh

sh)(ch)(shchshRe

2

1 2

10

2

0 3

233132

2

2м10

эм

dydxdb

ybbybbb

F

p b

b∫ ∫ ∫∆ τ

λ

λ−λ−−λλ−λ

λ

α×

×α

εδµ=

(4.96)

Интегрирование по осям x и z в пределах одной половины ак�тивной части индуктора ЛАДПП сводится к умножению на 2рτ∆1:

.sh

sh)(ch)(shch1Re

2

2

2

13

23312

2

12м10

эм

dyb

ybbybb

рF

b

b∫

λ

λ−λ+−λλ−

λ

α×

×α

∆τεδµ=

136

Выполняя интегрирование по оси у путем использования стан�дартных интегралов, получим

.

sh2

)chch)((ch)(chch)(chchRe

Re2

32

21223131231

2

21

2м10

эм

λλα

λ

λ−λ−λ+−λλ+−λλ−−

−

λ

αα

∆τεδµ=

bb

bbbbbbbbbb

bрF

Введем обозначения

,эмо

эмос F

FК = (4.97)

где .2

12м10

эмо α

∆τεδµ=

bрF

Таким образом, общее выражение для коэффициента ослабле�ния электромагнитной силы ЛАДПП в зоне активного взаимодей�ствия имеет вид

.

sh2

)chch)((ch)(chch)(chch

ReRe

32

21223131231

2

2

ос

λλα

λ

λ−λ−λ+−λλ+−λλ−×

×−

λ

α=

bb

bbbbbbbbbb

К

(4.98)

Выражение (4.98) можно использовать для конкретной оценкикоэффициента ослабления электромагнитной силы в заданных си�туациях. Естественно, что удобнее использовать формулы, в кото�рых выделена действительная часть. Однако прежде чем выпол�нить подобные преобразования, рассмотрим особый случай, ког�

137

да b3 – b2 = b1. При этом коэффициент ослабления электромагнит�ной силы преобразуется следующим образом:

.sh

)chch(ch1Re

3

1212

2

ос1

λλ

λ−λλ−

λ

α=

bb

bbbК (4.99)

Исходя из физических соображений, легко показать, что выра�жение (4.99) фактически представляет ту же величину, что и выра�жение (3.70). Отличие заключается лишь в разном расположенииосей координат. В то же время выражение (4.98) является более об�щим и учитывает тот факт, что в ЛАДПП не всегда выполняетсяравенство b3 – b2 = b1.

Коэффициент ослабления силы ЛАДПП после преобразованийбудет иметь вид

,)(12

1

1

1

226

225

2

252651262550

2ос

+ε+α

α

+ε+

α

ε−+

α

+ε−

α

ε−

−×

×ε+

=

AAb

NMA

NMAA

NMA

NMAA

К

(4.100)

где

.sinch,cossh

;sinsh,cosch

);(sin)(sh

);(cos)(ch

);(sin)(sh

);(cos)(ch

;sinsh,cosch

);2()2(

);2()2(

33263325

22382237

232322

232321

131324

131323

11321131

3137223238212431233251

3238223137212432233150

NbMbANbMbA

NbMbANbMbA

bbNbbMA

bbNbbMA

bbNbbMA

bbNbbMA

NbMbANbMbA

AAAAAAAAAAA

AAAAAAAAAAA

==

==

−−=

−−=

−−=

−−=

==

−+−++=

−−−+−=

138

Коэффициент ослабления электромагнитной силы, определяе�мый по формуле (4.100), безусловно, отличается от значений Кос,найденных для двигателя с продольным замыканием магнитногопотока. Однако если выполняется соотношение b3 – b2 = b1 и неучитывается влияние срединного эффекта силового взаимодей�ствия, возможно применение данных, приведенных в табл. 3.5 и3.6 и на рис. 3.10—3.13. Величина коэффициента ослабления силыв таком случае получается с некоторым запасом, т.е. меньше дей�ствительной.

4.9. Срединный эффект силового взаимодействиялинейного асинхронного двигателяс поперечным магнитным потоком

Физический смысл срединного эффекта силового взаимодей�ствия определяется тем, что в области 1 ЛАДПП (см. рис. 4.1) воз�никает силовое взаимодействие между токами вторичного элемен�та этой области с магнитным полем, образуемым магнитодвижущейсилой лобовых частей обмотки индуктора, противостоящих облас�ти 1 вторичного элемента.

Плотность тока в области 1 вторичного элемента содержит каку�, так и х�составляющую, но действие каждой из них проявляетсякачественно по�разному. Первая из них участвует в создании тяго�вого усилия в направлении движения, увеличивая последнее, вто�рая же создает усилия, направленные перпендикулярно скоростибегущего магнитного поля, т.е. стабилизируя ЛАДПП в поперечномнаправлении.

