2 Los planetas y satélites

2 | Los planetas y satélites

Desde la más remota antigüedad, el hombre se ha esforzado en conocer y comprender el Universo, pero ha sido necesario que transcurra la mayor parte de la historia de la humanidad para que se dé cuenta de su descomunal magnitud.

Ahora sabemos que el Sol es una de las estrellas de una galaxia, la Vía Láctea, que contiene unos doscientos mil millones de estrellas. El tamaño de nuestra galaxia es tal que su diámetro tiene, aproximadamente, una longitud igual a la distancia que la luz recorre en ¡mil siglos! En los viajes espaciales realizados por los astronautas en la segunda mitad del siglo xx, la máxima distancia a la que un hombre se ha alejado de la Tierra corresponde a la que recorre la luz en menos de dos segundos. Comparando estos datos se hace evidente que la Vía Láctea tiene una extensión extremadamente desproporcionada para nosotros.

Sin embargo, a escala cósmica, una galaxia es algo insignificante, puesto que el Universo existen cientos de miles de millones de ellas.

Pero ¿ por qué se forman las galaxias y todos los astros que las pueblan?, ¿cómo se explica su movimiento?, ¿es posible viajar desde la Tierra a otros astros de nuestra galaxia?, ¿cuál sería la forma más efectiva de hacerlo?, ....

En el fondo de las respuestas a estas preguntas y a otras similares está siempre la fuerza que gobierna la formación y el movimiento de los astros y las galaxias: la fuerza de la gravedad. Su conocimiento, por lo tanto, es esencial para comprender y explorar el Universo.

En esta unidad abordaremos el estudio teórico de la fuerza de la gravedad a partir de la mecánica clásica y lo aplicaremos después a los planetas y satélites del sistema solar y a la navegación espacial.

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Círculos máximos de una esfera

La intersección de una esfera con un plano que la corta es siempre un círculo.

Si el plano pasa por el centro de la esfera, el radio del círculo es el mayor posi-

ble, por lo que se denomina círculo máximo.

El radio de un círculo máximo es igual al radio de la esfera.

La elipse. Focos de una elipse

La elipse es la línea formada por los puntos cuya suma de distan-cias a dos puntos fijos, llamados focos, es constante.

Los segmentos PF y PF’ que unen un punto de la elipse con los focos se llaman radios vectores.

La elipse tiene dos ejes de simetría perpendiculares entre sí, AA’(eje mayor) y BB’(eje menor), y un centro de simetría, O, en el punto donde se cortan.

Las longitudes de OA (semieje mayor), OB (semieje menor) y OF (semieje focal) se designan respectivamente por a, b y c.

Estas tres longitudes cumplen:

a2 = b2 + c2.

La suma de los dos radios vectores de cualquier punto de la elipse es: PF + PF’ = 2a.

La excentricidad de una elipse es el cociente ε = c

a.

Su valor puede variar entre 0 y 1: 0 ≤ ε ≤ 1.

En la siguiente figura se ve cómo el valor de la excentricidad afecta a la forma de una elipse.

Cuando la excentricidad es nula se cumple c = 0; por lo tanto, ambos focos se confunden en un solo punto: el centro. La elipse es, en ese caso, una circunferencia de radio a.

Cuando la excentricidad es 1 se cumple c = a; por lo tanto, los focos coinciden con los extremos de eje mayor. La elipse se transforma, en ese caso, en el segmento AA’.

CONOCIMIENTOS PREVIOS DE MATEMÁTICAS

A’ O

B

B’

P

F AF’ A’ O

B

B’

P

F AF’

cb a

A’ O

B

B’

P

F AF’ A’ O

B

B’

P

F AF’

cb a

F’F

ε = 0 : c = 0 ε = 0,6 ε = 0,8 ε = 1 : c = a

F’ F F’ F F’ F

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Los planetas y satélites | 2

1 | La esfera celeste

Cuando miramos al cielo, lo vemos como una inmensa cúpula que nos rodea. Durante el día aparece de un luminoso color azul y podemos ver en ella el Sol y, en muchos momentos, la Luna. De noche la cúpula es casi negra, está poblada por numerosos puntos brillantes que llamamos estre-llas y también suele verse la Luna. A todos estos cuerpos que podemos contemplar en el firmamento les damos el nombre genérico de astros.

Para representar las direcciones en que se ven los diversos astros del fir-mamento, independientemente de la distancia a que se encuentran de nosotros, se define en Astronomía la esfera celeste. Es una esfera imagi-naria tan grande que, comparada con ella, la Tierra puede considerarse un punto. Precisamente en ese punto imaginamos situado el centro O de la esfera celeste (Fig. 1). Nosotros, como estamos en la Tierra, observamos el firmamento desde el punto O y vemos los astros como si estuviesen situados en la superficie de la esfera celeste.

Por ejemplo, si miramos desde O a los astros a y b, la luz que proviene de ellos nos llega en las direcciones de los segmentos Oa y Ob, llamados visuales de a y de b.

Vemos los astros a y b representados en la figura 1 como si ocuparan las posiciones A y B de la esfera celeste (intersecciones de la superficie de esta con las visuales Oa y Ob).

Los puntos A y B se denominan posiciones aparentes de los astros a y b. El ángulo central AOB, que es el valor angular del arco de círculo máximo AB, se llama distancia angular entre los astros a y b. Por medio de estas distancias angulares determinamos las posiciones relativas de unos astros respecto a otros.

Cuando observamos el firmamento desde un terreno per fectamente llano, lógicamente, solo podemos ver la mitad de la esfera celeste.

La circunferencia NESW de la figura 2, llamada horizonte astronómico, es la intersección de la esfera celeste con el plano horizontal del lugar desde donde observamos el firmamento. Sus puntos N, S, E y W son los llamados puntos cardinales: Norte, Sur, Este y Oeste.

La mitad de la esfera celeste situada por encima del horizonte astronómico es la que podemos ver en su totalidad si no lo impiden obstáculos como casas, montañas, etc. La semiesfera situada por debajo del horizonte astronómico es la zona no visible.

El punto de la esfera celeste más alto para nosotros es el que se encuentra en la vertical sobre nuestra cabeza. Corresponde al punto Z de la figura y se denomina el cenit. El punto Z’, opuesto al cenit en la esfera celeste, se halla en la zona no visible y se llama el nadir.

La circunferencia EQWQ’, intersección de la esfera celeste con el plano del Ecuador de la Tierra, recibe el nombre de Ecuador celeste. Corta al horizonte astronómico en los puntos este y oeste.

El segmento PP’, perpendicular al plano del Ecuador, es el eje de rotación de la Tierra y se le llama eje del mundo. Sus intersecciones con la esfera celeste son los puntos P, Polo Norte celeste, y P’, Polo Sur celeste.

La mayoría de las estrellas está tan lejos de nosotros que el movimiento relativo de unas respecto a otras resulta imperceptible. Decimos que son estrellas fijas.

O

A

B

a

b

1. Si la Tierra se reduce al punto O, para un observador situado sobre ella, las posiciones aparentes de los astros a y b son los puntos A y B en la superficie de la esfera celeste.El ángulo central AOB correspondiente al arco de cículo máximo AB expresa la distancia angular entre ambos astros.

Z

Z’

SN

P

E

W

Q

P’

Q’

Figura 2.PP’: eje del mundo.P: polo norte celesteP’: polo sur celesteZZ’: vertical del lugar de observaciónZ: cenitZ’:nadir Circunferencia NESW: horizonte astronómicoN: punto norteS: punto surE: punto esteW: punto oesteCircunferencia EQWQ’: ecuador celeste

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Para facilitar su identificación, unimos con segmentos rectilíneos las estre-llas más destacadas para formar con ellas diversas figuras imaginarias. Estas agrupaciones de estrellas son las llamadas constelaciones. Algunas de las constelaciones más fáciles de reconocer son: la Osa Mayor, Casiopea, Orión, el Cisne, la Lira, Andrómeda y Pegaso.

Si dirigimos un telescopio hacia una estrella y lo mantenemos fijo, obser-varemos que el astro desaparece en poco tiempo del campo visual. La fotografía de la figura 3 nos muestra lo que ocurre: todas las estrellas des-criben un movimiento circular.

Podemos imaginar que las estrellas están fijas sobre la superficie de la esfera celeste y que es esta la que realiza el movimiento de rotación.

Este movimiento es circular uniforme. Se produce de forma que la esfera celeste da una vuelta completa cada 24 horas alrededor del eje del mundo y se denomina movimiento diurno.

Para una persona situada en el Hemisferio Norte, el sentido de rotación de la esfera celeste es el mismo en que giran las agujas de un reloj. Se llama sentido retrógrado.

En la figura 4 se puede ver el movimiento diurno de tres astros sobre la esfera celeste. Uno está situado en el Hemisferio Norte celeste, otro en el Ecuador celeste y el tercero en el Hemisferio Sur celeste.

Los astros son visibles cuando se hallan en la zona situada sobre el hori-zonte astrronómico. Se ha señalado esa parte de sus órbitas rellenándola de color amarillo.

3. Esta fotografía del cielo nocturno, realizada con larga exposición, muestra claramente el movimiento circular de las estrellas. El centro de todas las circunferencias que describen es el Polo Norte celeste.

Z

Z’

SN

P

P’

S2 S3S1

P1 P2P3

4. Movimiento diurno de tres astros.La rotación de la esfera celeste, en sentido retrógrado como indica la flecha, les hace describir las circunferencias en trazo rojo, en planos paralelos entre sí y perpendiculares al eje del mundo PP’.El primero, en el Hemisferio Norte celeste, sale en S1 y se pone en P1; la mayor parte del tiempo está en zona visible, sobre el horizonte astronómico.El segundo, en el Ecuador celeste, sale en S2 y se pone en P2 ; está 12 horas en zona visible y otras 12 en zona no visible. El tercero, en el Hemisferio Sur celeste, sale en S3 y se pone en P3; la mayor parte del tiempo está en zona no visible, bajo el horizonte astronómico.

