Introduction to Control Systems

II. Μαθηματική Μοντελοποίηση (Mathematical Modeling)

• Τι είναι η μαθηματική μοντελοποίηση? • Γιατί χρειάζεται μοντελοποίηση? • Πόσο δύσκολη είναι η μοντελοποίηση? • Πόσο ακριβής χρειάζεται να είναι η

μοντελοποίηση?

Κατηγορίες Συστημάτων Συστήματα

Στοχαστικά Ντετερμινιστικά

Διακριτού χρόνου Συνεχούς χρόνου

Γραμμικά Μη γραμμικά

Χρονικά μεταβλητά

Χρονικά αμετάβλητα

Παράδειγμα: Αντίστροφο εκκρεμές

θ

Δύναμη

Στόχος: Άσκηση δύναμης ώστε η δοκός να είναι κατακόρυφη (θ=0)

- Στοχαστικό vs Ντετερμινιστικό (stochastic vs deterministic) - Συνεχούς χρόνου vs Διακριτού χρόνου (continuous-time vs discrete-time) - Γραμμικό vs Μη γραμμικό (linear vs nonlinear) - Χρονικά μεταβλητό vs Χρονικά αμετάβλητο (time-varying vs time invariant)

Παράδειγμα: Μοντέλο αυτόματης οδήγησης

Υποθέσεις: • Αμελητέα περιστροφική αδράνεια (rotational inertia) των τροχών • Τριβή (friction) ανάλογη της ταχύτητας

M u

y Τριβή

byΝόμος Νεύτωνα

F=ma

u by My− =

b uy yM M

+ =

v yb uv vM M

=

+ =

Έλεγχος ταχύτητας

u

Παράδειγμα: Αποσβεστήρας ταλαντώσεων

M

r(t) Δύναμη

Τριβή f

y

K

Μ y

K f

r(t)

r Ky fy My− − =

My fy Ky r+ + =

Σύστημα r(t) y(t)

Spring-Mass-Damper

Μ2

Μ1

Επιφάνεια δρόμου r Αναφορά

x

y

Παράδειγμα: Μοντέλο αναρτήσεων (suspension model)

( )( )

1

2

( ) ( )

( )s w

s

K y x f y x K x r M x

K y x f y x M y

− + − − − =

− − − − =

( )

( )1 1 1 1

2 2

( )

( ) 0

s w w

s

K K Kfx x y x y x rM M M M

Kfy y x y xM M

+ − + − + =

+ − + − =

wK

fsK

Παράδειγμα: Ηλεκτρικό κύκλωμα

1

2

1

2

210.10.2

RRCC

====

Νόμοι Kirchhoff

2 2 02

0 20

0.1 02 1

0.2( ) 01

i

i

v v v v v

v v v v

− −+ + =

−+ − =

Bridged tee Circuit

2 0 0 2 0 0

2 2 0

0 0 0 0 0

0 0 0

0.2 0.2 0.2 0.21.5 0.1 0.5 01.5 0.3 0.3 0.02 0.02 0.1 0.5 00.02 0.4 0.5 0.02 0.3 0.5

i i

i

i i i

i i i

v v v v v v v vv v v vv v v v v v v v

v v v v v v

= + − ⇒ = − ++ − − =+ − + − + − − =+ + = + +

Απαλείφουμε v2 για πάρουμε τη σχέση μεταξύ vi και v0

0 0 020 25 15 25i i iv v v v v v+ + = + +

2 2 02

0 20

0.1 02 1

0.2( ) 01

i

i

v v v v v

v v v v

− −+ + =

−+ − =

Μετασχηματισμός Laplace (Laplace Transform)

H(s) u y

( ) ( ) ( )Y s H s U s=

• Η απόκριση ενός γραμμικού, χρονικά αμετάβλητου συστήματος μπορεί να εκφραστεί ως η συνέλιξη της εισόδου με την κρουστική απόκριση του συστήματος. • Η απόκριση ενός γραμμικού συστήματος ικανοποιεί την αρχή της επαλληλίας (superposition) .