Рассмотрим более подробно влияние срединного эффекта сило�вого взаимодействия на коэффициент ослабления электромагнит�ной силы ЛАДПП.

Элементарное приращение тягового усилия за счет срединногоэффекта силового взаимодействия можно представить в следующемвиде:

*

1 10эм

( ) Re z .2 2

уНd F dxdyd

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

�

139

С учетом выражения (4.86) получим

0 1 1эм

0 1м 1 1 0 1м2 12

1

3 2 3 1

3

20 1м

2 21

( ) Re z2 2

ch ch ( )Re

(ch 1) 2

ch ( ) ch ( )sh z

sh

chRe

(ch 1) 2 /

у уd F j dxdyd

b b y sj j

b

b b b bydxdyd

b

b

⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦

⎧ ⎡ ⎤ ⎛ ⎞⎛ ⎞⎪ ⎣ ⎦ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎨ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎪ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎩

⎫ ⎪ ⎬ ⎪⎭

⎧ ⎪ ⎨ ⎪⎩

� �

3 2 3 1

3

1 1

20 1м 3 1 3 2

2 21 3

1 1

( ) ch ( )

sh

ch ch ( ) sh z

ch ( ) ch ( )Re

2(ch 1) ( / )sh

ch ch ( ) sh z .

b b b b

b

b b y ydxdyd

b b b b

b b

b b y ydxdyd

⎡ ⎤ ⎣ ⎦

⎧ ⎪ ⎨ ⎪⎩

⎡ ⎤ ⎣ ⎦

Выполняя интегрирование по осям х и z и используя принятыевыше обозначения, найдем дополнительное тяговое усилие, опре�деляемое взаимодействием срединного эффекта силового взаимо�действия:

,sh)(chch

sh

)(ch)(chRe

)1ch(2

1

011

32

22313

1

эмоэм

⎪⎪

⎭

⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

∫b

ydyybb

b

bbbb

bb

FF

(4.101)

140

где — толщина вторичного элемента;

b

pF

2

2м10

эмо

— электромагнитная сила.

Из определения коэффициента ослабления электромагнитнойсилы получаем выражение для его приращения, обусловленногоналичием срединного эффекта силового взаимодействия индукто�ра и вторичного элемента:

.sh)(chch

sh

)(ch)(chRe

)1ch(2

1

1

011

32

22313

1ос

⎪⎪

⎭

⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

∫b

ydyybb

b

bbbb

bbК

(4.102)

Вычислим интеграл

).chch()(ch)(2

1

)(ch)(2

1sh)(ch

11220

1

10

1

1

1

bbby

byydyby

b

b

∫

Выполним интегрирование по у и преобразуем выражение (4.102)к виду:

ос

3 1 3 2 1 1 1 12 2 2

1 32

Re

ch ( ) ch ( ) ch (ch 1) (ch ch ).

2 (ch 1) sh

К

b b b b b b b b

b b b

⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎡ ⎤⎪ ⎪ ⎢ ⎥⎨ ⎬ ⎢ ⎥⎪ ⎪⎣ ⎦ ⎪ ⎪⎩ ⎭

(4.103)

141

Влияние срединного эффекта силового взаимодействия на ко�эффициент ослабления электромагнитной силы ЛАДПП оценить спомощью (4.103) достаточно трудно. Выполнив математические пре�образования, приведем это выражение к более удобному виду длячисленных расчетов. В результате математических преобразованийприращение коэффициента ослабления электромагнитной силыпредставляется в следующем виде:

,

)(1)1()1ch(2

)()()1(

)(1)1()1ch(2

))(())((ch

226

225

221

2625'22625

'1

2

226

225

221

25'226

'126

'225

'11

ос

AAbb

NAMAAMANAA

AAbb

MNAKAKNMAKAKbК

где

.sinsh

;cosch;sinch

;cossh);(sin)(sh

);(cos)(ch

);(sin)(sh

);(cos)(ch

);()(

);()(

);()(

);()(

1132

11313326

3325131324

131323

232322

232321

2224312123322

2224322123311

2224312123322

2224322123311

NbMbA

NbMbANbMbA

NbMbAbbNbbMA

bbNbbMA

bbNbbMA

bbNbbMA

AAAAAAK

AAAAAAK

AAAAAAA

AAAAAAA

На основе выражения (4.104) выполнены расчеты и произведе�ны графические построения, позволяющие определить Кос в необ�ходимых случаях. На рис. 4.7—4.10 приведены значения коэффи�циента ослабления электромагнитной силы ЛАДПП с учетом влия�ния срединного эффекта силового взаимодействия (сплошные ли�нии) для случая, когда b1 = 0,6b и b1 = b3 – b2.