5. Trayectoria del Sol cerca del Polo Norte en verano. Este Sol que no llega a ponerse nunca, se conoce como Sol de medianoche.

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2 | El sistema solar desde la TierraAcabamos de ver que las estrellas fijas, por estar inmóviles con relación a la esfera celeste, poseen el mismo movimiento que esta (movimiento diurno).

Pero hay astros más cercanos que no permanecen en una posición fija de la esfera celeste, sino que se desplazan sobre ella (movimiento propio).

El movimiento resultante de estos astros es, por tanto, la superposición de dos movimientos simultáneos: el diurno (de la esfera celeste) y el propio (del astro respecto a la esfera celeste).

Eso es lo que sucede con los astros del sistema solar, entre los cuales, los más fácilmente observables a simple vista son el Sol, la Luna y los plane-tas Venus, Marte, Júpiter y Saturno. Ninguno de ellos es un astro fijo, ya que cada uno posee movimiento propio con relación a la esfera celeste. Veamos cómo son esos movimientos.

El Sol, en su movimiento propio, recorre cada año la circuferencia corres-pondiente a un círculo máximo de la esfera celeste. Esta trayectoria se denomina eclíptica y el Sol la describe en sentido directo (contrario al de las agujas del reloj, tal como indica la flecha de la figura 6). El plano de la eclíptica forma un ángulo de 23º 27’ con el plano del Ecuador.

Se ha de distinguir el movimiento propio del Sol de su movimiento diurno.

Por el movimiento diurno, el Sol sale cada mañana, se desplaza por el fir-mamento hasta alcanzar su máxima altura sobre el horizonte y se pone al anochecer. Podemos imaginar que este movimiento es el de la esfera celes-te, que arrastra al Sol con ella.

Por su movimiento propio, el Sol no está fijo sobre la esfera celeste sino que se desplaza sobre ella recorriendo la eclíptica. Es un movimiento muchísimo más lento que el diurno, ya que emplea un año en completar una vuelta. Pero, en períodos de varios días o semanas, son claramente perceptibles sus efectos, ya que altera la posición de la salida y de la pues-ta del Sol, así como la duración del día.

El movimiento diurno del Sol tiene sentido retrógrado y da lugar a las diver-sas partes del día, como la mañana, la tarde o la noche.

El movimiento propio tiene sentido directo y da lugar a las cuatro estacio-nes del año.

Observa en la figura 6 los puntos g, g’, σ y σ’ de la eclíptica.

El punto g, conocido como punto Aries, se encuentra en la intersección de la eclíptica con el Ecuador celeste y es un importante punto de referen-cia en astronomía. Los puntos g, g’, σ y σ’ dividen a la eclíptica en cuatro arcos iguales de 90º. El paso del Sol por estos puntos determina el comien-zo de las cuatro estaciones del año, por lo que reciben las siguientes denominaciones:

Punto Aries g: equinoccio de primavera,

σ: solsticio de verano,

g’: equinoccio de otoño,

σ’: solsticio de invierno.

La Luna, como todos los astros, se desplaza con la esfera celeste en su movimiento diurno, describiendo cada día una circunferencia alrededor del

Z

Z’

S

Q

Q’

N

P

P’

S

σ’

σ

γ’

γ

6. A lo largo de un año, el Sol (S) recorre en sentido directo un círculo máximo de la esfera celeste: la eclíptica.Las intersecciones de la eclíptica con el Ecuador celeste son el punto Aries o equinoccio de primavera (g) y el punto Libra o equinoccio de otoño (g’).

7. La salida del Sol sobre el mar muestra la intersección del movimiento propio del astro con el horizonte astronómico.

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eje del mundo. Pero posee, además, un movimiento propio por el que reco-rre en 27,32 días, en sentido directo, la circunferencia correspondiente a un círculo máximo de la esfera celeste. La trayectoria de la Luna no está en el mismo plano que la eclíptica, sino que forma un pequeño ángulo con ella de 5º, aproximadamente.

Una consecuencia de los movimientos propios del Sol y de la Luna es que cada 29,53 días hay plenilunio o Luna llena, es decir, podermos ver total-mente iluminada la cara visible de nuestro satélite.

Los planetas del sistema solar tienen un movimiento propio cuyas trayec-torias, observadas desde la Tierra, son complicadas. En la figura 8 se pueden ver, proyectadas en un planetario, las imágenes de las trayectorias descritas por algunos planetas a lo largo de varios años.

3 | Sistema de referencia heliocéntrico

En lugar de considerar los movimientos de los planetas vistos desde la Tierra, es muy conveniente referirlos al Sol. Para ello se utiliza un sistema de referencia heliocéntrico, es decir, con el origen de coordenadas en el centro del Sol. De este modo, el movimiento de los planetas se simplifica enormemente.

Johannes Kepler (1571-1630) determinó que todos los planetas describen elipses con el Sol en uno de sus focos.

Las órbitas de la mayoría de los planetas del sistema solar tienen una excentricidad pequeña; son casi circunferencias. Pero las órbitas de Mercurio y del planeta enano Plutón son de mayor excentricidad (0,206 y 0,249). Aun así, si dibujáramos la órbita de Plutón con su eje mayor de 10 cm, el eje menor mediría 9,7 cm; tan solo 3 mm menos. A simple vista, esta órbita también nos parecería una circunferencia.

La Tierra describe alrededor del Sol una elipse de muy pequeña excentrici-dad (0,017). En la figura 10 no lo parece, porque se supone que se ve en perspectiva. Pero hay un detalle que lo indica: el Sol, en uno de los focos de la elipse, aparece prácticamente en el centro de esta.

La Tierra posee, además, un movimiento de rotación alrededor de la recta que pasa por los polos (eje del mundo). En este movimiento todos los pun-tos de nuestro planeta describen cicunferencias paralelas al Ecuador. Por eso decimos que el plano de rotación de la Tierra es el plano del Ecuador.

Por otra parte, el movimiento de traslación de la Tierra alrededor del Sol, visto desde nuestro planeta, es el movimiento propio del Sol sobre la eclíp-tica. No se trata de dos movimientos diferentes, sino de uno solo, pero descrito desde dos sistemas de referencia distintos. Así pues, la órbita de la Tierra alrededor del Sol está en el plano de la eclíptica.

Los planos de los dos movimientos de la Tierra no coinciden, ya que forman un ángulo de 23º27’, tal como se ha señalado al explicar los elementos de la esfera celeste. Como el ángulo de dos planos es el que forman las per-pendiculares a ambos, en la figura 10 el ángulo del Ecuador y la eclíptica aparece como el que forma el eje del mundo (perpendicular al Ecuador) con la perpendicular al plano de la órbita terrestre (plano de la eclíptica).

8. El proyector de un planetario.Sobre la cúpula semiesférica, que representa la zona visible de la esfera celeste, se proyectan las imágenes de los astros tal como se verían en cualquier hora, fecha y lugar de la superficie terreste. Se reproduce también su movimiento, acelerándolo convenientemente para que pueda observarse en un tiempo corto.

9. Trayectorias de un planeta del sistema solar en la esfera celeste, proyectadas en un planetario sobre un fondo de estrellas fijas.

23º 27’

10. El eje de rotación de la Tierra no es perpendicular a su órbita aldedor del Sol. Forma un ángulo de 23º 27’ con la perpendicular a esta.

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4 | Ley de la gravitación universal

Isaac Newton, en el siglo xvii, partiendo de sus conocimientos sobre el movimiento de los cuerpos, que se expresan en las tres leyes de la dinámi-ca, halló la forma de calcular la fuerza de atracción gravitatoria entre la Tierra y la Luna. Y tuvo, además, el acierto de generalizarla a todos los cuerpos en la llamada ley de Newton de la gravitación universal.

Según esta ley, la intensidad de la fuerza de atracción entre dos partículas de masas m y m’ separadas por una distancia r es:

Los planetas no giran alrededor del Sol en el mismo plano que la Tierra. Sus órbitas poseen cierta inclinación respecto a la órbita terrestre (Fig. 11). Esa inclinación es pequeña, excepto en el caso de Mercurio, que es de 7º, y en el de Plutón, que supera los 17º.

La extraña forma de las órbitas planetarias vistas desde la Tierra (Fig. 9) se comprende si se tiene en cuenta que se trata de un cuerpo que describe una elipse, visto desde otro cuerpo (la Tierra) que está recorriendo una elipse diferente, en otro plano y con distinta velocidad.

La Luna describe, asimismo, una trayectoria elíptica de pequeña excentri-cidad (0,055) en torno a nuestro planeta.

La órbita de la Luna respecto a la Tierra no se encuentra en el mismo plano que la de la Tierra respecto al Sol, sino que forma con ella un ángulo de unos 5º (Fig. 12).

A pesar de su diversidad, las órbitas de los planetas y de sus satélites tienen algo en común: todas son elipses. La causa está en la fuerza que gobierna el movimiento de los astros: la fuerza de la gravedad. El estudio de las órbi-tas condujo a Newton al conocimiento de las propiedades de esta fuerza, cuya naturaleza sigue siendo objeto de investigación en nuestros días.

11. Todos los planetas describen elipses alrededor del Sol. Pero son órbitas de distinta longitud y excentricidad, están en planos diferentes y no son recorridas con la misma velocidad.

12. La órbita de la Luna alrededor de la Tierra está algo inclinada respecto al plano de la eclíptica.

Sol

Tierra

Luna

5º5º

SoSoSoSoollll

F = G

m m’

r 2

G es una constante llamada constante de gravitación universal.