H(s) δ(t) h(t)

Κρουστική απόκριση

Συνελικτικό ολοκλήρωμα

( ) ( ) ( )y t h t u dτ τ τ∞

−∞

= −∫

( ) ( ) ( )y t h u t dτ τ τ∞

−∞

= −∫ή

Παράδειγμα δ(t)=u y y Ky u+ =

y(0)=0

y Ky u+ =

u y

-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

t

y(t)

e-ktu-1(t)

1( ) ( )kth t e u t−−⇒ =

1

0

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )

k

k

y t h u t d

e u u t d

e u t d

τ

τ

τ τ τ

τ τ τ

τ τ

∞

−∞

∞ −−−∞

∞ −

= −

= −

= −

∫∫∫

Γραμμικό ( ) stH s este

Συναρτήσεις μεταφοράς (Transfer Functions)

s can be complex

{ }

( )

0

0

( ) ( ) ( )

( )

( )

( )

( )

s t

s st

s st

st

y t h u t d

h e d

h e e d

h e d e

H s e

τ

τ

τ

τ τ τ

τ τ

τ τ

τ τ

∞

−∞

∞ −

−∞

∞ −

∞ −

= −

=

=

=

=

∫∫∫

∫

Παράδειγμα sty ky u e+ = =

( ) ( ) ( ) ( )1( )

1( )

st st st st

st

y t H s e sH s e kH s e e

H ss k

y t es k

= ⇒ + =

⇒ =+

⇒ =+

Μετασχηματισμός Laplace - Ορισμός

{ }( ) ( ) ( ) stL f t F s f t e dt∞

−

−∞

= = ∫ Για αμφίπλευρο Μ/Σ

Για μονόπλευρο Μ/Σ { }0

( ) ( ) ( ) stL f t F s f t e dt∞

−= = ∫

Γραμμικό h(t)

( )y t( )u t

( ) ( )* ( )( ) ( ) ( )

y t h t u tY s H s U s

==

Παράδειγμα

{ }

{ }

{ }

{ }

1

1 2

1 2 2

1( )

( )

( ) 1

sin( ) ( )

L u t ή άs

aL atu t ά άs

L t ά έ

L t u t ή άs

βηµατικ συν ρτηση

συν ρτηση ρ µπας

δ συν ρτηση δ λταωω ηµιτονοειδ ς συν ρτησηω

−

−

−

• =

• =

• =

• =+

Ιδιότητες Μετασχηματισμού Laplace (επανάληψη)

(1) Γραμμικότητα (επαλληλία) [linearity and superposition]

{ } { } { }1 2 1 2

1 2

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

L f t f t L f t L f taF s F s

α β α ββ

+ = +

= +

(2) Χρονική καθυστέρηση (μετατόπιση στο χρόνο) [Time Delay, Shifting]

{ }0

( )

0

0

( ) ( ) ( ) ( )

( )

( ) ( )

( )

( )

st

st

T

s x T

sT sx

sT

L f t u t f t u t e dt

f t e dt

f x e dx ή ώ x t T

e f x e dx

e F s

αλλαγ µεταβλητ ν

∞ −

∞ −

∞ − +

∞− −

−

− Τ − Τ = − Τ − Τ

= − Τ

= = −

=

=

∫∫∫∫

(3) Κλιμάκωση [time scaling]

{ } 1( ) sL f t Fa a

α =

(4) Μετατόπιση στη συχνότητα [Shift in frequency]

{ } ( )( )atL e f t F s a− = +

(5) Παραγώγιση

0

0 0

0 0

( )

( )

( ) (0 )

st

st st

df t dfL e dtdt dt

uv vdu

fe sf t e dt

sF s f

−

−

−

∞ −

∞∞

∞∞− −

−

=

= −

= +

= −

∫

∫∫

st

st

ώ ά έ

u edu se dt

dfdv dtdt

v f

αραγ γιση κατ µ ρη−

−

Π

=

= −

=

=

22

2

( ) ( ) (0 ) '(0 )d f tL s F s sf fdt

− − = − −

Παρόμοια: { }( ) 1 2 ( 1)( ) ( ) (0 ) '(0 ) ... (0 )m m m m mL f t s F s s f s f f− − − − − −= − − − −