(4.104)

142

Вычисление коэффициентаослабления электромагнитнойсилы для случая, когда магнит�ное число Рейнольдса = 0, спомощью выражения (4.104) не�возможно, так как выражениеКос становится неопределен�ным.

Рис. 4.7. Коэффициент ослабления электромагнитной силы ЛАДПП (штрихо�вая линия — без учета влияния срединного эффекта, сплошная линия — с уче�

том влияния срединного эффекта)

Рис. 4.8. Коэффициент ослабленияэлектромагнитной силы ЛАДПП при

0,1b

(штриховая линия — без уче�

та влияния срединного эффекта,сплошная линия — с учетом влияния

срединного эффекта)

143

Полагая =, произведем необходимые преобразования и по�лучим формулу для приращения коэффициента ослабления элек�тромагнитной силы при = 0:

11 1

3 1 3 2 10

ос 01 3

1 1 1 13 1 3 2

1 3

3 1 3 2ос 0

ch (ch 1)ch ( ) ch ( ) ch ( )sh

2 (ch 1)sh

sh ch (ch 1)ch ( ) ch ( )

2.

2 (ch 1)sh

ch ( ) ch ( )

b b bb b b b y b dy

Кb b b

b b b bb b b b

b b b

b b b bК

⎡ ⎤ ⎢ ⎥⎡ ⎤ ⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎣ ⎦

⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎣ ⎦

⎡ ⎤ ⎣ ⎦

∫

1 1 1 1

1 3

sh 2ch (ch 1).

4 (ch 1)sh

b b b b

b b b

⎡ ⎤ ⎣ ⎦

(4.105)

Рис. 4.9. Коэффициент ослаб�ления электромагнитной силы

ЛАДПП при 4,0b

(штрихо�

вая линия — без учета влияниясрединного эффекта, сплош�ная линия — с учетом влияния

срединного эффекта)

Рис. 4.10. Коэффициент ослабленияэлектромагнитной силы ЛАДПП

при 2,0b

(штриховая линия — без

учета влияния срединного эффекта,сплошная линия — с учетом влияния

срединного эффекта)

144

Некоторые значения ∆Кос приведены в табл. 4.1.Таблица 4.1

Значения ∆Кос при условии b1=0,6b и b1=b3 – b2

145

Глава 5. ВОПРОСЫ ВЫБОРА РАЦИОНАЛЬНЫХ

И ОПТИМАЛЬНЫХ СООТНОШЕНИЙ

В ТЯГОВЫХ ЛИНЕЙНЫХ АСИНХРОННЫХ

ДВИГАТЕЛЯХ

5.1. О рациональном взаимном расположении индуктораи вторичного элемента

Проблема рационального или даже оптимального взаимного рас�положения индуктора и вторичного элемента ЛАД (и их продоль�ных осей) не требует серьезных математических исследований.

Исходя из физических процессов при работе линейного асин�хронного двигателя, можно сделать заключение о том, что присовпадении продольных осей индуктора двигателя и его вторич�ного элемента, т.е. при симметричном их расположении, дости�гается наибольшая эффективность использования данной тяго�вой машины.

Наибольший интерес при оценке эффективности работы ЛАДпри симметричном расположении его индуктора и ВЭ представля�ет задача определения точки перегиба линий тока вторичного эле�мента, т.е. точки и, следовательно, еще одной продольной оси, про�ходящей через эту точку перегиба. На этой оси х�составляющаяплотности тока вторичного элемента изменяет свой знак.

В гл. 4 определена у�координата этой оси из системы уравне�ний (4.26)

.shch

)(chctharth

1

31

2331

αα

−α−αβ

α=β

bb

bb

Выполняя последовательно математические преобразования,приведем общее выражение для у�координаты точки перегиба кболее удобному для исследования виду

146

.)(ch)shch(ch

)(ch)shch(chln

2

1

shch

)(chchch1

shch

)(chchch1

ln2

1

shch

)(chchсharth

1

23331

23331

31

2313

31

2313

31

23131

bbbbb

bbbbb

bb

bbbb

bb

bbbb

bb

bbbb

−α+α−αα−

−α−α+αα

π=

=

αα

−α−αα−

αα

−α−αα+

π=

αα

−α−αα

π=

τ

β

Для дальнейших решений используем следующее выражение:

,)exp(

)exp(ln

2

1

3201

20131

bK

Kb

α−−

−α

π=

τ

β (5.1)

где .,ch

ch234

1

4201

bbbb

bK −=

α

α

=

Проанализируем изменения положения точки перегиба линийтока во вторичном элементе линейного асинхронного двигателя споперечным магнитным потоком на конкретных числовых приме�рах при различных соотношениях геометрических размеров и по�люсного деления ЛАД.