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5 | Satélites

Todos sabemos que, si se suelta un cuerpo desde alguna altura sin comu-nicarle una velocidad inicial, cae verticalmente hasta chocar con el suelo. Pero si lo lanzamos en dirección horizontal con cierta velocidad inicial, cae describiendo un arco de parábola.

Imaginemos que en la Tierra no hubiera atmósfera, de forma que el rozamien-to con el aire no frenase el movimiento de los cuerpos, y que se lanza hori-zontalmente un proyectil a gran velocidad desde un punto P (Fig. 14) a cierta

La ley de Newton permite calcular la fuerza de atracción entre partículas, es decir, entre cuerpos cuyo tamaño es despreciable frente a la distancia que los separa. Pero también se puede aplicar a cuerpos de forma esférica y densidad uniforme (igual densidad en todos sus puntos), considerando r como la distancia entre sus centros.

Newton no llegó a determinar la constante de gravitación universal, aunque tenía una idea aproximada de su valor. Fue el físico y químico inglés Henry Cavendish quien lo hizo en 1798. Para ello tuvo que detectar y medir la pequeñísima fuerza con que dos pesadas bolas de plomo atraían a otras dos de menor tamaño colocadas en los extremos de una varilla horizon-tal colgada de un hilo. El valor de G obtenido por Cavendish difería en menos de un 1 % del actualmente aceptado, que es:

G = 6,67 10–11 N m2 kg–2

(Las unidades de G se deducen fácilmente de la ecuación que expresa la ley de la gravitación universal.)

El valor numérico de la constante de gravitación universal es extremada-mente pequeño. Eso explica que la fuerza de atracción entre dos cuerpos solo sea apreciable cuando al menos uno de ellos posee una masa enor-memente grande. Así, notamos perfectamente el peso de una silla, por ser la fuerza con que es atraída por la Tierra; pero la fuerza de atracción entre dos sillas, aunque existe, nos resulta totalmente indetectable.

E j E M P L O

1. Conociendo el radio de la Tierra (6 380 km), calcula su masa mediante la ley de la gravitación universal.

Sabemos que, en la superficie de la Tierra, el peso de un cuerpo de masa m = 1 kg es P = 1 kp = = 9,8 N. Por otra parte, la distancia que lo separa del centro de la Tierra es el radio de la Tierra RT = 6 380 km = 6,38 106 m.

La fuerza con que la Tierra atrae a ese cuerpo es su peso:

P = G

MT m

RT

2.

Despejando la masa de la Tierra, resulta:

13. Lord Cavendish determinó la constante de gravitación universal a finales del siglo xviii.

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altura sobre la superficie terrestre. La atracción gravitatoria del planeta le hará describir una curva PA hasta chocar con el suelo en un punto A. En un movimiento tan amplio, la gravedad no es constante en todo el recorrido, por lo que la trayectoria PA no es un arco de parábola, sino de elipse, como se indica en la figura. Si se aumenta la velocidad inicial del proyectil, el arco de elipse que describirá será mayor, como el PB y PC de la figura.

La velocidad inicial del lanzamiento podría aumentarse hasta que la elipse descrita por el proyectil fuese tan grande que no cortara en ningún punto a la superficie terrestre. El planeta entero quedaría entonces en el interior de la trayectoria, que se cerraría sobre sí misma (línea morada de la figu-ra 14). El proyectil permanecería, así, describiendo indefinidamente la misma elipse. Se habría satelizado, es decir, se habría convertido en un satélite de la Tierra.

Un cuerpo satelizado sigue una trayectoria curvilínea a causa de la atrac-ción gravitatoria de la Tierra. Si no existiera esta atracción, no actuaría ninguna fuerza sobre él y su trayectoria sería recta. Por lo tanto, se puede afirmar que está cayendo, como los proyectiles que acaban chocando con el suelo. La diferencia con estos es que la trayectoria del satélite, debido a su forma y tamaño, no corta a la superficie de la Tierra y llega a cerrarse sobre sí misma.

Si la velocidad del satélite es la adecuada, su trayectoria puede ser una circunferencia (elipse de excentricidad nula) y, en este caso, su movimiento es circular uniforme.

Con los conocimientos adquiridos sobre la dinámica y la gravitación se puede calcular fácilmente la velocidad de un satélite cuando su órbita es circular.

Efectivamente, en el movimiento circular uniforme, la resultante de las fuerzas sobre el móvil es la fuerza centrípeta:

F

c = –

m v 2

r

Pero, por otra parte, la única fuerza que actúa sobre el satélite es su peso, P, debido a la atracción del planeta (Fig. 15). Si la masa del planeta es M, el peso del satélite, según la ley de la gravitación universal, será:

P = –

G M m

r 2

En este caso, la única fuerza que actúa es el peso, luego la fuerza centrípe-ta es P:

–

m v 2

r = –

G M m

r 2

Despejando v se obtiene:

v =

G Mr

Así pues, la velocidad de un satélite en órbita circular alrededor de un deter-minado planeta depende exclusivamente del radio, r, de su órbita. Cuanto mayor es este, menor es la velocidad orbital del satélite.

Todo lo explicado aquí se puede aplicar también a todo cuerpo que gire en órbita circular alrededor de otro cuerpo que lo atrae. Estos podrían ser los casos de un planeta doble, una estrella doble o un planeta que gira alrede-dor de una estrella.

14. Trayectorias elípticas de un proyectil lanzado horizontalmente desde un punto elevado P. Los puntos A, B y C de impacto con la Tierra corresponden a velocidades iniciales de lanzamiento cada vez mayores. Si esta velocidad es suficientemente grande, la trayectoria no corta a la superficie terrestre y el proyectil queda satelizado (órbita morada).

15. La fuerza centrípeta rF c, que actúa

sobre el satélite en órbita circular, es la atracción gravitatoria

rP que ejerce el

planeta sobre él.

A

B

C

P

v

Fc

r

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E j E M P L O S

2. a) ¿Qué velocidad debe poseer un satélite artificial de la Tierra para que describa una órbita circular a h = 500 km de altura?

b) ¿Cuál será su período orbital (tiempo que emplea en dar una vuelta completa a la Tierra)?

Datos: masa de la Tierra: M = 5,98 1024 kg. Radio de la Tierra: RT = 6,38 106 m.

a) La distancia del satélite en órbita al centro de la Tierra es el radio de la órbita:

R = RT + h = 6,36 106 m + 0,5 106 m = 6,86 106 m

El peso del satélite en su órbita es: P = –

G M m

r 2. La fuerza centrípeta del movimiento circular del satéli-

te es: F

c = –

m v 2

r. Como hemos visto, la velocidad del satélite es:

v =

G Mr

= 6,67 10–11 N m2 kg–2 5,98 1024 kg

6,86 106 m = 7,63 103 m/s

Esta velocidad equivale a 27 500 km/h.

b) La longitud del arco recorrido es la longitud de la órbita completa: ∆s = 2π r.

Despejando ∆t de la ecuación v = ∆s/∆t obtenemos:

∆t =

∆s

v =

2π rv

= 2π 6,86 106 m

7,63 103 m/s = 5 649 s

El satélite tarda en dar una vuelta a la Tierra 5 649 s, que es 1 hora y 34 minutos.

3. Sabemos que la Tierra se encuentra a 1,5 108 km del Sol y tarda 1 año en dar una vuelta alrededor de este siguiendo una órbita aproximadamente circular. Calcula, con estos datos, un valor aproxi-mado de la masa del Sol.

La velocidad con que la Tierra recorre su órbita es:

v =

∆s

∆t =

2π r∆t

= 2π 6,86 106 m

365 24 60 60 s = 29 900 m/s

Igualando la fuerza de atracción del Sol a la fuerza centrípeta del movimiento circular de la Tierra, como

en el ejemplo anterior, llegamos a la misma igualdad: –

m v 2

r = –

G M m

r 2, donde M es la masa del Sol,

m la de la Tierra y r la distancia entre ellos.

Despejando M resulta:

M =

v 2 r

G =

2π r∆t

= (29 900 m/s)2 1,5 1011 m

6,67 10–11 N m2 Kg2 = 2,0 1030 Kg

6 | Campo gravitatorio

En la figura 16 se han representado algunas de las fuerzas de atracción gravitatoria que un cuerpo de masa M, en una posición fija, ejerce sobre una partícula de masa m situada en diferentes puntos.

En cada posición actúa una fuerza sobre la partícula. Decimos que la masa M ha creado a su alrededor un campo de fuerzas gravitatorias.

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Llamaremos campo gravitatorio a un campo vectorial en el que a cada punto del espacio le corresponde un vector, denominado intensidad de campo gravitatorio.

16. Fuerza de atracción gravitatoria que ejerce la masa M sobre una masa puntual en diferentes posiciones.El conjunto de todas estas fuerzas constituye un campo de fuerzas gravitatorias.

M

Se llama intensidad del campo gravitatorio en un punto a la fuerza gra-vitatoria que actúa sobre la unidad de masa situada en ese punto.

r

P

r

ur

O

Figura 18.

Figura 17.

O

Si, en un punto, actúa una fuerza rF sobre una partícula de masa m, la inten-

sidad del campo gravitatorio en ese punto es:

rg =

rF

m

Dado que la masa m siempre es positiva, la intensidad de campo rg es un

vector de la misma dirección y sentido que la fuerza rF .

En el SI, el módulo del vector intensidad de un campo gravitatorio se expre-sa en newtons por kilogramo (N/kg).

La intensidad de un campo gravitatorio en un punto es de 1 N/kg cuando actúa una fuerza de 1 N sobre una masa de 1 kg situada en ese punto.

7 | Campo gravitatorio creado por una masa puntual

A partir de la ley de Newton se puede deducir fácilmente el módulo de la intensidad del campo gravitatorio creado por una masa puntual.