(6) Ολοκλήρωση

{ }0 0 0

0 0

0 00

( ) ( )

1 1( ) ( )

1 ( )

t t st

tst st

L f d f d e dt

uv vdu

e f d e f t dts s

F ss

ξ ξ ξ ξ

ξ ξ

−

∞ −

∞∞

∞∞− −

=

= −

= − − −

=

∫ ∫ ∫

∫

∫ ∫

0( )

( )

1

t

st

st

u f d

du f t dtdv e dt

v es

ξ ξ

−

−

= = =

= −

∫

(7) Συνέλιξη [Convolution]

{ }1 2 1 2( )* ( ) ( ) ( )L f t f t F s F s= ⋅

(8) Πολλαπλασιασμός με το χρόνο

{ } ( )( ) dF sL tf tds

= −

Σημαντικά θεωρήματα Laplace

Τιμή μόνιμης κατάστασης: lim ( )t

y t→∞

Σταθερά Απροσδιόριστη Μη φραγμένη

Θεώρημα τελικής τιμής: αν όλοι οι πόλοι της sY(s) είναι στο αριστερό μιγαδικό ημιεπιπέδο, τότε:

0lim ( ) lim ( )t s

y t sY s→∞ →

=

Παράδειγμα 2

3( 1)( )( 5 4)

sY ss s s

+=

+ +

0

3( ) ( ) 0.754sy sY s

=∞ = = =

Θεώρημα αρχικής τιμής: για κάθε ζεύγος μετασχηματισμού Laplace:

lim ( ) (0 )s

sF s f +

→∞=

Παράδειγμα 4( 2)( )( 3)sY s

s s+

=−

4( 2)(0 ) lim 4( 3)s

sys

+

→∞

+= =

−

Ανάπτυξη σε μερικά κλάσματα [Partial Fraction Expansion]

( )F s1L−

( )f t

Ρητή συνάρτηση

Γινόμενο μηδενικών και πόλων

Ανάπτυξη σε μερικά κλάσματα

Πίνακες Μ/Σ Laplace

2

15 6

ss s

++ +

1( 2)( 3)

ss s

++ + 2 3

A Bs s

++ +

2 3t tAe Be− −+

Τρεις περιπτώσεις:

(α) Απλοί πραγματικοί πόλοι:

(β) Απλοί μιγαδικοί πόλοι:

(γ) Επαναλαμβανόμενοι πόλοι:

( )( )( )( )

2 51 1 1 1

s s A B Cs s s s s s

+ += + +

− + − +

( ) 22

111

s A Bs Cs s ss s s

+ += +

+ ++ +

( )( ) ( )2 25

3 13 1 1s A B C

s ss s s+

= + ++ ++ + +

Παράδειγμα: Αποσβεστήρας μάζας με ελατήριο

S yr5 4 ( )y y y r t+ + =

Αρχικές συνθήκες: 2

1

(0) 1 (0) 1( ) 2 ( )t

y yr t e u t−

−

= = −

=

Είσοδος:

Παίρνοντας Μ/Σ Laplace στα δύο μέλη:

[ ]

( )

2

2

2( ) (0) (0) 5 ( ) (0) 4 ( )2

25 4 ( ) 42

s Y s sy y sY s y Y ss

s s Y s ss

− − + − + =+

+ + = + ++

( )( )( )( ) ( )( )( )

2

2

2 4 2 6 10( )2 1 42 5 4

s s s sY ss s ss s s

+ + + + += =

+ + ++ + +

( )( )( )2 6 10( )