Данные расчетов приведены в табл. 5.1—5.3.Таблица 5.1

Относительное отклонение оси токов вторичного элемента

с малым полюсным делением 33=

τ

b от оси индуктора

147

Таблица 5.2Относительное отклонение оси токов вторичного элемента

со средним значением полюсного деления 13=

τ

b от оси индуктора

Таблица 5.3Относительное отклонение оси токов вторичного элемента

от продольной оси индуктора с большим значением полюсного деления 0,13=

τ

b

На рис. 5.1 приведен рельеф следующей функции:

., 3

211

τ=β∆

b

b

bf (5.2)

Как следует из таблиц и рис. 5.1, с увеличением полюсного деле�ния ЛАД относительное смещение токов вторичного элементауменьшается, что облегчает выбор геометрических размеров индук�тора ЛАД и вторичного элемента и их соотношения для повыше�ния эффективности использования тяговых машин в высокоскоро�стных транспортных системах.

148

5.2. Оптимизация распределения токов во вторичномэлементе тягового ЛАД

Максимизация плотности тока во вторичном элементе линей�ного асинхронного двигателя может быть исследована методом ва�риационного исчисления. Однако определить экстремумы для мгно�венных значений плотностей тока во вторичном элементе в мате�матическом виде невозможно, так как получаемые при анализе ал�гебраические уравнения не имеют корней.

Решающее значение в электромагнитном взаимодействии индук�тора и вторичного элемента линейного двигателя имеет у�составля�ющая плотности тока ВЭ, определяемая по формуле (4.30) для об�

Рис. 5.1. Смещение оси токов во вторичном элементе ЛАДПП при смещенииоси индуктора на 10 %

149

ласти 2 вторичного элемента (см. рис. 4.1). Поэтому ниже более под�робно рассмотрим именно эту составляющую плотности тока вовторичном элементе.

Будем варьировать величины b1 и b2 при неизменяемых значе�ниях b и b3. В этих условиях можно не полностью анализироватьвыражения для у�составляющей плотности тока во вторичном эле�менте ЛАД по формуле (4.30), а использовать составляющую 2y,заключенную в квадратные скобки. Обозначив произведения осталь�ных величин символом К, получим общее выражение усредненногозначения амплитуды плотности тока 2y области 2 вторичного эле�мента ЛАД:

.1)(chch

ch

2

2

1

11

1ср2 ∫

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

b

bу

dyyb

b

K (5.3)

В результате интегрирования получим

.)(sh)(shch

ch1

2 1211211

1ср2

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

bbbb

b

b

Kу (5.4)

Воспользовавшись ранее полученным соотношением (4.26) ивыполнив ряд несложных математических действий, получим

.1)(shshch

)(chcth)(ch

chsh

1ch

)(shsh)(chchchsh

12

ch2

sh2ch2

ch

1)](sh)(sh[ch2

ch

131

2331

1

1

11111

211

12

1

1

211111

1ср2

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

bbbb

bbbbb

b

bbK

bbbbb

b

bbK

bbbb

b

bK

bbb

bK

у

(5.5)

150

Приведем выражение для у2ср к более удобному для анализавиду

.1sh

)(sh)(ch)(shchsh

3

123131ср2 ⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

b

bbbbbbbb

ab

bK

у (5.6)

Дальнейшие исследования на экстремум достаточно выполнитьдля следующего соотношения:

).(sh)2(ch)(shchz1131311

bbbbbbbbb (5.7)

Найдем экстремум величины z1, приравняв первую ее производ�ную по b1 нулю:

.0)(sh)2(ch)(sh)2(sh

)2(sh)(chch)(shshz

113113

131311311

1

bbbbbbbbbb

bbbbbbbbbbbb

После ряда математических преобразований получим следующееуравнение:

).23(ch)2(ch1313

bbbbbb (5.8)

Корни этого уравнения определяются двумя способами.Во�первых,

b3 – b – 2b1 = b3 – 3b – 2b1 и b = 0. (5.9)

Во�вторых,

b3–b – 2b1 = –(b3 – 3b – 2b1) и .23

1b

bb (5.10)

Первое решение (5.9) уравнения (5.8) определяет минимальноезначение плотности тока во вторичном элементе ЛАД (область 2).Физические соображения также свидетельствуют о том, что у2срmin == 0. Решение (5.9) не представляет интереса для проектирования

151

линейных асинхронных двигателей для высокоскоростных транс�портных систем.

Второе решение (5.10) уравнения (5.8) определяет максималь�ное значение плотности тока в области 2 вторичного элемента.Подставив выражение (5.10) в соотношение для средней плот�ности тока во вторичном элементе, находим его максимальноезначение

3

2ср max3

sh ch2

1 .

ch2

у

bb b

Kb

b

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎢ ⎥

⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦

(5.11)

Значение у2ср max можно представить в виде

32ср max

shср sh th 1 .