Efectivamente, la fuerza de atracción gravitatoria que una partícula de masa m ejercería sobre otra partícula de masa m’ situada a una distancia r de la primera, es:

F =

G m m’

r 2

El módulo de la intensidad del campo gravitatorio creado por m en el punto donde se encuentra m’ será, por lo tanto:

rg =

F

m’ =

G m m’

r 2

m’ = G

m

r 2

Para expresar vectorialmente esta intensidad de campo estableceremos unos convenios previos:

• En cada semirrecta con origen en el punto O, donde se halla la partícula de masa m, adoptaremos como sentido positivo el que se sigue al alejar-se de O (Fig. 17).

• Llamaremos rr al vector posición del punto P, donde se encuentra la par-

tícula de masa m’ (Fig. 18).

• Simbolizaremos por r la distancia del punto O al P, que siempre es positi-va, por lo que coincide con el módulo del vector

rr .

• Representaremos por ru

r el vector unitario en la dirección y sentido del

vector rr :

ru

r =

rr

r

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70


El signo negativo se debe a que el sentido del vector rg es contrario al del

vector unitario ru

r, porque la fuerza que actúa sobre toda partícula situada

en P siempre tiene sentido hacia O (Fig. 19).

Como las líneas de campo han de tener la dirección y el sentido del vector

rg , son un conjunto de semirrectas concurrentes en el punto O con sentido hacia ese punto (Fig. 20).

La expresión de la intensidad del campo creado por una masa puntual es válida también para el campo gravitatorio en el espacio que rodea a una masa esférica homogénea.

Hemos visto que la intensidad de un campo gravitatorio es

rg =

Fur

m, donde

rF es la fuerza que ejerce el campo sobre un cuerpo de masa m.

Pero, según el principio fundamental de la dinámica, el cociente

Fur

mes igual

a la aceleración que la fuerza rF comunica al cuerpo.

Así pues, la intensidad de un campo gravitatorio equivale a una aceleración y su valor se puede expresar tanto en N/kg como en m/s2.

20. Líneas de campo correspondientes al campo gravitatorio creado por una masa puntual.

La intensidad del campo gravitatorio creado en un punto cualquiera P por una partícula de masa m, situada en un punto O, se puede expresar vectorialmente como:

rg = – G

M

r 2 ru

r

r

P

ur

O

g

19. El vector rg representa la intensidad,

en el punto P, del campo gravitatorio creado por una masa puntual situada en O.

E j E M P L O

4. En el punto O, cuyas coordenadas se dan en Mm, situado en (3, 1), hay una partícula de masa m = 9 1023 kg. Expresa vectorialmente la intensidad del campo gravitatorio que crea en el punto P (11, 7).

El vector posición del punto P es:

rr =

rrp –

rr0 = (11, 7) – (3, 1) = 8

ri + 6

rj (Mm)

La distancia de O a P es:

r = r

r = 82 + 62 = 10 (Mm)

El módulo de la intensidad del campo gravitatorio en P será:

rg = 6,67 10–11 N m2 Kg–2

9 1023 kg

(10 106 m)2 = 0,60 N/kg

El vector unitario ru

r en la dirección y sentido de

rr es:

ru

r =

rr

r =

8 ri + 6

rj

10 = 0,8

ri + 0,6

rj

Como la intensidad de campo rg tiene sentido de P hacia O (contrario al del vector unitario

ru

r) será:

rg = –

rg

ru

r = –0,60 (0,8

ri + 0,6

rj ) = 0,48

ri – 0,36

rj (N/kg)

P

Om

7

1

3 11

g

rp

ro

r

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71


Si la masa de la Tierra es M = 5,98 1024 kg y su radio, R = 6,38 106 m, la intensidad del campo gravitatorio tendrá como módulo en su superficie:

rg = 6,67 10–11 N m2 kg–2

5,98 1024 kg

(6,38 106 m)2 = 9,8 N/kg

Para calcular la intensidad del campo gravitatorio en la superficie de la Tierra, consideraremos esta como un cuerpo per fectamente esférico y homogéneo. El campo es, entonces, equivalente al creado por una partícu-la de igual masa que la Tierra, situada en su centro.

g

M R

g

21. La intensidad rg del campo gravitatorio de la Tierra en su superficie es la misma

que la del campo de una masa puntual igual a la de la Tierra colocada en su centro.

Aceleración de la gravedad al nivel del mar

Latitud Gravedad

0º (Ecuador) 9,780 ms–2

10º 9,782 ms–2

20º 9,786 ms–2

30º 9,793 ms–2

40º 9,802 ms–2

50º 9,811 ms–2

60º 9,819 ms–2

70º 9,826 ms–2

80º 9,831 ms–2

90º (Polo) 9,832 ms–2

Esto equivale a decir que la aceleración de la gravedad en la superficie de la Tierra es de 9,8 m/s2.

E j E M P L O S

5. El radio del planeta Marte es R = 3 400 km y su masa M = 6,42 1023 kg. Suponiendo que este planeta es homogéneo y perfectamente esférico, calcula el valor de la aceleración de la gravedad en su superficie.

La intensidad del campo gravitatorio en la super ficie de Marte es:

rg = G

M

R 2 = 6,67 10–11 N m2 kg–2

6,42 1023 kg

(3,4 106 m)2 = 3,7 N/kg

Como N/kg equivale a m/s2, podemos considerar que la aceleración de la gravedad en la superficie de Marte es 3,7 m/s2.

Como la Tierra no es un cuerpo per fectamente esférico y homogéneo, la intensidad del campo gravitatorio no es exactamente igual en todos los puntos de su superficie. Se ha acordado aceptar cómo valor normal de la gravedad 9,80665 m/s2, que corresponde a un lugar de latitud de 45º al nivel del mar. En la tabla adjunta se puede ver cómo varía el valor de la aceleración de la gravedad (o intensidad del campo gravitatorio) con la lati-tud geográfica, desde el Ecuador hasta el polo.

De la misma forma, se puede calcular la intensidad del campo gravitato-rio en la superficie de cualquier planeta o de sus satélites, siempre que podamos suponerlos homogéneos y esféricos.

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72


6. Un cuerpo que cae sin velocidad inicial desde una altura de 10 m sobre la superficie de la Luna tarda 3,46 s en llegar al suelo. ¿Cuál es el valor de la intensidad del campo gravitatorio en la superficie lunar? ¿Cuántos kp pesaría en la Luna una persona de masa 60 kg?

Como la Luna carece de atmósfera, no hay rozamiento durante la caída del cuerpo, por lo que su movi-miento será uniformemente acelerado, de ecuación: ∆s = v0 ∆t + ½ a (∆t)2.

Como v0 = 0, la anterior ecuación se reduce a: ∆s =

1

2 a (∆t)2.

Despejando la aceleración a se obtiene: a = 2 ∆s / (∆t)2 = 2 10 m / (3,46 s)2 = 1,67 m/s2.

Como la aceleración de la gravedad en m/s2 es igual a la intensidad del campo gravitatorio en N/kg, podemos afirmar que esta es de 1,67 N/kg.

El anterior resultado expresa que una masa de 1 kg pesa 3,67 N en la superficie de la Luna; por consi-guiente, una persona de 60 kg pesaría:

60 kg

1,67 N

1 Kg = 100 N, que en kp es: 100 N

1 kp

9,8 N = 10,2 kp

7. En la superficie de un planeta la aceleración de la gravedad es g1 = 12 m/s2.

Determina cuál sería su valor en la superficie de otro planeta de triple masa y:

a) doble radio que el primero,

b) igual densidad que el primero.

a) Si llamamos M1 a la masa del primer planeta y R1 a su radio, sabemos que: g

1 = G

M1

R1

2.

Para el segundo planeta se cumplirá, asimismo, que: g

2 = G

M2

R2

2.

Dividiendo ambas igualdades, resulta:

g1

g2

= M

1R

2

2

M2

R1

2.

Despejando g2, resulta:

g

2 = g

1

M2

R1

2

M1

R2

2 = g

1

3M1

R1

2

M1

(2R1)2

= g1

3M1

R1

2

4M1

R1

2 =

3

4 g

1

Sustituyendo g1 por su valor, obtenemos: g

2 = 12 m/s2

3

4 = 9 m / s2 .

b) El volumen de una esfera

V = 4

3 = π R 3

es proporcional al cubo de su radio.

Por lo tanto, si el segundo planeta tiene doble radio que el primero, su volumen es 23 = 8 veces mayor. Y, como ambos planetas poseen igual densidad, la masa del segundo será también 8 veces mayor que la del primero: M2 = 8 M1.

g

2 = g

1

M2

R1

2

M1

R2

2 = g

1

8M1

R1

2

M1

(2R1)2

= 2 g1

8M1

R1

2

4M1

R1

2 = 2 12 m/s2 = 24 m / s2

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La anterior expresión, como la ley de Newton, se puede aplicar, no solo a masas puntuales, sino también a cuerpos de forma esférica. En este caso, ha de interpretarse r como la distancia entre los centros.

Como m, m’ y r son cantidades positivas, la energía potencial gravitatoria, según la anterior expresión, es negativa. Pero, si la distancia r es infinita-mente grande, es nula. Esto no significa que el cuerpo en el infinito no posea energía potencial gravitatoria. De hecho, podemos asignar a la energía potencial en una posición cualquiera el valor que queramos y, al hacerlo, quedará determinado su valor en cada uno de los restantes puntos del espa-cio. Esa arbitrariedad no supone ningún inconveniente, ya que el valor de la energía potencial en una posición es irrelevante; solo importan las diferen-cias de energía entre las distintas posiciones, y estas no dependen del valor arbitrario que hayamos asignado a una determinada posición.

La energía potencial en el infinito, aunque le asignemos el valor 0, es máxi-ma, ya que en los restantes puntos del espacio es negativa.