2 1 4 2 1 4s s A B CY s

s s s s s s+ +

= = + ++ + + + + +

( )( )2

2

6 10 11 4

s

s sAs s

=−

+ += = −

+ + ( )( )2

1

6 10 52 4 3

s

s sBs s

=−

+ += =

+ + ( )( )2

4

6 10 12 1 3

s

s sCs s

=−

+ += =

+ +

2 41

5 1( ) ( )3 3

t t ty t e e e u t− − −−

= − + +

S yr

-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

t

r(t)

r(t)

-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

t

y(t)

y(t)

Σημείωση: Η θέση των πόλων καθορίζει την ευστάθεια του συστήματος. Αν οι πόλοι βρίσκονται στο ανοιχτό αριστερό ημιεπίπεδο τότε παίρνουμε όρους της μορφής e-σt όπου σ>0 και το σύστημα είναι ευσταθές.

Η αναπαράσταση των δυναμικών συστημάτων γίνεται σε 3 πεδία:

H(s) yu s-plane (LT – μιγαδικό επίπεδο) Συναρτήσεις μεταφοράς

yuΑπόκριση συχνότητας (F)

(Διάγραμμα Bode)

yu Χώρος καταστάσεων (πεδίο χρόνου) Διαφορικές εξισώσεις

( )( )

H jH jωω∠

x Ax Buy Cx Du= += +

Διαγράμματα βαθμίδων [Block Diagrams]

(i) G(s) ( )C s( )R s ( ) ( ) ( )C s G s R s=

(ii) ( )C s( )R s2

1

1 2

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )

C s G s X sX s G s R sC s G G R s

===

1G 2G

(iii) ( )C s( )R s

( )

1 2

1 1

2 2

1 2

C X XX G RX G RC G G R

= +==

= +

1G

2G

(iv) ( )C s( )R s 1

1 2

2 2

1 2

1 1 2

1 2 1

1

1 2

(1 )

1

C G XX R XX G C

X R G CC G R G G CG G C G R

GC RG G

== −=

⇒ = −⇒ = −+ =

=+

1G

2G

+ -

1X

2X

1

1 21GC

R G G=

+

Διαγράμματα βαθμίδων

Παράδειγμα: Να βρεθεί η συνάρτηση μεταφοράς από το R στο C

R C1G 2G

3G

4G

5G

6G

+ +

+ -

+ +

5 3 6 2

3 2 2

12 1

1 3

1 4 3

1

C G X G XX G X

GX XG G

X R G X

= + = = −

= −

( )

( )

2 13 4 3

1 3

1 3 1 2 4 3 1 2

1 23

1 3 1 2 4

12

1 3 1 2 4

11

1

1

G GX R G XG G

G G G G G X G G RG GX R

G G G G GGX R

G G G G G

= −−

− + =

=− +

=− +

R C1

1 31GG G− 2G

4G

5G

6G

+

-

+ +

1X

2X3X

( )( )

5 2 6 2

1 6 2 5

1 3 1 2 41

C G G G X

G G G GC R

G G G G G

= +

+=

− +

( )1 6 2 5

1 3 1 2 41G G G GC

R G G G G G+

=− +

Μέθοδοι για απλοποίηση των υπολογισμών: α) Μετασχηματισμοί των διαγραμμάτων βαθμίδων β) Γράφοι ροής σήματος (Signal Flow Graph models) & κανόνας του Mason

Γράφοι ροής σήματος [Signal Flow Graph models]

( )R s(i) ( )G s( )C s ( ) ( ) ( )C s G s R s=

( )R s(ii) 1( )G s( )C s 1 2( ) ( ) ( ) ( )C s G s G s R s=2 ( )G s

( )R s ( )C s ( )1 2( ) ( ) ( ) ( )C s G s G s R s= +(iii)

( )R s ( )C s 1

1 2

( ) ( )1

GC s R sG G

=+

(iv)

1( )G s

2 ( )G s

1( )G s

2 ( )G s−

1

Παράδειγμα

( )R s 1G1 2G 5G1

3G

6G

4G−

Παράδειγμα

Να βρεθεί η G(s) έτσι ώστε τα δύο συστήματα να έχουν την ίδια συνάρτηση μεταφοράς από το r στο y.