2у

bbK b b

b

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦ (5.12)

5.3. Исследование окрестностей экстремумасреднего значения плотности тока вторичного элемента

ЛАД в зоне активной части индуктора

Предположим, что при отклонении от оптимального вариантаразмер b1 линейного асинхронного двигателя получает прираще�ние ±b.

Тогда в выражении (5.12) следует представить

.23

1bb

bb

Максимальная средняя плотность тока во вторичном элементепри этом получит приращение ±у2ср max.

152

Проведя соответствующие преобразования, получим

3 33

2ср max 2ср max3

3 33

3

3 3

ch sh2 2sh

sh

ch 2 sh2 2

1sh

ch sh2 2sh

у у

b bb b b b b b

bK

b b

b bb b b b b b b

b

b bb b b

bK

b

⎧ ⎡ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎪ ⎢ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎪ ⎢ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎨ ⎢ ⎪ ⎢⎪ ⎢

⎣⎩

⎫⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎪ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎪⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎬⎥ ⎪⎥⎪⎥

⎦ ⎭

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎜ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

∓3 3

3 3

3

3 3

3

3

ch sh2 2

1sh sh

sh ch2

sh sh 1sh 2 2

ch2sh

2

b bb b b

b b

bb b b

b bK b b

b b

bb b

bK

b

⎧ ⎫⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎪ ⎪ ⎢ ⎥⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎪ ⎪⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎨ ⎬⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪⎢ ⎥

⎣ ⎦⎩ ⎭

⎧ ⎫⎛ ⎞ ⎪ ⎪⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎪ ⎪⎝ ⎠ ⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎨ ⎬⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎪ ⎪⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

⎪ ⎪⎩ ⎭

⎛ ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎝ ⎠

∓

3

3

sh cos2

1 .sh

bb

b

⎡ ⎤ ⎢ ⎥⎟⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥

⎢ ⎥⎣ ⎦

Для определения значения приращения средней плотности токаво вторичном элементе линейного асинхронного двигателя преоб�разуем следующее соотношение:

153

.sh2

shshch2

shsh2

ch

shch2

sh12

ch

2chch)(sh

2shch

2ch

2chch

2сh

333

323

333

33

bbbb

bbbb

bbb

bbbb

bchbb

bb

bbbb

bbb

bb

bbbb

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

Абсолютное приращение плотности тока представляется в сле�дующем виде:

.sh

sh2

sh2

sh

2sh

3

33

maxср2K

b

bbbbb

b

bу

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

(5.13)

С точки зрения проектирования и эксплуатации перспективныхвысокоскоростных транспортных систем наибольший интерес пред�ставляет относительное приращение средней амплитуды тока в ак�тивной взаимодействующей с индуктором ЛАД зоне области 2 вто�ричного элемента:

.

2ch

2chsh

sh2

shsh

1

2ch

2ch

sh

2ch

2sh

sh

33

3

3

3

3

3

maxcp2

maxср2

bbb

bb

bbbb

b

b

bb

b

bK

b

bbb

b

bK

у

у

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

154

После ряда математических преобразований получим выражениедля определения относительного приращения амплитуды среднейплотности тока вторичного элемента ЛАД:

.

2ch

2chsh

sh2

shsh

33

3

maxcp2

maxср2

bbb

bb

bbbb

b

у

у

αα−

−αα

∆α

∆+−αα

=δ

δ∆ (5.14)

Из соотношения (5.14) видно, что относительное приращениеплотности тока вторичного элемента не зависит от знака прираще�ния поперечного размера ∆b. Расчеты показывают, что приращениесреднего значения амплитуды плотности тока вторичного элемента(относительное и абсолютное значения) всегда будет отрицатель�ным (табл. 5.4).

Таблица 5.4Величина отклонения плотности тока вторичного элемента от оптимальной (%)

при варьировании геометрических размеров ЛАДПП

Это полностью согласуется с физическими представлениямио работе линейного асинхронного двигателя: при отклоненииоси индуктора от оси вторичного элемента ухудшается элект�ромагнитное взаимодействие между ними, уменьшается плот�ность тока вторичного элемента и снижается значение тяговогоусилия ЛАД.

Оценка окрестностей экстремума непосредственно в цифрах при�ведена в табл. 5.4. В этой таблице приведены отклонения среднейплотности тока вторичного элемента ЛАД в (процентах) от ее опти�мального (максимального) значения при изменении величины b1 ,приращения которой рассматриваются в отношении к ширине вто�

155

ричного элемента при различных полюсных делениях. Следуетучесть, что эти отклонения всегда отрицательны.