En la figura 22 se puede ver cómo varía la energía potencial con la distancia entre los cuerpos que se atraen mutuamente.

En el curso anterior se calculaba la energía potencial gravitatoria de un cuer-po situado a una altura h como: EP = m g h. Pero esta expresión solo es apli-cable si el cuerpo se mantiene en una zona del espacio tan pequeña que la intensidad del campo gravitatorio (g) puede considerarse constante.

8 | Energía potencial gravitatoria

Todo cuerpo atraído gravitatoriamente por otro posee una energía que depende de su posición, es decir, una energía potencial.

A partir de la ley de gravitación universal se demuestra que la energía potencial de un cuerpo de masa m’, situado a una distancia r de otro cuerpo de masa m que lo atrae gravitatoriamente, es:

22. variación de la energía potencial gravitatoria con la distancia.

E j E M P L O

8. Suponiendo nula la resistencia del aire, calcula la velocidad con que llegaría al suelo un cuerpo de masa m que se dejara caer sin velocidad inicial desde una altura de: a) h = 160 m; b) h = 1 600 km.

Datos: masa de la Tierra: M = 6 1024 kg. Radio de la Tierra: R = 6 400 km. Constante de gravitación universal: G = 6,67 10–11 N m2 kg–2.

Como la única fuerza que actúa sobre el cuerpo es su peso, se conservará su energía mecánica: Ek1 + EP1 = Ek2 + EP2

a) En el primer caso es:

Ek1 = 0, EP1 = m g h, E

k2 =

1

2 m v 2 y EP2 = 0.

Por lo tanto, podemos escribir:

m g h =

1

2 m v 2.

E

p = – G

m m’

r

Ep

m’m

r

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9 | Deducción del valor de la energía potencial gravitatoria

El conjunto de todas las fuerzas de atracción gravitatoria que ejerce una masa puntual m sobre otra masa puntual m’ al situar a esta en diferentes posiciones, constituye un campo central de fuerzas. La expresión de la fuerza que actúa sobre m’ en función de su distancia a m (centro del campo) viene dada por la ley de Newton:

F (r ) = – G

m m’

r 2

Para determinar la energía potencial en un punto de este campo conserva-tivo escogeremos el infinito como posición de energía potencial nula. En ese caso, la energía potencial de la masa m’ en un punto cualquiera P será, por definición, el trabajo cambiado de signo de la fuerza del campo desde el infinito hasta el punto P. Si el punto P está situado a una distancia r del centro del campo, será:

E

p = – W = –

∞

r

F (r ) dr = ∞

r

– G m m’

r 2 dr = G m m’

∞

r

r –2 dr =

= G m m’ –1

r

∞

r

= G m m’ –1

r – 0

= – G

m m’

r

Así pues, la energía potencial de un cuerpo de masa m’, situado a una dis-tancia r de otro cuerpo de masa m que lo atrae gravitatoriamente, es:

E

p = – G

m m’

r

Despejando v se obtiene:

v = 2 g h = 2 9,8 m/s2 160 m = 56 m/s.

b) En una caída de 1 600 km no se puede considerar constante el peso del cuerpo, por lo que no es correcto calcular su energía potencial como m g h.

En este caso, sería:

Ek1 = 0, E

P1 = – G

M m

R + h,

E

k2 =

1

2 m v 2 y

E

P2 = – G

M m

R.

Así pues, la conservación de la energía mecánica se tiene que expresar ahora de la siguiente forma:

– G

M m

R + h =

1

2 m v 2 – G

M m

R

Despejando v, se obtiene:

v = 2 G M

h

R (R + h) = 5 000 m/s.

Al caer desde 1 600 km de altura, el cuerpo llegaría al suelo con una velocidad de 5 000 m/s.

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10 | Energía mecánica orbitalHemos visto que la velocidad de un satélite en órbita circular es:

v =

G M

r

De modo que su energía cinética es:

E

k =

1

2 m v 2 =

1

2 m G

M

r =

1

2 G

M m

r

También conocemos el valor de su energía potencial: E

p = – G

M m

r.

Por lo tanto, la energía mecánica total del satélite en órbita es:

E

M = E

k + E

p =

1

2 G

M m

r – G

M m

r = –

1

2 G

M m

r

Este resultado muestra que la energía mecánica de un satélite en órbita es siempre negativa.

Observa que, debido a su signo negativo, la energía mecánica del satélite es mayor cuanto más grande es el radio de la órbita. Lo mismo sucede con su energía potencial gravitatoria.

Por el contrario, la energía cinética, que es positiva, es menor cuanto mayor es el radio de la órbita.

Para que un cuerpo sobre el que solo actúa la atracción gravitatoria de un planeta se mueva siguiendo una curva cerrada (circunferencia o elipse) la única condición que debe cumplirse es que su energía mecánica sea negati-va (EM < 0). Si dicha trayectoria corta a la superficie del planeta, se estrellará contra él; pero, en caso contrario, permanecerá indefinidamente en su órbita como satélite.

En estas condiciones podemos decir que el cuerpo está capturado por el campo gravitatorio del planeta, ya que no puede separarse de él alejándose indefinidamente.

Para que un cuerpo pueda escapar por su propio impulso del campo gravitato-rio de un planeta, es necesario que posea la energía mecánica suficiente para separarse de él hasta una distancia infinita. Para eso ha de poseer, como mínimo, la energía potencial que tendría en el infinito Esta energía es 0. Por lo tanto, la condición para que un cuerpo se pueda alejar indefinidamente de un planeta es que su energía mecánica sea nula o positiva (EM ≥ 0).

Si EM > 0, la trayectoria es una rama de hipérbola con su foco en el centro del planeta. En este caso, el cuerpo se aleja indefinidamente, a no ser que su trayectoria corte en un punto a la superficie del planeta y se estrelle contra él.

En el caso de que la energía mecánica del cuerpo fuese nula (EM = 0), el cuerpo tendría la energía mínima necesaria para escapar del campo gravi-tatorio del planeta que lo atrae y su trayectoria sería una parábola con su foco en el centro del planeta. Pero este es un caso solo teórico, imposible en la práctica, pues requeriría que la energía mecánica fuese exactamente cero, y sabemos que no existen medidas exactas, ya que todas poseen un margen de incertidumbre.

Todo lo explicado para los satélites de un planeta es también aplicable a los planetas que se mueven en torno a una estrella bajo la acción del campo gravitatorio de esta.

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11 | Velocidad de escape

Si lanzamos un cuerpo verticalmente hacia arriba, sube hasta que su velo-cidad se anula y después cae. Cuanto mayor es la velocidad inicial que se le comunica, mayor altura alcanza antes de caer. Podemos proponer enton-ces una sorprendente pregunta: ¿es posible lanzar un cuerpo con tal velo-cidad inicial que no caiga nunca, es decir, que se aleje indefinidamente de la superficie de la Tierra?

La respuesta es afirmativa. En efecto, si no hay rozamiento, la única fuerza que actúa a partir del momento en que el cuerpo sale lanzado con una velo-cidad inicial v0, es su peso, es decir, la atracción de la Tierra. Esta fuerza frenará el movimiento (Fig. 23). Pero, como se trata de una fuerza conser-vativa, la energía mecánica del móvil no variará en todo el recorrido. Así pues, la energía mecánica inicial del móvil será igual a la que poseería en el infinito (ya que suponemos que se aleja indefinidamente de la Tierra).

E j E M P L O S

9. Un objeto se mueve con una velocidad de 3 km/s cuando se halla a 100 000 km de la superficie de la Tierra, pero no choca con ella. ¿Es un satélite de nuestro planeta?

Datos: masa de la Tierra: M = 5,98 1024 kg. Radio de la Tierra: R = 6 400 km.

La distancia del objeto al centro de la Tierra es: R + h = 108 m + 6,4 106 m = 1,064 108 m.

La energía mecánica del objeto se calcula como:

E

M =

1

2 m v 2 – G

M m

R + r

Su valor es:

E

M =

1

2 m (3 000 m/s)2 – 6,67 10–11 N m2 Kg–2

5,98 1024 kg m

1,064 108

Efectuando las operaciones indicadas obtenemos la energía mecánica en función de la masa m del objeto (no conocida): EM = 7,51 m (J).

Como su energía mecánica es positiva, el objeto no está satelizado alrededor de la Tierra y se alejará indefinidamente, siguiendo una trayectoria que es una rama de hipérbola.

10. Una nave espacial de masa m = 5 000 kg se mueve en una órbita circular a h = 500 km de altura sobre la superficie terrestre. Determina la energía que se le ha de comunicar para que abandone su órbita y se aleje indefinidamente de la Tierra.

Datos: masa de la Tierra: M = 5,98 1024 kg. Radio de la Tierra: R = 6 400 km.

El radio de la órbita es:

r = R + h = 6 400 km + 500 km = 6 900 km = 6,9 106 m

La nave en su órbita posee una energía mecánica de:

E

M = –

1

2 G

M m

r = –

1

2 6,67 10–11 N m2 Kg–2

5,98 1024kg 5 103 kg

6,9 108 m = – 1,45 1011J

A una distancia infinita el valor mínimo de la energía mecánica es 0. Por lo tanto, se han de suministrar a la nave, como mínimo, 1,45 1011 j = 145 Gj.

V0

V1

V2

23. velocidad de un cuerpo que se está alejando de la Tierra. En rojo se representa, la fuerza con que es atraído por la Tierra.

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La velocidad inicial mínima para que un cuerpo lanzado desde la superficie de un planeta se aleje indefinidamente de él se llama velocidad de escape o segunda velocidad cósmica.

De su expresión matemática se deduce que esta velocidad es independien-te de la masa del móvil. Solo depende de la masa y del radio del planeta. Así pues, la velocidad de escape es una característica propia de cada planeta.