r y4 1s

+

-

+ q 11s +

p

14

−

+

+

+

r ( )G s+

- y

A B

Σύστημα A: Σύστημα Β: 1 ( 4 )

4 44

1

y p qs

p pq r y r y

p qs

= +

= − − = − +

=+

( )y G r y= −

( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )2 2

1 4 ( )4 4

1 14

4 11 1 44

4 84 4 4

s pp r y p r ys

s sq p r ys

sy p q r y r y

s s s s

r y sy s r ys s

+ = − + ⇒ = −

+ += = −

+ = + = − + −

− +

⇒ = + + = − ( )y G r y= −

2

4 8( ) sG ss+

=

Παράδειγμα: Κινητήρας DC [DC Motor – Permanent Magnet]

be K θ=

θ

fθ

(Τριβή)

J: αδράνεια

Νόμος Νεύτωνα για περιστροφικά συστήματα:

T Ja=Τ: άθροισμα όλων των ροπών J: αδράνεια α: γωνιακή επιτάχυνση

(Νόμος Kirchhoff) a

a a a a b

m a

div R i L Kdt

J K i f

θ

θ θ

= + +

= −

Ηλεκτρικό μέρος:

Σε μορφή συνάρτησης μεταφοράς:

( )

[ ]

( ) ( ) ( )1( ) ( ) ( )

aa a a a b

a a a a b

a a ba a

diR i L v Kdt

L s R I s V s K s

I s V s K sL s R

θ

ω

ω

+ = −

+ = −

= −+

ή ύθ ω γωνιακ ταχ τητα=

Μηχανικό μέρος:

( )

( )

( )( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

m a

m a

m m ba

a a a a

m b ma

a a a a

ma

a a m b

J K i fJs f s K I s

K K KJs f s V s sL s R L s R

K K KJs f s V sL s R L s R

Ks V sJs f L s R K K

ω ωω

ω ω

ω

ω

= −

+ =

+ = −+ +

+ + = + +

=+ + +

( )( )1 ( )( ) ( )

( )m

a a a m b

Kss ss V s s Js f L s R K K

θθ ω= ⇒ = + + +

Διάγραμμα βαθμίδας:

1

a aL s R+ mK1

Js f+1s

bK

aV ai ωθ+

-

Συνάρτηση μεταφοράς

Κινητήρα DC θaV

Απλοποίηση: a

a

LR

τ= αμελητέο (συνήθως)

Οι ηλεκτρικές χρονικές σταθερές είναι πολύ πιο μικρές από τις μηχανικές χρονικές σταθερές (J/f).

Αν 0a

a

LR

= τότε:

( )( ) ( )

m

a m ba

KsV s s sK KR s Js f

Rα

θ βα

= =+

+ +

m b

m

K KfJ R JKR J

α

α

α

β

= +

=

Matlab

Matlab: MATrix LABoratory by Mathworks

Toolboxes: •Control System Toolbox •Optimization toolbox •Signal processing toolbox •Robust control toolbox •System identification toolbox •Neural Network toolbox •SIMULINK

M-files: file.m

Demos: ctrldemo jetdemo, diskdemo, boildemo, kalmdemo

Σημαντικές Παρατηρήσεις: • Για τη συνάρτηση μεταφοράς H(s) θεωρούμε

μηδενικές αρχικές συνθήκες.

• Για συστήματα πολλών εισόδων πολλών εξόδων υπάρχει μια συνάρτηση μεταφοράς Hij(s) για κάθε είσοδο i και έξοδο j. Για να βρούμε την Hij(s) θέτουμε όλες τις εισόδους εκτός από την i-th με μηδέν και βρίσκουμε την απόκριση στην έξοδο j.

• Τα γραμμικά συστήματα λαμβάνονται με γραμμικοποίηση μη γραμμικών συστημάτων.