Исследование окрестностей экстремума средней плотности токавторичного элемента ЛАД показывает, что экстремум имеет явновыраженный пик. Это говорит о том, что отклонения от оптималь$ного состояния приведут к значительному уменьшению плотноститока во вторичном элементе, снижению тягового усилия и суще$ственному ухудшению энергетических показателей линейного асин$хронного двигателя.

Изменения плотности тока при варьировании геометрическихразмеров показаны на рис 5.2.

Видно, что особенно сильно ухудшается электромагнитное вза$имодействие индуктора и вторичного элемента ЛАД при малыхзначениях полюсного деления. Это приводит к существенномуснижению тяговых усилий и энергетических характеристик тя$говых двигателей. Поэтому при проектировании ЛАД для перс$пективного высокоскорост$ного транспорта следует сра$зу отказываться от вариантовконструкций, имеющих от$носительно малые значенияполюсного деления.

Вместе с тем представляет$ся, что оптимизация распреде$ления токов во вторичном эле$менте является только локаль$ным способом повышения эф$фективности действия тяговыхЛАД. Следует продолжить по$иск более глобальных реше$ний в области увеличения(максимизации) усилий взаи$модействия индуктора и вто$ричного элемента.

Рис. 5.2. Окрестности максимумаусредненной амплитуды попереч$ной плотности тока активной зонывторичного элемента ЛАДПП присмещении индуктора в поперечном

направлении для 13

b

156

5.4. Вопросы оптимизации силового электромагнитноговзаимодействия индуктора и вторичного элемента ЛАД

Задачу оптимизации силового взаимодействия между индукто$ром и вторичным элементом линейного двигателя предлагают ре$шать методами вариационного исчисления.

При вариационной формулировке задачи оптимизации силово$го электромагнитного взаимодействия между индуктором ЛАД и еговторичным элементом находят экстремум (максимум) функциона$ла, в качестве которого выступает электромагнитная сила

.z22

Re 1

0

2

0 0

м1эм

1

dxdydВ

F уp b

∫ ∫ ∫

�

�

Причем для конкретного аналитического решения вариацион$ной задачи максимум функционала Fэм требуется достичь при со$блюдении соответствующих краевых, начальных и граничных ус$ловий.

Однако решение этой задачи можно существенно упростить, есливоспользоваться результатами, полученными выше в гл. 3 и 4.

Определим коэффициент силового взаимодействия индуктора ивторичного элемента в следующем виде:

,ocсв

KK (5.15)

где Кос — коэффициент ослабления электромагнитной индукции ЛАД, опре$деляемый по формуле (3.70).

Коэффициент силового взаимодействия, с некоторыми оговор$ками, фактически равен плотности электромагнитной силы в ак$тивной части индуктора. Отличие состоит в том, что он нелинейнозависит от полюсного деления и оценивается при постоянстве на$магничивающей силы индуктора. Последнее особенно важно в слу$чае питания индуктора от источника с постоянным напряжением.

Используя выражения (3.70), (5.15) и табл. 3.6, найдем значениекоэффициента силового электромагнитного взаимодействия двига$теля с продольным полем для тех же условий, что и в гл. 3. Резуль$таты расчета приведены в табл. 5.5 и 5.6 и на рис. 5.3.

Из рис. 5.3 можно сделать вывод о том, что зависимость силово$го электромагнитного взаимодействия ЛАД с продольным магнит$

157

ным потоком от геометрических размеров двигателя содержит эк�стремумы разного порядка.

Таблица 5.5Коэффициент силового электромагнитного взаимодействия ЛАД

с продольным магнитным потоком при 1,61

2=

b

b

Таблица 5.6Коэффициент силового электромагнитного взаимодействия ЛАДПП

при 1,61=

+

b

bb

Поиск оптимальных силовых взаимодействий между индуктороми вторичным элементом ЛАДПП приводит к вариационной задачемаксимизации следующего функционала, полученного в гл. 4:

.zsh

sh)(ch)(shchsh

Re2

3

23313

0

2

02

2210

эм

1 2

1

dxdydb

ybbybbb

F

p b

b

M

λ

λ−λ−−λλ−λ×

×λ

α

α

εδµ= ∫ ∫ ∫

∆ τ

(5.16)

Результаты решения задачи представлены на рис. 5.4 и 5.5.На рис. 5.6 показаны зоны наивыгоднейшего использования

ЛАДПП, рассчитанные по принятой выше методике.

158

Рис. 5.3. Коэффициент силового электромагнитного взаимодействия ЛАД с

продольным магнитным потоком при 6,11

2=

b

b в функции ε

Рис. 5.4. Коэффициент силового электромагнитного взаимодействия ЛАДПП

при 6,11

2=

b

b в функции ε

159

Выделены области с различным значением коэффициента сило�вого электромагнитного взаимодействия. На рис. 5.6 показаны гло�бальный и два локальных экстремумов. Причем величина Ксв в ло�кальных экстремумах незначительно отличается от Ксв в зоне гло�бального экстремума.