Teniendo en cuenta que la masa de la Tierra es de 5,98 1024 kg y su radio, 6,38 106 m, la velocidad de escape de nuestro planeta resulta:

vo = 11 200 m/s ≈ 40 000 km/h

Si un proyectil se lanza desde la superficie de la Tierra hacia el espacio, en dirección no perpendicular al suelo con una velocidad superior a la de esca-pe, su trayectoria es una hipérbola y el cuerpo no se sateliza, sino que se aleja indefinidamente.

Posibilidad de atmósfera en los planetas

Como sabes, las moléculas de los gases están en constante y desordenado movimiento. Su velocidad media es tanto mayor cuanto más elevada es la tem-peratura y cuanto menor es su peso molecular.

Las moléculas de los gases que podrían formar la atmósfera de algunos planetas, a la temperatura que se alcanza en su superficie, poseen una velocidad que llega a superar la velocidad de escape. Los gases se difunden entonces en el espacio sin poder ser retenidos por la atracción gravitatoria del planeta.

Los planetas solo pueden tener atmósfera cuan-

do su velocidad de escape es superior a la velo-cidad de las moléculas gaseosas existentes en su superficie. Para ello es necesario que la masa del planeta sea suficientemente grande. La Luna y los asteroides, por ejemplo, carecen de atmósfera porque su masa es demasiado pequeña.

Para que en un planeta se desarrolle la vida, es necesario algún tipo de atmósfera. Por eso puede afirmarse que uno de los factores que determinan la posibilidad de que exista vida en un planeta es su velocidad de escape.

DO

CU

ME

NT

O

Si M es la masa de la Tierra, R su radio y m, la masa del móvil, su energía mecánica en el instante inicial del lanzamiento será:

E

M0

= Ek

0

+ Ep

0

= 1

2 m v

0

2 – G M m

R

Hemos visto que, a una distancia infinita del centro de la Tierra, la energía potencial gravitatoria del móvil es nula. Pero como el móvil, a lo largo de su recorrido, va perdiendo velocidad, si se ha lanzado con la mínima energía para que se aleje indefinidamente, su velocidad en el infinito será cero. Por consiguiente su energía mecánica final (en el infinito) sería:

EM = EK + EP = 0 + 0 = 0

Como la energía mecánica se conserva, podemos igualar sus valores inicial y final:

1

2 m v

0

2 – G M m

R = 0

Despejando v0 se obtiene:

24. Lanzamiento del Apolo xi hacia la Luna.

v

0 =

2 G M

R

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Segunda ley de Kepler

12 | Órbitas elípticas

El astrónomo alemán Johannes Kepler, en el siglo xvii, logró describir correc-tamente el movimiento de los planetas. El resultado de su trabajo quedó enunciado en las tres leyes siguientes:

Primera ley de Kepler

Las órbitas de los planetas son elipses, uno de cuyos focos está situado en el centro del Sol.

El segmento cuyos extremos son los centros del Sol y de un planeta barre áreas iguales en tiempos iguales.

25. Johannes Kepler.

El cuadrado del tiempo que tarda un planeta en describir su órbita es directamente proporcional al cubo del semieje mayor de su órbita.

P1

P2

P3

P4P5

P6

Figura 26.

Cuando un planeta se desplaza alrededor del Sol, el segmento rectilíneo que une sus centros cambia de dirección y de longitud. Todos los puntos por los que pasa ese segmento a lo largo de un intervalo de tiempo consti-tuyen la superficie que denominamos el área barrida (Fig. 26).

Si corresponden a iguales intervalos de tiempo, las áreas barridas repre-sentadas en la figura han de tener áreas iguales. Para que sea así, en las zonas donde el planeta está más alejado del Sol, el arco de trayectoria que recorre debe ser más corto, es decir, su velocidad será menor.

Tercera ley de Kepler

El tiempo que tarda un planeta en completar una órbita alrededor del Sol se llama período y se designa por T.

Así pues, la tercera ley de Kepler se puede expresar matemáticamente de la siguiente forma:

T 2

a 3 = C (constante)

La tercera ley de Kepler se puede demostrar muy fácilmente para una órbita circular.

En efecto, la velocidad de un satélite en órbita circular es igual al cociente entre la longitud de la órbita (2 π r) y el tiempo empleado en recorrerla, es decir el, período (T):

v =

2 π r

T

Sustituyendo v por este cociente en la expresión de la velocidad del satélite, tenemos:

v

0 =

G M

r

Y elevándola al cuadrado resulta:

(2 π r )2

T 2 =

G M

r

Haciendo operaciones se obtiene:

r 3

T 2 =

G M

4 π2

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El segundo miembro de esta igualdad es constante, por lo que queda com-probado que T2 es directamente proporcional a r3, tal como afirma la tercera ley de Kepler.

Las leyes de Kepler no solo son válidas para los planetas del sistema solar, sino también para otros cuerpos que se mueven en órbita en torno un astro que los atrae gravitatoriamente, como los cometas alrededor del Sol y los satélites naturales o artificiales alrededor de los planetas.

E j E M P L O

11. El radio medio de la órbita que describe alrede-dor del Sol el asteroide Gaspra es de 2,21 UA. Calcula el período de revolución de Gaspra.

UA significa unidad astronómica, que es una longitud muy aproximadamente igual a la dis-tancia media de la Tierra al Sol:

1 UA = 1,496 1011 m

Simbolizaremos por RG y RT los radios medios de las órbitas de Gaspra y la Tierra, y por TG y TT sus respectivos períodos de revolución alrede-dor del Sol.

Por la tercera ley de Kepler se cumplirá que:

RG

3

TG

2 =

RT

3

TT

2

Dado que esta fórmula es homogénea, podemos expresar los valores de las magnitudes que intervienen en cualquier unidad (naturalmen-te, ha de ser la misma en ambos miembros de la igualdad).

Expresaremos los radios de las órbitas en UA, con lo que será RT = 1 UA (por definición).

Y, expresando en años los períodos de revolución, es TT = 1 año.

Sustituyendo valores en la anterior igualdad tendremos:

(2,21 UA)3

TG

2 =

(1 UA)3

(1 any)2

Despejando TG se obtiene:

T

G = 2,213 = 3,29 años.

Gaspra es una roca de unos 20 km de longitud que forma parte del cinturón de asteroides que giran en órbita alrededor del Sol. La sonda Galileo se aproximó a él en octubre de 1991 y envió esta fotografía.

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80


La energía mecánica de un satélite de masa m que se mueve alrededor de un planeta de masa M en una órbita elíptica se calcula de la misma forma que en una órbita circular, pero sustituyendo el radio del círculo por el semieje mayor de la elipse:

E

M = –

1

2 G

M m

a

La longitud a se denomina tambíen radio medio de la órbita.

En uno de los extremos del eje mayor de las órbitas elípticas la distancia entre el satélite y el planeta, situado en uno de los focos de la elipse, es mínima (punto A de la figura 27) e igual a la diferencia a – c entre el semieje mayor y el semieje focal.

Si el planeta es la Tierra, ese punto se llama perigeo. En él la energía potencial es mínima y la cinética es máxima.

En el otro extremo del eje mayor de la órbita la distancia entre el satélite y el planeta es máxima (punto A’ de la figura 27) e igual a la suma a + c del semieje mayor y el semieje focal.

Para los satélites de la Tierra ese punto se llama apogeo. En él es máxima la energía potencial y mínima la cinética.

Conociendo las distancias máxima, rmáx, y mínima, rmín, entre un planeta y su satélite se pueden determinar fácilmente las valores de los semiejes mayor, menor y focal de la órbita así como su excentricidad. Para ello basta tener en cuenta que:

rmáx

= a + c

rmín

= a – c

De donde se deduce:

a =

rmáx

+ rmín

2 y c =

rmáx

– rmín

2

A partir de los valores de a y c podemos calcular la longitud del semieje menor de la órbita (b) y su excentricidad (ε):

b = a2 – c 2 y ε =

ca

Todo lo dicho se puede aplicar a cualquier astro que gire en órbita aldedor de otro. En el caso de los planetas, asteroides y cometas del sistema solar, la posición de máxima distancia al Sol se denomina afelio y la de mínima distancia, perihelio (ambas palabras proceden del vocablo griego helios, que significa ‘Sol’).

A’ A

c

a a

F’ F

vmín

vmáx

27. Satélite en órbita elíptica alrededor de la Tierra, situada en el foco F de la elipse. En A (perigeo) la distancia a la Tierra (a – c) es la mínima y la velocidad es la máxima. En A’ (apogeo) la distancia a la Tierra (a + c) es máxima y la velocidad mínima.

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E j E M P L O

12. En el año 2005 se descubrió un nuevo planeta del sistema solar al que se ha dado el nombre de Eris. Su afelio se encuentra a 97,5 UA del Sol y su perihelio a 37,8 UA.

Determina:

a) El radio medio en m y la excentricidad de su órbita.

b) El valor de la energía orbital de Eris en función de su masa m.

c) Su velocidad orbital máxima en km/s.

Datos: 1 UA = 1,496 1011 m. Masa del Sol: M = 1,99 1030 kg.

a) Llamaremos a al semieje mayor y c al semieje focal de la órbita.

La distancia de Eris al Sol en el afelio es a + c = 97,5 UA y, en el perihelio, a – c = 37,8 UA.

De las anteriores igualdades se deduce:

a =

(97,5 + 37,8) UA

2 = 67,65 UA y

c =

(97,5 – 37,8) UA

2 = 29,85 UA

El radio medio de la órbita es: a = 67,65 UA

1,496 1011 m

1 UA = 1,01 1013 m

La excentricidad de la órbita de Eris es: ε =

c

a =

29,85 UA

67,65 UA = 0,441

b) La energía mecánica orbital en función de la masa m de Eris es:

E

M = –

1

2 G

M m

r = –

1

2 6,67 10–11 N m2 kg–2

1,99 1030 kg m

1,01 1013 m = (6,57 106 J/kg)m

c) El planeta alcanza su velocidad máxima v en el perihelio, donde su distancia al Sol es la mínima: r = a – c = 37,8 UA = 37,8 1,496 1011 m/UA = 5,655 1012 m.