Особый интерес представляет собой локальный экстремум приε=3, который дает основания говорить о преимуществах ЛАДППдля высокоскоростного наземного транспорта с магнитной подвес�кой экипажа.

Наглядное представление о распределении локального и глобаль�ного экстремумов зависимости коэффициента силового электромаг�нитного взаимодействия от геометрических размеров ЛАДПП даетрис. 5.6. Результаты этих исследований могут быть использованыпри проектировании линейных асинхронных электродвигателей длявысокоскоростного транспорта.

Рис. 5.6. Зоны наивыгоднейшегоиспользования ЛАДПП при раз�личных соотношениях его разме�

ров

Рис. 5.5. Коэффициент силовогоэлектромагнитного взаимодействия

ЛАДПП при 6,11

2=

b

b в функции

τ

1b

160

Рекомендуемая литература

1. Совершенствование электрооборудования тягового подвижно�го состава / Под ред. В.А. Кучумова и Н.Б. Никифоровой. — М.:ВНИИЖТ, 2011. — 150 с.

2. Савоськин А.Н. Скоростной подвижной состав на одноосныхтележках // Мир транспорта. — № 2. — 2005. — С. 4—19.

3. Пат. 2294047 РФ, МПК Н02К 41/025. Линейный асинхронныйдвигатель / В.А. Соломин, Н.А. Трубицина, М.А. Трубицин, А.В. Соло�мин и др. — № 2005133131; заявл. 27.10.05; опубл. 20.02.07, Бюл. № 5.

4. Пат. 2301490 РФ, МПК Н02К 41/025. Линейный асинхрон�ный двигатель / В.А. Соломин, Н.А. Трубицина, М.А. Трубицин,А.В. Соломин. — № 2005139771; заявл. 19.12.05; опубл. 20.06.07,Бюл. № 17.

5. Соломин А.В. Регулируемый линейный асинхронный дви�гатель // Электротехника. — 2004. — № 12. — С. 31—34.

6. Пат. 22115224 РФ, МПК НО2К 41/025. Линейный асинхрон�ный двигатель / А.В. Соломин, В.А. Соломин, Д.Ф. Голубев. —№ 2001109769/09; заявл. 11.04.01; опубл. 27.08.03, Бюл. № 24.

7. Пат. 2268543 РФ, МПК НО2К 41/025. Линейный асинхрон�ный двигатель / А.В. Соломин. — № 2004120797/09; заявл. 07.07.04;опубл. 20.01.06, Бюл. № 2.

8. Пат. 2233223 РФ, МПК В 61 Н 7/08. Электромагнитный рель�совый тормоз / А.В. Соломин. — № 2002119791; заявл. 22.07.02;опубл. 20.02.04, Бюл. № 5.

9. Пат. 2259001 РФ, МПК Н02К 41/025. Линейный асинхронныйэлектропривод / В.А. Соломин, Л.Л. Замшина, А.В. Соломин. —№ 2003138093; заявл. 30.12.03; опубл. 20.08.05, Бюл. № 23.

10. Пат. 2279752 РФ, МПК Н02К 41/025. Линейный асинхрон�ный электропривод / В.А. Соломин, Л.Л. Замшина, А.В. Соломин. —№ 2005108240; заявл. 23.03.05; опубл. 10.07.06, Бюл. № 19.

11. Соломин А.В. Линейные асинхронные тяговые двигатели длявысокоскоростных поездов и их математическое моделирование:монография. — Ростов н/Д: РГУПС, 2008. — 200 с.

161

Оглавление

Введение .............................................................................................. 3

Глава 1. СИСТЕМЫ ДЛЯ ВЫСОКОСКОРОСТНОГОДВИЖЕНИЯ С ЛИНЕЙНЫМИ АСИНХРОННЫМИДВИГАТЕЛЯМИ ............................................................................ 6

1.1. Система высокоскоростного транспорта на магнитномподвесе с линейными асинхронными двигателями в путевойструктуре .............................................................................................. 61.2. Система высокоскоростного наземного транспортана магнитном подвесе с индукторами линейных асинхронныхдвигателей, установленными на экипаже ........................................ 111.3. ЛАД с повышенными усилиями поперечнойсамостабилизации .............................................................................. 171.4. Высокоскоростные транспортные системы с колеснымприводом ............................................................................................ 221.5. Классификация высокоскоростных транспортных систем ..... 251.6. Конструкции регулируемых ЛАД и их применениена высокоскоростном подвижном составе ...................................... 32