A lo largo de la órbita se mantiene constante la energía mecánica del planeta: EM = Ek + Ep.

Para calcular su velocidad, despejaremos la energía cinética EM = Ek – Ep, es decir:

1

2 m v 2 = E

M – – G

M m

r

Aplicando los valores que conocemos a las magnitudes de esta expresión, tenemos:

1

2 m v 2 = 6,57 106 m + 6,67 10–11

1,99 1030 m

5,655 1012

Multiplicando por 2 y dividiendo entre m la anterior ecuación, resulta:

v 2 = 2 × 6,57 106 + 2 6,67 10–11

1,99 1030

5,655 1012 = 1,314 107 + 4,694 107 = 6,008 107

De donde se deduce: v = 7,75 103 m/s = 7,75 km/s.

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13 | Astronáutica

En el mes de octubre del año 1957 tuvo lugar un acontecimiento que causó sensación en el mundo y que marcó el principio de lo que se ha dado en llamar «la era de la navegación espacial»: el lanzamiento del primer satélite artificial de la Tierra, el Sputnik i. Era una esfera de 83 kg que se puso en órbita por los técnicos y científicos de la Unión Soviética y que se mantuvo en órbita alrededor de nuestro planeta durante 57 días.

Poco después, en enero de 1958, en Estados Unidos también se logró poner en órbita un satélite artificial, el Explorer, un cilindro de 14 kg y unos 2 m de longitud.

Desde entonces hasta nuestros días se han puesto en el espacio innume-rables ingenios espaciales:

• Satélites artificiales con o sin tripulación.

• Estaciones espaciales en órbita como las Salyut, la Skylab, la MIR y la estación Espacial Internacional IIS.

• Sondas no tripuladas que se han aproximado a diversos planetas, satéli-tes, asteriodes y un cometa del sistema solar; incluso, se han posado sobre la superficie de algunos de ellos.

• Naves espaciales tripuladas, como el Apolo xi, que llevó por primera vez al hombre hasta la superfie de la Luna, el 20 de julio de 1969.

• El telescopio Hubble, en órbita alrededor de la Tierra, que ha proporcio-nado valiosa información sobre el universo.

Las aplicaciones de todos estos ingenios espaciales han sido innumera-bles para la investigación científica, para el desarrollo tecnológico, para las comunicaciones, para la observación y obtención de datos sobre nuestro planeta y sobre el universo, etc.

Sobre estos temas podrás encontrar interesante y amplia información en Internet.

R E C U R S O S I N F O R M Á T I C O S

Para la observación de los astros, su posición y movimiento aparente sobre la esfera celeste se pueden encontrar recursos introduciendo en el buscador de Internet términos como los siguientes: planisferio celeste, astronomía, planetario vir tual, constelaciones, universo.

Para encontrar programas de simulación que te permitan experimentar con el movimiento de satélites y, en general, de cuerpos sometidos a fuerzas mutuas de interacción gravitatoria, introduce en el buscador la frecuencia simulador de órbitas.

Para encontrar información sobre ingenios espaciales y la historia de la navegación espacial, introduce en el buscador algunos de los siguientes términos o secuencias: astronáutica, astronave, sonda espacial, estación espacial, satélite artificial, o el nombre concreto del ingenio sobre el que quieras obtener informa-ción.

29. El telescopio Hubble ha sido una de las herramientas fundamentales para el conocimiento del universo en los últimos años.

28. Estación Espacial internacional, un ambicioso proyecto cuya infraestrutura se proyectó completar el año 2010.

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R E S U M E NLos planetas y satélites | 2

La intensidad del campo gravitatorio en un punto es la fuerza gravitatoria que actúa sobre la unidad de masa situada en ese punto. Su valor es igual al de la aceleación de la gravedad en ese punto. Se expresa en N/kg, que equivalen a m/s2.

El módulo de la intensidad del campo gravitatorio creado por una masa m (puntual o esférica homogé-nea) en un punto situado a una distancia r de su centro es:

rg = G

m

r 2

La energía potencial gravitatoria de un cuerpo de masa m’ en el campo creado por otro cuerpo de masa m, si sus centros están a una distancia r, es:

E

p = – G

m m’

r (si los cuerpos son puntuales o

esféricos homogéneos).

La energía mecánica orbital de un cuerpo de masa m que describe una órbita circular de radio r alre-dedor de otro de masa M, es la suma de sus ener-gías cinética y potencial gravitatoria. Su valor es:

E

M = –

1

2 G

M m

r.

La velocidad de escape o segunda velocidad cós-mica es la velocidad inicial minima para que un cuerpo lanzado desde la superficie de un planeta se aleje indefinidamente de él. Su valor es:

v =

2 G M

R

Leyes de Kepler: 1. Las órbitas de los planetas son elipses con un foco situado en el centro del Sol. 2. El segmento que une los centros del Sol y de un planeta barre áreas iguales en tiempos iguales. 3. El cuadra-do del período un planeta es directamente proporcio-nal al cubo del semieje mayor de su órbita.

En órbitas elípticas la posición de máxima distancia de un satálite a la Tierra se llama apogeo y la de mínima distancia, perigeo. En las órbitas alrededor del Sol esas posiciones se denominan afelio y peri-helio. Si a es el semieje mayor de la órbita elíptica y c el semieje focal, la distancia máxima es a + c y la mínima, a – c.

La energía mecánica orbital en una órbita elíptica

es E

M = –

1

2 G

M m

a, donde a es el semieje mayor

de la elipse o radio medio de la órbita.

La esfera celeste es una esfera imaginaria concén-trica a la Tierra y de radio mucho mayor que esta, sobre cuya superficie proyectamos todos los astros del firmamento.

La visual de un astro es la recta que une la Tierra (donde se encuentra el observador) con el astro, considerando a ambos como masas puntuales.

La posición aparente de un astro es el punto de intersección de la visual del astro con la superficie de la esfera celeste.

La distancia angular entre dos astros de posicio-nes aparentes A y B es el valor angular del arco de circulo máximo de la esfera celeste comprendido entre A y B.

El Polo Norte y Polo Sur celestes son los puntos de intersección del eje del mundo con la superficie de la esfera celeste.

El movimiento diurno es el movimiento de rotación de la esfera celeste alrededor del eje del mundo dando una vuelta cada 24 horas en sentido retró-grado (el de las agujas del reloj) para un observador del Hemisferio Norte.

El movimiento propio es el movimiento de algunos astros a respecto a los astros que ocupan una posi-ción fija sobre la esfera celeste. El movimiento propio de los planetas del sistema solar sigue tra-yectorias complicadas.

El sistema de referencia heliocéntrico es el que sitúa su origen de coordenadas en el centro del Sol; en él quedan muy simplificados los movimien-tos de los planetas.

Un satélite es un cuerpo que gira en órbita circular o elíptica en torno a un planeta que lo atrae gravita-toriamente. Si un satélite describe una órbita circu-lar de radio r alrededor de un planeta de masa M, su movimiento es circular uniforme y su fuerza cen-trípeta es la fuerza de atracción gravitatoria del planeta. La velocidad del satélite es:

v =

G M

r

Según la ley de Newton de la gravitación universal, dos masas puntuales cualesquiera, m y m’, sepà-radas por una distancia r, se atraen mutuamente

con una fuerza cuya intensidad es F =

G m m’

r 2,

donde G (constante de gravitación universal) es 6,67 10–11 N m2 kg–2.

Contenido básico de la unidad en formato hipermedia, en el CD.

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A C T I V I D A D E SLey de la gravitación universal

1 Determina la intensidad de la fuerza de atrac-ción gravitatoria entre dos bolas de plomo, de masa m = 200 kg cada una, cuyos centros están separados por una distancia d = 50 cm.

2 Calcula la fuerza con la que el Sol atrae al planeta Mercurio. Razona si Mercurio atrae al Sol con la misma fuerza.

Masa de Mercurio: MM = 3,30 1023 kg. Masa del Sol: MS = 1,99 1030 kg. Distancia entre Mercurio y el Sol: d = 5,97 107 km.

3 Calcula y compara las fuerzas de atracción que ejercen la Tierra y el Sol sobre la Luna a partir de los siguientes datos:

Masa del Sol: 1,99 1030 kg; masa de la Tierra: 5,98 1024 kg; masa de la Luna: 7,35 1022 kg; distancia Tierra-Luna: 3,8 108 m; distancia Sol-Luna: 1,50 1011 m.

4 Calcula con qué fuerza atrae el Sol a una perso-na de 60 kg que se encuentra en la Tierra.

Masa del Sol: 2 1030 kg. Distancia Tierra-Sol: 1,5 108 km.

5 ¿Cuánto pesará en la superficie de la Luna una persona de masa m = 60 kg? Compara su peso en la Luna con su peso en la Tierra.

Masa de la Luna: ML = 7,35 1022 kg. Radio de la Luna: RL = 1 600 km.

6 ¿Con qué fuerza atrae el planeta Júpiter a un camión de 10 TM situado en la superficie de la Tierra cuando ambos planetas se aproximan a 600 millones de km?

Masa de Júpiter: 1,9 1027 kg.

7 Si la Tierra se contrajera hasta que su radio fuese de solo 20 km, ¿cuánto pesaría en la superfice terrestre una manzana de masa 200 g?

Masa de la Tierra: 5,98 1024 kg.

8 Una nave espacial viaja de la Tierra a la Luna. Suponiendo que esté alineada con los centros de ambos astros, ¿en qué punto serán iguales las fuerzas de atracción de la Tierra y de la Luna sobre la nave?