Глава 2. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕПЛОТНОСТИ ТОКА ИНДУКТОРАЛИНЕЙНОГО АСИНХРОННОГО ДВИГАТЕЛЯДЛЯ ВЫСОКОСКОРОСТНОГО ТРАНСПОРТА ...................... 44

2.1. Тяговый линейный асинхронный двигательс продольным магнитным потоком .................................................. 442.2. Линейный асинхронный двигатель с поперечныммагнитным потоком .......................................................................... 48

Глава 3. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ТОКОВВО ВТОРИЧНОМ ЭЛЕМЕНТЕ ЛИНЕЙНОГОАСИНХРОННОГО ДВИГАТЕЛЯ С ПРОДОЛЬНЫММАГНИТНЫМ ПОТОКОМ ДЛЯ ВЫСОКОСКОРОСТНОГОТРАНСПОРТА ............................................................................. 57

3.1. Постановка задачи и составление уравнений ........................... 57

162

3.2. Решение дифференциальных уравнений плотности токаво вторичном элементе ..................................................................... 603.3. Анализ полученных расчетных соотношений ........................... 653.4. Расчет и построение линий тока во вторичном элементелинейного асинхронного электродвигателя .................................... 693.5. Взаимодействие токов индуктора и вторичного элементалинейного асинхронного электродвигателя .................................... 743.6. Коэффициент силового взаимодействия индуктораи вторичного элемента ...................................................................... 85

Глава 4. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕРАСПРЕДЕЛЕНИЯ ТОКОВ ВО ВТОРИЧНОМЭЛЕМЕНТЕ ЛИНЕЙНОГО АСИНХРОННОГОДВИГАТЕЛЯ С ПОПЕРЕЧНЫМ МАГНИТНЫМПОТОКОМ ................................................................................... 91

4.1. Общая постановка задачи .......................................................... 914.2. Математическая модель токов вторичного элемента ............... 934.3. Решение уравнений токов вторичного элемента ...................... 954.4. Распределение магнитной индукции по ширине ЛАДППс учетом поперечных эффектов ...................................................... 1054.5. Уравнение плотностей токов во вторичном элементес учетом первичных поперечных краевых эффектов .................... 1104.6. Решение уравнений токов вторичного элементас учетом первичных поперечных краевых эффектов .................... 1134.7. Токи вторичного элемента ЛАДПП и их взаимодействиес токами индуктора ......................................................................... 1254.8. Коэффициент ослабления электромагнитной силылинейного асинхронного двигателя с поперечныммагнитным потоком ........................................................................ 1354.9. Срединный эффект силового взаимодействия линейногоасинхронного двигателя с поперечным магнитным потоком ...... 138

Глава 5. ВОПРОСЫ ВЫБОРА РАЦИОНАЛЬНЫХИ ОПТИМАЛЬНЫХ СООТНОШЕНИЙ В ТЯГОВЫХЛИНЕЙНЫХ АСИНХРОННЫХ ДВИГАТЕЛЯХ .................... 145

5.1. О рациональном взаимном расположении индуктораи вторичного элемента .................................................................... 1455.2. Оптимизация распределения токов во вторичномэлементе тягового ЛАД ................................................................... 148

5.3. Исследование окрестностей экстремумасреднего значения плотности тока вторичногоэлемента ЛАД в зоне активной части индуктора ........................... 1515.4. Вопросы оптимизации силового электромагнитноговзаимодействия индуктора и вторичного элемента ЛАД .............. 156

Рекомендуемая литература ............................................................. 160

ËÈÍÅÉÍÛÅ ÀÑÈÍÕÐÎÍÍÛÅ ÒßÃÎÂÛÅ ÄÂÈÃÀÒÅËÈ

ÄËß ÂÛÑÎÊÎÑÊÎÐÎÑÒÍÎÃÎ ÏÎÄÂÈÆÍÎÃÎ ÑÎÑÒÀÂÀ

È ÈÕ ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÎÅ ÌÎÄÅËÈÐÎÂÀÍÈÅ

Научное издание

Ñîëîìèí Âëàäèìèð Àëåêñàíäðîâè÷Çàìøèíà Ëàðèñà Ëåîíèäîâíà

Ñîëîìèí Àíäðåé Âëàäèìèðîâè÷

Ïîäïèñàíî â ïå÷àòü 27.08.2013 ã.Ôîðìàò 60×84/16. Ïå÷. ë. 10,25. Òèðàæ 750 ýêç. Çàêàç

ÔÃÁÎÓ «Ó÷åáíî-ìåòîäè÷åñêèé öåíòð ïî îáðàçîâàíèþíà æåëåçíîäîðîæíîì òðàíñïîðòå»

105082, Ìîñêâà, óë. Áàêóíèíñêàÿ, ä. 71Òåë.: +7 (495) 739-00-30, e-mail: info@umczdt.ru;

http://www.umczdt.ru