Masa de la Tierra: 5,98 1024 kg. Masa de la Luna: 7,35 1022 kg. Distancia Tierra-Luna: 3,8 108 m.

9 Calcula la pérdida de peso que experimenta un hombre de 70 kg al subir a la torre Eiffel (altu-ra: 300 m). Se supone que sube en ascensor, ya que, si lo hiciera por la escalera, perdería mucho más peso, aunque por distinto motivo.

Masa de la Tierra = 6 1024 kg. Radio de la Tierra = 6 400 km.

Velocidad en órbita circular

10 Un satélite artificial de la Tierra describe una órbita circular a una altura de 1 600 km. Calcula su período.

Masa de la Tierra: 5,98 1024 kg. Radio de la Tierra: 6 400 km.

11 Desde un lugar de la Tierra se observa el paso de un satélite artificial cada 100 minu-tos. Suponiendo que sigue una órbita circu-lar, calcula:

a) El radio de su órbita. b) Su altura sobre la superficie terrestre en km. Masa de la Tierra: 5,98 1024 kg.

Radio de la Tierra: 6,38 106 m.

12 Un planeta tiene un satélite que describe una órbita de radio 200 000 km en 250 ho ras. ¿Cuál sería el período de un satélite de ese planeta si describiera una órbita de 500 000 km de radio?

13 Se llama primera velocidad cósmica de un planeta a la velocidad que teóricamente de bería poseer un satélíte para mantenerse en órbita circular al nivel de la superficie del planeta.Se ha de suponer que el planeta no posee atmósfera, que frenaría el movimien-mto del satélite y que no presenta obstácu-los con los que podría chocar. Calcula la pri-mera velocidad cósmica de la Tierra.

Masa de la Tierra: 5,98 1024 kg. Radio de la Tierra: 6 400 km.

14 El planeta Júpiter, per fectamente visible a simple vista, posee cuatro grandes satéli-tes: Io, Europa, Ganímedes y Calisto, visi-bles con prismáticos. Se ha observado que Io da una vuelta alrededor del planeta en 42,5 horas. El radio de la órbita se estima en 422 000 km.

Suponiendo que la órbita es circular, calcula la masa de Júpiter.

G = 6,67 10–11 N m2 kg–2.

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DIFICULTAD: SENCILLA MEDIA ALTA

22 Un planeta tiene una masa de M = 3 1025 kg y su radio es R = 107 m.

Desde una altura h = 5 106 m sobre la super-ficie del planeta, se deja caer un cuerpo sin velocidad inicial. Calcula la velocidad que alcanzará al llegar al suelo del planeta.

23 Una nave espacial, cuando se encuentra a 100 000 km del centro de la Tierra, se aleja con una velocidad de 6 km/s. Si se mueve por inercia, sin que se le aporte energía, ¿cuál será su velocidad cuando se halle a una distancia de 200 000 km?

Masa de la Tierra: 5,98 1024 kg.

24 Un meteorito se mueve hacia la Tierra con una velocidad de 5 km/s cuando está a 23 600 km de la superficie terrestre. ¿Con qué velocidad llegaría al suelo si la atmósfe-ra no lo frenase?

Masa de la Tierra: 5,98 1024 kg. Radio de la Tierra: 6,38 106 m.

25 Una nave espacial de 2 000 kg de masa se encuentra a 23 000 km de la superficie de la Tierra, alejándose de ella a 18 000 km/h. Calcula su energía mecánica.

¿Es suficiente esa energía para que escape de la atracción gravitatoria de nuestro planeta?


26 En 1910 el cometa Halley se movía con una velocidad de 55 km/s cuando se hallaba a 8,8 107 km del centro del Sol. Su velocidad era de 42 km/s cuando se encontraba a la misma distancia del Sol que la Tierra: 1,5 108 km. Aplicando la conservación de la energía mecánica, calcula la masa del Sol.

Energia orbital

27 Calcula la energía mecánica orbital de un satélite artificial de masa m = 250 kg que recorre una órbita circular a h = 800 km de altura sobre la superficie de la Tierra.


28 Un satélite artificial en órbita circular tiene una energía cinética de 2,4 1011 J. Deter- mina, sin más datos, los valores de su ener-gía potencial gravitatoria y de su energía mecánica.

15 Calcula a qué distancia de la superficie terres-tre ha de situarse un satélite en órbita circular para que sea geoestacionario, es decir, para que permanezca constantemente sobre el mismo punto del Ecuador. Para ello, ha de dar una vuelta a la Tierra en 24 horas. Este es el caso de los satélites de televisión.

Masa de la Tierra: MT = 5,98 1024 kg. Radio de la Tierra: RT = 6,38 106 m.

Intensidad de campo gravitatorio

16 Calcula la intensidad del campo gravitatorio en la superficie de Marte sabiendo que su masa es 6,4 1023 kg y su diámetro, 6 790 km.

17 ¿Cuál sería la aceleración de la gravedad en la superficie de un planeta de la misma den-sidad que la Tierra, pero de doble radio?

18 El campo gravitatorio en la superficie de un planeta tiene una intensidad de 7 N/kg. Calcula la masa de un cuerpo que pesa 350 N en la superficie de ese planeta.

¿Cuánto pesaría el mismo cuerpo en la superfi-cie de otro planeta cuyo campo gravitatorio tiene una intensidad de 20 N/kg?

19 La aceleración de la gravedad en la superfi-cie del planeta Mercurio es de 2,35 m/s2. ¿Con qué fuerza atraerá a un cuerpo de masa 800 kg que se encuentra a una distan-cia de su superficie de 4 960 km?

Radio de Mercurio: 2 480 km.

Energía potencial gravitatoria

20 Calcula la energía potencial de la Luna en el campo gravitatorio de la Tierra.

Masa de la Tierra: 5,98 1024 kg. Masa de la Luna: 7,35 1022 kg.

21 Calcula la energia potencial gravitatoria de un cuerpo de 20 kg de masa en la superficie de la Luna y a una altura de 400 km sobre el suelo lunar.

¿Con qué velocidad inicial habría que lanzar verticalmente ese cuerpo desde la superfi-cie de la Luna para que llegara a la citada altura de 400 km?

Masa de la Luna: ML = 7,35 1022 kg. Radio de la Luna: RL = 1 600 km.

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A C T I V I D A D E S29 ¿Qué energía se ha de comunicar a un cuerpo

de 500 kg, que está en reposo en la superfi-cie de la Tierra, sobre el Ecuador, para situarlo en una órbita circular a 4 000 km de altura?

Masa de la Tierra = 6 1024 kg. Radio de la Tierra = 6 400 km.

30 Determina la energía que se ha de comuni-car a un satélite artificial de la Tierra situado en una órbita de radio r1 = 7 000 km para transferirlo a una segunda órbita circular cuya velocidad sea la mitad que en la prime-ra. Masa de la Tierra: 5,98 1024 kg.

Velocidad de escape31 Calcula el valor de la velocidad de escape de

la Luna. Masa de la Luna: 7,35 1022 kg.

Radio de la Luna: 1,74 106 m.

32 Una nave de 20 000 kg de masa se encuentra en reposo sobre la superficie de Marte; ¿cuál es la mínima energía necesaria para hacerla alejarse indefinidamente del planeta?

La masa de Marte es de 6,4 1023 kg y su diá-metro de 6 790 km.

33 Sabiendo que la masa de la Tierra es 81,4 veces la de la Luna y el radio de la Tierra 3,67 veces el de la Luna, compara la energía necesaria para que un cuerpo escape de la atracción gravitatoria de una y otra, supo-niendo que se encuentra inicialmente en reposo sobre su superficie.

Tercera ley de Kepler 34 A partir de la siguiente tabla de datos reales

sobre los planetas del sistema solar, com-prueba la tercera ley de Kepler.

Planeta Período (s) Distancia media al Sol (m)

Venus 1,94 107 1,08 1011

La Tierra 3,16 107 1,50 1011

Marte 5,94 107 2,28 1011

Júpiter 3,74 108 7,78 1011

Saturno 9,30 108 1,43 1012

Urano 2,65 109 2,87 1012

Neptuno 5,20 109 4,50 1012

35 El período de Plutón es de 247,7 años. Cal-cula su distancia media al Sol.

Distancia media de la Tierra al Sol: 1,5 1011 km.

36 Calcula el período del asteroide Ceres, sabiendo que el radio de su órbita alrededor del Sol es 2,77 veces mayor que el de la órbita terrestre.

Órbitas elípticas

37 Un planeta tiene un satélite que recorre su órbita en 5 horas. Su máxima distancia al centro del planeta es de 20 000 km y la míni-ma, de 12 000 km.

a) Determina la excentricidad de su órbita.

b) ¿A qué distancia del centro del planeta tendría que situarse otro satélite en órbita circular para que recorriese su órbita en el mismo tiempo?

38 El asteroide Ícaro tiene una forma casi esfé-rica de 1,4 km de diámetro. Recorre una elipse de mucha excentricidad que le hace pasar cerca de la órbita terrestre. Sabiendo que su afelio es de 1,9692 UA y su perihe-lio, de 0,1866 UA, determina su período orbital.

39 Un satélite artificial de la Tierra posee una masa de m = 400 kg. Su máxima distancia a la superficie de la Tierra es de 1 250 km y la mínima, de 370 km.

Calcula la excentricidad de su órbita y su energía mecánica orbital.


40 Razona en cuál de las dos órbitas cuyas características se dan a contiuación tendría mayor energía mecánica un satélite.

• Órbita 1. Distancia máxima al centro del planeta: 10 000 km Excentricidad: 0,6.

• Órbita 2. Distancia máxima al centro del planeta: 8 000 km. Excentricidad: 0,2.

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2 Los planetas y satélites